Statistique d’occupation des niveaux

molécule 1 molécule 2 molécule 3 molécule N

terminologie

,....),( 21 nn configuration

,....),( 21 nnW poids statistique

micro-état = une réalisation possible de la configuration ,....),( 21 nn

Hypothèses

• Tous les micro-états sont équiprobables

• État macroscopique observé: état le plus probable

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

931170240

1 MBW 46558512

10 86637,5 12 10 ,933192 13

Observation

• W maximal pour état de plus grand désordre

• État macroscopique correspond à lnW maximal avec contraintes:

i

Nni

i

En ii

Maxwell-Boltzmann: démonstration

kkk

kk

MB EnNnnnW - ,....),(lnG 21

Fonction auxiliaire à maximiser

Maxwell-Boltzmann: démonstration

kkk

kk

MB EnNnnnW - ,....),(lnG 21

Fonction auxiliaire à maximiser

k

kkkMB ngnNnnW )!ln(ln )!ln(,....),(ln 21

Maxwell-Boltzmann: démonstration

kkk

kk

MB EnNnnnW - ,....),(lnG 21

Fonction auxiliaire à maximiser

k

kkkMB ngnNnnW )!ln(ln )!ln(,....),(ln 21

kkkk nnnnNNNN ln)!ln( ln)!ln(

Formule de Stirling

Maxwell-Boltzmann: démonstration

kkk

kk

MB EnNnnnW - ,....),(lnG 21

Fonction auxiliaire à maximiser

k

kkkMB ngnNnnW )!ln(ln )!ln(,....),(ln 21

kkkk nnnnNNNN ln)!ln( ln)!ln(

Formule de Stirling

kkk

kk

kkkkkk EnNnnnngn - )ln(ln G

Formule de Stirling

lnN!(series 1) vs NlnN-N(series2)

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30 35

N

f(N

) Series1

Series2

[lnN!-(NlnN-N)]/lnN! (erreur relative de la formule de Stirling)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 5 10 15 20 25 30 35

N

% e

rre

ur

Maxwell-Boltzmann: démonstration

kkk

kk

kkkkkk EnNnnnngn - )ln(ln G

Maxwell-Boltzmann: démonstration

kkk

kk

kkkkkk EnNnnnngn - )ln(ln G

ieegnngn iiiii

i

0 )11 (lnlnG

Maxwell-Boltzmann: démonstration

kkk

kk

kkkkkk EnNnnnngn - )ln(ln G

ieegnngn iiiii

i

0 )11 (lnlnG

k

k

eg

NeNegen

kkk

kk

k

0G

Maxwell-Boltzmann: démonstration

kkk

kk

kkkkkk EnNnnnngn - )ln(ln G

ieegnngn iiiii

i

0 )11 (lnlnG

k

k

eg

NeNegen

kkk

kk

k

0G

i

k

eg

eg

N

n

ii

kk