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Supplement of Adv. Stat. Clim. Meteorol. Oceanogr., 3, 1–16, 2017http://www.adv-stat-clim-meteorol-oceanogr.net/3/1/2017/doi:10.5194/ascmo-3-1-2017-supplement© Author(s) 2017. CC Attribution 3.0 License.
Supplement of
Reconstruction of spatio-temporal temperature from sparse historical recordsusing robust probabilistic principal component regressionJohn Tipton et al.
Correspondence to: John Tipton ([email protected])
The copyright of individual parts of the supplement might differ from the CC-BY 3.0 licence.
S Supplementary Material
S.1 Marginal distribution
Conditional on the unobserved latent principal components, we can write the robust Student’s-
t pPCR likelihood as
[yit∣∣Zi,βt,v2
it
][Xi|Zi,σ] [Zi]5
∝exp
− (yit−Ziβt)2
2v2it
−
(Xi− K̂Zi
)′(Xi− K̂Zi
)2σ2 − Z′iZi
2
∝exp
{−1
2Z′i
(βtβ
′t
v2it
+ K̂′K̂σ2 + I
)Zi + Z′i
(βtyitv2it
+ K̂′Xi
σ2
)}
× exp{− y2
it
2v2it
− X′iXi
2σ2
}∝exp
{−1
2(Zi−µZit
)′Σ−1Zit
(Zi−µZit
)− y2
it
2v2it
− X′iXi
2σ2 +µ′Zit
Σ−1Zit
µZit
2
}
where ΣZit=(
βtβ′t
v2it
+ K̂′K̂σ2 + I
)−1and µZit
= ΣZit
(βtyit
v2it
+ K̂′Xi
σ2
). Integrating the above10
equation with respect to Zi we get
[yit∣∣βt,v2
it,σ]∝ exp
{− y2
it
2v2it
+µ′Zit
Σ−1Zit
µZit
2
}
∝ exp
− y2it
2v2it
+
(ΣZit
(yitβt
v2it
+ K̂′Xi
σ2
))′Σ−1Zit
(ΣZit
(yitβt
v2it
+ K̂′Xi
σ2
))2
∝ exp
{−1
2y2it
(1v2it
− β′tΣZitβt
(v2it)2
)+ yit
(β′tΣZit
K̂′Xi
v2itσ
2
)}
which is N(µyit ,σ
2yit
)with15
σ2yit
=(
1v2it
− β′tΣZitβt(v2it)2
)−1
µyit=(
1v2it
− β′tΣZitβt(v2it)2
)−1β′tΣZitK̂′Xi
v2itσ
2
1
To further simplify this equation, we use the Morrison-Woodbury matrix inversion formula
(A + UDV)−1 = A−1−A−1U(D−1 + VA−1U
)−1 VA−1.
Then, defining A = v2itI, U = β′t, V = βt, and D =
(K̂′K̂σ2 + I
)−1,20
σ2yit
=(
Iv2it
− β′tΣZitβt
(v2it)2
)−1
=
Iv2it
− β′tv2it
(βtβ
′t
v2it
+ K̂′K̂σ2 + I
)−1βtv2it
−1
= v2it + β′t
(K̂′K̂σ2 + I
)−1
βt
= v2it + β′tM−1
p βt
with Mp = K̂′K̂σ2 + I.25
Then, letting Bt = M−1/2p βt the conditional mean µyit is
µyit =(
1v2it
− β′tΣZitβt
(v2it)2
)−1(β′tΣZit
K̂′Xi
v2itσ
2
)
=(v2it + β′tM−1
p βt)β′t
v2it
(βtβ
′t
v2it
+ K̂′K̂σ2 + I
)−1K̂′Xi
σ2
=(v2it + B′tBt
)(β′tv2it
(βtβ
′t
v2it
+ Mp
)−1 K̂′Xi
σ2
)
=(v2it + B′tBt
)β′tv2it
(M
12p
(M− 1
2p βtβ
′tM− 1
2p
v2it
+ I)
M12p
)−1K̂′Xi
σ2
30
=(v2it + B′tBt
)B′tv2it
(BtB′tv2it
+ I)−1
M− 12
pK̂′Xi
σ2
=(
B′t + B′tBtB′tv2it
)(BtB′tv2it
+ I)−1
M− 12
pK̂′Xi
σ2
= B′t(
I + BtB′tv2it
)(BtB′tv2it
+ I)−1
M− 12
pK̂′Xi
σ2
= B′tM− 1
2p
K̂′Xi
σ2
=β′tM−1
p K̂′Xi
σ235
2
yit|βt,v2it,σ ∼N
(X′iK̂M−1
p βtσ2 ,v2
it + β′tM−1p βt
).
S.2 Robust PCR Model Posterior Mean July Temperature
−95 −85
4246
50
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3
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7
S.3 Robust PCR Model July Temperature Posterior Standard Deviations
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5
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45
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4246
50
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20
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