Statistika Dasar Distribusi Peluang

STATISTIKA DASAR

DISTRIBUSI PELUANG

Dosen Pembimbing:

Ika Krisdiana. S. Si

Disusun Oleh:

Heri Cahyono (08411.145)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA

DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMIKIP PGRI MADIUN

2009

BAB I

PENDAHULUAN

Distribusi peluang dibedakan atas variabel acaknya. Diketahui variabel

acak (random variables) terdiri dari variabel acak diskrit dan variabel acak

STATISTIKA DASAR Page 0

kontinyu. Untuk data variabel acak diskrit dikenal distribusi peluang yang terdiri

dari : 1. Distribusi binomial 2. Distribusi Multinomial 3. Distribusi

Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson. Keempat distribusi peluang tersebut biasa

digunakan untuk mengetahui peluang dari data atau variabel acak diskrit. Sesuai

dengan tujuan perkuliahan, distribusi peluang diskrit ini tidak akan banyak

dijelaskan kecuali yang berhubungan dengan penggunaannya dalam kasus dengan

data variansi acak diskrit.

Variabel kontinyu adalah variabel random yang mempunyai nilai dalam

suatu interval tertentu. Contoh, kecepatan kendaraan per jam, tinggi badan

mahasiswa, besarnya pendapatan pekerja dll.

Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan untuk

setiap unsur dalam ruang sampel disebut variabel acak. Jika variabel x dan t

menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai x1, x2,....., xn dengan peluang

masing-masing p1, p2,....., pn, dimanap1 + p2 +.....+pn =1 dikatakan suatu

distribusi peluang diskrit untuk variabel acak x telah terdefinisi. Fungsi p(x) yang

mempunyai nilai masing-masing p1, p2,....., pn untuk x = x1, x2,....., xn disebut

fungsi peluang untuk variabel acak x, harga X = x. X yang memiliki peluang

bersifat variabel dan hanya memiliki harga 0,1,2 ... disebut variabel acak diskrit.

Contoh

Misalkan

sepasang dadu dilantunkan dan misalkan X menyatakan jumlah titik yang

diperoleh. Maka distribusi peluang diberikan sebagai berikut :

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(x

)

136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Misalnya, peluang memperoleh jumlah 5 adalah 4

36=1

9. Jadi dalam 900

pelantunan dadu kita mengharapkan 100 pelantun memberikan jumlah 5.

Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue.


Jika x sebuah variabel acak konstan, maka fungsi densitas (kepadatan), f(x) dapat

menghasilkan peluang untuk harga-harga x dan berlaku :

∫−∞

∞

f ( x ) dx=1

Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah :

P (a < x < b) =∫a

b

f ( x )dx

Contoh 1

Sebuah variabel acak kontinu x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4,

mempunyai fungsi densitas f(x) = x+1

8

a. Tunjukkan P (2 < X < 4) = 1

b. Hitung P (2 < X < 3) !

Penyelesaian :

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4

Grafik untuk fungsi, f(x) = x+1

8

Pada Gambar berupa trapesium maka luasnya sama dengan jumlah kedua sisi

yang sejajar dikalikan alasnya kemudian dibagi dua.

Luas = (Jumlah sisisejajar ) x alas

2

= (f (2 )+ f (4 ) ) (2 )2

Karena f(2) = 32

f(4)=58


Maka p (2 < x < 4) = ( 3

8+5

8)2

2 =1 Terbukti

b. Bahwa jika P (2 < X < 3) = (f (2 )+ f (3 ) ) (1 )

2 = ( 3

8+ 4

8 ) 12

= 7

16

atau dengan cara ∫2

3x+1

8

18

∫2

3

x+1

18 (1

2x2+x )

2

3

18

(( 92+3)−( 4

2+2))

18 (7

2 )7

16

1. DISTRIBUSI BINOMIAL

Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau

gagal dan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan Binomial atau

experiment Bernoulli, sehingga ciri-ciri percobaan Binomial adalah :

1. Percobaan terdiri atas n peristiwa

2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau

gagal

3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p

4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain

Karakteristik dari binomial distribution :

1. Grafiknya discontinuous (terputus-putus)

2. Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan n

3. Bentuknya simetris bila p = q atau p ≠ q asal n besar


Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatu

percobaan binom dan distribusinya peluangnya disebut Distribusi Binomial dan

nilai-nilainya dilambangkan dengan b (x; n, p).

Jika peluang keberhasilan “p” dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka

distribusi peluang untuk variabel acak binomial x yaitu banyaknya

keberhasilan dalam n peristiwa yang bebas adalah :

b (x; n, p) = (nx ) px (1−p )n−x

b (x; n, p) = (nx ) =

n!x ! (n−x )!

Keterangan :

b = distribusi binomial

x = banyaknya sukses

n = banyaknya ulangan bebas

p = peluang memperoleh sukses pada percobaan (ulangan) tunggal

Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit

b(x; n,p) = p (x) = P(X = x)

Parameter distribusi binomial adalah dan , dimana

= np dan

= √npq=√np(1−p).

Contoh 1

Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya

ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa

peluang bahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi

oleh keperluan uang untuk membeli ganja ?

Penyelesaian :

Diketahui p = 75 % = 0,75 q = 1 – p = 0,25

P (X = 2) = b (2; 4; 0,75) = (42)=¿ (0,75)² (0,25)² = 0,211

Jadi peluang yang ditanya adalah 0,211


Contoh 2

Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 5 kali. Berapa peluangnya bahwa dalam

5 kali pelambungan tersebut muncul mata dadu 2 sebanyak 3 buah ?

Penyelesaian :

p = peluang muncul mata dadu 2 pada satu pelambungan = 16

n = 5 (banyaknya pelambungan, banyaknya ulangan)

x = 3 (banyaknya muncul mata dadu 2 yang diharapkan)

P (X = 3) = b (3; 5, 16

)

= (53)(16)

3

(1−16 )

5−3

= (10) ( 1216 ) ( 25

36 ) =

2507776

= 0,032

Contoh 3

10% dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. sebuah sampel

berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan

berisikan benda kategori A:

a. semuanya

b. sebuah

c. dua buah

d. paling sedikit sebuah

e. paling banyak dua buah

f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A

Penyelesaian :

a. Kita artikan X = banyak benda kategori A. Maka π = peluang benda

termasuk kategori A = 0,10

P (X = 30) = (3030) (0,10 )30 (0,90 )0 = 10−30

Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.


b. Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1

P (X = 1) = (301 ) (0,10 )1 (0,90 )29 = 0,1409

Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0,1409

c. Di sini X = 2, sehingga :

P (X = 2) = (302 ) (0,10 )2 (0,90 )28 = 0,2270

d. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1, 2, 3,… , 30.

Jadi, perlu P (X = 1) + P (X = 2) + …. + P (X = 30). Tetapi P (X = 0) + P (X

=1) + … + P (X = 30) = 1, sehingga yang dicari adalah 1 – P 9X = 0)

Sekarang P (X = 0) = (300 ) (0,10 )0 (0,90 )30 = 0,0423

Peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A

adalah 1 – 0,0423 = 0,9577

e. Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti X = 0, 1, 2. Perlu dicari

P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2). Di atas, semuanya ini telah dihitung.

Hasilnya = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270 = 0,4102

f. Didapat p = 30 (0,1) = 3

Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam

setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.

2.1.2 DISTRIBUSI MULTINOMIAL

Jika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali, peristiwa E1, x2 peristiwa

E2, ... xk peristiwa Ek diantara n, ditentukan oleh distribusi multinomial.

Jika pada satu percobaan tunggal dapat menghasilkan k kejadian

E1, E2, E3, …, E k dengan peluang berturut-turut P1, P2, P3, …, Pk, maka

peluang untuk mendapatkan x1 kejadian E1, x2 kejadian E2, x3 kejadian E3,

…, xk kejadian E k, ditentukan oleh :


P(x1 , x2 ,…, xk) = n!

x1 ! x2!…. xk ! P1x1, P2

x2, …, Pkxk

Notasi lain P(x1 , x2 ,…, xk) = f(x1 , x2 ,…, xk;P1, P2 …,Pk,n)

Dengan x1+ x2+…+ xk = n dan P1+ P2+…+Pk = 1

Sedangkan 0 < Pi < 1, i = 1, 2, …, k

Ada operator factorial pada definisi tersebut, yang dirumuskan oleh :

n !=(n ) (n−1 ) ( n−2 ) … (3 ) (2 ) (1 )

untuk n=0dan n=1 ,didefinisikan 0 !=1 dan1 !=¿ 1

Contoh 1

Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang didapat

mata 1, mata 2, … , mata 6 masing-masing tepat dua kali adalah ?

Penyelesaian :

12 !2!2 !2 !2!2 !2 !

( 16 )

2

( 16 )

2

( 16 )

2

( 16 )

2

( 16 )

2

( 16 )

2

= 0,0034

Contoh 2

Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru,6 dan 5 bola putih.

Sebuah bola diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian

dikembalikan lagi ke dalam kotak. Diambil sebuah kotak lagi, dilihat

warnanya, kemudian dikembalikan lagi ke dalam kotak. Hal demikian

dilakukan sampai 6 kali. Dalam 6 kali pengambilan tersebut, berapa

peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih ?

Penyelesaian :

x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; n = 6; p1 =3

12; p2 =

412

; p3 = 512

P(1 bola merah , 2 bolabiru ,dan3 bola puti h)

= 6 !

1!2 !3 ! ( 3

12 )1

( 412 )

2

( 512 )

3

= 0,121

Jadi, peluang terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih adalah

0,121

2.1.3 DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK


Misalnya kita berkeinginan untuk mencari peluang untuk

mendapatkan 3 buah kartu berwarna merah dalam pengambilan 5 buah kartu

bridge. Diketahui ada 26 buah kartu berwarna merah dari 52 buah kartu

bridge. Pengambilan 5 buah tersebut dilakukan sekaligus (yang ini disebut

sampling tanpa pengembalian). Eksperiment seperti ini disebut eksperiment

hipergeometrik. Variabel random yang diperoleh disebut variabel random

hipergeometrik.

Dua sifat percobaan hipergeometrik adalah :

Suatu sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N

k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda

diklasifikasikan sebagai gagal

Suatu variabel random X disebut mempunyai distribusi hipergeometrik

dengan parameter N, n, dan k jika fungsi peluangnya dapat dinyatakan

dalam bentuk :

h (x; N, n, k) = (kx )(N−k

n−x )(N

n ), untuk k = 0, 1, 2, ..., n

Jika variabel random deskrit X mepunyai distribusi hipergeometrik dengan

parameter N, n, dan k, maka rataan dan variansinya adalah :

a. μ = nkN

b. σ 2 = N−nN−1

n kN

(1− kN )

Contoh 1

Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa

peluang diperoleh 3 kartu hati ?

Penyelesaian :

Dengan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13 dan x = 3

maka peluang memperoleh 3 kartu hati adalah


H (3; 52, 5, 13) = (13

3 )(392 )

(525 )

= 0,0815

Contoh 2

Sekelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada

tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluangnya di antara

5 orang tadi :

a. Tidak terdapat yang lahir tanggal 1 Januari

b. Terdapat tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari

Penyelesaian :

a. Ambil x = bamyak orang di antara n =5 yang lahir pada tanggal 1

Januari.maka dengan N = 50, k = 3

p (0) = (30)(47

5 )(50

5 ) = 0,724

Peluangnya adalah 0,724 bahwa kelima orang itu tidal lahir pada tanggal 1

Januari

b. Tidak lebih dari seorang yang lahir pada 1 Januari, berarti x = 0 dan x = 1

p (0) suadah dihitung di atas

p (1) = (31)(47

4 )(50

5 ) = 0,253

Sehingga, peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu yang lahir

pada 1 Januari adalah 0,724 + 0,253 = 0,977

Contoh 3

Dalam pengambilan 5 buah kartu dari seperangkat kartu bridge (yang

terdiri dari 52 kartu). Berapa peluang bahwa di antara 5 buah kartu yang

diambil tadi terdapat 3 buah kartu berwarna merah ?

Penyelesaian :

N = 52 (banyaknya kartu bridge)


k = 26 (banyaknya kartu yang berwarna merah)

n = 5 (banyaknya kartu yang diambil)

x = 3 (banyaknya kartu merah yang diharapkan terambil)

h (3; 52, 5, 26) = (26

3 )(262 )

(525 )

= ( 26 !

3 !23 ! )( 26 !2 !24 ! )

52!5 !47 !

= 0,3251

Jadi, peluang bahwa di antara 5 kartu tadi terdapat 3 buah kartu berwarna

merah adalah 0,3251

Contoh 4

Dari suatu percobaan hipergeometrik dengan a = 3, b = 37 dan n = 5,

tentukan nilai harapan (harapan matematis) dan variansnya ?

Penyelesaiam :

a = 3

b = 37

p = 3

3+37 =

340

q = 1 – p

= 1– 3

40 =

3740

E (X) = n . p

= 5 . 3

40

= 38

= 0,375

Var (X) = npq a+b−na+b−1

= 5 . 3

40 .

3740

. 3539

= 0,3113


2.2 SOAL

1. Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitas

munculnya sisi muka sebanyak 5 kali.

2. Diketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau.

Diambil secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya

bahwa :

a. yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau

b. yang terambil 1 kaleng berisi cat hijau

c. yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau

d. yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau

3. Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak

40 secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang

terambil tidak bocor, dan berapakah variansnya ?

4. Apabila probabilitas bahwa seseorang akan menjawab sesuatu mail

questionnaire adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1,

2, 3, 4, dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan

kepada 5 responden ?

5. Dari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak.

Diambil secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk

diselidiki. Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan

terdapat :

a. Tidak ada yang rusak

b. Satu rusak

c. Paling sedikit satu rusak

d. Paling banyak dua rusak

6. Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah

bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang

sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “


7. Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada

tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa probabilitasnya

bahwa diantara 5 orang tadi,

a. tidak terdapat orang yang lahir pada tanggal 1 Januari

b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari

8. Lima buah kartu diambil dari 52 kartu bridge lengkap. Berapa

probabilitasnya bahwa kartu yang terambil :

a. sebuah kartu As

b. paling sedikit 1 kartu As

9. Suatu perkumpulan beranggotakan 12 orang pria dan 8 orang wanita.

Jika dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random,

berapakah kemungkinan komisi tersebut terdiri dari :

a. 3 orang pria dan 2 orang wanita

b. paling sedikit terdiri dari 3 orang pria

c. berjenis kelamin sama

10. Suatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3

orang ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas

banyaknya ahli kimia dalam komite itu ?


BAB III

PENUTUP

Setelah permasalahan-permasalahan yang berhubungan dengan

Distribusi Peluang ini diuraikan, maka dalam bab terakhir ini kita berusaha

menarik kesimpulan dari uraian-uraian yang terdapat pada bab I dan bab II,

juga disampaikan saran-saran yang mungkin bermanfaat bagi calon pendidik

di Jurusan Pendidikan Matematika khususnya di IKIP PGRI Madiun.

3.1 KESIMPULAN

Berdasarkan hasil deskripsi bab I dan bab II maka dapat

disimpulkan sebagai berikut:

A. Distribusi Binomial

Jika variable random diskrit X berdistribusi Binomial, maka :

1. Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan :

b (x; n, p) = C xn . px . qn−x

2. Harapan matematis = E (X) = np

Varians = Var (X) = npq

Dengan n = banyaknya eksperiment

p = p (sukses)

q = 1 – p = P (gagal)

B. Distribusi Multinomial

Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Multinomial, maka :


P(x1 , x2 ,…, xk)=f(x1 , x2 ,…, xk;P1, P2 …,Pk,n)= n!

x1 ! x2!…. xk ! P1x1

, P2x2, …, Pk

xk


C. Distribusi Hipergeometrik

Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Hipergeometrik,

maka :


h (x; n, a, b) = C x

a . Cn−xb

Cna+b

dengan a = banyaknya unsur sukses

b = banyaknya unsur gagal

n = banyaknya percobaan

2. Harapan matematisnya = E (X) = np

Variansnya = Var (X) = npq a+b−na+b−1

dengan P a

a+b, yaitu probabilitas terjadinya unsur sukses

3.2. SARAN

Sebagai calon pendidik di Jurusan Pendidikan Matematika ada

beberapa hal yang akan kami sampaikan untuk menambah wawasan calon-

calon pendidik ketika dihadapkan dengan seorang anak didik, yaitu sebagai

berikut:

1. Pendidik harus mampu berbicara menggunakan bahasa Indonesia yang baik

dan benar ketika menyampaikan pengajaran kepada anak didiknya, agar

anak didiknya bisa menerima dan bisa mengikuti apa yang kita sampaikan.

2. Tidak sedikit seorang anak didik beranggapan bahwa pendidik matematika

adalah suatu guru yang menakutkan, menyeramkan, dan menegangkan.

Maka untuk itu seorang pendidik matematika harus mampu membuat

suasana tempat pengajarannya menjadi lebih hidup dan harus bisa

memastikan kalau anak didiknya senang, suka, dan nyaman diajar oleh

kita dan tidak menganggap kita sebagai guru yang menakutkan, juga

mereka bisa menerima materi dengan baik dan tidak merasa terpaksa.

3. Untuk calon pendidik matematika khususnya IKIP PGRI Madiun dua hal

yang akan kami sampaikan:


a. “Belajarlah terus agar menjadi Guru yang Profesional”.

b. “Berbicaralah engkau maka akan segera diketahui siapa dirimu”.

DAFTAR PUSTAKA

Budiyono, 2004. Statistika Untuk Penelitian. Surakarta: Universitas Sebelas

Maret Press.

Kustini, Cahyowati Etty Tejo Dwi. 1994. Statistika Matematika I. Jakarta:

Universitas Terbuka Depdikbud.

Subagyo, Pangestu, PS djarwanto. 2005. Statistika Induktif Edisi 5. Yogyakarta:

BPFE.

Sudjana, 1975. Metoda Statistika Edisi 5. Bandung: Tarsito.

http://www.wahana-statistika.com/index.php/Ilmu-Probabilita/distribusi-peluang.html




LAMPIRAN

KUNCI SOAL

1. Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitas munculnya

sisi muka sebanyak 5 kali.

Penyelesaian :

Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali (n=10). Misalkan peristiwa hasil

sukses adalah munculnya sisi muka (M). maka P (sukses) = P (M) = 12

= p,

dan P (gagal) = P (B) = 12

= q.-pl,

Tampak bahwa p + q = 1 atau p = 1 – q atau q = 1 – p.

Peristiwa munculnya M dan B saling bebas dan merupakan partisi dari ruang

sampel, sebab ruang sampel S = {(M),(B)}

Sehingga b (5 ;10 ,12 )=C5

10( 12 )

5

( 12 )

5

= 252 1

32

132

= 252

1024 = 0,246

2. Diketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau. Diambil

secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya bahwa :

a. yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau

b. yang terambil 1 kaleng berisi cat hijau

c. yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau

d. yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau

Penyelesaian :

a. misal X = banyaknya kaleng yang berisi cat hijau


Jadi X = 30

p = probabilitas sebuah kaleng cat berisi cat hijau = 0,10

q = 1 – 0,10 = 0,90

probabilitas yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau

= P (X = 30)

= b (X;30,(0,10))

=C3030 (0,10 )30 (0,90 )0

= 10−30

b. untuk X = 1

P (X = 1) = C130 (0,10 )1 (0,90 )29 = 0,1409

Probabilitas yang terambil 1 kaleng cat berwarna hijau = 0,1409

c. untuk X ≥ 1, berarti X = 1,2,3,…,30

Probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau = P (X =

1) + P (X = 2) + P (X = 3) +…+ P (X = 30)

Karena :

P (X = 0) + P (X = 2) +…+ P (X = 30) = 1, maka yang dicari adalah 1 – P

(X = 0)

P (X = 0) = C030 (0,10 )0 0,9030 = 0,0423

Jadi probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau

= 1 – P (X = 0)

= 1 – 0,00423 = 0,9577

d. untuk ≤ 2, berarti X = 0, 1, 2

Yang dicari adalah :

P (X = 0) + P(X = 1) + P (X = 2)

P (X = 0) = 0,0423

P (X = 1) = 0,1409

P (X = 2) = C230 (0,10 )2 0,9028 = 0,2277

Jadi, probabilitas yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau =

0,2277


3. Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak 40

secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang terambil

tidak bocor, dan berapakah variansnya ?

Penyelesaian :

n = 40

probabilitas tidak bocor = 1 – probabilitas bocor

= 1 – 0,2 = 0,8

Jadi p = 0,8 dan q = 1 – 0,8 = 0,2

E (X) = np = 40 x (0,8) = 32

Var (X) = npq =40 x (0,8) x (0,2) = 6,4

Harapan ember yang terambil tidak bocor = 32

Variansnya = 6,4 ≈ 6

4. Apabila probabilitas bahwa seseorang akan menjawab sesuatu mail

questionnaire adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1, 2, 3, 4,

dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan kepada 5

responden ?

Penyelesaian :

Di sini n = 5 dan p = 0,2

X = 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

P( 0; 5) = 1 x (0,2 )0 x (0,8 )5 = 0,3277

P(1 ;5 ) = 5 x (0,2 )1 x (0,8 )4 = 0,4096

P(2 ;5 ) = 10 x (0,2 )2 x (0,8 )3 = 0,2048

P(3 ;5 ) = 10 x (0,2 )3 x (0,8 )2 = 0,0512

P( 4 ;5) = 5 x (0,2 )4 x (0,8 )1 = 0,0064

P(5 ;5 ) = 1 x (0,2 )5 x (0,8 )0 = 0,0003

Adapun histogramnya seperti terlihat pada gambar berikut :


0 1 2 3 4 5

Probabilitas

0,3277

0,4096

0,2048

0,0512

0,0064

0,0003 Respons

5. Dari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak. Diambil

secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk diselidiki.

Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan terdapat :

a. Tidak ada yang rusak

b. Satu rusak

c. Paling sedikit satu rusak

d. Paling banyak dua rusak

Penyelesaian :

Di sini n = 10, p = 010

a. P( 0; 10) = (100 ) x 0,100 x 0,9010=0.34868

b. P(1 ;10 ) = (101 ) x 0,10x 0,909=¿ 0,38742

P( 8; 10) = (108 ) x 0,108 x 0,902=¿45 (0,00000001) (0,81) = 0.0000004

c. Paling sedikit rusak satu rusak, berarti yang rusaknya 1, 2, 3, …, 10

Jadi, kita harus menghitung probabilitas untuk X = 1, 2, 3, …, 10, kemudian

dijumlahkan.

P(1 ;10 ) + P(2 ;10 ) + … + P(10 ;10 ) = 1 - P( 0; 10)

¿ 1 – 0,34868

¿ 0,65132


d. Paling banyak dua rusak, ini berartisama dengan benda yang rusak boleh 0,

1 atau 2 buah. Jadi kita perlu menghitung :

P( 0; 10) + P(1 ;10 ) + P(2 ;10 )

P( 0; 10) = 0,24868

P(1 ;10 ) = 0,38742

P(2 ;10 ) = (102 ) x 0,102 x 0,908 = 0,19371

0,92981

Jadi, peluang munculnya mata dadu 2 sebanyak 3 buah adalah 0,032

6. Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan

yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada

kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “

Penyelesaian :

Misal :

E1 : terjadi total 7 atau 11

E2 : muncul bilangan yang sama pada kedua dadu

E3 : kemungkinan lainnya selain dua diatas

Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p1 =29

, p2 =

16

dan p3 = 1118

dengan distribusi multinom dan x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 maka

peluang yang ditanyakan :

P (2, 1, 3) = 6 !

2!1 !3 ! ( 2

9 )2

( 16 )

1

( 1118 )

3

= 0,1127

7. Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1

Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa probabilitasnya bahwa diantara 5

orang tadi,

a. tidak terdapat orang yang lahir pada tanggal 1 Januari

b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari

Penyelesain :

a. misalkan X = banyaknya orang diantara yang lahir pada tanggal 1 Januari

a + b = 50


a = 3

n = 5

P (X = 0) = h (0; 5, 3, 47) = C0

3 C547

C550 = 0,724

Berarti bahwa probabilitas kelima orang itu tidak lahir pada tanggal 1

Januari adalah 0,724

b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari, berarti X = 0 dan

X = 1

P (X = 0) sudah dihitung di atas

P (X = 1) = h (1; 5, 3, 47) = C1

3 C447

C550 = 0,253

Sehingga peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu lahir pada

tanggal 1 Januari = 0,724 + 0,253 = 0,977

8. Lima buah kartu diambil dari 52 kartu bridge lengkap. Berapa probabilitasnya

bahwa kartu yang terambil :

a. sebuah kartu As

b. paling sedikit 1 kartu As

Penyelesaian :

a. P (X = 1) = h (1; 5, 4, 48) = C1

4 C448

C552 = 0,30

b. Kemungkinan paling sedikit 1 kartu As adalah :

h (1; 5, 4, 48) + h (2; 5, 4, 48) + h (3; 5, 4, 48) + h (4; 5, 4, 48) = 0,34

9. Suatu perkumpulan beranggotakan 12 orang pria dan 8 orang wanita. Jika

dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random, berapakah

kemungkinan komisi tersebut terdiri dari :

a. 3 orang pria dan 2 orang wanita

b. paling sedikit terdiri dari 3 orang pria

c. berjenis kelamin sama

Penyelesaian :

a. Kemungkinan komisi terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita adalah :

x1= 3


x2= 2

n!x1 ! x2!…. xk !

p1 x1 p2 x2 …. pk xk

= 5 !

3! 2! ( 12

20 )3

( 820 )

2

= 5 x 4 x 3 !3 !2 x 1!

17288000

64

400

= 22118406400000

= 0,3456

Jadi kemungkinannya adalah 0,3456

b. Komisi paling sedikit mempunyai 3 orang pria adalah

Ada 3 kemungkinan : 1. Jika x1= 3

x2= 2

2. Jika x1 = 4

x2 =1

3. Jika x1 = 5

x2 = 0

1.5 !

3! 2! ( 12

20 )3

( 820 )

2

5 x 4 x 3 !3 !2 x 1!

17288000

64

400

22118406400000

0,3456

2.5 !

4 !1 ! ( 12

20 )4

( 820 )

1

5 x 4 !4 !1 !

20736

160000

820

829440

3200000

0,2592

3.5 !

5! 0! ( 12

20 )5

( 820 )

0


5!5!

248832

3200000 1

829440

3200000

0,07776

Jadi kemungkinannya adalah 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,68256

c. Komisi terdiri dari jenis kelamin yang sama adalah

Ada 2 kemungkinan : 1. Jika x1= 5

x2= 0

2.Jika x1 = 0

x2 = 5

1.5!

5 !0 ! ( 12

20 )5

( 820 )

0

5!5!

248832

3200000 1

829440

3200000

0,07776

2.5 !

0 !5 ! ( 12

20 )0

( 820 )

5

5!5!

132768

3200000

0,01024

Jadi kemungkinannya adalah 0,07776 + 0,01024 = 0,088

10. Suatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 orang

ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas banyaknya ahli

kimia dalam komite itu ?

Penyelesaian :

Andaikan X menyatakan banyaknya ahli kimia dalam komite

Maka R x = {0, 1, 2, 3}

n = 5 (banyaknya orang dalam komite)


a = 3 ( ahli kimia)

b = 5 (ahli fisika)

a. tidak ada ahli kimia pada (5 orang) komite

P (X = 0) = h (0; 5, 3, 5) = C0

3 C55

C58 = 1

56

b. ada 1 ahli kimia pada (5 orang) komite

P (X = 1) = h (1; 5, 3, 5) = C1

3 C45

C58 = 15

56

c. ada 2 ahli kimia pada komite

P (X = 2) = h (2; 5, 3, 5) = C2

3 C35

C58 = 30

56

d. ada 3 ahli kimia pada komite

P (X = 3) = h (3; 5, 3, 5) = C3

3 C25

C58 = 10

56


Documents

Statistika Dasar Distribusi Peluang