Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Sterkte en vervormingseigenschappen van pijpleidingen indiep waterCitation for published version (APA):Winter, de, P. E. (1980). Sterkte en vervormingseigenschappen van pijpleidingen in diep water: eindrapportagevan de eerste fase van MaTS project PL-3. Technische Universiteit Eindhoven.
Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1980
Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne
Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:[email protected] details and we will investigate your claim.
Download date: 12. Aug. 2021
RAPPORT NR.: B-80-59/63.6.0585 -----------------------------STERKTE EN VERVORMINGSEIGENSCHAPPEN VAN
PIJPLEIDINGEN IN DIEP WATER
MaTS MARIEN TECHNOLOGISCH SPEURWERK
Netherlands Marine Technological Research
r
STERKTE EN VERVOR.~INGSEIGENSCHAPPEN
VAN PIJPLEIDINGEN IN DIEP WATER
L '_J
Industriële Raad voor de Oceanologie Netherlands lndustrial Council for Oceanology
- 1 -
VOORWOORD
In het kader van het MaTS-onderzoek programma is aan het Instituut TNO
voor Bouwmaterialen en Bouwconstructies opdracht verleend om een eerste
fase uit te voeren van een onderzoek naar de sterkte~ en ver'\l'ormings
eigenschappen van pijpleidingen, belast op combinaties van buiging, uit
wendige waterdruk en normaal.kracht (Ma'l!S-PL3).
Het programma voor deze eerste fase omvatte:
I ..Een inventarisatie van de aanwezige kennis
II Enig theoretisch onderzoek
III Enige oriënterende proeven
IV Rapportage
De resultaten van II en III zijn in dit rapport vermeld. De resuJ.taten
van I zijn in een __ apart rapport opgenomen (B-80-60/63.6.0585).
Het theoretische gedeelte van het onderzoek, gepresenteerd in dit rapport,
omvat de afleiding van de basisvergelijkingen die ten grondslag liggen
aan het rekenmodel dat de vervorming van een buisdoorsnede beschrijft.
voorts is in dit rapport een uitwerking van deze basisve.rqelijkingen
gegeven voor de afzonderlijke gevallen uitwendige druk en zuivere buiging.
In de tweede fase van het onderzoek zal het rekenmodel worden uitgewerkt
voor het gecombineerde belastinqgeval buiging ·plus uitwendige waterdruk
en axiale normaalkracht.
Bet onderzoek is uitgevoerd binnen een samenwerkingsverband tussen het
IBBC-TNO, Protech International b.v. en de TH's Delft en Eindhoven. In
de inleiding van dit rapport zijn nadere gegevens o~er dit samenwerkings
verband en de in samenhang daarmee opgerichte werkgroep ve.rm.eld.
NETHERLANDS MARINE TECHNOLOGICAL RESEARCH
STEERINGGROUP PIPELINES
PROJECT PL-3
- . STERKTE EN VERVORMINGSEIGENSCHAPPEN
VAN PIJPLEIDINGEN IN DIEP WATER
-Eindraportage van de eerste fase van MaTS project PL-3
IBBC Rapport B-80-59/63.6.0585 Januari 1980
Rapporteur: P.E. de Winter
DELFT UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Cepartment of Civil Engineering Stevinweg 4, P. B. 5049. 2600 GA Delft. the Netherlands
EJNOHOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Oepartment of Building Technology Den Oolech 2. P. B. 513. 5600 MS Eindhoven
. PROTECH INTERNATIONAL bv Genera! Engineers and Consultants Stationsplein 2. P. B.152. 3112 HJ Schiedam
ORGANIZATION FOR INOUSTRIAL RESEARCH TNO lnstitute TNO for Building Materials and Building Structures Lange Kleiweg 5, Rijswijk ( ZH) - P.S. 49. 2600 AA Delft
- 2 -
INHOUD blz.
VOORWOORD 1
NOTATIES 4
1 • . INLEIDING 8
2. SAMENVATTING EN CONCLUSIES 11
3. DRAAGVEBMCGEN VAN EEN CIRKELVOFMIGE DOORSNEDE 1 7
3.1 Draagve.r.nogen bij enkelvormige belasting 17
3.2 Belastingcombinaties 18
3.3 M-K diagrammen voor de belastinqcombinatie buiging + uitwendige druk 20
4. GRONDSLAGEN VAN BET REKENMODEL 24
S. REKENMODEL VOOR UITWENDIGE DRUK 34
6. REKENMODEL VOOR ZUIVERE BUIGING 4 7
6.1 In.leiding 41
6. 2 Spanningsverdeling A SO
6.3 Spanningsverdeling B 65
6.4 Spanningsverdeling C 71
7 • OPZET REKENMODEL VOOR INTERACTIE VOOR BUIGING, UITWENDIGE DRUK EN 76
AXIALE TREK
8.
8.1
8.2
8.3
8.4
9.
EXPERIMENTEEL ONDERZOEK
Proefopstelling
Meetapparatuur
Proefstukken
Uitgevoerde proeven, proefresultaten
BESPREKING PROEFRESULTATEN
79
79
80
85
87
90
10.
- 3 -
LITEP.ATUUR
BIJLAGE 1
Invloed van normaalkracht op de grootte van het volplastische moment
BI.;rLAGE 2
Invloed van de proefopstelling op de krachtsverdeling in het proef stuk
BIJLAGE 3
Buiging van buizen volgens Reissner
BIJLAGE 4
Invloed van hydrostatische druk op het draagve.tmoqen van buizen met
kopstuk
FIGUREN
FOTO'S
blz.
94
NOTATIES
Syml:ool
c
D
d
F
Jl
M n
M ,M o r
- 4 -
Omschrijving
Algemene aanduiding voor een constante
Gemiddelde diameter: D·= D - t u
Nominale waarde van de uit-wendiqe diameter
Gemiddelde breedte van een vierkante blis
Elasticiteitsmodulus
Algemene aanduiding voor normaalkracht
:Rekenwaarde van de vloeik:racht van buisdoorsned.e
Rekenwaarde van de vloeikracht voor rechthoekige doorsnede
Buigtraagheidsmoment
Plástisch buigtraagheidsmoment
stijfheid van de rotatieveren
Lengte
l3uigem moment
l3uigend moment behorend bij spanningsverdelinq A
l3uigend moment behorend bij n.K e
aekenmoment waarbij in de uiterste vezel vloeien optreedtC~2tae)
Rekemioment waarbij in de gehele buisdoorsnede vloeien optreedt
(D2t0' ) e
Euigen:le momenten t.p.v. een buisdoorsnede
B.ligen:l moment per lengte eenheid overgebracht door rotatieveer A
Rekenwaarde van het volplastisch moment van een rechthoekige
doorsnede (per eenheid van len~te)
Dimensie•
L
L
L
-2 .XL
K
K
L
KL
KL
KL
Kî ...
K
K.
* Eenvoudigheidshalve ;.iordt hier de afgeleide dimensie.van kracht met het symbool K
geb:ruikt (K = MLT-2)
Symbool
m
m aa
0
p
p p
Q
R
s
T
t
u
u z
v
w
a.
f3
- 5 -
Omschrijving
Bligend moment in genormeerde vorm (M/M ) . p
Plaatmoment werkend op een vlakje..L. a-as
Oppervlak
Uitwendige hydrostatische druk
Rekenwaarde van de vloeidruk: P ""' 2t0' /D p e
Algemene aanduiding voor volume krachten
Gemiddelde straal van de buisdoorsnede
Afstand
Algemene aanduiding voor uitwendige belasting
wanddikte
Algemene aanduiding voor verplaatsingen
Verplaatsingen in z-richting
Volumen
Doorbuiging c.q. radiale verplaatsing
·Initiële radiale verplaatsing
Factor
ovalisatie hoek
Initiële ovalisatie hoek
Boek die aangeeft tot waar de buisdoorsnede is gevloèid
"( 2 B::>ek die in de trekzone bij buiging aangeeft tot -waar de buis
door:snede is gevloeid
y3 :Boek die in de drukzone bij bliging aangeeft tot waar de buis-
doorsnede is gevloeid
Variatie teken
ÖF 1 e variatie van F
verschil
Dimensie
KL-2
i\L-3
L
L
-2 Iq,
L
L
L
3 L
L
Rad
Rad
Rad
Rad
Rad
Sll'Dlhool
• e:
e: 0
e:. v
l.;
K
À
p
(J
- 6 -
omschrijving
Relatieve rek
Reksnelheid
Relatieve rek in de m.iddendoorsnede in axiale richting
Relatieve rek in de ui te:rstè vezel aan bovenzijde bij l::uiging
Relatieve rek bij het bereiken van a : e: = cr /E e e e
Relatieve rek in de uiterste vezel aan onderzijde bij buiging
Relatieve rek 11'8.arna versteviging optreedt (]
Relatieve spanning in axiale richting: l; = cra e
Relatieve spanning in de uiterste vezel als de buis nog niet is
gevloeid
Relatieve vloeispanning in de trek.zone
Relatieve vloeispanning in de drukzone
Hoek
Kromming 20
Rekenkromm.ing waarbij juist de vloeigrens wordt bereikt: K =·__!. ·~ e E.O
Factor
Dwarscontractiecoëff iciënt
Hoek
Factor
Algemene aanduiding voor spanning
Spanning in axiale richting
Breukspanning
Spanning waarbij de vervonninqscapaciteit wordt bereikt
Spanning in de drukzone bij buiging
Rekenwaarde voor de vloeispanning (gemeten)
Spanning in omtreksrichting
at Spanning in de trek.zone bij b.liginq
Dimensie
Rad
l<L-2
!Q:1-2
KL-2
KL-2
KL-2
KL-2
-2 KL
- 7 -
Symbool Omschrijving Dimensie
. crr T Relatieve spanning in omtreksrichting i.' = cr -
e T Relatieve rekenspanning in omtreksrichting bij uitwendige druk:
0 = @__ T -
0 2tcr e 4> Hoek Rad
x Relatieve spanningvermindering bij ontlasten -w Factor -
- 8 -
1 • INLEIDING
In toenemende mate worden energiebronnen in de zeebodem gezocht
en gevonden. Voor het transport van olie en gas worden over kortere
of langere afstanden pijpleidingen op de zeebodem geïnstalleerd.
Vaak gebeurt dit door op een werkschip de pijpleiding deel voor
deel aan elkaar te lassen en tegelijkertijd de pijpleiding vanaf .
het schip op de zeebodem te laten zakken door het legschip naar
voren te verhalen. De positie van het legschip wordt gefixeerd
door ankers.
fig. 1
Om van het schip op de zeebodem te geraken ondergaat de leiding
buigve.rvo:.r:l'ilingen. Deze buigvervormingen (krommingen) zijn het
grootst nabij schip en bodem. Om de kromming bij het schip onder
controle te houden wordt vaak een ondersteuningsconstructie
(stinger) aan het werkschip gebouwd. De kromming nabij de
zeebodem kan men beperken door op de buis trekkracht uit te oefenen.
- 9 -
Het voorgaande betekent dat bij de installatie een aantal
belastingen op de leiding werkzaamis. De belangrijkste hiervan
zijn buigende momenten, treknormaalkracht en de waterdruk.
Deze belastingen zijn langs de pijpleiding wisselend van
samenstelling. Met de diepte neemt de waterdrUk toe, de
trekkracht (door eigen gewicht) af en wisselt het buigend
moment van richting. Door de grote overspanning en de relatief
geringe buigstijfheid worden de vervormingen van de pijpleiding
in belangrijke mate bepaald door de grootte van de treknormaalkracht. Er
is sprake van geometrisch-niet lineair gedrag {de krachtsverdeling wordt
beinvloed door de vervorming). Een juist inzicht in de stijfheids-, sterkte
en vervormingseigenschappen en de veranderingen die de waterdruk
in deze eigenschappen teweeg brengt is noodzakelijk om
het gedrag van de p~jpleiding goed te kunnen beschrijven.
p = 0
M
vervormingscapaciteit
kromming
fig. 2
Bij het leggen van pijpleidingen en ook tijdens de levensduur
(denk aan ontgronding) is vooral de kromm.ing die de leiding
op veilige wijze kan opnemen (vervormingscapaciteit) van groot
beläng. De vervormingscapaciteit wordt begrensd, enerzijds door
het optreden van grote vervormingen (plooien) en anderzijds wanneer
in het buis- of lasmateriaal scheurvorming optreedt.
In beide gevallen is de transportfunctie aangetast en moeten
reparaties worden uitgevoerd.
- 10 -
Door constructieve maatregelen zoals vergroten van de
wanddikte, het verzwaren van de eisen t.a.v. de materiaal
taaiheid en de toelaatbaarheid van lasfouten, kan de kans
op noodzakelijke reparaties worden verkleind. Ook valt te denken
aan het opvoeren van de eisen t.a.v. stabiliteit waaraan het
werkschip moet voldoen. Deze maatregelen hebben tot gevolg
dat de kans op calamiteiten wordt verkleind en daarmee
de J:e v:erwachten reparatiekosten -en eventuele bedrijfs
verliezen als gevolg van het niet beschikbaar zijn van de leiding.
Aan de andere kant moet worden bedacht dat genoemde maatregelen
een verhoging van de aanlegkosten met zich meebrengen.
Een economisch optimaal ontwerp wordt verkregen wanneer de som van
alle kosten een minimum vormt. (aanlegkosten, reparatiekosten, onder
houd, levensduur enz. ) • overigens moet bedacht worden dan andere
overwegingen (b.v. milieu eisen) aanleiding kunnen zijn om de kans
op het optreden van calamiteiten kleiner te doen zijn dan het eco
nomisch optimum.
In onderstaande grafiek is een en ander op qualitatieve wijze weergegeven.
-------.. -·---------------- -----"·-·
~' som van aanleg en reparatiekosten
kosten •' en bedrijfsverliezen ~ --~ _" ...... ·1·-- i
t.g.v. b.v. milieu eisen
l reparatiekosten en bedrijfsverliezen ·economisch optimum
constructieve maatregelen
fig. 3
- 11 -
Om tot een optimaal ontwerp te geraken is een goed inzicht nodig
in het gedrag van pijpleidingen onder de aangeduide omstandig-
heden. Het mechanisch gedrag van de pijpleiding ·kan worden beschreven
met de toegepaste mechanica. Hierbij kan onderscheid worden ge-
maakt tussen berekeningsmethoden volgens de-elasticiteitsleer en
berekenings~ethoden volgens de plastic~teitsleer. Berekenings-
methoden volgens de elasticiteitsleer schieten te kort om een voll~dig
beeld te geven van het 'Werkelijk vervormingsgedragvan (dikwandige)
pijpleidingen zoals die op de zeebodem worden geïnstalleerd. Met
behulp van de plasticiteitsleer kan het inzicht in het vervormings
gedrag en in de grootte van de vervormingscapaciteit -worden uitgebreid.
Voorwaarde is dan wel dat het materiaal waarvan de buis is gemaakt en
de lasverbindingen tussen de buisdelen voldoende taai is. Omdat het
zoeken naar en aanboren van olie- en: gasbronnen zich in toenemende mate
naar dieper water verplaatst, zullen de daar te leggen pijpleidingen een
kleinere diameter/wanddikte verhouding moeten hebben, en bij eenzelfde
diameter dus dikwandiger moeten zijn. Immers de waterdruk wordt groter.
Voorts zullen in dieper: .-water de reparatiekosten snel toenemen, hetgeen
pleit voor het in acht nemen van een grotere veiligheidsmarge en dus
b.v. voor een grotere wanddikte. Bet is van groot economisch belang
hierin een optimum te vinden.
Om de grootte van het draagvermogen en de vervormingscapaciteit te be
palen, .bij een combinatie van belastingen, is een discreet kinematisch
veermodel ent-worpen. De belangrijkste belasti.!lg'en die tijdens installatie
op een buisleiding werkzaam zijn; buiging, axiale trekkracht en uitwendige
waterdruk, zijn in dit model opgenomen. Omdat het model bedoeld is om de
stijfheidseigenschappen van een stukje buis te beschrijven kon volstaan
worden met de analyse van een ring. Dit betekent dat in axiale richti.!lg'
noch de buiseigenschappen noch de aangebrachte belasting verschilt. Bet
onderzoek is opgezet voor dikwandige bui.zen die gemaakt zijn van staal
soorten met een duidelijk vloeitraject.
Voor het maken van berekeningen is het
materiaalgedrag geschematiseerd tot een
bi-lineaire spannings .... rek relatie"
Bij het experimentele deel van het onder
zoek is gebruiLk gemaakt van modelbuizen
(<j> 100, 4 mm). De buitendiameter (100 mm)
- 12 -
is bepaald door de afmetingen van de ter beschikking staande druktank.
De wanddikte is bepaald op ca. 4 mm op grond van een aantal overwegingen.
Buizen met genoemde afmetingen zijn in de handel verkrijgbaar. Voor trans
portleidingen in diep water wordt in de literatuur gedacht aan buizen met
een diameter wanddikte verl::ouding van D/t = 20 à 30. Tenslotte, van buizen
met genoemde afmetingen ~ijn ook andere resultaten van experimenteel onder
zpek beschikbaar. Het uitgevoerde proefprogramma is vooral gericht.op de .. invloed, die de waterdruk op grotere diepte (1000 - 2000.m) heeft op het
vervormingsgedrag.
Het onderzoek werd in 1975 gestart door Protech International B.V.
en. is in 1977 voortgezet in een samenwerkingsverband tussen
Protech International, IBBC-TNO, TH-Delft en de TB-Eindhoven.
In het kader van dit onderzoek zijn bij het IBBC-TNO een
aantal proeven uitgevoerd en is een rekenmodel ontwikkeld.
In dit :i;apport zijn de resultaten van het tot nu toe ·.uitgevoerde
onderzoek samengevat.
In een apart rapport zal worden ingegaan op de resultaten van door
anderen verricht onderzoek 141:·
Bet onderzoek wordt gefinancierd door de bijdragen van de leden van ü
het samenwerki.ngsverband en door de MaTS ·-· __ _ Door Protech International is een drukvat ter beschikking gesteld
(bruikl.een, waarde ca. /. 100.000,--). voorts worden door leden van
het samenwerkingsverband bijdragen geleverd in de vorm van uren ten
behoeve van het bestuderen van rapporten, en het stu.:ren en coömineren
~an onderzoek bijdragen e.d.
getallen tussen 110!.verwijzen naar de literatuurlijst in hoofdstuk
van dit rapport.
Marien Technologisch Speurwerk.
- 13 -
Ten behoeve van het onderzoek is een werkgroep opgericht met leden
namens het samenwerkingsverband en leden namens de MaTS (voor de
MaTS: staatstoezicht op de mijnen). Ten tijde van publicatie van
dit rapport hadden hierin zitting de heren:
!r. s.c. Baagsma (voorzitter)
1r. J.P.C. van Blaricum
M. Bronneberg
:tr. A.M. Gresnigt (secretaris)
Ir. J". v.d. Ploeg
Prof •. Dr. Ir. :s:. Rutten
!r. J.W.B. Stark
Dr. Ir. J. Strating
P.E. de Winter
Prof. Ir. J. Witteveen
- Protech International.
- staatstoezicht op de mijnen
- TH-Eindhoven
- IBBC-TNO
- TH-Eindhoven
- TH-Eindhoven
- IBBC-TNO
- Protech International
- IBBC-TNO
_ TB-Delft
- 14 -
2. SAMENVATl'ING EN CONCLUSIES
In toenemende mate worden energiebronnen onder de zeebodem gezocht en
gevonden. Voor het transport van olie en gas worden over kortere of
langere afstanden pijpleidingen op de zeebodem gelegd. Tijdens het
leggen. wox:den,d.e leidingen belast op combinaties van buiging, uitwendige
waterdruk en· normaalkracht. OOk tijdens het eventueel begraven van.
de leiding en gedurende de verdere levensduur (b.v. bij een zogenaamde
vrije overspanning) kunnen deze belastingcombinaties optreden.
omdat koolwaterstoffen in steedsgroterewaterdiepten worden gezocht en
gevonden, zal de invloed van de waterdruk in de toekomst steeds belang
rijker worden.
Een juist inzicht in de stijfheids~, sterkte- en vervormingseigenschappen
en de veranderingen die de waterdruk in deze eigenschappen teweeq brengt
is noodzakelijk om het gedrag van de pijpleiding goed te kunnen beschrij
ven. Hierbij is vooral de kromming die de leiding op veilige wijze kan
opnemen (vervormingscapaciteit ) van groot belang. De vervormingscapaci
teit wordt begrensd, enerzijds door het optreden van grote vervormingen
(plooien) en anderzijds wanneer in het b:l.is- of lasmateriaal scheurvorming
optreedt.
In de eerste fase van het onderhavige proj~ct MaTS-PL3 is een discreet
kinematisch veermodel (een zgn. Shanley model) ontwikkeld, dat drie v:c~j
heidsqraden van vervorming kent. Deze ve::i::vormingen zijn: ovalisatie,
kromming en axiale rek. Het model is ook geschikt om initiële onrondheid
van de buis in de berekening te betrekken. Volledige rekenkundige uit
werking van dit model is beperkt gebleven tot de belastinggevallen uit
wendige druk en zuivere buiging. Ter verificatie van de resultaten van
het rekenmodel voor zuivere buiging zijn twee proeven uitgevoerd. De
resultaten van het rekenmodel voor uitwendige druk werden vergele.l<:en met
de resultaten van enige eerder door Protech International B.V. uitgevoerde
proeven.
- 15 -
Ook is een aanzet gemaakt voor het rekenmodel voor het gecombineerde
belastinggeval buiging + uitwendige overdruk + axiale normaalkracht.
Om steun te hebben bij de. modelvorming voor dit rekenmodel en om te
zijner tijd de resultaten van het rekenmodel te kunnen verifieren zijn
een viertal proeven met de belastingcombinatie buiging + uitwendige ' druk uitegevoerd.
De belangrijkste conclusies die uit deze eerste fase van het onderzoek
naar voren komen zijn:
a De ontwikkelde kinematische rekenmodellen voor uitwendige druk en
zuivere buiging zijn in goede overeenstemming met da.beschikbare
proefrestultaten. In het bijzonder is hierbij van belang de moge
lijkheid die het rekenmodel biedt om de kromming waarbij instabiele
ovalisatie optreedt te berekenen. Een dergelijk.xekenmodel is tot
nu toe nog niet bekend.
b Verwacht mag worden dat met het te ontwikkelen rekenmodel voor het
gecombineerde belastinqgeval buiging + uitwendige druk + axiale n.or
maalkracht (tweede en volgende fasen van het project} het gedrag van
pijpleidingen bij de genoemde belastingcombinatie goed zal kunnen
worden beschreven; een en ander inclusief de kwantificering van de
invloed van alle relevante parameters op de kromming waarbij plooien
optreedt. De bedoelde parameters zijn onder meer: de uitwendige druk,
de axiale normaalkracht, de diameter/wanddikteverhouding, de onrond
heid en de materiaalkarakteristieken (b.v. a ). e
~ Met betrekking tot het veryormingsgedraq en het bezwijkbedrag kunnen
de volgende opmerkingen worden gemaakt.
De invloed van de initiële onrondheid is groot
- Naarmate de diameter-wanddikte verhouding afneemt is de relatieve
plooikromming groter.
- Na.armate.de.v:loeispanning van het buismateriaal hoger wordt, is de
relatieve plooikromming kleiner.
- Bij de belastingcombinatie buiging-uitwendige overdruk is in diep
water de bezwijk.vorm dezelfde als bij uitwendige overdruk alleen
- Naarmate de uitwendige druk groter is is de ovalisatie bij de belas
tingcombinatie buiging-uitwendige overdruk juist vóór het moment van
bezwijken kleiner.
- 16 -
- In de gebruikte proefopstelling is het momentenverloop over het
proefstuk behalve van de (buiten het druk.vat) aangebrachte krachten,
ook afhankelijk van de grootte van de druk en de doorbuiging van het
proefstuk. Dit vergt een soms nogal gecompliceerde.be~ekening om in
de meetsectie het werkelijk optredend buigend moment te bepalen.
r..
- 17 -
3. DRAAGVERMOGEN VAN EEN CIRJ:!!ELVORMIGE DOORSNEDE
In dit hoofdstuk zullen we ons beperken tot een buis met een zuiver
cirkelvormige doorsnede. Aangenomen wordt dat de cirkelvorm, ondanks
de aangebrachte belastingen, behouden blijft. Deze benadering
van de werkelijkheid is goed bruikbaar als bovengrens voor het
draagvermogen. Om de berekeningen niet te moeilijk te maken
beschrijven we de buis met de gemiddelde straal (R) en_de wand
dikte t (met gemiddelde straal wordt bedoeld de helft van het
gemiddelde van binnen en buiten dian:ater). Gerekend wordt met
een bi-lineair cr-€ diagram. Voor de combinatie van (vloei)spanningen
zullen we het vloeicr±terium van Buber Hencky gebruiken.
3.1 Draagvermogen bij enkelvoudige belasting
...
Eerst zullen we bepalen wat de bezwijklast is t.g.v. één belasting;
öf trek öf buiging of uitwendige druk.
De buis zal bezwijken als in axiale
' 6 ... F, richting in de hele doorsnede vloeien
optreedt.
8 ~ F = 21TRtcr -p e
tir (_4 ----~ ~ M, Het maximale moment zal optreden
bij volledig vloeien van de door
snede
M p
M p a . Rsin<j>t. Rd<j> e
t t r
(
p = p
3.2 Belastingcombinaties 2 >
- 18 -
tO' e R
De maximale druk zal optreden
als de ringspanning de vloei
grens bereikt.*> _p R
cr. = _g_ = -cr r t e
..
we zullen nu nagaan welke belasting combinaties maxim.aal opgenomen
.kunnen worden.
F +-tw.-Ó ___ -_6~ f r1 t1
'IT
De buis zal weer bezwijken door
het volledig vloeien van de door
snede. Een deel van de buiswand
neemt het moment op, een ander
deel de trek- (of druk) kracht • ~----r:r = --- EJ . t1 f M = 4
2J O' e .Rsin$. t.Rd</> = y
(J tBd</> e
cos c: ~ ) = 0 p
= 4Rt0' .y e
(grafische weergave fig. 1 )
Bet optreden van vloeien wordt
nu bepaald door spanningen die
in twee richtingen werken, nl.
de ringspanning (O'r) veroorzaakt
door uitwendige druk en de axiale
spanning (<J ) door de trekkracht F. a
~).Er wordt op gewezen, dat in dit hoofdstuk ervan uitgegaan is dat de hydro
statische druk geen spanning in axiale richting veroorzaakt. In het algemeen
is dit echter wel het ge,7al. In bijlage 4 zijn de betrekkingen voor de diverse be
lastingen en belastingcombinaties voor de situatie met spanning in axiale richting
t.g.v. hydrostatische_ druk weergegeven.
~
- 19 -
()Q, 2 Buber Bencky: 0 r
pR cr = - (j = r t a
2 2 + 0 - 0 cr = cr a r a e
F 21TRt
{grafische weergave fig. 1 >.
Door de aanwezige ringspanning dr
kan __ de absolute grootte van
trek en drukspanning bij vloeien
verschillen. De grootte van trek
en drukspanning kan m.b.v. het
vloeicriterium van Buber aencky
worden bepaald.
0 2 2 2 - CJ 0 + 0 - CJ = 0 a r a r e
~cr + ~~cr 2 30 2
(j = (J = -ai t r e r
cra~ = 0 = ~a - ~ho 2-- 30
2 d r e ::r 2
C1 = - pR r t
Er is geen resulterende trek of
drukkracht.
(1T+2y).Rt.crt +(1T-2y).Rt.crd = o
y =
De spanningen cr t en cr d maken evenwicht me.t het buigend moment M
2 / 2 2' M = 2R.: .t 4cr -30 cos y e r
/ 2' ~ ' 4-3 c:) cos p
'!f(~) f Pp )=O
214-3(: /f' ·p
(grafische . weergave ~ig. 1 )
- 20 -
3.3 MK diagrammen voor de belasting combinatie buiging + uitwendige druk
\
We hebben nu gekeken naar de lasten die, al of niet in combinatie,
aanleiding tot bezwijken geven.
Navolgend zullen we de vervormingen bekijken, onder aanname dat
de buis cirkelvormig is en blijft. De berekeningen worden beperkt
tot het belastinggeval uitwendige druk + buiging. om schrijfwerk
te besparen zijn alle spanningen gedeeld door de vloeispanning waardoor
m.b.t. de spanningen dimensieloze grootheden ontstaan. De resultaten
van de berekening zijn weergegeven in grafiek.
c
De uitwendige druk P levert een
ringspanning cr : r
(J r
= - .2! t
Door.te delen door cre ontstaàt de ~ dimensieloze grootheid L
0:
1" 0 =~
tcr e Door de aanwezige ringspanning kan
de maximale trek en druk spanning
verschillen.
cr = ~(cr - ~ce2 d r
2' 30" )
r
(trek)
(druk)
In dimensieloze vorm:
l;t
c
{trek}
(druk)
In het MK diagram zijn
drie stukken aan te
geven waar de axiale
s~anningsverdeling
verschillend is.
• ~ met L wordt niet een schuifspanning bedoeld ~aar de normaalo
spanning (dimensieloos) in tangentiële richting.
3.3.1 Spanningsverdeling A --------------------
In dimensieloze vorm:
I~ 1f A
1
= - 1; 4
- 21 -
2 .... M ='ITR tl;.O'
e .... b.cr e
K = -ER
De rekenresultaten zijn weergeven
K ""
1
= ç K e
In de uiterste vezel Wordt de vloeigrens bereikt als:
in figuur 2
3.3.2 Spanningsverdeling B --------------------
2!.<i:p<y 2- -
- 22 -
z;l =z;t
Geen resa..lterer.ide trek- of drukkracht:
'[
Er is geen resulterende trek of
drukkracht.
Uit het evenwicht tussen trek en
druk kan de relatie tussen de hoek
y en de drukspanning 'Ç 0
worden be
paald.
y 2. R. t. cr e : · { 'IT!
-2 1';2d4> +
2 J c;1 àcf>} = 0 y
ofwel
r - - - -" -:---1'r - - - - - - - - - -1 1 (y- 2) siny + cosy - 7T 1 /
2 1 z; = r 1 r > = 12 C'r
0 - 4-31'
0 ) (= l;d) o 'TT • • 'tl "'o _ 1 (y+ 2) siny + cosy 1
\_ - - - - ..... - - - - - - - - - - ..J De hoek y is niet expliciet in z;
0 on ë;t uit te drukken
De axiale spanningen maken evenwicht met het buigend moment M.
il' y
M = 2 j Rdi:j> • .t Rsin<P. 52ae:,+ 2
- 1L 2
- JRd<Pt R sin <P z;1
cr9
y
opp arm spanning
M = 4R2 tO' P e
M -= M
p
îf cz;t - t;
0) ~ CY + 2 + sin y cos y)
4 (1 + sin y)
en de bijbehorende kromming:
K =
K
1T E (y) - E: (- 2> R siny + R
-= K
e
ç - z; t 0 = ~----...,...------...,.-
R • E (1 + siny}
De rekenresu.ltaten zijn weer
gegeven in figuur 2
- 23 -
z;;t
~
< <t> < .! 7.;1 r; = ~ Y2 = -2 t
Uit het eYenwicht tussen
trek en druk kan de
relatie tussen de hoeken
1 2 en y 3 worden bepaald.
(T + ~ 2 - 3T )
0 0
(sin 4>
Y3 ,;_ cp ,;_ Y2 z;;2 = z;; t+ (l;t - 7.;d) x - sin y 2>
(sin y2 - sin y3)
'IT ,;. et> ,;. y 3 t;3 = z;d = ~ (T ~ 3T
2) -2 0 0
Evenwicht: ofwel
r-------- ---------- -----------, f ITT ITT l 1 cos Y 2 + (y 2 - A 0
2) sin y 2 = cos y 3 + (y 3 - /. 0
2 ) sin y 3 i 1 4 - 3T 4 - 3T 1 ._ -- - - - - - - - - .2 - - - - - - - - - - - - - - - o_ - - - - _,
De berekening van buigend moment en kromming gaat op dezelfde wijze
als voor spanningsverdeling B.
Voor het buigend moment M volgt:
M -= M
p
(y2 - y3 + ~ sin 2y2 - ~ sin 2y3)
4 (sin y 2 - sin 1 3>
Voor de bijbehorende kromming volgt:
K -= K e
~ - 3T 2
0 De rekenresultaten zijn weergegeven in figuur 2
Het volplastische moment wordt bereikt bij de limietovergang van y2 en y3 naar:
T 'IT 0
Y. = - 2 h - 31" 2 0
I
- 24 -
4. GRONDSLAGEN REKENMODEL
In het vorige hoofdstuk is uitgebreid de volplastische spannings
toestand van een zuiver cirkelvormige doorsnede besproken.
Het zuiver cirkelvormig .blijven is een schematisering die zich
in werkelijkheid niet zal voordoen. Ook dikwandige buizen
ovaliseren onder buiging en uitwendige druk, zij het zeer weinig,
Een andere, zeer reële mogelijkheid is, dat de buis bi.itieël
niet zuiver cirkelvormig is. Voordat enige belasting op de buis is
aangebracht is er al sprake van ovaliteit. Bij onderzoek naar de
stabiliteit van op druk belaste staven is gebleken dat imperfecties
(het niet cirkelvormig zijn is ook een imperfectie) van grote
invloed zijn op het vervor.mingsgedrag. Bij buizen is de imperfectie
gevoeligheid vaak nog groter. Het is dus zeker nuttig om een idee
te hebben van de grootte van de invloed die de initiële vormafwijkingen
op de bezwijklast of op de vervormingscapaciteit hebben. Zoals
in de inleiding al is gebleken richt de belangstelling zich vooral
op de vervormingscapaciteit van dikwandige buizen. Een uitvloeisel
hiervan is dat rekening gehouden moet worden met het optreden
van plastische rekken.
In ieder geval moeten de spanningen in de vervormde toestand aan
het evenwicht voldoen. Het evenwicht wordt beschreven met behulp
van het principe van virtuele arbeid. De evenwichtsvergelijking
wordt geformuleerd als een integraal vergelijking, in de literatuur l 2j vaak genoemd de virtuele arbeidsvergelijking. Voor de afleiding van
deze vergelijking is gebruik gemaakt van d~ statische vergelijkingen
(evenwichtsvergelijkingen) en van de k±nematische vergelijkingen
(verband tussen verplaatsing en rek). Bij de afleiding van deze
vergelijking zijn de constitutieve vergelijkingen (verband tussen
spanning en rek) niet gebruikt. Dit betekent dat deze integraal geldig
is in zowel het elastische als plastische stadium. Voor geometrisch
niet lineaire berekeningen wordt de voorwaarde gesteld dat de
belasting qua grootte en richting constant is.
- 25 -
/Il Qi ó µi dV = 0 l virtuele arbeidsvergelijking
In deze formule hebben de gebruikte symbolen de volgende
betekenis:
(] spanning
e; rek
v volume
T uitwendige krachten
µ verplaatsingen
0 oppervlak
Q volume krachten
0 virtuele verand.ering
Doelstelling van het onderzoek is het bepalen van de sterkte
en ~ervoDlli.ngseigenschappen van een buisdoorsnede. Dit betekent dat
voorlopig volstaan kan worden lllet het bestuderen van de eigenschappen
van een stukje buis; dus niet een gehele buisleiding zoals die b.v.
ge!nstalleerd wordt. Dit laatste kan pas vebeuren als het vervormings
gedrag van een buisdoorsnede bekend is.·
Verwacht mag worden dat de volumekrachten (massa) van een stukje
buis klein zijn ten opzichte vandeuitwendig_aangrijpende belastingen.
De volume kracht Qi wordt nu verder verwaarloosd.
Aangenomen wordt dat de eigenschappen van een buis in lengterichting
maar weinig zullen variëren. Verondersteld wordt nu bij de verdere
afleiding dat diameter, wanddikte, materiaaleigenschappen enz. in lengte
richting van de buis constant van grootte zijn.
Als nu ook de spannings- en de rektoestand in lengterichting constant zijn
kan de integraalvergelijking in orde worden verlaagd. Dit heeft wel een
aantal belangrijke consequenties; de krachten en de vervormingen die op
de buiswerkcn c.q. die de buis ondergaat zijn constant over de lengte;
f>.Lä.ä:tseliJ.K: plooien kan dan niet oecr ,.,orden beschreven. De ou1:::; .1.1::1.1uceert
dan tot een ring die echter wel vervormings mogelijk.~eden in axiale richting bezit.
- 26 -
De mogelijke belastingen (T.) worden beperkt tot het uitwendig l.
buigende moment M, de axiale trekkracht F en de (water)druk P.
De druk P wordt niet rechtstreeks in de berekening ingevoerd. Dit
wordt gedaan omdat de vloeistofdruk P loodrecht op de buiswand
blijf werken en bij een virtuele vormverandering van de buiswand
dus ook van richting verandert. De berekening voor de gehele buis
omtrek wordt dan erg moeilijk. Daarom wordt er een tussenstap via
een druktank met zuiger gemaakt.
De uitwendige druk P wordt veroorzaakt door een (lijn) drukkracht
F d die op een zuiger (oppervlak R.x b) werkt. Verondersteld is dat
het drukoverbr.engertd meqi.1).Ill volkomen onsamendrukbaar is en dat de
zuiger, die volkomen star is wrijvinqsloos kan verplaatsen. Ook is
aangenomen dat verplaatsingen van de zuiger alleen samenhangen met
vervormingen van de buisdoorsnede· en niet met vervo:cmingen
in lengte richting.
De integraal kan dan geschreven worden als:
0
1-- - J:> ___ -{
l( .Je êJ . .') w ..... __ ,... M 1·1 --------
f +--c::::::========:::i - f -v
____ .2._ ________ _
"
+ 2Fêu a
b breedte van de zuiger
verplaatsing van
uitwendige druk
de zuiger Fd
p =-b
e hoekverdraaiing uiteinden van
de buis
M uitwendig moment
ua verplaatsing in axiale richting
F axiale trek of drukkracht
Fd lijn drukkracht op de zuiger
U..,j
I
-------·------·---./-
- 27 -
De eerste term van het rechter
lid wordt nu omgewerkt tot een
term waarin de druk P voorkomt.
De te:c:m b.êud geeft de verandering van oppervlak van de tank
doorsnede aan (breedte '2 virtuele verplaatsing) • Omdat aangenomen
is dat het drukoverbuigend 1!ledium vokomen onsamendrukbaar is, is
dit tevens de verandering in oppervlak tussen de nieuwe en de
oorspronkelijke buisdoorsnede.
O oppervlak buisdoorsnede
Er is gesteld dat de optredende rekken en de vorm van de doorsnede
in lengte richting overal gelijk zijn; ook de vervormingen zullen
dan gelijk zijn. Kromming en rek in a.Xiale richting zijn konstant.
Er kan volstaan worden met een geometrisch lineaire beschouwing
i.v.m. het 'ringachtige' karakter van de berekening.
- 28 -
~ ~ K = e + oe = ~~ oK
K kromming van de buis
e hoekverdraaiing einden van de buis
e: rek in de middendoorsnede~-in axiale richting ao
u verplaatsing einden van de buis a
De arbeidsintegraal wordt nu geschreven als:
e: do = p1o.o· + M1ÓK + F1ÓE ij · ao
De lengte 1 komt in alle termen voor en mag er
dus uitgedeeld worden. De begrippen buis en ring worden
nu verder uitwisselbaar geacht.
Als we aannemen dat we te maken hebben met een 'dunne'
schaal met een constante dikte t kan de orde van de
integraal in het linker1id verlaagd worden. De spanningen
worden dan vervangen door plaatkrachten en momenten.
J (n1
.êe: .. +m •. o K .. )ds = poo + MóK J l.J 1.J 1.J
+ Fó
s
n pla~tkrachten
m plaatmomenten
E rek in middenvlak
K kromming
krachten per lengteeenheid.
- 29 -
We onderscheiden de richtingen a ent (axiaal en tangentiaal).
n ö e + 2 n Ö e: + ntt ö e:tt aa aa at at
Het maken van sonnnen met deze formules is nog
te moeilijk; door een sterke schematisering
van het probleem kan de vergelijking vereen
voudigd worden. In plaats van een buis die
willekeurig kan vervormen concentreren we de
vervorming in enkele punten van de buis.
Ren dergelijk mode.l van de werkelijkheid wordt
een discreet kinematisch nodel scnoe=d. Ook de naam
Shanley cedel wordt wel gebruikt, genoemd naar
de man die als eerste een dergelijke schematisatie ~oor kolommen toepaste.
We beschouwen nu een ring (buis) opgebouwd
uit vier gekromde staven (schalen) die
onderling zijn verbonden door (piano) scharnieren met
rotatieveren. Aangenomen wordt dat de staven (schal.en)
oneindig stijf zijn tegen vervorming in omtreksrich
ting; alle vervorming is nu geconcentreerd in de
scharnierpunten. Het model moet zich kunnen ver-
zetten tegen ovalisering, daarom worden in de scharnier
punten rotatieveren aangebracht. De door de rotatie
veren opgewekte momenten worden gerelateerd aan de
hoekverdraaiing die in de scharnieren is opgetreden. De
termen waarin de vervormingen in omtreksrichting
zijn weergegeven worden vervangen door rotatieveren.
Een gedeelte van de integraal kan dan geschreven worden
als:
/ <2nat 0 e:at + ntt 0 ett + 2mat ° Kat + rett ° Ktt) ds = s
- 30 -
2.l?!.:.. De dimensie van de rotatieveermomenten is N/rad (lijnm.oment),
positief bij weerstand tegen de hoekverdraaiing.
MA = door r~tatieveer A opgewekt moment
2S = hoekverdraaiing die in scharnier optreedt
Aangenomen wordt dat de plaat.momenten in axiale richting
verwaarloosbaar zijn t.o.v. de bijdrage in de integraal
van de andere termen (m = 0) • aa De arbeidsintegraal is nu gereduce~rd tot:
c
J n: os aa aa ds poo + M ê,K + F ö E ao
s
Het k±nematische model laat vervorming toe in axiale richting
(€ ), en in omtreksrichtingde ovalisatie (8). De vergelijking aa kan nog verder vereenvvudigd worden door verband te
leggen tussen kromming (K) eh rek (E ) • Aangenomen wordt dat a de opgetreden rek lineair verloopt over de hoogte van de
vervormde buis. Uitgezet over de hoogte van de onvervormde buis
is de rek dan niet-lineair.
a
- 31 -
e: = E (z) = E (o) + K (z + u ) aa aa a z
e:: aa
e:: (o} = e:: a ao
K
rek in axiale richting
rek in middendó.oi:snede
kromming van de buis
z afstand van een punt van de onvervormde
buiswand tot het middenvlak
z +u z afstand van een punt van de (vervormde)
buiswand tot het middenvlak
~ de afstand {z+uz} is alleen variabel m.b.t. f3
l.a variatie
êe: = êe: + (z; + 'IJ ) êK + Kêü aa ao z z
De arbeidsintegraal wordt
ê e: /n ds + êK J (Z ao aa s s
nu:
+ u } . t:i ds +K/n z aa aa s
= pöO + M ê K + F ê E ao
êu ds + z
De inhoudsverandering êo kan, omdat de schaaldelen in omtreks
richting oneindig stijf gekozen zijn,alleen veroorzaakt worden
doo~dat de buis is geovaliseerd.
dO pÖO = p df3 08
- 32 -
Ook de virtuele verplaatsing êu is alleen z B afhankelijk.
De arbeidsintegraal kan m.b.v. deze substituties
geschreven worden als:
{M- ! (z+u )n ds } êK + {F - f n ds } öe:: + s z aa s aa ao
{p dO _ K f d$ s
du naa d$z ds - 2 (Ma+ ..• + ~)} ö$
Er zijn nu drie vrijheidsgraden t.w.:
s, e:: I K ao
De arbeidsintegraal is geldig voor willekeurige
variatie van de vrijheids graden, zodat de
volgende evenwichts vergelijkingen ontstaan
M= f (z + u ) • n ds z aa
s
K fn aa s
= 0
- 33 -
~: De rotatievee:rmomenten zijn positief bij weerstand tegen een
hoekverdraaiing.
De eerste twee vergelijkingen zijn eenvoudig te herkennen, het uit
wendig buigend moment M moet in vervormde toestand evenwicht maken
met de inwendige extensieverdeling, hetzelfde geldt voor trekkracht F.
De derde vergelijking is een soort interactieformule voor de
ovalisatie. Er is een relatie tussen ovalisatie en uitwendige druk,
tussen ovalisatie en buiging en tussen ovalisatie en de opgewekte
momenten in de rotatieveren. De derde uitdrukking geeft het
onderlinge verband tussen deze grootheden weer.
Van deze vergelijkingen zal in de volgende hoofdstukken gebruik
worden gemaakt om het vervormingsgedrag te beschrijven van een·
buisdeel waarop genoemde uitwendige belastingen werken. Ond.erstaani
is nogmaals het vervormingsgedrag van het rekenmodel schematisch weer
gegeven.
\ f I
-
t
In het kader van het oriënterend onderzoek is een buis tot bezwijken
(implosie) belast op uitwendige overdruk. Op foto nr. 12 zijn twee uit
deze buis gezaagde ringen te zien. De voorste ring is gezaagd uit de
zone waarin de buis het meest vervormde (midden) , de achterste rinq is
gezaagd uit de z5ne waarin praktisch geen vervorming heeft plaatsgehad
(nabij onvervormbaar kopstuk) • De plaatsen waar sterke buigvervormingen
zijn optreden zijn dezelfden als de plaatsen waar __ in het rekenmodel de
scharnieren met rotatieveren zijn gesitueerd.
- 34 -
5. REKENMODEL VOOR UITWENDIGE DRUK
Een zuiver cirkelvormige buis zal onder uitwendige druk zuiver cirkel
vormig blijven. Als de druk wordt opgevoerd zal de buis op een gegeven
moment bezwijken. (plooien)
Er zijn nu twee gevallen te onderscheiden; de door de uitwendige druk
opgewekte ringspanning is kleiner dan de vloeispanning bij bezwijKen
of de opgewekte ringspanning is gelijk aan de vloeispanning.
1) IJ Et2
=--er 4R
2
2) IJ = IJ er e
De overgang van de ene bezwijkvorm (elastisch)
naar de andere (plastisch) volgt uit gelijk
stelling van deze betrekkingen.
2 5 2 voor een vloeispanning van 240 N/mm (E = 2,1 10 N/mm} gebeurt dit
bij R/t ~ 15 ofwel D/t ~ 30. voor een vloeispanning van 360 N/mm2 volgt
D/t :::: 24.
Bij een zuiver cirkelvormige buis treedt plooien zeer plotseling op, d.w.z.
zonder dat vooraf onrond worden van de buis wordt waargenomen. Bij een niet
zuiver cirkelvormige buis kan wel worden waargenomen dat de onrondheid van
de buis toeneemt voordat plooien optreedt.
In het vorige hoofdstuk zijn een drietal evenwichtsvergelijkingen afge
leid, waarin de ovalisatie van een buis, in geschematiseerde vorm is
meegenomen. In dit hoofdstuk wordt een concreet geval nader uitgewerkt.
De belasting op het beschouwde buisdeel zal echter beperkt blijven tot
zuiver uitwendige druk.
5.3
- 35 -
In geval van zuiver uitwendige druk kan voor de in hoofdstuk 4 afgeleide
evenwichtsvergelijkingen worden geschreven:
. F = sJ n ds = O aa
Aan de eerste twee vergelijkingen kan worden voldaan door te veronder
stellen dat de buis in axial~ richting spanningsloos is. (n = 0}. De aa derde vergelijking reduceert nu tot:
voordat met de uitwerking van deze vergelijking kan worden begonnen
moet eerst de plaats van de rotatieveren en de karakteristiek die deze
veren hebben nader worden bepaald.
Rotatieveren
Als de buis ovaliseert ontstaan buigspanningen in omtreksrichting.
De maximale buigspanningen zijn te
vinden op de hoofdassen. Het ligt
daarom voor de hand om de schar
nieren met de rotatieveren op de
hoofdassen te kiezen.
De stijfheid tegen ovalisatie is geheel
geconcentreerd gedacht in de ratatie
veren. Om:lat de ring bij voortgaande ava
lisa tie vloeit en tenslotte plastificeert
wordt voor de rotatieveren een elastoplas
tische veerkarakteristiek gekozen. De mate
van ovalisatie wordt weergegeven met de
hoekverdraaiing e die de gekromde staven
(AC, AD, CB, DB) t.o.v. de hoofdassen
ondergaan.
A
c
•• +:-
A
. • .:.+ • :B
••
B
- 36 -
De hoekverdraaiing is in de vier
hoekpunten even groot zodat de
totale hoek.verdraaiing die de
staven t.o.v. elkaar ondergaan
2$ bedraagt. Het door de rota
tieveren opgewekte moment bedraagt
dan (elastisch) :
M in rotatieveer opgewekt moment
k stijfheid rotatieveer
a hoek.verdraaiing t.o.v. midden
doorsnede
initiële hoek.verdraaiing.
ÀM p
D
De variabele S karakteriseert hierbij de initiële onrondheid van de buis. 0
Aangenomen wordt dat in de begintoestand ($. ) de buis spanninqvrij is. Bij 0
verdergaande ovalisatie kan het door de rotatieveren opgewekte moment
tenslotte niet meer toenemen, het opgewekte moment is dan:
M == ÀMp
M in rotatieveer opgewekt moment
M volplastisch moment v.e. rechthoekige dsn. (~t2a ) P e
t wanddikte
cre vloeispanning
À reductie coëfficiënt t.g.v. spanningen werkend in tangentiale
richting en (indien aanwezig) axiale richting (bijlage 3)
Er is sprake van symmetrie;daarom mag verondersteld
worden dat de veermomenten MA en ~ resp. Me en ~
gelijk zijn. Er zijn nu voorlopig drie gevallen te
onderscheiden voor wat de~rotatieveren betreft.
1
2
2
1
- 37 -
1) MA,B =Ml = 2kl (13-130)
elastische fase (tak 1)
MC,D = M2 ... 2k2 <8- §>
2) M'1 = >..1 'MP elastoplastische fase (tak 2}
M'2 = 2k2 <S-60
)
3) 'Ml = \Mp plastische fase (tak 3)
- À 2~ M2 =
De veerstijfheden k1 en k2 zullen zó worden bepaald dat het geometrisch niet
lineair elastiseh vervarmingsgedrag van het kinematisch rekenmodel en het ge
drag van een initieël niet ronde ring gelijk zijn.
De reductiecoëfficiënt À wordt bepaald door de grootte van de ringspanning
die t.p.v. de rotatieveren aanwezig is. Door de vorm van de (geovaliseerde)
doorsnede zal de ringspanning t.p.v. de rotatieveren 1 en 2 iets verschillen.
5.4 Geometrie van de vervormde doorsnede
Als gevolg van de aanwezige symmetrie
kan volstaan worden met het bestu
deren van slechts een kwart van de
doorsnede. De assen AB en BC zijn
de symmetrie assen voor de gehele
doorsnede.
AB = R. (cosB + sin8)
CB = R (cosS .,. sinf3)
AD = R/cosS
DM = R tan$ 2 opp I = ~R.DM = ~ R tan 8
opp II = ~C.DB = ~ R2 (tan8 - 2sin2
S>
c
B
M
R cos$ R sinl3
5.5
- 38 -
Doorsnede ACM is de oorspronkelijke kwart cirkel. De inhoud van een kwart
van de buis (per eenheid van lengte) is nu·: opp I - opp II kleiner gewor
den.
Voor de totale inhoudsverandering volgt nu
ofwel
0 = 4 * (opp I - opp II)
2 2 0 = 4R sin 8
Voor het linkerlid van de derde evenwichtsvergelijking volgt nu:
~=~~=-!~-~=~-~~-~!:E~~~~~~~~~-~~~=~~-~~=~~ De scharnierkrachten F 1 en ~
maken evenwicht met de uit-
wendige druk p. Op grond van
symmetrie overwegingen is de
richting waarin F 1 en F'2 wer
ken evenwijdig aan de hoofd-
assen.
F1
= p.AB = pR (cos$ + sin$}
F; = p.BC = pR (cos$ - sin$)
c ~---~ ... " .... -F2
B
Deze scharnierkrachten reduceren het in omtreksrichting opneembare_
moment. De reductie van het voiplastische moment voor een rechthoekige
doorsnede t.g.v. normaalkracht wordt bepaald door de betrekking:
ofwel F 2 À = 1 - {=-)
F p
- 39 -
M in rotatieveren opgewekt mQment
M volplastisch moment van een rechthoekige doorsnede (~ t 2o ) y e F normaalkracht werkend op rechthoekige doorsnede
Fp normaalkracht waarbij rechthoekige doorsnede vloeit (toe)
t wand.dikte
O'e vloeispanning
Substitutie van de scharnierkrachten levert:
À1 = 1 -p2R2(1 + sin26)
t20' 2 e
À2
p2R2 - sin2$) = 1 - (1
t2cr 2 e
In hoofdstuk 3 is voor een zuiver cirkelvormige doorsnede m.b.t. de
ringspanning de dimensieloze grootheid T gedefinieerd. 0
M.b.v.
Àl
À2
- pR tO' e
deze grootheid kan
1 2
(1 + sin = - T 0
1 2 (1 - sin = - T
0
voor de réductiecoêfficiënten worden geschreven:
26)
26)
Substitutie van de gevonden betrekkingen in de evenwichtsvergelijking:
levert voor de elastische fase van het vervormingsgedrag:
- 40 -
In gelinealiseerde vorm ($ << 1):
Hiermee is het vervormingsgedrag van het Shanley model in de elastische
fase op de veerstijfheden k1
en k2
na bepaald. De veerstijfheden k1
en
k2 worden nu zcd.anig bepaald dat het vervormingsgedrag van het reken
model en het vervormingsgedrag van een ring onder uitwendige druk, gelijk
zijn.
De rotatieveer stijfheden worden nu geijkt aan het elastisch vervorminqs-
gedrag van een initiëël niet ronde ring !1s!. dus niet aan het vervormingsgedrag van een model.
Beschouw daartoe nevenstaande figuur.
Het verband tussen de straal
R van een cirkelvormige door-
snede en de straal R: van de
vervorm:ie ring is:
R: = R + w.cos2e 0
Hierin is W de initiële onrondheid. 0
c
D
In het Shanley model wordt de ring opgebouwd gedacht uit vier oneindig
stijve cirkelbogen die in de punten A, B, C en D d.m.v. rotatie veren
zijn verbonden. De initiële onrondheid wordt nu gekarakteriseerd door
de hoek 2$0
die deze bogen t.o.v. elkaar maken. De relatie tussen S0
en w0
kan nu uit bovenstaande figuur worden afgeleid:
tan(1T -13 ) = 4 0
R-W 0
R+W 0
Na enig rekenwerk volgt dan dat
w tan ° µo = 0
R
Opm. In deze beschoQwing is niet de doorsnedeverandering t.g.v. de
verkorting door ringspanning betrokken. Er ontstaan alleen buig
vervormingen.
B
- 41 -
en in gelineariseerde vorm es << 1): 0
De uitwendige druk zal een extra radiale verplaatsing W veroorzaken.
Bij het Shanley model zal de hoek S bij uitwendige druk toenemen tot 0
Bet verband tussen S en w + w kan op analoge wijze als boven worden 0
afgeleid. Immers nu geldt:
R - W - W îT 0
tan(4 -!3) = R + W + W 0
De vorm kan nerleid worden tot:
W+W 0
f3 =----R
De relatie tussen de radiale verplaatsing W en de initiële onrondheid
w0
, de uitwendige druk P en de elastische bezwijkdruk P is er
3EI met Per = R3
w p 0 w =---
p -P er
3EI zodat --3 W = (W + W ) P R o
j 1Sj
Met de gevonden uitdrukkingen voor S en B kan deze vergelijking geschreven 0
worden als:
3EI (f3- 8 ) = PSR R2 o
vervorming ring
De evenwichtsvergelijking in de elastische fase is:
s-s 0
s vervorming kinematisch veermcdel
- 42 -
Zodat volgt:
s-s 0 -s-
Het vervormingsgedrag van het Shanley model. en het vervormingsgedrag
van een ring onder uitwendige druk is nu gelijk als de veerstijfhed.en
voldoen aan de "betrekking:
kl + k = 3EI 2 R
De buigende momenten t.p.v. de punten A en C zijn absoluut gezien gelijk
(bij kleine vervoz:mingen) zodat ook de veerstijfheden gelijk zullen zijn.
EI R
N.B. Met I is het traagheidsmoment bedoeld van de rechthoekige doorsnede
dus I = _!__ t 3 12
Nu kunnen de evenwichtsvergelijkingen voor de verschillende takken worden
ingevuld. Er. wordt uitgegaan van de reeds eerder gedefinieerde grootheid
1' : 0
-PR =--tO' e
Tak 1 (elastische fase)
Hiervoor geldt dat
a-a (--0) s
Substitueer dit in de uitdrukking voor 1'0
dan volgt:
13-8 { __ o)
f3
- 43 -
Tak 2 (elastoplastische fase)
De rotatieveren 1 hebben een plastisch karakter. Dit houdt in dat de
momenten in deze veren gelijk zijn aan ÀM dus: p
SUbsitueer hierin de uitdrukkingen voor À1, ~en k2 dan volgt:
(1-L 2 (1+2j3))~t2 cr 3 S-8
l?R = o 2j3R e + 1" 5 ;:R2 <-f>
Zodat voor L volgt: 0
L 2 (1+213) - L S$ R
0 0 t Et <B-B > - 1 = o
0
Tak 3 (plastische fase)
De rotatie veren 1 en 2 zijn plastisch dus
Na invullen van À1
, À2 en Mp volgt:
t2o (1-2L. 2 ) e o
PR= 8!3R
Zodat voor Lo volgt:
- 44 -
Voor het limietgeval 60
= 0 geldt voor tak 1:
PR (J t
e
Et3 waaruit volgt dat P ::=_-
3-
4R
Dit is de bezwijkdruk waarbij1 voor een zuiver cirkelvormige buis, de
spanning in omtreksrichting de vloeigrens niet overschreidt.
Tak 1 van het Shanley model met S = 0 (een zuiver cirkelvormige buis) 0
is dus in overeenstemming met de elastische oplossing.
Voor î3 = 0 geldt voor tak 3:
-PR T. = -1 = --o (j t
e
zodat volgt p !'!'
(J t e R
Bij deze druk wordt voor een zuiver cirkelvormige buis de vloeispanning
in omtreksrichting bereikt.
- 45 -
5.7 Proefresultaten
Door Protech International b.v. is een experimenteel onderzoek gedaan
naar de invloed van de initiële onrondheid op de bezwijkdruk van buizen.
Deze proefresultaten zullen worden vergeleken met de uitkoms~en van het
rekenmodel. De onrondheid wordt door Protech als volgt gedefinieerd:
D - D . max min
2D (Out of _!aundness) Onrondheid O.O.R. =
De onror.dheid wordt ook vaak weergegeven als een percentage van de diameter
In te:t:men van de ovalisatiepa.I:a.meter 13 wordtde onrondheid geschreven als:
2R(cos13+ sinB>- 2R(cosl3- sinl3) O.O.R.= 2.2R
Voor kleine waarden van de onrondheid kan worden gesteld:
o.o.R. = B
Vergelijking van de uitkomsten van het rekenmodel met de experimenteel
gevonden uitkomsten leert dat het rekenmodel een overschatting van de
werkelijkheid geeft van rv 9 % (zie grafiek 3 )
Voor relatief dikwandige buizen
blijkt dat de drie takken van
het kinematisch model elkaar in na
genoeg één punt snijden. Berekening
van de bij het snijpunt van tak 2 en
3 behorende druk is niet eenvoudig. Omdat
de snijpunten praktisch samenvallen wordt
de druk bepaald die behoort bij het snijpunt van tak 1 en tak 3.
Voor het vertakkingspunt geldt dan:
@
- 46 -
Het is eenvoudiger om i.p.v. 1:' de verhouding D/t te bepalen als oplossing 0
van bovenstaande vergelijking. Na enig rekenwerk volgt dan voor D/t:
D E -=-t CJ e 2 (1:' - 1)
0
)2 _ E
cr -c e o
Nu is 't' 0
niets anders dan - : zodat ook geschreven kan worden:
D E -=-t <J e
\
Voor ~erschillende pijpleidingstaalkwaliteiten is deze formule uitgezet
in een grafiek ( 4 ) •
- 47 -
6. REKENMODEL VOOR ZUIVERE BUIGING
6. 1 Inleiding
In het voorgaande hoofdstuk is de werking van het rekenmodel onderzocht
voor het geval dat op de buis alleen uitwendige druk werkt. Bet model
bleek voor dit geval goed te werken. Het uiteindelijke doel is het ver
vormingsgedrag te beschrijven bij een combinatie van belastingen. Voordat
met belasting combinaties wordt begonnen is het zinvol om eerst de werking
van het model na te gaan voor het geval van zuivere buiging. Als het
model ook voor dit belastinggeval goed werkt mag verwacht worden dat ook
bij de combinatie van genoemde belastingen een goed beeld verkregen zal
worden van de optredende vervormingen. Een andere reden om het model eerst
voor zuivere buiging uit te werken is gelegen in de beperkte mogelijkheden
om de resultaten van het model te verifiëren aan de hand van beschikbaar
experimenteel onderzoek.
De uitgangspunten die ten grondslag liggen aan het rekenmodel zijn ver
meld in hoofdstuk 4 • Een belangrijke aanname is dat spanning, kromming . en vorm van de buis in lengterichting constant worden verondersteld, m.a.w.
het ~buisprobleem is terug gebracht tot een ringprobleem. Dit heeft als
consequentie dat plaatselijk plooien niet door het Shanley-model beschreven
wordt. In het rekenmodel treedt bezwijken op doordat bij toenemende ovali
satie het draagvermogen kleiner wordt.
Dat een buis ovaliseert als gevolg van buiging is als volgt in te zien.
Tengevolge van het buigend
moment ondergaat de buis
een kromming. In de gekromde
toestand wordt het buismateri-
aal in de buitenste vezel a.h.w.
in de richting van de midden
doorsnede getrokken resp. gedrukt.
Kwalitatief beschouwt is ovalisa
tie afhankelijk van èn de spanning
,, ______ d~
in de buitenste vezels èn de kromming.
6.1.2
- 48 -
In geval van zuivere buiging kan voor de in hoofdstuk 4 afgeleide
evenwichtsvergelijkingen worden geschreven:
M = f (z+u }n ds s z aa
F = f n ds = 0 s aa
De componenten van deze vergelijkingen moeten eerst verder worden uit
gewerkt, voordat met substitutie kan worden begonnen.
Geometrie van vervormde doorsnede
De geometrie van de vervormde doorsnede wordt beschreven met de ovalisatie
parameter S.
AM = MC = R
AB = R(cos6+ sin$)
CB = R(cosf3-sinf3)
JL = R sin ( <l>+f3)
KL = R sin s
Voor de onvervormde doorsnede <S= o}
geldt:
z = R sin <f>
Voor de vervormde doorsnede geldt:
z+u = JK = R(sin(<f>+f3)-sinf3) z
z
L M
De verplaatsing van een punt van de buiswand in de richting van de midden
doorsnede is nu:
u = R(sin(<f>+f3)-sin6- sin$) z
6.1. 3
- 49 -
voor de term onder het integraalteken van de derde evenwichtsvergelijking
volgt:
du z dS = R(cos($+S)-cosS)
Om het schrijfwerk wat te verminderen en de afmetingen van de formules
te beperken worden de volgende functies gedefinieerd.:
Q(~) = sin ($+$) - sinS
P(~),= coa {~+$},- coaS
De in de basis vergelijkingen voorkomende termen worden dan:
r--- - ---' z+u = R.Q($) 1 z
1
1 duz dS = R.P($)
L - - --- - -'
~· In tabel 5 zijn bovenstaande gedefinieerde functies (Q(~) en PC;}
en de nog te definiëren functies weergegeven.
Aan de tweede evenwichtsvergelijking (F=O) kan worden voldaan door de
spanningsverdeling contrasymmetrisc.ht.o~~ .• de middendoorsnede te kiezen.
A B c
- 50 -
spanningsverdeling A treedt op voor gevallen dat in de uiterste vezels
de vloeispanning nog niet is bereikt. Spanningsverdeling B geldt als
over een deel van de doorsnede vloeien is opgetreden. De spanningsver
deling volgens C zal optreden als na het belasten van de buis tot ver
deling B, de belasting wordt verminderd; het ontlasten gebeurt dan vol
gens een elastische spanningsverdeling. Overeenkomstig de in hoofdstuk 3
gebruikte notatie zal de axiale spanning als percentage van de vl~ei
spanning worden geschreven. Omda~ sprake is van (contra)symmetrie kan
volstaan worden met de berekening van een kwart van de doorsnede.
6.2 ~panningsverdeling A
6.2.1
Voor spanningsverdeling A zal het basismodel nu verder worden uitgewerkt.
Eerst worden de extensiekrachten geformuleerd, daarna de kromming van de
buis en het buigend moment. De rotatieveren worden 'geijkt' en tenslotte
wordt het evenwicht voor de verschillende rotatieveertoestanden beschreven.
De grootste afstand van de buiswand tot de midden doorsnede, in vervormde
toestand, wordt gevonden voor:
(z+u } = R(sin($+8)- sin$) = RO ~v($) z tnax ma.x -m ......
Deze grootste afstand, de uiterste
vezel, wordt gevonden voor 'IT
$ = 2 -s.
JK($) = R (sin($+$) - sin$) = RQ ($)
ûK(!. -S) = R(l - sin$) = RQ(~~-Sl . 2
Vaak zal worden gewerkt met
de dimensieloze spannings
grootheid z;, z; = 0°a • De e
spanning in de uiterste vezel
wordt aangegeven met de para-"
meter i:.
a = r-cr max "'e
l2 l < l.
z
K
- 51 -
Voor de (lineaire) spanningsverdeling over de hoogte van de buis geldt nu:
- Q(p) a<cP> - Q{~'IT-S) r;a
e
De snede krachten in axiale richting worden dan voor spanningsverdeling A:
r--------1 1 A Q(p) A 1
naa (cp) = Q (~'IT-S) • t r;a e I ________ I
De kromming kan bepaald worden uit de opgetreden rek en de afstand tot
de midden doorsnede. In dit geval zal de rek en de afstand tot de midden
doorsnede worden bepaald voor de uiterste vezel.
e e(lfJ) { K = z+u = JK(cp) 'IT
z JK{2 -S> =R •. Q (~n -S)
,... ?;O' e
E
De bij spanningsverdeling A behorende kromming is dan:
(J e met K = -e ER
- .... - -, KA = l;;iee 1
Q(l.:i'IT-S) 1_ - - - -- _,
De eerste evenwichtsvergelijking kan nu verder worden uitgewerkt.
M = f (z+u ) n .ds s z aa
~1T Q (cp) "' M = 4 f R'.~<jl) tÇ<J • Rd4> • Q (~'IT-$) .
0 e
A ~'IT M= 4R2to c.; f Q2 (<j>} d<jl
• Q(~TI-S) . e 0
Definiër nu de volgende functies:
Mp = 4R2tae (volplastisch móment van een cirkelvormige doorsnede) •
- 52 -
Het buigend moment behorend bij spanningsverdeling A kan worden geschreven
als functie van de kromming en het gereduceerde traagheidsmoment of als
deel van Mp.
A 4 { 3 A M = ÏÎ TQ(~TI) - TQ(à)} .E.1TR .t.K
Of:
MA= TQ(~rr)- TQ(o) 2 M Q(~rr-f3) • • P
Om het schrijfwerk te beperken wordt de volgende notatie ingevoerd:
TQ(~1;~2) = TQ(~l)- TQ(~2)
(TQ (~1;;2) = ~1 Q2(;)d;)
t;2
voor het uitwendig aangebrachte buigende moment kan dan worden
geschreven: ·
1--
1 _J
Ook het eerste deel van de derde vergelijking kan verder worden
uitgewerkt:
,-------,--! du
1 f n -2.. ds = PQ(~TI)- PQ(o) ;2K M Ks aadS 2 '"'ep l
1 Q <~rr-S> ! -- -----------
Met PQ(~) = f Q(;) .P(;)d;
Ke == ER
MP = 4R2
tcre
6.2.2
- 53 -
Bovenstaande vergelijking kan ook worden uitgedrukt in de optredende
kromming en het buigend moment dat bij spanningsverdeling
A hoort;_ de parameter i; verdwijnt dan uit de vergelijking.
1 -du-
1 K J n _Q_z ds = _PQ=..;_(~_TI..;...;_o.._) • MA.KA
s aa d~ TQ(~TI;O) L ____ _
Rotatieveren
1 1
_I
Evenals in het voorgaande hoofdstuk wordt voor de rotatieveren een elasto
plastische veerkarakteristiek
gekozen. De hoek die de gekrom
de staven t.o.v. elkaar onder
gaan bedraagt 2 S. Het in de
rotat.i:~veren opge.wekte moment
is dan in de elastische fase.
M = k. 2 (S-S ) 0
(elastisch)
Door de aanwezige spanning in
axiale richting wordt de grootte
van het in de buiswand opneembare moment
gereduceerd tot:
M = ÀM p
(plastisch)
M in rotatieveer opgewekte moment
M
ÀMp
M p
s volplastisch moment v.e. rechthoekige dsn.
hoekverdraaiing t.o.v. middendoorsnede
S0
initiële hoekverdraaiing
k stijfheid rotatieveer
À reductie coëfficiënt t.g.v. spanningen werkend in axiale richting
- 54 -
Door de (contra)symmetrie mag verondersteld
worden dat de vee:rmomenten MA en ~ resp. - -Me en M0 gelijk zijn. Er zijn voor wat de
rotatieveren betreft dan voorlopig drie moge
lijkheden te onderscheiden.
1) MA,B = Ml = 2 kl CS-80
)
}-MC,D = M2 = 2 k CS-S
0> 2
2) Ml = 2 kl (8-80) } M2 = À2 M
p
3) Ml = \ M p
1
} plastische fase (tak 3) M2 = À2 M
p ----------------------
1
2
voordat nu verder kan worden gegaan moeten eerst de stijfheden k 1 en k2
worde~ bepaald. Het ligt voor de hand de stijfheden zè te kiezen dat
het model representatief is voor de werkelijke op buiging belaste buis.
Een mogelijke benadering is de veerstijfheid zo te kiezen dat de ovali-
satie hoek S van het kinematisch rekenmodel en de ovalisatie hoek S van
een op buiging belaste buis in de elastische fase gelijk zijn. De ovali
satie van een buis t.g.v. buiging wordt bepaald m.b.v. de theorie van
Reissner. j ui . f12j Een andere mogelijkheid is de veerstijfheid af te leiden uit de stijfheid
van een gekromde staaf. Ook in dit geval zal de ovalisatie hoek $ dienen
als basis voor de berekening. Navolgend zullen beide mogelijkheden worden
uitgewerkt.
Voor lineair elastisch vervormde staven is de relatie tussen hoekverdraai-
ing en buigend moment algemeen:
8 = C M! EI
- 55 -
De constante c is afhankelijk van de randvoorwaarden. Voor gekromde
staven wordt ~ vervangen door de straal R, zodat als betrekking
tussen hoekverdraaiing, moment en veerstijfheid volgt:
met EI = ..!.. Et3 12
Et3
kl = Cl 12R
Et3
k2 = C2 12R
k = c* EI R
volgt voor de rotatieveerstijfheden:
voor de elastische fase (tak 1 }: kan voor de in de rota tieveren opgewekte
momenten worden geschreven:
2.c1 Et3 CS-13
0)
12R
Substitutie in de derde basisvergelijking:
K i naa s
levert met de al eerder gevonden uitdrukking voor he~ eerste deel van
de vergelijking (blz. ).
De constanten c1 en c2 worden zo bepaald dat het vervormingsgedrag,
beschreven met de ovalisatie hoek 13, van het rekenmodel en een initiële
cirkelvormige buis CS = 0) volgens de theorie van Reissner gelijk zijn. 0
- 56 -
6.2.3 ~~!i!~=!~-=~E~~=~===~-~~~~=~!-~!!~~~~:
Reissner !11! heeft een geometrisch-niet lineaire, fysisch lineaire,
formulering gegeven van het vervormingsgedrag van een op buiging be
laste buis. In bijlage 3 is een samenvatting gegeven van deze ana
lytische oplossing. De met deze theorie gevonden vervormingen van de
buis worden gebruikt als 'ijkmaat' voor de vervorming van het reken
model.
Reissner gebruikt de krommingsparameter a om het buigend moment M en
de radiale verplaatsingen u en v als reeksen:. te schrijven.
1T 2; 1 3 1 5 163 ",7 M = 6 ERt 3 (a- 8 a - 96 a + 82944 ~ + . . . . . . )
a 2 71a4 44551a6 ...... ) u = R(IT + 8640 + + 7560.7200
a2 a.4. 2059 CJ.6 ...... ) v = R( IT+ 960 - +
168.7200
a krommingsparameter
K kromming van de buis
t wanddikte
R straal van de buis
E elasticiteitsmodulus
u,v radiale verplaatsingen op de hoofdassen
De in het kinematische model gehanteerde hoekverdraaiing S kan worden
uitgedrukt in de radiale verplaatsingen u en v.
1T R-u tan(- -8) =
4 R+v
Na enig rekenwerk volgt:
v+u 8 = arctan ( ZR+v-u
u
R-u
- 57 -
Met behulp van de uitdrukkingen voor u en v is de ovalisatieparameter f3,
behorend bij het rekenmodel uit te drukken in de krommingsparameter a
behorend bij de theorie van Reissner.
1 - -- - - -- --
2 4 859 6 Cl Cl.
1 6 + ïöë - 972000 Cl. ---
f3 = arctan 31 4 68603 6
1. 2 - 4320 7560.3600 a
__J
Substitutie van de door Reissner gevonden uitdrukkingen voor buigend
mom.ent M en kromming K in de basis vergelijking levert een betrekking
waarbij de constanten c1 en c2 geschreven worden als functie van et. en f3 Met de eerder gevonden betrekking tussen a en f3 volgt dat(c 1 + c2> alleen
een functie van a is.
1 3 1 5 {a- 8 a - 96 a --- } +
over een groot interval (0 < a <1.5 + 0 < f3 < 0.2) varieert de waarde van
c1+ c2 nauwelijks. Voor f3 = 0.001 volgt c1 + c2 = 3.00 en voor f3 = 0.2
wordt c1 + c2 = 2.93. Voor c1+ c2 zal de waarde 3 worden aangehouden.
Evenals bij het voorgaande hoofdstuk (uitwendige druk) wordt aangenomen
dat de rotatie veerstijfheden gelijk zijn.
Voor de veerstijfheden volgt nu:
r- - -E;-i 1 k 1 = k 2 = 1,s ""'R 1 L,. ____ __J
1 3 I is fret t:taagheidsmoment van een rechthoekige doorsnede I = IT t .
M
- 58 -
Opgemerkt wordt dat de veerstijfheid voor zuivere buiging dezelfde is als
de veerstijfheid behorend bij het rekenmodel voor uitwendige druk.
voor de elastische fase volgt dan:
6.2.4 ~~!1~=!~-!~~~~!=~=~=~-:-~~~!~~=-=~~af
De stijfheid van de rotatieveren kan ook gekozen worden op grond van
het vervormingsgedrag van een ge~
1 i
. --..:....:_- . - . ++ A . ----- ----J. .
x
2x M(x}. = M (1- -- )
0 R/2
x
kromde staaf.
Beschouw een gekromde staaf (kwart
cirkel, straal R, dikte t), belast
door twee eindmomenten. De afstand
tussen de punten A en C is constant.
In het rekenmodel zijn de hoekver
draaiingen in de punûen A en c even
groot CS). De eindmomenten MA en Me
zijn dan ook even groot
M 0
x = ~ R/2 - Rcos <% +~)
x = ~ R/2 (1-cos~+ sin~)
- 59 -
Buiging van een dunne cirkelvormige staaf kan worden beschreven met de
volgende differentiaalvergelijking:
EI
Hierbij wordt met w de radiale verplaatsing aangegeven. Substitutie van
de uitdrukking voor het buigend moment doet.de vergelijking overgaan in:
M R2 0 = ---EI
De algemene oplossing luidt:
M R2
(coscf>- sin$)
w = A sin$ + Bcos$ - 2~I 4> {sin$+ coscf>)
Met randwaarden, w = o voor 4> = 0, ~1T wordt de verplaatsingsfunctie w:
M R2
w = ;I { (; -4>) sin<j>- q>coscp }
In het rekenmodel wordt het door de rotatieveer opgewekte moment gerela
teerd aan de hoek.verdraaiing:
De hoek.verdraaiing in de punten A en c <4> = 0,~1î) bedraagt:
M R2
(1î-2) dw dw o ds (<j>=;: 0,~1T) = Rd"' {o) = ---- = e
-r R.,4EI
Voor de veerstijfheid volgt nu:
k* = 4EI R(1T-2)
In het rekenmodel is de relatie tussen moment en hoekverdraaiing, M = k.28
zodat als veerstijfheid gekozen moet worden:
6.2.S
k = 2EI
{'IT-2) R
- 60 -
EI = 1. 75 R
1 3 I is het traagheidsmoment van een rechthoekige doorsnede (I = 12 t ) .
Voor de elastische rotatieveerstijfheid volgt dan:
Et 3
{ 13-So>
Het verschil met Reissner is niet al te groot. De afleiding volgens
Reissner heeft betrekking op de vervorming van èen buis, bij de laatste
. afleiding wordt slechts een gekromd.e staaf beschouwd. Omdat de afleiding
volgens Reissner dezelfde veerstijfheden oplevert als die welke bij het
kinematisch rekenmodel voor uitwendige druk zijn gebruikt, wordt aan de
berekening volgens Reissner de voorkeur gegeven.
Plastische karakteristiek rotatieveren
De spanning in axiale richting reduceert het in omtreksrichting opneem
bare moment van de buiswand tot ÀM • Met M wordt bedoelt het vol-P p 2
plastische moment van een rechthoekige doorsnede (~ t a ). De vraag is e
nu hoe groot de invloed. van de axiale spanning is. In bijlage 1 worden
een aantal vloeioppervlakken vergeleken die deze relatie quantificeren.
De beste benadering is het vloeioppervlak volgens Ilyushin. De keuze van
een statisch toelaatbaar spanningsveld isdeeenvoudigste benadering van
het gevraagde vloeioppervlak.
À = - 1 6
13 {lt - ~I - li2-11t 2
0 2 0
À = 1 - ç2- T
2 + ÇT 0 0
À reductiecoëfficiënt voor het in omtreksrichting opneembare moment
T spanningscoëfficiënt voor spanning in omtreksrichting 0
ç spanningscoëfficiënt voor spanning in axiale richting.
De verschillen tussen beide vloeioppervlakken zijn voor het geval van
zuivere buiging {~ = o) niet groot. {zie grafiek 35). Op grond van deze 0
- 61 -
overweging wordt voorlopig de voorkeur gegeven aan het eenvoudiger te
hanteren benaderingsoppervlak boven dat van Ilyushin. Voor zuivere
buiging reduceert dit oppervlak tot:
2 À = 1 - ç
Voor de elastische rotatie-
veer karakteristiek geldt
voor beide rotatieveren:
Elastisch
Voor de plastische veerkarak
teristiek geldt:
M = ÀM p À = 1 - ç2
M
ÀM p
'Ml
80
Î.
~-
p
8
Ml
In de middendoorsnede is de spanning in axiale richting ç1
= O; in de " uiterste vezels is de spanning in axiale richting ç2 = .:!:. Ç. Dit betekent
dat de reductiecoëfficiënten voor het opneembare moment voor de rotatie
veren 1 en 2 verschillen
{ Ml = M = ~ t20' p e
.~lastisch t20' ---------
M2 (1 22)M (1 - ç2) e = - = p 4
Bij buiging doorloopt de buis nu drie stadia. Eerst vervormen de rotatie
veren elastisch (tak 1), daarna bereikten de rotatieveren 2 het plastische
stadium (tak 2), en tenslotte zullen ook de rotatieveren 1 plastisch ver
vormen (tak 3) •
- 62 -
Voorgaand is de relatie gelegd tussen de verschillende onderdelen waaruit
de basisvergelijkingen zijn opgebouwd. Voor de eerste basisvergelijking;
het uitwendig buigend moment M, is een uitdrukking gevonden evenals voor
de bijbehorende kromming. Aan de tweede basisvergelijking (F = o) wordt
door de voim van de spanningsverdeling voldaan. De derde basisverge~ijking
levert de relatie tussen de grootte van de spanning in axiale rich~ing (Ç)
en de ovalisatie ($),afhankelijk van de toestand van de rotatieveren
(tak 1, 2 of 3).
K f n aa s
Het eerste deel van deze vergeiijking is reeds bepaald en is voor tak. 1,
2 en 3 gelijk.
PQ{~1T;O)
Q2 (~1T-f3)
Uitwerking van de drie takken van het model levert:
Tak. 1
PQ (~1T; 0) Ç2K M 2Et3 (f3-8 0) 0 +-- =
Q2 {~1T-$) e p R
Tak. 2
PQ(*11T; 0) 22K M
Et3 ca-a > + c1 -e2>t2cr +-
Q2 (~1T-f3) e P R 0
Tak. 3
PQ{~1T;0} 22K M + (2 - ç2)t2cr = 0
Q2 {~1T-!3) .
e P e
= 0 e
Bovenstaande vergelijkingen geven de betrekking tussen ovalisatiehoek 8 "' en de spanningsparameter ç voor de drie verschillende takken van het
model die behoren bij spanningsverdeling A.
- 63
In bovenstaande betrekkingen kan het buigend moment MA worden gesubsti-
"' tueerd; de krommingsparameter Ç verdwijnt dan uit de vergelijkingen.
Tak 1
A 2 M = 4Et R.TQ(~1T;O)
Tak 2
Tak 3
e-e 0
-2PQ(~1T;O)
Et 2 R.cr Q {~rr-[3) - 4 PQ ( ~1T; 0)
e
2R.cr e Et
Et 2 RO' Q (~ir-6)- 4 PQ(~rr;O)
e
A De kromming behorend bij het moment M is:
A MA .K =-------
4ER3t.TQ{~rr;0)
In tabel 6 is de rekenprocedure., inclusief de nog te onderzoeken span
ningsverdelingen B en c schematisch weergegeven. In grafiek 7 zijn de
resultaten van een rekenvoorbeeld in een moment krommings diagram weer-
gegeven.
In nevens taande figuur is
het moment ovalisatie dia
gram schematisch weerge-
geven.
De snijpunten ce 12 en s23 >
kunnen bepaald worden door
gelijkstelling van de uit-
drukkingen van de takken 1 en 2 resp. 2 en 3. Het vertakkingspunt e12 is
- 64 -
niet expliciet in de overige variabelen uit te druk.ken. Het snijpunt s23 is wel eenvoudig te bepalen.
+ e 0
Bij de berekening van MA is uitgegaan van een lineaire spanningsverdeling
over de hoogte van de buis. De spanning in de uiterste vezel is gelijk
gesteld aan:
"' a = ?.;cr max e 121 < 1
Als aangenomen wordt (om het geldigheidsgebied te bepalen) dat de maxi-
male spanning { 1 e 1 ~ 1) wordt bereikt in het vertakkingspunt 623, dan 2 5 2 volgt voor cre = 320 N/mm, E = 2,10 N/mm dat R/t..?:.. 170 (D/t..?:.. 340).
voor kleinere D/t verhoudingen moeten ook de andere spanningsverdelingen
(B en C) in de beschouwing worden betrokken.
- 65 -
6.3 Spanningsverdeling B
Op overeenkomstige wijze als voor spanningsverdeling A is gebeurd zal nu
voor spanningsverdeling B het basismodel worden uitgewerkt.
"' Bij spanningsverdeling A werd de parameter Ç gebruikt om de spanning in
de uiterste vezel aan te geven. Nu zal de hoek y worden ingevoerd om
aan te geven hoe groot het buisdeel is, waarin de vloeigrens nog niet is
bereikt. Voor het punt I (waar juist de vloeigrens wordt bereikt)
geldt dat de plaatsvariabele ~
gelijk is aan ~ = y.
voor de spanningsverdeling
wordt aangenomen dat in het
buisdeel tussen de punten
I en c de vloeispanning cre
aanwezig is. Door deze aan
name kan in het geval dat de
hoek y zo groot is dat het
punt I op grotere afstand van de midden-
c
doorsnede komt te liggen dan punt C, een kleine_fout worden gemaakt.
Het maximaal verschil met
spanningsverdeling A treedt
op voor het geval dat hoek y
gelijk is aan
il' y=2-S
De spanning in punt I is dan
gelijk aan a , hierdoor is de e spanning in punt c volgens verdeling A
(JA = cosS- sinS a 1 sinS
. - e
crB 1 - sinS = sinS a
1 - e
De fout die gemaakt wordt (het verschil tussen cosS en 1) is verwaarloos
baar voor kleine waarden van 8 en is geen fout meer voor waarden voor y
kleiner dan (~ - 213}.
- 66 -
Voor net elastische desl van de spanningsverdeling kan nu worden geschreven:
C1(<fl) (sin(<j>+8)- sin8) = ...;.__...;.. (sin(y+8)- sinS>
Voor het plastische deel:
y<qi<'IT - -2
a(<j>) = a e
• C1 e
Met behulp van de eerder gedefinieerde fuctie Q kan voor de snedekrachten
worden geschreven:
1--i3 = ru..tL tcr 1
--n-aa(~ Q(Y~• -l 1 1 B
n «P> = tcr aa e
De kromming behorend bij spanningsverdeling B-wordt bepaald uit de in het
elastisch gebied opgetreden axiale rek. In het punt I (<j>=y) wordt juist
de vloeispanning bereikt.
Rek:
Afstand middenvlak: JK (<j>=y) = R.Q(y)
De bij spanningsverdeling B horende kromming is dan:
r-l
1 L -- -- ---'
Hierin is Ke de rekenkromming waarbij de uiterste vezel van een cirkelvormige
doorsnede juist de vloeispanning wordt bereikt. (Ke = ~= )
- 67 -
Voor de eerstebasis vergelijking wordt voor deze spanningsverdeling
gevonden:
1T 2
+ 4 J R~Q (<j)) y
ter Rdcj> e
MB= { TQ(y)- TQ(o) + EQ(~1T) - EQ(y)} M Q~) p
Met als definitie voor de functie EQ(E;):
EQ(f;). = f Q{E;)dE;
Met ~ehulp van de verkorte notatie volgt:
r 1
1 MB= { TQ(Y;o) + EQ(~1T;y)} M Q(y) p 1
_J
Voor het eerste deel van de derde vergelijking volgt:
K y e { 4 f .ru1L ter R.P «P> Rd<j> +
Q(y} o Q(y) e
ofwel:
i-l L_ -
K f n s aa
du ~ ds = {PQ(y;O) + EP(~1T;y) }K M dS Q2 (y) Q(y) e p
met EP(E;) = J ?Cf;)df;
- 68 -
6.3.2 Rotatieveren
Voor de rotatieveren kunnen
twee mogelijkheden worden
onderscheiden; de rotatiel
veren bij scharnier l hebben
een elastische- (tak 4) of een
plastische karakteristiek (tak 5) •
2
•• 1 M
Als consequentie van het vloeioppervlak (statische benadering of Ilyushin)
kunnen t.p.v. de rotatieveren 2 geen buigende momenten meer worden over
gebracht. Immers de spanning in de uiterste vezel is in axiale richting
gelijk aan de vloeispanning.
Voor de elastische karakteristiek van de veren 1 geldt:
Voor de plastische veerkarakteristiek geldt:
M = ÀM° p
2 me.tÀ=l-z;
Elastisch ---------
Ter plaatse van de middendoorsnede is de relatieve spanning (_Q_) in O"e
axiale richting i;;1
= 0 i- in de uiterste vezels is de relatieve
spanning in axiale richting i;;2 = 1.
t20' .. e 4
Plastisch
De evenwichtsvergelijking voor de takken 4 en 5 van het model kunnen
nu worden opgesteld:
du K sf naä d z ds + 4 (M1 + M2) = O
- 69 -
Tak 4
{ PQ(y;O)
Q2 (y)
3 + EP(~1T;y) } K M + Et ($-Bo) = 0
Q (y) e p R
Tak 5
{ PQ(y;O)
Q2 (y) + EP(~;r> } K M + t 2o = 0
Q (y) e p e
Substitutie van K M levert: e P
Tak 4
{PQ(y;O) Q2{y}
+ EP(l::i1T;y) Q(y)
} .
Tak 5
{PQ(Y;O) Q2(y)
+ EP (~'lî; y) Q(Y)
} .
40' R e Et ($-60) --+--
Et RO e
40' R _.!_+
Et 1 = 0
= 0
Met bovenstaande betrekking is de spanningsverdeling in axiale richting
(bepaald door de hoek y) uit te drukken in de daarbij behorende ovalisa
tiehoek $, afhankelijk van de geometrie grootheden R, t en $0
en de
materiaal eigenschappen a en E. De variabele y is niet expliciet in B e . uit te drukken. Bij de berekening zal gebruik worden gemaakt van een
numm.erieke oplosmethode (Newton-Raphson). Deze methode bepaald door her
haald berekenen de grootte van y die voldoet aan bovenstaande betrekking.
Voor tak 4 zal e.e.a. nader worden uitgewerkt.
Door in bovenstaande vergelijking de variabelen $, 80
, O'e' E~ R en t te
substitueren ontstaat een vergelijking die als onbekende alleen nog y
bevat. Definieer de functie:
H(y) = { PQ(y;O)
Q2(y)
(i, ) 40 eR Et + EP Tiq } -- + - CS-60) Q(y} Et ROe
- 70 -
De schattingsformule voor y is dan:
met H' (y} = dH(y) dy
De berekening van tak 4 van het mo:iel is hie:rmee bepaald; tak 5 gaat op
overeenkomstige wijze. In tabel 6 is de rekenprocedure schematisch weer
gegeven. In grafiek 8 zijn de resultaten van een rekenvoorbeeld, (inclu
sief spanningsverdeling C) in een moment-krommings diagram weergegeven.
- 71 -
6.4 Spanningsverdeling c
Op overeenkomstige wijze als voor de spanningsverdelingen A en B zal
het model voor spanningsverdeling C worden uitgewerkt.
Voorgaand is het evenwicht van een buis belast op buiging geformuleerd.
Hierbij is geen rekening gehouden met de voorgeschiedenis van de buis.
Het model volgt tot nu toe het cr-e diagram in beide richting. Verminde
ring van de belasting ge-
beurt dus langs de plas-
tische tak van het o-e
diagram. De belasting moet
echter elastisch worden ver
minderd daarom moet rekening
gehouden worden met een nieuwe
spanningsverdeling; spannings
verdeling C. Uitgaande van de
situatie N zijn bij toenemende ovalisatie nu twee spannningsverdelingen
m:><Jelijk: B en C.
c N B
ovaliseren ovaliseren
'belasten•
Spanningsverdeling N en B worden bepaald door y resp. y 1 n n+
N B
- 72 -
Het evenwicht van spanningsverdeling B is reeds besproken. Als door
toenemende ovalisatie het draagvermogen van de buis afneemt zal de
situatie van spanningsverdeling C ontstaan. ____ .2 1
Xn+1 ----....2
N c
Spanningsverdeling C wordt gekarakteriseerd door Yn en Xn+l
Spanningsverdeling c kan worden beschouwd als superpositie van een
plastische spanningsverdeling (B) en een elastische spanningsverdeling
(A) • De buisdoorsnede is
gevloeid tot hoek y. Deze
hoek y is voor spannings
verdeling C een constante
hoek die onafhankelijk is
van de mate waarin de be
lasting verminderd wordt
of de ovalisatie toeneemt.
De (elastische) afname van
de spanning wordt gekarak
teriseerd door de parameter X· Door in spanningsverdeling A de parameter " Ç te vervangen door X en deze spanningsverdeling af te trekken van span-
ningsverdeling B ontstaat spanningsverdeling C. Voor de snedekrachten
kan dan worden geschreven:
}tcr 1 e--1
naca(~) ={ 1 - XQ(~) } tcr Q(~-8) e
- 73 -
Ook de bij spanningsverdeling C behorende kromming kan door superpositie
worden gevonden:
Het uitwendig buigend moment behorend bij spanningsverdeling C bedraagt:
Voor het eerste deel van de derde vergelijking volgt:
du z
K ~ naa d$ ds =
{ 1 x} {4 y 1 x Q(y) - Q (~'IT-$) Ke J (Q (y) - Q (l:!TI"-S» R.P ($) Q (<f>) tcr e Rd<j>
~'IT + 4 J
y
0
XQ ( $) (1- Q(~TI-13} )R • .P($) toe Rd<j>
du z { 1 x }{ 1 x 1
naa dS ds = Q(Y) - Q(~'IT-13) PQ(Y;O) (Q(Y) - -Q{ ....... ~1T---.S>) 1
6.4.2 Rotatieveren
De spanning in axiale richting is t.p.v. de rotatieveren 2 niet meer
gelijk aan de vloeispanning; dit betekent dat door de rotatieveren 2
1
- 74 -
weer wel buigende momenten kunnen worden overgebracht. Voor de elastische
karakteristiek van veer 1 geldt nog steeds:
De plastische karakteristieken volgen met het vloeioppervlak
M = ÀM p 2
À = 1 - ;;
Ter plaatse van de middend..oorsnede (rotatieveer 1) is de relatieve
spanning ( cr: ) in axiale richting (?;) gelijk aan ?; = z; 1 = 0. 'l'.p.v. . XQ\~W)
rotatieveer 2 is de relatieve spanning z; = z;2 = 1 - Q(~~-S)
t20' e
Ml= Mp= -4-
Q(~W) { Q(~W) M2 = Q(~rr-8> 2 X - Q(~rr-8> X2} • M
p ] Plastisch
De evenwichtsvergelijking voor de takken 6 en 7 van het model kunnen nu
worden opgesteld.
du K sf naa d$z ds + 4 {M1+ M2 ) = 0
'!!ak 6
1 x }{ 1 x Q(Y) - Q(~rr-8) PQ(Y;O) (Q(Y) - Q(~rr-8))+ EP (~rr;y) +
Et~(6-8 ) - XPQ(~rr;y) } K M + 0 + Q(~W) { 2x - Q(~~) x2} t2cr 0
Q(121T-6) e p R Q('21T-t3) Q(~ir-f3) e _-·
Substitutie van K°eMp en enig rangschikken leidt tot een vierkantsvergelijking
in x
Tak 6
Tak 7
met:
- 75 -
AA.x2 + BB.x + cc Et --= 0 RO' e
2 AA.x + BB.x + cc - 1 = 0
40' R. Ete PQ (~1T;O) - Q2(~1T)
AA = ~~~~~~~~~~-Q 2 (~ït-f3)
40' R BB = __ e_ ( PQ(~1T;0)+ PQ(y;O) ) + 2Q(*21T)
Et Q(Y).Q(~1T-6} Q(~1T-8)
Opm. De functies Q(~), PQ(~}, PQC; 1 ;~2 ) enz. zijn ook in tabel Sa weer
gegeven.
Uit bovenstaande vergelijkingen voor tak 6 en 7 is xoplosbaar. De
spanningsverdeling is ook nu weer geheel bepaald. Verwezen wordt nog
naar de rekenprocedure (figuur 6) en de resultaten van een rekenvoor
beeld (grafiek 8).
- 76 -
7 • OPZET REKENMODEL VOOR DE INTERACTIE. VOOR BUIGING , UITWENDIGE DRUK EN AXIALE
TREK.
Een volledige uitwerking van het gehele rekenmodel zal hier nog niet
worden gepresenteerd. Wel kan een aanzet worden gegeven.In de voor
gaande hoofdstukken is gebleken dat een aantal spanningsverdelingen
moet worden onderzocht, tesamen met de rotatieveer toestand (elastisch
of plastisch) resulterend in een model dat uit een aantal takken bestaat.
Nagegaan zal worden hoeveel
spanningsverdelingen moeten
worden onderscheiden en hoe
veel 'takken' als gevolg
hiervan moeten worden uitge
werkt.
Door de aanwezige ringspanning
zal de (vloei) spanning in
axiale richting in trek en
drukzone verschillend zijn.
In de trekzone zal de buis
eerder gaan vloeien dan in
de drukzone. Er is nu geen
sprake meer van symmetrie.
1
(j r
t.o.v. de middendoorsnede; dit betekent dat i.p.v. twee verschillende
rotatieveren (horizontaal, vertikaal} er nu drie verschillende rotatie
veren moeten worden onderscheiden. De rotatieveren op de middendoorsnede
zijn t.g.v. de symmetrie om de vertikale as nog wel gelijk, maar de rota
tieveren in trek en drukzone verschillen.
In tegenstelling tot het belastinggeval zuivere buiging zijn, indien ook
het na-kritische gedrag in de beschouwing wordt betrokken, nu vijf spannings
verdelingen in axiale richting denkbaar.
- 77 -
Voor de rotatieveren wordt weer een bi-lineaire
veerkarakteristiek gekozen. Tesamen met
de drie verschillende rotatieveren en
de vijf spanningsverdelingen betekent
dit dat 2 x 3 x 5 = 30 combinaties
mogelijk zijn. Een groot deel van
deze combinaties heeft geen fysische betekenis
binnen het model; de rotatieveren
p
vervormen wel eerst elastisch en daarna plastisch maar niet omgekeerd.
Onderstaand zijn de fysisch mogelijke combinaties schematisch weergegeven.
veer tak 1 2 3 SDanninqsverdelinq
1 E E E
w 2 E p E
~ A
3 E p p
4 p p p
5 E p E ~ 6 E p p B
~ 7 p p p
8 E p p ~ c 9 p p p
~
10 E p E
1 11 E p p D
12 p p p
13 E p p j. 14 p p p
- 78 -
De mogelijkheid dat zich t.p.v. de rotatieveren 1 eerder plastische
scharnieren vormen dan bij de punten 2 en 3 is buiten beschcuwing gelaten.
Deze mogelijkheid doet zich voor bij hoge uit-wendige druk en een klein
buigend moment. Bij het geval van alleen maar uit'\\endige druk is deze
mogelijkheid (tak 2 hfst 5 ) onderzocht, maar bleek niet van invloed
op het resultaat (zie ook grafiek 3 ) •
Bij bliging onder uitwendige overdruk zal een buis niet alle 14 takken
van het model doorlopen. Voor dikwandige :tuizen kan het M-+e diagram b.v.
opgebcu'W1 zijn uit de takken: 1, 2, S, 6, 8, 14 dit is echter volkomen
afhankelijk van de l:uiseigenschappen (D, t, O'e enz.). e .
In de 2 fase van het onderzoek zal een volledige uitwerking van het reken-
model worden gepresenteerd.
- 79 -
8. EXPERIMENTEEL ONDERZOEK
Naast het theoretisch onderzoek is experimenteel onderzoek gedaan om de
resultaten van het kinematisch rekenmodel te verifiëren.. Mede gezien
de schematisering die bij het rekenmodel is toegepast is een dergelijke
experimentele verificatie nodig.
Navolgend zullen de proefopstelling, het gebruikte proefmateriaal en de
resultaten worden besproken.
8.1 Proefopstelling
De proefopstelling bestaat uit een aantal onderdelen, globaal te verdelen
in apparatuur om bela.stingen op een proefstuk aan te brengen en apparatuur
om vervormingen te meten en te registreren (foto 1).
8. 1. 1 Druktank
Door_Protech International BV is een drukvat en belastingframe ter beschik
king gesteld voor het uitvoeren van proefnemingen. Bij het oriënterend
testprogramma bleek dat de ruimte binnen het drukvat wat te beperkt was
voor het uitvoeren ~an buigproeven met relatief kleine diameter-wanddikte . .
verhoudingen(< 30). Besloten is toe een nieuw centraal gedeelte te laten
vervaardigen. De door Protech beschikbaar gestelde drukvatafdichtingen
(van essentiël-belang voor buigproeven onder uitwendige dl:uk) zijn onge
wijzigd gehandhaafd.
De druktank wordt gevuld met olie van hetzelfde type dat ook in hyd.raulische
apparaten wordt gebruikt. Via deze olie wordt de uitwendige druk (in zee
condi ties de uitwendige waterdruk), op het proefstuk overgebracht. Aan het
gebruik van olie zijn t.o.v. het gebruik van water belangrijke voordelen
verbonden.
- Door de grote elektrische weerstand van olie, is er veel minder kans op
kortsluiting in de op de proefstukken aangebrachte meetapparatuur.
- De belastingapparatuur (motor of handpompen) is na gebruik zonder meer
weer te gebruiken voor andere rrceven. Water moet eerst uit de apparatuur
worden gespoeld,wat vrij veel olie kost.
- ao -
: Door de wat grotere samendrukbaarheid van olie t.o.v. water worden
drukvariaties beter afgevlakt.
Aan het gebruik van olie zijn ook nadelen verbonden. Olie tast n.l.
de lijmlaag aan waarmee rekstroken worden geplakt. Dit kan worden voor
komen door de rekstroken af te dichten met een nitrilrubber coating.
s.1.2 ~!!~!~~!~~!
Het belastingframe is zodanig ontworpen dat op het proefstuk een combinatie
van buiging en trek (onder uitwendige druk) kan worden aangebracht. De
proefnemingen die in dit rapport worden beschreven zijn beperkt gebleven
tot zuivere buiging en buiging onder uitwendige druk. De beschrijving van
de proefopstelling zal dan ook alleen op die gevallen betrekking hebben.
De buigproef wordt uitgevoerd als een zgn. "vervormings gestuurde vierpunts
buigproef". (Zie schematische weergave fig. 9, 10) • Door de trekstangen
te koppelen via de hefbalk is men ervan verzekerd dat bij het opvoeren
vah de belasting het buigend moment een constant verloop heeft.
Om te voorkomen dat het eigengewicht van het drukvat, met daarin olie voor
het overbrengen van de uitwendige vloeistofdruk, op het proefstuk een voor
belasting uitoefent, wordt het gewicht van het drukvat (incl. olie) gecom
penseerd d.m.v. twee contragewichten. Hiermee wordt tevens bereikt dat de
betrekkelijk kwetsbare afdichtingen tussen het drukvat en het proefstuk
niet worden belast door genoemd eigen gewicht.
8.2 Meetapparatuur
Bij de beproeving van de buizen worden zowel de aangeb~achte belasting
als de optredende vervorming geregistreerd.
8.2.l Druk
De uitwendige druk wordt aangebracht d.m.v. een motorpomp (plunjerpomp)
waarmee de druk in het drukvat constant kan worden gehouden ook als door
ovalisatie van het proefstuk het volume van de olie kan toenemen. De druk
wordt met een elektronische drukopnemer geregistreerd en tijdens de proef
zichtbaar gemaakt op de door IBBC gebruikte meetcomputer (compulog} die ook
de aflezing van de andere meetinstrumenten regelt. Controle van de gemeten
druk vindt plaats via de op de pomp gemonteerde manometer.
- ,91 -
Het buigend moment wordt niet rechtstreeks gemeten, maar berekend uit
de op de hefbalk aangebracht trekkracht.
De meting van de grootte
van de trekkracht F vindt
elektronisch plaats via
een boven de vijzel gemon-
teerde 'drukdoos' .Het op het
proef stuk aangebrachte buigend
moment kan als volgt worden berekend:
. a
F
a a
Indien de buigproef wordt uigevoerd onder uitwendige druk is het buigend
moment niet meer constant over de lengte van he~ proefstuk. Zie hiervoor
bijlage 2.
a·~2.3 ~~
Een belangrijke vervo:r::mingsparameter is de kromming. De meting van de
kromming van de buis vindt op verschillende manieren plaats. Dit gebeurt
om onderlinge contrêle op de meetinstrumenten mogelijk te maken.
In het elastisch gebied moet het gemeten verband tussen moment (M) en
kromming (K) overeenstemmen met het verband volgens onderstaande betrekking:
K = M/EI
Hierin is EI de buigstijfheid van het proef stuk •. Door het game.ten moment
krommingsdiagram in het elastische gebied te vergelijken met het aldus
berekende moment-krommingsdiagram kan een goede contröle worden uitgevoerd
op de juiste werking van de meetapparatuur. Voordat met beproeven onder
uitwendige druk wordt begonnen, wordt altijd eerst een proefbelasting uit
gevoerd (waarbij alle vervormingen nog elastisch blijven). Dit gebeu.t:t om
na te gaan of tijdens de montage van het proefstuk, dat voorzien is van
alle meetapparatuur, geen verstoringen zijn opgetreden.
- 82 -
De meting van de kranming geschiedt via twee verschillende methoden:
a Via de meting van de rek aan boven- en onderzijde van het proefstuk.
Deze rek wo:cdt gemeten d.m.v. rekstroken die op de buis zijn gelijmd.
~ - eo K = ----
0 u
D u
Een bezwaar is het plaatselijke karakter van de metingen. Door niet
gelijkmatig vloeien van het bu.ismateriaal ontstaan O'ITer het opper
vlak van de bu.iswand, in d.e elasto-plastische overgangsfase, plaat
selijk rekverschillen. De berekende kromming is in deze fase als de
buis begint te vloeien, mind.er betrouwbaar.
Dit is ook het geval als b.v. in
de g:edrukte zone enige buiqinq
in langsrichting van de buiswand.
optreedt. In dat geval worden aan
de buiswand behalve no::r:maalkracht-
rekken ook buigingsrekken (waarvan de ~ootte onbekend is) gemeten.
Een ander bezwaar van deze manier om de kromming te bepalen uit de
gemeten rekken is dat bij het optreden van ovalisatie rekening moet
wo:cden gehou:ien met een gewijzigde waarde voor D • u
b De tweede methode die wordt toegepast om de kromming van het proef
stuk te bepalén,gebeurt met behulp van verplaats_ingsopnemers. Hierbij
worden de verplaatsingen gemeten die de uiteinden van zogenaam:ie meet
armen t.o.v. elkaar ondergaan. Uit deze verplaatsingen kan de hoek
verdraaiing wo:cden bepaald die twee punten op de buis t.o.v. elkaar
ondergaan.
/ / /
meetarm
- 83 -
ói = l~ibl + lóial
ói <1>=-a
De in onderstaande betrekking berekende kranming is de gemiddelde
kromming berekend over de afstand (i) die de twee meetpunten uit
elkaar liggen.
De meetarm wordt op een blokje
gemonteerd dat op de buiswand
is gesoldeerd. Gekozen is voor
solderen in plaats van lassen
om temperatuurinvloeden, zoals
krimp en daarmee gepaard
gaande veranderingen van de
doorsnede en de plaatselijke
beinvloeding van de materiaal
eigenschappen te vermijden.
Als verplaatsingsopnemers worden
meetbeugels gebruikt waarmee de
verplaatsingen kunnen worden ge
meten met een meetnaukeurigheid
in de orde van 0,01 mm. De capa
citeit van deze opnemers is beperkt
tot 2,5 mm. Dit is bij de experimen
ten onder uitwendige druk, gezien
de beperkte rotatiecapaciteit van
de flenzen v:an het drukvat (waar
sleuf met kunsthars evuld
gesoldeerd blok'e
stelschroef
rek stroken ::::::::::
0
ri \ l l \ 1 \ 1 1 1 1 1 1
' ' . ____ , ---- -
het proefstuk door naar l:uiten steekt}, voldoen:ie. Bij de buigproeven
buiten het drukvat, moet de afstand tussen de meeta:.r:men, door de veel
grotere krommingen die dan gerealiseerd kunnen worden, d.m.v. stel
schroefjes worden aangepast (zie ook foto 2).
om overbelasting van de opnemers te voorkomen (bij bezwijken van het
proefstuk kan de kromming plaatselijk zeer snel sterk toenemen),
worden de beugels aan d.e bovenzijde van de l:u.is (trekz6ne), tussen de
- 84 -
meetarmen geklem:i en aan de onderzijde (drukzöne) om de meetarmen heen.
Op deze wijze raken
de opnemers bij de
zeer grote vervormingen
die bij bezwijken van
het proefstuk op kunnen
treden, los va~ de buis.
Een nadeel va:r:i deze opzet is de wat minder grote bedrijfszekerheid van
de meetapparatuur. Door op meer plaatsen te meten wordt aan dit bezwaar
tegemoet gekomen.
8.2.4 Ovalisatie ----------Een andere belangrijke parameter in het Shanley rekenmodel is de
ovalisatie. De ovalisatie wordt uitgedrukt in de hoekverdraaiing S.
~(D-tID ) 1T v
tan(4 -S) = ~(D-00 ) H
of
voor kleine vervormingen (LID ;;;; 00 << 00) kan de ovalisatie S als H V
percentage van de l:.uisdiameter worden weergegeven:
In bovenstaande formules wordt met ~DH, ®v de horizontale resp. vertikale
diameterverandering bedoeld.
De meting wordt uitgevoerd met speciaal voor dit doel ontworpen tweedelige
beugels. Op het verenstalen
gedeelte van de beugel zijn
de rekstroken geplakt. Bij
overbelasting blijven de ver
vormingen in dit gedeelte
elastisch. In het 'blikken'
gedeelte levert de opgedrongen
veren staal. (hoge vloeigrens)
blik (lage vloeigrens)
- 85 -
(grote) plastische vervorming geen problemen op (zie foto 3 en~).
Na gebruik wordt het 'bl.ikken' gedeelte van de beugel of vervangen of
weer teruggebogen. De stijfheid van de beugels (dikte 0,6 mm, breedte
20 mm) maakt het mogelijk om ze in twee centerputjes op de buis te
klemmen. Het meetbereik is ongeveer 5 mm met een afleesnauwkeurigheid
van 0,01 mm. De meest nauwkeurigheid is in de orde van 0,05 mm.
Tijdens de proef worden alle meetinstrumenten door de meetcomputer
zeer frequent afgelezen {maximaal twee maal per minuut). Registratie . van de meetgegevens vindt plaats via de meetcomputer (compulog) op
een ponsband. Tevens worden een aantal meetgegevens door de compulog
direkt verwerkt en op de bijbehorende printer weergegeven. Direkte
visuele interpretatie van enkele maatgegevens is mogelijk via de aan
gesloten x-y recorder. Op deze x-y recorder wordt tijdens de proef het
gemeten moment-krommingsdiagram getekend.
8.3 Pr.oefstukken
De proefstukafmetingen zijn gekozen op grond van verschillende over
wegingen.
- De diameter van de proefstukken is bepaald op ca. 100 mm in verband met
de grootte van de doorvoeropening van het drukvat. De uitwendige druk
veroorzaakt indien de diameter van het proefstuk groter of kleiner is
dan de doorvoeropening ongewenste druk resp. trekspanning in axiale
richting in het proefstuk.
- Als onderdeel van het proefprogramma zullen ook een aantal speciaal
bewerkte buizen worden beproefd. Door de eisen die gesteld worden aan
wanddikte en diameter (tolerantie .! 0,02 mm) is de buislengte van
dergelijke nauwkeurig vervaardigde proefstukken beperkt tot ca. 800 mm.
- Voor. install.aties van buisleidingen .. in waterdiepten tot ca. 1000 m
wordt in de literatuur [ 3, 7. [gedacht aan diameter-wanddikte verhoudingen
van D/t = 20 à 30.
- 86 -
- voor het verrichten van een aantal oriënterende proeven kan volstaan
worden met handelsbuis. In de handel is "precisie" buis verkrijgbaar
met een diameter van 100 mm en een wanddikte van ca. 4 mm (D/t = 25) •
~ van buizen met een diameter-wanddikte verhouding D/t = 25 zijn resul
taten van ander experimenteel onderzoek beschikbaar.
Op gi'oi:id van bovenstaande overwegingen is de diameter:wanddikte VeJ:hou
ding voorlopig bepaald op 25.
8.3.2 Proefmateriaal
Als proefmateriaal zijn verschillende soorten buis gebruikt: handelsbuis
zowel in naadloze als in langsnaad gelaste uitvoering en speciaal voor
deze proeven bewerkte buizen. Onderstaand zijn een aantal materiaaleigen
schappen en de belangrijkste afmetingen weergegeven. In de grafieken 11, 12
en 13 zijn de spanning-rekdiagrammen van het gebruikte proefmateriaal. weergegeven
O' crs t:.v t:.R D t )?roef
e u soort
IN/mm21 IN/mm2\ % % lmm[ lmml
4, 5 A 315 430 2.S 25 89,5 3 .
6, 7 B 249 370 0.5 31 100 4
$, 9 c 320 460 1,7 25 100 4
Soort A handelsbuis met naad
B precisie handelsbuis naadloos
C speciaal vervaardigde naadloze proefstukken
ae vloeispanning
aB breukspanning
ev rek waarna versteviging gaat optreden
ER rek bij breuk
Opn. Naar aanleiding van de proeven 1 - 3 zijn wijzigingen in de proef
opstelling aangebracht. De meetresultaten blijven hier.: buiten be
schouwing.
- 87 -
Zoals eerder is gesteld dienen de proeven om de rRsultaten van het reken-
mo:iel te verifiëren. Bij het rekenmo:iel is in eerste instantie uitgegaan
van ideaal ronde buizen met een ideaal constante wanddikte; het in het
rekenmo:iel ingevoerde spannings-relatiè diagram
is bi-lineair.
In een later stadium van het onderzoek
zullen ook variaties in de geometrie
en in de materiaaleigenschappen in het
model worden ' ingebouwi' •
Teneinde de resultaten van het rekenmo:iel in deze fase van ontwikkeling
te verifiëren was het no:iig te streven naar proefmateriaal met zo weinig
mogelijk afwijkingen van de ideale ronde cilindervorm en met een span
nings-rekdiagram met een duidelijk vloeitraject. De diameter-wanddikte
verhouding is naar aanleiding van de reeds vermelde overwegingen (8.3.1)
gekozen op 25.
In het licht van het voorgaande is aan het gebruik van handelsbuis (=
buis zonder bijzondere eisen) als proefmateriaal een aantal nadelen ver
bonden. Dit betreft vooral de maatafwijkingen; buis niet cirkelvormig en
wanddikte variaties in omtreksrichting en in langsrichting. De buizen met
lasnaad (A), vervaardigd uit plaatmateriaal, verton~n veel kleinere wand
dikte variaties dan de naadloze buizen (B) • Aan de andere kant is de on
rondheid bij soort A weer groter dan bij de naadloze buizen (B} •
De speciaal bewerkte buizen (C) vertonen de maatafwijkingen in veel min
dere mate. Door de nauwkeurige bewerking zijn ze echter tamelijk kostbaar.
De kosten voor het vervaardigep van een proefstuk (buislengte ca. 800 mm)
met een wanddikte va:c:iatie van minder dan 0.02 mm bedragen ruim f 2.000,-
In verband met het oriënterende karakter van de eerste proefnemingen is
besloten hiervoor handelshuis te gebruiken. Dit oriënterende karakter was
gelegen in het uittesten van de werking van het drukvat, de belastingappa
ratuur en de speciaal ontwikkelde meetapparatuur. Met deze oriënterende
proeven werd tevens een indruk gekregen van de uitwendige druk c.q. krom
ming waarbij bezwijken optrad en van de bezwijkvorm. Deze gegevens waren
van belang bij de ontwikkeling van de theoretische modellen.
8.4 Uitgevoerde proeven, proefresultaten
In onderstaan:ie tabel is een overzicht gegeven van de uitgevoerde proeven.
De gemeten moment-kromming diagrammen en moment-ovalisatie diagrammen
zijn in de grafieken 20 t/m 33 weergegeven. De plaatsing van de meet
apparatuur op de proef stukken is in geschematiseerde vorm weergegeven
in de figuren 14 t/m 19.
In onderstaa."ide tabel is naast enige bijzonderheden tevens de gemeten
bezwijkkromming en bezwijkdruk weergegeven.
Bezwijk bezwijk-
Proef Belasting Bijzonderheden krommim druk
z10-6mm1 K/K bar P/PP e
Oriënterenie proef buiten het drukvat, in het bijzonder
4 ~c::: """::::J) gekeken naar de bezwijkvorm. en naar de werking van de 470 14 - -meetapparatuur
Doel van de proef is geweest na te gaan of in trek- en
5 ~[:: °--:::::J) drukzöne, in de plastische fase, buigende momenten in 330 10 - -omtreksrichting kunnen worden overgebrachtl)
Oriënterende proeven in het drukvat op 'precisle' han-+ delsbuis2) onder constante uitwendige druk. In het bij- 4,5 100 0,50 6
~[: . ::J; . 110
+ zonder gekeken naar bezwijkvorm in verband met de model-
+ vorming voor belastinggeval buiging + uitwendige water-
7 ~(:.. ::J) druk. Daarnaast testen of meetinstrumenten ook onder 27 1,1 150 0,75
+ uitwendige overdruk goed werken.
-1-- Buigproeven order constante uitwendige overdruk op 8 ~c: ..-1-:JJ speciaal bewerkte proefbuizen3), met als doel de 135 4,2 147 0.57
meting van moment-kromming c.q. ovalisatie diagrammen.
+ Hiermee zal het mogelijk zijn resultaten van het nog 9 ~r::. :Jj uit te werken rekenmodel te verifiëren. 51 1,6 177 0.69
+ Opm. Naar aanleiding van de proeven 1-3 zijn wijzigingen in de proefopstelling aangebracht. De resultaten van deze
proeven blijven hier buiten beschcuwing.
00 00
- 89 -
1) Doel van de proef is geweest na te gaan of het rekenmcdel, voor wat be
treft de reductiefactor voor het in omtreksrichting opneembare moment,
een juist beeld geeft. De in het rekenmodel opgenomen vloeicriteria voor
de reductie van het in de buiswand opneembare moment hebben als conse
quentie dat dit opneembare moment tot nul wordt gereduceerd zodra in
axiale richting de vloeigrens wordt bereikt. Anders gezegd; in het reken
model worden door rotatieveren in de trek en drukzöne geen buigend.e
momenten meer overgebracht zodra de vloeispanning in die zone is bereikt;
er ontstaan 'scharnieren'.
Er is een buigproef uitgevoerd op een buis waarin deze situatie met
'scharnieren' is nagebootst. Door in lengte richting sleuven in de buis
te frezen (foto 6) is de buig
stijfheid en het opneembare mo
ment in de buiswand ter plaatse
gereduceerd tot ca. 10 % resp.
ca. 20 % van de oorspronkelijke
waarde. Al.s proefstuk is een buis
gebruikt met verder dezelfde
eigenschappen als de voorgaande
proef. Dit is gedaan om door een vergelijking met de resultaten van de
vorige proef de irnrloed van de gefreesde sleuven en de eerder genoemde
in het model ingevoerde reductiefactor na te kunnen gaan.
2) Geometrie contrt>le van deze proefstukken toonde aan dat de diam.etervari
aties weliswaar klein waren (!, 0.04 mm), maar dat de wanddikte verschillen
aanzienlijk groter waren (:!:_ 0.15 mm).
3) Geometrie contêle van de speciaal bewerkte proefbuizen toonde aan dat
wanddikte variaties kleiner waren dan + 0.2 mm. De variatie in diameter
bedroeg :!:. 0.01 mm.
- 90 -
9. BESPREKING PROEFRESULTATEN
9.1
In dit hoofdstuk worden de proefresultaten besproken van de in hoofdstuk
8 beschreven proeven. De proeven 1 t/m 3 zijn aanleiding geweest proef
opstelling en meetapparatuur te mod.ificeren. De resultaten van deze
proeven blijven hier buiten beschouwing.
Proefstuk 4 Zuivere buiging
De buis is buiten het drukvat belast op zuivere buiging. Nadat de buis
tot in het plastische gebied was geboqen, is de kromming zich op één
plaats gaan concentreren. Het draagvermogen van de buis is echter pas
vrij sterk_gaan afnemen nadat de l:uis, in het uitendelijke plooigebied,
een kromming van ca. 27 K had bereikt. (gemiddelde kromming gemeten met e de verplaatsingsopnemers nr. 2, zie fig. 20 ) • De bereikte kromming buiten
het plooigebied is ca. 14 K (verplaatsingsopnemers nr. 1). De kromming e die berekend kan worden uit de rek, gemeten aan boven- en onderzijde van
de buis, is niet beschikbaar voor de gehele proef omdat de rekstroken in
de trekzone voortijdig van de buis losraakten. Het verloop van de kranming
berekend uit de rekstrookmeting, tot losraken, volgt het verloop van de
kromming gemeten met verplaatsingsopnemers nr. 2 goed (fig. 21 ) •
Het meetbereik van de ovalisatiemeters is beperkt; bij grote vervormingen
raakt het meetinstrument los van het proefstuk (zie ook 8.2.4). Tijdens
de proef.is de ovalisatiemeter nr. 2 die zich in het uiteindelijke plooi
gebied bevond (fig. 14) losgeraakt van het proefstuk. Besloten is, in
verband met de vergelijkbaarheid van de meetresultaten onderling, de uit
werking in grafieken (fig. 21 en 22 } te beperken tot het moment van los
raken van de rekstroken.
De uitkansten van het rekenmod.el blijken tussen de gemeten diameterveran~
deringen in te liggen (fig. 20). De meetresultaten van meter 3 (fig. 14),
nabij de lasv.erbinding met de veel stijvere verlengstukken, zijn niet in
grafiek opgenomen in verband met de geringe ovalisatie daar ter plaatse
(orde grootte van de meetnauwkeurigheid).
Bovenstaande uitkomsten geven aan dat het rekenmodel het gedrag van de
buis, tot plooien, goed kan beschrijven. Opgemerkt wordt dat het plooi
gedrag zelf, niet door het rekenmodel wordt beschreven. In het rekenmodel
wordt de grens van het draagvermogen bereikt door toenemende ovalisatie
over de gehele buislengte. In de werkelijkheid concentreert de ovalisatie
en daarmee de kromming zich op één plaats. (foto 5)
9.2
9.3
- 91 -
Proefstuk 5 zuivere buiging
De buis met 'sleuven 1 (foto 6, 7J is bui ten het drukvat belast op zuivere
buiging. Het draagvermogen van de buis verminderde nadat de buis tot
ver in het plastische gebied was gebogen. De gemiddelde kromming in het
uiteindelijke plooigebied (gemeten met verplaatsingsopnemers nr. 2)
bedroeg ca. 15 Ke (zie fig. 23). De krcmming berekend uit de rekstrook
meting (ook in plooigebied, zie fig. 15) bereikte een waarde van ca.
17 K • De bereikte kromming buiten het plooigebied is ca. 10 K (gemeten e e met verplaatsingsopnemers nr. 1).
Door de aanwezigheid van de sleuven in de buis nam de ovalisatie wat
sterker toe dan bij de voorgaande proef het geval was. (zie fig. 24).
Omdat de verschillen met proef stuk 4 niet zo groot zijn lijkt de conclu
sie gerechtvaardigd dat de reductie van het opneembare moment in omtreks
richting, zoals deze in het rekenmo:iel is opgenomen goed werkt bij een
niet van sleuven voorziene buis. In werkelijkheid zal de reductie van
het opneembare moment in omtreksrichting, waarschijnlijk door een her
verdeling van spanningen niet zover.gaan dat helemaal geen momenten meer
kunnen worden overgebracht. Bet verschil tussen de proefresultaten van
proef 4 en 5 is echter betrekkelijk klein. Daarom is besloten vooralsnog
de in het rekenmo:iel opgenomen reductie formules te handhaven.
Proef stuk 6 en 7 b.liging onder uitwendige druk
De buigproeven zijn end.er constante uitwendige druk uitgevoerd op
'precisie' handelsbuizen. De gemiddelde kromming waarbij de b.liswand
instabiel werd (implosie) bedroeg voor proefstuk 6, waarop een uitwendige 2 druk werkte van 10 N/mm , ongeveer 4,5 Ke (fig.24 ) • Bij proef 7 (uit-
wendige vloeistof druk 15 N/mm2
) werd een kromming bereikt van 1,1 K e (fig. 26).(Zie ook foto's 8 en 9)
In genoemde figuren is de gemeten kromming uitgezet tegen het uitwendig
aangebrachte buigend moment. De invloed die de druk op het verloop van
het b.ligend moment uitoefent is hierin niet verwerkt (zie bijlage 2).
In fig. 34 is een interactie diagram voor druk en kromming gebaseerd op
deze meetresultaten weergegeven. De punten op de ö.ssen van het diagram
9.4
- 92 -
zijn bepaald m.b.v. de ontwikkelde kinema.tische rekenmodellen. In
deze figuur zijn tevens de resultaten van proef 8 en 9 weergegeven.
De gemeten ovalisatie verschilde bij de twee proefnemingen aanzienlijk
(grafieken 27,'.29). Bij de laatste proef (druk 15 N/mmh is in vergelijking
met de voorgaande zeer weinig ovalisatie opgetreden voordat bezwijken
plaats vond (0,35 mm t.ov. 4 mm). Hiervoor zijn.een drietal oorzaken aan
te wijzen.
Qualitatief beschouwd wordt ovalisatie veroorzaakt door de ontbondene
van de spanning in de trek-en druk.vezels van de buis die in de richting
van het neutrale vlak werkt.
Deze ontbondene is groter naar
mate de spanning in de trek en
druk.vezels groter is en is ook
groter naarmate de kromming groter
is. Het buigend moment en de bereikte
kromming waren bij proef stuk 7 belang-
rijk kleiner dan bij proefstuk 6.
De andere oorzaak is de hogere uitwendige druk, imlliers bij een hogere druk
is een geringere ovalisa~e nodig om tot een instabiele toestand te komen.
buiging onder uitwendige druk
De buigproeven zijn uitgevoerd onder constante uitwendige vloe:!.stofdruk
van 14,7 N/nm.2 resp. 17,7 M/mm.2 (ca. 1470 m resp. 1770 m waterdiepte). De
gemiddelde kromming waarbij de buiswand instabiel werd (implodeerde) be
droeg 4,2 Ke resp. 1,6 Ke. De gemeten kromming is uitgezet tegen het uit
wendig aangebrachte buigende moment (fig.29 en 30). In deze figuren is
nog niet de invloed verwerkt die de uitwendige druk heeft op het verJ.oop
van het buigend mom.ent (bijlage 2). De meetresultaten (druk en kromming)
zijn in figuur 34, tesamen met de resultaten van proef 6 en 7 weergegeven.
Zie ook foto's 10 en 11)
Door het plaatselijke karakter van de rekstrookmeting, het niet gelijk
matig vloeien van de buiswancl en even'bl.eel het ontstaan van •golven' in
lengterichting {ovalisatie verschillen), kunnen tamelijk grote verschillen
ontstaan tussen de diverse meetresultaten (figuur 29) •
- 93 -
Tijdens de uitvoering van proef 9 is de uitwendige druk in een bepaald
stad.ium van de proef te hoog opgelopen. Dit heeft geresulteerd in voor
tijdig vloeien van de buiswand. Hierdoor is een sprong in het moment
krommingsdiagram ontstaan (figuur 30) bij een b.ligend moment van ca.
3, 7 K.Nm.
De gemeten a.ralisatie is klein (maximaal 2 mm resp. 1 mm} • De op de di
verse plaatsen gemeten mralisaties verschillen. onderling soms vrij aan
zienlijk (grafiek 31 1 32 en 33). Voor de plaatsing van de meetapparatuur
zie fig. 18en 19.
- 94 -
10. LITERATUUR
111 C.S. ADES
Ben:iinq strength of tubing in the plastic range Journal of
the a:eronautical science, August 1957.
1 2 I J. BLAUWENDRAAD
A.W.M. KOK
Elem.entenmethod.e 1
Agon Elsevier 1973
131 D. BYNUM
Buckling considerations for subsea pipeline design
Ocean Resources Engineering april 1977
141 P.J.A. DE COO
Sterkte en vervormingseigenschappen van pijpleidingen in diep water
Inventarisatie van literatu.ur en beschikbare kennis, uitgevoerd in
het kader van het MaTS projekt PL-3
!SI M.A. CRISFIELD
Some approximations in the non-lineair ana.lysis of rectangular
plates using finit elemen.ts TRRL SUpplementary Report 51 uc
16[ A.A. ILYUSRIN
Plasticité
Editions Eyrolles Paris 1965
[71 M. NEWHAM
Algeria-Italy pipel.ine
Offshore Engineer, 87-90 May 1979
jSI E.T. ONAT
The plastic collapse of cylindrical shel.ls u.nd.er axially symmetrical
load.ing
Quart. Appl. Math 1955
- 95 -
19! R.S. PUTHLI
Collapse analysis of thin walled structures
Doctoral thesis University of SUrrey 1977
1101 R.S. PUTBLI
Interactive collapse of plate assemblages in relation to the
strenqth of box . qirder s
Stability of steel structures preliminary report Liège April 1977
!11! E. REISSNER
On finit pure bending of cylindrical tubes
Osterr. Ing. Arch. Vol 15, 165-172 (1961)
j121 E. REISSNER
J.J. WEINITSCBKEw
Finit pure bending of circular cylindrical tubes
Quarterly of applied mathematics, Vol 20 305-319 (1963)
j 13 l M. ROBINSON
A comparison of yield. surfaces for thin shells
Int. Journal of Mech. Sciences vol 13 1971
1141 M.A. SAVE
C. E. MASSONNET
Plastic analysis ani design. of plates, shells ani disks
math Holland Series Lomon 1972
115] S.P. TIMOSBENKO
J.M. GERE
Theory of elastic stability
McGraw-Hill Second edition
1-1
BIJLAGE 1
1. Invloed van normaalkracht op de grootte van het volplastisch moment.
In het Shanley model wordt gewerkt met rotatieveren die een elasto-
plastische karakteristiek hebben.
De elastische tak wordt
bepaald aan de hand van
het elastische vervormings
gedrag van de buisleiding.
De plastische tak wordt be
paald door eigenschappen van
r---- -----I
I
-..--------------------6 de buiswand (dikte, vloeispanning buismateriaal) en de normaalspanningen
in de buiswand op de plaats waar de rotatieveren gesitueerd zijn. De
vraag is nu hoe groot het
in omtreksrichting opneem
bare moment maximaal kan
zijn als zowel in omtreks
richting als in axiale
richting spanning in de
buiswand aanwezig is.
1.1 Von Mises vloeicriterium
In plaats van een stukje uit de buiswand wordt een rechthoekig stukje
materiaal beschouwd.
De berekening zal worden
opgezet voor een ideaal
plastisch materiaal dat
voldoet aan het vloei-
criterium van von Mises.
Uitgangspunt is een vlakke
spanningstoestand op de hoofd
assen van het materiaal. Dit
betekent dat een aantal span
ningscomponenten gelijk aan
nul zijn:
cr zz = crzx = (J
zy = (J xy = 0
l
1-2
In ~~n schijfje materiaal
(// xOy vlak) heerst een
uniforme twee-assige span
nir.gsto~stand. De spanningen
die op de randen van de schijf
jes werken voldoen aan het
vloeicriterium van Von Mises.
Bet vloeicriterium van Von
Mises voor een vlakke spannings
toestand op de hoofdassen luidt:
= cr e 2
z
x
x Gesommeerd over de hoogte (t) maken de spanningen evenwicht met momenten
en normaalkrachten.
~t N = f cr dz ~t
-~t
~t 'M= f cr.zdz
-~t
(de breedte- èn lengte-afmetingen van het blokje materiaal zijn gelijk
aan 1 verondersteld) .
Er zijn oneindig veel spanningsverdelingen (Cl , cr ) denkbaar die aan x y het vloeicriterium voldoen. Àls echter rekening wordt gehouden met
vervorming van de schijfjes onderling is er slechts een oplossing.
over de absolute grootte van de vervormingen kan geen uitspraak worden
gedaan, er kan wel iets worden gezegd over de relatieve toename van de
vervormingen. Als aangenomen wordt dat vlakke doorsneden vlak blijven,
kan met behulp van de normaliteitsconditie het verloop van de spanning
over de hoogte van het blokje materiaal worden. bepaald.
1-3
Vlakke doorsneden blijven vlak
kan worden geformuleerd met de •
dimensieloze parameters e:(o) en
b.Ê ( = Ê (~t) - Ê (-~t)) •
De reksnelheidsverdeling wordt hiermee
.. • z . e: (z) = e: (o) +- Ó.€
x x t x
. . z • e: (z) = € (o) +- f:..E y y t y
z
• e: ( ~t)
Ê (-~t)
Deze notatie is wat omvangrijk, daarom wordt nu verder geschreven:
• • . . e: (o)
x = A, E (o) y = B,Ö.€ x = C,6.e: = D
y
De re.~snelheidsverdeling wordt met de nieuwe notatie:
. e: (z) = x
• e: (z) = y
A + ,! C t
De normaliteitsconditie geeft
de verhouding tussen de toe
name van de rek in twee
richtingen:
• 1 e: (z) = T. • (-cr (z) + 2cr (z))
y ~ x y
Met iµ is een positieve factor.
• • Eliminatie van e: (z) en e: (z) levert een uitdrukking voor de spannings-x y verdeling over de hoogte van het blokje materiaal.
1-4
Ox(z) =~ij! { 2A + B + ~ . (2C + D)}
' 1 Oy (z} = 31jJ { A + 2B + ~ • (C + 2 D)}
1 De fac~or 1jJ kan worden bepaald door substitutie van de gevonden
spanningsverdelingen in de vloeivoorwaarde.
Voor het bepalen van de spanningsverdeling zou het voldoende zijn
geweest de verhouding (normaliteitsconditie) tussen de reksnelheden
te kennen. Door de vier variabelen (A, B, c, D) is echter de absolute
grootte van de reksnelheden vastgelegd, volstaan had kunnen worden met
de verhouding. Dit betekent dat een van de variabelen of een combinatie
van variabelen, overbodig is. Door teller en noemer van de spannings
verdelingen te delen door een van de variabelen ontstaat een uitdruk
king waarin slechts drie onafhankelijke variabelen voorkomen. ·
Door de spanningen, d.m.v. integratie over de hoogte van het stukje
materiaal, samen te stellen tot momenten en normaalkrachten ontstaat
een stelsel van vier vergelijkingen met drie onbekenden. Eliminatie van
de drie onbekenden levert het gewenste vloeioppervlak voor de interactie
van normaalkrachten en momenten die in twee richtingen werken. Door de
omvangrijkheid van de uitdrukkingen van normaalkracht en momenten leiden
pogingen om op deze manier tot een vloeicriterium te geraken al snel
schipbreuk. Ilyushin [ 6 1 zag kans door eerst te werken met lineaire com
binaties van de momenten en normaalkrachten en in een later stadium met
kwadratische combinaties te komen tot een stelsel van drie vergelijkingen
met twee onbekenden. In deze vergelijkingen zijn ookschuifspanningen mee
genomen. Toegepast.op hoofdspanningen ontstaat het volgende stelsel.
1:_ CS /:' (A + C ~) 2 e 3 t I z 2 z \
l"R(t) + Q(t) + p =
met R = c2+cD+o2
Q = 2AC+AD+BC+2BD
P = A2+AB+B2
Integratie levert:
1 - 1 I Gl = N - - N = - cr t x 2 y 2 e 3
= N 1 = .!. (J tl G2 - - i.'4 y 2 x 2 e 3
1 - = .!. cr t 21 Hl = M --M x 2 y 2 e 3
1 - 1 2; H2 = M --ivi =-O't
y 2 x 2 e 3
met J1
=
1 - dz
• t .
1-5
{AJl + CJ2 }
{BJl + DJ2 }
{AJ2 + CJ3}
{BJ2
+ DJ3
}
Door kwadratische combinaties te maken ontstaat een stelsel van drie
vergelijkingen met drie onbekenden.
1-6
Hierbij is nog geen rekening gehouden met het overbodig zijn van
een variabele, b.v. de variabele R kan uit de vergelijkingen worden
gedeeld. In feite is er dus een stelsel van drie vergelijkingen met
twee onbekenden, n.l. i = P en i = Q. N
= M"
x Normering van extensiekrachten en momenten met ç iC
x tcr e
en À = x 1 t2 - cr 4 e vereenvoudigt het stelsel tot:
?; 2 r;2 - • . Qt = + r;,xr;,y = f 1
(P,Q) x y
À2 À2 -. •
~ = + À À = f 2(P,Q)
x y x y
r;, \ - .!. . •
~t = (Çx).y + r;,yÀx) + Ç,Y).Y = f3 (P ,Q) x 2
Uitwerking van de functies f 1 , f 2 en f3
leidt niet tot handzame formules. • •
Door voor P en Q een aantal waarden te substitueren kan de vorm van het
vloeioppervlak F(Qt'~'Qmt) = 0 worden vastgesteld.
Als benadering voor dit oppervlak heeft Il:ll'\lShin de volgende formule
bedacht.
,--- - - - - - - -
Robinson j131 heeft de functies f 1 (P,Q) enz. uitgewerkt en voor een • •
groot aantal waarden voor P en Q nagegaan of de benadering van Ilyushin
voldoende nauwkeurig was. De benadering bleek het best op te gaan als ne~
aandeel van de buiging relatief groot was. De maximale afwijkingen be
droegen ca. 6 %. Bovenstaande vergelijking geldt voor een volplastische
doorsnede. Crisfield j 5 \ heeft interactieformules bepaald voor het over
gangsgebied tussen vloeien in de uiterste vezel en volplastische doorsnede
(Ilyushin). Vloeien in de uiterste vezel van een rechthoekig stuKje materi
aal kan met de door Ilyushin gebruikte grootheden als volgt worden gefor
muleerd:
Crisfield heeft de coëfficiënten van~ en Qtm gerelateerd aan de hoogte
waarover het stukje materiaal gevloeid is; en daarmee aan de bijbehorende
kromming.
1-7 -
In dit stuk is ook een samenvatting gegeven van Ilyushins afleiding
(de franse vertaling van het oorspronkelijk russische werk is uit
verkocht). Voor belangstellenden wordt ook nog verwezen naar Puthli j9j 110 1 die het kriterium van Ilyushin verwerkte in een elementen pro
gramma. voordeel van een dergelijk programma is de aanzienlijke be
sparing_ in rekentijd bij elasto plastische plaatproblemen.
Voor toepassing in het Shanley model kan het vloeicriterium vereen
voudigd worden; het moment in axiale richting in de buiswand is
klein t.o.v. de andere extensiekrac~ten en momenten en wordt daarom
verwaarloosd.
Toegepast op het kinematisch model wordt met x in de axiale richting en y
in de omtreksrichting, voor de diverse parameters geschreven:
x axiale richting (a)
y omtreksrichting (t}
Ill = À M = 0 aa x p plaatmomenten
mtt = À M =ÀM y p p
n = l;x N = ÇN aa p p extensiekrachten
ntt =~ N = T N p 0 p
N = t(1 / M = '4 t20' p e p e
Met behulp van de bovenstaande, in het kinematische model gebruikte
notatie, kunnen de componenten Q van het vloeioppervlak worden
geschreven als:
= À2
= - kÀ + î À 2 0
Substitutie in de formule van Ilyushin geeft een vierkantsvergelijking
in À voor de reductie van het in omtreksrichting opneembare moment. voor
de wortels van deze vergelijb.ng geldt:
1-B
Een alternatieve methode- om' te komen tot een vloeioppervlak voor
momenten en normaalkrachten die op twee vlakken werken is het kiezen
van een statisch toelaat.baar spanningsveld. :-Er wordt dan wel voldaan
aan het vloeicriterium maar niet aan het normaliteitscriterium. Het
gevonden vloeioppervlak is evenwel een acceptabele ondergrens.
d
--·- x
De snede krachten worden nu:
N = d cr x nx
N = d cr y ny
1 .(h2- d2) O' M = -x 4 mx
M 1 (h2- d2)0' ... -
y 4 my
=
y
cr mx
M x
In genormeerde vorm kan worden geschreven:
N' d crnx
r;;x x
= N = --h cr e p
N' crny r;;y
y d = 'N = h
cre p
'M cr À.
x {1 (d)2} mx = -= -x Fr h (J p e
'M (J
À.y = ..::t... = {1 - (~) 2}_ ~y ~ e
cr my
cr nx
·c - E_Y_
--- --- - ...... N y
1-9
De spanningen voldoen aan het vloeicriterium van von Mises.
cr 2 + cr
2 - cr cr = 0'2
nx ny nx ny e
2 2 cr + cr - cr cr = 0'2
mx my mx my e
Substitutie van de genormeerde snedekrachten levert:
2 Àx
2 +À· y
- 1; r;; = (~) 2 x y h
d Eliminatie van de term h levert het gezochte vloeioppervlak:
Toepassing in het ~eken model (À = ö} en het hanteren van de daar x gebruikte notatie geeft een vloeioppervlak dat de reductie van het in
omtreksrichting opneembare moment beschrijft.
1-10
Tresca vloeicriterium
Door Onat I 8 I is een vloeioppervlak afgeleid dat de interactie beschrijft
tussen normaalkrachten en buigende momenten. Uitgangspunt hierbij is het
vloeicriterium van Tresca. Bij de afleiding is de aanname gedaan dat in
één richting geen krommingsverandering optreedt. Het vloeioppervlak wordt
gevormd door een aantal elkaar snijdende vlakken. Door Save en Massonnet j14j is op overzichtelijke wijze de opbouw van het vloeioppervlak weergegeven.
vlak 1 r = -1 , À -2 r (1 + r ) "'x Y "y "'y r; ' 0 y
vlak 2
vlak 3
vlak 4 = 2(~z;; - r + 2r r - 2 r2
- ç2)
x "y "'x"'y ""x y l,; ~ 0 x
vlak 5
Toepassing in het reken model is rekenteahnisch erg lastig, daarom
wordt de voorkeur gegeven aan een van de eerder gevonden vloeioppervlakken.
In de grafieken 35,36 en 37
schillende vloeioppervlakken.
is een vergelijking gemaakt tussen de ver-
2-1
BIJLJl.GE 2
2.1 Imloed van de proefopstelling op de krachtsverdeling in het proefstuk
In het kader van het onderzoek 'sterkte- en vervormingseigenschappen
van pijpleidingen in diep water' zijn een aantal buigproeven omer
uitwendige overdruk uitgevoerd (hfst. 8 en 9). Bij deze proeven is
gebJ.eken dat, doordat het proefstuk door de afdicht:flenzen van het:
drukvat naar buiten steekt het verloop van het buigend moment wordt
beimloed door de in het drukvat heersende druk en de doorbuiging van
het proefstuk. De oorzaak hiervan is gelegen in het ontbreken van
v loeistofdruk op de kop schotten van de_ buis.
+ -------- -------- -
-- _,_..,_ ~---- ---- - -- ---
De grootte van het buigend man.ent in eell punt van de buis kan berekend
worden uit het aan de buitenkant aangebrachte buigend moment M, de vloei
stof druk P, het oppervlak van de doorvoeropening en de doorbuiging t. p. v.
het punt waar het moment wordt berekend.
De eenvoudigste oplossing is de doorbuiging te meten, echter in het be
staande drukirat is daar:voor geen voorziening getroffen. In deze bijlage
wordt een theoretische benadering beschreYen om de doorl::uiging van het
proefstuk te berekenen zowel bij elastisch als plastische vervormingen.
Begonnen zal worden met een vergelijking van druk.vaten {open of gesloten)
en de consequenties die proeven in dergelijke drukvaten hebben op de krachts
verdeling in de proefstukken.
2-2
De wijze waarop het proefstuk
in het drukvat is gemonteerd
is van invloed 9p de krachts-
verdeling in de buis. Er moet
onderscheid worden gemaakt tus-
sen twee fundamenteel verschil-
lende mogelijkheden, n.l. het
proefstuk bevindt zich in zijn
geheel binnen het drukvat of
het proefstuk steekt buiten het
drukvat uit.
+p
+p
Aangenomen wordt dat de hydrostatische drukverschillen t.g.v. de soortelijke
massa van het drukoverbrengendmedium (water, olie), tussen onder èn boven
kant van het proefstuk, verwaarloosba.ar zijn t.o.v. het gemiddelde druk.
niveau.
Als het proefstuk zich in zijn
geheel binnen het drukvat bevindt
en er behalve de druk geen andere
belastingen op het proefstuk werk-
+" ( : : !•: . : : : : ~
zaam zijn, zullen spanningen in axiale richting en spanningen in omtreks
~ichting evenwicht maken met de uitwendige druk~> voor de eenvoud wordt
een rechthoekige buis beschouwd (dxd) met constante wanddikte t. Vorm
veranderingen die de buis t.g.v. de uitwendige druk in omtreksrichting
ondergaat blijven :buiten beschouwing.
De normaalspanning in omtreks
richting ot maakt evenwicht met
de druk P die op de omtrek werkt.
= -pd 2t
crt__...
Opm. door de druk veroorzaakte buigende momenten in omtreksrichting van
de buis blijven hier buiten beschouwing.
~) de spanningen in radiale richting blijven buiten beschouwing.
2-3
De normaalspanning in axiale
richting cr maakt evenwicht a
met de druk die op de kop-
schotten werkt.
Voor een proefstuk met een
andere vorm geldt dit ook. De
gearceerde stukken zijn symme
trisch belast en dus in even
wicht. In de figuur is met
letters aangegeven welke randen
evenwicht met elkaar maken.
zoals verwacht is de Quis hori
zontaal en vertikaal in evenwicht.
De resultanten .van de druk die op
de vlakjes c, D en E werken gaan
door één punt en maken evenwicht
met een kracht F, in richting en
grootte gelijk aan de resultanten
van de druk op het overblijvende
oppervlak.
De hieruit volgende spanning in
axiale richting is weer:
cr a
A
E
E
c
De resultanten.Thebben dezelfde werklijn (as van de buis) en veroorzaken
geen momenten in de buis; alleen normaalspanning in axiale richting •.
M è.
= - pd 2t
= 0
2-4
Bovenstaande redenering is ook geldig als de buis een ander vorm heeft.
De situatie is nu anders;
: de druk op de kopschotten
ontbreekt.
voor een rechte buis geldt
nu dat er wel een spanning in de om.treksrichting is maar geen spanning
in axiale richting.
crt = - pd 2t
cra = 0
M = 0 a
Opm. Er is verondersteld dat het proefstuk in horizontale richting vrij
door de drukvat afdichtingen kan bewegen. OOk wordt verondersteld dat
t.p.v. de afdichtingen geen momenten door het drukvat op het proefstuk
kunnen worden overgebracht.
Het verschil met een proefstuk dat in zijn geheel binnen het drukvat is
opgesteld ligt in het ontbreken van de druk op de kopschotten. Als op de
kopschotten een drukkracht F zou
worden aangebracht ter grootte ~----------------.
van de resultante van die ~: ontbrekende kracht, zou de .._ ______________ __, ...
------------------:~= 1
kracht s verdeling in het proef-
stuk vergelijkbaar zijn met die
van een proefstuk dat in zijn
geheel binnen het drukvat is
opgesteld. Andersom geldt ook
dat de krachtsverdeling in een
: 1 1_: __ ~ F
proefstuk dat buiten het drukvat uitsteekt vergelijkbaar is met een proef-
stuk in een drukvat waaraan getrokken wordt met een kracht F ter grootte
van het produk:t van druk en doorvoeropening
1
1
2-5
Een zelf de redenering is geldig als
de buis niet recht is. Door het niet
recht zijn van de buis heeft het
ontbreken van de druk op de kop
schotten nog andere consequenties;
n.l. het ontstaan van buigende
momenten in de buis. De grootte
van het buigend moment is af-
hankelijk van de af stand van de buis tot de werklijn van de ontbrek~nde
krachten.
De kracht F stelt de ontbrekende
kracht voor en is gelijk aan het
produlçt van oppervlak van de door-
voer opening en de in het druk
vat heersende druk. Het mechanica-
systeem, van een buis die buiten het
drukvat uitsteekt kan nu geschematiseerd worden tot een (al of niet ge
bogen ) balk waaraan getrokken wordt.
_....,"f
In het algemeen is het zo dat in de proefopstelling een recht proefstuk
wordt gemonteerd. Tijdens de proef wordt de buis dan gebogén. De vraag
is nu hoe de uitwendige druk het momenten verloop beïnvloed.
Opm. De afdichting van het drukvat gebeurt met rubberringen, hierdoor
varieert het oppervlak van de doorvoeropening met de hoekverdraai
ing 6. Bij kleine hoekveràraaiingen is deze variatie verwaarloosbaar.
2-6
2.2 Elastische vervormingen
Voor het evenwicht kan worden geschreven:
M=M -FW 0
Als de buis nog elastisch reageert geldt:
2 M = -EI d W
d.X2
w
x
Bet evenwicht wordt dan beschreven met onderstaande differentiaal ver-
gelijking.
d2w 2 M 0
dx2 - À w = EI
met À2 F = EI
De oplossing van deze DV is met randwaarden W = 0 voor x = .:';_ ~t
W(x) M cash Àx
0
= - F cosh12J1.À +
M 0
F
Voor het verloop van het buigend moment over de buis wordt gevonden
met:
M = M - FW 0
M cosh Àx M(x)
0 =
cash ~ iÀ
À2 = F EI
2-7
2.3 Plastische vervormingen
Als de vervormingen niet meer elastisch zijn is geen exacte analylische
oplossing voorhanden. Er moet volstaan worden met het maken van een
schatting of het verloop van het buigend moment moet gezocht worden m.b.v.
een eindig elementen programma. Volstaan zal worden met het maken van een
schatting.
Aan het probleem bij het plastisch vervormen van de buis zijn twee a.s
pecten die een exacte analytische oplossing in de weg staan. Ten eerste
de_formulering van de mcment-krommings relatie en ten tweede de analytische
oplossing van de differentiaalvergelijking die het evenwicht beschrijft.
Uitgangspunt bij onderstaande oplossing is dat in het plastische gedeelte
van de buis de buigstijfheid. constant is over de lengte, maar wel afhan
kelijk is van de grootte van de buigende moment~n aan begin en eind van
de plastische zöne. Door deze aanname is de differentiaalve~gelijking
die het evenwicht beschrijft analytisch oplos.baar.
Ten aanzien van de moment-krommings relatie wordt gekozen voor een lineair
elastische tak en een parabolisch plastische tak.
Moment
M ---------------"'.:.::.--.,...---n
plasti~che tak
1 lineair elastische tak
K e n.K
e kromming
2-8
De vol:lll van de parabolisch plastische tak van het MK diagram wordt
bepaald door drie aansluitvoorwaarden.
M = Me K = K e
M = Me dM -= dK
EI M>M - e
M = M K = n.K n e
Als vergelijking voor het parabolisch plastische gedeelte van het diagram
wordt met bovenstaande randwaarden gevonden:
K =
met p =
(p(JL- 1)2 +MM). K ~ Me e e
Me{n.Me - Mn)
(M - M ) 2 n e
dM De buigstijfheid behorend bij de parabolisch plastische tak (dK = Elp)
is dan:
EI
1 +
In bovenstaande betrekkingen zijn twee vrijheidsgraden aanwezig om de
vorm van het plastische gedeelte van het MK diagram te beschrijven, n.l.
de parameters Mn en n. Aangenomen wordt dat dit voldoende is voor de hier
gekozen benadering.
Het buigend moment is het grootst bij de oplegging, meer naar het middEµi
wordt het buigend moment gereduceerd door de samenwerking van de door
buiging W en de trekkracht F. Er worden nu twee gevallen onderscheiden
t.w. meer naar het midden reageert de buis nog elastisch (elasto-plastische
fase) of langs de gehele buislengte treden plastische vervormingen op
(plastische fase) •
2-9
De buis reageert in het middengedeelte nog elastisch, meer naar de
opleggingen vervormt de buis plastisch.
w
__ ,.,..,...".,.. ... -.,;e;l:a:stisch plastisch
Mo M 0
F ~~~,_ ____ __._ _______ i.,-J---------'-------+-....,-111>1"'
e
In het punt X = + ~)/, wordt juist de vloeigrens bereikt. Op grond van - e
symmetrie is het voldoende de oplossing te bepalen voor het rechter
deel van de buis (X 2:. 0) •
x = ~)I, e
Het verloop van het buigend moment in het middengedeelte (X < ~i ) kan - e
met de elastische beschouwing worden bepaald. Meer naar de oplegging
varieert de stijfheid van de buis.
x l:i M M dM EI = = , -= e e dK
x ~)/, M= M dM EI
= -= 0 dK
l M 1) + 2p(- -
M e
De b.ligstijfheid varieert tussen deze waarden. Voor de analytische op
lossing van de differentiaal vergelijking die het evenwicht beschrijft,
is het noodzakelijk dat er een lineair verband bestaat tussen kromming
en buigend moment. Op grond van deze overweging wordt een lineaire be-
2-10
M n - - :::rr-
- - 1 nadering gekozen die
bepaald wordt door
de grootte van de
buigende momenten
aan begin en einde
van de plastische
zone (M , M ) • e o In formule vorm kan
M 0
M e
------,,,
K e
,,,,,. , / '
/ EI/a2 :
K 0
n.K e
voor de moment-krommingsrelatie voor de elasto-plastische fase worden
geschreven:
M < M e
- - - ·-
M < M < M e - o
M == EI.K
x < l:i i - e
x > l:ii e
Met de eerder gevonden uitdrukking voor de kromming (parabolisch plastische
tak) behorend bij M0
, geldt voor a2
M a2 = 1 + p (~ - 1)
Me
w
EI
F ... --+-JL---'---+-.....1-~--1-~-~~i-1--------..,_....i•F e
2-11
Voor het evenwicht kan worden geschreven:
M = M - F.W 0
De moment-krommings relaties leveren:
d2
W EI --
1
dCl.2 M = -
1 EI M = Me (1 - 2 ) - 2
a. a.
M < M e
M < M < M e - - o
Het evenwicht in de elastische zöne resp de plastische zöne wordt be
schreven met:
=
met
M 0
EI
M (a.2
- 1) - a.2
M e o EI
De vergelijkingen, voor de doorbuiging, die aan deze differentiaal
vergelijkingen voldoen zijn:
AeÀx + Be-Àx + M
wl 0 = F
Cea.Àx + De-a.Àx M M (Ci.2 - 1)
w2 +~ e = -F ciF
2-12
Rand- en overgangsvoorwaarden:
0 dw1
0 x = -= dx
dw dw2
~t 1
x = wl = w2 I Ml = M2 = M l --= e e dx dx
x = '2t w2 = 0
Uit deze zes rand- en overgangsvoorwaarden ontstaan zes vergelijkingen;
de vergelijkingen gebaseerd op de randwaarden w1 = w2 en M1 = M2 zijn
identiek. Er blijven nu over vijf vergelijkingen met vijf onbekenden,
t.w. A, B, C, D, te. Uitwerking levert:
M A = B = - _2_F __ c_o-sh_e_~_À_t_e_
M e-':2etÀte c = - _e_ { 1 +atanh . Àt }
2Fet2 ":! e
M ~Àt } e':2o.Àte D = - _e_ { 1 - atanh
2Fa.2 e
Bij de bepaling van bovenstaande constanten is nog geen gebruik gemaakt
van de randwaarde x = ~t ; w2 = O, hiervan wordt in een later stadium
gebruik gemaakt om te (onbekend) te bepalen als functie van t. De ver
plaatsingsfuncties worden met bovenstaande constanten:
0 < x < ;i,;t e
Me cosh À.X
wl = - F cosh '2Ài e
M +.....:::.
F
elastisch
-------------- ·-----"-------------plastisch
2-13
Voor het verloop van het buigend moment volgt:
0 < x < 12i e
M cosh Àx e
elastisch
-·- - - - ---- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -- -12i < x < ~!
e- -plastisch
M M
2 = ; {cosha.À(x-12ie) +<ltanh ~À.ie siooÀ(x-12ie)+a.
2- 1}
(l
De waarde van ie volgt uit de randwaarde w2 = 0 voor x = ~i
De nog onbekende lengte !e' het punt waar juist Me wordt bereikt, is niet
expliciet in de overige termen uit te drukken. De lengte te wordt
bepaald m.b.v. een Newton-Raphson iteratie procedure.
Met H(ie) is bovenstaande vergelijking en voor:
·aa (i ) sinhaÀ (.9.-.9. ) -d-i,,__e_ = - ~a.À { sinh J.,a.À (.9.-.11.
9) - --,,..._ __ e_
e cosh2 ~Ài e
+
+ a. tanh ~Ài cosh ~Cl.À (.2.-R. ) } e e
2-14
2.3.2 Plastische fase
Het aangebrachte buigende moment M0
is nu zover opgevoerd dat ook in
het midden (x = 0} de buis plastisch vervormt. De eerder gekozen
schematisatie wordt aangepast. De buigstijfheid van de buis wordt ook
nu bepaald door de extreme waarden van de bu.igende momenten in de plas
tische zone.
Het buigend moment in het
midden van de buis (x = 0)
is gereduceerd tot Mm. Als
lineaire benadering van de
moment krommings relatie
in de plastische fase volgt:
w
M 0
M m
M e
M = Mm + EI (K-K ) a.2 m
Me < M < M < M m- - o
/ I
K m
... -...
K 0
2-15
Met de eerder gebruikte uitdrukking voor de kromming behorend bij M 2 m
resp. M0
volgt voor a. :
M + M a.2 = 1 + p ( o m _ 2 }
Me
Voor het evenwicht geldt:
M = M - FW 0
voor de moment k.rommings relatie geldt:
EIK EI d2w M M
m = --;;-- ---m CJ.2 da.2
Het evenwicht in de plastische fase kan worden beschreven met:
Met de randwaarden:
dw (o) dx
volgt als oplossing:
lMm; M K
w 0 m = - a.2À2
Met Mo EI
- -K = a.2 0
= 0
) M
m
K m
W(~i) = 0
( coshaÀx cosh*:etÀi -1)
~K 2 m
a.
w -Ko ( coshet.Àx _ 1 ) = a.2À2 cosh~a.Ài
volgt:
2-16
Voor het verloop van het buigend moment volgt:
M = EIK
0
ri [ cosha.Àx _ 1J cosh~a./..!
Het buigend moment in het midden van de buis (x = o) is per definitie
M = M zodat volgt: m
(M - M )a.2 m o
EI ( l - 1) = Ko cosh~~Ài
Substitutie van a.2 en EI K levert na enig rekenwerk: 0
- [;..e.. (M - M } 2 + M J + [ï_e_ (M - M )
2 + M ) cosh~cx.À! = 0 Moe o Mme m e e
Uit deze functie wordt Mm bepaald met een Newton Raphson iteratie
procedure. Opgemerkt wordt dat a. een functie van M is. m Stel het linkerlid van bovenstaande vergelijking een funtie H dan
dH volgt voor dMm
:m = f ~ (Mm- M8 ) + 1) cosh"aU + [:. (Mm -M8 ) 2+ Mm) • "Àt sinh"ClÀt *
[
M + M :t ~ : 1 + p( OM m
e e 2) J-12
In grafiek zijn de resultaten van een rekenvoorbeeld weergegeven.
Hierbij is een vergelijking gemaakt tussen een volkomen elastische be
nadering en een parabolisch plastische benadering. Ook is een vergelijking
gemaakt voor de berekende kromming in het midden van de buis en de kromming
behorend bij het punt van M wordt aangebracht. 0
Bovenstaande methode is niet alleen bruikbaar om de invloed van de uitwendige
druk op,het verloop van het buigend moment af te schatten, maar kan ook ge
bruikt worden indien trekkracht op de buis wordt uitgeoefend.
2-17
2.4 Proefopstelling IBBC
Bij het IBEC wordt een open drukvat gebruikt; het proef-
stuk steekt door het drukvat naar buiten. Omdat het drukvat een grotere
lengte heeft dan de beschikbare proefstukken, worden de proefstukken vez-
lengd met stukken handelsbuis (verlengarmen) • Om te voorkomen dat deze
verlengarmen na iedere proef vervangen moeten worden zijn ze zwaarde,r
uitgevoerd dan de proefstukken. Het gevolg is dat een berekening zoals
in het voorgaande is aangegeven aanzienlijk moeilijker is geworden.
De rotatiecapaciteit van de doorvoeropeningen is beperkt, daarom zijn
de kopstukken onder een hoek aan de verlengarmen vastgelast. Ook hier
door .treedt een extra complicatie op in de berekening.
Q, • .L
Voor dit belastinggeval kan onderstaande schematisering worden gemaakt.
M
F 4 ~~~--------------~------------------~~F il R,1
JS: r - IJ
M M F+._o ___ +F Mr is het buiten het drukvat aangebrachte buigende moment.
F is de kracht die bepaald wordt door het oppervlak van de doorvoer
oplossing en de druk.
2-18
Aangenomen wordt dat de stijfheid van kopstukken en verlengarmen zö groot
is t.o.v. het proefstuk dat de vervormingen verwaarloosbaar zijn. Voor
het verband tussen verschillende variabelen geldt nu:
4>=Y+8 {constant)
M0
= Mr + F (t2siny - t 1 sin0}
dw tane = a.x (-~t)
Voor kleine hoeken ij>, y, 0 mogen de betrekkingen worden gelinealiseerd.
siny = y, sine = e tane = e
Substitutie levert een betrekking tussen het uitwendig aangebrachte moment
~ en het op het proefstuk aangrijpende moment M0
- F(i + i ) dw (-~i) 1 1 2 dx
voor de hoekverdraaiing aan het uiteinde van het proefstuk worden afhan
kelijk van de fase waarin het proefstuk verkeert, verschillende uitdruk
kingen gevonden.
Elastische fase:
ÀM = ~ tanh ~Ài
F
Elasto-plastische fase:
dw = - dx (~,Q,)
Plastische fase:
ÀM e =--
F ( sinh~a.À ) · (i-t ) + tanh ~Àt cosh~a.À(i-t } et e e e
K 0 = aÀ tanh ~aÄi
2-19
Als betrekking tussen Mr en M0 wordt na substitutie gevonden:
Elastische fase:
Elasto-plastische fase:
M = M + F i2
ip-ÀM (Q. 1+i2
) ( sinh~a.\ (.Q..-Q, ) +tanh~ÀQ. cosh~a.R, (.R.-i )) o r e e e e
Plastische fase:
Het verloop van buigend moment en doorbuiging kan gevonden worden door
substitutie v:ande gevonden uitdrukkingen die het verband tussen M0
en
Mr weergeven in de betreffende vergelijkingen. Opgemerkt wordt dat beide
laatste vergelijkingen impliciete vergelijkingen zijn; .R, is een functie van e
M en ook K0
en a zijn funct:ies van M • Volledige uitwerking van deze 0 0
laatste twee gevallen blijft voorlopig buiten beschouwing.
Elastische fase
In grafiek 39 is een vergelijking gemaakt tussen een geval met verlengarm
en kopschot en een geval zonder.
3-1
Bijlage 3
Buiging van buizen volgens Reissner
t1 J ~ Buis met straal r en wanddikte
h
Volgens de lineaire theorie
is:·
M = EI x = EI Rx
= fE x2
h ds (l Rx
Hierbij is de oorsprong van het assenstelsel in het zwaarte
punt geplaatst. Dit wordt als voorwaarde op de volgende
wijze geformuleerd.
Jx hds = O, Jy h ds = 0 (2)
Door buiging zal de buiswand gaan vervormen, aangenomen
wordt dat de buiswand in omtreksrichting alleen verbuigt,
en niet op extensie wordt belast.
De verplaatsingen u en v in
de hoekverdraaing a van de
weer de buigrek (kromming)
---------------
. K. = as e ds
resp. x en y richting bepalen
buiswand, welke op zijn beurt
in omtreksrichting bepaald .
(3)
- On finite pure bending of cylindrical tubes, .. Osterr. Ing. Arch. Vol 15, 165-172 (1961).
- Finite pure bending of circular cylindrical tubes.
Quarterly of applied mathematics, Vol XX, 305-319 (1963)
3-2
Het verband tussen de verplaatsingen u en v en de hoekverdraaiing
B wordt als volgt bepaald.
y•v . - - . . - . ~-~--Y -- _ '2/(_ :
x .xtU
Als we langs s over de omtrek wandelen en x en y als !unctie
s beschouwen, dan vinden we voor begin en eindpunten van het
stukje ds als x·coördinaten:x en x + ~~ ds, het verschil
dx ·· · 1 d dx "' f 1 d d "' ds ds = ds cos <P , waaruit vo gt at ds = cos 'I' o we x = s cos '!'
voor y geldt dan dy = ds sin <f>.
Nu wordt dit ook voor het verplaatste stukje ds gedaan.
Begin en eindpunt: x + u en (x + u) + d(~:u) ds. . d x + u Het verschil ds ds = ds cos (Qi+S), zodat
d(x + u) = ds cos ($ + 13) (4)
en voor y: d{yd: v) = sin ($ + S) (5)
Bij de niet lineaire theorie moet de vervormingen in de
beschouwing worden betrokken.
form. ( 1) wordt dan Mx (6)
en
form. (2) f (x + u) hds = O, f (y + v) hds = O (7)
-·- -- --------\- ~- - .
)l(tU -z ....,. Door het monent Mx onstaat een rek
in axiale richting: Ez.
De grootte van de rek is afhankelijk
--~---· _, van de af stand tot de neutrale lijn 1
' Voor de vervormde doorsnede geldt nu:
e: = (x + u).K = (x + u) (8) z x R x
3-3
Als Rx constant wordt verondersteld voor de doorsnede, dan
g-eldt:
d e:z 1 d {x + u) met verg. (4) dS = R ds x
wordt dit: d e:z cos ( <I> + 8) (9) dS = R
x
ofwel: d e:z cos ( tj) + S) 0 (10) dS - = R
x
We gaan nu verder met het afleiden van de differentiaal vergelijkingen. Voor een gegeven waarde R moet de in de
. x gebogen buis, opgeslagen energie een minimum zijn. Als
uitdrukking voor de energie in een eenheidslengte van de buis
wordt genomen:
Als verondersteld wordt dat geen spanning in omtreksrichting, in het middenvlak van de buis, optreedt dan mag worden aangenomen:
O' z = E e:z en ~\, = EI K9
zodat:
D!l ~ f (h E '2 + EI 2
) ds = e: K ~Z e
D!l ~ f (C 2 + D 2 e) ds = e: K z (11)
met C = Eh K6 = dB (3} ds
en D = E h3
12
Gezocht wordt nu het minimum van o2 onder voorwaarde dat
3-4
voldaan blijft aan (10). Dit kan m.b.v. de multiplicatoren
methode van Lagrange en variatie rekening.
d e: 0 f [ ~ c 2
e: z + 1.2 D (Af) 2 + F (--z - cos ( <P+B) )] ds = 0 ds ds Rx
uitwerken:
De onderstreepte termen worden partieel geïntegreerd.
s ( 21T)
r 0 dB d oB J ds. as dB
ds = D oB • ds 2
- J D o f3 • LJ ds ds 2
s ( 0)
De eerste term in het rechterlid is gelijk aan nul op grond
van continuiteit.
f F. d oe: z
ds ds =F o E z
s ( 21î)
s (0)
-f o€ dF z ds ds
Ook hier is de eerste term van het rechterlid gelijk aan nul.
De onderstreepte termen worden nu vervangen na enig rangschikken
ontstaat:
J [ ( C E z - dF) o e: + ( F sin { <f> + S) - D d 2 f3 ) o f3 + ds z Rx ds2
oF cos ~<P + 8) l] ds = O x
Voor alle waarden van óF is de laatste term gelijk aan nul; zie
verg. (10). De rest van de integraal is nul voor alle waarden
van êe:z en oS, door de coëfficienten gelijk aan nul te eisen.
( 1:
3-5
c dF 0 E: - ds = z (13)
F . sin { <P + 8) D d2S 0 -ds 2 =
Rx (14)
Door (13) nog een keer naar s te differentiëren:
en in te vullen in (9)
ont:.staatvolgende vergelijking:
1 c
cos c <P + e) (15)
Nu gaan we de vergelijking (6) voor het moment Mx bewerken,
met verg. (8} wordt Mx
Mx = fh E e: z (x + u) ds = f C s z (x + u) ds
met verg. (13):
Mx = ! : ( x + u) ds !,)art. integreren s ( 21!')
= f (x + u) dF = F (x + u} l - ! F d(x + u) ds s (0) ds
Het eerste deel van het rechter lid is gelijk aan nul want de
functies zij periodiek in 2rr.
Het tweede deel gaat met verg. (4) over in:
Met (151 wordt
partieel integreren:
Rx dF M =--F-
x C ds
s = 21l'
s = 0
R + _.!!. c ! (dF) 2 ds
ds
3-6
Het eerste deel van de vergelijking
weer gelijk aan nul zodat:
R dF)2 M
x f ds = c (ers x
verg. (13) c e: z = dF ds = E h e:z = h
Buigspanning in axiale richting Oz
Me = E Ie K8 M.y <1 = E y Ke =
e e era = Ia met (3)
Buigspanning in omtreksrichting:
E h -2-
dB ds
is om reden van periodiciteit
(16)
az
1 dF (17) = h ds
+ E h - 2 Ka
( 18)
Afgeleid zijn nu een set vergelijkingen voor de spanningen
{17 en 18) die bepaald worden door de oplossing van de set
differentiaal vergelijkingen (14 en 15). Deze oplossing kan . op twee manieren worden bepaald, nurnmeriek of met reeks ontwikkeling.
Eerst worden nu de vergelijkingen dirnensieloos gemaakt, onder
aanname dat:
ds = r d cp met r is constant
De verplaatsingen U en V worden danrnet (4) en (5)
~'IT u = r * { f cos (cp + 6) d <P - 1 }
0
r ~ { ~'IT
v = 1 - f sin 0
( <P + $) d cp }
Stel F cr2 f, r2 Ic Mx
= a. = m = I
Rx R ID 1T r /C.D .x
verg. 14 en 15 worden dan:
e" 2 .ç: sin ( <P + $) (19) = a. ....
f" = cos ( <P + Bi (20)
3-7
waarbij het '-teken differentiatie naar ~ voorstelt.
verg. 16, 17, 18 worden dan:
1T
M = 4et /2 1T 0
(21)
+ E h f' .cr z = . a. • r ( 22)
+ E h 8' cr e = ·- . - 2r (23)
u = r i: { };r f~' dq, - 1 } (24)
0
v { 1 "~1T B" dcll } = r :t 1- :::r . 1 -
.a . f
0 (25}
Onderstaande plaatjes geven een overzicht van de resultaten
via reeks ontwikkeling en de numerieke oplosmethode.
1.4 ____ .,._..--,.--1--.....----------.....------~
1.2 -
0.8 m
0.6
0.4 -_ numericol
solutien e. , ~.1 __ a2...:
0.2 exponsions i - '-'\'\·
oo.__._....._.....__._.......__,__..._..,__.__.~.._....._..._-'-...J...._.__._~_._~
l.'O 2.0 3.0 4.0
0.6-
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
a
F10. :?. Dimeruiionlcss Moment Curva.turo lfolation
" ub,mb 1c:::;~== E b h
'/.:·,Pn li 1 1 4terms I
1° --o--} n. umerical / -o- solulion
/0 - a 2 - exponsions '/
2.0 3.0 1.0. a
FIG. 3. Dimeruiionless Ma.'Cimum Direct and Bending Stresses
3-8
De nummerieke methode geeft als maximaal moment me
= 1,06 bij een kromming a = 1,66 c
Dit komt overeen met:·
M c
l,061Tr E t 2
= 112
1 - 1, 66 t Kc = R - --;:712 -2
x r:
Indien we deze grootheden relateren aan de onvervormde doorsnede dan volgt:
= E (t) 3,27 r
Eer= 0,48 (;)
Onderstaand zal een overzicht worden gegeven van de
gebruikte methode om de oplossing via reeks ontwikkeling
te bepalen.
Beschouw de oplossing f enS als ontwikkelbaar in de
volgende reeksen:
+ -----
ontwikkel sin S en cos a ook in reeksen:
82 s4 G· cos 8 = l - + - 8 -------2! 4T 6T
3 + 85 87 sin 8 = (3 - TI 5T - 7T -------
Invullen in verg. (20): f" = cos (eb+ (3) = cos q, cos S - sin q, sin
3-9
geeft:
2 4 6 f" + a f" + a f" + a 0 2 4 f" 6 + • • • • =
cosy {1 - frCa2 S2 + a4 134 + C46 S5 + ••.• )2 + ,f; (a.2 S2
l ·+Sf ) 5 - ••• }
6 ) + • • • } +
Dit moet voor elke waarde van a gelden.
f" 0 = cos <P
2 f" B2CL 2 sin . <P a = 2 ~ f" 2
f Il 4
f" 6
= - 82 sin cp
= - S4 sin <P - ~ s2 2
= - B 2 B 4 cos et> - ( S 6
·sin tl>
De andere differentiaal vergelijking (19) van het stelsel
kunnen we op dezelfde manier bewerken dan volgt:
e " 2 = f o sin cp
s" = f o 2 cos <P + f 2 sin <P 4 q Il = -~ 6 . . . . .
cos <P
- 1/6 a 3> 2
De oplossingen moeten periodiek zijn in 2rr ; dus geen inte
gratie constanten.
3-10
s Il 2 = - sin <P cos 41: + {3' 2
2 =-~sin <P+B 2 = sin 2 <P
8
f Il = 2
sin 2 <P
8 sin <P = 1 î6
1 ( cos <P - 9 cos 3 <P>
Op deze manier kunnen alle coefficienten worden bepaald.
Invullen en integreren in vergelijking (21) leidt
tot:
1 a.3 1 as + 16 3 7 m = a- 8 - 96 82944 a + •••
Op overeenkomstige wijze kunnen de verplaatsingen U en V in resp. X en Y richting, worden bepaald.
2 7la 4 44551a 6 - u et + = TI + 8640 + r 7560.7200 . . .
v a.2 + 4 2059a. 6 a - - = Il 960 168.7200 + ... r
Aannamen:
Theorie heeft betrekking op dunne buizen. Er is geen
resulteren omtrekspanning. Geen dwarskrachtvervorming.
Integratie over omtrek s, is hetzelfde als integratie over cirkel.
BIJLAGE 4
1. Invloed van hydrostatische druk op het draagvermogen van buizen met kopschot
In hoofdstuk 3 is het draagvermogen van een cirkelvo:r:mige doorsnede be
sproken. Hierbij is er vanuit gegaan dat uitwendige hydrostatische druk
geen spanning in axiale richting veroorzaakt. Deze situatie doet zich voor
bij proefnemingen in zqn. 'open' drukvaten (zie bijlage 2.1.l). Er werkt
dan geen hydrostatische druk op de 'kopschotten' van de buis.
Voor het geval dat er wel vloeistofdruk werkt op de kopschotten (de situ
atie op zee is hiennee vergelijkbaar) , zal er ook verschil zijn met de
in hoofdstuk 3 afgeleide formules voor het draagvermogen van een buis.
In deze bijlage zullen de belastinggevallen worden uitgewerkt waarbij wel
hydrostatische druk op de kopschotten van de buis werkt. Voor de. can.binatie
van (vloei) spanningen zal het vloeicriterium van Huber Henck.y worden ge
bruikt.
Er wordt met nadruk op gewezen dat in de hier gepresenteerde berekeningen
evenals voor hoofdstuk 3 geldt dat de cirkelvo:rm. van de buisdoorsnede be
houden blijft. Het optreden van ovalisatie en plooi van de buis blijft
hier buiten beschouwing. De afgeleide betrekkingen geven een (bèven) grens
aan van het draagvermogen van een buis.
2. Draaqve:r:mogen
De hydrostatische druk veroorzaakt
zowel spanning in cmtreksrichting
als in axiale richting.
-p' R a = P
r t
= - Pp•7fR2
cra 27rRt = -p'R ::.f._ 2t
De maximale druk wordt bereikt als de
vergelijkingsspanning gelijk is aan
de vloeispanninq.
opm. In deze bijlage (hydrostatische druk op de kopschotten) zullen de reken
krachten, ter onderscheiding van de elders in dit rapport gebruikt nota
tie, worden aangeduid met een' teken (P', M', F'}.
- 2 -
De vergelijkingsspanning wordt gevonden door combinatie van ringspanning
en spanning in axiale richting m.b.v. het vloeicriterium van Huber Hencky:
CJ 2 + CJ 2 r a
( 1) 2 { R2 R2 R2
} -+----pp t 2
4t2 2t2
2 = - CJ (J (J r a e
2 = (J e
Voor de belastingcombinatie van
uitwendige druk en axiale trek
(of druk) kracht geldt:
a = _F_' __ ~ a 21TRt 2t
De maximale hydrostatische druk p' wordt bereikt als de vergelijkspanning
gelijk is aan de vloeispanning.
(met p p
tcr e =--R
n'R. 2 F' n'R 2 n'R F' p'R, 2 (t) + (21TRt - 2t> + t · (21TRt - 2t'1 = 0 e
(grafische weergave fig. 1a)
F = 21TRtO ) P e
- 3 -
Hydrostatische druk + buiging -----------------------------·
Door de aanwezige ringspanning crr
kan de absolute grootte van trek
en drukspanning bij vloeien ver
schillen. De grootte van trek en
drukspanning kan m.b.v. het vloei
kriterium van Huber Henck~worden
bepaald".
cr 2 + cr cr + cr 2 2
- cr = o a a r r e
1 lVt, 2 3cr 2 0 a1 = crt = -'- cr + - 4cr -2 r 2 e r
= !. cr - .!.. ~cr 2 - 3cr 2
0 a2 = crd 2 r 2 e r
cr = - p'R r t
Gesommeerd over de doorsnede zijn deze spanningen in evenwicht met de
hydrostatische druk, op het kopschot.
2 (~ + 2y). Rt. crt + (rr-2y) .Rt. crd = -p'. TIR
Door substitutie van crt, crd en crr volgt dat de hoek y = o. Dit betekent
dat de neutrale lijn niet verplaatst. Voor het buigend moment wordt
gevonden:
M' = 2R2 t v.'4cr 2
- 3 cr 2 e r
Hetgeen resulteert in de betrekking:
grafische weergave fig. la.
- 4 -
Naar analogie van het voorgaande
geval geldt dat de gescmmeerde
spanningen in de buiswand in even
wicht zijn met de uitwendige
belastingen.
at = ~ar +
~a -crd = r
0 = - E.'..! r t
Sanmatie:
2 (TI+2y} • Rt. crt + {n-2y). Rt. crd = - p 1TIR + F 1
Substitutie levert een uitdrukking voor hoek y
F'
y = 2Rt \40 2 3cr 2 e r
Voor het buigend moment M' wordt gevonden:
In genormeerde vo.:cm luidt deze betrekking:
~ \.{o 2 e
~ \40 2 e
- 3 2
0 r
- 3 0 2
r
~ . 1 . 1 p
pp
) -nr.:
nr.:
A
î 1 l
1,0
1 F p -
F p p p
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
F > F F: axiale trekkracht p
M ~,_...-> M: buigend. moment M
uitendige druk p
P: M ~~ . .;;..... -M
p
{MM ) - cos { ~ • : ) = 0 p p
M / P 21
(-) - "2 4-3 (-) cos M p p p
p
( '!!' • p ) p = 0
2 / 4-3<L> 2' p p
Voor afleiding van formules zie hfst. 3.
Interactie diagrammen voor het draagvermogen van een cirkelvormige
, (onvervormde) doorsnede
..
\JCD IBBC
Rapp. nr.:
Opdr. nr.:
î 1,2
---~ p P' p' p "' ~ p p
1,0 ~~
0,8
0,6
0,4
0,2
0
F: axiale trekkracht
M: buigend moment
P: uitwendige druk
t...... ....... " """-.
.... " . t'.... ' ....
..... I"'.....
"""'" .....
' 1'.. ,,
0,2 0,4
p
<M"> - ~ 4-3 <p-> • cos c P ) = o M v p 2\ 1Tff. p p 2 4-3(-)
Pp
~~
..... .
I''
"' ' '\ .
1\ " . ~
" . \ ' ' ""'
\, '\ \ •
" \. ' '\\ '\
1\.
\ \ 1 \ •
' 1\
, \·
\ \
0,6 0,8 1,0
M' F' > M' F p p
F ---~ -F
p
M -·-·~ M
p
. ' ~ )
~b: : : : : ; &-+
\~J Vergelijking van het draagve:onogen van buizen met en zonder druk op
het kopschot
-------·~--·--·-· --- -~-,·------- . ·-~---·-·--··--·-··-------------- ---------------
1c
ç: ::-{ ..... ~ ~ lll
ID tJ a rt 1 ..... ;..-
<,Q 0 ID ! ~ ~ ~
~ ..... ..... ::s
~ 0 13
~ ft
ij 0 lll lll " ;..- ::s lll E t; <: H p. 0 0 0 l ::r t; rt ..... }! ::s
IQ ..... ~ lll " 0
~ IJ' p ID
ID ...... t; PJ <: !Il 0 t;
rt
g. 0 l(J
~ g 11)
p. " .. IQ
0 ..... 0 ::s t; IQ lll tJ 11) 11)
~ ::s
~
î = 0 0 i .......... " ·-:······:········· "". " ... ~ :·· "." ."""~ .... ~·· .. "; .... " T: ". "==. ""Ffi: 2:" """ "" ·;·" -" .. ·: " .. "" " ... :. -""-... " i"' ". "" •• :
: : : : • : . iO ' : : l 1 : ~ . . . . " . . . . . . . . . . . . . . . . . . "' . . : : : : : ':::::::: : i : ! i : : t : : i t * -0 l 4 i : :
()' .. ",." ... "."" """.""" ... " .... ".""."."""."""."""""." .. "" .• "."" .... """." ... """"."~"~-··"··-··o•···~·········~ ...... ".#"" •• "" •• """. * • • • • • • • • • ' • • • 1 it . . . . . . . . ~:: ... :::::::::: : : • : : : : : : J;: ! : : . . . . . . . . . . . . . . • • • t • • • • 1 • • • • • • • • • • t • t • • • • • • • • • • t • • • ' • • • •
o.R !"" .• "." ···+······~·······:··"""".: ..... """~""".""":"-·····i'·"·····+······i··""~"":."."""":""""_"~ ....... ".".i~""""".: • • • • • • • • • • • • t • • ••• 'f. 1 ••••••••
: : : : : : : : : : : t h:;, -{}; 6 : : ~ : : : ; : : : : : : o: :- : : f • • • • • • • • • • • • 1 • • • • • • • • • • t • • • • • 1
7. . . ' . . . l • . • . • ' l /), , .... ,.." """ .. "" .. " ....... "." .... ~--········-.,,.."."" .. ".~ .. "_ " .. "."""." .. """".-.. ""."."." .. ,""- ...... " .... ~"." .... "." .. . . . ' . . . . . . . . . .
1 • • • • • • • • • • t • • • • • • 1 • • • • • 1 • • t • . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . • • • • • • • • • • ' 1 1 • • • • 1 • • • • • • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . • • • • ' • • • • • • • • • • 1
0 6i····· ................. ; .......•....... : ....... {"·····l·······f·····-~······i······-i ....... ;. ...... ,: .......•....... : i • • • f • • • • • • • • ' ' • • • • • • • • f • ' • • • • 1 • • t • • • " • • • " • • • 1 • • • • • • • • • • li ' • 1 f • • • • • • • • J • • • • • • 1 • ' • • • • • • • • 1 • • • • • • • • • • • • • • ' 1 ...
• 1 ' ' • • • • ' • • • • • • t • • • • • • • • 1- • • ' • •
" ~:.. .. ·• ....... ~ ...... ~ ....... i ...... ·• ...... { ....... i·· ..... ; ....... ;. ..•... ~- ...... ;,,. ..... ~ .. ·o··Î:.· ..... i·. ·····i 1 ' 1 J 1 • • • • • • ." ::q: - .µ • • : : : i ; : : : : : : : 0 : : : : . ' . " . 1 • • • • • • • ' • 1 • •
• • • 1 • • • • • • • • • • •
0-'t :·~-. . . i . .
0. 3 i·· : ! . . . .
• • • • • • • ' • • • 1 • • • • ' • • • • • • " 1 • • • • • ' t • • • • • • ' • • • . . . . ' . . . . . . . . . . "" ... "" :"". """.!. "." -· "'!"'"'"' " •• ~~ ... """." :""." ... ". !•• "" "" "i "" ...... ·:·"---"~··· "" -"! ""_ .. " "'!" ""."" ~-- "".". !" ." .. " ... !
• • • f • ' • • • • • • • • • • • • J • t • • • • • • • . . . . . . ' ' . . ' . . . • • • 1 • • • • • " • • • • • 1 • • • • • • • ' • • • • • • • • t •••• 1 •• 1 f.
• • • • • • • ' t li f • • • •
: : : : : ~:: ~:::::: -···t".""" ... "t"" " ... "" t ." .• ···:· ······t"" ""." 7··· ·-•1"' "."" ... ":"" .""""t"" .......... ~""""" ... " t""""". ·t" ..... ".-!'-······~-- ". ··-t
• • • • t • • • • • Il • ' ' • • • • f • • • • • ' ' f • • • t • f; t IP l • • t • * t f • t • • • • • t • ' • • t • t • ' • • • • t • t • f • • • ' • • 1 • • • • • • • • 1 • • f • ' • • • • ' • • • • • t • • • " • • • • • • f • t t • ' t t • • • • • • • 1 • • • ' • • • ' • f • t " • • • t f • t • • •
· · · · -t ~ ." .• " r ~ "_ -" .... ~ ... "" · ." ·:·" ." " .... :--" ". "" "':" """ · ".: ." ".-" · "t·· """" ~ "" ·· ·· ~· · " •• " -:-·- """-:- "" " ... "" ~ ... """ """ :"" ..... " ·: : : : : : : : : t:::::: b 21·
' . . O.I ~
1 • • • • 1 • • • • ' • ' f •
i i : : i : : : : : : : : : : : : ! : : : : : = : : : : : :
"" ... """!. w ". -""t" ... """".!"". """" !-- ... ".~" .. " .... t""-". ":_. ". " .... i." ... "".-t""" ."" !" " ... " •. " !"" •• "."t """"." .L" ". """!" """" w _:
: ! i:: ! : : : : : : : ! : • • ' t • • • • • • • • • • • l • • • • • • • • • • ' • • •
' •• "' ••• ' •• 1 •••
: ! : : : : i -: : : : ! : ; : --+--i i i~--+~·-·i--t--+- i t----~--·t----i---+--f
a l ~ s 6 7 6 9 X IC,_MUtKi. ELASTISCH
•• . 1l Ji;? IJ 1'4
K e
~c====::tJ .~ö~ 1 '
M = 4R2ta
p e a e
K =-e ER
T pR = - -
0 a t e
Voor theoretische achtergrond van
deze diagrammen wordt verwezen naar
hoofdstuk 3.
p
r
p p
p
î
:i::o BBC .op. nr.:
:dr. nr.:
0,5
0
1,0
0
\
' '
~ ~ tak 1"
1
/ ~
1 1 i
--ö~-~
~/ ~ "" f 1' -1
D/t = 25
cr = 320 N/mm2
e 13 = o.oos
0 ~ ~ 1 ~ tak 2 1
I ·"'· 1 1
~
""' '" 1
o,os
1 1
-ö~ ,.J "-.
!' 1'
/ 1, / ~1'
.--__ ........ -î ~ ...
1......- / I"'-1
l 1/
1
/ 1
0,05
-.........
1
1
1
~~
1 1
- tak 3
0,10
! !experimenteel: 0,63
p rekenmodel : 0,69
----11Jlll• ovalisa tiehoek B
1
_, ,,,
...............
~ tak
1
tak 2 •
~ -
1 D/t = 25
<:Je = 320 N/mm2
130 = 0.022
p
{
experimenteel: 0,4(
Pp rekenmodel : 0,4:
Bovenstaande bezwijkdrukken
zijn experimenteel bepaald
door Protech International B.V
tak 3
0,10 ----!llllllirlll"' ovalisatiehoek B
Rekenvoorbeel gebaseerd op het rekenmodel voor uitwendige druk (hfst. 5)
uitgezet is het verband tussen uitwendige druk en ovalisatie
3
0 ::0 " 0 0. " " 'O
::l ::J ,""1 ~
~1§
p
pp
1,0---..--------\ i J /
-:.."0=~ "I '\
/ rr·\"
Staalkwaliteit x 52
x 60 0 81 1 1'~ 1 1 1 , 1 '\. 1 '-'
x 70
Q 61 1 1 ·~I l 1 " • voor de theoretische achtergrond van deze figuur
wordt verwezen naar hoofdstuk 5
0,41---+ -~~ ............... ! 1 - ·..t: '.J ::-........,.r' 1 "'I .........,.,,
021 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1--~~ T"'--=E:" . . --1-- -+----~--
0----~...__._~-----~,___._~----~..__--~...___._~..___,_~------~..__--~..___..___.
10 20 30
Verband tussen bezwijkdruk en diameter wanddikte verhouding uitgezet
voor enkele staalkwaliteiten bij verschillende waarden van de
initiële onrondheid.
40
..... D t
50
~--~---
overzicht gebruikte functies
EP(;) = f P(;)a; = sin (~+8) - ç;cosS+ c
EQ(~) = f Q(~)dç; = - cos(ç;+S) - ~sinS + c
p ( ç;) = cos {~+$) - cos (13)
Q ( ~) = sin ( ç;+ $) - sin ( $)
2 i sin2 (1;+8) 2 a TQ ( ~ = Q ( ~ d =
2 - 4 + ç;sin 13 + 2sinBcos ( ~+i,>) + c
Uitwerking van de in hfst. 6 gebruikte functies
Ul 0
f
N i:: ..... <l (1) t; (1)
R t Buis-
kies a E eigenschappen
130
Schematische weergave van de te volgen rekenprocedure
voor de berekening van moment-krommingsdiagrammen voor
b..lizen belast op buiging (hfst. 6)
kies B ·-------
1
• ~-----
hiermee is vastgelegd ovalisatie
de spanningsverdelingen worden
~~~~~~~~--.gekarakteriseerd
vorm van de spanningsverdeling in axiale richting
bereken m.b.v. de juiste span
door één parameter e , y of x
spanningstoestand in omtreks-r ich tin
evenwichts-
voorwaarde
spanningsverdeling 1
ningsverdeling lllllll!!;:;;..~~~-411-~--~~~4spanningsver-- buigend moment delin 2
1---::..:...::;;:.;.""'-~~~_.;;;:.-i - kromming spanningsver-deling 3
in het model betekent dit ------.------------·
wat zijn de momenten geleverd door de rotatieveren
y
x =
welke van de 3 spanningsverde-
lingen is de juiste:
cirkelvorm blijft behouden . "·".""""""" ". """:"'"""."." ". "" .• "":"" .. ". -. "" .... -..... :·· """" .... "" ... ",,.." :-·" "." """"" "" ." ":.". ~" ". -·"" -. "" " .. """" .. "."" .. "":o
: : : : : : e . . . . . " . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . 360
11 tr <! (l) 1-' (!>
~ ..... t1 u. ~ § < l1l a & a
(1) (!> g 1-'
á p. (Il
~ (fl (1)
0 ::i 11 (fl
a [ ~ ..... (1) ~ <l ::s (1) --- rt 11 ~ (l) (Il
111 ::i . 8' rt
..... iî L'1 w i ..... ::i IQ (Il .....
::i ~ ........
~ p. (Il <
(Il 0 rt li ~ • (1)
{Il O'I s:: (l)
1-' (!>
lif ::i
rt 0 ID ~ ::s < @ I» 1-' ::i < ifii
g s
rt ..... IQ ID
. . . ' . • • t ' •• "." ... " ·---"""."" ... :,." ... "" """"""" "",""""." -· ."". " .. ->." "" """ """ .. """ i···. """ "" """"""". """ ~. ~ ~ ".""." -- -!- .,,, ~"" ." ." -~. -· -! t • • • • ' • . . . . . . . . . . " . • f • •
: : : : . . . . . . . c====J . : : : ( ;· : 7111 ················}···· ·········1··············-.f ···············i". 'I. ···~
: t : : . . . : : : : : :
f ' ' • ' • •
"" """.,...""" ""." ... ..:. ....... "" "" """""." ," ... """. "." ... "" .":. ... """" "." """ ····•··." """" ." ... " """"~ """ ." "." ·~ "". ""~-- ....... "." " .... """ .": • t • • • • • . ' . . . . . • t • • • • • . . . . . . ' . . ' . . . • 1 • t • ' . . " . ' . . . . . . . . . . . . . .
• • • • t • """""""""","""""" ~ ... """"""." •. """". 9""" •• " " .... "."" """ •• ""."""." ."."" ."". """ ." ••• """"" ... """ ... """" •• . . ' . . .
t t • • • • • • ' ' • 1 . " " . .
kinema tisch rekenmoàel Î • 1 . . . . : : : : • f • • 1 • ... ""." .. ".""".""""""."""" ..... """" ......... ""."".""". """""" ... "."~ ... "."."" .. """"."."".""""". . . . . . . : • : : : ~ R t • • • • • • • • t • • • • t
: : : : it=t . . . . . ... """""" ... " "" ... """;""""" " ... """" "" '""." .. """." .... ~; .... "."".""".""i······~··"······Ï·········"··--·~---·······"·····i 2
: : : : : : E = 210. 000 N/mm t . • • • • • • • • • • l • • • ' • 1 • • • • • 1 . . . . . . • • • • • f • • • • • t . . . . . .
i!t ...•. • .•••... + .............. j .... ··········>···············f··· ............. j. ••••••••••••••• i················: : : : : : : : l ; tak 1 : : : : : : : 1 • • • • • "
i : iJ = 3 60 ! l ! i 2: tak 2 • • e • • • .
s• .............. L .............. l ......... .9~..i:.~l.?.9 ....... L ............... L. ............. ~ ............... l 3: tak 3 i i lÎ ::: 2 tj o: : : : : : : e : : : . : : : ; : : : : : . . . . . . • t t • • •
------+: -----<t-- i : 1 1
69.
n 0
" [ S•.
" T
K
" ". " ~
250 mm
\
1
\
J ·'
mm
1 Rekenmodel voor
zuivere buiging
5 1e is ze KIMHttUIG fflKl/f.&H.Me
·~ Invloed van de qrootte van de vloiüspanninq.
N
l \ ~ N :z s
J - E 5 i3 .........
= = z ·:'.> .....
0 ";j' N . U"l ..., N
Il Il Il il
(il IZ 8 'O i:a
; "" ... " ...... " ... ". "" "" •• 4:" ....... "."." ••••• -:· •• "" ." ". " ••• " *"'":'""' .... " •• " "" •• -·-·:·" ." ."" ••• " ... "" •• ,.. " ••• ". """ ....... ··':'·-·· ". """"""" ... " ..... 1 • • • • • 1 • • • . . . • 1 : . .
: : ; : : , ; • • 1 e ." ""."" .. " .. "" .. "." .. " " ....... "." .•...... """"""""" .. "" "" "" .......... " ... "" ... " .. "."""... ... " .. "" .. " ... " ..... " ......... "" ... " ......... ~
= i = i 1 ;
1
1 = . . . ' . . • • • t
: ! : : . . . • • • t •
• • • • • • • 1 ~
:···············-~················~·· ·······:·····"··········~··········"·····~·-··············:··············· ....... Q . : i ' 1 • j ~ . . . " • • 1 • ' . . . . . . • • " 1 • •
. " . " . . ~ . ~ . . . . . . • • • t • • •
'9 <;lt ,.., : ....... ···"-1 · ... :···· .......... -. , ... ·-·· ........ ·:········ ........ r .............. ··: ••.. -..... -·. ·--~ .............. .
' . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . • • • ' • • t
·i : l ; : : : : : 1 : ."."-..... "" """. -~···· " •• "-.... "" '""'
4 i" """."""""."."".i" "".""."""""." •• ""." "" ....... """."";"" •••• " ...... """""," ... """_"""."" •• "_ : ; : : : : : ' : : : : : : : !' • J • • • ' • t " • ......_ • • • • ' t ' - • t 1t ~ : : : 1 : : : : • • • t • ' •
1·····-·-···,-··-·~---------·-·-···i·· r -~-------·-------·!·------·--------~·---··----·-···-~·-··········--·+ ' : : : : : 1
1 ; : ; : : : t ~ t • t 1 t 1t • • • • . . . . . . • • ~ • • 1
• ' ' • ' 1 • ' : .... " """." ··i·····t·····"·" "." " ... " ." !• "!""" "" "". " ... ".""".~··· "" ""." ·······t·········· ······~···· ... """" .... "" < t • • • • . . . . ; : . .
• " ... 0 ,<;;> IOl<lil -~ ~
·~<> ·r '-' = -~
·.;) Q; ":.c ca ,..,
!·····-···· . . . : t"" """"""." ........ """" .. " ...... " -..." ..• "" ... "" ... """""-." ..• """_" ..... "" ... " ... "" .••• """ ...................... "".""""" ~ 9 : : : : ! ! N • t • • • •
. . ...... " .... " .
• 1 • • t • • ' • • • 1 : : : : : : t . . . . " . : : : : ~ i : : : : : : ; "
• ...... "" ........ " ......... " ••••• """." ... 40 .""" ... ""."" ...... " •• ".""."" ...... " •• " ••••• - •• "."." •••• " ••• " ....... """. ·······•4'• $ . ! ; : : : ! -
• • ' 1 • ' . . . . . . . . . . " \ . ' • • i • :
111 $ 11111 (.IJ "" i\i ... " l:O:CW<C ... :../ :z: 1:
Rekenvoorbeeld gebaseerd op het rekenmo:iel voor zuivere buiging
{hfst. 6). Verband tussen moment en kromming.
la
Nlmm2 Pr~fsluk 4,5
4 so --.---- '"""" ~ l--
00 ~
-.-
""' ~
4
- 1/--50 - --
/ " 3
i--~ oc ,,..--
.3
2 50
00
50
--
00 i
50 ~-
0 2 3 4 6 8 10 15 20
Spanning- rek diagram van het voor i;>roefstuk 4 en 5 gebruikte buismateriaal
en .E; c: c d 0. lil
N/mm2
400
350
300
250 /
200
0 16
10 0 ·-
5 0 ,_
0
/ v
-·· -
t 2
Proelstuk 6, 1
- ,_ ~ .............
'-i---- ... ./
l.---""' ~
"' \ \.
\
-
R = 4 .6 ' 6 10 15 20 25 • 30 /.rek
Spanning-xek diagram van het voor proefstuk 6 en 7 gebruikte buismateriaal
N/mm2
45 0
40 01-
.() 35 ·,._ ·-·
r-" 30 () ~--
1--
25 iC ~
{J)
·~ 200 ·--c {j ·-fit 15 1(1-
10 c 1-
5 Q:-
0
Proefstuk 8,9
-· ---..__ ,__. i--
-- ·--- ·-,_ -----.L -v
/ -1-/
7 ·--
--· -- ·-
·--
--~· r----·
·---
-·---- -
-- --·· ,__...._
2 3 4 6 8 10 15 20 • t.rek
Spanning-rek diagram voor het voor proef stuk 8 en 9 gebruikte buismateriaal
100
Proefstuk 4
Overzicht plaatsing meetapparatuur
135 300 - -1
175 210
--©----
I<
1< 1<
v -CD-
K -+ krommingsarm
0
-B- ovalisatie meter (vertikaall
v
* rekstroken aan boven- en onderzijde
D = 89.45 mm u
t = 3.047 mm
315 N/mm 2 cr = e
Proefstuk lengte 760 mm
Bereikte relatieve kromming:
in plooigebied
buiten plooigebied
27 K e
14 K e
Proefstuk 4
- 135
1 35 - 1 - -- 240
@ ' K )
t ~
y \.,..~ - - -looi
Proefstuk 5
Overzicht plaatsing meetapparatuur
135 30il ·····-·····-········-!
1 • · 100 ··
f
175 210
® [- -:~ - -
i 1
~ f( ï
1< l I<
v " -<D-
K -r kromm.inqsa.rm
0
-B- ovalisatie meter (verti..~all
v
rekstroken aan bOV"en- en onderzijde
D " 89.45 mm u
t • 3.047 mm
315 N/mm 2
O' • e.
sleuf (bxd) = 3,0 x 1, 6 mm
proefstuklengte 760 mm
Bereikte relatieve kromming:
in plooigebied
buiten plooigebied
15 K e 10 Ke
Proefstuk 5
' .. 135-·-· ' 1-
1 35--· 1-·----·---··240 ... -------·-i -
t olooi
Proefstuk 6
overzicht plaatsing meetapparatuur
250 300 250 --- t--------·-----'"·------ t ----
200 250 300 150 200 ____ ...;....;.. ____ f-------4-------------·-- --1---- - '." .. "_ ·!·-·---·"·--------4
© @ -®-
K
v 1 v K ! -1- -- --(Ï)----
plooi 1
K -r kromminqsarm
0
-8- ovalisatie meter (verti..~aall
" rekstroken aan boven- en onderzijde
Gemiddelde waarden
D = 100.3 mm u
t • 4.06 mm
O'e = 249 N/mm2
p = 10 N/mm 2
Proefstuklengte 1000 mm
Relatieve druk: 0, 5 OP p
Afwijkingen
100,28 (vertikaal)
4,15 (drukzone)
Bereikte relatieve kromming
in plooigebied
buiten plooigebied
5,8 K (rekstrook meting) e
4,5 K (meetbeugels) e
Proefstuk 6
@ ' .;,
K u 'I
v L.:.~
100,34 (horizontaal)
3,90 (trekzone}
Proefstuk 7
overzicht plaatsi.~q meetapparatuur
:1
_@ ______ 1
~ * f_·_ 11 n ____ J
.3
~ B u
©
1 no 210 175 100
265 135
T kromminc;sarm.
-a- ova1isatie meter
* rek.stroken aan boven- en onderzijde
D = 100 mm \l
... = "" 4.06 mm Gemaakt uit zelfde buislengte als proefstuk 6
(] 249 N/mm 2 = e
p 15 N/mm 2 =
?roefstuklengte 760 mm
Relatieve druk: O, 74 p p
Bereikte relatieve kromming: 1,1 K e
Proefstuk 7
Proefstuk 8
135
100 1
3
v
265
175
x 1
1
1 1
1
1 55 1
L 1
-- ---@- -- - + 1
175
55 1
5
6
H v
2 -----0--- --
krommingsarm
~ ovalisatiemeter (vertikaal)
lliJ ovalisatiemeter (horizontaal)
;:k' rekstroken aan boven- en onderzijde
Du = 100 , 65 mm
t = 4,013 mm
cre = 320 N/mm2
P = 14,7 N/mm2
Proefstuk 1engte 760 mm
Relatieve druk
variatie: 6Du = 0.01
at = 0.02:
Bereikte relatieve kronming
Proef stuk 8
135
1 100
1
v
Proef stuk 9
155
120 1
1 v
265
175
x 1 1 1
1
1 1 1 1
1 2110
1 1 55 [ 55 1
l 1
- --- --0-----r v
6 H
4
2 v
175
k
5 --- --®-- ----K
f Krommingsarm
~ ovalisatiemeter (vertikaal)
~ ovalisatiemeter (horizontaal)
::K rekstroken aan boven- en onderzijde
Du = 100.4 mm variatie:
t = 4,029 mm
cre = 320 N/mm2
p = 17,7 N/mm 2
Proefstuk lengte 800 mm Relatieve druk 0,69 pp Bereikte relatieve kromming 1,6 Ke
Proef stuk 9
LiOU = 0. 01 rrm lit = 0.02 mm
155
120
3
v
,,...... :;;;: N g ...... (!) ro
:J 0 rt 0 1 :>'i' R" rlJ i 1-'·
<Q ...... :J .... <Q .... Ul
" p. ...... 0 tv
~ ....... " ro m
E :J H
Hl (1) T 0 ::1 g tJ IC
...... H lfl w.
~
1:1 n
0
~ .s::.
Proef stuk 4
- " - - "". " •• - "" """ - "" *" - ~ "" ... " - " • "" ." •• ".""." "' . . : i . . -... ~ ·~· ·~····· .{."""~ .. """" ..• ":""."~"." """ .. "".1"."." . . .
1- • :
: : ' ••• ". " ••• " '"' ... "" "! """." ""." •••••• :·". " ••• "" "' - . " -... -: -~"~... . . . . . .
• • • t . . . . """ " ... ". !" --" . "." ... """ "" ":" ". ". ". "" .. ". "" : .. " -"" ... -... """ "" -": . . . . 6 ..
' . . 6.
·········1···········-···i"···· ' . __ ... ""."." .. :-···············~·"" .. ". . .
"." ... """"".+."" ... " .. ""~ .. ·!······· . . . . . . . . "_ . . ......... ·~· .. """""" ... "".i" ."" ... . . . . . . . . . . . ""." .. "."" ·t "". """ ."".". ·-·!····". . .
' . : . 3 ..... · · · · · · · · ·r· · · · ·· ··· · · · · ·· i· · · · · · . . . . . . . .
l . """"".""""".".~".""" .. """ .. "".":""""" .
. .. "" .... " .. " ••.••• " ••• """" ..• ".!" ...... """ . • : . . .
"."",~M•••••• .:." ••• "." ••. " •• -~:"" : : . . . .
. . . . . . . . . . . t ; : . i
."." .. ".".". " .... " .. """ " .. """"."." .. ""."."""" .. " . . . . . . ""."". -······· . . . . ; . . . : • ! : . . . , . . . ' . .""""" ..... """ ... ". """"""." .. "".""" ... """."" .. "." """"."" ...... """"."".".""".
: : : t : : : : : : : :
••':"*'"'"..;."".""" •• " """""," "" "" ••• " •• "."".:,." •• "" "" •••• "" !:.".""" •. "". """ •.• :.· : : . . . . . . . .
."" .. " "i. " ... " .. " ." . ". ".;". """""""." .... "i "" """ ."".".""{"" ." .. -.. " . "·- ·,Î . . . . . . . . : : ! ! ! . . . . .
.""""".$-: " •• """ •• """" "" .... "."" •• " •• """."" ... " •••. ~" •• " •• ""," •• ""."" ••••• " •• . : . : : : . ~ . . . . ..••... , .............. ~··············· ·•···. . .•.... ··-!····· .... ······•
: : : : : : :
.. " .... """?·-·····""""" ... : "" ."""".""" ... """?.· "" •. . """."""."1 .. " .... "." . . . • 1 • :
i : i : ........ , ...... ·······. -~··· ············t··· ......... ··· 1·"··· .. . . © . . 1 • • '
! : : i . . . . "" """"" ·:- .. " . . . . . . " .... :- .. ". . ". "" .. ". ": ....... " -. " . """ ~- " . "" "
"': : : .
"." .. ·!
® .. j . : . ... . . .
'U : i . . " ... """"" .. "" .. "".""""."""" .. "" "" ... "" .. "." ""." ........ """." ... """" . . 1. -•••••••·~·~•a•:.••••••~•"••••"•!",,."."". : ..."". "". "'!
=: : : : . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ t f • • ".". "" .. " .... "". "".""" """ "" .. """.""" """"." .. " .. " ""."." " ... "" " -.""." .. . " .. "" .... " "" .. "" " -. "" .. -... " . : ~ . : 1 : : . . . . . • • l •
""""" .. ··----... "-""""".""""".""""."" .. "" .. ".""."".""" .... "~" .. " .. "" .... . . . . • • l • . , . . . . . . . . . . .
t t •e• f.te aee
. . : : . . . . "" .. ""."".~···:·····"" .. "." .. ": . ..," . . . .
! :
t .... ICROfUtlHC. <M>,l.ffe ....
."".""""""""" . : . 1
kro1mning theoretisch, experimenteel
Totaal meetgebied
1 = gemeten met meter 1
2 = gemeten met meter 2
T = rekenmodel
(voor plaatsing meetapparatuur zie fig. 14)
....... :3: N 0 1-'· a (1) Il>
::i 0 et 0 1 ;><;" iî Hl i 1-'· t.Q
1-'·
..... .g
..... 2L " " IV jï;• 0 0
ro ~ " ::i ~ [
Hl H 0 tr T rt (1) 0
~ lil IC
(1) " a " tr 1-'· w.
~ 0 (!) Hl (/)
~ .i::.
!:'roetstuk 4
". """"."."""" •· ~ T*••••·•;· ... "" ... " ... ;···•*•·~··· ""." ": .. " .. " ~; ."« ........ r"" .. ""' "",""" ""-" ·:-- .""" ". = .• " "" "" -:- " ....... "" "."" .. """ ·; • t • • ' • • • 1 • • • • • . . . . : ,......._,_..._. . . ! : : : : : • . : r ,..~, : : • • • • • • • f • • • • 1 ' ·-····- t···· · "r ·-·····t·-··" "" i" · -""". -r ·" "."" ·: .... "". ··f ··· ·· "" '!""." ""."~ - """ ... ", " ... " " ... "· t· · · ·" ·· t· "" -...... -r ... " .... """, : ! : .. : ' i i i ! : : i : ! • • t •• '. t ••••• t • • • • • • • • • • • • . . . . ' . . . . . . . . .
""""""" ... """&_ "-"."."""""""."" ••• """"".~".".""""""."""" ••• "."" .... " •• "."" .... """.".".""."~ ... "."" ••• """""""""" ... ""."" ••• . . . . . . . . . . . . . . : : : : : ; : : ; : : : : ; t • • • • • • • ' • • • • '
1 ~:;:::::::::: t ••• ' •• 1 ' •••••
s ....... ,.·.. .. ··r··"--·!· ...... !···· .. ":- ·······~······· !·" .... ~········:-" ·····! ·······1""." t···· .. ·t .... ".! ••• , • ' ••••• t • . • . ' ... ' ..•. f.
• • • • • t • • ' • • • , ••••••• 1 ••••
• • • • • ' 1 • • • • • • • • • • • • • t • • • • " • . ". . "._ ... "" ... ".""".".""""_" ..... """"""."""".""" ...... " ... " ... ""." .... " .... " ..... " ... " ....• ".""." .. " ... "."" ..... " .. "".". ·····=.··· : : : : : : ; : : : i : : . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : : ~:::::::: :
4 ~ ---··" i. •• "".;. •• """ ""i"" .""". f" ". "". '"*~"""" .""."" •• """ i" """.". ":"" ...... """ ~•-····" ·Î .... " ~ ... i""~·---~· ....... " "~ ... " .. ". . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : : : : : : : . . . . . ' . . . . . . . . l:::::::::::::
t • • • • • • • • • • • • • "."""""".". """ ..... "". " ... "". """."".". "" -·· " .... " .... """ ."" .. "'."" .... " ,_,.." ... """ ..... """ " ..... "" ""." .. """ "" .... " ... ""." ...... "" ......... . : : ; : ; : : : : : : : : :
: : : : ! : . 1:::::: ' ... ' ....... . • • • t • • • • • • • • •
3 ..••.•• { .••.••••.••••• ; •.•.••• 1 ........ j. ••••••••••••••• j •.•.••• .j .••••••• j. ••••••• i·······Î·······; ........ j. ••••••• ; • •· •• ' t •• ._ •• : •• . . . . . . . . . . . . . . • 1 fl • ' f ' • • • ' • • ' • 1 t • • • • • • • • • • • • • • ' • ' J •
.. " •. " .:." ."".4 ... """ "" "i" .. " """: •• """""1""."" . .:.. ..•. "". :" ~" "" .. : ...... "" .... " .:. .... " " ... "1"." "" ".:"" """ "" l~ ~ "" "",,. .!." ". " ..... : • • • • • • J • • • • • • •
: : 1 : : : : : : : : : : : : : : ~:::::: . . . . . . ' . . . . . . .
2 """.""~~ .. """."."""".i"." •.•• t ............ j."""""~"t""."" .• ;.""""""+" ... """ .. j."""""""i"""" ... "";."."""".f.""" .... ""." ...... """"; : : : : : : : : : : : : : : : s: t:::::::::: . : : : : : i: ! : : : : : ·· ".""" i~ "··· · ·:" · "" · · ·r · -··-·· ! ..... "" "" -:· · · · · ·" ·:-" ··· ."" r······· !"' • • •• ··•· ."" "" ·: """ • • • • :· • • •• •• 1·· " .... " "'"':"" • · ····: ! : : : : : • : : : : : : : • • f f f • • • • • • •
: : : : : : ! : : ; : : l ........... ""~ "" .. "."t"""""" ........... ~"."." •• ~:~"""".".; •••••• "f.""".""~"" .. "."";""""""":"" ... """ ... f ....... """"~" .• "" ••• ;. ••• " ••. ;
• • • • • • 1 • • ' • • • • ' • t • • • 1 • • • • • • • • J.' ••• ' •••••• • • • J •• t ••• ' f ••
: : : : : : : : : : : : : : ~ ""."""~" •• "~".1.""." .... ";" .... ""-. .:.. ... ".",.:."."".".:.".""" .... :.""""" ... .:..."."."":.""""".": .•• "" •• ~"." .• ".~"." •.•. : : : : : : : : l:::::
• • • • " • J ' • • • • • • • • • • 4 • t • • • • • . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : . : : : : "·" ····t·······I···". ""1"""" • • • "~."".". ·:· • •• " ". t -·--- -·~"."" """ ·t · ~ ·-···f- --""" -t· " .... ". ""°!'" ·" "" """." ······!
1 i: ! : : : : i: i: i: ! : : : : : : : : : : : : : i--i i i i i i i i i i i i . i
• se ," lst 2ff ë:S• We 3St 4M
~~Ol'lltlffG tHlt•/········· 45t SH sse
kranming berekend uit rekstrook
meting
(voor plaatsing meetapparatuur zie
fig. 14)
<: N ~ 1-'· CD tr 0 à 0 (';'
HJ g 1-'· (Il IQ (Il
CD :::s ......
...... a N
~ (1)
0 :::s " rt N (1) " ...... :::s 0 m ~ " '11 :::s E li :::s
0 Hl
m " ~ 0 T rt lil 0 f! U1 ~ 1( (';' ....... :::s H .i::. p. " m
<;
~
~ iii ..... CD p. 1-'·
m (1) rt ~
Proefstuk 4
. -. -"" .. " ... . . . --· " .... "" ...... "." .... "." .. _ . . . . "."."."".".""".""." ... "" . . . "" ..... """ ". . : i : ! : : . . : : : : ,__ ___ ..,.. ____ ..,... ____ ...,_ . . . . ~ . . " " . .
. ·······::rr=f =f =nct:=E=:r:·.::::.:i:::.:::··~····· . . . . ". . . . . ···: . . ..
: {é)') • • • • • • • •
....... ~ .......... t .. " ...... L" ....... l ...... " .. L. -·· ...... t ." ... " . .1 ........... LD ..... .i ........ . . ' . ' . . . . . . . . . . . . . . • t • • • j • . . . . . . ' . . . . . • • t • • •
5. "."" .. ". --~."."" .. " .. :.""." ... "".!---""."" •••• " •• "."" •.. t.". " ... " . .,:..""" ........ :""".".""""":."" .•• " •. ".: ......... "." •. • • • 1 • 1 t • • • • 1 1 • • • • • • 1 • • • • • • • • 1 • •
' " . . . . . . . . . . . . . . """""~". ·-~ .• ""' .. "" .... ~-·." "" ... --·"" ." ... """ " .• :"" •. "". -·- .•. "" .. --. "" -t """ "·-. "." :""" "" ••• """."." --~ """ ".:. """" "".".
• • 1 • • • ' • ' 4 • • • " • • • •
J • • • " ' • • • • " ' • • • * 1 • " • • • l • • • • 1 " • • • •
4 .".".~"*" .... "." •• "."_._!·-··--·--·-~ •. """"""""".1.·".~."" ... "-:········-··:··•-•<"••···!····"······t"" ... "."."!···-·""'""'" • • 1 t • •
: : : : : : ~ . . . . . . ' " . . . . . . . ... ". -"·-:" ·- -- -. -{- .. " ..... ·!· ". " .... t .......... !• ... -· ---·-t·."." ... ~···········!" ..... " .. :···· ..... . • • • • l t • . . . . . . . .
1 • • • • • 1 ; • . . . . . . . . . 3 " ....... "".:." ... "" .... i .. " .... " .. ";..""".".".~t-·--····"".J .. " .. "."".~-·- ... -" .. ~"~i"" ..... " .... "~ .. "."." ... "."" .. """ ... "
1 " • • • • • • • . . . . . . . . ~ . ' . . . . . . . . . . . . ~ """"". """ -~. " ... " .•. "· 1· .... "."" ·Î .... " .... "~-. " .... " """ η. "" .. """"-t •. " .• ".,.,". i· "" ..... " " . .,,"t"""" ..•.• "{".""."."""~ . . . . " ' . . .
1 • • • • • l • . . . . . . . . • • l f • • . . . . . . .
a " ... " """ .... -~ ···-· ."" --!· -· -.". · -··t· ·- · ·· "". · ~~ ." """ ~ ""~ ·i·"" ·······+~· " .. ··~·· i.""" .. """ ... "t-- ··· ....... ( .. """"" ·" ·-
·t
. ' . . ~ . . . . . ' . . . . . ' • • t • •
1 • • • • • • f • • . . . . ' . . . . . ". """ ~- -"." ~-" "."."" ..... "." ... " .... _" "".""."" .... " ... ""."" ~•~" "" """ ." ....... " .... """"" .... " .... """ ".""" "" ...... "" " .. """ ....... . . . . . . . . . .
• t • • ~ • • • . . . . . • l • • . . . . . . . . ~ . • • • f • t • • •
""."' ". ~ ". " .... - •••• "". "" ....... "."" ... " ..... ".~" "" •• "". " ... " """ "" "1""'" .*. "-.. _" "" """" """" .. ""."""." .... "." "."""" ""."". ~- ... -· "" ... ". . . . . . . . . . • " • • t • • • f • • • • t • • • • • fl • • • • t • •
• • l 1 i • • . ' . . . . . . . . . . ' . . . ·• • ."~ • •• .... "". ••• ""'"'""' ""." • •" "'"' • "" ,.._" • • • •• • • f • - .,.. ••" •. • ,..." """ """ ~",.,""",.,.,,"""",..""".-••••••• • A• "."",._." • " • t • 1 • i • . . . . . . . . . . . ' • • • • t • . . . . . . . . . . . • • • • 1 1 • 1 ' ." """ . " "" ........ -- " .. -. -... " . " ..... " ... "~ .... --. -.. -........ -........ "." " .... " ".""" "" """"" """ "" -.. " -" ~ ."""' -... "." • • • • 1 t t • • , • • • 4 • • 1 • • • ' l t l ' • • • • • • • i " . . . . . . . . . . . i t----1----t
-36H -32~ -22&e -a•&e -2~~ -16°" ûVttLISAllE <nnt/l.t•e
1 = gemeten met meter 1
2 = gemeten met meter 2
r.r = r ekerunodel
(voor plaatsing meetappara
tuur zie fig. 14)
.-. s: N ~ 1-'· ro (1)
0 ~ 0 1 Ä R Hl 0 1-'·
~-ûl
:::i .... ûl " .... a 0 IV 1-'·
" .i::. Il!
~ 1 lil
" :::s ~ Hl
T
g lil :::s c 0 tr' " °' .....
" w.
-..J ~ 0 (1) Hl (Il
~ U1
Proefstuk 5
" ... "."., ••• " ..... " •. ""."," •••• " •. " .. " ..... "f, .... "" • • • . . . . : : .. "" ..... " ... " ..... "" ........ . i • .
. . . : •••••• J ••••••
! . ! ""."." .
·········································r;. ............. . ! i 1 i i : : 1
········t···············t···············+···············! . . . . . . . : 1 : : 1 : 1 : ......... "., ...... " ..•... ""1··············1·········· ····· 1 • • • f • t • 1 . . . . • • • t
1 . • • ."."." .......... " ........ " .......... . • 1 • • ······+-••············· ···············r···············I
4
•
1
1 ··········•·'f'··············· i 1 • .................. " ......•....... ". • • • • • • . . 1 : . . .. """ ... " ............... "".~" .. ,,."." .. "" i 1 1 ··············•···············
............. 1 .............. . . •
• • • • : 1 : : i : 1 1 • :
""" .............. "." ... :············ .. ",.. .. " .............. : 1 : : i . . : . . • • 1 "" .• "" ..... " .•••••.... 1 .. " .••••••••••• .;. ................ . ; 1· : : . . . t : l . i . • • • "., .. " .... "" ................ " ...... " ················: . : . . : : ' : : ,. : : . . . " ... " .... " .. " .... "." ..................... " ... " ... .
• : 1 • • • . . . . . . • • • " ......•..... .:. .............. ",: ..... "" ........ ": • • • •
• f • , ' • 1 • • • • 1 • • : : • : : '1
········--····t············~·· ......... " .. "., ........ ······t-·· ........... , .. " ........... ················t • • • 1·
i . 1' l i 1 1 t : 1 1 : : ... "" .. " ....•. +············· ... !·············-·-r ...... " .... "". """ .. "f-·-·· ········-!-····-··-··· ····i··········-··-··i ! . . . • . .
: : l : : : J • • l • • • • : l • 1 : J
··············-r·············· r···········""i....... ······r····w"····1··········--···r·······~·-····1
. ·············+·······-···· ! ............... .!....... . .••.•. : .................................................. ! i ! ! : ! : 1 . . . : . . : : : 1 : !
t • ' • ' ' • ••• ••• •••••••• •"f •• •••• ••••••• ·t················t ...... . ...... +-········ ....... , ............... " .....•......... , '1 f : : : : • @ • (!) . • • • ' • lt • • • • . : : : : : : • 1 t 1 1 1 1
... " '" ... «AOfl'llHG C191UI ........ ....
1 gemeten met meter 1
2 gemeten met meter 2
T = rekenmodel
(Voor plaatsing meetapparatuur
zie fig. 15)
<l N ~ .... CD tr 0 ä 0 i"i'
Hi g .... !Il
'° Ul ro ::i .....
..... ~ 9
1\.) CD w ::i
'tl rt " li CD 0 0 ::i CD
~ ::i " Hl Ul 0 ~ E g rt " 0 ::i i"i' ~ ' ()') U1 " ID
'1 IC <: lll tt ::i " p. (1)
<: (J) 11 rt .... i"i' PI ..... Il>
p. .... ~ CD ("t
~
~
Proef stuk 5
""" ........................ ".""" ••• " •• ,".".""." .... T"" "".""." • :·••••••"' ••T•••••·• ·•·; ••• " •• "." •• :••••••••••\••••••·····; 1 • • • 1 • 1 • • • f : : 1 • l • :r-'t~: l . . . . . . . . . . . . . . . . . " " . . ... "" ". i. " " ... " . " " " . .." .. " : "' ," .... "."";•···· . l : • • 1 : : : : : : t t : . . ! . . . . . : t : : : : 1 ............................ """""." .......... " ..... " .. ".".""""" .. " ......... """ .. " ..... " ... ""." ............ "" : : • ,: ; t : : : : : : : 1 : : : : : : : ' l :
" ••• "j. ••••. " •• " .... ~".".""" ••• "i ...... " ... ~ .. """ .. ". "1" ... ". ""."." .•... """" "".j." ......... "" ... " •• """" ... . . . . " . . . : : : i ! : : : ~ : : ' . . ' . . "." "" .... " ..... " .... " .. "" ........ " ..... "... I J "" ..... """ .. " ......... "" .... . . . \ . . : : : : : ! : ! : :
• l ... """" ......... . . • i .
.".;.."."-.. ". ! . • -·1·········-
J 1 . . • • • " .... ; ....•.......... "···········•··········r··········•···········r··········•···········t······. . ' . . . . ! i
··t······-·· • • • • 1 • 1 • . . . . . . . . : : • : ' : t : : : ! : 1' : 1 :
.""" .......... """ .. ".""""." ... """ ... ""." ...... " .. " ... " "" .... """" ... "." .... ""." .. " ......... "" ........ -." ... " .. i i : : i 'i : ! 1 : : : : : ! :
• 1 i
" ...... " ....... "" i
1 • • • • • • 3J l • . . • 1 • • ..•... ··4··········-l···········•··········t·"" .....•.•....•.... , ..........•...........•.....•.. 1 ·{··········
1
1 : : • : : : : • : 1' ! : 1 : 1 • t • i • •
.. :. " .• .•..••• 1 .•..••• " ..... 1""." .... " ..... ! ...... " ...... "" ~i"."" ••.. " • .:. .. -...... -i" "" .... """".J"" .•. " ".,. . . . . . . . . 1 • t • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • . . . . . . . : : : = : : 1 •
· ·t··· ····· · · ~-· ·· ·······t ········· ·+ · ·· ·•··•· ·I •· · •••••·• ·t ·•··•·· •·· f·· ·•··· ·· · ·t········ • ~ : 1 : : : : : : : t : : : 1 ! 1 ! . : i : : i
." .......... "" .... " • .;"""." ••••• .., •••••• " •• • " ... " ••••••• " •• """.""."" ..... """ •••••••• "".".""."""r•••••••• . . . . . . . . ! : i : : : : i . . . . . . . ' . 1 • • • • • • • . . . . . . .
... "f ··········t""" .... !·········· t····· ..... !·····-··· ··t· ......... t······· ... •!········· : : f ' : : ·, : ·1 • • • • • •
i l ! 1 i i : " •• "'t"""" ······1········"'·"'t··········r"·- "."" ... "": ............ "" ...... T·--··· """" :-···· ...... ""r--·····" -. . . . . . . .
: : : : : t : :
! : • .
"~""." .. """" • ! • 1··········· i : i·····"." l . 1 i· ."" ... """."" 1 1 ! .. " ... " ..... "."
i i l : i i i ! ····-t··-·······-t-··········1··········1-··········t·-·········t··········t···········•··········'···········I '$\ . . . ' . . . ' r.'\' .~ ll.\ : • • • • • • • \.Y • •
\,J.I 1 : : i : : : : i i•. i i i i j i i i i i
-9"• -a ... _.,... _,... -seittl - .....
ow.LISATIE Olt Jl'l .IH. -JMI -.a.H -HH
2 = gemeten met meter 2
4 = gemeten met meter 4
5 = gemeten met meter 5
(voor plaatsing van de
meetapparatuur zie fig. 15)
,.... :s: N
~ 1-'· m
:::i 0 rr 0 :>;' iî Hl
~ 1-'· IQ
1-'· ::1
" .... tQ N a 0 N 1-'· " -..J PI [
~ ~ " i T Hl 0 ~ IC rt 0
tJ' H 00 ..... " u. l.O
·~ 0 ~ O'I
J:.>roefstuk 6
• . . ....... • : .
: : ' '1 : : : : . . : .
7 ... " t····· '"!'····· ... t .".. f" •• " ... ""f-·-·-· T""" ·~· 1·· "."""! . . . . . . . . . . . . . . ' i i i i i i i i . . . . . l 1 j : :
'
• • • f • • • • 1 ."t··"··1····-··!··-····t···· t·····-1······ . ·······t······ ;······t·······: : : : : . t: 1::.
:, :, ·, ·•. i i . . : : ! • ' • • f • ' . . . . . . . . .
• • 1' i : : : : : : : t : ! • t.t • ••• '
---·~---·-····-·····t···-·-~---···r······r·®·· r·····r····· :nrr·····r·····r··-··1 • • ': ••• 1 •• i:: i i ! : : ; i i: ! i : : • : : • : : : : : 1:: 4 ··+······t·······t······-t······i·······i·······t···--·-t··············t--···· ... ······i·······t·······: : : : : 1.:: i: ! : : ' : : • : : ! . : : : : : : : • : 1 • • • 1 • • • • • • • : : • : 1 1' : i : : 1 : : 1' : . : ; : : . : : : : :
3 """ .. " ... " •.. ...:..."" ..... ~ ..... ····i·······i····--.1.."" .... " t···-···i····"·t "." ... .:. .. " ···i-······f ······ .1. " •• "".1 ... " ...... "i ! : : 1 ·! : : • : : : ! : : : f i i ! ! i i i ! ! ! i i : : ! : i:;:::;.:::
: : 1' : : l • : f : : : ' : : " .1 • • • : • f • • • • • t . ."" . .." .. " .......... " ... "."" ...... " ... " ..... ··-·-·:"···-· ...... "." ...... " .. " ". , ... " "" ....... ," .. "." ." .... "" ......... """.- .... "" .... . : ! 1 ! i i: ! i: ! i i: i ! i ! i: i ! : i i i:: i : : : : : ! ; 1: t J 1 l:: i ! i 1 i ! ! ! i: ! : ! : ! l " ..... " .... ".".-."." ...... .,.." .... ," ... "."" ........... "."_" ... ""1" ••• " ........... " .... "." .......... _ •• " •• "."." ...... ""."." .............. " •••••• : t 1 : 1:::::::: i : : 1:: t:::::: 1:: : : ! : i:;::: ! ! ! i i ! : i ! : : i ! i ! i i ! : !
\
" 21 ... H M 7fi 81 M IN tCltGtlfllttQ Olt Jl'I ........
". 12f
MK diagrammen in één grafiek getekend
1 gemeten met meter 1
2 gemeten met meter 2
R berekend uit rekstrookmeting
E berekend uit moment (M/El)
(voor plaatsing meetapparablur
zie fig. 16)
....... s: N i ,.... (1)
0 :::i rt
0 1 :i<;' ÎÎ th
~ ..... IQ . ,... . ..... .& N a ~ ,.... IV iFl ro
li
~ (1) :::i
b' ,.... u.
'g 0 ~ -...!
t lHANSPfRTLEIOIMiEN IN ZEE l JbTS - 5 J PRIFF' aJl -------------------------
s · ··-·····r·······r······r-····r······T·····-··r···-··T···-·-·r······ ·r···-·-·-1 • · s -----·-·1·-·--·--r··-·--···1-·-· -·-··i··--······ 1· ·--·-··t··-·--·-r ··----1 ··· ·--···r···-··1
. 1 1 i 1 . i 1 i i • · ·-····-··r·····r····-·· 1--·-·r··· ···-· 1 ·· ········ r···:·T····-·r······ ·T·····-··1 : 3 • s ...... ···l·--·--r-··-···1····-··+··••@·l·-® ®t--·· ···· 1·········t-·-··+········ r · ·········-t······-·-r·····-··!······ ··+· · , · ······· t····-··+····-t· ······ ··~1··· ········1 ( 2. 5 ...•.••.••. i .......... t= .......... 1.. . ........... 1 ........... 1 ......... .1 ........... , ........... ···········1·
J • 1 : : :
: i 1 1 1 1 i 1 1
Il i 1 1 1 1 ' • ! !
r 2
• ··········1···-··-···:···· ... i -······· 1···· ....... ! ··--···t·-····· ., ........ ··1··········1···-····· ·1
I. s ·-·······t-······· ; ·······-1"·-······t··········1·-····-1·--····1········-t-·-···-t--·······1 1
• .. ••••• .•• t· - . ·· 1· -...... ·t-·-· ... ·t. -..... -· ·1 ·-··· .... ·r---· -· .. · 1-· ..... -·. f-· --· ... ·+ .... ·-·. ·1
0 • 5 · ·----· ·• f. ··-·· ·· .. ,1...._ ··-·1 · ·· · · · ·-· ·t ·-· ·-·· ··1·---··· ·t ·-· ·-·· -· ·1·· ·· · ·-t ···--· ·· t ··· · · --· · I : t : : : i' ! i . . . . . . . '
1 1 t 1 t 1 1 1 1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
DOlllllHA CIJ"! ........ 110
D -T • Pu•
tOO HH "'t Htt
t50 bar
1 gemeten met meter 1
2 gemeten met meter 2
R berekend uit rekstrook
meting
(voor plaatsing meetappara
tuur zie fig. 17)
QD
IBBC
,....... <l t'1 CD .....
~ (1)
0 ~ 0 ;.;-
11) e-.... In ~ lfl
m .... N § N (1)
w U1 ::i rt
(1) 0 ::i (1) (1) ::i Hl Hl til 0
~ ~ rt 0
()'\ ()) ~
(1) l.O
<: g Pi (1)
~ rt .... ;.;-PI 1-' (1)
p. ..... ~ (1) rt (1) t1
" 0
" r
" T
IC
" "
Proefstuk 6
········r·······r·······1 1 : 1 i ,. ! . . .
• 1 ....... :. ........ ! 1 i ,, . • • . . . . • • . . • • .. " .......... , . . . . •
i : .... ; : • 1 :
·i 1 • !
-SIM -AN -ffM ...... -JSN -:JIM -2SM -MM -llM -1... -S.. OUM.IMtlE UWUl'l.tH
1 gemeten met meter 1
3 = gemeten met meter 2
4 = gemeten met meter 4
5 = gemeten met meter 5
(voor plaatsing meetapparatuur
zie fig. 16}
<: N ~ '"" ID tr
pi 0 a 0 ;.>;'
Hi g ..... !Il
i.Q !Il . (1) ll ......
N a ' ~ N ID O"\ ll
rt 11)
~ ll p.
0 11) (Î) Hi ~. !Il
E! ll ;.>;' ~ -...!
([)
< pi ll p. ([)
<: ~ rt ..... ;.>;' pi t-' ([)
p. ..... ~ lll rt
~
-300
IHANSl'tYITLEIOIM.iEN IN ZEE f lbTS - 5 J Pl?tEF fXJl
-250 -200 -150 -100 OWll.lf.Aîll "" I'."" -50 0
D • T -"..,_
toa,...,.. " Ht1
150 bar
1 = gemeten met meter 1
3 = gemeten met meter 3
5 = gemeten met meter 5
(voor plaatsing meetappara
tuur zie fig. 17)
\il)
IBBC
,,..... s:: N ~ ..... (1) (1)
::s 0 rt 0 1 ;>;' ~ Hl i ..... '° ......
::s ...... l.Q w ID ... p. w ..... " ...... PI 0
~ " g E
" ID T ::s tJ'
f( ..... u.
" ~ " 0 (1) Hl
OJ
••
TRANSPORTLEIOINGEN IN ZEE -------------------------{ I HoTS - 5 1 Pl?OEF 008
". se 6e 7e ae H l" KROMlttG. '11'1 ........ Ml
Ut
~~J ~ " t5~ . "-...
' \
0 - tOO ....... T - -t MM p._.- t"t.., bar
1 gemeten met meter 1
2 gemeten met meter 2
R berekend uit rekstrook-
meting
(voor plaatsing meetappara
tuur zie fig. 18)
'ütD IBBC
....... ~ N ~ 1-'· (1) (1)
::J 0 rt ~ 1
iî HJ
~ 1-'· tQ
1-'· :::i .... tQ
w UI p. 1-'·
w lll N ~ " ~
0 w
" w m E ro ::J
:::i " t1 T Hl ..... 0 w. rt
'R a: 0
w 0 H
(!) " Hl .... 0 "° ..... ....
~1
Tf?ANSPOl?TLEJOIN6EN IN ZEE f No!S - 3 J PROEF 009 -------- ----------------
".". """".-".·- """"". ·- "." .... " .... " ... -- -.. -- . "" .. " .. ""."." ... "".".-."""-"""" .. " .... ".". "."""."""." ...... "" " ...... """ .. " ... " • • • t • • • • • • • • • • • • 1 • . . . . . . . . . : : : : : : : : : . ' . . . . . . . • 1 • t • • • " • • • ' • • • • J • . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g ... ".".""".! •• "." ... ""; ... -· " ... ".:. "."" .. ".".:. ~. " ..... "" .. : .... ". - ~".".":..""".""."":.".".""" .... ";",,.""""""" • .:." ........ "~. "": . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " ~ . . . . : : @::. l':"t : : : : : : VJ :CD : : : . . . . . . B . ... "". -- -.. :."" """ ."" •• :" .... "" - .... ". "~ """." "." ". ~-·" """ ""." •• " :. " •. """ "" ".~ -"." "" .... " ... :" "."""" -". ":
• • • • • 1 • • • • t • • • • • • • f • • • . . . . . . . . . . . . . • • f • • • . . . . . . . . . . . . " . .
7 ···--·····-~"".""" •• ""~"."" ... "~ ... ".":"." " •. " ..... :." .. _" ___ ".~ .... " •. "".:".""." .... ""." .. "" .. _.".:. .".-": f • • • • • • • • . . . ' . . . . • • • • 1 • • • • • " • 1 • • • 1 • • • • • t • • • •
: : ; 1 : . . . . . . . . 6 ""." .. " .... -.:-----".~."".".""" ."""" •. "~."" ..... """".1"""."" ... " •• ~""""""""" .... 1."" ... "."" ... }.".""." ..... ~" ...... ""."""".: . . . . . . . . .
• • • • • • 1 • •
: : : ~ : : : : . . . . . . . . . • • • • • 1 t . . . . . . . 1 • ,; • • ' 1 . . . . . . .
. . . . 4 •
""' ....... "." .. ·:"" .. ~ .. . . . . . ' :
J """" .....•
. . . . . . . . . . . . 1- ......... t .......... !· ......... ·: ........ ·· 1·· ....... ··t· ........ ·1·-· ...... "! . . . . . . . . . . . . . . ' . • • • • • • 1 • 1 • • • • • • ' • • • • 1 • . . . . . . . ' . . . ~ ' . . . . . . . . . . . . . . . ' .
" .. """ .. t···"······-:"""""." ....•.. "."-- --t--"."."." .• "" ... "" •. """"~ .. -"""""."t-"""""."" •. : • t • • ' • • • • t • • • • • . . . . . . . 1 • • J • •
l • t • ' • . ' . . . . " . . . . . . . . . . . . . . . . • " t • • " • •
·t-·-·~ .. """':" .. """.""""~--····"""""~."."."" ..... ~."""."."."":··········1··".""""."": . . . . . . . . . . . . . l • • 1 • • . . . . . . . . ' . . . . . . : ' . . . . . . . . . . . . . .
• "" ••• ".""." ••• " - -- - ~-. -t. " ... """"" ... "".""" ....... "."" -·--· •• "". ",,. ... """" ."" -- •• """ """ ."."~" ."" _______ "_ """ •••• """.
: : : : ~ : : : : 1
• 1 1 t ' • ' • • ' • ' 1 • • • • . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . ' . ' . . . . . . . . " . . . . .
-• ••t'" """'"''"""'"'"'i••••"~ -: r••••••"""f ""'*'"'""'""•" :*'""'"'"'""'~ •• •:-• 4
• • • •• """ :-• •••••••••:• • •~• ••" ••!•••"'"""'""''"'": • • • • t • • • • t
: : : : : : ~ : : : : ! : : : : : : : ! : : : : : : : : : . : * 1 t a ! ~ : !
.-.a......-+- i i i 1 te Je "e &e E.e
KROMlhG 41..-1.eee.eoo M)
tOO t1t1 ~ MH
t,-, bar
1 gemeten met meter 1
2 gemeten met meter 2
R berekend uit rekstrook-
meting
(voor plaatsing meetappara
tuur zie fig. 19)
'iID JBBC
<: N Il> 1-'· 11 Il> t1
0 a 0 :>;'
Hi l! 1-'· {Il
'° (Il 11> ::i
~
w § N 11> \.0 ::i ........ rt
ro ::i p. 1-'·
~ ro rt ~ < ~
a ~ 1-'·
~ t1 1-'·
LJ.
'U 11 0 ~ ro
" 0
" E
" T
IC
" "
TRANSPORllEIOINGEN IN ZEE
-aase -eMe -nsa -tsa. -ti!H -a... -75• OUIM.ISA1'1t O'" .f$He)
( Hors - 3 J PROEF aJ8
•
D • T -Pu•
tOO Ht1 "t HH
t1'"'1 oor
ovalisatie meters op de:
H horizontale as
V vertikale as
(Voor plaatsing meetappara
blur zie fig. 18)
'iID IBBC
<! N ro ...... li ro tr 0 a ~ Hl g .... IJl
;Q Ul ID ::i ,....
w a ~
w ro " ~ 0 ::i ... rt 0
0 " (1) w ID Hi w ::i [ m H g- ~ PI
Hi T ~ ::i
Hl ~ l.O 0
1
K g ID
" ..:;
" w ID . li ..... rt 0 .... . ~ ,.... PI ,.... ._.
ID
p,
~-(f)
rt (f) li
~
TRANSPORTLEIOINGEN IN ZEE I HafS - 3 J PROEF 009 -------------------------."" ." ." •• ··:···- "" w" ""."""""" ... """": .... "" .... " """ ."" ·-- """ " ..... ;··" "" •• "" •• "." ... " •• ". " •• ""." "."."""."""""""",".""" "~."" ". . . . . . . . . . .
i : i 1 i : i : i ! : : : : : t : t : : . . " . . . . . . . ' , 1 • 1 • • • • • . . . . . . . . . .
•1." ·-·-·····i-·····. "" ... ·i· · · ·· · ·····t·· """" ····+ """""."" "" i·· ····· "" ""r" "." ... "".". i··· "" .... """.:·· """ "" "" ... t "-- .... -... " ." ·i . . . ' . . . . . . : : : t 1 : : : : : • • • • • 1 • • ' • • • • • " 1 • • • • . @. . . @ . t • " • • • '2 • • • $ • • : • • • . . . . . . . . . . . . . . . . ' . .
IJ"~·::.·-···:.f ""t ····f··"·······+··········!·········-4··········1···········! . . . . . . . . . . . . . . : : : : t : • • • • • • . . . . . . • • t • • • . . . . . . . . . . . . ' . . . . .
71"""""""."."~"" •••••••• ~ ••• ""."" •• ",." ••• "" """.:,."""".. • ... ".~ ....... " •••• :" •• " ... "" •• "",." •••• "" •• ,:.. •• " ..... ".".; : : : : : : : : : • • • 1 • • • • • • • • • • • f • •
~ : : • : 1 : : • : : : ! : ·1 : ': ! . . . . . . . . .
6J" ." ••• ". "" ... t-".""""" ." i-·". "." ." .. t" "" "."" ••• ~ ••••. " •. " ".j"" """ •••. ". -r• ." ••• " ; •• " ••• " •• ".~ ..... " •••• "" '· ." •• " ." ••• : a fl 1 f ' t • • 1
: : : : : • : l 1 : . . . . . . . . . . • 1- • • • • 1 ' • 1
i ! : i i i i : i : • • • ' • • • • • f
6J • ' • • • • t • • • . -.....•. ··t .•.••.. ·- -~···· ·······I·········· ·i··········· I···· ... ···~· ·······•···········t··········{······ ·····1 : : : s : 1 : : :
: ~ : : : : : : : : • • • • • t • • 1 • : : : : : 1 : : : : • • • f • • • • • •
" ' ••• ' • t ••
4J"" """ "" ,.."" ";."" """ "." " ... {""" ..... " " ••• " ....... "" •• "'" .1""" W 9" ". ·-·i" .. " ." ."~"". T "-" ···Î-·" " ... " """ --t ............ "" """ -~- """"""-" "": . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t • • t • • • • • • • • • • • • • • • 1 . . . ' . . . " . . i : : : : : : : : :
3J • : : : : : : : : : .. " ". -"" "" ·t """ .•. ". "--:······ ."" "·t "" .".". ···-:-····-····"t···.. "" .. '1' "" ." ••• ••1" •• "." ."." """" """."" "·1· " •••••••• -t
a • • • • • • t t •
: : : : : : : : ' : .. . . . . . . . . . . . " . . . " . . .. • • t • • • • • • • • f • • 1 • • • • • • • • • • l • • •
J • • • • • . 1 • • f
2 ~"" ... """""".l"""."." •• ":"""." ..... ""-l •• " •• "."".J" ••• "." ... " •. t""""" """..:..". " .... " •• ": .... """"""""":."."." •• ".";"""""".""".: ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : : : t : : : : : : : : : • • • • • • • • a • . . . . . . . . . . ' . . . . ' ' . ' .
1 J-.-- -". -· "":. .... "" "" ... -·. !-- .• ""."" .... ~"" "" -· """ • .:~" """ ..... "" ":. ""."" """":."- " ....... """.: •.••• """".":. •• ""."""."..:..."" ........ ": : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i : : : i : ! : : : i ; i : : : ! : : :
-iast -18" -751 -5H -ast t i!H SM 7S. OVltllSATJE <"" 'lfftt
r-----. \J,,,, ~~J=:Q~
0 -T p .......
tOO M'1 ... HH
• ..,..., bar
l'' '\
ovalisatie meters op de
vertikale as
(voor plaatsing meetappara
tuur zie fig. 19)
'ütD IBBC
,...... <: N ~ ..... (D
~ 0 a 0 ?;'
Hl g 1-'· (1)
IQ (1) (D :::i ....
w § w (1)
~ 0 :::i
"' rt 0 w ro ro Hl N :::i m ro 5 g :::i ?;' t1
Hi ..... \0 0 N
rt 0 0 :::i w lit
1-' (1) ....
0 p. 1-'·
.... m .... rt
~ rt 0 (l) :::i
~ (l)
~1
" 0
" r
" T
IC H
"
.Tl?ANSPORTLEIOIN6EN IN ZEE f Hors - 3 J PROEF 009 -------------------------"" """ .""" "".~" .".""". •• i·"" .• .... ····;• "."" - . -~ "-:··-··"." "" "." •• " ~-" ... " " •• " ." •• ""." ", ..... ~·" •• "" " ..... """"""." i···- """"" .... :
: : : : . : : : : : : : 1 : : : : ·: 1 : • • ' • • • • t • . . . . . ' ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 : : : : : : : i : 8 "" ... """"".r··········~····""""" ... ":··········T""•·······:······"" ... :"".""""""","".""""""""t.""""." •• "1'"'".""" •• ".": . " . . . . . . . . • • • • ' ' ' • 1 •
' : 1 : ; : : : t : . . . . ' . . . . . : : : : : f : c : @. : i i : i i : : • i~ ! • ".""" """ .... ~""""""" ... " ••1'·······" .. ""."" ..... """"."" ..... "."."""."" ........ ""... """ "~·· ", • • f • t ' • ' . . ' . . . • • 1 • • • ' . . . . ' . . . : : : : : 1 : : : . ' . . . ©' : .. i i ! i : 6! : : !
7 ."""""""""."."" ••• ".".-&. ••••• "" ..... ;" ... ""." •••• ~"."."""."";." ... " " " •• :.~ •• " ..... ".","""""."""",:."""""".""". . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . ' . ' : : : : : : : : : : ; : : : 1' : : : • : : ·: f : • ' • • • • r • 6 ···········~··········i···········l ··-·······~····--·····•·· ··········!···········~··········•···········= : : : : : . : : : • • ' 1 ' • • • •
: : : : : •• 1 : • • • • • 1 ! . 1 . . . . . . . : : : : : : : : s ···········'··········t···········i··········1···········Ï· t··········~···········i··········{···········i t • • • t • • • • •
: i i ! : : ! : : i • • • • • t • • ' • t • • t • • • • • • . . . . . . . . . . t ' • • " • • • • • • • • • • • • • t •
" """"""~".""~ .... """." ... 1 .•. "."."".";." •. " .. """".;"" •.. " ... ""; .:~" ... """ ..... ""i"·-········i···-······f"." .. ""." .. J : : : : : : : : : : " . . . . . . . . . " . . . . " . . . . f • ' •• t ' ••• 1 • • • 1 • • • •
: : : : : : : 1 : • • • • • • f • •
l """,.."w,""""~".".""." .... .: ••• ".".".".:.""""""""".J..""."." •• "";"" ":." ••• " •• " •• :"" ••••••• ".i.""." •••• ,,.J"""" •••• "".: l • t • • f • • • • ' • • • 1 • ' • • • • • • • j • • • • • • • • t • • • . . . . . , . . • • • • f • • 1 . . . . . . . . • • 1 • • • • • • • ' • • • t • f • • • • • • t •
a """".,, " ... ""...:.""""""."".:"."."""."."t""".~".""":~".""""".".~" .:.."""" ... "~" ... ":"""." •• "" ... ":._""""" .... """""".""" •• ".: i i i : : i i : : : • • • • 1 t • "' • ' • • ' • • 1 • • " • . . . . . . . . ' . • • f t • • • • • • • • • • f • • • • t • • • ' • t • • • t
• _"" ... " '"'"'"*"•i •••• •" """w : • • ,,."",,."""""i"".,.",...,..".,..l".,.""""."".! l.,,.,,."",,."",...,.J""""..,~ •••••i••••••••••l••••••••"'•: . . . . . . . . ' • • • t • • • • • . . . ' ' . . . . . ' . . . . . . . • t • • • ' • • t . ' . ' . . . . . • • • • • • • • f . " ' . . . . . . • • • ' • • 1 • • • • • • " ' ' • t
-1259 -•He ·7St -SM -251 e ast Hl WALISATJE '"" ~ IHt >
D • T • Puw
tOO MH 1' MH
t"J-r bctr
ovalisatie meters op de:
horizontale as
(voor plaatsing meetappara
tuur zie fig. 19)
'llD IBBC
MEETRESULTATEN
1 1.0
l? t)
·p 0.75
0.50
0.25
' ) ~c. :JJ \ LL
"' 1
1
1
1
1
i~ 1
1
1
1 ' ! ;
1 l-i--1--i !
1 1
i
1
1 1 . ' 2 4 6 a 10 12
D/t = 25
1 ' ' ' - -1 ... - i i 1 1-- 1 l l 1 ~~ 1
14 1
16 18 · Kcr
K e
o handelsbuis
• proefbuis
O'e = 250 N/mm2
(proef 6, 7)
ere = 320 N/mm2
(proef 8, 9)
bezwijk.vorm
1
1
T
20
"
Verband tussen bezwijk.druk en bezwijk.kromming voor proeven 6 - 9
0. 0. l:E~l:El<
o .. ..-.:: l.J' .. _o __ Il Il Il Il
:< >i. :< ~ f:E i:E IZ Z ./
/.
/ /
/ /
/
/
/ /
' ' ..............
'
/ " /
... .
' ..... '
.....
.......
l 'Q 1 • 1
j~ ' . 1 1.;). ' . 1 1 ! . ..., 1 •
i 1 "? 1
..... i •
.., I•
\n ••
" ,.
'"""' , . Co , .
. . \
Doorsnede vloeioppervlak voor de interactie van buiging en normaalkracht
(voor theoretische achtergrond zie bijlage 1)
0. - . JZ
)Z:>,
0. 0. ll'I ·- ___ ._._ ·--·--·-·- - ___ "_ - -· ··-~· - ·- ". l=E!·-· 1z- -· · · - -· -··-· · ·- -·- -- -~--·- --- ·-· · -----·--:;., ~ 0
0 .< .. ).J\ l
_. _ • 11. _ .. IL .Il JI >il :;., >: :;.,
)Z ·f::E · IZ IZ ·
" -·
\- L \"
l . \ 1 ',
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
1 • l 1
.... '
~ c$
t .. ! 1
~-.-.-~ . ._,.
Doorsnede vloeioppe.rvlak voor de interactie van buiging
en normaalkracht (voor theoretische achtergrond zie bijlage 1)
tl,'
':
~
' I•
.... , .
.., •• ~ t'
"" r
'f "" ~ h
<lc:) i•
~ l
" ...: 1
.....
~ ....;
•
foto 1 Qllerzicht proefopstelling
(zie ook het schema van de proefopstelling fig. 9, 10)
foto 2 Verplaatsingsopnemer voor meting,van de kromming, gemonteerd op een
ijkopstelling (zie ook hfst. 8.2.3)
....... · foto 3
Proefstuk met meetapparatuur na proefneming
{zie ook hfst. 8.2.3 en a.2.4)
~-~-··-------·-·--.------: .... ·-~; ... :·::? ,. ~ ... "~ ""~
foto 4 ovalisatiemeters na proefneming
foto 5 Proefstuk 4 na beproeving (zie hfst. 9.1)
foto 6 'scharnier' in proefstuk S (zie ook hfst. 8.4)
foto 7 Proefstuk 5 na beproeving (zie hfst. 9.2)
. .. . . .:: . ~...-~~.-.. , " ....... .. ·-------·····:· ·-~. ---
' . . :J;...;._J ·· ·"~ie;
. --- • w
foto 8 Proefstuk 6 (zie ook hfst~ 9.3)
foto 9 Proef stuk 6 (zie ook hf st. 9. 3)
. :~:;~$~~~!~~1:,~;~~-~;~~#~:~.'.···~ .·. • .
t-~~
foto 10 Proefstuk 9 (zie ook hfst. 9.4)