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Prof. Ciro FAELLA Dipartimento di Ingegneria Civile
Università di Salerno
ORDINE DEGLI INGEGNERI ORDINE DEGLI INGEGNERI Corso di aggiornamento sulla normativa sismicaCorso di aggiornamento sulla normativa sismica
Gennaio 2007 Gennaio 2007 –– marzo 2007marzo 2007
STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI
Analisi strutturaleAnalisi strutturale
H
B
Idealizzazione struttura e dimensionamento elementi strutturali
Calcolo delle sollecitazioni
Verificas
σs'/n
NCc
As
nyc
A's
eεs
n
εs σs /n
'εc σc
L’analisi è governata
dal comporta-mento dei materiali
Analisi a livello di sezioneAnalisi a livello di sezione
H
B
Verificas
σs'/n
NCc
As
nyc
A's
eεs
n
εs σs /n
'εc σc
Dimensionamento elementi strutturali
Ipotesi di elasticità lineare dei materiali
A.ε
σ
Ipotesi di non linearità meccanica dei materiali
B.ε
σ
Ipotesi di base nel metodo Ipotesi di base nel metodo delle tensioni ammissibilidelle tensioni ammissibili
• Conservazione delle sezioni piane• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo
in zona compressa e dell’armatura• Aderenza tra acciaio e calcestruzzo• Trascurabilità della resistenza a trazione
del calcestruzzo
Metodo delle tensioni ammissibiliLegami costitutivi dei materiali
Le tensioni e le deformazioni nei materiali vengono limitate a valori bassi
si assume valida l’ipotesi di elasticità lineare dei materiali
s
σs'/n
NCc
As
nyc
A's
eεs
n
εs σs /n
'εc σc
CalcestruzzoRck
400
σc
122.5
72.5εc
0.00034
0.00029 200
AcciaioFeB44k
σsFeB38k
2600
2200εs
0.0012
0.0010
Esempio della sezione a semplice armatura inflessa
−
σ=
32ccc
rcyd b yM
−σ=
3 c
ssrsydAM
calcolo dello stato tensionale nell’ipotesi di elasticità lineare
Equilibrio alla rotazione:
Equilibrio alla traslazione nella direzione dell’asse dell’elemento:
0 1
=σ⋅+σ ∑∫=
s
r
n
ii,si,sA r AdA
Metodo delle tensioni ammissibiliMetodo delle tensioni ammissibili
0 1
,, =
⋅+∫ ∑
=r
s
A
n
iisisrn
c
c AndAyy
σσ
c
nc
yy⋅
=σσ0=nS
++−⋅=
s
sc An
b db
n Ay 211
Legami costitutivi dei materialiLegami costitutivi dei materialiStati limite ultimi per tensioni normali
• Deformazione ultima del calcestruzzo:
00350.cu =ε
01000.su =ε
Cosa si intende per Stato Limite Ultimo di una sezione?Lo stato limite ultimo di una sezione è individuato dal raggiungimento della massima deformazione del calcestruzzo compresso o dell’acciaio teso.
As
yc
A's
εsn
'εc εcu<
εs =0.010εsu=
• Deformazione ultima dell’acciaio:
As
yc
A's
n
εs'
εs εsu<
εc εcu= =0.0035
n
• Conservazione delle sezioni piane• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo in zona compressa e
dell’armatura• Aderenza tra acciaio e calcestruzzo• Trascurabilità della resistenza a trazione del calcestruzzo
• Deformazione massima del calcestruzzo pari –0.0035 nel caso di flessione semplice e composta con asse neutro interno alla sezione, e variabile da detto valore fino a –0.002 per asse neutro esterno alla sezione
• Deformazione massima dell’armatura tesa pari a +0.010
Ipotesi di base negli Ipotesi di base negli stati limite ultimistati limite ultimi
200
Si considera lo stato tensionale corrispondente alle deforma-zioni ultime dei materiali
Occorre definire un legame costitutivo dei materiali accurato fino alla condizione ultima
Stati limite ultimi per tensioni normali
CALCESTRUZZO ACCIAIO
Stati limite ultimit.a.Stati limite ultimi
t.a.
0.0035 0.010
Legami costitutivi dei materialiLegami costitutivi dei materiali
Legami costitutivi dei materiali:Legami costitutivi dei materiali:• Il legame σ-ε è non lineare fin
da valori modesti della deformazione
• Dopo il valore massimo della resistenza il legame σ-εprocede con un tratto decrescente la cui pendenza aumenta all’aumentare della resistenza
• Il valore della deformazione massima aumenta al diminuire della resistenza
• La deformazione corrispon-dente alla tensione massima è pressoché costante al variare della resistenza del cls
ilil calcestruzzocalcestruzzo
f'c
0.4 fc
ε c1 ε cu
EcEo
ε c
σc
• (introdotta per la prima volta a livello di codici dal CEB nel Model Code del 1976
• EUROCODICE 2 “progettazione delle strutture in c.a.)
1/ cεε=ε
cc
cff
Ek*
10σ
=ε⋅
=( ) cfk
k⋅
ε⋅−+ε−ε
=σ21
2
( ) ( )0037.00029.0400/1500008.00037.0 ÷=−⋅−=ε ccu f
0022.01=εc
cEE ⋅= 1.10
Diagramma per l’analisi strutturale: analisi non lineare o analisi plastica
Legami costitutivi dei materiali:Legami costitutivi dei materiali:il calcestruzzo: legge di il calcestruzzo: legge di SaenzSaenz
Legame costitutivo del calcestruzzo per il Legame costitutivo del calcestruzzo per il progetto e verifica della sezione trasversaleprogetto e verifica della sezione trasversale
f'cd
0.0020 0.0035
σc
εc
Norme contenute nello stesso Decreto 9/1/1996
EUROCODICE 2 con modifiche ed integrazioni
A) Diagramma parabola-rettangolo
B) Stress block
Diagramma parabola-rettangolo
cdf ′⋅ε⋅−⋅ε⋅=εσ )2501(1000)( 0020.<ε
cdf ′=εσ )( 003500020 .. ≤ε≤
Si considera allo s.l.u. un diagramma tensionale costante con tensione pari a f’cd esteso alla parte di sezione compresa tra il bordo più compresso e y’c :Asse neutro interno alla sezione
h d
b
As
A's
d'
yc
d - yc
f'cd
yc0.8
ε
cc y.y ⋅=′ 80
h d
b
As
A's
d'
yc
ε f'cd
y'c
Asse neutro esterno alla sezione
hh.yh.yy
c
cc ⋅
⋅−⋅−
=′750800
Stress Block
h d
b
As
A's
d'
yc
d-yc
f'cd
yc0.8
ε f'cdf'cd
Stress Block
Curva di Saenz
Curva di Saenz
Parabola-rettangolo
Parabola-rettangolo
ε c1 0.0035
f'cd
fck
σc
εc
Ecd
5.183.0 ck
c
ckcdcd
Rfff ⋅==⋅=′ α
γαα
Coeff. γc - Stati limite ultimi (Decreto 9/1/1996)
γc=1.5 c.a.p.
γc=1.6 c.a. e c.a.p. con pre-compressione parziale
Differenti modelli per il calcestruzzo85.0=α
α=0.80 nel caso di STRESS BLOCK con sezione di larghezza crescente dalla fibra maggiormente compressa verso l’asse neutro
L’acciaioL’acciaioε=0.010
ε =0.0035
fsd = fsyγs
fsy
σs
εs
fsd = fsyγsfsy
Es
stf
Analisi globale
fsd = fsyγs
fsy
fsd = fsyγsfsy
Esε=0.010ε =0.0035
σs
εs
Progetto della sezione
Coeff. γs - Stati limite ultimi (Decreto 9/1/1996)
γs=1.15
Legami costitutivi dei materialiLegami costitutivi dei materiali
• Deformazione ultima del calcestruzzo:
00350.cu =ε
01000.su =ε
• Deformazione ultima dell’acciaio:
0020.0' =cuε
Possibili condizioni limiti della sezione generica
43
6
-10
23.5
y 2,3
y 3,4
y 4,5
y c=
y c=-
A
B
C5
2
1
yc
εs=εsu
yc
εs=εsu
εc
yc
εs<εsu
εc
εs
=εcu
yc
s<ε sd
εc
ε
=εcu
=f /Esd s
yc
s>0
εc
ε
=εcu
yc
s>0
εc
ε
=0.002
3/7H
( )dh..
.y , ′−⋅+
=00350010
0035032
( ) ( )dhEf
yssd
′−⋅+
=0035.0/
0035.04,3
f /Esd s
0<<−∞ cy
320 ,c yy <<
4332 ,yyy c, <<
dyy c, <<43
hyd c <<
+∞<< cyh
ZONE POSIZIONE ASSE NEUTRO
STATI DI SOLLECITAZIONE
1 (tenso flessione o trazione pura)
2 (tenso-pressoflessione/flessione)
3 (tenso-pressoflessione/flessione)
4 (tenso-pressoflessione/flessione)
5 (presso flessione)
6 (presso flessione/compr. sempl.)
43
6
-10
23.5
y 2,3
y 3,4
y 4,5
y c=
y c=-
A
B
C5
2
1
f /Esd s
Stati di sollecitazione
Equazioni di equilibrio alla traslazione ed Equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione intorno all’asse alla rotazione intorno all’asse baricentricobaricentrico
h
b
Asi
yc
G
y
σsiεsi
Nc
λ yc
σc (y)
εc
h2
di
( ) NAdyyb si
n
isi
yc =⋅+⋅ ∑∫=
σσ1
0
( ) ( )[ ] ( )[ ] MeNhdAdyyyhyb isi
n
isic
yc =⋅=−⋅⋅++−⋅⋅ ∑∫=
2/2/1
0σσ
Equilibrio alla traslazione:
Equilibrio alla rotazione intorno all’asse baricentrico:
Ponendo:
Si ottiene:
∑ =σ⋅+′⋅ψ⋅⋅=
n
isisicdc Afyb
1
( )[ ] ( )[ ]∑ −σ⋅+λ−′⋅ψ⋅⋅=
n
iisisiccdc hdAyhfyb
12/2/
( )
cdc
y
fy
dyyc
′⋅
σ=ψ
∫0( ) ( )
( )
( )
′⋅ψ⋅
⋅σ−=
σ
−⋅σ=λ
∫∫
∫cc
y
y
yc
c fy
dyyy
dyy
dyyyy
y
c
c
c
20
0
0 11
uN
uGM=
Equazioni di equilibrio alla traslazione ed Equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione intorno all’asse alla rotazione intorno all’asse baricentricobaricentrico
( )
cdc
y
fy
dyyc
′⋅
σ=ψ
∫0 ( ) ( )
( )
( )
′⋅ψ⋅
⋅σ−=
σ
−⋅σ=λ
∫∫
∫cc
y
y
yc
c fy
dyyy
dyy
dyyyy
y
c
c
c
20
0
0 11
h
b
Asi
yc
G
y
σsiεsi
Nc
λ yc
σc (y)
εcu
h
2
di
f'cd
Coefficienti Coefficienti ψψ e e λλ
ψψ λλξξ νν µµcGcCoefficienti Coefficienti ψψ e e λ λ sezione rettangolaresezione rettangolare
0.05 0.2401 0.3413 0.0120 0.00580.06 0.2852 0.3433 0.0171 0.00820.07 0.3291 0.3453 0.0230 0.01100.08 0.3718 0.3475 0.0297 0.01400.09 0.4130 0.3498 0.0372 0.01740.10 0.4527 0.3523 0.0453 0.02100.11 0.4907 0.3550 0.0540 0.02490.12 0.5269 0.3578 0.0632 0.02890.13 0.5611 0.3610 0.0729 0.03300.14 0.5931 0.3644 0.0830 0.03730.15 0.6228 0.3681 0.0934 0.04160.16 0.6500 0.3721 0.1040 0.04580.17 0.6745 0.3765 0.1147 0.05000.18 0.6963 0.3813 0.1253 0.05410.19 0.7158 0.3861 0.1360 0.05800.20 0.7333 0.3909 0.1467 0.06190.21 0.7492 0.3956 0.1573 0.06560.22 0.7636 0.4001 0.1680 0.06920.23 0.7768 0.4044 0.1787 0.07270.24 0.7889 0.4086 0.1893 0.07610.25 0.8000 0.4125 0.2000 0.07940.30 0.8095 0.4160 0.2429 0.09110.40 0.8095 0.4160 0.3238 0.10800.50 0.8095 0.4160 0.4048 0.11820.60 0.8095 0.4160 0.4857 0.12160.70 0.8095 0.4160 0.5667 0.11830.80 0.8095 0.4160 0.6476 0.10830.90 0.8095 0.4160 0.7286 0.09151.00 0.8095 0.4160 0.8095 0.06801.10 0.8620 0.4428 0.8620 0.04931.20 0.8955 0.4583 0.8955 0.03731.30 0.9181 0.4681 0.9181 0.02931.40 0.9341 0.4748 0.9341 0.02351.50 0.9458 0.4795 0.9458 0.01941.75 0.9644 0.4868 0.9644 0.01272.00 0.9748 0.4908 0.9748 0.00902.50 0.9855 0.4947 0.9855 0.00523.00 0.9906 0.4966 0.9906 0.00343.50 0.9934 0.4976 0.9934 0.00244.00 0.9951 0.4982 0.9951 0.00174.50 0.9962 0.4987 0.9962 0.00135.00 0.9970 0.4989 0.9970 0.0011
Diagramma Parabola-rettangolo
Stress blockψ = 0.8 λ = 0.4
/275.080.0 ψλψ =
⋅−⋅−
=hyhy
c
c
43
6
-10
23.5
y 2,3
y 3,4
y 4,5
y c=
y c=-
A
B
Cyc
52
1
Andamento dei coefficienti Andamento dei coefficienti ψψ e e λλ
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ξ
PARABOLA-RETTANGOLO
STRESS BLOCK
ψ
νc
λ
µCG
ψ νc,
Zone 1,2,3:
43
6
-10
23.5
y 2,3
y 3,4
y 4,5
y c=
y c=-
A
B
Cyc
52
1
f /Esd s
sdss
sds f
Ef ′−=σ⇒≥ε
Zone 4,5:
( )cc
s ydy
−⋅−=0035.0ε
sss E εσ =
Zona 6:
sss E ε⋅=σ
( )dyhy
c
c
s −⋅
⋅−
=ε
73
002.0
Tensione nelle armature teseTensione nelle armature tese
Zone 1,2’:
43
6
-10
23.5
y 2,3
y 3,4
y 4,5
y c=
y c=-
A
B
Cyc
52
1
f /Esd s
sdss
sds f
Ef ′=′⇒
′≥′ σε
Zone 2”,3,4,5:
( )cc
s ydyd
−′⋅−
−=′ 01.0ε
sss E εσ ′=′
Zona 6:
2'
f /Esd s
2''
Tensione nelle Tensione nelle armature compressearmature compresse
sdss
sds f
Ef ′=′⇒
′≥′ σε
fsd
fsd
fsd
fsd
fsd
Es⋅εs ;-fsd
0.8 – 1.00.80.80.80.80
ψ
0.4 – 0.5Es⋅εs ; fsd60.4Es⋅εs50.4Es⋅εs40.4-fsd30.4-fsd20-fsd1
λZona 'sσsσ
uGssssccdc
usssscdc
MdAdAyhfyb
NAAfyb
=
−⋅σ⋅−
−⋅σ⋅+
⋅λ−⋅′⋅ψ⋅⋅
=σ⋅+σ⋅+′⋅ψ⋅⋅
''2
''
''
2h
2h
)( duddu MNNMM ≤⇒=
)( dudd
ddu eNN
NMee ≤⇒===
Verifica tipo B:
Verifica tipo C:
)( duddu NMMNN ≤⇒=Verifica tipo A:
Mu
NNd
Md
Mu(Nd) (Nu, M u)
N (M )u d
e =cost
d
u
Sezione rettangolare: verificaSezione rettangolare: verifica
Sezione rettangolare: verificaSezione rettangolare: verificaEscludendo la zona 1(relativa alla tensoflessione) e la zona 6 di scarso interesse per ragioni di duttilità, applicando lo Stress block si ha:
a) armatura compressa in campo elastico:L’equazione determinatrice dell’asse neutro si presenta nella forma seguente:
( ) usdscc
sscdc NfAdyyd
.EAfyb. =⋅−′−⋅−
⋅⋅′+′⋅⋅⋅01080
cdfb.a ′⋅⋅= 802
( )usdssscd NfAEA.fdb.a +⋅+⋅′⋅+′⋅⋅⋅−= 010801
dNdfAdEA.a usdsssd ⋅+⋅⋅+′⋅⋅′⋅= 0100
che risulta una equazione di 2° grado in yc con coefficienti a2, a1, a0, forniti dalle seguenti relazioni
Equilibrio alla traslazione (determinazione posizione asse neutro):
Sezione rettangolare: verificaSezione rettangolare: verificab) armature entrambe snervate:
L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa:
usdssdscdc NfAfAfyb. =⋅−⋅′+′⋅⋅⋅80
cd
sdssdsuc fb.
fAfANy′⋅⋅
⋅′−⋅+=
80c) armatura inferiore in campo elastico:
L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa:
( ) ucc
sssdscdc Nydy
.EAfAfyb. =−⋅⋅⋅−⋅′+′⋅⋅⋅0035080
che risulta una equazione di 2° grado in yc con coefficienti a2, a1, a0, forniti dalle seguenti relazioni
cdfb.a ′⋅⋅= 802 usssds NEA.fAa −⋅⋅+⋅′= 003501 dEA.a ss ⋅⋅⋅−= 003500
Equilibrio alla rotazione intorno al baricentro:
′−⋅σ⋅−
′−⋅σ′⋅′+
⋅λ−⋅′⋅⋅⋅ψ= dhAdhAyhfybM ssssccdcuG 222
Verifica allo stato limite ultimo della sezione in corrispondenza dell’appoggio B, soggetta al momento flettente Md = -30000 kgm
Determinazione della posizione dell’asse neutro:si supponga inizialmente di essere nella zona in cui le armature sono entrambe snervate.L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa, utilizzando il diagramma “stress-block” per il calcestruzzo:
080 ==⋅−⋅′+′⋅⋅⋅ usdssdscdc NfAfAfyb.Cls: Rck=250 kg/cmq – acciaio: FeB38k
Esempio di verifica di sezione Esempio di verifica di sezione rettangolare a flessione semplicerettangolare a flessione semplice
BA C Resistenze di calcolo del calcestruzzo e dell’acciaio:
2/1106.1
83.085.085.0 cmkgRff ck
c
ckcd =
⋅==′
γ
2/330415.1
3800 cmkgf
fs
yksd ===
γ
ψ
I limiti della zona in cui le armature sono snervate sono:( )
( ) cm0612003304/21000010
53010566003304/21000)/(010
010)/(22 .
....
Ef.d.dEfy
ssd
ssd, =
⋅⋅+⋅
=⋅
′⋅+⋅=′′′
cm8845)53(7000350000)(3304/2100
00350)(00350)/(
0035043 ..
..dh
.Ef.yssd
, =−⋅+
=′−⋅+
=
per cui si ricade nella zona con l’armatura compressa in campo elastico:
22 ′′′< ,yyc
In tale zona l’equazione determinatrice della posizione dell’asse neutro è:
0)(01080 ==⋅−′−⋅−
⋅⋅′+′⋅⋅⋅ usdscc
sscdc NfAdyyd
.EAfyb.
cui segue
cm32111104080
33040243304081680
..
..fb.
fAfAy
cd
sdssdsc =
⋅⋅⋅−⋅
=′⋅⋅⋅′−⋅
=
che diventa un’equazione di II grado in yc
0012
2 =+⋅+⋅ ayaya cc
dove
35201104080802 =⋅⋅=′⋅⋅= .fb.a cd
371628)03304081621000000240101105664080()001080(1
−=−⋅+⋅⋅++⋅⋅⋅−=−⋅+⋅′⋅+′⋅⋅⋅−=
.....NfAEA.fdb.a usdssscd
38285030566330408165321000000240100100
=+⋅⋅++⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+′⋅⋅′⋅=
.....dNdfAdEA.a usdsss
Risulta
038285033716283250 2 =+⋅−⋅ cc yy
cm571135202
3828503352043716283716282
4 22
.A
ACBByc =
⋅⋅⋅−−
=−−−
=
Il momento ultimo si ricava dall’equazione di equilibrio alla rotazione, che per la zona in esame è la seguente:
′−⋅σ⋅−
′−⋅σ′⋅′+
⋅−′⋅⋅⋅= dhAdhAy.hfyb.M ssssccdcuG 22
402
80
dove
2kg/cm3304−=−= sds fσ
2kg/cm3085
)535711(5711566
0102100000)(010
=
=−⋅−
⋅=′−⋅−
⋅=ε′⋅=σ′ ....
.dyyd
.EE cc
ssss
( ) ( )kgm33011kgcm3301138)5335(
33040816533530850245711403511057114080==−⋅
⋅⋅+−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=.
.......M Gu
Si osserva infine che l’asse neutro allo s.l.u. è nella zona 2:
=ξ<===ξ
hd
hyc
u 259.0165.070
57.113,2
Il momento ultimo vale, pertanto:
per cui la verifica è soddisfatta, essendo:
kgmMkgmM uGd 33000 30000 =<=
In assenza di armatura in compressione non occorre verificare se l’armatura compressa è snervata o meno. Si può direttamente valutare il momento ultimo.
Trascurando l’armatura in compressione, il procedimento diventa molto più agevole. Infatti per l’asse neutro si ottiene:
cm09.15110408.0
330408.168.0
=⋅⋅
⋅=
′⋅⋅⋅
=cd
sdsc fb
fAy
( )
m) 33011 a inferiore e(lievement
m )(
daN
daNcmdaNM Gu
32120017.212.35.335330408.1609.154.03511009.15408.0
==−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=
Domini di resistenza Domini di resistenza adimensionalizzatiadimensionalizzati
cd
uu fhb
N′⋅⋅
=νcd
,u,u
fhb
M GG
′⋅⋅=µ
2( ) ( )
cd
sdssfhb
fAA′⋅⋅
⋅′=ω′ω
δ′−=′−
=′=δ′=ξ 1/;/;/h
dhhdhdhyc
Adimensionalizzazione
Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione diventano:
usd
s
sd
sff
ν=σ
⋅ω+σ′
⋅ω′+ξ⋅ψ
G,usd
s
sd
sff
µ=
δ′−
⋅
σ⋅ω−
δ′−
σ′
⋅ω′+
ξ⋅λ−
⋅ξ⋅ψ
21
21
21
Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali nell’equazione di equilibrio alla traslazione:
ucd
n
i sdsdcd
sisi
cd
cdcfhbN
fffhbA
fhbfyb
ν=′⋅⋅
∑ =′⋅⋅
σ⋅+
′⋅⋅′⋅ψ⋅⋅
=1 )/(
Domini di resistenza Domini di resistenza adimensionalizzatiadimensionalizzatiu
sd
s
sd
sff
ν=σ
⋅ω+σ′
⋅ω′+ξ⋅ψ G,usd
s
sd
sff
µ=
δ′−
⋅
σ⋅ω−
δ′−
σ′
⋅ω′+
ξ⋅λ−
⋅ξ⋅ψ
21
21
21
d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00
-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000
0.25
0.50
0.75
1.00
νu
µu
DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
ω=0.5
1 1, −=′−−= ωων u 021
21
1, =
′−⋅+
′−⋅′−= δωδωµ Gu
−∞=ξ
h
As
A's
ε =0.010su
ε =0.010su
0=ξ
h
b
As
A's
ε =0.010su
ε's
15.021
21
101.0
21,, =
′−⋅+
′−⋅⋅′
′−⋅′−= δωδδ
δωµ
sd
su f
EG66.0
101.0
21,, −=−⋅′′−
⋅′−= ωδδ
ωνsd
su f
E
)1(259.032,
δξξ
′−⋅=
==
h
b
As
A's
ε =0.010su
ε'sεcu=0.0035
yc
20.032,, =−′+= ωωξψν u53.0
21
21
21
32,, =
′−⋅+
′−⋅′+
−⋅= δωδωξλξψµ Gu
43,ξ=ξ
52.043,, =−′+= ωωξψν u 57.021
21
21
43,, =
′−⋅+
′−⋅′+
−⋅= δωδωξλξψµ Gu
h
b
As
A's
ε =su
ε'sεcu=0.0035
y =yc
f /Esd s
3,4
δ′−=ξ=ξ 154,
26.154,, =′+= ωξψν u 32.021
21
54,, =
′−⋅′+
−⋅= δωξλξψµ Gu
h
b
As
A's
εs
ε'sεcu=0.0035
y =yc 4,5
=0
165 =ξ=ξ ,
35.10035.065,, =⋅′⋅+′+=sd
su f
Eδωωψν 28.0210035.0
21
21
65,, =
′−⋅⋅′⋅−
′−⋅′+
−⋅= δδωδωλψµ
sd
su f
EG
h
As
A's
εs
ε'sεcu=0.0035
y =yc 5,6
+∞=ξ
0.216 =′++= ωων u 021
21
6, =
′−⋅−
′−⋅′= δωδωµ Gu
h
b
As
A's
εs
ε'sεcu=0.0020
y =c 8
0.800.700.600.500.400.300.200.10
ωNORMATIVA
SAENZ
Domini di resistenza Domini di resistenza adimensionalizzatiadimensionalizzati
d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00
-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000
0.25
0.50
0.75
1.00
νu
µu 0.800.700.600.500.400.300.200.10
DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
ω
ξ=0
ξ=ξ2,3 ξ=ξ3,4
ξ=ξ4,5
ξ=ξ5,6
Confronto Tensioni AmmissibiliConfronto Tensioni Ammissibili--Stati Limite Stati Limite Ultimi in termini di Dominio ResistenteUltimi in termini di Dominio Resistente
d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00
-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000
0.25
0.50
0.75
1.00
νu
µu
0.80
0.40
0.10
ω
ξ=0
ξ=ξ2,3 ξ=ξ3,4
ξ=ξ4,5
ξ=ξ5,6
Stati limite Ultimi
Tensioni ammissibilif'cd
Nb h
Mb h2
f'cd
1.5
1.5
0.700.600.50
0.300.20
Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione informa adimensionale risultano:
Sezione rettangolare: problemi di Sezione rettangolare: problemi di progetto in flessione e progetto in flessione e pressoflessionepressoflessione
usd
s
sd
sff
ν=σ
⋅ω+σ′
⋅ω′+ξ⋅ψ
Gusd
s
sd
sff
µ=
δ′−⋅
σ⋅ω−
δ′−⋅
σ′⋅ω′+
ξ⋅λ−⋅ξ⋅ψ
21
21
21
( ) ( ) usd
sf
µ=δ′−⋅σ′
⋅ω′+ξ⋅λ−δ′−⋅ξ⋅ψ 211
Traslazione
Rotazione intorno al baricentro
Rotazione intorno all’armatura tesa
Flessioneprogetto di h(b) ed As con b(h) ed il rapporto delle armature assegnatiprogetto di As e A′s con b ed hassegnati
A
B
Pressoflessioneprogetto di h(b) ed As noti b(h) e le percentuali meccaniche di armatura progetto della sezione e delle arma-ture mediante abachi (1/νu)-(e/h)
A
B
usd
s
sd
sff
ν=σ
⋅ω+σ′
⋅ω′+ξ⋅ψ ( ) ( ) usd
sf
µ=δ′−⋅σ′
⋅ω′+ξ⋅λ−δ′−⋅ξ⋅ψ 211
( ) ( )[ ]sdssds ff // σ′⋅ρ+σ−
ξ⋅ψ=ω ( )
( ) ( )[ ]( ) u
sd
s
sdssds fffµ=δ′−⋅
σ′⋅
σ′⋅ρ+σ−
ξ⋅ψ⋅ρ+ξ⋅λ−δ′−⋅ξ⋅ψ 211
//
( ) ( )ξµ+ξµ=′⋅⋅
=µ ρccd
uu
fhbM2
( )[ ] sd
cd
sdssdssd
cds f
fhbfff
fhbA′⋅⋅
⋅σ+σ′⋅ρ−
ξ⋅ψ=
′⋅⋅⋅ω=
// sd
cdu
cd
cd
sd
us f
fhbfhbfhb
fhMA
′⋅⋅⋅
ζµ
=′⋅⋅′⋅⋅
⋅⋅⋅ζ
=
s
sAA′
=ωω′
=ρ
( )( ) ( )[ ]ξµ+ξµ⋅′
=ρξδ′′=
ρccd
sdcduuf
,,,f,frr 1
( ) ( )[ ] bMr
bM
fh u
uu
ccd
⋅=⋅ξµ+ξµ⋅′
=
ρ
1
2
2
h
Mrb uu ⋅=
( ) ( )ω
ξµ+ξµ=
ωµ
=ζ pcusd
us fh
MA⋅⋅
=ζ
Flessione: progetto di Flessione: progetto di hh o o bb ed ed AAss mediante Tabellemediante Tabelle
( )ρξδ ,,,, ′′= sdcduu ffrrb
Mrh uu ⋅= 2
2
h
Mrb uu ⋅=
sd
us fh
MA⋅⋅
=ζ
( )ρξδζζ ,,,, ′′= sdcd ff
progetto di h ed As con b ed il rapporto delle armature assegnati
A
progetto di b ed As con h ed il rapporto delle armature assegnati
B
Verifica delle sezioni inflesseC
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ξ
0.25
0.50
0.75
1.00
ρ0.00
ru
ζ
AtotC
Flessione: progetto di Flessione: progetto di hh o o bb ed ed AAss mediante Tabellemediante Tabelle
( )ρξδ ,,,, ′′= sdcduu ffrr
( )ρξδζζ ,,,, ′′= sdcd ff
Coefficienti Coefficienti rruu e e ζζ
Esempio di progetto di Esempio di progetto di sezione rettangolare a sezione rettangolare a
flessione sempliceflessione semplice
L1 L2
lunghezza campate: L1= 4.2 ml;
L2 = 5.3 ml;
base: b = 40 cm;
carico permanente: gk = 4200 kg/m
carico accidentale: qk = 2080 kg/m
- calcestruzzo: Rck = 250 kg/cm2
- acciaio: FeB38k
L1 L2
progetto dell’altezza h della sezionee dell‘armatura
Amplificando i carichi caratteristici secondo i coefficienti parziali di sicurezza γg = 1.4 e γq = 1.5, si ottiene il carico di progetto:
kg/m90002080514200415141 =⋅+⋅=⋅+⋅= ..q.g.q kkd
Il momento massimo lungo la trave si ha in corrispondenza dell’appoggio intermedio e vale:
kgm26404)(81
21
32
31 −=+
+⋅−=
LLLLqM d
d,B
Si esegue il progetto tabellare dell’altezza della sezione. La resistenza di progetto ridotta per calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 risulta essere
2kg/cm11061
250830850=
⋅⋅=′
...fcd
2kg/cm110=′cdf 050/ .hd =′, , 2kg/cm3304151/3800 == .f sd
si ricavano i valori dei coefficiente ru e ζ:
846.0)0,3304,05.0/,110(2302.0)0,3304,05.0/,110(
====′=′====′=′
ρζρ
sdcd
sdcdu
fhdffhdfr
e quindi l’altezza minima della sezione:
cm1459400
2640423020 ..
.b
Mrh du =⋅=⋅=
ξ ru h[cm]
0.15 0.3239 83.220.20 0.2635 67.700.25 0.2302 59.140.30 0.2128 54.670.35 0.1995 51.25
Adottando, in fase di dimensionamento un asse neutro di progetto ξ = 0.25, che assicura buoni requisiti di duttilità, dalla tabella di progetto allo s.l.u. per sezione rettangolare a semplice armatura relativa ad
Per confronto si esegue il progetto della sezione secondo il metodo delle tensioni ammissibili. In questo caso si considerano direttamente i carichi caratteristici:
kg/m628020804200 =+=+= kk qgq
per cui il momento massimo in corrispondenza dell’appoggio B vale:
kgm184243524
)3524(628081 33
=+
+⋅⋅=
....M B
2 74.15330460 846.0
2640400 cmfh
MAsd
us =
⋅⋅=
⋅⋅=
ζ
L’armatura minima richiesta risulta:
La tensione ammissibile per Rck = 250 kg/cm2 vale . Dalla tabella di progetto alle t.a. di sezioni rettangolari a semplice armatura si ottiene:
878.0)15;05.0/;2200;85(270.0)15;05.0/;2200;85(
===′==′===′==
nddnddr
sc
sc
σσζσσ
2kg/cm85=σc
Assumendo per l’altezza della sezione h = 65 cm (lievemente superiore al valore ottenuto dal progetto agli s.l. con ξ = 0.25) si ottiene la seguente armatura di progetto:
238.15220062878.0
1842400 cmdMA
sds
=
⋅⋅=
σ⋅⋅ζ=
da cui risulta
cm58400
184242700 =⋅=⋅=.
.b
Mrd B cm61358 =+=′+= ddh
La soluzione è sostanzialmente identica a quella ottenuta agli s.l.u.. Tuttavia con il progetto agli s.l.u. sono possibili molte altre soluzioni con altezze variabili tra 51 ed 83 cm, pur con asse neutro in zona duttile (0.15≤ ξ ≤ 0.35).
PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione rettangolaresezione rettangolare
Il problema del progetto dell’altezza e dell’armatura può essere condotto in analogia al caso del metodo delle tensioni ammissibili, determinando diagrammi che legano le variabili 1/νu ed e/h, essendo e l’eccentricità fornita dal rapporto MuG/Nu.
usd
s
sd
sff
ν=σ
⋅ω+σ′
⋅ω′+ξ⋅ψ
Gusd
s
sd
sff
µ=
δ′−⋅
σ⋅ω−
δ′−⋅
σ′⋅ω′+
ξ⋅λ−⋅ξ⋅ψ
21
21
21
Traslazione
Rotazione intorno al baricentro
( ) ( )sdssdsu ff //11
σ⋅ω+σ′⋅ω′+ξ⋅ψ=
ν
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )sdssds
sdssds
u
u
ffff
heG
//2/1/2/1/2/1
σ⋅ω+σ′⋅ω′+ξ⋅ψ
δ′−⋅σ⋅ω−δ′−⋅σ′⋅ω′+ξ⋅λ−⋅ξ⋅ψ==
νµ
Si ottiene:
PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione rettangolaresezione rettangolare
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
1/
e/h
νud'/h = 0.05
SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
0.050.100.200.300.400.500.600.700.80
ω ω = '
ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15
PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione rettangolaresezione rettangolare
Progetto della sezione (b, h)
Fissata le percentuali delle armature superiore ed inferiore (uguali negli abachi forniti), e note le sollecitazioni, si impone un valore di progetto del carico assiale limite, che dipende essenzialmente dalla duttilità che si intende conferire all’elemento progettato; sulle curve (1/νu, e/h) relative alle prefissate percentuali ω ed ω′ si leggono i valori di η = e/h corrispondenti; essendo nota la eccentricitàdi progetto e, si possono ricavare l’altezza h e la base b della sezione mediante le relazioni:
cdu
ufh
Nbeh⋅⋅ν
=η
= ,sd
cdss f
fhbAA′⋅⋅⋅ω
=′=
Progetto delle armature
Fissate la geometria della sezione e le caratteristiche dei materiali e note le sollecitazioni, si calcolano preliminarmente i valori adimensionali e/h e νu; negli abachi il punto di coordinate (1/νu, e/h) permette per interpolazione di determinare il valore di progetto delle armature richieste.
PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione rettangolaresezione rettangolare
Verifica della sezione
Note la geometria della sezione, la quantità di armature, le caratteristiche dei materiali e le sollecitazioni, si calcola il valore del parametro adimensionale νu; assumendo lo stesso come valore ultimo νu, dalla coordinata 1/νu e per interpolazione tra le curve corrispondenti ai due valori delle percentuali di armatura comprendenti quella effettiva, si determina il valore di e/h e quindi della eccentricità corrispondente al momento ultimo. La verifica pertanto si ottiene controllando il soddisfacimento della relazione:
eNhNMM uuud ⋅=⋅η⋅=<
Esempio di progetto di sezione Esempio di progetto di sezione rettangolare a rettangolare a pressoflessionepressoflessione
Si progetti agli s.l.u. una sezione rettangolare soggetta in condizioni di esercizio alle seguenti sollecitazioni di calcolo:
kg72588=dNkgcm2290500=dM
I materiali da utilizzare sono calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 ed acciaio tipo FeB38k.
Per il progetto della sezione mediante gli abachi, si calcola preventivamente l’eccentricità del carico:
cm553172588
2290500 .NM
ed
dd ===
usd
s
sd
sff
ν=σ
⋅ω+σ′
⋅ω′+ξ⋅ψ uνξψ =⋅ 125.34.08.0
111=
⋅=
⋅=
ξψν u
Fissando il valore di ξ=0.4 (generalmente compreso tra 0.2-0.45 che corrisponde all’incirca alle zone 2”-3), dall’equazione di equilibrio alla traslazione scritta in forma adimensionale, si ottiene un valore di progetto di νu::
63.0/ ==η he
125.31=
uν
Fissando il valore di ω=ω’=0.10 e d’/h=0.10 dall’abaco si ottiene e/h:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
1/
e/h
νud'/h = 0.10
SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
0.050.100.200.300.400.500.600.700.80
ω ω = '
ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15
0.5063.055.31
===η
dehcm 2.41
1105032.072588
=⋅⋅
=⋅⋅
=cdu
u
fhNb
ν
2 65.63304
110504010.0 cmf
fhbAAsd
cdss =
⋅⋅⋅=
′⋅⋅⋅=′=
ω
Esempio di verifica di sezione Esempio di verifica di sezione rettangolare a rettangolare a pressoflessionepressoflessione
40
50
Verifica agli s.l.u. di una sezione rettangolare soggetta in condizioni di esercizio alle seguenti sollecitazioni di calcolo:
kg72588=dN kgcm2290500=dM
4φ16
4φ16
I materiali utilizzati sono calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 ed acciaio tipo FeB38k.
Le resistenze di calcolo del calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 e per l’acciaio FeB38k risultano:
2kg/cm11061
250830850=
⋅⋅=′
...fcd
2kg/cm3304151/3800 == .f sd
Per effettuare la verifica mediante l’abaco occorre preventivamente calcolare 1/νu e ω=ω’:
33.01105040
72588=
⋅⋅=
′⋅⋅=
cd
uu fhb
Nν 03.333.01/1 ==uν 12.0
1105040330404.8' =⋅⋅
⋅==ωω
A VERIFICA MEDIANTE GLI ABACHI
23591105065.072588 65.0/ =⋅⋅=⋅⋅=⇒=== hNMhN
Mhe uuu
u ηη
Dall’abaco si legge:
La verifica è soddisfatta risultando:
23591102290500 =<= ud MM
Per la determinazione della posizione dell’asse neutro, si supponga inizialmente di essere nella zona in cui le armature sono entrambe snervate.L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa
B VERIFICA ANALITICA
725888.0 ==⋅−⋅′+′⋅⋅⋅ usdssdscdc NfAfAfyb
cm62201104080
7258880
..fb.
Ny
cd
uc =
⋅⋅=
′⋅⋅=
cui segue:
( )grafica) via per 2359110 da diverso (poco kgcm 2384723
2325330404.8)62.204.025(1104062.208.0=
=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=uM
Essendo l’asse neutro nella zona 3 (11.75 ≤ 20.62 ≤ 32.42) segue:
Se si adotta per la valutazione del contributo statico del calcestruzzo l’ipotesi semplificativa dello Stress-Block, il diagramma delle deformazioni al variare della posizione dell'asse neutro serve esclusivamente a valutare il contributo delle barre di armatura, in quanto quello del calcestruzzo è definito dal prodotto dell’area al di sopra della corda posta a 0.8 yc dal bordo compresso per la tensione di progetto
cA′cdcd f.f ⋅=′ 800
NCs
G0
d = rG0
2r
d'
Asidi
u
n
yc
σsi
r
Gy0 ϕ
y'c
f'cdAc,0.8yc
5.183.0 ck
c
ckcdcd
Rfff ⋅==⋅=′ α
γαα
nel caso di STRESS BLOCK con sezione di larghezza crescente dalla fibra maggiormente compressa verso l’asse neutro
80.0=α85.0=α
La sezione circolare:verifica e progettoLa sezione circolare:verifica e progetto
NCs
G0
d = rG0
2r
d'
Asidi
u
n
yc
σsi
r
Gy0 ϕ
y'c
f'cdAc,0.8yc
La sezione circolare:verifica e progettoLa sezione circolare:verifica e progetto
Determinazione della posizione dell’asse neutro
( ) [ ]cdcdusii sicdcc ffNAfAyF ⋅=′=−σ⋅∑+′⋅′= 80.00
con ϕ l’angolo relativo alla corda per cc y.y ⋅=′ 80
′
−=ϕryarccos c1
il contributo statico del calcestruzzo si scrive
( ) cdccdc fAfrcossenN ′⋅′=′⋅⋅ϕ⋅ϕ−ϕ= 2
Determinazione della posizione dell’asse neutro
( ) [ ]cdcdusii sicdcc f.fNAfAyF ⋅=′=−σ⋅+′⋅′= ∑ 8000
La sezione circolare:verifica e progettoLa sezione circolare:verifica e progetto
Da un punto di vista operativo, si osserva che la F(yc) è una funzione crescente della posizione dell’asse neutro yc con valore negativo per yc = 0 e positivo per yc= ∞, se Nu è minore del carico massimo sopportabile dalla sezione con eccentricitànulla. Pertanto, individuate due posizioni dell’asse neutro cui corrispondono valori di segno opposto della F(yc), la posizione dell’asse neutro in una iterazione successiva si ottiene costruendo una curva di errore che consente una rapida convergenza verso la soluzione esatta.
+−+
++−
−+
+−+ ⋅
−
−−=⋅
−
−−= −−
iii
i,ci,ci,ci
ii
i,ci,ci,ci,c F
FFyy
yFFFyy
yy 1
h = 2r
)( cyF
cy
+iF
−iF
−i,cy
+i,cy
cy∆
1+i,cy
( )F
sdscd
cfAfr
yFε<
⋅+′⋅⋅π 2
L’arresto del procedimento iterativo è regolato dalla disequazione
con εF errore ammesso (per esempio εF = 1/1000).
NCs
G0
d = rG0
2r
d'
Asidi
u
n
yc
σsi
r
Gy0 ϕ
y'c
f'cdAc,0.8yc
Determinazione del momento ultimo
isii sicu dAMM GG ⋅σ⋅+= ∑
ϕ−ϕϕ⋅
⋅⋅=⋅=223
4 3
0 sensenrNyNM cccG
dove il contributo del calcestruzzo si ottiene dalla seguente relazione:
La sezione circolare:verifica e progettoLa sezione circolare:verifica e progetto
cd
uu
frN
′⋅⋅π=ν 2
cd
uu
fr
M GG
′⋅⋅π⋅=µ 3
,,
2 cd
sdsfr
fA′⋅⋅π
⋅=ω 2
δ′−=′−
=′=δ′=ξ 12
2/;)2(/;/(2r)rdrhdrdyc
Adimensionalizzazione
Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione diventano:
Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali nell’equazione di equilibrio alla traslazione:
ucd
un
i cd
sisi
cd
cdc
frN
frA
frfA
ν=′⋅⋅π
∑ =′⋅π
σ⋅+
′⋅⋅π
′⋅′
= 21 22
La sezione circolare:progetto con abachiLa sezione circolare:progetto con abachi
uisd
si
s
cfnr
Aν=∑
σ⋅
ω+
⋅π
′2
∑ µ=⋅π⋅
σω+
′⋅⋅π=
′⋅⋅πi uG
sd
isi
scd
c
cd
ufd
nfrM
frM GG
222 33
La sezione circolare:progetto con abachiLa sezione circolare:progetto con abachiIl problema del progetto dell’altezza e dell’armatura può essere condotto in analogia al caso del metodo delle tensioni ammissibili, determinando diagrammi che legano le variabili 1/νu ed e/(2r), essendo e l’eccentricità fornita dal rapporto MuG/Nu.
u
uuu GG
rNM
re
νµ
==2
/2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
1/
e/2r
ν ud'/h = 0.05
ξ0.5 0.4 0.3
0.2
0.050.100.200.300.400.500.600.700.80
ω
PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione circolaresezione circolare
Progetto della sezione (r)
Fissata la percentuale geometrica complessiva di armatura e note le sollecitazioni, si impone un valore di progetto del carico assiale limite, che dipende essenzialmente dalla duttilità che si intende conferire all’elemento progettato; sulla curva (1/νu, e/2r) relativa alla prefissata percentuale ω si legge il valore di η = e/2r corrispondente; essendo nota la eccentricità di progetto e, si può ricavare il raggio r della sezione, nonché l’armatura, mediante le relazioni:
η⋅=
2er
sd
cds f
frA′⋅⋅π⋅ω
=2
Progetto delle armature
Fissate la geometria della sezione e le caratteristiche dei materiali e note le sollecitazioni, si calcolano preliminarmente i valori adimensionali e/2r e νu; negli abachi il punto di coordinate (1/νu, e/2r) permette per interpolazione di determinare il valore di progetto delle armature richieste.
PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione circolaresezione circolare
Verifica della sezione
Note la geometria della sezione, la quantità di armature, le caratteristiche dei materiali e le sollecitazioni, si calcola il valore del parametro adimensionale νu; assumendo lo stesso come valore ultimo νu, dalla coordinata 1/νu e per interpolazione tra le curve corrispondenti ai due valori delle percentuali di armatura comprendenti quella effettiva, si determina il valore di e/2r e quindi della eccentricità corrispondente al momento ultimo. La verifica pertanto si ottiene controllando il soddisfacimento della relazione:
eNrNMM uuud ⋅=⋅η⋅=< 2
La sezione generica:pressoLa sezione generica:presso--flessione rettaflessione retta
x
y
nii+1
yi
xi+1 xi
yn
yi+1
ε
yi+1 yi
εmεM σM
σm
σ
yM= ym=
Metodo generale
A Metodo generale di tipo numericoB Verifica con diagramma Stress-block
Determinazione dell’asse neutro
( ) ( ) uscn NNNyf −+=
( )∑ σ⋅= j jsjss AN ,,
( ) ( )∫ ⋅σ= My
ic ydybyN0
,
La sezione generica:pressoLa sezione generica:presso--flessione rettaflessione rettaMetodo generale numericoMetodo generale numerico
x
y
nii+1
yi
xi+1 xi
yn
yi+1
ε
yi+1 yi
εmεM σM
σm
σ
yM= ym=
( )∑ σ⋅= j jsjss AN ,,
osjssdjs f ε≥ε=σ ,, per
osjssdjs f ε−≤ε−=σ ,, per
osjsjssjs E ε<εε⋅=σ ,,, per
La sezione generica:pressoLa sezione generica:presso--flessione rettaflessione rettaMetodo generale numericoMetodo generale numerico
x
y
nii+1
yi
xi+1 xi
yn
yi+1
ε
yi+1 yi
εmεM σM
σm
σ
yM= ym=
( ) ( )∫ σ⋅−= +my
iiicr ydyxxN0
1,
( ) ( )∫ −⋅σ⋅
−−
= + My
m
iiict
my
M
M
ydyyyyyxxN 1
,
( )∑ += i icticrc NNN ,,
La sezione generica:pressoLa sezione generica:presso--flessione rettaflessione rettaMetodo generale numericoMetodo generale numerico
x
y
nii+1
yi
xi+1 xi
yn
yi+1
ε
yi+1 yi
εmεM σM
σm
σ
yM= ym=
Determinazione del momento ultimo
scu MMM +=
( )∑ += i icticrc MMM ,,
( )∑ ⋅σ⋅= j jsjsjss yAM ,,,
( ) ( )∫ ⋅⋅σ= My
ic ydyybyM0
,
( ) ( )∫ ⋅σ⋅−= +iy
iiicr ydyyxxM0
1,
( ) ( )∫ ⋅−⋅σ⋅−−
= + Myym
iiict
mydyyyy
yyxxM
M
M
1
,
( )GG
yyNMM nuuu −⋅+=,
Sezione generica:Sezione generica:pressopresso--tensotenso flessione deviataflessione deviata
Nel caso della pressoflessione deviata sono incogniti sia la posizione che l’inclinazione dell’asse neutro. Come nel caso del metodo di verifica alle tensioni ammissibili è possibile pervenire alla soluzione del problema della verifica individuando la sezione reagente per successive approssimazioni
Domini di resistenza per sezioni rettangolari
f'cd
Mh b2
µ y = uy
f'cd
Mb h2
µ x =ux
ρx=ρy=0
b
h
0.1b 0.1b
0.1h
0.1h
NMx
My
x
y Ai
ρxAi
ρyAi
Caso A: ρx= ρy= 0
Caso B: ρx= ρy= 0.5
Caso C: ρx= ρy= 1.0
Caso D: ρy= 0ρx= 0.5 ,
Caso E: ρy= 0ρx= 1.0 ,
Caso F: ρy= 0.5ρx= 1.0 ,
ω=4Ai + 2ρxAi + 2ρyAi( ). fyd
bhfcd
Sezione rettangolare: domini di resistenza Sezione rettangolare: domini di resistenza per per pressopresso--tensotenso flessione deviataflessione deviata
f'cd
Mb h2
µ x = ux
f'cd
Mh b2
µ y =uy
ρx=ρy=0
Rck=250 kg/cmq-FeB44k:Rck=350 kg/cmq-FeB38k:
Sezione rettangolare: domini di resistenza Sezione rettangolare: domini di resistenza per per pressopresso--tensotenso flessione deviataflessione deviata
f'cd
Mb h2
µ x = ux
f'cd
Mh b2
µ y =uy
ρx=ρy=1
Rck=250 kg/cmq-FeB44k:Rck=350 kg/cmq-FeB38k:
Sezione rettangolare: domini di resistenza Sezione rettangolare: domini di resistenza per per pressopresso--tensotenso flessione deviataflessione deviata
f'cd
Mb h2
µ x = ux
f'cd
Mh b2
µ y =uy
ρx=1ρy=0
Rck=250 kg/cmq-FeB44k:Rck=350 kg/cmq-FeB38k:
Sezione rettangolare: Sezione rettangolare: pressopresso--tensotenso flesfles--sione deviata (soluzione approssimata)sione deviata (soluzione approssimata)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0µ uy
β=0.5β=0.6
β=0.7β=0.8
β=0.9
µ ux
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
ν
β0.100.200.400.600.801.00
w
1=
+
αα
uyo
uy
uxo
uxMM
MM
( ) ( )
ω−⋅+−ν⋅
ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0
15.05.0max,
α = log (0 .5 )/ log (β )
ω=percentuale meccanica di armatura complessiva della sezione
Sezione rettangolare: Sezione rettangolare: pressopresso--tensotenso flesfles--sione deviata (soluzione approssimata)sione deviata (soluzione approssimata)
cd
uu fhb
N′⋅⋅
=ν
β β
cd
uu fhb
N′⋅⋅
=ν
Confronto analisi parametrica-espressione approssimata
Inviluppo max
Inviluppo medio
Inviluppo min
( ) ( )
ω−⋅+−ν⋅
ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0
15.05.0max,
Sezione rettangolare: Sezione rettangolare: pressopresso--tensotenso flesfles--sione deviata (soluzione approssimata)sione deviata (soluzione approssimata)Confronto analisi parametrica-espressione approssimata
cd
uu fhb
N′⋅⋅
=ν
β β
cd
uu fhb
N′⋅⋅
=ν
Inviluppo max
Inviluppo medio
Inviluppo min( ) ( )
ω−⋅+−ν⋅
ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0
15.05.0max,
Sezione rettangolare: Sezione rettangolare: pressopresso--tensotenso flesfles--sione deviata (soluzione approssimata)sione deviata (soluzione approssimata)
y
xh =50
b =40
1=
+
αα
uyo
uy
uxo
uxMM
MM
α = log (0 .5 )/log (β )
Cls: Rck = 250 kg/cm2 acciaio FeB44k
armature 16 φ16 N d= 45000 kg ex = 15 cm ey = 19 cm
Calcolo dello sforzo normale ultimo adimensionale ν:
20.01105040
45000=
⋅⋅=
′⋅⋅=ν
cd
ufhb
N
2kg/cm1106.1
83.085.085.0 =⋅
⋅=⋅=′ ckcdcd
Rff 2kg/cm382615.1
4400==
γ=
s
aksd
Rf
Resistenze di calcolo del calcestruzzo e dell’acciaio:
Determinazione di Muxo:5
20.011
==ν
Il carico adimensionale vale
La percentuale meccanica di armatura disposta in direzione x ed il copriferro, risultano:
17.01105040
382605.10=
⋅⋅⋅
=′⋅⋅
⋅=ω′=ω
cd
sdsxx fhb
fA 06.0503
==′
=δhd
x
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
1/
e/h
νud'/h = 0.05
SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
0.050.100.200.300.400.500.600.700.80
ω ω = '
ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15
15.1/ ==η heyy
=⋅η⋅= hNM yuuxo=⋅⋅= 5015.145000
kgm 25875=
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
1/
e/h
νud'/h = 0.10
SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
0.050.100.200.300.400.500.600.700.80
ω ω = '
ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15
Determinazione di Muyo:5
20.011
==ν
Il carico adimensionale vale
La percentuale meccanica di armatura disposta in direzione x ed il copriferro, risultano:
17.01105040
382605.10=
⋅⋅⋅
=′⋅⋅
⋅=ω′=ω
cd
sdsxx fhb
fA 075.0403
==′
=δhd
y
05.1/ ==η bexx
=⋅η⋅= bNM xuuyo=⋅⋅= 4005.145000
kgm 18900=
Domini di resistenza approssimato e verifica a pressoflessione deviata:
Calcolo dei coefficienti β e α :
( ) ( ) =
ω−⋅+−ν⋅
ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0
15.05.0max,
( ) 55.0 54.056.04.105.05.0,55.04.056.056.01
5.05.0max =
=−⋅+=−⋅
++=
56.01105040382601.216, =
⋅⋅⋅⋅
=′⋅⋅
⋅=ω
cd
sdtotsfhbfA
16.1)55.0log(
)5.0log()log()5.0log(
==β
=α
158.018900
15.04500025875
19.045000 16.116.1<=
⋅
+
⋅
=
+
αα
uyo
uy
uxo
uxMM
MM
Indicating by ε the following ratio:
0c
cεε
=ε
the following two branches of the relationship are defined:
)1,0(for;aff 2
0c
c ∈εε−ε⋅=
1for;b1ff
0c
c >εε⋅+=
where:
γ+=1a 1b −γ=
with:
0c
1c
0c
0ct0cff
fEf
=ε⋅+
=γ
cc
0ccct
ffE
ε−
=
fcc
fc1
fco
Et
Eo
εccεco
RelazioneRelazione costitutivacostitutiva parabolaparabola--linearelineare
fco, fcc, εcc
C
C
ZONA 3 ZONA 6
Equazioni di equilibrio sezionali (adimensionali):
ys
s
ys
s
cd
ufffhb
N σω+
σω+ξψ=
⋅⋅=ν
''
)'5.0()'5.0('
')5.0(2 δσ
ωδσ
ωλξξψµ −−−+−⋅=⋅⋅
=ys
s
ys
s
cd
ufffhb
M
DOMINI DI RESISTENZADOMINI DI RESISTENZA ((νν--µµ))
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
ξ
ψ0,60,50,40,30,20,10,05unconfined
fl,d
region 6regions 3 to 5
region2
ξ2,3
PARAMETROPARAMETRO ψψ
cdc
y
y
fy
dyy
⋅
σ
=ψ
∫2
1
)(
cd
y
y
fh
dyy
⋅
σ
=ψ
∫2
1
)(
PARAMETPARAMETEER R λλ
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
ξ
λ
0,60,50,40,30,20,10,05unconfined
fl,d
cdc
y
y
fy
ydyy
⋅ψ⋅
⋅σ
−=λ
∫2
2
1
)(
1cd
y
y
fh
ydyy
⋅ψ⋅
⋅σ
−=λ
∫2
2
1
)(
1
Case A- region 2a, where ξ < 1 and α =α(ξ)≤1:
3)(
2)(
)1()(2ξα
−ξα
⋅γ+=ξψ ( )( )
( )
ξα−⋅γ+
ξα⋅−γ+
−=ξλ)(
231
4)(3
11
Case B- region 2b where ξ < 1 and α=α(ξ) >1:
( ) ( )2
)(1
)(311
ξα⋅−γ+
ξα⋅−=ξψ
( )( )
( ) 2
32
)(2
)(1)(3
11
13
)(2
)(121
1ξα⋅
ξα⋅−γ+
ξα⋅−
−γ
ξα+
ξα+−
−=ξλ
Case C- regions 3, 4 and 5, where ξ ≤ 1 and α >1?? (= ?constant):
( ) ( ) tcos2
1311 =
α⋅−γ+
α⋅−=ξψ
( )( )
( )cost
α2α1γ
α311
1γ3α
2α
121
1ξλ2
32
=⋅
⋅−+
⋅−
−++−
−=
Case D- region 6a, where 1<ξ ≤ α/(α−1) and α>1 (= ?constant):
[ ]2
223333
6
)1(221362)1(2)(
αξ
γ+ξ−γ+ξ+⋅ξα−αξ+ξ−−ξα=ξψ
[ ][ ]{ }γ)(1ξ2γξ21ξα3αξ6ξ21)(ξα2αξ2
γ)ξ(13γ)2(1ξ2ξα2ξ)(31)(ξαξ)α6α4(1)λ(
223333
333442
+⋅−++⋅−+−−⋅⋅
+−++⋅−+⋅−⋅+⋅+−=ξ
Case E - region 6b, where ξ > α/(α−1) and 1>α (= ?constant):
( )( )ξ
−γ−ξα+ξ=ξψ
21122)( ( )( )
( )( )[ ]112231233)(
−γ−ξα+ξ−γ−ξα+ξ
=ξλ
FunzioniFunzioniψψ e e λλ
0c
cεε
=αhyc=ξ
Espressioni semplificate di ψ e λ
Region ψ λ
Region 2 (ξ ≤ ξ23) 23ξξ
ψ=ψ λ=λ
Regions 3,4,5 (ξ23≤ ξ ≤ 1) ψ=ψ λ=λ
Region 6 (ξ >1) Ψ⋅−ξ
+β−βξ=Ψ
75.025.0 ( )
75.05.015.0
−ξλ⋅−−ξ
⋅=λ
ξξ2,3 ξ = 1
λ
λlim
β ψλ,ψ
ψψ
λ
ν−µ INTERACTION CURVESν−χu DIAGRAMS
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
νu
µu
0,60,50,40,30,20,10,05Unconfined
ω = ω' = 0,1d'/h = 0,05
10(χu d)
fl,d
ν−µ INTERACTION CURVESν−χu DIAGRAMS
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
νu
µu 0,60,50,40,30,20,10,05Unconfined
ω = ω' = 0,3d'/h = 0,0510(χud)
fl,d
concrete failure
steel failure
INCREMENTO DI DUTTILITA’
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
νu
Iχ0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,05
Unconfined
fl,d
d'/h = 0,05I'χ = 30νu-0,7
ncu,
ncy,
cy,
cu,
ncu,
cu,χ χ
χχχ
χχ
I ⋅≅=8.0
8.03.016.1
0035.0
015.00035.0)('' ,,,
,++
⋅⋅+
=ψψ
εε
=χdldldl
un
c
cu
ccudl
ffffI
Influenza di Influenza di ξξ sulla duttilità della sezionesulla duttilità della sezione
Al crescere di ξ si riduce la duttilitàdella sezione; per le travi si consigliano valori di ξ compresi tra 0.1-0.45.
La normativa consente il calcolo plastico senza richiedere il controllo delle rotazioni plastiche se ξ èminore di 0.25 ed il calcolo elastico con ridistribuzione se ξ è minore di 0.45
43
6
-10
23.5
y 2,3
y 3,4
y 4,5
y c=
y c=-
A
B
C5
2
1
f /Esd s
SEZIONI PRESSOINFLESSESEZIONI PRESSOINFLESSEDIAGRAMMA MOMENTODIAGRAMMA MOMENTO--CURVATURA (M CURVATURA (M –– φ φ –– N)N)
H d
b
d’
As’
As
T’
T
χ
εc
ε’a
εa
Cx
λx
N M
Determinazione del diagramma momento-curvatura (M-φ) a sforzo normale N costante.Per ogni assegnato valore della curvatura φ si determina il valore dell’asse neutro delle deformazioni tale che sia soddisfatto l’equilibrio alla traslazione: N = C + T’ – T .Dall’equazione di equilibrio alla rotazione si determina il momento corrispondente, ottenendo quindi un punto di coordinate (M , φ).
M
φ
Mu
My
φuφy
Determinazione della curvatura di snervamento φy (snervamento delle armature) e della curvatura ultima φu (raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo).
DIAGRAMMA MOMENTODIAGRAMMA MOMENTO--CURVATURA (M CURVATURA (M –– φφ –– N)N)
Diagrammi MomentoDiagrammi Momento--Curvatura al variare di NCurvatura al variare di N
M(tm)
φ 106
ν =0
ν =0.2580
60
40
20
100 300200 400 500 700600
ν =b d f’cd
Ν
70
40
4φ20
4φ20
ν φu /φy
00,050,100,150,200,25
18,412,58,625,834,093,10
Rck 250 kg/cmqFeB44k
MECCANISMO GLOBALE E MECCANISMO GLOBALE E MECCANISMO LOCALE DI COLLASSOMECCANISMO LOCALE DI COLLASSO
MODELLI DI CAPACITÀMODELLI DI CAPACITÀ
Travi e pilastri: flessione con e senza sforzo normaleTravi e pilastri: flessione con e senza sforzo normale
LvM+
Elemento traveM-
La capacità La capacità deformativadeformativa θ θ di travi e pilastri è definita come rapporto tra lo di travi e pilastri è definita come rapporto tra lo spostamento trasversale spostamento trasversale della sezione di momento nullo e la della sezione di momento nullo e la distanzadistanza di tale di tale sezione dalla cerniera plastica (sezione dalla cerniera plastica (luce di taglioluce di taglio).).
La capacità La capacità deformativadeformativa così valutata si differenzia in relazione ai così valutata si differenzia in relazione ai 3 stati limite considerati.3 stati limite considerati.
Stato limite di Danno Limitato Stato limite di Danno Limitato (SL(SL--DL)DL)Stato limite di Danno Severo Stato limite di Danno Severo (SL(SL--DS)DS)Stato limite di Collasso Stato limite di Collasso (SL(SL--CO)CO)
VMLv =
Capacità rotazionaleCapacità rotazionale
( ) 5.0 dl plplplpl ⋅⋅=⋅= φφθ
L’espressione più semplice:
v
vt
yu
u
yupl
l
lff
VM
MMM
l
⋅ψ⋅=
=⋅
−⋅=⋅
−⋅=
5.0
15.05.0'
La lunghezza della cerniera plastica considerando il rapporto Mu/My e la snellezza di taglio (λ=Mu/Vd)
Influenza del cedevolezza del Influenza del cedevolezza del vincolo/nodo vincolo/nodo
ε
ε
ε
θ
4
4 ,
,,
,ua
tbua
ya
ybya
fdl
fdl
ττ ⋅⋅
=⋅
⋅=
ua
tbspl
uat
ytsysuyauapl
fd
lfff
dd
ll
,,
,**,,
4 τ⋅⋅
⋅ψ⋅φ≅
≅⋅
−⋅
ε−ε=
∆−∆=θ∆
Le espressioni della lunghezza Le espressioni della lunghezza della cerniera plasticadella cerniera plastica
dklkdτfψψlll bv1b
ua,
t''pl
'plpl ⋅+⋅=⋅
⋅⋅+⋅⋅=+= 24
50 vl.
dfll byvpl ⋅⋅+⋅= 022.008.0 Priesteley (1996)
bya
tv d
fll ⋅
τ⋅⋅ψ⋅+⋅ψ⋅=
,42.15.0pl Lehman (1998)
byvpl dfll ⋅⋅+⋅= 014.012.0 Panagiotakos & Fardis (2001)
c
byvpl
f
dfhll
⋅⋅++⋅=
24.017.01.0 O.P.C.M. 3274
Lunghezza della cerniera plastica in Lunghezza della cerniera plastica in funzione della luce di taglio (M/V)funzione della luce di taglio (M/V)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 500 1000 1500 2000 2500
LV [mm]
l pl [m
m]
PriestleyLehmanPan & FardisModello generale
La capacità rotazionale rispetto alla La capacità rotazionale rispetto alla corda secondo corda secondo O.P.C.M.O.P.C.M. 32743274
( )
−⋅⋅φ−φ+θ⋅
γ=θ
v
plplyuy
el LL
L5.0
11u
( ) ( )( )
( ) d
el
ρραν ⋅⋅
⋅
⋅
ωω
⋅⋅⋅γ
=θ 100/35.0225.0
25.125,01.0
',01.03.0016.01 cwysx ff νcu h
l fmaxmax
Opzione n.1 (regressione numerico-sperimentale)
Opzione n.2 (teorica con taratura sperimentale)
c
yby
v
vy
f
fdLhL ⋅
φ⋅+
+⋅+φ=θ 13.05.110013.0
3y
con
MODELLAZIONE CERNIERE PLASTICHE MODELLAZIONE CERNIERE PLASTICHE Diagrammi MomentoDiagrammi Momento--RotazioneRotazione
c
yby
v
vy
f
fdLhL ⋅
φ⋅+
+⋅+φ=θ 13.05.110013.0
3y
θy 3/4 θu θu
My
Mu
θ
M
Ordinanza n. 3274 del 20 Marzo 2003
Stato Limite di Danno Limitato DL
Stato Limite di Danno Severo DS
Stato Limite di Collasso CO
Rotazione allo snervamento:
Rotazione ultima:
( )
−⋅⋅φ−φ+θ=θ
V
plplyuyu L
LL
5.01
MODELLI DI CAPACITÀMODELLI DI CAPACITÀ
Rotazione di snervamentoRotazione di snervamento
Contributo flessionale
Contributo tagliante
Scorrimento delle barre
Lv
My
c
yby
v
vy
f
fdLhL ⋅
φ⋅+
+⋅+φ=θ 13.05.110013.0
3y
MODELLI DI CAPACITÀMODELLI DI CAPACITÀ
Rotazione ultimaRotazione ultima
−φ−φ+θ=θ
V
plplyuyu L
LL
5.01)(
φu è la curvatura ultima valutata considerando la deformazione ultima del cls
φy è la curvatura a snervamento valutata considerando la deformazione di snervamento dell’armatura tesa
Lv
Mu
Lv
φu
φy
Lpl
My
−φ−φ+θ=θ=θ
V
plplyuyuCO,u L
L5.01L)(
SL-DL
SL-DS
SL-DC
yDL,u θ=θ
)(43
yuyDS,u θ−θ+θ=θ
MODELLI DI CAPACITÀMODELLI DI CAPACITÀ
I valori di massima capacità deformativa sono differenti in relazione a i 3 stati limite
Un programma sperimentaleUn programma sperimentale
Linea 2- Obiettivo NODI:UR dell’Università di Salerno
FRP propertiesFiber tj [mm] EFRP [GPa] fu,FRP [MPa] εu,FRP [%]
CFRP* 0.22 390 3000 0.80 GFRP** 0.48 80.6 2560 3-4
*commercialized by SIKA; ** commercialized by MAPEI
Test setTest set--upup
Tests on FRP confined columnsTests on FRP confined columns
Tests on FRP confined columns
Hysteretic loops andHysteretic loops andloadload--displacement envelopesdisplacement envelopes
“more pinching”
Column reinforced with smooth rebars (barre lisce)
Column reinforced with deformed rebars (barre ad ader. migliorata)
“less pinching”
Hysteretic loops andHysteretic loops andloadload--displacement envelopesdisplacement envelopes
-120000
-80000
-40000
0
40000
80000
120000
-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200
Displacement [mm]
Lateral Force [N]
C3-S C1-S-G C4-S-GC10-S-CC13-S-C C2-S-A1C11-S-A1 C6-S-A2
-120000
-80000
-40000
0
40000
80000
120000
-160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160
Displacement [mm]
Lateral Force [N]
C9-D/R
C9-D
C3-S/R
C3-S
spostamento al collasso convenzionale
-120000
-80000
-40000
0
40000
80000
120000
-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200
Displacement [mm]
Lateral Force [N]
C9-D/R
C9-D
Fmax
Fmax
0.90 Fmax
0.90 Fmax
-120000
-80000
-40000
0
40000
80000
120000
-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200
Displacement [mm]
Lateral Force [N]
C2-S-A1
Fmax
Fmax
0.90 Fmax
0.90 Fmax
r
Prof. Ciro FAELLA Dipartimento di Ingegneria Civile
Università di Salerno
ORDINE DEGLI INGEGNERIORDINE DEGLI INGEGNERICorso di aggiornamento sulla normativa sismicaCorso di aggiornamento sulla normativa sismica
gen.gen. 2006 2006 –– mar.mar. 20072007
STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI