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Structural Space Scaling. SHOJIMA Kojiro The National Center for University Entrance Examinations [email protected]. Purpose. MDS では項目群は 1 つの 空間 S にプロットされる S がいくつかの部分空間から成るとしたら? 部分 空間間に構造(因果、 影響) が あったら? S の構造 を仮説検証的(確認的)に 同定したい 構造空間尺度法 (structural space scaling) を提案 - PowerPoint PPT Presentation
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Structural Space Scaling
SHOJIMA KojiroThe National Center for University Entrance Examinations
Purpose
• MDSでは項目群は 1つの空間 Sにプロットされる
• Sがいくつかの部分空間から成るとしたら?• 部分空間間に構造(因果、影響)があったら?• Sの構造を仮説検証的(確認的)に同定したい
• 構造空間尺度法 (structural space scaling)を提案– 部分空間間の関係を記述するための確認的MDS– パス図を使う
Path Diagram• ノードとパス(無向、有向、双方向)を使って変数間の関係を図示– Graphical Models– Structural Equation Models– Beyesian Networks
Entire Space and Subspaces
• マップに 8つの項目
• S:全体の空間• S1と S2:部分空間
• S1→S2という構造
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x1x2 x3
x4
x5
x6 x7
x8
η2
η1
S
S2
S1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x1x2 x3
x4
x5
x6 x7
x8
η2
η1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x1x2 x3
x4
x5
x6 x7
x8
f11O1
f12η2
η1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x1x2 x3
x4
x5
x6 x7
x8
f11O1
i21
f21
f12
f22
i22
η2
η1
Map→Path Diagram
𝑓 21
𝑓 22
𝑠21
𝑠22
1
1
𝑖21
𝑖22
𝑥5 𝑥6
𝑥7 𝑥8
𝑎5 𝑎6
𝑎7 𝑎8
点 O1(m11, m12)
𝑓 11
𝑓 12
𝑚11
𝑚12
𝑟1
𝑥1 𝑥2
𝑥3 𝑥4
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
𝑎1=¿ �⃗�1 𝑋 1∨¿
S1は f11と f12によって形成
S2は f21と f22によって形成
𝑠21
𝑠22
𝑖21
𝑖22
𝑥1 𝑥2
𝑥3 𝑥4
𝑥5 𝑥6
𝑥7 𝑥8
𝑓 11
𝑓 12
𝑓 21
𝑓 22
𝑟1
1
1
𝑚11
𝑚12
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
𝑎5 𝑎6
𝑎7 𝑎8
Exogenous and Endogenous Spaces
外生空間 内生空間外生次元
外生次元
内生次元
内生次元
[𝑓 11
𝑓 1 2
𝑓 21
𝑓 22
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
]=[¿
𝑖2 1 𝑓 12
𝑖22 𝑓 12
¿¿¿¿
]+¿
Path Diagram→Structural Coordinates
𝑓 21
𝑓 22
𝑠21
𝑠22
1
1
𝑖21
𝑖22
𝑥5 𝑥6
𝑥7 𝑥8
𝑎5 𝑎6
𝑎7 𝑎8
𝑓 11
𝑓 12
𝑚11
𝑚12
𝑟1
𝑥1 𝑥2
𝑥3 𝑥4
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
𝐭=𝛍+𝐀𝐭+𝐮
[𝑓 11
𝑓 1 2
𝑓 21
𝑓 22
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
]=[𝑓 11
𝑓 12
𝑖21 𝑓 1 2
𝑖22 𝑓 1 2
¿¿¿¿
]+¿
𝐭=𝛟+𝐀𝐭
Structural Coordinates→Measurement Coordinates
G: 選択行列 (selection matrix taking x out of t)Φ: 内積構造 (inner product structure)Δ: 距離構造 (distance structure, model distance)D: 1-mode 2-way距離行列
𝚲=(𝐈−𝐀)− 1𝐱=𝐆𝐭=𝐆𝚲𝛟
G: 選択行列 (selection matrix taking x out of t)Φ: 内積構造 (inner product structure)Δ: 距離構造 (distance structure, model distance)D: 1-mode 2-way距離行列
Measurement Coordinates→Distance Structure
Φ: Inter-Subspace Inner Product Structure
r1: f11と f12の内積
𝚽=𝛟𝛟′= [1 𝑓 11′ 𝑓 12 𝑖21 𝑖22 ¿ 𝑓 11
′ 𝑓 12 1 𝑖2 1 𝑓 11′ 𝑓 12 𝑖22 𝑓 11
′ 𝑓 12 ¿ 𝑖21 𝑖21 𝑓 11′ 𝑓 12 𝑖21
2 𝑖21 𝑖22 ¿ 𝑖2 2 𝑖22 𝑓 11′ 𝑓 12 𝑖21𝑖22 𝑖2 2
2 ¿𝑶 ]= [1 𝑟1 𝑖21 𝑖22 ¿𝑟 1 1 𝑖21 𝑟1 𝑖22𝑟 1 ¿ 𝑖21 𝑖21𝑟1 𝑖212 𝑖21𝑖22 ¿ 𝑖22 𝑖22𝑟1 𝑖21𝑖22 𝑖22
2 ¿𝑶 ]𝑓 11
𝑓 12
𝑓 21
𝑓 22
𝑟1
Measurement Equations→Distance Structure
G: 選択行列 (selection matrix taking x out of t)Φ: 内積構造 (inner product structure)Δ: 距離構造 (distance structure, model distance)D: 1-mode 2-way距離行列
Goodness of Fit Indices
n: Number of Items: Estimated Distance StructureMD: Mean DifferenceRMSD: Root Mean Squared Difference
Summary (1) SEM Approach in MDS
• Structural Space Scaling (SSS)を提案– MDSにおいて部分空間間関係 (inter-subspace
structure)を構造方程式とパス図で表現–座標を構造化→距離行列を構造化(距離構造)– MDSにおける構造方程式アプローチ–モデル適合度などを参考にモデル改善
• 具体的な推定手続きについては今後の課題–今回の例については再現を確認
Summary (2) Dimensionality
• 次元数について–通常のMDSでは 2次元か 3次元–実用上、 4次元以上の空間にプロットしない
• データが 4次元以上の構造を持つとき– 2D (3D)空間に射影されたシルエットは構造の実体に迫れない
• パス図は 4次元以上の構造の視覚化に優れる
4次元以上の構造の記述がしやすい
→ A1 A2 A3 B1 B2 B3A1 1 2 5 5 6A2 1 1 5 6 5A3 1 2 5 6 5B1 4 3 3 2 1B2 3 3 4 1 1B3 3 4 3 2 1
5.5 3.5
Expansion to Asymmetric Structure
ご清聴ありがとうございました。