12
Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models Shalabh Department of Statistics Panjab University Chandigarh India Alan T. K. Wan Department of Management Sciences City University of Hong Kong Kowloon Hong Kong Summary This paper considers a Stein-rule mixed regression estimator for estimating a normal linear regression model in the presence of stochastic linear constraints. We derive the small disturbance asymptotic bias and risk of the proposed estimator, and analytically compare its risk with other related estimators. A Monte-Carlo experiment investigates the empirical risk performance of the proposed estimator. Key words: Mixed regression; Risk; Small disturbance; Stein-rule; Monte-Carlo experiment. 1. Introduction In regression analysis, we often encounter situations in which incomplete prior information is available in the form of a set of stochastic linear constraints binding the coefficients. In the literature, a range of methods, both frequentist and Baye- sian in nature, have been proposed for incorporating such information. A method that has received widespread textbook treatment is the mixed regression estimator MRE) due to Theil and Goldberger 1961). The MRE is essentially an opera- tional variant of the best linear unbiased estimator of the regression coefficients. Early studies by Nagar and Kakwani 1964) and Kakwani 1968) examined the bias and moment matrix of the estimator, and Srivastava 1980) provided an annotated bibliography of much of the subsequent developments. More recent con- tributions emphasized the exact finite sample properties of the MRE, and extended the method of mixed regression to problems of restricted estimation and predic- Biometrical Journal 42 2000) 2, 203±214

Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

��������� ���� ���� �� ����� ���������� �����

�������

���������� ����� ��� ������ ������ ������������������

���� � ���

���������� ���������� ������� ���� ������ ��� ��� ���������� ���

�������

��� ����� �� ���� � ����� �!�� ��"�� ����� �� � ������ � � �������� � ����� ������ ����� ������ �� ��� ��� ���� ���� ��� ������ �� ������ # $� ������ ��� ���� �� �!������ � ������� ��� ��� �� % ��� ��� �� � ������& ��� ������������ ������ �� �� % ���� ���� ������� � ������ # '���� ���� �"�������� ���� ������ ��� ��������� �� % ��������� ��� ��� �� � ������#

��� ��� ��"�� ����� ��( )� %( ����� �� �!������( ����� �!��( ���� �����"��������#

*# �����!����

�� ����� �� ����� � & �� ��� ���!���� ��!���� �� ����� ��������� ������������ � ��������� �� ��� �� � �� ���� ��� ������ �� ������ ���������� �������� # �� ��� �������!��& � ����� ����� & ��� ��+!���� � ��� ,��� ��� �� ���!��& ���� ���� ��� �� � ����������� !�� ��������# ' ��������� �� �������� ���� ����� ��"��% ��������� � ��� ��"�� ����� �� � ������-�)./ �!� � ��� � ��� ���������� -*01*/# ��� �). � � �������� �� ���� ����� ������� ��� �� � ������ !���� �� � ������ ��� ����� �� �������� #.���� �!��� �� ����� ��� ����� -*012/ ��� ����� -*013/ �"������ ������ ��� ����� �����" ��� � ������& ��� �� ������� -*034/ ������� ���������� ����������� �!�� ��� !� �+!��� ���������� # ��� ������ �� ����!��� ����� �5�� ��� �"��� ����� ����� �������� ��� �).& ��� �"��������� ����� ��"�� ����� �� � ������ �� ������� � ������� ��� ������

,��������� 6!���� �� -7444/ 7& 74897*2

Page 2: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

���& ��� !�� ���� � ��� ����� �������� ��� �������� !�������� ����� �� �+!���� ���� # ���& � �"�����& �� �������� ���� ��� ���� �� !"#�$���� ��� %���� -*032�& �/& �� ������� ��� � ��� -*03:/& �� ������� ���$���� �� &#� ���������� ��� ������� -*001/& ���� ���� # �� ���������� �� ������� -*038/ ������ ��� ���� ����� �!�� � ������� ;��� � �� &'#()���� ��� ��� � -*01*/< �� ��� ����� ��"�� ����� ��& ��� �����!��� �������� � ������ ��� ����� �� �������� # ��� �!��� !����� �����5����� ��� � ��� �� % ��� � ������ !���� � ������� +!������� � !����� ! ��� ���� �� �!������ � ������� �����# ���� !�� ���� �� ����� � ������ �� � �����& �� ��� � � ��� ����� ���� ����"������& ����� ��� ���� ������ � ������ ���� ���� ������ �� % �� ������ � � ��� ��"�� ����� �� � ������!���� �� ���� �� ������ # ��� ��������& ���!�� ��� ��% ���������� ���������� -7444/& ��� ����� � ������� �����!��� �� �� ������� ��� �� *������� -*038/ ���� ���� �"������ � ��� ��!�����! ��������� ���!�� ���������� ���!� ��� ��������� �������� �� � ����� �� ����#

' ������ ��������� ��� � ������ ������� �� �� ������� ��� �� ��������� !+# ��� ! �� �� ���������� ��� ������� -7444/ � ���� ���� ��� ��!����������� �� !� ���!���� ��� ��"�� ����� �� � ������ � ��� ������� ��� � +!��� � ������ �� ��� ����� �!�� � ������= ��!��& � �� ��������� ��� ������� ��� � +!��� �� ��� ����� �!�� � ������ �� ��� �).= �"��� ��# ���� �!�� ��&�������& �� �� ������ � ����� �!�� � ������ �� ��� ��!� �� �# �� ��� �����& ������������� ��!����� � �� ������& ��� �� ���!� ���� ��� ��!����� ����� ������� ��� ���� ����� �!�� � ������� ��� ��� ��"�� ����� �� ����� ��� �� ���� ���� � ��� � ������ �� ������ �� �� ������� ��� �� �������-*038/# �� ������ 7& �� �� ����� ��� ��"�� ����� �� ������% ��� �����!�� ������ �!�� ��"�� ����� �� � ������ -�)�)./# ������ 8 �����5� ��� ����"� ���� ��� & ���� +!���� ���� �����" ��� �� % !���� +!������� � ����)�).& ���� ���� ��� ������� � ��� �������� ��� �)�). ��� ����� ������ �� �� � ��� �� % ��������# ' ���� ���� �"�������� �� ����� � �" ���� ��� ��������� �� % ��������� ��� ��� �� � ������ � �� ������ �������� 2# �� � !�� ���� ��� �)�). ������ �!�� ������� �� % ���!����& �� ����� � ��� �). ��� ��� � ������ �� ������� ��� �� ������� -*038/& ���� ���� ����� ���������� ���!� # '� �������" ��������� ��� ��������� ������� �� !�� ����!�� ��� �����#

7# ���� ����������� ��� . ������

�� ���� ��� ������ ������ ����� �� ����&

� � ��� �� � � � ��4� �� �7�*������ � � � � � * ����� � ������� � ��� ��������� ��������& � � � � � �!�� ��!�� ���% �����" � � ������� � � �"�������� �������� & � � � � � *

742 ������� ��� � � ���> ����� )!�� . ������� �� )���� ��

Page 3: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

��������� �����& � � � � � * ����� �� �!������ ��� � � � �����# ��� �"��� ��! �������� � ��������� �� ��� �� � �� � ���� ��� ������ �� ������ ������� ��� ����� �� �������� ����� ��

� � ��� � � � � ��4��� �7�7������ � � �� ���� ���& � � � ��� ���% � -� �/& � � � � *& � � � !���� �� %��� ��� � ����� �������& ��� ������ � 4 #

��� ������� ��� � +!��� -?@�/ � �����!� �������� !���� �� � ������ �� &

� � ������* ��� � �7�8������ � ��������& !���� � +!���� ���� � ��� !��& �� ��� ����� �!�� � ���� ��&

�� � * � �

�� �� �

��� ���� ��� ���������

� �� � �7�2�

���� � A 7 ��� 4 � 7��� 7�& ����� � � ��� ����� !�� ���� �� �� � � � �����# ' ���!�� � ��� �� � ���� ��� � ������ ����� ��� �"�����! ��� ����� ����� �� -7#7/# B�& ������� -7#*/ ��� -7#7/ ��������& �� �����

��

� �� �

� ��� ��

� �� �7�C�

���� � & �D � ��� & ����� �� � �������� ��������� �����" ����� ��

��� � �7 � 44 ���7

� �E �7� # � ��� � %���& ���� � ��� �� � ������� ! ���

��� ��������5�� ��� � +!��� � ������&

�� � ��� � �7����*�� ��*

���� �7����*�� �

� �7�1���� � ������ �� � �� ���������# ��� ��"�� ����� �� � ������ ��� � ������������� -*01*/ � �! � ��� �� ���� �!�������� � ��& ������&

�� � ��� � �7����*�� ��*

���� �7����*�� �

� �7�:�

����� �7 � �� ��� �� �� ��� ��� �� �

� �� � ������ �7# ������� ��� ���� ����� �!��

�� ��"�� ����� ��& �� ������� ��� �� ������� -*038/ �����!��� ��� � ���� �� &

�D�� � * � �

�� �� �

�� ���� �� �� ���� ���������

� ��� �7�3�

,��������� 6!���� �� -7444/ 7 74C

Page 4: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

���

�D�� � ��� � ��� ����� ��� ������ �� �

����*�

� ��*

� ���� ��� ����� ��� ������ �� �

����*�

� ��7�0�

��� �!��� ���� ���� �D�� � � ����������� �+!������� � ��� �). �� ��� �� ����� ��� � ������� ����"������ � ��� ��� ����� ��� ��. �����" �D�� ����� ���2� ��� ��� ��� � �� � ��� �).( ����� �D�� ����� ������ �� ���� �� % ���� ��� �). �

4 � �D � 7��� 7����� �� 7� � �7�*4�������� ���� � � 7& ����� �D � ����� �� ��# B����� ������� ��� � ������ ���� & ��� �D�� ��� �D�� ��� ������ ��������� �� ���!�� � ��� � � ������ ���������� ������ �� !� ���!���� �� � � �� -7#2/& � �� ��������� � �� ��� ����� �!�� � ������ �� �� -7#:/# ������& ����� -7#C/ ��� ��� �������� �������� �������� ��� �� & � ������ � � �� ����& �� ����& ��� ��!�����&

��� � * � �

�� �� �

��D � ����� ���*��D � �������� � ���*���

� ��� � �7�**�

����� �� ���� � � ��� ����� �!�� ��"�� ����� �� � ������ ��������& �����

�� � � 44 ���7

� �# ��� �� � ������ ������� �� ��� ��� � ���! # ,����

�� �� � ���� -7#C/& ��� �)�). ������ � ��� ���� ������% � ���� ������� ��� ���� ����� �!�� �� ��"�� ����� �� ���� � ��� � ������ �D�� ����D��# B�& �� � �� ��� ������� ���� ��� ��� �� �+!��������� �"��� �� � &

��� � * � �

�� �� �

�� ���� �� �� ���� � � �7 � � ���� �� ��* � � ���� ��������� � �7������

�*���

� ����

�7�*7��������� ��� �"��� �� �D�� ��� ���& �� � ������ ���� ���� ��� �% ��%� ���"������ ��� �� �D��# �� ��� ��"� �����& �� ������ ��� ��������� ��&�D�� ��� ��� ! ��� ���� �� �!������ � ������� �����# ��� �������� �D�� �� +!��� � !����� �� �! �� ����� ��� �� !�� �� ������� ��� �� �������-*038/#

741 ������� ��� � � ���> ����� )!�� . ������� �� )���� ��

Page 5: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

8# �������� . ������

�� ���� ��� �� !�� �� ������� ��� �� ������� -*038/& �� ����� � � 7 ���������� ��� �������� ��� ��� ���# B�& ����� -*013/ ���� ���� ����). � !���� ��& ��� �� ��� �� ��� - ��& � �"�����& ���������� ��� ���*���� -*001// ���� ��� �������� ��������� �����" ��� �). � &

� ��� � � �7 ���� ��*� �2 �� �

�� �� 7

� ����� ��*

����*� ���� ��* �8�*�

� ���� � �2� �# F� ��� � ������ �D��& �� ������� ��� �� ������� -*038/ ���� ���� ��� ��� �����& � ���� � �7� �& � ����� ��&

� �D��� � � � �D�� � �

� �� ��7 �� �

�� �� 7

� ��

������

� ��

�8�7�

��� ��� �������� �� ��. �����" ������� �� ��� �D�� �

����� �D��� � �� �� � �� � �� � �� ��� � �� �D�� � �� �

�D�� � �� ��� �8�8�

� 7�2 �� �

�� �� 7

� ��

������

� ����� ��*� 2 � �

7���������

� �

� ���� � �2� �#B�& �� � ��� �� ��� '������" ���� ��� ��� ����� ��� � ���� � �7� � �

����� ��

� ���� � � � ��� � �� �

� ��7 ��� �� ��� �� 7 � ����� �� 7�7

� ��

������

� �� �8�2�

��� ��� �������� �� ��. �����" ������� �� ��� ���& � ���� � �2� �& �

� ��� ���� � � � �� � �� � �� � �� ��� � ��� � �� � ��� � �� ��

� 7�2 ��� �� ��� �� 7 � ����� �� 7�7

� ��

������

� �

� ���� ��*� �

7��������

� �� �8�C�

�����

� � 2 � � * � �

�� �� 7* � 7

�� �� 7 � �

� �� �� �8�1�

,��������� 6!���� �� -7444/ 7 74:

Page 6: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

�� � ��! ��� �� -8#7/ ��� -8#2/ ���� ��� � ������ �D�� � �� ��� �� �� ����� �!�� ���� ���# �� � �� � ����� ��� ������� ��� ��� ����� ��� � ���� �� ���� ��� ����� ��� �� ��� � �� � ���� ������ ������� �� �# B�&� �����5� -8#8/ ��� -8#C/ !�����& �� ����� ��� ������ �� ����� � ����� � � ����� ������� �����" � ��� � ��!�� ����� �>

���� �� ��� �����" �� ���� � � �� �������� ������� � ��� ��� �����*� * ; ��& � �� �����& ,��-�.� )���� ��� /�-� �� 0"#1

���� �� ��� �����" ��� � �� � ����� �� �� �������� ������� � � � * ; ��&� �"�����& �� ���. ��� 2� -� -*03*/<#

� ��� @���� *& �� � ���� ���� ��� �����" �"��� �� ����� �� -8#8/ � � � ���� ������� �������� ��� !�������� �D�� ��� �� � ��� ��� �

2 � �

7������

� ������� � *& ����� ����� ��� ��!�# ���������& � -8#C/& ��� �����"

�"��� �� � � ����� ������� � ��� ��� ��

7������

� ������� � *& ����� ��

����� �� ��!�# �� ���� ��� & ������� �D�� �� ��� ������� ��� ��"�� ����� �� � ������ ��# B�& ! ��� @���� 7& �� ��� ���� ��� �������� -8#8/ ���-8#C/ ����� �� � ����� ������� � � ������� ���� ��# ���� � & �� ����� �� !����� � �D�� � ��� � ��� ����� �� ���� ���� ��� ���� �� ��������#��! & !���� ��� ���� +!��� ���� �����" ��������& �� ������� ������� �� � �������� �� ��� � ���# �!�� � & ������& �� ��� �� � � �� �� ���� ��� �� %!�����&

���� � ������ ��� !���� ��� �8�:�!���� � �������� +!���� ���� � ��!��!�� ���� ������ �����" !& ����� �� � ��� � ������ �& ��� ����!��� ��� � ������ ���� �� ���� � ��� �� % � ����� �2� �# B�& � ! � ���� �� ��� �� ���& �� � ������ �������� � ���� �� ���*���� ��� �� ������� -*038/& ���� ��� �� % �� ��� �D�� ���& �� ���������&

���� � �7�� �2 �� �

�� �� 7

� �"�������* ����*� � �8�3�

���

��D��� � �7�� �2 �� �

�� �� 7

� �

� "�������* ����*�� �

������� � 7��� 7�� �

� �� �8�0�

����� ��� � ������ �D�� �� ������ �� % ���� �� ��������&

4 � � � 7��� 7� � �8�*4�������� ���� � �"���� 7& ��� ��� ����� � ��!�� �� % ���!���� � ������������ � � �� 7� �� ������� ��� �� ������� -*038/ ! �� � � 4 �� �������� ���

743 ������� ��� � � ���> ����� )!�� . ������� �� )���� ��

Page 7: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

�� % �� ��� �D��& ��� ��� ���!�� � ��� ���� �������� ������� ��� �� %�"��� �� ����� ����� ��� �+!���� -8#3/ ��� -8#0/#

B�& ��� �� % ��� ��� �� ������� � &

����� � �7�� �2 �� �

�� �� 7

� �"�������*����*�� �

������

� ��

� �� �� 7 � �

�� �� 7

� ��

� � * � �

�� �� 7* � 7

�� �� 7 � �

� �� �� 7��� 7�

� ����

�8�**������ ��� � ������ ��� ������� �� ��������

4 � � � 7��� 7� * � �

�� �� 7* � 7

�� �� 7 � �

� �� ��*

�8�*7�

������� ���� � A 7& ��� ��� ����� � ���!���� �� �� % ��� � ����

� � ��� 7� * � �

�� �� 7* � 7

�� �� �� 7

� �� ��*

� �8�*8�

� ��� -8#0/ ��� -8#**/& �� ��� ���� ��� � ������ ��� �� ������ �� % ���� �D����������

4 � � � 7��� 7� 7 � �� 7

�� �� 7

� ��*

�8�*2�

������� ���� � � 7# �� ��� �� �� ��� ��� ���� ��� ����� � ��!�� ���!���� ���� % ��� ��� �D�� � �������� ����

� � �� 7� � 7 � �� 7

�� �� 7

� ��*

�8�*C�

������� ���� � �"���� 7#

2# ���� ���� )� !��

��� ���� ������� ��� ���� ����� �������� ��� ����! � ������ � �� ��� ��� ������ ���� ���� �"�������� ! ��� ��� ��'G'� ��������� ���% ��� ��� �� 3# ��� ���� � � ��� ��������� !�� ���� ��� � �# $� ���7 � * � *4& ��� �� ���� � � 74& 14 ��� � � 2& *4# ��� ���� �������� ������ � � � ����� ������ ���� ��� �� ������ �* � � � �& ����� �* � ��� �� �������� �# �������& ��� �������� �����" � � � ����� ��� �� �� ���� � � *& *4#$� ��� � � ��* � ��7 ��� ��� �� % ��� ����!���� � !����� �# F!�����& ��

,��������� 6!���� �� -7444/ 7 740

Page 8: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

7*4 ������� ��� � � ���> ����� )!�� . ������� �� )���� ��

����� *

)������� �� % � ������ � ���������� �& ��� �� % ��� ?@� � ������ ����� �� �7

� �� ��� ���

� � 74&� � *4&� � *&�7 � *4

4#444#*44#7C4#:4*#147#74C#C4

7C0#:

4#04424#044C4#044:4#04**4#04744#04714#04C3

**#C32:

4#88334#88384#88344#88:84#88124#88144#88817#01*C

4#73CC4#71744#7C274#7C214#7:024#70084#80:C

*4#048*

� � 74&� � *4&� � *4&�7 � *4

4#444#*44#7C4#:4*#147#74C#C4

7C0#:

4#04*34#04*04#04744#04724#04874#048:4#0412

**#*2:*

4#88:84#88104#88114#881*4#88C84#88204#888*8#447:

4#84C84#84*84#703C4#70714#73214#73414#71::1#:010

� � 74&� � 2&� � *4&�7 � *4

4#444#*44#7C4#:4*#147#74C#C4

7C0#:

4#:2114#:21:4#:2:*4#:2:04#:20:4#:C434#:C:2C#**48

4#102*4#10:C4#10384#13344#12334#171:4#CC037#*4:0

4#21:14#22424#28434#228:4#8:804#81814#8C3*2#24C3

� � 14&� � *4&� � *&�7 � *4

4#444#*44#7C4#:4*#147#74C#C4

7C0#:

4#30334#30304#30044#300C4#04424#04*44#0427

**#28:

4#71174#71C04#71C:4#71C*4#712*4#71824#71487#4104

4#77174#*0804#*3474#*:434#*3:14#74C34#840*

*4#:042

� � 74&� � *4&� � *4&�7 � *

4#444#*44#7C4#:4*#147#74C#C4

7C0#:

4#03874#038C4#03834#03224#03CC4#03174#0303

*7#83:7

4#2:174#2:1*4#2:144#2:C:4#2:C*4#2:2:4#2:702#:3:3

4#2:1*4#2:CC4#2:C*4#2:224#2:8C4#2:8*4#2:*7

**#7*73

Page 9: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

�� � ��� ������ ���!� � ����� �� -8#*8/ � ��� ��� � � � �� 7 � ��� � �� ���� �D��# .��� ���� ��� �"�������� � �� �� � 7C44 ���������� #

' ������� �� !�� ����� ����� �������� ��� ������� ������� � ����� ������� *# F� �� � ������ �& ��� �� % ��� ����� �� �7 ��� ��� �"��� �� � ���������� �& ��� ?@� � ������= �� %# '� ��� � � ��� �"���������� ������ ���� �� ���� �� ������& ��� �). � !������ �������� �� ��� ��� �D��& �!�������� ��� �� �D�� ������� ���� ���� �� ��� ���� ��� ��������� ����# �� � !�� ���� � ���� � ������� ���!� �& ��� � ���������� ������ ���� �D�� ���� �� � �� %# �� ������!���& � � � ����& ��� �� % ���!���� �� ! ��� ������ �D�� � ��� �). ��� �� !� �������# ?� ��� ���� ����& �D�� ��� ���� �������� % ���� ��� ���� � � �����& ��!�� ��� ��� ����� ��� ?@� � ������ ��� ���� ��� � ������ # ?���� ����� ����� �+!��& ������ ��� � ������ � ��� ����� !�� ���� ��� �� ��� ����� � �� %& ��!�� ��� �� % ������!�� ��� �� ������ � � � ������ � # �� � �� !�� ���� ������ ��� � �� !�� �� ������ ��� �� % ���!� ��� �).& ����� � ��� ��� �D��& ��� �� % ������� ���� � � � � ���� �������� ���!� & ��� ���� ������ � ���������� � ����� ���!� �# F!����� ���& ������ ��� � ���!�� ��� �� % ��� �).& ��� ��� �D��& #�"��$� ���$���# ���������& �� % �� !�� �������� �7 � * ��� �7 � *4 ����� ��� ��� +!��������� �� ���� � # F� ��� �� � �7 � *& ��� ��������� ������� ��� ���� ���� ������������� �� !�� � !�������� �� � � �� �� � !����� ��!� ��� �������� ��� � ������� �� !�� ������� �� ��� �����! �����#

'�%�����������

)� ����� � ��� ����� �� !������ �� ���� �� � �������� ����� �� ��� ���������� ��� ��� ���# ��� �!��� ��� �����!� � H���� ����� ����& ��%��!�� �����& ��� ����� ��� �� �����! ������ � ����� ���!�������� ������ � �� ������� ��� �� ��� �����# ��� ! !�� �� ������� �����#

'������"> ��������� �� !��

�� ��� �����& �� ������ ������ ��� ��������� �+!���� -8#2/ ��� -8#C/#F�� -7#*7/ ��� ! ��� � � 7 � �� ��� �� � ��� �����& �� ��� �����&

��� � �� � �

�� �� 7%�� � �'�*�

�����

% � �� ���� �� �� ���� � � �7 � � ���� �� ��* � � ���� ��������� � �7�������*���

�'�7�

,��������� 6!���� �� -7444/ 7 7**

Page 10: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

F�� ���������� ��� ������� -*001/& �� ����&

�� � �� � ���� ��*���� �7 ��&�

�� �� 7

� ����� ��*

����*�� �� �8� �

� �� ��* � �7�7 � ����8� �'�8�

����� & � � � � ���� ��* ��& �* � ������* ��� ��� �7 � ��&�������* ����*'

�� �� 7#

�������&

% � �7

������

� ���&�

�� �� 7

� ��� �� 7 � �� ��� 7�����*� ���� ��*

���� �

� * � 7������������

�� �7���&�� �������*���

��� �� 7� �������� � 2��������7��������7

�'�2�

' � �� !��& �� �����&

%�� � % ��� � �� � �� �

� �7

������

� ���&�

�� �� 7

� ���� �� 7 � '���*�� ��

� ���� �� 7 � ����*�� ������* ���

� 7���� �� 7 � ����*�� ������������

� 7�����*�������*����� � ����2� � �'�C���%��� ! � ��� �� !�� �� -'#*/& �� � ���� ����& � ���� � �8� �&

��� � �� � �7(* � �8(7 � �'�1������

(* � � �

��������� �� 7 � ����*�� ���&�� �

��� �� 7�7 �'�:����

(7 � 7����*�������* ����� ��� �� 7 � ����*���

� ������* � 7���

������

� �����

���&���������� �� 7�7 �'�3�

�����& !� � ���� � �7� �& ��� ��� ����� ��� ��� �� ������� � &

� ���� � � � �� � �� � � �7 �����&�� ��� �� 7 � ������*'���� �� 7� �7 ������

� � �'�0�

�� ����!� ���� ��� ������������ � ��� �# B�& �� � ������� ��� ��������&�� � �� � ��� ������*�� � �# F!��������& � �� � �� � � 4& � �� � � �

7*7 ������� ��� � � ���> ����� )!�� . ������� �� )���� ��

Page 11: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

�� �� !����� �� �!������ ; �� ����� -*013/<# �����&

������ � ��7 ��� �� ��� �� 7 � ����� �� 7�7

� ��

������

� �� � �'�*4�

����� � �+!���� -8#2/#B�"�& �� ���� ��� ��. �����" ��� � ���� � �2� �# � ��� -'#*/& �� � �������

��� ���� ��� ��. �����" ���& !� � ���� ���2�& ��� �� ������� � &

�� ��� � �� � ��� � �� ��� � �� �� � �� � �� � �� ��� � �8� �*(�* � (*�

�*

� �� �2� �7(

�* � �*(

�7

� �(*��7 � (�*(* � (7��*

�� �'�**�

B�� ����&

���*(�*� � ��(*��*� � 4 � �'�*7����7(�*� � �(*��7� � 4 � �'�*8�

���*(�7� � � ���� �� 7 � ����������� �� 7�7 � ��&�������*������

� ������* � 7���

������

� ��

� � ���� �� ��� �� 7 � ����������� �� 7�7 ������* � 7���

������

� �� �'�*2�

��(7��*� � ����*(�7��� � ���*(�7� �'�*C����

��(*(�*� ��7��� ��

��������7��� �� 7�8

� � ��� �� 7�7 � �����*��7 � 7��� �� 7� �����*�� �

� ��� � �7��� ����������7 ��� �� 7�8 ���� �� 7 � ��7 � 7�� ��� �

�'�*1��!� ���!���� -'#*7/ � -'#*1/ �� -'#**/& �� �����& !� � ���� ���2�&����� ���� � � �� � �� � �� � �� ��� � ��� � �� � ��� � �� ��

� 7�2 ��� �� ��� �� 7 � ����� �� 7�7

� ��

������

� ����� ��*� �

7��������

� ��

�'�*:������ � �+!���� -8#C/#

,��������� 6!���� �� -7444/ 7 7*8

Page 12: Stein-Rule Estimation in Mixed Regression Models

F������& ��� �"��� �� � ��� �� % !����� ��� ��� ��� ��� �� �������� ������ ������� �� �!��������� ����� �� ������� ��. ������� �� ��� ������ �� ���" ��� � !����� ��� ���� ��%��� ��� ����� ��� �� !����� ������� #

��%����#��

�� ���.� 3 ��� 2� -�� 6# �#& *03*> ?� �������� �� ������� ��� � +!��� � ������ # )����( %�#���"�$#� ��& 80:�242#

)����� � ��� ��� �� �#& *01*> . ������� ���� +!������� � # *�#���$��� % "�� +��"� �����(�������$�� � &�"����"$#�( �"�"$�"$#� ��� *����$($"�, ������ ��� �������� ��� & ,��%����&81*98:0#

����� � B# �#& *013> ' ��� � ��� !���� ���� ��"�� ����� �� � �������# �#���"�$#� ��&1*4�1**#

������ '# @# ��� ����� � B# �#& *012> ��� ��� ��� ����� �����" � ��"�� ����� �� � ���� ��# �#���"�$#� ��& 830�247#

$���� � �# ��� %����� I#& *032�> ����� ����� �������� ��� ��"�� ����� �� � ������# )����(% �#���"�$#� ��& 8:C�83C#

$���� � �# ��� %����� I#& *032�> ?� ���� ����� �������� ��� ��"�� ����� �� ��������!���� �� ����������# ����$#�"$�� $� �"�"$�"$#� -���� ��� &�"��� ��& 73*:�737C#

�� �������� H# �#& *034> . ������� ������ ����� �+!���� ��� ��!�����! �+!���� ���� !���� ���� ��� ������ �� ������ > �� �������� �����������# ��"����"$��( �"�"$�"$#�( ��'$� ��& :0�37#

�� �������� H# �# ��� � ���� �# .# '#& *03:> ����$��(� .���(�"�� �������$� �/��"$�� &��(� ��"$��"$� ��� ��%����#�# ������ ��%%��& B�� I�%#

�� �������� H# �# ��� $���� � �#& *00C> ' ������ � �������� �� ������� ��� � +!��� �����"�� ����� �� � ������ # ����$#�"$�� $� �"�"$�"$#� -���� ��� &�"��� ��& 80C�2*8#

�� �������� H# �#& ���� ,# ��� ����� �#& *032> . ������� � ����� �������� ���� !���������� ���� ��� �� ������ # 0���(� % "�� ���"$"�"� % �"�"$�"$#�( &�"����"$#� ��& 80C�24*#

�� �������� H# �# ��� �� �������� '# �#& *038> ������� � ������� �������� �� ����� ������ ���� ��������� ���� ��������# �$��"�$#�( )����( ��& ::C�:37#

��� �� �#& *0C1> ������ ������� ��� ! !�� � ������ � ��� ���� � �!���������� ����� �� ����! ���# *�#���$��� % "�� -�$�� �����(�� �����$�� � &�"����"$#�( �"�"$�"$#� ��� *����$($"�#������ ��� �������� ��� & ,��%����& *0:�741#

��� �� �# ��� ����������� '# �#& *01*> ?� �!�� ��� ��"�� ���� ����� � ������� �� ������ # ��"��1��"$��( �#��$# ��'$� �& 1C�:3#

����������� �# ��� �������� *001> ���������� ��������� ��� ����� �� ������� ��� ��"������� �� � ������ # �$��"�$#�( )����( ��& 0C*�0C0#

����������� �# ��� �������� 7444> ������� ��������� �� ������ ����� �� ���� ���� ���� ��������� �� ������ # �$��"�$#�( )����( ��& :*�31#

,��-�.� � �� )����� � � ��� /�-�� �# .#& *0:2> ' ���� +!��� ���� �� � ���� ���� ��� �� ���� ��� ��� ! �� �� ����� ��# ����$#�"$�� $� �"�"$�"$#� -���� ��� &�"��� �& :CC�:13#

� � ��� )�������& ��� *000���������� ���������� ������� )��� ��& �������� *000���� ������ ��� ��� ��� '�������& �������� *000��� ���� '���!�������� ���

7*2 ������� ��� � � ���> ����� )!�� . ������� �� )���� ��