Upload
guest5f8980
View
3.640
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
43
CHƢƠNG 5 : XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG
§1 : Khái niệm
Định nghĩa: Thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn tại MZ
Quy ƣớc : MZ >0 nếu nhìn vào mặt cắt Mz quay thuận chiều kim đồng hồ.
Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu lực nhƣ hình vẽ.
Bước 1 : Xác định phản lực liên kết, phân đoạn
thanh
Bước 2 : Lập biểu thức nội lực
Đoạn 1 : Lập mặt cắt 1-1 AB,
xét cân bằng phần trái : 0z1a.
(1)
z z 1m 0 M mz
Đoạn 2 : Lập mặt cắt 2-2BC, xét cân bằng phần
trái : 0 z2 a.
(2)
z zm 0 M ma M 2ma
Bước 3: Vẽ biểu đồ.
Trong thực tế, các chi tiết, bộ phận chịu xoắn nhƣ: mũi khoan, trục các tuốc bin,...Ta xét hai
trƣờng hợp chịu xoắn thuần tuý:
- Thanh mặt cắt ngang tròn.
- Thanh mặt cắt ngang không tròn.
§2. Xoắn thuần tuý thanh mặt cắt ngang tròn
I. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Thí nghiệm: Cho thanh tròn chịu lực nhƣ hình vẽ
(xoắn thuần tuý)
Trƣớc khi thanh chịu lực: Vạch những đƣờng thẳng
song song trục thanh (đƣờng sinh) và các đƣờng tròn
vuông góc trục thanh.
Sau khi chịu lực, ta thấy:
Mặt cắt ngàm đứng yên
Các đƣờng song song trục thanh bị xoắn ốc
Các đƣờng tròn vẫn vuông góc trục thanh và
khoảng cách giữa các đƣờng tròn không đổi
Đƣa ra hai giả thuyết:
Giả thuyết về mặt cắt ngang: Mặt cắt ngang luôn phẳng và vuông góc trục thanh, khoảng
cách giữa các mặt cắt là không đổi. (a)
Giả thuyết về bán kính của mặt cắt ngang: bán kính của mặt cắt ngang luôn phẳng và độ
dài không đổi. (b)
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
44
Ngoài ra, còn tuân theo 3 giả thuyết đầu tiện của SBVL
Xét điểm A bất kì thuộc thanh: Việc tính ứng suất tại A rất phức tạp (không tính đƣợc)
Tách tại A một phân tố bằng các mặt
Hai mặt cắt ngang 1-1, 2-2 cách nhau khoảng dz.
Hai mặt phẳng đi qua trục z, làm với nhau một góc d.
Hai mặt trụ trục z có bán kính và (+d).
Phân tố ABCDEFGH
Theo giả thuyết (a) , ta có: AE=BF=CG=DH=dz
Phân tố không có biến dạng dọc trục z
Trên mặt cắt ABCD (hay EFGH) không có ứng
suất pháp.
Trên mặt cắt ngang thanh chỉ có ứng suất tiếp .
Gọi : d - góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2.
- góc trƣợt giữa 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 do gây ra.
Sau khi chịu Mz điểm A A’: Theo giả thuyết (b) OA=OA’=
d=A'OA
AA' OAtgd d dtg
EA dz dz dz
(1)
Ta có: P R
P: Vuông góc với bán kính
R: hƣớng theo bán kính giả thuyết (b) R=0
Vậy P
®inh luËt Huc GdG
dz
(2)
®inh nghÜa2 2 z
z
(F) (F) (F)
Md d d dM dF G dF G dF G J
dz dz dz dz GJ
(3)
Gọi
d
dz là góc xoắn tỷ đối (góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt ngang cách nhau
một khoảng bằng 1 đơn vị)
(2)
(3) z
M
J
(4)
Gọi GJ - Độ cứng của thanh khi xoắn
J= JP: Mômen quán tính độc cực 4
4 4 4P x y
DJ J J (1 ) 0,1D (1 )
32
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
45
Nhận xét: phân bố bậc nhất đối với
z zmax
P P
0 0
M MD D.
2 J 2 W
PP
2JW
D : Mômen chống xoắn của mặt cắt ngang
II. Biến dạng
Gọi là góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt đầu thanh (góc xoắn toàn phần)
Xét đoạn thanh có chiều dài dz:
z
P
M dz(3) d
GJ
l l
z
P0 0
M dzd
GJ (5)
Nếu :
z z
P P
M M lconst
GJ GJ
(6)
Đặc biệt: khi thanh chia ra n đoạn: chiều dài li,
i
(i)z
i P
Mconst
G J
i
(i)nz i
i 1 i P
M l
G J
(7)
III. Kiểm tra bền và kiểm tra cứng
a. Điều kiện bền:
z zmax max o
max 3 4P
M M[ ]
W n0,2D (1 )
(8)
0: ứng suất nguy hiểm (xác định từ thực nghiệm)
n : Hệ số an toàn (n>1)
Có 3 bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền.
- Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang:
z max3
b 4
MD
0,2 (1 )
.
- Xác định [Mz]b (giá trị tải trọng cho phép).
b. Điều kiện cứng:
z zmax maxmax 4 4
P
M M[ ](rad/m)
GJ G.0,1D (1 )
(9)
Có 3 bài toán cơ bản: - Kiểm tra cứng.
- Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang: z max
4c 4
MD
0,1G (1 )
.
- Xác định [Mz]c (giá trị tải trọng cho phép).
Chú ý: Muốn thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện bền và cứng thì
D=max{Db,Dc} ; [Mz]=min{[Mz]b ,[Mz]c }
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
46
Ví dụ 1: Cho thanh tròn chịu lực nhƣ hình vẽ. Xác định mặt cắt ngang thanh nếu biết:
[]=5kN/cm2 ; []=0,25rad/m ; G=8.103 kN/cm2 . Sau đó đi tính AC.
Giải:
Vẽ biểu đồ mômen MZ :
zmax
M 4kNm 400kNcm
Xác định đƣờng kính D:
Theo điều kiện bền:
z max 33
b
M 400D 7,37cm
0,2 0,2.5
.
Theo điều kiện cứng:
z max4 4c 3 2
M 400D 3,76cm
0,1G 0,1.8.10 .0,25.10.
D=max{Db,Dc}=7,37cm.
Tính AC: AC = AB + BC
(1) (2)100 100z z (1) (2)
AC z z
0 0P P
100100 4
0 3 40P
M dz M dz, (M 2z,M 4kNm)
GJ GJ
1 12z.dz 400 .5.10
GJ 8.10 0,1.7,37
0,021 rad
Ví dụ 2: Cho thanh chịu lực nhƣ
hình vẽ. Hãy xác định mặt cắt thanh,
biết:
[]=5kN/cm2 .
[]=0,25rad/m .
G=8.103 kN/cm2 .
Tính góc xoắn toàn phần AC=?
Tính phản lực và chia đoạn
Vẽ biểu đồ Mz
Đoạn 1 (AB): 1max
M 2kNm 200kNcm
Theo điều kiện bền:
1(1) max 33b
M 200d 5,85cm
0,2 0,2.5
.
Theo điều kiện cứng:
1(1) max44
c 3 2
M 200d 3,16cm
0,1G 0,1.0,25.8.10 .10
.
d1=max{db(1),d c
(1)}=5,85 cm.
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
47
Đoạn 2 (BC): 2max
M 4kNm 400kNcm .
Theo điều kiện bền: 2(2) max 33
b
M 2002d 4 7,36cm
0,2 0,2.5
(2)bd 3,68cm .
Theo điều kiện cứng: 2(2) max4 4c 3 2
M 4002d 3,76cm
0,1G 0,1.0,25.8.10 .10
(2)
cd 1,88cm .
d2=max{db(2),d c
(2)}=3,68 cm.
d=max{d1,d2}=5,85 cm.
Vậy JP1 =0,1.d4=0,1.5,854=117,1cm4 ; JP2 =0,1.(2d)4=0,1.(2.5,85)4=1861,1cm4
Tính góc xoắn toàn phần:
Tính : = AB + BC
1 2 1 2 1 2
(1) (2) (2)a a a a (2)2 2 4 2 2z z z z
3 3P P P P P P0 0 0 0
M dz M dz M dzmz dz M .ama 2.10 .10 4.10 .10
GJ GJ GJ GJ 2GJ GJ 2.8.10 .117,1 8.10 .1861,1
1,07(rad).
§3: Xoắn thuần tuý thanh có mặt cắt ngang không tròn
Thí nghiệm: Xét thanh chịu xoắn mặt cắt ngang hình chữ nhật. Trƣớc khi thanh chịu xoắn,
ta vạch lên mặt ngoài thanh những đƣờng thẳng song song trục thanh, vuông góc trục thanh
( Tạo nên lƣới ô vuông)
Sau khi thanh chịu xoắn, trục thanh vẫn thẳng nhƣng các đƣờng kể đều bị cong đi ô
vuông bị méo mặt cắt ngang của thanh bị vênh đi.
Lý thuyết đàn hồi đã nghiên cứu đƣợc thanh xoắn có mặt cắt ngang bất kỳ.
I. Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật
Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu xoắn thuần tuý
Luật phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt:
Tại các điểm góc: = 0
Các trục đứng: phân bố theo quy luật đƣờng
cong có tâm uốn tại tâm O
Dọc theo các cạnh: phân bố theo đƣờng cong,
max tại A và A’
zmax
xoan
M
W ; Wxoắn=b2h
1 max
zmax
xoan
M
GJ ; Jxoắn=b3h
Trong đó: ,, phụ thuộc b/h, đƣợc tra theo bảng Các công thức đƣợc rút ra từ thực nghiệm.
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
48
h/b 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 8.0 10
0.141 0.196 0.229 0.263 0.281 0.291 0.307 0.313 0.333
0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.291 0.307 0.313 0.333
1 0.859 0.795 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742
II. Thanh có thành mỏng
Định nghĩa: Thanh có mặt cắt ngang với bề dày << các kích
thƣớc khác của mặt cắt thanh có thành mỏng.
Ví dụ: ống tròn mỏng, thép dát I,C,L
Đƣờng trung bình: là đƣờng chia đôi chiều dày của mặt cắt.
a. Thanh có thành mỏng kín:
Đƣờng trung bình là đƣờng khép kín thành mỏng kín.
Xét thanh chịu xoắn với thành mỏng kín, mặt cắt ngang nhƣ hình vẽ:
Vì bé xem ứng suất tiếp phân bố đều theo .
Xét điểm A bất kỳ trên mặt cắt ngang.
z zA max
o A o min
z
2
(s)0
M M
2F 2F
M ds
4F G
Với S - độ dài đƣờng trung bình.
b. Thanh có thành mỏng hở:
Đƣờng trung bình là đƣờng không khép kín Thanh có thành mỏng hở
Xét thanh chịu xoắn với thành mỏng hở, mặt cắt ngang nhƣ hình vẽ:
Chia mặt cắt ra m hình chữ nhật : hình thứ i có chiều rộng i, chiều dài hi
z zi i max max
xo¾n xo¾n
M M
J J
Trong đó: n
3
i ixo¾ni 1
1J h (*)
3
z
xo¾n
M
GJ
Thực tế : m
3i ixo¾n
i 1
nJ h
3
Với n- phụ thuộc hình dạng mặt cắt ngang, xác định bằng thực nghiệm (tra bảng)
Loại mặt cắt L C T I
n 1,10 1,12 1,15 1,20
§4. Bài toán siêu tĩnh
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
49
Bài toán 1: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu
lực nhƣ hình vẽ.
Giải:
Xét cân bằng AB:
z A BM 0 M M M (1)
Bài toán siêu tĩnh: bậc siêu tĩnh n = 1.
Lập phƣơng trình biến dạng bổ sung.
Phƣơng trình biến dạng : do A, B là ngàm nên
AB AC CB 0 (*)
Trong đó:
(1) (1)z z
AC
P P
(2) (2)z z
CB
P P
M .AC M .2a
G.J G.J
M .CB M .a
G.J G.J
Lập mặt cắt 1-1 và 2-2
(1)Z A
z(2)Z B
M Mm 0
M M
Thay vào (*):
A B
P P
M .2a M .a0
GJ GJ
(2)
B
A
2MM
3(1),( 2)
MM
3
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
50
Bài toán 2: Trụ tròn AB liên kết ngàm tại A,
chịu mômen xoắn M0, gắn với 2 thanh CD, EF
bằng 1 thanh CE tuyệt đối cứng.
Biết AB có : G,d
CD, EF có cùng l, E, F
Xác định biến dạng dài của CD, EF.
Giải:
Xét cân bằng ABCE:
1 2Y 0 N N N
Điều kiện biến dạng: l b.tg b.
: góc xoắn tƣơng đối của AB ( góc xoắn toàn phần)
iZ i
p
M .l
GJ
Xét thanh AB: Vẽ biểu đồ Mz
Vậy:
0 0
p p p
M 2Nb M 4Nb( 2Nb)a a a
GJ GJ GJ
0
p
01 2
p
20
1 2
p
M 4NbNll b b a
EF GJ
M aEFN N N
lGJ abEF
M aNal l
EF lGJ ab.EF
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
51
Bài toán 3: Xét thanh chịu lực nhƣ hình vẽ.
Biết : G, d, l , u (biến dạng dài tỷ đối theo
phƣơng u tại điểm M).
Tìm M0, góc xoay của tiết diện tại B.
Giải:
- Vẽ biểu đồ Mz
- Xác định M0
Ta có: WP = 0,2 d3, JP = 0,1d4
Theo đ ịnh lu ật Hooke:
1( )
u u vE (1)
mặt khác : 0u v x y u v
(2)
.Eu u(1),(2) (1 )
u uE 1
(3)
- Theo công thức xoay trục:
xy xy
xy
x y x ycos2 sin2 sin2
u 2 2
u
sin2
- Xét phân tố tại M:
0 uzxy max 3
p
MM E.
W sin2 (1 ).sin20,2d
3u
0
E.0,2dM
(1 )sin2
- Góc xoay của tiết diện tại B. A là ngàm → A=0
30 u u
B AB 4p
M l .E.l.0,2d 2 .E.l.
GJ G.d.(1 ).sin2G.0,1d (1 ).sin2
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
52
BÀI TẬP CHƢƠNG 5
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
53
CHƢƠNG 6: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG
§1. Khái niệm
Định nghĩa: Thanh chịu uốn là thanh có trục bị
uốn cong dƣới tác dụng của ngoại lực.
Trục là đƣờng cong phẳng thanh chịu uốn phẳng
(dầm)
Ngoại lực: lực tập trung hay phân bổ vuông
góc trục dầm, hoặc mômen nằm trong mặt phẳng
chứa trục dầm.
Ở đây, ta chỉ xét thanh có mặt cắt ngang tồn tại
trục đối xứng (trục y) và tải trọng tác dụng thuộc mặt
phẳng đối xứng, (chính là mặt phẳng chứa trục quán tính trung tâm mặt phẳng quán tính
chính trung tâm).
Xét 2 trƣờng hợp: + Dầm uốn thuần túy phẳng.
+ Dầm uốn ngang phẳng.
§2. Uốn thuần túy phẳng
I. Định nghĩa: là dầm mà trên mọi mặt
cắt ngang chỉ tồn tại 1 thành phần nội
lực Mx nằm trong mặt phẳng quán
tính chính trung tâm (y0z)
II. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Dầm có mặt cắt chữ nhận b h, chịu
uốn thuần túy nhƣ hình vẽ.
Thí nghiệm:
Trƣớc khi chịu lực, vạch lên mặt
ngoài dầm những đƣờng thẳng song
song và vuông góc trục dầm, tạo
nên những ô vuông.
Sau khi chịu lực, dầm biến dạng, ta
thấy đƣờng thẳng song song với trục
dầm trở thành đƣờng cong, đƣờng
vuông góc với trục dầm vẫn thẳng và
vuông góc với trục dầm.
Suy ra 2 giả thuyết :
a. giả thuyết về mặt cắt ngang : mặt cắt
ngang dầm luôn phẳng và vuông góc với
trục dầm (cả trƣớc và sau biến dạng)
b. Giả thuyết về các thớ dọc : Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc của dầm không ép lên
nhau và không đẩy xa nhau.
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
54
Vật liệu dầm làm việc trong giới hạn đàn hồi (, tuân theo định luật Huc)
Nhận xét : dầm bị uốn, các thớ trên co lại, các thớ dƣới giãn ra từ thớ vo sang thớ giãn sẽ
có thớ không co, không giãn . Gọi là thớ trung hòa.
Tổng thớ trung hòa là lớp trung hòa.
Lớp trung hòa x mặt cắt ngang ta có mặt
trung hòa.
Bỏ qua các biến dạng của mặt cắt ngang
(biến dạng nhỏ), coi nhƣ mặt cắt ngang không
thay đổi, suy ra đƣờng trung hòa là đƣờng thẳng
Xét đoạn thanh dz cắt ra khỏi thanh bởi 1-1
và 2-2
Sau khi biến dạng ta có :
Theo tính chất thớ trung hòa : dz =d
Thớ ab ( cách thớ trung hòa 1 đoạn y):
abt = dz ; abs = ( y)d
®inh nghÜas t
z
t
ab ab y
ab (1)
Xét điểm C bất kỳ trên mặt cắt ngang nào đó của dầm: việc tính ứng suất tại điểm C không
thực hiện đƣợc. Suy ra tách tại C một phân tố hình hộp (Các mặt song song với mặt phẳng tọa
độ) tính ứng suat trên 6 mặt phân tố
Theo giả thiết (b) trên các mặt song song z, không có ứng
suất pháp hay: x y
0
Theo giả thiết (a) góc của phân tố biến dạng không đổi.
trên các mặt phân tố không có ứng suất tiếp.
chỉ tồn tại z
Theo định luật Huc: z z
y.E E.
(2)
®inh nghÜa
z z x
(F) (F)
E EN dF 0 y.dF 0 .S 0
Sx = 0 ®inh nghÜa
x là trục trung tâm. Vì y là trục đối xứng nên x0y là hệ quán tính chính trung tâm
của mặt cắt ngang.
(2)
2
x z x
(F) (F)
E EM ydF y .dF .J
x
x
M1
EJ (3): Độ cong của trục quán tính chính trung tâm (EJx: độ cứng của dầm khi uốn)
(2),(3) xz
x
My
J
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
55
Nhận xét: Luật phân bố của z
trên mặt cắt ngang dầm:
Phân bố bậc nhất đối với y.
Những điểm nằm trên đƣờng thẳng song song với x
(có cùng tung độ y) sẽ có z bằng nhau và tỉ lệ với
d (khoảng cách đến đƣờng trung hòa).
Điểm nằm trên đƣờng trung hòa (y=0) có z=0.
Những điểm nằm xa đƣờng trung hòa nhất có max min
, .
Nếu trục x cũng là trục thẳng đối xứng: Đƣờng trung hòa chia đôi chiều cao
x xmax min
x x
M Mh,
J 2 W (4)
với Wx=x
2J
h : mômen chống uốn của mặt cắt ngang.
Nếu trục x không phải là trục đối xứng:
x K
max max
x
x n
min max
x
M.y
J
M.y
J
(5)
III. Điều kiện bền:
a. Với vật liệu dẻo: k n
Điều kiện bền: max (6)
b. Với vật liệu đòn : k
n
Điều kiện bền:
max k
min n
(7)
IV. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang:
Mặt cắt ngang hợp lý nếu đảm bảo bền (khả năng chịu lực là lớn nhất) tiết kiệm vật liệu.
a. Yêu cầu về bền: Ứng suất lớn nhất trong dầm đạt tới ƢS cho phép
x K
max max kx
x n
min min nx
M.y
J
M.y
J
k
max kn
max n
y
y (8)
(8) Kết luận:
Vật liệu dẻo: k n
k n
max maxy y trục x đối xứng
Vật liệu dòn: Trục x chia chiều cao mặt cắt theo tỷ số ở (8)
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
56
b. Yêu cầu tiết kiệm vật liệu:
Từ biểu đồ z ta thấy:
Vật liệu ở vùng có max, min làm việc gần hết khả năng.
Vật liệu càng ở gần đƣờng trung hòa làm việc ít hơn.
Bố trí vật ở xa đƣờng trung hòa.
(a), (b) + Vật liệu dẻo : Trục x đối xứng, vật liệu bố trí xa đƣờng trung hòa mặt cắt hợp lý
thƣờng là:
+ Vật liệu dòn:
Chú ý: Khi xét điều kiện bền cho thanh:
Nếu Mx có dấu không đổi chỉ quan tâmmax
M
Nếu Mx có hai dấu: đƣờng trung hòa không chia
đôi chiều cao, vật liệu dòn quan tâm đến cả
Mmax, Mmin (Kiểm tra tại cả 2 mặt cắt)
§3. Uốn ngang phẳng
1. Định nghĩa: Dầm chịu uốn ngang phẳng là dầm
mà trên mặt cắt ngang có các thành phần nội
lực Mx, Qy nằm trong mặt phẳng nằm quán tính
chính trung tâm (y0z)
Mặt phẳng tải trọng: (các tải trọng thuộc cùng
1 mặt phẳng)
Mặt phẳng biến dạng
Hai mặt phẳng này trùng nhau có trƣờng
hợp uốn phẳng:
Uốn phẳng thuần túy : chỉ tồn tại Mx
Uốn phẳng ngang: có Mx, Qy (h >> b, h << l)
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
57
II. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Xét dầm chịu uốn ngang phẳng nhƣ hình vẽ.
Trƣớc khi dầm chịu lực: vạch lên ngoài
mặt dầm những đƣờng thẳng song song và
vuông góc với trục dầm (tƣợng trƣng cho thớ
dọc và mặt cắt ngang)
Sau khi dầm biến dạng, ta thấy:
- Những đƣờng thẳng song song với trục
dầm (thớ dọc) bị cong nhƣng vẫn song song
với trục dầm, các thớ không ép lên nhau,
cũng không tách nhau trên mặt cắt dọc: y
=0 (Thực tế thì có nhƣng vì sự thay đổi ấy
nhỏ bỏ qua, đúng khi h << l)
- Những đƣờng thẳng vuông góc với trục dầm không còn thẳng và vuông góc trục dầm nữa
mặt cắt ngang không còn phẳng mà bị vênh.
+ Thớ dọc: 1 số thớ co lại, 1 số thớ giãn ra z
+ Mặt cắt ngang: mặt cắt ngang không còn phẳng bị biến dạng góc ứng suất tiếp zy
LTDH
tại điểm D(x,y) bất kỳ thuộc mặt cắt ngang, tách ra 1 phân tố hình hộp thì trên các
mặt phân tố y, z, zy
Thực tế: y << z,zy z,zy
a. Ứng suất pháp z:
- Trong uốn thuần túy phẳng, mặt cắt ngang phẳng: XZ
X
M.y
J (*)
- Trong uốn ngang phẳng, mặt cắt ngang không còn phẳng không thể sử dụng công thức (*)
Tuy nhiên trong "Lý thuyết đàn hồi", công thức tính z rất phức tạp và chứng minh đƣợc
rằng đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, vẫn dùng đƣợc công thức (*) để tính z mà sai số không lớn lắm.
Vậy: xz
x
My
J (1) (h nhỏ nên xem nhƣ mặt cắt ngang là phẳng)
b. Ứng suất tiếp zy - Công thức Jurapski
Ta đi xác định phƣơng, chiều và độ lớn của ứng suất tiếp zy
Xét dầm mặt cắt ngang chữ nhật hẹp bxh (b<< h mặt
cắt hẹp) chịu uốn ngang phẳng.
Phƣơng :
Xét điểm A(x,y) thuộc mặt cắt ngang 1-1. Qua D kẻ đƣờng thẳng song song với Ox, cắt các biên của mặt cắt tại B, C; cắt Oy tại D.
Ứng suất tiếp C có chiều bất kỳ trong (1-1)
C CC zy zx
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
58
Theo luật đối ứng: nếu có Czx phải có C
xz , mặt khác: do mặt bên dầm không có lực tác
dụng ( Nz = 0, Mz = 0...) nên C C
xz zx 0
Vậy C B
C zy B zy; TT
Do tính chất đối xứng và giả thiết mặt cắt chữ nhật hẹp nên:
A B C D zy
Vậy ứng suất tiếp của các điểm trên BC đi qua A chỉ có phƣơng y và có trị số bằng nhau.
(Phân bố đều)
Độ lớn :
Cắt đoạn dầm dz bằng mặt phẳng 1-1, 2-2
Mặt phẳng song song với Oz đi qua điểm D
chia đoạn dz thành 2 phần:
tính zy yz ?
Đặt BC = bC
dt(BCEF) = FC
Xét cân bằng đoạn dz:
C C
(1) (2)z z yz c
F F
Z 0 dF dF .b .dz 0 (*)
Mặt khác :
x(1) (2) x xz z
x x
M M dMy ; y
J J
(biểu đồ Mx liên tục : chiều dài thay đổi dz mômen thay đổi
vi phân dMx)
(*)
c c
x x xyz c
x xF F
M M dMydF ydF b dz 0
J J
( x
x
Mconst
J đối với mặt cắt đang xét)
C
C
xyz c
x F
xyz
c x F
dMb dz ydF
J
dM 1ydF
dz b J
Ta có: C
Cxy x
F
dMQ ; ydF S
dz: mômen tĩnh của phần diện tích Fc đối với trục x
Vậy:
Cy x
yz zyx c
Q S
J b (2) - Công thức Jurapski
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
59
c. Luật phân bố ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt
Mặt cắt chữ nhật.
Tính ứng suất tiếp tại điểm D(x,y)
Ta có : cx C
h 1 hS b .( y). ( y)
2 2 2
bC = b ; 3
x
b.hJ
12
Thay vào công thức Jurapski ta đƣợc
2 22 2
Cy y
y x
zy 3 3x c
h hQ .b.( y ) 6Q .( y )Q S 4 4
J b b.h b.h2b.
12
(3)
Ứng suất tiếp lớn nhất tại y=0 (thuộc đƣờng trung hòa)
y y
max zy
3Q 3Q(0)
2b.h 2F (4)
Mặt cắt chữ I.
Xét dầm chịu uốn ngang phẳng có mặt
cắt ngang chữ I. Để đơn giản hóa ta coi mặt
cắt gồm 3 hình chữ nhật ghép lại.
Phần lòng: hình chữ nhật rộng d, cao (h-2t)
2y(l)
zy xx
Q dy(S )
J d 2 (5)
(với Sx : tra bảng)
Phần đế: 2 hình chữ nhật rộng b, cao t
y y(d)
zyx x
Q Q .xh t h t.t.x.( ) .( )
J t 2 2 J 2 2
{ ứng suất của phần giao giữa lòng và đến không xét đến vì phức tạp và có trị số nhỏ }
Thực tế: thấy (l)
zy >>(d)
zy ta chỉ xét sụ phân số ƢS tiếp zy ở phần lòng của mặt cắt.
Tại y=0 (các điểm thuộc đƣờng trung hòa):
y x(l)zy max
x
Q S
J d (6)
Tại điểm K (giao giữa phần lòng và đế): Xét điểm K thuộc phần lòng (lßng ®ª (l)c c zyb b lớn)
K
hy t
2
2y
k xx
Q d hS t
J d 2 2
(7)
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
60
Mặt cắt hình tròn
y 2 2
zy
x
Q(R y )
3J (8)
Tại y=0 :
2
y y
zy max
x
Q R 4Q
3J 3F
III. Kiểm tra bền cho dầm – chịu uốn ngang phẳng
Xét đoạn dầm chịu uốn ngang phẳng mặt cắt ngang chữ nhật (bxh). Nếu tách ra tại các
điểm trên dầm những phân tố thì tƣơng ứng có 3 loại trạng thái ứng suất (TTƢS) dựa vào biểu
đồ z và zy của mặt cắt ngang.
Phân tố A, A' có z max zymin
; 0 là phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
Phân tố B có z zy max0; là phân tố ở trạng thái trƣợt thuần túy.
Phân tố C có z zy0; 0 là phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng.
Vì tại các điểm trong dầm chịu 3 loại TTƢS khác nhau nên việc kiểm tra bền cho dầm
phải tiến hành kiểm tra đồng thời cho 3 loại TTƢS trên.
a) Kiểm tra phân tố trạng thái ứng suất đơn:
- Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có x maxmin
M M .
- Điểm kiểm tra : điểm có z maxmin
.
Điều kiện bền: + Vật liệu dẻo : max (9a)
+ Vật liệu dòn :
max k
min n
(9b)
b) Kiểm tra phân trượt thuần túy:
- Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có y maxQ .
- Điểm kiểm tra : điểm có zy max .
Điều kiện bền: max (10)
Ta có thể tính [] thông qua [] theo thuyết bền nhƣ sau :
- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất : / 2 .
- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất : / 3 .
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
61
c) Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt:
- Mặt cắt kiểm tra: mặt cắt có y xQ & M cùng lớn
- Điểm kiểm tra: điểm có z
và zy cùng lớn (điểm K)
Điều kiện bền:
Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất :
2 21 K K4 (11)
Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất
2 2t K K3 (11’)
Trong đó : K
cC xC
K K K
x x c
Q .SMy ;
J J .b
Từ các điều kiện bền (9a,b), (10), (11) Có 3 dạng bài toán :
1. Kiểm tra bền: theo điều kiện bền (9a) hoặc (9b).
Chú ý: Mặt cắt ngang có đƣờng trung hoà không chia đôi chiều cao; Vật liệu dòn phải
quan tâm cả hai mặt cắt có x maxmin
M M
2. Chọn kích thước mặt cắt ngang :
1
2 i
3
(9,9 ') F
(10) F F max F
(11) F
3. Xác định giá trị tải trọng cho phép [P] tác dụng lên dầm:
Để giải bài toán không phức tạp, ta xác định [F]S hoặc [P]S sơ bộ theo (a), sau đó kiểm
tra cho (b), (c) với các giá trị sơ bộ vừa tìm đƣợc:
+ Nếu các điều kiện bền thỏa mãn (hoặc vƣợt quá < 5% chấp nhận đƣợc) thì ta
chọn [F] = [F]S hay [P] = [P]S.
+ Nếu điều kiện nào không thỏa mãn thì ta chọn [F] hay [P] theo điều kiện đó là đủ.
----------------------------------------------------
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
62
Ví dụ 1: Kiểm tra bền cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ nếu 216kN/cm .
Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực:
max max
Q 56kN; M 50kNm;
Bước 2: Xác định đặc trƣng hình học:
Chia mặt cắt thành 2 hình :
Hình 1 : b1xh1 = 12x20(cm), (x1O1y1) là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Hình 2 : b2xh2 = 6x8(cm) khuyết, (x2O2y2) là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ tọa độ (x1O1y1):
1,O 1,O
0 4.( 8.6)x 0 , y 1cm
20.12 8.6
. Tọa độ trọng tâm 01; 02 trong (xOy) :
1
2
O (0, 1)
O (0, 5)
1 2
(1) (2) 2 2 3 2 3 2 4
x x x x 1 1 x 2 2
1 1J J J (J y F ) (J y F ) 20 .12 ( 1) .20.12 8 .6 ( 5) .8.6 6784cm
12 12
3xS 4,5.9.12 486(cm )
Bước 3: Kiểm tra bền:
Kiểm tra phân tố trạng thái ứng suất đơn:
2
n 2 2maxmin max
x
M 50.10max y 11 8,1kN/ cm 16kN/ cm
J 6784 (1)
Kiểm tra phân trƣợt thuần túy: (Điểm kiểm tra: điểm ở đƣờng trung hòa)
C
cx 2 2max
max
x
Q .S 56.4860,33kN/ cm 8 kN/ cm
J b 6784.12 2 (2)
Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt:
- Chọn mặt cắt kiểm tra: mặt cắt tại bên phải C có C CQ 40kN, M 48kNm
- Điểm kiểm tra: Điểm B (thuộc phần dƣới):
c 3x B C
2S 2.12.( 9) 240(cm ) ; y 8 1 9(cm) ; b 3 3 6(cm)
2
c2C C x2 2
B B Bx x c
M Q .S48.10 40.240y .9 6,37(kN/cm ) ; 0,24(kN/cm )
J 6784 J .b 6784.6
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
2 2 2 2 2 2
t B B4 6,37 4.0,24 6,38kN/cm 16kN/cm (3)
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
63
(1,2,3) dầm đảm bảo yêu cầu về bền.
Ví dụ 2: Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ biết [ ]=16 kN/cm2
Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực:
x ymax maxM 60kNm; Q 61kN;
Bước 2: Tính đặc trƣng hình học:
(1) (2) 3 3
x x x
4 4
43x
x
(1) (2) 3
x x x
1 1J J 2J (8b) .3b 2. (6b) .b
12 12
92b (cm )
J 92bW 23b
h/ 2 4b
S S 2S (4b.3b).2b 2.(b.3b).1,5b 15b
Bước 3: Xác định sơ bộ mặt cắt ngang:
2
max
3
x
M 60.10max [ ] 16 b 2,54cm
W 23b → Chọn b=2,54cm
Bước 4: Kiểm tra cho hai phân tố còn lại
Kiểm tra cho phân tố trƣợt thuần túy
3
x 2 2maxmax c 4
x
Q .S 61.1,5.2,540,15kN/ cm 8kN/ cm
2J b 92.2,54 .2,54
Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt:
- Chọn mặt cắt tại bên trái B: B BQ 61kN, M 60kNm
- Chọn điểm kiểm tra: điểm D (thuộc phần trên): bc=b=2,54cm
c 3 3x
bS b.3b.( 3b) 10,5.b 172,1cm
2
2 2B 2
D D 4 3
x
c 3B x 2
D 4 2
x c
M 60.10 60.10y .3b .3 11,94(kN / cm )
J 92.b 92.2,54
Q .S 61.10,5b 60.10,51,08(kN / cm )
J .b 92.b .b 92.2,54
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
2 2 2 2 2t D D4 11,94 4.1,08 12,13kN/ cm
Vậy, với kích thƣớc đã chọn, dầm đảm bảo yêu cầu về bền.
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
64
Ví dụ 3 : Hãy xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên dầm nhƣ hình vẽ :
biết [ ]=16 kN/cm2.
Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực:
2
max maxM 2,5qa ; Q 3qa;
Bước 2: Tính đặc trƣng hình học:
Chia mặt cắt thành 2 hình :
Hình 1 : b1xh1 = 12x20(cm), (x1O1y1 )là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Hình 2 : b2xh2 = 6x8(cm) khuyết, (x2O2y2 )là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ tọa độ (x1O1y1):
1,O 1,O
0 4.( 8.6)x 0 , y 1cm
20.12 8.6
. Tọa độ trọng tâm 01; 02 trong (xOy) :
1
2
O (0, 1)
O (0, 5)
1 2
(1) (2) 2 2 3 2 3 2 4
x x x x 1 1 x 2 2
1 1J J J (J y F ) (J y F ) 20 .12 ( 1) .20.12 8 .6 ( 5) .8.6 6784cm
12 12
3xS 4,5.9.12 486(cm ) .
Bước 3: Xác định sơ bộ tải trọng cho phép [q]
2 2
n 2maxmin max S
x
M 2,5qa .10max y 11 16kN/ cm q 10kN/ m
J 6784.
Bước 4: Với q chọn sơ bộ, kiểm tra bền cho hai phân tố còn lại:
Kiểm tra cho phân tố trƣợt thuần túy:
x 2 2max x
max
x C x C
Q .S 3qa.S 3.10.2.4860,36kN/ cm 8kN/ cm
J b J b 6784.12 2
Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt:
- Chọn mặt cắt kiểm tra tại C: 2C CQ 2qa , M 2,5qa
- Chọn điểm kiểm tra: điểm B (thuộc phần dƣới):
c 3x B C
2S 2.12.( 9) 240(cm ) ; y 8 1 9(cm) ; b 3 3 6(cm)
2
c2 2C C x2 2
B B B
x x c
M Q .S2,5.10.2 .10 2.10.2.240y .11 13,3(kN/ cm ) ; 0,24(kN/ cm )
J 6784 J .b 6784.6
2 2 2 2 2 2t B B4 13,3 4.0,24 13,31kN/ cm 16kN/ cm .
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
65
Vậy chọn q=10 kN/m.
§4. Quỹ đạo ứng suất chính của dầm khi uốn
Xét dầm chịu uốn ngang phẳng. Xác định
phƣơng các ứng suất chính của những phân tố tại
các điểm khác nhau trong dầm:
Phân tố tại A, A’ (trạng thái ứng suất đơn):
phƣơng chính vuông góc với trục dầm.
Phân tố tại B (trạng thái trƣợt thuần túy):
phƣơng chính làm với trục dầm góc 45o.
Phân tố tại C, C’ (trạng thái ứng suất phẳng): Xác định
phƣơng chính nhờ vòng tròn MO.
Quỹ đạo của ứng suất chính: là tập hợp các đƣờng cong mà
tiếp tuyến tại điểm bất kì trùng với phƣơng chính tại điểm ấy.
lập thành 2 họ đƣờng cong:
Quỹ đạo ứng suất chính nén
Quỹ đạo ứng suất chính kéo
(xác định bằng phương pháp thực nghiệm)
Ứng dụng: Biết đƣợc quỹ đạo ứng suất chính thì cho phép bố trí vật liệu hợp lý để tăng khả
năng chịu lực của dầm
VD: Bê tông cốt thép: + Bê tông: chịu nén tốt
+Cốt thép: chịu kéo tốt đặt theo phƣơng quỹ đạo ứng suất chính
kéo (VD: Cốt thép vai bò...)
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
66
§5. Thế năng biến dạng đàn hồi
Năng lƣợng làm vật thể biến dạng đàn hồi gọi là năng lƣợng biến dạng đàn hồi
Dầm chịu uốn ngang phẳng: Nói chung các phân tố tại một điểm nào đó của dầm là trạng
thái ứng suất phẳng ( 1 3 20, 0 )
Thế năng riêng biến dạng đàn hồi:
3 3 31 1 11 2 1 3 3 1
2 21 3 1 3
U U U2 2 2E 2E
1U 2
2E
(1)
Mặt khác:
1
2 21 max
14
2 2
(2)
1
2 23 min
14
2 2
(3)
2 2 2 2 c 22 2(1),(2),(3)
x y x2
2 2 2x x c
y z 2 2max,min z y zy
M Q (Q )2(1 )U . y
2E 2 E 2E 2G 2EJ 2GJ b
1( ( ) 4 )
2 2
Thế năng biến dạng đàn hồi của đoạn thanh dz:
(V) (F) (F)
2 2 c 2x y x2
2 2 2x x c(F) (F)
dU UdV Udz.a '.F dz UdF
M Q (S )dU dz y dF
2EJ 2GJ b
2 2 c 2x y2 x
2 2 2x x c(F) (F)
M Q (S )dU dz y dF dF
2EJ 2GJ b
(4)
Đặt c 2x
2 2x c(F)
(S )FdF
J b Ta có: 2
x
(F)
J y dF
2 2(4)x y
2x
M QdU dz dz
2GF2EJ (5)
Giả sử dầm có chiều dài l và F = const
2 2l lx y
2x(l) 0 0
M QU dU dz dz
2GF2EJ
Mỗi dạng mặt cắt dầm có khác nhau
- hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp
Mặt cắt chữ nhật: = 1,20
Mặt cắt tròn: = 1,11
Mặt cắt chữ I: = F/F1
Trong đó: F: Diện tích chữ I
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
67
F1: Diện tích phần lòng chữ I (F1 = (h-2t).d)
BÀI TẬP CHƢƠNG 6
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
68
CHƢƠNG 7. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN
§1: Khái niệm
Định nghĩa: "Đường đàn hồi là đường cong trục
dầm sau khi uốn".
Phƣơng trình đƣờng đàn hồi trong hệ (yOz) :
y = y(z)
Xét điểm K trên trục dầm trƣớc khi uốn, sau khi
dầm biến dạng K có vị trí la K'
KK’: Chuyển vị thẳng của điểm K
u: Chuyển vị thẳng theo phƣơng ngang
v: Chuyển vị thẳng theo phƣơng đứng
Thực tế: u << v bỏ qua chuyển vị ngang u KK’= v, Vị trí điểm K sau khi dầm biến dạng
nằm trên đƣờng thẳng đi qua K.
v : độ võng của dầm tại K.
v = v(z) = y = y(z) (7.1)
: góc xoay của mặt cắt ngang dầm tại K .
’: Góc giữa tiếp tuyến của đƣờng đàn hồi tại điểm K’ với phƣơng ngang.
= ’ tg’=y’(z) (7.2)
Trong thực tế tính toán dầm chị uốn, ngoài điều kiện bền cho dầm, ngƣời ta còn phải
kiểm tra điều kiện cứng cho dầm.
Điều kiện cứng:
maxy f
l l (7.3)
l: Chiều dài nhịp dầm
f: mũi tên độ võng
§2: Phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi
(Phƣơng trình vi phân gần đúng của đƣờng đàn hồi)
Trong chƣơng uốn ngang phẳng ta đã thiết lập đƣợc công thức biểu thị mối quan hệ giữa
bán kinh cong trục dầm và mô men uốn Mx, ta có:
x
x
M1
EJ (1)
Mặt khác, vì đƣờng đàn hồi là đƣờng cong hình học nên theo hình học vi phân ta có:
2 3 / 2
1 y ''
(1 y ' ) (2)
(1) x
(2) 2 3 / 2
x
My ''
(1 y ' ) EJ (3)
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
69
Vì chỉ có duy nhất một đƣờng đàn hồi nên ta phải chọn dấu cho (3) sao cho phù hợp.
Xét đoạn dầm chịu uốn trong 2 trƣờng hợp:
Ta thấy: y’’ và Mx luôn trái dấu nên ta chọn dấu (-) cho hệ thức (3).
3
x
2 3 / 2
x
My ''
(1 y ' ) EJ (7.4)
Theo giả thuyết 3 : Biến dạng bé nên y’ bé bỏ qua đại lƣợng y’2.
Ta có phƣơng trình vi phân gần đúng của đƣờng đàn hồi:
x
x
My ''
EJ (7.5)
§3: Các phƣơng pháp xác định đƣờng đàn hồi
I. Phƣơng pháp tích phân không xác định
Ta thấy rằng Mx = Mx(z) x
x
M
EJ là hàm của z → (7.5) là phƣơng trình với biến số phân li.
Ta có:
x x
x x
M (z) M (z)dy '(z)y ''(z) dy '(z) dz
dz EJ EJ
tích phân
x
x
x
x
M dzy '(z) C
EJ
M dzy(z) C dz D
EJ
(7.6)
Trong đó: C,D: hằng số tích phân, xác định bằng điều kiện biên và điều kiện liên tục của dầm.
Nếu dầm chia n đoạn có n biểu thức ( i)
x
( i)
i x
M
E J (i=1n)
Từ (7.6) 2n hằng số tích phân Ci, Di , từ điều kiện biên và điều kiện liên tục của dầm ta lập
đƣợc hệ 2n phƣơng trình đại số, giải ra ta đƣợc 2n ẩn số Ci, Di.
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
70
Ví dụ: Cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ: EJx=const. Hãy xác định độ võng và góc xoay tại mặt cắt
A của dầm
Giải:
1. Xác định phản lực và phân đoạn dầm
2. Lập phƣơng trình vi phân
Đoạn 1: Dùng mặt cắt 1-1 AB, xét cân bằng phần bên trái:
1
2 (1) 2(1) 1 x 1x 1(z )
qz M qzM y ''
2 EJ 2EJ
1
1
31
1(z ) 1
41
1(z ) 1 1 1
qzy' C
6EJ
qzy C z D
24EJ
(0z1a)
Đoạn 2: Dùng mặt cắt 2-2 BC, xét cân bằng phần bên trái:
2
2(2)x 2 2
(2)x 2
2(z )x x
qa qa aM ( z ) qaz
2 1 2
M qazy''
EJ EJ
2
2
22
2(z ) 2x
32
2(z ) 2 2 2
qazy' C
2EJ
qazy C z D
6EJ
(0z2a)
3. Xác định Ci, Di :
Điều kiện biên:
Tại C: z2 =a, ta có: 2 2
y' (a) 0;y (a) 0
3 3
2 2
4 4
2 2 2
qa qaC 0 C
2EJ 2EJ
qa qaC a D 0 D
6EJ 3EJ
Điều kiện liên tục:
Tại B: (z1 =a, z2 =0) 1 2 1 2y' (a) y' (0); y (a) y (0)
3 3 3
1 2 1
4 4 4
1 1 2 1
qa qa 2qaC 0 C C
6EJ 2EJ 3EJ
qa qa 23qaCa D 0 D D
24EJ 3EJ 24EJ
4. Xác định chuyển vị và góc xoay tai A: z1=0
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
71
1
1
4 4 431
1(z ) 1 A 1(0)
3 331
1(z ) A 1(0)
qz 23qa 23qa( 2)qay z y y
24EJ 3EJ 24EJ 24EJ
qz 2qa2qay' y' y'
6EJ 3EJ 3EJ
II. Phƣơng pháp đồ toán (phƣơng pháp dầm giả tạo)
Quan hệ giữa Qy, Mx,q(z):
2y x x
y 2
dQ dM d Mq(z); Q ; q(z);
dz dz dz
Mặt khác: 2
x
2
x
Md yy ''(z) ;
dz EJ
Giả sử một dầm giả tạo chịu tác dụng của tải trọng phân bố giả tạo:
xgt
x
Mq
EJ (7.7)
Gọi lực cắt và mômen uốn trên dầm giả tạo là Qgt, Mgt
2 2gt x
gt2 2
x
d M M d y(z)q
dz EJ dz
gt
gt gt
dM (z)y(z) M (z); y '(z) Q (z)
dz (7.8)
Trong đó, liên kết của dầm giả tạo phải tƣơng ứng với sự làm việc của dầm thực:
y = 0, y’= 0 liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt = 0; Qgt= 0
y ≠ 0, y’ ≠ 0 liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt ≠ 0; Qgt ≠ 0
Mét sè trêng hîp
DÇm thùc DÇm gi¶ t¹o
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
72
Từ (7.7) ta có: xgt
x
Mq
EJ nếu EJx = const, dạng qgt giống dạng biểu đồ Mx.
Ta thấy qqt và Mx ngƣợc dấu nhau: x qt qt
x qt qt
M > 0 q < 0 q
M < 0 q > 0 q
Chú ý: Phần diện tích giới hạn bởi đƣờng cong:
Hình ZC Hình ZC
HL
3
L
4
HL
n 1
HL
n 2
2HL
3
3L
8
nHL
n 1
n 1L
2(n 2)
Ví dụ: Cho hình vẽ nhƣ bên: dầm có EJx = const chịu
lực. Xác định độ võng của dầm:
Giải:
Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx
Chọn dầm giả tạo và đặt tải trọng giải tạo.
xgt
x
Mq
EJ
Xác định yA và y'A .
Dùng mặt cắt qua A và xét cân bằng phần dầm
giả tạo bên phải ta có :
32 2
gtA 1 2X x
1 1 1 1 2qay 0 Q F F qa .a qa .a
EJ 2 3 2 3EJ
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
73
43 3
A gtA 2 1x x
5 3 1 1 5 1 3 23qam 0 M F . a F. a qa a qa a
3 4 EJ 2 3 6 4 24EJ
Vậy: 4 3
'A gtA A gtA
x x
23qa 2qay M ; y Q
24EJ 3EJ
III. Phƣơng pháp thông số ban đầu
Giả sử dầm chia ra n đoạn.
Xét hai đoạn kề nhau (i) và (i+1).
Gọi độ võng, góc xoay, mômen uốn,
lực cắt, tải trọng phân bố và đạo hàm tải
trong phân bố tƣơng ứng ở 2 đoạn này
là :
Đoạn i:
yi(z),y’i(z), Mi(z), Qi(z), qi(z), q’i(z).
Đoạn i+1:
yi+1(z), y’i+1(z), Mi+1(z), Qi+1(z),
qi+1(z), q’i+1(z).
Giả thiết tại mặt cắt z=a, 6 đại lƣợng
trên có bƣớc nhảy là: ya, y’a, Ma, Qa, qa, q’a.
(Ví dụ: đoạn nối 2, đoạn ray đƣờng tàu...)
Giả sử đƣờng đàn hồi ở đoạn i đƣợc kéo dài sang đoạn (i+1)
Xét mặt cắt za, yi+1(z) = yi(z)+ y(z) (1)
_____________________________
Nhắc lại:
Hàm y= f(x). Khai triển Taylor tại x=xo
o i nx=x2 i no o o o
o o o o o
f '(x ) f ''(x ) f (x ) f (x )y= f(x) = f(x ) + (x x ) (x x ) ... (x x ) ... (x x )
1! 2! i! n!
Tại xo = 0 đƣợc chuỗi Macloranh
_____________________________
Khai triển Taylor của hàm y(z) tại z = a: IV V
2 3 4 5y'(a) y''(a) y'''(a) y (a) y (a)y(z) y(a) (z a) (z a) (z a) (z a) (z a) ...
1! 2! 3! 4! 5!
(2)
Xác định: (IV) (V)y(a), y'(a), y''(a), y'''(a), y (a), , y (a).
Theo giả thiết: a
a
y(a) y
y'(a) y'
(a)
Ta có: i 1 ii 1 i
i 1 i
M (z) M(z)y''(z) y'' y''
(EJ) (EJ)
i 1 i 1 i i
1y"(z) [k .M (z) k .M(z)]
EJ
Với i i 1
i i 1
k k1 1;
EJ (EJ) EJ (EJ)
.
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
74
i 1 i 1 i i
i 1 i 1 i i
(IV)i 1 i 1 i i
(V)i 1 i 1 i i
1y"(z) [k .M (z) k .M(z)]
EJ
1y'''(z) - [k .Q (z) k .Q(z)]
EJ
1y (z) [k .q (z) k .q(z)]
EJ
1y (z) - [k .q' (z) k .q' (z)]
EJ
i 1 i 1 i i
i 1 i 1 i ithay z a
(IV)i 1 i 1 i i
(V)i 1 i 1 i i
1y''(a) - [k .M (a) k .M(a)]
EJ
1y'''(a) - [k .Q (a) k .Q(a)]
EJ
1y (a) [k .q (a) k .q(a)]
EJ
1y (a)\ - [k .q' (a) k .q' (a)]
EJ
(b)
thay(a),(b) 2 3i 1 i 1 i i i 1 i 1 i ii+1 i a avµo (2)
4 5i 1 i 1 i i i 1 i 1 i i
k .M (a) k .M(a) k .Q (a) k .Q(a)y (z) = y (z) + y + y ' (z-a) - (z a) - (z a) +
2!EJ 3!EJ
k .q (a) k .q(a) k .q' (a) k .q' (a)- (z a) - (z a) ...
4!EJ 5!EJ
(7.9)
(7.9) Là công thức truy hồi. Nếu biết đƣợc y1(z) ta tìm đƣợc y2(z), y3(z)...→ Xác định y1(z).
Để xác định y1(z) ta xét đoạn i =1, (Giả sử đoạn 0 bên trái đoạn1 có q0(z) 0, y0(z) 0)
Tại mặt cắt z = a = 0, yo = yo ,y’o = y’o , q’o= q’o
Các đại lƣợng tại mặt cắt đầu nút trái dầm (z = 0):
yo, y’o, Mo, Qo, qo, q’o Các thông số ban đầu.
Thay i = 0 vào (7.9) với yo(0) = 0, y’o(0) = 0, Mo(0) = 0, Qo(0) = 0, qo(0) = 0, q’o (0) = 0.
2 3 4 5(7.9)
1 0 1 0 1 0 1 01 0 0
k .M z k .Q z k q z k .q' zy (z) = y + y' z - - - - ...
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ (7.10)
Đặc biệt: Ei.Ji = Ei+1.Ji+1 = const ki = 1 (i =1,n)
(7.10)
2 3 4 5
0 0 0 01 0 0
M z Q z q z q' zy (z) = y + y' z - - - - ...
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ (7.11)
(7.9)
2 3 4 5a a a a
i+1 i a a
M Q q q'y (z) = y (z) + y + y' (z-a) - (z a) - (z a) - (z a) - (z a) ...
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ
(7.12)
Trong đó:
a i 1 i f t
a i 1 i f t
a i 1 i f t
a i 1 i f t
M M (a) M(a) = M M
Q Q (a) Q(a) = Q Q
q q (a) q(a) = q q
q' q' (a) q' (a) = q' q'
Lƣu ý dấu:
→ M > 0 P → Q > 0
> 0
q' = tg > 0
→ M < 0 P→Q < 0
< 0
q' = tg< 0
Chú ý :
- Nếu đoạn i và i+1 nối cứng thì : ya = 0, y’a = 0.
- Nếu đoạn i và i+1 nối khớp thì : ya = 0, y’a 0.
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
75
- Nếu đoạn i và i+1 nối bằng liên kết trƣợt thì : ya 0, y’a = 0.
Ví dụ 1: Cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ, dầm có
độ cứng EJ = const. Hãy xác định độ võng và
góc xoay mặt cắt ngang dầm tại C.
Giải:
1. Xác định phản lực liên kết và phân đoạn dầm.
- Từ điều kiện cân bằng VA= 3qa, VB= 4qa.
- Chia dầm thành 2 đoạn.
2. Lập bảng thông số.
Bảng thông số ban đầu
z = 0 z = 2a
y0 = 0
y'0 0
M0 = 0
Q0 = 3qa
q0 = -q
q’0= 0
y = 0
y' = 0
M = 2qa2
Q = -P= -2qa
q = q
2qq'
3a
3. Viết phƣơng trình độ võng và góc xoáy ở các đoạn dầm
Đoạn 1: 0 z 2a : 2 3 4 5
0 0 0 01 0 0
M .z Q .z q .z q' .zy (z) y y' .z
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ
3 4
1 0
2 3
1 0
3qa.z q.zy (z) y' .z
3!EJ 4!EJ
3qa.z qzy' (z) y'
2EJ 6EJ
(1)
Đoạn 2: 2a z 5a :
2 3 4 5
2 1
M(z 2a) Q(z 2a) q(z 2a) q'(z 2a)y (z) y (z) y y'(z 2a)
2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ
2 2 3 4 5
2 1
2 2 3 4
2 1
2qa .(z 2a) 2qa.(z 2a) q.(z 2a) q.(z 2a)y (z) y (z)
2!EJ 6EJ 24EJ 180EJ.a
2qa .(z 2a) P.(z 2a) q.(z 2a) q.(z 2a)y' (z) y' (z)
EJ 2EJ 6EJ 36EJ.a
(2)
4. Xác định thông số chƣa biết y'0 = ?
Để xác định y’0 ta dùng điều kiện biên:
Tại z = 5a ta có y2(5a) = 0
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
76
3 4 2 3 3 4 5
2 0
3qa.(5a) q.(5a) 2qa .(3a) 2qa.(3a) q.(3a) q.(3a)y (5a) y' .5a 0
3!EJ 4!EJ 6EJ 6EJ 24EJ 180EJ.a
3 3
0
qa 125 625 27 27 2309 qay' . 9 9 .
3EJ 2 24 8 20 300 EJ
(3)
5. Xác định yC, y’C. Thay y’0 vào (1) ta đƣợc:
3 3 4 43 3 4
C 11t¹ i C
z 2a 3 23 2 3
C 11
2309 qa qa.(2a) q.(2a) qa2309 qa qa.z q.zy y (2a) . .2a 12,06y (z) . .z
300 EJ 2EJ 24EJ EJ300 EJ 2EJ 24EJ
2309.qa 3qa.(2a) q.(2309.qa 3qa.z q.zy' y' (2a)y' (z)
300EJ 2EJ300EJ 2EJ 6EJ
3 32a) qa3,03.
6EJ EJ
Ví dụ 2: Cho dầm có EJ = const, chịu lực nhƣ hình vẽ. Tính độ võng và góc xoay tại C (yc, y’c).
Giải:
1. Xác định phản lực và phân đoạn.
Xét cân bằng dầm AB :
mA = 0 VB = 5,25 qa.
mB = 0 VA = 4,75 qa.
Chia dầm thành 3 đoạn.
2. Lập bảng thông số.
Bảng thông số ban đầu
z = 0 z = 3a z = 5a
y0 = 0
y'0 0
M0 = 0
Q0 = 4,75qa
q0 = 0
o
2qq ' tg
3a
y = 0
y' = 0
M = - qa2
Q = -2qa
q = -q - (-2q) = q
f t
2qq' q' q '
3a
y = 0
y' = 0
M = 3qa2
Q = -2qa
q = -2q - (-q) = -q
f t
2qq' q' q '
3a
3. Viết phƣơng trình đƣờng đàn hồi: Ei.Ji = const ki = 1 (i =1,n)
Công thức: (7.11) và (7.12)
Đoạn 1: 0 z 3a : 3 51 0
4,75qa 2qy z 0 y' .z 0 .z 0 .z
3!EJ 3a.5!EJ .
3 51 0
2 41 0
4,75qa qy z y' .z .z .z
3!EJ 180EJ
4,75qa qy' z y' .z .z
2EJ 36aEJ
Đoạn 2: 3a z 5a :
2
2 3 4 5
2 1
qa 2qa q 2qy z y z 0 0 . z 3a z 3a z 3a . z 3a
2!EJ 3!EJ 4!EJ 3a.5!EJ
22 3 4 5
2 1
22 3 4
2 1
qa qa q qy z y z . z 3a z 3a z 3a . z 3a
2EJ 3EJ 24EJ 180aEJ
qa qa q qy' z y' z . z 3a . z 3a z 3a . z 3a
EJ EJ 6EJ 36aEJ
Đoạn 3: 5a z 8a
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
77
2
2 3 4 5
3 2
3qa 2qa q 2qy z y z 0 z 5a z 5a z 5a z 5a
2!E.J 3!E.J 4!E.J 3a.5!E.J
22 3 4 5
3 2
22 3 4
3 2
3qa 1qa q qy z y z . z 5a z 5a z 5a . z 5a
2E.J 3E.J 24E.J 180a.E.J
3qa qa q qy' z y' z . z 5a . z 5a z 5a z 5a
E.J E.J 6E.J 36E.J
4. Xác định các thông số chƣa biết y'0 = ?
Điều kiện biên: Tại B: z = 8a ; y3(8a) = 0 y'0
5. Xác định chuyển vị và góc xoay tại C: C 1 C 1y y 3a ; y' y' 3a
§4. Bài toán siêu tĩnh
Số ẩn số > số phƣơng trình cân bằng bài toán siêu tĩnh.
n = số ẩn số – số phƣơng trình cân bằng. (n – bậc siêu tĩnh)
lập n phƣơng trình bổ sung
Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm chịu uốn nhƣ
hình vẽ:
Giải:
1. Xác định phản lực:
Phá bỏ liên kết tại B thay bằng phản lực VB +
điều kiện chuyển vị tại B bằng 0 hay :
Phƣơng trình bổ sung: yB =0
2. Xác định yB theo phƣơng pháp dầm giả tạo
(phƣơng pháp đồ toán): 2
B BB gt
V .l1 2 1 ql 3y M . .l. l . .l. l
2 E.J 3 3 2E.J 4
3 4
BB
V .l qly 0
3E.J 8E.J
B
3qlV
8 .
3. Vẽ biểu đồ Qy, Mx .
Độ võng và góc xoay của một số trƣờng hợp đơn giản
Sơ đồ kết cấu Độ võng
Góc xoay Sơ đồ kết cấu
Độ võng
Góc xoay
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
78
max
max
4
B
3
B
qly y
8EJ
qly' y'
6EJ
max
max
4
C
3
A
5qly y
384EJ
qly' y'
24EJ
max
max
3
B
2
B
Ply y
3EJ
Ply' y'
2EJ
max
max
3
C
2
A
Ply y
48EJ
Ply' y'
16EJ
max
max
2
B
B
Mly y
2EJ
Mly' y'
EJ
max
max
2
C
A
Mly y
8EJ
Mly' y'
4EJ
BÀI TẬP CHƢƠNG 7
Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m
thanh hïng
79