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Algebra Lineal
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subespacios linealmente independientes
M.C Marıa Esther Grimaldo Reyna.
May 1, 2014
M.C Marıa Esther Grimaldo Reyna. subespacios linealmente independientes
Definicion
Sean W1,W2, ...,Wk subespacios de un espacio vectorial V .Sedice que W1,W2, ...,Wk son independientes si:
α1 + α2 + ... + αk = 0
con αi ∈ Wi implica que αi = 0,∀i = 1, 2, ..., k .
M.C Marıa Esther Grimaldo Reyna. subespacios linealmente independientes
Definicion para k = 2
Para k = 2,el resultado queda ası:”Sean W1,W2 subespacios de un espacio vectorial V .Se diceque W1,W2 son subespacios independientes si
α1 + α2 = 0
con αi ∈ Wi implica que αi = 0, para i = 1, 2. ”
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Afirmacion para k = 2
W1,W2 son independientes si y solo si W1 ∩W2 = {0}
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Proof.
⇒ Supongamos que independientes. Seaα ∈ W1 ∩W2.Entonces α ∈ W1 y α ∈ W2.Por lo que
α + (−α) = 0 ∈ W1 + W2
Como W1 y W2 son independientes, se tiene que α = 0. Por lotanto:
W1 ∩W2 ⊂ {0}
Como {0} ⊂ W1 ∩W2,logramos:
W1 ∩W2 = {0}
.
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⇐) Suponga que W1 ∩W2 = {0} P.D W1,W2 sonindependientes. Sean α1 ∈ W1 y α2 ∈ W2.Supongamos queα1 + α2 = 0 ∈ W1 + W2, P.D α1 = 0 y α2 = 0. Comoα1 + α2 = 0, tenemos:
α1 = −α2 ∈ W2 ⇒ α1 ∈ W2 ⇒ α1 ∈ W1 ∩W2
α2 = −α2 ∈ W1 ⇒ α1 ∈ W1 ⇒ α2 ∈ W1 ∩W2
Como W1 ∩W2 = {0}:
α1 = 0, α2 = 0
Por lo tanto:W1 y W2 son independientes.
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Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre un campoF y sea λ1, λ2, ..., λn una base de V . Si Wi es el subespaciounidimensional generado por λi , entonces:
V = W1
⊕W2
⊕...⊕
Wn
.
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Ejemplo
Sea n un entero positivo y F el campo de los numeroscomplejos y V el espacio de todas las matrices nxn sobre F .Sea W1 el espacio de todas las matrices simetricas,es decir,matrces A tal que AT = A. Sea W2 el subespacio de todas lasmatrices antisimetricas, es decir, matrices A tales queAT = −A.Entonces
V = W1
⊕W2
Notese que si A es cualquier matriz de V , la expresion unicapara A como suma directa de matrices, es:
A = A1 + A2
donde
A1 =1
2(A + AT ),A2 =
1
2A− AT
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Ejemplo
Sea T cualquier operador lineal sobre un espacio V dedimension finita. Sean α1, α2, ...αk los valores propios distintosde T y sea Wi el espacio de los vectores propios asociados alos valoers propios αi . EntoncesW1,W2, ...,Wk son independientes.En particular, si T es diagonalizable, entonces
V = W1
⊕W2
⊕...⊕
Wk
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Ejercicio 1
Considere los subespacios vectoriales de R4 y
W1 = L{(1, 0, 2, 1), (α, α, 1, 1}
W2 = L{(0, 1, 2, 2), (1, 2,−1, 1)}
. Determine los valores de α tales que W1
⊕W2 = R4.
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Ejercicio 2
Considere los siguientes subespacios vectoriales de R3,
W1 = L{(1, 0, 1)}
W2 = L{(1, 1, 0), (1, 0,−1)
Determine si R3 = W1
⊕W2.
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Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimension finita y sea W1 unsubespacio de V .Demostrar que exıste un subespacio W2 de Vtal que V = W1
⊕W2.
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Demostracion
Considere que dim(V ) = n.Sea
B1 = {α1, α2, ..., αk}una base de W1, con k ≤ n. Luego,podemos completar unabase para V con
B2 = {αk+1, αk+2, ..., αn}.Observe que B2 es Linealmente Independiente.
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Continuacion...
DefinamosW2 = L{αk+1, αk+2, ..., αn}
P.D V = W1
⊕W2
P.D a)V = W1 + W2
P.D:i)V ⊂ W1 + W2
ii)W1 + W2 ⊂ V
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Continuacion...
i) Sea α ∈ V .Entonces:
α = c1α1 + c2α2 + ...+ ckαk + ck+1αk+1 + ck+2αk+2...+ cnαn
donde:c1α1 + c2α2 + ... + ckαk ∈ W1
yck+1αk+1 + ck+2αk+2... + cnαn ∈ W2
Por lo tanto:V ⊂ W1 + W2
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Continuacion...
Como W1 + W2 ⊂ V ,se tiene que
V = W1 + W2
�
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Continuacion...
P.D b)W1 ∩W2 = {0} P.D
i)W1 ∩W2 ⊂ {0}
ii){0} ⊂ W1 ∩W2
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Continuacion
Sea α ∈ W1 ∩W2 entonces α ∈ W1 y α ∈ W2.Ası que:
α = c1α1 + c2α2 + ... + ckαk
α = ck+1αk+1 + ck+2αk+2... + cnαn
α+(−α) = c1α1 +c2α2 + ...+ckαk−ck+1αk+1−ck+2αk+2− ...
...− cnαn = 0
donde ci = 0∀i = 1, 2, 3, ....n.Por lo que α = 0.Por lo tanto
α ∈ W1 ∩W2
V = W1
⊕W2
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Theorem
Sea V un espacio vectorial de dimension m + n y sea U unsubespacio de dimension m. Entonces exıste un subespacio Wde dimension n tal que:
V = U⊕
W
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Proof:Sea B1 = {u1, u2, ..., um} una base de U .Podemos encontrar vectores {w1,w2, ...,wn} de manera que
B = {u1, u2, ..., um,w1,w2, ...,wn}
sea una base de V . Entonces definamos
W2 = L{w1,w2, ...,wn}
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Es evidente que V = W1 + W2 ya que:
α = c1u1 + c2u2 + ... + cmum︸ ︷︷ ︸∈W1
+ d1w1 + d2w2 + ... + dnwn︸ ︷︷ ︸∈W2
Ahora supongamos que α ∈ W1 ∩W2. Entonces:α− α = 0⇔c1u1 + c2u2 + ... + cmum + d1w1 + d2w2 + ... + dnwn = 0
⇒ ci = 0∀i = 1, 2, 3, ...,m
di = 0∀i = 1, 2, 3, ..., n
Por lo que α = 0 ∈ U ∩W
U ∩W ⊂ {0}
Por lo tanto V = U⊕
W . LQQD
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