Studio sperimentale degli effetti della retroazione in un ... · simulazione, quali Matlab e Spice, che però non sono del tutto affidabili nel ... Si affronta ora il caso di in un

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA”

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA INFORMATICA

TESI DI LAUREA IN CONTROLLI AUTOMATICI

Studio sperimentale degli effetti della retroazione in un sistema non lineare: il

caso di un amplificatore audio

CANDIDATO: RELATORE:

DANILO SPADA PROF. CLAUDIO GORI GIORGI

N° MATR. 09099780

ANNO ACCADEMICO 2003-2004

1

IInnddiiccee

2

Indice .................................................................................................................. 1

Introduzione........................................................................................................ 3

Aspetti teorici...................................................................................................... 5

1. Stabilità e sistemi in retroazione..................................................................... 6

La stabilità .......................................................................................... 6

La retroazione ................................................................................... 10

Criterio di Nyquist ............................................................................ 12

Esempio 1 ......................................................................................... 14

Sistemi in retroazione non lineari ..................................................... 16

Cicli limite ........................................................................................ 17

2. Il metodo della Funzione Descrittiva............................................................ 18

Stabilità dei cicli limite..................................................................... 21

Descrizione dell’amplificatore.......................................................................... 25

3. Descrizione del circuito ................................................................................ 26

4. Il layout ......................................................................................................... 35

Misure ............................................................................................................... 43

5. Le misure ...................................................................................................... 44

Note introduttive............................................................................... 44

Strumenti utilizzati............................................................................ 44

I dati .................................................................................................. 46

SNR................................................................................................... 74

Ulteriori considerazioni .................................................................... 75

Simulazione ...................................................................................................... 76

6. Matlab ........................................................................................................... 78

Il modello.......................................................................................... 78

Studio della stabilità ......................................................................... 81

Simulazioni ....................................................................................... 85

SNR................................................................................................... 92

Codice Matlab................................................................................... 93

FUNZIONI ....................................................................................... 93

GRAFICI .......................................................................................... 94

7. Spice ............................................................................................................. 96

Il modello.......................................................................................... 96

Simulazioni ....................................................................................... 96

Appendice Dati ............................................................................................... 104

3

IInnttrroodduuzziioonnee

4

E' ben noto che, nell'ambito dell'approssimazione lineare, la retroazione

permette di migliorare le prestazioni di un amplificatore audio aumentando la

banda passante e riducendo il rumore; tuttavia questi risultati non sono così

scontati quando si esce dall'ambito della teoria lineare e si portano in conto le

non linearità presenti nel sistema. E' opinione diffusa che la retroazione

linearizzi e quindi riduca la distorsione, ma non sempre questo effetto si

verifica e anzi, in taluni casi, la retroazione può aumentare la distorsione totale

dell'amplificatore o far comparire armoniche particolarmente sgradevoli

all'orecchio umano. Poiché in presenza di non linearità non è disponibile una

teoria completa e soddisfacente che aiuti il progettista come nel caso lineare, lo

studio sperimentale resta la principale strada da percorrere, con tutti gli

inconvenienti e i costi che ciò comporta.

Un'alternativa meno costosa e impegnativa è costituita dagli ambienti di

simulazione, quali Matlab e Spice, che però non sono del tutto affidabili nel

descrivere l'effettivo comportamento dei circuiti in campo non lineare.

Lo scopo di questa tesi è appunto lo studio di un amplificatore audio in cui

intervengono delle non linearità; lo stadio di uscita, infatti, lavora ad alti livelli

di potenza e per esso non è più lecito fare approssimazioni di linearità,

approssimazioni che pur restano valide per gli stadi che lo precedono. Il lavoro

si è svolto in tre momenti salienti: la costruzione di un amplificatore, la fase

delle misure ed infine il momento di confronto dei dati ottenuti con quelli

derivanti dalle simulazioni.

Si è scelto un progetto che costituisce un classico nel mondo dell’alta fedeltà,

sviluppato da John Linsley Hood e presentato su Wireless World nel 1969 e

per lungo tempo considerato uno dei migliori amplificatori per uso domestico,

paragonabile ai migliori Williamson valvolari.

La tesi si struttura in quattro parti, che riguardano rispettivamente gli aspetti

teorici, la descrizione dell’amplificatore sia in termini circuitali che

realizzativi, le misure e la simulazione.

Nel primo capitolo si è discussa la stabilità nei sistemi, lineari e non, anche in

presenza di retroazione. Si è introdotto poi il criterio di Nyquist ed il concetto

di ciclo limite.

Nel secondo capitolo si è parlato del metodo della Funzione Descrittiva, del

suo utilizzo per individuare i cicli limite e per determinarne la stabilità.

Nel terzo capitolo si è descritto il progetto dell’amplificatore e si è fatto vedere

come è stato realizzato il circuito di retroazione.

Nel quarto capitolo si è mostrato il layout scelto per l’amplificatore ed il suo

aspetto reale, utilizzando a questo scopo, sia i disegni iniziali che le foto

dell’apparecchio ultimato.

Nel quinto capitolo si sono poi riportate le misure fatte e, per ottenere una

migliore leggibilità, è stato largamente adoperato lo strumento dei grafici.

Il sesto e il settimo capitolo sono dedicati alle simulazioni, il primo con Matlab

ed il secondo con Spice. Sono emerse caratteristiche interessanti in entrambi gli

ambienti ed in molti casi i risultati sono stati piuttosto vicini ai dati

sperimentali.

L’ottavo capitolo è infine un’appendice, dove, per completezza, si sono voluti

riportare i tabulati dei dati di maggior interesse per un eventuale

approfondimento successivo.

5

AAssppeettttii tteeoorriiccii

6

11.. SSttaabbiilliittàà ee ssiisstteemmii iinn rreettrrooaazziioonnee

La stabilità Equation Section 1

Per introdurre il concetto di stabilità si fa riferimento ad un sistema ad una sola

variabile, supposto in condizione di quiete all’istante t=tο, ossia tale che per t<

tο tutte le variabili, sia di ingresso che di uscita, siano nulle (fig1.1).

Fig1.1

Se il sistema viene perturbato, per esempio con un segnale di ingresso

impulsivo come quello di fig1.2,

Fig 1.2

la risposta a tale perturbazione può presentare uno dei seguenti comportamenti

qualitativi:

a)La risposta rimane limitata (fig1.3):

7

Fig 1.3

Esiste cioè una costante M1 tale che:

( ) 1 0y t M t≤ ∀ ≥ (1.1)

b)La risposta diverge (fig1.4):

Fig 1.4

Non esiste in questo caso una costante M2 tale da verificare la seguente

disequazione:

( ) 2 0y t M t≤ ∀ ≥ (1.2)

c)La risposta converge asintoticamente a zero (fig1.5):

8

Fig 1.5

Esiste in quest’ultimo caso una costante M3 tale che:

( ) 3 0y t M t≤ ∀ ≥ (1.3)

e risulta inoltre:

lim ( ) 0t

y t→∞

= (1.4)

Il primo caso corrisponde ad un comportamento stabile, il secondo ad un

comportamento instabile, il terzo ad un comportamento asintoticamente

stabile.

Nel caso particolare dei sistemi lineari, il comportamento non dipende né dal

particolare punto di equilibrio, né dall’entità della perturbazione in ingresso e

questo proprio per la linearità. Un sistema lineare verrà quindi detto stabile,

instabile o asintoticamente stabile a seconda della risposta presentata ad un

qualsivoglia ingresso.

Nel caso più generale dei sistemi non lineari invece, il comportamento può

dipendere sia dal punto di equilibrio considerato che dalla perturbazione in

ingresso. In questo ambito allora, la notazione va affinata: un punto di

equilibrio si dirà globalmente stabile se presenta un comportamento stabile per

ogni perturbazione e globalmente asintoticamente stabile se presenta un

comportamento asintoticamente stabile per ogni perturbazione. Se infine si ha

stabilità per ogni punto di equilibrio, si dirà che il sistema è globalmente stabile

o globalmente asintoticamente stabile rispettivamente, a seconda dell’ entità

della stabiltà dei sui punti di equilibrio.

Nel seguito si illustreranno brevemente le condizioni di stabilità per i sistemi

lineari, si vedrà poi cosa succede aggiungendo il ramo di retroazione e cosa

comporta in generale questa aggiunta. Si studierà infine il caso dei sistemi che,

oltre alla retroazione, presentano una non linearità; quest’ultimo punto riveste

9

il ruolo di maggior interesse nel presente lavoro e verrà esaminato più in

dettaglio. L’ipotesi di stazionarietà sarà ritenuta sempre valida nei casi in

esame.

Per quanto riguarda i sistemi lineari stazionari a costanti concentrate, le cui

funzioni di trasferimento sono razionali fratte, la stabilità dipende dalla

posizione dei poli della funzione di trasferimento nel piano complesso. La

risposta impulsiva, infatti, ottenuta antitrasformando la funzione di

trasferimento, consiste in una somma di termini, detti modi, del tipo:

, , sin( )t tK K e K e tσ σ ω φ⋅ ⋅ ⋅ + (1.5)

e, se i poli sono multipli, del tipo:

, , sin( )a a t a tK t K t e K t e tσ σ ω φ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + (1.6)

in cui σ ed ω sono la parte reale ed immaginaria dei poli considerati, mentre a è

un intero compreso tra 1 ed r-1 dove r è la molteplicità dei poli considerati. Si

vede che la risposta rimane limitata se i poli hanno parte reale negativa ed

eventuali poli a parte reale nulla sono semplici.

Si ha allora il seguente teorema:

Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità di un sistema lineare e

permanente è che la funzione di trasferimento non presenti poli a parte reale

positiva; eventuali poli a parte reale nulla siano inoltre semplici.

Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica di un sistema

lineare e permanente è che la funzione di trasferimento presenti solo poli a

parte reale negativa.

10

La retroazione

Si affronta ora il caso di in un sistema lineare e stazionario, con caratteristiche

di stabilità, quando viene aggiunto un ramo di retroazione. Lo schema a blocchi

diventa quello di fig1.6:

Fig1.6

E’ noto che la retroazione porta vantaggi significativi se usata in sistemi di

controllo capaci di un buon guadagno in catena diretta, e senza significativi

disturbi nel ramo di retroazione; questo è dovuto al fatto che l’efficacia di

questa configurazione consiste nella possibilità di misurare lo scostamento E(s)

tra il valore della variabile controllata C(s) con quello della variabile di

riferimento R(s). Alla necessità di poter accedere con precisione alla grandezza

controllata segue allora quella di poterla controllare opportunamente.

Le proprietà fondamentali date dalla retroazione sono:

1.Minor sensibilità alla variazione di parametri: l’azione di controllo non

dipende in maniera per così dire “cieca” dal segnale riferimento, caso in cui

una eventuale variazione parametrica porterebbe ad un’azione di controllo

inadeguata. L’azione di controllo dipende invece dal valore attuale della

variabile controllata. Il sistema reagirà allora ad una variazione di parametri in

maniera più appropriata, “sentendo” in qualche modo le variazioni avvenute.

Sempre che, s’intende, tali variazioni rimangano confinate al ramo diretto.

11

2.Minore sensibilità ai disturbi (Fig1.7):

Fig1.7

Nel caso non retroazionato la variazione dell’uscita dovuta al disturbo

varrebbe:

1( ) 2( ) ( )C s G s D s= ⋅ (1.7)

Mentre nel caso retroazionato vale:

2

2( ) ( )( )

1 1( ) 2( ) ( )

G s D sC s

G s G s H s

⋅=

+ ⋅ ⋅ (1.8)

Si vede subito che, con G1(s) elevato, l’effetto del disturbo sull’uscita è molto

limitato.

3.Larghezza di banda:

Supponendo, per esempio, e con riferimento alla fig1.6, la funzione di

trasferimento del ramo di retroazione reale:

( )H s h= (1.9)

si può scrivere:

( ) 1 1( )

11 ( )

( )

G jGR j

h G j hh

G j

ωω

ωω

= = ≅+ ⋅ +

per |G(jω)|>>1 (1.10)

12

A dispetto delle possibili variazioni di G(jω) allora, per tutta la banda in cui

risulta

|G(jω)|>>1 (1.11)

la risposta armonica del sistema retroazionato GR(jω) rimane pressoché

costante; la banda passante risulta di conseguenza maggiore, come si vede dalla

seguente figura di carattere esemplificativo(fig1.8):

Fig1.8

La retroazione però, può in alcuni casi portare ad una sovracorrezione che,

invece di avvicinare, allontana la variabile controllata dal valore desiderato,

facendo oscillare il sistema fino a renderlo instabile. Dato che la stabilità è un

requisito fondamentale dei sistemi di controllo, sarà indispensabile verificarne

l’esistenza ogni qual volta si introduce una retroazione; uno dei problemi

fondamentali nel progetto di un sistema di controllo è proprio lo studio del

comportamento del sistema con retroazione, noto il comportamento in assenza

della stessa: non è detto infatti che un sistema mantenga la sua condizione di

stabilità o instabilità una volta retroazionato.

Esistono diversi metodi di studio applicabili in questa fase, tra cui il più

conosciuto è il criterio di Nyquist, che verrà di seguito illustrato.

Criterio di Nyquist

Si fa l’ipotesi, sempre verificata nel mondo reale, che il sistema sia tutto

raggiungibile ed osservabile; si considerino poi i polinomi caratteristici a ciclo

aperto e chiuso:

( ) det( )apd s sI A= − (1.12)

( ) det( )chd s sI A BC= − + (1.13)

13

Si tratta dei polinomi al denominatore delle rispettive funzioni di trasferimento

e le loro radici sono quindi i poli delle stesse. Tra questi polinomi e la funzione

di trasferimento del sistema a ciclo aperto sussiste la relazione (rif. Fig1.6):

( )1 ( ) ( )

( )

ch

ap

d sG s H s

d s+ ⋅ = (1.14)

Questa relazione può essere usata per ottenere informazioni sul numero di

radici con parte reale positiva o nulla del polinomio dCH(s) che, come noto,

corrispondono ai poli della funzione di trasferimento a ciclo chiuso.

Si indica con ZAP il numero di radici con parte reale positiva del polinomio

dAP(s) e con ZCH il numero di radici con parte reale positiva del polinomio

dCH(s).

Il criterio di Nyquist dice che il numero N di giri che il vettore rappresentativo

di G(jω)H(jω) compie, sul piano complesso, attorno al punto –1 in senso orario

quando ω va da -∞ a +∞ è:

ch apN Z Z= − (1.15)

Questa formula mette in relazione i poli a parte reale maggiore di zero della

funzione di trasferimento a ciclo chiuso con due parametri propri della

configurazione a ciclo aperto ed indica che un sistema retroazionato risulta

stabile asintoticamente se e solo se

apN Z= − (1.16)

In realtà, per stabilire l’esistenza di radici con parte reale maggiore di zero del

polinomio caratteristico a ciclo chiuso ZCH, sarebbe bastato il criterio di Routh.

L’efficacia del criterio di Nyquist però, che deriva dalla sua natura prettamente

grafica, è che consente di giudicare in qualche modo l’entità della stabilità,

rendendo facilmente individuabili sia il margine di fase che di guadagno. E’

inoltre utile in questa sede perché il tracciamento del diagramma di Nyquist è

parte integrante dello studio della stabilità dei sistemi non lineari mediante il

metodo della funzione descrittiva. Seguono esempi.

14

Esempio 1 In questo caso il diagramma non compie giri intorno al punto (-1,0) e quindi il

sistema retroazionato risulterà asintoticamente stabile se e solo se la funzione

di trasferimento del sistema a ciclo aperto non ha poli a parte reale positiva. In

questo caso il buon margine di guadagno Mg e di fase Mφ indicano una certa

robustezza del sistema, che tollererebbe anche un incremento di guadagno.

Fig 1.9

Esempio 2 Caso analogo al precedente. In questo caso però entrambi i margini di

guadagno Mg e di fase Mφ sono minori e quindi la stabilità del sistema risulta

più critica.

Fig 1.10

15

Esempio 3 In quest’ultimo caso il diagramma circonda due volte il punto (-1,0) in senso

orario e quindi il sistema retroazionato sarà sicuramente instabile, non potendo

ovviamente risultare:

2apZ = − (1.17)

Fig 1.11

16

Sistemi in retroazione non lineari

Si va ora a considerare il caso dei sistemi in retroazione non lineari, con

configurazioni tipo quella di fig 1.12. E’ bene ricordare che, per quanto spesso

sia preferibile avere a che fare con sistemi lineari, o trattare come tali sistemi

che in realtà non lo sono, esiste anche il caso in cui le non linearità non si

possono trascurare, o addirittura casi in cui si vuole proprio sfruttare una

caratteristica non lineare nell’ambito del progetto di un controllore.

Fig1.12

Si vuole precisare che non verrà affrontato uno studio dei sistemi non lineari

del tutto generale, ma ci si concentrerà su quei sistemi in retroazione in cui sia

presente un blocco non lineare rappresentabile con una funzione ingresso-

uscita istantanea e simmetrica, come quella rappresentata in figura. Queste

caratteristiche garantiscono che l’uscita abbia valor medio nullo e che sia

periodica per un ingresso periodico.

Per studiare il comportamento di un sistema non lineare in presenza di un

segnale di ingresso bisogna conoscere il punto di equilibrio in cui si trova sulla

curva che rappresenta la non linearità. Come è già stato detto infatti, in questi

sistemi il comportamento per piccoli segnali dipende dal punto di equilibrio

considerato; se è lecito operare una linearizzazione locale, poi, per applicare i

metodi propri dei sistemi lineari, anche la posizione dei poli e la stabilità

dipenderanno dal suddetto punto di equilibrio. Anche l’entità della

perturbazione può, a differenza dei sistemi lineari, influire sul comportamento

di questi sistemi, ma in generale nei sistemi di controllo si desidera che tutti i

punti di equilibrio siano stabili per qualsiasi segnale di ingresso.

17

Cicli limite Si è visto che quando un sistema lineare è al limite di stabilità (poli nulli o

immaginari puri), esso oscilla. L’oscillazione è sinusoidale con ampiezza che

dipende dalle condizioni iniziali e può assumere qualsiasi valore. Per i sistemi

non lineari le cose vanno diversamente. Data la presenza di armoniche di

ordine superiore e la presenza di saturazioni infatti, le oscillazioni perderanno il

carattere sinusoidale, pur restando periodiche, e rimarranno limitate. Un

sistema non lineare che oscilla può così assestarsi su oscillazioni di ampiezza

costante e indipendenti dalle condizioni iniziali. Queste oscillazioni

corrispondono a delle curve chiuse nello spazio di stato e prendono il nome di

cicli limite; questi possono anche risultare stabili, nel senso che, se il sistema

viene perturbato, vi si riporta. Nel caso dei sistemi non lineari dunque, oltre

alla stabilità dei vari punti di equilibrio si dovrà considerare l’esistenza e

l’eventuale stabilità dei cicli limite. Uno dei metodi più diffusi a questo

proposito è quello della Funzione Descrittiva.

18

22.. IIll mmeettooddoo ddeellllaa FFuunnzziioonnee DDeessccrriittttiivvaa

Equation Section 2

Questo metodo si usa per trattare non linearità istantanee e simmetriche, ad uno

o anche a più valori, la cui curva caratteristica possa essere assegnata in forma

analitica o grafica.

Si consideri un sistema come in figura, in cui si individua facilmente il blocco

non lineare. Si tratta di un sistema autonomo, ossia privo di ingresso. E’ lecito

usare un tale schema quando si è in presenza di un sistema di controllo che

abbia un sottosistema non lineare in catena diretta ed in cui l’ingresso sia nullo:

Fig 2.1

Si vuole vedere quali sono le condizioni per cui tale sistema in evoluzione

libera oscilla e diventa sede di un ciclo limite.

Se esiste un ciclo limite, all’uscita della non linearità si troverà un segnale ( )y t

periodico ma non sinusoidale; la non linearità infatti introduce una distorsione

che si manifesta con la presenza di armoniche di ordine superiore. Il blocco

F(s), supposto lineare, si comporta come filtro passa basso e lascia passare solo

la componente fondamentale del segnale: questa è l’ipotesi dell’azione

filtrante. All’ingresso della non linearità si presenta allora un segnale

sinusoidale costituito dall’armonica fondamentale. Se le armoniche di ordine

superiore hanno tutte ampiezza minore del 10% di quella della prima armonica,

l’ipotesi dell’azione filtrante può ritenersi valida e diventa lecito trascurare la

distorsione introdotta dalla non linearità.

Detto allora:

( ) sin( )x t X tω= ⋅ (2.1)

19

Il segnale y(t) può esprimersi secondo lo sviluppo in serie di Fourier:

1

( ) ( cos sin )n n

n

y t a n t b n tω ω∞

=

= ⋅ + ⋅∑ (2.2)

ove :

1( ) cosna y t n t d t

π

π

ω ωπ −

= ⋅∫ (2.3)

1( ) sinnb y t n t d t

π

π

ω ωπ −

= ⋅∫ (2.4)

Si può anche porre:

1

( ) sin( )n n

n

y t Y n tω ϕ∞

=

= ⋅ +∑ (2.5)

essendo :

2 2

n n nY a b= + (2.6)

nn

n

aartg

bϕ = (2.7)

I valori di an, bn, Yn, ϕn sono di solito funzioni dell’ampiezza X del segnale di

ingresso.

La funzione descrittiva della non linearità è per definizione quel numero

complesso, funzione di X, il cui modulo è il rapporto tra l’ampiezza dell’

armonica fondamentale in uscita e l’ampiezza del segnale d’ingresso e la cui

fase è uguale allo sfasamento tra la fase dell’armonica fondamentale in uscita e

la fase del segnale d’ingresso. La funzione descrittiva può essere assimilata alla

risposta armonica, in cui però la dipendenza è rispetto all’ampiezza X del

segnale sinusoidale in ingresso, e non rispetto alla pulsazione dello stesso.

1 ( )

1

1( ) ( ) j XD X Y X e

X

ϕ= ⋅ ⋅ (2.8)

20

Secondo quanto detto, supponendo che l’ipotesi dell’azione filtrante sia

soddisfatta perfettamente e che il sistema in evoluzione libera sia sede di un

ciclo limite, deve aversi:

- ( ) ( ) ( ) ( )x t D X F j x tω= ⋅ ⋅ (2.9)

ossia:

-1 ( ) ( )D X F jω= ⋅ (2.10)

equivalente alle due relazioni:

( ) ( ) 1D X F jω⋅ = (2.11)

1( ) arg ( ) (1 2 )X F jϕ ω ν π+ = + con ν intero (2.12)

Queste sono le condizioni di esistenza di un ciclo limite.

Vengono coinvolte, come si vede, due funzioni a valori complessi e la

soluzione può essere trovata per via grafica sul piano di Nyquist. Si disegnano

le due curve che rappresentano la F(jω) e la 1

( )D X− , chiamate luogo delle

frequenze e luogo delle ampiezze rispettivamente, ed ogni loro intersezione

rappresenta un ciclo limite con ampiezza e frequenza dati dalle ascisse correnti

in quel punto.

Fig 2.2

21

Stabilità dei cicli limite Per vedere se un eventuale ciclo limite risulta stabile o meno, si può ancora

usare la funzione descrittiva e fare riferimento alla stessa rappresentazione

grafica mediante la quale se ne è appurata l’esistenza. Si è detto che la stabilità

di un ciclo limite si manifesta con la tendenza del sistema a riportarvisi, in

seguito ad una piccola perturbazione. Con riferimento alla figura 2.3 si può

allora considerare il segnale all’uscita del blocco non lineare y(t) e vedere cosa

accade se, rimanendo qualitativamente sinusoidale, si fa variare lentamente la

sua ampiezza; si può porre:

( ) sinty t e tα ω≅ ⋅ (2.13)

In cui α è una costante molto piccola il cui segno comporta una crescita o una

diminuzione, comunque leggere, dell’ampiezza del segnale y(t) nel tempo. Il

blocco lineare del sistema risponde, con questo segnale in ingresso, con

modulo e fase della funzione F(α + jω ) e dato che la F è una trasformazione

conforme dal piano s al piano di Nyquist, mantiene le orientazioni:

Fig 2.3

Questo significa che, se risulta:

0α < (2.14)

la retta Re(s)=α , percorsa nel verso delle ω crescenti, lascia alla sua destra

l’asse immaginario.

Piano s Piano Nyquist

F( 1α +jω)

1α 2α

F( 2α +jω)

F(jω)

22

Se invece si ha:

0α > (2.15)

la retta Re(s)=α , percorsa sempre nel verso delle ω crescenti, lascia l’asse

immaginario alla sua sinistra.

Si immagini ora di avere una curva 1

( )D X− che giace sull’asse reale negativo,

come quella rappresentata in rosso in figura 1.16:

Fig 2.4

Le frecce indicano il senso crescente delle rispettive ascisse correnti ed il punto

P, di intersezione tra la curva F(jω) e la curva 1

( )D X− , rappresenta il ciclo

limite, come al solito.

Si nota nell’esempio in figura che, se una perturbazione genera una variazione

avente unaα positiva, la curva di interesse per individuare il ciclo limite

diventa quella che rappresenta la F( 2α +jω), tratteggiata in verde in figura.

L’informazione che si trae dalla rappresentazione grafica è che un aumento

positivo dell’ampiezza del ciclo limite farebbe spostare il punto P su un valore

di X minore. Ci si trova davanti ad una contraddizione: partendo infatti

dall’ipotesi che l’ampiezza del ciclo limite stesse aumentando, si è arrivati ad

affermare che l’ampiezza X dello stesso fosse diminuita.

D’altra parte, se la variazione di ampiezza avvenisse con una α negativa, con

ragionamento analogo, si vedrebbe il punto P spostarsi su un valore di X

Piano di Nyquist

F( 1α +jω)

1

( )D X−

P

F( 2α +jω)

F(jω)

23

maggiore. Anche in questo caso ci si troverebbe di fronte ad una

contraddizione. Entrambi i risultati danno conto della stabilità del ciclo limite

preso in esame; una eventuale variazione infatti, sia positiva che negativa

dell’oscillazione, è contrastata dal sistema stesso.

Si esamini ora il caso in cui l’andamento della curva rappresentante la 1

( )D X−

sia opposto rispetto al caso precedente:

Fig 2.5

Questa volta, se una perturbazione genera una variazione di ampiezza conα

positiva, la curva che rappresenta la F( 2α +jω), individua un punto di

intersezione P cui corrisponde un valore di X maggiore; d’altra parte, se la

variazione di ampiezza avviene con α negativa, il punto P è individuato dalla

curva F( 1α +jω), ossia si sposta su un valore minore di X. In entrambi i casi si

trova un risultato in accordo con l’entità della variazione. Ci si trova di fronte

ad un ciclo limite instabile che non si oppone ad una eventuale variazione di

ampiezza delle sue oscillazioni.

Il risultato generale cui si perviene è che un ciclo limite è stabile se,

percorrendo sul piano di Nyquist la curva che rappresenta la F(jω) secondo le

ω crescenti, questa interseca la curva che rappresenta la 1

( )D X− lasciandosi a

sinistra il senso delle X crescenti.

Piano di Nyquist

F( 1α +jω)

1

( )D X−

P

F( 2α +jω)

F(jω)

24

Quello della funzione descrittiva è un procedimento piuttosto semplice da

usare, sia nella fase di ricerca che di studio di eventuali cicli limite. Non è un

metodo rigoroso, ma è soddisfacente nella maggior parte dei casi di interesse

pratico, come in quello qui in esame.

25

DDeessccrriizziioonnee ddeellll’’aammpplliiffiiccaattoorree

26

33.. DDeessccrriizziioonnee ddeell cciirrccuuiittoo

Equation Section 3

In questa sezione si vuole descrivere brevemente il funzionamento del circuito

di amplificazione. Si procederà dallo stadio di uscita per risalire, a ritroso

rispetto al percorso seguito dal segnale, fino allo stadio di ingresso.

Lo stadio di uscita è rappresentato nella figura 3.1:

Q1

Q2

VCC

C1

RL

Drive1

Drive2

'X'

Fig.3.1

Si tratta di una configurazione conosciuta come totem pole in cui il transistor di

potenza Q2 lavora in classe A ed il transistor di potenza Q1 funge da carico

attivo. La capacità C1 serve per disaccoppiare il carico di uscita dalla

componente di tensione continua dovuta alla polarizzazione dei transistor e

determina, insieme al carico di uscita stesso, la costante di tempo RC relativa

alla frequenza di taglio inferiore.

Quando un finale lavora in classe A, esso conduce per tutto il periodo del

segnale di ingresso e nella configurazione più semplice si ha un unico transistor

munito di un carico resistivo sul collettore; l’efficienza di conversione di

potenza tuttavia risulta così molto limitata, dell’ordine del 12%. Con un carico

attivo come in questo caso, invece, l’uscita è pilotata in maniera push-pull, e

si ottiene un’efficienza migliore. Per pilotare questi due transistor con segnali

di ampiezza opportuna ed in controfase si inserisce un terzo transistor, Q3, che

funge appunto da stadio pilota.

27

L’aggiunta di questo terzo transistor viene mostrata nella seguente figura 3.2:

Q1

Q2

VCC

C1

RL

Drive1

Drive2

Q3

R2

R1

Vin 'X'

Fig.3.2

Dato che Q1 si trova in configurazione emitter-follower, la sua tensione di base

varierà, in concomitanza alla tensione di emettitore, in tutto il range di uscita,

approssimativamente da 0 a Vcc Volt. La resistenza R2 viene allora sostituita

con un circuito di boot-strap, e questo per evitare che, quando l’emettitore di

Q1, e quindi la sua base, si avvicinano alla tensione di alimentazione, la sempre

minore tensione ai capi di R2 determini una diminuzione di corrente, tale da

portare il transistor all’interdizione.

Come si vede nella seguente figura 3.3, R2 viene divisa in due nuove

resistenze, con una capacità collegata tra il loro punto di mezzo e l’emettitore

di Q1. All’accensione la capacità C5 si carica ad una tensione che è circa la

metà di quella di alimentazione. Durante il funzionamento, poi, mantiene

questa differenza di potenziale tra i punti in cui è collegata, e di rimando tra i

capi di R10, fornendo all’occorrenza corrente utile a Q1.

28

Q1

Q2

VCC

C1

RL

Drive1

Drive2

Q3

R9

R1

Vin

R10C5

'X'

Fig.3.3

Lo stadio di ingresso infine è costituito da un transistor PNP in configurazione

emitter-follower, come si vede dalla seguente figura 3.4:

Q1

Q2

VCC

C1

RL

Drive1

Drive2

Q3

R2

R3

R4

C5

'X'

R5

R6

R7

R8

IN C2

Q4 R10

C3

Fig.3.4

29

Questo transistor serve da buffer, per fornire un’alta impedenza di ingresso; la

base è connessa ad un partitore resistivo che la tiene a circa metà della tensione

di alimentazione Vcc. Si nota che su questo stadio è presente una

controreazione; il segnale infatti, prelevato dal punto ‘X’, viene collegato

all’emettitore di Q4 tramite il partitore costituito da R8 ed R10 (la capacità C3

serve per bloccare la continua). In questo modo la tensione continua presente

nel punto ‘X’ in assenza di segnale viene regolata dal partitore presente sulla

base di Q4 tramite il ramo di retroazione.

Il guadagno di tensione ingresso uscita di questo circuito risulta:

8

10

1R

AR

= + (3.1)

Infatti la base e l’emettitore di Q4 distano sempre circa 0,6 Volt e quando in

uscita è presente un segnale di ampiezza X, alla base di Q4 sarà presente un

segnale di ampiezza circa:

10

8 10

RX

R R⋅

+ (3.2)

Dato che il guadagno di questo primo disegno presentava una banda che

arrivava fino a 150 Khz, per evitare autooscillazioni, amplificazioni di rumore

bianco ed il fenomeno del ringing, sono state aggiunte delle reti RC per

limitare la larghezza di banda, come evidenziato nella seguente figura 3.5:

Q1

Q2

VCC

C1

RL

Drive1

Drive2

Q3

R2

R3

R4C5

'X'

R5

R6

R7

R8

IN C2

Q4

R10

C3

C4

C6

R11

C7

Fig.3.5

Con queste correzioni la frequenza di taglio è stata portata intorno ai 60 Khz.

30

Di seguito sono riportate le immagini dell’oscilloscopio relative a misurazioni

fatte sui vari punti del circuito, per mostrare l’andamento del segnale.

Sono rappresentati in questa prima immagine l’ingresso, in viola, ed il segnale

alla base di Q4, in giallo; il segnale in giallo risulta minore perché prelevato a

monte del potenziometro di ingresso:

Fig 3.6

31

In figura 3.7 si vede invece l’andamento del segnale sulla base di Q3; qui la

tensione rimane praticamente invariata, dato che sia Q3 che Q2 sono sempre in

conduzione; in questo punto si riscontrerà allora sempre una tensione di circa

1,4 Volt:

Fig 3.7

32

L’ immagine 3.8 è relativa al segnale presente sul collettore di Q3:

Fig 3.8

33

L’ immagine 3.9 rappresenta il segnale amplificato, prelevato sul punto X; si

nota che lo stadio di uscita non amplifica la tensione, ma la corrente:

Fig 3.9

34

Si mostra infine il circuito usato per effettuare la retroazione:

100%

Potenziometro_IN

IN 1

2

3

5%

RLOUT

NEW_IN

R

R

R

R

Fig 3.10

E’ un sottrattore non pesato realizzato mediante un amplificatore operazionale.

La resistenza di carico RL, rappresentata con un potenziometro, è in realtà un

potenziometro messo parallelo ad RL e serve per salvaguardare i finali in caso

di accensione dell’apparecchio senza carico. Per il ruolo rivestito nello schema

qui presente tuttavia, in cui indica il sito dove viene prelevato il segnale di

retroazione, è del tutto equivalente. L’uso delle etichette aiuta a riferire il

presente schema a quello principale.

35

44.. IIll llaayyoouutt

Il layout generale, come inizialmente concepito, è quello riportato in figura:

Fig 4.1

Rispetto a questa prima versione si è successivamente deciso di inserire il

trasformatore all’interno dello chassis, per motivi estetici, e di utilizzare due

dissipatori di calore per i transistor finali invece che uno solo, per farli lavorare

a temperature più basse, come schematizzato nella seguente figura:

36

Fig 4.2

Per la realizzazione si è scelto di utilizzare uno chassis 30x23x8. Si tratta di un

alloggiamento piuttosto comodo per questa realizzazione, tale da favorire le

modifiche durante lo studio delle diverse configurazioni del circuito

direttamente in loco, in linea con la natura sperimentale del progetto.

I condensatori di maggior volume sono stati disposti su un supporto e, tramite

questo, fissati allo chassis; in questo modo si è evitato uno scomodo ingombro

laddove si è intervenuto più di sovente: sulla basetta. Per quanto riguarda il

trasformatore poi, si è preferito un modello toroidale, per evitare che ci fossero

disturbi di carattere magnetico al resto dei componenti. In questo tipo di

trasformatore infatti, le linee del campo magnetico generato dagli avvolgimenti

rimangono confinate all’interno del nucleo. Il trasformatore è stato fissato

direttamente allo chassis e, come ulteriore accorgimento nella prevenzione di

disturbi magnetici, si è fatta attenzione a non tenerlo troppo vicino ad altri

componenti. Anche il ponte raddrizzatore, infine, è stato ancorato direttamente

allo chassis.

Gran parte del circuito ha trovato posto su una basetta di bakelite perforata, con

fori da 4mm; la scelta è stata suggerita dalla natura di questo supporto, molto

resistente e facilmente lavorabile. Al contrario di un supporto PCB (printed

circuit board) o di una millefori, infatti, questo permette che i componenti

vengano aggiunti e rimossi quante volte si vuole, senza subire alterazioni per

via del calore o dello stress che inevitabilmente è comportato da ripetute

saldature. L’ancoraggio alla struttura portante si è ottenuta mediante distanziali

di ottone da 1cm. Il disegno originale della basetta è quello di seguito riportato.

Si nota che sono presenti diversi fori (indicati in rosso), oltre a quelli

strettamente necessari e questo per permettere l’aggiunta di nuovi componenti

in fase di sperimentazione. I collegamenti sono disposti sulla stessa faccia dei

37

componenti, sia per dar modo di fare cambiamenti senza dover smontare ogni

volta la basetta dallo chassis, sia per avere una più agevole “leggibilità” del

circuito.

Fig 4.3

Le due resistenze R10 ed R2 sono state rese variabili in fase di

sperimentazione, come indicato nell’immagine seguente; questo per regolare la

corrente nei finali e la tensione di base del primo transistor rispettivamente:

38

Fig 4.4

Sul pannello frontale hanno trovato posto l’interruttore, le prese jack d'ingresso

e d'uscita, il regolatore di volume ed un led che, acceso, indica lo stato di ON

dell’apparecchio.

Fig 4.5

Sul pannello posteriore sono stati alloggiati i dissipatori di calore dei due

transistor finali e l’ingresso del cavo di alimentazione, con relativo fusibile.

39

Fig 4.6

I dissipatori si sono resi necessari sia per i transistor finali che per quello dello

stadio pilota. I transistor, infatti, dissipano una data potenza senza

danneggiamenti, solo se tenuti al di sotto di una corrispondente temperatura.

Qui di seguito è riportata la curva di derating relativa ai 2N3055. In base ad

essa e ai dati relativi alla dissipazione termica riportati nel datasheet si sono

scelti due dissipatori 9x3x7 e sono stati disposti sul retro dello chassis per

sfruttare uno scambio termico direttamente con l’esterno.

Fig 4.7

40

Per il TIP29C si è scelto invece un dissipatore 3x1x2, da alloggiare

direttamente sulla basetta perforata, per via della bassa potenza in gioco in

questo caso.

Fig 4.8

La seguente figura illustra l’apparecchio nella sua configurazione base, visto

dall’alto. L’aggiunta delle due resistenze ceramiche rispetto al layout iniziale

si è resa necessaria durante le sperimentazioni. Quella da 2.2Ω è stata inserita

per abbassare la tensione di alimentazione del circuito, ottenendo così l’effetto

di dissipare minor potenza nei finali, mentre quella da 1Ω è servita per

monitorare la corrente di ingresso e tenerla costante durante le misure.

Fig 4.9

41

In fase di sperimentazione è stato inoltre aggiunto un circuito di retroazione,

costituito da un amplificatore operazionale in configurazione sottrattore e dal

relativo circuito di alimentazione. Gran parte dei nuovi componenti hanno

trovato posto su una basetta millefori 4x10 che è stata quindi fissata, mediante

un suporto in plastica, direttamente alla spalla dello chassis utilizzando le viti

stesse della struttura portante (Fig 4.10).

Fig 4.10

42

L’unico componente che non si trova sulla millefori è il nuovo trasformatore,

resosi necessario per alimentare l’operazionale con una tensione sia positiva

che negativa. In questo caso si è potuto scegliere un trasformatore

convenzionale perché lavorando a bassi livelli di potenza non è sede di

fenomeni magnetici tali da poter influenzare il circuito circostante. Si è

comunque cercato di tenerlo ad una distanza conveniente dagli altri

componenti (Fig 4.11).

Fig 4.11

43

MMiissuurree

44

55.. LLee mmiissuurree

Equation Section 5

Note introduttive Per effettuare le misure presentate di seguito si è regolata la corrente di

alimentazione dell’amplificatore a 0,95 A per salvaguardare i transistors finali.

La configurazione usata è quella rappresentata in figura (Fig 5.1); la scelta di

utilizzare una resistenza di carico da 11Ω è dovuta al fatto che l’amplificatore è

stato progettato per lavorare con un carico maggiore o uguale di 8Ω:

Fig 5.1

Strumenti utilizzati

1. Helwett Packard 3311A Function Generator, un generatore di segnali

sinusoidali, di onde quadre e triangolari di frequenza compresa tra 0,1

Hz e 100 Khz.

2. Tester digitale VALEX 3000.

3. Easy Scope Version 1.0, un oscilloscopio digitale per PC.

4. Helwett Packard 3581C Selective Voltmeter, un voltmetro selettivo.

Di questi strumenti l’ultimo merita una descrizione più dettagliata. Si tratta di

un analizzatore di spettro che lavora con il principio del “tunable filter” (del

filtro accordato si potrebbe tradurre), con le caratteristiche però dei moderni

Generatore di

segnale

sinusoidale

Amplificatore

Analizzatore

spettro

Rload

11Ω

Controllo

potenza

costante

45

strumenti di questa famiglia, come il controllo automatico della frequenza e lo

sweep elettronico. Il range di sensibilità per i segnali in ingresso va da 0.1 µV

rms a 30 V rms. Nella configurazione standard a ciclo aperto, lo strumento

permette di individuare le componenti di un segnale in ingresso e di

analizzarne la distribuzione di energia nella frequenza, mentre nella

configurazione a ciclo chiuso può essere usato come analizzatore di reti. La

configurazione di utilizzo in questa sede è stata quella a catena aperta.

Fig 5.2

Con riferimento alla figura 5.2, il segnale in ingresso x(t) viene modulato con

un segnale proveniente dal VTO, la cui frequenza dista esattamente 100 Khz

dalla frequenza di interesse (modulazione eterodina). In questa maniera la

componente del segnale in ingresso alla frequenza di interesse viene traslata

proprio a 100 Khz. Su questa frequenza è poi centrato il filtro IF, all’uscita del

quale viene misurata l’ampiezza del segnale. Questo filtro, la cui risposta

approssima una gaussiana, ha ampiezza di banda passante variabile mediante i

settaggi del pannello frontale dello strumento.

Si è regolata la potenza sul carico a diversi livelli, in più serie di misure, per

avere una panoramica sul funzionamento in ogni configurazione di lavoro.

Sono state effettuate misure sulla potenza e sul guadagno dell’amplificatore,

sul rapporto segnale rumore (SNR), sul contenuto di armoniche nel segnale in

uscita e si è calcolata la distorsione armonica totale (THD). Per quanto riguarda

quest’ultimo parametro, che misura il livello di distorsione introdotto

dall’amplificatore, la formula con cui si calcola è:

46

2

2 2 2

3 .. nTHD D D D= + + + (5.1)

laddove:

1/i iD X X= (5.2)

essendo iX l’ampiezza dell’armonica i-esima. Di solito il THD si esprime in

decibel o in percentuale dell’armonica fondamentale, come in questo caso. Un

amplificatore audio alta fedeltà dovrebbe avere un THD<1%.

I dati I dati vengono presentati dapprima sotto forma di grafici, per averne una lettura

più immediata, poi a fine cpitolo sono riportati anche i tabulati. Ogni grafico ha

un titolo che indica la configurazione di utilizzo dell’amplificatore ed una

legenda esplicativa nei casi in cui lo stesso grafico si riferisce a più

configurazioni.

Potenza (no retroazione)

01234567891011

10 100 1000 10000 100000

Hz

W

Fig 5.3

Questo primo grafico rappresenta l’andamento della potenza dell’amplificatore

al variare della frequenza. Si nota come la potenza effettiva di 10 W sia erogata

solamente a centro banda.

47

Guadagno

20000100

100000

20

-50-40-30-20-100102030

1 10 100 1000 10000 100000 1E+06

Hz

Guadagno dB

Gain_no_retr

Gain_retr_50_Ohm

Gain_retr_100_Ohm

Fig 5.4

In questo grafico è rappresentato l’andamento del guadagno dell’amplificatore

per tre diverse forme di retroazione. Come ci si aspettava, all’aumentare della

retroazione diminuisce il guadagno ed aumenta la banda passante.

I grafici successivi riportano:

- le misure effettuate con il voltmetro selettivo;

- il THD, calcolato sulle prime sette armoniche, al variare della frequenza

dell’armonica fondamentale;

THD% in funzione della frequenza (1W)

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001,101,201,301,401,50

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

Fig 5.5

48

Valori armoniche ad 1 W

0,0000

0,0100

0,0200

0,0300

0,0400

0,0500

0,0600

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.6

Valori armoniche rispetto alla fondamentale

ad 1 W

-100

-80

-60

-40

-20

0

2 3 4 5 6 7

armoniche

dB

100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.7

49


0,0000

0,0100

0,0200

0,0300

0,0400

0,0500

0,0600

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 500 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.8

2 3 4 5 6 7

100 Hz

5000 Hz0,0000

0,0100

0,0200

0,0300

0,0400

0,0500

0,0600

V (rms)

armoniche

Hz


100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.9

50

THD% in funzione della frequenza (5W)

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001,101,201,301,401,50

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

Fig 5.10

Valori armoniche a 5 W

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.11

51


0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 500 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.12

2 3 4 5 6 7

100 Hz

5000 Hz0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

V (rms)

armoniche

Hz


100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.13

52


a 5 W

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

2 3 4 5 6 7

armoniche

dB

100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.14

THD% in funzione della frequenza (10 W)

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001,101,201,301,401,50

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

Fig 5.15

53


0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.16


a 10 W

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

2 3 4 5 6 7

armoniche

dB

100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.17

54


0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

1,2000

1,4000

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 500 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.18

2 3 4 5 6 7

100 Hz

5000 Hz0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

1,2000

V (rms)

armoniche

Hz


100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.19

55

Valori medi armoniche ad 1 W

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms)

Fig 5.20

Valori medi armoniche a 5 W

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms)

Fig 5.21

56

Valori medi armoniche a 10 W

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms)

Fig 5.22

Dall’esame di questi primi grafici, riferiti alla configurazione senza

retroazione, si nota come il THD prima diminuisca nel passaggio dalla

configurazione ad 1W di uscita a quella di 5W, per poi aumentare di nuovo

nella configurazione a 10W. Per quanto riguarda le componenti armoniche,

sono stati riportati sia i dati riferiti a diverse frequenze della fondamentale, sia

quelli ottenuti come media fatta su varie frequenze della fondamentale stessa.

Con riferimento ai grafici relativi ai valori medi, che ben si prestano a

considerazioni generali, oltre ad un’ovvio aumento dei valori delle varie

armoniche, è interessante prendere atto dello scambio di ruolo che avviene tre

la seconda e terza armonica, come armonica dominante, all’aumentare della

potenza erogata.

Nel campo dell’audiofilia, le armoniche di ordine pari sono considerate quelle

buone, quelle cioè che rendono il suono più rotondo, mentre quelle dispari,

essendo stonate, non sono molto desiderate; rendono infatti il suono più

disarmonico. Dall’ andamento riscontrato si potrebbe allora dire, e l’orecchio

in effetti lo conferma, che ad un livello più alto di potenza, il suono prodotto

dall’amplificatore risulta migliore, con una timbrica più calda.

I prossimi grafici rapprsentano i dati ottenuti in configurazione retroazionata,

con un segnale di retroazione di ampiezza pari al 5% del segnale di uscita. Le

misure sono state fatte ad un livello di potenza di 1W e 5W , mentre non è stato

possibile effettuarle a 10W perché l’amplificatore non riesce più ad erogare

questa potenza in presenza di retroazione. Uno degli effetti della retroazione,

come già detto ed osservato, è infatti una riduzione del guadagno.

57

THD% in funzione della frequenza (1W_r_5%)

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001,101,201,301,401,50

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

Fig 5.23

Valori armoniche ad 1W_r_5%

0,0000

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0250

0,0300

0,0350

0,0400

0,0450

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.24

58


0,0000

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0250

0,0300

0,0350

0,0400

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 500 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.25

2 3 4 5 6 7

100 Hz

5000 Hz0,0000

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0250

0,0300

0,0350

0,0400

V (rms)

armoniche

Hz


100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.26

59


ad 1W_r_5%

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

2 3 4 5 6 7

armoniche

dB

100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.27


0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001,101,201,301,401,50

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

Fig 5.28

60

Valori armoniche a 5W_r_5%

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.29


a 5W_r_5%

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

2 3 4 5 6 7

armoniche

dB

100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.30

61


0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 500 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.31

2 3 4 5 6 7

100 Hz

5000 Hz0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

V (rms)

armoniche

Hz


100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.32

62

Valori medi armoniche ad 1W_r_5%

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

0,1600

0,1800

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms)

Fig 5.33

Valori medi armoniche a 5W_r_5%

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

0,1600

0,1800

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms)

Fig 5.34

Questi grafici danno un’idea di cosa accade quando si introduce una

retroazione di ampiezza pari al 5% del segnale di uscita. Se si mettono a

confronto con quelli ottenuti in assenza di retroazione si nota che alla potenza

di 1W si registra un leggero aumento sia del THD che dell’ampiezza delle

varie armoniche, come se la retroazione avesse introdotto una non linearità.

Questo comportamento può trovare una spiegazione nel fatto che ad 1W nella

configurazione non retroazionata l’amplificatore lavora in una zona ben

63

approssimabile come lineare, mentre per erogare la stessa potenza in presenza

di retroazione deve spostarsi leggermente verso la zona di lavoro non più

lineare.

Alla potenza di 5W, invece, l’amplificatore lavora in una zona non più lineare

già nella configurazione senza retroazione e questo spiega i valori assunti dalle

armoniche in questo caso. L’aggiunta della retroazione, allora, svolge da una

parte la funzione di linearizzazione facendo scendere in generale il valore delle

armoniche, dall’altro costringe l’amplificatore a sforzare di più per erogare la

stessa potenza; è così che ricompare lo stesso fenomeno, già riscontrato nella

configurazione senza retroazone, di crescita della seconda armonica e

contemporanea diminuzione della terza armonica al crescere della potenza.


0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001,101,201,301,401,50

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

Fig 5.35


0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

0,1600

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.36

64


0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 500 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.37

2 3 4 5 6 7

100 Hz

5000 Hz0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

0,1600

V (rms)

armoniche

Hz


100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.38

65


ad 1W_r_10%

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

2 3 4 5 6 7

armoniche

dB

100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.39


0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001,101,201,301,401,50

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

Fig 5.40

66


0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.41


a 3W_r_10%

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

2 3 4 5 6 7

armoniche

dB

100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.42

67


0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

0,4500

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 500 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.43

2 3 4 5 6 7

100 Hz

5000 Hz0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

V (rms)

armoniche

Hz


100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.44

68


0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001,101,201,301,401,50

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

Fig 5.45


0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.46

69


0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms) 500 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.47

2 3 4 5 6 7

100 Hz

5000 Hz0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

V (rms)

armoniche

Hz


100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

10000 Hz

Fig 5.48

70


a 5W_r_10%

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

2 3 4 5 6 7

armoniche

dB

100 Hz

1000 Hz

5000 Hz

Fig 5.49

Valori medi armoniche ad 1W_r_10%

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms)

Fig 5.50

71


0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms)

Fig 5.51


0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

0,1400

2 3 4 5 6 7

armoniche

V (rms)

Fig 5.52

72

Dall’esame di questi ulteriori grafici si vede come, con una retroazione di

ampiezza pari al 10% del segnale di uscita, ad 1W e 3W si abbia un aumento

del THD rispetto alla configurazione senza retroazione, mentre a 5W si abbia

una riduzione dello stesso.

Per quanto riguarda le armoniche, già ad 1W si ha una presenza importante

della seconda armonica, fenomeno che nelle precedenti configurazioni

compariva solo per valori della potenza di uscita maggiori. In effetti con una

retroazione di questa ampiezza, anche per erogare 1W l’amplificatore deve

avvicinarsi alla zona di lavoro non lineare. Si noti che in questo caso si sono

riportati anche i dati relativi a misure effettuate a 3W; è interessante infatti

notare come, chiedendo all’amplificatore di lavorare sempre più in zona non

lineare, la terza armonica torni ad essere dominante e la seconda armonica torni

a valori minori in un processo inverso rispetto a quello registrato durante un

primo aumento di potenza.

Sin qui i grafici relativi alle misure sono stati presentati prendendo come linea

guida la configurazione dell’amplificatore rispetto all’entità della retroazione.

Nei seguenti grafici, invece, per favorire ulteriori considerazioni, si mostrano i

dati partendo dai diversi livelli di potenza di uscita.

Confronti valori medi armoniche ad 1W

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

2 3 4 5 6 7

armoniche

media valori in V(rms)

no retroaz

retroaz 5%

retroaz 10%

Fig 5.53

73

Confronti valori medi armoniche a 5W

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

2 3 4 5 6 7

armoniche

media valori in V(rms)

no retroaz

retroaz 5%

retroaz 10%

Fig 5.54

Si nota come per bassi valori della potenza erogata, 1W nella fattispecie,il

valore delle armoniche, e quindi la distorsione, aumenta al crescere

dell’ampiezza del segnale di retroazione. In questo caso ci si trova di fronte ad

un sistema che si comporta in maniera abbastanza lineare a bassi livelli di

potenza; qui l’effetto di linearizzazione dovuto alla retroazione è minimo ed

addirittura surclassato dall’effetto di spostamento verso la zona non lineare

necessario per riottenere lo stesso livello di potenza di uscita.

Ad un livello di potenza maggiore, a 5W per esempio, gli effetti benefici della

retroazione sono molto più evidenti. Si nota infatti che in questo caso

l’amplificatore inizia comunque a lavorare in zona non più lineare e la

retroazione può ben operare un effetto di linearizzazione, soprattutto se rimane

contenuta entro valori di ampiezza tali da non far scendere troppo il guadagno.

L’andamento dlla seconda e terza armonica vanno di nuovo valutate insieme in

questo caso e si riscontra un comportamento in accordo con le considerazioni

fatte in precedenza.

74

SNR Questi ultimi grafici sono relativi alle misure effettuate sul ripple dovuto

all’alimentazione:

Ampiezza picco ripple

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

No retroazione Retroazione 5% Retroazione 10%

Volt

Fig 5.55

SNR a 5 W in dB

50

52

54

56

58

60

62

64

valori SNR

dB

No retroazione

Retroazione 5%

Retroazione 10%

Fig 5.56

Come ci si aspettava, il disturbo dovuto al ripple viene attenuato sempre di più

per valori crescenti della retroazione e si riscontra un progressivo aumento del

rapporto segnale rumore(SNR).

75

Ulteriori considerazioni

E’ noto che, sempre che sia possibile accedere all’uscita di un sistema con una

certa precisione, la retroazione funziona bene se il guadagno del processo da

controllare è elevato. In questo caso ci si trova di fronte ad un caso limite, in

cui da una parte il sistema ha un guadagno limitato e dall’altro presenta un

funzionamento abbastanza lineare se lavora entro contenuti livelli di potenza.

Per trarre beneficio dalla retroazione allora, bisogna trovare il giusto equilibrio

tra un valore opportuno della retroazione ed un livello di potenza abbastanza

elevato, ma non tale da spostare eccessivamente il lavoro verso la zona non

lineare.

Come spesso accade quindi, anche qui si tratta di raggiungere quel

compromesso tra gli effetti contrastanti di un intervento, guidati magari dai

gusti personali e dalle necessità del caso.

76

SSiimmuullaazziioonnee

77

Dopo aver realizzato l’amplificatore ed effettuato le opportune misure su di

esso, si è voluto effettuare uno studio anche dal punto di vista della

simulazione. Quest’ultimo approccio infatti sta diventando sempre più

importante in fase progettuale in tutti i campi dell’ingegneria e si è ritenuto

interessante intraprendere un percorso per così dire inverso rispetto a quello

usuale, in cui prima si è osservato il comportamento di un oggetto fisicamente

realizzato e poi si è esaminato, mediante simulazione, un sistema che lo

rappresentasse. Così facendo si sono potuti valutare da una parte, e più in

dettaglio dal punto di vista teorico, alcuni aspetti riscontrati, dall’altra la bontà

dei risultati che si ottengono tramite le simulazioni. Si sono quindi usati, per

questo scopo, due diversi ambienti: SPICE e MATLAB.

Il primo è un simulatore che utilizza i modelli dei vari componenti elettronici

per fornire informazioni su circuiti anche molto complessi. Costituisce di fatto

uno strumento standard nel mondo dell’elettronica e ne esistono molte versioni,

sia gratuite che commerciali, che comunque utilizzano tutte lo stesso motore di

simulazione. Fornisce dati di natura circuitale come correnti e tensioni, ma

anche caratteristiche nel dominio della frequenza, come l’analisi di spettro o la

valutazione del THD e permette quindi uno studio sia quantitativo che

qualitativo del sistema.

Il secondo è un ambiente molto noto nell’ambito scientifico, che fu scritto

originariamente per operare con le matrici (il nome sta per matrix laboratory).

Arricchito nel tempo con strumenti per la computazione scientifica, lo sviluppo

di modelli, le simulazioni, l’analisi di dati, ecc., fornisce varie collezioni di

funzioni atte ad operare nei vari settori di interesse e conosciute come toolbox.

Uno strumento molto utile messo a disposizione da Matlab è Simulink, un

ambiente grafico che permette di simulare sistemi anche complessi usando

blocchi elementari. Per costruire un modello infatti, è sufficiente prelevare da

una libreria i blocchi necessari, definirne i parametri e collegarli in maniera

opportuna.

Naturalmente quando si usa Matlab l’approccio è prettamente sistemistico ed

un modello rappresenta una funzione di trasferimento, senza nessun riferimento

esplicito, nella fattispecie per esempio, ai singoli componenti del circuito in

esame. Si ottiene un’analisi qualitativa del sistema, molto utile per studiare la

stabilità e le altre caratteristiche di interesse nel dominio del tempo e di

Laplace.

78

66.. MMaattllaabb

Il modello Equation Section 6 Per simulare l’amplificatore si è proceduto effettuando diverse misure sul

sistema reale e costruendo i vari blocchi sulla valutazione di queste. Si sono

fatte prima le misure relative alla risposta del sistema per piccoli segnali, per

modellare in un secondo momento le non linearità che intervengono con

segnali di ampiezza maggiore.

Di seguito è riportato il grafico che rappresenta i valori del guadagno ottenuti

per piccoli segnali ottenuti facendo misure alle varie frequenze (Fig 6.1):

Guadagno

20000100

20 100000

-40-30-20-100102030

1 10 100 1000 10000 100000 1E+06

Hz

Guadagno dB

Fig 6.1

Si nota che per basse frequenze il grafico ha una pendenza di –60 dB/dec e che

quindi sono presenti tre zeri in zero nella funzione di trasferimento; si possono

inoltre individuare i seguenti poli:

-due poli a 20 Hz;

-un polo a 100 Hz;

- un polo a 20 Khz;

- due poli a 100 Khz;

Si individua infine un coefficiente di guadagno al numeratore di 0.00025. La

funzione di trasferimento per piccoli segnali risulta allora :

Equation Section 6

3

2 2 2 4 4 2

0.00025( )

(1 5 10 ) (1 10 ) (1 5 10 ) (1 10 )

sF s

s s s s− − − −

⋅=

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ (6.1)

79

Il diagramma di Bode ottenuto con Matlab è il seguente (Fig 6.2):

Fig 6.2

Il comportamento non lineare del circuito è costituito in prevalenza da

fenomeni di saturazione ed è stato modellato usando i dati riportati nel

seguente grafico; sono misure fatte utilizzando un segnale ad 1 Khz e

facendolo variare in ampiezza (Fig 6.3):

Fig 6.3

80

Si tratta di una saturazione netta e leggermente asimmetrica, come ci si

aspettava dalla curva caratteristica del transistor finale.

Un altro aspetto del comportamento del circuito che ha trovato sede nel

modello è un ripple dovuto all’alimentazione. Si presenta come un disturbo di

ampiezza molto ridotta (0.05 V) dal caratteristico andamento periodico,

approssimabile, come si vede dalla figura di seguito riportata, ad una curva

triangolare (Fig 6.4):

Fig 6.4

Al ripple, in giallo nell’immagine data dall’oscilloscopio, è stato affiancato un

segnale sinusoidale a 100 Hz, in viola, per dare un’idea della frequenza di tale

disturbo.

81

Lo schema a blocchi usato in Simulink è allora quello riportato in Fig 6.5:

Fig 6.5

Si è potuto modellare l’anello di retroazione con un semplice guadagno, e

questo in linea con la scelta, fatta nell’implementazione reale, di usare un

amplificatore operazionale.

Per riportare i dati ottenuti dalle simulazioni all’interno del workspace si sono

usate le variabili time e dati_1, in maniera da poterle processare secondo

necessità avendo a disposizione tutti gli strumenti di Matlab. Per il sample time

si è scelto il valore di 510− sec in modo da avere un’affidabile visibilità del

comportamento in frequenza fino all’ordine dei 50 Khz.

Una volta ottenuto il modello come descritto, si è proceduto nello studio dello

stesso; prima di tutto si è appurato che il sistema retroazionato fosse stabile

applicando il criterio di Nyquist, quindi si è applicato il metodo della funzione

descrittiva per verificare che non ci fossero cicli limite, si è studiato infine il

comportamento nella zona di lavoro non lineare.

Studio della stabilità Dato che i poli individuati sono tutti a parte reale negativa, deriva che, perché il

criterio di Nyquist sia soddisfatto ed il sistema a ciclo chiuso risulti stabile, non

devono comparire giri intorno al punto (-1,0) sulla rappresentazione sul piano

complesso della funzione risposta armonica (Fig 6.6):

82

Fig 6.6

Come si vede dalla figura, il criterio risulta soddisfatto e tale risultato è

perfettamente in linea con i risultati sperimentali.

Si è poi applicato il metodo della funzione descrittiva.

La funzione descrittiva usata è la seguente (saturazione netta):

Funzione Descrittiva D(X):

m per 1.52X <=

( )sm D X⋅ per X >= 1.52

ove:

11m = (6.2)

2

1 1 1

2( ) arcsin 1s

X X XD X

X X X= + − (6.3)

Per applicare il metodo della DF si è fatta l’approssimazione che la saturazione

fosse simmetrica. Si è fatta tale approssimazione solo in questa sede, sia perché

l’asimmetria è molto lieve da consentirlo che perché questo metodo di studio,

83

che risulta straordinario per la sua semplicità di applicazione, è un metodo

grafico e per sua stessa natura approssimato. La complessità di applicazione

sarebbe notevolmente maggiore se si volesse tener conto della leggera

asimmetria riscontrata e lo sforzo verrebbe comunque reso vano dall’

approssimazione intrinseca del metodo. Di seguito vengono riportati i grafici

relativi alla D(X):

Fig 6.7

84

Fig 6.8

Per applicare il metodo della funzione descrittiva si rappresentano sullo stesso

piano di Nyquist il luogo delle ampiezze e delle frequenze (Fig 6.9):

Fig 6.9

85

Ingrandendo (Fig 6.10):

Fig 6.10

L’andamento del luogo delle ampiezze (funzione 1

( )D X− ) è rappresentato in

rosso, mentre il diagramma di Nyquist relativo al sistema è rappresentato in

blu; sono indicati i rispettivi versi di percorrenza mediante delle frecce ed è

evidenziato il punto (-1,0) con un puntino verde.

Dall’applicazione del metodo risulta che non esistono cicli limite, le due curve

infatti non si intersecano. In effetti questo risultato era atteso, non avendo

riscontrato nelle misure effettuate sul sistema reale nessuna oscillazione

periodica che potesse sembrare un ciclo limite.

Simulazioni Per le simulazioni sono state prese in esame sia la configurazione senza

retroazione, che quella con retroazione di ampiezza pari al 5% e al 10% del

segnale di uscita; per ognuna di dette configurazioni si sono studiate due

situazioni di ingresso tali da manifestare o meno gli effetti della saturazione. Le

simulazioni hanno dato i risultati rappresentati nei seguenti grafici.

86

-1.5 Volt di ingresso, senza retroazione (Fig 6.11 e 6.12):

Fig 6.11

Fig 6.12

87

-3 Volt di ingresso, senza retroazione (Fig 6.13 e 6.14):

Fig 6.13

Fig 6.14

88

-1.5 Volt di ingresso, retroazione 5% del segnale di uscita (Fig 6.15 e 6.16):

Fig 6.15

Fig 6.16

89

-3 Volt di ingresso, retroazione 5% del segnale di uscita (Fig 6.17 e 6.18):

Fig 6.17

Fig 6.18

90


Fig 6.19

Fig 6.20

91


Fig 6.21

Fig 6.22

92

Il modello rappresenta piuttosto fedelmente il comportamento del sistema nelle

sue caratteristiche di amplificazione e di saturazione. Naturalmente le non

linearità che intervengono nel sistema reale anche in quella zona di

funzionamento che nel sistema è stata modellata come lineare non vengono

riportate e per piccoli segnali si riscontra un THD praticamente nullo. Appena

tuttavia si esce dalla zona di funzionamento lineare compaiono nello spettro del

segnale di uscita armoniche di ordine superiore al primo ed il THD inizia ad

assumere valori tangibili. Si riscontra altresì una forte componente costituita

dalla terza armonica, come si era riscontrato anche sperimentalmente.

I grafici relativi alle simulazioni effettuate sul sistema retroazionato, poi,

mostrano, in linea con le aspettative teoriche, una attenuazione del guadagno

nella configurazione a ciclo chiuso. Ciò che accade nello spettro del segnale di

uscita nella zona non più lineare inoltre è una generale attenuazione delle

armoniche di ordine superiore alla prima, ed un livellamento della terza

armonica rispetto alle altre. Rispetto ai dati ottenuti sperimentalmente tuttavia,

in cui con una retroazione del 10% la terza armonica tornava ad essere

predominante, qui il livellamento risulta sempre più evidente al crescere della

retroazione.

SNR Per quanto riguarda l’attenuazione del rumore dovuta alla retroazione si ha il

seguente grafico

(Fig 6.22):

SNR secondo simulazione Matlab in dB

50

52

54

56

58

60

62

64

valori SNR

dB

No retroazione

Retroazione 5%

Retroazione 10%

Fig 6.23

Per questo aspetto l’attinenza dei dati sperimentali con quelli ottenuti dalla

simulazione è totale, avendo ottenuto praticamente lo stesso grafico in

entrambi i casi.

93

Codice Matlab

Si riporta infine il codice utilizzato all’interno dell’ambiente Matlab per

manipolare i dati e per generare i grafici:

%file per definizione funzione di trasferimento num=[0.00025 0 0 0]; polo1=[0.01 1]; polo2=[0.05 1]; polo3=[0.05 1]; polo4=[0.00001 1]; polo5=[0.00001 1]; polo6=[0.00005 1]; parz1=conv(polo1,polo2); parz2=conv(parz1,polo3); parz3=conv(parz2,polo4); parz4=conv(parz3,polo5); den=conv(parz4,polo6); printsys(num,den) grid on bode(num, den) title('Funzione di trasferimeno per piccoli segnali')

FUNZIONI function [D] = descrittiva_s(Xsoglia,x) %calcola la funzione Ds alpha=(Xsoglia/x); D=(asin(alpha)+(alpha*sqrt(1-(alpha^2)))); function [D] = descrittiva(v_in) %calcola la funzione descrittiva m=11; v_in_max=1.67;%1.52; if 0 <= v_in <= v_in_max D=m; end if v_in > v_in_max D=m*descrittiva_s(v_in_max,v_in); end function [D] = pari(x) %se x è un numero pari restituisce x, sennò x-1; resto=rem(x,2); if resto==0 D=x; else D=x-1; end

94

GRAFICI %file per generare il grafico funzione descrittiva x=(0:0.1:50); for m=1:length(x) var1(m)=x(m); var2(m)=descrittiva(x(m)); end plot(var1,var2) grid on title('Funzione descrittiva'); xlabel('X'); ylabel('D(X)'); %file per generare il grafico inverso funzione descrittiva x=(0:0.1:50); for m=1:length(x) var1(m)=x(m); var2(m)=(-1/(descrittiva(x(m)))); end plot(var1,var2) grid on title('Funzione descrittiva'); xlabel('X'); ylabel('-(1/D(X))'); %file per generare diagramma di Nyquist e funzione descrittiva [Re,Im]=Nyquist(num,den); x=(0:0.01:10); for m=1:length(x) y(m)=real(-1/descrittiva(x(m))); cost=0; end plot(Re,Im,y,cost,'r') grid on title('piano di Nyquist'); xlabel('Re'); ylabel('Im'); %file per generare grafico tensione ingresso e uscita plot(time,dati_1,'b',time,ingresso,'r') grid on title('Andamento tensione ingresso e uscita (retroazione 10%)'); xlabel('t'); ylabel('V Out(blu) , V In(rosso)');

95

%file per generare il grafico dello spettro del segnale %con calcolo THD campioni=pari(length(dati_1)); f_campionamento=100000; Y = fft(dati_1,campioni); F =sqrt( Y.* conj(Y) )/ campioni; camp_div2=campioni/2; f = f_campionamento*(0:camp_div2)/campioni; for i=1:8 indice(i)=((ceil(1000*i*campioni/f_campionamento))+1); end for k=1:8 armonica(k)=F(indice(k)); end THD_quadro=0; for j=1:7 D(j)=((armonica(j+1)/armonica(1))^2); THD_quadro=THD_quadro+D(j); end THD=sqrt(THD_quadro); THD_perc=100*THD/armonica(1); plot(f,F(1:(camp_div2+1))); grid on; title(['spettro di uscita (no retroazione) THD%: ', num2str(THD_perc,2)]); xlabel('Hz'); ylabel('Ampiezza armoniche');

96

77.. SSppiiccee

Il modello Per effettuare la simulazione con Spice si sono dovuti prima di tutto trovare i

modelli dei componenti utilizzati che non erano presenti in libreria. Molte case

costruttrici, a questo scopo, mettono a disposizione on line, oltre ai datasheet,

anche i modelli realizzati per il simulatore Spice. I componenti che hanno

richiesto questo procedimento sono stati:

-i transistor finali 2N3055;

-il transistor dello stadio pilota TIP29C;

Una volta inseriti i modelli nella libreria è stato possibile costruire il circuito

con l’interfaccia grafica e procedere con la simulazione. Gli strumenti a

disposizione per studiare il comportamento del circuito sono:

-l’oscilloscopio;

-il Bode Plotter, con cui si può visualizzare la risposta in frequenza;

-il misuratore di THD, che calcola la distorsione armonica totale;

Simulazioni Di seguito vengono riportati i grafici relativi alle simulazioni fatte:

Fig 7.1

In questo primo diagramma, confrontandolo con quello ottenuto mediante

misure, si vede come la risposta in frequenza sia calcolata piuttosto fedelmente.

Si ha infatti un guadagno di centro banda di 20 dB ed una larghezza di banda,

97

considerando le frequenze di taglio a a –3 dB, da 100 Hz a 50 Khz, laddove

sperimentalmente andava da 100 Hz a 20 Khz.

Seguono le immagini relative all’oscilloscopio del simulatore:

Fig 7.2

Fig 7.3

98

Fig 7.4

Fig 7.5

99

Fig 7.6

Fig 7.7

100

Fig 7.8

Fig 7.9

101

Fig 7.10

Le immagini mettono in evidenza l’andamento del segnale di uscita per diversi

valori del segnale di ingresso e della retroazione; il segnale di ingresso è una

sinusoide ad 1Khz. Dato l’effetto di progressiva attenuazione del guadagno al

crescere dell’ampiezza del segnale di retroazione, in ingresso serve un segnale

sempre maggiore affinché si verifichi un tosaggio del segnale in uscita, come

nel caso reale.

Riguardo alla configurazione senza retroazione poi, si è ottenuto il seguente

grafico :

Saturazione secondo simulaz SPICE

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

V_in

V_out

Fig 7.11

102

Le considerazioni che si possono fare sono diverse. Innanzi tutto il simulatore

riporta un comportamento molto vicino a quello riscontrato sperimentalmente

solo nella zona colorata in violetto; individua infatti una zona di lavoro ben

approssimabile come lineare tra –1.5 ed 1.5 Volt e per valori leggermente più

ampi del segnale di ingresso prevede giustamente una saturazione netta

asimmetrica. Anche se il guadagno è leggermente inferiore rispetto al caso

reale e l’asimmetria è sbilanciata verso i valori negativi anziché positivi,

l’andamento generale è piuttosto soddisfacente. Quando però il circuito viene

portato nella zona di lavoro non lineare, i dati forniti dalla simulazione e

rappresentati in giallo sul grafico, si discostano alquanto da quelli reali. Questo

può dipendere dal fatto che i modelli che rappresentano i componenti attivi

diventano inadeguati nel rappresentare le zone di lavoro fortemente non lineari,

come la saturazione o l’interdizione nel caso dei transistor.

Questi ultimi grafici rappresentano infine i dati relativi al THD previsto dal

simulatore a due diversi livelli di potenza e per varie frequenze della

fondamentale:

THD% secondo simulaz SPICE (1W)

2000020

0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,010,011,012,013,014,015,0

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

no retroaz

retroaz 5%

retroaz 10%

Fig 7.12


ZOOM IN

0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,0

100 1000 10000

Hz

THD

no retroaz

retroaz 5%

retroaz 10%

Fig 7.13

103


20000200,01,02,03,04,05,06,07,08,09,010,011,012,013,014,015,0

10 100 1000 10000 100000

Hz

THD

no retroaz

retroaz 5%

retroaz 10%

Fig 7.14


ZOOM IN

0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,0

100 1000 10000

Hz

THD

no retroaz

retroaz 5%

retroaz 10%

Fig 7.15

Si riesce ad avere una misura del THD che si avvicina all’andamento reale in

maniera piuttosto approssimativa ed il discostamento più evidente si ha

soprattutto alle basse frequenze. L’effetto della retroazione sul THD sembra

qui trascurabile, mentre nel caso reale si era registrato diversamente.

L’uso di questo simulatore si è rivelato molto utile per studiare il

funzionamento del circuito in esame ed è stato interessante vedere come i

risultati sperimentali trovassero un buon riscontro nella maggior parte dei casi,

soprattutto laddove l’amplificatore lavora con piccoli segnali. La possibilità di

poter modificare rapidamente parametri e componenti di un circuito si rivela

utilissima in fase di sperimentazione, soprattutto quando si individuano degli

andamenti inaspettati, o che semplicemente incuriosiscono, che in prima

battuta potrebbero essere imputati ad errori commessi nella realizzazione o alle

varie tolleranze in gioco.

104

AAppppeennddiiccee DDaattii

Si riportano, per completezza, i tabulati dei dati ottenuti durante le misurazioni

fatte con il voltmetro selettvo.

Misure effettuate ad 1W

Freq Princip Vrms I arm Vrms II arm Vrms III arm Vrms IV arm Vrms V arm Vrms VI arm Vrms VII arm

10 4,4 0,03 0,04 0,02 0,007 0,02 0,011

20 4,5 0,019 0,06 0,02 0,0042 0,03 0,011

50 4,8 0,02 0,05 0,019 0,0041 0,008 0,009

100 4,6 0,03 0,052 0,018 0,001 0,0074 0,008

200 4,6 0,028 0,052 0,018 0,0008 0,0074 0,008

500 4,6 0,022 0,054 0,018 0,0001 0,0074 0,008

1000 4,6 0,028 0,056 0,018 0,0001 0,0072 0,009

2000 4,6 0,02 0,036 0,013 0,0012 0,006 0,006

5000 4 0,02 0,036 0,0125 0,0001 0,0045 0,0048

10000 4,2 0,022 0,036 0,011 0,0001

20000 5,2 0,0165

Misure effettuate a 5W


10 9,3000 0,0500 0,1200 0,0600 0,0160 0,0400 0,0370

20 9,5000 0,0400 0,1100 0,0510 0,0053 0,0125 0,0240

50 9,8000 0,0590 0,0890 0,0360 0,0035 0,0160 0,0175

100 8,2000 0,0720 0,0800 0,0300 0,0020 0,0125 0,0148

200 8,0000 0,0560 0,0810 0,0300 0,0015 0,0125 0,0149

500 8,0000 0,0550 0,0820 0,0310 0,0015 0,0127 0,0150

1000 8,0000 0,0550 0,0840 0,0310 0,0037 0,0138 0,0160

2000 8,1000 0,0550 0,0880 0,0350 0,0090 0,0198 0,0240

5000 8,2700 0,0500 0,1100 0,0700 0,0390 0,0440 0,0380

10000 9,0000 0,1300 0,2480 0,1680 0,1100

20000 11,0000 0,0800

Misure effettuate a 10W


10 11,0000 1,5000 0,9000 0,0420 0,1300 0,1650 0,2300

20 11,0000 0,4000 0,2700 0,3100 0,1600 0,1250 0,0750

50 13,0000 0,0300 0,0900 0,0210 0,0320 0,0090 0,0090

100 11,0000 0,0680 0,2380 0,1200 0,0760 0,0456 0,0300

200 11,0000 0,1610 0,0300 0,0190 0,0950 0,0620 0,0600

500 13,0000 0,2100 0,3200 0,2300 0,1100 0,0750 0,0670

1000 13,0000 0,2500 0,3700 0,2000 0,0850 0,0760 0,0635

2000 11,0000 0,3000 0,4500 0,2420 0,0900 0,0900 0,0800

5000 11,0000 0,6000 0,6600 0,2900 0,1250 0,1520 0,0900

10000 11,8000 1,1700 0,8500 0,2500 0,2000

20000 13,6000 1,0000

105

Misure effettuate ad 1W r_5%


10 3,8000 0,0400 0,0900 0,0300 0,0300 0,0230 0,0220

20 3,8000 0,0800 0,1200 0,0100 0,0320 0,0260 0,0015

50 3,7000 0,0300 0,0520 0,0015 0,0120 0,0130 0,0030

100 3,7000 0,0400 0,0340 0,0020 0,0120 0,0110 0,0050

200 3,8000 0,0560 0,0260 0,0036 0,0090 0,0130 0,0041

500 3,7000 0,0300 0,0230 0,0030 0,0110 0,0125 0,0044

1000 3,7000 0,0220 0,0240 0,0040 0,0090 0,0120 0,0050

2000 3,7000 0,0160 0,0180 0,0030 0,0070 0,0100 0,0040

5000 3,7000 0,0150 0,0150 0,0025 0,0080 0,0110 0,0042

10000 4,0200 0,0280 0,0370 0,0010 0,0000

20000 4,6200 0,0350

Misure effettuate a 5W r_5%


10 7,7000 0,5000 0,3000 0,0700 0,1500 0,0450 0,0150

20 9,0000 0,2200 0,0230 0,0500 0,0220 0,0250 0,0160

50 8,2000 0,0400 0,0100 0,0070 0,0120 0,0220 0,0130

100 8,0000 0,0600 0,0240 0,0040 0,0110 0,0225 0,0120

200 7,9000 0,0620 0,0120 0,0005 0,0125 0,0220 0,0120

500 7,9100 0,0600 0,0080 0,0040 0,0130 0,0220 0,0125

1000 7,5000 0,0590 0,0060 0,0045 0,0130 0,0218 0,0130

2000 7,6000 0,0420 0,0045 0,0060 0,0105 0,0225 0,0120

5000 8,5000 0,1200 0,0320 0,0400 0,0450 0,0560 0,0330

10000 9,9000 0,0780 0,0340 0,0360 0,0000

20000 12,1000 0,6300

Misure effettuate ad 1W r_10%


10 4,6000 0,1000 0,3000 0,0160 0,0950 0,0560 0,0050

20 4,5000 0,1200 0,0600 0,0120 0,0170 0,0240 0,0050

50 4,6000 0,0900 0,0700 0,0100 0,0130 0,0180 0,0050

100 4,8000 0,1500 0,0800 0,0220 0,0180 0,0240 0,0080

200 4,5000 0,1500 0,0900 0,0280 0,0190 0,0280 0,0070

500 4,4000 0,1800 0,1000 0,0250 0,0140 0,0220 0,0080

1000 4,2000 0,1200 0,0700 0,0170 0,0150 0,0230 0,0070

2000 4,4000 0,0980 0,1100 0,0140 0,0220 0,0240 0,0040

5000 4,8000 0,1000 0,0980 0,0260 0,0220 0,0240 0,0020

10000 5,2000 0,1200 0,1300 0,0200 0,0000

20000 6,3000 0,1100

106



10 3,6000 0,3000 0,4000 0,0800 0,0800 0,0500 0,0100

20 7,0000 0,4000 0,3600 0,0700 0,0780 0,0600 0,0100

50 7,4000 0,3400 0,3200 0,0700 0,0700 0,0620 0,0650

100 6,9000 0,3600 0,3200 0,0640 0,0700 0,0600 0,0600

200 6,5000 0,3500 0,3500 0,0700 0,0700 0,0520 0,0100

500 7,0000 0,4000 0,3300 0,0600 0,0700 0,0600 0,0050

1000 6,8000 0,3200 0,3000 0,0520 0,0350 0,0280 0,0120

2000 8,1000 0,1500 0,1200 0,0180 0,0330 0,0270 0,0080

5000 8,1000 0,1200 0,0800 0,0030 0,0350 0,0280 0,0060

10000 8,0000 0,0800 0,0800 0,0030 0,0260

20000 7,8000 0,0600



10 1,0000 0,0130 0,0510 0,0260 0,0030 0,0140 0,0145

20 3,8000 0,0200 0,0780 0,0300 0,0020 0,0140 0,0155

50 8,1000 0,0360 0,0900 0,0360 0,0200 0,0154 0,0170

100 9,2000 0,0450 0,0950 0,0356 0,0330 0,0154 0,0173

200 9,4000 0,0490 0,1150 0,0360 0,0038 0,0141 0,0174

500 9,4000 0,0460 0,1150 0,0360 0,0038 0,0142 0,0185

1000 9,4000 0,0460 0,1180 0,0358 0,0040 0,0140 0,0185

2000 9,4500 0,0480 0,1200 0,0360 0,0046 0,0139 0,0185

5000 9,4200 0,0480 0,1180 0,0342 0,0047 0,0129 0,0168

10000 9,4000 0,0442 0,1100 0,0320 0,0000

20000 9,0000 0,0360

I valori, come indicato, sono espressi in Volt rms; viene indicata sia la potenza

cui si riferiscono, che la configurazione di retroazione. Per quanto riguarda

l’indicazione su quest’ultima, si è usata la seguente semantica:

- r_5%: retroazione di ampiezza pari al 5% del segnale di uscita; - r_10%: retroazione di ampiezza pari al 10% del segnale di uscita;

- assenza di retroazione, se non indicato;

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Studio sperimentale degli effetti della retroazione in un ... · simulazione, quali Matlab e Spice, che però non sono del tutto affidabili nel ... Si affronta ora il caso di in un