SUCESIONES

Sucesión es un conjunto de cosas que cumplen un orden. Por ejemplo:

El orden para los autos está establecido por los colores: uno negro, uno rojo.

En una sucesión el mismo valor puede aparecer varias veces.

Esta sucesión alterna el cero y el uno.

En orden: cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás, ascendente, descendente, alternado... ¡o el que quieras!

SUCESIONES

Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números. Por ejemplo:

El conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}El conjunto de los números pares: {2, 4, 6, 8, 10…}El conjunto de los números impares: {1, 3, 5, 7, 9, …}El conjunto de los múltiplos de un número cualquiera. Etc.

¿Qué es una sucesión numérica?

A cada uno de los números que forman una sucesión se les llama “término”,

“elemento” o “miembro”.

Ejemplos{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita){20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión finita){4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás (es finita){1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético (es finita){a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre “Alfredo“ (es finita){0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna ceros y unos (siguen un orden, en este caso, un orden alternativo, y es infinita)

Finita o infinita: Si la sucesión sigue indefinidamente, es una sucesión infinita. Si no es una sucesión finita

Todas las sucesiones tienen una regla que nos indica cómo calcular el valor de cada término. Por ejemplo:

La sucesión {3, 5, 8, 10, 13...} empieza por 3, salta primero 2 y luego 3. Esta sucesión mantiene un patrón

alternado +2 , +3, es decir, no tiene una constante.

3 5 8 10 13

+2

+3

+3

+2

+3

La sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez. Mantiene un patrón alternado +2.

¡Pero la regla debería ser una fórmula! Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el: 10º término, 100º término, o n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

La regla

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 números cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 x n". Vamos a verlo:

n (posici

ón)

Término

Prueba

1 32n = 2×1

= 2

2 52n = 2×2

= 4

3 72n = 2×3

= 6

Probamos la regla: 2n

n (posici

ón)

Término

Regla

1 32n +1 = 2×1

+ 1 = 3

2 52n +1 = 2×2

+ 1 = 5

3 72n +1 = 2×3

+ 1 = 7

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menor de lo que debería dar, así que vamos a modificar un poco la regla.

Probamos la regla: 2n+1

¡Funciona!Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como:

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

 Posición del

término- xn es el término a

encontrar- n es la posición de

ese término

 

Así que para hablar del "quinto término" sólo tenemos que

escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

xn = 2n+1Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

Notación

Calcular diferenciasA veces ayuda encontrar diferencias entre los términos. Generalmente nos muestra una pauta escondida. Aquí tienes un ejemplo sencillo:

Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta. Probamos 2n: n 1 2 3 4 5

Términos (xn)

7 9 11 13 15

2n 2 4 6 8 10

Error 5 5 5 5 5La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos:

Regla: xn = 2n + 5

œSucesiones aritméticas: es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante que la llamamos diferencia. Ejemplos:

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez. El término general o diferencia es 3.

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos números consecutivos. El patrón se sigue sumando 5 al último número cada vez. El término general o diferencia es 5.

Término general

1 4 7 10 13 16 …

+3 +3 +3 +3 +3 +3

Una sucesión o progresión aritmética se construye sumando un valor fijo cada vez.

Término general

3 8 13 18 23 28 …

+5 +5 +5 +5 +5

TIPOS DE SUCESIONES

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos números consecutivos.El patrón se sigue multiplicando el último número por 3 cada vez.

Es una sucesión de números, tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón.

La regla es: xn = 3n

Sucesiones geométricas

Una sucesión o progresión geométrica se construye multiplicando un valor fijo cada vez.

Término general

3 9 27 81 243 …

x3 x3 x3 x3 x3

SUCESIONES ESPECIALES

La sucesión es: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...Se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla:

Ejemplo: El quinto número triangular es = 15, y el sexto es = 21

NUMEROS TRIANGULARES

La sucesión es: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...Para hallar un número cuadrado elevamos su posición (número de término) al cuadrado. El que está en la posición 2 es: 22 ó 2×2 = 4 El que está en la posición 7 es: 72 ó 7×7 = 49, etc.

La regla es: xn = n2

La sucesión es: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...Para hallar un número cúbico elevamos su posición (número de término) al cubo. El que está en la posición 2 es: 23 ó 2×2x2 = 8 El que está en la posición 7 es: 73 ó 7×7x7 = 343, etc. La regla es: xn = n3

NUMEROS CUADRADOS

NUMEROS CÚBICOS

La sucesión es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. Es infinita. El número 2 (el 3er término) lo encontramos porque sumamos los dos números anteriores (1+1) El 21 (el 8vo término) lo encontramos porque sumamos los dos números anteriores a él (8+13) La regla es: xn = xn-1 + xn-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

NUMEROS DE FIBONACCI

donde: xn es el término en posición "n" xn-1 es el término anterior (n-1) xn-2 es el anterior a ese (n-2)

• Leonardo de Pisa (Fibonacci) nació en Pisa en 1.170 y vivió hasta 1.250.

• Su padre era representante de una Casa comercial italiana en el norte de Argelia (África).

• Este hecho hizo que Fibonacci tuviera contacto con maestro árabes que le enseñaron Aritmética y el Sistema de Numeración hindo-arábico.

• Consiguió introducir este Sistema de Numeración en todo Europa y escribió muchos libros sobre este tema.

UN POCO DE HISTORIA

Fibonacci, sin pretenderlo,

había hallado la llave del

crecimiento en la Naturaleza….

Los pétalos de las flores son números de la sucesión de Fibonacci.

PÉTALOS DE LAS FLORES

Si tomamos una Piña y contamos las hileras

espirales de escamas, descubriremos 8

espirales enrollándose hacia la izquierda y 13

espirales que se enrollan hacia la

derecha, o bien 13 hacia la izquierda y 21

hacia la derecha, u otras parejas de

números. Lo más impactante es que estas parejas de números siempre son números consecutivos de la famosa sucesión

de Fibonacci.

PIÑA DE PINO

El número de espirales que forman las semillas de girasol

son números de la sucesión

de Fibonacci.

Flor del girasol: 55 espirales en un sentido y 89 en el

otro, o bien 89 y 144 respectivamente.

SEMILLAS DE GIRASOL

El largo de tus falanges también respeta la

sucesión de Fibonacci.

HUESOS DE LOS DEDOS

“Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil. A partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles, engendrarán cada mes una pareja de conejos.

¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?.”

REPRODUCCIÓN DE CONEJOS

Estos números aparecen en la construcción de las espirales del crecimiento de conchas de moluscos, cuernos de rumiantes,...

ESPIRALES

El interés por estas sucesiones ha sido avivado por desarrollos recientes en programación de

ordenadores, ya que al parecer tienen aplicación en

clasificación de datos, recuperación de informaciones,

generación de números aleatorios, e incluso, en

métodos rápidos de cálculo aproximado de valores máximos

o mínimos de funciones.

EN LA ACTUALIDAD…