SUPERFICIESUnasuperficiees de hecho un conjunto de puntos de un
espacio eucldeo que forma un espacio topolgico bidimensional que
localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio eucldeo
bidimensional. As alrededor de cada punto de una superficie esta se
aproxima bien por elplano tangentea la superficie en dicho
punto.Una superficie es una variedad bidimensional, es decir, un
objeto topolgico que localmente "se parece" al plano eucldeo
(tcnicamente localmente homeomorfo al plano). Eso significa que si
tomamos un rea muy pequea de la superficie es parecida al plano
eucldeo, al igual que en medio de una llanura la superficie local
de la tierra nos parece plana.
SUPERFICIES CILINDRICAS Si el espacio tridimensional dotado del
sistema de coordenadas (x ,y, z). Dada una recta L y una curva
plana C, una superficie cilndrica en este espacio es una superficie
generada por una familia de rectas paralelas a L y que tienen un
punto en C.Un caso particular es cuando la recta L es alguno de los
ejes coordenados y la curva C esta sobre alguno de los planos
coordenados.Ejemplo: Consideremos como recta generatriz cualquier
recta paralela al eje z y que pasa por la curva f(x,y) = k, k =
const. En el plano xy. El cilindro obtenido no necesariamente es
una superficie de revolucin, por ejemplo si la curva C es la elipse
La ecuacin de la superficie cilndrica en en este caso es: f (x,y) =
k
Un Cilindro Elptico RectoEs una superficie cilndrica generada
por una familia de rectas paralelas a una recta (en este caso eje
z) y que pasan por una curva plana C (en este caso la elipse ,
ubicada sobre un plano xy. La ecuacin que define esta superficie
cilndrica es: Observemos que no aparece la variable z, precisamente
es el eje paralelo a la recta generatriz.
Figura 1. Cilindro Elptico Recto
Consideremos la curva C sobre el plano xz, z = sinx. La
superficie cilndrica generada por la familia de recta paralelas al
eje y tiene como ecuacin que la representa: z = sinx Si la familia
de rectas que generan una superficie cilndrica son paralelas a uno
de los ejes coordenados y la curva plana C esta sobre el plano
coordenado perpendicular a la familia de rectas, entonces la
ecuacin de la superficie cilndrica no tiene la variable del eje.
Esto no significa que en general las ecuaciones de las superficies
cilndricas no tengan una o dos variables. Un plano podra ser
considerado como una superficie cilndrica.
Un Cilindro SinusoidalEs una superficie cilndrica generada por
una familia de rectas paralelas a una recta (en este caso eje y) y
que pasan por una curva plana C (en este caso la elipse z = sin x),
ubicada sobre un plano xz. La ecuacin que define esta superficie
cilndrica es: z = sin x. Observemos que no aparece la variable x,
precisamente es el eje paralelo a la recta generatriz.
Figura 2. Cilindro Sinusoidal
SUPERFICIE CUADRTICA Unacuadrticaes unasuperficiedeterminada por
unaecuacinde la forma: , donde P es unpolinomiode segundo grado en
las coordenadas Cuando no se precisa, es una superficie del espacio
tridimensionalrealusual, en un sistema de coordenadas ortogonal y
unitario, y las coordenadas se llamanx,y,z. Si el espacio
tridimensional dotado del sistema de coordenadas (x, y, z). Una
superficie cuadrtica en este espacio es una superficie asociada a
una ecuacin de segundo grado en las variables x, y, y z, es decir
una superficie cuadrtica tiene como ecuacin que la representa una
cuadrtica del tipo: Ax2 +By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J = 0 Las
formas cannicas de las cuadrticas es la simplificacin al mximo de
la ecuacin 12 usando rotaciones y traslaciones apropiadas para
llevarlas a uno de los siguientes seis tipos.
1. Un Elipsoide, es una superficie cuya ecuacin en forma cannica
es: Donde a,b, c son nmeros reales diferentes de cero. En el caso
que a = b es una superficie de revolucin y si a = b = c = R,
entonces tendremos una esfera de radio R.
Figura 3. Elipsoide
2. Un Paraboloide Elptico, es una superficie cuya ecuacin en
forma cannica es: donde a, b, c son nmeros reales diferentes de
cero. En el caso que a = b se llama un paraboloide circular y es
adems una superficie de revolucin. La orientacin del paraboloide
elptico depende del valor de c, si c > 0 es orientada hacia
arriba, y si c < 0 hacia abajo.
Figura 4. Paraboloide Elptico a b, c = 1
1. 2. 3. Un Paraboloide Hiperblico, o comnmente llamada una
silla de montar, es una superficie cuya ecuacin en forma cannica
es: Donde a, b, c son nmeros reales diferentes de cero.
Figura 5. Paraboloide Hiperblico a = b, c = 1
4. Un Hiperboloide Elptico De Un Solo Manto, o comnmente llamada
un hiperboloide de una hoja, es una superficie cuya ecuacin en
forma cannica es: donde a, b, c son nmeros reales diferentes de
cero.
Figura 6. Hiperboloide Elptico De Un Solo Manto
5. Un Hiperboloide Elptico De Dos Mantos, o comnmente llamada un
hiperboloide de dos hojas, es una superficie cuya ecuacin en forma
cannica es: donde a, b, c son nmeros reales diferentes de cero.
Figura 7. Hiperboloide Elptico De Dos Mantos
6. Un Cono, es una superficie cuya ecuacin en forma cannica es:
donde a, b, c son nmeros reales diferentes de cero. En el caso que
a = b es una superficie de revolucin.
Figura 8. Cono
SUPERFICIES DE REVOLUCIN Supongamos el espacio tridimensional
dotado del sistema de coordenadas (x, y, z). Una superficie de
revolucin en este espacio es una superficie generada al rotar una
curva plana C alrededor de algn eje que est en el plano de la
curva.Un caso particular es cuando el eje de rotacin es alguno de
los ejes coordenados y la curva C esta sobre alguno de los planos
coordenados.Ejemplo 1. Si el eje de rotacin es el eje z y la curva
plana C esta sobre el plano xz con ecuacin: z = f (x).Tal que f es
una funcin biyectiva definida solo para x 0, entonces la ecuacin de
la superficie de rotacin tendr ecuacin: Para deducir la ecuacin
anterior, tomemos dos puntos A y B sobre la superficie y un tercer
punto M sobre el eje z. El punto A es un punto arbitrario de la
superficie.Consideremos la circunferencia que contiene al punto A,
tiene centro en el punto M y est sobre el plano . Esta
circunferencia corta el plano xz en el punto B. Por lo tanto las
coordenadas de los puntos son: A(x, y, ), B(x, 0, ), C (0, 0, ).
Pero el punto B pertenece a la generatriz C, por lo tanto sus
coordenadas las podemos escribir como B ( (), 0, ). Ahora la
distancia entre A y M es la misma que entre B y M pues son dos
radios de la circunferencia.
Pero A es arbitrario, por lo tanto . Observemos que en la
deduccin de la formula anterior las variables x, y e z se colocan
cuando esto se puede en trmino de la variable fijada , que es la
que define el plano donde est la circunferenciaEjemplo 1.2. Si el
eje de rotacin es el eje x y la curva plana C est sobre el plano xz
con ecuacin: z = f (x).Tal que f es una funcin biyectiva definida
solo para x 0, entonces la ecuacin de la superficie de rotacin
tendr ecuacin: Similarmente como en el ejemplo 1.1, tomamos el
plano x = , perpendicular al eje de rotacin x, y tres puntos sobre
este plano que pertenecen a la circunferencia con centro en M (, 0,
0) y que contiene los puntos A (, y, z) y B ( , 0, z). Dado que B
pertenece a la curva generatriz C, sus ordenadas son B (, 0, f
()).
La hiptesis que A es arbitrario, completa la demostracin.
El Catenoide, es una superficie de revolucin obtenida al rotar
sobre el eje x la curva z = coshx, y la ecuacin que la representa
es: . Una parametrizacin usada para graficarla con el software
Maple es: x = u, y = coshucosv, z = coshusinv, con valores de los
parmetros 2 u 2, 0 v . Los ejes coordenados estn colocados en forma
estndar. Superficie de revolucin obtenida al girar la curva
catenaria z = cosh x, sobre el plano xz, alrededor del eje x.
Figura 9. Catenoide
