İSTATİSTİK II OLASILIK-2 · Çözüm 1: Aşağıda bir öğrencinin beş ayrı dersten aldığı notlar ile derslerin ortalama ve standart sapma değerleri verilmiştir. Buna göre

İSTATİSTİK IIOLASILIK-2

Dr. Öğretim Üyesi Muhlis ÖZDEMİR

Örnek 1:

Aşağıda bir öğrencinin beş ayrı dersten aldığı notlar ile derslerinortalama ve standart sapma değerleri verilmiştir. Buna göre öğrencininders başarılarını kıyaslayınız.

Dr. Öğr. Üyesi Muhlis ÖZDEMİR 2

Ders Adı Not ! "

R Programlama ile Veri Analizi 65 80 13

Yöneylem Araştırması 65 55 16

İstatistik 45 55 5

Yapay Zeka ile İşletmecilik Uygulamaları 85 75 4

İşletmecilikte Bilgisayar Uygulamaları 95 80 10

Çözüm 1:

Aşağıda bir öğrencinin beş ayrı dersten aldığı notlar ile derslerin ortalama ve standart sapma değerleri verilmiştir. Buna göre öğrencinin ders başarılarını kıyaslayınız.


Ders Adı Not ! " ÇÖZÜM

R Programlama ile Veri Analizi 65 80 13 # = 65 − 80*+ = −*, *-

Yöneylem Araştırması 65 55 16 # = 6- − 5-*. = /, .0

İstatistik 45 55 5 # = 1- − 555 = −2,00

Yapay Zeka ile İşletmecilik

Uygulamaları85 75 4 # = 3- − 75

4 = 2,50

İşletmecilikte Bilgisayar Uygulamaları 95 80 10 # = 65 − 80*0 = *, -0

Çözüm 1 Yorum:

• Öğrencinin yukarıda geçen derslerdeki başarılarını Z puanlarına göre kıyaslayabiliriz.

• Buna göre en yüksek Z skoru Yapay Zeka ile İşletmecilik Uygulamaları dersine ait olduğundan öğrencinin en başarılı dersinin bu ders olduğu olduğu söylenebilir. İkinci en başarılı ders ise İşletmecilikte Bilgisayar Uygulamaları dersidir.


Normal Dağılımda Alan İlişkileri

• Standart hale getirilmiş bir değişkene ait ölçümleri gösteren z standart puanı ile ilişkili olan normal olasılık dağılımı, “standart normal dağılım” olarak isimlendirilir. Standart normal dağılım tablosunda belirli Z değerleri ile ortalama arasında kalan alanlar(olasılıklar) gösterilmektedir. • Aşağıda yer alan tabloda ortalama ile Z değeri arasında kalan alanlar

gösterilmektedir.


http://www.sultankuzu.com/Dr. Öğr. Üyesi Muhlis ÖZDEMİR 6

Örnek 2:

Z = 1,32 ile ortalama arasında kalan alan ya da olasılık nedir?


Çözüm 2:

Z = 1,32 ile ortalama arasında kalan alanı bulmak için standart normaldağılım tablosunda satır ve sütun kesiştirmesi yapmamız gerekir.Satırda : 1,3 ileSütunda 0,02 değerlerinin kesiştiği noktadaki alan kullanılır.


Çözüm 2:


Çözüm 2:


Standart normal dağılım tablosu incelendiğinde

bu değerin .4066 olduğu görülür. Bir başka ifade

ile Z=1,32 ile ortalama arasında kalan alan

%40,66’dır. Bu sonuç P(0<Z<1,42)=0,4066

şeklinde de ifade edilebilir.

Örnek 3:

P(Z > 1,58) ile ortalama arasında kalan alan ya da olasılık nedir?


Çözüm 3:



Çözüm 3:


Çözüm 3:


Standart normal dağılım tablosu incelendiğinde

bu değerin .4429 olduğu görülür. Bir başka ifade

ile Z=1,58 ile ortalama arasında kalan alan

%44,29’dur. Bu sonuç P(0<Z<1,58)=0,4429

şeklinde de ifade edilebilir.

Örnek 4:

P(Z < 1,58) ile ortalama arasında kalan alan ya da olasılık nedir?


Çözüm 4:



Çözüm 4:


Çözüm 4:


Z=1,58 ile ortalama arasında kalan alan %44,29 idi.

Standart normal dağılım simetrik olduğundan

sağında ve solunda kalan alanlar birbirine eşittir. Bir

başka ifade ile %50’si sol tarafta, %50’si ise sağ

taraftadır. Sağ taraftaki taralı alanın %44,29’u

aritmetik ortalama ile Z=1,58 değerleri arasında

olduğuna göre P(Z<1,42)=0,50+0,4429 = 0,9429 yani

%94,29 olacaktır.

Örnek 5:

P(-1,5 < Z < 2,5) ile ortalama arasında kalan alan ya da olasılık nedir?


Çözüm 5:

Z = 1,50 ile ortalama arasında kalan alanı bulmak için standart normaldağılım tablosunda satır ve sütun kesiştirmesi yapmamız gerekir.

Satırda : 1,5 ileSütunda 0,00 değerlerinin kesiştiği noktadaki alan kullanılır.

Tablo incelendiğinde bu değerin .4332 olduğu görülür.


Çözüm 5:





Çözüm 5:


Z=-1,50 ile ortalama arasında kalan alan 0,4332’dir.

Z=2,5 ile ortalama arasında kalan alan 0,4938’dir.

Buna göre P(-1,50<Z<2,5)=0,4332+0,4938 = 0,927

yani %92,7 olacaktır.

Örnek 6:

P(-2,5 < Z < 2,5) ile ortalama arasında kalan alan ya da olasılık nedir?


Çözüm 6:

Z = -2,50 ile ortalama arasında kalan alanı bulmak için standart normaldağılım tablosunda satır ve sütun kesiştirmesi yapmamız gerekir.




Çözüm 6:





Çözüm 6:


Z=-2,50 ile ortalama arasında kalan alan 0,4938’dir.

Z=2,5 ile ortalama arasında kalan alan da yine

0,4938’dir. Buna göre P(-2,50<Z<2,5)=0,4938+0,4938

= 0,9876 yani %98,76 olacaktır.

Örnek 7:

Gerçekleştirilen bir deney sonucunda deneyde yer alan gözlemdeğerlerinin aritmetik ortalaması 8, standart sapması ise 2bulunmuştur. Deneyde yer alan gözlem değerleri normal dağılımgösterdiğine göre, bu evrenden seçilecek bir gözlemin 10 ile 13arasında olması olasılığı nedir?


Çözüm 7:


!" = $%$& = "'%(

) =1,00à 0,3413

Aritmetik ortalama 8 ile 10 arasında kalan alan %34,13’tür.

!) = $%$& = "*%(

) = 2,50à 0,4938

Aritmetik Ortalama 8 ile 13 arasında kalan alan %49,38’dir.

Buradan 10 ile 13 arasında kalan alanı bulabilmek için fark almamız gerekir.

0,4938 – 0,3413 = 0,1525 = %15,25

10 ile 13 arasında kalan alan %15,25’tir. Bu nedenle evrenden seçilen bir gözlem değerinin 10 ile

13 arasında olması ihtimali %15,25’tir denir.

Örnek 8:

• R Programlama ile Veri Analizi dersini alan öğrencilerin notları ortalaması 65 ve standart sapması 10 ile normal dağılım gösterdiğine göre bu dersten 80 alan öğrencinin başarısı hakkında ne söylenebilir?


Çözüm 8:


! = # − %#& = 80 − 65

10 = 1,50

Z=1,50 ile ortalama(Z=0) arasında kalan alan 0,4332’dir.

P(Z<1,50) = 0,4332 + 0,50 = 0,8332 olur.

Öğrencinin sınıfın %83,32’sindan daha başarılı olduğu ya da

%100 - %83,32 = %16,68’inden daha az başarılı ya da başarısız olduğunu gösterir.

Örnek 9:

• R Programlama ile Veri Analizi dersini alan öğrencilerin notları ortalaması 65 ve standart sapması 10 ile normal dağılım gösterdiği bilindiğine göre bu sınava giren öğrencilerden yansız bir seçim yapılması durumunda bu öğrencinin bu dersten 50 veya daha düşük not almış olması ihtimali nedir?


Çözüm 9:


! = # − %#& = 50 − 65

10 = −1,50

Z=1,50 ile ortalama(Z=0) arasında kalan alan 0,4332’dir.

P(Z-1,50<0) = 0,50 - 0,4332 = 0,0668 olur.

Bu sınava giren öğrencilerin %6,68’inin 50 ve altında not aldığı anlaşılır.

Documents

İSTATİSTİK II OLASILIK-2 · Çözüm 1: Aşağıda bir öğrencinin beş ayrı dersten aldığı notlar ile derslerin ortalama ve standart sapma değerleri verilmiştir. Buna göre