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Corso diCorso di
TECNICA DELLE COSTRUZIONITECNICA DELLE COSTRUZIONI
POLITECNICO DI TORINO
II Facoltà d’IngegneriaII Facoltà d’Ingegneria
(Vercelli)
Docente:
Rosario Ceravolo
Dip. Ingegneria strutturale e geotecnica
PARTE 3:PARTE 3:
STRUTTURE IN ACCIAIOSTRUTTURE IN ACCIAIO
COMPOSIZIONE STRUTTURALECOMPOSIZIONE STRUTTURALELa struttura in acciaio deriva dall’assemblaggio di elementi monodimensionali, i
profilati, e/o bidimensionali, le lamiere, prodotti in officina.
Acciaieria Carpenteria Cantiere
Montaggio
in opera
Produzione
profilati e lamiere
Trasformazione in elementi o
complessi strutturali
Vincolo mutuo
tendenzialmente
debole
S o lu z io n e e c o n o m ic a
C e r n ie r a
S o lu z io n e c o s to s a
I n c a s t r o
La tendenza a semplificare le giunzioni può portare a labilità del complesso:
In tro d u z io n e d i u lte r io ri e lem en ti
Nonostante il materiale presenti un legame simmetrico sia a trazione, che
compressione, i problemi di stabilità locale e di insieme possono rendere non
simmetrica la risposta degli elementi strutturali (aste compresse, travi inflesse,
pannelli e anima delle travi, zone compresse delle sezioni).
asta industriale indefinitamente elastica Ncr=π2·E·A/λ2
asta teorica
asta industriale elasto-plastica λ=l0/ρ
L’asta soggetta a carico assiale presenta
risposta non simmetrica: elasto-plastica, a
trazione; non lineare ed in funzione di λ e
delle imperfezioni, a compressione.
δ
N
f yA
Trazione
Compressione
λ
La necessità di controllare accuratamente la presenza di eventuali labilità e di valutare
correttamente le risposte dei differenti elementi strutturali nei riguardi
dell’instabilità richiede di concepire la struttura nello spazio a tre dimensioni.
Le strutture in acciaio presentano elevata deformabilità in presenza delle azioni di
esercizio a causa degli elevati livelli tensionali raggiungibili e del modesto
contributo del peso proprio.
La verifica a deformazione può diventare determinante nel dimensionamento, più che
quella di resistenza. Limitazioni di freccia dell’ordine di 1/500 l risultano più
condizionanti dei limiti tensionali.condizionanti dei limiti tensionali.
Edifici multipianoEdifici multipianoI carichi verticali vengono raccolti dagli
impalcati a struttura mista, trasferiti
alle travi principali e da queste alle
colonne, fino alla fondazione.
L’impalcato può essere realizzato con:
pannelli in C.A. o C.A.P. o misti con
laterizio gettati in opera (soluzione
“a”, “b”);
Colonne, travi
principali e
secondarie in
acciaio. Soletta
collaborante in
calcestruzzo
“a”, “b”);
pannelli in C.A. o C.A.P. o misti con
laterizio prefabbricati (sol.“c”, “d ”);
lamiere grecate riempite con
materiale inerte (sol.“e”);
lamiere grecate riempite con
calcestruzzo collaborante (sol.“f ”).
Lamiere
grecate:
Le azioni orizzontali vengono riportate
dagli elementi di facciata, i
tamponamenti, ai solai, e da questi
alle colonne che li devono trasferire in
fondazione. I solai quindi devono
operare come lastre oltre che come
piastre. Gli elementi verticali in
generale sono impegnati a sforzo
normale e flessione.
Combinando le diverse membrature si
evince che la struttura è un complesso
di elementi idonei a sopportare tutte
le caratteristiche di sollecitazione
(M,N,T). In particolare, ciò vale anche
per le giunzioni che dovranno essere
in grado di trasmettere tutte le
componenti della sollecitazione.
Lelle figure sottostanti sono riportati alcuni tipi di nodi strutturali:
• Nodo “a” e ”c” bullonato, e saldato,
in grado di trasferire completamente
il momento flettente;
• Nodo “b” e “d” in grado di trasferire
solo parzialmente il momento
flettente, attraverso la sola anima.
Una notevole semplificazione nei nodi strutturali si può ottenere combinando una
struttura labile orizzontale con una isostatica.struttura labile orizzontale con una isostatica.
I nodi saldati in opera sono molto
onerosi (talora non
consentiti), quindi sono
preferibili quelli imbullonati.
I nodi sono chiamati a
trasmettere solo sforzi
normali e tagli (cerniere), le
colonne sono solo soggette a
forze assiali (bielle).
Le strutture di “controvento” possono essere realizzate in calcestruzzo armato, come i
vani scala, o in acciaio, come ad esempio i diagonali posti tra travi e colonne.
Nodi in grado di trasmettere solo taglio
e sforzo normale (cerniere).
Strutture di controvento a croce
di S. Andrea (a) ed a “K”
(b) sono impegnate a
flessione e a taglio ed
occorre verificare la
rigidezza del complesso.
Esaminando nel complesso spaziale la risposta dell’edificio deve risultare che:
• Ogni impalcato deve operare come lastra vincolata ai controventi verticali;
• I controventi devono garantire almeno tre condizioni di vincolo ad ogni piano;
• L’impalcato deve essere dimensionato anche per le azioni orizzontali provenienti
dal comportamento di insieme dell’edificio.
Ogni elemento di controvento verticale fornisce le condizioni di vincolo che
corrispondono al movimento che è in grado di controllare:
• Parete in C.A. vincolo di appoggio
o reticolare semplice;o reticolare semplice;
• Incrocio di pareti vincolo di
in C.A. o reticolare cerniera;
• Nucleo scale vincolo di
o ascensore incastro.
In presenza di “q” distribuita risulta:
In presenza dei carichi agenti sulla facciata
trasversale risulta invece:
02
321 === Rql
RR
21 2FFFR
aFaFRR ++=
⋅+⋅=−=
Nel caso successivo si sono usati esclusivamente controventi in acciaio sia in
direzione verticale che orizzontale.
321321
21
2FFFR
L
aFaFRR ++=
⋅+⋅=−=
Edifici monopianoEdifici monopianoIn genere edificio industriale, a maglia rettangolare, con eventuali vie di corsa per
carri-ponte.
I carichi verticali sono trasferiti alle travi
principali tramite la struttura di
copertura (lamiera grecata) e gli
arcarecci, oppure tramite le travi
secondarie e gli arcarecci.
Pertanto gli arcarecci sono inflessiPertanto gli arcarecci sono inflessi
(flessione deviata con pendenza del
tetto) e per lo più si comportano
come travi continue su 2/3 della luce.
Le travi principali hanno il corrente
superiore compresso (carichi nei
nodi) o pressoinflesso (carichi anche
tra i nodi) e trasmettono il loro
carico direttamente alle colonne
oppure ad una trave di bordo.
E’ ora agevole definire le lunghezze libere di inflessione:
• Nel piano della capriata lc,v è pari alla distanza tra i nodi;
• Nel piano orizzontale il corrente superiore può sbandare tra le colonne (l0 = lc,H ),
sia nelle travi principali, che in quelle secondarie;
Occorre quindi introdurre dei controventi di falda idonei a stabilizzare i correnti
superiori.
• Nella figura “a” è presente il controvento che stabilizza il corrente superiore delle
travi principali ad appoggio diretto sulle colonne: in tal caso l0 = lc (distanza tra i
nodi del controvento);nodi del controvento);
• Nella figura “b” è presente anche il controvento longitudinale, necessario a
stabilizzare il corrente superiore della trave secondaria e quindi a tener fissa la
principale appoggiata in falso.
Le azioni orizzontali della copertura vengono poi trasmesse a terra o impegnando le
colonne in uno schema a telaio con le travi, o facendole operare come mensole,
oppure introducendo dei controventi di parete longitudinali e/o trasversali e
riducendo le colonne a semplici bielle.
Schematizzazioni di calcoloSchematizzazioni di calcoloLa complessità dei collegamenti costringe all’introduzione di semplificazioni di
calcolo che devono però rappresentare in modo fedele lo schema di calcolo
adottato, contando poi sul teorema statico per la sicurezza a collasso.
Se si adotta uno schema pendolare, cioè si immaginano dei collegamenti a cerniera
tra travi e colonna, e di conseguenza sia il tipo di connessione che le luci di
calcolo reali dovranno adeguarsi a tale ipotesi.
Tenuto conto della dimensione fisica del vincolo esistono diverse possibilità:
Nello schema 1 le colonne sonoNello schema 1 le colonne sono
semplicemente compresse e la
trave opera sulla luce “L”. Il giunto
nella sezione X-X deve assorbire
oltre al taglio V=R1 anche un
momento M=R1*a. Il giunto nella
sezione Y-Y deve assorbire oltre al
taglio V=R1 anche un momento
M=R1(a+e).
Nello schema 2 la colonna “B” è compressa (N=R1B+R2B) ed inflessa nel nodo da una
coppia M=a(R1B-R2B). La colonna “A” è compressa (N=R1) e caricata nel nodo da
un momento M=R1a; la trave opera su una luce L-2a. Il giunto in X-X assorbe
solo il taglio (V=R1), ed in Y-Y oltre al taglio anche un momento M=R1e.
Nello schema 3 la colonna “B” oltre ad
N=R1B+R2B è soggetta ad M=(R1B-
R2B)(a+e); la colonna “A” è compressa
(N=R1) e caricata da una coppia
M=N(a+e); la trave opera su una luce L-
2(a+e). Il giunto in X-X assorbe il taglio2(a+e). Il giunto in X-X assorbe il taglio
V=R1 ed un momento M=R1e. Il giunto in
Y-Y assorbe solo il taglio V=R1.
Si può scegliere uno qualunque di questi:
• Lo schema 1 minimizza le sollecitazioni
nelle colonne (orientate con la rigidezza
minima);
• Lo schema 2 è conveniente se le colonne
sono orientate con la rigidezza massima;
• Lo schema 3 non è usualmente
conveniente.
Nelle travi reticolari ci deve essere congruenza tra lo schema di collegamento nodale ,
le cerniere, e la posizione dell’asse nel nodo (assi aste concorrenti nel nodo ideale
di calcolo).
I momenti nodali possono essere trascurati purché si valutino correttamente le
lunghezze libere di inflessione (l0 = distanza tra i nodi ideale).
Se la bullonatura non può essere nel baricentro (L) interviene localmente un momento
parassita sui bulloni. Si può anche tracciare sugli assi di truschino a patto di
distribuire il momento parassita tra le aste.
Nei controventi si può operare con due differentiNei controventi si può operare con due differenti
schemi:
• Immaginare attive sia le aste di parete tese che
compresse, ma allora λ≤100 (comportamento
pressoché uguale a compressione e trazione);
• Immaginare attive solo le aste di parete tese,
allora λ≥200 (sbandamento in campo elastico e
quindi efficienza per inversione di segno
dell’azione).
IL MATERIALEIL MATERIALETutti gli elementi provengono da processi di laminazione, e si distinguono in lamiere
e profilati.
LAMIERE
lamierini lamiere sottili lamiere medie lamiere spesse
(s < 1 mm) (1 mm < s < 4 mm) (4 mm < s < 50 mm) (50 mm < s)
PROFILATI
I (IPN) I e H (ali //) C, L, T,Z tubolari saldati a I sagomati a freddo
ali IPE, HEA, (da lamiere) (forme varie)
rastremate HEB, HEM ISE,HSE,HSL, (smax=3÷4mm)
HSA,HSH,
HSN, HSD
(Hmax=1700)
Imperfezioni strutturali o meccanicheImperfezioni strutturali o meccaniche
Nei materiali è possibile riscontrare due tipi di imperfezioni strutturali o meccaniche:
• Tensioni residue (autotensioni): stati tensionali elastici autoequilibrati dovuti al
processo di produzione (raffreddamento, saldatura, taglio alla fiamma,
laminazione a freddo, raddrizzamento, ecc…);
• Disomogeneità caratteristiche meccaniche (snervamento): legata strettamente al
processo industriale di produzione.
La sicurezza strutturale si valuta in relazione alle aste reali (industriali) e non a quelleLa sicurezza strutturale si valuta in relazione alle aste reali (industriali) e non a quelle
ideali.
Le imperfezioni si possono analizzare distinguendole a seconda dei profili:
• Laminati a caldo;
• Saldati;
• Laminati a freddo.
PROFILI LAMINATI A CALDO
Le tensioni residue si formano nel raffreddamento
susseguente alla laminazione, cioè per
temperature di circa 600°C.
Da T0 (600°C) a T1 le parti più esposte si
raffreddano prima , e quindi vanno in trazione
(b).
Da T1 a T2 le parti centrali fluiscono plasticamente
e riducono le precedenti punte tensionali (c).
Da T2 a T le parti esposte si raffreddanoDa T2 a T le parti esposte si raffreddano
completamente ed impediscono la contrazione
delle altre.
Alla fine si ottiene lo stato tensionale (d) con compressioni nelle zone più esposte.
La presenza di tensioni residue di compressione nelle ali è sfavorevole nei riguardi
del rischio di instabilità.
Ulteriori tensioni residue si generano nel processo di raddrizzamento (meccanico che
si effettua mediante passaggio attraverso rulliere). In genere questo ha un effetto
riducente sullo stato tensionale di natura termica.
La disomogeneità delle caratteristiche meccaniche comporta: resistenza e
snervamento maggiori, con resilienza e allungamento minori, e viceversa.
PROFILI LAMINATI A FREDDO
Per effetto della laminazione si hanno compressioni sulla superficie e trazioni nelle
zone interne. L’operazione di piegatura comporta un innalzamento del limite
elastico e la conseguente riduzione della resilienza.
PROFILI SALDATI
Forte apporto termico per la presenza di materiale di asporto fuso. A causa
dell’impedimento esercitato dalle zone limitrofe, si raggiungono nella zona del
giunto tensioni superiori allo snervamento a caldo e conseguenti accorciamenti
plastici.plastici.
Dopo il raffreddamento nelle zone prossime alla saldatura e nel cordone nascono
tensioni residue di trazione e nelle zone più lontane di compressione.
L’entità e la distribuzione delle autotensioni dipendono da: modalità della saldatura,
sezione del cordone, spessore dei lembi e geometria degli elementi saldati.
-
-
+
-
Una classica distribuzione delle tensioni residue in travi a I
composte per saldatura è riportato in figura.
Nel cordone di saldatura si raggiunge il limite di snervamento del
materiale d’apporto.
Resilienza: resistenza alla rottura fragile degli acciai (tenacità); prova col pendolo di
Charpy su provetta intagliata (la differenza di quota nella risalita del pendolo è
proporzionale all’energia assorbita). Dipende dalla temperatura.
T° = temperatura di transizione;
27 J/cm2 = valore minimo da garantire a diverse temperature (-20°,0°,+20°)
ACCIAI DA CARPENTERIA
Resistenza a faticaResistenza a faticaNel caso, infatti, siano presenti cicli di tensione che si
ripetono nel tempo il cedimento del materiale può
manifestarsi per carichi inferiori a quelli di
rottura, cioè per fatica: in tal caso:
• La rottura si manifesta per σmax < fy;
• La rottura è fragile;
• Esiste un valore limite della tensione al di sotto
del quale la rottura non si manifesta fino ad unR = σmin/σmaxdel quale la rottura non si manifesta fino ad un
numero “N” di cicli. Se N = ∞ tale limite di
tensione si chiama: resistenza originaria se σ ha
sempre lo stesso segno, oppure resistenza a sforzi
alterni se la tensione passa attraverso lo zero (per
gli acciai N = 5000000 ≅ ∞);
• Sovrapponendo al ∆σ una tensione statica i limiti
di fatica variano.
I diagrammi di Smith riportano in ascissa la tensione
media ed in ordinata le tensioni massima e
minima del ciclo per cui si ha rottura in N cicli.
Criteri di resistenzaCriteri di resistenzaIn un generico punto di ogni elemento lo stato tensionale è caratterizzato dalle
componenti pij(P) del tensore degli sforzi, occorre controllare la compatibilità con
la risposta elastica del materiale. E’ quindi necessario determinare il
moltiplicatore di pij(P) che consente di raggiungere lo snervamento in P.
E’ necessario adottare un criterio di resistenza per valutare il cimento tensionale.
In tutti i paesi, per le strutture in acciaio, si usa il criteri detto di Huber-Hencky-Von
Mises.
L’energia potenziale elastica totale del materiale può essere espressa come somma di
quella dovuta alla variazione di forma (distorsione) Φ e quella dovuta allaquella dovuta alla variazione di forma (distorsione) ΦD e quella dovuta alla
variazione di volume, il criterio di Huber-Hencky-Von Mises fa dipendere la crisi
del materiale solo da ΦD. Allora occorre dividere il tensore di tensione espresso in
tensioni principali nella somma di 2 tensori:
=
σσ
σ
3
2
1
00
00
00
Pij
+
−
−
−
=
σσ
σ
σσσσ
σσ
m
m
m
m
m
m
ijP
00
00
00
00
00
00
3
2
1
con deviatore di tensione tensore idrostatico
(en. distorcente) (en. per variaz. di vol.)3
321 σσσσ++
=m
L’energia distorcente vale:
in un regime triassiale
in un regime monoassiale
−+−+−=Φ )))
2
13
2
32
2
21(((
12
1σσσσσσ
gD
σ 2
6
1
gD =Φ
Applicando il criterio di ugual cimento ai due regimi (monodimensionale e
tridimensionale) e ponendo σ = σid, si valuta:
[ ] σσσσσσσσσσσσσσσσ 321321
2
3
2
2
2
1
2
13
2
23
2
21 )()()(2
1−−−++−+−+− ==id 2id
σσσσσ 2122
21 −+=idPer stati tensionali piani o biassiali (σ3 = 0) si ottiene:
τσσσσσ 222 3 xyyxyxid +−+=Riferendosi alle componenti speciali della tensione:
τσσ 22 3 xyxid +=In presenza di flessione e taglio (σ2 = 0) si ha:
τσ ⋅= 3idE per pura tensione tangenziale (σx = σy = 0):
Metodi di verificaMetodi di verifica- Stati limite classici → allo s.l.u. γm = 1,1 (plasticizzazione completa)
- Stato limite elastico → allo s.l.el. γm = 1 (snervamento)
m
kf
df
idSji
pdFS
dF
γσ =≤→→→ )(
,)(
- Tensioni ammissibili → alle t.a. σadm ≥ σid
Acciaioσadm (Mpa)
t<40 mm t>40 mm
Fe360 160 140
Fe430 190 170
Fe510 240 210
Acciaioσadm (Mpa)
I → permanenti, variabili (no vento, sisma, coazioni)
(σid ≤ σadm)2 condizioni di carico:
II → tutte le azioni
(σid ≤ 1,125σadm)
Nello s.l.u. e s.l.el. →
con γg = 1,5 γq = 1,5 ψ0i = 0,7 (devono anche esser verificati gli s.l.e.)
- s.l.el.: calcolo elastico delle sollecitazioni;
- s.l.u. (di collasso plastico): trasformazione della struttura in un meccanismo
(cerniere plastiche), con verifica di duttilità nelle zone plasticizzate. Non
consentito se le strutture sono soggette a significativi fenomeni di fatica (rischio
di rottura fragile).
- s.l.e.: γ = 1 γ = 1 γ = 1
⋅++⋅= ∑
=
n
i
ikikqkgd QQGF2
01 ψγγ
- s.l.e.: γg = 1 γq = 1 γm = 1Nella pratica progettuale:
- Molto diffuso il metodo delle t.a.;
- Facilmente applicabile il progetto con s.l.el.;
- Complessa l’applicazione del metodo a s.l.u. (Eurocodice 3).
UNIONI SALDATEUNIONI SALDATELe procedure di saldatura autogena per fusione si possono dividere in base alla
tipologia della sorgente di calore e alla modalità di protezione del bagno fuso, e
sono le seguenti:
- Ossiacetilenica: (diffusione elevata in passato, oggi muore) la sorgente termica è
la fiamma ossiacetilenica (C2H2+O2), la temperatura è di circa 3100°C e provoca
la produzione di CO e H2;
- Arco con elettrodi rivestiti: (procedimento molto flessibile) la sorgente termica è- Arco con elettrodi rivestiti: (procedimento molto flessibile) la sorgente termica è
un arco elettrico che scocca tra elettrodo e materiale base:
-elettrodo è rivestito con materiale che fondendo protegge il bagno;
-elettrodi basici hanno buone caratteristiche meccaniche e metallurgiche;
-elettrodi acidi hanno buone caratteristiche meccaniche;
-elettrodi cellulosici per tubazioni.
- Arco sommerso: (grandi saldature ed elevata produttività) la sorgente termica è un
arco elettrico tra elettrodo e materiale base (filo continuo a matassa ad
avanzamento automatico). Utilizzo di fluido sul giunto che forma un cumulo
protettivo al cui interno scocca l’arco;
- Saldatura con protezione di gas ed elettrodo fusibile (MIG-MAG): si usa per
acciai dolci e poco legati. La saldatura ad arco a filo continuo con protezione del
bagno con gas inerte (argon / MIG) o attivo (co2 / MAG);
- Saldatura con protezione di gas ed elettrodo infusibile (TIG): si utilizza
prevalentemente per l’acciaio inox, e per le leghe di alluminio. L’arco è protetto
con argon inserito tra il tungsteno e materiale base. Il materiale di apporto fornito
a parte (bacchetta).
- Saldatura ad elettroscossa: (saldature in verticale) (pezzi a forte spessore/1
passata). Si realizza con un elettrodo a filo continuo, collegato ad un generatorepassata). Si realizza con un elettrodo a filo continuo, collegato ad un generatore
di corrente assieme al materiale base. Entrambi arrivano a fusione per effetto
Joule. Pattini in rame raffreddati con acqua costituiscono il crogiolo.
Le conseguenze della saldatura sono: la solidificazione del materiale fuso nelle (a)
passate (a) e il trattamento termico zona materiale di base prossima alla saldatura.
I cicli termici hanno un effetto di tempera che produce zone ad elevata durezza nel
materiale base e possono originare criccature a freddo. Per evitare la formazione
occorre addolcire il ciclo termico con un preriscaldamento dei pezzi ed uso di
elettrodi basici.
Le cricche a caldo si formano per eccesso di impurità nella zona fusa, per effetto di
temperature di solidificazione differenziate (effettuare più passate).
CRICCHE A FREDDO CRICCHE ACALDO
I difetti delle saldature sono i seguenti:
- Cricche;
- Soffiature;
- Mancanza di penetrazione e di fusione;
- Incollatura.
I mezzi di indagine per scoprire eventuali imperfezioni nelle saldature sono:
- Raggi X o raggi γ (macchie scure sulle pellicole);
- Ultrasuoni (onde deviate dai difetti);
- Esame magnetoscopico (campo magnetico individua cricche superficiali);- Esame magnetoscopico (campo magnetico individua cricche superficiali);
- Liquidi penetranti.
MANCANZADI PENETRAZIONE E DI FUSIONE
Classificazione delle unioni saldateClassificazione delle unioni saldateIN ORDINE DI DIFFICOLTA’ CRESCENTE
- In piano (1);
- In verticale (2);
- Frontale (3);
- Sopratesta (4).
- Giunti testa a testa (I);
VARI TIPI DI GIUNZIONI
VARI TIPI DI SEZIONE DEL CORDONE DI SALDATURA
- Giunti testa a testa (I);
- Saldatura d’orlo (II);
- Saldatura d’angolo (III);
- Giunto ad “L” (IV);
- Giunto a “T” (V);
- Giunto per sovrapposizione (VI).
- Piena (a);
- Convessa (b);
- Concava (c);
VARI TIPI DI GIUNTI TESTA A TESTA
Nei giunti testa a testa se si vuole una completa penetrazione occorre smussare i
lembi in modo da creare un vano completamente accessibile.
- A “V” (1);
- A “U” (2);
- A “X” (3);
- A “Y” (4).
SECONDO LA DIREZIONE DELL’AZIONE SOLLECITANTE
- Laterali (I);4
3
2
1
- Giunti a completa penetrazione;
- Giunti a cordone d’angolo.
Esistono due classi di saldatura la prima classe prevede che i giunti devono superare
controlli molto restrittivi, mentre per la seconda i controlli sono meno severi. In
ogni caso occorre comunque eliminare i difetti prima di effettuare le passate
successive o le successive saldature. Le norme UNI 7272 precisano le modalità di
controllo.
- Laterali (I);
- Frontali (II);
- Obliqui (III).
SECONDO LA VERIFICA DI SICUREZZA
IIII
II
Resistenza della giunzione saldataResistenza della giunzione saldata
In un giunto testa a testa privo di difetti lo stato tensionale corrisponde a quello di un
mezzo continuo. La sezione resistente è quindi pari allo spessore per la lunghezza
del giunto e la resistenza del materiale di apporto fd,cr viene espressa come una
frazione di quella del materiale base:
fd,cr = µcr fd con µcr = coefficiente di efficienza.
Le tensioni agenti nel cordone sono:
GIUNTI TESTA A TESTA
Le tensioni agenti nel cordone sono:
- σ⊥ : tensione normale di trazione o compressione ortogonale alla gola;
- τ : tensione tangenziale parallela alla gola;
- σ// : tensione normale di trazione o compressione parallela alla gola.
Si può calcolare la tensione ideale:
Deve risultare:
τσσσσσ 32
//
2
//
2+−+=
⊥⊥id
I σid < fd σid < σadm
II σid < 0,85 fd σid < 0,85 σadm
Classe s.l.el. t.a.
GIUNTI A CORDONE D’ANGOLO
Si considera come sezione resistente il prodotto
dell’altezza della gola “a” per la lunghezza
del cordone. Il calcolo convenzionale delle
tensioni viene eseguito ribaltando su uno
dei lati del cordone la sezione di gola.
In sede di verifica le componenti (valori
assoluti) delle tensioni dovranno soddisfare
le verifiche allo s.l.el. (per le t.a. si
sostituisce f con σ ) riportate qui asostituisce fd con σadm) riportate qui a
fianco.
In presenza di cordoni inclinati si decompone
la sollecitazione agente nelle componenti
normale ed ortogonale al cordone.
In combinazione di cordoni d’angolo laterali e
frontali non è prudente sommare tutti i
contributi resistenti; meglio affidare tutto lo
sforzo ad una tipologia di cordone. Se ciò
non è possibile, verificare che risulti:
al ⋅≤∑ 60
N = F cos θ
T = N sen θ
2
//
22 ττσ ++ ⊥⊥
τ
//τ
⊥σ//σ
l⊥τ
//σ
a
l
- Cordoni frontali soggetti a sforzo normale:
al
F
⋅⋅=⊥
2τ
- Cordoni laterali soggetti a sforzo normale:
al
F
⋅⋅=
4//τ
- Cordoni frontali longitudinali soggetti aF/2
F/2F
l
FF/2
F/2l
ESEMPI
- Cordoni frontali longitudinali soggetti a
taglio e momento flettente:
ah
F
ha
lF
ha
lF
⋅⋅=
⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅
=⊥2
3
2
6//22max τσ
- Cordoni frontali trasversali soggetti a taglio e momento
flettente:
at
F
tha
lF
⋅⋅=
⋅⋅⋅
= ⊥⊥2
τσ
F
h
l
l
h
F
t
- Combinazione di cordoni trasversali e longitudinali soggetti a taglio e
momento (le tensioni normali dovute al flettente si valutano considerando
attiva tutta la saldatura):
(cordoni a1, a2, a3)11 , la max⊥σ
max'⊥σ
33 , la
, la
2h1h
totW
lF ⋅=⊥maxσ
33
//2 al
F
⋅⋅=τ (taglio ai cordoni
d’anima)
La verifica si fa nei punti più sollecitati, cioè nel cordone l1/a1 (solo σ⊥) ed agli
estremi di quello d’anima (σ⊥ e t//).
Un’ulteriore possibilità di progetto consiste nell’attribuire ai cordoni d’ala
l’assorbimento del flettente ed a quelli d’anima quello del taglio.
//τ22 , la
3
2
32221113
12 alhalhalWtot ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=
1
3max'
h
l
W
lF
tot
⋅⋅
=⊥σ
- Sollecitazioni di torsione, flessione e taglio:
i metodi di calcolo semplificato sono due: il metodo del momento polare e il
metodo delle due forze
- metodo del momento polare (cordoni laterali soggetti a torsione, taglio e
momento flettente):
Si calcola il baricentro G dei cordoni ribaltati sul piano della giunzione ed il
loro momento polare rispetto a G (I0); si calcola quindi la sollecitazione τmax
agente nel punto più lontano P ed ortogonale alla congiungente P con G.
0
maxmax
I
rMT ⋅=τ
Si decompone τmax nelle
direzioni dei cordoni e si
valutano τ// e τ⊥.
Si procede a verifica.
0I
θττ sinmax// ⋅=
d
d
f
f
≤+
≤++
⊥⊥
⊥⊥
στ
σττ 85,022
//
2
)'(cosmax ⊥⊥ +⋅= τθττ
- metodo delle forze (conservativo) (cordoni frontali soggetti a torsione, taglio
e momento flettente):
Si ammette MT bilanciato da due forze H agenti orizzontalmente nei cordoni:
Le forze H generano solo
componenti parallele ai cordoni:
Qualora i cordoni siano frontali
)( ah
MH t
+=
la
H
⋅=//τ
la
V
⋅=//'τ
la
F
⋅⋅=
2"//τ
////// "' τττ +=
Qualora i cordoni siano frontali
l’equilibrio si realizza con due forze V:
z
eFV
⋅=
Nel caso di presenza di 4 cordoni di saldatura si può ammettere che:
– Il torcente sia equilibrato da 2 coppie di forze (H e V) che se lo ripartiscono
in base alle relative resistenze:
– Il taglio sia suddiviso tra i 4 cordoni con analoghe modalità:
maxmax
max
TVTH
TH
TTHMM
MMM
+=
maxmax
max
TVTH
TVTTV
MM
MMM
+=
maxHVVV = maxVVVV =maxmax
max
VH
H
HVV
VVV
+=
maxmax
max
VH
V
VVV
VVV
+=
- Per sezioni aperte con saldature continue lungo tutto il perimetro in genere, a
favore di sicurezza, nel dimensionamento dei cordoni di saldatura, si trascura il
In alternativa il taglio può esser suddiviso tra i cordoni verticali.
Nel caso di presenza di 3 cordoni (2 orizzontali e 1 verticale) alla coppia che si
genera in quelli orizzontali si affida il torcente ed a quello verticale il taglio.
- Nel caso di sezioni a cassone:
- Se il perimetro è completamente saldato → Bredt
- Se mancano tratti di saldatura → metodo delle forzeaA
M T
⋅⋅=
2//τ
favore di sicurezza, nel dimensionamento dei cordoni di saldatura, si trascura il
contributo della torsione secondaria.
UNIONI BULLONATEUNIONI BULLONATELa bulloneria è divisa in classi
(materiale); le classi di resistenza
associate sono nella tabella a lato.
I bulloni devono essere serrati in modo
da applicare nel gambo una
Vite 4.6 5.6 6.6 8.8 10.9
Dado 4D 5D 6D 6S 10K
normali ad alta resistenza
da applicare nel gambo una
trazione pari a:
dove Ares = area resistente.
AfN resNKs ⋅⋅=,
8,0
La coppia di serraglio vale:
dove d è il diametro nominale del
bullone.
dNT ss ⋅⋅= 2,0
Nella tabella seguente sono riportati i valori di Ares, d, Ts, e Ns per le diverse classi di
bulloni:
4,6 5,6 6,6 8,8 10,9 4,6 5,6 6,6 8,8 10,9
12 84 39 48 58 90 113 16 20 24 38 47
14 115 62 77 93 144 180 22 28 33 52 64
16 157 96 121 145 225 261 30 38 45 70 88
18 192 133 166 199 309 387 37 46 55 86 108
20 245 188 235 282 439 549 47 59 71 110 137
22 303 256 320 384 597 747 58 73 87 136 170
24 353 325 407 488 759 949 68 85 102 158 198
27 459 476 595 714 1110 1388 88 110 132 206 257
Ns (kN)d (mm)
Ares
(mm2)
Ts (N.m)
27 459 476 595 714 1110 1388 88 110 132 206 257
30 561 646 808 969 1508 1885 108 135 161 251 314
TOLLERANZE FORO – BULLONE (=> deriva scorrimento del giunto)
In genere: φ-d ≤ 1 mm con d ≤ 20 mm
φ-d ≤ 1,5 mm con d > 20 mm
Fori calibrati: φ-d ≤ 0,3 mm con d ≤ 20 mm (inversione di sforzo)
φ-d ≤ 0,5 mm con d > 20 mm
Nella valutazione della capacità portante delle unioni bullonate si tiene conto delle
distribuzioni delle sollecitazioni sui singoli bulloni in corrispondenza dello s.l.u..
La loro applicabilità è però condizionata al rispetto di parametri dimensionali che
individuano il campo di validità delle indagini sperimentali.
INTERASSE E DISTANZADEI BULLONI DAI BORDI
pa1
- p nella direzione della forza:
Per elementi tesi: 25tmin ≥ p ≥ 3dPer elementi compressi: 15tmin ≥ p ≥ 3d
- a ≥ 2d:
a p ap
a1t1
- a ≥ 2d:Bordo non irrigidito: a ≤ 6tminBordo irrigidito: a ≤ 9tmin
- a1 ≥ 1,5d:Bordo non irrigidito: a1 ≤ 6tminBordo irrigidito: a1 ≤ 9tmin
Resistenza delle unioni bullonateResistenza delle unioni bullonate
Tipiche della carpenteria, per
ripristinare la continuità tra due
elementi interrotti.
UNIONI BULLONATE A TAGLIO
Caratterizza l’unione:Carico limite d’esercizio (inizio scorrimento tra A e B) → V f 0
Caratterizza l’unione:Carico limite ultimo (resistenza dell’unione)
γµ
f
fs
f
nNV
⋅⋅=
0con: γf = 1,25 (coefficiente di sicurezza);
nf = numero di superfici a contatto;
0,30 per superfici non trattate;
µ =
0,45 per superfici trattate;
Riguardo µ, per valori superiori di 0,45 occorre fare prove sperimentali di
determinazione diretta.
V
Lo stato limite ultimo può essere raggiunto per:
- Rottura a taglio del bullone;
- Rottura per rifollamento della lamiera;
- Rottura per taglio della lamiera;
- Rottura per trazione nella lamiera.
Nel rifollamento la pressione di contatto viene supposta uniforme:
dove: tmin = spessore complessivo lamiere impiegate in una direzione;
d = diametro bullone;
minmin, tdftdfV drifrifd ⋅⋅⋅=⋅⋅= α
Bullone = elemento tozzoresNkresVdd AfAfV ⋅⋅=⋅= ,,0, 7,0
d = diametro bullone;
α = a/d ≤ 2,5La resistenza a trazione delle lamiere viene valutata assumendo una distribuzione
uniforme delle tensioni, contando cioè su ridistribuzioni plastiche locali.
a
bd
In presenza di più bulloni ci si può riferire alla sezione
minima (minimo percorso) ottenuta attraverso 1 o più
fori. Se le piastre sono sollecitate solo a trazione si può
ottimizzare le dimensioni uguagliando resistenze a
trazione e rifollamento:
( ) 1minmin +=⇒⋅=−⇒≅⋅⋅⋅=⋅−⋅ ααφαφd
bddbdcondtftbf dd
UNIONI BULLONATE A TRAZIONE
Il carico agente sul bullone è trasmesso attraverso le lamiere che si deformano
flessionalmente non consentendo il distacco completo degli elementi. In esercizio
si assume prudenzialmente una forza di decompressione pari a quella di serraggio
Ns.
Allo s.l.u., con γn = 1,25 (tiene conto del percorso di distacco della testa e delle
flessioni parassite):
γ nres
NKdA
fN ⋅=,0
UNIONI BULLONATE A TRAZIONE E TAGLIO
γ n
In condizione di esercizio l’interazione V-N è espressa da un dominio lineare; Allo
stato limite ultimo il dominio di interazione può essere assunto di forma ellittica.
)1(0
NVV
sff
N−⋅=
1
0,0,
22
≤+
N
N
V
V
dd
Sollecitazioni
a) Taglio e torsione agenti nel piano delle lamiere
(gambi sollecitati a taglio)
b) Sforzo normale e flettente in piani paralleli al gambo
(gambi sollecitati a trazione)
EFFETTI DELLE CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE AGENTI
SULLA UNIONE
(gambi sollecitati a trazione)
La ripartizione delle forze sui singoli bulloni si effettua con metodi convenzionali
supportati da conferme sperimentali
vv
v
v
v
v
FV
vT1
vT6
vT5
vT3
vT2
vT4
v1
v2
v6 v3
v5 v4
T
NNF
V
VV⋅
=
iiT akV ⋅=,
k
k
i
k
i
iViiTV
aN
Tk
akNaVNT
⋅=⇒
⋅⋅=⋅⋅=
∑
∑ ∑= =
2
1 1
2
,
a) UNIONI BULLONATE A TAGLIO E TORSIONE
vv vT4v5 v4
ik
i
iV
iiT
i
iV
ak
aN
aTV
aN
⋅=⋅
⋅=⇒
⋅
∑
∑
=
=
1
2,
1
2
con: N = numero bulloni;
NV = numero sezioni resistenti per bullone;
ai = distanza centro bullone – baricentro bullonatura.
Combinando verticalmente le componenti:
,V x
x
V
FV
N N=
⋅,V y
y
V
FV
N N=
⋅
∑=
+⋅
⋅=
k
i
iiV
ixiT
yxN
yTV
1
22,,
)( ∑=
+⋅
⋅=
k
i
iiV
iyiT
yxN
xTV
1
22,,
)(
2 2
, , , ,( ) ( )i x T i x y T i yV V V V V= + + +
b) UNIONI BULLONATE A TRAZIONE E FLESSIONE
b1) forza di trazione interna al nocciolo della sezione dei soli bulloni (giunti
interamente tex)
b2) forza esterna al nocciolo bulloni (trazione) o forza esterna di compressione
esterna al nocciolo della flangia => sezione parzializzata
ik
i
i
NNi y
y
lF
k
FN ⋅
⋅+=
∑=1
2
ciii yykN −∆= )(
cc
ciii
ky
yykN
=
−∆=
σ
)(
Occorre determinare la posizione di “C”.
Flessione semplice:
2
1 1
02
k kc
c i i i c
i i
b yy A A y y
= =
⋅+ ⋅ − ⋅ = ⇒∑ ∑
32
1
( ) ; ; ( )3
kc c
i i c i c i i c
i
M y b yMN y y A I A y y
I Iσ
=
⋅ ⋅= − ⋅ = = + −∑
UNIONI BULLONATE A FLESSIONE E SFORZO ASSIALE
Momento inerzia sezione reagente rispetto all’asse neutro
Momento statico sezione reagente rispetto all’asse neutro==
S
JyC
022226 11
23
=
+−⋅−
+−⋅+
−⋅⋅
+⋅
∑∑==
n
i
iii
n
i
iiCCC y
aeyAy
aeAy
ae
byby
(equazione cubica)
⋅= CN yF
σ ( )Cii yyAN
−⋅= σ
FN
a/2
a/2
e
yi y
C
ε σ
Ni/Ai
( )∑=
−−⋅
=n
i
CiiC
C
yyAby
1
2
2
σ ( )C
CiiCi
y
yyAN
−⋅= σ
e > 0 per N < 0
e < 0 per N > 0
0J
yF CN
C
⋅=σ
COLLEGAMENTICOLLEGAMENTI
- Articolazioni → cinematismi;
- Giunti a parziale ripristino trasferiscono parzialmente M, N, e T;
- Giunti a totale ripristino trasferiscono globalmente M, N, e T;
- Duttilità nel collegamento: condiziona la duttilità di insieme (possibile solo con
saldatura, non con bullonatura).
Giunti tesiGiunti tesi
Saldatura a
completa
penetrazione
Coprigiunti
saldati
Coprigiunti
saldati
Coprigiunti
bullonati
Distribuire i coprigiunti
in parti proporzionali
alle sezioni dei profili
per non deviare il flusso
degli sforzi
Giunti tesi flangiatiGiunti tesi flangiati
Giunti compressiGiunti compressiNei giunti bullonati le flange devono avere
sezione proporzionale a quella degli
elementi da collegare.
saldati a completa penetrazione bullonato
per contatto
Giunti di baseGiunti di base
Il taglio viene assorbito:
- Per attrito (µ = 0,1) → V/N ≤ 0,4;- Per contrasto diretto → incassando il profilo nel calcestruzzo.
Giunti inflessi intermediGiunti inflessi intermedi- A completo ripristino:
- diM e V in qualunque sezione;
- diM in ogni sezione in cui V < Vpl/3;
- A parziale ripristino di M: devono permettere le rotazioni nello schema statico
assunto.
Completo ripristino M, V Ripristino di M completo o parziale e completo di V
Ripristino completo se la ripartizione delle
forze nelle unioni è condotta secondo la
resisistenza delle parti collegate.
A ripristino completo o
parziale a seconda della
resistenza di piastra e bulloni.
A ripristino
del solo
talgio.
Completo ripristino di M e V Completo ripristino di M e V
Giunti inflessi di estremitàGiunti inflessi di estremità
Parziale ripristino - flangia inferiore a
contatto (spessorata) - trasmette, al
massimo, V e parte di M.
Completo ripristino di M e V (trave Gerber)
Completo ripristino di M e V Completo ripristino di M e V
Completo ripristino di V e
parziale di M
Cerniera
CernieraCerniera
Cerniera
Giunti trave Giunti trave -- colonnacolonna
Completo ripristino Completo o parziale ripristino Completo o parziale ripristino
Completo o parziale ripristino Completo o parziale ripristino
Giunti “pendolari”Giunti “pendolari”
Nei giunti con coprigiunto a totale ripristino flessionale il
flettente deve essere suddiviso tra ali ed anima; questa deve
inoltre assorbire anche V.
Nel caso di parziale ripristino flessionale si attribuisce al
coprigiunto delle ali tutto il flettente ed a quelli d’anima il
taglio.
Nei giunti flangiati il taglio viene trasmesso da tutti i bulloni, il
flettente sui bulloni tesi e la zona compressa della della
Giunti a squadretta ed osservazioniGiunti a squadretta ed osservazioni
RR/2e1
e2
V2
b
R/2 R/2R
flettente sui bulloni tesi e la zona compressa della della
flangia.
Nei giunti a squadretta (L) occorre tener conto delle eccentricità
delle reazioni:
- a: faccia sulla trave principale
- V = R → V1 = V/2 = R/2- T = V⋅e1 → H = T/d = V⋅e1/d
- b: faccia sulla trave secondaria
- V = R/2 → V2 = R/4
- T = R ⋅e2/2 → H2 = R ⋅e2/2d
d
V2
V2 H2
H2H1
V1
H1 V1
a
- a: su due sezioni
- b: su una sezione2
2
2
22
2
1
2
11
HVR
HVR
+=
+=
Si definiscono unioni correnti quei dispositivi di collegamento fra due o più piatti o
profilati la cui composizione permette di ottenere un elemento strutturale
complesso.
RICHIAMO DELL’IMPOSTAZIONE DEL PROBLEMAALLA JOURAWSKI
Si consideri la trave composta rappresentata in Fig. 1, soggetta a M, N e T.
Giunti di composizione delle sezioniGiunti di composizione delle sezioni
Ipotizzando un’azione assiale costante e un momento variabile lungo un concio di
trave di lunghezza dx, per l’equilibrio alla rotazione si ottiene:
ovvero il taglio è legato alla variazione di momento.
L’equilibrio alla traslazione di un concio dell’ala superiore della trave è garantito se la
saldatura tra l’ala e l’anima è in grado di assorbire gli sforzi di scorrimento (Fig. 2).
Alla variazione di momento è associata una variazione di sforzi di compressione
nell’ala superiore (il profilo a C in figura) di risultante pari a:
TdxdM =
dzbbJ
bSTdz
J
STdz
J
dAydMdA
J
ydMdAddNdS
G
C
G
C
A GA GA
⋅⋅=⋅⋅
==⋅
=⋅⋅
=⋅== ∫∫∫ τσ
S = momento statico della sezione del
G
C
Jb
ST
dzb
dC
⋅⋅
=⋅
=//τ
Gli sforzi di taglio alla Jourawski nascono per
garantire l’equilibrio alla traslazione e nascono solo
se è presente una variazione di momento flettente.
Per reciprocità, secondo Cauchy, le tensioni
taglianti si ribaltano in direzione orizzontale lungo
la sezione congiungente l’anima con l’ala.
SC = momento statico della sezione del
profilo a C rispetto all’asse baricentrico
della trave
JG = momento d’inerzia baricentrico
della sezione composta della trave
Per la verifica della bullonatura 1, si considera la forza di scorrimento Sm1:
eJ
STS ALAm
⋅=1
Unione bullonata
a
b
al
S
lbS
m
m
22//
⋅=
⋅∆=
∆⋅⋅=
ττ
τ
Unione saldata
ALAmb
AnJ
eST
An
S
⋅⋅⋅⋅
=⋅
= 11τ
con S/// = momento statico dell’ala (tratteggiata in Fig. 5) rispetto all’asse baricentrico
della sezione.
Per la verifica della bullonatura 2, si considera la forza di scorrimento Sm2:
In teoria il momento statico nel secondo caso andrebbe calcolato sommando quello
dell’ala e degli angolari. Nella pratica non è consigliabile, l’angolare è un elemento
discontinuo sulla lunghezza della trave e quindi non trasmette momento.
JGm1
bGb
bAnJAn ⋅⋅⋅
eJ
STS
G
ALAm
⋅=2
bG
ALA
b
mb
AnJ
eST
An
S
⋅⋅⋅⋅
=⋅
= 22τ
Rotture dei giuntiRotture dei giunti
Rottura zona compressa
altrimenti costole
Rottura zona tesa Rottura per taglio
d
W
Wf
ht
235
30≥
yc
yb
ff
f
fk
Akt
=
⋅≥
1
4,0
W
fWh
Akt3
1 ⋅≥
VERIFICHE DI RESISTENZAVERIFICHE DI RESISTENZA
Aeff è l’area del profilo o di una sua sezione netta
(depurata di fori) quando il profilo è collegato in
modo simmetrico rispetto al baricentro;
penalizzazioni in caso di collegamenti eccentrici
(CNR 10011).
TRAZIONE
( )..LSN fA deff
d
N≤=σ
( )..ATN
adm
effAN σσ ≤=
COMPRESSIONE
( )..LSN fA d
d
N≤=σ
( )..ATN
adm
d
AN σσ ≤=
A è l’area netta del profilo, depurata dei fori.
FLESSIONE
( )..max
LSfdd
≤σ( )..
maxAT
admσσ ≤
L
1
ψ
ψMef res ψMe
Μ/MeFLESSIONE RETTA
w
M
ψσ =max
ψ ≥ 1: coeff. adattamento
plastico (o di forma).
FLESSIONE DEVIATA
ψσ1
max⋅
+=
Y
Y
X
X
W
M
W
M
χ/χeεr/εe
ψ YX WW
ψΜe: valore del momento che produce una freccia residua allo scarico fr = L/1000.
χ/χe = ε/εe (sezioni simmetriche).
ψ ≅ 1 (cautelativo)
PRESSOFLESSIONE
( )..max
LSfddNd
≤+σσ( )..
maxAT
admN σσσ ≤+
( )..3
maxLS
Aw
V fdd ≤≅τ
( )..3
maxAT
Aw
V admστ ≤≅
TAGLIO
TorsioneTorsioneLa teoria di d.s.v. sottovaluta la resistenza a torsione delle travi a sezione aperta in
parete sottile.
Risultati più realistici si ottengono con la teoria delle “aree settoriali” o della
“torsione non uniforme”.Flusso primario classico (d.s.v.) associato alla
torsione pura o uniforme.
Flusso secondario associato alle τ legate
Flusso delle τ dovute al torcente
Flusso secondario associato alle τ legate
(equilibrio) alle σ dovute all’ingobbamento
disuniforme delle sezioni generato dal flusso
primario (torsione d’ingobbamento).
TORSIONE PURA
≅
⋅== circolaresezioneperII
IG
T
dz
dt
t
I
0
θθ
In sezione aperta a spessore sottile:
t
I
S
n
i
iit
I
tTtG
tbdstI
⋅=⋅⋅=
⋅≅= ∫ ∑=
θτmax
1
33
3
1
3
1
n = numero di elementi costituenti la sezione
∫∫
Ω⋅=⋅
⋅Ω⋅=
⋅Ω⋅=
S
tS
dst
IdstG
T
dz
d
t
T
1
41
42
2
2
θτ
In sezione cava a spessore sottile:
TORSIONE DA INGOBBAMENTO IMPEDITO
In una trave a sezione costante soggetta a
torsione la componente w
d’ingobbamento vale:
Trave con appoggi con vincolo torsionale. Nella mezzaria spostamenti w = 0 per
simmetria. Nella mezzaria torsione d’ingobbamento impedito, agli estremi (w =
0) torsione primaria ⇒ torsione mista.
Nelle altre sezioni sono presenti entrambi i comportamenti torsionali.
/
con ω = ω(x,y) = area settoriale
(funzione della geometria della
sezione).
dz
dw
θω=
w rappresenta il doppio dell’area generale dal raggio C-M per M che descrive la linea
media della sezione.
FissandoM0 (punto qualunque della linea media):
Variando w in funzione di z risulta:
( ) ( )∫==S
t dsss0
τωω
II
zz
II
z EEz
wθωεσθωε ωωω ⋅⋅=⋅=⋅=
∂∂
= ,,,
La funzione è tabulata per i profili più usuali unificati. Insorgono anche tensioni
tangenziali nella sezione trasversale:
Il torcente secondario si ottiene per integrazione dei momenti delle forze di taglio
rispetto al centro di taglio:
z∂
( ) ∫=⋅⋅
−=A
III
dAsScont
SEω
θτ ω
ωω momento statico settoriale
∫=⋅⋅−=A
III dAIconIET 2ωθ ωωω momento d’inerzia settoriale
TORSIONE MISTA
In generale per effetto torcente sono presenti τT (prim.), σzw e τw (second.). In ogni
sezione il torcente si decompone in:
ωTTT T +=
La ripartizione del torcente tra TT e Tω è fortemente dipendente dalla geometria della
sezione.
Nelle sezioni piene o a cassone Tω è sempre trascurabile rispetto a TT.
Nelle sezioni aperte TT può essere trascurabile rispetto a Tω e quindi trascurare
l’ingobbamento impedito può portare a notevole sottostima della resistenza
TT
Tω
Tω
TT
l’ingobbamento impedito può portare a notevole sottostima della resistenza
torsionale dei profili usuali.
Qui di fianco si nota il quadro riassuntivo
completo delle tensioni da torsione
mista.
Ripartizione tra TT e Tω:
Se il torcente unitario applicato vale:
III
I
TT
T
IET
IGT
TTT
θ
θ
ωω
ω
⋅⋅−=
⋅⋅=
+=
( ) ( )
( )ztIGIE
ztdz
dTdz
dz
dTTztT
II
T
IV =⋅⋅−⋅⋅⇒
=−⇒=+++−
θθω
0
( ) ( ) ( )zezqzt ⋅=
la condizione di equilibrio per
l’elemento di lunghezza dz è:
(eq. differenziale 4° ordine)
L’integrale generale è del tipo:
Imposte le condizioni al contorno per ricavare C1, C2, C3, C4 e θ0 si ottiene:
I
T
III
II
I
IGIET
IEM
w
θθ
θ
θω
ω
ωω
⋅⋅+⋅⋅−=
⋅⋅−=
⋅=
Lo stato tensionale completo nel sistema di
ω
θθIE
IGLkconz
L
kchCz
L
kshC
L
zCC T
⋅
⋅=++++= 43210
k: lunghezza adimensionale caratteristica della trave
Lo stato tensionale completo nel sistema di
coordinate generalizzate x(s), y(s), ω(s)
vale:
( )( )
( ) ( ) ( )
( )stx
T
sSI
TsS
I
TsS
I
T
sts
I
Mx
I
My
I
M
T
TT
y
y
y
x
x
x
y
y
x
xz
=
++=
++=
τ
τ
ωσ
ωω
ω
ω
ω
1
VERIFICHE DI STABILITA’VERIFICHE DI STABILITA’
Elementi compressiElementi compressi- Pilastri di strutture pendolari in cui le azioni orizzontali sono affidate ad elementi
di controvento;
- Aste delle strutture reticolari.In relazione alla forma della sezione trasversale l’instabilità può manifestarsi con tre
diversi meccanismi:
- Instabilità piana: inflessione guidata in un piano (sezioni a doppio asse di
simmetria) coincidente con quello di massima snellezza;simmetria) coincidente con quello di massima snellezza;
- Instabilità torsionale: interessa sezioni con rigidezza torsionale secondaria
trascurabile (sezioni a croce);
- Instabilità flesso-torsionale : combinazione delle precedenti (sbandamento
più avvitamento).
Le imperfezioni di natura costruttiva devono comportare uno scostamento dalla
configurazione rettilinea non superiore ad 1/1000 della lunghezza libera di
inflessione (altrimenti elementi precompressi):
1000
100 ⋅≤ lV
La lunghezza libera di inflessione è funzione della lunghezza reale dell’asta (l) e
delle condizioni di vincolo:
Nelle diverse tipologie si adottano le seguenti indicazioni:
β = 1 nel piano della travatura;
β = 1 nel piano ortogonale alla travatura
ll ⋅= β0
- β = 1 se i vincoli sono assimilabili a cerniere;
- β = 0,7 se i vincoli estremi sono assimilabili ad incastri;
- β = 0,8 se un vincolo è assimilabile a cerniera e l’altro ad incastro;
- β = 2 se in un estremo c’è un incastro perfetto,e l’altro è libero.
Aste di corrente di travi reticolari piane
β = 1 nel piano ortogonale alla travatura
se esistono ritegni rigidi di estremo, in
caso di ritegni elastici urgono verifiche
più accurate;
β = d/l ≥ 0,8 dove d è l’interasse tra le giunzioni;
Aste di parete di travi reticolari
β ≥ 0,5 nel caso d’incrocio di aste tese e
compresse con resistenza del nodo non minore di
1/5 dello sforzo di estremo dell’asta compressa;
valori di β:
nel piano di parete
fuori dal piano di parete
Colonne di edifici β = 1 in presenza di ritegni rigidi a livello dei piani.
In ogni caso deve risultare:
i
l0=λ
- ≤ 200 nelle membrature principali (azioni statiche);
- ≤ 250 nelle membrature secondarie (azioni statiche);
- ≤ 150 nelle membrature principali (azioni dinamiche);
- ≤ 200 nelle membrature secondarie (azioni dinamiche).
La verifica di sicurezza comporta che risulti:
νσσ ≥c
- ν = 1,0 stati limite;
- ν = 1,5 tensioni ammissibili condizione 1;
- ν = 1,5/1,125 tensioni ammissibili condizione 2.- ν = 1,5/1,125 tensioni ammissibili condizione 2.
A
N cc=σ tensione corrispondente alla forza che comporta l’inflessione laterale
nel piano considerato.
A
N=σ tensione di compressione media corrispondente al carico N presente.
Come tecnica di verifica si utilizza il metodo “ω” che riduce la verifica di stabilità a
quella statica corrispondente, ma con una azione maggiorata:
σω
admA
N=
⋅
σσσω ν
c
y
c
admf
==con
Per sezioni doppiamente simmetriche o dotate di un unico asse di simmetria
ortogonale (limitatamente ad un inflessione nella direzione di tale asse) i valori di
fy
cσω
=1
sono tabulati per quattro tipi di sezioni in funzioni del rapporto λ/λc, dove λc è la
snellezza corrispondente al limite di validità del comportamento elastico della
membratura.
fy
c
Eπλ =da ⇒
2
2
cy
Ef
λπ
=fycλ
I valori diagrammati corrispondono a quei tabulati e per le 4 curve risulta(riportate in
forma tabellare nel CNR 10011/88):
- curva a: tubi (quadri, rettangolari e tondi);
- curva b: sezioni a I laminate con h/b>1,2;
sezioni a I con ali rinforzate da piatti saldati;
sezioni chiuse a cassone composte con saldatura;
- curva c: aste laminate diverse da “b”;
sezioni aperte composte con saldatura;
Aste composte da più profilati;
- curva d: aste semplici e composte con spessore t ≥ 40 mm.
I singoli elementi in acciaio possono essere composti dando luogo ad aste composte:
- tralicciate (a);
- calastrellate (b);
- abbottonate (c).
Le sezioni composte in figura (d) si
comportano come aste semplici
per l’ inflessione in direzione y,
composte in direzione x.
Le membrature composte in figura
(e) si comportano invece come(e) si comportano invece come
aste composte in entrambe le
direzioni.
(d)
(e)
Il comportamento delle aste composte dipende sia dalle prestazioni flessionali
dell’asta semplice che da quello dei collegamenti che, deformandosi, esaltano le
inflessioni e quindi gli effetti instabilizzanti.
La capacità portante dipende pertanto da i seguenti parametri:
- Comportamento globale dell’asta;
- Comportamento locale di ogni corrente;
- Effetto delle azioni sui collegamenti.
Il comportamento globale dipende dalla deformabilità per flessione e per taglio che
condizionano l’inflessione laterale dovuta alle imperfezioni iniziali. La
deformabilità per flessione dipende dal momento di inerzia complessivo:deformabilità per flessione dipende dal momento di inerzia complessivo:
422
2
11d
AII ⋅⋅+⋅=
I1: momento inerzia singolo profilo;
A1: area singolo profilo;
d: distanza baricentri profili correnti(2 correnti)
La deformabilità a taglio dipende da quella delle aste di collegamento e dei correnti, e
precisamente:
- Nelle aste tralicciate dalla deformabilità assiale delle aste di parete;
- Nelle aste calastrellate dalla deformabilità flessionale dei correnti e dei
calastrelli (trave Vierendeel);
Il comportamento di ogni corrente tra i collegamenti dipende dal tipo di
- Nelle aste abbottonate dalla deformabilità flessionale dei correnti e
dall’eventuale scorrimento nella giunzione.
Il comportamento di ogni corrente tra i collegamenti dipende dal tipo di
collegamento, e precisamente:
- Per aste tralicciate ogni corrente è un asta compressa con l0 pari all’interasse
tra i collegamenti;
- Per aste calastrellate ogni corrente è un asta pressoinflessa (M circa
bitriangolare);
- Per aste abbottonate ogni corrente è pressoinflesso.
L’influenza del comportamento locale su quello globale è di difficile valutazione.
Viene quindi coperta da limitazioni dimensionali che ne riducono la portata a
valori più significativi.
La pratica progettuale porta ad una definizione di snellezza equivalente dell’asta
composta, cioè:
- Nella direzione perpendicolare ad un asse principale d’inerzia (x-x) che
taglia tutte le sezioni: snellezza valutata come per un’asta semplice;
- Nella direzione perpendicolare ad un asse principale d’inerzia (y-y) che
non taglia tutte le sezioni: λ dipende dal tipo di collegamento.
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
In presenza di calastrelli rigidi:
50342
50;50342 ,1
1
,1
1 ≤
−≤>
−≤
C
x
yC
x
y N
Nse
i
lo
N
N
i
l λλ
Deve in ogni caso risultare:
min,1
11
02
1
2 ;:i
l
i
lcon
y
Yyeq =⋅
=+= λβ
λλλλinterasse calastrelli
(singolo elemento)(tutta la sezione)
In presenza di traliccio (oltre alla verifica locale dei correnti):lt
At
l0
A/2ld
Ad
ltAt
l0
ld A/2
Ad
A B
( )AA
l
A
l
ll
A
t
t
d
d
t
yeq
+
⋅+=
33
2
0
2 10λλ
( )BAll
lA
dt
d
yeq ⋅⋅
⋅⋅+=
2
0
32 10
λλ
I collegamenti trasversali delle aste composte compresse e gli
attacchi ai correnti si dimensionano per:
Nω=
N = forza assiale nell’asta; A B
100
NV
ω=
N = forza assiale nell’asta;
ω = relativo all’asta.
I calastrelli si calcolano ammettendo che il taglio si ripartisca in quote uguali tra i
correnti: V/2
R
V/2
l0/2
l0/2
lt/2
t
t
l
lVR
lRlV 00
22
22
⋅=⇒
⋅=⋅⋅
Devono dividere l’asta almeno in 3 campi e presentare interasse
costante.
Sezioni composte da aste ravvicinate calastrellate:
Per distanze minori di 3 volte lo spessore ⇒ asta semplice purché i
calastrelli siano a passo minore di 50⋅imin (40⋅imin per Fe510),(in
figura calastelli a croce alternati).
Sezioni composte da elementi ravvicinati con imbottiture:
La verifica si conduce per la singola asta composta con:
2
1
2 λλλ +=eq
λ = snellezza effettiva;
λ1 = snellezza locale tra le imbottiture del singolo profilo.
Aste compresse a sezioni aperte e chiuse con pareti di piccolo spessore:Aste compresse a sezioni aperte e chiuse con pareti di piccolo spessore:
Per evitare che si manifesti un imbozzamento locale prima che l’elemento abbia
esaurito la sua resistenza di insieme occorre rispettare dei limiti dimensionali,
quali riportati nella CNR 10011. Tali limiti dipendono dal materiale.
I limiti interessano i rapporti b/t. b1
t1
Nel caso in esame Fe360 Fe430 Fe510
b1/t1 15 14 12
Travi inflesse a parete pienaTravi inflesse a parete pienaIntervento di sbandamento laterale e
torsione fino al collasso prima di
esaurire tutte le risorse flessionali
primarie.
Parametri influenti:
- rigidezze flessionali;
- rigidezza torsionale;
- punto di applicazione del carico;
- parametri di geometria e vincolo.- parametri di geometria e vincolo.
Il fenomeno è descritto dalle 2 variabili
indipendenti “µ ”e “θ ”. Operando
con le CNR 10011 deve risultare:
W
Me
W
Mcon
x
DD
x
D
⋅=
⋅=≤
ψσ
ψσ
νσ
σ max
maxmax
MD = momento max calcolato per il carico critico in campo elasto-plastico;
W = modulo resistente relativo al lembo compresso.
h
t
Travi laminate:
n = 1,5 per travi laminate;
n = 1 per travi saldate.( )nyx
n
Dcr
Dcr
yxD
ff
⋅+⋅⋅=
ψσ
σψσ
,
,
Tensione critica per instabilità flesso-torsionale in
campo elasticoW
M cr
Dcr =,σ
1
1585,0 tb
Lh
E
f y
⋅⋅
⋅⋅
=ω≤⋅
⋅=
W
M
x
eq
ψ
ωσ 1
fd (S.L.)
σadm (T.A.)
ω1 = tabulato in funzione della geometria e tipo d’acciaio;
bMm = momento medio nel campo di trave (L) considerato.
ω1 = tabulato in funzione della geometria e tipo d’acciaio;
t1 = spessore ali;
l = distanza tra 2 ritegni torsionali successivi.
→=≤≤
→=≤≤
meqeq
meqeq
MMMMM
MMMMM
maxmax
maxmax
50,0
3,175,0 Travi appoggiate o continue
Travi con sbalzi o mensole
Per travi a I approssimativamente si può controllare la stabilità nel piano trasversale
supponendo l’ala compressa isolata dall’anima, per uno sforzo normale Neq:
≤⋅
=⇒==A
N
M
MconS
J
MN
eqeq
X
X
eq
ωσηη
max
1
max
1
fd (S.L.)
σadm (T.A.)
( )
N
Ncon
NNN
l
kNper
l
kN
kMl
N
crcr
cr
=−
=−
=⇒−
=⇒
=⇒=
−⋅=⇒
−==⋅⋅
µθµµθ
θθθθ
θ
θθθ
θθθ
000
0
0
0
11
40
4
22
Elementi pressoElementi presso--inflessiinflessi
F
l
2θ
θθ0
k
con θ0 = imperfezione iniziale.
Carico critico per modulo
privo di imperfezioni
Equilibrio:
Modello
cinematico:
N
N
N
cr
−− µθ 11
v F
molla (b)Npl
Ncr
Nlim
(c)
(a)
θθ0 θlim
Alla plasticizzazione della molla:
lk
Ml
MN
k
MlNMvN
pl
pl
pl
pl
⋅+⋅
=
+=⇒⋅⋅==⋅
2
2
22
0
lim
0lim
θ
θθθ
Il comportamento dell’asta continua è descritto dalla curva (c), con una transazione
più graduale dalla curva (a) alla curve (b), dovuta alla progressiva plasticizzazione
della sezione critica.
La norma italiana adotta una formulazione che tiene conto della forma del diagramma
di momento agente sull’asta. Deve risultare:
≤
−⋅
⋅+
crN
NW
M
A
N
νψ
βω
1
fd (S.L.)
σadm (T.A.)con σcr = tensione critica euleriana
(anche in campo plastico)
aeqbabaeq MMeMMconMMMM 4,04,06,0 >≥−==⋅β
β = 1 se M = costanteMa Mb
Nel caso di presso-flessione deviata:
≤
−⋅
⋅+
−⋅
⋅+
Ycr
YY
eqY
Xcr
XX
eqX
N
NW
M
N
NW
M
A
N
,
,
,
,
11 νψ
β
νψ
βω
fd (S.L.)
σadm (T.A.)
Elementi inseriti in un complesso strutturaleElementi inseriti in un complesso strutturale- Condizioni di vincolo non perfette e spesso variabili in funzione del carico;
- Necessità di valutare la rigidezza e resistenza dei vincoli e la conseguente reale
lunghezza libera di inflessione.P P P
l
l1EA
l
k=EA/l1
v
2
2
2
IE
lkPlvkvP
l
IEP
crcr
cr
⋅⋅
⋅=⇒⋅⋅=⋅
⋅⋅=
π
π
In realtà l’intervento della plasticizzazione rende più complesso il problema.
Le norme danno regole empiriche e forfettarie di riferimento che portano a
dimensionare i vincoli per forze comprese tra L’1% ed il 2% del carico agente
sull’elemento da stabilizzare.
3
2
2l
IEkpermeccanismo
⋅⋅<°
π
Aste vincolate agli estremi → l0 = βl
l β = 1 l β = 0,7 β = 2l
l β = 0,5 β = 2β = 1l ll β = 0,5 β = 2β = 1l l
P
l
a
k=a/l
k β0,0 1,00
0,2 1,24
0,4 1,56
0,6 1,93
0,8 2,31
1,0 2,70
l
P
a
k=a/l
k β0,0 2,00
0,2 2,13
0,4 2,27
0,6 2,41
0,8 2,55
1,0 2,70
Aste con vincoli intermedi
Aste con vincoli elastici
Molto spesso i vincoli delle aste non possono esser ritenuti rigidi, allora la loro
deformabilità abbassa la sicurezza nei confronti dei fenomeni d’instabilità.
l
P
oppure
l0=l l0>l- La rigidezza minima efficace del vincolo
elastico deve essere valutata tenendo conto
delle imperfezioni iniziali;
- Il vincolo deve essere verificato in termini
di resistenza nei confronti delle reazioni
vincolari che vi insorgono, legate alla sua
rigidezza. vincolo molto
efficace
vincolo poco
efficace
rigidezza.
Il problema interessa essenzialmente i ponti a sezione aperta (a via inferiore) e le
coperture industriali realizzate con capriate la cui briglia superiore è controventata
da orditure secondarie opportunamente intervallate.
Il problema è stato inizialmente risolto da Engesser nell’ipotesi di corrente compresso
rettilineo, a sezione costante, sollecitata da carico assiale costante, con estremità
incernierate e supporti elastici uniformemente distribuiti.
k = F/v v = spostamento vincolo;
F = reazione vincolo.
Secondo Engesser l’asta raggiunge il carico critico in campo elastico se:
( )2
min 2,14
pervalidaEI
lPkk cr ≥
⋅=≥ β
P
lC=βl
lC
k
l
l0
Nke
ki
( )( )2
22
min2
2
min
4
4
lP
lPkkrisultaredeve
lPEIpoiché
EI
cr
crcr
⋅⋅
⋅⋅=≥
⋅⋅=
βπ
πβ
La procedura è poi stata estesa al campo plastico e si applica come di
seguito indicato.
l ki
ki
ki
ke
a) Sezione e N costanti, appoggi elastici intermedi equidistanti e di
ugual rigidezza:
Si determina la rigidezza k0 (n = numero di campi):
( )0
2
0
0
2
2
0 42
3212
422,12
l
Nkn
l
Nk
nn ⋅−=⇒≤≤=⋅=⇒≤≤> ββ
βπ
β
ricavando λy in funzione di ω (da fd ⋅ A/N o σadm⋅ A/N).
y
y
i
l 0
λβ =
Deve risultare:
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) cedevoliestremivincoliATkkoLSkk
cedevoliestremivincoliATkkoLSkk
rigidiestremivincoliATkkoLSkk
eiei
iiii
ii
⇐⋅⋅≥≥
⇐⋅⋅≥≥
⇐≥≥
..5,1..
..5,1..
..5,1..
00
00
00
ηη
ηη
Verifica:
con( )
notoconi
ei ξξη
ηβξ
βξβξη =
⋅⋅+
⋅⋅−+
⋅⋅+=
26,01
41,111
2
6,01
Progetto:
βηη
η1
36,0/6,0
−=
i
ie
ηi noto
In ogni caso ηi ≥ 1,1 e β ≥ 1,2.
b) Sezione variabile da campo a campo, N variabile, campi di lunghezza variabile e
rigidezze dei vincoli intermedi variabili:
Si usa la procedura precedente assumendo:
- N = Nmax- l0 = l0,min- β = media aritmetica dei diversi valori di β- ξ = ki,min/ke
I vincoli elastici si dimensionano per:
inermediappoggiN
F max=
estremiappoggiN
F
inermediappoggiN
F
e
i
100
100
max
max
=
=β
con Nmax = max forza nei campi adiacenti al vincolo.
β = 0,5 (0,7)
β = 0,7 (1)
Aste appartenenti a telai
l0 = distanza tra i 2 punti consecutivi di flesso della deformata critica in campo elastico
di un ritto semplicemente compresso.
β = 1 (2)
β = 2 (>2)
Verifica di stabilità globale:
Si considera agente nella combinazione più gravosa dei carichi verticali un sistema di
forze orizzontali pari ad 1/80 dei carichi verticali.
Gli spostamenti orizzontali conseguenti non devono superare 1/500 dell’altezza totale
del telaio.
Lastre piane irrigiditeLastre piane irrigiditeIl comportamento instabile è strettamente influenzato dal tipo di sollecitazione.
S’individuano 2 categorie di problemi:
Lastre compresse Lastre inflesse
Piattabande e impalcati Anime
Poche riserve in campo elastico Molte riserve in campo elastico
LASTRE COMPRESSE
σ1
σ2
τ
Sono soggette a:
- Tensioni flessionali σ1 associate al
comportamento d’insieme di tutta la
struttura;
- Tensioni tangenziali complanari τ dovute al
comportamento globale a taglio e torsione
(primari e secondaria);
- Tensioni normali trasversali dovute alla deformazione trasversale ed alla presenza
d’irrigidimenti (σ2);- Tensioni flessionali nello spessore dell’impalcato dovute agli effetti locali dei
carichi.
Sono possibili 4 tipi d’instabilità:
Imbozzamento locale dei singoli pannelli Instabilità locale della nervatura (aperta)Imbozzamento locale dei singoli pannelli
tra le nervature
Instabilità locale della nervatura (aperta)
o di una sua parte (chiusa)
Instabilità globale
della lastra con
inflessione
longitudinale tra gli
irrigidimenti
trasversali
Instabilità globale
della lastra con
inflessione
trasversale tra le
travi di bordo
LASTRE INFLESSE
σ1
τ ψσ1
σ1
ψσ1
a
σ2I pannelli d’anima compresi tra le ali delle travi
e le nervature verticali d’irrigidimento
sono in genere soggetti a flessione
composta e taglio.
Molte riserve in campo plastico per via della
forma dei diagrammi tensionali.
Modalità di verifica:
- calcolo del coefficiente d’imbozzamento
sulla base dello stato tensionale nel σ2sulla base dello stato tensionale nel
pannello (kσ);
- Calcolo tensione ideale d’imbozzamento:
σr = kσ σcr,0 (quest’ultimo da tabella).
Deve risultare:
22
11
22
1
,22
1
,
4
3
4
1
3
3
+
⋅
−+⋅
+
+=⋅≥
+
crcrcr
idcr
idcr
ττ
σσψ
σσψ
τσσνβ
τσ
σ
03
0
:
0
00
1,
,
1max,11
11
==
==
<=
>=
στσ
τσσ
τ
σσσ
σσ
se
se
dove
animasolasuvalutata
camponelsecon
camponelsecon
cridcr
cridcr
per
permn
mn
αβ
ασσ
σσβ
>=
≤+
+=
5,11
5,180,0
Mda
Nda
per
m
n
σσ
σσαβ
=
=
>= 5,11
2
,
2
,
,
,
25
152520
8,0
+
−+
=
≅>
idcr
y
idcr
y
didcr
idcrdycr
f
f
f
esostituiscsiaffrisultaSe
σ
σσ
σσ
DUTTILITA’DUTTILITA’Nello studio del comportamento elasto-plastico delle travi e strutture
monodimensionali in acciaio solitamente si fanno le seguenti ipotesi:
- Ipotesi di Navier (cioè il mantenimento delle sezioni piane);
- Piccoli spostamenti;
- Materiale elastico-perfettamente plastico (diagramma di Prandtl);
- Assenza di fenomeni di instabilità.
Definiamo:
- Me: momento elastico, per cui ε,- Me: momento elastico, per cui ε,deformazione massima, raggiunge il
limite elastico εe;
- Mu: momento ultimo, per cui ε = εu;- Mp: momento limite plastico, ε = ∞;
- µ0 = εu/εe :duttilità del materiale;
- β = Mp/Me: fattore di forma della
sezione.
Duttilità delle sezioniDuttilità delle sezioniSezione rettangolare.
Per l’ipotesi di Navier:
2hY e
e εε =
εε e
e
hY ⋅=
2
Eo
eσε =
da cui
dove
⋅−⋅
⋅⋅=
⋅⋅−
⋅⋅=⋅
⋅⋅−⋅
⋅⋅=ε
εσσσσσ 2
2222
3
11
434322
422 eoeooeeo
o
hbYbhbYYbhhbM
Considerando che: =>4
2hbo
pM⋅⋅
= σ
⋅−⋅=
⋅−⋅=
u
eM
u
eMM ppu χ
χ
ε
ε22
3
11
3
11
MMp
oo
hbhhb
e 3
2
623
2
222
2=
⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅= σσInoltre, poiché:
e
u
e
u
χχ
εε
µ ==0Avendo osservato che:
Dunque il fattore di forma per sezioni
rettangolari risulta:
2
3==
M
M
e
pβ
Se l’anima è molto sottile, β ≅ 1 e
002
2 σσ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≅ hsbh
sbM p
−=
⋅−⋅=
χ
χ
χ
χ eee MMM p
22
323
11=>
A1
A2
A1
A2
-σ0
σ0 σ0
-σ0
-
+
-
+
221
AAA ==
In realtà vi sono altri fattori che
condizionano i diagrammi
momento curvatura e
precisamente:
- Presenza di autotensioni parassite;
- Ramo incrudente dell’acciaio
(solitamente trascurato per
insorgenza di fenomeni
d’instabilità).
2
Duttilità della strutturaDuttilità della strutturaLa duttilità strutturale porta comunque diversi
vantaggi:
1. Collasso duttile e non fragile;
2. Attenuazione dei picchi di sollecitazione e
capacità di ridistribuzione nelle strutture
iperstatiche;
3. Attenuazione delle sollecitazioni dovute ad
azioni sismiche, dinamiche, impulsive (urti).
1
αδ
P
χ/χe
M/Me
χe Lunghezza tratto
plasticizzato dipende
dall’incrudimento delazioni sismiche, dinamiche, impulsive (urti).
Tuttavia, a una duttilità anche illimitata del
materiale o della sezione corrisponde una
limitata duttilità della struttura.
1
1
l
l
M1(x)
-
ESEMPIO: MENSOLA (caricata all’estremo)
dall’incrudimento del
diagrammaM-χ
e
e
e
u
δδ
µδ =
( )∫=l
dxx0
χα( ) ( )∫ ⋅=l
dxxxML0
2
1χ
e
u
αα
µα =
La duttilità della struttura aumenta se si ha un apprezzabile incrudimento nel
diagramma momento-curvatura, e in particolare aumenta con il beneficio plastico
β, fattore di forma.
La duttilità è limitata dal fatto che la plasticizzazione si estende a tratti limitati. Ciò è
dovuto alla variabilità del momento flettente, e cioè alla presenza del taglio.
INFLUENZA DEL TAGLIO
Il taglio può avere un ruolo importante nella
irettngolarsezioniper
79,169,11050 ÷=⇒÷= αµµ
Zona
palsticizzata
taglio
a
Struttura più duttile
Il taglio può avere un ruolo importante nella
plasticizzazione di sezioni a doppio T, al punto che a
volte si considera l’anima già plasticizzata, assumendo
che il collasso avvenga non appena sopraggiunge la
plasticizzazione nelle ali.
La plasticizzazione prematura dell’anima rispetto alle ali,
permette la progettazione di controventi duttili.
In particolare la struttura viene progettata in modo che la
plasticizzazione a taglio avvenga prima
dell’instabilizzazione dei controventi, che
determinerebbe un collasso repentino e poco dissipativo.
INSTABILITA’ DELLE TRAVI IN REGIME INSTABILITA’ DELLE TRAVI IN REGIME
ELASTICOELASTICOCi riferiamo a travi di Eulero-Bernulli, limitatamente deformabili, cui sia applicabile
la teoria linearizzata (cos ϕ = 1, sen ϕ = ϕ).
Dunque:
⇒+= )(4
4
xpy
EJ
dxd
dxy
PdPdxxp d
−=⋅=⋅
2
)( ϕPoiché:
⇒=+⇒ 02
2
4
4
dxd
dxd y
Py
EJ
EJ
P=α 2
conyy
dxd
dxd 0
2
2
2
4
4
=+⇒ α
CCCC xxsenxy 4321cos +++= ααSoluzione:
dxy
PdPdxxp
dxd
−=⋅=⋅
2)( ϕPoiché:
Proviamo a costruire la matrice di rigidezza della trave sulla base della teoria
linearizzata , imponendo le seguenti condizioni al contorno:
0)0( =y
ϕ=)0('y
0)( =ly
0)(' =ly
041 =+CC ϕα =+CC 32
0cos 4321 =+++ CCCC lsenλλ 0cos 321 =++− CCC sen λαλα
CCC xxseny 321 cos' ++−= ααααPoiché
si ha:
D
senC
λλλαϕ cos
1
−⋅=
D
senC
λλλαϕ −−
⋅=cos1
2 DC
λϕ
cos13
−⋅= CC 14 −=
avendo posto α ⋅ l = λ.Risolvendo:
ove .λλλ senD −−= cos22
( ) ( )xsenCxCy αααα 2
2
1
2 cos'' −−=
( ) ( )xCxsenCy αααα cos''' 2
3
1
3 −=
I COLONNA:
( )xsenxEJEJy CCM αα αα 22
12 cos'' +=−=
ϕλλλ
λλλλ
ϕα =⋅−
⋅⋅=−
⋅==coscos
)0(D
sen
l
EJ
D
senEJMM A
ffff
ϕλφ ⋅⋅= )(l
EJ
DlD
ϕλχϕλλλ
λλλλ
ϕαλλλλ
ϕα
⋅⋅=⋅−
⋅=
=
⋅−−
⋅+⋅−
⋅−=−=
)()(
cos1cos
cos)(
l
EJ
D
sen
l
EJ
senD
sen
D
senEJlMM B
( )ϕ
λωϕ
λϕ
λχλφ λ ⋅⋅=⋅−
⋅⋅=⋅+
⋅=+
==−ll
EJ
Dll
EJ
ll
EJ
l
MMVV BABA
)()cos1(1)()(2
II COLONNA:
η=)0(y 0)0(' =y 0)( =ly 0)(' =ly
η=+CC 41
032 =+CCα
0cos 4321 =+++ CCCC lsenλλ
0cos 321 =++− CCC sen λαλα
ηλ
⋅−
=D
C1cos
1 ηλ
⋅−
=D
senC2
ηλλ
⋅⋅−=D
sen
lC3
ηλ
⋅
−−=
DC
cos114
Dl D
( )xsenxEJEJyx CCM αα αα 22
12 cos'')( +=−=
ηλω
ηλλ
ηλ
α ⋅⋅−=⋅−
⋅=⋅−
⋅==ll
EJ
DlEJ
DEJMM A
)(1cos1cos)0(
2
22
ηλω
⋅⋅−==−=ll
EJMlMM AB
)()(
ηλω
ηηλω
⋅
−⋅=⋅−⋅⋅=−=EJ
P
ll
EJ
l
P
ll
EJVV BA 22
)(2)(2
Dunque nell’ipotesi che P non vari apprezzabilmente, il problema rimane lineare e la
matrice di rigidezza [K] della trave assume la forma seguente:
[ ]
−
+−−−−
+−
⋅= EJ
P
llEJ
P
ll
ll
l
EJK
22
)()(
)(2)()(2)(
)()(
)()(
λωλφ
λωλχ
λωλωλωλω
λωλχ
λωλφ
−+−+
−
EJ
P
llEJ
P
ll
ll
l
22
)(2)()(2)(
)()(
)()(
λωλωλωλω
λωλφ
λωλχ
ANALISI STRUTTURALE DEL 2ANALISI STRUTTURALE DEL 2°°°°°°°° ORDINEORDINERiprendiamo la formulazione di rigidezza della trave derivante dalla teoria
linearizzata. La trave fa parte in genere di una travatura più complessa e lo sforzo
normale non può, se non con approssimazione, essere considerato costante :
Insorge dunque un problema di non-linearità detta geometrica. Ulteriori problemi
computazionali in un eventuale calcolo iterativo derivano dalla presenza di
termini non lineari nella stessa matrice locale.
E’ possibile attuare un procedimento semplificato basato sull’assunzione di una
deformata con legge cubica. In altre parole, gli effetti del 2° ordine sui nodideformata con legge cubica. In altre parole, gli effetti del 2° ordine sui nodi
vengono calcolati con riferimento agli spostamenti calcolati con la teoria del 1°
ordine.
A BvTeoria del 1° ordine:
Nella costruzione della matrice di rigidezza, una volta imposto uno spostamento
unitario su un movimento, oltre alle reazioni del 1° ordine, si calcolano le reazioni
rispetto alle sollecitazioni del 2° ordine, che andranno in una matrice detta
“matrice geometrica” [K]G.
Ai fini del calcolo di [K]G, la rotazione apparente
[ ] [ ] η⋅+=− KKSSG0
[ ]
−
−
⋅−=
000000
010010
000000
000000
010010
000000
l
PKG
effetto sway (deragliamento)
l
1≅δ
Ai fini del calcolo di [K]G, la rotazione apparente
dell’asta assume carattere dominante, per cui
facendo riferimento al seguente schema:
Metodo P Metodo P -- δδδδδδδδValuta approssimativamente gli effetti del 2° ordine utilizzando esclusivamente la
matrice di rigidezza elastica sulla base del cosiddetto effetto “sway”.
Facendo riferimento alla figura seguente si scrive l’equazione di equilibrio della
generica trave di un telaio:
uuNuuN
h
N
h
N
iiiiii
p i
ii
i
ii
iH
111
1
11
1
)()( ++−
+
+++
=
−−
=
=
−
−
∑
∑∆δδ
h
uuQ
h
uuQ
h
N
h
N
i
iii
i
iii
p i
i
i
i
1
111
1
1
)()(
+
++−
+
+
−−
=
−
−∑
Il calcolo è iterativo e di volta in volta si considera l’aggravio di carichi orizzontali
aggiuntivi ∆Hi, finché questi diventano sufficientemente piccoli.
Tale metodo permette anche la valutazione di carichi orizzontali aggiuntivi dovuti ad
imperfezioni di verticalità ψ del telaio:
(corrispondente regola empirica di assegnare un ulteriore carico uniforme orizzontale
pari a 1/100÷1/50 del carico orizzontale iniziale)
( ) ψ⋅−=∆ +QQH iii 1
INFLUENZA DELLA DEFORMABILITA’ A INFLUENZA DELLA DEFORMABILITA’ A
TAGLIO SUL CARICO DI PUNTATAGLIO SUL CARICO DI PUNTA
Y P(ϕ+dϕ)ϕ
Il taglio determina una rotazione
aggiuntiva del concio
tagliodifattorecon
AG
yP
AG
TyT
=⋅⋅
⋅=⋅
⋅=
χ
χχ
:
''
che non genera flettenti e va detratto
Pϕ
P(ϕ+dϕ)ϕ
( )
JAG
PJcon
yJE
PyPyyyJE IIIVIIIV
T
IV
⋅⋅
−=
=⋅⋅
+⇒=+−⋅
χ1*
0*
0
AGP
PP
AG
PPPcuida
E
Ecr
cr
Ecr
⋅⋅+
=⇒
⋅
⋅−=
χχ
1
1
che non genera flettenti e va detratto
dall’eq. della linea elastica:
L0
T
m
sLt
α
γd
t
AECos
LT
⋅⋅
⋅
α2
d
t
AECos
LT
⋅⋅
⋅
α3Nel caso di sezione piena in acciaio (l = altezza asta
incernierata, b = base minore sez.) si trova:
( )
22
2
6,2
12
2,1
=
+⋅
⋅⋅
=⋅
⋅
l
b
AE
l
JE
AG
PE
ν
πχ
Valore generalmente trascurabile. Invece tale riduzione
assume importanza nel caso di aste calastrellate e
tralicciate.
T
αT
T/Cos α
tralicciate.
ESEMPIO: TRALICCIO
00
3
00
3
0
cos'
cos
LAE
L
LAE
L
TAG
LAE
LT
LAE
LT
L
s
t
t
d
t
t
t
d
t
⋅⋅+
⋅⋅⋅==
⋅
=⇒
⋅⋅
⋅+
⋅⋅⋅
⋅==
αγχ
γ
αγ
t
tAE
TLm
⋅=
ESEMPIO: TRALICCIO (asta calastrellata)T/2 T/2
L0
correnteinMomentoJE
LTs
icalastrellinMomentoJE
LLTs
t
t
:48
:24
0
3
0
2
2
0
1
⋅⋅
⋅=
⋅⋅
⋅⋅=
0
2
00
2412'
JE
L
JE
LL
TAG t
t
⋅⋅+
⋅⋅
⋅==
⋅
=γχ
γ
In entrambi i casi il problema si può
impostare nella forma seguente:
γ’, e dunque λ1, dipendono in generale da considerazioni teoriche
corroborate e calibrate da prove sperimentali.
T/2T/2
Lt s1 s2( )( )
Eeq
Eeq
E
crit
Pe
P
doveP
E
⋅⋅=+=
⋅+=
⋅+⋅
=
'
,'1
:'1
22
1
2
1
22
22
2
2
γλλλλλ
γλλ
γλπ
σ
INSTABILITA’ LATERALEINSTABILITA’ LATERALEL’instabilità laterale interessa tipicamente le travi inflesse con anima molto sottile. In
alcuni casi, un leggero sbandamento laterale o una torsione, possono portare alla
instabilità.
Esaminiamo il caso di una trave rettangolare soggetta a momenti costanti applicati
sulle estremità.
Si osserva che la configurazione variata determina dei momenti aggiuntivi che
dovranno rispettare le seguenti relazioni:
zxyyy MMEJ ϕϕ ⋅−== 0' yxzt MGJ ϕϕ ⋅= 0'
2
0 0'' xt z z
y
MGJEJ
ϕ ϕ+ ⋅ =
( )( )
2
2 0x
t y
M
GJ EJλ =
Derivando la seconda relazione in z e sostituendo si ottiene:
ove:
0 0 0'' ' zt x x xz y
y
GJ M M MEJ
ϕϕ ϕ
= ⋅ = ⋅ − ⋅
da cui:
Mx0 Mx0
Mx0
Mx0φz
Mx0φy
Mx0
φz
zxyyy MMEJ ϕϕ ⋅−== 0' yxzt MGJ ϕϕ ⋅= 0'
0'' 2 =⋅+ zz ϕλϕ
La soluzione è:
cosz A z Bsen zϕ λ λ= +
Se imponiamo e (rotazioni impedite sugli appoggi),
troviamo:
( 0) 0z zϕ = = ( ) 0z z lϕ = =
0B sen zλ⋅ =0=A e
Oltre alla soluzione banale (B = 0) , si trova
ossia (con K = 1,2…)πλ Kl =( )( )
0x
t y
M l KGJ EJ
π⋅ =
Il valore del carico critico è il più piccolo fra quelli associati ai diversi valori di K:
( ) ( )( )0
t yGJ EJ
x critico lM π= ⋅
( )( )( ) 0.5
0
0
1t y
tx
x
GJ EJ P GJM
l Mπ
− ⋅
= ⋅ ⋅ +
Il valore del carico critico è il più piccolo fra quelli associati ai diversi valori di K:
Nel caso in cui esista anche una forza assiale di compressione P, si dimostra che:
INSTABILITA’ E COLLASSO IN REGIME INSTABILITA’ E COLLASSO IN REGIME
ELASTOELASTO--PLASTICO DELLE TRAVIPLASTICO DELLE TRAVI
Imponendo le condizioni v(0) = 0 e v’(0) = 0 si trova:l
v P
ef( )
( ) ( )JE
PovefexsenCxCv
vfePdx
vdJE
⋅=+++=
−+=⋅
ααα 21
2
2
cos
l
xh
b( ) ( )[ ]( )[ ]
( ))
cos
cos1
cos1
acurval
l
e
f
xefv
⋅⋅−
=
−+=
αα
α
La completa plasticizzazione di una sezione rettangolare si ha quando è soddisfatta la
seguente equazione:
2
0
2
004
22
''2
bM
PbMMM
yybMM
P
PPP ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⇒⋅⋅⋅⋅−=
σσσ
2
0
2
0
1
4
−=
⋅⋅=
⋅⋅=
PP
P
P
P
P
M
M
hbP
hbM
σ
σ
Poiché( )
2
6
bh
efP
A
P ++=σ
Allora quando alla base σ=σ0:Allora quando alla base σ=σ0:
( ))014
2
bcurvah
ef
P
P
P
=−+
+
La curva a) esprime la relazione tra il
carico P e lo spostamento in testa f.
La curva b) esprime la condizione di
plasticizzazione completa nella sezione
di base.
La curva c) esprime il collasso a carico di punta in regime elasto-plastico.
Pcr=1,5Pp
ANALISI DI STRUTTURE IN ACCIAIOANALISI DI STRUTTURE IN ACCIAIOI procedimenti dell’analisi limite trovano alcuni limiti nei seguenti problemi:
- Necessità di tenere in conto di un numero cospicuo di condizioni di carico;
- Presenza di imperfezioni geometriche (aste non rettilinee), costruttive (verticalità
delle colonne) , Autotensioni.
Sono detti a nodi fissi quei telai che non hanno resistenza apprezzabile ad azioni
orizzontali e richiedono dunque un contoventamento o un accoppiamento con
strutture molto rigide che si caricano integralmente le azioni orizzontali.
Telai a nodi fissiTelai a nodi fissi
strutture molto rigide che si caricano integralmente le azioni orizzontali.
La loro deformabilità ad azioni orizzontali comporta che i corrispondenti spostamenti
non causino apprezzabili effetti sui regimi di sforzi.
Non si commettono errori importanti a considerare schematizzazioni semplici come le
travi continue.
Telaio con nodi
rigidi
Nodi flessibili o
semi-rigidi
Nodi flessibili
pendolari
A)B)
costruttivamente più semplici
TRAVI
- Profilati di classe III e IV : calcolo elastico lineare, il carico ultimo corrisponde al
raggiungimento del momento ultimo nella prima sezione;
- Profilati classe I e II : E’ possibile effettuare una analisi limite.
Bisognerà, inoltre, evitare instabilità flesso torsionali (esempio: presenza solai).
COLONNE
- Caso A detto pendolo: si effettua la verifica di
instabilità dell’asta reale al carico di punta (instabilità
euleriana);
- Caso B: si effettua la verifica del carico di punta in
presso flessione (Instabilità Euleriana);
Bisognerà, inoltre, evitare instabilità flesso torsionali (esempio: presenza solai).
I controventi saranno calcolati tenendo conto delle imperfezioni di verticalità e, a
meno che non vi siano setti in C.A., degli effetti del 2°ordine (esempio: metodo
P-δ).
Telai a nodi spostabiliTelai a nodi spostabili
Sono telai progettati per sopportare, integralmente o parzialmente, azioni orizzontali.
Essi dunque prevedono collegamenti tra travi e colonne che possano trasmettere
M, T e di solito usano unioni rigide (giunti saldati, bulloni ad attrito), e sono più
onerosi.
I punti A,B e C rappresentano le successive cernierizzazioni, mentre da C in poi si
hanno i seguenti fenomeni:
- Effetto P-δ;- Non linearità geometrica e- Non linearità geometrica e
conseguente instabilità globale.
Le difficoltà dell’analisi sono:
- Non linearità geometrica;
- Non linearità meccanica;
- Influenza delle imperfezioni;
- Instabilità locale.
La non linearità geometrica si risolve con il metodo della matrice geometrica o il
metodo P-δ.
La non linearità meccanica si affronta con i metodi basati sull’ipotesi della plasticità
addensata , tuttavia è necessario verificare di volta le rotazioni delle cerniere. Nel
caso di profilati di classe III e IV le instabilità premature vanificano l’analisi
limite, cosicché il collasso avviene alla formazione della prima cerniera, cioè il
calcolo avviene in campo elastico.
Per quanto riguarda le imperfezioni, generalmente si tiene conto, in sede di analisi
strutturale, dei soli difetti costruttivi. Delle imperfezioni nelle aste e delle
autotensioni si tiene conto in sede di verifica locale.