-
8.4. En cada uno de los siguientes incisos, determine ecuaciones
simtricasde las reglas de Q que pasan por el punto P y una ecuacin
cartesiana del planoa Q en P .
(3) Q : 36x2 + 16y2 9z2 = 144, P = (2, 3,4).
Solucin: Tenemos que
(x, y, z) 2 Q$ 36x2 + 16y2 9z2 = 144
$ x24 + y2
9 z2
16 = 1
$ x24 z2
16 = 1 y2
9
$ x2 + z4 x2 z4 = 1 + y3 1 y3
De lo anterior resulta conveniente definir para cualesquiera k,
h 2 R losplanos
k0 :x2 +
z4 = k
1 + y3
& k1 : k
x2 z4
= 1 y3 ,eh0 : x2 z4 = h 1 + y3 & eh1 : h x2 + z4 = 1 y3
.
Luego,
k =x2+
z4
1+ y3& h =
x2 z41+ y3
Sustituimos x = 2, y = 3 y z = 4 y obtenemosk = 0 & h =
1
As que los planos para este punto son
1
-
00 :x2 +
z4 = 0 &
01 : 0 = 1 y3 ,e10 : x2 z4 = 1 + y3 & e11 : x2 + z4 = 1 y3
.
En virtud de que 00 , 01 y e10 , e11 , definimos`0 := 00 \ 01
& m1 := e10 \ e11
`0 = x2 +z4 = 0,
y3 = 1 & m1 =
x2 y3 z4 = 1, x2 + y3 + z4 = 1
De acuerdo con 8.3, `0 y m1 son las reglas para el punto P .El
plano tangente a Q en P , que denotaremos por , es aquel que
contiene
a `0 y m1. Hagamos las cuentas correspondientes.
v`0 = (2, 3,4) (0, 3, 0) = (2, 0,4), vm1 = (2, 3,4) (2, 0, 0) =
(0, 3,4)De aqu que
v`0 vm1 =
2 0 40 3 4e1 e2 e3
= (12, 8, 6)Por tanto,
: ((x, y, z) (2, 3,4)) 12 (v`0 vm1) = 0(x 2, y 3, z + 4) (6, 4,
3) = 0
6x+ 4y + 3z 12 = 0
2
-
9.4. Sea ` : x 2y + 1 = 0, z = 0 y sea R la superficie de
revolucingenerada por ` y el eje X
(1) Halle una ecuacin cartesiana de R.
Solucin: Sabemos que basta con sustituir y por el trmino py2 +
z2.x 2
py2 + z2+ 1 = 0
(x+ 1)2 =h2py2 + z2i2
(x+ 1)2 4 y2 + z2 = 0
(2) Encuentre un vector v de tal forma que la ecuacin de v [R]
sea la deun cono cuadrtico.
Solucin: Vamos a trasladar el lugar geomtrico ` de tal manera
que pasepor el origen.
3
-
Si v = (1, 0, 0) se sigue que
(x, y, z) 2 v [R]$ v (x, y, z) 2 v [v [R]]
$ v (x, y, z) 2 R$ (x, y, z) (1, 0, 0) 2 R$ (x 1, y, z) 2 R
$ ((x 1) + 1)2 4 y2 + z2 = 0$ (x)2 4 y2 + z2 = 0$ x2 4y2 4z2 =
0
$ y2 + z2 x24 = 0
No obstante, el ejercicio no ha concluido puesto que de acuerdo
con nuestrocatlogo de superficies cuadrticas fundamentales, el cono
cuadrtico es de laforma
4
-
x2
a2 +y2
b2 z2
c2 = 0
Para llevar a un ecuacin de esta forma aplicaremos un rotacin de
90 gradocon respecto a eje Y . Recordemos que
rotY (x, y, z) = (x cos z sen, y, x sen + z cos)Luego,
(x, y, z) 2 rotY2 [v [R]]
$ rotY2(x, y, z) 2 rotY
2
hrotY2 [v [R]]
i$ rotY
2(x, y, z) 2 v [R]
$ x cos2 z sen2 , y, x sen2 + z cos2 2 v [R]$ (z, y, x) 2 v
[R]
$ y2 + x2 (z)24 = 0
$ x2 + y2 z24 = 0
Identifica el lugar geomtrico dado por la siguiente ecuacin
x2 4y2 z2 4x 24y + 4z 32 = 0.
Solucin: Sea G := x2 4y2 z2 4x 24y + 4z 32 = 0El primer paso es
realizar las rutinarias operaciones de factorizacin
5
-
(x, y, z) 2 G$ x2 4y2 z2 4x 24y + 4z 32 = 0
$ x2 4x+ 4 4 y2 + 6y + 9 z2 4z + 4 = 32 + 4 36 4$ (x 2)2 4 (y +
3)2 (z 2)2 = 4
$ 4 (y + 3)2 + (z 2)2 (x 2)2 = 4
$ (y + 3)2 + (z2)24 (x2)2
4 = 1
Del procedimiento anterior conjeturamos necesaria un traslacin
medianteel vector v = (2,3, 2).
(x, y, z) 2 v [G]$ v (x, y, z) 2 v [v [G]]
$ v (x, y, z) 2 G$ (x, y, z) + (2,3, 2) 2 G$ (x+ 2, y 3, z + 2)
2 G
$ ((y 3) + 3)2 + ((z+2)2)24 ((x+2)2)2
4 = 1
$ y2 + z24 x2
4 = 1
6
-
Esta ltima ecuacin es similar a la forma general de un
hiperboloide de unmanto
x2
a2 +y2
b2 z2
c2 = 1
As que nos resta aplicar un rotacin de 90 grados. Sabemos
que
rotY (x, y, z) = (x cos z sen, y, x sen + z cos).Luego,
(x, y, z) 2 rotY2 [v [G]]
$ rotY2(x, y, z) 2 rotY
2
hrotY2 [v [G]]
i$ rotY
2(x, y, z) 2 rotY
2
hrotY2 [v [G]]
i$ rotY
2(x, y, z) 2 v [G]
$ x cos2 z sen2 , y, x sen2 + z cos2 2 v [G]$ (z, y, x) 2 v
[G]
$ y2 + x24 (z)2
4 = 1
$ x24 + y2 z2
4 = 1
Podemos concluir que G es un hiperboloide de un manto.
7
-
Ahora vamos a comprobar que G es la traslacin mediante el vector
(2,3, 2)de la rotacin bajo 90 de y2 + x
2
4 z2
4 = 1, es decir,
G = (2,3,2)hrotY
2
hn(x, y, z) : x
2
4 + y2 z24 = 1
oiiEn efecto,
(x, y, z) 2 (2,3,2)hrotY
2
hn(x, y, z) : x
2
4 + y2 z24 = 1
oii$ (2,3,2) (x, y, z) 2
(2,3,2)h(2,3,2)
hrotY
2
hn(x, y, z) : x
2
4 + y2 z24 = 1
oiii$ (2,3,2) (x, y, z) 2 rotY
2
hn(x, y, z) : x
2
4 + y2 z24 = 1
oi$ (x 2, y + 3, z 2) 2 rotY
2
hn(x, y, z) : x
2
4 + y2 z24 = 1
oi$ rotY2 (x 2, y + 3, z 2) 2 rotY2
hrotY
2
hn(x, y, z) : x
2
4 + y2 z24 = 1
oii$
(x 2) cos 2 (z 2) sen 2 , y + 3, (x 2) sen 2 + (z 2) cos 2 2n(x,
y, z) : x
2
4 + y2 z24 = 1
o$ (z 2, y + 3,x+ 2) 2
n(x, y, z) : x
2
4 + y2 z24 = 1
o$ (z2)24 + (y + 3)2 (x+2)
2
4 = 1
$ (y + 3)2 + (z2)24 (x2)2
4 = 1
$ (x, y, z) 2 G
8
