Zadaci za vjezbu - STEREOMETRIJA

Ana Katalenic

1. Odredite presjek kocke ABCDA1B1C1D1 ravninom MNP ako je

(a) M = A1, N = C1, P ∈ AB;

(b) M = A1, N ∈ C1D1, P ∈ AB;

(c) M ∈ A1D1, N ∈ C1D1, P ∈ AB

(d) M ∈ A1D1, N ∈ CC1, P ∈ AB

2. Dana je kocka ABCDA1B1C1D1 duljine brida a. Izracunajte povrsinu

presjeka kocke ravninom koja prolazi tockama P , Q i R ako je P po-

loviste brida AB, Q poloviste BC te R poloviste A1D1.

Presjek je pravilan sesterokut, P =3√

3

4a2.

3. Kocka ABCDA1B1C1D1 presjecena je ravninom koja prolazi vrhom A

i spojnicom polovista bridova A1B1 i A1D1 gornje osnovke. Kolika je

povrsina tog presjeka?

Presjek je jednakokracan trokut APA1B1PA1D1

, kojemu je povrsina (prema

Heronovoj formuli) P =√s(s− a)(s− b)(s− c) = 3a2.

4. Kocka brida a presjecena je ravninom koja prolazi dijagonalom osnovke

pod kutom 30◦ prema osnovki. Kolika je povrsina presjeka?

Presjek je jednakokracan trokut ACT s osnovicom AC i visinom ST . Os-

novicu trokuta odredujemo kao dijagonalu donje strane kocke, a visinu iz

pravokutnog trokuta BST trigonometrijskim formulama, P = a2

√3

3.

5. Kocka brida a presjecena je ravninom koja prolazi jednim bridom

pod kutom: (a) 30◦, (b) 45◦, (c) 60◦ prema ravnini osnovke.

Izracunajte povrsinu presjeka.

Presjek je pravokutnik, jedne stranice duljine brida kocke, a drugu stranicu

odredujemo trigonometrijom pravokutnog trokuta ABA′:

cos 30◦ =|AB|A′B|

=⇒ |A′B| =|AB|

cos 30◦=

a√

32

=2√

3

3a. Povrsina presjeka je

povrsina pravokutnika i jednaka P =2√

3

3a2.

(b) 45◦, kao gore P =√

2a2, (c) 60◦, kao gore P =2√

3

3a2.

6. Kvadar cija je osnovka kvadrat ima oplosje 3472 dm2 i duljinu visine

1.7 dm. Odredite obujam tog kvadra.

a = 40 dm, V = 2720 dm3

7. Ako je duljina prostorne dijagonale kvadra jednaka 21 cm, a duljine

bridova kvadra odnose se medusobno u omjeru 2 : 3 : 6, izracunajte

oplosje kvadra.

1

Uocimo pravokutne trokute ABC i ACC ′ kojima su dijagonala osnovke,

odnosno prostorna dijagonala hipotenuze. Iz danih omjera prepoznajemo

a = 2k, b = 3k, c = 6k. Primjenimo ove podatke na pravokutne trokute.

212 = d2 = |AC ′|2 = |AC|2 + |CC ′|2 = d21 + |CC ′|2 = (|AB|2 + |BC|2) +

|CC ′|2 = a2+b2+c2 = 4k2+9k2+36k2 = 49k2 slijedi 212 = (7k)2 =⇒ k = 3.

Bridovi kvadra su duljine 6 cm, 9 cm, 18 cm, a oplosje je O = 2 · (a · b+ b ·c+ c · a) = 648 cm2.

8. Povrsine pobocaka uspravne trostrane prizme iznose 425 cm2, 700 cm2,

975 cm2, a visina 25 cm. Izracunajte oplosje i volumen te prizme.

Ako su bridovi osnovke a, b, c i visina v = 25 cm iz povrsina pobocaka koje

su pravokutnici slijedi

a =425

v= 17 cm, b =

700

v= 28 cm, c =

975

v= 39 cm.

Osnovka prizme je trokut kojemu poznajemo sve stranice, pa mu povrsinu

potrebnu za racunanje i oplosja i volumena odredujemo koristeci Heronovu

formulu za racunanje povrsine trokuta

P =√s(s− a)(s− b)(s− c), s =

a+ b+ c

2

Slijedi B = P4 =

(s =

17 + 28 + 39

2= 42

)=√

42 · 25 · 14 · 3 = 210 cm2,

pa je O = 2 · B + Ppobocja = 2 · 210 + 425 + 700 + 975 = 2520 cm2, V =

B · v = 210 · 25 = 5250 cm3.

9. Osnovka uspravne trostrane prizme je pravokutni trokut s katetama

12 cm i 9 cm. Hipotenuzom jedne osnovke i vrhom pravog kuta druge

polozena je ravnina koja prizmu sijece u liku povrsine 90 cm2. Koliki

je volumen ove prizme?

Odredimo visinu trokuta presjeka iz povrsine i duljine stranice AB. Zatim

iz pravokutnog trokuta CNC1 odredimo visinu prizme, V = 518.4 cm3.

10. Osnovka trostrane prizme je trokut sa stranicama 5 cm, 6 cm i 9 cm.

Bocni bridovi su duljine 10 cm, a s ravninom osnovke zatvaraju kutove

velicine 45◦. Koliki je volumen ove prizme?

Uocimo trokut AA′N je jedankokracan pravokutan s hipotenuzom duljine

10 cm i krakovima |AN | = |A′N | = v, gdje je v visina piramide. Slijedi

iz Pitagorinog poucka 102 = |AA′|2 = |AN |2 + |A′N |2 = 2 · v2, to jest

v =10√

2= 5√

2 cm.

Za volumen je potrebna jos povrsina osnovke P4ABC = Heronova formula =√s(s− a)(s− b)(s− c) =

√10 · 5 · 4 · 1 = 10

√2 cm2. Konacno volumen

V =1

3B · v =

1

3P4ABC · v = 10

√2 · 5√

2 = 50√

2 ·√

2 = 100 cm3.

11. Povrsina najveceg dijagonalnog presjeka pravilne sesterostrane prizme

iznosi 4 m2, a udaljenost nasuprotnih pobocki je 2 m. Koliki je volumen

ove prizme?

Najveci dijagonalni presjek je onaj po najvecoj dijagonali i visini. Udaljenost

pobocki je d = v4 = a

√3

2, odakle odredimo a =

2

3

√3 m. Iz povrsine

presjeka dobivamo v =√

3 m, V = 6 m3.

2

12. Osnovka uspravne piramide je jednakostranican trokut stranice duljine

12 cm. Duljina bocnog brida ove piramide je 13 cm. Koliki je volumen?

Visina iz vrha pada u srediste osnovke, to jest srediste jednakostranicnog tro-

kuta. Koristimo Pitagorin poucak i sva svojstva jednakostranicnog trokuta

(srediste je i teziste i ortocentar). v = 11 cm, V = 132√

3 cm3.

13. Osnovka piramide je trokut sa stranicama a = 6 cm, b = 10 cm i c = 14

cm. Izracunajte oplosje i volumen piramide ako njene pobocke s os-

novkom zatvaraju kut velicine

(a) 45◦; (b) 60◦.

Kad bocne strane s ravninom osnovke zatvaraju jednake kutove onda su (1)

sve visine pobocki jednake duljine i (2) noziste visine piramide na osnovku

piramide je srediste upisane kruznice osnovki.

Polumjeri upisane kruznice trokuta su okomiti na stranice trokuta u di-

ralistu.

Uocavamo trokut SupMV gdje SupM polumjer kruznice upisane trokutu

ABC, gdje M diraliste na stranici AB, VM je visina trokuta pobocke

4V BA na stranicu AB iz vrha V , a V Sup visina piramide.

Duljina polumjera kruznice upisane trokutu ABC racuna se P4ABC = s·rup,pa pomocu Heronove formule imamo P4ABC =

√s(s− a)(s− b)(s− c) =

√15 · 9 · 5 · 1 = 15

√3 cm2 = s·4rup = 15·rup ⇒ rup =

P

s=

15√

3

s=√

3 cm.

Kako je Sup ortogonalna projekcija vrha piramide, to je ortogonalna projek-

cija visine bocne strane MV na ravninu osnovke MSup, pa je kut koji bocna

strana piramide V BA zatvara s ravninom osnovke kut izmedu pravaca VM

i MSup, odnosno kut ∠SupMV , pa je on velicine 45◦ u (a) zadatku i 60◦ u

(b) zadatku.

U pravokutnom trokutu V SupM tangens kuta pri vrhu C je vrijednosti

tan(∠VMSup) =v

rup. Pored toga visina pobocke 4V BA racuna se iz Pita-

gorinog poucka kao hipotenuza pravokutnog trokuta.

(a) Uocimo trokut SupMV je jednakokracan s osnovicom VM , pa je

v = rup =√

3.

Volumen racunamo V =1

3P4ABC · v =

1

315√

3 ·√

3 = 15 cm3.

Za oplosje nam treba O = P4ABC + P4ABV + P4V BC + P4AV C , a za

povrsine trih trokuta moramo znati visinu trokuta pobocki.

One su sve jednake pa je dovoljno izracunati vAB = |VM | =√|SupM |2 + |SupV |2 =

√r2up + v2 =

√2 ·√

32

=√

6 cm. Slijedi

O = P4ABC + P4ABV + P4V BC + P4AV C = 15√

3 +|AB|

√6

2+

+|BC|

√6

2+|AC|

√6

2= (15

√3 + 15

√6) cm2.

(b) Iz trigonometrije pravokutnog trokuta je v = tan(∠VMSup) · rup =

tan 60◦ ·√

3 =√

3 ·√

3 = 3 cm.

Volumen racunamo V =1

3P4ABC · v =

1

315√

3 · 3 = 15√

3 cm3.

Za oplosje nam treba O = P4ABC + P4ABV + P4V BC + P4AV C , a za

povrsine trih trokuta moramo znati visinu trokuta pobocki.

One su sve jednake pa je dovoljno izracunati vAB = |VM | =√|SupM |2 + |SupV |2 =

√r2up + v2 =

√√3

2+ 32 = 2

√3 cm. Slijedi

O = P4ABC + P4ABV + P4V BC + P4AV C = 15√

3 +|AB|2

√3

2+

+|BC|2

√3

2+|AC|2

√3

2= 30

√3 cm2.

14. Osnovka piramide je trokut sa stranicama 13 cm, 14 cm i 15 cm.

Bocni bridovi piramide zatvaraju sa osnovkom kutove od 45◦. Koliki

je volumen ove piramide?

3

Kad bocni bridovi s ravninom osnovke zatvaraju jednake kutove onda su

(1) svi bocni bridovi jednake duljine i (2) noziste visine piramide na njenu

osnovku je srediste kruznice opisane osnovki.

Uocavamo trokut SopCV gdje SopC polumjer kruznice opisane trokutu

ABC, V C je bocni brid piramide, a V Sop visina piramide.

Duljina polumjera kruznice opisane trokutu ABC racuna se formulom

P4ABC =a · b · c4rop

, pa pomocu Heronove formule za povrsinu imamo

P4ABC =√s(s− a)(s− b)(s− c) =

√21 · 8 · 7 · 6 = 84 cm2 =

a · b · c4rop

=

13 · 14 · 15

4rop⇒ rop =

13 · 14 · 15

84 · 4=

65

8cm.

Kako je Sop ortogonalna projekcija vrha piramide, to je ortogonalna

projekcija bocnog brida CV na ravninu osnovke CSop, pa je kut koji bocni

brid V C zatvara s ravninom osnovke kut izmedu pravaca V C i CSop,

odnosno kut ∠V CSop i time velicine 45◦.

U pravokutnom trokutu V SopC tangens kuta pri vrhu C iznosiv

rop= tan(∠V CSop) = tan 45◦ = 1 slijedi v = rop =

65

8.

Trokut SopCV je jednakokracan s osnovicom V C. Volumen racunamo

V =1

3B · v =

1

3P4ABC · v =

1

384 · 65

8=

455

2cm3.

15. Pobocni brid pravilne sesterostrane piramide tri je puta veci od osnov-

nog brida, a visina ima duljinu 4 cm. Izracunajte obujam ove piramide.

V = 4√

3 cm3

16. Visina valjka je za 10 cm veca od polumjera osnovke, a oplosje valjka

iznosi 144π cm2. Odredite duljine polumjera osnovke i visine valjka.

r = 4 cm, v = 14 cm

17. Obujam valjka iznosi 200π dm3, a duljina polumjera osnovke i visina

valjka odnose se u omjeru 1 : 1.6. Izracunajte oplosje tog valjka.

Omjer r : v = 1 : 1.6 znaci da postoji neki pozitivan realan broj k takav

da r = 1 · k = k, v = 1.6 · k. Drugacije mozemo zapisati (uz 1.6 =8

5)

r

v=

185

=5

8odakle slijedi r =

5

8v.

Kako znamo volumen valjka slijedi 200π dm3 = V = B · v = Posnovke · v =

= r2π ·v =

(5

8v

)2

π ·v =25

64v2π ·v =

25

64π ·v3, pa imamo 200π =

25

64π ·v3 ⇒

v3 = 200 · 64

25= 83, pa v = 8 dm, r =

5

8v = 5 dm.

Oplosje valjka racunamo kao zbroj povrsina krugova koji su osnovke i

povrsine pravokutnika kojemu je jedna stranica duljine opsega osnovke, a

druga jednaka visini valjka O = 2 ·Posnovke+PEFGH = 2 ·(r2π)+(2rπ ·v) =

= 2 · 52π + 2 · 5π · 8 = 130π dm2.

18. Uspravan valjak (r = 10 cm, v = 16 cm) presjecen je ravninom okomi-

tom na osnovku. Na kojoj udaljenosti od osi treba postaviti tu ravninu

4

pa da presjek bude kvadrat?

Udaljenost mora biti |AB| = v. Uocimo 4ASB i pomocu njegove povrsine

na dva nacina (Heronovom formulom i pomocu visine trokuta) otkrivamo

d = 6 cm.

19. Povrsina plasta uspravnog stosca je 60π cm2, a duljine polumjera os-

novke i visine stosca su u omjeru 3 : 4. Koliki je volumen tog stosca?

Uocimo pravokutni trokut kojeg odreduju visina stosca V S, polumjer os-

novke SF i izvodnica stosca V F . Jer je r : v = 3 : 4, imamo za neki

pozitivni realni broj k da je r = 3k, v = 4k, a iz Pitagorinog poucka slijedi

tada s = |V F | =√|V S|2 + |SF |2 =

√v2 + r2 =

√(4k)2 + (3k)2 = 5k.

Plast stosca racunamo kao Pplast = s · rπ, formula koja proizlazi iz formule

za racunanje povrsine kruznog isjecka, jer je plast stosca upravo tog oblika.

60π = Pplast = s · r · π = 5k · 3k · π = 15k2π, slijedi k2 = 4, k = 2. Stoga

su duljine polumjera osnovke stosca, visine stosca i izvodnice stosca jednake

r = 6 cm, v = 8 cm, s = 5 cm.

Volumen racunamo V =1

3B ·v =

1

3Pkruga·v =

1

3r2π·v =

1

362π·8 = 96π cm2.

20. Opseg baze uspravnog stosca iznosi 60π dm, a visina mu je 12 dm.

Izracunajte oplosje tog stosca.

O = (900π + 180√

29π) dm2

21. Kugla polumjera 41 cm presjecena je ravninom koja je od sredista ku-

gle udaljena 9 cm. Kolika je povrsina presjeka?

Presjek kugle ravninom moze biti prazan skup, tocka (ako je samo dodiruje)

ili krug. Udaljenost ravnine od sredista kugle je uvijek jednaka udaljenosti

sredista kugle i sredista kruga presjeka. Na slici je to d = |SS1| = 9 cm.

T1 je neka tocka kruznice presjeka i njena udaljenost do sredista kugle jed-

naka je polumjeru kugle jer je to ujedno i tocka na kugli |ST1| = r = 41 cm.

Vidimo pravokutni trokut SS1T1 koji ima pravi kut u vrhu S1 zato sto je to

ortogonalna projekcija sredista kugle na ravninu presjeka.

Pitagorinim pouckom racunamo polumjer kruga presjeka r1 = |S1T1| ==√|ST1|2 − |SS1|2 =

√r2 − d2 =

√412 − 92 = 40 cm. Racunamo

povrsinu kruga presjeka P = r21π = 1600π cm2.

22. Dvije paralelne ravnine sijeku kuglu polumjera 12 cm u krugovima

povrsine 140π cm2 i 135π cm2. Kolika je medusobna udaljenost tih

ravnina?

Udaljenost moze biti 1 cm ili 5 cm.

5