STUDIUL EFECTULUI TEMPERATURII ÎN APARIŢIA TENSIUNILOR REMANENTE DIN CAZUL

DISCURILOR DE GROSIME MICĂ. Partea a II-a: RELAŢII DE CALCUL PENTRU STABILIREA TENSIUNILOR REMANENTE

Gheorghe N. RADU, Ioana COMĂNESCU

THE STUDY OF TEMPERATURE EFFECT IN THE RESIDUAL

STRESSES OCCURRENCE FOR THE CASE OF LOW THICKNESS DISKS

PART II – THE CALCULUS RELATIONS FOR THE RESIDUAL STRESSES DETERMINATION

In order to determine the stress and deformation state of some structures one must know the residual stresses due to the temperature. One considers the situations when the stresses reach the limits imposed by von Mises criterion; plastic deformations will appear; these have as effect a redistribution of residual stresses. In order to determine the residual stresses, theoretical studies and experimental research, based on the section method, have been done. One has studied the hot laminated structures. Following the uniform cooling, residual thermal-elastic-plastic stresses appear in the material. The performed determinations based on the section method lead to high precision determination of the residual stresses field. The established theoretical equations were also verified. Keywords: residual stresses, plastic deformation, criteria, tension of the membrane, plate Cuvinte cheie: tensiuni remanente, deformații plastice, criterii, tensiuni de membrană, placă

439

1. Introducere

Consideraţiile teoretice se fac cu referire la materiale cu comportare elasto-plastică. În aceste cazuri, după îndepărtarea încărcării pot să apară tensiuni remanente dacă în timpul solicitării s-a depăşit chiar şi numai local limita de curgere a materialului. Se consideră că revenirea se face după o dreaptă paralelă cu cea de la încărcare. În ceea ce priveşte condiţiile în care apar deformaţiile plastice, se vor face referiri la criteriile de plasticitate Mises, Tresca sau criteriul unificării câmpurilor, propus de YU M.H.

Lucrarea ocupându-se de efectele temperaturii, se face precizarea că la grosimi mari ale plăcilor circulare, efectul tensiunilor de membrană se micşorează considerabil ( solicitări în domeniul elastic). Consecinţa concretă a celor arătate mai sus este aceea că apariţia tensiunilor remanente este inevitabilă.

Se consideră că ν = 0,5, în domeniul deformaţiilor plastice, condiţie ce duce la simplificări importante ale calculelor.

Se consideră o placă plană de grosime mică t, solicitată pe suprafaţa laterală, în planul median al acesteia, cu sarcini situate în acelaşi plan cu suprafaţa mediană (tracţiune sau compresiune).

Feţele plăcii paralele suprafeţei mediane, sunt la z = ± t/2 şi nu sunt încărcate. În aceste condiţii placa se află într-o stare plană de tensiune (se neglijează tensiunile σz, perpendiculare pe suprafaţa mediană).

( )[ ]( )[ ]

=⋅=

+−+−

=

+−+−

=

;0,

;112

;112

zxyxy

xyy

yxx

G

G

G

σγτ

αθννεεν

σ

αθννεεν

σ

(20)

( )

( )

( )

+−

−⋅⋅−+

=

+−=

+−=

.11

1

;1

;1

yxz

xyy

yxx

E

E

εεν

νθαννε

αθνσσε

αθνσσε

(21)

440

Dacă se neglijează variaţia deformaţiilor specifice în raport cu z (axa perpendiculară planului median), sau dacă se lucrează cu valori medii ale acestora (raportate la grosimea plăcii), se poate utiliza funcţia lui Airy, caz în care se pot simplifica foarte mult calculele. Se ajunge la un studiu al ecuaţiei:

θα 222 ∇−=∇∇ EF (22)

căreia i se ataşează potenţialul termoelastic corespunzător:

αθφ E=∇2 (23) Pentru tensiuni se obţin expresiile:

yxF

xF

yF

xyyx ∂∂∂

−=∂

∂=

∂

∂=

2

2

2

2

2;; τσσ (24)

Pentru cazul particular al stării plane de tensiune, relaţiile (5)

iau forma:

( ) ( )

( ) ( )yv

xuecu

yyev

xxeu

∂∂

+∂∂

=∂

∂⋅

−+

=∂∂⋅

−+

+∇

∂∂⋅

−+

=∂∂⋅

−+

+∇

,112

11

;112

11

2

2

αθνν

νν

αθνν

νν

(25)

În relaţiile de mai sus temperatura θ = θ(x,y) este constantă pe

grosimea t a plăcii. Dacă temperatura ar fi variabilă, pe grosimea plăcii ar apărea şi o solicitare de încovoiere care ar face ca placa să nu mai rămână plană.

Din echilibrul elementului de placă şi în ipoteza că încărcarea este nulă, între tensiuni există relaţia:

( )

0=−⋅

ϕσσ

drrd r (26)

unde tensiunile perpendiculare pe planul median al plăcii sunt nule, σz = 0. Se presupune că solicitarea plăcii este dată numai de un câmp termic şi că aceasta se realizează în domeniul elastic de solicitare.

441

Relaţiile:

( )

( )

++−=

+−=

αθσσνε

εαθνσσε

ϕ

ϕϕ

rz

rr

E

pentruanaE

;log1

(27)

în care θ este temperatura; se introduc în relaţia (26) şi rezultă relaţia de calcul:

( ) 011122

2=+−−+

drd

rdrdu

rdrud θνα

(28)

cu soluţia:

∫+

++= drrr

Brr

Au θνα 11 (29)

Se obţin în final relaţiile de calcul al tensiunilor pentru zona

elastică:

( ) ( ) ( ) ;111111

1, 2222

−++−

−= ∫ drrrBrAr θνανννϕσ

(30)

unde expresia lui σϕ se mai completează în paranteza mare cu

termenul ( )θν−α 21 . Constantele de integrare A şi B se vor determina din condiţiile

de continuitate la limita dintre domeniul elastic şi domeniul plastic. În esenţa, criteriul unificării câmpurilor (CUC) are la bază

ipoteza conform căreia “curgerea plastică “ este controlată de acţiunea şi combinaţia a două tensiuni tangenţiale de forfecare.

În esenţă, acest criteriu constă din:

- se ştie că σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, sunt tensiuni principale; - (σ1, σ2); (σ2, σ3) şi (σ3, σ1) sunt plane de forfecare.

Matematic, criteriul CUC are forma:

442

≥=+

≥=+

,12232313

23121213

,

;,

ττττ

ττττ

candcb

candcb (31)

sau în tensiuni normale principale:

( )

( )

≤+

=−++

≥+

=++

−

,2

,1

1

;2

,1

1

231

321

231

321

σσσ

σσσσ

σσσ

σσσσ

pentrubb

pentrubb

r

r (32)

unde σr - este limita de rupere la tracţiune a materialului, b – un coeficient dependent de tensiunile principale σ2. Se observă că pentru b = 0 se ajunge la criteriul Tresca, b = 0,5 se ajunge la criteriul von Mises şi pentru b = 1 se lucrează cu criteriul CUC.

Pe baza acestui criteriu de plasticitate rezultă condiţia:

222crprppp σσσσσ ϕϕ =+− (33)

unde σc reprezintă limita de curgere a materialului, relaţia (33) fiind aceeaşi şi după criteriul Huber – Hencky – Mises.

2243

21

rpcrpp σσσσϕ −±= (34)

Relaţiile (26) şi (34) dau expresiile tensiunilor radiale şi

circumferenţiale în domeniul plastic. Se utilizează indicele 1 pentru încălzire şi indicele 2 pentru răcire; în faţa radicalului se ia semnul minus pentru încălzire şi semnul plus pentru răcire. Rezultă:

±=

= πν

σσπν

σσ ϕϕ 3

2sin3

2;

32sin

3

22

221

11 ,, m

rm

r (35)

Sunt cazuri în care este mai avantajos să se utilizeze criteriul

de plasticitate Tresca.

443

Acest criteriu are ca principal avantaj faptul că oferă relaţii mult mai simple, uşor rezolvabile matematic. Ele au forma:

( ) ( ) ( ) ϕϕϕ σσσσσσσσσ Φ=−−Φ=−−Φ=−− 222222 ;; crzrczzcr (36)

Curgerea apare în momentul dispariţiei uneia din funcţiile Φ din

relaţiile (36). În cazul plăcilor se pune condiţia σz = 0 şi rezultă criteriul de plasticitate:

cr σσϕ ±==Φ ;0 (37)

unde semnul negativ este pentru încălzire iar semnul pozitiv pentru răcire. Rezultă:

( )∫ ⋅±=±=

⋅ r

acrc

r rdrr

saudr

rdσσσ

σ 1 (38)

Se face precizarea că din motive de echilibru, tensiunile radiale

din doemniul elastic şi cele din domeniul plastic, trebuie să aibă aceleaşi valori în dreptul razei limită (R) dintre domenii.

Rezultă:

)()();()( RRRR eprerp ϕϕ σσσσ == (39)

În relaţiile de mai sus, indicele “p” se referă la domeniul plastic,

“e” fiind pentru domeniul elastic. Cuplarea relaţiilor de calcul privitoare la domeniul elastic şi la

cel plastic, se face cu anumite precizări: la încălzire există o rază limită elasto-plastică notată cu R1 iar la răcire o altă rază limită notată cu R2; tensiunea radială este egală cu zero la nivelul razei exterioare; sunt valabile relaţiile (16).

Pentru obţinerea relaţiilor finale de calcul se presupune că înainte de încălzire nu existau tensiuni remanente în placă (σr=0; σϕ=0); poate fi folosită şi ipoteza existenţei tensiunilor remanente. Pentru încălzire se introduce valoarea temperaturii staţionare T.

Printr-o dezvoltare matematică corespunzătoare se ajunge la expresiile:

444

[ ]

=→

−

−

±++=

∫ ∫ 0.;1

1)()()(21)(

1)( 112

12

2

1111,

1

1111

αθσθθα

αθαθσσσ ϕϕ

Eptdrrdrrr

E

ErbRERRr

reb

prpree

,

(40)

relaţii asemănătoare obținându-se şi pentru răcire. Pentru dezvoltări numerice, câmpul staţionar T1 se calculează cu relaţia (19). Dacă temperatura θ0 este de 400o sau 600o, se obţin relaţiile:

br

br

eC

eC

75,5

75,5

376696,45

;7,251064,30

−

−

+=

+=°

θ

θ

(41)

când raportul a/b = 1/3. La un raport a/b = 1/10 rezultă:

br

br

eC

eC

3,63,6110161,13;73407,9

−−+=+=

θθ

(42)

Pe baza studiului teoretic făcut în aceste lucrări s-au trasat

diagrame foarte utile practicii inginereşti. Prezentăm în continuare câteva din rezultatele obţinute.

Fig. 1 Distribuţia temperaturii dată de relaţia

(10) Fig. 2 Câmpuri termice

nestaţionare rezultate pentru o placă cu raportul razelor

a/b = 1/3

445

Fig. 3 Tensiuni remanente – a/b = 1/3, θo = 600 oC; b = 1m

Fig. 4 Tensiuni remanente – a/b

= 1/10, θo = 600 oC; b = 1m 2. Starea elastico-plasticǎ a discurilor subţiri în mişcare de rotaţie. Relaţii de calcul

Pe baza echilibrului unui element de disc, solicitat de tensiuni radiale şi circumferenţiale, produse de forţele de inerţie datorate mişcării de rotaţie cu ω = ct., se ajunge la relaţia de studiu:

( ) 222 ,0 ωγσσωγσσσ θθ rgrdrdsaur

grdrd

rrr −=−⋅=+−

+ (43)

Se utilizează legea generalizată a lui Hooke şi relaţiile dintre

deformaţii specifice εr, εθ şi deplasarea radială u a elementului infinit mic de disc şi relaţia (43) se scrie:

( ) 2211 ωγν ⋅⋅−−=

⋅ r

gEur

drd

rdrd (44)

Pentru obţinerea unei relaţii generale de studiu al discurilor în

rotaţie, atât în elastic dar şi în elasto-palstic, se utilizează o relaţie de tip polinom între tensiunea echivalentă σe şi deformaţia specifică echivalentă εe, relaţie propusă de You şi Zhang.

...1 523

1 +++= eeee aaEσσσε

(45)

446

Direcţiile radială şi circumferenţială sunt direcţii principale de solicitare, tensiunile σr şi σθ fiind tensiuni principale. Conform metodelor energetice de rupere, cu valoarea ν = 0.5 pentru domeniul plastic, tensiunea echivalentă este:

θθ σνσσσσ rre 222 −+=

(46)

În elastico-plastic, între tensiuni şi deformaţii se realizează în

fiecare moment o relaţie de forma:

i

nin

ii KsauK

σε

εσ == 1

(47)

Rezultă:

( )( )( )( )

−++=

−++=

reep

reepr

aa

aa

σσσσε

σσσσε

θθ

θ

5.0...

5.0...4

22

1

42

21 (48)

Din analiza relaţiei de echilibru (43) se constată că introducerea

unei funcţii a tensiunilor rr σ⋅=ϕ , conduce la o simplificare a demonstraţiei. Rezultă:

22; ωγϕσϕσ θ rgdr

drr

+== (49)

Analog relaţiei (43) se scrie relaţia de compatibilitate:

00 =−+=−

+ rr

drd

rsaurdr

dεε

εεεεθ

θθθ (50)

Se scriu deformaţiile totale ca o sumă a elasticului şi elasto-

plasticului ( peprerr ; θθθ ε+ε=εε+ε=ε ), se introduc în condiţia de

compatibilitate (50) şi rezultă relațiile finale de calcul sub forma:

( ) 0=+−+++ prerpepedrdr εεεεεε θθθθ

(51)

447

( ) 03 222

2=

−++++−+ pr

pp

drd

rErgrdr

ddrdr εε

εωγνϕϕϕ θ

θ

(52)

Relaţia (52) poate conduce un studiu analitic al discurilor în

rotaţie, atât în domeniul deformaţiilor elastice, dar şi în domeniul deformaţiilor elastico-plastice. Dacă se utilizează condiţia:

0=

−+ pr

pp

drd

rE εεε

θθ

(53)

se ajunge la o relaţie asemănătoare formei (44), cu care se face un studiu numai în domeniul deformaţiilor elastice. BIBLIOGRAFIE [1] Parkus, H., Thermoelasticity. Blairdell Publishing Company, 1981. [2] Tani, J., Thermal bucking of an annular plate with axisymmetric initial deflection. Journal of Applied Mechanics, 1978. [3] Iesean, D., Teoria termoelasticitatii. Ed. Academiei, București, 1979. [4] Radu, N.Gh., Comănescu., I., The temperature effects - experimental determinations. Elastic stability of the thin disks due to the temperature and rotation stress fields. Finite differencies – theoretical study. MOCM 7. OPROTEH 2001. [5] Furdac, Fl., Modificarea stării de solicitare datorită tensiunilor remanente ale materialelor, Teza de doctorat, 2000. [6] Radu, N.Gh., Contribuții la studiul încovoierii și al stabilității elastice a discurilor subțiri în mișcare de rotație și în regim termic axial simetric. Teza de doctorat, 1992.

Prof.Dr Ing. Gheorghe N. RADU, Universitatea ”Transilvania” din Braşov

B-dul Eroilor 29, 500036, Braşov e-mail: rngh@unitbv.ro

Conf.Dr.Ing. Ioana Sonia COMĂNESCU Universitatea ”Transilvania” din Braşov

B-dul Eroilor 29, 500036, Braşov e-mail: ioanacom@unitbv.ro

448

mailto:rngh@unitbv.romailto:ioanacom@unitbv.ro