SuIle variet~ abeliane.SuIle variet~ abeliane. Memoria di LEONARD ROTH (Pittsburgh~ U. S. i.) Alla memovia di Guido Castelnuovo, nel primo eentenario della nascita. 8unto. - Vedi la

SuIle variet~ abeliane.

Memoria di LEONARD ROTH (Pittsburgh~ U. S. i . )

Alla memovia di Guido Castelnuovo, nel primo eentenario della nascita.

8unto. - Vedi la seguente I n t r o d u z i o n e .

Introduzione.

Lo studio sistematieo delle varieth abel iane si inizia nel 1907 con le eelebri Memorie [2], [9, 10], r ispet t ivamente di BAal~ERA-DE FRANCHISe di EI~RIQUES-SEYERI, sulle superf ieie iperel l i t t iche; esse erano in parte basate su r icerche antecedenti di :PICARD e HUMBERT. L' in t roduzione della eosidetta variet~t di PICARD, e lo sfrut tamento di quest 'u l t ima da par te di CASTELI~UOVO [3], hanno poi aperto la via allo studio generale. ~ curiosa la circostanza che in tutti i lavori gi~ nominati r imanevano delle lacune, a lcune delle quali si son rivelate solamente dopo 30 anni di rieerca.

I passi decisivi verso un assestamento definitivo della teoria possono venir r iassunti come segue (1):

(i) Anzitutto vi ~ luogo a considerere le forme di#erenziali di pr ima specie, a t taeeate ad una data varieth algebrica: il loro legame fondamenta le con la geometr ia algebrica, t ramite il teorema di HODG]~, ~ stato sottolineato da KAHLEn (I932).

(ii) A KAHLER pure b dovuto il concerto di forma tensoriale, the forni. see una definizione di carat tere t raseendente dei plur igener i d ' u n a variet~ algebrica.

(iii) Con questo s t rumento si perviene quasi subito ad una dimostrazione del ~(teorema principale >> (n. 9) su cui si basa la classificazione delle varieth abel iane a pl~urigeneri non tutti null i : di tale fatto D~ FRANCHIS si ~ aceorto nel 1936~ eosi colmando una l a c u n a - espl ic i tamente r i c o n o s c i u t a - nella dimostrazione offerta da lui e il sno col laboratore nella loro Memoria. (La relat iva dimostrazione di ENRIQUES-SEVERI, che ~ di carat tere geometrico, r imane sempre incompleta).

(iv) 3Tello stesso anno 1932 viene annuncia to da S:~VE:aI il concerto di serie canonica d'una superficie algebrica. Duran te i seguenti 20 anni questo

(l) Per le relative eitazioni rimandiamo il lettore alla Monografia [16].

240 L. RoTH: Sulle variet~ aSe l~ane

conoetto viene esteso e rielaborato~ a pifi riprese, ia una serie imponente di ricerche dovute a B. SE~RE~ J. A. TODD, ~i. ]~ER ed altri, sia dal punto di vista, algebrieo sia da quello traseendente-topologico.

(v) Nel 1947 il SEVERI, modifieando lievemente la definizione di variet~ di PIC~nD, presenta la nozione di variet~ quasi abeliana (ehe sarebbe meglio ehiamare quasi pieardiana). Lo studio [21] di tale varieti~, noneh~ delle funzioni quasi abeliane ad essa aderenti, ~ stato ripreso da altri, notevolmeute da F. Col~Fo~o e M. BENEDICTY [14].

(vi) L'ult imo risultato essenziale allo sviluppo della teoria ~ di recente acquisizione. I pionieri sopranominati o credevano di poter operare con superficie abeliane dotard di singolarita qualunque oppure ritenevano possibile lo seioglimento di tall singolariii~ mediante trasformazioni birazionali opportuna- mente scelte. 1Via la prima dimostrazione eompleta dello scioglimento apparisce solamente nel 1934, mentre una dimostrazione algebrica (di ZARISKI) non si trova prima del 1939. E per quanto riguarda le variet~t di dimensione qualsiasi, la questione ~ rimasta aperta finD a qualche anno fa, quando ~ stata risolta da HIRONAK•. I1 SUO teorema generale ha finalmente reso possibile l'applicazione della teoria delle corrispondenze algebriehe e degli invarianti birazi0nali alle varieti~ abeliane, senza rieorrere ad alcuna ipotesi di lavoro.

Scopo della presente Memoria, che ~ di earattere prevalentemente geometrico, i~ di raecogliere i metodi e risultati della teoria delle varieta abeliane, alcuni dei quali compaiono qui per la prima volta. Come si vedri~, in questa teoria il posto eentrale ~ occupato dalle varieta pseudo-abeliane: difatti appa- riri~ che non sol0 le varieth abeliane superfieialmente irregolari, ma anehe quelle quasi abeliane di SEVElCI, formano delle semplici sottoelassi delle varieta pseudo-abeliane generali. Cosl siamo in grado di dare un quadro abbastanza eompleto sia delle varieta abeliane propriamente dette sia delle varieta quasi abeliane. Inoltre deseriviamo i tipi principali di tall varieta; stabiliamo varie delle lord proprieta, con speciale riguardo alla teoria degli invarianti; e espo- niamo i relativi metodi di elassificazione.

Per quanto eoncerne il lato funzionale della teoria, che qui non ei tocca che ineidentalmente, rimandiamo al trattato [6] di CONFORTO ed atla rassegna recente [14] di RosA~I. Per una trattazione di indole geometrica it lettore potrh~ eonsultare la l~[onografia [16]; un 'a l t ra esposizioue, di natura topologiea, si trovera net lavori [12, 13] di L]~FSCltE~Z.

Come abbiamo aecennato sopra, i metodi di classificazione delle varieth abeliane di~nno dei risultati compteti soltanto nel easo delle varieth aventi qualche pturigenere positivo (e quindi uguale ad uno). Ma tail metodi non si prestano affatto alle varieth quasi abeliane in genere, per le quali il problema analogo rimane tuttora aperto. L ' int ima ragione di questo eontrasto risiede nel fatto ehe gli automorfismi d 'una varieta di PICARD sono sempre enume-

rabili e ben definiti, mentre quelli di uno spazio lineare di dimensione maggiore di uno non lo sono,

Ij I. - Varietk abeliane e pseudo-abeliane.

1. Funaioni e varieth abeIiane. - I n questo capitolo diamo uno sguardo rapido alla teoria generale, limitatamente a i risultati gi8 noti, di eui avremo bisogno nel seguito.

I n tutta l'indagine B fondamentale il concetto di coqo di funzioni abeliane di u n dato genere p, associato ad una matrice w di RIEMANN [6]; lo studio geometrico di quelle matrici B stato argomento di un laxoro importante di SCOREA 1181. Una funeione abeliana di genere p - diciamola f(u,, a,, ... , up) - dipende effettivamente dalle p variabili complesse uc, B meromorfa ovunque a1 finito, e possiede 2p periodi simultanei definiti da w. Ilenoteremo con U& la regione fondamentale, o prisma (a 2p dimensioni reali) dei periodi primitivi.

Osserviamo qui che ogni matrice di RIEMANN pub venir ridotta alla for. ma normale

zi/Tjl . . . 0 all . . : 0 ni/6, . . . 0 a,, . . . azp

(1) . . , . . . . . . . . . . . . 0 . . . ni/Tj, apl . . .

ove a,., = a,,., e i caratteri 8,, Z z , ..., 8,, detti i divisori di w, sono interi positivi tali che ciascuno divide il successore.

Chiameremo varieta abeliana ogni varieth W, irriducibile p-dimensionale che ammetta una rappresentazione parametrica mediante funeioni abeliane appartenenti a w : il ,rungo r di W, B il numero dei punti di U,, corrispondenti a1 punto generic0 di W'. I n particolare Wp chiamasi varieth di Picurd se, e soltanto se, r = 1. Possiarno dimostrare ohe ogni W, 6 algebrica.

E di grande importanna il teorema: 4 sefnpre possibile costruire un wodello proiettivo now singolare di una data varieta d i Picard talehehe i suoi punti siano i n corrispondenzu biunovica, senza ecceaioni, coi pztnti di U,, . La prima dimostra~ione rigorosa di questo risultato devesi a SIEG-EL 161.

2. Varieta di Picard. - D'ora innanzi denoteremo il modello suddetto con V, e adopereremo il simbolo VQ analogamente. Osserviamo dapprima che

1 nella (1) compaiono -p(p + 1) costanti a,, che possono variare con continuith;

2 esse chiamansi moduli di V'. I n seeondo luogo notiamo ehe le variabili ui costituiscono delle coordinate universali su V , ; allora si vede subito che V,

242 L. RO~H: Sulle varget4 abe liane

ammette sempre due tipi di automorfismi (cio~ trasformazioni birazionali in s~), rappresentat i r ispet t ivamente dalle equazioni (mod. co)

(2)' u' ---- u, 4- c~ (i -- 1, 2, ..., p)

(2)" u'~ -- - - u~ -~ c~ (i -" 1, 2, ..., p),

ove le c~ sono costanti arbitrarie. Evidentemente l ' ins ieme delle trasformazioni (2)', dette di pr ima specie, forma un gruppo continuo commutativo Gp che r isulta completamente e semplicemente transit ivo su V~. Invece ogni trasformazione (2)", detta di seconda specie, ¢~ involutoria. E si pub dimostrare c h e l a V~ a moduli general i non ammette altri automorfismi che questi (detti ordinari). Gli altri automorfismi, se tali esistono, chiamansi singolari. Possiamo dimos- t rare inoltre che il fatto di possedere un gruppo Gp caratterizza V~.

In generale G~o non ammet te nesssun sottogruppo invar iante; se eccezio- na lmente esso contiene un tale sottogruppo Gq(1 ~ q ~ p - 1)~ le sue traiet torie costituiscono una congruenza (sistema d' indiee uno), senza punti base di variet~ di PICARD, tutte birazionali equivalent i t ra loro; e la congruenza stessa r isul ta picardiana, cioi~ la variet/~ immagine dei suoi elementi b una V~_q.

Questa propriet/~ b equivalente alla seguente: se Vp contiene una Vq(1 q ~ p - - 1), aliora essa contiene una congruenza { Vq } del tipo gi~ descrit to;

per di pifi, V~o deve contenere una congruenza complementare I V~-ql p ica r . diana e senza punti base, e costi tuita d a varieti~ di PICAI~D che sono tutte birazionalmente equivalenti tra loro. Questa proposizione, che risale a POI~CAR~, ha rieevuto una semplice dimostrazione geometr ica da parte di ScO~ZA [I9].

Una V~ dotata di questa proprieti~ verrh chiamata speciale di tipo q (oppure p-q) ; essa ~ caso part ieolare delle varieti~ pseudo-abel iane del n. 3.

Un caso ancora pifi part icolare ~ quello in cui le due congruenze I Vq} e { Vp_q } risultano unisecant i ; allora V~ pub venir rappresenta ta quale prodotto Vq X V~_q di due varieth di PICARD. Possiamo dire che V~ ~ impropriamente abeliana, in quanto le coordinate del suo punto generico sono esprimibili in funzioni razionali di funzioni abeliane (di rango 1) di genere q, e di altre funzioni abeliane (di rango 1) di genere p - - q .

Possono verificarsi ul ter ior i specializzazioni di V:~: nel caso estremo V~ pub essere birazionalmente equivalente al prodotto d i p curve ell i t t iche: anzi, dal punto di vista topologico, ogni Vp ~ equivalente ad un tal prodotto. Segue quindi che ogni proprieth topotogica della l~ viene pi/t faci lmente stabilita t ramite questa forma ~semplificata: in particolare, la teoria delle variet/~ canoniche (n. 6), le quali sono notor iamente invarianti topologici [20].

3. Variet~ pseudo-abeliane. - Con una semplice generalizzazione delle V~ speeiali di tipo q ei siamo condotti al concerto di varietd pseudo-abel iana di

L. Ro+~: Sulle v ariet4 abe l~a~e 243

tipo q: essa b earatterizzata dal fatto di possedere un gruppo ~q continue di automorfismi le cui traiettorie formano una congruenza, senza punt i base, di variet~ Vq di PICARD. Pe r una discussione det tagliata di queste varieti~ rimandiamo a [16] ed ai lavori ivi eitati. Ai nostri scopi attuali bas ta r icordare i fatti seguenti.

(i) Una varieti~ pseudo-abe l i ana ~l;Vp di tipo q(1 ~ q ~ p - 1) contiene, aceanto alla congruenza { Vq} delle sue traiettorie, una seconda congruenza (W~_q} di varieth i eni elementi sono t rasformate birazionali l 'una delFal tra mediante il gruppo ~q inerente a ~;I~. Questa seconda congruenza ~ pieardiana, e sega ogni Vq secondo gruppi d 'una involuzione Id, ore d--[VqWp_q], ehe (~ priva di coineidenze (cfr. n. 12).

(ii) I1 numero d, ehe ehiamasi delerminanle di W~, ~ un carat tere ira. portante della varietY. Nel caso d - - 1 , le congruenze ( Vq }, I W~_q } sono birazionalmente equivalent i a W~_q e a Vq r ispet t ivamente, e quindi Wp pub rappresentars i sul prodotto Vq N( W~_q. Nel caso d ~ 1, cost ruiamo dappr ima la varieth W; -- V; X Vff_q, eve V~* e Vff_q sono bira~ionalmente equivalenti , senza eeeezioni, a { Vp_q } e t Vq} r i spet t ivamente ; sieeh~ ~ b una varietk pseudo-abe l iana di determinante uno. 0 r a faeciamo eorr ispondere al punto

generieo di W~ il gruppo d i d punti (VqV~_q), in tal modo Wr viene rappre- sentata sulla varieti~ d -p l a ~V~.

(iii) 0sserv iamo in fine ehe la eongruenza t Vq } sega ogni V~_q seeondo gruppi d 'una involuzione Ja ehe ~ generabi le con un gruppo ~a, d i ordine d, di automorf ismi di V~_q, il quale ~ cielieo o commutfftivo (abeliano) a base

2q. Infat t i il gruppo ~a consta di quelle trasformazioni di S o ehe lascino invariante ogni V~_q; la seconda asserzione segue dalla rappresentazione aria. l i t ica d 'una varieth di P:[CARD sopra un~altra [16]. 5Te discende ehe le V~_q non possono essere varieth scelte ad arbitrio, in quanto ammettono sempre un gruppo ~a di automorfismi.

4. Varietk quasi pieardiane. - Abbiamo osservato che ogni V~ di t)ICAI~D caratterizzata dal fatto di ammet tere un gruppo G~, continuo e commutativo,

di automorfismi, che riesce completamente transitivo su V~. Consideriamo ora una variet~ ~)~ (non singolare) dotata di un gruppo G~ il quale, in contrasto con Gp, r isult i generalmente transitivo su e))~ : il che impliea che esista qualehe sottovarieti~ invar iante su o'~p. Quest 'ult ima, ehe possiamo denominare quasi picctrdiana, ~ stata s tudiata da SEVE~I [21], ehe ha stabilito il seguente teorema generale in meri to:

Ogni variet~ 6))~ di irregolarit& superficiale q(O ~ q ~ p -- 1) ~ birazional. mente equivalente al prodotto d'una variet~ Vq di Picard ed uno spazio lineare S~_q.

244 L. RO~H: Sulle variet~ abe l~ane

In partieolare, dunque, se ~'))~ ~ superf ic ialmente regolare, essa dev'essere birazionale.

La rappresentazione parametr ica di ~):~, per q > 0, si effet tua con funzioni ehe, per ragioni ovvie, ehiamansi quasi abetiane. Lo studio di tall funzioni si inizia con PA:E~LEV]~ (1903); il punto di partenza della sua indagine, suggeri- ta da WEIERSTRASS, ~ di determinare tut te le funzioni meromorfe di pifi variabili complesse che ammet tano un teorema algebrico di addizione. La con- elusione raggiunta ~ che tali funzioni sono tutte e sole le funzioni abeliane e le forme assunte da quelle in corrispondenza alle varie degenerazioni del pr isma dei periodi. Lo studio parallelo delle matrici di R I E ~ A ~ , che defini- seono i corpi di funzioni quasi abeliane, devesi a Co~Fon~o [4, 5].

§ II. - P r o p r i e t k g e n e r a l i d e l l e v a r i e t h a b e l i a n e .

5. Sugl i invarianti di una varieth abeliaua. - P r ima di passare allo stu. dio delle variet~t abel iane di tango r > 1, conviene r iehiamare alcune nozioni di geometr ia birazionale, non tutte delle quali si trovano ancora esposte nei trattati (~).

Sia Wp una variet~ algebriea non singolare (e cio~ irr idueibi le e priva di punti multipli) immersa in qualche spazio l ineare SR(R ~ p). Per essa r isulta ben definito il suo sistema canonieo }X~_~ I di dimensione massima. Il numero P g - - d i m [ X ~ _ l [ - - 1 , che ~ il genere geometrico di W~, ~ un invariante assoluto, almeno per quelle trasformazioni birazionali che portano W~ in un' altra varieth non singolare. Nel caso in cui il s istema I X~_I I risulti virtuale, ponia- mo P a - 0. ~ a allora pub darsi che qualche sistema i -eanonico ]iX~_~ ] (con i intero ~ 1), r iesca effettivo, avente dimensione P ~ - - 1 : il carat tere P~ chiamasi i -genere (o plur igenere di indiee i) di ~Vp.

Proie t tando ~Vp gener icamente su uno spazio S~+~, otteniamo una forma F~ dotata di singolarit~ ordinarie, e rappresenta ta da una equazione

~3) f (x l , x2, ..., x~+l) = O.

Qualora si voglia caleolare gli invarianti di W~ ~ preferibile sosti tuire W~ con F~, donde il passaggio a W~ 5 immediato e per cui la teoria si svi luppa ugualmente bene. Ad esempio, il genere Pg non ~ altro che il numero delle forme differenziali di prima specie (e cio~ ovunque olomorfe su W~ o su F~), di grado p, l inearmente indipendenti ira loro. Una tale forma assume l 'espres- sione Adxldx~ ... dx~, ore A denota una funzione razionale di wl, x2, ..., x~+l,

(~) A proposito di quest% il lettore potrh utilmente consultare il volume [22] di SEVERI.

L. RoTH: Sulle varict~ abeliane 245

oppor tunamente scelta. E si vede faci lmente che dev 'esse re

~f A = P(x~, x~, . . . , x~+l)/~x~+~,

ove P denota un polinomio di grado n - - p - - 2 (essendo n il grado di f) tale che l 'equazione P - - 0 rappresenta una forma agg iu~ ta a F~, e cio~ una variet/~ passante semplicemente per l ' ipersuperf ic ie doppia di Fv, doppiamente per la sua varieth tripla, e cosi via. Tanto basta per accer tare che le due definizioni, r i spet t ivamente classica e trascendente~ sono equivalenti .

0 r a KAItLER [11] ha osservato che il p lur igenere P~ pub venir definito mediante una semplice estensione del metodo t raseendente gih, adoperato. Preci- samente, P~ non b altro che il numero delle forme di pr ima specie

(4) l~(x~, x~, .., x~) I @ = A ( x l , x~, ..., x~+~) ~(u~, ~2, -.-.: uv) '

l inearmente indipendenti tra loro, essendo ul, u~, ..., uv coordinate locali su Fp. Difatti, la funzione A c h e compare nella (4) dev 'essere della forma

P (x l , x 2 , . . . , x~+l)/( 3~cf)~,

eve P - - 0 rappresenta una forma di ordine i(n - - p - - 2), i -aggiunta a F v. La precedente definizione di Pg, t ramite le [orme differenziali di prima

specie at taecate a W~ oppare a / ~ , si lascia generalizzare in una seconda direzione. Consideriamo ora le forme differenziali di prima specie e di grado k(1 ~ k ~ p - - 1). I1 numero gk di tal i forme, l inearmente indipendenti tra loro, @ un invariante assoluto della varieth. Di questi caratteri , il pifi importante e gl , the chiamasi irregolari t~ superficiale di W v . Si dice che W~ ~ superfi- c ia lmente regolare se, e soltanto se, g l - - 0 . W~ chiamasi totalmente regolare se, e soltanto se, essa @ priva di forme differenziali di pr ima specie per ogni valore di k ~ p - - 1 [22].

Un altro invariante importante di W~ ~ il genere arilmetico Pa; esso viene dato dalla formula di SEVERI-KODAIRA [22],

(5) Pa - - gp - - g~- i -4= ... -4- ( - - 1)V-lgl,

dalla quale segue che Pa ~ un invariante assoluto della varieth.

6. S u i s i s t e m i c a n o n i c i . - I1 s is tema canonico 1X~-I I fa parte di un insieme d i p sistemi che sono invariant i in senso stretto, e cioi~ per trasformazioni regolari di l, Vv, i.e. quelle che non introducano elementi eccezionali. ) Ia mentre ] X p - l [ ~ un sistema lineare, i r imanent i sistemi sono di equivalenza

246 L. R o ~ : S~lle var ict~ abeliane

razionale. Delle varie definizioni possibili di tali sistemi, detti canonici anch'essi, due sono specialmente importanti ai nostri scopi.

I. - La pr ima definizione, che ~ puramente geometrica, devesi a B. SEGRE [20]. Sia IS[ un sistema l ineare di ipersuperficie su W~ di tipo generale : vale a dire che t SI b variabile in un sistema l ineare ~ almeno, il cui elemento generico sia non singolare, e che ogni suo sottosistema c~a(1 ~ h ~ p ) ammet- to una variet~ jacobiana Jh_~(S), luogo di punti doppi, la quale sia pura c (h ~ 1)-dimensionale. Allora, fissato un qualunque intero s ~ p - - h , e scelti ad arbitrio s sistemi lineari generali I S~ I, t $2 I, .... 1S~ I, r isulta t h e la varietk

(6) Xh(W~) -- ~ Jh(S~) - - E Ja(S~ + S i) + ... (h ~ O, 1, 2 ...),

ore le somme vanno r ispet t ivamente estese a tut te le combinazioni semplici delle St, varia in un sistema di equivalenza razionale su W~, il quale non dipende dalla seelta delle Si. Pe r di pifi. se W~ pub essere posta in corrispondenza birazionale regolare con un 'a l t ra varieth W'p, il sistema { Xa(W~)} muta nel sistema { Xh(W~)} .

II. - La seconda definizione, dovuta a M. ]~o]~R, ~ la seguente [8]. Supponiamo che Wp possegga p integrali semplici di pr ima specie, dicia-

moll u~, us, ..., up, l inearmente indipendent i tra loro, con la propriet~ the, per h - - 0, 1, ..., p - - 1, la varieth jacobiana di ogni h -b 1 degli integrali, ad esempio Jh(U~, u~, ..., Uh+~), sia una variet~t pura h-dimensionale a componenti tutte semplici. Allora si pub dimostrare ehe Jh(U~, us, ..., u~+~) non ~ altro che la Xh(VV~) definita sopra.

0sserviamo pure che, adoperando le notazioni del calcolo delle forme differenziali, possiamo rappresentare tali jacobiane con i simboli

du~ -- O, du~du2 ~ O, ecc.

7. P r ime applicazioni. - I precedent i conc.etti e r isultat i trovano imme- diata applicazione alla varieth di PICARD, come ora vedremo.

(i) Se V~ ~ una tale varieth, segue che le solite variabili u~ forniscono tutte e sole le forme differenziali di p r i m a specie e di pr imo grado attaccate a V~. Difatti, se per esempio A(ul, us, ..., u~)dul ne fosse una, la funzione A, che ~ abeliana, dovrebbe essere ovunque olomorfa al finito, e quindi si ridur- rebbe ad una costante. Epper tanto g~(V~)~-p. Analogamente, tutte le forme differenziali di p r i m a specie e di grado k(1 ~ k ~ p) provengono da prodott i quali duldu2.., du~. E cosi troviamo le formule

(7) gk(V,)--- (P) (k - - 1, 2, ..., p).

In particolare, il genere geometrico di V~ risulta uguale ad uno. Ed in

L. RoT~: Sulle v ar~e" ta' abe li~ane 247

virtfi dell 'esistenza del gruppo G~ completamente transitivo su V~ (n. 2), segue ehe l' ipersuperficie X~_~(V~) ~ nul la (cio~ effettiva e d'ordine zero). Ed analogamente, tutte le ipersuperficie i-vanoniche sono nulle anch'esse.

Dalle (5), (7) si ha che Pa(V~)-~ (--1)~-~.

(ii) Pifi generalmente , tutte le varlet& eanoniche Xh(V~) (h - -O , 1, ..., p ~ 2) sono le variet~ nulle delle relative equivalenze razionali . Infatti , considerando la corrispondenza ira i punti di V~ e quelli dello spazio S~ delle variabili u~, si ottiene il r isultato come conseguenza della definizione delle XgV~) data da ]~G]~.

(iii) Siano Wq e W~_q due varieth non singolari: allora sussiste la formula. per k - - 1, 2, ..., p,

k

(8) gk( Wq X W~_q) -- v_ g~( Wq)gk_~( W~_q),

ove go -- 1, e con la convenzione the vengono omessi tutti i termini nel secondo membro per cui i ~ q oppure k - - i ~ p - - q . Difatti, si pub dimostrare t he ogni forma differenziale di pr ima specie e di grado k at taccata al prodotto Wq X W~_q proviene dal prodotto di due forme differenziali di pr ima specie at taccate r ispet t ivamente a Wq e W~_q. Questo risultato ci sarh utile nel seguito.

]~ interessante notare che sussiste una equivalenza analoga alla (8) per le varieti~ Xh(Wq X W~_~), e precisamente

h

(9) Xh( Wq X W~_q) - . Z X~( Wq) X Xh_~( W~o-q), i,~c.)

con le stesse convenzioni di quelle sopra.

(iv) 0sserviamo ehe la defini~ione delle Xh fornita dalle (6)ci permet te di stabilire i legami che passano tra i sistemi canonici di due variet~ in cor- r ispondenza razionale, almeno in casi abbastanza semplici [15]. Siano, per esempio, W~ e W~ due variet~ non singolari posta in eorrispondenza (1, n) che sia pr iva addir i t tura di coincidenze e di elementi eecezionali : in part icolare - - ed ~ questo il caso che qui ei interessa - - supponendo che W~ sia una V~ di PICARD, segue subito che tutte le variet~ canoniche di W~ sono (e)~ettive o virtuali) di ordine zero. Va rilevato il fatto che questa seconda al ternat iva pub effe t t ivamente realizzarsi: come tosto vedremo.

Se nella corrispondenza suddetta intervengono detle coineidenze oppure delle varieth eccezionali (o tutte e due), le relative formule per Xh(W~) debbono essere r ieostrui te ex novo, giacchb per ora almeno non esiste nessuna teoria generale a eui si potesse far appello.

248 L. R o ~ : Sulle varle$~ abel~ane

8. Propriet~ delle variet~ abeliane. - Passiamo ora a considerare una varietg abeliana ~¥~ di rango r ~ 1; evidentemeate ~ITp ~ t rasformata razionale di qualche V~ appar tenente alla matrice ~o associa~a a ~Vp: oppure - - che (~ lo stesso - - immagine d' una involuzione (di punti) sopra V;~.

L 'o rd ine di questa involuzione viene fissata come segue. Anzitutto, dalla definizione di r segue the W~ ~ immagine d 'una involuzione di ordine r sopra V~. Ma si pub fare un secondo passo nella discussione: se V~ ~ a divisori ~(n. 1), essa ~ a sua volta immagine d 'una involuzione di ordine 8 ~ . . . ~ su una variet'~ V~ relat iva ad una matrice con gli stessi moduli di to ma a divisori unitari . Quest 'ult imo risultato si dimostra considerando le congruenze

u~ = us + n~7:~/~i ( i---1, 2, ..., p),

ove le n~ sono interi che possono variare da 0 a 8~ - - 1. L' insieme delle relative sostitazioni costituisce un gruppo di ordine ~1~2... ~ di automorfismi di V~. In conclusione,

Ogni W~ abeliana di rango r appartenenle ad una matrice a divisori ~ , ~ , .... 8p pub ritenersi immagine d 'una involuzione di ordine r ~ 2 ... ~;~ sopra una variet~ di Picard a divisori unitari .

Denoteremo sempre con n l 'ordine di questa invotuzione I , . Orbene, per poter applicare le considerazioni dei nn. 5-6 ad una varieth cosi definita, oecorre sapere ehe esiste una t rasformata birazionale di £I~ che sia priva di punt i multipli . E per Fappunto i modelli delle I , ehe na tura lmente si presentano sono quasi sempre dotati di singolarith complicate. L'esistenza di un tal modello, nel caso (s)p ~ 2, ~ ormai garant i ta da certi r isul tat i di ItIRONA];A di pros-

sima pubblicazione. Applicando alla corrispondenza tra V~(oV~) e quest0 modello non singolare,

the continueremo a denotare con W~, i r isultat i suddetti, abbiamo subito che tutte le ipersuperficie canoniche e pluricanoniche di W~ sono o virtuali o nulle. Quindi sussistono le disuguaglianze

(i ~ 2).

OSS. -- In generale non possiamo enunciare un risultato analogo per le varietit Xh(Wp) (h ~ p - 1), in quanto le relativ'e equivalenze dipendono dalla na tura delle coincidenze che si presentano in I, , .

Dalla stessa corrispondenza tra V:, e W~ risulta che gk(W~)~g~(Vp), eppertanto, in base al n. 7, abbiamo che

g k ( W p ) ~ ( P t ( k : l , 2, ..., p). (lO)

(a) ~el easo p ~ 3, il risultato er~ gii~ stabilito da ZAI~ISKL

L. R o ~ : S~lle variet~ abeliane 249

I valori esatti degli invarianti numeric i di Wp possono venir calcolati come segue. Sia P(u~) un punto generico di I~, : allora la forma differenziale d~du~. . , du~ at taecata a I~ ~ pure una forma di pr ima specie at taccata a ~ se, e soltanto se, essa mant iene lo stesso valore a tutti i punti coniugati a P in I , ; e tutte le forme differenziali di prima specie - - s e v e ne sono provengono in ques ta maniera. Una volta determinat i i carat ter i g~, il genere ari tmetico P~(W~) ~ fornito dalla (5).

I p lur igener i P~(W~) vengono calcolati analogamente, poggiando sulla forma (4): eosi lo i -genere P~(Wp)- -1 se, "e soltanto se, il de terminante

t J - - ~ ( u ~ , u2, ..., u~)/~(u'~, u2, ..., u'p),

calcolato rispetto ad una qua lunque coppia (u~), (u~) di punt i coniugati in I . , mantiene lo stesso valore (e precisamente una radiee i - e s ima dell 'unith) quando (u~) r imanendo fisso, (u~) varia entro il gruppo dei coniugati in I , .

9. - I l t eorema prineipale. - I1 r isul tato che sta alla base della classificazione delle varieth abeliane ci darh~ fra l 'altro una semplice regola per ese- guire i calcoli gii~ deseritti . La dimostrazione del teorema, per cui r imandiamo a [16], poggia sui seguenti lemmi:

I. - Se t'involuzione I,, possiede ~ P - ~ coincidenze, allora Pg( Wp) ~ Pi( ~ ) ~- - - 0 . Difatti, secondo la prima defini~ione (n. 6) del sistema ]X~_I(W~ 1, la t rasformata della varieth X~_~(W~), sommata alla ipersuperf icie luogo delle c,c~ -1 coincidenze, deve essere l inearmente equivalente alla variet~ X~_~(V~), che ~ la variet~t nulla; eppertanto X~_z(Wp)-~ ~ A , ove A denota una ipersuperficie effet t iva di ordine positivo. 5;e consegue c h e l a varietit X~_~(W~) ed anche tutti i suoi multipli positivi sono vir tual i : onde l~asserto. In questo easo si dice ehe ~,V~ possiede un sislema anticanonico.

IL - Se W~ ha qualche plurigenere positivo, la relativa involuzione I,, priva di punt i fondamentali (e cioi~ punti di I , eoniugati a varieth ( p - - l ) - dimensionali).

Per ipotesi, il de terminante che compare nella (4) non pub mai annul lars i in un punto di I , : il che vuol dire che il jacobiano J del n. S non pub an- nullarsi nemmeno. Allora non possono esistere punti fondamental i in 1 . .

IL TEORE~[A P : R I N C I P A L E . - Ogni involuzione I , su V v che abbia qualche plurigenere uguale ad uno e the non sia composla con una involuzione picardiana, ~ generabile con un gruppo Gn, di ordine n, di automorfismi di V~.

La dimostrazione~ che 6 di carat tere topologico-trascendente, devesi ne l e a s o ~ ~ 2 a ]~AG-NEt~A e D E ] ~ R 2 k ~ C t t I S ; l 'estensione al caso generale fu data da ANDREOTTI [1]. Essa dipende dai fatti ehe In possiede al pifi ~ , ,_2 coincidenze e non ammet te punt i fondamental i .

A n n a l i tl~ M a t e m a t i c a 32

250 L. Row~: Sulle varlet4 abeiiane

Oss. 1. - In virtfi delle ipotesi fatte, i metodi di ctassifieazioni ci possono dare dei r isultat i completi solamente per quelle Wp aventi qualehe plurigenere nguale ad uno. Cib nonostante, esistono -- come vedremo -- delle W,, a plurigeneri tutti nulli, tali che le relative involuzioni 1;n siano generabili con gruppi G~ di automorfismi. Tra quelle vi sono dei tipi per cui I~ possiede cx~ p-~ coineidenze (n. 19).

Oss. 2. - I1 teorema prineipale ha una notevole conseguenza geometrica: se Wk ~ una qualsiasi sottovariel& irriducibile di V~, non appartenente a I~, aUora la sua trasformata mediante gli automorfismi di G,, si scinde in n - - 1 variet4 birazionalmente identiche a Wk.

Oss. 3. - Nel caso n - - 2 , non ci occorre nessuna ipotesi circa i valori dei plurigeneri , in quanto l ' involuzione /2 definisce un autvmorfismo di Vp. La W~ ad essa associata verri~ esaminata al n. 11.

§ I I I . - S u l l a e l a s s i f i e a z i o n e d e l l e v a r i e t a a b e l i a n e .

10. I I metodo generale: l'equazione earat ter is t iea . - Sia B~ una varieti~ abeliana non singolare, avente qualehe t)lurigenere uguale ad uno; allora, in base al teorema principate, la relativa involuzione In sulle variet~ V~ sarh generata da un gruppo G~ di automorfismi di V~, rappresentato da un numero finito di sostituzioni (mod. to) della forma

k

(11) u~ -- Z a#u i + b~ (i -- 1, 2, ..., p),

ore le a~ i e le b~ sono costanti. Osserviamo dapprima ehe ogni tale sostituzione, t ramite un cambiamento

di variabili, pub venir r idotta alla forma canonica

(12) u~ -- ~u~ -k- ~ (i -- 1, 2, ..., p).

Evidentemente le ),i, dette moltiplicatori della sostituzione, debbono essere tutte radici dell 'unith. ~ a possiamo dire qualcosa di pifi: quando u~, ad esem. pio, viene aumenta ta di un periodo a)ii della relativa matrice o), u~. viene au. mentata da una eombinazione lineare, a coefficienti interi, degli elementi della stessa riga di ¢o a eui appart iene o)~j: ed analogamente per tutt i i periodi simultanei . Me consegue - - come ha dimostrato SconzA [18] - - c h e ogni molti- plicalore soddisfa ad una equazione di grado 2p, the si spezza in due equazioni di grado p, a coefficienti complessi coniugati.

Da eib scaturiseono varie conseguenze importanti su cui non ~ il caso di fermarci ; ci l imiteremo a dire che questo teorema ci dh~ per ogni valore

L. Roan: Swlle variet4 abe liane 251

assegnato di p, tutti i valori a priori possibili per i moltiplieatori. In secondo luogo, supponendo noti tutti i gruppi finiti G,, di collineazioni

in p variabil i indipendenti , possiamo fare un passo ul ter iore verso la soluzio- ne del problema di c]assificazione.

Finalmente, dobbiamo verif icare che esistono effet t ivamente delle matrici co corrispondenti ai gruppi G~ preeedentemente trovati.

Da quest i r isultati si deducono tutti i valori possibili del rango r e dei divisori di co. Nel corso dell ' indagine, t roveremo anehe quel le variet~ abeliane, a plur igener i tutti nulli, che r ispecehiano involuzioni I~ generabili con gruppi G~.

Pe r tutte le varieth W~ ottenute col presente metodo gruppale, possiamo calcolare gli invarianti numeric i seguendo la via del n. 8, e poggiando sulle apposite sostituzioni generatr ici quali le (11). Diamo un importante esempio in proposito.

1L La variet'k di Wir t inger . - Consideriamo la variet/~ W~ il cui gruppo Gn ~ generato da]la sola sostituzione

(13) u~ - - - - u~ (i -- 1, 2, ..., p).

Evidentemente si t rat ta d 'una invotuzione I~ con numero finito (e prec isamente 2 :p) di coincidenze. ~e l caso p -- 1 abbiamo una serie g~ su urea V1 ellittiea, immagine dunque d 'una eurva razionale; nel caso p =-2, la notissima superficie di KUMMEn; e~ per p ~ 3, la cosidetta varieth di WI~tT~NGEn (+).

ovvio ehe ogni prodotto del tipo du~du2.., duk r imane invariante sotto le (13) se, e soltanto se, k b pari, siceh~

g ~ - - ( ~ ) (k pari); g k - - 0 (k dispari).

Sost i tuendo questi valori nella (5), troviamo che P~-= ( - -1)P(2~-1- -1) ; questo r isul tato i~ stato trovato da GRiiB~ER [6], poggiando sulla teoria delle funzioni theta e la formula di postulazione di HILBERT.

Considerando ora le forme (4), t roviamo per i plur igeneri di ~V~ i valori

P~ -- 1 (ip pari); P~p--O (ip dispari).

12. Tipi super f ic ia lmente i r r e g o l a r i . - In questo e i seguenti humeri consideriamo ]e W~ superf ic ia lmente irregolari ; in base al n. 8, abbiamo sempre gl(Wp)~__p. Ineominciamo col teorema di SEVERI:

Ogni variet&. Wp immagine d'una involuzione di irregolaritd~ superfw~iale p sopra V~, ~ essa slessa una variet~ di Picard; e l'involuzione su V~ ~ generabile

(4) A dire la verith, tale denominazione si limita ad un tipo meno generale, corrispondente ad una matrice a divisori unitari.

252 L. R o ~ : Sulle varivt~ abeiiane

con un gruppo finito di trasforma~ioni di pr ima specie, ed ~ priva di coincidenze. La nostra dimostrazione segue le orme della presente trattazione. Suppo.

niamo, se possibile, che P g ( W ~ ) - - 0 ; allora, in base ad un ben noto teorema di SEVERI, Wp deve contenere una congruenza, senza punti base, di sottova- rieta, avente irregolarit~ superficiale p ; lungo ciascuno dei suoi elementi i p integrali di pr ima specie si mantengono costanti. Eppertanto, dalla corrispondenza tra V~ e W~, si deduce t h e V~ deve contenere una congruenza, senza punti base, di irregolari t~ superficiale almeno p. Orbene, si pub stabilire un teorema inverso a quetlo del n. 2 [17], the ci dice che tale congruenza, costituita di variet/~ di P~CARD, non pub avere irregolari th superficiale superiore a p - - 1. Allora dev'essere P~(W) --- 1, e possiamo quindi applieare il teorema principale: con scelta opportuna detle variabili us, le ( t l ) assumono la forma

(14) u~ = u~ + c~ (i - - 1, 2, ..., p).

il che dimostra che W~ ammette il gruppo Gp che caratterizza la varieta di ~DICARD.

D'ora innanzi supporremo che g~(W~) = q(O < q

L. Ro+~: SuIle varietit abeliane 253

contiene una congruenza abeliana (non pieardiana) di traiettorie che sono variet~ di Pieard, e una seconda eongruenza, picardiana e eoslituila da variet& di Picard, che sono trasformate birazionali l'una dell'altra mediante il gruppo ~q inerente a Wp. La variet~ Vv sostegno della relativa involuzione I,~ ~ speciale di tipo q.

13. - Nel caso in cui il de terminante d ~ [VqVp_q] ~ 1, possiamo rappresentare ~I~ sopra una W~ d-p la come al n. 3: per i vari dettagli di tale rappresentazione r imandiamo alla Monografia [16]. Qui osserviamo solamente che~ dal lato analitico, segue che

Ogni variet4 abeliana W~ con qualche plurigenere uguale ad uno e avenle irregolarit~ superficiale q (1 ~ q ~ p - - 1) ~ rappresentabile analiticamente me. diante funzioni abeliane di genere q ed altre funzioni abeliane di genere p - - q.

Notiamo c h e s e helle (15)' non tutte le c~ sono nulle, la relat iva I~ dev'essere priva di coincidenze. Se inveee le e~ sono tutte nulle~ vi sono c, oq coincidenze; ma in questo caso, che qui escluderemo, si t rat ta del prodotto d~una Vq e qualche varieth abel iana W~_q. Inversamente se In i~ priva qli coincidenze,

ovvio che g~(W~)~ O, poich~ in caso contrario mancherebbero le (15)', ed allora I,~ ammet te rebbe sempre delle coincidenze. Quindi

Condizione necessaria e sufficiente affinch~ una in~'oluzione I,, su V,, non del tipo escluso, e avente qualche plurigenere positivo, sia picardiana o pseudo- abeliana, ~ che sia priva di coincidenze.

Oss. - Senza invocare la solita ipotesi P~(~;V~)- 1, possiamo stabil ire che

Se I~ ~ priva di coincidenze ed anche di punti fondamentali, W~ ~ super. fieialmente irregolare (e quindi ~ pseudo-abetiana o picardiana).

Invero, segue dalle nostre ipotesi che vale il teorema principale, sicch~ I,~ generabi te mediante un gruppo Gn. Una qua lunque sostituzione di Gn, sotto forma canonica, deve r idursi a

u~ - - u~ + c~ (i = I , 2, . . . , q), u~ - - ~iv~j ( j = q + 1, . . . , p) ,

con q ~ 0, poich~, in caso contrario, In ammet terebbe delle coincidenze. He consegue che V~ ~ neccessar iamente speciale di tipo q (almeno), onde l 'asserto.

Passando alle variet~t canoniche Xh(W~), osserviamo the la corr ispondenza tra W~ e V~ ~ priva sia di coincidenze sia di elementi fondamental i ; qnindi (n. 7) r isul ta ehe

Tutte le variet~ canoniche Xh( W~) d'una Wp pseudo-abeliana sono (effettive o virtuali) di ordine zero.

254 L. ROTH: Sulle varivt5 abeliane

Questo teorema pub essere stabilito in parte almeno con il metodo traseen. dente del n. 6. Se W~ ha irregolarit~t superficiale q, possiamo supporre che le forme differenziali di pr ima specie e di primo gr.ado ad essa associate siano du~(i -- 1, 2, ..., q). Allora un gruppo Xo della serie canonica ~ dato da du~ ~ O, una eurva canonica da du~du2-~ O, e cosi via, sino alla varieth Xq_~. E sic- come su Vp le analoghe varieti~ sono tutte nulle, lo sono anche su W~.

Oss. - I1 fatto ehe le Xh(]¥~) possono essere virtuali, malgrado la circostanza ehe corrispondono a varieth Xh(V~) effettive~ verrh dimestrato con esempi.

14. Sugli invar ian t i d 'una variet~ abeliana irregolare. - Consideriamo una W~ abeliana con g,(W~)~--q(1 ~ q ~ p - - 1 ) , Ia cui relativa involuzione I,~ sia generabile mediante un gruppo G~: allora possiamo supporre che ogni sostituzione di Gn sia del tipo (15), e che nel caso di un gruppo non ciclieo ogni sostituzione contenga le (15)' come parte comune. Possiamo anche supporre che una qualunque delle sostituzioni sia ridotta a forma canonica; con lieve cambiamento di notazioni, scriveremo

(16) v~ ~- )~iv~ -Jr- ~ (j - - q + 1, q-t- 2, ..., p).

(In generale, tale r iduzione lascierh le altre sostituzioni del gruppo G, nella loro forma originale).

Le q forme differenziali di pr ima specie e di primo grado at~accate a l ~ sono tutte e sole le dui. Ora, ogni forma differenziale di pr ima specie e di grado k ( > 1) at taccata a W~ b del tipo (du~d'a2... dub) (dvh+~duh+2 ... dvk). Allora, per calcolare il numero g~(Wr), possiamo proeedere come segue. Osserviamo che le (15)' rappresentano un automorfismo d 'una Vq di P~CARD, mentre l ' insieme di equazioni quali le (15)" genera una involuzione sopra un Vv_q la cui immagine b una varieti~ abeliana W~_q (superficialmente regolare). Quindi i vari humeri gk(Wv) (1 ~ k ~ p) sono uguali ai corrispondenti caratteri del prodotto Vq X ~I~_q. Siano dunque g~ (k "--1, 2, ..., p - q) (con gl = 0) gIi invariant i di ~¥r_q; allora, in base alle (7), (8), troviamo che

k q , (17) = z ( (k = 1, 2, . . . , p ) .

~ 0

Qui, di solito, vengono omessi tutti quei termini che siano privi di significato. Sostituendo per i gk nella relazione (5) di SEVEt~I-KODAIRA, vediamo the

il r isultato finale non dipende dai g~:; in definit iva abbiamo che P~(W~)-~ - - ( - - 1 ) P -1, conformemente con la teoria generale delle varieth pseudo-

abeliane [16]. I1 valore del genere geometrico Po--g~(W~) si deduce dalle (15); i vari

p lur igener i P~ vengono calcolati secondo il metodo del n. 10.

L. ROTH: Sulle var iet~ abe l~ane 255

15. Un a l t ro metodo di classificazione. - I1 problema di classificare le variet'~ abeliane superf ic ia lmente irregolari pub venir affrontato in maniera diversa. Come abbiamo accennato (n. 3), su ogni tale variet~ Wp, le varieti~ picardiane della seconda congruenza l V~_q / - - che ~ picardiana a n c h ' e s s a - souo t rasformate l 'una dell 'a l t ra mediante il gruppo ~q inerente a W~. )/[a c'~ di pifi: seconda la teoria delle variet~ pseudo-abel iane [161, ogni ~V~_q ammet te un gruppo finito (di ordine d) di automorfismi, che r isul ta ciclico oppure commutat ivo a base ~ 2~. Il primo compito ~ quindi di determinare, per valori assegnati di p, q(q ~ p ) , tutte ]e variet~ V~_q di PICARD dotate di tall gruppi finiti. In ogni singolo caso si trova COSi il valore del de terminante d di W~ e i l cara t tere generale delta rappresentazione analitica. D'altro canto bisogna tene t couto del fatto c h e l a congruenza f Vqt delle traiet torie del gruppo ~q ha per immagine una varieti~ abel iana ~;Vp_q. Quindi~ procedendo indut t ivamente rispetto al numero p, troviamo tutti i tipi possibili di congruenze (~qt e l VI~-q 1"

16. Varietk abeliane ad invar iant i assegnati. - Abbiamo visto (n. 8) che i cara t ter i g~ di W~ soddisfano alle disuguaglianze g~ ~ (~) ( k - - 1, 2, ..., p). Ci si pub domandare se esiste sempre una qualche variet~ abeliana, non di PICARD, per cui uno o pifi dei humer i gk raggiungano i relativi massimi. Gi~ nel caso k - - 1 sappiamo c h e l a risposta b negativa, in quanto il teorema di SEVERI (n. 12)ci dice c h e l a sola condizione g~(W~)--p serve a carat terizzare la V~ di PICAnD.

Dimostreremo era un risultato pifi generale:

Ogni variet~ abeliana W~, avente qualche plurigenere positivo, e tale che, per un solo valo/e di k(1 ~ k < p), si abbia gk(W~) -- (~), ~ di Picard oppure di Wirtinger; e la prima possibilit& ~ sempre verifieata alloreh~ il numero k dispari.

La dimostrazione poggia sul seguente lemma:

S e i l gruppo G,, inerente a W~ contiene qualche sostituzione generatrice della forma u~-- )~i -~ ~j ( J - - l , 2, ..., p), allora ~ ~ -- ± 1 (e eio~ W~ ~ o pi~ardiana oppure wirtingeriana).

Quest 'ul t imo risultato devesi a SCORZA [18], che l ' h a dedotto dalla equazione carat ter is t ica (n. 10). Nel caso attuate, quella equazione deve avere come radici p -p l e ), e ~. (complesso coniugato), sicch~ )~ e ). sono radici d 'una equazione della forma w~ -~ a~c ± 1 - - 0, con a intero. Ne discende che i soli valori

di ). effe t t ivamente possibili sono - l - i , : i: i , -+-~, : t : ~ (~___ exp 2~i) E t r a n n e - - .

nei due primi casi, si pub dimostrare inoltre che V~ ~ il prodotto di p curve ell i t t iche che sono o tutte armoniche oppure equianarmoniche.

Ora si verifica che in tutti quest~ultimi casi abbiamo P~(W~) - -0 (i~_ 1), g~(W~) = 0 (k ~ 1). Ma dal punto di vista geometrico ~ ovvio che allora W~

256 L. Ro~n: S u l l e v a r i e t ~ abe l i ane

dev 'essere birazionale; difatti le relative sostituzioni del gruppo G,~ ci mostrano che su ciaseuna delle p curve abbiamo una involuzione razionale, sicch~ I+~ /~ birazionalmente equivalente al prodotto d i p rette.

In conclusione, dunque, l ' involuzione 1,, immagine di ~Vp dev'essere o picardiana o wir t ingeriana.

0ss . - h_bbiamo eosi trovato, per ogni p ~ 1, esempi di involuzioni con Pi -- 0 (i ~ 1) - - anzi, involuzioni birazionali - - con numero finito di eoinci- denze, e generabil i mediante gruppi Gn di automorfismi.

Passando alla dimostrazione del teorema, supponiamo che, per un solo valore di k (1 ~ ' k < p ) , si abbia g ~ ( W ~ ) "-- (P). Consideriamo una qua lunque sostituzione generatr ice di Gn, r idotta a forms canonica:

u) - - ~ iu i + P'i ( j = 1, 2, . . . , p) .

Pereh~ g~ sia uguale a (~), oceorre (ma forse non basra) ehe ogui prodotto quale ),1),2...),~ sia uguale ad uno. )/Ia da queste condizioni segue subito che ) `1-- ) `2-- - - ) ,k , con ),~----1. Quindi, in base al lemma, o )'i ~ 1, oppure )'i ~ - - 1 (j -- 1~ 2, ..., p). E sappiamo (n. 11) che per la varieth di WIRTIZ~GER, g~---0, qualora k sia dispari : onde le conclusioni.

17. Sui valori lacunosi. - ]~ pressoch~ ovvio che, per Un da to valore di k sodclisfacente alle disuguaglianze 1 ~ k ~ p - 1, non ei occorrono tutte le (~) equazioni dei tipo )`~),2 ... )'~ ---- 1, pe r poter coneludere che )̀ ~ - - )'~ - - - - ),p. Eppertanto, in base al lemma del n. 16, non pub esistere nessuna Wp, a qualehe plur igenere positivo, con invariante gk(1 ~ k ~ p - - 1) minore di (~) e maggiore di un eerto numero iV(p, k). In altre parole, vi sono delle lacune nella serie di valori a p r i o r i possibili per i carat teri g~. Su cib non ci indugiamo, ma passiamo a considerare altri r isultati del genere, che gioeano un ruolo importante nella classificazione delle Wp abetiane per i primi valori di p:

I . - N o n ~ p o s s i b i l e a v e r e gl ( W~) - - p -=- 1, gp( ~ ) - - 1.

Ragioniamo per ussurdo: in base alla seeonda ipotesi, possiamo appl ieare il teorema prineipale. Allora una qua lunque sostituzione di Gn pub metters i sotto la form~ u~ - - u i -~- c i (j - - 1, 2, . . . , p - - 1), u'p - - ),pup ()`~ -~- 1). Ma in questo caso dobbiamo avere gp ----- Pa -" 0.

Tale caso ~ effe t t ivamente realizzabile: sulla Vp sostegno di I n abbiamo uu fascio razionale I V~_I I di variet~ di PICARD, ed una congruenza complementare (di irregolarit~t superficiale p - - 1 ) d i curve ellittiche. ~] questo un esempio di varieti~ pseudo-abe l iana a sistema [Xp_~! vir tuale (err. n. 13).

II. - N o n ~ p o s s i b i l e a v e r e g p ( W ~ ) - - 1, g p _ ~ ( ~ ) - - p - - 1.

Ragionando di nuovo per assurdo, possiamo applicare it teorema principale. Consideriamo dunque una qua lunque sostituzione di Gn in forms cano-

L. R o ~ : Sulle v ariet~ abeliane 257

nica, u ~ - - k i u l ~ ~tl. Per la prima ipotesi, dobbiamo avere ).~)~2... k ~ - 1, e per la seconda, valgono tutte t ranne una delle equazioni quali )~).2... ).~_~ - - 1. Ma allora r isul ta ~ , 1 - - ) , z -

I I I . - Se, per una Wv(p - - p - - 2, allora g~_:~(~V~) --

Difatti, una qualunque u ~ = u i + c ~ ( j = t , 2, . . . , p uguale ad, uno. 5[a in quel r iuscire invar iante per In .

- - 2~ "- 1, siceh~ g~_~(W~) " -p , contro l ' ipotesi.

2) a qualche plurigenere positivo, si ha gg W,~) "- O.

sostituzione di G~ dev'essere r iducibile alla forma f --2), u~_~--~u~_~, up--~u~, ore n~ ), n~ ~

caso .nessun prodotto quale du~du2 ... du~_~ pub

Sorge era la domanda: sotto quali ipotesi possiamo accer tare l 'es is tenza di qualehe varietk Wr ad invariant i assegnat i? Per i tipi superf ic ia lmente regolari non sappiamo dare una risposta eompleta, ma per gli altri sussiste il seguente

Teorema di esistenza (easo pseudo-abeliano): Esiste una variet& abeliana W~, avente qualche plurigenere positivo, e dotala di caralteri assegnali g,~ (con g~ -- q ~ O) se, e sollanto se, esiste pure una variet~ abeliana W~_q, superficial. mente regolare, i cui caratteri g'k (con g'~ - - 0). sono tali da soddisfare le equa. zioni (17)per ogni valore di k (1 ~_ k ~ p ) .

Invero, come abbiamo gii~ visto al n. 14, gli invariant i gk, seno gli stessi the si ottengono applicando le formule (17) atla varieth prodotto d 'nna Fq di PIcAnD ed una ~;[~_q abeliana d' i rregolari th superficiale nulla.

]~ ehiaro del resto che un esame pifi part ieolareggiato delle (17) r ivelerebbe aneora delle lacune nella serie di valori dei gk,

§ IV. - S u a l c u n e c l a s s i d i v a r i e t ~ t a b e l i a n e .

18. Variet~ impropr i amen te abeliana. - In questo capitolo passeremo in rivista varie classi interessanti di ~'arieti~ definite da funzioni abeliane o dalle loro forme degeneri. Ed incominciamo con le varieth impropriamente abeliane.

Sia W~ una varieti~ abeliana, immagine d 'nna involuzione In su V~ che sia generabile con un gruppo Gn di automorfismi di Vv. Supponiamo che W~ appar tenga ad un corpo di funzioni contenente delle funzioni di genere minore di p, il che vuol dire ehe una loro matr ice (0 - - magari eostruita con dei periodi

n o n p r i m i t i v i - - 6 impura, e cio~ riducibile alta forma ( : ~ °) , eve (01 e (02 (02

sono matr ie i di RIE~IA~N di generi q e p - - q r ispet t ivamente (1 __.~ q ~ p - - 1). In quet caso, in base ad un teorema di PoI~cAm~, che b poi stato dimostrato geometr ieamente da Scol~zA [19], ogni V~ di PICARD associata a (0 ~ speciale di tipo q (n. 2). Alle due eongruenze complementar i { Vq}, { V,~_q 1 giaeenti

A n n a l i eli M a t e m a t i c a 33

258 L. RoTtt: Sulle variet d abel~ane

su V v corr ispondono due congruenze - - diciamole {Wq}, { W~_q } - - su W~, ambedue senza punt i base.

Ora vi sono tre possibiliti~:

(i) { Vq} e { F~_q } appar tengono ambedue a I~.

(ii) Una sola congruenza - - e sia { Vv_q } - - appar t iene a I . .

(iii) ~ b l ' una nb l 'a l t ra congruenza appar t iene a I n .

Nel caso (i) { VVq } e { Wt_ z } sono ambedue picardiane, e le loro r ispei t ive i r regolar i ta superf ie ia l i sono ugual i a quel le di { Vq} e di { V~_q}. Allora (n. 12) Wp b essa stessa pieardiana.

Nel easo (ii) { B~_q } sola r isul ta pieardiana, con i r regolar i th superf ic iale q; ment re la t rasformata, median te Ga, d 'una Vq data, si spezza in n - - i membr i d i ( Vq} (n. 9). Ne consegue c h e { Wq} b abeliana, non picardiana, con i r regolar i th superf ie ia le minore di p - - q .

Nel easo (iii) { Wq} e { W~_q} sono ambedue abeliane, con gl{ Wq} < p - - q , gl { Wv-q} < q. Eviden temente ques t 'u t t ima possibil i th deve realizzarsi se Wv b super f ic ia lmente regolare.

In ogni easo, la na tura delle variet/~ Wq e W~-q dipende da quel la delle coincidenze in In ; in generale possiamo affermare so lamente che esse sono abeliane.

Riassumendo, abbiamo il seguente

T]~ORE~A.- Ogni Wp abeliana ehe sia impropriamente abeliana (e non picardiana) contiene due co•gruenze { Wq } e I Wv_q }, senza pun t i base, costi. tuite di varietb abeliane, di cui una al pii~ ~ picardiana: in ogni altro easo le congruenze sono ambedue abeliane. Le loro rispettive irregolaritdt superficiali non possono superare queUe delle congr,enze corrispondenti sulla Vv sostegno della relativa involuzione I , .

Se Wv ~ superficialmenle irregolare, essa r isul ta pseudo-abeliana di tipo q oppure p - - q. Se invece Wv ~ superficialmente regolare, ambedue le congru. enze { Wq } e { Wv_ q } risultano abeliane e superficialmente regolari. Nel pr imo caso una ed una sola delle congruenze su Vp alaparliene a I,, : nel seeondo caso nessuna delle due.

Oss. 1 . - Le precedent i considerazioni si es tendono subito al caso in cui V~ eontenga ire o piil congruenze complementar i .

Oss. 2 . - I1 legame ira matr ic i impure e periodi non pr imit ivi b messo in r i l ievo da esempi ben noti nel la teoria delle superf ie ie abeliane.

(i) I1 pr imo esempio, ehe si trova nel la ~Iemoria di BAGNE:RA-DE

FRANC.IS, ~ l a superficie, appar tenen te alla m a t r i e e ( ; 0 ~--c¢) 1 £ :¢, , ehe eor-

r i sponde al la involuzione genera ta dal le sosti tuzioni u ' - - - - u , v ' = - v;

L. Ro~H: S~lle var~et4 abe liane 259

1 (1 o 0 o) u ' - - ~ - [ - ~ , - - - - v - [ - ~ . La matr iee ~ isomorfa a 0 1 2£ ' la quale impura.

(ii) Un seeondo esempio, dovuto a SCORZ~, ~ la superficie razionale,

appar tenente alla matr ice (0 ~ e--la2 0 ~[ 0 ~ che corrisponde alla involu~ione

\ / 3 generata da u ' = - u , v ' = - - e v (~8=1). In questo caso la matr ice data ~ isomorfa a

0 1 s "

0ss. 3. - Le superfieie abeliane regolari (non razionali) sono state compiu- tamente de terminate da BAGIqER/~-DE FRAI~CItIS; quelle ehe hanno il genere geometrieo nullo sono tutte a bigenere uno~ e sono ta t te impropr iamente abeliane. Sarebbe interessante di vedere se vatesse, in parte almeno, una eonclusione analoga per le W~ c o n p > 2 .

19. Alcuni esempi.

(i) Un caso particolare, di notevole interesse, ~ quello in eui V~ sia speciale di de te rminante uno (n. 3): allora V~ t~ birazionalmente equivalente ad un prodotto Vq X Vp_q. Una ulteriore particolarizzazione si ha supponendo che 1~ sia il prodotto di due involuzioni I', 1" di cui una abbia sostegno Vq e l ' a l t ra V~_q: allora Wp ~ essa stessa prodotto della forma Wq >< W~_q, i eui fattori sono variettt abeliane, immagini rispettive di I ' e I".

Abbiamo osservato (n. 5) che una variet'~ W~ chiamasi totalmente regolare se, e soltanto se, mancano tutte le forme differenziali di pr ima specie e di grado k (1 ~.~ k ~_~ p - 1). 0 r a possiamo dimostrare che

Esistono variet~ abeliane lotalmenle regolari, e non razionali, per ogni p ~ 2.

Notiamo dappr ima ehe nel caso attuale, W~-~ W q X W~_q, i earat ter i g~(W~) vengono forniti dalle (8). Ora r isulta dalle r icerehe di BAGlqE:aA-D]~ Ft~AI~C~IIS (n. 18) ehe esistono delle W~ non razionali per cui gl(l;V~)--g~(W2)--0. E possiamo costruire esempi di IYa non razionali per cui gk(W3) --- 0 (k ~ 1, 2, 3)

~e l caso p -- 4, basta considerare il prodotto W4 ~ W2 > 4.

Ora, queste variett~ in generale non sono n~ birazionali nb unirazionali . Difatti, in base alle (9), una variett~ canonica X~_~(Wp) ~ esprimibile quale somma di un certo numero di prodotti del tipo Xh(Wp)~ Xp--h--l(Wp--q). t~el caso che tale varieth, fosse virtuale, un suo multiplo positivo r iuscirebbe genera lmente effettivo, sicehb l;V, avrebbe qualche plur igenere uguale ad un% e tanto basta per dimostrare Fasserto.

260 L. tRow~: Sulle variet~t abeiiane

(ii) Una classe importante di W'~ abeliane b quella generata da un insieme di sostituzioni di cui una sola assume la forma che ca r a t t e r i~a uaa variet~ pseudo-abel iana, c ciob

u~ = u~ A- c~ (i = 1, 2, . . . , q),

P

u~ = E aiku j -~ b i (j -~ q -{- 1, q + 2, ..., p). k=qq-1

Denotiamo con W; la varietg cosi de[inita. AUora possiamo pensare la 1¥v in parola quale immagine d ' una involuzione sopra W~, definita dalle rima- nenti sosfituzioni del l ' insieme. Tale Wp, che ~ ovviamente superf ic ia lmente regolare, contiene due congruenze complementari , t rasformate delle due congru- enzo inerenti a ~V~. E tall congruenze debboao essere superf ic ia lmente regolari tutte e due, perch/~ al t r iment i si avrebbe g,(~V~)> 0.

Aggiungiamo che tutte le W2 regolari (non razional i )a genere geometrico hullo (n. 18) appartengono a questa categoria.

(iii) Abbiamo gi/~ accennato (n. 9) alle W~ dotate di sistemi anticanonici. Possiamo dimostrare the tall variet& esistono, per ogni valore d i p ~ 2, tra le W v im.propriamenle abeliane.

Sia In una involuzione sopra V_., dotata di c

L. ROTH: Sulle varivt4 abeiiane 261

curve razio~ali, ad esso unisecante, che ha irregolarit4 superficiale p - i. Esistono pure delle W , , dotate di sistema anlicanonico, che sono superfi.

cialmente regolari ; esse sono immagini di involuzioni non cicliche suUe relative V~, oppure sulle Wp sopra descritte.

20. Yarietk quasi abeliane. - Le Wp dotate di sistema anticanonico rien- trano in un ' a l t r a eategoria di varieth the or ora passiamo ad esamimare.

Osserviamo dappr ima che, per le varieth impropr iamente abeliane in genere, il pr isma U~p dei periodi (u. 7) ~ sempre ben definito, malgrado l ' annu l l a r s i di vari dei periodi. ) fa nel caso ehe veniamo a considerare, il relativo pr isma assume delle forme degeneri ; ed allora sorgono le funzioni e varieth quasi abeliane.

Nella trattazione di SEVERI (n. 4), il punto di partenza per la teoria ~ il eoncetto d ' u u a varieti~ 6))p dotata di uu gruppo G~ iI quale, in contrasto col solito gruppo Gv, r isulta soltanto generalmertte transitivo su +-))v. Ed il teorema di SEVERI, nel l 'a t tuale linguaggio, ci dice c h e s e +)), ha irregolaril~t superficiale q (0 ~_~ q ~ p - - 1), essa ~ pseudo-abeliana di tipo q e di determinante uno. Pifi precisamente, o/)p ~ birazionalmente equivalente al prodotto Vq >

262 L. Re,H: Sulle v arietd abe liane

Evidentemente anehe c~/?p ~ impropr iamente abel iana (n. 18). Perb, l 'ana- logia con le variet~ abeliane, per quel the eoncerne il late algebrico della teoria, non va oltre. ]~ vero, come ha dimostrato COIeFOR~O [4, 5] ehe esistono sulle 6))~ degli automorfismi formalmente simili alle (11); ma nel case at tuale le variabil i u~ rappresentano integrali ehe non sono che virtualmente di prima specie, e che in generale possiedono delle siugolarit/~. Pe r di pifi, gli automorfismi d ' u n a ~))~ sono in generale non algebriei beusl analitici, e quindi ad essi non possiamo appl ieare le precedent i considerazioni di na tura gruppale. Se volessimo int rodurre altre variabil i pi~ adatte, ei t roveremmo di fronte al problema di elassif ieare tutti gli automorfismi degli spazi lineari, il che non

risolubile, nella forma qui riehiesta, neanche nel case del piano. A parte il lavoro, gih menzionato, sulla super~icie di PLUCKER, gli uniei

studi dettagliati in questo eampo sono dovuti a M. BENEDICTY; essi trattano di eerte varieth ~l)p analoghe alla varieth di JAcOB~ (u. 22). Per le relat ive eitazioni bibl iografiche r imandiamo alla I~[onografia di M. RosAw~ [14].

21. R i a s s u n t o . - A questo punto conviene r iassumere i vari concetti e vedute dei paragrafi precedenti .

I . - Prendiamo le mosse da una V v di PIC_~CD, ossia una varieth abeliana di range r -- 1. Tale variet~ b caratterizzata dal fatto che ammette il gruppo G, definite aI n. 2. Se Vp ~ a moduli generali, Gp non contiene nessun sottogruppo invar iante ; nel case contrario, essa r ientra netla categoria pifi vasta che procediamo a descrivere.

II. - Come estensione naturale del concetto precedente consideriamo una varieti~ W~ la quale ammetta un gruppo ~q(1 ~ q _ ~ p - - 1 ) le cui traiettorie costituiscono una congruenza I Vql di variet~t di PICARD. Tale W~ si chiama pseudo-abe l iaua di tipo q. Aceanto alia cougruenza I Vq I troviamo una eongruenza complementare ( ~Vp_q I che ~ picardiana, ma i cui elementi non sono in generale varieth di PICARD. I1 numero [Vpi4~_q] ~ d, chiamasi determinante di

Un case particolare, per noi importante, e quello delle V~ speciali di tipo q, oppure p - - q, in cui Wp_q -" Vp_q, e in eui la congruenza { Vq 1 risulta picardiana.

I IL - Pass iamo era alla varieth abel iana Wp di range r ~ 1. Tale varieti~ pub coneepirsi quale immagine d 'una involuzione I ~ ( n ~ r ) sopra una Vp oppor- tunamente seelta. E suppouiamo d'ora iunanzi che Wp abbia qualche plurigenere uguale ad uno -- condizione~ non sempre necessaria, che garant isce la validiti~ del metodo gruppale per classificare i vari tipi di I,,.

W~ chiamasi impropr iamente abel iana se essa ammette una rappresentazione parametr ica mediante funzioni abeliane di genere minore d i p . In quel case la Vp sostegno di In deve r i sul tare speciale,

L. Ro~:~: Sulle variet~ abeliane 263

Sussiste il teorema: se g~(Wp)- -q ~ O, W~ ~ pseudo-abe l i ana di tipo q: essa contiene una congruenza abel iana di traiet torie ed una eongruenza complementare cost i tui ta di variet~ di PICARD. Risul ta poi ehe IVp ~ non solo pseudo-abe l i ana ma anche impropr iamente abeliana,

IV. - Sost i tuendo il gruppo G~ con un gruppo G~, generalmente transitivo, perveniamo al concerto di varieth quasi p icardiana ~2)~ (o quasi abel iana di rango r - - 1). Pe r essa vale il teorema di SEVERI: se g~(~)~) ~ q ~ 0, ~2)~ bira~ionalmente equivalente ad un prodotto Vq X Sp_q, il che vuol dire ehe 6~))p b una variet~ pseudo-abe l i ana di tipo q e di determinante uno.

Pe r quanto eoncerne la varieth quasi abel iana ~)4Z, di rango r ~ 1, possiamo affermare che essa ~ immagine d 'una involuzione sopra e))p. Conseguentemente, se q ~ 0, c)~p contiene due congruenze complementar i del tipo gih descrit to nel II. Ne discende the tut te le varieth quasi a b e l i a n e - che possono essere birazionali oppure unirazionali - - sono anche impropr iamente abeliane.

22. Sulla variet~ d~ Jacobi. - Un tipo interessante di V~ picardiana, il eui studio si pres ta bene ai metodi elementari , ~ la cosidetta varieti~ di J~COBI, ehe rappresenta i gruppi d i p punt i d ~una curva C p di genere p. Abbiamo

1 visto (n. 2) c h e l a Vp generale dipende da 2p(p -~ 1) modul i : invece la C p

generale dipende da soli 3 p - - 3 moduli, siech~, per p ~ 3, la variet~t di JAco]~I, che denoteremo con Jp~ r isul ta par t icolare; ma tale grado di par~icolariti~ non si sa ancora preeisare.

Converri~ dis t inguere tre classi di Jp a seconda che C ~ i~

(i) i r r idueibi le e non iperelli~tiea,

(ii) irr iducibile, iperell i t t iea,

(iii) r iducibi le (a eomponenti tutte semplici).

I1 easo (iii) verr~t eseluso in seguito perch~ in un certo senso esso dipende dagli aliri due, l imitati a valori del genere inferiore a p.

Denot iamo con vi (i.-- 1, 2, ..., p) gti integrali di pr ima specie, l inearmente indipendenti tra loro, at taccati a C ~. Allora i p integrali analoghi ui, asso- eiati a J~, vengon forniti dalle formule

(19) u~ : v~(x~) + v~(x2) + ... + vi(x~) (i -- 1, 2, ..., p),

ore (x~, x~, ..., xp) denota un gruppo generico d i p punti di C~. Passando agli automorfismi di J~, osserviamo che le trasforma~ioni ordina-

rie sono collegate, t ramite il teorema di ABEL, alle serie lineari di punti su C~: come ~ ben noto, esse provengono dalle serie g~p (necessariamente non speciali) sulla curva.

264 L. R o ~ :, Sulle varietdt abeliane

Pe r quanto concerne gli automorfismi singolari di J~, notiamo dappr ima che in generale C~(p ~ 2) non ammette nessuna trasformazione birazionale in s~, o che per p > '1 , il numero di tali trasformazioni ~ sempre finito.

Orbene, ogni automorfismo di C p dh origine ad una trasformazione lineare, a coefficienti costanti, sugli mtegral i vi; e segue dalle (t9) che ogni automorfismo di C z dh luogo ad un automorfismo singolare di J~. )[a ~ valida anche la proposizione inversa: in base alle (19), ogni automorfismo singolare di Jp proviene da qualehe automorfismo di C ~.

5Te consegue che il problema di classificare le W~ abeliane, .con qualche plur igenere positivo, rappresentabi l i su J~, equivale a quello di elencare tutti i gruppi (finiti) di automorfismi che possano snssistere sulle curve di un dato genere p. Ed ~ importante nota te che in ogni tal caso, l'esislenza della relativa malrice di Riemann ~ garantita da quella della corrispondente curva C p. I periodi degli integrali v~ possono venir calcolati sulla r iemanniana di C p.

23. - A questo punto bisogna separare i casi (i) e (ii). Difatti, ogni C p iperell i t t ica (p ~ 2) possiede 1' automorfismo definito dalF unica serie g~2 sulla curva. ~[a a parte questa circostanza, i problemi presentat i dai due casi sono essenzialmente diversi.

Limitandoci al caso (i), osserviamo che la corrispondenza tra punti di J~ e gruppi di C ~ pub presentare un inconveniente, anche se essa r isul ta senza eccezioni. Invero, ai ~ _ 1 gruppi speciali di p punti - - e cio~ contenuti nella serie canonica g~--~2 di C p - - corrispondono punti d 'una varieth M~_I che r isul ta eccezionale; essa ~ luogo delle curve razionali immagini delle g~ speciali su C ~. Sappiamo [17] che una varieti~ di PICARD nella forma normale del n. 2 non contiene nessuna curva razionale. E difatti, possiamo costruire una varieti~ non singolare J~, birazionalmente equivalente a Jp, su cui M~_~ i~ rappresen- tara du una varieth M~-2: basta all 'uopo prendere il modello che rappresenta senza eccezioni le serie gp appar tenent i a C p.

Sempre nel caso (i), possiamo rappresentare C ~ birazionalmente sulla curva canonica [~, di ordine 219- 2, situata in uno spazio Sp_l. Su tale curva (che

non singolare) ogni gruppo di automorfismi di C p corrisponde ad un gruppo finito di auto-collineazioni di F, il che porta una notevole sempli.fica~ione del nostro problema.

5Tel caso (ii), al contrario, il modello canonico di C ~ ~ una retta doppia, i m m a g i , e della g~ sulla curva, sicch~ l 'equazione di C ~' pub assumere la forma

(20) y~ = f(x),

ore f(x) ~ un polinomio di grado 2p-] -2 . I1 problema degli automorfismi si r iduce quindi a quello di determinare tutti i gruppi finiti di proiett ivith della

retta.

L. RowI~: S u l l e v a r i e t ~ abeb~ane 265

P e r ogni c u r v a del t ipo (20) gli in tegra l i vi sono ben noti , ed a l lo ra il passagg io al le r e l a t i ve var iab i l i ui ~ immedia to .

l~ella 5 [emor ia [12] il L]~I~SC~EWZ ha s tud ia to la va r ie t~ Jv a t t a c c a t a a l la C p la eui equaz ione ~ y r - - f(~c) (r ~> 2): p e r ta le curva , che gene ra l i zza la (20) in m a n i e r a evidente , gli i n t eg ra l i vi sono f a c i l m e n t e de t e rminab i l i . La Jp ammet . te in g e n e r a l e u n solo g r u p p o c ic l ico di au tomor f i smi .

Nel la ana l i s i dei casi (i) e (ii) i n c o n t r i a m o var i e sempi di J , spec ia l i di t ipo q (n. 2); ques t e p r o v e n g o n o s e mp re da c u rv e C p che con tengono involu . zioni di g e n e r e q ~ 0. P e r b tal l variet/~ si r i t r o v e r e b b e r o nel corso di i n d a g a r e il caso (iii), che o v v i a m e n t e c o n d u c e al le Wp i m p r o p r i a m e n t e abe l iane .

B I B L I O G R A F I A

[1] A. ANDREOTTI, Aeta Ac. Pont, Se, 14 (1952), 107. [2] G. BAGNERA-~V[. DE FRANCHIS, Mere. Soe. /tal. So., (3) 15 (i908), 25L [3] ~'. CASTELNUOV0, Rend. Ace. Lintel, (5) 14 (1905)1 (3 note). [4] F. CONFORT0~ Annali di Mat., (4) 28 (1949), 299. [5] - - - - , Rend. di Mat., (5) 13 (1954), 219.

[6] - - - - , Abelsehe F u n k t i o n e n u n d algebraische Geometrie, Berlin, 1956. [7] -~. DE ~IRANCHIS, Rend. Ace. Lineei, (6) 24 (1936), 3. [8] ]~[. ]~GER, Ann. ]~cole l~orm. Sup., i3) 60 (1943), 143. [9] F. ENRIQUE•-F. SEVERI, Aeta Math., 32 (1909), 283.

[1O] -- - - , ibid., 33 (1910), 321.

[11] E. KAHLER, Mere. Acc. Italia, 3 (1932), 5. [12] S. LEFSCHETZ, Tl"ans. Amer. Math. Soe., 22 (t921)~ 327; 407

[13] - - - - , Selected Topics i n Algebraic Geometry, Bull. l~at. Research Council 63, Washington, 1928.

[14] )I: ROSA'rI~ L e [unz ion i e le va r i e t~ quas i abe l iane d a l t a teoria d i Sever i a d oggi, Pont. Ac. Scripta Varia, (1962).

[15] L. ROTE, Algebraic Threefolds, Berlin, 1955.

[16] - - - - , S u l l a var ie t4 d i P i c a r d e le sue app l icaz ion i , Rend. Sere. Mat. Milano, 30 (1960). [17] -- - - , Annali di Mat., (4) 60 (1962), 265. [18] G. SCORZA, Rend. Palermo, 41 (1916)~ 263 [19] -- - - , ibid, 43 (1918), 213. [20] B. SEOI~E, Annali di Mat. , (4) 35 (1953), 1.

[21] F. SEVERI, F u n z i o n i quas i abeliane, Roma, 1947; 2 a edizione, 1962. [22] -- - - . Geometr ia dei s i s temi atgebrici sopra u n a superf icie e sopra u n a v a r i e t ~ algebrica,

volume II~ Roma~ 1959.

Annal i d~ Matema t i ca

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SuIle variet~ abeliane.SuIle variet~ abeliane. Memoria di LEONARD ROTH (Pittsburgh~ U. S. i.) Alla memovia di Guido Castelnuovo, nel primo eentenario della nascita. 8unto. - Vedi la