[수학]

과학고 연구과제(R&E) 결과보고서

생활속의 행렬에 대한 연구

(Study on the Application of Matrices in the Life)

연 구 기 간 : 2012. 3. 2 ~ 2012. 12. 31

연구책임자 : 장선영(울산대 수학과 교수)

지 도 교 사 : 강경묵(울산과학고 수학전공)

참 여 학 생 : 박진규(울산과학고 1년)

이주희(울산과학고 1년)

장성현(울산과학고 1년)

이 보고서는 2012년도 정부(과학기술진흥기금/복권기금)의

재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

제 1 장 사업개요

제 1 절 연구의 필요성 및 목적

1. 연구의 필요성

“성분들의 직사각형 배열”이 수학에 사용되진 것은 매우 오래전이나, 그것에 행렬

이라는 이름이 붙여 진 것은 1850년이며 행렬식(determinant)도 그 이전 18세기

때부터 사용되었다. 행렬이론이 발전하게 된 큰 동기는 선형 연립방정식계와 그것의 해를 구하는 문

제로부터 출발하였다. 많은 미지수를 갖는 선형 연립방정식계가 자연과학, 공학, 경제학 등의 문제를 수학적으로 모델링할 때 나타난다. 일상에서 만나는 그 구체적인

예로 교통망, 일기예보, 의사결정 등이 있다. 뿐만 아니라, 병원에서 환자들의 건강

상태를 조사하는 CT 촬영도 선형방정식계를 푸는 문제이고, 전기회로를 설정하는

문제도 선형방정식계이다. 이러한 선형방정식계를 푸는데 가장 효과적인 도구가 행

렬인데 이것은 동양 수학의 고서인 “구장산술”에도 미지수가 세 개인 선형방정식계

를 푸는데 성분들을 직사각형으로 배열하여 쓰는 방법, 즉 행렬을 이용한 방법이

나타난다. 현대 산업이 발전하면서 행렬과 행렬로 이루어진 대수인 행렬 대수, 그리고 선형

공간 이론으로 이루어진 선형대수학은 자연계, 공학계, 사회과학계의 필수 과목이

될 정도로 그 응용이 매우 넓고 깊어 졌다

20세기 후반 들어 컴퓨터가 발달하면서 Mathematica, Matlab, Maple 등 수학 프

로그램이 개발되므로 큰 사이즈의 행렬 계산이 용이해졌고 이를 이용한 기술과 산

업이 발달하기 시작하였다. 뿐만 아니라, 요즘은 행렬이 인터넷을 통해 디지털소리

와 이미지를 전송하는 도구로 테이블 형식을 이용하여 정보를 저장하고 검색하는데

이용되기도 한다. 이와 같이 광범위하게 쓰이는 행렬이 우리나라 고등학교 수학교과과정에서는

2× 2 행렬과 2×2행렬식이 다루어지나 구체적 예나 의미를 다루지는 않는다. 행렬의 성질과 그 이론을 발전시킨 벡터공간 이론을 다룬 선형대수학은 수학의

많은 분야 중에서 그 응용되는 범위가 가장 많은 분야이고 그 기초 이론이 고등학

교 영재 학생들이 이해 할 수 있는 수준이므로 매우 좋은 사사연구 분야이고, 또한

사사 연구가 필요한 분야이다. 또한 본 R&E 연구 과제에서는 학생들이 이해 할 수 있는 수준에서 선형대수학의

전 이론 과정을 사사하였으며 이에 대한 응용으로 실생활에 밀접한 관련과 학생들

의 흥미를 유발 시킬 수 있는 주제를 연구 결과물로 선택했다.

2. 연구의 목적

① 본 사사연구에서는 대상 학생들이 이미 배웠거나 배울 내용이면서 고등학교 과

정에서 처음 나오는 행렬이 실제 과학과 기술 그리고 일상의 생활에서 응용되는

예를 다루므로 학생들의 수학에 대한 학습동기를 유발시킨다.② 선형대수의 이론은 자연계와 공학계에 걸쳐 가장 광범위하게 응용되는 수학의

분야로 향후 이공계 학과를 진학할 과학고 학생들에게 매우 필요한 분야이기 때

문에 선형대수학의 추상적인 이론까지 숙지시킨다.③ 선형대수의 추상적인 개념의 하나인 기저를 충분히 이해시키고 유한 차원의 개

념을 확대하여 무한 차원을 접하게 하므로 사사 학생들의 수학적 범주를 넓힌다. ④ 행렬과 선형사상의 일반적 이론을 배운 후에 이것을 다시 컴퓨터 그래픽이나

CT촬영 문제, 전기회로 문제, 정보검색 등에 적용시키므로 이론을 그 실례에서

구체적으로 형상화 시키는 과정을 거치게 되고, 이로써 이론의 정확한 실제화를

형성시킨다.⑤ 사사연구 과정에서 선형대수학의 기본 이론을 충분히 배우고 일상의 많은 현상

을 일반화 시켜서 수학적으로 만드는 과정(즉, 수학적 모델링과정)을 습득하므로

수학의 의미와 수학적 능력을 배양시킨다. 또한 이것은 영재 학생들의 창작력 향

상과 문제 해결 능력에 매우 필요하고 도움이 되는 과정이다 .⑥ 마르코브 체인이론을 이용한 정보 검색프로그램을 C언어로 작성하고 실습하므로

수학의 응용에 대한 이해의 범위를 확장시킴

⑦ 패턴인식에 대한 기본 내용을 배운다. 사람에게 있어서 인식이란 매우 쉬운 작

업이나 기계에게 인식은 극도로 어려운 작업이다. 이 차이가 패턴인식이라는 새

로운 연구 분야를 창출했다. 기초적인 패턴인식의 부분으로 매우 기초적인 지능

기계를 생각할 수 있는데 우편물 분류기, PDA 필기 입력기, 동작인식 핸드폰, 지 문 인식 마우스, 과속단속기, 청소로봇등이 있으며, PDA를 예로 들어 강의한다. ⑧ 패턴인식에는 확률통계, 마르코프체인, 최적화이론등이 사용된다. 본 연구과제에

서는 마르코프체인을 이용한 자동의분별기 프로그램을 개발한다.

제 2절 연구의 범위

① 본 연구 과제에서는 고등학교 과정에서 나오는 2×2 행렬을 n×n 행렬로 확장

하여 연구 및 수업을 진행한다. 수학적 학습 대상을 일반적인 경우로 확장함은

수학의 논리 전개 형식 및 추상화에 대한 학습 효과를 유발한다. ② 수학의 추상화 과정에서 특수한 사항을 일반적인 사항으로 모델링하여 성질을

찾아내고 추상적인고 일반적인 이론을 응용문제를 통해 특수한 상황에 적용하는

연구과정을 진행하고 이 과정에서 종합적인 해석 능력이 키워진다.

③ n ×n 행렬에 관하여 행렬 연산과 행렬 연산의 성질, 가역성, 가역 행렬의 성질, 행렬의 기본행 연산, 기본행렬, 역행렬 구하기, 행렬식의 성질, 행렬을 이용한 연

립 방정식 해법 Gauss 소거법, 고유값, 고유벡터, 선형공간, 선형사상 등을 교육

한다. ④ 본 연구 과제의 주된 목표중 하나는 Rn 위에서의 선형작용소(혹은 선형변환)의 성질을 학생들이 이해하고 선형사상의 다양한 응용의 예를 접하게 한다. 이러므

로 수학에 대한 관심과 흥미가 함양된다.⑤ R n 위에서의 선형작용소를 이해한 후, 기저의 개념을 확대하기 위하여 무한 차

원 벡터공간을 학습하고 그 이 후 무한차원 벡터공간에서 기저의 성질을 가장 잘

알 수 있는 선형사상인 토에플리츠 선형사상을 연구한다.⑥ 선형사상을 연구하기 위해서 벡터공간의 기본적인 성질을 이해하는 것이 우선적

이므로 벡터공간에 대한 기본 성질을 연구한다. 선형사상이 벡터공간의 구조를

보존하는 사상이고 선형사상의 핵(kernel)과 치역(range)이 모두 벡터공간이기

때문에 벡터공간에 대한 기본 개념이 필요하다. ⑦ 벡터공간은 추상적인 개념의 공간이나 이를 연구하므로 실생활에서 나타나는 다

양한 상황을 벡터공간으로 모델링하는 기초 작업을 이룰 수 있다. 벡터공간의 기

본 개념을 하기위해 3차원 공간인 R3를 기초로 하여 n-차원 공간인 Rn 및 행렬

공간 등 그리고 무한차원 벡터공간이면서 학생들이 이해하기 쉬운 을 다룬

다. 벡터공간의 기본 성질로 기저, 부분 공간, 선형사상과 기저와의 관계 등과 벡

터들의 1차 독립과 1차 종속을 다룬다. ⑧ 모든 자연과학이나 공학, 사회과학에서 가장 어려운 문제 중 하나는 그 문제를

수학적으로 모델링하는 과정이다. 실생활에서 나타나는 행렬의 응용을 연구하므

로 수학적 모델링 능력을 키운다.⑨ 수학적으로 모델링하는 과정 학습의 하나로 학생들이 n×n 행렬을 학습함으

로써 임의 개수의 변수를 다루는 능력을 과학영재에게 키워 주므로 수학의 가장

중요한 과정인 일반화 과정과 수학적 모델링 과정을 연구한다. ⑩ 패턴인식에는 확률통계, 마르코프체인, 최적화이론등이 사용된다. 본 연구과제에

서는 마르코프체인을 이용한 자동의미분별기 프로그램을 개발한다.⑪ 응용 연구과제로 잡은 정보 검색을 위하여 마르코프 이론과 학률 이론을 학습하

였다. ⑫ 컴퓨터의 인식과정인 정보검색을 학생들이 학교에서 배운 C언어를 이용하여 마

르코프 체인이론과 확률이론을 가지고 간단한 정보 검색 프로그램을 작성하므로

C-언어의 기본적인 활용에 대한 학습강화와 응용을 연구하였다.

제 3절 연구의 이론

1. 기본행렬과 기본행 연산

일반적으로 기본행렬은 다음과 같이 말할 수 있다.

(1) I n(α j )=

1 0 ⋯ ⋯ 00 1 ⋯ ⋯ 00 ⋯ α ⋯ 00 0 ⋯ ⋯ 1

← j행

(2) I n( i, j)=

1 0 ⋯ ⋯ ⋯ 00 ⋯ ⋯ 1 ⋯ 0

1⋱

10 1 … 0 … 00 0 … … 0 1

(3) I n(α i+j)=

1 0 … … … 00 1 … … … 00 0 … … … 00 0 α 1 … 00 0 … … 0 1

위에서 본 것과 같이 기본행렬 In(α j ), I n ( i, j), I n(α i+ j)를 행렬 A=(a ij) m×n의 좌

측에 곱하면 기본행렬에 나타났던 작용이 행렬 A에 나타난다. 즉(1) In(α j )A는 행렬 A의 i-번째 행에 α를 곱한 행렬이다.(2) I n( i, j)A는 행렬 A의 i-번째 행과 j-번째 행이 교환된 행렬이다.(3) In(α i+ j)A는 행렬 A의 i-번째 행에 α를 곱하여 j-번째 행에 더한 행렬이다.위의 세 가지 작용을 행렬의 기본행 연산(elementary row operation)이라 한다.

정의 m×n 행렬 A에 대하여 다음의 세 연산을 기본행(열) 연산(elementary row(column) operation)이라 한다. (1) 행렬 A의 제 i 행(제 i 열)과 제 j 행(제 j 열)을 바꾼다.(2) 행렬 A의 제 i 행(제 i 열)의 원소에 α를 곱한다.(3) 행렬 A의 제 i 행(제 i 열)에 α를 곱하여 제 j 행(제 j 열)에 더한다.I n( i, j)A는 항등행렬 I n의 i행과 j행을 바꾸는 기본행 연산을 시행시킨 행렬이고,

I n(α j )는 항등행렬 I n의 i행에 α를 곱하는 기본행 연산을 시행시킨 행렬이며 In(α i+ j)

는 항등행렬 I n의 i행에 α를 곱하여 j행에 더하는 기본행 연산을 시행시킨 행렬이다.A=(a ij) m×n행렬일 때

← j행

↑

i열

← j행

← i행

Im( i, j)A= (a 'kl ) m×n= ( ∑

m

r = 1(Im ( i, j)) kr a r l)

∑m

r = 1(Im ( i, j)) kr a r l = { a kl k≠i, j

a jl k= ia il k= j

이므로 Im( i, j)A는 행렬 A의 i행과 j행을 교환시킨 행렬이다. 비슷하게

Im(α i+ j)A= (a 'kl ) m×n= ( ∑

m

r = 1(Im (α i+ j))kr a r l)

∑m

r = 1(Im (α i+ j))kr a r l= { a kl k≠j

αa il+a jl k= j

이므로 In(α i+ j)A는 행렬 A의 i행에 α를 곱하여 j행에 더한 행렬이 된다. 비슷하게

Im(α j )A는 행렬 A의 i행에 α를 곱한 행렬임을 알 수 있다.

2. Gauss 소거법

본 절에서는 Gauss 소거법으로 연립방정식의 해를 구하는 것을 다룬다.선형대수학은 일차 연립방정식의 해를 구하는 문제와 깊은 관계를 갖고 있다. 일차 연립방정식은 n개의 미지수를 갖는 m개의 연립방정식으로 이루어진다.

a 11x1 + a 12x2 + ⋯ + a 1nxn = b1

a 21x1+ a 22x2+ ⋯+ a 2nxn = b2

⋮a m1x1 + a m2x2 + ⋯ + a mnxn = bm

여기에서 x1, x2, ⋯, xn은 우리가 그 값을 알고자 하는 미지수이고, xi등에 곱해져 있

는 mn개의 수 a ij는 계수로써 고정되어 있는 수이다. 만약에 b1=b2=⋯=bn=0이면 동차 연립 일차방정식(homogeneous linear equations)

이라고 하고 그렇지 않으면 비동차연립 일차방정식이라고 한다.위의 연립 일차방정식을 행렬의 개념을 이용하여 표현하면

A=

a 11 a 12 ⋯ a 1n

a 21 a 22 ⋯ a 2n

⋮ ⋮a m1 a m2 ⋯ a mn

, X=

x1

x2

⋮xn

, B=

b1

b2

⋮xn

으로 표현하여

AX=B

라는 꼴로 나타낼 수 있다. 여기에서 행렬 A를 계수 행렬이라 한다.연립방정식 AX=B에서 행렬 [A : B]를 만들어 계수행렬 A를 기본행 연산으로 삼각

행렬을 만듦으로 연립방정식을 푸는 것을 가우스 소거법이라 하고 [A : B]를 첨가행렬이

라 한다. 이때 계수행렬 A가 가역적이면 첨가 행렬 [A : B]가 유일한 해 X=A-1B를 갖는다.

3. 선형사상

임의 자연수 n, m에 대하여 n-차원 벡터공간 Rn 에서 m-차원 벡터공간 Rm로

가는 사상 T가 다음 두 조건을 만족하면 T를 선형사상(linear map) 혹은 선형변

환(linear transformation)이라 한다.(1) x,y∈Rn일 때 T(x+ y)=T(x)+T(y)

(2) α가 실수이고 x∈Rn일 때 T(αx)=αT(x)

이와 같이 선형변환은 두 개 벡터공간사이에서 그 연산 구조를 보존해 주는 사

상이다. 따라서 선형 변환에 대한 이론으로 벡터공간의 이론에 대한 심화 학습이

된다. 미분 연산자와 적분 연산자가 선형변환이듯이 선형변환은 자연 현상이나 사

회 과학의 현상, 공학 문제를 수학적으로 모델링할 때 가장 빈번하게 나타나는 함

수이다. 특히 근래 들어서는 20세기 후반부터 IT 산업이 발전하면서 함께 발전한

컴퓨터 그래픽, 애니메이션, 전자 신호 전송에서의 잡음 필터링과 공학적 공정 등에

선형변환이 많이 쓰인다. Rn 위에서의 선형변환은 행렬로 나타낼 수 있다. 즉 하나의 선형 변환

T :R n→R m 이 주어지면 그것을 표현하는 행렬 A=[a ij] m×n을 구할 수 있고, 또한

R n 상의 임의 벡터 x 를 선형변환으로 보냈을 때 그 이미지 T( x) 는 Ax 를 구

함으로 알 수 있다. 이와 같이 선형변환과 행렬은 깊은 관계가 있기 때문에 선형

변환과 행렬을 관계시켜서 컴퓨터 그래픽 등 구체적 사례에서 나타나는 선형변환과

행렬을 연구한다.

4. 고유값과 고유벡터

A=(a ij) m×n일 때 어떤 실수 λ와 Rn에 속하는 0이 아닌 벡터 x가 존재하여

Ax=λx

일 때 λ를 행렬 A의 고유값(eigen value)이라 하고 0이 아닌 벡터 x를 행렬 A

의 고유벡터(eigen vector)라 한다. n×n 정방 행렬 A가 n개의 고유값 λ 1, λ 2,⋯,λ n을 갖는다고 하자(고유값의 중

복도 포함). 그러면 고유다항식은 det(λI-A)=(λ-λ 1)(λ-λ 2)⋯(λ-λ n) 이 된다. 위 식에 λ=0을 대입하면

det(-A)=-1 ndet(A)=-1 nλ 1⋯λ n

이다. 따라서 det(A)=λ 1λ 2⋯λ n 이다.

5. 좌표변환

벡터공간 의 두 개의 순서기저 ⋯ ⋯를 생각하자. 만약에 wj

가 다음과 같이 β= { v1,⋯, vn }의 원소로 표현된다면

wj= ∑n

i= 1a ij v i , j= 1,2,⋯,n

→ 인 항등 변환일 때

⋯

⋯

⋮

⋮

⋯

이 되고 따라서 의 임의 벡터 x에 대한 순서기저 β와 β'에 대한 좌표벡터의 관계식

은

이 된다. 따라서 행렬 는 γ-좌표계를 β-좌표계로 변환시킨다. 그리고 행렬

를

좌표 변환 행렬이라 부른다.또한 → 인 선형사상일 때 선형사상 T의 순서기저 β와 γ에 대한 행렬표현도 다

음의 정리에서 말할 수 있다.

정리 → 인 선형사상이고 β, γ가 의 순서기저이다. 그러면

(1) 는 가역행렬이다.

(2) 의 임의 벡터 x에 대하여

이다. (3)

5. 증강현실에 응용 되는 행렬

가. 마커 기반 위치 보정 모델

(1)월드 좌표계와 카메라 좌표계 사이의 변환 모델링

: Marker Coordinate System（마커 좌표계) : Camera Coordinate System (카메라 좌표계) : Image Coordinate System (영상 좌표계-화면에 표시되는 영상) : Camera Optical Center / Origin of the Camera Coordinate System

(카메라 광학 중심 / 카메라 좌표계 원점) : Origin of the Image Coordinate System (영상 좌표계 원점) : Focal Length (초점 거리)

Mapping Technology에 의해

단, 은 회전 행렬(3x3)로

는 변환 행렬(3x1)로

이 때, T와 R을 extrinsic parameters(외부 파라미터)라고 한다.

∴

× ×

(2)카메라 좌표계와 영상 좌표계 사이의 변환을 위한 사영행렬 구성

,

삼각 닮음을 이용하면

· ,

·

이것을 행렬의 형태로 나타내면

꼴로 나타낼 수 있는데 이 때, 행렬 를 사영행렬(Projection Matrix)이라 한다.여기서 축과 2D 이미지의 교차점에 대한 고려. 즉, 변환에 대한 항을 추가하여야

한다. 변환을 로 두면 는

·

, ·

가 된다. 즉, 아래와 같이 둘 수 있다.

실제 거리 단위인 mm로 되어 있으므로 이를 카메라 영상 단위로 변경하기 위해

Scale factor mu, mv (pixel/mm)를 적용한다. 그러면 는

·

·

다시 쓰면

일반적인 꼴로 나타내면

가 된다.

(3) 영상 비틀림이 고려된 카메라 변환 행렬

카메라센서의 휘어짐으로 인한 영상 비틀림에 대한 고려를 하면 tan 로 둘

수 있으며

와 같이 변경 가능하다. 이로부터 다음과 같은 관계가 성립한다.

tan

여기서 를 내부 파라미터(Intrinsic Parameters)라고 한다.

(내부 파라미터)

: Intrinsic parameters : scale factor in image u axes : sacle factor in image v axes

: the skew of the two image axes : the origin of image coordinate system

나. 월드 좌표계 –카메라 좌표계 –영상 좌표계들의 관계 표현

2D point는 ,

3D point는 ,

이라고 두고, 위의 내용들을 고려하여 좌표계들의 관계를 표현하는 행렬을 나타내

어 보면,

로 나타낼 수 있다. 디지털 카메라는 영상 센서에 의한 비틀림이 거의 없으므로 를 0으로 둘 수

있으며, 회전 및 이동 행렬의 크기 (4x4)로 인해 타 행렬들의 크기가 확장되었으며

임의의 scale factor‘s의 항이 추가된다.

제 2 장 사업 추진전략 및 방법

1. 사업 추진 전략

① 행렬 이론과 그 응용이 본 연구 과제의 목표이므로 사업 수행 전반부에는 선형

대수 이론 전체에 대하여 충분한 강의와 매틀랩을 이용한 문제 풀이등 수행하므로

학생들이 행렬이론 전체를 숙지하게 한다.② 이론 과정 중, 다양한 행렬응용, 예를들면, 암호학, 전기회로, 교통망, 정보검색

등의 예를 강의하므로 학생들 스스로 응용 연구과제를 선택하게 한다.③ 사사 학생들이 스스로의 역량을 발휘할 수 있는 범위 내에서 수학적 모델링과

흥미를 유발 할 수 있는 응용의 예를 찾는다.④ 보다 폭 넓은 행렬과 선형 사상의 응용을 찾기 위하여 전문가를 찾아 자문을 얻

는다.⑤ 학생들로 하여금 가능한 많은 전문인을 만나게 하여 학생들의 학문에 대한 식견

을 넓혀준다.

2. 사업 추진 방법

① 본 연구 과제를 충실히 수행하기 위해서는 선형대수학 전반의 이론이 우선 숙

지되어야 한다. 선형대수학은 고등학교 학생에게 생소한 것이 아니다. 중, 고등학교

과정에서 배운 대수적 개념과 2×2 행렬은 선형대수학에 접할 수 있는 선수 학습이

다. 따라서 연구과제 개시 후 4개월까지는 주로 이론적인 교육을 한다. 선형대수학

이론은 자연과학과 공학 전공자에게는 필수적인 분야이므로 사사학생들에게는 매우

유익한 연구주제가 된다. 추진 방법은 주말마다 사사 대상 학생들을 대상으로 이

론을 강의 하고 그 이론에 해당하는 문제를 주어 스스로 해결 하게하여 이론에 기

초한 문제 해결 능력을 키운다. ② 이론 학습이 거의 완료된 후 매틀랩을 이용한 행렬 문제 풀이를 한다. ③ 증강현실에서는 각 분야의 전문가를 초청하여 보다 심도있는 강의를 진행한다.

그림1 울산시 공업탑 모델

그림 2 전기회로도 다이어그램

제 3 장 사업추진 내용 및 수행 결과

1. 울산시에서 가장 교통이 복잡한 공업탑 오거리 교통망 프로그램 적용

교통망 프로그램에 행렬의 가장 중용한 응용부분인 연립방정식이 응용되는 것을

적용하는 연구 수행을 하였다. 실지 울산시에서 가장 교통이 복잡한 공업탑5거리의

교통체계를 연립 방정식으로 표현하였고 Gauss 소거법을 이용하여 그 것을 풀었

다.

지점

지점

지점

지점

지점

2. 전기회로 풀기

행렬의 응용을 연구하기 위하여 건물을 짓거나하는데 필요한 전기 회로 배선에

어떻게 행렬이 이용되는 가를 연구하여 수학과 공학이 만나는 steam형문제를 해

결하였다. 이때는 역행렬을 이용하여 문제를 해결하므로 역행렬의 중요성도 탐구

하였다

그림 3 항공기

전기 회로에 대한 Kirchhoff의 법칙과 행렬을 이용하여 문제를 해결하였다.

3. 비행기에 응용되는 선형사상의 응용

선형사상의 중요한 예로 회전, 대칭, 확대, 축소등이 있는데 이와 같은 선형사상은

컴퓨터 그래픽에도 많이 쓰인다. 비행기의 원리에 쓰이는 회전에 대하여 연구하였

다. 4) 항공기의 yaw, pitch, roll

yaw, pitch, roll은 항공 산업에서 항공기의 조종을 설명하는 데 흔히 사용되는 용

어이다. 그림에 모형 항공기의 초기 기준 위치를 표시하였다. 이를 설명하기 위한

현재의 좌표계가 항공기를 기준으로 주어졌다. 항공기는 항상 평면에 놓여 있다

고 가정하고, 정면 앞 방향은 양의 축 방향이며 왼쪽 날개 끝은 양의 축 방향을

가리킨다고 가정한다. 항공기가 움직이게 되면 좌표축은 항공기와 더불어 움직이게

된다.

4. 증강현실에서의 선형사상, 즉 좌표변환의 응용. 증강현실은 사용자가 눈으로 보는 현실세계에 가상 물체를 겹쳐 보여주는 기술이

다. 다시 말해서 현실세계를 가상세계로 보완해주는 개념인 증강현실은 카메라 등

으로 얻어진 현실 환경에 컴퓨터 그래픽으로 만들어진 가상환경을 덧씌우는 것을

의미하며, 컴퓨터 그래픽은 현실 환경에 필요한 정보를 추가 제공하는 역할을 한다. 실제 환경과 가상의 객체가 혼합된 증강현실기술은 사용자가 실제 환경을 볼 수

있게 하여 보다 나은 현실감과 부가 정보를 제공한다. 예를 들어 스마트폰 카메라

로 주변을 비추면 인근에 있는 상점의 위치, 전화번호 등의 정보가 입체영상으로

표기된다. 또한 원격의료진단·방송·건축설계·제조공정관리 등에 활용된다. 최근 스마

트폰이 널리 보급되면서 본격적인 상업화 단계에 들어섰으며, 게임 및 모바일 솔루

션 업계·교육 분야 등에서도 다양한 제품을 개발하고 있다.

가상현실은 현실 세계를 대체하여 사용자에게 보여준다면 증강 현실은 현실 세

계에 가상의 물체를 중첩하여 현실 세계를 보충하여 사용자에게 보여 준다는 차별

성을 가지며, 가상현실에 비해 사용자에게 보다 나은 현실감을 제공한다는 특징이

있다. 무엇보다 중요한 것은 증강 현실이 현실에서는 볼 수 없는 속성을 가상현실

을 통해서 현실 사물에 내재시켜서 증강된 현실을 보여 준다는 것이 가상현실과의

차이점이다. 증강현실은 다음과 같은 원리로 구동된다.

a. 상황 인식 : 초기에는 주로 마커를 이용하여 3차원 물체를 구동시켜야 하는

시기를 인식하였으나, 현재는 컴퓨터의 성능이 좋아져서 AR Book이나 Geozet에서처럼 이미지를 인식하여 시기를 인식하는 방법으로 발전하였다. 이 과정에는

마커나 이미지를 인식하는 알고리즘이 필요하다. 이 기술의 개발로 신문, 잡지, 광고와 같이 실생활에 적용가능한 증강현실이 가능하게 되었다.

b. 카메라 마커 이미지의 변환 : 마커를 이용하는 경우는 마커에 무늬를 잘 설정

하여 평면이 놓인 방향과 기울어진 정도를 카메라에 찍힌 이미지를 분석하여 마

커의 상대적인 좌표를 알아낼 수 있다. 이를 분석내용을 이용하여 카메라에 찍힌

마커를 회전하고, 확대 축소하여 카메라 스크린에 평행하게 변환한다. 이미지 인

식의 경우도 같은 방법을 이용한다.

c. 마커이미지와 3차원 영상의 합성 및 변환 : 3차원 영상과 변환한 마커 이미

지를 합성하고, 이를 b. 에서 얻은 내용을 이용하여 역변환하고 이를 카메라 영상

으로 사영변환하면 우리가 보는 이미지를 얻는다. 마커나 이미지를 움직이면 a, b, c의 과정을 통해 얻은 이미지를 연속하여 보여주어 동영상을 얻는다.

문제: 마커가 정사각형이고 한 변의 길이를 알고 스크린에 투영된 마커의 위치

를 알 때, 카메라 좌표와 마커 좌표와의 관계를 나타내는 행렬를 구하여라.

선형사상과 좌표변환에 대한 이론과 증강현실 구동원리를 이용하여 위의 좌표변

환 행렬을 구하였다.

제 4 장 성과 및 활용계획

① 선형대수학은 이공계열 전 학문 분야에 필수적인 학문으로 이에 대한 선행학습

은 이후 사사 학생들의 학문적 역량을 발전시킬 수 있다.② 고등학교에서 배우는 행렬의 심화이론을 이용하여 실제 생활에서의 중요한 응용

의 예를 다루므로 수학 전반에 대한 관심과 학습동기를 유발 시킨다.③ 행렬이론의 응용수학, 전산 수학, 공학에 대한 응용으로 수학적 접근에 대한

매우 폭 넓은 기초가 만들어진다.④ 수학적 대상을 일반적인 경우로 확장함은 수학의 논리 전개 형식에 대한 학습

효과를 유발한다. ⑤ 특수한 사항을 일반적인 이론으로 모델링하여 성질을 찾아내고 일반적인 이론을

특수한 상황에 적용하는 과정에서 종합적인 해석 능력이 키워진다. ⑥ 수학의 논리 전개 습득 과정과 실제 현상의 수학적 모델링 과정에서 수학자 및

과학자로서의 기본 소양이 길러진다.⑦ 수학의 이론이 실제로 적용되는 예를 찾아 학생들이 탐구 활동을 하므로 수학

의 중요성에 대한 인지가 높아진다.

제 5 장 결 론

본 연구 ”생활속의 행렬에 대한 연구“는 과학고등학교 학생 대상으로 하는 R&E프로그램에 매우 적절한 연구 과제이다.본 연구과제에서는 지도교수의 어떤 특정한 연구 분야에 대한 사사 및 연구를 중점

으로 하지 않았다 . 본 연구과제의 목표를 사사학생들이 수업을 받고 스스로의 연구 활동으로 연구

결과물을 만들어 내고, 이공계 분야에 진학할 학생들에게 수학과 이공계의 기초 역

량과 학문적 관심을 높이는 것에 두었다. 그와 같은 관점에서 본 연구 주제는 매우

좋은 연구 주제이다.

제 6 장 참고문헌

[1]. 이 상구, 현대 선형대수학 경문사 2005[2]. 임 종수, Matlab's Power, 아진, 2002[3]. 장 선영, 선형대수학 경문사, 2003[4]. 장선영, 작용소대수의 입문 , 울산대학교 출판부 , 2005[5]. Fred Szabo, Linear Algebra an introduction using Mathematica, A Harcourt science and technology company, 2000[6]. 선형대수학과 응용 - Steven J.Leon-교문사 [7]. Matlab(version 6) Mannuer[8]. Symbolic Math Toolbox Usaer's Guide, Matlab Mannuer[9]. Creating Graphical User Interface, Matlab Mannuer[10]. Building GUIs with Matlab, Matlab Mannuer[11]. 선형대수학-기초와 응용-북스힐 유관 웹사이트

http://matrix.skku.ac.kr

생활 속의 행렬

Ⅰ. 서론

1. 연구의 배경행렬의 개념 자체는 매우 오래전부터 사용이 되어왔는데 행렬이란 수(혹은 다른 수학적

대상, 함수등) 를 네모꼴로 배열한 것이다. 행렬에서는 가로줄을 행이라고 하고, 세로줄을

열이라고 한다. 또한 행 또는 열들을 분리하여 각각 하나의 행렬로 쓴 것을 행벡터 또는

열벡터라 한다. 특별히, 행과 열의 수가 같은 행렬을 정사각행렬이라고 한다. 정사각행렬

에서는 행렬식(determinant), trace, 고유 값 등 행렬의 성질을 규명하는 많은 이론이

도출되는 행렬 중 하나이다. 행렬과 행렬로 이루어진 대수인 행렬 대수이론으로 이루어

진 선형대수학은 자연계, 공학계, 사회과학계의 필수 과목이 될 정도로 그 응용이 매우 넓

어졌다.

경제이론, 암호론, 컴퓨터 그래픽, 생물, 공학, 도시 계획등 전 분야에 쓰이는 행렬에 대

하여 본 R&E연구과제에서는 행렬의 어떤 부분이 어떻게 응용 되는가를 연구 하였으며

특히 현재 많이 사용되고 있는 증강현실에 대하여 집중 연구하였다.

행렬은 현재 사용자가 눈으로 보는 현실세계에 가상 물체를 겹쳐 보여주는 기술인 증강

현실에도 쓰이고 있다. 증강 현실은 뮤직비디오나 앱, 의료용 시뮬레이션 그리고 책 등에

널리 이용되고 있다. 증강 현실은 사람들에게 훨씬 향상된 삶을 제공하게 되는 증강

현실 구현의 이론적 배경으로 행렬이 중요한 도구가 된다.

현재 우리나라 고등학교 과정에서는 ×행렬과 ×행렬식을 다루고 있다. 위와 같은

행렬과 행렬대수, 그리고 행렬의 여러 가지 응용, 특히 증강 현실에 대하여 본 R&E연구

과제에서는 다음과 같은 분야를 연구 분야로 설정한다.

2. 연구 목적행렬과 그이론, 그리고 행렬의 다양한 응용 분야, 특히 증강현실에 대해 본 연구에서는

다음과 같은 분야들을 다룰 것이다.

가. 이번 연구 과제에서는 행렬과 선형대수의 기본 이론, 특히 벡터공간, 기저 선형변환

등에 대하여 집중적으로 수업 하였으며 그것을 응용하는 과제를 수행하는 것을 연구

목표로 한다.

나. 우리는 고등학교 과정에서 행렬이라는 것을 배우지만 고등학교를 다니는 동안에는 행

렬의 필요성을 느끼지 못한다. 그래서 실제로 행렬이 쓰이는 행렬의 응용 분야에서

교통 흐름, 전기 회로, 경제, 항공기 등에 대하여 탐구하였다.

다. 행렬과 선형대수에 관련된 증강 현실이라는 것을 연구하며, 증강 현실의 개념과 원리

에 대해 이해하고, 그것에 대한 문제를 해결하였다.

Ⅱ. 연구이론 및 방법

1. 행렬 이론

가. 행렬의 기원

“행렬(Matrix)”이라는 용어는 라틴어 “Matrix”에서 유래되었는데 이는 “자궁, 배”라는 뜻

이다. 이는 1850년에 “성분들의 직사각형의 배열”에 행렬이라는 이름을 처음으로 정의한 J.

J. Sylvester는 행렬을 “행렬식(determinant)”을 담는 그릇으로 이해했기 때문으로 생각한다.

그러나 행렬이 1800년대에 처음 사용되어 진 것은 아니다. 중국의 한나라 왕조 시기인 기

원전 200년- 기원전 100년 사이에 출판된 “구장산술(Nine chapter of mathe)”란 책에 선형

연립방정식을 설명하기 위해서 첨가행렬을 사용한 예가 있다. 위에서 숫자들의 나열로 이

루어진 직사각형(행렬)이 다양한 종류의 대상들을 다루는데 편리한 도구임을 알 수 있다.

따라서 우리에게 익숙한 일차 연립방정식이 행렬을 이용하면, 간단히 표현됨을 알 수 있다.

행렬은 단순한 동기로 만들어졌으나 여러 가지 많은 응용에 쓰이게 됨으로 그 이론도 매우

발달하였다.

나. 행렬식

행렬식은 행렬의 성질을 표현하는 하나의 양으로써, 정방 행렬에서만 정의된다.× 정방

행렬 에 대하여 의 행렬식(determinant)은 다음과 같이 정의한다.

× 행렬의 경우는

det

이고 인 × 행렬에서는

det

det det⋯ det

가 행렬에서 행과 열을 제외시켜서 만든 ×행렬이다. 행렬 ×

의 det를 의 여인자(cofactor)라 하고, 로 표시한다.

다. 기본행연산

× 행렬 에 대하여 다음의 세 연산을 기본행(열) 연산(elementary row(column)

operation)이라 한다.

•행렬 의 제 행(제 열)과 제 행(제 열)을 바꾼다.

•행렬 의 제 행(제 열)의 원소에 α를 곱한다.

•행렬 의 제 행(제 열)에 α를 곱하여 제 행(제 열)에 더한다.

라. 가우스 소거법

연립방정식 에서 행렬 를 만들어 계수행렬 를 기본행 연산으로 삼각행

렬을 만듦으로 연립방정식을 푸는 것을 가우스 소거법이라 하고 를 첨가행렬이라

한다.

이때 계수행렬 가 가역적이면 첨가 행렬 가 유일한 해 를 갖는다.

마. 역행렬

× 정방행렬 에 대하여 × 정방행렬 가 존재하여 일 때 행렬

는 가역적이라 하고, 행렬 를 의 역행렬이라고 한다. 의 역행렬은 라 표시한다.

가역적인 행렬을 정칙행렬(regular matrix)라 부른다.

일 때 ≠ 이면

이를 일반화 하면

det det ⋯ det

det ⋮

⋮ ⋮

det ⋯ det

⋯

⋮ ⋮ ⋯

을 의 수반행렬(classical adjoint)이라 한다. 그러므로 가 가역적이면

det

det det ⋯ det

det ⋮

⋮ ⋮

det ⋯ det

이 된다.

바. 연립방정식에 대한 이론

동차 연립 일차방정식의

⋯

⋯

⋮ ⋯

…………(1)

의 해를 구하기 위해서 계수 행렬 × 을 기본행 연산으로 기약 사다리

꼴 로 바꾸어 동차 연립 일차방정식을 만들면 다음과 같이 됨을 보았다.

⋯

⋯

⋮ ⋯

→

∗ ⋯ ∗ ∗ ∗ ⋯ ⋮ ∗ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯

를 적당히 열바꿈하여 를 얻고, 동차 연립 일차방정식 을 만들면 다음과 같

다.

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋱ ⋮ ⋮

⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯

∗ × ×

연립방정식 은

⋯

⋯

⋮ ⋯

이므로 ⋯ 에 ⋯ 을 대입하면 의 해는

(a) T로 정의되는 삼각형 (b) y축에 대한 반사

(d) 60° 회전(c) 1.5배 확대

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋯

⋮

⋮

벡터

⋯⋯

⋮ ⋯ ⋯

일차독립이고 의 해 는⋯ 일차 연립이므로

⋯

⋯ 이 의 해공간 의 기저이고dim 이다.

2. 선형사상가. 선형사상(선형변환)의 정의

에서

로 가는 사상 가 다음 두 조건을 만족하면 를 선형사상(linear map)혹은

선형변환(linear transformation)이라 한다.

①∈일 때

②가 실수이고 ∈일 때

나. 선형 변환의 예

(1) 확대, 축소

각 변의 길이가 1인 정육면체를 가로, 세로, 높이가 각각 a, b, c 인 직육면체로 만드는

변환을 생각해 보겠다. 처음의 정육면체는 (x, y, z)=(1, 1, 1)인데 이를 (a, b, c)로 보내야

하므로 이 선형사상은 → ↦ 로 보내는 선형사상으로 행렬로 표

현하면

′′′

로 나타내어진다.

컴퓨터 그래픽에 속하는 문자의 경우 이들을 개의 꼭짓점의 집합으로 컴퓨터상에 저

장한다. 각 꼭짓점들은 표현되므로 × 행렬에 저장할 수 있다. 여기서 이들을

확대, 또는 축소시키고 싶을 경우 ×행렬에 를 곱하면 된다.

(2) 회전

3차원 공간에서 한 축을 중심으로 회전하는 변환을 생각해 보자. 실제로 더 복잡한 회전

변환의 경우들도 한 축을 고정하고 변환을 취한 후에, 다른 축을 고정시켜 다시 회전변환

을 취하는 합성함수의 방식으로 이루어진다.

먼저, z축을 중심으로 점 를 각 만큼 회전한 후의 좌표를′ ′ ′라 하면 다

음과 같이 얻어진다.

′ cos coscos sinsin cos sin

′ sin cossin sincos sin

′

이것은

′′′

cos sin sin cos

로 표현된다.

이와 같이 x축을 중심으로 회전시키면 다음과 같이 표현된다.

′′′

cos sin sin cos

또한, y축을 중심으로 회전시키면 다음과 같다.

′′′

cos sin

sin cos

(3) 축에 대한 반사

가 주어진 벡터 를 축에 대하여 반사시키는 변환이라면 이는 선형 변환

→ ↦ 이고, 그러므로 ×행렬 로 표현할 수 있다. 그리고,

를 만족하므로 행렬

이다. 마찬가지로, 는 선형

변환으로서 주어진 벡터를 축에 대하여 반사시킨다면 이를 나타내는 행렬

는

다음과 같이 표현된다.

다. 선형사상의 행렬표현

⋯이 벡터공간 의 순서기저 일 때, 의 원소 가

⋯

으로 표시되면

⋮

이다.

가 -차원 벡터공간이고,

가 -차원 벡터공간이며, ⋯과 ⋯이

와 의 순서기저라고 하자. 그리고 → 인 선형사상

일 때 에 의해서 보내진 β의 각 원소는 다음과 같이 표현될 수 있다. 즉,

⋯

⋯

⋮ ⋯

이다. 여기에서 ⋯ 을 ⋯으로 표시할 때 나타나는 계수 를

행렬로 정리하면

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋯

이라는 행렬을 얻는다. 이때 행렬 를 선형사상

T의 기저 β와 기저 γ에 의한 행렬 표현

이라 부른다.

라. 좌표변환

일반적으로 의 두 개의 순서기저 가 있고,

이면 항등변환 → 에 대하여

가 된다. 따라서

이다. 또한 의 임의 벡터 에 대하여 를 두 개의 순서기저 와

로 다음과 같이 표시된다고 하자.

′ ′

그러면

′′

이 되고

를 좌표변환 행렬이라 한다.

3. 증강현실(Augmented Reality, AR)가. 증강 현실의 정의

증강현실은 사용자가 눈으로 보는 현실세계에 가상 물체를 겹쳐 보여주는 기술이다. 다

시 말해서 현실세계를 가상세계로 보완해주는 개념인 증강현실은 카메라 등으로 얻어진

현실 환경에 컴퓨터 그래픽으로 만들어진 가상환경을 덧씌우는 것을 의미하며, 컴퓨터 그

래픽은 현실 환경에 필요한 정보를 추가 제공하는 역할을 한다.

가상현실은 현실 세계를 대체하여 사용자에게 보여준다면 증강 현실은 현실 세계에 가상

의 물체를 중첩하여 현실 세계를 보충하여 사용자에게 보여 준다는 차별성을 가지며, 가

상현실에 비해 사용자에게 보다 나은 현실감을 제공한다는 특징이 있다. 무엇보다 중요한

것은 증강 현실이 현실에서는 볼 수 없는 속성을 가상현실을 통해서 현실 사물에 내재시

켜서 증강된 현실을 보여 준다는 것이 가상현실과의 차이점이다.

그림 18 증강현실의 원리

그림 17 여러 가지 Reality들

나. 증강 현실의 원리

(1) 상황 인식 : 초기에는 주로 마커를 이용하여 3차원 물체를 구동시켜야 하는 시기를

인식하였으나, 현재는 컴퓨터의 성능이 좋아져서 AR Book이나 Geozet

에서처럼 이미지를 인식하여 시기를 인식하는 방법으로 발전하였다.

(2) 카메라 마커이미지의 변환 : 마커를 이용하는 경우는 마커에 무늬를 잘 설정하여 평

면이 놓인 방향과 기울어진 정도를 카메라에 찍힌 이미

지를 분석하여 마커의 상대적인 좌표를 알아낼 수 있다.

(3) 마커이미지와 3차원 영상의 합성 및 변환 : 3차원 영상과

변환한 마커 이미지를 합성하고, 이를 2)에서 얻은 내용을 이용

하여 역변환하고 이를 카메라 영상으로 사영변환하면 우리가

보는 이미지를 얻는다. 마커나 이미지를 움직이면 (1), (2), (3)의

과정을 통해 얻은 이미지를 연속하여 보여주어 동영상을 얻는

다.

다. 증강현실의 응용

(1) 손동작인식을 이용한 증강현실 컨트롤러

그림 19 손동작 인식을 이용한

증강현실 컨트롤러

(2) 증강현실 게임

그림 20 증강현실 게임

(3) 이미지 인식 기반 증강현실광고

그림 21 이미지인식기반

증강현실광고

(4) 교육용 증강현실 앱

그림 22 교육용 증강현실 앱

(5) AR Book

(6) 국방에 쓰이는 증강현실

Ⅲ. 연구결과 및 고찰가. 교통 흐름 분석에서의 이용

☞ 행렬을 이용한 연립방정식의 일반해 해법을 이용해 교통흐름을 분석한다.

Ex) 다음의 도로도를 보자.

각 교차로에서 들어오는 자동차의 수는 나가는 수와 일치해야 한다. 예를 들면 A지점에서

들어오는 자동차의 수는 이고 나가는 수는 이다. 따라서

지점

마찬가지로

지점

그림 23 울산시 공업탑 모델

그림 24 전기회로도 다이어그램

지점

지점

지점

방정식들을 행렬로 나타내면

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎜

각각의 교통량을 첨가행렬과 기본행 연산

으로 계산해보면

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

이 시스템은 자유 변수가 있고 모순이 아니므로 가능한 해가 많이 있다. 만일 임의의 길들

의 교통량이 알려졌다면, 나머지 길에서의 교통은 쉽게 계산된다.

나. 전기회로 풀기

특정한 전기 회로가 주어졌을 때 회로상의 각 경로에 흐르는 전류의 양을 계산할 때 행

렬을 이용할 수 있다. 다음의 전기회로 다이어그램을 보자.

전지에서 만들어내는 전압과 저항은 그 값이 주어져있고, 각 경로에 흐르는 전류의 양을 각

각 라 한다. 전류의 방향을 지정해주었는데 만약 전류가 음의 값을 가진다면 전류가

화살표 반대방향으로 흐른다. 전류의 값을 계산하기 위하여 Kirchhoff의 법칙을 이용한다.

☞ 역행렬을 이용한다.

- Kirchhoff의 법칙

• 회로의 각 경로가 만나는 교점에서의 전류의 합은 0이다.

• 임의의 닫힌회로 내에서, 전지의 기전력에 의해 높아진 전위 (역방향일 때는 낮아짐) 의

합은 저항에 의해 낮아진 전위 (역방향일 때 높아짐) 의 합과 같다.

Ex)

첫 번째, 두 번째 규칙을 이용하여 계

산 을 하면 다음과 같다.

그림 25 항공기

미지수 를 나태나는 열벡터와 계수행렬을 이용, 위의 연립방정식을 표현하였다.

,

,

, × , ×× ×

위의 식은 를 구할 수 있는 식이다. 의 역행렬을 구하여 × 의 양변에 곱해

주면 를 구할 수 있다.

다. 항공기의 yaw, pitch, roll

yaw, pitch, roll은 항공 산업에서 항공기의 조종을 설명하는 데 흔히 사용되는 용어이다.

그림에 모형 항공기의 초기 기준 위치를 표시하였다. 이를 설명하기 위한 현재의 좌표계가

항공기를 기준으로 주어졌다. 항공기는 항상 평면에 놓여 있다고 가정하고, 정면 앞 방향

은 양의 축 방향이며 왼쪽 날개 끝은 양의 축 방향을 가리킨다고 가정한다. 항공기가 움

직이게 되면 좌표축은 항공기와 더불어 움직이게 된다.

☞선형 변환 중에서도 ‘회전’에 관련된 행렬을 이용한다.

yaw는 평면에서의 회전이다. 열벡터로 이를 설명해보자. 공간 의 표준 기저 벡터에

대한 의 상이 라면 이들은 다음과 같다.

cos

sin

sincos

그러므로 yaw transition을 표현하는 행렬은 아래와 같다.

cos sin

sin cos

pitch는 평면에서 회전시키는 변환이다. 위와 같은 방식으로 변환 행렬을 구해보면

cos sin

sin cos

roll은 평면에서 회전시키는 변환이다. 위와 같은 방식으로 변환행렬을 구해보면

cos sin sin cos

yaw transition을 수행하고 pitch transition을 수행한다면 선형변환이 된다.

Ex)보잉 747 여객기가 승객을 태우고 날아가던 중 난기류를 만나 심하게 흔들리게 되었다.

흔들리던 순간 중 한 장면을 지상의 사진기사가 포착했다. 포착한 사진에서 비행기는 앞으

로 30,〬 왼쪽으로 45 〬기울어져 있었다. 비행기가 원래의 상태로 돌아가기 위하여 어떠한 방법

을 사용하였을까? 단, 비행기의 모든 자세제어에는 행렬을 이용한다.

항공기의 초기 기준 위치를 위 그림과 같이 설정하자. 그러면 사진 상의 비행기는 zx축 상

으로 30,〬 yz축 상으로 45 〬 기울어진 것이 된다. 즉, 30 〬 pitch, 45 〬 roll을 수행한 것과 같다.

30 〬 pitch를 나타내는 변환 행렬 P는 다음과 같다.

cos sin

sin cos

45 〬 roll을 나타내는 변환 행렬 R은 다음과 같다.

cos sin sin cos

zx축 상으로 먼저 기울어졌다고 한다면, 합성 변환 행렬은 RP가 된다.

cos sin sin cos

cos sin

sin cos

즉, 비행기가 위의 합성행렬에 의해 기울어진 것과 같으므로 위의 행렬의 역행렬을 구해 항

법시스템에 적용하면 된다.

⋮

⋮

⋮

⇒

⋮

⋮

⋮

따라서, 원래 상태로 돌아가기 위해서는 위 행렬을 적용시켜주면 된다.

라. 증강현실의 수학적 원리

마커 기반 위치 보정 모델 ->행렬을 이용한 좌표계 변환

(1)월드 좌표계와 카메라 좌표계 사이의 변환 모델링

: Camera Coordinate System (카메라 좌표계)

: Marker Coordinate System（마커 좌표계)

: Image Coordinate System (영상 좌표계-화면에 표시되는 영상)

: Camera Optical Center / Origin of the Camera Coordinate System (카메라

광학 중심 / 카메라 좌표계 원점)

: Origin of the Image Coordinate System (영상 좌표계 원점)

: Focal Length (초점 거리)

Mapping Technology에 의해

단, 은 회전 행렬(3x3)로

는 변환 행렬(3x1)로

이 때, T와 R을 extrinsic parameters(외부 파라미터)라고 한다.

∴

× ×

<문제>

마커가 정사각형이고 한 변의 길이를 알고 스크린에 투영된 마커의 위치를 알 때, 카

메라 좌표와 마커 좌표와의 관계를 나타내는 행렬 P를 구하여라.

<풀이>

마커의 두 쌍의 평행한 두변은 스크린에는 평행하지 않은 직선으로 나타난다. 그 중 한

쌍의 평행한 두 직선이 아래와 같은 직선으로 투영된다.

내부 파라미터 행렬

에 의하여 을 만족하므로

위의 두 직선식의 에 카메라 좌표 를 대입하여 2개의 평면 의 식

을 얻는다.

평면 에 수직한 방향벡터 를 구한다. 평면의 법선벡터 는 평면

식의 계수로 만들어진다. 의 외적벡터 × 를 구한다.

마커의 다른 한 쌍의 평행한 두변에서 다른 를 구한다. 벡터는 서로 수직하지

않기 때문에 회전시켜 서로 수직한 벡터 를 구한다. 그리고 이 두 벡터에 모두 수직

인 벡터 × 를 구한다.

은 회전 행렬(3x3)로

×

이다

W는 변환 행렬(3x1)은 마커의 네 개의 꼭짓점과 카메라 스크린의 네 개의 꼭짓점으로 구

한다.

∴

× ×

∴

× ×

Ⅳ. 결론 및 논의

우리는 행렬에 대하여 깊은 연구를 하고 행렬과 선형사상과의 관계를 살펴보았다. 우리가

연구를 하며 알게 된 것은 다음과 같다.

첫째, 행렬이란 수나 수를 나타내는 문자 혹은 함수를 괄호 안에 직사각형 꼴로 배열한

것을 말한다.

둘째, 벡터공간은 더하기와 스칼라 곱으로 정의된 추상적 공간이나 그 구체적 예로 유클

리디안 공간 과 행렬 공간 등이 있다. 벡터공간의 주요 이론으로 기저, 차원, 부분 공

간 등이 있다

셋째, 선형사상은 벡터 공간의 구조를 유지시켜 주는 사상이다.

넷째, 행렬이론은 많은 곳에 응용된다. 행렬이론이 사용되는 곳으로 교통흐름 분석, 전기

회로 분석, 여러 가지 경제 모델, 항공기의 위치 표기, 암호학, 컴퓨터 그래픽, 증강현실

등이 있다. 이들의 간단한 예시를 직접 만들고, 거기에 사용된 수학적 원리를 찾아보았

다.

다섯째, 증강현실은 사용자가 눈으로 보는 현실세계에 가상 물체를 겹쳐 보여주는 기술이

다. 다시 말해서 현실세계를 가상세계로 보완해주는 개념인 증강현실은 카메라 등으로 얻

어진 현실 환경에 컴퓨터 그래픽으로 만들어진 가상환경을 덧씌우는 것을 의미한다. 우리

는 증강현실의 기본 원리를 파악하고 그곳에 이용된 행렬이론과 선형사상을 탐구해보고 직

접 그에 관련된 문제를 만들어보았다.

행렬은 많은 곳에 이용되며 그 응용 분야는 무궁무진할 것으로 생각된다. 하지만 행렬이

그렇게 넓고 많은 분야에 사용되는지 아는 사람은 몇 안 될 것이다. 그렇기에 우리가 더욱

연구하고 그 쪽 분야를 발전시켜나가기를 원한다.

Ⅴ. 참고 문헌[1] 선형대수학-기초와 응용-북스힐

[2] 선형대수학과 응용 - Steven J.Leon-교보문고

[3] 수학의 정석 수Ⅰ