BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VÂN ANH

SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH

CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN

VÀO SỐ HẠT TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

TS. Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và tận

tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các

thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trường

Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm

luận văn.

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè

đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để

tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Vân Anh

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên

ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán với đề tài “Sự phụ thuộc vào vị trí mặt

phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt trong

không gian nửa vô hạn” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản

thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các

nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Vân Anh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1

2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 2

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2

5. Những đóng góp mới của đề tài ................................................................ 2

6. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................... 2

Chương 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE –

EINSTEIN ......................................................................................................... 3

1.1. Hệ hạt đồng nhất .................................................................................... 3

1.1.1. Nguyên lý đồng nhất ....................................................................... 3

1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng ...................................... 3

1.2. Thống kê Bose – Einstein ...................................................................... 6

1.3. Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose – Einstein ............................. 15

1.4. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein .......................................... 18

1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium ............ 18

1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ....................................... 19

1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ

polartion .................................................................................................. 21

1.4.4. Chất siêu dẫn mới .......................................................................... 24

1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose -

Einstein .................................................................................................... 25

Chương 2. LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII ......................................... 28

2.1. Gần đúng trường trung bình ................................................................. 28

2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii ............................................................. 31

Chương 3. SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA

NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN VÀO SỐ HẠT

TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN ...................................................... 34

3.1. Gần đúng Parabol kép (Double parabola approximation - DPA) ........ 34

3.2. Trạng thái cơ bản trong gần đúng Parabol kép .................................... 36

3.3. Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai

thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn ................................... 40

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 46

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Vật lý học là một môn khoa học tự nhiên tập trung vào sự nghiên cứu vật

chất và chuyển động của nó trong không gian và thời gian hay nó chính là sự

phân tích tổng quát về tự nhiên. Đầu thế kỉ XVII, các môn khoa học tự nhiên

nổi lên như các ngành nghiên cứu riêng độc lập với nhau, vật lý học giao nhau

với nhiều lĩnh vực nghiên cứu, các phát hiện mới trong vật lý thường giải

thích những cơ chế cơ bản của các môn khoa học khác đồng thời mở ra những

hướng nghiên cứu trong đó có trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein (BEC -

Bose - Einstein condensate). Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết thương đối

tổng quát để miêu tả mô hình cấu trúc của toàn tinh thể vũ trụ, một trong

những thành tựu khoa học của ông đó là ý tưởng về BEC bắt đầu từ năm 1924

khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức

xạ vật đen lúc xem photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất.

Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa

học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử

và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng cùa chúng trở

thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các nhân và

tạo nên một trạnh thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác một siêu nguyên tử

tức là một BEC. Mãi đến năm 1980 khi kĩ thuật laser đã đủ phát triển đủ để

làm siêu lạnh các nguyên tử tới nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện được.

Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới từ

những nguyên tử lạnh năm 1995. Điều này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng

vật chất mới trong đó các hạt bị giam chung trong trạnh thái có năng lượng

thấp nhất đã mờ ra nhiều triển vọng nghiên cứu vật lý. Đây là một lĩnh vực

khoa học hay, có hướng phát triển mạnh mẽ, đa dạng trong thời gian tốt, có

thể tạo ra nhiều dạng vật chất mới mang ý nghĩa quan trọng trong ngành vật

2

lý. Chính vì thế mà tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học của mình là: “Sự phụ

thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành

phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn.”

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những đóng góp của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần

trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Xuất phát từ hệ các hạt đồng nhất, thống kê Bose - Einstein đối với các

boson là những hạt có spin nguyên, phương trình Gross - Pitaevskii.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Phương trình Gross - Pitaevskii.

Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai

thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn.

5. Những đóng góp mới của đề tài

Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai

thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn có những đóng góp quan

trọng trong Vật lý thống kê và cơ học lượng tử nói riêng, trong Vật lý lý

thuyết nói chung.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu

Đọc sách và tra cứu tài liệu.

Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học.

Sử dụng phần mềm Mathematica.

Sử dụng phép gần đúng parabol kép.

3

Chƣơng 1

TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN

1.1. Hệ hạt đồng nhất

1.1.1. Nguyên lý đồng nhất

Chúng ta nghiên cứu một hệ gồm N hạt chuyển động phi tương đối tính.

Trong trường hợp này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng

2

1 2,1

ˆˆ ˆ ˆ, ..., W

2

Ni

ni i

PH V r r r

m

, (1.1)

trong đó V là toán tử tương tác với các hạt với bản chất là hàm của tọa độ của

tất cả các hạt, W là toán tử đặc trưng cho tương tác spin – quỹ đạo, tương tác

giữa các spin của các hạt và thế năng của trường ngoài…

Hàm sóng của hệ phải thỏa mãn phương trình Schrodinger

ˆ 1,2,..., , 0i H N tt

, (1.2)

với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin

của các hạt 1,2,3,…,N.

Nếu các hạt có đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin,… không phân

biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ như

thế ta có thể phân biệt các hạt theo trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các

tọa độ và xung lượng của từng hạt.

1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng

Ta kí hiệu toán tử hoán vị hạt i và j với nhau là ijP và kí hiệu trạng thái

của hệ N hạt đồng nhất là 1,2,..., , ,N t i j . Nếu thế

ij ijˆ ˆ, , ; , ,P i j i j P j i i j , (1.3)

Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử ijP

4

ijˆ , ,P i j i j

(1.4)

Phương trình (1.4) có

2 2ij ij ij ij

ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,P i j i j P P i j P i j i j .

Từ đây suy ra trị riêng của toán tử ijP là 1

Nên các hàm riêng của toán tử hoán vị ijP được chia làm hai lớp:

a) Lớp các hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm phản đối xứng)

ijˆ

a aP

tương ứng với trị riêng 1

b) Lớp các hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm đối xứng)

ijˆ

s sP

tương ứng với trị riêng 1

Tính đối xứng và phản đối xứng của một hạt là tích phân chuyển động.

Các thí nghiệm đã chứng tỏ rằng, tính chất đối xứng và phản đối xứng

của các hàm sóng liên quan đến tính chất nội tại của các hạt. Các hạt có các

hàm sóng s đối xứng được gọi là hạt Bose hay các Boson, chúng tuân theo

thống kê Bose – Einstein. Các hạt có hàm sóng a phản đối xứng gọi là cac

hạt femi hay các fermion, chúng tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Các Boson

là các hạt có spin nguyên, các fermi là các hạt có spin bán nguyên.

1.1.3. Nguyên lý Pauli là hàm sóng của hệ tương tác yếu

Đối với Fermion có một nguyên lý cấm do Pauli đưa ra. Nguyên lý này

được phát biểu như sau:

“Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực 1 2 3, , , tL L L S bất kỳ đủ để đặc

trưng cho trạng thái của một hạt thì trong hệ Fermion không thể có hai hạt có

trạng thái được đặc trưng bởi 4 số 1 2 3, , , tL L L S giống nhau”.

5

Nguyên lý này được rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng của các

Fermion.

Ta giả sử trong hệ có hai hạt i và j ở trong hai trạng thái giống nhau

ijˆ , , ,a a aP i j j i i j

theo giả thiết

, ,a ai j j i

cho nên

, ,a ai j i j

Từ đây 2 , 0a i j và , 0a i j nghĩa là trạng thái của hệ như vậy

không tồn tại.

Ta đi xét một hệ đồng nhất mà các hạt tương tác yếu với nhau, trong một

phép gần đúng nào đó ta coi các hạt không tương tác với nhau.

Giả sử hàm ln l là nghiệm đúng của phương trình

ˆ 0l ln nH l l

ở đây H l là toán tử Hamilton cho hạt thứ 1,2,...,l l N , ln là tập hợp các

số lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái của hạt l . Khi đó các hàm riêng

của toán tử H của hệ tương ứng với năng lượng ln n

l

E sẽ là tổ hợp tuyến

tính của các tích dạng 1 2

1 2 ...Nn n n N .

Đối với hệ Boson, hàm sóng phải có dạng của tích đã đối xứng hóa

1 2

1 2! !... !1 2 ...

! N

ss n n n

N N NP N

N

(1.5)

trong đó, P là tất cả các hoán vị khả dĩ để cho tất cả các tích

1 2

1 2 ...Nn n n N khác nhau từng đôi một 1 2, ,... sN N N là số các hạt

6

trong các trạng thái lượng tử 1 2, ,... sn n n tương ứng khác nhau từng đôi một

1 2 ... sN N N N

Đối với hệ Fermion, hàm sóng có dạng phản đối xứng

1 1 1

2 2 2

1 2 31

1 2 3!

1 2 3N N N

n n n

s n n n

n n n

N

(1.6)

Từ (1.6) chúng ta có thể suy ra nguyên lý Pauli

1.2. Thống kê Bose – Einstein

Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở

trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.

Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2],

, (1.7)

trong đó là độ suy biến.

Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có

(1.8)

ở đây, là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, là số chứa đầy tức là số

hạt có cùng năng lượng .

Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ với xác suất khác nhau. Độ

suy biến trong (1.7) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau

về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị đó chính là số mới vì số

hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ

điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính

tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng.

Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng

7

, (1.9)

trong đó , là thế nhiệt động lớn, là thế hóa.

Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.9) là vì có kể đến tính

đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu

được do hoán vị các hạt.

Ta kí kiệu

(1.10)

Khi đó (1.10) được viết lại như sau

(1.11)

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.11) như sau

Một là vế phải của (1.11) có thể coi là hàm của các nên ta có thể đoán

nhận công thức đó như là xác suất để cho có hạt nằm trên mức , hạt

nằm trê mức , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta

có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng

. (1.12)

Hai là đại lượng xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện

các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ

fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì

các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì

8

khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn

tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion

ta có

. (1.13)

Tìm

Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của

tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng . Do đó số tổng cộng các trạng

thái khác nhau về phương diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng chia

cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho .

Khi đó

, (1.14)

thay giá trị của vào (1.10) ta thu được (1.13). Để tính trị trung bình của các

số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn

cho đại lượng trong công thức (1.11) chỉ số , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình

như không phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thế hóa học

. Và cuối phép tính ta cho .

Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa

như sau

, (1.15)

với , (1.16)

nghĩa là . (1.17)

Khi đó đạo hàm của theo dựa vào (1.16) và (1.17)

9

(1.18)

Nếu trong biểu thức (1.18) ta đặt thì theo (1.12) vế phải của công

thức (1.18) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy tức là ta thu được

. (1.19)

Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ

) và do đó theo (1.15) ta có

, (1.20)

khi đó

. (1.21)

Theo (1.19) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình

, (1.22)

ta có (1.22) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học trong

công thức (1.22) được xác định từ điều kiện

(1.23)

Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt

trung bình có năng lượng trong khoảng từ bằng

10

, (1.24)

trong đó là số các mức năng lượng trong khoảng .

Tìm

Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích có thể

xem như các sóng dừng de Broglie. Vì vậy có thể xác định bằng cách

áp dụng công thức

,

cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ từ

. (1.25)

Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng và véctơ sóng

, (1.26)

khi đó (1.25) có thể được viết dưới dạng

. (1.27)

Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc thì

suy ra

,

,

do đó (1.27) có dạng

.

Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả

dĩ ứng với cùng một giá trị của spin của hạt . Do đó, số các mức

11

năng lượng trong khoảng là

. (1.28)

Theo (1.24) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng là

. (1.29)

Vì số hạt toàn phần là nên ta có phương trình sau

. (1.30)

Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học . Ta xét

một số tính chất tổng quát của thế hóa học đối với khí bose lí tưởng. Đầu

tiên ta chứng minh rằng

. (1.31)

Thực vậy, số hạt trung bình chỉ có thể là một số dương, do đó,

theo (1.29), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.29) luôn luôn dương

(nghĩa là khi , để cho luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị

của ).

Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng, giảm dần khi nhiệt độ tăng

lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.30) ta có:

12

1.32)

Nhưng do (1.30) nên , do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải

(1.32) luôn luôn dương với mọi giá trị của , vì vậy . Từ các tính chất

và của hàm ta thấy khi nhiệt độ giảm thì tăng (từ giá trị âm

tăng đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ nào đó sẽ đạt

giá trị cực đại bằng không ( ).

Xác định nhiệt độ

Chọn và . Khi đó phương trình

trở thành

. (1.33)

Mà ta biết , nên từ (1.33) và , ta được

. (1.34)

13

14

Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng

hạn như đối với 4He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào

cỡ 120kg/m3 ta được = 2,19

0. Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ có ý

nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ

. Khi giảm nhiệt độ xuống tới thì thế hóa học tăng tới giá trị

, mà nên không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt

độ thì .

Với nhiệt độ số hạt có năng lượng là

. (1.35)

So sánh (1.33) và (1.35) ta thấy

hay .

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được

đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi thì chỉ ra rằng số hạt

toàn phần chỉ có một phần số hạt có thể phân bố theo các mức năng

lượng một cách tương ứng với công thức (1.24), tức là

. (1.36)

Các hạt còn lại , cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi,

chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng

hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.

Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn , một phần các hạt của khí bose sẽ

nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ

được phân bố trên các mức khác theo định luật . Hiện tượng mà ta vừa

15

mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lượng

không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi

là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( ) tất cả các hạt bose sẽ

nằm ở mức không.

1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein

Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng

bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K

hay -2730C). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng

thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở lên rõ rệt ở

mức vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô.

Hiện tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử

với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựu trên ý tưởng về

một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose trước đó một năm

để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó

mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và

Einstein cho kết quả về khái niệm khí bose trong khuôn khổ lý thuyết thống

kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với

spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm

photon cũng như các nguyên tử Heli-4 được phép tồn tại ở cùng trạng thái

lượng tử như nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử

boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng

thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất.

Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm

cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười

nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [3].

Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải

thích cho tính siêu chảy của 4He cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của

một số vật liệu.

16

Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric

Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ

Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm

lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong

thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo

ra được ngưng tụ Bose – Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được

hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính

chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel

Vật lý năm 2001.

Các hạt trong Vật lý được chia ra làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và

lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...), fermion là

các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê

Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài

ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion

không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử”.

Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,

giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi

cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến

thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí

bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn như khí điện tử tự do trong

kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý

cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng

, do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có . Còn

đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ các hạt lần lượt chiếm các

trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lượng của cả hệ khác

không ( ).

17

Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay

spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó

các electron và nucleon là chẵn, …) được gọi là các hạt boson hay khí bose.

Hình 1.1:

Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các

nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử

theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng

chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ

Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái

ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng

vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng [3].

Ngưng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có

spin nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ

cao, đã được quan sát trong một vài hệ Vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và

vật lý chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí bose là phổ biến nhất. Bức xạ

của vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không

18

diễn ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt

độ giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý

thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng

tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình

cộng hưởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngưng tụ Bose – Einstein.

Trong một số thí nghiệm gần đây, người ta đã tiến hành nghiên cứu với khí

photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, người ta đã

mô tả lại ngưng tụ Bose – Einstein cho các photon. Dạng của vi hốc quyết

định cả thế giam cầm và sự không ảnh hưởng bởi khối lượng các photon, làm

cho hệ tương đương với một hệ khí hai chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta

thấy dấu hiệu của ngưng tụ Bose – Einstein, năng lượng photon phân bố chủ

yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ

và dạng hình học của hốc thế được dự đoán từ trước.

1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein

1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium

Các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một

hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng Vật lý cơ bản. Với việc chọn

Erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý

Thực Nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì

những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để

nghiên cứu những những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực Vật lý lượng tử.

“Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới

một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”, Ferlaino cho biết.

Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn

giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser

và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một

đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose –

19

Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng

và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với Erbium

cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương

tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại

những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên

tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói.

Cesium, Strontium và Erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà Vật lý

ở Innsbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột

phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của

ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của Sesium, dẫn tới vô số

những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ

START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của

Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của Strontium

hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố

Erbium.

Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm

cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười

nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang

Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngưng tụ

Bose – Einstein đầu tiên. Ngưng tụ mới của Erbium, lần đầu tiên được tạo ra

ở Innsbruck, là một mẫu tuyệt vời để bắt chước những hiệu ứng phát sinh từ

sự tương tác tầm xa. Loại tương tác này là cơ sở của cơ chế động lực học

phức tạp có trong tự nhiên, ví dụ như xảy ra trong các xoáy địa Vật lý, trong

các chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp.

1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý

Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực Vật lý khi

cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang

trạng thái đốm màu.

20

Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một

trạng thái của vật chất. Với tên gọi “trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”, nó

từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một

chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt

photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản của ánh sáng.

Hình 1.2. Một “siêu phonon” được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới

một trạng thái vật chất được gọi tên là “ trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”.

(Ảnh: LiveScience)

Tuy nhiên, bốn nhà Vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và

Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành

“nhiệm vụ bất khả thi” trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”.

Các hạt trong một trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein truyền thống được

làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên

không thể phân biệt được, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng

cho rằng, các photon sẽ không thể đạt được trạng thái này vì việc vừa làm

lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ nó cùng lúc dường như là bất khả thi. Do photon

là các hạt không có khối lượng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi

trường xung quanh và biến mất – điều thường xảy ra khi chúng bị làm lạnh.

21

Theo trang LiveScience, bốn nhà Vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách

làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để nhốt giữ

các photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm

bằng những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng một

phần triệu của một mét (1 micrô). Giữa các gương, nhóm nghiên cứu đặt các

phân tử “thuốc nhuộm” (về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ chất nhuộm màu).

Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thu và sau đó

được tái phát.

Các tấm gương đã “tóm” các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến

– lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử

trao đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và

cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng.

Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nó

đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngưng tụ Bose -

Einstein.

Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà Vật lý James Anglin

thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên

là “một thành tựu mang tính bước ngoặt”. Các tác giả của nghiên cứu này cho

biết thêm rằng, công trình của họ có thể gúp mang tới những ứng dụng trong

việc chế tạo các loại laser mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bước sóng vô

cùng ngắn trong các dải tia X hoặc tia cực tím.

1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ

polartion

Các nhà Vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của một

trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein trong một hệ các giả hạt được làm lạnh được

gọi là polarition. Mặc dù những khẳng định tương tự đã từng được công bố trước

đó, nhưng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi rằng sự kết

22

hợp này là một hiệu ứng của chùm laser được dùng để tạo ra các polariton, có

nghĩa là hệ không chắc chắn là ngưng tụ. Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại

bỏ những nghi ngờ bằng cách tích lũy polartion từ các chùm.

Lần đầu tiên được tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tử Rubidi, trạng

thái ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó một số lượng lớn

các hạt boson (các hạt có spin nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ

bản giống nhau. Điều này cho phép các boson biểu hiện các thuộc tính cổ điển

ngẫu nhiên của chúng và dịch chuyển như một trạng thái kết hợp, và rất có ý

nghĩa cho các nghiên cứu về hiệu ứng lượng tử ví dụ như siêu chảy trong một

hệ vĩ mô. Điều trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thường chỉ xảy ra ở

nhiệt độ rất thấp, gần không độ tuyệt đối.

Tuy nhiên, các polariton – các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống

và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có thể

tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự

ngưng tụ này được công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học

Tổng hợp Joseph Fourier. Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp Thụy

Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của các

polariton trong một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt độ khá cao là 19K.

Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu

hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong

lĩnh vực này lại nghi ngờ rằng các polariton dù ở trạng thái BEC thật, nhưng

bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng được kích thích

bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp được rồi.

Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp

Pittsburgh và các cộng sự ở Phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tương

tự mà trong đó các polartion được tạo ra bởi các tia laser sau đó di chuyển

khỏi vùng kích thích của laser. Điều này được thực hiện nhờ một ghim nhỏ

23

chiều ngang 50 micrô, để tạo ra một ứng suất bất đồng nhất trên vi cầu, có

nghĩa là tạo ra như một bẫy để tích lũy các polartion. Và ở hệ này, trạng thái

BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K.

Hình 1.3: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007).

Mặc dù ở nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của

Kasprzak đã công bố, nhưng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi

xuất bản công trình này, nhóm đã tạo ra hiện tượng này ở nhiệt độ cao tới 32

K: “Có hàng trăm nguyên nhân để hi vọng chúng tôi có thể đạt tới nhiệt độ

cao hơn, cao hơn nữa… dù không thể giả thiết có thể đạt tới nhiệt độ phòng

nhưng trên 100K không phải là không thể đạt được trong khả năng của

chúng tôi”.

Hơn nữa, các vi cầu (hay vi hốc – microcavity) được tạo ra bởi vật liệu

bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tương tự từng được dùng trong các khí

nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác.

24

Hình 1.4: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316, 1007).

Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm

Snoke là trạng thái BEC trong các xu hướng truyền thống hay không vì các

polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt được trạng

thái chuẩn cân bằng. “Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm

BEC cho một hệ ở trạng thái cân bằng thực sự” – Snoke nói – “Mặt khác, lại

có một số người khác muốn tổng quát hóa cùng trong một loại hệ hỗn hợp

bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật ngữ thì

đúng hơn”.

1.4.4. Chất siêu dẫn mới

Mới đây, các nhà khoa học thuộc Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ quốc

gia cùng phới hợp với trường đại học Colorado (Mỹ) đã thành công trong việc

tạo ra một loại chất mới. Loại vật chất này là một dạng cô đặc của các hạt cơ

bản: electron, proton và neutron.

Đó còn là dạng vật chất thứ sáu được con người khám phá sau những

dạng: chất khí, chất rắn, chất lỏng, khí plasma và Bose – Einstein cô đặc đã

25

được tạo ra từ năm 1995. Deborah Jin (đại học Colorado) cho biết, loại vật

chất mà các đồng nghiệp của bà vừa tạo ra là đột phá khoa học trong việc

cung cấp một kiểu mới cho hoạt động của cơ học lượng tử.

Loại vật chất mới này có khả năng tạo ra một mối liên kết giữa hai lĩnh

vực hoạt động khoa học là chất siêu dẫn và Bose – Einstein, tạo cơ sở phát

triển những ứng dụng thiết thực khác. Hiện nay, theo ước tính có khoảng 10%

lượng điện ta sản xuất ra bị tiêu hao trên đường chuyển tải, làm nóng đường

dây. Nếu ứng dụng vật liệu chất siêu dẫn vào làm dây dẫn điện thì quá trình

chuyển tải điện không còn bị hao hụt bởi điện trở nữa. Ngoài ra, chất siêu dẫn

còn cho phép sáng chế ra những loại xe lửa bay trên đệm từ trường dựa trên

cơ sở nguồn năng lượng hiện đang được sử dụng. Do được giải phóng khỏi

ma sát, đoàn tàu sẽ lướt đi theo đường từ trường ở tốc độ cao hơn.

Jin cùng với hai đồng nghiệp Eric Cornell và Carl Wieman đã đoạt giải

Nobel Vật lý năm 2001 cho phát minh ra vật chất Bose – Einstein cô đặc.

Loại vật chất này được tạo ra từ tập hợp của hàng nghìn phần tử cực lạnh tạo

thành trạng thái lượng tử đơn, tương tự một siêu nguyên tử. Còn loại vật chất

mới mà nhóm nghiên cứu của bà vừa tạo ra khác với Bose – Einstein. Nó

được tạo thành từ những khối hạt vật chất là proton, electron và neutron trong

môi trường chân không được làm lạnh xuống gần tới độ không tuyệt đối. Tại

nhiệt độ đó, các phần tử vật chất ngừng hoạt động. Sau đó, từ trường và tia

laser điều khiển để những nguyên tử kết đôi lại với nhau. Loại nguyên tử mới

này có sức hút mạnh hơn những nguyên tử thông thường, đem đến cho thế

giới nhiều ứng dụng mới thiết thực cho cuộc sống hàng ngày của con người.

1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose -

Einstein

Các nhà nghiên cứu ở Viện Tiêu Chuẩn và Công nghệ Quốc gia Mỹ vừa

lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một chất khí gồm những nguyên tử

26

cực lạnh. Hiệu ứng Hall là một tương tác quan trọng của từ trường và dòng

điện thường xảy ra với kim loại và chất bán dẫn. Các biến tấu của hiệu ứng

Hall đã được sử dụng trong kĩ thuật và trong Vật lý với các ứng dụng đa dạng

từ những hệ thống tự đánh lửa tự động cho đến những phép đo cơ bản của

điện học. Khám phá mới có thể giúp các nhà khoa học hiểu rõ hơn về cơ sở

Vật lý của các hiện tượng lượng tử ví dụ như sự siêu chảy và hiệu ứng Hall

lượng tử.

Được Edwin Hall phát hiện ra vào năm 1879, hiệu ứng Hall dễ hình

dung nhất ở một chất dẫn điện hình chữ nhật như một tấm đồng khi có một

dòng điện chạy dọc theo chiều dài của nó. Một từ trường đặt vuông góc với

dòng điện (vuông góc với tấm đồng) làm lệch đường đi của các hạt mang điện

trong dòng điện (electron chẳng hạn) bằng cách gây cảm ứng một lực theo

chiều thứ ba vuông góc với cả từ trường và dòng điện. Lực này đẩy các hạt

mang điện về một phía của tấm kim loại và gây ra một điện thế, hay “hiệu

điện thế Hall”. Hiệu điện thế Hall có thể dùng để đo những tính chất tiềm ẩn

bên trong các hệ thống điện, ví dụ như nồng độ hạt mang điện và dấu điện

tích của chúng.

“Các hệ nguyên tử lạnh là một nền tảng quan trọng để nghiên cứu nền

Vật lý phức tạp vì chúng gần như không có tạp chất gây cản trở, các nguyên

tử chuyển động chậm hơn nhiều so với các electron trong chất rắn, và các hệ

cũng đơn giản hơn nhiều”, phát biểu của nhà nghiên cứu NIST Lindsay

LeBlanc. “Thủ thuật là tạo dựng những điều kiện sẽ khiến các nguyên tử hành

xử theo kiểu thích hợp”.

Việc đo hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose – Einstein xây dựng dựa trên

công trình NIST trước đây tạo ra điện trường và từ trường nhân tạo. Trước

tiên, nhóm nghiên cứu sử dụng laser buộc năng lượng của các nguyên tử với

xung lượng của chúng, đưa hai trạng thái nội vào một liên hệ gọi là sự chồng

27

chất. Việc này làm cho các nguyên tử trung hòa điện tác dụng như thể chúng

là những hạt tích điện. Với đám mây gồm khoảng 20.000 nguyên tử tập trung

thành một quả cầu loãng, sau đó các nhà nghiên cứu cho lực bắt giữ biến thiên

tuần hoàn – đẩy các nguyên tử trong đám mây lại với nhau và rồi hút chúng ra

xa – để mô phỏng chuyển động của các hạt mang điện trong một dòng xoay

chiều. Đáp lại, các nguyên tử bắt đầu chuyển động theo kiểu giống hệt về mặt

toán học với cách các hạt tích điện chịu hiệu ứng Hall sẽ chuyển động, tức là

vuông góc với cả chiều của dòng “điện” và từ trường nhân tạo.

Theo LeBlanc, việc đo hiệu ứng Hall đó mang lại một công cụ nữa dành

cho nghiên cứu cơ sở Vật lý của sự siêu chảy, một điều kiện lượng tử nhiệt độ

thấp trong đó các chất lỏng chảy mà không có ma sát, cũng như cái gọi là hiệu

ứng Hall lượng tử, trong đó tỉ số của hiệu điện thế Hall và dòng điện chạy qua

chất liệu bị lượng tử hóa, cho phép xác định các hằng số cơ bản.

28

Chƣơng 2

LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII

2.1. Gần đúng trƣờng trung bình

Ngưng tụ Bose – Einstein thu được từ một hệ các boson ở trạng thái cơ

bản tại nhiệt độ thấp. Do đó, ta có thể tìm hiểu về năng lượng của trạng thái

cơ bản và sử dụng để nghiên cứu một hệ khí bất kì. Toán tử Hamilton tổng

quát mô tả hệ được cho bởi [9],

, (2.1)

trong đó, số hạng đầu tiên bên vế phải là động năng của hạt thứ , số hạng

tiếp theo mô tả tương tác ngoài và số hạng cuối cùng mô tả tương tác giữa

các cặp hạt trong hệ. Trạng thái cơ bản tương ứng với năng lượng cực tiểu,

và do đó, ta có thể tìm năng lượng này bằng phương pháp cực trị. Chú ý

rằng, để thuận tiện ta sử dụng khái niệm thế nhiệt động, nó rất có ích trong

việc xác định trạng thái cân bằng của hệ không cô lập. Sử dụng năng lượng

tự do ta có được năng lượng cần làm cực tiểu , ở đây là năng

lượng và là thế hóa.

Cho toán tử Hamilton và hàm sóng , chúng ta thu được năng lượng

như sau

, (2.2)

ta có thể sử dụng biểu thức này để tìm cực tiểu của năng lượng tự do . Trong

ngưng tụ đang xét có hạt, do đó ta có thể liên hợp hàm sóng với mọi

hàm sóng của các hạt trong hệ. Tuy nhiên, để thu được nghiệm cần thiết của

bài toán chúng ta dùng phương pháp gần đúng trường trung bình. Điều này có

nghĩa là đối với một hạt không phân biệt trạng thái nghỉ và trạng thái độc lập

, và chúng ta có thể bỏ đi chỉ số của hàm sóng. Theo cách này, chúng ta

29

cần cực tiểu hóa năng lượng tự do trong không gian hàm sóng có dạng

, ở đây mô tả tích tenxơ và do đó là tích

tenxơ của hàm sóng của các hạt trong hệ; chúng ta đang xét bài toán trong

điều kiện chuẩn hóa . Gần đúng được thỏa mãn nếu ngưng tụ

không thực sự đặc; nói cách khác, tương tác giữa các hạt lân cận gần nhất

mạnh hơn tương tác của hạt với các hạt ở xa hơn về một bên.

Bài toán của chúng ta được quy về tìm cực tiểu của

. Ta đi tính từng số hạng trong biểu thức này. Đối

với thành phần động năng chúng ta có

, (2.3)

ở đây, như đã xác định ở trên là tích tenxơ hàm sóng của hạt và là

hàm sóng của một hạt, chúng ta đã sử dụng tính chất hàm Green để thu được

kết quả cuối cùng trong công thức (2.3). Thành phần thế năng có thể dễ dàng

viết được như sau

. (2.4)

Đối với số hạng mô tả tương tác giữa các hạt trong hệ chúng ta có

30

(2.5)

Đối với số hạng cuối cùng trong công thức của năng lượng tự do

, (2.6)

chúng ta viết biểu thức như trên để thuận tiện cho việc tính toán.

Cho các biểu như trên, chúng ta phải đi tìm cực tiểu của chúng. Nói cách

khác, chúng ta sẽ đi xét biến thiên nhỏ của hàm sóng , nhưng đáng lẽ

phải xét sự biến thiên của các thành phần thực và ảo của hàm sóng thì chúng

ta coi như và độc lập với các biến số. Theo cách này, ta có thể dễ dàng

thu được đạo hàm cho các biểu thức (2.3) và (2.4). Trong trường hợp

của công thức (2.5), chúng ta có đạo hàm hai lần của hàm sóng , nhưng

có thể đổi vị trí nên ta có biểu thức sau

. (2.7)

Tương tự, đối với thế hóa chúng ta có

. (2.8)

Thay đồng thời các biểu thức trên vào biểu thức lấy đạo hàm của năng

lượng tự do chúng ta được

31

(2.9)

và do đó, các đại lượng trong dấu ngoặc vuông của (2.9) bị triệt tiêu. Hầu hết

người ta đều chọn thế năng tương tác có dạng

,

ở đây là chiều dài tán xạ sóng , sử dụng gần đúng cuối cùng

chúng ta có

. (2.10)

Công thức (2.10) chính là phương trình Gross-Pitaevskii độc lập với thời

gian. Chiều dài tán xạ đo cường độ của tương tác giữa các boson. Như vậy,

cực tiểu hóa năng lượng tương ứng với cực tiểu hóa năng lượng tự do

, đây là biểu thức quan trọng của vật lý thống kê.

2.2. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii

Dựa vào kết quả ở trên, bây giờ chúng ta xây dựng phương trình Gross

– Pitaevskii cho ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần.

Lagrangian của hệ có dạng

*

1,2

jj

j

L it

, (2.11)

trong đó mật độ năng lượng

22 4 2 2* 2

2 12 1 21,2 2 2

jjj j j j

j j

gg

m

, (2.12)

ở đây, với thành phần thứ j, ,j r t là hàm sóng, mj là khối lượng của

hạt. Các hằng số tương tác được xác định qua công thức

32

'

'

2'

1 12 jjjj

j j

g am m

(2.13)

còn thế hóa học được xác định bởi công thức

0j jj jg n (2.14)

với 0jn là mật độ khối của thành phần thứ j.

Phương trình Gross-Pitaevskii cho các tham số trật tự

2

2 2211 1 1 1 11 1 1 12 2 1

12i U g g

t m

, (2.15)

2

2 2222 2 2 2 22 2 2 12 1 2

22i U g g

t m

. (2.16)

Giả sử sự phân tách diễn ra dọc theo trục 0z và hệ có đối xứng tịnh tiến

theo phương x và y. Ta cũng giả sử rằng ngưng tụ bên phải mặt phân cách là

“1” (z > ) và ngưng tụ bên trái mặt phân cách là “2” (z < )

/ji t

j j z e

.

Từ (2.15) và (2.16) ta có phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc

thời gian

2 2

2 211 1 1 11 1 1 12 2 12

1

02

dU g g

m dz

, (2.17)

2 2

2 222 2 2 22 2 2 12 1 22

2

0,2

dU g g

m dz

(2.18)

Nếu 1 2 0U U thì (2.17) và (2.18) trở thành

2 22 21

1 1 11 1 1 12 2 121

0,2

dg g

m dz

(2.19)

2 2

2 222 2 22 2 2 12 1 22

2

0.2

dg g

m dz

(2.20)

33

Như vậy thế tương tác trong lý thuyết Gross-Pitaevskii có dạng

2 4 2 2

12 1 21,2

2 2 4 4 2 211 221 1 2 2 1 2 12 1 2

2

= .2 2

jjj j j

j

gV g

g gg

(2.21)

34

Chƣơng 3

SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ

BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN VÀO SỐ HẠT TRONG

KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN

3.1. Gần đúng Parabol kép (Double parabola approximation - DPA)

Để hiểu về phép gần đúng parabol kép ta đi xét ngưng tụ Bose – Einstein

một thành phần. Thế tương tác trong phương trình Gross-Pitaevskii theo

(2.21) có dạng

2 4 .2

GP

gV (3.1)

Bằng cách đưa vào các đại lượng không thứ nguyên

1,z z (3.2)

2 12

1 0 11 22

, , .j

j

j

gK

n g g

(3.3)

Sử dụng chiều dài tương quan

,2

j

j jm

(3.4)

và mật độ khối toàn phần thứ j là 0 /j j jjn g

Thế tương tác (3.1) có thể viết dưới dạng

2 41.

2GPV (3.5)

Ở gần mặt phân cách tham số trật tự giảm dần từ 1 nên ta đặt

1 ,a (3.6)

với a là số thực và nhỏ.

Thay (3.6) vào (3.5) ta được

35

2 4

2 2 3 4

2 3 4

11 1

2

1 = 1 2 1 4 6 4

2

1 1 = 2 2 .

2 2

GPV a a

a a a a a a

a a a

Khai triển GPV giữ đến gần đúng bậc hai ta được

22 1 1

2 2 1 ,2 2

DPAV a (3.7)

trong đó DPAV là thế gần đúng trong parabol kép.

Ta có đồ thị của hai thế GPV và DPAV như sau

Hình 3.1. Đồ thị của thế GPV và thế DPAV

Đường màu xanh là đồ thị của thế GPV , đường màu đỏ là đồ thị của

thế DPAV . Ta thấy GPV có hai cực tiểu như hình vẽ và khi thay vào phương

trình Gross-Pitaevskii thì ta không giải trực tiếp được phương trình. Do đó

ta thay bằng thế DPAV là hai parabol ghép với nhau và được gọi là parabol

kép. Khi thay thế DPAV vào phương trình Gross-Pitaevskii ta có thể giải

được phương trình.

36

3.2. Trạng thái cơ bản trong gần đúng Parabol kép

Trạng thái cơ bản của hệ BECs được mô tả bởi hệ phương trình GP [11]

thông qua (2.19) và (2.20)

Ta có

1

1d d dz d

dz dz dz dz ,

22 2 2

2 2 2 221

1d d d

dz dz dz

,

=> 2 2 2 2

11 102 2 2

1 1 1

1

2 2

d dn

m mdz dz

. (3.8)

Thay 1

1 12m

vào (3.8) ta được

2 2 2 2

1 1 11 102 2 2

1 1

2

2 2

d m dn

m mdz dz

2

1 1 102

dn

dz

2

11 10 10 12

dg n n

dz

ta có

1 1 11 10 10 1g n n ,

2 2 2

11 1 1 11 10 1 10 1 11 10 10 1 1g g n n g n n ,

2 2

12 2 1 12 20 0 2 1g g n n ,

thay chúng vào (2.17) ta được

2

3 211 1 2 12

0d

Kdz

. (3.9)

37

Tương tự như trên ta có

22 2 2 2

22 202 2

2 2 22 2

d dn

m mdz dz

, (3.10)

với 2

2 22m

thay vào (3.10) ta được

2 2 2 2 2

22 2 2 202 2 2

2 2

22 2

d dm n

m mdz dz

22

2 20 22

dn

dz

22

22 20 20 22

dg n n

dz

Ta có

2 2 22 20 20 2g n n ,

2 2

22 2 2 22 20 20 2 2g g n n ,

2 2

12 1 2 12 10 20 1 2g g n n ,

thay vào (2.18) ta được

2

2 3 222 2 1 22

0d

Kdz

(3.11)

Chú ý rằng ở đây chúng ta khảo sát hệ trong trạng thái cân bằng pha, tức

là 1 2P P , với 20 / 2.j jj jP g n

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng DPA để tìm trạng thái cơ bản của hệ [9].

Giả sử rằng mặt phân cách của hệ nằm tại vị trí z , khi đó ta có thể khai

triển các tham số trật tự j quanh giá trị được chuẩn hóa theo mật độ khối

0jn .

38

Xét tại miền z >

1 21 ,a b , (3.12)

chú ý chỉ giữ lại bậc một của a và b ta được hệ phương trình

2

2 2

'' 0

'' 0

a a

b b

,

thay vào (3.12) ta được:

21 1'' ( 1) 0 ,

2 22 2'' 0 ,

với điều kiện biên

1 2 2

1

0 0 0,

1.

, (3.13)

ta thu được nghiệm của phương trình

1 1

2 1

1 exp( ),

exp .

z

z

(3.14)

Xét tại miền z < , ta khai triển ngược lại

1 2, 1a b (3.15)

thay (3.15) vào (2.9) và (2.11) và chú ý chỉ giữ lại bậc một của a và b ta được

hệ phương trình

2'' 0,a a

2 2'' 0,b b

thay vào (3.15) ta được

21 1'' 0 ,

2 22 2'' ( 1) 0

39

với điều kiện biên

1 2 2

1

0 0 0,

1.

ta thu được nghiệm của phương trình

2

1 2

2

2

2 sinh ,

e e 1 e 1,

z z z

z

(3.16)

với 2; 1K , là vị trí biên.

Trong DPA, các tác giả [9] đã chứng minh được rằng các tham số trật tự

và đạo hàm bậc nhất của chúng phải liên tục tại mặt phân cách

1( ) ( )j

j id d

dz dz

(3.17)

Từ (3.14), (3.16) và (3.17) ta được các hệ số A1, A2, B1, B2 như sau

1

e,

tanh

2 ,2 cosh 2 sinh

2

1 2

e 1 e

,

e

2 2

e

e

.

40

3.3. Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngƣng tụ Bose - Einstein

hai thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn

Thế hóa học j của hệ được xác định qua số hạt jN như sau

2 .j jN dr (3.18)

Bây giờ chúng ta sẽ đi tính số hạt tương ứng với thành phần hai. Công

thức (3.18) lúc này có dạng

22 1 2 ,N dr (3.19)

hay:

2 2 220 1 2 1 2 2

0 0

,N dz dz dz

(3.20)

trong đó 20N là số hạt của thành phần hai trên mỗi đơn vị độ dài theo trục Oz.

Thay (3.14), (3.16) vào (3.20) ta được

120 2

2,

2

M N QN

e

(3.21)

ở đây

4

3

3 2 2 2 2

1

2 4 2 3 10 6 ,

e

M

(3.22)

3

4 4 3 4 4 3 ,N e e

(3.23)

2 4

22 2 2 24 2 3 3 2 3 10 6 .Q e e

(3.24)

Sử dụng (3.21) chúng ta có thể khảo sát sự phụ thuộc của vị trí mặt phân

41

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0

2

4

6

8

10

12

14

1 K

cách vào các thông số của hệ như số hạt 20N , hằng số tương tác K và tỉ lệ các

độ dài đặc trưng .

Hình 3.2. Sự phụ thuộc của vào 1/K với 20 110N và 1 (nét liền), 0.6

(nét gạch) và 0.2 (nét chấm)

Kết quả này hoàn toàn phù hợp với quy luật vật lý.

Trong miền K > 1, do số hạt của thành phần hai được giữ cố định nên khi ta

giữ cố định tức là không thay đổi hằng số tương tác giữa các hạt trong cùng

một thành phần, thay đổi K tức là thay đổi hằng số tương tác giữa hai thành

phần với nhau khi tương tác này càng mạnh (1/K càng nhỏ) thì miền không

gian do thành phần hai chiếm càng lớn, tức là tăng lên.

Khi 1K , hai thành phần tương tác rất yếu và chúng xuyên vào nhau làm

cho giảm nhanh.

Tại K = 1 hai thành phần trộn lẫn vào nhau và lúc này không còn tồn tại

mặt phân cách

42

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

20

25

30

N20 1

Hình 3.3. Sự phụ thuộc của vào tại K = 3 và 20 110N (nét liền), 115

(nét gạch), 120 (nét chấm).

Trên hình 3.3 là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vị trí mặt phân cách

vào tại K = 3 và một số giá trị cố định của 20N . Rõ ràng sự phụ thuộc này

là rất yếu. Khi cố định K và thay đổi đồng nghĩa với việc ta chỉ thay đổi

jjg nên rõ ràng mức độ ảnh hưởng lên vị trí mặt phân cách là rất yếu.

Hình 3.4. Sự phụ thuộc của vào 20N tại K = 3 và 1 (nét liền), 0.6 (nét

43

gạch), 0.2 (nét chấm).

Hình 3.4 là sự phụ thuộc của vị trí mặt phân cách vào số hạt của thành

phần hai khi các đại lượng K và cố định. Theo kết quả này sự phụ thuộc là

rất mạnh. Khi số hạt của thành phần thứ hai tăng lên thì tăng rất nhanh.

Tổng hợp các kết quả trên ta thấy vị trí của mặt phân cách phụ thuộc

mạnh nhất vào số hạt của thành phần hai.

Dựa vào các kết quả thu được, hình 3.5, 3.6 và 3.7 chúng tôi vẽ đồ thị

của tham số trật tự theo tọa độ z ứng với một số bộ tham số.

Hình 3.5. Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose – Einstein

hai thành phần vào số hạt ở trạng thái cơ bản ứng với K = 3, = 1

0 5 10 15 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z

44

Hình 3.6. Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose – Einstein

hai thành phần vào số hạt ở trạng thái cơ bản ứng với K = 3, = 3

Hình 3.7. Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose – Einstein

hai thành phần vào số hạt ở trạng thái cơ bản ứng với K = 3, = 0.5

0 5 10 15 20 25

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z

0 5 10 15 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z

45

KẾT LUẬN

Luận văn “Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngƣng tụ Bose

- Einstein hai thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn” đã

làm được các kết quả sau

- Tổng quan về ngưng tụ Bose – Einstein: xây dựng thống kê Bose –

Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đưa ra ngưng tụ Bose – Einstein đối với

khí bose lý tưởng.

- Hệ thống lý thuyết Gross – Pitaevskii.

- Tìm được trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần

trong gần đúng parabol kép.

- Khảo sát được sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ

Bose – Einstein hai thành phần vào các tham số của hệ trong không gian nửa

vô hạn.

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Trần Thái Hoa (1993), Bài giảng cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội 2.

[2] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[3] www.wikipedia.org.

Tiếng Anh

[4] A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory of Many – particles

Systems (McGraw – Hill, Boston, 1971).

[5] B. V. Schaeybroeck, Phys. Rev. A 78, 023624 (2008).

[6] B. Van Schaeybroeck and J. O. Indekeu, Phys. Rev. A 91, 013626

(2015).

[7] C. J. Pethick, H. Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute

gases, Cambridge University Press, New York.

[8] I. E. Mazets, Phys. Rev. A 65, 033618 (2002).

[9] J. O. Indekeu, C. Y. Lin, N. V. Thu, B. V. Schaeybroeck, T. H. Phat

(2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate

mixtures, Phys. Rev. A 91, 033615.

[10] L. Pitaevskii, S. Stringari (2003), Bose – Einstein condensation,

Clarendon Press. Oxford, New York.

[11] P. Ao and S. T. Chiu, Phys. Rev. A 58, 4836 (1998).

[12] R. A. Barankov, Phys. Rev. A 66, 013612 (2002).

47

48

49