Upload
others
View
18
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Struktur Berpikir
Logis dan Sistematis
UU No. 19 Tahun 2002 Tentang Hak Cipta Fungsi dan Sifat Hak Cipta Pasal 2 1. Hak Cipta merupakan hak eksklusif bagi pencipta atau pemegang Hak
Cipta untuk mengumumkan atau memperbanyak ciptaannya, yang timbul secara otomatis setelah suatu ciptaan dilahirkan tanpa mengurangi pembatasan menurut peraturan perundang-undangan yang berlaku.
Hak Terkait Pasal 49 1. Pelaku memiliki hak eksklusif untuk memberikan izin atau melarang
pihak lain yang tanpa persetujuannya membuat, memperbanyak, atau menyiarkan rekaman suara dan/atau gambar pertunjukannya.
Sanksi Pelanggaran Pasal 72 1. Barangsiapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan perbuatan
sebagaimana dimaksud dalam pasal 2 ayat (1) atau pasal 49 ayat (2) dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp 1.000.000,00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah).
2. Barangsiapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah)
Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc.
Struktur Berpikir
Logis dan Sistematis
STRUKTUR BERPIKIR LOGIS DAN SISTEMATIS
Amir Kamal Amir
Desain Cover : Dwi Novidiantoko Tata Letak Isi : Har is Ari Susanto
Sumber Gambar : Sumber
Cetakan Pertama: Bulan 2017
Hak Cipta 2017, Pada Penulis
Isi diluar tanggung jawab percetakan
Copyright © 2017 by Deepublish Publisher All Right Reserved
Hak cipta dilindungi undang-undang
Dilarang keras menerjemahkan, memfotokopi, atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini
tanpa izin tertulis dari Penerbit.
PENERBIT DEEPUBLISH (Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)
Anggota IKAPI (076/DIY/2012)
Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581
Telp/Faks: (0274) 4533427 Website: www.deepublish.co.id www.penerbitdeepublish.com
E-mail: [email protected]
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
AMIR, Amir Kamal
Struktur Berpikir Logis dan Sistematis/oleh Amir Kamal Amir.--Ed.1, Cet. 1--Yogyakarta: Deepublish, Maret 2017.
x, 146 hlm.; Uk:15.5x23 cm ISBN 978-Nomor ISBN
1. Klasifikasi Buku I. Judul
No.DDC
v
PRAKATA
Dengan Bismillahirrahmanirrahim,
Puji syukur dipanjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan
hidayah-Nya buku ini dapat ditulis dengan baik.
Dalam kehidupan sehari hari dibutuhkan kemampuan berpikir
sitematis untuk menghadapi berbagai macam tantangan hidup. Buku
Logika Matematika merupakan tuntunan bagi siapa saja yang ingin
belajar menyelesaiakan masalah secara sistematis. Materi buku ini
sedikit diarahkan kepada dasar-dasar logika yang digunakan untuk
menyelesaiakan masalah-masalah Matematika.
Buku ini dirancang untuk bisa mengeksploitasi kemampuan
mahasiswa. Beberapa latihan soal disajikan langsung disela-sela
pembahasan untuk menanamkan pemahaman materi secara langsung
tanpa harus menunggu selesainya materi secara keseluruhan.
Sangat disadari oleh penulis bahwa, banyak hal yang bisa
membuat buku ini lebih baik dari berbagai sudut pandang. Oleh karena
itu, masukan dan saran senantiasa dinantikan. Teriring doa semoga
Allah SWT selalu memberikan Rakhmat dan Khidayah-Nya kepada
kita semua, amin.
Makassar, 13 Februari 2017
Penulis
vi
vii
DAFTAR ISI
PRAKATA ..................................................................................................... v
DAFTAR ISI ................................................................................................ vii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... ix
BAB 1
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 1
1.1. Pernyataan Sederhana dan Majemuk ................................................. 1
1.2. Kata Hubung Logika ..................................................................................... 4
1.3. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk............................................... 6
BAB 2
TABEL NILAI KEBENARAN 19
2.1. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk............................................ 19
2.2. Jenis Pernyataan Majemuk. ................................................................... 23
2.3. Menentukan Jenis Pernyataan Majemuk........................................ 26
BAB 3
RELASI PERNYATAAN 39
3.1. Pernyataan Ekuivalen .............................................................................. 39
3.2. Pernyataan Kontradiksi .......................................................................... 50
3.3. Pernyataan Tidak Berelasi ..................................................................... 52
3.4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi..................................................... 54
BAB 4
ARGUMEN 57
4.1. Metode tabel kebenaran ......................................................................... 59
4.2. Metode Diagram Alir................................................................................. 65
viii
BAB 5
PERNYATAAN BERKUANTOR 77
5.1. Predikat ........................................................................................................... 77
5.2. Kuantor ............................................................................................................ 80
BAB 6
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 95
6.1. Penggunaan Logika pada Konsep Daerah Asal dan
Daerah Jangkauan Fungsi ....................................................................... 95
6.2. Penggunaan Logika pada Konsep Fungsi Satu-satu
dan Pada ....................................................................................................... 102
BAB 7
PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI 110
BAB 8
METODE PEMBUKTIAN 125
8.1. Metode Pembuktian Kosong .............................................................. 125
8.2. Metode Pembuktian Trivial ................................................................ 127
8.3. Metode Pembuktian Langsung ......................................................... 129
8.4. Metode Pembuktian Tidak Langsung............................................ 131
8.5. Metode Pembuktian Kontradiksi .................................................... 134
8.6. Metode Pembuktian dengan Kasus ................................................ 137
DAFTRAR PUSTAKA ............................................................................. 142
INDEKS..................................................................................................... 143
PROFIL PENULIS.................................................................................... 146
ix
DAFTAR GAMBAR
Tabel 1.1 Kata atau Pasangan Kata Hubung ................................................. 7
Tabel 1.2 Nilai Kebenaran Konjungsi ............................................................... 7
Tabel 1.3 Nilai Kebenaran Pernyataan Konjungsi ..................................... 8
Tabel 1.4 Nilai Kebenaran Disjungsi ................................................................. 9
Tabel 1.5 Nilai Kebenaran Pernyataan Disjungsi .................................... 10
Tabel 1.6 Nilai Kebenaran Implikasi .............................................................. 11
Tabel 1.7 Nilai Kebenaran Pernyataan Implikasi .................................... 12
Tabel 1.8 Nilai Kebenaran Bimplikasi ........................................................... 13
Tabel 1.9 Nilai Kebenaran Pernyataan Bimplikasi ................................. 14
Tabel 1.10 Nilai Kebenaran Negasi ................................................................... 15
Tabel 1.11 Nilai Kebenaran Pernyataan Negasi ......................................... 16
Tabel 3.1 Pernyataan 1 ........................................................................................ 40
Tabel 3.2 Pernyataan 2 ........................................................................................ 40
Tabel 3.3 Pernyataan Kontradiksi 1............................................................... 50
Tabel 3.4 Pernyataan Kontradiksi 2............................................................... 50
Tabel 3.5 Tabel Implikasi, Konvers. Invers, dan
Kontraposisi .......................................................................................... 55
Tabel 5.1 Kuantor Tunggal.................................................................................. 83
Tabel 5.2 Kuantor Berganda .............................................................................. 85
Tabel 5.3 Negasi dari Kuantor........................................................................... 92
Tabel 5.4 Negasi Kuantor Berganda............................................................... 92
x
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 1
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
Dalam berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata menjadi
kalimat yang bisa dipahami oleh orang lain. Dengan kata lain, seseorang
harus menyusun kata-kata yang memiliki arti atau makna agar lawan
komunikasi bisa mengerti apa yang dimaksud. Kata-kata yang disusun
disebut kalimat. Lebih jelasnya, kalimat adalah susunan kata-kata yang
memiliki arti. Secara umum, kalimat dikategorikan mejadi empat, yaitu
kalimat pernyataan, kalimat pertanyaan, kalimat perintah, dan kalimat
permintaan. Diantara keempat jenis kalimat tersebut, hanya kalimat
pernyataan yang bisa dinilai benar atau salah. Untuk mendapatkan
gambaran yang lebih jelas tentang jenis-jenis kalimat tersebut di atas,
diberikan contoh-contoh berikut:
1. Matematika Dasar adalah matakuliah mudah (kalimat pernyataan)
2. Dimana buku ajar Logika Matematika? (kalimat pertanyaan)
3. Selesaikan latihan soal-soal ini! (kalimat perintah)
4. Tolong ambil buku ajar Logika Matematika di perpustakaan (kalimat
permintaan).
Selanjutnya, kalimat pernyataan didefinisikan sebagai kalimat yang
mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus bernilai benar dan
salah. Kalimat yang dibahas dalam buku Logika Matematika hanya
kalimat pernyataan.
1.1. Pernyataan Sederhana dan Majemuk
Dalam buku ini, kalimat penyataan akan dikelompokkan mejadi dua, yaitu
penyataan sederhana dan pernyataan majemuk (tidak sederhana).
BAB
1
2 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
Definisi 1.1
Pernyataan sederhana adalah kalimat pernyatan yang memuat satu ide
yang bernilai benar, atau salah, tetapi tidak keduanya. Pernyataan
majemuk (pernyataan tidak sederhana) adalah pernyataan yang terdiri atau
dibangun dari beberapa pernyataan sederhana.
Contoh 1.1
1. UNHAS adalah universitas yang terletak di kota Makassar
(pernyataan sederhana)
Keterangan: pernyataan ini bernilai benar.
2. Besok hujan turun di Makassar (pernyataan sederhana) Keterangan:
pernyataan ini akan diketahui nilai kebenarannya besok. Namun
demikian, pernyataan ini akan bernilai benar atau salah tetapi tidak
akan bernilai benar sekaligus salah.
3. UNHAS adalah universitas yang terletak di kota Makassar dan
UNHAS mempunyai program studi Matematika.
Keterangan: pernyataan ini adalah pernyataan majemuk kerena terdiri
dari lebih dari satu pernyataan sederhana, yaitu pernyataan pertama
adalah UNHAS adalah universitas yang terletak di kota Makassar dan
pernyataan kedua adalah UNHAS mempunyai program studi
Matematika.
4. Besok hujan turun di Makassar atau besok hujan turun di Jakarta
Keterangan: pernyataan ini adalah pernyataan majemuk kerena terdiri
dari lebih dari satu pernyataan sederhana, yaitu pernyataan pertama
adalah besok hujan turun di Makassar dan pernyataan kedua adalah
besok hujan turun di Jakarta.
5. Jika besok hujan tidak turun di Makassar, maka saya pergi kuliah
pada pagi hari dan saya pergi bermain bola pada sore hari.
Keterangan: pernyataan ini adalah pernyataan majemuk kerena terdiri
dari lebih dari satu pernyataan sederhana, yaitu pernyataan pertama
adalah besok hujan tidak turun di Makassar, pernyataan kedua
adalah saya pergi kuliah pada pagi hari, dan pernyataan ketiga adalah
saya pergi bermain bola pada sore hari.
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 3
Setelah memperhatikan contoh di atas, mahasiswa dipersilahkan
menuliskan contoh yang serupa pada ruang kosong yang disediakan
berikut. Hal ini untuk memeriksa apakah mahasiswa sudah mengerti
dengan baik mengenai kalimat pernyataan sederhana dan yang tidak
sederhana. Disarankan menuliskan kalimat yang cukup beragam yang
biasa dijumpai dalam kehidupan sehari-hari
Contoh 1.2
Contoh 1.3
Contoh 1.4
4 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
1.2. Kata Hubung Logika
Memperhatikan kembali definisi dari pernyataan majemuk, terlihat bahwa
pernyataan ini dibentuk atau dibangun dari lebih dari satu pernyataan
sederhana menggunakanan kata hubung (sambung). Pada pembahasan
selanjutnya akan diuraikan tentang kata hubung yang dalam buku ini
disebut dengan kata hubung logika.
Definisi 1.2
Kata hubung logika adalah kata atau pasangan kata yang digunakan
untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan sederhana membangun
pernyataan majemuk. Ada empat kata hubung logika yang akan dipapar-
kan dalam buku ini. Mereka adalah:
1. Kata “dan” yang disebut konjungsi.
Keterangan tambahan: dua pernyataan yang digabung (disambung)
dengan kata hubung “dan” disebut konjungsi
dari dua pernyataan.
2. Kata “atau” yang disebut disjungsi.
Keterangan tambahan: dua pernyataan yang digabung (disambung)
dengan kata hubung “atau” disebut disjungsi
dari dua pernyataan.
3. Pasangan kata “jika …, maka …” yang disebut implikasi.
Keterangan tambahan: dua pernyataan yang digabung (disambung)
dengan pasangan kata hubung “jika …,
maka…” disebut implikasi dari dua pernyata-
an.
4. Pasangan kata “jika dan hanya jika” yang disebut biimplikasi.
Keterangan tambahan: dua pernyataan yang digabung (disambung)
dengan kata hubung “jika dan hanya jika”
disebut biimplikasi dari dua pernyataan.
Untuk memperjelas penggunaan kata hubung logika tesebut di atas,
berikut diberikan contoh.
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 5
Contoh 1.5
1. Logika Matematika adalah matakuliah menarik dan Saya menyukai
Logika Matematika.
2. Ani pergi ke kampus atau Ani pergi ke pasar
3. Jika saya rajin mengerjakan tugas Logika Matematika, maka saya
lulus dengan nilai “A”.
4. jika dan hanya jika
Untuk memeriksa apakah mahasiswa sudah mengerti dengan baik
cara penggunaan kata atau pasangan kata hubung, maka mahasiswa
dipersilahkan menuliskan empat contoh berturut-turut pada tempat kosong
yang sudah disedikan dibawah ini. Contoh-contoh yang dituliskan
sebaiknya satu untuk setiap jenis kata hubung.
Contoh 1.6
Contoh 1.7
6 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
Contoh 1.8
Contoh 1.9
1.3. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk
Nilai kebenaran dari pernyataan sederhana ditentukan dari pernyataan itu
sendiri. Misalnya, pernyataan “UNHAS terletak di kota Jakarta” bernilai
salah. Pernyataan “Adi mengumpulkan tugas Logika Matematika besok
pagi” akan ditentukan kebenarannya besok. Berbeda dengan pernyataan
sederhana, nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ditentukan dari nilai
pernyataan-pernyataan sederhana yang membentuknya dan aturan
pemberian nilai dari kata hubung atau pasangan kata hubung yang
digunakan. Berikut diberikan aturan pemberian nilai kebenaran untuk kata
hubung atau pasangan kata hubung yang digunakan.
Seperti pokok bahasan Matematika lainnya, dalam pembahasan
Logika Matematika digunakan beberapa simbol. Untuk pernyataan
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 7
digunakan simbol huruf kecil, misalnya a, b, c, p, q, r, dan sebagainya.
Untuk kata hubung atau pasangan kata hubung digunakan simbol seperti
pada table 1.1 berikut:
Tabel 1.1 Kata atau Pasangan Kata Hubung
Kata/ pasangan kata hubung Simbol
Dan
Atau
Jika …, maka ….
Jika dan hanya jika
Menggunakan jenis simbol-simbol tersebut di atas, berikut dipaparkan
aturan penentuan nilai kebenaran pernyataan majemuk.
1.3.1. Konjungsi
Misalkan ada dua pernyataan yang disimbol dengan p dan q. Konjungsi
dari dua pernyataan tersebut disimbol dengan dan dibaca p dan q.
Nilai kebenaran konjungsi ditentukan oleh nilai kebenaran p dan
nilai kebenaran q menggunakan aturan sebagai berikut:
Konjungsi dari dua pernyataan bernilai benar apabila masing-masing
pernyataan tersebut bernilai benar dan konjungsi dari dua pernyataan bernilai
salah apabila ada pernyataan yang bernilai salah.
Dari aturan tersebut, disusun tabel nilai kebenaran konjungsi sebagai
beriktu:
Tabel 1.2 Nilai Kebenaran Konjungsi
Nilai kebenaran
p
Nilai kebenaran
q
Nilai kebenaran
B B B
B S S
S B S
S S S
8 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
Contoh 1.10
Pernyataan majemuk: Hujan sedang turun dan Adir ada di rumah.
Misalkan pernyataan hujan sedang turun disimbol p dan pernyataan
Adir ada di rumah disimbol q, maka tabel nilai kebenaran pernyataan di
atas adalah sebagai berikut:
Tabel 1.3 Nilai Kebenaran Pernyataan Konjungsi
Keadaan cuaca
sebenarnya
Hujan
sedang
turun
(p)
Posisi Adir
sebenarnya
Adir ada
di rumah
(q)
Hujan sedang turun
dan Adir ada di
rumah.
Hujan B Di rumah B B
Hujan B Tidak di
rumah S S
Tidak Hujan S Di rumah B S
Tidak Hujan S Tidak di
rumah S S
Mencermati tabel nilai kebenaran konjungsi di atas, ada beberapa hal
yang perlu dicatat:
1. Jika diketahui p benilai salah maka konjungsi dapat dipastikan
benilai salah meskipun nilai q belum diketahui.
2. Jika diketahui konjungsi bernilai benar, maka dapat di pastikan
p bernilai benar dan q bernilai benar.
Berikut diberikan contoh yang harus dilengkapi oleh mahasiswa
untuk memberikan pendalaman mengenai konjungsi.
Contoh 1.11
Pernyataan majemuk: . . . . .
Misalkan pernyataan . . . . .
. . . . . .
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 9
maka tabel nilai kebenaran pernyataan di atas adalah sebagai berikut:
(p) (q)
1.3.2. Disjungsi
Misalkan ada dua pernyataan yang disimbol dengan p dan q. Disjungsi dari
dua pernyataan tersebut disimbol dengan dan dibaca p atau q. Nilai
kebenaran disjungsi ditentukan oleh kombinasi nilai kebenaran p
dan nilai kebenaran q menggunakan aturan sebagai berikut:
Disjungsi dari dua pernyataan bernilai benar apabila ada pernyataan yang
bernilai benar dan disjungsi dari dua pernyataan bernilai salah apabila masing-
masing pernyataan bernilai salah.
Dari aturan tersebut, nilai kebenaran disjungsi disusun sebagai
beriktu:
Tabel 1.4 Nilai Kebenaran Disjungsi
Nilai kebenaran
Nilai kebenaran
Nilai kebenaran
B B B
B S B
S B B
S S S
Contoh 1.12
Pernyataan majemuk: Adi mengerjakan tugas Logika Matematika
atau Adi ada di kampus.
Misalkan pernyataan Adi mengerjakan tugas Logika Matematika
disimbol p dan pernyataan Adi ada di kampus disimbol q, maka tabel nilai
kebenaran pernyataan di atas adalah sebagai berikut:
10 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
Tabel 1.5 Nilai Kebenaran Pernyataan Disjungsi
Kegiatan yang dilakukan Adi
Adi ada
di kampus
(p)
Posisi Adi sebenarnya
Adi ada
di rumah
(q)
Adi mengerjakan
tugas Logika
Matematika atau Adi
ada di kampus.
Mengerjakan
tugas Logika
Matematika
B Di kampus B B
Mengerjakan
Logika Matematika
B Tidak di
kampus S B
Tidak
Mengerjakan
Logika
Matematika
S Di kampus B B
Tidak
Mengerjakan
Logika
Matematika
S Tidak di
kampus S S
Mencermati tabel nilai kebenaran disjungsi di atas, ada beberapa hal
yang perlu dicatat:
1. Jika p benilai benar maka disjungsi dapat dipastikan benilai
benar meskipun nilai q belum diketahui.
2. Jika disjungsi bernilai salah, maka dapat di pastikan p bernilai
salah dan q bernilai salah.
Berikut diberikan contoh yang harus dilengkapi oleh mahasiswa
untuk memberikan pendalaman mengenai disjungsi.
Contoh 1.13
Pernyataan majemuk: . . . . . .
Misalkan pernyataan . . . . . .
. . . . . .
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 11
maka tabel nilai kebenaran pernyataan di atas adalah sebagai berikut:
(p) (q)
1.3.3. Implikasi
Misalkan ada dua pernyataan yang disimbol dengan p dan q. Implikasi dari
dua pernyataan tersebut disimbol dengan dan dibaca jika p maka
q. Pernyataan p disebut anteseden dan pernyataan q disebut konsekuen.
Nilai kebenaran implikasi ditentukan oleh kombinasi nilai
kebenaran p dan nilai kebenaran q menggunakan aturan sebagai berikut:
Implikasi dari dua pernyataan bernilai benar untuk semua nilai p dan q
kecuali jika p bernilai benar dan q bernilai salah, maka implikasi bernilai
salah.
Dari aturan tersebut, nilai kebenaran impikasi ditata sebagai berikut:
Tabel 1.6 Nilai Kebenaran Implikasi
Nilai kebenaran
Nilai kebenaran
Nilai kebenaran
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh 1.14
Pernyataan majemuk: Jika Andi mengerjakan tugas Logika
Matematika, maka Andi ada di kampus.
Misalkan pernyataan Andi mengerjakan tugas Logika Matematika
disimbol p dan pernyataan Andi ada di kampus disimbol q, maka tabel
nilai kebenaran pernyataan di atas adalah sebagai berikut:
12 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
Tabel 1.7 Nilai Kebenaran Pernyataan Implikasi
Kegiatan yang dilakukan Andi
Andi ada
di kampus
(p)
Posisi Andi sebenarnya
Andi ada
di kampus
(q)
Andi mengerjakan
tugas Logika
Matematika, maka
Andi ada di kampus.
Mengerjakan
tugas Logika
Matematika
B Di kampus B B
Mengerjakan
tugas Logika Matematika
B Tidak di
kampus S S
Tidak
Mengerjakan
tugas Logika
Matematika
S Di kampus B B
Tidak
Mengerjakan
tugas Logika
Matematika
S Tidak di
kampus S B
Mencermati tabel nilai kebenaran konjungsi diatas, ada beberapa hal
yang perlu dicatat:
1. Jika q benilai benar maka implikasi dapat dipastikan benilai
benar meskipun nilai p belum diketahui.
2. Jika implikasi bernilai salah, maka dapat di pastikan p bernilai
benar dan q bernilai salah.
Berikut diberikan contoh yang harus dilengkapi oleh mahasiswa
untuk memberikan pendalaman mengenai implikasi.
Contoh 1.15
Pernyataan majemuk: . . . . . . . . . .
Misalkan pernyataan . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 13
maka tabel nilai kebenaran pernyataan di atas adalah sebagai berikut:
(p) (q)
1.3.4. Bimplikasi
Misalkan ada dua pernyataan yang disimbol dengan p dan q. Biimplikasi
dari dua pernyataan tersebut disimbol dengan dan dibaca p jika
dan hanya jika q. Nilai kebenaran biimplikasi ditentukan oleh
kombinasi nilai kebenaran p dan nilai kebenaran q menggunakan aturan
sebagai berikut:
Biimplikasi dari dua pernyataan bernilai benar apabila p dan q
mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika nilai kebenaran p dan q saling
berbeda, maka biimplikasi bernilai salah.
Dari aturan tersebut, tabel nilai kebenaran biimplikasi disusun sebagai
berikut:
Tabel 1.8 Nilai Kebenaran Bimplikasi
Nilai kebenaran
Nilai kebenaran
Nilai kebenaran
B B B
B S S
S B S
S S B
Contoh 1.16
Pernyataan majemuk: Dosen memberi kuliah jika dan hanya jika
dosen ada di kampus.
Misalkan pernyataan dosen memberi kuliah disimbol p dan
pernyataan dosen ada di kampus disimbol q, maka tabel nilai kebenaran
pernyataan di atas adalah sebagai berikut:
14 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
Tabel 1.9 Nilai Kebenaran Pernyataan Bimplikasi
Kegiatan
yang dilakukan
dosen
Dosen
memberi kuiah
(p)
Posisi dosen sebenarnya
Dosen ada
di kampus (q)
Dosen memberi
kuliah jika dan
hanya jika dosen
ada di kampus.
Memberi
kuliah B Di kampus B B
Memberi
kuliah B
Tidak di
kampus S S
Tidak
Memberi kuliah
S Di kampus B S
Tidak
Memberi
kuliah
S Tidak di
kampus S B
Mencermati tabel nilai kebenaran biimplikasi di atas, ada beberapa
hal yang perlu dicatat:
1. Jika biimplikasi bernilai benar, maka dapat dipastikan bahwa
p dan q mempunyai nilai yang sama.
2. Jika implikasi bernilai salah, maka dapat di pastikan p dan q
memiliki nilai yang berbeda.
Berikut diberikan contoh yang harus dilengkapi oleh mahasiswa
untuk memberikan pendalaman mengenai biimplikasi.
Contoh 1.17
Pernyataan majemuk: . . . . . . . . . .
Misalkan pernyataan . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
maka tabel nilai kebenaran pernyataan di atas adalah sebagai berikut:
(p) (q)
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 15
1.3.5. Negasi
Selain dari keempat kata atau pasangan kata hubung di atas, dalam Logika
dipelajari satu operasi yang sangat penting yang disebut dengan operasi
negasi atau ingkaran. Kata hubung Logika mengoperasikan dua
pernyataan, sedangkan operasi negasi mengoperasikan satu pernyataan.
Lebih jelasnya, pernyataan yang dibentuk dengan menambahkan kata
“tidak” atau pasangan kata “tidak benar bahwa” pada suatu kalimat
pernyataan, disebut negasi dari pernyataan tersebut. Simbol “¬” mewakili
kata “tidak” atau pasangan kata “tidak benar bahwa”.
Contoh 1.18
Misalkan pernyataan “Logika Matematika adalah matakuliah
mudah” disimbol dengan p, maka negasi dari pernyataan tersebut adalah
“ tidak benar bahwa Logika Matematika adalah matakuliah mudah” dan
disimbol dengan ¬p. Lebih lanjut, penyataan “tidak benar bahwa Logika
Matematika adalah matakuliah mudah” setara dengan pernyataan “ Logika
Matematika adalah matakuliah sulit”.
Nilai kebenaran dari pernyataan ¬p diperoleh dari nilai kebenaran
pernyataan p dengan aturan bahwa nilai p selalu berkebalikan dengan nilai
¬p. Jadi, nilai p adalah benar jika dan hanya jika nilai ¬p adalah salah.
Begitu juga sebaliknya, nilai p adalah salah jika dan hanya jika nilai ¬p
adalah benar. Berikut diberikan tabel nilai kebenaran dari operasi negasi.
Tabel 1.10 Nilai Kebenaran Negasi
Pernyataan
(p)
Pernyataan
(¬p )
B S
S B
Contoh 1.19
Jika simbol dari pernyataan “Hari ini hujan” maka
menyimbolkan pernyataan „Hari ini tidak hujan” atau “Tidak benar bahwa
hari ini hujan” atau “Hal itu tidak benar bahwa hari ini hujan”. Tabel nilai
kebenaran dari contoh di atas
16 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
Tabel 1.11 Nilai Kebenaran Pernyataan Negasi
Pernyataan Negasi pernyataan
Keadaan cuaca sebenarnya Hari ini hujan
Hari ini tidak hujan
Hujan
Tidak hujan
B
S
S
B
Berikan contoh dalam bentuk kalimat kemudian berikan tabel
kebenarannya. Tuliskan contoh Anda pada ruang kosong yang disediakan
dibawah ini.
Contoh 1.20
Jika simbol dari pernyataan “ ………….”, maka menyimbolkan
pernyataan “…………………………” atau “…………………………” .
Tabel nilai kebenaran dari contoh di atas
Pernyataan Negasi pernyataan
………
……….
B
S
S
B
Contoh 1.21
Jika simbol dari pernyataan “…………….”, maka menyimbolkan
pernyataan “……………………” atau “………………………” .
Tabel nilai kebenaran dari contoh di atas
Pernyataan Negasi pernyataan
………
……….
B
S
S
B
PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 17
Soal-soal Latihan
1. Buatlah rangkuman satu halaman dari uraian materi di atas.
Berikanlah keterangan bagian materi yang tersulit.
2. Perhatikan kembali contoh-contoh yang disajikan pada bagian ini.
Urutkanlah nomor contoh-contoh tersebut mulai dari yang tersulit
sampai yang termudah.
3. Kerjakan kembali latihan soal-soal yang ada dalam materi. Sebaiknya
Anda lakukan modifikasi soal kemudian selesaikan.
4. Tuliskan sepuluh kalimat pernyataan dan bukan pernyataan yang
dikatakan oleh politisi Indonesia yang dimuat di surat kabar. Sertakan
sumber kutipan Anda.
5. Tuliskanlah pertanyaan-pertanyaan yang belum Anda temukan
jawabannya yang terkait dengan materi di atas.
6. Buatlah lima kalimat pernyataan majemuk konjungsi
7. Buatlah lima kalimat pernyataan majemuk disjungsi
8. Buatlah lima kalimat pernyataan majemuk implikasi
9. Buatlah lima kalimat pernyataan majemuk biimplikasi
10. Dari soal nomor 5 buatlah negasi dari kalimat pernyataan tersebut.
18 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN
TABEL NILAI KEBERNARAN 19
TABEL NILAI KEBENARAN
2.1. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk
Untuk memeriksa nilai kebenaran dari pernyataan majemuk untuk
berbagai kombinasi nilai kebenaran pernyataan-pernyataan sederhana yang
membangun pernyataan majemuk tersebut, biasanya digunakan tabel nilai
kebenaran. Dari tabel – tabel nilai kebenaran di atas, dapat dilihat bahwa
jika pernyataan majemuk dibentuk dari dua pernyataan sederhana, maka
ada empat kombinasi nilai kebenaran untuk pernyataan – pernyataan
sederhana tersebut. Hal ini dapat dilihat pada tabel berikut.
Pernyataan majemuk
B
B
S S
B
S
B S
Ketika pernyataan majemuk dibentuk dari tiga pernyataan sederhana,
maka ada delapan kombinasi nilai kebenaran untuk pernyataan –
pernyataan sederhana tersebut. Hal ini dapat dilihat pada tabel berikut:
p Pernyataan majemuk
B
B
B
B
S S
S
S
B
B
S
S
B B
S
S
B
S
B
S
B S
B
S
Secara umum, jika pernyataan majemuk dibuat dari pernyataan
sederhana, maka ada kombinasi nilai kebenaran untuk pernyataan –
pernyataan sederhana.
BAB
2
20 TABEL NILAI KEBERNARAN
Selanjutnya akan disajikan beberapa contoh membuat tabel nilai
kebenaran dari pernyataan majemuk.
Berikut diberikan contoh dari tabel nilai kebenaran pernyataan
majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan sederhana.
Contoh 2.1
Pernyataan majemuk : Tidak benar bahwa Ida anak yang tidak sopan atau
Ida anak yang pandai.
Misalkan pernyataan “Ida anak yang sopan” disimbol dengan dan
pernyataan “Ida anak yang pandai” disimbol dengan maka pernyataan
majemuk di atas disimbol dengan
Tabel nilai kebenaran untuk pernyataan majemuk di atas adalah
sebagai berikut :
B
B
S S
B
S
B S
S
S
B B
B
S
B B
S
B
S S
Dua kolom pertama adalah untuk nilai kebenaran pernyataan
sederhana dan . Kolom ketiga memuat nilai kebenaran dari negasi .
Kolom ketiga ini dibuat untuk memudahkan penentuan nilai pada kolom
empat. Kolom keempat memuat nilai kebenaran disjungsi dari dan
Kolom kelima ini dibuat untuk memudahkan penentuan nilai pada kolom
empat. Akhirnya, kolom kelima memuat negasi dari nilai kebenaran dari
pernyataan majemuk
Lengkapilah contoh-contoh berikut ini untuk lebih memahami
penentuan tabel nilai kebenaran untuk pernyataan majemuk yang dibentuk
dari dua pernyataan sederhana.
Contoh 2.2
Pernyataan majemuk : Tidak benar bahwa hari ini adalah bukan hari
Senin dan besok adalah hari Kamis
TABEL NILAI KEBERNARAN 21
Misalkan pernyataan “…………………..” disimbol dengan dan
pernyataan “………………………” disimbol dengan maka pernyataan
majemuk di atas disimbol dengan…………..
Tabel nilai kebenaran untuk pernyataan majemuk di atas adalah
sebagai berikut :
…… ………….. ……………….
B
B
S S
B
S
B S
Contoh 2.3
Pernyataan majemuk :…………. Misalkan pernyataan “……..…..”
disimbol dengan dan pernyataan “………………” disimbol dengan
maka pernyataan majemuk di atas disimbol dengan…………..
Tabel nilai kebenaran untuk pernyataan majemuk di atas adalah
sebagai berikut :
…… ………….. ……………….
B
B
S
S
B
S
B
S
Contoh-contoh berikut disajikan sebagai bahan untuk memahami
pembentukan tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk yang
mengandung tiga pernyataan sederhana.
Contoh 2.4
Pernyataan majemuk yang dibuat dari tiga pernyataan sederhana
seperti [ ] mempunyai bentuk tabel nilai kebenaran sebagai
berikut.
22 TABEL NILAI KEBERNARAN
[ ] B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
B
B
B
S
S
S
S
S
S
S
S
B
B
B
Tiga kolom pertama adalah untuk nilai kebenaran pernyataan
sederhana dan . Kolom empat dan lima dibuat untuk memudahkan
penentuan nilai pada kolom enam. Kolom keenam dibuat untuk
memudahkan penentuan nilai pada kolom tujuh.
Lengkapilah contoh-contoh berikut ini untuk lebih memahami
penentuan tabel nilai kebenaran untuk pernyataan majemuk yang dibentuk
dari dua pernyataan sederhana.
Contoh 2.5
Pernyataan majemuk yang dibuat dari tiga pernyataan sederhana
seperti [ ] mempunyai bentuk tabel nilai kebenaran sebagai
berikut.
p
B
B
B
B
S
S S
S
B
B
S
S
B
B S
S
B
S
B
S
B
S B
S
TABEL NILAI KEBERNARAN 23
Contoh 2.6
Pernyataan majemuk yang dibuat dari tiga pernyataan sederhana
seperti………………mempunyai bentuk tabel nilai kebenaran sebagai
berikut.
B
B
B B
S
S
S
S
B
B
S S
B
B
S
S
B
S
B S
B
S
B
S
2.2. Jenis Pernyataan Majemuk.
Dalam buku ini, pernyataan dibagi kedalam tiga tipe, yaitu pernyataan
tautologi, pernyataan salah, dan pernyataan tak tentu.
Definisi 2.1
Pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran selalu BENAR untuk
semua kombinasi nilai kebenaran dari pernyataan–pernyataan sederhana
yang membentuknya disebut tautologi.
Contoh 2.7
Ani pandai atau Ani bodoh.
Jika melambangkan pernyataan “ Dia Pandai “, maka pernyataan di
atas ditulis dalam bentuk simbol sehingga tabel nilai
kebenarannya.
B
S
S
B
B
B
Dari tabel dapat dilihat bahwa pernyataan majemuk selalu
bernilai benar. Dengan demikian pernyataan di atas adalah Tautologi.
24 TABEL NILAI KEBERNARAN
Berikanlah satu contoh pernyataan tautologi. Tuliskan contoh anda
pada tempat kosong yang disediakan.
Contoh 2.8
…………………………………………………
Jika melambangkan pernyataan “ ……………”, maka pernyataan di atas
ditulis dalam bentuk simbol ………… sehingga tabel nilai kebenarannya.
B
S
S
B
Definisi 2.2
Pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran selalu SALAH untuk
semua kombinasi nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan sederhana
yang membentuknya disebut pernyataan salah (false statement).
Contoh 2.9
Dia rajin dan dia malas.
Jika melambangkan pernyataan “Dia rajin”, maka pernyataan
majemuk di atas ditulis dalam bentuk simbol sehingga tabel nilai
kebenarannya tampak seperti
B
S
S
B
S
S
Dari tabel dapat dilihat bahwa pernyataan majemuk selalu
bernilai SALAH. Pernyataan salah. Berikanlah satu contoh pernyataan
salah. Tuliskan contoh anda pada tempat kosong yang disediakan.
Contoh 2.10
………………………………………..
Jika melambangkan pernyataan “………”, maka pernyataan
majemuk di atas ditulis dalam bentuk simbol sehingga tabel nilai
kebenarannya tampak seperti
TABEL NILAI KEBERNARAN 25
B
S
S
B
Definisi 2.3
Pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran bisa BENAR dan bisa
juga SALAH tergantung dari nilai pernyataan sederhana yang membentuk-
nya disebut pernyataan tak tentu.
Contoh 2.11
Adi mahasiswa UNHAS dan Adi mahasiswa yang pandai. Jika
simbol dari “Adi Mahasiswa UNHAS” dan simbol dari “Adi Mahasiswa
yang pandai” maka pernyataan majemuk ditulis dalam bentuk simbol
Sehingga nilai kebenarannya ditampilkan dalam tabel sebagai
berikut.
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
Dari tabel dapat dilihat bahwa pernyataan majemuk bisa
bernilai BENAR dan bisa bernilai SALAH. Jadi pernyataan tersebut di atas
adalah pernyataan tak tentu.
Berikanlah satu contoh pernyataan tak tentu. Tuliskan contoh anda
pada tempat kosong yang disediakan.
Contoh 2.12
Pernyataan majemuk: ………… ………… …………… ……………
………... …………
Jika simbol dari “ …………….. “ dan simbol dari “ ………….. “
maka pernyataan majemuk ditulis dalam bentuk symbol ……… Sehingga
nilai kebenarannya ditampilkan dalam tabel sebagai berikut.
26 TABEL NILAI KEBERNARAN
B
B
S
S
B
S
B
S
2.3. Menentukan Jenis Pernyataan Majemuk.
Ada dua cara yang dapat dilakukan untuk menentukan jenis pernyataan
majemuk. Cara pertama adalah dengan membuat tabel nilai kebenran
pernyataan tersebut. Cara kedua adalah dengan menggunakan analisis dari
nilai kebenaran penyataan konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.
Contoh 2.13
Tentukan jenis pernyataan majemuk yang disimbol dengan
Pembahasan:
Cara Pertama dengan tabel nilai kebenaran:
B
S
S
B
S
B
S
S
B
B
Dari tabel terlihat bahwa pernyataan selalu bernilai
benar. Jadi pernyataan tersebut adalah tautologi.
Cara kedua dengan menggunakan analisis.
Perhatikan pernyataan Penyataan ini merupakan
implikasi dengan sisi kiri (anteseden) adalah Mudah dilihat
bahwa pernyataan selalu bernilai salah. Pada sisi lain, implikasi
yang nilai antesedennya bernilai salah pasti bernilai benar. Jadi
disimpulkan bahwa pernyataan selalu bernilai benar.
Dengan demikian pernyataan tersebut adalah tautologi.
Contoh 2.14
Tentukan jenis pernyataan majemuk yang disimbol dengan
Pembahasan:
TABEL NILAI KEBERNARAN 27
Cara Pertama dengan tabel nilai kebenaran:
B
S
S
B
B
S
B
B
B
B
Dari tabel terlihat bahwa pernyataan selalu bernilai benar.
Jadi pernyataan tersebut adalah tautologi.
Cara kedua dengan menggunakan analisis.
Perhatikan pernyataan. . Pernyataan ini merupakan
implikasi dengan sisi kanan (konsekuen) adalah Mudah dilihat
bahwa pernyataan selalu bernilai salah. Pada sisi lain implikasi
yang nilai konsekuennya bernilai benar pasti bernilai benar. Jadi
disimpulkan bahwa pernyataan selalu bernilai benar.
Dengan demikian pernyataan tersebut adalah tautologi.
Berikut diberikan contoh-contoh kalimat majemuk yang dibangun
dengna tiga pernyataan.
Contoh 2.15
Tentukan jenis pernyataan majemuk yang disimbol dengan
Pembahasan:
Cara Pertama dengan tabel nilai kebenaran:
B
B B
B
S
S
S
S
B
B S
S
B
B
S
S
B
S B
S
B
S
B
S
S
S S
S
B
B
B
B
S
S S
S
S
S
S
S
B
B B
S
B
B
B
S
B
B B
B
B
B
B
B
Dari tabel terlihat bahwa pernyataan selalu
bernilai benar. Jadi pernyataan tersebut adalah tautologi.
28 TABEL NILAI KEBERNARAN
Cara kedua dengan menggunakan analisis.
Perhatikan pernyataan . Pernyataan ini merupakan
implikasi dengan sisi kiri (anteseden) adalah Mudah dilihat
bahwa pernyataan selalu bernilai salah. Pada sisi lain, implikasi
yang nilai antesedennya bernilai salah pasti bernilai benar. Jadi
disimpulkan bahwa pernyataan selalu bernilai benar.
Dengan demikian pernyataan tersebut adalah tautologi.
Contoh 2.16
Tentukan jenis pernyataan majemuk yang disimbol dengan
Pembahasan:
Cara Pertama dengan tabel nilai kebenaran:
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
S
S
S
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Dari tabel terlihat bahwa pernyataan selalu
bernilai benar. Jadi pernyataan tersebut adalah tautologi.
Cara kedua dengan menggunakan analisis.
Perhatikan pernyataan . Pernyataan ini merupakan
implikasi dengan sisi kanan (konsekuen) adalah Mudah dilihat
bahwa pernyataan selalu bernilai benar. Pada sisi lain implikasi
yang nilai konsekuennya bernilai benar pasti bernilai benar. Jadi
disimpulkan bahwa pernyataan tersebut selalu bernilai benar. Dengan
demikian pernyataan tersebut adalah tautology.
TABEL NILAI KEBERNARAN 29
Contoh 2.17
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tautologi.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
[ ] [ ]
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
S
S
B
S
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Contoh berikut diberikan kepada pembaca sebagai latihan. Tuliskan
jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan
Contoh 2.18
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah Tautologi.
[ ]
Pembahasan:
Cara Pertama dengan tabel nilai kebenaran:
B
B B
B
S
S
S
S
B
B S
S
B
B
S
S
B
S B
S
B
S
B
S
Cara kedua dengan menggunakan analisis. (Tuliskan jawaban Anda
pada tempat kosong yang disediakan).
30 TABEL NILAI KEBERNARAN
Contoh 2.19
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah Tautologi.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Cara Pertama dengan tabel nilai kebenaran:
B B
B
B
S
S
S
S
B B
S
S
B
B
S
S
B S
B
S
B
S
B
S
Cara kedua dengan menggunakan analisis. (Tuliskan jawaban Anda
pada tempat kosong yang disediakan).
TABEL NILAI KEBERNARAN 31
Berikut disajikan beberapa contoh pernyataan salah.
Contoh 2.20
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan salah.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
[ ] [ ]
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Dari kolom terakhir tabel di atas terlihat bahwa pernyataan
[ ] [ ]
selalu bernilai salah.
Contoh 2.21
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan salah.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
[ ] [ ]
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
S
S
B
S
S
S
B
S
B
S
S
S
S
S
S
S
S
32 TABEL NILAI KEBERNARAN
Contoh berikut diberikan kepada pembaca sebagai latihan. Tuliskan
jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan
Contoh 2.22
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan salah.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
B
B
B
B S
S
S
S
B
B
S
S B
B
S
S
B
S
B
S B
S
B
S
Contoh 2.23
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan salah.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
B
B
B
B
S
S
S S
B
B
S
S
B
B
S S
B
S
B
S
B
S
B S
Berikut diberikan contoh kalimat pernyataan yang tergolong
pernyataan tak tentu.
Contoh 2.24
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan salah.
[ ]
TABEL NILAI KEBERNARAN 33
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran
Pembahasan:
Cara Pertama dengan tabel nilai kebenaran:
[
B
B
B
B S
S
S
S
B
B
S
S B
B
S
S
B
S
B
S B
S
B
S
S
S
B
B S
S
B
B
B
B
B
B S
S
B
B
B
S
B
S S
S
B
S
Dari kolom terakhir tabel terlihat bahwa pernyataan
[ ]
Kadang bernilai benar dan kadang bernilai salah. Oleh karena itu,
pernyataan tersebut tergolong pernyataan tak tentu.
Contoh 2.25
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tak tentu.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
[ ] [ ]
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
S
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
S
Dari kolom terakhir tabel di atas terlihat bahwa pernyataan
[ ] [ ]
kadang bernilai benar dan kadang bernilai salah.
34 TABEL NILAI KEBERNARAN
Contoh 2.26
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tak tentu.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
[ ] [ ]
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
S
B
S
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
S
Dari kolom terakhir tabel di atas terlihat bahwa pernyataan
[ ] [ ]
kadang bernilai benar dan kadang bernilai salah.
Contoh berikut diberikan kepada pembaca sebagai latihan. Tuliskan
jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan
Contoh 2.27
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tak tentu.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
B
B
B B
S
S
S
S
B
B
S S
B
B
S
S
B
S
B S
B
S
B
S
TABEL NILAI KEBERNARAN 35
Contoh 2.28
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tak tentu.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
B B
B
B
S
S
S
S
B B
S
S
B
B
S
S
B S
B
S
B
S
B
S
Contoh 2.29
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tak tentu.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
B
B
B
B
S S
S
S
B
B
S
S
B B
S
S
B
S
B
S
B S
B
S
Contoh 2.30
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tak tentu.
[ ] [ ]
36 TABEL NILAI KEBERNARAN
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
Pada bagian akhir bab ini diberikan beberapa contoh untuk diperiksa
apakah pernyataan-pernyataan yang diberikan tergolong pernyataan
tautologi, pernyataan salah, atau pernyataan tak tentu. Contoh-contoh yang
diberikan merupakan kalimat pernyataan dengan empat unsur pembangun.
Contoh 2.31
Periksalah pernyataan berikut:.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
B
B
B
B B
B
B
B
S
S
S
S
S
S
S
S
B
B
B
B S
S
S
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
TABEL NILAI KEBERNARAN 37
Contoh 2.32
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tak tentu.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
B
B
B
B B
B
B
B
S
S
S
S
S
S
S S
B
B
B
B S
S
S
S
B
B
B
B
S
S
S S
B
B
S
S B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S S
B
S
B
S B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B S
Contoh 2.33
Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tak tentu.
[ ] [ ]
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
Pembahasan:
Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:
B B B B B B
B B B B S S
B B S S B B
B S B S B S
38 TABEL NILAI KEBERNARAN
B
B S S S S S S S S
S
S B B B B S S S S
S
S B B S S B B S S
B
S B S B S B S B S
Soal-soal Latihan
1. Buatlah rangkuman satu halaman dari uraian materi di atas.
Berikanlah keterangan bagian materi yang tersulit.
2. Perhatikan kembali contoh-contoh yang disajikan pada bagian ini.
Urutkanlah nomor contoh-contoh tersebut mulai dari yang tersulit
sampai yang termudah.
3. Tuliskanlah pertanyaan-pertanyaan yang belum Anda temukan
jawabannya yang terkait dengan materi di atas.
4. Perhatikan pernyataan berikut, “Jika Ida anak yang tidak sopan maka
Ida anak yang pandai.”. Tuliskan pernyataan tersebut dalam simbol
dan periksa nilai tabel kebenaran tersebut
5. Buatlah 5 kalimat pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran
yang benar.
6. Buatlah 5 kalimat pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran
yang salah.
7. Tentukan jenis pernyataan majemuk yang disimbol dengan
8. Tentukan jenis pernyataan berikut:
[ ] [ ]
9. Tentukan jenis pernyataan berikut:
[ ] [ ]
10. Periksa nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut dengan
menggunakan tabel kebenaran
[ ] [ ]
RELASI PERNYATAAN 39
RELASI PERNYATAAN
Pada subbagian ini akan diamati relasi antara dua pernyataan berdasarkan
nilai kebenarannya. Secara umum ada tiga cara untuk menghubungkan
atau merelasikan dua buah pernyataan. Dua pernyataan dapat mempunyai
nilai kebenaran yang identik, dua pernyataan dapat mempunyai sebagian
nilainya identik dan sebagian lagi berlawanan. Untuk lebih jelasnya kita
perhatikan uraian berikut.
3.1. Pernyataan Ekuivalen
Definisi 3.1
Dua pernyataan dikatakan saling EKUIVALEN jika dan hanya jika
mereka mempunyai nilai kebenaran yang sama. Artinya, jika pernyataan
yang satu bernilai BENAR, maka pernyataan yang lain juga bernilai
BENAR. Begitu juga sebaliknya, jika pernyataan yang satu SALAH, maka
pernyataan yang lainnya juga SALAH.
Contoh 3.1
Amatilah jenis hubungan antara dua pernyataan berikut!
Pernyataan 1 : Hal itu tidak benar bahwa dia tidak pergi kuliah atau dia
pergi ke pasar.
Pernyataan 2 : Dia pergi kuliah dan dia tidak pergi ke pasar.
Pengamatan:
Misalkan adalah simbol dari pernyataan “Dia pergi kuliah” dan adalah
simbol dari pernyataan “Dia pergi ke pasar”, maka simbol dari pernyataan
1 adalah [ ] dan simbol dari pernyataan 2 adalah
Selanjutnya, dengan tabel nilai kebenaran kedua pernyataan tersebut
adalah sebagai berikut :
BAB
3
40 RELASI PERNYATAAN
Tabel 3.1 Pernyataan 1
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
S
Tabel 3.2 Pernyataan 2
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
S
Dari tabel pernyataan 1 dan tabel pernyataan 2 dapat dilihat bahwa
pernyataan 1 dan pernyataan 2 mempunyai nilai kebenaran yang sama
(identik) sehinggga dikatakan bahwa pernyataan 1 ekuivalen dengan
pernyataan 2.
Lengkapilah contoh berikut untuk menambah pemahaman tentang
hubungan ekuivalen antara dua pernyataan!
Contoh 3.2
Amatilah jenis hubungan antara dua pernyataan berikut!
Pernyataan 1 : Dia tidak pergi kuliah dan hal itu tidak benar bahwa dia
pergi ke pasar.
Pernyataan 2 : jika dia pergi kuliah, maka dia pergi ke pasar.
Pengamatan:
Misalkan adalah simbol dari pernyataan “. . . . . . . . . . . . . .”dan
adalah simbol dari pernyataan “. . . . . . . . . . . . . . . . .”, maka
simbol dari pernyataan 1 adalah . . . . . dan simbol dari pernyataan 2
adalah . . . . . . . Selanjutnya, dengan tabel nilai kebenaran kedua
pernyataan tersebut adalah sebagai berikut :
RELASI PERNYATAAN 41
Tabel pernyataan 1
B
B
S
S
B
S
B
S
Tabel pernyataan 2
B
B
S
S
B
S
B
S
Contoh 3.3
Buatlah contoh sendiri dua kalimat pernyataan yang ekuivalen. Tuliskan
pada tempat kosong yang disediakan kemudian sajikan pengamatannya).
Pernyataan 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pernyataan 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pengamatan:
Berikut disajikan beberapa pernyataan yang saling ekuivalen.
42 RELASI PERNYATAAN
Ekuivalen – Ekuivalen Khusus
3.1.1. Ekuivalen Negasi Ganda
ekuivalen dengan
B
S
S
B
B
S
Contoh 3.4
[ ] ekuivalen dengan
[ ] ekuivalen dengan
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di
atas betul ekuivalen!
p r [ ] B
B
S
S
B
S
B
S
p q [ ] B
B
S
S
B
S
B
S
3.1.2. Ekuivalen Idempoten
ekuivalen dengan
ekuivalen dengan
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
RELASI PERNYATAAN 43
Contoh 3.5
ekuivalen dengan
[ ] ekuivalen dengan
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di
atas betul ekuivalen!
r B
S
S
B
p q [ ] B
B
S
S
B
S
B
S
3.1.3. Ekuivalen Komutatif
ekuivalen dengan
ekuivalen dengan
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
Contoh 3.6
ekuivalen dengan
[ ] ekuivalen dengan [ ]
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di atas
betul ekuivalen!
p q B B
S
S
B S
B
S
44 RELASI PERNYATAAN
p q r [ ] [ ] B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
3.1.4. Ekuivalen Assosiatif
[ ] ekuivalen dengan [ ]
[ ] ekuivalen dengan [ ]
[ ] [ ] B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
[ ] [ ] B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S
S
Contoh 3.7
[ ] ekuivalen dengan [ ]
[ ] ekuivalen dengan [ ]
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di
atas betul ekuivalen!
RELASI PERNYATAAN 45
[ ] [ ] B
B B B S S S S
B
B S S B B S S
B
S B S B S B S
[ ] [ ] B B B
B S S S S
B B S
S B B S S
B S B
S B S B S
3.1.5. Ekuivalen Distribusi
[ ] ekuivalen dengan [ ]
[ ] ekuivalen dengan [ ] [ ] [ ] B B B
B S S S S
B B S
S B B S S
B S B
S B S B S
B B B
S S S S S
B B B
S S S S S
[ ] [ ] B B B B S
S S S
B B S S B
B S S
B S B S B
S B S
B B B B B
S S S
B B B B B
S S S
46 RELASI PERNYATAAN
Contoh 3.8
[ ] ekuivalen dengan [ ]
ekuivalen dengan [ ] [ ]
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di
atas betul ekuivalen!
[ ] [ ] B
B
B B
S
S
S
S
B
B
S S
B
B
S
S
B
S
B S
B
S
B
S
[ ] [ ]
B B
B
B
S
S
S
S
B B
S
S
B
B
S
S
B S
B
S
B
S
B
S
3.1.6. Ekuivalen De Morgan
ekuivalen dengan
ekuivalen dengan
B B S S
B S B S
S S S B
S S S B
B B S
S
B S B
S
S B B
B
S B B
B
RELASI PERNYATAAN 47
Contoh 3.9
ekuivalen dengan
[ ] ekuivalen dengan [ ]
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di
atas betul ekuivalen!
B
B
S S
B
S
B S
[ ] [ ] B
B
S
S
B
S
B
S
3.1.7. Ekuivalensi Kondisional
ekuivalen dengan
ekuivalen dengan
B
B S
S
B
S B
S
B
S B
B
B
S B
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
Contoh 3.10
ekuivalen dengan
[ ] ekuivalen dengan [ ]
48 RELASI PERNYATAAN
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di
atas betul ekuivalen!
B
B
S
S
B
S
B
S
r [ ] [ ] B
B
B
B S
S
S
S
B
B
S
S B
B
S
S
B
S
B
S B
S
B
S
3.1.8. Ekuivalensi Kontrapositif
ekuivalen dengan kontrapositifnya )
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
Contoh 3.11
ekuivalen dengan
[ ] ekuivalen dengan [ ]
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di
atas betul ekuivalen!
B
B
S
S
B
S
B
S
RELASI PERNYATAAN 49
[ ] [ ] B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
3.1.9. Ekuivalensi Bikondisional
ekuivalen dengan [ ]
[ ] B
B
S S
B
S
B S
B
S
S B
B
S
S B
Contoh 3.12
[ ] ekuivalen dengan
[ ] ekuivalen dengan
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di
atas betul ekuivalen!
[ ]
B
B
S
S
B
S
B
S
[ ] B
B
S
S
B
S
B
S
50 RELASI PERNYATAAN
3.2. Pernyataan Kontradiksi
Pembahasan selanjutnya mengenai dua pernyataan yang saling kontradiksi.
Definisi 3.2
Dua pernyataan dikatakan saling KONTRADIKSI jika dan hanya jika
mereka mempunyai nilai kebenaran yang saling berlawanan. Artinya, jika
pernyataan yang satu bernilai benar, maka pernyataan yang lain bernilai
salah. Begitu juga sebaliknya jika pernyataan yang satu bernilai salah,
maka pernyataan yang lain bernilai benar.
Contoh 3.13
Pernyataan 1 : Dia tidak pergi kuliah dan dia belajar di rumah.
Pernyataan 2 : Jika dia belajar di rumah, maka dia pergi kuliah.
Misalkan adalah simbol dari pernyataan “ Dia pergi kuliah “ dan
adalah simbol dari pernyataan “ Dia belajar di rumah “, maka simbol dari
pernyataan 1 adalah dan simbol dari pernyataan 2 adalah
Tabel nilai kebenaran dari kedua pernyataan di atas sebagai berikut :
Tabel 3.3Pernyataan Kontradiksi 1
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
S
Tabel 3.4 Pernyataan Kontradiksi 2
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
B
Dari tabel pernyataan 1 dan pernyataan 2 dapat dilihat bahwa
pernyataan 1 dan pernyataan 2 mempunyai nilai kebenaran yang
RELASI PERNYATAAN 51
berlawanan sehingga dikatakan bahwa pernyataan 1 KONTRADIKSI
dengan pernyataan 2.
Lengkapilah contoh dua kalimat pernyataan berikut ini yang saling
kontradiksi!
Contoh 3.14
Pernyataan 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pernyataan 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pembahasan:
Misalkan adalah simbol dari pernyataan “ . . . . . . . .”dan adalah simbol
dari pernyataan “. . . . . . . . . .”, maka simbol dari pernyataan 1 adalah . . .
. . . . dan simbol dari pernyataan 2 adalah . . . . . . . .
Tabel nilai kebenaran dari kedua pernyataan di atas sebagai berikut :
Tabel pernyataan 1
B
B S
S
B
S B
S
Tabel pernyataan 2
B B
S
S
B S
B
S
Contoh 3.15
[ ] kontradiksi dengan [ ]
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di
atas betul kontradiksi!
[ ] [ ]
B
B
B
B
B
S
B
S
B
52 RELASI PERNYATAAN
[ ] [ ]
B
S S
S
S
S
B B
S
S
S
B S
B
S
3.3. Pernyataan Tidak Berelasi
Definisi 3.3
Dua pernyataan dikatakan saling tidak berelasi jika dan hanya jika
mereka tidak saling ekuivalen dan tidak saling kontradiksi. Artinya,
beberapa nilai kebenaran sama dan beberapa yang lainnya berlawanan.
Contoh 3.16
Pernyataan 1 : Dia pergi kuliah dan dia belajar Matematika.
Pernyataan 2 : Dia pergi kuliah atau dia belajar Matematika.
Misalkan adalah simbol dari pernyataan “Dia pergi kuliah” dan
adalah simbol dari pernyataan “Dia belajar matematika”, maka simbol dari
pernyataan 1 adalah dan simbol dari pernyataan 2 adalah
Tabel nilai kebenaran dari kedua pernyataan di atas sebagai berikut :
Tabel pernyataan 1
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
Tabel pernyataan 2
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
RELASI PERNYATAAN 53
Dari tabel pernyataa 1 dan pernyataan 2 dapat dilihat bahwa
pernyataan 1 dan pernyataan 2 saling tidak berhubungan.
Lengkapilah contoh dua kalimat pernyataan berikut ini yang tidak
saling berhubungan!
Contoh 3.17
Pernyataan 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pernyataan 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pembahasan:
Misalkan adalah simbol dari pernyataan “ . . . . . . . .” dan adalah
simbol dari pernyataan “. . . . . . . . . .”, maka simbol dari pernyataan 1
adalah . . . . . . . dan simbol dari pernyataan 2 adalah . . . . . . . .
Tabel nilai kebenaran dari kedua pernyataan di atas sebagai berikut :
Tabel pernyataan 1
B
B
S
S
B
S
B
S
Tabel pernyataan 2
B B
S
S
B S
B
S
Contoh 3.18
[ ] tidak berelasi dengan [ ]
54 RELASI PERNYATAAN
Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di atas
betul kontradiksi!
[ ] [ ] B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
3.4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Pada bagian ini akan dipelajari hubungan dari beberapa bentuk implikasi.
Beberapa dari mereka saling ekuivalen, namun beberapa yang lainnya
tidak saling ekuivalen. Dengan mengacu pada implikasi kita
definisikan bentuk–bentuk implikasi yang lain yang berhubungan dengan
bentuk implikasi
Definisi 3.4 (konvers)
Konvers dari implikasi adalah implikasi . Konvers dari
implikasi dibentuk dengan menukarkan anteseden dengan
konsekuen
Contoh 3.19 (konvers)
Konvers dari implikasi adalah implikasi
Definisi 3.5 (invers)
Invers dari implikasi adalah implikasi Invers dari
implikasi dibentuk dengan menegasikan anteseden dan
konsekuen
Contoh 3.20 (invers)
Konvers dari implikasi adalah implikasi
RELASI PERNYATAAN 55
Definisi 3.6 (kontraposisi)
Kontraposisi dari implikasi adalah implikasi
Kontraposisi dari implikasi dibentuk dengan menegasikan dan
menukarkan anteseden dengan konsekuen
Contoh 3.21 (kotraposisi)
Kontraposisi dari implikasi adalah implikasi
Contoh 3.22
Berikut diberikan contoh dalam bentuk kalimat.
Implikasi : Jika kamu rajin belajar, maka kamu lulus ujian.
Konvers : Jika kamu lulus ujian, maka kamu rajin belajar.
Invers : Jika kamu tidak rajin belajar, maka kamu tidak lulus ujian.
Kontraposisi : Jika kamu tidak lulus ujian, maka kamu tidak rajin belajar.
Contoh 3.23
Lengkapi contoh-contoh berikut!
1. Implikasi : Jika kamu rajin puasa, maka kamu sehat.
2. Konvers : ……………………………………….
3. Invers : …………………………………………..
4. Kontraposisi : …………………………………………..
Hubungan antara implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya
diperlihatkan pada tabel berikut ini
Tabel 3.5 Tabel Implikasi, Konvers. Invers, dan Kontraposisi
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
Dari tabel dapat dilihat bahwa:
1. Implikasi dan konversnya adalah dua pernyataan yang tidak berelasi
(berhubungan).
56 RELASI PERNYATAAN
2. Implikasi dan inversnya adalah dua pernyataan yang tidak berelasi
(berhubungan).
3. Implikasi dan inversnya adalah dua pernyataan yang tidak berelasi
(berhubungan).
4. Implikasi dan kontraposisi adalah dua pernyataan yang saling
ekuivalen.
5. Konvers dan invers dari suatu implikasi adalah dua pernyataan yang
saling ekuivalen.
Tugas dan Latihan
1. Buatlah rangkuman satu halaman dari uraian materi di atas.
Berikanlah keterangan bagian materi yang tersulit.
2. Perhatikan kembali contoh-contoh yang disajikan pada bagian ini.
Urutkanlah nomor contoh-contoh tersebut mulai dari yang tersulit
sampai yang termudah.
3. Tuliskanlah pertanyaan-pertanyaan yang belum Anda temukan
jawabannya yang terkait dengan materi di atas.
4. Buatlah dua kalimat pernyataan yang ekuivalen.
5. Buatlah 3 contoh pernyataan ekuivalensi idempotent, ekuivalensi
kontrapositif
6. Buatlah 3 contoh pernyataan ekuivalensi bikondisional, ekuivalensi
kondisional
7. Buatlah 3 contoh pernyataan ekuivalensi negasi ganda, ekuivalensi de
morgan
8. Buatlah 3 contoh pernyataan ekuivalensi assosiatif, ekuivalensi
kontrapositif
9. Buatlah 3 contoh pernyataan tidak berelasi
10. Buatlah 3 contoh invers, konvers, dan kontrapositif dari satu kalimat
implikasi.
ARGUMEN 57
ARGUMEN
Pada bab sebelumnya telah diperiksa nilai kebenaran satu pernyataan atau
hubungan nilai kebenaran dari dua pernyataan. Pada bab ini akan diperiksa
nilai kebenaran dari deretan pernyataan–pernyataan. Deretan pernyataan–
pernyataan ini selanjutnya disebut argumen.
Definisi 4.1
Suatu argumen adalah barisan pernyataan–pernyataan. Pernyataan
terakhir disebut kesimpulan dan pernyataan lainnya disebut premis.
Berikut diberikan contoh argumen.
Contoh 4.1
Pernyataan 1. Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian
Pernyataan 2. Adi lulus ujian
Pernyataan 3. Oleh karena itu, Adi rajin belajar.
Argumen pada contoh di atas memuat 2 premis, yaitu pernyataan 1
dan pernyataan 2. Argumen di atas memuat satu kesimpulan, yaitu
pernyataan 3.
Hal yang ingin diketahui dari suatu argumen bukanlah nilai benar atau
salahnya, melainkan apakah kesimpulan yang diambil cukup logis atau
tidak. Argumen yang dimaksud logis adalah apakah barisan premis–premis
cukup untuk dipakai menarik kesimpulan. Dengan kata lain, premis-premis
yang bernilai benar akan melahirkan kesimpulan bernilai benar.
Selanjutnya, untuk kenyamanan, istilah argumen logis diganti dengan
argumen valid. Berikut diberikan definisi formal argumen valid.
Definisi 4.2
Argumen disebut valid, jika ketika premis– premisnya bernilai benar,
maka kesimpulan juga bernilai benar.
BAB
4
58 ARGUMEN
Contoh 4.2
Premis 1. Ida pergi ke kampus atau Ida pergi ke pasar.
Premis 2. Ida tidak pergi ke pasar.
Kesimpulan. Oleh karena itu, Ida pergi ke kampus.
Analisis validitas :
Misalkan premis 1 dan premis 2 benar. Hal ini berarti bahwa Ida tidak
pergi ke pasar bernilai benar. Dengan demikian, pernyataan Ida pergi ke
pasar bernilai salah. Karena pernyataan Ida pergi ke pasar bernilai salah
dan premis 1 bernilai benar, maka diperoleh pernyataan Ida pergi ke
kampus bernilai benar. Jadi argumen di atas bernilai valid, karena premis–
premis bernilai benar mengakibatkan kesimpulan bernilai benar.
Contoh 4.3
Premis 1 : Jika Ani rajin, maka Ani pandai.
Premis 2 : Ani tidak pandai.
Premis 3 : Oleh karena itu, Ani rajin.
Analisis validitas
Misalkan premis 1 dan premis 2 benar. Hal ini berarti bahwa Ani
tidak pandai bernilai benar. Dengan demikian, pernyataan Ani pandai
bernilai salah. Karena pernyataan Ani pandai bernilai salah dan premis 1
bernilai benar, maka Ani rajin bernilai salah. Jadi, karena premis-premis
bernilai benar melahirkan kesimpulan bernilai salah, maka argumen tidak
valid.
Untuk mengefektifkan latihan penilaian validitas argumen, selanjut-
nya argumen ditulis dalam bentuk simbol.
Contoh 4.4
Jika pernyataan–pernyataan yang ada pada Contoh 4.2 di atas disimbol
sebagai berikut :
Pernyataan “Ida pergi ke kampus” disimbol .
Pernyataan “Ida pergi ke pasar” disimbol .
ARGUMEN 59
Maka argumen pada Contoh 4.2 disimbol seperti
Contoh 4.5
Jika pernyataan–pernyataan yang ada pada contoh 4.3 di atas disimbol
sebagai berikut :
Pernyataan “Ani rajin” disimbol .
Pernyataan “Ani pandai” disimbol .
Maka argumen di atas disimbol
Uji validitas argumen dapat dilakukan dengan beberapa metode.
Dalam pembahasan ini disajikan metode tabel nilai kebenaran dan metode
diagram alir.
4.1. Metode tabel kebenaran
Metode tabel nilai kebenaran dijalankan sebagai berikut :
Tuliskan semua nilai kebenaran dari premis – premis dan kesimpulan
dalam satu tabel. Karena validitas argumen berarti premis–premis yang
benar akan mengantar ke kesimpulan yang benar, maka nilai – nilai yang
diperhatikan pada tabel adalah nilai–nilai benar pada premis. Selain dari
nilai–nilai tersebut tidak diperhatikan.
Contoh 4.6
60 ARGUMEN
Tabel nilai kebenaran
Pernyataan pembangun Premis - premis kesimpulan
Pada tabel hanya ada satu baris (baris dua) dengan nilai premis –
premis bernilai benar. Karena premis yang bernilai benar mengantar ke
kesimpulan yang bernilai benar, maka argumen valid.
Contoh 4.7
Pernyataan pembangun Premis - premis kesimpulan
Ada dua baris (baris tiga dan baris empat) dengan nilai–nilai premis yang
benar. Karena premis–premis benar pada baris empat mengantar ke
kesimpulan yang salah maka argumen TIDAK VALID.
Contoh 4.8
ARGUMEN 61
Pernyataan pembangun Premis - premis kesimpulan
Pada tabel hanya ada satu baris (baris satu) dengan nilai premis–
premis bernilai benar. Karena premis–premis bernilai benar mengantar ke
kesimpulan benar, maka argumen valid.
Contoh 4.9
Pernyataan pembangun Premis - premis kesimpulan
Karena tidak ada baris dengan premis – premis bernilai benar, maka
argumen valid.
Berikut disajikan contoh-contoh sebagai latihan bagi pembaca
menguji validitas argumen.
Contoh 4.10
Diberikan argumen,
62 ARGUMEN
Lengkapilah tabel berikut untuk memeriksa validitas argumen.
Pernyataan pembangun Premis - premis kesimpulan
Contoh 4.11
Diberikan argumen,
Lengkapi tabel berikut untuk memeriksa validitas argument.
Pernyataan pembangun Premis - premis kesimpulan
Contoh 4.12
Diberikan argumen,
Lengkapi tabel berikut untuk memeriksa validitas argumen!
Pernyataan pembangun Premis - premis kesimpulan
ARGUMEN 63
Contoh – contoh yang telah diberikan adalah contoh – contoh
argumen dengan dua unsur pembangun. Berikut diberikan contoh – contoh
argumen dengan tiga unsur pembangun.
Contoh 4.13
Pernyataan pembangun Premis - premis kesimpulan
Hanya ada satu baris (baris terakhir) dengan premis – premis benar.
Karena premis – premis benar mengantar ke kesimpulan benar, maka
argumen valid.
Contoh 4.14
Pernyataan pembangun Premis – premis kesimpulan
64 ARGUMEN
Baris keempat pada tabel memenuhi premis – premis benar. Karena
premis – premis benar mengantar ke kesimpulan salah, maka argumen
tidak valid.
Contoh 4.15
Diberikan argumen dengan tiga pernyataan pembangun. Lengkapilah
tabel kemudian lakukan analisis.
Pernyataan pembangun Premis – premis kesimpulan
Contoh 4.16
Diberikan argumen dengan tiga pernyataan pembangun. Lengkapilah
tabel kemudian lakukan analisis.
Pernyataan pembangun Premis – premis kesimpulan
ARGUMEN 65
Pernyataan pembangun Premis – premis kesimpulan
4.2. Metode Diagram Alir
Uji validitas argumen menggunakan metode diagram alir dilakukan
dengan dua cara. Cara pertama disebut cara langsung dan cara kedua
disebut cara tidak langsung.
4.2.1. Cara Langsung
Uji validitas dengan cara langsung dilakukan sebagai berikut :
Tetapkan nilai premis–premis benar. Dari nilai premis yang benar
diturunkan nilai–nilai menggunakan logika untuk memastikan nilai
kebenaran dari kesimpulan. Apabila dapat dipastikan bahwa nilai
kebenaran kesimpulan adalah benar, maka argumen valid. Jika tidak
demikian, maka argumen TIDAK VALID.
Contoh 4.17
Diberikan argumen
66 ARGUMEN
Diagram alir pengujjian validitas
Karena kesimpulan argumen, yaitu bernilai benar, maka argumen valid.
Contoh 4.18
Diberikan argumen
Diagram alir pengujjian validitas
Karena kesimpulan, yaitu , bisa bernilai dan bisa bernilai maka
argumen TIDAK VALID.
𝑝 𝑞 𝐵
𝑝 𝑆 𝐵
𝑝 𝐵
𝑞 𝐵 =B
𝑞 𝑆
𝑝 𝑞 𝐵
𝑆 𝑞 𝐵
𝑞 𝐵 𝑆
𝑝 𝑆
𝑝 𝐵 =M=B
𝑝 𝑆
ARGUMEN 67
Contoh 4.19
Diberikan argumen
Diagram alir pengujjian validitas
Karena pada diagram alir ada aliran yang menghasilkan kesimpulan, yaitu
bernilai Salah maka argumen TIDAK VALID.
Berikut diberikan contoh argumen dengan tiga pernyataan pembangun.
Contoh 4.20
Diberikan argumen
𝑝 𝑞 𝐵
𝑝 𝐵 𝑞 𝐵
𝑝 𝑆 𝑞 𝑆
𝑝 𝑞 𝐵
𝑝 𝑆 𝐵
𝑝 𝑆
𝑝 𝐵
68 ARGUMEN
Diagram alir pengujjian validitas
Karena pada diagram alir ada aliran yang menghasilkan kesimpulan, yaitu
, bernilai benar, maka argumen valid.
Contoh 4.21
Diberikan argumen
𝑝 𝑞 𝐵
𝑞 𝑟 𝐵
𝑞 𝑆 𝐵
𝑞 𝐵
𝑞 𝑆
𝑟 𝐵
𝑟 𝑆
𝑝 𝑆 𝐵
𝑝 𝑆
𝑝 𝐵
ARGUMEN 69
Diagram alir pengujjian validitas
Karena diperoleh kesimpulan, yaitu , bernilai Salah maka argumen
TIDAK VALID.
Berikut diberikan contoh argumen yang kesimpulannya berbentuk
implikasi.
Contoh 4.22
Diberikan argumen
Karena kesimpulan berbentuk implikasi, maka untuk membuktikan
kebenarannya dimisalkan anteseden benar selanjutnya dicari nilai
konsekuensi. Jika nilai konsekuensi ternyata benar, maka implikasi
bernilai benar.
𝑝 𝑞 𝐵 𝑞 𝑟 𝐵 𝑟 𝐵
𝑝 𝑆 𝐵
𝑝 𝐵
𝑝 𝑆
𝑞 𝑆 𝐵
𝑞 𝐵
𝑟 𝑆
70 ARGUMEN
Dengan memisalkan bernilai benar dapat diturunkan bahwa bernilai
benar. Oleh karena itu, implikasi bernilai benar. Dengan
demikian, argumen Valid.
Contoh 4.23
Diberikan argumen
Karena kesimpulan berbentuk disjungsi, maka untuk membuktikan
kebenarannya dapat dimisalkan salah satu dari pernyataan pembangunnya
bernilai Salah. Selanjutnya, dari nilai ini diturunkan untuk mendapatkan
nilai benar pernyataan pembangun yang Salah.
𝑝 𝑞 𝐵 𝑝 𝑟 𝐵
𝑝 𝑆 𝐵
𝑟 𝐵
𝑟 𝑆
𝑝 𝐵
𝐵 𝑞 𝐵
𝑞 𝐵
ARGUMEN 71
Dengan memisalkan bernilai salah dapat diturunkan bahwa bernilai
benar. Oleh karena itu, disjungsi bernilai benar. Dengan demikian,
argumen Valid.
4.2.2. Metode Tidak Langsung
Uji validitas dengan metode diagram alir cara langsung kadang – kadang
sulit dilakukan. Oleh karena itu, diperlukan juga cara tidak langsung.
Pada cara tidak langsung dimisalkan kesimpulan bernilai Salah. Dari
pemisalan ini diturunkan nilai–nilai logika dikombinasikan dengan nilai
benar dari premis –premis. Apabila dalam penurunan diperoleh suatu
kontradiksi, maka metode tidak langsung berhasil. Dengan kata lain,
argumen valid. Apabila dalam proses penurunan tidak ditemukan hal yang
kontradiksi, maka metode gagal. Dengan kata lain, argumen tidak dapat
dinilai.
𝑝 𝑞 𝐵 𝐵
𝑞 𝑟 𝐵
𝑞 𝑆 𝐵
𝑟 𝑆
𝑞 𝑆
𝑞 𝐵
𝑝 𝐵 𝐵
𝑝 𝐵
72 ARGUMEN
Contoh 4.24
Diberikan argumen
Pada metode tidak langsung kesimpulan dimisalkan salah. Jadi dalam
hal ini dimisalkan salah.
Dari pemisalan di atas diperoleh diagram alir sbb :
Pada akhir diagram diperoleh . Hal ini merupakan suatu
kontradiksi. Dengan demikian, argumen valid.
Contoh 4.25
Diberikan argumen
Karena kesimpulan adalah maka pada metode tidak langsung,
dimisalkan Salah. Dengan pemisalan seperti ini, diagram alir tampak
sebagai berikut.
𝑝 𝑞 𝐵 𝑝 𝑞 𝐵
𝑝 𝑆 𝐵
𝑞 𝑆
𝑝 𝐵
𝐵 𝑆 𝐵
ARGUMEN 73
Pada akhir diagram alir diperoleh . Hal ini merupakan suatu
kontradiksi. Dengan demikian, argumen Valid.
Contoh 4.26
Diberikan argumen
Untuk metode tidak langsung dimisalkan kesimpulan bernilai salah.
Jadi dimisalkan bernilai Salah. Sedangkan, jika implikasi
bernilai salah, maka diperoleh benar dan salah. Sehingga diagram
alir tampak sebagai berikut:
𝑝 𝑞 𝐵 𝑟 𝑞 𝐵 𝑟 𝐵
𝐵 𝑞 𝐵
𝑞 𝐵
𝑆 𝐵 𝐵
𝑝 𝑆
74 ARGUMEN
Pada akhir diagram alir diperoleh . Hal ini merupakan suatu
kontradiksi. Dengan demikian, argumen Valid.
Contoh 4.27
Diberikan argumen
Untuk metode tidak langsung dimisalkan kesimpulan bernilai Salah.
Jadi dimisalkan Salah. Sedangkan, jika disjungsi bernilai salah,
maka bernilai salah dan bernilai salah. Sehingga diagram alir
tampak seperti berikut.
𝑝 𝑞 𝐵 𝑝 𝑟 𝐵
𝐵 𝑆 𝐵
𝑟 𝑞 𝑆
𝑟 𝐵 𝑞 𝑆
𝑝 𝑆 𝐵
𝑟 𝑆
𝑝 𝐵
ARGUMEN 75
Pada akhir diagram alir diperoleh . Hal ini merupakan suatu
kontradiksi. Dengan demikian argumen Valid.
Soal-soal Latihan.
1. Buatlah rangkuman satu halaman dari uraian materi di atas.
Berikanlah keterangan bagian materi yang tersulit.
2. Perhatikan kembali contoh-contoh yang disajikan pada bagian ini.
Urutkanlah nomor contoh-contoh tersebut mulai dari yang tersulit
sampai yang termudah.
3. Jelaskan definisi metode tabel kebenaran, metode diagram alir dalam
menentukan argument
4. Diketahui premis satu yaitu Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik kelas
dan premis dua yaitu Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan
baju. Jelaskan kesimpulan dari kedua premis berikut.
𝑝 𝑞 𝐵 𝑞 𝑟 𝐵
𝑆 𝐵 𝐵
𝑞 𝑆 𝐵
𝑞 𝑆
𝑞 𝐵
𝑝 𝑟 𝑆
𝑟 𝑆 𝑝 𝑆
76 ARGUMEN
5. Uji Validitas argumen
6. Uji Validitas argumen
7. Ujji Validitas argumen
9. Uji validitas argument berikut:
Jika harga jatuh atau upah naik maka pedagang eceran meningkat
dan kesibukan iklan akan meningkat. Jika pedagang eceran meningkat
maka pedagang kecil akan mendapat banyak uang. Pedagang kecil
tidak mendapat banyak uang. Oleh karena itu, harga tidak jatuh.
PERNYATAAN BERKUANTOR 77
PERNYATAAN BERKUANTOR
Kalimat pernyataan ada yang berlaku umum dan tidak berlaku umum.
Untuk melihat hal ini, digunakan kuantor universal dan kuantor eksistensi.
Materi ini membahas tentang kalimat berkuantor. Ada dua jenis kuantor
yang digunakan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensi. Dalam
pokok bahasan ini, akan dikaji kalimat yang menggunakan kuantor tunggal
dan kuantor jamak (lebih dari satu kuantor). Selain dari itu, akan diuraikan
cara menentukan negasi dari kalimat berkuantor, baik yang menggunakan
kuantor tunggal maupun yang menggunakan kuantor jamak.
5.1. Predikat
Pernyataan yang memuat variabel, seperti dan
, dalam kalimat Matematika sering dijumpai. Pernyataan
lebih besar dari terdiri dari dua bagian. Bagian pertama adalah variabel
yang merupakan subjek dari pernyataan. Bagian yang kedua adalah
lebih besar dari yang merupakan predikat. Dalam hal ini kita dapat
menyimbolkan lebih besar dari dengan dimana menandakan
predikat lebih besar dari dan adalah variabel. Pernyataan juga
disebut nilai dari fungsi proposisional pada Setiap kita memberikan
nilai ke- maka pernyataan mempunyai nilai kebenaran. Perhatikan
contoh berikut :
Contoh 5.1
menandakan pernyataan Apakah nilai kebenaran dari
dan ?
Jawaban:
Nilai kebenaran pernyataan diperoleh dengan menetapkan
dalam pernyataan Oleh karena adalah pernyataan
BAB
5
78 PERNYATAAN BERKUANTOR
yang bernilai benar. Namun demikian yang merupakan pernyataan
bernilai salah.
Untuk lebih memperjelas diberikan contoh berikut.
Contoh 5.2
menandakan pernyataan Apakah nilai kebenaran dari
dan ?
Penyelesaian :
menandakan pernyataan (x lebih kecil atau sama dengan 5).
Nilai kebenaran pernyataan diperoleh dengan menetapkan
dalam pernyataan Oleh karena adalah pernyataan
yang bernilai benar. Nilai kebenaran pernyataan diperoleh dengan
menetapkan dalam pernyataan Oleh karena adalah
pernyataan yang bernilai benar. Namun demikian yang
merupakan pernyataan bernilai salah.
Lengkapilah jawaban contoh berikut untuk menambah pemahaman!
Contoh 5.3
menandakan pernyataan atau . Apakah nilai
kebenaran dari dan ?
Jawaban:
PERNYATAAN BERKUANTOR 79
Suatu pernyataan dapat memuat lebih dari satu variabel. Sebagai
contoh pernyataan Kita dapat menyimbolkan pernyataan ini
dengan dimana dan adalah variabel dan adalah predikat.
Jika suatu nilai diberikan pada dan maka pernyataan
mempunyai nilai kebenaran.
Contoh 5.4
Misalkan menandakan pernyataan Apakah nilai
kebenaran dari pernyataan dan
Jawaban:
Untuk mendapat nilai kebenaran tetapkan dan pada
pernyataan Dari sini diketahui bahwa adalah pernyataan
yang bernilai salah. Pernyataan adalah pernyataan
yang merupakan pernyataan benar.
Contoh 5.5
Misalkan menandakan pernyataan Apakah nilai
kebenaran dari pernyataan dan
Jawaban:
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan)
80 PERNYATAAN BERKUANTOR
Secara umum, pernyataan yang memuat variabel
dapat disimbolkan dengan Pernyataan yang berbentuk
adalah nilai dari fungsi proposisional pada pasangan
terurut ( dan juga disebut predikat.
5.2. Kuantor
5.2.1. Kuantor Tunggal
Jika semua variabel dalam fungsi proposisional ditetapkan, maka
pernyataan yang dihasilkan mempunyai nilai kebenaran. Namun demikian,
ada cara lain untuk mengubah fungsi proposisi ke dalam proposisi
(pernyataan) yang disebut kuantifikasi (kuantor). Selanjutnya, nilai
kebenaran proposisi ini bisa ditentukan nilai kebenarannya, meskipun
variabelnya belum ditentukan. Dua tipe kuantifikasi (kuantor) yang akan
kita bicarakan yaitu kuantifikasi (kuantor) universal dan kuantor eksistensi.
Banyak pernyataan Matematika yang menuntut bahwa pernyataan
harus bernilai benar untuk semua nilai dari variabel yang berasal dari
domain tertentu yang disebut semesta pembicaraan. Pernyataan yang
mengandung kuantor universal adalah bernilai benar jika dan hanya jika
bernilai benar untuk semua nilai dari dalam semesta pembicaraan.
Definisi 5.1
Kuantor universal dari adalah preposisi
adalah benar untuk semua nilai dari dalam semesta pembicaraan
Notasi menandakan kuantor universal dari Preposisi
juga diekspresikan sebagai
Untuk semua atau Untuk setiap
Contoh 5.6
Ekspresikan pernyataan
Setiap mahasiswa dalam kelas ini sudah belajar Matematika
sebagai sebuah kuantor universal!
PERNYATAAN BERKUANTOR 81
Penyelesaian :
Misalkan menandakan pernyataan
sudah belajar Matematika ,
maka pernyataan Setiap mahasiswa dalam kelas ini sudah belajar
Matematika dapat ditulis seperti dengan semesta
pembicaraannya adalah mahasiswa dalam kelas. Pernyataan ini dapat juga
diekspresikan sebagai
dengan adalah pernyataan adalah berada dalam kelas ini
seperti sebelumnya, dan semesta pembicaraan adalah semua
mahasiswa.
Contoh di atas mengilustrasikan bahwa sering ada lebih dari satu cara
untuk mengekspresikan suatu kuantor.
Contoh 5.7
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran dari
kuantor dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan
riil?
Penyelesaian :
Karena adalah benar untuk semua bilangan riil maka kuantor
bernilai benar.
Contoh 5.8
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran dari
kuantifikasi dengan semesta pembicaraan adalah himpunan
bilangan riil?
Penyelesaian :
Karena bernilai salah maka bernilai salah.
Jika semua elemen dalam semesta pembicaraan dapat didaftar katakan
maka kuantor universal sama dengan konjungsi
karena konjungsi ini benar jika dan hanya
jika semuanya benar.
82 PERNYATAAN BERKUANTOR
Banyak pernyataan Matematika yang menuntut ada elemen yang
mempunyai sifat tertentu. Pernyataan seperti ini diekspresikan
menggunakan kuantor eksistensi. Dengan kuantor eksistensi, kita
membentuk pernyataan (preposisi) yang bernilai benar jika dan hanya jika
benar untuk paling sedikit satu nilai dalam semesta pembicaraan.
Definisi 5.2
Kuantor eksistensi dari adalah preposisi
ada satu elemen dalam semesta pembicaraan sedemikian sehingga
bernilai benar
Kuantor eksistensi menggunakan simbol
Kuantor eksistensi juga diekspresikan sebagai
Ada satu sedemikian sehingga atau
Ada paling sedikit satu sedemikian sehingga atau
Untuk beberapa
Contoh 5.9
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran dari kuantor
dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan riil?
Penyelesaian :
Karena adalah benar untuk maka kuantor eksistensi dari
yaitu bernilai benar.
Contoh 5.10
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai dari kuantor
dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan riil?
Penyelesaian :
Karena adalah salah untuk setiap bilangan riil maka kuantor
eksistensi dari yaitu bernilai salah.
PERNYATAAN BERKUANTOR 83
Contoh 5.11
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai dari kuantor
dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan bulat?
Penyelesaian :
Karena adalah salah untuk setiap bilangan riil maka kuantor
eksistensi dari yaitu bernilai salah.
Berikut diberikan tabel nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor.
Tabel 5.1 Kuantor Tunggal
Pernyataan
Kapan bernilai benar ? Kapan bernilai salah ?
bernilai benar untuk setiap Ada suatu dengan
salah
Ada suatu dengan bernilai
benar
bernilai salah untuk
setiap
Jika semua elemen dalam semesta pembicaraan dapat didaftar,
katakanlah maka kuantor eksistensi adalah sama
dengan disjungsi
karena disjungsi ini benar jika dan hanya jika paling sedikit satu dari
bernilai benar.
Contoh 5.12
Apa nilai kebenaran dari dengan adalah pernyataan
dan semesta pembicaraan adalah bilangan bulat positif yang tidak lebih
dari 4?
Penyelesaian :
Karena semesta pembicaraan adalah { } maka preposisi
adalah sama seperti disjungsi
Karena yaitu pernyataan bernilai benar, maka
bernilai benar.
84 PERNYATAAN BERKUANTOR
Lengkapi contoh berikut untuk menambah pemahaman!
Contoh 5.13
Apa nilai kebenaran dari dimana adalah pernyataan
dan semesta pembicaraan adalah bilangan bulat positif yang
terletak antara 10 dan 20?
Penyelesaian :
Karena semesta pembicaraan adalah { } maka preposisi
adalah sama seperti disjungsi
5.2.2. Kuantor Berganda
Banyak pernyataan Matematika yang mengandung kuantor berganda dari
fungsi proposisional yang memuat lebih dari satu variabel. Hal yang
penting untuk dicatat bahwa urutan dari kuantor sangat berpengaruh dalam
menentukan nilai kebenaran, kecuali jika semua kuantor adalah kuantor
universal atau semua kuantor adalah kuantor eksistensi. Sebagai ilustrasi,
perhatikan dua penyataan berkuantor berikut!
1. Setiap bangku ada mahasiswa sedemikian sehingga mahasiswa
duduk di bangku tersebut
2. Ada mahasiswa (sehingga) setiap bangku, Mahasiswa duduk di
bangku tersebut.
Nilai kebenaran dari kalimat pernyataan berkuantor ganda disajikan
pada tabel berikut.
PERNYATAAN BERKUANTOR 85
Tabel 5.2 Kuantor Berganda
Pernyataan Kapan bernilai benar ? Kapan bernilai salah ?
bernilai benar
untuk setiap pasangan
Ada pasangan yang mana
bernilai salah.
Untuk setiap ada suatu
yang mana benar
Ada suatu sedemikian
sehingga bernilai
salah untuk setiap Ada suatu dimana
bernilai benar
untuk setiap
Untuk setiap dan dimana
bernilai salah
Ada pasangan yang
mana bernilai benar
bernilai salah untuk
setiap pasangan
Untuk lebih memperjelas kuantor berganda, perhatikan contoh–
contoh berikut ini! Untuk setiap contoh, semesta pembicaraannya adalah
himpunan bilangan riil jika semesta pembicaraan tidak ditegaskan yang
lain.
Contoh 5.14
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran
dari kuantor
Penyelesaian :
Kuantor menandakan preposisi
Untuk semua bilangan riil dan untuk semua bilangan riil hal itu benar
bahwa
Karena adalah benar untuk semua bilangan riil dan maka
preposisi adalah benar.
Contoh 5.15
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran
dari kuantor
Penyelesaian :
Kuantor menandakan preposisi
Untuk semua bilangan riil dan untuk semua bilangan riil hal itu benar
bahwa
86 PERNYATAAN BERKUANTOR
Karena bernilai salah untuk nilai dan maka
preposisi adalah salah.
Lengkapilah contoh berikut!
Contoh 5.16
Misalkan adalah pernyataan Apa
nilai kebenaran dari kuantor
Penyelesaian :
Kuantor menandakan preposisi
Untuk semua bilangan riil dan untuk semua bilangan riil hal itu benar
bahwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Karena adalah . . . . . untuk semua bilangan riil dan maka
preposisi adalah . . . . . .
Contoh 5.17
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai
kebenaran dari kuantor
Penyelesaian :
Kuantor menandakan preposisi
Untuk semua bilangan riil dan untuk semua bilangan riil hal itu benar
bahwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Karena adalah . . . . . . . . untuk . . . . . . . . . . . maka
preposisi bernilai. . . . . . .
Contoh 5.18
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai
kebenaran dari kuantor
PERNYATAAN BERKUANTOR 87
Penyelesaian :
(tuliskan jawaban Anda pada runag kosong yang disediakan)
.
Contoh berikut diberikan untuk menambah wawasan tentang
pertukaran posisi kuantor.
Contoh 5.19
Misalkan menandakan Apa nilai kebenaran dari
kuantor ?
Penyelesaian :
Kuantor menandakan preposisi:
Ada bilangan riil sedemikian sehingga untuk setiap bilangan riil
bernilai benar
Tidak menjadi masalah nilai apa untuk yang dipilih, tetapi yang
jelas hanya ada satu nilai yang dapat memenuhi untuk nilai y
yang sudah dipilih terlebih dahulu. Karena tidak ada bilangan riil
sedemikian sehingga untuk setiap bilangan riil pernyataan
bernilai salah.
88 PERNYATAAN BERKUANTOR
Contoh 5.20
Misalkan menandakan Apa nilai kebenaran dari
kuantor
Penyelesaian :
Kuantor menandakan preposisi:
Untuk setiap bilangan riil ada suatu bilangan riil sedemikian sehingga
bernilai benar
Diberikan sebarang sebuah bilangan riil ada bilangan riil
sedemikian sehingga Bilangan riil yang memenuhi yaitu
Dari sini disimpulkan bahwa pernyataan bernilai
benar.
Contoh 5.19 dan 5.20 menunjukkan bahwa pertukaran urutan kuantor
dapat memberikan nilai kebenaran yang berbeda. Lengkapi contoh berikut
untuk menambah wawasan tentang pertukaran posisi kuantor!
Contoh 5.21
Misalkan menandakan Apa nilai kebenaran dari
kuantor
Penyelesaian :
(tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan)
Contoh 5.22
Misalkan menandakan Apa nilai kebenaran dari
kuantor
PERNYATAAN BERKUANTOR 89
Penyelesaian :
(tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan)
Ada banyak kalimat berkuantor yang memuat lebih dari dua variabel.
Perhatikan contoh – contoh berikut!
Contoh 5.23
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran
dari pernyataan
Penyelesaian :
Misalkan bahwa dan sudah ditetapkan nilainya terlebih dahuu.
Selanjutnya akan dipilih satu bilangan riil yang disimbol dengan yang
memenuhi kesamaan Untuk memenuhi persamaan tersebut
dipilih z adalah bilangan riil Jadi ada bilangan riil sedemikian
sehingga Sebagai akibatnya, kuantor yang
merupakan pernyataan Untuk semua bilangan riil dan untuk semua
bilangan riil ada bilangan riil sedemikian sehingga bernilai
benar.
Contoh 5.24
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran
dari pernyataan
Penyelesaian :
Disini, urutan dari kuantor sangat penting, karena kuantor
yaitu pernyataan Ada bilangan riil sedemikian
90 PERNYATAAN BERKUANTOR
sehingga untuk semua bilangan riil dan semua bilangan riil hal itu
benar bahwa bernilai salah karena tidak ada nilai dari yang
memenuhi persamaan untuk semua nilai dari dan Bilangan
riil yang disimbol dengan x dan y yang memenuhi hanya
bilangan rill tertentu saja,
Lengkapi contoh berikut!
Contoh 5.25
Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran dari
pernyataan dan pernyataan
Penyelesaian :
Contoh 5.26
Misalkan adalah pernyataan
Apa nilai kebenaran dari
pernyataan dan pernyataan
Penyelesaian :
PERNYATAAN BERKUANTOR 91
5.2.3. Negasi dari Pernyataan Berkuantor
Seperti halnya dengan kalimat pernyataan biasa, kalimat berkuantor
memiliki juga negasi. Sebagai contoh, amati negasi dari pernyataan :
Setiap mahasiswa dalam kelas ini sudah lulus Matematika “
Pernyataan ini adalah sebuah kuantor universal, yaitu :
dengan adalah pernyataan lulus Matematika
Negasi dari pernyataan ini adalah Hal itu tidak benar bahwa setiap
mahasiswa dalam kelas ini sudah lulus Matematika Penyataan ini
ekuivalen dengan Ada mahasiswa dalam kelas ini yang belum lulus
Matematika Dapat dilihat bahwa pernyataan
“Ada mahasiswa dalam kelas ini yang belum lulus Matematika
merupakan kuantor eksistensi dari negasi dari fungsi proporsisional
semula, yaitu
Oleh karena itu, diperoleh hubungan:
[ ]
Lebih lanjut, negasi dari kuantor eksistensi diilustrasikan oleh contoh
berikut.
Perhatikan preposisi “Ada mahasiswa dalam kelas ini yang sudah
lulus Matematika Ini adalah kuantor eksistensi
Dengan adalah pernyataan sudah lulus Matematika Negasi
dari pernyataan ini adalah preposisi Hal itu tidak benar bahwa ada
mahasiswa dalam kelas ini yang sudah lulus Matematika Pernyataan ini
ekuivalen dengan Setiap mahasiswa dalam kelas ini belum lulus
Matematika Kalimat terakhir tidak lain hanya merupakan kuantor
universal dari negasi fungsi proporsisional semula, yaitu :
Contoh ini merupakan ilustrasi dari hubungan ekuivalen berikut :
[ ]
92 PERNYATAAN BERKUANTOR
Negasi dari kuantor diberikan dalam table 5.3 berikut :
Tabel 5.3 Negasi dari Kuantor
Negasi
Pernyataan
ekuivalen
Kapan negasi
benar?
Kapan negasi
salah?
[ ] adalah salah
untuk setiap
Ada suatu
dimana bernilai benar
[ ] Ada suatu yang
mana bernilai
salah
bernilai benar
untuk setiap
Negasi dari kuantor berganda dijelaskan sebagai berikut. Perhatikan
ilustrasi di bawah!
“Setiap mahasiswa ada pondok sedemikin sehingga mahasiswa
mondok pada pondokan tersebut. Pernyataan ini disimbol ”
dengan adalah pernyataan x mondok di y. Negasi dari pernyataan
tersebut adalah “hal itu tidak benar bahwa, setiap mahasiswa ada pondok
sedemikin sehingga mahasiswa mondok pada pondokan tersebut.
Pernyataan ini ekuivalen dengan “ada mahasiswa sehingga setiap pondok,
mahasiswa tersebut tidak mondok pada pondokan tersebut”. Pernyataan ini
disimbol ”.
Tabel 5.4Negasi Kuantor Berganda
Pernyataan Negasi Pernyataan
Contoh 5.27
Negasi dari adalah .
Negasi dari adalah .
PERNYATAAN BERKUANTOR 93
Contoh 5.28
Negasi dari adalah
.
Contoh 5.29
Misalkan adalah pernyataan
Apa nilai kebenaran dari
NEGASI pernyataan
Penyelesaian:
(Tuliskan analisis Anda pada ruang kosong yang disediakan!)
Soal-soal Latihan
1. Buatlah rangkuman satu halaman dari uraian materi di atas.
Berikanlah keterangan bagian materi yang tersulit.
2. Perhatikan kembali contoh-contoh yang disajikan pada bagian ini.
Urutkanlah nomor contoh-contoh tersebut mulai dari yang tersulit
sampai yang termudah.
3. Misalkan adalah pernyataan Apa
nilai kebenaran dari kuantor
94 PERNYATAAN BERKUANTOR
4. Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran
dari pernyataan dan pernyataan
5. Misalkan adalah pernyataan Apa nilai
kebenaran dari kuantor
6. Misalkan menandakan x - y Apa nilai kebenaran dari
kuantor jika semesta pembicaraan adalah bilangan
bulat.
7. Misalkan adalah pernyataan
Apa nilai kebenaran dari kuantor jika semesta
pembicaraan adalah bilangan bulat.
8. Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran dari
kuantor dengan semesta pembicaraan adalah himpunan
bilangan riil?
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 95
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP
FUNGSI
Fungsi, dalam arti Matematika, didefinisikan menggunakan kalimat
pernyataan yang mengandung kuantor. Oleh karena itu, beberapa hal
terkait fungsi menggunakan kalimat berkuantor, misalnya domain dan
range. Lebih lanjut, fungsi dikelompokkan dalam beberapa jenis,
Pengelompokan ini juga menggunakan kalimat berkuantor. Materi pada
bagian ini, membahas penggunaan kalimat berkuantor pada pendefinisian
fungsi, pengertian domain dan range fungsi, dan penentuan jenis-jenis
fungsi.
6.1. Penggunaan Logika pada Konsep Daerah Asal dan
Daerah Jangkauan Fungsi
Misalkan f adalah proses pengawanan dari himpunan A ke himpunan B,
maka daerah asal (domain) dari f adalah himpunan semua objek-objek
anggota A yang mempunyai kawan objek di B. Dalam bentuk simbol
daerah asal f ditulis:
{ | }
Memperhatikan definisi dari daerah asal, berikut akan dipaparkan
kalimat logika yang digunakan untuk memeriksa daerah asal fungsi.
Misalkan x adalah suatu objek dalam A atau dalam bentuk simbol
, maka untuk memeriksa apakah x berada dalam daerah domain f
digunakan kalimat pernyataan:
Terdapat objek y dalam B yang berkawan dengan x,
atau dalam bentuk simbol:
Jika kalimat pernyataan di atas benar, maka x berada dalam daerah
asal f dan jika kalimat pernyataan di atas salah, maka x tidak berada dalam
daerah asal f.
BAB
6
96 PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI
Contoh 6.1
Misalkan { } dan { } Aturan pengawanan “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat ditarik
kesimpulan bahwa 5 tidak berada dalam daerah asal “f” karena
pernyataan bernilai salah. Nilai salah dari pernyataan
ini dapat dilihat dengan jelas, karena nilai kebenaran dari negasi penyataan
tersebut:
bernilai benar.
Pada sisi lain, dapat dilihat dengan mudah bahwa 3 berada dalam
daerah asal karena pernyataan:
benilai benar. Lebih jelasnya, bernilai benar.
Untuk lebih memperjelas pengertian daerah asal, berikut disajikan
contoh selanjutnya.
Contoh 6.2
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan pengawanan
“f” diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat ditarik
kesimpulan bahwa 2 tidak berada dalam daerah asal “f” karena
pernyataan bernilai salah. Nilai salah dari pernyataan
ini dapat dilihat dengan jelas, karena nilai kebenaran dari negasi penyataan
tersebut:
(
)
bernilai benar.
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 97
Untuk anggota A yang lain, dapat dengan mudah dilihat bahwa
mereka berada dalam daerah asal karena pernyataan
bernilai benar untuk semua nilai x kecuali
Contoh berikut diberikan kepada mahasiswa untuk berlatih
menentukan daerah asal.
Contoh 6.3
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan pengawanan
“f” diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
(tentukanlah lima objek yang merupakan anggota daerah asal dan objek-objek
yan bukan merupakan anggota daerah asal. Tuliskan jawaban Anda pada ruang
kosong yang disediakan!)
Berikut diberikan kesempatan sekali lagi kepada pembaca untuk
membuat contoh yang berbeda dengan sebelumnya.
Contoh 6.4
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan pengawanan
“f” diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
98 PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI
(isilah titik-titik di atas kemudian tentukanlah objek-objek yang merupakan atau
bukan merupakan anggota daerah asal! Tuliskan jawaban Anda pada ruang
kosong yang disediakan!)
Bahasan selanjutnya adalah penggunaan logika pada konsep daerah
jangkauan fungsi.
Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka
daerah jangkauan (range) dari f adalah himpunan semua objek-objek
anggota B yang mempunyai kawan objek di A. Dalam bentuk simbol
daerah jangkauan f ditulis:
{ | }
Memperhatikan definisi dari daerah asal, berikut akan dipaparkan
kalimat logika yang digunakan untuk memeriksa daerah jangkauan fungsi.
Misalkan y adalah suatu objek dalam B atau dalam bentuk simbol
, maka untuk memeriksa apakah y berada dalam daerah jangkauan
f digunakan kalimat pernyataan:
Terdapat objek x dalam A yang berkawan dengan y,
atau dalam bentuk simbol:
Jika kalimat pernyataan di atas benar, maka y berada dalam daerah
jangkauan f dan jika kalimat pernyataan di atas salah, maka y tidak berada
dalam daerah jangkauan asal f.
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 99
Contoh 6.5
Misalkan { } dan { } Aturan pengawanan “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat ditarik
kesimpulan bahwa 1 tidak berada dalam daerah jangkauan “f” karena
pernyataan bernilai salah. Nilai salah dari pernyataan
ini dapat dilihat dengan jelas, karena nilai kebenaran dari negasi penyataan
tersebut:
bernilai benar.
Pada sisi lain, dapat dilihat dengan mudah bahwa 6 berada dalam
daerah jangkauan karena pernyataan:
benilai benar. Lebih jelasnya, bernilai benar.
Untuk lebih memperjelas pengertian daerah jangkauan, berikut
disajikan contoh yang lain.
Contoh 6.6
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Mencermati aturan fungsi “f” yang diberikan, dapat ditarik
kesimpulan bahwa tidak berada dalam daerah jangkauan “f” karena
pernyataan bernilai salah. Nilai salah dari pernyataan
ini dapat dilihat dengan jelas, karena nilai kebenaran dari negasi penyataan
tersebut:
(
)
bernilai benar.
100 PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI
Untuk anggota B yang lain, dapat dengan mudah dilihat bahwa
mereka berada dalam daerah jangkauan karena pernyataan
bernilai benar untuk semua nilai y kecuali
Contoh berikut diberikan kepada mahasiswa untuk berlatih menentukan
daerah asal.
Contoh 6.7
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
(tentukanlah objek-objek yang merupakan atau bukan merupakan anggota daerah
jangkau!. Tuliskan jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)
Contoh 6.8
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 101
(tentukanlah objek-objek yang merupakan atau bukan merupakan anggota
daerah jangkaun. Tuliskan jawaban Anda pada ruang kosong yang
disediakan!)
Berikut diberikan kesempatan sekali lagi kepada pembaca untuk
membuat contoh yang berbeda dengan sebelumnya.
Contoh 6.9
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
(isilah titik-titik di atas kemudian tentukanlah objek-objek yang merupakan atau
bukan merupakan anggota daerah jangkauan. Tuliskan jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)
102 PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI
6.2. Penggunaan Logika pada Konsep Fungsi Satu-satu dan
Pada
Dalam subbagian ini akan dipaparkan pengguanaan konsep logika pada
konsep fungsi satu-satu dan pada. Pada bagian awal akan dibahas
mengenai fungsi satu-satu.
Misalkan f adalah fungsi dari A ke B. Fungsi f dikatakan fungsi satu-
satu apabila tidak ada objek di B yang memiliki kawan lebih dari satu
objek di A. Dengan kata lain, f merupakan fungsi satu-satu apabila setiap
objek di B mempunyai kawan paling banyak satu objek di A. Dalam
bahasa logika, f merupakan fungsi satu-satu apabila pernyataan:
Untuk setiap b objek di B, jika b berkawan dengan a di A dan b
berkawan dengana c di A, maka a sama dengan c.
bernilai benar. Fungsi f bukan fungsi satu-satu apabila pernyataan tesebut
bernilai salah. Dalam bentuk simbol penyataan tersebut ditulis sebagai
berikut:
( )
Selanjutnya, untuk memeriksa apakah suatu fungsi merupakan fungsi
satu-satu, digunakan bahasa logika tersebut.
Contoh 6.10
Misalkan { } dan { } Aturan pengawanan “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek a dalam A berkawan dengan objek b dalam B, jika Dengan
kata lain, berkawan dengan , jika
Mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat ditarik
kesimpulan bahwa fungsi f bukan merupakan fungsi satu-satu, karena
pernyataan:
( )
bernilai salah. Kejelasan dari nilai salah pernyataan tersebut dapat dilihat
dari nilai benar negasi pernyataan tersebut:
( )
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 103
Dalam hal ini, ( )
bernilai benar.
Selanjutnya diberikan contoh fungsi satu-satu.
Contoh 6.11
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat ditarik
kesimpulan bahwa f merupakan fungsi satu-satu karena pernyataan:
( )
bernilai benar. Nilai benar ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Jika , maka dan jika , maka
Dari sini diperoleh Hal ini menyebabkan pernyataan tersebut
bernilai benar.
Contoh-contoh berikut disediakan sebagai wadah bagi pembaca untuk
lebih memahami penggunaan logika pada fungsi satu-satu.
Contoh 6.12
Misalkan { } dan { }.
Misalkan f adalah fungsi dari A ke B dengan aturan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
104 PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI
(Berikan alasan yang jelas menggunakan konsep logika kenapa f bukan fungsi
satu-satu! Tuliskan jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)
Contoh 6.13
Misalkan A dan B adalah himpuan bilangan rill. Misalkan f adalah fungsi
dari A ke B dengan aturan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
(isilah titik-titik di atas agar fungsi f merupakan fungsi satu-satu. Berikan alasan
yang jelas menggunakan konsep logika kenapa f adalah fungsi satu-satu. Tuliskan
jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 105
Pada bagian selanjutnya dibahas penggunaan konsep logika pada
fungsi pada.
Misalkan f adalah fungsi dari A ke B. Fungsi f dikatakan fungsi pada
jika semua objek di B memiliki kawan objek di A. Dengan kata lain, f
merupakan fungsi pada apabila setiap objek di B mempunyai kawan objek
di A. Dalam bahasa logika, f merupakan fungsi pada apabila pernyataan:
Untuk setiap b objek di B terdapat objek a di A sedemikain sehingga
b berkawan dengan a di A
bernilai benar. Fungsi f bukan fungsi pada apabila pernyataan tesebut
bernilai salah. Dalam bentuk simbol penyataan tersebut ditulis sebagai
berikut:
Selanjutnya, untuk memeriksa apakah suatu fungsi merupakan fungsi
pada, digunakan bahasa logika tersebut.
Contoh 6.14
Misalkan { } dan { } Aturan pengawanan “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek a dalam A berkawan dengan objek b dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat ditarik
kesimpulan bahwa fungsi f bukan merupakan fungsi pada, karena
pernyataan:
bernilai salah. Kejelasan dari nilai salah pernyataan tersebut dapat
dilihat dari nilai benar dari negasi pernyataan tersebut, yaitu:
Dalam hal ini, bernilai benar.
Selanjutnya diberikan contoh fungsi pada.
Contoh 6.15
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”
diberikan sebagai berikut:
106 PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat ditarik
kesimpulan bahwa f merupakan fungsi pada karena pernyataan:
bernilai benar. Nilai benar ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Contoh-contoh berikut disediakan sebagai wadah bagi pembaca untuk
lebih memahami penggunaan logika pada fungsi satu-satu.
Contoh 6.16
(isilah titik-titik di bawah agar fungsi f bukan fungsi pada. Berikan alasan yang
jelas menggunakan konsep logika kenapa f bukan fungsi pada. Tuliskan jawaban
Anda pada ruang kosong yang disediakan).
Misalkan { } dan { }.
Misalkan f adalah fungsi dari A ke B dengan aturan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 107
Contoh 6.17
(isilah titik-titik di bawah agar fungsi f fungsi pada. Berikan alasan yang jelas
menggunakan konsep logika kenapa f fungsi pada! Tuliskan jawaban Anda pada
ruang kosong yang disediakan!)
Misalkan { } dan { }.
Misalkan f adalah fungsi dari A ke B dengan aturan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Berikut diberikan contoh fungsi yang merupakan fungsi satu-satu dan
sekaligus merupakan fungsi pada.
Contoh 6.18
Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat ditarik
kesimpulan bahwa f merupakan fungsi satu-satu karena pernyataan:
( )
bernilai benar. Nilai benar ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Jika , maka dan jika , maka
Dari sini diperoleh Hal ini menyebabkan pernyataan tersebut
bernilai benar.
Pada sisi lain, mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat
ditarik kesimpulan bahwa f merupakan fungsi pada karena pernyataan:
108 PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI
bernilai benar. Nilai benar ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Dengan demikian, f adalah funsi satu-satu dan sekaligus fungsi pada.
Contoh 6.19
(Isilah titik-titik di bawah agar fungsi f merupakan fungsi satu-satu sekaligus
fungsi pada! Berikan alasan yang jelas menggunakan konsep logika! Tuliskan
jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)
Misalkan { } dan { }.
Misalkan f adalah fungsi dari A ke B dengan aturan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Soal-soal Latihan
1. Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan pengawanan
“f” diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Tentukanlah lima objek yang merupakan anggota daerah asal dan
objek-objek yan bukan merupakan anggota daerah asal.
2. Berikan alasan yang jelas menggunakan konsep logika kenapa f bukan
fungsi pada. Misalkan { } dan { }.
Misalkan f adalah fungsi dari A ke B dengan aturan sebagai berikut:
PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 109
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
3. Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
tentukanlah objek-objek yang merupakan atau bukan merupakan
anggota daerah jangkauan.
4. Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”
diberikan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
tentukanlah objek-objek yang merupakan atau bukan merupakan
anggota daerah jangkaun.
5. Misalkan { } dan { }.
Misalkan f adalah fungsi dari A ke B dengan aturan sebagai berikut:
Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika
Dengan kata lain, berkawan dengan , jika
Berikan alasan yang jelas menggunakan konsep logika kenapa f
bukan fungsi satu-satu!
110 PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI
PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT
FUNGSI
Pengertian limit fungsi di sebuah titik secara umum dinyatakan dalam
definisi berikut:
Definisi 7.1
Limit fungsi adalah pada titik dinotasikan dengan bentuk:
yang berarti bahwa mendekati apabila cukup dekat (tetapi
berbeda) dengan .
Kaitan antara kalimat di atas dengan kuantor adalah:
Pernyataan
bernilai benar jika dan hanya jika kalimat berkuantor
| | | |
yang dimaksud pada kalimat di atas adalah domain fungsi f.
Contoh 7.1
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai benar, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
Ambil selanjutnya akan dipilih yang akan membuat
implikasi
| | | |
bernilai benar. Proses pemilihan dilakukan seperti langkah-langkah
berikut.
BAB
7
PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI 111
| | | | | |
Karena| | | | maka jika dipilih Dengan
pemilihan seperti ini diperoleh
| | | |
| |
| |
Dengan demikian dapat disimpulkan implikasi
| | | |
bernilai benar.
Contoh berikut disajikan untuk memberikan kesempatan kepada pembaca
untuk berlatih.
Contoh 7.2
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai benar, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
Penyelesaian:
(tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan)
Cara atau teknik pemilihan dalam soal limit mempunyai banyak
cara tergantung dari jenis soal. Berikut disajikan contoh yang memiliki
cara pemilihan delta berbeda dengan contoh di atas.
112 PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI
Contoh 7.3
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai benar, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
Ambil selanjutnya akan dipilih yang akan membuat
implikasi
| | | |
bernilai benar. Proses pemilihan dilakukan seperti langkah-langkah
berikut.
| | | || |
Selanjutnya langkah pemilihan dilakukan dua tahap. Tahap pertama
pemilihan dibatasi pada interval (0,1]. Jadi dalam hal ini
Karena | | , maka
| | | | | | | |
Sehingga, karena diperoleh
| |
Dengan demikian,
| | | || |
Pemilihan tahap kedua, dari uraian di atas disimpulkan memilih adalah:
{
}
Selanjutnya dapat dilihat bahwa,
{
}
implikasi berikut
| | | |
bernilai benar.
PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI 113
Contoh berikut disajikan untuk memberikan kesempatan kepada pembaca
untuk berlatih.
Contoh 7.4
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai benar, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
(tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan)
Berikut disajikan contoh yang memiliki cara pemilihan berbeda dengan
contoh di atas.
Contoh 7.5
Untuk menunjukkan bahwa
√
bernilai benar, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | |√ |
Penyelesaian:
Ambil selanjutnya akan dipilih yang akan membuat
implikasi
| | |√ |
114 PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI
bernilai benar. Proses pemilihan dilakukan seperti langkah-langkah
berikut.
|√ | |(√ ) (√
√ )|
|√ | | |
√
| |
Dari pertidaksamaan di atas dipilih
Sekarang dapat dilihat bahwa
implikasi
| | |√ |
bernilai benar.
Contoh berikut disediakan untuk pembaca yang ingin segera berlatih.
Contoh 7.6
Untuk menunjukkan bahwa
√
bernilai benar, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | |√ |
Penyelesaian:
(Tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan!)
Beberapa buku yang membahas tentang limit, tidak membahas situasi
dan kondisi yang menunjukkan bahwa pernyataan
PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI 115
bernilai salah. Dari sudut pandang logika matematika, untuk menunjukkan
bahwa
bernilai salah, dapat ditunjukkan bahwa negasi dari
yaitu
bernilai benar. Dengan demikian, untuk menunjukkan
bernilai salah dapat ditunjukkan bahwa negasi dari
| | | |
bernilai benar. Sedangkan diketahui bahwa negasi dari
| | | |
adalah
| | | |
Ringkasan dari uraian di atas adalah sebagai berikut:
pernyataan
bernilai salah jika dan hanya jika kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Contoh 7.7
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
116 PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI
Penyelesaian:
Pilih
ambil dan pilih (
) . Selanjutya nilai-
nilai ini dimasukkan ke kalimat konjungsi
| | | |
diperoleh
|((
) ) | |( ((
) ) ) |
Disederhanakan menjadi
| | | |
Karena maka kalimat konjungsi ini selalu bernilai benar.
Contoh 7.8
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
Pilih
ambil dan pilih (
) . Selanjutya nilai-
nilai ini akan dimasukkan ke kalimat konjungsi
| | | |
Diperoleh
|((
) ) | |( ((
) ) ) |
Disederhanakan menjadi
| | | |
Karena maka kalimat konjungsi ini selalu bernilai benar.
PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI 117
Contoh berikut disediakan bagi pembaca yang ingin langsung berlatih.
Contoh 7.9
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
(tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan)
Hal yang sangat menentukan dalam pembuktian kebenaran kalimat
berkuantor pada soal limit di atas adalah pemilihan nilai x. Pemilihan nilai
x sangat bergantung pada bentuk fungsi f(x). Dua contoh sebelumnya
dipilih nilai x dengan koefisen positif. Berikut disajikan contoh-contoh
dengan pemilihan x yang berbeda dengan dua contoh sebelumnya.
118 PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI
Contoh 7.10
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
Pilih
ambil dan pilih (
) . Selanjutya
nilai-nilai ini akan dimasukkan ke kalimat konjungsi
| | | |
diperoleh
|( (
) ) | |( ( (
) ) ) |
Disederhanakan menjadi
| | | |
Karena maka kalimat konjungsi ini selalu bernilai benar.
Contoh 7.11
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
Pilih
ambil dan pilih (
) . Selanjutnya
nilai-nilai ini akan dimasukkan ke kalimat konjungsi
| | | |
diperoleh
|( (
) ) | |( ( (
) ) ) |
PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI 119
Disederhanakan menjadi
| | | |
Karena maka kalimat konjungsi ini selalu bernilai benar.
Contoh 7.12
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
Pilih
ambil dan pilih (
) . Selanjutnya
nilai-nilai ini akan dimasukkan ke kalimat konjungsi
| | | |
Diperoleh
|( (
) ) | |( ( (
) ) ) |
Disederhanakan menjadi
| | | |
Karena maka kalimat konjungsi ini selalu bernilai benar.
Contoh-contoh berikut disajikan bagi pembaca yang ingin segera berlatih.
Contoh 7.13
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
120 PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI
Penyelesaian:
(Tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan!)
Contoh 7.14
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
(Tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan!)
PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI 121
Contoh 7.15
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
Penyelesaian:
Pilih
ambil dan pilih (
) . Selanjutya nilai-
nilai ini akan dimasukkan ke kalimat konjungsi
| | | |
diperoleh
|((
) ) | ⋀ |( ((
) )
) | (
)
Disederhanakan menjadi
| | | |
Karena maka kalimat konjungsi ini selalu bernilai benar.
Contoh-contoh berikut disajikan bagi pembaca yang ingin segera berlatih.
Contoh 7.16
Untuk menunjukkan bahwa
bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | | |
bernilai benar.
122 PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI
Penyelesaian:
(Tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan!)
Contoh 7.17
Untuk menunjukkan bahwa
√
bernilai salah , akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | |√ |
bernilai benar.
Penyelesaian:
Pilih
ambil dan pilih (
) . SelanjutNya
nilai-nilai ini akan dimasukkan ke kalimat konjungsi
| | |√ |
diperoleh
|((
) ) | ⋀ |√ ((
) ) | (
)
PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI 123
Disederhanakan menjadi
| | |√ |
Karena dan √ maka kalimat konjungsi ini selalu
bernilai benar.
Contoh-contoh berikut disajikan bagi pembaca yang ingin segera berlatih.
Contoh 7.18
Untuk menunjukkan bahwa
√
bernilai salah akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor
| | |√ |
bernilai benar.
Penyelesaian:
(Tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan!)
124 PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI
Soal-soal Latihan
1. Tunjukkan bahwa
bernilai benar, dengan menggunakan kalimat berkuantor.
2. Tunjukkan bahwa
√
bernilai salah, dengan menggunakan kalimat berkuantor.
3. Tunjukkan bahwa
bernilai salah, dengan menggunakan kalimat berkuantor
4. Tunjukkan bahwa
√
bernilai salah , dengan menggunakan kalimat berkuantor
5. Tunjukkan bahwa
bernilai salah, dengan menggunakan kalimat berkuantor
6. Tunjukkan bahwa
√
bernilai benar, dengan menggunakan kalimat berkuantor
7. Tunjukkan bahwa
METODE PEMBUKTIAN 125
METODE PEMBUKTIAN
Dalam bab ini akan diuraikan beberapa metode mengkonstruksi
pembuktian pernyataan atau biasa disebut teorema. Lebih jelasnya, akan
dipaparkan konstruksi pembuktian pernyataan–pernyataan dengan tipe
yang berbeda. Namun demikian, konstruksi pembuktian lebih ditekankan
pada tipe pernyataan implikasi karena banyak teorema yang
bertipe seperti ini.
Sudah diketahui dengan baik bahwa bernilai benar jika
benar tetapi salah. Dari sini dapat disimpulkan bahwa ketika pernyataan
dibuktikan bernilai benar, hanya perlu untuk menunjukkan bahwa
benar jika benar. Pembahasan berikut ini akan memberikan beberapa
teknik untuk membuktikan implikasi.
8.1. Metode Pembuktian Kosong
Misalkan bahwa hipotesis dari implikasi bernilai salah, maka
implikasi bernilai benar karena pernyataan hanya mempunyai dua
kemungkinan bentuk, yaitu atau yang keduanya jelas benar.
Sebagai konsekuensinya, jika kita dapat memperlihatkan bahwa salah,
maka pembuktian teorema seperti ini disebut pembuktian kosong dari
implikasi Untuk lebih jelasnya, berikut diberikan beberapa contoh
pembuktian kosong.
Contoh 8.1
Tunjukkan bahwa proposisi benar dengan adalah fungsi
proposisi
Jika maka
BAB
8
126 METODE PEMBUKTIAN
Penyelesaian :
Catat bahwa proposisi adalah implikasi Jika maka
Karena hipotesis adalah salah, maka implikasi otomatis
benar.
Catatan :
Kenyataan bahwa kesimpulan dari implikasi ini, adalah benar
tidak relevan dengan nilai kebenaran dari implikasi, sebab suatu implikasi
dengan anteseden salah dijamin akan bernilai benar.
Contoh 8.2
Tunjukkan bahwa proposisi benar dengan adalah fungsi
proposisi
Jika maka
Penyelesaian :
Catat bahwa proposisi adalah implikasi Jika maka
Karena hipotesis adalah salah, maka implikasi
otomatis benar.
Catatan :
Kenyataan bahwa kesimpulan dari implikasi ini, adalah benar
tidak relevan dengan nilai kebenaran dari implikasi, sebab suatu implikasi
dengan anteseden salah dijamin akan bernilai benar.
Contoh 8.3
Tunjukkan bahwa proposisi benar dengan adalah fungsi
proposisi
Jika maka
METODE PEMBUKTIAN 127
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat yang disediakan!)
Contoh 8.4
Tunjukkan bahwa proposisi benar dengan adalah fungsi
proposisi
Jika maka
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat yang disediakan!)
8.2. Metode Pembuktian Trivial
Selanjutnya, misalkan bahwa kesimpulan dari implikasi
bernilai benar, maka bernilai benar, karena pernyataan hanya
mempunyai dua kemungkinan bentuk atau yang bernilai
benar. Dengan demikian, jika dapat ditunjukkan bahwa benar, maka
pembuktian teorema seperti ini disebut pembuktian trivial, dari
Contoh 8.5
Misalkan adalah proposisi
128 METODE PEMBUKTIAN
Jika dan adalah bilangan negatif dengan maka
Tunjukkan bahwa bernilai benar!
Penyelesaian :
Proposisi adalah Jika maka ” Karena
bernilai benar, maka benar.
Ini merupakan contoh dari pembuktian trivial. Catat bahwa hipotesis, yang
merupakan pernyataan tidak dibutuhkan dalam pembuktian.
Contoh 8.6
Tunjukkan bahwa proposisi benar dengan adalah fungsi
proposisi
Jika -1 maka
Penyelesaian :
Karena bernilai benar, maka benar.
Ini merupakan contoh dari pembuktian trivial. Catat bahwa anteseden,
yang merupakan pernyataan tidak dibutuhkan dalam
pembuktian.
Contoh 8.7
Tunjukkan bahwa proposisi benar, menggunakan metode pembuktian
trivial, dengan adalah fungsi proposisi
Jika maka
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat yang disediakan)
METODE PEMBUKTIAN 129
Contoh 8.8
Tunjukkan bahwa proposisi benar, menggunakan metode pembuktian
trivial, dengan adalah fungsi proposisi
Jika maka
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat yang disediakan)
8.3. Metode Pembuktian Langsung
Sudah ada dua cara pembuktian implikasi yang diberikan di atas. Selain
dari itu, implikasi dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa
jika bernilai benar, maka harus juga bernilai benar. Hal ini
menunjukkan bahwa kombinasi benar dan salah tidak pernah bisa
terjadi. Pembuktian jenis ini disebut pembuktian langsung. Untuk
melakukan pembuktian seperti ini, diasumsikan bahwa benar dan
selanjutnya digunakan aturan–aturan logika (aturan-aturan Matematika)
dan teorema–teorema yang sudah dibuktikan untuk menunjukkan bahwa
juga harus bernilai benar.
Contoh 8.9
Berikan pembuktian langsung dari teorema
Jika ganjil, maka ganjil
Penyelesaian :
Asumsikan bahwa anteseden dari implikasi ini bernilai benar, yaitu
misalkan bahwa adalah ganjil. Karena n dimisalkan ganjil, maka n dapat
dituliskan dalam bentuk seperti dengan adalah sebuah
bilangan bulat. Dari sini diperoleh bahwa
130 METODE PEMBUKTIAN
dengan Oleh karena itu, adalah ganjil karena dapat
dituliskan dalam bentuk dengan l adalah suatu bilangan bulat.
Contoh 8.10
Berikan pembuktian langsung dari pernyataan
Jika , maka
Penyelesaian :
Asumsikan bahwa anteseden dari implikasi ini bernilai benar, yaitu
misalkan bahwa Selanjutnya dengan menggunakan hukum-
hukum aljabar diperoleh:
.
Gunakan pembuktian langsung untuk membuktikan teorema berikut.
Contoh 8.11
Berikan pembuktian langsung dari teorema
Jika genap, maka genap
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!)
METODE PEMBUKTIAN 131
Contoh 8.12
Berikan pembuktian langsung dari teorema
Jika , maka
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan)
8.4. Metode Pembuktian Tidak Langsung
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya, Oleh
karena itu, implikasi dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa
implikasi (kontraposisi) bernilai benar. Metode pembuktian
seperti ini disebut pembuktian tidak langsung.
Contoh 8.13
Berikan pembuktian tidak langsung dari teorema
Jika ganjil, maka ganjil
Penyelesaian :
Untuk membuktikan pernyataan di atas dengan metode pembuktian tidak
langsung berarti akan dibuktikan kebenaran dari kontrapositif pernyataan
tersebut, yaitu:
Jika genap, maka genap
Misalkan bahwa n genap bernilai benar. Karena n genap, maka n dapat
ditulis seperti untuk suatu bilangan bulat positif Ini berarti
bahwa
132 METODE PEMBUKTIAN
sehingga adalah genap. Dengan demikian pernyataan kontrapositif
ini bernilai benar. Oleh karena itu, implikasi semula (asli) bernilai benar.
Contoh 8.14
Berikan pembuktian tidak langsung dari teorema
Jika ganjil, maka genap
Penyelesaian :
Untuk membuktikan pernyataan di atas dengan metode pembuktian tidak
langsung berarti akan dibuktikan kebenaran dari kontrapositif pernyataan
tersebut, yaitu:
Jika ganjil, maka genap
Misalkan bahwa n ganjil bernilai benar. Karena n ganjil, maka n dapat
ditulis seperti untuk suatu bilangan bulat positif Ini berarti
bahwa
sehingga adalah genap. Dengan demikian pernyataan kontrapositif
ini bernilai benar. Oleh karena itu, implikasi semula (asli) bernilai benar.
Gunakan pembuktian tidak langsung untuk membuktikan teorema berikut.
Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!
Contoh 8.15
Berikan pembuktian tidak langsung dari teorema
Jika genap, maka genap
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!)
METODE PEMBUKTIAN 133
Contoh 8.16
Berikan pembuktian tidak langsung dari teorema
Jika 5 ganjil, maka ganjil
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!)
Contoh 8.17
Berikan pembuktian tidak langsung dari teorema
Jika ganjil, maka genap
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!)
134 METODE PEMBUKTIAN
8.5. Metode Pembuktian Kontradiksi
Cara lain untuk membuktikan implikasi adalah dengan cara
kontradiksi. Misalkan (andaikan) bernilai salah. Jika dalan proses
pembuktian sebuah kontradiksi (pernyataan salah) dapat ditemukan, maka
hal ini berarti pemisalan harus diubah. Jadi, pemisalan yang tadinya
bernilai salah harus diubah menjadi bernilai benar. Dengan demikian,
implkasi bernilai benar. Teknik pembuktian jenis ini disebut
pembuktian dengan kontradiksi.
Contoh 8.18
Buktikan bahwa √ adalah bilangan irrasional dengan pembuktian
kontradiksi!
Pembuktian :
Misalkan adalah proposisi : √ adalah irrasional Andaikan bahwa
bernilai benar, maka √ adalah rasional. Akan tunjukkan bahwa hal ini
membawa ke sebuah kontradiksi. Karena diasumsikan √ adalah rasional,
maka ini berarti ada bilangan bulat dan yang memenuhi √
dengan dan tidak mempunyai faktor bersama. Karena √ jika
kedua ruas dikuadratkan diperoleh . Dari sini diperoleh
Hal ini berarti bahwa adalah genap, yang mengakibatkan
adalah genap. Lebih lanjut, karena adalah genap, maka dapat ditulis
untuk suatu bilangan bulat Sehingga atau
Hal ini berarti bahwa adalah genap. Dari sini, haruslah genap.
Telah ditunjukkan bahwa bernilai benar mengakibatkan √
dengan dan tidak mempunyai faktor bersama. Pada sisi lain, 2
adalah pembagi bersama dan Hal ini adalah sebuah kontradiksi. Oleh
karena itu, adalah salah, sehingga √ adalah irrasional bernilai
benar.
Pembuktian tidak langsung dari suatu implikasi dapat ditulis sebagai
suatu pembuktian dengan kontradiksi. Dalam pembuktian tidak langsung
kita tunjukkan bahwa bernilai benar dengan pembuktian langsung
untuk menunjukkan bahwa bernilai benar. Pembuktian tidak
langsung dari kita asumsikan bahwa bernilai benar dan
METODE PEMBUKTIAN 135
menunjukkan bahwa haruslah bernilai benar. Untuk menulis kembali
pembuktian tidak langsung dari sebagai suatu pembuktian
kontradiksi, kita misalkan bahwa kedua dan bernilai benar. Lalu kita
gunakan langkah – langkah dari pembuktian langsung implikasi
untuk menunjukkan bahwa haruslah bernilai benar. Hal ini akan
membawa ke sebuah kontradiksi yang melengkapi pembuktian
kontradiksi.
Contoh 8.19
Berikan pembuktian dengan kontradiksi dari teorema
Jika ganjil, maka adalah ganjil
Pembuktian :
Asumsikan bahwa adalah ganjil dan tidak ganjil, jadi genap.
Dengan melakukan langkah–langkah yang sama dengan contoh
sebelumnya, kita dapat menunjukkan bahwa jika genap, maka
genap. Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah ganjil,
yang melengkapi pembuktian.
Untuk lebih memahami pembuktian kontardiksi, berikut disediakan
contoh untuk berlatih.
Contoh 8.20
Berikan pembuktian dengan kontradiksi dari teorema
Jika ganjil, maka adalah ganjil
Pembuktian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!)
136 METODE PEMBUKTIAN
Contoh 8.21
Buktikan bahwa √ adalah bilangan irrasional dengan pembuktian
kontradiksi!
Pembuktian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan)
Contoh 8.22
Berikan pembuktian dengan kontradiksi dari teorema
Jika ganjil, maka adalah genap
Pembuktian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!)
METODE PEMBUKTIAN 137
8.6. Metode Pembuktian dengan Kasus
Sudah diketahui dengan baik bahwa:
[ ] [ ]
merupakan suatu tautologi. Oleh karena itu, untuk membuktikan implikasi
bernilai benar dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa konjungsi dari
implikasi
bernilai benar.
Pada sisi lain, apabila pernyataan “p” dapat dipecah menjadi
,
maka implikasi akan bernilai sama dengan implikasi
Dengan demikian, apabila pernyataan “p” dapat dipecah menjadi
,
maka implikasi dapat dibuktikan dengan membuktikan implikasi
sendiri – sendiri.
Contoh 8.23
Buktikan implikasi Jika bilangan bulat yang tidak habis dibagi maka
Penyelesaian :
Misalkan adalah proposisi bilangan bulat yang tidak habis dibagi
dan misalkan adalah proposisi maka ekuivalen
dengan dimana adalah dan
Dari sini, untuk menunjukkan bahwa kita dapat menunjukkan
bahwa dan Hal yang mudah untuk membuktikan secara
langsung kedua implikasi ini.
Pertama, misalkan bahwa adalah benar, maka jadi
untuk suatu bilangan bulat sehingga
.
Hal ini menunjukkan, Ini menunjukkan bahwa implikasi
bernilai benar.
138 METODE PEMBUKTIAN
Selanjutnya, misalkan bahwa benar, maka jadi
untuk beberapa bilangan bulat sehingga
Hal ini menunjukkan, jadi implikasi bernilai
benar.
Karena sudah ditunjukkan bahwa kedua implikasi dan
bernilai benar, maka dapat disimpulkan bahwa bernilai
benar. Lebih lanjut, karena ekuivalen dengan hal ini
mengakibatkan bahwa benar.
Contoh 8.24
Buktikan i0mplikasi Jika bilangan bulat yang tidak habis dibagi
maka
Penyelesaian :
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan)
Selanjutnya, untuk membuktian teorema yang berbentuk
dengan dan adalah proposisi, dapat digunkan tautologi
[ ]
Dengan demikian proposisi dapat dibuktikan dengan membuktikan
dua implikasi, yaitu dan
METODE PEMBUKTIAN 139
Contoh 8.25
Buktikan teorema Bilangan bulat ganjil jika dan hanya jika ganjil
Pembuktian:
Teorema ini berbentuk jika dan hanya jika dengan adalah
adalah ganjil dan adalah adalah ganjil Untuk membuktikan
teorema ini, cukup ditunjukkan bahwa implikasi dan bernilai
benar.
Pada contoh sebelumnya sudah dibuktikan bahwa adalah benar.
Selanjutnya sisa dibuktikan Akan digunakan pembuktian tidak
langsung untuk membuktikan Asumsikan bahwa kesimpulannya
“p” salah, yaitu bahwa adalah genap, maka untuk suatu
bilangan bulat sehingga jadi adalah genap. Ini
melengkapi pembuktian tidak langsung dari
Karena kedua implikasi dan bernilai benar, itu berarti bahwa
teorema bernilai benar.
Contoh 8.26
Buktikan teorema Bilangan bulat ganjil jika dan hanya jika ganjil
Pembuktian:
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!)
140 METODE PEMBUKTIAN
Contoh 8.27
Buktikan teorema Bilangan bulat habis dibagi 3 jika dan hanya jika
habis dibagi 3
Pembuktian:
Teorema ini berbentuk jika dan hanya jika dengan adalah habis
dibagi 3 dan adalah habis dibagi 3 Untuk membuktikan teorema
ini, cukup ditunjukkan bahwa implikasi dan bernilai benar.
Pada bagian pertama akan dibuktikan bahwa adalah benar.
Misalkan habis dibagi 3, berarti dapat ditulis untuk suatu
bilangan bulat. Dari sini diperoleh
Dari persamaan terakhir disimpulkan dapat dibagi 3.
Selanjutnya sisa dibuktikan Akan digunakan pembuktian tidak
langsung untuk membuktikan Asumsikan bahwa kesimpulannya
“p” salah, yaitu bahwa tidak habis dibagi 3. Selanjutnya akan
ditunjukkan bahwa tidak habis dibagi 3. Namun demikian, hal terakhir
ini sudah dibuktikan pada contoh sebelumnya. Karena kedua implikasi
dan bernilai benar, itu berarti bahwa teorema bernilai benar.
Contoh 8.28
Buktikan teorema Bilangan bulat habis dibagi 3 jika dan hanya jika
habis dibagi 3
Pembuktian:
(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!)
METODE PEMBUKTIAN 141
Soal-soal Latihan.
1. Berikan pembuktian langsung dari
Jika , maka
2. Berikan pembuktian tidak langsung dari pernyataan, jika
ganjil, maka ganjil
3. Berikan pembuktian tidak langsung pernyataan jika ganjil,
maka genap
4. Berikan pembuktian dengan kontardiksi pernyataan ganjil,
maka adalah ganjil
5. Berikan pembuktian dengan kontradiksi pernyatan ganjil,
maka adalah genap
6. Berikan pembuktian dengan kontradiksi pernyataan √ adalah
bilangan irrasional.
142 DAFTAR PUSTAKA
DAFTRAR PUSTAKA
Kenneth H., R. (1995). Discrete Mathematics and Applications Third
Edition. New York: McGraw-Hill, Inc.
Louis F., R. (1976). Logic, sets, and numbers. Belmont, California:
Wadsworth Publishing Company, Inc.
Winfried Karl, G. d.-P. (1996). Logic and Discrete Mathematics a
Computer Science Perspective. Upper Saddle River, New Jersey:
Prentice Hall Internasional.
INDEKS 143
INDEKS
A
Alir, 65
analisis, 26, 27, 28, 29, 30, 64, 93
anteseden, 11, 26, 28, 54, 55, 69,
126, 128, 129, 130
argumen, 57, 58, 59, 60, 61, 62,
63, 64, 65, 66, 67, 68, 69,
70, 71, 72, 73, 74, 75, 76
Asal, 95
Assosiatif, 44
B
Berganda, 84, 85, 92
Bikondisional, 49
Bimplikasi, 13, 14
D
De Morgan, 46
Diagram, 65, 66, 67, 68, 69
Disjungsi, 9, 10
Distribusi, 45
domain, 80, 95, 110
E
eksistensi, 77, 80, 82, 83, 84, 91
Ekuivalen, 39, 40, 42, 43, 44, 45,
46
F
Fungsi, 95, 102, 105
G
Ganda, 42
H
hipotesis, 125, 126, 128
I
Idempoten, 42
identik, 39, 40
Implikasi, 11, 12, 55, 56, 131
Invers, 54, 55
J
Jangkauan, 95
Fungsi, 95
K
Kasus, 137
koefisen, 117
kombinasi, 9, 11, 13, 19, 23, 24,
129
Komutatif, 43
Kondisional, 47
Konjungsi, 7, 8
konsekuen, 11, 26, 27, 28, 54, 55
144 INDEKS
konstruksi, 125
Kontradiksi, 50, 134
Kontraposisi, 54, 55
Kontrapositif, 48
Konvers, 54, 55, 56
Kosong, 125
kuantifikasi, 80, 81
Kuantor, 80, 82, 83, 84, 85, 86,
87, 88, 92
L
lambang, 23
Langsung, 65, 129, 131
Limit, 110
M
majemuk, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 17, 19, 20, 21,
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,
38
mondok, 92
N
Negasi, 15, 16, 42, 91, 92, 93
P
Pada, iv, 4, 26, 27, 28, 36, 39, 54,
57, 60, 61, 71, 72, 73, 74,
75, 96, 99, 102, 105, 107,
134, 137, 139, 140, 145
pembuktian, 117, 125, 127, 128,
129, 130, 131, 132, 133,
134, 135, 136, 139, 140,
141
pengawanan, 95, 96, 97, 99, 102,
103, 105, 106, 107, 108
Predikat, 77
premis, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63,
64, 65, 71, 75
preposisi, 80, 82, 83, 84, 85, 86,
87, 88, 91
proposisional, 77, 80, 84
R
range, 95, 98
relevan, 126
riil, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89,
94, 96, 97, 99, 100, 101,
103, 105, 107, 108, 109
S
Satu-satu, 102
semesta, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 94
T
tak tentu, 23, 25, 32, 33, 34, 35,
36, 37, 38
tautologi, 23, 24, 26, 27, 28, 29,
36, 137, 138
tertentu, 80, 82, 90
tidak berelasi, 52, 53, 55, 56
Tidak Langsung, 71, 131
METODE PEMBUKTIAN 145
Trivial, 127
Tunggal, 80, 83
V
valid, 57, 58, 60, 61, 63, 64, 65,
66, 68, 71, 72
Valid, 70, 71, 73, 74, 75
validitas, 58, 59, 61, 62, 65, 66,
67, 68, 69, 71
146 PROFIL PENULIS
PROFIL PENULIS
Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc, lahir di Kabupaten
Pangkep Sulawesi Selatan pada 3 Aggustus 1968.
Setelah menamatkan pendidikan SD, SMP, dan SMA
di Pangkep, meneruskan pendidikan jenjang sarjana di
Universitas Hasanuddin Makassar dan berhasil
menyelesaikan pendidikan sarjana Matematika pada
Jurusan Matematika FMIPA UNHAS tahun 1990. Pada
tahun 1996, beliau melanjutkan pendidikan jenjang master pada
Departemen Matematika Industri Universitas Kaiserslautern Jerman yang
berhasil dieselesikan pada tahun 1998. Pendidikan jenjang Doktor
diselesaikan pada tahun 2011 di Program Doktor Matematika Institut
Teknologi Bandung.
Sejak tahun 1992, beliau resmi merupakan tenaga pengajar pada
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar. Selain
aktif sebagai pengajar, beliau juga aktif dalam pembuatan soal-soal
Olimpiade Nasional MIPA.
Pada tahun 2014 menerima gelar Professor bidang Aljabar.
Sebelumnya, Penghargaan Satyalancana Karya Satya Lancana XX tahun
diberikan oleh Presiden Republik Indonesia pada tahun 2013.