STATISTIKA

Mjerenje analiza I mjerenje evolucije

APSOLUTNA I RELATIVNA PROMJENA- Apsolutna promjena je izražena u jedinicama mjere analiuzirane varijable I može biti negativna Apsolutna promjena pojave V između datuma t I datuma 0 je jednaka ∆V = Vt ndash Vo

- Relativna promjena se naziva stopa promjene Ako je pozitivna onda je stopa rasta∆VV = (Vt-Vo)VoINDEKSI- Kada govorimo o relativnim promjenama kada se porede različite veličine u prostoru I vremenu (na više nivoa) kada opisujemo I poredimo pojavu varijabli čiji je red veličina različit koristimo indekse Praktični su za duži period Pružaju uvid u evoluciju u odnosu na bazni ili prethodni period I omogućavaju praćenje pojave

- Indeks objašnjava rel promjenu bilo koje veličine između 2 perioda od kojih je jedan bazni Ne posjeduje jedinicu mjere ndash neimenovani je broj

- Indeksi se dijele na

o individualne (sintetičke ili proste) ndash primjenjuju se kada analiziramo homogene veličine fiksiramo bažzni period I izračunavamo promjenu posmatrane veličine između posmatranog perioda (t) I baznog perioda (o) Ovaj indeks je bazni elemenat stat analize hronoloških serija o Agregatni indeks se primjenjuje za analizu heterogenih veličina Neki od njih služe kao referentni indeksi Najpoznatiji indeks vrijednosti cijena troškova života itd Njihova konstrukcija je tehnički I metodološki komplikovana što otežava njihovo tumačenje

- Indeksi sa stalnom bazom (bazni indeksi) ndash indeksi razvoja ndash pokazatelj razvoja pojava u posmatranom periodu u odnosu na bazni period Koriste se za poređenje razvoja više pojava Razlika između dva bazna indeksa je pokazatelj indeksnih poena Računamo ih kao količnik između veličine analizirane pojave u posmatranom I odabranom baznom periodu U baznoj godini ineks je 100

(sa malim i označavamo proste indekse ako su izraženi u bazi 1 Množenjem ovih indeksa sa 100 dobijamo indekse u bazi 100 I označavamo ih sa velikim slovom I)

- Indeksi sa promjenjivom bazom (lančani verižni indeksi) ndash odnos veličine pojave u posmatranom I prethodnom periodu Da bismo konstruisali indekse sa promjenjivom bazom ili lančane indekse kao bazni period odabiremo svaki put prethodni period Ovi indeksi se nazivaju koeficjenti dinamike jer pokazuju dinamiku I tempo promjene posmatrane pojave u odnosu na prethodni period

- (ne znam da li ovo treba ali evo) osobine indeksao Indeks ostaje nepromijenjen ako se posmatrana veličina ne mijenja (osobina identiteta)o Tranzitivnost o Recipročnost u odnosu na vrijemeo Cirkularnost (kad su zadovoljene osobine tranzitivnosti I recipročnosti)

- Prosječna godišnja stopa promjene ndash veličina V raste po godišnjoj stopi r - jednaka je prosječnom godišnjem indeksu promjene umanjenom za jedinicu Također prosječna godišnja stopa promjene je jednaka geometrijskoj sredini lančanih indeksa umanjenoj za jedinicu r+1 = antilog 1N-1 (logVt ndash log V1)

- pretvaranje baznih u lančane indekse indeksi na stalnoj bazi su upravo proporcionalni originalnim podacima indeksi na stalnoj bazi pretvaraju se u lančane tako da se indeks iz tekućeg perioda dijeli sa prethodnim indeksom I rezultat pomnoži sa 100 Nije bitno koji ćemo period izabrati za bazno razdobljeItt-1 = ItoI(t-o)o x 100

Definišite indeks vrijednosti i napišite formulu za njegovo izračunavanje

Ako želimo posmatrati evoluciju vrijednosti potrošačke korpe izračunavamo sintetički indeks vrijednosti potrošačke korpe

Sintetički indeks vrijednosti je definisan sljedećim izrazom

- Ako fiksiramo količinu u baznom periodu dobijamo Lasperov indeks cijena

Lpo = sump1qosumpoqo x 100

- Ako fiksiramo cijenu u baznom periodu dobijamo Lasperov indeks količina

Lqo = sumpoq1sumpoqo x 100

- Ako fiksramo količinu u posmatranom periodu dobijamo Pašev indeks cijena

Ppo = sump1q1sumpoq1 x 100

- Ako fiksiramo cijenu u posmatranom periodu dobijemo Pašev indeks količina

Pqo = sump1q1sump1qo x 100

- Agregatni indeks vrijednosti I njegova dekompozicija

Sintetički indeks vrijednosti možemo dekomponovati na sljedeći način

pplq

pq lp

Dekompozicija indeksa vrijednosti nam daje mogućnost da odredimo uticaj promjene cijene i količine na promjenu vrijednosti

- Fischerov indeks cijena je jednak geometrijskoj sredini Laspeyres i Paasche indeksa cijena

- izračunavanje Ficherovog indeksa cijena

Fischerov indeks cijena je jednak geometrijskoj sredini Laspeyres i Paasche indeksa cijena

Elementi vremenske serije - Konstitutivni elementi vremenske serije su dugoročna tendencija ili trend ciklične varijacije sezonske promjene i slučajne ili rezidualne promjene

Tendencija ili trend - Trend izražava dugoročnu evoluciju ili osnovni tok kretanja pojave i izražava se funkcijama vremena Trend predstavlja dugoročnu generalnu tendenciju rasta ili opadanja pojave koja se istražuje U ekonomiji dugoročna tendencija ima trajanje duže od 10 godina Ova dugoročna tendencija potiče iz fenomena čiji se efekti manifestuju poslije dugo vremena (rađanjestruktura populacije prema godinama starosti tehničke promjeneefikasnost osnovnih sredstava itd) Primjer dugoročne tendencije rasta pokazuje cijene troškova životaCiklične varijacije - Ciklične varijacije mogu biti različitog intenziteta i trajanja Njihova periodičnost je od 2 do 10 godina Uzrok ovih varijacija su uglavnom fluktuacije u tokovima (potrošnja investicije itd)Cikličnu komponentu koja predstavlja dugoročne varijacije oko trenda je često teško identifikovati tako da se može smatrati kao dio trendaSezonske varijacije - Sezonske varijacije pokazuju sezonski ili periodični uticaj na analiziranu pojavu Sezonske promjene karakterišu oscilacije regularnog trajanja i intenziteta oko trenda Periodičnost pojavljivanja sezonskih varijacija je manja ili jednaka godini Sezonske varijacije se mogu lako uočiti ukoliko kretanje pojave predstavimo grafičkiTipični primjeri ovog tipa varijacija su Potrošnja električne energije proizvodnja poljoprivrednih proizvoda broj noćenja u turizmu dolazak novih osoba na tržište rada itd Slučajne ili rezidualne promjene - Slučajne promjene ne možemo objasniti sa tri prethodno analizirane grupe promjena Slučajne promjene su nepredvidljive i neregularne Primjer ratovi štrajkovi poplave požari i druge netipične promjene Trend komponenata ciklične i sezonske promjene se nazivaju sistematskim determinističkim komponentama jer predstavljaju kovarijacije pojave koje se mogu izraziti funkcijom vremena Slučajna komponenta je nesistematska Ona ukazuje na postojanje neregularnih promjena- Osnovni zadaci analize vremenskih serija su Opis razvoja pojave u vremenu Objašnjenje varijacije pojave u vremenu Predviđanje razvoja pojaveOsnovni zadatak u analizi vremenskih serija je identificirati izolovati i eliminisati uticaj cikličnih sezonskih i slučajnih promjena da bi se mogla odrediti dugoročna tendencija posmatrane pojave - Metod pokretnih sredina za određivanje trenda ndash sukscesivne sredine računate za p sukcesivnih datuma Vrijednosti se svaki puta pomjeraju za rang udesno na vremenskoj osi pa se nazivaju pokretnim sredinama Primjenom metode pokretnih sredina moguiće je korigovati bruto podatke eliminišući sezonske varijacije Na taj način dobijamo podatke korigovane na osnovu sezonskih varijacija koji nam omogućavaju da procijenimo tendenciju kretanja posmatrane pojave Pokretne sredine neparnog reda su jednostavne i simetrične Recimo trećeg redaPs (t) = (Yt-1 + Yt + Y t+1) p

Pokretne sredine parnog reda su kompliciranije jer ne postoji univerzalno pravilo kojoj vrijednosti se dodijeljuje izračunata vrijednost - Dekompoziciju ukupne varijanse

Rezidualna

Prema dekompoziciji ukupne varijanse

Ili

- Jednačina linearnog trenda i njeni elementi - Ako se analizirana pojava mijenja za približno isti apsolutni iznos u vremenskim jedinicama opšti oblik funkcije kojim možemo predstaviti to kretanje ima sljedeći oblikY=a+bX gdje X predstavlja nezavisno promjenljivu - vrijeme Y je zavisno promjenljiva koja predstavlja vrijednost trenda a i b su parametri koje treba ocijenitiParametar a predstavlja konstantni član dakle vrijednost trenda za razdoblje koje prethodi prvom Parametar b pokazuje za koliko se promijeni trend vrijednost y ako se varijabla vrijeme x poveća za jedinicu UZORCI

Definicija uzoraka- Uzorak je dio osnovnog skupa i cilj izbora uzorka je da u što kraćem vremenu i uz što manje troškove dobijemo informaciju o karakteristikama osnovnog skupa iz kojeg smo odabrali uzorak Uzorak mora biti reprezentativan a reprezentativan je ako je po svojoj strukturi sličan osnovnom skupu Statističko zaključivanje je Postupak donošenja zaključka o osnovnom skupu na osnovu uzorkaDeduktivno zaključivanje i posmatranje- kada se ispituje cijela populacijaInduktivno zaklj i posmatranje- na osnovu uzorka-Etape primjene metode uzoraka- 1 Izbor slučajnog uzorka 2 prikupljanje podataka 3 donošenje zaključaka na temelju rezultata- Zašto se ova metoda primjenjuje- Primjena metode uzoraka omogućujue da se uz određeni rizik utvrde granice povjerenja i preciznost ocjene parametara iz uzorkaCilj ove metode je1Da se na osnovu ocijenjenih karakteristika uzorka dođe do procjene karakteristika osnovnog skupa2Da se statističkim metodama odrediti pouzdanost i preciznost te procjene- Koji je najznačajniji uzorak- Izbor elemenata osnovnog skupa u uzorak može biti Bez ponavljanja (elementi se ne vraćaju u osnovni skup)Sa ponavljanjem (elem se vraćaju i opet sudjeluju u izboru)Izbor se može vršiti namjerno i slučajno- Greške u stat istraživanjima mogu biti Slučajne- nastaje slučajno predstavlja razliku između stvarne i ocjenjene vrijednosti parametara osnovnog skupa smanjuje se porastom veličine uzorka To je nepristrasan uzorakSistemske- nastaju iz više razloga i teško ih je kontrolisati Razlozi su loše odabran uzorak nepreciznost upitnika tehničke greške pri obradi itd Smanjuje se objektivnom procedurom pri izboru uzorka To je pristrasan uzorak- Da bi metod uzorka bio uspješan treba definirati cilj istraživanja popuaciju i jedinice populacije plan uzorka bazu uzorka veličinu uzorka i nivo preciznosti- Koji sve uzorci mogu bitiNajvažnije metode su slučajna i namjerna Razlika između njih je što se za slučajnu može primjeniti teorija vjerovatnoće a za namjernu ne1 Slučajni i kontrolisani slučajni uzorci Jednostavni slučajni uzorak Sistematski uzorak Uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini Stratifikovani uzorak Uzorci skupina Višestepeni Višefazni Panel uzorci2 Namjerni uzorci Namjerni uzorak se formira na osnovu subjektivnog suda istraživača Kvota uzorak Prigodan uzorak Dobrovoljan uzorak- Slučajni i stratifikovani objasnitiSlučajni uzorak- jedinice populacije se odabiru u uzorak slučajno pri čemu je moguće utvrditi vjerovatnoću izbora svake jedinice u uzorak Ovim tipom uzoraka moguće je vršiti pouzdane procjene procjene greške uzorka i karakteristike populacije Cilj je što više smanjiti grešku procjene Najčešće metode za izbor uzorka na osnovu vjerovatnoće su Jednostavni slučajni uzorak Sistematski uzorak Uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini Stratifikovani uzorak Uzorci skupina Višestepeni Višefazni Panel uzorci

Stratifikovani uzorak- Kada je osn skup heterogen treba ga podijeliti na karakteristične jasno razgraničene homogene podskupove (stratume) čije jedinice treba da budu što sličnije Potom se za svaki stratum određuje veličina uzorka i bira po jedan slučajni uzorak Na taj način se formira stratif uzorak koji je sastavljen od prostih slučajnih nezavisnih uzoraka od kojih je svaki izabran iz jednog stratuma Metoda izbora jedinica iz svakog stratuma može da bude različita (npr jednostavni slučajni stratifikovani uzorak) Najvažnije je odabrati kriterij za stratifikaciju prema kome formiramo relativno homogene i razgraničene stratume kojima obezbjeđujemo reprezentativnost i donošenje preciz zaključaka o osn skupu Prednosti ovog tipa su efikasnost i preciznost procjene karakteristika osn skupa- Statističko zaključivanje je Postupak donošenja zaključka o osnovnom skupu na osnovu uzorka- Metoda interferencijalne statistike je Procjena obiljžja osnovnog skupa na osnovu uzorka- Metoda procjene je Postupak kojim se na osnovu podataka iz uzorka vrši procjena parametara osn skupa- Procjenitelj ili estimator je Funkcija formula ili izraz koji se koristi za procjenu- Distribucija vjerovatnoće procjenitelja je Sve procjene dobivene na osnovu slučajnih uzoraka veličine n iz istog osn skupa koje su izračunate metodom procjene- Ocjena parametra osn skupa iz uzorka je nepristrasna ako je očekivana vrijednost (Xnadvučeno) parametra iz uzorka jednaka vrijednosti parametra iz osn skupa- Ocjena je pristrasna ako je ta vrijednost različita- Procjene obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka Procjenu obilježja osnovnog skupa q pomoću izračunate karakteristike iz uzorka ćemo vršiti pomoću intervalne procjene Izračunava se donja i gornja granica intervala u kojem se sa određenom vjerovatnoćom nalazi obilježje osnovnog skupa q Taj interval izražavamo na sljedeći način

Slučajni uzorak sa ponavljanjemVarijansa i standardna greška ocjene aritmetičke sredine skupa na osnovu uzorka sa ponavljanjem

Slučajni uzorak bez ponavljanjaU slučaju uzorka bez ponavljanja varijansa slučajne promjenljive je

Varijansu aritmetičkih sredina uzoraka od n elemenata možemo odrediti ako poznajemo varijansu i veličinu osnovnog skupaStandardna greška Standardnu devijaciju aritmetičkih sredina uzoraka nazivamo standardnom greškom

u ovom izrazu faktor predstavlja faktor korekcije za konačne osnovne skupove

Ako varijansa osnovnog skupa nije poznata njenu procjenu možemo vršiti na osnovu varijanse uzorka Za dobijanje nepristrasne ocjene varijanse se koristi izraz

Obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka ndash ukoliko je izabran adekvatan uzorak osnovni skup ima sva obilježja koja ima odabrani uzorak Iz tog proizilazi da ako analiziramo uzorak te identificiramo njegove osobine iste te osobine možemo primjeniti na osnovni skup

Šta je z i formulaz je vrijednost slučajne standardizovane varijable a izraz je

Određivanje intervala povjerenja- Intervalne procjene aritm sredine osnovnog skupa (kad je varijansa poznata grafikon 62 kad je nepoznata kad

je uzorak veći od 30 i manji od 30)

Ukoliko je poznata varijansa osnovnog skupa uvijek se koristi normalna distribucija (z) I računa se

a interval povjerenja je (x-z(1-α2) δx le micro le x + z(1-α2) δx)

Ukoliko je nepoznata varijansa osnovnog skupa koristi se studentova distribucija Sn-1(t) I računa se a interval povjerenja je (x-t(n-1)(1-α2) δx le micro le x + t(n-1)(1-α2) δx) osim kada je veličina uzorka VEĆA od 30 tada se ponovno koristi normalna distribucija (z)

HIPOTEZE- 6 koraka metoda provjere hipotezeEtape testiranja hipoteza1 formulisati nultu i alternativnu hipotezu2 odabrati kriterij na osnovu koga se vrši testiranje tjodgovarajuću statistiku testa i raspored vjerovatnoće3 odabrati nivo značajnosti testa4 formulisati pravila za odbcivanje ili prihvatanje nulte hipoteze5 odabrati uzorak i izračunati vrijednost statistike testa6 donošenje odluke

- Formulisanje hipoteza (dvosmjerni test na gornju i donju granicu)Nulta hipoteza je tvrdnja o vrijednosti parametra osn skupa koja se testiranjem nastoji osporiti Ovom hipotezom se tvrdi da je parametar osn skupa jednak nekoj pretpostavljenoj vrijednosti Svakoj nultoj se pridružuje alternativna hipoteza

Alternativna je pretpostavka koja se smatra tačnom i koju tokom testiranja treba potvrditi Testira se samo nulta hipoteza polazeći od pretpostavke da je istinita i nastoji se odbacitia) Dvosmjerna hipoteza i dvosmjerni test Hipoteza koju treba testirati nulta hipoteza Alternativna hipoteza

Dvosmjerni test ndash (α2 1- α2) postoji interval (vrijednost je data u intervalu)b) Jednosmjerni test na gornju granicu kritična oblast se nalazi na desnom kraju distribucuije

Test na gornju granicu ndash (1- α) data vrijednost će biti negativna ndash važno kod postavljanja hipoteze 0c) Jednosmjerni test na donju granicu kritična oblast se nalazi na lijevom kraju distribucuije

Test na donju granicu ndash (α) data vrijednost će biti pozitivna

- Odluke i greška tipa I i IIOdluke Nulta hipoteza je

prihvaćenaNulta hipoteza jeodbačena

Nulta hipoteza je istinita

Odluka je ispravna(1- α)

Napravljena je greška tipa I (α)

Nulta hipoteza nijeistinita

Napravljena je greška tipa II (β)

Odlukaje ispravna (1-β)

- pretvaranje baznih u lančane indekse indeksi na stalnoj bazi su upravo proporcionalni originalnim podacima indeksi na stalnoj bazi pretvaraju se u lančane tako da se indeks iz tekućeg perioda dijeli sa prethodnim indeksom I rezultat pomnoži sa 100 Nije bitno koji ćemo period izabrati za bazno razdobljeItt-1 = ItoI(t-o)o x 100

Definišite indeks vrijednosti i napišite formulu za njegovo izračunavanje

Ako želimo posmatrati evoluciju vrijednosti potrošačke korpe izračunavamo sintetički indeks vrijednosti potrošačke korpe

Sintetički indeks vrijednosti je definisan sljedećim izrazom

- Ako fiksiramo količinu u baznom periodu dobijamo Lasperov indeks cijena

Lpo = sump1qosumpoqo x 100

- Ako fiksiramo cijenu u baznom periodu dobijamo Lasperov indeks količina

Lqo = sumpoq1sumpoqo x 100

- Ako fiksramo količinu u posmatranom periodu dobijamo Pašev indeks cijena

Ppo = sump1q1sumpoq1 x 100

- Ako fiksiramo cijenu u posmatranom periodu dobijemo Pašev indeks količina

Pqo = sump1q1sump1qo x 100

- Agregatni indeks vrijednosti I njegova dekompozicija

Sintetički indeks vrijednosti možemo dekomponovati na sljedeći način

pplq

pq lp

Dekompozicija indeksa vrijednosti nam daje mogućnost da odredimo uticaj promjene cijene i količine na promjenu vrijednosti

- Fischerov indeks cijena je jednak geometrijskoj sredini Laspeyres i Paasche indeksa cijena

- izračunavanje Ficherovog indeksa cijena

Fischerov indeks cijena je jednak geometrijskoj sredini Laspeyres i Paasche indeksa cijena

Elementi vremenske serije - Konstitutivni elementi vremenske serije su dugoročna tendencija ili trend ciklične varijacije sezonske promjene i slučajne ili rezidualne promjene

Tendencija ili trend - Trend izražava dugoročnu evoluciju ili osnovni tok kretanja pojave i izražava se funkcijama vremena Trend predstavlja dugoročnu generalnu tendenciju rasta ili opadanja pojave koja se istražuje U ekonomiji dugoročna tendencija ima trajanje duže od 10 godina Ova dugoročna tendencija potiče iz fenomena čiji se efekti manifestuju poslije dugo vremena (rađanjestruktura populacije prema godinama starosti tehničke promjeneefikasnost osnovnih sredstava itd) Primjer dugoročne tendencije rasta pokazuje cijene troškova životaCiklične varijacije - Ciklične varijacije mogu biti različitog intenziteta i trajanja Njihova periodičnost je od 2 do 10 godina Uzrok ovih varijacija su uglavnom fluktuacije u tokovima (potrošnja investicije itd)Cikličnu komponentu koja predstavlja dugoročne varijacije oko trenda je često teško identifikovati tako da se može smatrati kao dio trendaSezonske varijacije - Sezonske varijacije pokazuju sezonski ili periodični uticaj na analiziranu pojavu Sezonske promjene karakterišu oscilacije regularnog trajanja i intenziteta oko trenda Periodičnost pojavljivanja sezonskih varijacija je manja ili jednaka godini Sezonske varijacije se mogu lako uočiti ukoliko kretanje pojave predstavimo grafičkiTipični primjeri ovog tipa varijacija su Potrošnja električne energije proizvodnja poljoprivrednih proizvoda broj noćenja u turizmu dolazak novih osoba na tržište rada itd Slučajne ili rezidualne promjene - Slučajne promjene ne možemo objasniti sa tri prethodno analizirane grupe promjena Slučajne promjene su nepredvidljive i neregularne Primjer ratovi štrajkovi poplave požari i druge netipične promjene Trend komponenata ciklične i sezonske promjene se nazivaju sistematskim determinističkim komponentama jer predstavljaju kovarijacije pojave koje se mogu izraziti funkcijom vremena Slučajna komponenta je nesistematska Ona ukazuje na postojanje neregularnih promjena- Osnovni zadaci analize vremenskih serija su Opis razvoja pojave u vremenu Objašnjenje varijacije pojave u vremenu Predviđanje razvoja pojaveOsnovni zadatak u analizi vremenskih serija je identificirati izolovati i eliminisati uticaj cikličnih sezonskih i slučajnih promjena da bi se mogla odrediti dugoročna tendencija posmatrane pojave - Metod pokretnih sredina za određivanje trenda ndash sukscesivne sredine računate za p sukcesivnih datuma Vrijednosti se svaki puta pomjeraju za rang udesno na vremenskoj osi pa se nazivaju pokretnim sredinama Primjenom metode pokretnih sredina moguiće je korigovati bruto podatke eliminišući sezonske varijacije Na taj način dobijamo podatke korigovane na osnovu sezonskih varijacija koji nam omogućavaju da procijenimo tendenciju kretanja posmatrane pojave Pokretne sredine neparnog reda su jednostavne i simetrične Recimo trećeg redaPs (t) = (Yt-1 + Yt + Y t+1) p

Pokretne sredine parnog reda su kompliciranije jer ne postoji univerzalno pravilo kojoj vrijednosti se dodijeljuje izračunata vrijednost - Dekompoziciju ukupne varijanse

Rezidualna

Prema dekompoziciji ukupne varijanse

Ili

- Jednačina linearnog trenda i njeni elementi - Ako se analizirana pojava mijenja za približno isti apsolutni iznos u vremenskim jedinicama opšti oblik funkcije kojim možemo predstaviti to kretanje ima sljedeći oblikY=a+bX gdje X predstavlja nezavisno promjenljivu - vrijeme Y je zavisno promjenljiva koja predstavlja vrijednost trenda a i b su parametri koje treba ocijenitiParametar a predstavlja konstantni član dakle vrijednost trenda za razdoblje koje prethodi prvom Parametar b pokazuje za koliko se promijeni trend vrijednost y ako se varijabla vrijeme x poveća za jedinicu UZORCI

Definicija uzoraka- Uzorak je dio osnovnog skupa i cilj izbora uzorka je da u što kraćem vremenu i uz što manje troškove dobijemo informaciju o karakteristikama osnovnog skupa iz kojeg smo odabrali uzorak Uzorak mora biti reprezentativan a reprezentativan je ako je po svojoj strukturi sličan osnovnom skupu Statističko zaključivanje je Postupak donošenja zaključka o osnovnom skupu na osnovu uzorkaDeduktivno zaključivanje i posmatranje- kada se ispituje cijela populacijaInduktivno zaklj i posmatranje- na osnovu uzorka-Etape primjene metode uzoraka- 1 Izbor slučajnog uzorka 2 prikupljanje podataka 3 donošenje zaključaka na temelju rezultata- Zašto se ova metoda primjenjuje- Primjena metode uzoraka omogućujue da se uz određeni rizik utvrde granice povjerenja i preciznost ocjene parametara iz uzorkaCilj ove metode je1Da se na osnovu ocijenjenih karakteristika uzorka dođe do procjene karakteristika osnovnog skupa2Da se statističkim metodama odrediti pouzdanost i preciznost te procjene- Koji je najznačajniji uzorak- Izbor elemenata osnovnog skupa u uzorak može biti Bez ponavljanja (elementi se ne vraćaju u osnovni skup)Sa ponavljanjem (elem se vraćaju i opet sudjeluju u izboru)Izbor se može vršiti namjerno i slučajno- Greške u stat istraživanjima mogu biti Slučajne- nastaje slučajno predstavlja razliku između stvarne i ocjenjene vrijednosti parametara osnovnog skupa smanjuje se porastom veličine uzorka To je nepristrasan uzorakSistemske- nastaju iz više razloga i teško ih je kontrolisati Razlozi su loše odabran uzorak nepreciznost upitnika tehničke greške pri obradi itd Smanjuje se objektivnom procedurom pri izboru uzorka To je pristrasan uzorak- Da bi metod uzorka bio uspješan treba definirati cilj istraživanja popuaciju i jedinice populacije plan uzorka bazu uzorka veličinu uzorka i nivo preciznosti- Koji sve uzorci mogu bitiNajvažnije metode su slučajna i namjerna Razlika između njih je što se za slučajnu može primjeniti teorija vjerovatnoće a za namjernu ne1 Slučajni i kontrolisani slučajni uzorci Jednostavni slučajni uzorak Sistematski uzorak Uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini Stratifikovani uzorak Uzorci skupina Višestepeni Višefazni Panel uzorci2 Namjerni uzorci Namjerni uzorak se formira na osnovu subjektivnog suda istraživača Kvota uzorak Prigodan uzorak Dobrovoljan uzorak- Slučajni i stratifikovani objasnitiSlučajni uzorak- jedinice populacije se odabiru u uzorak slučajno pri čemu je moguće utvrditi vjerovatnoću izbora svake jedinice u uzorak Ovim tipom uzoraka moguće je vršiti pouzdane procjene procjene greške uzorka i karakteristike populacije Cilj je što više smanjiti grešku procjene Najčešće metode za izbor uzorka na osnovu vjerovatnoće su Jednostavni slučajni uzorak Sistematski uzorak Uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini Stratifikovani uzorak Uzorci skupina Višestepeni Višefazni Panel uzorci

Stratifikovani uzorak- Kada je osn skup heterogen treba ga podijeliti na karakteristične jasno razgraničene homogene podskupove (stratume) čije jedinice treba da budu što sličnije Potom se za svaki stratum određuje veličina uzorka i bira po jedan slučajni uzorak Na taj način se formira stratif uzorak koji je sastavljen od prostih slučajnih nezavisnih uzoraka od kojih je svaki izabran iz jednog stratuma Metoda izbora jedinica iz svakog stratuma može da bude različita (npr jednostavni slučajni stratifikovani uzorak) Najvažnije je odabrati kriterij za stratifikaciju prema kome formiramo relativno homogene i razgraničene stratume kojima obezbjeđujemo reprezentativnost i donošenje preciz zaključaka o osn skupu Prednosti ovog tipa su efikasnost i preciznost procjene karakteristika osn skupa- Statističko zaključivanje je Postupak donošenja zaključka o osnovnom skupu na osnovu uzorka- Metoda interferencijalne statistike je Procjena obiljžja osnovnog skupa na osnovu uzorka- Metoda procjene je Postupak kojim se na osnovu podataka iz uzorka vrši procjena parametara osn skupa- Procjenitelj ili estimator je Funkcija formula ili izraz koji se koristi za procjenu- Distribucija vjerovatnoće procjenitelja je Sve procjene dobivene na osnovu slučajnih uzoraka veličine n iz istog osn skupa koje su izračunate metodom procjene- Ocjena parametra osn skupa iz uzorka je nepristrasna ako je očekivana vrijednost (Xnadvučeno) parametra iz uzorka jednaka vrijednosti parametra iz osn skupa- Ocjena je pristrasna ako je ta vrijednost različita- Procjene obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka Procjenu obilježja osnovnog skupa q pomoću izračunate karakteristike iz uzorka ćemo vršiti pomoću intervalne procjene Izračunava se donja i gornja granica intervala u kojem se sa određenom vjerovatnoćom nalazi obilježje osnovnog skupa q Taj interval izražavamo na sljedeći način

Slučajni uzorak sa ponavljanjemVarijansa i standardna greška ocjene aritmetičke sredine skupa na osnovu uzorka sa ponavljanjem

Slučajni uzorak bez ponavljanjaU slučaju uzorka bez ponavljanja varijansa slučajne promjenljive je

Varijansu aritmetičkih sredina uzoraka od n elemenata možemo odrediti ako poznajemo varijansu i veličinu osnovnog skupaStandardna greška Standardnu devijaciju aritmetičkih sredina uzoraka nazivamo standardnom greškom

u ovom izrazu faktor predstavlja faktor korekcije za konačne osnovne skupove

Ako varijansa osnovnog skupa nije poznata njenu procjenu možemo vršiti na osnovu varijanse uzorka Za dobijanje nepristrasne ocjene varijanse se koristi izraz

Obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka ndash ukoliko je izabran adekvatan uzorak osnovni skup ima sva obilježja koja ima odabrani uzorak Iz tog proizilazi da ako analiziramo uzorak te identificiramo njegove osobine iste te osobine možemo primjeniti na osnovni skup

Šta je z i formulaz je vrijednost slučajne standardizovane varijable a izraz je

Određivanje intervala povjerenja- Intervalne procjene aritm sredine osnovnog skupa (kad je varijansa poznata grafikon 62 kad je nepoznata kad

je uzorak veći od 30 i manji od 30)

Ukoliko je poznata varijansa osnovnog skupa uvijek se koristi normalna distribucija (z) I računa se

a interval povjerenja je (x-z(1-α2) δx le micro le x + z(1-α2) δx)

Ukoliko je nepoznata varijansa osnovnog skupa koristi se studentova distribucija Sn-1(t) I računa se a interval povjerenja je (x-t(n-1)(1-α2) δx le micro le x + t(n-1)(1-α2) δx) osim kada je veličina uzorka VEĆA od 30 tada se ponovno koristi normalna distribucija (z)

HIPOTEZE- 6 koraka metoda provjere hipotezeEtape testiranja hipoteza1 formulisati nultu i alternativnu hipotezu2 odabrati kriterij na osnovu koga se vrši testiranje tjodgovarajuću statistiku testa i raspored vjerovatnoće3 odabrati nivo značajnosti testa4 formulisati pravila za odbcivanje ili prihvatanje nulte hipoteze5 odabrati uzorak i izračunati vrijednost statistike testa6 donošenje odluke

- Formulisanje hipoteza (dvosmjerni test na gornju i donju granicu)Nulta hipoteza je tvrdnja o vrijednosti parametra osn skupa koja se testiranjem nastoji osporiti Ovom hipotezom se tvrdi da je parametar osn skupa jednak nekoj pretpostavljenoj vrijednosti Svakoj nultoj se pridružuje alternativna hipoteza

Alternativna je pretpostavka koja se smatra tačnom i koju tokom testiranja treba potvrditi Testira se samo nulta hipoteza polazeći od pretpostavke da je istinita i nastoji se odbacitia) Dvosmjerna hipoteza i dvosmjerni test Hipoteza koju treba testirati nulta hipoteza Alternativna hipoteza

Dvosmjerni test ndash (α2 1- α2) postoji interval (vrijednost je data u intervalu)b) Jednosmjerni test na gornju granicu kritična oblast se nalazi na desnom kraju distribucuije

Test na gornju granicu ndash (1- α) data vrijednost će biti negativna ndash važno kod postavljanja hipoteze 0c) Jednosmjerni test na donju granicu kritična oblast se nalazi na lijevom kraju distribucuije

Test na donju granicu ndash (α) data vrijednost će biti pozitivna

- Odluke i greška tipa I i IIOdluke Nulta hipoteza je

prihvaćenaNulta hipoteza jeodbačena

Nulta hipoteza je istinita

Odluka je ispravna(1- α)

Napravljena je greška tipa I (α)

Nulta hipoteza nijeistinita

Napravljena je greška tipa II (β)

Odlukaje ispravna (1-β)

Tendencija ili trend - Trend izražava dugoročnu evoluciju ili osnovni tok kretanja pojave i izražava se funkcijama vremena Trend predstavlja dugoročnu generalnu tendenciju rasta ili opadanja pojave koja se istražuje U ekonomiji dugoročna tendencija ima trajanje duže od 10 godina Ova dugoročna tendencija potiče iz fenomena čiji se efekti manifestuju poslije dugo vremena (rađanjestruktura populacije prema godinama starosti tehničke promjeneefikasnost osnovnih sredstava itd) Primjer dugoročne tendencije rasta pokazuje cijene troškova životaCiklične varijacije - Ciklične varijacije mogu biti različitog intenziteta i trajanja Njihova periodičnost je od 2 do 10 godina Uzrok ovih varijacija su uglavnom fluktuacije u tokovima (potrošnja investicije itd)Cikličnu komponentu koja predstavlja dugoročne varijacije oko trenda je često teško identifikovati tako da se može smatrati kao dio trendaSezonske varijacije - Sezonske varijacije pokazuju sezonski ili periodični uticaj na analiziranu pojavu Sezonske promjene karakterišu oscilacije regularnog trajanja i intenziteta oko trenda Periodičnost pojavljivanja sezonskih varijacija je manja ili jednaka godini Sezonske varijacije se mogu lako uočiti ukoliko kretanje pojave predstavimo grafičkiTipični primjeri ovog tipa varijacija su Potrošnja električne energije proizvodnja poljoprivrednih proizvoda broj noćenja u turizmu dolazak novih osoba na tržište rada itd Slučajne ili rezidualne promjene - Slučajne promjene ne možemo objasniti sa tri prethodno analizirane grupe promjena Slučajne promjene su nepredvidljive i neregularne Primjer ratovi štrajkovi poplave požari i druge netipične promjene Trend komponenata ciklične i sezonske promjene se nazivaju sistematskim determinističkim komponentama jer predstavljaju kovarijacije pojave koje se mogu izraziti funkcijom vremena Slučajna komponenta je nesistematska Ona ukazuje na postojanje neregularnih promjena- Osnovni zadaci analize vremenskih serija su Opis razvoja pojave u vremenu Objašnjenje varijacije pojave u vremenu Predviđanje razvoja pojaveOsnovni zadatak u analizi vremenskih serija je identificirati izolovati i eliminisati uticaj cikličnih sezonskih i slučajnih promjena da bi se mogla odrediti dugoročna tendencija posmatrane pojave - Metod pokretnih sredina za određivanje trenda ndash sukscesivne sredine računate za p sukcesivnih datuma Vrijednosti se svaki puta pomjeraju za rang udesno na vremenskoj osi pa se nazivaju pokretnim sredinama Primjenom metode pokretnih sredina moguiće je korigovati bruto podatke eliminišući sezonske varijacije Na taj način dobijamo podatke korigovane na osnovu sezonskih varijacija koji nam omogućavaju da procijenimo tendenciju kretanja posmatrane pojave Pokretne sredine neparnog reda su jednostavne i simetrične Recimo trećeg redaPs (t) = (Yt-1 + Yt + Y t+1) p

Pokretne sredine parnog reda su kompliciranije jer ne postoji univerzalno pravilo kojoj vrijednosti se dodijeljuje izračunata vrijednost - Dekompoziciju ukupne varijanse

Rezidualna

Prema dekompoziciji ukupne varijanse

Ili

- Jednačina linearnog trenda i njeni elementi - Ako se analizirana pojava mijenja za približno isti apsolutni iznos u vremenskim jedinicama opšti oblik funkcije kojim možemo predstaviti to kretanje ima sljedeći oblikY=a+bX gdje X predstavlja nezavisno promjenljivu - vrijeme Y je zavisno promjenljiva koja predstavlja vrijednost trenda a i b su parametri koje treba ocijenitiParametar a predstavlja konstantni član dakle vrijednost trenda za razdoblje koje prethodi prvom Parametar b pokazuje za koliko se promijeni trend vrijednost y ako se varijabla vrijeme x poveća za jedinicu UZORCI

Definicija uzoraka- Uzorak je dio osnovnog skupa i cilj izbora uzorka je da u što kraćem vremenu i uz što manje troškove dobijemo informaciju o karakteristikama osnovnog skupa iz kojeg smo odabrali uzorak Uzorak mora biti reprezentativan a reprezentativan je ako je po svojoj strukturi sličan osnovnom skupu Statističko zaključivanje je Postupak donošenja zaključka o osnovnom skupu na osnovu uzorkaDeduktivno zaključivanje i posmatranje- kada se ispituje cijela populacijaInduktivno zaklj i posmatranje- na osnovu uzorka-Etape primjene metode uzoraka- 1 Izbor slučajnog uzorka 2 prikupljanje podataka 3 donošenje zaključaka na temelju rezultata- Zašto se ova metoda primjenjuje- Primjena metode uzoraka omogućujue da se uz određeni rizik utvrde granice povjerenja i preciznost ocjene parametara iz uzorkaCilj ove metode je1Da se na osnovu ocijenjenih karakteristika uzorka dođe do procjene karakteristika osnovnog skupa2Da se statističkim metodama odrediti pouzdanost i preciznost te procjene- Koji je najznačajniji uzorak- Izbor elemenata osnovnog skupa u uzorak može biti Bez ponavljanja (elementi se ne vraćaju u osnovni skup)Sa ponavljanjem (elem se vraćaju i opet sudjeluju u izboru)Izbor se može vršiti namjerno i slučajno- Greške u stat istraživanjima mogu biti Slučajne- nastaje slučajno predstavlja razliku između stvarne i ocjenjene vrijednosti parametara osnovnog skupa smanjuje se porastom veličine uzorka To je nepristrasan uzorakSistemske- nastaju iz više razloga i teško ih je kontrolisati Razlozi su loše odabran uzorak nepreciznost upitnika tehničke greške pri obradi itd Smanjuje se objektivnom procedurom pri izboru uzorka To je pristrasan uzorak- Da bi metod uzorka bio uspješan treba definirati cilj istraživanja popuaciju i jedinice populacije plan uzorka bazu uzorka veličinu uzorka i nivo preciznosti- Koji sve uzorci mogu bitiNajvažnije metode su slučajna i namjerna Razlika između njih je što se za slučajnu može primjeniti teorija vjerovatnoće a za namjernu ne1 Slučajni i kontrolisani slučajni uzorci Jednostavni slučajni uzorak Sistematski uzorak Uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini Stratifikovani uzorak Uzorci skupina Višestepeni Višefazni Panel uzorci2 Namjerni uzorci Namjerni uzorak se formira na osnovu subjektivnog suda istraživača Kvota uzorak Prigodan uzorak Dobrovoljan uzorak- Slučajni i stratifikovani objasnitiSlučajni uzorak- jedinice populacije se odabiru u uzorak slučajno pri čemu je moguće utvrditi vjerovatnoću izbora svake jedinice u uzorak Ovim tipom uzoraka moguće je vršiti pouzdane procjene procjene greške uzorka i karakteristike populacije Cilj je što više smanjiti grešku procjene Najčešće metode za izbor uzorka na osnovu vjerovatnoće su Jednostavni slučajni uzorak Sistematski uzorak Uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini Stratifikovani uzorak Uzorci skupina Višestepeni Višefazni Panel uzorci

Stratifikovani uzorak- Kada je osn skup heterogen treba ga podijeliti na karakteristične jasno razgraničene homogene podskupove (stratume) čije jedinice treba da budu što sličnije Potom se za svaki stratum određuje veličina uzorka i bira po jedan slučajni uzorak Na taj način se formira stratif uzorak koji je sastavljen od prostih slučajnih nezavisnih uzoraka od kojih je svaki izabran iz jednog stratuma Metoda izbora jedinica iz svakog stratuma može da bude različita (npr jednostavni slučajni stratifikovani uzorak) Najvažnije je odabrati kriterij za stratifikaciju prema kome formiramo relativno homogene i razgraničene stratume kojima obezbjeđujemo reprezentativnost i donošenje preciz zaključaka o osn skupu Prednosti ovog tipa su efikasnost i preciznost procjene karakteristika osn skupa- Statističko zaključivanje je Postupak donošenja zaključka o osnovnom skupu na osnovu uzorka- Metoda interferencijalne statistike je Procjena obiljžja osnovnog skupa na osnovu uzorka- Metoda procjene je Postupak kojim se na osnovu podataka iz uzorka vrši procjena parametara osn skupa- Procjenitelj ili estimator je Funkcija formula ili izraz koji se koristi za procjenu- Distribucija vjerovatnoće procjenitelja je Sve procjene dobivene na osnovu slučajnih uzoraka veličine n iz istog osn skupa koje su izračunate metodom procjene- Ocjena parametra osn skupa iz uzorka je nepristrasna ako je očekivana vrijednost (Xnadvučeno) parametra iz uzorka jednaka vrijednosti parametra iz osn skupa- Ocjena je pristrasna ako je ta vrijednost različita- Procjene obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka Procjenu obilježja osnovnog skupa q pomoću izračunate karakteristike iz uzorka ćemo vršiti pomoću intervalne procjene Izračunava se donja i gornja granica intervala u kojem se sa određenom vjerovatnoćom nalazi obilježje osnovnog skupa q Taj interval izražavamo na sljedeći način

Slučajni uzorak sa ponavljanjemVarijansa i standardna greška ocjene aritmetičke sredine skupa na osnovu uzorka sa ponavljanjem

Slučajni uzorak bez ponavljanjaU slučaju uzorka bez ponavljanja varijansa slučajne promjenljive je

Varijansu aritmetičkih sredina uzoraka od n elemenata možemo odrediti ako poznajemo varijansu i veličinu osnovnog skupaStandardna greška Standardnu devijaciju aritmetičkih sredina uzoraka nazivamo standardnom greškom

u ovom izrazu faktor predstavlja faktor korekcije za konačne osnovne skupove

Ako varijansa osnovnog skupa nije poznata njenu procjenu možemo vršiti na osnovu varijanse uzorka Za dobijanje nepristrasne ocjene varijanse se koristi izraz

Obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka ndash ukoliko je izabran adekvatan uzorak osnovni skup ima sva obilježja koja ima odabrani uzorak Iz tog proizilazi da ako analiziramo uzorak te identificiramo njegove osobine iste te osobine možemo primjeniti na osnovni skup

Šta je z i formulaz je vrijednost slučajne standardizovane varijable a izraz je

Određivanje intervala povjerenja- Intervalne procjene aritm sredine osnovnog skupa (kad je varijansa poznata grafikon 62 kad je nepoznata kad

je uzorak veći od 30 i manji od 30)

Ukoliko je poznata varijansa osnovnog skupa uvijek se koristi normalna distribucija (z) I računa se

a interval povjerenja je (x-z(1-α2) δx le micro le x + z(1-α2) δx)

Ukoliko je nepoznata varijansa osnovnog skupa koristi se studentova distribucija Sn-1(t) I računa se a interval povjerenja je (x-t(n-1)(1-α2) δx le micro le x + t(n-1)(1-α2) δx) osim kada je veličina uzorka VEĆA od 30 tada se ponovno koristi normalna distribucija (z)

HIPOTEZE- 6 koraka metoda provjere hipotezeEtape testiranja hipoteza1 formulisati nultu i alternativnu hipotezu2 odabrati kriterij na osnovu koga se vrši testiranje tjodgovarajuću statistiku testa i raspored vjerovatnoće3 odabrati nivo značajnosti testa4 formulisati pravila za odbcivanje ili prihvatanje nulte hipoteze5 odabrati uzorak i izračunati vrijednost statistike testa6 donošenje odluke

- Formulisanje hipoteza (dvosmjerni test na gornju i donju granicu)Nulta hipoteza je tvrdnja o vrijednosti parametra osn skupa koja se testiranjem nastoji osporiti Ovom hipotezom se tvrdi da je parametar osn skupa jednak nekoj pretpostavljenoj vrijednosti Svakoj nultoj se pridružuje alternativna hipoteza

Alternativna je pretpostavka koja se smatra tačnom i koju tokom testiranja treba potvrditi Testira se samo nulta hipoteza polazeći od pretpostavke da je istinita i nastoji se odbacitia) Dvosmjerna hipoteza i dvosmjerni test Hipoteza koju treba testirati nulta hipoteza Alternativna hipoteza

Dvosmjerni test ndash (α2 1- α2) postoji interval (vrijednost je data u intervalu)b) Jednosmjerni test na gornju granicu kritična oblast se nalazi na desnom kraju distribucuije

Test na gornju granicu ndash (1- α) data vrijednost će biti negativna ndash važno kod postavljanja hipoteze 0c) Jednosmjerni test na donju granicu kritična oblast se nalazi na lijevom kraju distribucuije

Test na donju granicu ndash (α) data vrijednost će biti pozitivna

- Odluke i greška tipa I i IIOdluke Nulta hipoteza je

prihvaćenaNulta hipoteza jeodbačena

Nulta hipoteza je istinita

Odluka je ispravna(1- α)

Napravljena je greška tipa I (α)

Nulta hipoteza nijeistinita

Napravljena je greška tipa II (β)

Odlukaje ispravna (1-β)

Definicija uzoraka- Uzorak je dio osnovnog skupa i cilj izbora uzorka je da u što kraćem vremenu i uz što manje troškove dobijemo informaciju o karakteristikama osnovnog skupa iz kojeg smo odabrali uzorak Uzorak mora biti reprezentativan a reprezentativan je ako je po svojoj strukturi sličan osnovnom skupu Statističko zaključivanje je Postupak donošenja zaključka o osnovnom skupu na osnovu uzorkaDeduktivno zaključivanje i posmatranje- kada se ispituje cijela populacijaInduktivno zaklj i posmatranje- na osnovu uzorka-Etape primjene metode uzoraka- 1 Izbor slučajnog uzorka 2 prikupljanje podataka 3 donošenje zaključaka na temelju rezultata- Zašto se ova metoda primjenjuje- Primjena metode uzoraka omogućujue da se uz određeni rizik utvrde granice povjerenja i preciznost ocjene parametara iz uzorkaCilj ove metode je1Da se na osnovu ocijenjenih karakteristika uzorka dođe do procjene karakteristika osnovnog skupa2Da se statističkim metodama odrediti pouzdanost i preciznost te procjene- Koji je najznačajniji uzorak- Izbor elemenata osnovnog skupa u uzorak može biti Bez ponavljanja (elementi se ne vraćaju u osnovni skup)Sa ponavljanjem (elem se vraćaju i opet sudjeluju u izboru)Izbor se može vršiti namjerno i slučajno- Greške u stat istraživanjima mogu biti Slučajne- nastaje slučajno predstavlja razliku između stvarne i ocjenjene vrijednosti parametara osnovnog skupa smanjuje se porastom veličine uzorka To je nepristrasan uzorakSistemske- nastaju iz više razloga i teško ih je kontrolisati Razlozi su loše odabran uzorak nepreciznost upitnika tehničke greške pri obradi itd Smanjuje se objektivnom procedurom pri izboru uzorka To je pristrasan uzorak- Da bi metod uzorka bio uspješan treba definirati cilj istraživanja popuaciju i jedinice populacije plan uzorka bazu uzorka veličinu uzorka i nivo preciznosti- Koji sve uzorci mogu bitiNajvažnije metode su slučajna i namjerna Razlika između njih je što se za slučajnu može primjeniti teorija vjerovatnoće a za namjernu ne1 Slučajni i kontrolisani slučajni uzorci Jednostavni slučajni uzorak Sistematski uzorak Uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini Stratifikovani uzorak Uzorci skupina Višestepeni Višefazni Panel uzorci2 Namjerni uzorci Namjerni uzorak se formira na osnovu subjektivnog suda istraživača Kvota uzorak Prigodan uzorak Dobrovoljan uzorak- Slučajni i stratifikovani objasnitiSlučajni uzorak- jedinice populacije se odabiru u uzorak slučajno pri čemu je moguće utvrditi vjerovatnoću izbora svake jedinice u uzorak Ovim tipom uzoraka moguće je vršiti pouzdane procjene procjene greške uzorka i karakteristike populacije Cilj je što više smanjiti grešku procjene Najčešće metode za izbor uzorka na osnovu vjerovatnoće su Jednostavni slučajni uzorak Sistematski uzorak Uzorak sa vjerovatnoćom proporcionalnom veličini Stratifikovani uzorak Uzorci skupina Višestepeni Višefazni Panel uzorci

Stratifikovani uzorak- Kada je osn skup heterogen treba ga podijeliti na karakteristične jasno razgraničene homogene podskupove (stratume) čije jedinice treba da budu što sličnije Potom se za svaki stratum određuje veličina uzorka i bira po jedan slučajni uzorak Na taj način se formira stratif uzorak koji je sastavljen od prostih slučajnih nezavisnih uzoraka od kojih je svaki izabran iz jednog stratuma Metoda izbora jedinica iz svakog stratuma može da bude različita (npr jednostavni slučajni stratifikovani uzorak) Najvažnije je odabrati kriterij za stratifikaciju prema kome formiramo relativno homogene i razgraničene stratume kojima obezbjeđujemo reprezentativnost i donošenje preciz zaključaka o osn skupu Prednosti ovog tipa su efikasnost i preciznost procjene karakteristika osn skupa- Statističko zaključivanje je Postupak donošenja zaključka o osnovnom skupu na osnovu uzorka- Metoda interferencijalne statistike je Procjena obiljžja osnovnog skupa na osnovu uzorka- Metoda procjene je Postupak kojim se na osnovu podataka iz uzorka vrši procjena parametara osn skupa- Procjenitelj ili estimator je Funkcija formula ili izraz koji se koristi za procjenu- Distribucija vjerovatnoće procjenitelja je Sve procjene dobivene na osnovu slučajnih uzoraka veličine n iz istog osn skupa koje su izračunate metodom procjene- Ocjena parametra osn skupa iz uzorka je nepristrasna ako je očekivana vrijednost (Xnadvučeno) parametra iz uzorka jednaka vrijednosti parametra iz osn skupa- Ocjena je pristrasna ako je ta vrijednost različita- Procjene obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka Procjenu obilježja osnovnog skupa q pomoću izračunate karakteristike iz uzorka ćemo vršiti pomoću intervalne procjene Izračunava se donja i gornja granica intervala u kojem se sa određenom vjerovatnoćom nalazi obilježje osnovnog skupa q Taj interval izražavamo na sljedeći način

Slučajni uzorak sa ponavljanjemVarijansa i standardna greška ocjene aritmetičke sredine skupa na osnovu uzorka sa ponavljanjem

Slučajni uzorak bez ponavljanjaU slučaju uzorka bez ponavljanja varijansa slučajne promjenljive je

Varijansu aritmetičkih sredina uzoraka od n elemenata možemo odrediti ako poznajemo varijansu i veličinu osnovnog skupaStandardna greška Standardnu devijaciju aritmetičkih sredina uzoraka nazivamo standardnom greškom

u ovom izrazu faktor predstavlja faktor korekcije za konačne osnovne skupove

Ako varijansa osnovnog skupa nije poznata njenu procjenu možemo vršiti na osnovu varijanse uzorka Za dobijanje nepristrasne ocjene varijanse se koristi izraz

Obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka ndash ukoliko je izabran adekvatan uzorak osnovni skup ima sva obilježja koja ima odabrani uzorak Iz tog proizilazi da ako analiziramo uzorak te identificiramo njegove osobine iste te osobine možemo primjeniti na osnovni skup

Šta je z i formulaz je vrijednost slučajne standardizovane varijable a izraz je

Određivanje intervala povjerenja- Intervalne procjene aritm sredine osnovnog skupa (kad je varijansa poznata grafikon 62 kad je nepoznata kad

je uzorak veći od 30 i manji od 30)

Ukoliko je poznata varijansa osnovnog skupa uvijek se koristi normalna distribucija (z) I računa se

a interval povjerenja je (x-z(1-α2) δx le micro le x + z(1-α2) δx)

Ukoliko je nepoznata varijansa osnovnog skupa koristi se studentova distribucija Sn-1(t) I računa se a interval povjerenja je (x-t(n-1)(1-α2) δx le micro le x + t(n-1)(1-α2) δx) osim kada je veličina uzorka VEĆA od 30 tada se ponovno koristi normalna distribucija (z)

HIPOTEZE- 6 koraka metoda provjere hipotezeEtape testiranja hipoteza1 formulisati nultu i alternativnu hipotezu2 odabrati kriterij na osnovu koga se vrši testiranje tjodgovarajuću statistiku testa i raspored vjerovatnoće3 odabrati nivo značajnosti testa4 formulisati pravila za odbcivanje ili prihvatanje nulte hipoteze5 odabrati uzorak i izračunati vrijednost statistike testa6 donošenje odluke

- Formulisanje hipoteza (dvosmjerni test na gornju i donju granicu)Nulta hipoteza je tvrdnja o vrijednosti parametra osn skupa koja se testiranjem nastoji osporiti Ovom hipotezom se tvrdi da je parametar osn skupa jednak nekoj pretpostavljenoj vrijednosti Svakoj nultoj se pridružuje alternativna hipoteza

Alternativna je pretpostavka koja se smatra tačnom i koju tokom testiranja treba potvrditi Testira se samo nulta hipoteza polazeći od pretpostavke da je istinita i nastoji se odbacitia) Dvosmjerna hipoteza i dvosmjerni test Hipoteza koju treba testirati nulta hipoteza Alternativna hipoteza

Dvosmjerni test ndash (α2 1- α2) postoji interval (vrijednost je data u intervalu)b) Jednosmjerni test na gornju granicu kritična oblast se nalazi na desnom kraju distribucuije

Test na gornju granicu ndash (1- α) data vrijednost će biti negativna ndash važno kod postavljanja hipoteze 0c) Jednosmjerni test na donju granicu kritična oblast se nalazi na lijevom kraju distribucuije

Test na donju granicu ndash (α) data vrijednost će biti pozitivna

- Odluke i greška tipa I i IIOdluke Nulta hipoteza je

prihvaćenaNulta hipoteza jeodbačena

Nulta hipoteza je istinita

Odluka je ispravna(1- α)

Napravljena je greška tipa I (α)

Nulta hipoteza nijeistinita

Napravljena je greška tipa II (β)

Odlukaje ispravna (1-β)

Stratifikovani uzorak- Kada je osn skup heterogen treba ga podijeliti na karakteristične jasno razgraničene homogene podskupove (stratume) čije jedinice treba da budu što sličnije Potom se za svaki stratum određuje veličina uzorka i bira po jedan slučajni uzorak Na taj način se formira stratif uzorak koji je sastavljen od prostih slučajnih nezavisnih uzoraka od kojih je svaki izabran iz jednog stratuma Metoda izbora jedinica iz svakog stratuma može da bude različita (npr jednostavni slučajni stratifikovani uzorak) Najvažnije je odabrati kriterij za stratifikaciju prema kome formiramo relativno homogene i razgraničene stratume kojima obezbjeđujemo reprezentativnost i donošenje preciz zaključaka o osn skupu Prednosti ovog tipa su efikasnost i preciznost procjene karakteristika osn skupa- Statističko zaključivanje je Postupak donošenja zaključka o osnovnom skupu na osnovu uzorka- Metoda interferencijalne statistike je Procjena obiljžja osnovnog skupa na osnovu uzorka- Metoda procjene je Postupak kojim se na osnovu podataka iz uzorka vrši procjena parametara osn skupa- Procjenitelj ili estimator je Funkcija formula ili izraz koji se koristi za procjenu- Distribucija vjerovatnoće procjenitelja je Sve procjene dobivene na osnovu slučajnih uzoraka veličine n iz istog osn skupa koje su izračunate metodom procjene- Ocjena parametra osn skupa iz uzorka je nepristrasna ako je očekivana vrijednost (Xnadvučeno) parametra iz uzorka jednaka vrijednosti parametra iz osn skupa- Ocjena je pristrasna ako je ta vrijednost različita- Procjene obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka Procjenu obilježja osnovnog skupa q pomoću izračunate karakteristike iz uzorka ćemo vršiti pomoću intervalne procjene Izračunava se donja i gornja granica intervala u kojem se sa određenom vjerovatnoćom nalazi obilježje osnovnog skupa q Taj interval izražavamo na sljedeći način

Slučajni uzorak sa ponavljanjemVarijansa i standardna greška ocjene aritmetičke sredine skupa na osnovu uzorka sa ponavljanjem

Slučajni uzorak bez ponavljanjaU slučaju uzorka bez ponavljanja varijansa slučajne promjenljive je

Varijansu aritmetičkih sredina uzoraka od n elemenata možemo odrediti ako poznajemo varijansu i veličinu osnovnog skupaStandardna greška Standardnu devijaciju aritmetičkih sredina uzoraka nazivamo standardnom greškom

u ovom izrazu faktor predstavlja faktor korekcije za konačne osnovne skupove

Ako varijansa osnovnog skupa nije poznata njenu procjenu možemo vršiti na osnovu varijanse uzorka Za dobijanje nepristrasne ocjene varijanse se koristi izraz

Obilježja osnovnog skupa na osnovu uzorka ndash ukoliko je izabran adekvatan uzorak osnovni skup ima sva obilježja koja ima odabrani uzorak Iz tog proizilazi da ako analiziramo uzorak te identificiramo njegove osobine iste te osobine možemo primjeniti na osnovni skup

Šta je z i formulaz je vrijednost slučajne standardizovane varijable a izraz je

Određivanje intervala povjerenja- Intervalne procjene aritm sredine osnovnog skupa (kad je varijansa poznata grafikon 62 kad je nepoznata kad

je uzorak veći od 30 i manji od 30)

Ukoliko je poznata varijansa osnovnog skupa uvijek se koristi normalna distribucija (z) I računa se

a interval povjerenja je (x-z(1-α2) δx le micro le x + z(1-α2) δx)

Ukoliko je nepoznata varijansa osnovnog skupa koristi se studentova distribucija Sn-1(t) I računa se a interval povjerenja je (x-t(n-1)(1-α2) δx le micro le x + t(n-1)(1-α2) δx) osim kada je veličina uzorka VEĆA od 30 tada se ponovno koristi normalna distribucija (z)

HIPOTEZE- 6 koraka metoda provjere hipotezeEtape testiranja hipoteza1 formulisati nultu i alternativnu hipotezu2 odabrati kriterij na osnovu koga se vrši testiranje tjodgovarajuću statistiku testa i raspored vjerovatnoće3 odabrati nivo značajnosti testa4 formulisati pravila za odbcivanje ili prihvatanje nulte hipoteze5 odabrati uzorak i izračunati vrijednost statistike testa6 donošenje odluke

- Formulisanje hipoteza (dvosmjerni test na gornju i donju granicu)Nulta hipoteza je tvrdnja o vrijednosti parametra osn skupa koja se testiranjem nastoji osporiti Ovom hipotezom se tvrdi da je parametar osn skupa jednak nekoj pretpostavljenoj vrijednosti Svakoj nultoj se pridružuje alternativna hipoteza

Alternativna je pretpostavka koja se smatra tačnom i koju tokom testiranja treba potvrditi Testira se samo nulta hipoteza polazeći od pretpostavke da je istinita i nastoji se odbacitia) Dvosmjerna hipoteza i dvosmjerni test Hipoteza koju treba testirati nulta hipoteza Alternativna hipoteza

Dvosmjerni test ndash (α2 1- α2) postoji interval (vrijednost je data u intervalu)b) Jednosmjerni test na gornju granicu kritična oblast se nalazi na desnom kraju distribucuije

Test na gornju granicu ndash (1- α) data vrijednost će biti negativna ndash važno kod postavljanja hipoteze 0c) Jednosmjerni test na donju granicu kritična oblast se nalazi na lijevom kraju distribucuije

Test na donju granicu ndash (α) data vrijednost će biti pozitivna

- Odluke i greška tipa I i IIOdluke Nulta hipoteza je

prihvaćenaNulta hipoteza jeodbačena

Nulta hipoteza je istinita

Odluka je ispravna(1- α)

Napravljena je greška tipa I (α)

Nulta hipoteza nijeistinita

Napravljena je greška tipa II (β)

Odlukaje ispravna (1-β)

Ukoliko je nepoznata varijansa osnovnog skupa koristi se studentova distribucija Sn-1(t) I računa se a interval povjerenja je (x-t(n-1)(1-α2) δx le micro le x + t(n-1)(1-α2) δx) osim kada je veličina uzorka VEĆA od 30 tada se ponovno koristi normalna distribucija (z)

HIPOTEZE- 6 koraka metoda provjere hipotezeEtape testiranja hipoteza1 formulisati nultu i alternativnu hipotezu2 odabrati kriterij na osnovu koga se vrši testiranje tjodgovarajuću statistiku testa i raspored vjerovatnoće3 odabrati nivo značajnosti testa4 formulisati pravila za odbcivanje ili prihvatanje nulte hipoteze5 odabrati uzorak i izračunati vrijednost statistike testa6 donošenje odluke

- Formulisanje hipoteza (dvosmjerni test na gornju i donju granicu)Nulta hipoteza je tvrdnja o vrijednosti parametra osn skupa koja se testiranjem nastoji osporiti Ovom hipotezom se tvrdi da je parametar osn skupa jednak nekoj pretpostavljenoj vrijednosti Svakoj nultoj se pridružuje alternativna hipoteza

Alternativna je pretpostavka koja se smatra tačnom i koju tokom testiranja treba potvrditi Testira se samo nulta hipoteza polazeći od pretpostavke da je istinita i nastoji se odbacitia) Dvosmjerna hipoteza i dvosmjerni test Hipoteza koju treba testirati nulta hipoteza Alternativna hipoteza

Dvosmjerni test ndash (α2 1- α2) postoji interval (vrijednost je data u intervalu)b) Jednosmjerni test na gornju granicu kritična oblast se nalazi na desnom kraju distribucuije

Test na gornju granicu ndash (1- α) data vrijednost će biti negativna ndash važno kod postavljanja hipoteze 0c) Jednosmjerni test na donju granicu kritična oblast se nalazi na lijevom kraju distribucuije

Test na donju granicu ndash (α) data vrijednost će biti pozitivna

- Odluke i greška tipa I i IIOdluke Nulta hipoteza je

prihvaćenaNulta hipoteza jeodbačena

Nulta hipoteza je istinita

Odluka je ispravna(1- α)

Napravljena je greška tipa I (α)

Nulta hipoteza nijeistinita

Napravljena je greška tipa II (β)

Odlukaje ispravna (1-β)