12
Stellar and Galactic Dynamics Elena D’Onghia Harvard University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’M >-5 ,-.(/0( +@ ()5887* (.()5?( /( GMNO’M 6+* 7 0+?,*5-51(/J5 +J5*J/5D +@ ()5887* 2.17?/0( (55F O/115.A >*5?7/15F G7870)/0 P.17?/0(A #*/105)+1 Q1/JC #*5((

Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

Stellar and Galactic Dynamics ElenaD’OnghiaHarvardUniversity

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

>-5&2.17?/0(&+@&()7*&083()5*(A&<787B/5(&+*&<787B.&083()5*(&/(&(/<1/@/071)8.&?+*5

0+?,8/07)52&)-71&-.2*+2.17?/0(C&>-/(&-7(&)D+&E7(/0&*57(+1(F

G7(5(&712&,87(?7(&H/1&87E+*7)+*/5(A&/1&()7*(I&7*5&2+?/17)52&E.&5850)*+?7<15)/0&@+*05(&D-/0-&7*5&?+()8.&15<8/</E85&+1&(0785(&87*<5*&)-71&7&@5D&)/?5(&)-5&).,/078&(5,7*7)/+1&+@&)-5&,7*)/085(C&

G787B/5(&7*5&2+?/17)52&E.&<*7J/)7)/+1A&7&@+*05&)-7)&0711+)&E5&(-/58252C&>-5*5@+*5A&()7*(K<787B/5(&5B,5*/5105&700585*7)/+1(&@*+?&788&+)-5*&?5?E5*(&/1&)-5&(.()5?C

>-5&?571&@*55&,7)-&+@&,7*)/085(&/1&?+()&<7(5(&/(&<515*788.&(?788 0+?,7*52&)+&)-5&(/L5&+@&)-5&(.()5?C

!1&()5887*&712&<787B.&(.()5?(&)-5&?571&@*55&,7)-&/(&87*<5&0+?,7*52&)+&)-5&(/L5&+@&)-5&(.()5?&H! @5D&/1)5*70)/+1(A&87*<5&*587B7)/+1&)/?5(I

>-5&,-.(/0(&+@&<7(5(&712&,87(?7(&/(&MN4'M

>-5&,-.(/0(&+@&()5887*&(.()5?(&/(&GMNO'M

6+*&7&0+?,*5-51(/J5&+J5*J/5D&+@&()5887*&2.17?/0(&(55F

O/115.A&>*5?7/15F&G7870)/0&P.17?/0(A&#*/105)+1&Q1/JC&#*5((

Page 2: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

• Relaxat ion of Ste l lar Systems

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

!"#$%&'()(*+,-$,.$/*&''(0$/12*&32

487((/078&*587>7)/+1&/(&?7(52&+1&)-5&*52/()*/?3)/+1&+@&)-5&+*?/)78&515*</5(&+@&()7*(&A/7&)B+C

?+2.&510+31)5*(D&'@)5*&E71.&510+31)5*(&71&5F3/8/?*/3E&2/()*/?3)/+1&/(&5()7?8/(-52&0+E,7C

*7?85&G?3)&1+)&5F378HI&)+&)-5&J+8)KE711&2/()*/?3)/+1&+@&()7)/()/078&E50-71/0(D

LD&M5@850)/+1&+@&7&()7*&B-51&,7((/1<&71+)-5*&()7*N

3/ 222 2 2

2 2 2 2 3/ 2 2cos( ) 1 (8.1)

( )

Gm Gm b Gm xF

b x b x b b!

"

#

$ %$ %& & & '( )( )( )' ' * +* +

4+1(/25*&,7((7<5(&7)&87*<5&2/()7105(&@/*()N&!A" O A

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

!"#$%&'()(*+,-$,.$/*&''(0$/12*&32

487((/078&*587>7)/+1&/(&?7(52&+1&)-5&*52/()*/?3)/+1&+@&)-5&+*?/)78&515*</5(&+@&()7*(&A/7&)B+C

?+2.&510+31)5*(D&'@)5*&E71.&510+31)5*(&71&5F3/8/?*/3E&2/()*/?3)/+1&/(&5()7?8/(-52&0+E,7C

*7?85&G?3)&1+)&5F378HI&)+&)-5&J+8)KE711&2/()*/?3)/+1&+@&()7)/()/078&E50-71/0(D

LD&M5@850)/+1&+@&7&()7*&B-51&,7((/1<&71+)-5*&()7*N

3/ 222 2 2

2 2 2 2 3/ 2 2cos( ) 1 (8.1)

( )

Gm Gm b Gm xF

b x b x b b!

"

#

$ %$ %& & & '( )( )( )' ' * +* +

4+1(/25*&,7((7<5(&7)&87*<5&2/()7105(&@/*()N&!A" O A

Page 3: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

3/ 22

2

2 3/ 2

2

1

(1 ) (8.2)

2 2

(accelaration) (passage time)

F Gm vtv dt dt

m b b

Gms ds

bv

Gm Gm bv

bv b v

!

!

"# #

$$

"# "#

#"

"#

$

% &% &' ' () *) *) *+ ,+ ,

' (

' ' -

' -

. .

.

(8.3)

/

%5))/1<&)-5&>5*+?,+/1)&/1&)&(30-&)-7)&@&A&B&C&)&</B5(D

9E&F3GH5*&+I&/1)5*70)/+1(&5@,5*/51052&H.&7&()7*&J-51&,7((/1<&)-*+3<-&7&-+G+<515+3(&

()5887*&(.()5G&+105D

$&A&$72/3(&+I&)-5&()5887*&(.()5G

F&A&F3GH5*&+I&()7*(&/1&)-5&(.()5G

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

3/ 22

2

2 3/ 2

2

1

(1 ) (8.2)

2 2

(accelaration) (passage time)

F Gm vtv dt dt

m b b

Gms ds

bv

Gm Gm bv

bv b v

!

!

"# #

$$

"# "#

#"

"#

$

% &% &' ' () *) *) *+ ,+ ,

' (

' ' -

' -

. .

.

(8.3)

/

%5))/1<&)-5&>5*+?,+/1)&/1&)&(30-&)-7)&@&A&B&C&)&</B5(D

9E&F3GH5*&+I&/1)5*70)/+1(&5@,5*/51052&H.&7&()7*&J-51&,7((/1<&)-*+3<-&7&-+G+<515+3(&

()5887*&(.()5G&+105D

$&A&$72/3(&+I&)-5&()5887*&(.()5G

F&A&F3GH5*&+I&()7*(&/1&)-5&(.()5G

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

1 2

2

2 (8.4)

2 (8.5)

b

bdbP

R

Nn bdb

R

!

!

"

#

#

#*+>7>/8/).&#? )-7)&)-5&0*+((/1<&()7*&@/88&,7((&+15 ()7*&+A&)-5&(.()5B&C5D<D&<787E.F&/1&7

2/()7105G/1)5*H78&I>J&>K2>L&M

!A&)-5&<787E.&0+1)7/1(&N&()7*(J&)-5&)+)78&13B>5*&+A&/1)5*70)/+1( A+*&7&(/1<85&0*+((/1<&/(M

O/)-&5H5*.&/1)5*70)/+1&H&0-71<5(&>.&)-5&7B+31)&+A&H!D

P-5&(3B&+A&788&/1)5*70)/+1(&@/88&8572&)+&71&7H5*7<5 0-71<5&+A&H58+0/).&+A&Q"H!R&#&:

C,+(/)/H5&712&15<7)/H5&25A850)/+1(&7*5&5S3788.&,*+>7>85FD

T+@5H5*&)-5&B571&(S37*5 25A850)/+1&/(&1+)&5S378&)+&:M

2 2

2

2

2 2 2 (8.6)

b

Gm Gm Nbv n db

bv bv R" "$

% & % &' (# ) # )* + * +

, - , -

max

min

2 2

2 max

2

min

2 28 ln (8.7)

b

b

bGm Nb Gmv db N

bv R vR b" $

% & % &' (# #* + * +

, - , -.

UD&!1)5<*7)/+1&+H5*&788&/B,70)&,7*7B5)5*(&>&</H5(M

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

1 2

2

2 (8.4)

2 (8.5)

b

bdbP

R

Nn bdb

R

!

!

"

#

#

#*+>7>/8/).&#? )-7)&)-5&0*+((/1<&()7*&@/88&,7((&+15 ()7*&+A&)-5&(.()5B&C5D<D&<787E.F&/1&7

2/()7105G/1)5*H78&I>J&>K2>L&M

!A&)-5&<787E.&0+1)7/1(&N&()7*(J&)-5&)+)78&13B>5*&+A&/1)5*70)/+1( A+*&7&(/1<85&0*+((/1<&/(M

O/)-&5H5*.&/1)5*70)/+1&H&0-71<5(&>.&)-5&7B+31)&+A&H!D

P-5&(3B&+A&788&/1)5*70)/+1(&@/88&8572&)+&71&7H5*7<5 0-71<5&+A&H58+0/).&+A&Q"H!R&#&:

C,+(/)/H5&712&15<7)/H5&25A850)/+1(&7*5&5S3788.&,*+>7>85FD

T+@5H5*&)-5&B571&(S37*5 25A850)/+1&/(&1+)&5S378&)+&:M

2 2

2

2

2 2 2 (8.6)

b

Gm Gm Nbv n db

bv bv R" "$

% & % &' (# ) # )* + * +

, - , -

max

min

2 2

2 max

2

min

2 28 ln (8.7)

b

b

bGm Nb Gmv db N

bv R vR b" $

% & % &' (# #* + * +

, - , -.

UD&!1)5<*7)/+1&+H5*&788&/B,70)&,7*7B5)5*(&>&</H5(M

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

1 2

2

2 (8.4)

2 (8.5)

b

bdbP

R

Nn bdb

R

!

!

"

#

#

#*+>7>/8/).&#? )-7)&)-5&0*+((/1<&()7*&@/88&,7((&+15 ()7*&+A&)-5&(.()5B&C5D<D&<787E.F&/1&7

2/()7105G/1)5*H78&I>J&>K2>L&M

!A&)-5&<787E.&0+1)7/1(&N&()7*(J&)-5&)+)78&13B>5*&+A&/1)5*70)/+1( A+*&7&(/1<85&0*+((/1<&/(M

O/)-&5H5*.&/1)5*70)/+1&H&0-71<5(&>.&)-5&7B+31)&+A&H!D

P-5&(3B&+A&788&/1)5*70)/+1(&@/88&8572&)+&71&7H5*7<5 0-71<5&+A&H58+0/).&+A&Q"H!R&#&:

C,+(/)/H5&712&15<7)/H5&25A850)/+1(&7*5&5S3788.&,*+>7>85FD

T+@5H5*&)-5&B571&(S37*5 25A850)/+1&/(&1+)&5S378&)+&:M

2 2

2

2

2 2 2 (8.6)

b

Gm Gm Nbv n db

bv bv R" "$

% & % &' (# ) # )* + * +

, - , -

max

min

2 2

2 max

2

min

2 28 ln (8.7)

b

b

bGm Nb Gmv db N

bv R vR b" $

% & % &' (# #* + * +

, - , -.

UD&!1)5<*7)/+1&+H5*&788&/B,70)&,7*7B5)5*(&>&</H5(M

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

1 2

2

2 (8.4)

2 (8.5)

b

bdbP

R

Nn bdb

R

!

!

"

#

#

#*+>7>/8/).&#? )-7)&)-5&0*+((/1<&()7*&@/88&,7((&+15 ()7*&+A&)-5&(.()5B&C5D<D&<787E.F&/1&7

2/()7105G/1)5*H78&I>J&>K2>L&M

!A&)-5&<787E.&0+1)7/1(&N&()7*(J&)-5&)+)78&13B>5*&+A&/1)5*70)/+1( A+*&7&(/1<85&0*+((/1<&/(M

O/)-&5H5*.&/1)5*70)/+1&H&0-71<5(&>.&)-5&7B+31)&+A&H!D

P-5&(3B&+A&788&/1)5*70)/+1(&@/88&8572&)+&71&7H5*7<5 0-71<5&+A&H58+0/).&+A&Q"H!R&#&:

C,+(/)/H5&712&15<7)/H5&25A850)/+1(&7*5&5S3788.&,*+>7>85FD

T+@5H5*&)-5&B571&(S37*5 25A850)/+1&/(&1+)&5S378&)+&:M

2 2

2

2

2 2 2 (8.6)

b

Gm Gm Nbv n db

bv bv R" "$

% & % &' (# ) # )* + * +

, - , -

max

min

2 2

2 max

2

min

2 28 ln (8.7)

b

b

bGm Nb Gmv db N

bv R vR b" $

% & % &' (# #* + * +

, - , -.

UD&!1)5<*7)/+1&+H5*&788&/B,70)&,7*7B5)5*(&>&</H5(M

Page 4: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

1 2

2

2 (8.4)

2 (8.5)

b

bdbP

R

Nn bdb

R

!

!

"

#

#

#*+>7>/8/).&#? )-7)&)-5&0*+((/1<&()7*&@/88&,7((&+15 ()7*&+A&)-5&(.()5B&C5D<D&<787E.F&/1&7

2/()7105G/1)5*H78&I>J&>K2>L&M

!A&)-5&<787E.&0+1)7/1(&N&()7*(J&)-5&)+)78&13B>5*&+A&/1)5*70)/+1( A+*&7&(/1<85&0*+((/1<&/(M

O/)-&5H5*.&/1)5*70)/+1&H&0-71<5(&>.&)-5&7B+31)&+A&H!D

P-5&(3B&+A&788&/1)5*70)/+1(&@/88&8572&)+&71&7H5*7<5 0-71<5&+A&H58+0/).&+A&Q"H!R&#&:

C,+(/)/H5&712&15<7)/H5&25A850)/+1(&7*5&5S3788.&,*+>7>85FD

T+@5H5*&)-5&B571&(S37*5 25A850)/+1&/(&1+)&5S378&)+&:M

2 2

2

2

2 2 2 (8.6)

b

Gm Gm Nbv n db

bv bv R" "$

% & % &' (# ) # )* + * +

, - , -

max

min

2 2

2 max

2

min

2 28 ln (8.7)

b

b

bGm Nb Gmv db N

bv R vR b" $

% & % &' (# #* + * +

, - , -.

UD&!1)5<*7)/+1&+H5*&788&/B,70)&,7*7B5)5*(&>&</H5(M

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

1 2

2

2 (8.4)

2 (8.5)

b

bdbP

R

Nn bdb

R

!

!

"

#

#

#*+>7>/8/).&#? )-7)&)-5&0*+((/1<&()7*&@/88&,7((&+15 ()7*&+A&)-5&(.()5B&C5D<D&<787E.F&/1&7

2/()7105G/1)5*H78&I>J&>K2>L&M

!A&)-5&<787E.&0+1)7/1(&N&()7*(J&)-5&)+)78&13B>5*&+A&/1)5*70)/+1( A+*&7&(/1<85&0*+((/1<&/(M

O/)-&5H5*.&/1)5*70)/+1&H&0-71<5(&>.&)-5&7B+31)&+A&H!D

P-5&(3B&+A&788&/1)5*70)/+1(&@/88&8572&)+&71&7H5*7<5 0-71<5&+A&H58+0/).&+A&Q"H!R&#&:

C,+(/)/H5&712&15<7)/H5&25A850)/+1(&7*5&5S3788.&,*+>7>85FD

T+@5H5*&)-5&B571&(S37*5 25A850)/+1&/(&1+)&5S378&)+&:M

2 2

2

2

2 2 2 (8.6)

b

Gm Gm Nbv n db

bv bv R" "$

% & % &' (# ) # )* + * +

, - , -

max

min

2 2

2 max

2

min

2 28 ln (8.7)

b

b

bGm Nb Gmv db N

bv R vR b" $

% & % &' (# #* + * +

, - , -.

UD&!1)5<*7)/+1&+H5*&788&/B,70)&,7*7B5)5*(&>&</H5(M

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

! "

!

! !

>7?

>/1 9&&@5073(5&+)-5*A/(5& B&/C5C&)-5&7((3>,)/+1&+D&(>788&25D850)/+1&71<85(&/(&E/+87)52C

! "

#$! % %

%

22

2

1 ( )2 (8.8)

2

(8.9)

G NmNmv

R

Gm R

v N

# $% &' () *

&+

712&)-3(F&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&'(&7&>7))5*&+D&D70)B&/1)5*70)/+1(&A/)-&@&G&@>/1 7*5&E5*.&*7*5F

H-5&D*70)/+178&7*57&+D&7&<787?.&)-7)&0+**5(,+12(&)+&08+(5&,7((7<5(&/(&</E51&@.F

/C5C&D+*&).,/078&()5887*&(.()5>(&A/)-&I&J&K:::&08+(5&/1)5*70)/+1(&7*5&15<8/</@85B&/C5CF

! !"#$%$&'()*'+*,(-')$&",*./*#$01"*,'+&$)2"*')&"0$2&'()+

#873(/@85&E7835(&D+*&@>/1B&@>7?F

L(/1<&)-5&E/*/78&)-5+*5>&M9HM&N&MOM&</E5(&PE&N&>571&E58+0/).&+D&)-5&()7*(Q&F

min

Rb

N!

2

min

2

1 (8.10)

N b

R N

,

,!

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

! "

!

! !

>7?

>/1 9&&@5073(5&+)-5*A/(5& B&/C5C&)-5&7((3>,)/+1&+D&(>788&25D850)/+1&71<85(&/(&E/+87)52C

! "

#$! % %

%

22

2

1 ( )2 (8.8)

2

(8.9)

G NmNmv

R

Gm R

v N

# $% &' () *

&+

712&)-3(F&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&'(&7&>7))5*&+D&D70)B&/1)5*70)/+1(&A/)-&@&G&@>/1 7*5&E5*.&*7*5F

H-5&D*70)/+178&7*57&+D&7&<787?.&)-7)&0+**5(,+12(&)+&08+(5&,7((7<5(&/(&</E51&@.F

/C5C&D+*&).,/078&()5887*&(.()5>(&A/)-&I&J&K:::&08+(5&/1)5*70)/+1(&7*5&15<8/</@85B&/C5CF

! !"#$%$&'()*'+*,(-')$&",*./*#$01"*,'+&$)2"*')&"0$2&'()+

#873(/@85&E7835(&D+*&@>/1B&@>7?F

L(/1<&)-5&E/*/78&)-5+*5>&M9HM&N&MOM&</E5(&PE&N&>571&E58+0/).&+D&)-5&()7*(Q&F

min

Rb

N!

2

min

2

1 (8.10)

N b

R N

,

,!

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

! "

!

! !

>7?

>/1 9&&@5073(5&+)-5*A/(5& B&/C5C&)-5&7((3>,)/+1&+D&(>788&25D850)/+1&71<85(&/(&E/+87)52C

! "

#$! % %

%

22

2

1 ( )2 (8.8)

2

(8.9)

G NmNmv

R

Gm R

v N

# $% &' () *

&+

712&)-3(F&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&'(&7&>7))5*&+D&D70)B&/1)5*70)/+1(&A/)-&@&G&@>/1 7*5&E5*.&*7*5F

H-5&D*70)/+178&7*57&+D&7&<787?.&)-7)&0+**5(,+12(&)+&08+(5&,7((7<5(&/(&</E51&@.F

/C5C&D+*&).,/078&()5887*&(.()5>(&A/)-&I&J&K:::&08+(5&/1)5*70)/+1(&7*5&15<8/</@85B&/C5CF

! !"#$%$&'()*'+*,(-')$&",*./*#$01"*,'+&$)2"*')&"0$2&'()+

#873(/@85&E7835(&D+*&@>/1B&@>7?F

L(/1<&)-5&E/*/78&)-5+*5>&M9HM&N&MOM&</E5(&PE&N&>571&E58+0/).&+D&)-5&()7*(Q&F

min

Rb

N!

2

min

2

1 (8.10)

N b

R N

,

,!

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

! "

!

! !

>7?

>/1 9&&@5073(5&+)-5*A/(5& B&/C5C&)-5&7((3>,)/+1&+D&(>788&25D850)/+1&71<85(&/(&E/+87)52C

! "

#$! % %

%

22

2

1 ( )2 (8.8)

2

(8.9)

G NmNmv

R

Gm R

v N

# $% &' () *

&+

712&)-3(F&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&'(&7&>7))5*&+D&D70)B&/1)5*70)/+1(&A/)-&@&G&@>/1 7*5&E5*.&*7*5F

H-5&D*70)/+178&7*57&+D&7&<787?.&)-7)&0+**5(,+12(&)+&08+(5&,7((7<5(&/(&</E51&@.F

/C5C&D+*&).,/078&()5887*&(.()5>(&A/)-&I&J&K:::&08+(5&/1)5*70)/+1(&7*5&15<8/</@85B&/C5CF

! !"#$%$&'()*'+*,(-')$&",*./*#$01"*,'+&$)2"*')&"0$2&'()+

#873(/@85&E7835(&D+*&@>/1B&@>7?F

L(/1<&)-5&E/*/78&)-5+*5>&M9HM&N&MOM&</E5(&PE&N&>571&E58+0/).&+D&)-5&()7*(Q&F

min

Rb

N!

2

min

2

1 (8.10)

N b

R N

,

,!

Page 5: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

! "

!

! !

>7?

>/1 9&&@5073(5&+)-5*A/(5& B&/C5C&)-5&7((3>,)/+1&+D&(>788&25D850)/+1&71<85(&/(&E/+87)52C

! "

#$! % %

%

22

2

1 ( )2 (8.8)

2

(8.9)

G NmNmv

R

Gm R

v N

# $% &' () *

&+

712&)-3(F&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&'(&7&>7))5*&+D&D70)B&/1)5*70)/+1(&A/)-&@&G&@>/1 7*5&E5*.&*7*5F

H-5&D*70)/+178&7*57&+D&7&<787?.&)-7)&0+**5(,+12(&)+&08+(5&,7((7<5(&/(&</E51&@.F

/C5C&D+*&).,/078&()5887*&(.()5>(&A/)-&I&J&K:::&08+(5&/1)5*70)/+1(&7*5&15<8/</@85B&/C5CF

! !"#$%$&'()*'+*,(-')$&",*./*#$01"*,'+&$)2"*')&"0$2&'()+

#873(/@85&E7835(&D+*&@>/1B&@>7?F

L(/1<&)-5&E/*/78&)-5+*5>&M9HM&N&MOM&</E5(&PE&N&>571&E58+0/).&+D&)-5&()7*(Q&F

min

Rb

N!

2

min

2

1 (8.10)

N b

R N

,

,!

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

2 2 2

2 4 2

8 8 ln ln (8.11)

(8.12)8ln

8ln

relax

relax relax cross cross

v NG mN N

v v R N

NN

N

N NN

N

!

" " "

#$ %

&

&

& ' & '

!

! (8.13)8ln

R

N v'

>?&@(/1<&)-5&A/*/78&)-5+*5B&+105&B+*5&8572(&)+

C+*&7&(/1<85&,7((7<5&)-*+3<-&)-5&()5887*&(.()5B?

6+*&*587D7)/+1&EF! A"9G&# A9H&)+&+003*I&7&()7*&J/88&-7A5&)+&0*+((&)-5&<787D.&K*587D )/B5(L

M-5&*587D7)/+1N)/B5&$*587D /(&E$0*+((&O&0*+((/1<N)/B5HL

PD7B,85(L

K $ A $0*+(( $*587D 7<5Q$*587D

+,51&083()5* R:: 9&,0 :?S&TBQ( >&U&R:V .*( R:W .*( % R

<8+X387*&083()5* R:S >&,0 R:&TBQ( >&U&R:S .*( >&U&R:= .*( % R:

588/,)?&<787D. R:R9 R:&T,0 V::&TBQ( 9&U&R:W .*( R:RW .*( R:&W

2J7*C&<787D. R:; R&T,0 S:&TBQ( 9&U&R:W .*( R:R> .*( R:&>

<787D.&083()5* R::: R&",0 R:::&TBQ( R:; .*( 9&U&R:R: .*( R:&R

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

2 2 2

2 4 2

8 8 ln ln (8.11)

(8.12)8ln

8ln

relax

relax relax cross cross

v NG mN N

v v R N

NN

N

N NN

N

!

" " "

#$ %

&

&

& ' & '

!

! (8.13)8ln

R

N v'

>?&@(/1<&)-5&A/*/78&)-5+*5B&+105&B+*5&8572(&)+

C+*&7&(/1<85&,7((7<5&)-*+3<-&)-5&()5887*&(.()5B?

6+*&*587D7)/+1&EF! A"9G&# A9H&)+&+003*I&7&()7*&J/88&-7A5&)+&0*+((&)-5&<787D.&K*587D )/B5(L

M-5&*587D7)/+1N)/B5&$*587D /(&E$0*+((&O&0*+((/1<N)/B5HL

PD7B,85(L

K $ A $0*+(( $*587D 7<5Q$*587D

+,51&083()5* R:: 9&,0 :?S&TBQ( >&U&R:V .*( R:W .*( % R

<8+X387*&083()5* R:S >&,0 R:&TBQ( >&U&R:S .*( >&U&R:= .*( % R:

588/,)?&<787D. R:R9 R:&T,0 V::&TBQ( 9&U&R:W .*( R:RW .*( R:&W

2J7*C&<787D. R:; R&T,0 S:&TBQ( 9&U&R:W .*( R:R> .*( R:&>

<787D.&083()5* R::: R&",0 R:::&TBQ( R:; .*( 9&U&R:R: .*( R:&R

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

2 2 2

2 4 2

8 8 ln ln (8.11)

(8.12)8ln

8ln

relax

relax relax cross cross

v NG mN N

v v R N

NN

N

N NN

N

!

" " "

#$ %

&

&

& ' & '

!

! (8.13)8ln

R

N v'

>?&@(/1<&)-5&A/*/78&)-5+*5B&+105&B+*5&8572(&)+

C+*&7&(/1<85&,7((7<5&)-*+3<-&)-5&()5887*&(.()5B?

6+*&*587D7)/+1&EF! A"9G&# A9H&)+&+003*I&7&()7*&J/88&-7A5&)+&0*+((&)-5&<787D.&K*587D )/B5(L

M-5&*587D7)/+1N)/B5&$*587D /(&E$0*+((&O&0*+((/1<N)/B5HL

PD7B,85(L

K $ A $0*+(( $*587D 7<5Q$*587D

+,51&083()5* R:: 9&,0 :?S&TBQ( >&U&R:V .*( R:W .*( % R

<8+X387*&083()5* R:S >&,0 R:&TBQ( >&U&R:S .*( >&U&R:= .*( % R:

588/,)?&<787D. R:R9 R:&T,0 V::&TBQ( 9&U&R:W .*( R:RW .*( R:&W

2J7*C&<787D. R:; R&T,0 S:&TBQ( 9&U&R:W .*( R:R> .*( R:&>

<787D.&083()5* R::: R&",0 R:::&TBQ( R:; .*( 9&U&R:R: .*( R:&R!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=

2 2 2

2 4 2

8 8 ln ln (8.11)

(8.12)8ln

8ln

relax

relax relax cross cross

v NG mN N

v v R N

NN

N

N NN

N

!

" " "

#$ %

&

&

& ' & '

!

! (8.13)8ln

R

N v'

>?&@(/1<&)-5&A/*/78&)-5+*5B&+105&B+*5&8572(&)+

C+*&7&(/1<85&,7((7<5&)-*+3<-&)-5&()5887*&(.()5B?

6+*&*587D7)/+1&EF! A"9G&# A9H&)+&+003*I&7&()7*&J/88&-7A5&)+&0*+((&)-5&<787D.&K*587D )/B5(L

M-5&*587D7)/+1N)/B5&$*587D /(&E$0*+((&O&0*+((/1<N)/B5HL

PD7B,85(L

K $ A $0*+(( $*587D 7<5Q$*587D

+,51&083()5* R:: 9&,0 :?S&TBQ( >&U&R:V .*( R:W .*( % R

<8+X387*&083()5* R:S >&,0 R:&TBQ( >&U&R:S .*( >&U&R:= .*( % R:

588/,)?&<787D. R:R9 R:&T,0 V::&TBQ( 9&U&R:W .*( R:RW .*( R:&W

2J7*C&<787D. R:; R&T,0 S:&TBQ( 9&U&R:W .*( R:R> .*( R:&>

<787D.&083()5* R::: R&",0 R:::&TBQ( R:; .*( 9&U&R:R: .*( R:&R

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&;

/=5=&7)&5>5*.&8+07)/+1&

071&?5&)*35=&@-/(&0+**5(,+12(&)+&71&A71/(+)*+,/0&)5B,5*7)3*5C=

!

!

&@D+E?+2.E*587F7)/+1&/(&/1(/<1/G/071)&/1&<787F/5(&

712&+G&B+25()&(/<1/G/07105&/1&083()5*(&+G&<787F/5(H

&@-5&>58+0/).&2/()*/?3)/+1&/1&<787F/5(&712&<787F.&083()5*(&071&?5&'I!%J@$J#!4H

!

K!2 2 2 (8.14)x y zv v v" "

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&;

/=5=&7)&5>5*.&8+07)/+1&

071&?5&)*35=&@-/(&0+**5(,+12(&)+&71&A71/(+)*+,/0&)5B,5*7)3*5C=

!

!

&@D+E?+2.E*587F7)/+1&/(&/1(/<1/G/071)&/1&<787F/5(&

712&+G&B+25()&(/<1/G/07105&/1&083()5*(&+G&<787F/5(H

&@-5&>58+0/).&2/()*/?3)/+1&/1&<787F/5(&712&<787F.&083()5*(&071&?5&'I!%J@$J#!4H

!

K!2 2 2 (8.14)x y zv v v" "

Page 6: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=:

>-3(?&)-5&@+88+A/1<&7,,8/5(&)+&788&<787B/5(C

%)7*(&2+&1+)&5B,5*/5105&(/<1/@/071)&510+31)5*(D&>-5/*&+*E/)78&515*<.&/(&87*<58.&,*5(5*F52D

>-5&+*E/)&+@&7&()7*&/(&25)5*G/152&E.&)-5&(G++)-52 <*7F/)7)/+178&,+)51)/78&+@&788&+)-5*&()7*(

H712&)-5&27*I&G7))5*JK&+@&7&<787B.D

>-5&251(/).&712&F58+0/).&2/()*/E3)/+1&+@&7&()5887*&(.()5G&071&E5&7,,*+B/G7)52&E.&7

>-5&)/G5&5F+83)/+1&+@&&&&&&&&&&&&&&&&&/(&25)5*G/152&E.&L5A)+1/71 2.17G/0(D

%/105&()7*(&071&15/)-5*&E5&0*57)52&1+*&25()*+.52?&7&0+1)/13/).&5M37)/+1 @+*&&

5B/()(C

! !

! !

!

N N N

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ,-7(5O(,705&2/()*/E3)/+1&@310)/+1&@HB?&F?&)K

@HB?&F?&)K2 B2 F&P&6*70)/+1&+@&)-5&()7*(&A/)-/1&)-5&F+83G5&2 B&7*+312&)-5

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8+07)/+1&B&A/)-&F58+0/)/5(

!

! ! !

N

&/1&)-5&/1)5*F78&QF?&F&R&2FS&

@2 F&P&1HBK&&&&&P&L3GE5*&251(/).

! !@HB?&F?&)K

! !@HB?&F?&)K

6

1 2 3 1 2 3

1

( )0, ( ( , , , , , )) (8.15)i

i

i i

fwfw x x x v v v

t w"

##$ " "

# #%

"

#&

#" "T T T

T

6*+G&&B PF ?&&F PO &&712B

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=:

>-3(?&)-5&@+88+A/1<&7,,8/5(&)+&788&<787B/5(C

%)7*(&2+&1+)&5B,5*/5105&(/<1/@/071)&510+31)5*(D&>-5/*&+*E/)78&515*<.&/(&87*<58.&,*5(5*F52D

>-5&+*E/)&+@&7&()7*&/(&25)5*G/152&E.&)-5&(G++)-52 <*7F/)7)/+178&,+)51)/78&+@&788&+)-5*&()7*(

H712&)-5&27*I&G7))5*JK&+@&7&<787B.D

>-5&251(/).&712&F58+0/).&2/()*/E3)/+1&+@&7&()5887*&(.()5G&071&E5&7,,*+B/G7)52&E.&7

>-5&)/G5&5F+83)/+1&+@&&&&&&&&&&&&&&&&&/(&25)5*G/152&E.&L5A)+1/71 2.17G/0(D

%/105&()7*(&071&15/)-5*&E5&0*57)52&1+*&25()*+.52?&7&0+1)/13/).&5M37)/+1 @+*&&

5B/()(C

! !

! !

!

N N N

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ,-7(5O(,705&2/()*/E3)/+1&@310)/+1&@HB?&F?&)K

@HB?&F?&)K2 B2 F&P&6*70)/+1&+@&)-5&()7*(&A/)-/1&)-5&F+83G5&2 B&7*+312&)-5

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8+07)/+1&B&A/)-&F58+0/)/5(

!

! ! !

N

&/1&)-5&/1)5*F78&QF?&F&R&2FS&

@2 F&P&1HBK&&&&&P&L3GE5*&251(/).

! !@HB?&F?&)K

! !@HB?&F?&)K

6

1 2 3 1 2 3

1

( )0, ( ( , , , , , )) (8.15)i

i

i i

fwfw x x x v v v

t w"

##$ " "

# #%

"

#&

#" "T T T

T

6*+G&&B PF ?&&F PO &&712B

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=:

>-3(?&)-5&@+88+A/1<&7,,8/5(&)+&788&<787B/5(C

%)7*(&2+&1+)&5B,5*/5105&(/<1/@/071)&510+31)5*(D&>-5/*&+*E/)78&515*<.&/(&87*<58.&,*5(5*F52D

>-5&+*E/)&+@&7&()7*&/(&25)5*G/152&E.&)-5&(G++)-52 <*7F/)7)/+178&,+)51)/78&+@&788&+)-5*&()7*(

H712&)-5&27*I&G7))5*JK&+@&7&<787B.D

>-5&251(/).&712&F58+0/).&2/()*/E3)/+1&+@&7&()5887*&(.()5G&071&E5&7,,*+B/G7)52&E.&7

>-5&)/G5&5F+83)/+1&+@&&&&&&&&&&&&&&&&&/(&25)5*G/152&E.&L5A)+1/71 2.17G/0(D

%/105&()7*(&071&15/)-5*&E5&0*57)52&1+*&25()*+.52?&7&0+1)/13/).&5M37)/+1 @+*&&

5B/()(C

! !

! !

!

N N N

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ,-7(5O(,705&2/()*/E3)/+1&@310)/+1&@HB?&F?&)K

@HB?&F?&)K2 B2 F&P&6*70)/+1&+@&)-5&()7*(&A/)-/1&)-5&F+83G5&2 B&7*+312&)-5

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8+07)/+1&B&A/)-&F58+0/)/5(

!

! ! !

N

&/1&)-5&/1)5*F78&QF?&F&R&2FS&

@2 F&P&1HBK&&&&&P&L3GE5*&251(/).

! !@HB?&F?&)K

! !@HB?&F?&)K

6

1 2 3 1 2 3

1

( )0, ( ( , , , , , )) (8.15)i

i

i i

fwfw x x x v v v

t w"

##$ " "

# #%

"

#&

#" "T T T

T

6*+G&&B PF ?&&F PO &&712B

Page 7: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&==

+15&+>)7/1(?

@-/0-&/(&078852&)-5&0+88/(/+185((&A+8)BC711&5D37)/+1E

6

1

0 (8.16)

0 (8.17)

ji

i j j j

i

i i

vw

w x v x

f fw

t w!

" #$$ $ $%! & ' !( )( )$ $ $ $* +

$ $& !

$ $

, , ,

,

!

!

$!

$

" #$ $%' !( )( )$ $* +

,

,

F F

F

&&&&&&&&&&& :&&&&&&(/105&G &712&H &7*5&/125,51251)

:&&&&&&(/105&!&/(&/125,51251)&+I&G &I+*&)-5&07(5&+I

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&<*7G/)7)/+178&/1)5*70)/+1

!

!

! !

"

#

" #

Page 8: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

• The Col l is ion less Bol tzmann Equat ion

• The Jeans Equat ions

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=9

>7(/0&5?37)/+1&+@&()5887*&2.17A/0(&B&0+1)/13/).&5?37)/+1&@+*&)-5&,-7(5C(,705&251(/).

!A,+*)71)D

%+&@7*E&1+&7((3A,)/+1&-7(&F551&A725&7(&)+&G-5)-5*&+*&1+)&)-5&,+)51)/78&! /(&+18.&235

)+&)-5&,7*)/085(&)-5A5(58H5(&+*&-7(&@3*)-5*&0+1)*/F3)/+1(&@*+A&+)-5*&(+3*05(I

!@&)-5&,+)51)/78&/(&+18.&235&)+&)-5&,7*)/085(&25(0*/F52&F.&@E&)-51&(58@C0+1(/()510. /(&@38C

@/8852D

!"#$%&'$()**+,+)-*',,$.)*/012--$3452/+)-

3

0 (8.18)

4 4 ( , ) (8.19)

i

i i i

df f f fv

dt t x x v

G Gm f x v d v! " !

# # #$ #% & ' ( %# # # #

)$ % % *! !

3( , )m f x v d v m n "% ( %*! !

A&&B&&).,/078&A7((&+@&7&()7*

1&&&B&&13AF5*&251(/).! !

J-5&@388&25)5*A/17)/+1&+@&@KLEHM&/(&,*70)/0788.&/A,+((/F85I&J-5*5@+*5E&)-5&0+AC,7*/(+1&+@&A+258(&712&+F(5*H7)/+1(&/(&2+15&H/7&A+A51)(&+@&)-5&0+88/(/+185((&>+8)NA711&5?37)/+1D&J-5(5&A+A51)(&7*5&078852& I6'2-,$'452/+)-,

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=9

>7(/0&5?37)/+1&+@&()5887*&2.17A/0(&B&0+1)/13/).&5?37)/+1&@+*&)-5&,-7(5C(,705&251(/).

!A,+*)71)D

%+&@7*E&1+&7((3A,)/+1&-7(&F551&A725&7(&)+&G-5)-5*&+*&1+)&)-5&,+)51)/78&! /(&+18.&235

)+&)-5&,7*)/085(&)-5A5(58H5(&+*&-7(&@3*)-5*&0+1)*/F3)/+1(&@*+A&+)-5*&(+3*05(I

!@&)-5&,+)51)/78&/(&+18.&235&)+&)-5&,7*)/085(&25(0*/F52&F.&@E&)-51&(58@C0+1(/()510. /(&@38C

@/8852D

!"#$%&'$()**+,+)-*',,$.)*/012--$3452/+)-

3

0 (8.18)

4 4 ( , ) (8.19)

i

i i i

df f f fv

dt t x x v

G Gm f x v d v! " !

# # #$ #% & ' ( %# # # #

)$ % % *! !

3( , )m f x v d v m n "% ( %*! !

A&&B&&).,/078&A7((&+@&7&()7*

1&&&B&&13AF5*&251(/).! !

J-5&@388&25)5*A/17)/+1&+@&@KLEHM&/(&,*70)/0788.&/A,+((/F85I&J-5*5@+*5E&)-5&0+AC,7*/(+1&+@&A+258(&712&+F(5*H7)/+1(&/(&2+15&H/7&A+A51)(&+@&)-5&0+88/(/+185((&>+8)NA711&5?37)/+1D&J-5(5&A+A51)(&7*5&078852& I6'2-,$'452/+)-,

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=>

!"#$$%&'$(')*+$,-.)/01*+

!1&)-5&?+88+@/1<&+18.&A5*.&7BB*5A/7)52&25*/A7)/+1(&</A51C&?+*&7&?388&25*/A7)/+1C&(55&5D<D&E/1F

15.GH*5I7/15J&K7870)/0&L.17I/0(D&M5&?/*()&25?/15&)-5&13IB5*&251(/).&+?&,7*)/085(&N()7*(O&1

A/7J

712&)-5&I571&A58+0/)/5(&&A/7J

!"#"2$$$3/&$415'*/$16$/&'$718/95)**$,-.)/01*$0*$:

! "

3 3 3

3 2

0 (8.20)

( ) 0 (8.21)

i

i i i

i i ì

i i

f f fd v v d v d vt x x v

nv fd v f v d v

t x x

#

$%#

& & &' &( % )

& & & &

& & &'( % )

& & &

* * *

* *

3

3

( ) ( , ) 0th moment in v

1 ( , ) 1st moment in vi i

n x f x v d v

v v f x v d vn

)

)

*

*

! !

! ! !

</A5(J

Page 9: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

• 0th Moment of the Bol tzmann Equat ion in v

• 1th Moment of the Bol tzmann Equat ion in v

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=>

!"#$$%&'$(')*+$,-.)/01*+

!1&)-5&?+88+@/1<&+18.&A5*.&7BB*5A/7)52&25*/A7)/+1(&</A51C&?+*&7&?388&25*/A7)/+1C&(55&5D<D&E/1F

15.GH*5I7/15J&K7870)/0&L.17I/0(D&M5&?/*()&25?/15&)-5&13IB5*&251(/).&+?&,7*)/085(&N()7*(O&1

A/7J

712&)-5&I571&A58+0/)/5(&&A/7J

!"#"2$$$3/&$415'*/$16$/&'$718/95)**$,-.)/01*$0*$:

! "

3 3 3

3 2

0 (8.20)

( ) 0 (8.21)

i

i i i

i i ì

i i

f f fd v v d v d vt x x v

nv fd v f v d v

t x x

#

$%#

& & &' &( % )

& & & &

& & &'( % )

& & &

* * *

* *

3

3

( ) ( , ) 0th moment in v

1 ( , ) 1st moment in vi i

n x f x v d v

v v f x v d vn

)

)

*

*

! !

! ! !

</A5(J

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=>

( )( )0 (8.26)

j i jij

i i j

v nv vnvn v nt x x x

! !! !"# $ $ %

! ! ! !

712&?/)-&@&AB/ C&D!E&C&:&?5&+F)7/1&G571(&5H37)/+1&= A0+1)/13/).&5H37)/+1EI

!"#"$%&'(%)*+,-(%*.%(/,%0*1(2+3--%4563(7*-%7-%8

J/)-&,7*)/78&/1)5<*7)/+1&+@&)-5&87()&)5*KI

3 3 3

3 2

3

0 (8.23)

( ( ) ( )) (8.24)

0

j i j j

i i i

j j i i ì

i

j

ij

i

f f fv d v v v d v v d vt x x v

fv d v v f v f v d vv

vfd v n

v&

'

! ! !" !$ # %

! ! ! !

!% % ( # % #( #

!!) *

% #+ ,!- .

/ / /

/ / / / /

/ / /

( ) ( ) 0 (8.25)j i j

i j

nv nv v nt x x

! ! !"$ $ %

! ! !

!"

( ) 0 (8.22)i

i

nnv

t x

! !$ %

! !

712&(/105I&@&AB/&C&D!E&C&:&?5&+F)7/1&G571(&5H37)/+1&9 A@+*05&5H37)/+1EI

%3F)*70)/1<&@*+K&)-/(&5H37)/+1&)-5&0+1)/13/).&5H37)/+1&)/K5(&&&& </B5(I

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=>

( )( )0 (8.26)

j i jij

i i j

v nv vnvn v nt x x x

! !! !"# $ $ %

! ! ! !

712&?/)-&@&AB/ C&D!E&C&:&?5&+F)7/1&G571(&5H37)/+1&= A0+1)/13/).&5H37)/+1EI

!"#"$%&'(%)*+,-(%*.%(/,%0*1(2+3--%4563(7*-%7-%8

J/)-&,7*)/78&/1)5<*7)/+1&+@&)-5&87()&)5*KI

3 3 3

3 2

3

0 (8.23)

( ( ) ( )) (8.24)

0

j i j j

i i i

j j i i ì

i

j

ij

i

f f fv d v v v d v v d vt x x v

fv d v v f v f v d vv

vfd v n

v&

'

! ! !" !$ # %

! ! ! !

!% % ( # % #( #

!!) *

% #+ ,!- .

/ / /

/ / / / /

/ / /

( ) ( ) 0 (8.25)j i j

i j

nv nv v nt x x

! ! !"$ $ %

! ! !

!"

( ) 0 (8.22)i

i

nnv

t x

! !$ %

! !

712&(/105I&@&AB/&C&D!E&C&:&?5&+F)7/1&G571(&5H37)/+1&9 A@+*05&5H37)/+1EI

%3F)*70)/1<&@*+K&)-/(&5H37)/+1&)-5&0+1)/13/).&5H37)/+1&)/K5(&&&& </B5(I

Page 10: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=>

?5&1+@&/1)*+2305&)-5&!"#$%&'()*&+,"-+&$.)'".+$-)!/A9 B/7C

@-/0-&</B5(&)-5&2/(,5*(/+1&+D&)-5&B58+0/)/5(&@/)-&*5(,50)&)+&)-5 E571&B58+0/)/5(&7)&570-&,+/1)

/1&(,705F&G(/1<C

@5&D/1788.&+H)7/1&)-5&E+*5&D*5I351)8.&3(52&B7*/71)&+D&)-5&912&J571(&5I37)/+1K&)-5

J571(&5I37)/+1&LC

2 ( ) ( ) (8.27)ij i i j j i j i j

v v v v v v v v! " # $ # " #

2( ) ( ) ( ) (8.28)

ij i j ji

j i

i i i i

n nv v vnvv nv

x x x x

!% % %%" # #

% % % %

M-5&)5*E(&-7B5&)-5&D+88+@/1<&E571/1<C

6+*&0+E,7*/(+1&@5&0+1(/25*&)-5&N385*&5I37)/+1 +D&-.2*+2.17E/0(C

2( ) (8.29)

j j ij

i

i j i

v v nn nv nt x x x

!% % %%&' " # #

% % % %

2( )

: derivative of v

: force terms

j j

i

ij

j i

v v

it x

n

x x

n nv

n!

% %

% %

%%&% %

'

# #

( ) (8.30)v

v v pt

* * *%

' + " # +& #+%

!

! ! !

! !

O+)5&)-7)&)-5&2/DD5*5105&H5)@551&)-5&)-/*2&J571(&5I37)/+1&712&)-5&N385*&5I37)/+1&/(&+18.&/1

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=>

?@7A,85B&'1/(+)*+,/0C&(,-5*/0788.&(.AA5)*/0&<787@. /1&,+87*&0++*2/17)5(&D*C&!C&!E&712&

DF*C&F!C&F!E&(,-5*/078&(.AA5)*.&/A,8/5(&DG+*&)-5&H571(&5I37)/+1(&/1&(,-5*/078&0++*2/17)5(C

(55&J/115.KL*5A7/15EB

!

! ! ! !

9

/M9

/M == 99 NN

&/(&7&(.AA5)*/0&)51(+*C&/O5O&)-5*5&5@/()(&7&0-+/05&G+*&)-5&8+078&0++*2/17)5&(.()5A&/1&P-/0-

&-7(&2/7<+178&G+*AO&!1&)-/(&(.()5A& C& &712& &7*5&)-5&(5A/Q7@5(&+G&)-5&2/(,5*(/+1

588/,(+/2O&!1& ! ! !== 99 NN)-5&07(5&+G&/(+)*+,/0&F58+0/).&2/(,5*(/+1& &R& &R& &712&)-5&)-/*2&H571(5I37)/+1&/(&/251)/078&)+&)-5&?385*&5I37)/+1O

!1&<515*78C&)-5&H571(&5I37)/+1(&0711+)&S5&(+8F52&P/)-+3)&7AS/<3/)/5(C&S5073(5&G+*&()5887*

(.()5A( )-5*5&5@/()(&1+&7178+<35&)+&)-5&5I37)/+1&+G&()7)5&!"#"!$"% /1&07(5&+G&<7(5(O

" !1&+*25*&)+&(+8F5&7&,*+S85A&+G&()5887*&2.17A/0(&3(/1<&)-5&H571(&5I37)/+1(C&/)&/(&+G)51&150Q

5((7*.&)+&A7T5&7((3A,)/+1(&0+105*1/1<&#/MO&U18.&A+*5&*5051)8.C&/A,*+F52&+S(5*F7)/+178

)50-1/I35(&788+P&)+&0+1()*7/1&+1&)-5&#/M G+*&<787@/5(O

)-5&,*5((3*5&)5*AO&!1&)-5&H571(&5I37)/+1&/)&/(&7&)51(+*C&P-5*57( /1&)-5&?385*&5I37)/+1&/)&/(

7&(0787*O

2 2=0 and v v (8.31)rv v v" # " #$ $ $

Page 11: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=>

!1&)-5&()7)/+17*.&07(5&+15&+?)7/1(@

A5B/15&)-5&(+C078852&!"#$%&'%()*(!'!+,&,'*! D/7@

E5&071&*5CE*/)5&)-/(&5F37)/+1&7(@

! "! "2

2 2 2

2

2

v2v v v (8.32)

v =1- (8.33)

v

r

r

r

dn n dn

dr r dr# $

#%

&' ( ' ) (

GH-/(&/(&5F3/D7851)&)+@&&&!"#!$%&%'()*+,$+"-%.+$$/.,)+(%%0%!"1 /1&-.2*+()7)/0(I&H-5&0+1150)/+1&

?5)E551&)-5&,+)51)/78&"J&)-5&0/*0387*&D58+0/).&D0 7)&*72/3(&*&712&)-5&K7((&"G*I&&E/)-/1&7&

(,-5*5&+B&*72/3(&*J&/(&</D51&?.@

/L5L

2 2

2

2

2 (8.34)

( ) (8.35)

r r

c

dnv v dn n

dr r dr

vd GM r

dr r r

%&

' ) (

&) )

22 2 ln( ) ln

2 (8.36)ln ln

r

c r

d vGM r d nv v

r d r d r%

* +) ) ( ' ', -, -

. /

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=>

!

"

#

9

9

? &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &)5@,5*7)3*5

8181&&&&A&7(&/1&-.2*+2.17@/0(

81 81

9 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&A&71/(+)*+,.&0+**50)/+1

!

!

"

# "# $

# ! # !

B-5&0+@,7*/(+1&C/)-&-.2*+2.17@/0(&(-+C(A

!"#$%&'$()*)+,$-./+0)123

6+*&<8+D78&0+1(/25*7)/+1(&+15&<515*788.&0+1(/25*(&)-5&)51(+*?E/*/78?)-5+*5@F&!)&/(&+D)7/152

G*+@&)-5&G/*()&@+@51)&+G&)-5&H571(&5I37)/+1&J9K&/1&)-5&(,7)/78&0++*2/17)5(F

3 3 3( )

( ) (8.37)j

k k i j k

i j

vx d x x v v d x x d x

t x x

$$ $

% % %&' ( (

% % %) ) )LE7837)/1<&712&*5G+*@387)/1<&)-5&/1)5<*78(&J(55&M/115.NB*5@7/15&G+*&25)7/8(K&C5&+D)7/1A

*) OP Q & &9R &K&&&& &&&)51(+*?E/*/78?)-5+*5@%

& ' ()*$+ ),-*./0$ # '

C/)-&@P1&S&! J@&S&@7((&+G&7&(/1<85&()7*T&! S&@7((&251(/).KT&C5&<5)A

Page 12: Stellar and Galactic Dynamics - Istituto Nazionale di

• The V ir ia l Equat ions

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=>

!

"

#

9

9

? &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &)5@,5*7)3*5

8181&&&&A&7(&/1&-.2*+2.17@/0(

81 81

9 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&A&71/(+)*+,.&0+**50)/+1

!

!

"

# "# $

# ! # !

B-5&0+@,7*/(+1&C/)-&-.2*+2.17@/0(&(-+C(A

!"#$%&'$()*)+,$-./+0)123

6+*&<8+D78&0+1(/25*7)/+1(&+15&<515*788.&0+1(/25*(&)-5&)51(+*?E/*/78?)-5+*5@F&!)&/(&+D)7/152

G*+@&)-5&G/*()&@+@51)&+G&)-5&H571(&5I37)/+1&J9K&/1&)-5&(,7)/78&0++*2/17)5(F

3 3 3( )

( ) (8.37)j

k k i j k

i j

vx d x x v v d x x d x

t x x

$$ $

% % %&' ( (

% % %) ) )LE7837)/1<&712&*5G+*@387)/1<&)-5&/1)5<*78(&J(55&M/115.NB*5@7/15&G+*&25)7/8(K&C5&+D)7/1A

*) OP Q & &9R &K&&&& &&&)51(+*?E/*/78?)-5+*5@%

& ' ()*$+ ),-*./0$ # '

C/)-&@P1&S&! J@&S&@7((&+G&7&(/1<85&()7*T&! S&@7((&251(/).KT&C5&<5)A

!"#$%&'()*+,-.(/0(&!1)*+230)+*.&4+3*(5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6788&9::;

#7<5&=;

2

2

tensor-virial-theorem:

1 2 (8.38)

2

With

ik ik ik ik

ik i k

dI T W

dt

I x x d!

" #$ #

" 3

3

Moment of inertia tensor (8.39)

1 Motion tensor (8.4

2ik i k

x

T v v d x!"

%

%2 3

3 3

3

0)

Dispersion Tensor (8.41)

( ' )( ' ) ( ) ( ') ' Potential energy tensor (8.42)

2 | ' |

ik ik

i i k k

ik

d x

x x x xGW x x d x d x

x x

!&

! !

$ "

' '" '

'

%

%%! !

! !

2 2 (8.43)T K W#$ " " '

"9

96+*&)-5&5>3/8/?*/3@&07(5&&& :A&&&&)-5&)*705&*52305(&)+B!

"#!$%

C-/(&/(&)-5&D588EF1+D1&(0787*&G/*/78&)-5+*5@H

4+@@51)B&C-5&)51(+*&G/*/78&)-5+*5@&25(0*/?5(&7&*587)/+1&?5)D551&<8+?78&@571&,7*7@5)5*(

+I&7&()5887*&(.()5@H&!)&/(&+18.&G78/2&I+*&)-5&(.()5@&7(&7&D-+85&712&1+)&I+*&71.&(3?(.()5@(H