Resumen de superficies especialesProf. Miguel Alpızar, Agosto 2012

Como observamos antes, los conceptos de cilindro y cono no se limitan a los muy conocidos cilindrocircular recto y cono circular recto. Dentro de las mismas superficies cuadraticas existen cilin-dros elıpticos, parabolicos e hiperbolicos, ası como conos elıpticos; pero ademas de las superficiescuadraticas existen cilindros y conos mas generales.

Aquı deseamos determinar las ecuaciones de tres tipos especiales de superficies que se caracterizanpor ser generadas a partir de una curva C ⊂ R3, llamada curva directriz y que esta contenida endichas superficies:1

• Z : el cilindro general constituido por rectas generatrices paralelas a un vector ~v dado;

• K : el cono general constituido por rectas generatrices que pasan por un vertice V ; y

• R: la superficie de revolucion generada por la rotacion de la curva directriz alrededor de unarecta ` especial llamada eje de revolucion o eje de rotacion.

La curva directriz puede estar dada por ecuaciones de tipo parametrico o cartesiano. Para las detipo parametrico utilizaremos el parametro s ∈ A ⊂ R (usualmente todo R o algun intervalo real).Dado que queremos reservar la notacion del punto P = (x, y, z) ∈ S para puntos de las superficiesgeneradas S, utilizaremos P0 = (x0, y0, z0) ∈ C para puntos de la curva directriz C . Ası utilizamostres formas equivalentes para dar una curva directriz:

ecuacion vectorial2 ecuaciones parametricas ecuaciones cartesianas3

P0 = P0(s)⇒

x0y0z0

=

x0(s)y0(s)z0(s)

x0 = x0(s)y0 = y0(s)z0 = z0(s)

{G1(P0) = 0G2(P0) = 0

s ∈ A ⊂ R. s ∈ A ⊂ R.

(C )

Los cilindros y conos estan formados por rectas llamadas generatrices, es decircada punto de estas superficies pertenece a una recta generatriz ` que tambienesta contenida en la superficie y que interseca a la directriz C .

Las generatrices del cilindro todas son paralelas entre si y por tanto basta dar una sola recta` de R3 para determinarlas, pero basta la direccion de esta recta generatriz para determinar lasgeneratrices, por lo tanto lo que se requiere es su vector director ~v`.

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1Aquı utilizo en tipo caligrafico las iniciales de los terminos alemanes: Zylinder (cilindro), Kegel (cono) yRotationsflache (superficie de revolucion) para denotar estas superficies.

1Aquı la notacion P0(s) o simplemente P (s) se utiliza para acentuar el caracter de punto, pero es equivalente ala notacion vectorial de el vector de posicion: ~r(s) = P (s) = (x(s), y(s), z(s)).

3Dado un punto P = (x, y, z), G(P ) = 0 representa a la ecuacion cartesiana G(x, y, z) = 0.4Para encontrar la ecuacion de un cilindro general a partir de la curva directriz y una recta generatriz, de esta

generatriz solo interesa su direccion y por lo tanto su vector director, el cual sirve de vector director a cualquier otrarecta generatriz del cilindro.

1

Por otra parte las generatrices del cono no son paralelas entre si, sino que corresponden a todaslas rectas que convergen o se intersecan en el punto especial del cono llamado vertice y contienenalgun punto de la curva directriz.

A diferencia de los cilindros que solo ocupan la direccion de una generatriz, es decir su vectordirector, en el caso de la superficie de revolucion al rotar la curva directriz sobre diferentes ejes,en general se producen superficies diferentes y por tanto para determinar la superficie tambien esnecesaria la informacion que brinda el punto particular del eje de revolucion. Al rotar alrededordel eje, cada punto P0 de la directriz C genera un cırculo cuyo centro es algun punto de ese eje derevolucion.

1. Cilindro general

El cilindro Z con curva directriz C y vector director de las rectas generatrices ~v` = (a, b, c),esta formado por todas las rectas generatrices ` paralelas a ~v` y que intersecan a la directriz enalgun punto P0 ∈ C .

Luego, si P ∈ Z es un punto cualquiera del cilindro Z , entonces ~P0P es paralelo a ~v` para algunpunto P0 ∈ C , y por tanto:

` : P = P0 + t~v` para algun t ∈ R.

C parametrizada

Si ~v` = (a, b, c) es el vector director de las rectas generatrices del cilindro Z el cual tiene curvadirectriz C : P0 = P0(s), entonces este queda parametrizado por las ecuaciones:

Z : P (s, t) = P0(s) + t~v` ⇒

x = x0(s) + tay = y0(s) + tbz = z0(s) + tc

; con s ∈ A, t ∈ R. (Zp)

Es relativamente facil eliminar los parametros s y t de las ecuaciones parametricas. Por ejemplo,una posibilidad (puede existir otra forma mejor dependiendo del caso) es eliminando el parametro

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t de la misma forma en que se encuentran las ecuaciones simetricas de una recta a partir de lasecuaciones parametricas, en este caso tomando al punto P0(s) = (x0(s), y0(s), z0(s)) de C como unpunto fijo de la recta, entonces:

At =x− x0(s)

a=y − y0(s)

b=z − z0(s)

c

y este (como en el caso de las rectas) es un sistema de 2 ecuaciones cartesianas, solo que aundependen del parametro s, el cual debe ser eliminado entre ambas ecuaciones.

EjemploHallar la ecuacion cartesiana del cilindro con curva directriz P0(s) = (s2 + 1, s2 − 2,

√s − 1) y

generatriz ` : ~r(t) = (t, 2t+ 2, 1).

Solucion:

P = P0(s) + ~r(t) ⇒

x = s2 + 1 + t

y = s2 − 2 + 2t+ 2

z =√s

(⇒ At =

x− s2 − 1

1=y − s2

2=z −√s

0

)

⇒

x− s2 − 1

1=y − s2

2z =√s

⇒

{2x− y − s2 − 2 = 0

s = z2⇒ 2x− y − z4 − 2 = 0 .

C cartesiana

Si la curva directriz C esta dada mediante un sistema de 2 ecuaciones cartesianas (superficies)G1(P0) = 0 y G2(P0) = 0, entonces tenemos el sistema:

C :

{G1(P0) = 0G2(P0) = 0

` : P0 = P + t~v` ⇒

x0 = x+ tay0 = y + tbz0 = z + tc

; con t ∈ R.5

Entonces basta sustituir P0 (es decir, las variables x0, y0 y z0) de ` en las ecuaciones de C paraobtener:

Z :

{G1(P + t~v`) = 0G2(P + t~v`) = 0

(Zc)

y luego de este sistema se elimina el parametro t.

EjemploHallar la ecuacion cartesiana del cilindro que contiene a la curva de interseccion del cilindro pa-rabolico y = x2 con el plano z = x, y cuyas generatrices son paralelas a la recta con vector director~v` = (1, 2, 3).

Solucion:La ecuacion de las rectas generatrices del cilindro es:

` : P0 = P + t~v` ⇒ (x0, y0, z0) = (x+ ta, y + tb, z + tc) ⇒ (x0, y0, z0) = (x+ 1t, y + 2t, z + 3t)

5Aquı por comodidad ponemos la ecuacion vectorial de la recta como P0 = P + t~v, la cual es equivalente aP = P0 + t~v.

3

El sistema (C ) corresponde en este caso a las ecuaciones

C :

{G1(P0) = y0 − x20 = 0G2(P0) = z0 − x0 = 0

o simplemente

{y0 = x20z0 = x0

Sustituyendo el punto P0 de ` en el sistema (C ) se tiene:

Z :

{y + 2t = (x+ t)2

z + 3t = x+ t ⇒ t = 12(x− z) ⇒ y + x− z = (x+ 1

2(x− z))2

Esta ultima es la ecuacion cartesiana del cilindro. Simplificandola un poco se obtiene

4(x+ y − z) = (3x− z)2 ⇒ 9x2 − 6xz + z2 − 4x− 4y + 4z = 0

la cual resulta en este caso una ecuacion cuadratica con terminos mixtos y por lo tanto el cilindroesta rotado. Se trata de un cilindro parabolico (¿por que?).

2. Cono general

El cono K con curva directriz C y vertice V = (h, k, l), esta formado por todas las rectas genera-trices ` que pasan por el vertice V e intersecan a la directriz en algun punto P0 ∈ C .

Luego, si P ∈ K es un punto cualquiera del cono K , entonces P y V tienen que ser colineales conalgun punto P0 ∈ C , por tanto P − V es un vector paralelo a P0 − V y por tanto:

P0−V = t(P−V ) ⇒ ` : P = V + t(P0 − V ) o equivalentemente ` : P0 = V + t(P − V ) ,

para algun t ∈ R.

C parametrizada

Si la curva directriz esta dada parametricamente por C : P0 = P0(s), entonces el cono K quedadirectamente parametrizado por las ecuaciones:

K : P (s, t) = V + t(P0(s)− V ) o

x = h+ t(x0(s)− h)y = k + t(y0(s)− k)z = l + t(z0(s)− l)

; con s ∈ A, t ∈ R.

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pero dado que usualmente la ecuacion del cono que se requiere es la cartesiana, entonces paraeliminar mas facilmente a los parametros s y t puede ser mejor permutar a P con P0:

K :

x0(s) = h+ t(x− h)y0(s) = k + t(y − k)z0(s) = l + t(z − l)

; con s ∈ A, t ∈ R. (Kp)

EjemploHallar la ecuacion cartesiana del cono con curva directriz P0(s) = (s,−s,

√s − 1), con s ≥ 0, y

vertice V = (0, 1, 2).

Solucion:

K :

s = 0 + t(x− 0)−s = 1 + t(y − 1)√s− 1 = 2 + t(z − 2)

⇒

s = tx

s+ t(y − 1) = −1s = (3 + t(z − 2))2

⇒

s =

x

1− x− yt =

1

1− x− ys = (3 + t(z − 2))2

y sustituyendo en la tercera ecuacion se obtiene la ecuacion cartesiana del cono:

x

1− x− y=(

3 +z − 2

1− x− y

)2Si se desea una expresion mas simplificada, multiplicando ambos lados por (1− x− y)2:

x(1− x− y) = (3(1− x− y) + z − 2)2 ⇒ x− x2 − xy = (1− 3x− 3y + z)2

y desarrollando se obtiene: 10x2 + 9y2 + z2 + 19xy − 6xz − 6yz − 7x− 6y + 2z + 1 = 0.

C cartesiana

Si la curva directriz C esta dada mediante un sistema de 2 ecuaciones cartesianas (superficies)G1(P0) = 0 y G2(P0) = 0, entonces tenemos el sistema:

C :

{G1(P0) = 0G2(P0) = 0

` : P0 = V + t(P − V )

Entonces sustituyendo P0 en las ecuaciones de C se obtiene:

K :

{G1(V + t(P − V )) = 0G2(V + t(P − V )) = 0

(Kc)

y luego de este sistema se elimina el parametro t.

Ejemplo

Hallar la ecuacion del cono con vertice en el origen y curva directriz la helice C :

{x2 + y2 = a2

x = a cos z

Solucion:Como V = ~0, las generatrices ` tienen ecuacion:

` : P0 = V + t(P − V )⇒ P0 = ~0 + t(P −~0) = tP ⇒

x0 = txy0 = tyz0 = tz

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sustituyendo en la curva directriz:

C :

{x20 + y20 = a2

x0 = a cos z0⇒

(tx)2 + (ty)2 = a2 ⇒ t = ± a√x2 + y2

tx = a cos(tz)

y sustituyendo en la segunda ecuacion se obtiene una ecuacion cartesiana para el cono:

± ax√x2 + y2

= a cosaz√x2 + y2

⇒ x2 = (x2 + y2) cos2az√x2 + y2

3. Superficies de revolucion

La superficie de revolucion R con curva directriz C y eje de revolucion o rotacion ` : P = P` +α~v`,esta formada por todos los puntos P de los cırculos κ0 que son generados al rotar lospuntos P0 ∈ C alrededor de `. Dichos cırculos κ0:

• estan centrados en algun C0 ∈ `,

• estan contenidos en el plano π0 que pasa por P0 y es perpendicular a eje ` (es decir, el plano π0que tiene como vector normal a ~v`). Por lo tanto los puntos P cumplen la ecuacion cartesiana onormal del plano π0:

π0 : P · ~v` = P0 · ~v`

• estan contenidos en una esfera E0 con centro P` y radio d(P0, P`): dado que los puntos P del cırculoestan a la misma distancia del centro C0 ∈ `: d(P,C0) = d(P0, C0), distancia que es el radio del cırcu-lo, entonces tambien estan a la misma distancia de P` pues: d(P, P`) =

√d(P,C0)2 + d(C0, P`)2 =

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√d(P0, C0)2 + d(C0, P`)2 = d(P0, P`) y por lo tanto pertenecen a la esfera E0 con centro P` y radio

d(P0, P`), con ecuacion:

E0 : d(P, P`) = d(P0, P`) ⇒ ||P − P`|| = ||P0 − P`||

Esta ultima ecuacion se puede utilizar al cuadrado para evitar el uso de la raız cuadrada:

||P −P`||2 = ||P0−P`||2 ⇒ (x− x`)2 + (y− y`)2 + (z− z`)2 = (x0− x`)2 + (y0− y`)2 + (z0− z`)2 .

Entonces los cırculos generatrices κ0 que son la interseccion del plano π0 y la esfera E0 estan dadospor el sistema:

κ0 = π0 ∩ E0 :

{P · ~v` = P0 · ~v`

||P − P`||2 = ||P0 − P`||2(κ0)

C parametrizada

Si la curva directriz esta dada parametricamente por C : P0 = P0(s), entonces la ecuacion cartesianade la superficie de revolucion R se obtiene eliminando el parametro s del sistema:

R :

{P · ~v` = P0(s) · ~v`

||P − P`||2 = ||P0(s)− P`||2(Rp)

EjemploHallar la ecuacion cartesiana de la superficie que se genera por la rotacion de la recta `1 : ~r1(s) =(1, 2 + s, 3 + 2s) alrededor de la recta `2 : ~r2(t) = (t, 1 + t, 1− t).

Solucion:C = `1 : P0(s) = ~r1(s) = (1, 2 + s, 3 + 2s) es la curva directriz, mientras que ` = `2 : ~r2(t) =(0, 1, 1) + t(1, 1,−1) es el eje de revolucion, de donde P` = (0, 1, 1) y ~v` = (1, 1,−1).

Sustituyendo en las ecuaciones (Rp) se obtiene:

R :

{(x, y, z) · (1, 1,−1) = (1, 2 + s, 3 + 2s) · (1, 1,−1)||(x, y, z)− (0, 1, 1)||2 = ||(1, 2 + s, 3 + 2s)− (0, 1, 1)||2

⇒

{x+ y − z = 1 + (2 + s)− (3 + 2s)

x2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = (1)2 + (1 + s)2 + (2 + 2s)2

⇒

{x+ y − z = −sx2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 5s2 + 10s+ 6

y despejando de la primera ecuacion s = z−x− y y sustituyendo en la segunda ecuacion se obtienela ecuacion cartesiana de la superficie de revolucion:

x2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 5(z − x− y)2 + 10(z − x− y) + 6

De la ecuacion se observa que se trata de una superficie cuadratica. De hecho, al rotar una rectasobre otra diferente existen 3 posibilidades cuando sus vectores directores no son ortogonales entresi:

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• Si las rectas se cortan (rectas cruzadas) se genera un cono circular.

• Si las rectas son paralelas entonces se genera un cilindro circular.

• Si las rectas son alabeadas (oblicuas, no cruzadas) se genera un hiperboloide de 1 manto.

En el ejemplo se puede ver que las rectas son oblicuas y sus vectores directores no son ortogonales,por lo que la superficie generada es un hiperboloide de 1 manto.

Cuando los vectores directores son ortogonales entonces una de las rectas rota en realidad alrededorde un unico punto del eje de revolucion, entonces:

• Si las rectas se cortan (rectas cruzadas a 90o) se genera un plano perpendicular al eje de rotacion.

• Si las rectas son alabeadas (rectas alabeadas a 90o) se genera un plano perpendicular al eje derotacion pero con un hueco circular alrededor del eje de revolucion.

C cartesiana

Si la curva directriz C esta dada mediante un sistema de 2 ecuaciones cartesianas (superficies)G1(P0) = 0 y G2(P0) = 0, entonces la superficie de revolucion R esta determinada por las ecuacionescartesianas de C y las ecuaciones de π0 y E0, y tenemos el sistema:

R :

C :

{G1(P0) = 0G2(P0) = 0

κ0 :

{P · ~v` = P0 · ~v`

||P − P`||2 = ||P0 − P`||2(Rc)

Este sistema de 4 ecuaciones permite eliminar (como en los casos anteriores) las variables x0, y0 yz0 de P0 para obtener la ecuacion cartesiana de la superficie de revolucion R.

EjemploHallar la ecuacion cartesiana de la superficie de revolucion cuya curva directriz es la intersecciondel la esfera: x2 + y2 + z2 − 6ax+ 3a2 = 0, donde a > 0, con el plano x = y, y eje de rotacion el ejez.

Solucion:Podemos saber que tipo de superficie de revolucion R se generara conociendo la forma de la curvadirectriz C y su posicion con respecto del eje de rotacion ` (este analisis no se requiere para hallarla ecuacion).

La curva directriz C es la interseccion de una esfera cortada por un plano y por lo tanto es uncırculo de R3. En este caso el plano x = y es un plano vertical (pues z esta libre) y como pasa porel origen entonces contiene al eje z. Luego tanto el cırculo como el eje de rotacion se encuentransobre el plano vertical. El facil ver que la esfera no toca al eje z pues el eje z se puede representarpor las ecuaciones x = 0 y y = 0 (interseccion de los planos πxz y πyz), y sustituyendo ambas enla esfera se obtiene: z2 + 3a2 = 0, que no tiene solucion pues es una suma de cuadrados en dondea > 0. Luego el cırculo que esta sobre la esfera tampoco toca al eje z. Al rotar un cırculo sobreun eje externo al mismo y que se encuentra en el mismo plano del cırculo se genera una superficiellamada “toro”, cuya forma es similar a la de una dona y por lo tanto se le conoce popularmente

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tambien con ese nombre.

Las ecuaciones cartesianas del cırculo directriz son C :

{x20 + y20 + z20 − 6ax0 + 3a2 = 0

x0 = y0y para el

eje z de revolucion se puede tomar P` = ~0 el origen, y ~v` = (0, 0, 1) = k. Luego el sistema (Rc)queda

C :

{x20 + y20 + z20 − 6ax0 + 3a2 = 0

x0 = y0

κ0 :

{(x, y, z) · (0, 0, 1) = (x0, y0, z0) · (0, 0, 1)

||(x, y, z)−~0||2 = ||(x0, y0, z0)−~0||2⇒

x20 + y20 + z20 − 6ax0 + 3a2 = 0

x0 = y0

z = z0

x2 + y2 + z2 = x20 + y20 + z20

Sustituyendo la 4a ecuacion en la 1a:x2 + y2 + z2 − 6ax0 + 3a2 = 0

x0 = y0

z = z0

x2 + y2 + z2 = x20 + y20 + z20

Sustituyendo la 2a y 3a ecuaciones en la 4a se eliminan y0 y z0 y se tiene (las ecuaciones 2a y 3a yano sirven y se eliminan del sistema){

x2 + y2 + z2 − 6ax0 + 3a2 = 0

x2 + y2 = 2x20

Para evitar sacar raız cuadrada, despejamos x0 en la 1a ecuacion y elevamos al cuadrado:{(x2 + y2 + z2 + 3a2)2 = 36a2x20x2 + y2 = 2x20

y eliminando entre ambas ecuaciones a x0 se obtiene la ecuacion cartesiana del toro:

(x2 + y2 + z2 + 3a2)2 = 18a2(x2 + y2)

Caso especial

Curva directriz C sobre uno de los planos coordenados, rotando sobre uno de los ejes coordenadosde ese plano

Si la curva directriz C esta sobre alguno de tres los planos coordenados: πxy, πxz o πyz; sus ecuacionescartesianas pueden darse mediante la ecuacion del plano coordenado y la ecuacion de un cilindroperpendicular al plano, esto es, una ecuacion de cilindro que solo tenga las variables del plano (laotra variable libre). Llamemos u y v a las variables del plano que contiene a C y w a la variablelibre que no aparece en la ecuacion.6 Entonces el plano πuv tiene ecuacion w = 0 y las ecuacionescartesianas de C son de la forma:

C :

{G(u0, v0) = 0

πuv : w0 = 0

6u, v y w son las variables x, y y z en algun orden.

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Si el eje de rotacion es el eje coordenado u que pasa por el origen, entonces al igual que en el ejemploanterior puede tomarse siempre P` = ~0 y P · ~v` = u. Entonces el sistema (Rc) toma la forma

R :

C :

{G(u0, v0) = 0

w0 = 0

κ0 :

{u = u0

u2 + v2 + w2 = u20 + v20 + w20

Sustituyendo la 2a y 3a ecuaciones en la 1a y 4a ecuaciones se obtiene:

{G(u, v0) = 0

v2 + w2 = v20

y finalmente de la 2a ecuacion despejamos v0 = ±√v2 + w2 para sustituirlo en la primera obteniendo

la ecuacion cartesiana buscada: G(u,±√v2 + w2) = 0. En resumen:

Dadas las ecuaciones cartesianas de una curva directriz sobre uno de los planos cartesianos, unaecuacion G(u, v) = 0 con una variable libre y la otra ecuacion w = 0 la del plano cartesiano; parahallar la ecuacion cartesiana de la superficie de revolucion Rπ generada por la curva alrededordel eje u, uno de los ejes del plano de la directriz, cambie v → ±

√v2 + w2 en la ecuacion

G(u, v) = 0 y ası obtendra la ecuacion buscada:

G(u,±√

v2 + w2) = 0 (Rπ)

EjemploHallar la ecuacion cartesiana de la superficie de revolucion generada al rotar alrededor del eje y la

parabola oblicua C :

{y + x− 1 = (y − x)2

z = 0.

Solucion:La variable libre es z. Como el eje de rotacion es y, entonces es la otra variable x la que cambiamospor x → ±

√x2 + z2 (la variable del eje de rotacion no se manipula, se deja igual). Entonces la

ecuacion cartesiana de la superficie de revolucion es:

y ±√x2 + z2 − 1 = (y −±

√x2 + z2)2

Si no se desea que queden los signos ±, en este caso se puede simplificar la ecuacion originaldespejando x y elevandolo al cuadrado para efectuar luego la sustitucion x2 → x2 + z2

y + x− 1 = y2 − 2xy + x2 ⇒ x+ 2xy = x2 + y2 − y + 1⇒ x(1 + 2y) = x2 + y2 − y + 1

⇒ x2(1 + 2y)2 = (x2 + y2 − y + 1)2 → (x2 + z2)(1 + 2y)2 = (x2 + y2 + z2 − y + 1)2 .

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