Sur l’existence de position d’équilibre dans des ...csidoc.insa-lyon.fr/these/2005/hafidi/these.pdf · 1.2) à deux degrés de liberté. Le premier est le déplacement vertical,

No d’ordre 05-ISAL-0081 Année 2005

THESE

présentée

devant l’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES

pour l’obtention

du DIPLOME DE DOCTORAT

par

Monsieur Imad HAFIDI

soutenue le 22 Novembre 2005

Après avis de : Bertrand MAURY PR

Carlos VAZQUEZ PR

Sur l’existence de position d’équilibre dans des

mécanismes lubrifiés

JURY: Ivan IORDANNOFF, PR Examinateur

Bertrand MAURY, PR Rapporteur

Carlos VAZQUEZ, PR Rapporteur

Guy BAYADA, PR Directeur

Mohammed JAI, MCF Co- Directeur

Sorine Lionel CIUPERCA, MCF Co- Directeur

Spécialité : analyse numérique, modélisation mathématique, et calcul scientifique

Ecole doctorale : mathématiques et informatique fondamentale de Lyon

Laboratoire ICJ, Institut Camille Jordan Unité Mixte de Recherche du CNRS 5208

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3

Résumé

Le travail traite de l’analyse dynamique d’un système mécanique constitué de deux

surfaces rigides l’une est en mouvement par rapport à l’autre. La surface inférieur est

plane animé d’une vitesse horizontal, la surface supérieure est mobile. L’espace entre

les deux surfaces est remplis de fluide lubrifiant incompressible ou compressible dans le

contexte de mécanique des films minces, ce fluide obéit à l’équation de Reynolds. La

première partie de ce travail porte sur un problème dynamique incompressible. On étudie

d’abord le comportement asymptotique de la solution de l’ équation et de l’inéquation de

Reynolds quand la hauteur tend vers 0 pour différentes formes géométriques de celle-ci.

Ensuite, nous nous intéressons à l’étude de l’équilibre de notre système dynamique pour

le cas de deux degrés de liberté du mouvement de la surface supérieure. L’existence est

montrée dans le cas de l’inéquation de Reynolds en dimension 1 et pour des surfaces

planes en dimension 2, pour une forme géométrique plus générale, on obtient une exis-

tence conditionnelle. La fin de cette partie est consacrée au problème dynamique pour le

quel l’existence est montrée dans le cas d’un seul degré de liberté. La deuxième partie est

dédiée pour un problème compressible. On étudie aussi le comportement asymptotique

en adaptant les techniques acquises dans la première partie avec la nonlinéarité de l’équa-

tion de Reynolds compressible. Dans le dernier chapitre on montre l’existence et l’unicité

de la solution de l’équation de Reynolds compressible parabolique sous des hypothèses

faibles que celles cité dans d’autres travaux.

Mots-clés : Equation de Reynolds, lubrification, interaction fluide-structure, Espaces So-

boleve à poids, comportement asymptotique.

4

5

Abstract

The work treats dynamic analysis of a mechanical system which is consist in two

rigid surfaces in relative motion. The bottom surface, assumed planar and horizontal,

moves with a constant horizontal translation velocity while the upper surface is mobile.

The contact between the bodies is mediated by a lubricant fluid, which can be assumed in-

compressible or compressible. Under the thin-film hypothesis, the fluid pressure satisfies

the Reynolds equation. The first part of this work concerns an incompressible dynamic

problem. We first study the asymptotic behavior of solution of both equation and inequa-

tion of Reynolds when the normalized distance between the rigid surfaces tends to zero for

different geometric shapes. Then, we are interested in the study of dynamic system equi-

librium in the case of two freedom degrees of the upper surface motion. The existence is

proven in the case of the inequation of Reynolds in dimension 1 and for plane surfaces

in dimension 2, for a general geometrical shape, one obtains a conditional existence. The

end of this part, the dynamic problem for which the existence is proved in the case of

only one degree of freedom is studied. The second part of this work is dedicated for a

compressible problem. We also study the asymptotic behaviour by adapting techniques

acquired in the first part with the nonlinearity of the compressible equation of Reynolds.

In the last chapter, we proved the existence and the uniqueness of the solution of the equa-

tion of compressible Reynolds parabolic under weak hypothesis that those quoted in other

works.

Kewyords : Reynolds equation, Lubrication, fluid-rigid body interaction, weighted Sobo-

lev spaces, asymptotic behaviour.

2

Table des matières

1 Introduction 5

2 Singular perturbation problem for the incompressible Reynolds equation 15

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

2.3 Asymptotic behavior of the equation case (problem (P1)) . . . . . . . . . 23

2.3.1 Line contact case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.3.2 Point contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.4 Asymptotic behavior in the inequation case (Problem (P2)) . . . . . . . . 38

2.4.1 Line contact case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

2.4.2 Point contact case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

3 Équilibre d’un mécanisme lubrifié incompressible à deux degrés de liberté 43

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

3.2 Équilibre dans le cas équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

3.2.1 Résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

3.2.2 Existence d’un point d’équilibre dans le cas monodimensionnel

(n = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.3 Existence d’un point d’équilibre dans le cas bidimensionnel(n = 2) 57

3.2.4 Le cash0 ≡ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Inéquation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

3.3.2 Quelques résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

4 TABLE DES MATIÈRES

3.3.3 Un résultat d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

4 Comportement dynamique d’un mécanisme lubrifié dans le cas incompres-

sible 91

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

4.2 Quelques préliminaires et un résultat d’existence local . . . . . . . . . .94

4.3 Existence globale en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

4.3.1 Conditions suffisantes d’existence globale . . . . . . . . . . . .95

4.3.2 Conditions suffisantes de non existence globale . . . . . . . . .97

4.4 Points d ’équilibre et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

5 Comportement asymptotique du fluide compressible 103

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

5.2 Quelques définition et résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . .106

5.2.1 Espaces de Sobolev à poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

5.2.2 Existence, unicité et Principe de maximum . . . . . . . . . . . .109

5.3 Le cas limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

5.4 Cas limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

5.4.1 Quelques résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

5.4.2 Les principaux résultats dans le cas limite infinie . . . . . . . . .129

5.5 Équilibre avec un seul degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

6 Existence et unicité de l’équation de Reynolds compressible parabolique 135

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

6.2 Problème semi discrétisé en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

6.2.1 Existence d’une solution du problème discrétisé local . . . . . . .139

6.2.2 Unicité du problème semi-discrétisé local . . . . . . . . . . . . .145

6.3 Estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

6.4 Existence et unicité du problème continu . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

Chapitre 1

Introduction

Les contacts lubrifiés sont généralement utilisés dans les systèmes mécaniques consti-

tués de solides très rapprochés en mouvement relatif. L’introduction d’ un fluide lubrifiant,

dans l’espace entre les corps permet :

• d’éviter le contact direct solide-solide qui pourrait endommager les surfaces,

• de diminuer les frottements et les résistances passives dans les machines, pour ré-

duire les efforts.

• d’améliorer le rendement des machines et économiser l’énergie.

• de protéger les organes lubrifiés contres les diverses formes de corrosion et d’usure,

donc contribuer à leur longévité.

Le fluide lubrifiant peut être un liquide, pratiquement incompressible, tel que l’huile,

l’eau : c’est le cas dans les paliers et les butées hydrodynamiques, ou de l’air dont il faut

prendre en compte la compressibilité ( cas des têtes de lecture, bandes magnétiques, pa-

liers aérodynamiques).

Sous les hypothèses suivantes :

• Le milieu est continu et le fluide est newtonien.

• L’écoulement est laminaire et les forces massiques extérieures au fluide sont négli-

geables.

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

FIG. 1.1 –

• Il n’y a pas de glissement entre le fluide et les parois (sur les parois, la vitesse du

fluide est égale à celle des parois).

• La viscosité du fluide est constante.

• L’épaisseur du film est très faible devant la largeur et la longueur du contact (C’est

l’hypothèse fondamentale de la lubrification hydrodynamique).

La pression normalisée du fluide ne dépend pas de la normale aux surfaces et satisfait

l’équation dite de Reynolds :∇ · [h3(x,t)ρ∇p] = ∂x1(ρh) + ∂t(hρ) x = (x1,x2) ∈ Ω,t ≥ 0

p(x,t) = pa ≥ 0 x ∈ ∂Ω, t ≥ 0

(1.1)

où Ω ⊂ R2 est la projection du domaine contenant le lubrifiant sur un des surfaces (Fig.

1.1).

h : Ω × [0, + ∞[→ R+ représente l’épaisseur normalisée du film lubrifiant,ρ la masse

7

volumique etp = p(x,t) la pression du fluide.

Dans les chapitres 2 à 4 de la thèse, nous considérons le cas d’ un système lubrifié

constitué d’une surface inférieure plane (située dans le plan horizontal) en mouvement de

cisaillement uniforme par rapport à une surface supérieure dont la hauteur est définie par

h(x,t)(Fig. 1.1). Le fluide est supposé incompressible(ρ est égale à une constante).

On considère comme problème modèle un dispositif du type “Articulated Slider “(Fig.

1.2) à deux degrés de liberté. Le premier est le déplacement vertical,a, et le second est

l’angle de rotationθ autour d’un axe situé à l’abscissex01 (Fig. 1.2). La force extérieure

que doit supporter ce mécanisme est une force verticaleF (t) (parallèle àOx3). La pres-

sion hydrodynamiquep(x,t) induit une portanceW (t) donnée par:

W (t) =

∫Ω

p(x,t) dx

dont on souhaite en pratique qu’elle équilibre la forceF (t).

La géométrie du solide supérieur est définie "par construction" par :

h0(x,t) = h0(x) + θ(t)x1 (1.2)

de sorte que la distance verticale entre les 2 solides sera donnée par

h(x,t) = h0(x,t) + a(t) (1.3)

La deuxième loi fondamentale de Newton nous donne les équations normalisées :

a′′(t) =

∫Ω

p(x,t) dx− F (t) (1.4)

θ′′(t) =

∫Ω

p(x,t) (x1 − x01) dx (1.5)

avec les condition initiales :

a(0) = a01, a

′(0) = a0

2 (1.6)

θ(0) = θ01, θ

′(0) = θ0

2 (1.7)


Le problème à résoudre est alors : Trouverp(x,t),a(t),θ(t) satisfaisant (1.1)-(1.7).

Ce problème peut être vu comme un problème d’intéraction fluide-structure rigide [40,

39, 37, 36, 38] où les équations de la mécanique des fluides habituellement utilisées sont

remplacées par le modèle de Reynolds.

Le problème (1.1)-(1.7) est la version "réciproque" du problème étudié usuellement

dans de nombreux travaux mathématiques en lubrification. Ceux-ci cherchent pour une

géométrieh donnée à obtenir des résultats d’existence et d’unicité pour l’équation (1.1)

et ses variantes( voir par exemple [47, 48, 49]). Le chapitre 6 de cette thèse sera consacré

à un problème "direct" de ce type.

En réalité, dans la plupart des problèmes réels, on ne connaît que les forces extérieurs

agissant sur le système mécanique. Celui-ci s’adapte pour répondre a ces sollicitations

extérieurs et il est alors important de savoir si les points d’équilibres correspondantes

sont acceptables du point de vue sécurité de fonctionnement [ épaisseur minimal entre

les surfaces pour éviter les contacts, stabilité de la position d’équilibre· · · ]. Très peu

d’études mathématiques ont été consacré à ce sujet ( [9],[25]· · · ) et elles seront décrits

plus en détail dans la suite de mémoire.

Dans les chapitres 2 et 3 nous considérons le cas statique à l’équilibre (F (t) = F )

d’abord avec un seul degré de liberté (θ = constante connue) puis à deux degrés de liberté.

Dans le chapitre 4, nous étudions le problème dynamique à un degré de liberté et donnons

des résultats d’existence globale ou de non existence.

Remarque 1.0.1.Si le second membre de l’équation(1.1) est négatif, alors le principe

de maximum nous garantit la positivité de la solution. Sinon la pression peut atteindre

des valeurs négatives ce qui est physiquement inacceptable. Ceci correspond en pratique

à l’existence d’une zone dite de cavitation à pression nulle où l’équation(1.1) n’est pas

satisfaite. Il est usuel de remplacer alors l’équation(1.1) par un modèle inéquation va-

riationnelle qui nous garanti une solution positive. C’est ce que nous ferons dans les

chapitres 2 et 3.

9

FIG. 1.2 –Schéma du mécanisme "Articulated Slider"

Le problème statique à un degré de liberté s’écrit:

Trouverp(x) eta > 0 solutions de

∇ ·[(h0 + a

)3∇p] =∂h0

∂x1

x ∈ Ω (1.8)

p = 0 sur∂Ω (1.9)∫Ω

p = F (1.10)

h0 ≥ 0 fixée etminx∈Ω

h0(x) = 0 (1.11)

Dans le cas monodimensionnel et pourh0 affine( surface supérieure plane ) le pro-

blème (1.8)-(1.10) a été résolu analytiquement dans [12]. Comme prévu intuitivement

l’auteur a montré que la distance d’équilibrea diminue quand la force appliquéeF aug-

mente.

Dans le cas oùh0 n’est plus affine où dans le cas bidimensionnel les seuls résultats qui

existent sont purement numériques [18].


La méthode de résolution proposée pour le problème (1.8)-(1.10) est basée sur l’introduc-

tion de l’application :

g : ]0,+∞[ → R

a → g(a) =

∫Ω

p(x) dx

(1.12)

oùp est la solution de (1.8) - (1.9). Il est clair que tout revient à trouver une solutiona de

l’équation scalaire non linéaire :

g(a) = F (1.13)

Il est immédiat de voir queg ∈ C∞ (théorème des fonctions implicites) et queg(a) tend

vers 0 quanda tend vers l’infini. Tout revient à connaître le comportement de la fonction

g et donc de la solutionp de (1.8) - (1.9) quanda tend vers0. L’équation de Reynolds

devient alors dégénérée d’après (1.11). Cette étude fait l’objet du chapitre 2.

Deux configurations géométriques particulières ont été étudiées correspondant chacune

à des mécanismes précis. Dans le premier le cas d’un contact lineique [line contact],h0

s’annule sur un segmentx1 = 0 ce cas peut apparaître dans des paliers ( journal bearing

). Dans le cas d’un contact ponctuel [point contact],h0 s’annule au point (0,0) ce qui peut

se produire dans des roulements à billes.

Dans le premier cas, en supposant queh0 se comporte comme(−x1)α, nous montrons

queg(a) tend vers une constante siα ∈]0,1[ ( On utilise pour cela les espaces de Sobolev

à poids) et tend vers∞ si α est supérieure ou égale à1. Nous déduisons alors l’existence

d’au moins une solution de (1.8) -(1.10) pour toutF > 0 si α ≥ 1 et pourF < lima→0

g(a)

si α ∈]0,1[.

Dans le deuxième cas ( contact ponctuel ), en supposant queh0 se comporte comme

(x21 + x2

2)α/2 = |x|α, on obtient des résultats analogues pourα < 3/2 (limite finie) et

α ≥ 3/2 (limite infinie).

Enfin, nous montrons que les résultats obtenus sont identiques en utilisant l’inéquation à

la place de l’équation.

11

Le problème statique à deux degrés de liberté étudié dans le chapitre 3 est le suivant:

Trouver(p(x),a,θ) satisfaisant :

∇ ·[(h0 + a+ θx1

)3∇p] =∂h0

∂x1

x ∈ Ω (1.14)

p = 0 sur∂Ω (1.15)∫Ω

p = F (1.16)∫Ω

p(x1 − x01) = 0 (1.17)

Cette étude repose en grande partie sur les résultats du chapitre précédent. Nous fai-

sons l’hypothèse queh0 ainsi que sa dérivée enx1 s’annulent le long du segmentx1 = 0(ce qui est vérifiée dans le cas contact lineique ).

Dans un premier temps, pour toutθ fixé, en appliquant les résultats du chapitre2 nous

montrons l’existence d’au moins une solution :a = a(θ), p = p(θ) de (1.14)-(1.16)(l’unicité

est prouvée dans certains cas particuliers).

Tout revient alors à résoudre l’équation scalaire non linéaire enθ suivante :

S(θ) =

∫Ω

p(θ)(x1 − x01) dx = 0

La difficulté sera de trouver un intervalle pourθ tel queS prend des valeurs de signes

opposés aux extrémités de cet intervalle.

On montre que pour toutF > 0 il existe x1(F ) tel que pour toutx01 > x1(F ), il y a au

moins une solution de (1.14)-(1.17)( Rappelons quex01 est l’abcisse du point (Fig. 1.2) ).

Le modèle inéquation variationnelle a été étudié seulement dans le cas monodimensionnel(Ω =

]− 1,1[). Dans ce cas nous avons pu montrer que quelque soitF > 0 et quelle que soit la

valeurx01 du point, il existe au moins une solution de (1.14)-(1.17).


Dans le chapitre4 nous avons considéré le problème dynamique (1.1)− (1.7) à un

seul degré de liberté, le déplacement vertical :

∇ ·[(h0 + a(t)

)3∇p] =∂h0

∂x1

+ a′(t) x ∈ Ω,t ≥ 0

p = 0 sur∂Ω

a′′(t) =

∫Ω

p− F

a(0) = a01,a

′(0) = a0

2

(1.18)

L’existence et l’unicité locale en temps dea(t) dansC∞([0,Tmax[) ont été prouvées. Des

conditions suffisantes pour l’existence globale en temps et aussi pour la non existence

globale ont été obtenues. Nous avons montré, sih0 est de la forme(−x1)α avecα ≥ 2

(contact ligne), on a l’existence globale en temps pour toutes données initialesa0, a1, et

toutF > 0. Pourα ∈]0,1[, nous avons la non existence globale pour toutes données ini-

tiales si la forceF est suffisamment grande.

Dans les chapitres 5 et 6 de la thèse on considère toujours deux surfaces rigides en

mouvement relatif mais séparées par un fluide compressible (par exemple l’air) contrai-

rement aux chapitres précédents. Un exemple important est système disque dur d’un or-

dinateur qui est caractérisé par deux éléments essentiels :

– Le disque magnétique qui tourne à une vitesse comprise actuellement entre3600 et

1500 tours par minute.

– La tête de lecture et d’écriture se déplaçant longitudinalement au dessus du disque

magnétique.

La tête de lecture est constituée de telle façon à ce qu’elle puisse voler au dessus de la

surface du plateau sans le toucher. Ceci est possible grâce au coussin d’air crée par la

rotation du plateau.

Dans ce travail nous nous plaçons dans le cas où l’épaisseur entre la tête et le plateau est

de l’ordre du dizième de micron mètre. Dans ces conditions, la pression de l’air entre les

13

deux surfaces obéit à l’équation de Reynolds dite “First-order” [35]:

α∂[ph]

∂t−∇ ·

[(h3p+ λh2

)∇p]

+ Λ · ∇(hp)

= 0 (x,t) ∈ QT

p(x,t) = pa, x ∈ ∂Ω, t ∈]0,T [

p(x,0) = p0(x) ∈ L2(Ω) x ∈ Ω

(1.19)

où on a noté

QT = Ω×]0,T [

avecα,λ > 0 etΛ ∈ R2 des constantes données.

Dans le chapitre 5 nous considérons la variante stationnaire du problème (1.19) avec,

pour simplifier,Λ = (1,0). On s’intéresse à la recherche d’une position d’équilibre à un

seul degré de liberté qui est le déplacement vertical:

Trouver(p(x),a) tel que

∇ ·[ (

(h0 + a)3p+ λ(h0 + a)2)∇p]

=∂

∂x1

[(h0 + a)p

]x ∈ Ω (1.20)

p = 1 x ∈ ∂Ω (1.21)∫Ω

pdx = F (1.22)

Le problème direct,a donné et l’inconnue est la fonctionp solution de (1.20)-(1.21) a

été étudié dans [1, 3] avec quelques améliorations dans [30, 34].

Comme dans le cas incompressible (chapitres 2 et 3), la difficulté essentielle réside

dans l’étude du comportement de∫

Ω

pdx, où p est la solution de (1.20)-(1.21), quanda

tend vers 0 et cette étude constitue la partie la plus importante du chapitre 5. Nous avons

considéré uniquement le cas contact lineique avech0 se comportant comme(−x1)α. Nous

avons montré que pourα ∈]0,1[,∫

Ω

pdx tend vers une limite finie quanda tend vers 0

tandis que pourα > 1,∫

Ω

pdx tend vers l’infini. Dans le casα = 1 nous ne pouvons pas

conclure.


Un comportement asymptotique similaire a été étudié dans [2] où l’auteur a donné des

conditions sur la fonctionh0 pour que la pressionp reste bornée ou non bornée quanda

tend vers 0 sans s’intérésser au comportement de∫

Ω

pdx.

Dans le chapitre 6 on étudie de l’existence et l’unicité des solutions faibles du pro-

blème (1.19).

L’existence a été démontrée sous l’hypothèseh ∈ W 1,∞(QT ) dans [29] où l’unicité a

aussi été prouvée sous les conditions supplémentaires∂h

∂t∈ L2(0,T ;H1(Ω)) etλ > 0.

Le casλ = 0, h radiale indépendante du temps et lipschitzienne a été étudiée dans‘[31].

Cependant les techniques de fabrication actuelles des têtes de lectures imposent une

discontinuité de la fonctionh ce qui nécessite d’étudier (1.19) sous les seules hypothèses :

h ∈ L∞(QT ),∂h

∂t∈ L∞(QT ) (1.23)

Nous avons montré, sous l’hypothèse (1.23), l’existence d’une solution faible positive.

Nous avons obtenu ensuite, sous l’hypothèse supplémentaireλ > 0, l’unicité pour toutes

les solutions faibles alors que dans tous les travaux concernant ce type de problèmes on

ne montre alors l’unicité que parmi les solutions faibles positives.

Contrairement à [29, 31] où la méthode utilisée est basée sur un changement d’in-

connue ramenant la non linéarité du terme elliptique sur le terme de convection, nous

appliquons une méthode basée sur la semi discrétisation en temps directement au pro-

blème (1.19).

Chapitre 2

Singular perturbation problem for the

incompressible Reynolds equation

Résumé

We consider a viscous incompressible fluid between two rigid and very closed

surfaces, whose pressure satisfies the Reynolds equation. We study the asymptotic

behaviour of the load and momentums when the normalized distance between the

rigid surfaces tends to zero.

16CHAPITRE 2. SINGULAR PERTURBATION PROBLEM FOR THE

INCOMPRESSIBLE REYNOLDS EQUATION

FIG. 2.1 –Sketch of a slider bearing

2.1 Introduction

The field of lubricated contact deals with dynamical systems which consist of two (or

more) bodies in relative motion. The contact between the bodies is mediated by a lubricant

fluid, which in this work is assumed incompressible. The simplest such contact is the

wedge (or plane slider), used in thrust bearings. It consists of two planar, rigid surfaces

which are not mutually parallel. It is sketched in Fig. 2.1, in which the bottom surface is

assumed to be moving horizontally towards the right. This movement entrains lubricant

towards the right in the convergent gap between the surfaces. In turn, this generates a

pressure field and consequently a thrust force, which allows to equilibrate a load.

Under the thin-film hypothesis (the gap thicknessh much smaller than the in-plane

dimensions of the contact, with the variations inh also assumed small) the fluid pressure

does not depend on the vertical coordinate, which is taken across the gap. Upon normali-

zation and assuming that the system is in a time-independent state, the pressure satisfies

the normalized Reynolds equation

∇ ·[h(x)3∇p

]=

∂h

∂x1

x = (x1, . . . ,xn) ∈ Ω (2.1)

p = 0 x ∈ ∂Ω (2.2)

whereΩ ⊆ Rn(n = 1 or 2) is the domain in which the two surfaces are in proximity,p is

2.1. INTRODUCTION 17

the normalized pressure,h(x) is the normalized gap thickness and the relative motion is

assumed along thex1-direction.

Assume, as in Fig. 2.1, that a vertical forceF is applied to the upper surface of the

bearing at a pointx0 = (x01, . . . ,x

0n). To equilibrate this load the upper surface changes its

position, intuitively getting closer to the lower surface as the applied load increases. Let

us define theshapeof the upper surface through a non negative functionh0.

Into this function we incorporate the so-called em attitude of the slider (pitch and roll

angles), so that the gap thickness becomes, simply,

h(x) = h0(x) + ε (2.3)

whereε represents the minimal distance between the surfaces. Withh0 fixed the pressure

becomes a function ofε satisfying the problem∇ ·[(h0(x) + ε

)3∇p] =∂h0

∂x1

onΩ

p = 0 on∂Ω(P1)

If we denote, for anyε > 0 :

g(ε) =

∫Ω

pdx (2.4)

then for equilibrium to hold in a system in which the only degree of freedom is the vertical

position, the upper surface must be placed so as to satisfy

g(ε) = F (2.5)

It is easy to show both thatlimε→+∞

g(ε) = 0 and thatg is a continuous function, so that

an equilibrium position exists for any positive loadF smaller thanmaxεg(ε). It is thus

extremly important to analyze the behavior ofg in the vicinity of zero, in particular the

conditions under whichlimε→0

g(ε) = +∞. This guarantees the existence of an equilibrium

position for any positiveF . A finite limit, on the other hand, guarantees the existence of

an equilibrium position for any0 < F ≤ g(0).

It is also important to study the moments of the force exerted by the pressure for each

minimal gap thicknessε defined with respect to the pointx0,

mi(ε) =

∫Ω

p(xi − x0i )dx i = 1, . . . ,n (2.6)



Equilibrium also requires that

mi(ε) = 0 i = 1, . . . ,n (2.7)

and systems with the pitch and roll angles as additional degrees of freedom have their

attitudes affected (statically or dynamically) by these conditions.

In this article we will considern = 2 and

Ω =]a1,b1[×]a2,b2[, h0 ∈ C0(Ω), with h0(x) > 0 a.e x ∈ Ω, minx∈Ω

h0(x) = 0

and the goal is to find the limits ofg(ε) andmi(ε), i = 1,2 asε→ 0+. Beside its intrinsic

importance, this study provides crucial tools for a forthcoming analysis on the existence

of equilibria for the dynamical equations of slider bearings.

As we will see later, the results strongly depend on the shape functionh0. We will

consider two important situations:

(i) whenh0 vanishes on a segment of typex1 = d1 only, with d1 ∈ [a1,b1], which

will be called "line contact case". In this case we will supposeh0 ∼ |x1 − d1|α in a

neighborhood ofx1 = d1, with α > 0.

(ii) whenh0 vanishes only on a single pointd = (d1,d2) of Ω, which will be called

"point contact case". We will supposeh0 ∼ |x− d|α in a neighborhood ofx = d,with α > 0.

In both "line contact case" or "point contact case" we obtain two type of results: (i) conver-

gence of load and momentums to some limits which will be made precise in Section 3 and

(ii) divergence to+∞ of load and momentums.

Problem (P1) can be seen like a singular perturbation of the corresponding problem (ε = 0

) with small parameterε. This kind of problem has been studied in [44, 42, 14, 45].

We can apply here singular perturbation results to obtain the convergence ofp to the solu-

tion of the limit problem denotedp0 in a weighted Sobolev space of typeH10 (Ω,h2δ1

0 ,h2δ20 )

(see Section 2 for the definition). This is not suffisant for the convergence of load and

momentums; we shall also need a continuous embedding ofH10 (Ω,h2δ1

0 ,h2δ20 ) into L1(Ω)

which is obvious ifδ1 is not large.

This singular perturbation approach works only forα < 1 in the "line contact case" and


for α <3

2in the "point contact case".

In order to have a well posed limit problem we need a Poicaré-like inequality for weighted

Sobolev spaces. This subject is well studied in the literatue (see [7, 27, 8]). We prefered

to give here a such result (see Lemma 2.2.1) with elementary proof, well adapted to our

problem.

In casesα ≥ 1 for "line contact" andα ≥ 3

2for "point contact" (divergent cases) the

singular perturbations results cited above are no more applicable.

This part is more difficult and we use extensively the maximum principle in order to find

an appropriate minorant forp whose average tends to infinity. This proves the divergence

to infinity for the load and we also prove that this divergence, in the "line contact case", is

of order greater thanε2/α−2 for α > 1 andlog(1/ε) for α = 1. In the "point contact case"

replaceα by2

3α.

In order to prove the divergence for momentums we also need to prove thatp is bounded

far from the annulation points ofh0. This result is proved using also the maximum prin-

ciple, whenh0 is a tensorial product.

We remark finally that in the "point contact case" forα ∈[3

2,2

[we have divergence of

load and momentums "alors que" the limit problem of (P1) exists in a weighted Sobolev

space. This is due to the fact that we have not continuous embedding of this space in

L1(Ω).

In some cases the solution of (P1) is negative, which does not correspond to the actual

fluid behavior since cavitation takes place forp < 0. To account for cavitation problem

(P1) is replaced by the variational inequality [4]Findp ∈ K = v ∈ H1

0 (Ω) : v ≥ 0∫Ω

(h0(x) + ε)3∇p∇(ϕ− p)dx ≥∫

Ω

h0∂

∂x1

(ϕ− p) ∀ϕ ∈ K(P2)

The goal is also to find limits ofg andmi,i = 1,2 (defined as in (2.4) and (2.6) with

p now the solution of (P2)) whenε goes to 0. We obtain the same kind of results as in the

equation case.



The paper is organised as follows. In Section 2 we give some preliminaries concer-

ning weighted Sobolev spaces. In particular we give here the Poincaré-like inequality. In

Section 3 we study the convergence for the load and momentums in the equation case

(problem (P1)) for different cases cited above. Finally in Section 4 the same study in the

inequation case (problem (P2)) is given.

2.2. PRELIMINARIES 21

2.2 Preliminaries

We considerf0,f1 ∈ C0(Ω) with fk > 0 a.ex ∈ Ω,k = 0,1.

We introduce the weighted Sobolev space

H1(Ω,f0,f1)

as the set of all measurable functionsϕ = ϕ(x) defined onΩ which have onΩ (generali-

zed) derivativesDαϕ for α = (α1,α2) ∈ N2 with α1 + α2 ≤ 1 such that∫Ω

f0(x)ϕ2(x)dx+

∫Ω

f1(x)|∇ϕ|2(x)dx <∞ (2.8)

It is clear thatH1(Ω,f0,f1) is a pre-hilbertian space equiped with the scalar product.

(ϕ1,ϕ2

)H1(Ω,f0,f1)

=

∫Ω

f0(x)ϕ1(x)ϕ2(x)dx+

∫Ω

f1(x)∇ϕ1(x) · ∇ϕ2(x)dx

Also, we introduceH10 (Ω,f0,f1) as the closure ofD(Ω) with respect to the norm of

H1(Ω,f0,f1) which is a Hilbert space endowed with the same scalar product asH1(Ω,f0,f1).

Remarque 2.2.1.If1

fk

∈ L1loc(Ω),k = 0,1 thenH1(Ω,f0,f1) is a Hilbert space [5].

We have the following general Poincaré-like inequality :

LEMME 2.2.1. Let f ∈ C0(Ω) with f > 0 a.ex ∈ Ω. Suppose that a reald1 ∈ [a1,b1]

exists such thatf is non increasing inx1 on [a1,d1]× [a2,b2] and non decreasing inx1 on

[d1,b1]× [a2,b2], with the obvious convention that ford1 = a1 (resp.d1 = b1) the function

f is only non decreasing (resp. non increasing).

Then for anyδ1,δ2 ∈ R such that:

K = supx2∈[a2,b2]

∫ d1

a1

∫ x1

a1

f 2(δ1−δ2)(s,x2)dsdx1

+ supx2∈[a2,b2]

∫ b1

d1

∫ b1

x1

f 2(δ1−δ2)(s,x2)dsdx1 <∞

we have ∫Ω

f 2δ1u2 ≤ K

∫Ω

f 2δ2∣∣∇u∣∣2, ∀u ∈ H1

0 (Ω,f 2δ1 ,f 2δ2)



Démonstration.For anyu ∈ D(Ω) we have forx1 < d1 :

f δ1(x1,x2)|u(x1,x2)| ≤ f δ1(x1,x2)

∫ x1

a1

∣∣∣∣ ∂u∂x1

(s,x2)

∣∣∣∣ ds≤∫ x1

a1

f δ1(s,x2)

∣∣∣∣ ∂u∂x1

(s,x2)

∣∣∣∣ ds (sincef is x1-non increasing)

We then have

f 2δ1(x1,x2)u2(x1,x2) ≤

(∫ x1

a1

f 2(δ1−δ2)(s,x2)ds

)×(∫ b1

a1

f 2δ2(x1,x2)( ∂u∂x1

(x1,x2))2

dx1

)∀x1 ≤ d1

Now integrating inx1 on [a1,d1] and then inx2 we obtain :

∫ d1

a1

∫ b2

a2

f 2δ1u2dx ≤

(sup

x2∈[a2,b2]

∫ d1

a1

∫ x1

a1


)

×

(∫Ω

f 2δ2( ∂u∂x1

)2

dx

) (2.9)

In the same manner, using the fact thatf is x1-non decreasing on[d1,b1] × [a2,b2] we

obtain ∫ b1

d1

∫ b2

a2

f 2δ1u2dx ≤

(sup

x2∈[a2,b2]

∫ b1

d1

∫ b1

x1


)

×

(∫Ω

f 2δ2( ∂u∂x1

)2

dx

) (2.10)

Adding (2.9) and (2.10) we obtain the desired inequality and by a density argument we

obtain the result.

COROLLAIRE 2.2.1. For f,δ1,δ2 satisfying assumptions of Lemma 2.2.1 the semi-norm∥∥f δ2∇·∥∥

L2(Ω)is a norm onH1

0 (Ω,f 2δ1 ,f 2δ2) equivalent to the norm ofH1(Ω,f 2δ1 ,f 2δ2).

2.3. ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF THE EQUATION CASE (PROBLEM(PROBLEM:P1)) 23

2.3 Asymptotic behavior of the equation case (problem

(P1))

In this section we set, for the sake of simplicity,Ω =]−1,0[2 and we suppose thath0 is

non increasing inx1. We study the asymptotic behavior, whenε goes to 0, of the solution

p of (P1) which is non negative, by maximum principle. We introduce the following limit

problem for anyδ1 ∈ R:Findp0 ∈ H1

0 (Ω,h2δ10 ,h3

0) such that

∫Ω

h30∇p0∇ϕ =

∫Ω

h0∂ϕ

∂x1

∀ϕ ∈ H10 (Ω,h2δ1

0 ,h30)

(P01)

Proposition 2.3.1.Suppose that∫

Ω

dx

h0

< +∞ andδ1 ∈ R is such that

supx2∈[−1,0]

∫ 0

−1

∫ x1

−1

h2δ1−30 (s,x2)dsdx1 < +∞

Then problem(P01) admits an unique solutionp0 ∈ H10 (Ω;h2δ1

0 ,h30) which is independent

on δ1.

Démonstration.From Lemma 2.2.1 withd1 = 0 andδ2 =3

2we deduce that the seminorm

‖h30∇ · ‖L2(Ω) is a norm inH1

0 (Ω,h2δ10 ,h3

0) equivalent to the norm inH1(Ω,h2δ10 ,h3

0).

On the other hand the application

ϕ ∈ H10 (Ω,h2δ1

0 ,h30) →

∫Ω

h0∂ϕ

∂x1

dx ∈ R

is in the dual ofH10 (Ω,h2δ1

0 ,h30) since we have :∣∣∣∣∣

∫Ω

h0∂ϕ

∂x1

∣∣∣∣∣ ≤

(∫Ω

dx

h0

)1/2[∫Ω

h30

( ∂ϕ∂x1

)2]1/2

By Lax-Milgram theorem we have classically the existence and the uniqueness for any

fixed δ1.



Now in order to prove the independence ofp0 in δ1 we considerp10 andp2

0 two solutions

corresponding respectivelly toδ11 andδ2

1 with δ21 < δ1

1. We ramark thatH10 (Ω,h

2δ21

0 ,h30) ⊂

H10 (Ω,h

2δ11

0 ,h30) with density and continuous embedding. Thenp2

0 satisfies by density the

same problem asp10 which by uniqueness gives the result.

Problem (P1) can be seen like a singular perturbation of problem (P01) with small

parameterε. This kind of problem has been studied in [44, 42, 14, 45]. Let us recall a

simplified version of a result given in [45] for more general problem which allows us to

obtain the convergence ofp to p0.

LEMME 2.3.1. Let V,W,H be three Hilbert spaces, with continuous embeddingsV ⊂W ⊆ H andV dense inW and inH.

Let b(ε;u,v),0 < ε ≤ ε0, be a sequence of continuous bilinear forms onV , b(u,v) a

continuous bilinear form onW andf ∈ H.

Under hypothesis

1. ε→ b(ε;u,v) is continuous andlimε→0

b(ε;u,v) = b(u,v) ∀(u,v) ∈ V × V

2. ∃α(ε) > 0 withα(ε) → 0 andβ > 0 such thatb(ε;u,u) ≥ α(ε)‖u‖2V +β‖u‖2

W , ∀u ∈V

3. ∃γ > 0 such thatb(u,u) ≥ γ‖u‖2W ,∀u ∈ W

4. For all sequencewε ∈ V for which|b(ε;wε,wε)| is bounded,b(ε;wε,v)− b(wε,v) →0,∀v ∈ V

5. ∃δ(ε) with δ(ε) → 0 such thatb(ε; v,v)− b(v,v) + δ(ε)b(v,v) ≥ 0

the solutionuε of problem

b(ε;uε,v) = (f,v) ∀v ∈ V,ε ≤ ε0

converges strongly inW to the solutionu of problem

b(u,v) = (f,v) ∀v ∈ W

Proposition 2.3.2.Under hypothesis of Proposition 2.3.1 , the solutionp of (P1) converges,

whenε tends to0, to p0 solution of (P01) strongly inH10 (Ω,h2δ1

0 ,h30).

Démonstration.It suffices to apply Lemma 2.3.1 with

V = H10 (Ω), W = H = H1

0 (Ω,h2δ10 ,h3

0) endowed with the norm‖h30∇ · ‖


uε = p, b(ε;u,v) =

∫Ω

(h0 + ε)3∇u∇vdx, b(u,v) =

∫Ω

h30∇u∇vdx

We choosef in the following manner: since the applicationv ∈ W →∫

Ωh0

∂v∂x1

is an ele-

ment ofW ′, from the Riesz theorem there isf ∈ W such that∫

Ωh0

∂v∂x1

= (f,v)W , ∀v ∈W .

Assumptions (6.33)-(6.35) and (5) are immediately verified withα(ε) = ε3, β = 1,

γ = 1 andδ(ε) = 0.

Let us now verify assumption (4). Letwε be a family ofH10 (Ω), for which

∫Ω

(h0 + ε)3∇(wε)2

is bounded, so‖wε‖W is bounded. We have for allv ∈ H10 (Ω)∫

Ω

(h0 + ε)3∇wε∇v −∫

Ω

h30∇wε∇v =

∫Ω

[(h0 + ε)3/2 − h

3/20

](h0 + ε

)3/2∇wε∇v

+

∫Ω

[(h0 + ε)3/2 − h

3/20

]h

3/20 ∇wε∇v

Since(h0 + ε)3/2 − h3/20 → 0 in L∞(Ω) we easily obtain the result.

For simplicity we shall distinguish here two different situations: (i) the functionh0

vanishes on the entire segmentx1 = 0 namely line contact case, (ii) the functionh0

vanishes on a unique interior point, supposed equal to 0, namely point contact case.

2.3.1 Line contact case

We suppose for simplicity thath0 is, in a neighbourhood ofx1 = 0, equivalent to

(−x1)α with α > 0. It is then natural to make the following hypothesis

h0(x) = (−x1)αh1(x), α > 0,

h1 ∈ C1(Ω) with h1 > 0 onΩ(2.11)

We denote

M = supx∈Ω

h1(x), m = infx∈Ω

h1(x)

We shall prove in the following that for0 < α < 1 (paragraph 2.3.1) the load and the

momentum have finite limits while forα ≥ 1 (paragraph 2.3.1) they have infinite limits.



Finite limit case (α < 1)

THÉORÈME 2.3.1. For anyα ∈]0,1[ and(x01,x

02) ∈ Ω, we have, forε→ 0 :∫

Ω

pdx→∫

Ω

p0dx,

∫Ω

(xk − x0k)p→

∫Ω

(xk − x0k)p0, k = 1,2

wherep is the solution of(P1) andp0 the solution of problem(P01)

Démonstration.Sinceα ∈]0,1[, hypothesis in Propositions 2.3.1 and 2.3.2 are satisfied

with δ1 =1

2. Then there isp0 ∈ H1

0 (Ω,h0,h30) unique solution of (P01) with δ1 =

1

2such

thatp→ p0 in H10 (Ω,h0,h

30)-strongly.

On the other hand we have for allu ∈ H10 (Ω,h0,h

30)∫

Ω

|u|dx ≤(∫

Ω

dx

h0

)1/2(∫Ω

h0u2dx

)1/2

that is the continuous embedding ofH10 (Ω,h0,h

30) in L1(Ω) holds.

This implies thatp converges top0 strongly inL1(Ω) which ends the proof.

Infinite limit case (α ≥ 1)

We shall define for anyδ > 0 :

Ωδ =]− δ,0[×]− 1,0[

Sinceh1 ∈ C1(Ω), we can choose a numberδ0 ∈]0,1

2[ such that∣∣∣∣x1

α

∂h1

∂x1

∣∣∣∣ ≤ m

2∀x ∈ Ω2δ0 (2.12)

andαm

2(−x1)

α−1 ≤ −∂h0

∂x1

≤ α(M +m

2)(−x1)

α−1, ∀x ∈ Ω2δ0 (2.13)

LEMME 2.3.2. For anyφ ∈ C2([−2δ0,0]) with φ(−2δ0) = 0 andq2 ∈ C2([−1,0]) with

q2(−1) = q2(0) = 0, there isc > 0 small enough such that :

p(x) ≥ cq1(x1)φ(x1)q2(x2) ∀x = (x1,x2) ∈ Ω2δ0

with :

q1(x1) =(−x1)

α+1(M(−x1)α + ε)3


Démonstration.We apply the maximum principle. Since the functionq1(x1)φ(x1)q2(x2),

vanishes on∂Ω2δ0 , it suffices to prove :

−c∇ ·[(a+ h0)

3∇(q1(x1)φ(x1)q2(x2))]≤ −∂h0

∂x1

∀x ∈ Ω2δ0

Dividing by (−x1)α−1 and using (2.13) it suffices to prove the existence of a positive

constantK1 independent onε such that:

−∇ ·[(a+ h0)

3∇(q1(x1)φ(x1)q2(x2))]

(−x1)α−1≤ K1

which is equivalent to

3(ε+ h0)2q2φq

′

1

[−∂h0

∂x1

(−x1)α−1

]− (ε+ h0)

3q2φq′′1

(−x1)α−1− 2(ε+ h0)

3q2φ′ q

′1

(−x1)α−1

+ 3(ε+ h0)2q1q2φ

′

[−∂h0

∂x1

(−x1)α−1

]− (ε+ h0)

3q2φ′′ q1(−x1)α−1

− (ε+ h0)3φq

′′

2

q1(−x1)α−1

− 3(ε+ h0)2q1φq

′

2

[∂h0

∂x2

(−x1)α−1

]≤ K1

(2.14)

On the other hand, it is easy to see that a constantK2 independent onε exists such that :

|q′1(x1)| ≤ K2(−x1)

α(M(−x1)α + ε

)3 ∀x1 ∈ [−1,0]

|q′′1 (x1)| ≤ K2(−x1)

α−1(M(−x1)α + ε

)3 ∀x1 ∈ [−1,0]

Using again (2.11) and the above inequalities we obtain (2.14) which concludes the proof

.

Now we are able to give a first result in the caseα ≥ 1.

THÉORÈME 2.3.2. For α ≥ 1 we have∫Ω

pdx→ +∞ whenε→ 0



Moreover there isK > 0 a constant such that forε small enough we have

–∫

Ωpdx ≥ Kε

2α−2 for α > 1

–∫

Ωpdx ≥ K log(

1

ε) for α = 1

Démonstration.We apply Lemma 2.3.2 withφ = 1 on [−δ0,0] andq2 ≥ 0 with

q2 ∈ C2([−1,0]) ∩H10 (]− 1,0[)

and∫ 0

−1q2(x2) > 0. We deduce that there is a constantc > 0 independent ofε such that

p(x1,x2) ≥ cq2(x2)φ(x1)q1(x1), ∀x ∈ Ω2δ0

with q1 given in Lemma 2.3.2.

Taking into account the fact thatp is non negative on allΩ we obtain∫Ω

pdx ≥ c

∫Ωδ0

q2(x2)q1(x1)dx = c

∫ 0

−1

q2(x2)dx2

∫ 0

−δ0

q1(x1)dx1 (2.15)

On the other hand, forα > 1 andε small enough we have∫ 0

−δ0

q1(x1)dx1 ≥∫ 0

−ε1/α

q1(x1)dx1 ≥ε1+ 2

α

(M + 1)3ε3(α+ 2)

which, with (2.15), gives the result forα > 1.

Forα = 1 an elementary calculus gives∫ 0

−δ0

q1(x1)dx1 =−1

3M3

∫ 0

−δ0

ddx1

((−Mx1 + ε)3)

(−Mx1 + ε)3dx1

− 2ε

M2

∫ 0

−δ0

−Mx1

(−Mx1 + ε)3dx1 −

ε2

M2

∫ 0

−δ0

dx1

(−Mx1 + ε)3

We easily prove that the last two terms of the right-hand side are bounded by a constant

independent onε. With the help of (2.15) we obtain the result.

In the particular case whenh0 is symmetric in thex2 direction we have the following

asymptotic behavior of thex2-momentum:

THÉORÈME 2.3.3. Suppose thath0 is symmetric inx2 with respect tox2 = −1

2and

α ≥ 1. Then we have forε→ 0

–∫

Ω(x2 − x0

2)pdx→ +∞ if x02 ∈]− 1,− 1

2[


–∫

Ω(x2 − x0

2)pdx→ −∞ if x02 ∈]− 1

2,0[

–∫

Ω(x2 − x0

2)pdx = 0 if x02 = −1

2

Démonstration.By symetry ofh0 the functionp(x1,x2) = p(x1, − 1 − x2) is also a

solution of problem (P1), so by unicityp = p. We then have∫Ω

(x2 − x02)pdx =

∫Ω

(x2 +1

2)pdx− (x0

2 +1

2)

∫Ω

pdx

The first integral of the right hand side is equal to 0 by symetry. Then we have the result

by Theorem 2.3.2.

Now we shall give the behavior of thex1-moment in the particular case whenh0 is a

tensorial product. This is often the case in practice for the line contact.

We begin by the following lemma which means thatp is bounded uniformly inε far from

the line contact.

LEMME 2.3.3. Suppose thath0(x1,x2) = a1(x1)a2(x2) with

– a2 ∈ C0([−1,0]), a2 > 0

– a1 ∈ H1(]− 1,0[), a1 ≥ 0,∂a1

∂x1

≤ 0

Then there isC > 0 such that

p(x) ≤ C

∫ x1

−1

ds

(h0(s) + ε)2, ∀x ∈ Ω

whereh0(x1) = a2ma1(x1) with a2m = minx2∈[−1,0]

a2(x2)

Démonstration.We apply again the maximum principle. Let us denoteq(x1) = C

∫ x1

−1

ds

(h0(s) + ε)2.

Sinceq ≥ 0 andp = 0 on∂Ω it suffices to show that forC > 0 large enough we have

− ∂

∂x1

[(h0 + ε)3 ∂q

∂x1

]≥ −∂h0

∂x1

∀x ∈ Ω

that is

−C∂h0

∂x1

(h0 + ε)3

(h0 + ε)3E(x) ≥ −∂h0

∂x1

(2.16)



with

E(x) = 3h0 + ε

h0 + ε− 2

a2m

a2(x1)

Now we have

E(x) =a2m

a2(x2)

[3a1 + ε

a2m

a1 + εa2

− 2

]=

a2m

a2(x2)

a1 + ε( 3a2m

− 2a2

)

a1 + εa2

We easily obtain

E(x) ≥ a2m

a2M

with a2M = maxx2∈[−1,0]

a2(x2)

which proves (3.19) by takingC ≥ a2M

a2m

sinceh0 + ε ≥ h0 + ε and∂h0

∂x1

≤ 0.

The proof is ended.

THÉORÈME 2.3.4. We suppose that the functionh1 given in (2.11) is of the form

h1(x) = g1(x1)g2(x2) with

– g2 ∈ C0([−1,0]), g2 > 0

– g1 ∈ H1(]− 1,0[), g1 > 0,d

dx1

((−x1)αg1(x1)) ≤ 0

We also supposeα ≥ 1

Then ∫Ω

(x1 − x01)pdx→ +∞ whenε→ 0 for anyx0

1 ∈]− 1,0[

Démonstration.We chooseδ > 0 such that−δ > max(x01,− δ0). Then we have∫

Ω

(x1 − x01)pdx ≥ (−δ − x0

1)

∫Ωδ

pdx+

∫ −δ

−1

∫ 0

−1

(x1 − x01)pdx

We prove as in Theorem 2.3.2 that the first integral of the right-hand side tends to+∞since−δ − x0

1 > 0. Applying Lemma 2.3.3 witha1 = (−x1)αg1 anda2 = g2 we easily

prove that the second integral is bounded by a constant independent onε. We then have

the result.

Remarque 2.3.1.An open and interesting question is to obtain an upper bound ofp

which allows to say thatp is bounded uniformly inε far fromx1 = 0, without the global

hypotheses thath0 is a tensorial product.


2.3.2 Point contact

We now suppose thath0 is, in a neighbourhood ofx = 0 equivalent to|x|α with α > 0,

where| · | denotes the Euclidian norm. We then have the following hypotheses

h0(x) = |x|αh1(x)

with h1 as in (2.11).

We shall prove that for0 < α < 32

(paragraph 2.3.2) we have convergence of load and

momentums while forα ≥ 32

(paragraph 2.3.2) they have infinite limit.

We begin by the following existence, uniqueness and convergence results.

Proposition 2.3.3. If 0 < α < 2 then for anyδ1 >3

2− 1

αthere is a unique solution

p0 ∈ H10 (Ω,h2δ1

0 ,h30) of (P01) andp→ p0 in H1

0 (Ω,h2δ10 ,h3

0).

Démonstration.The first hypotheses of Proposition 2.3.1 is obvious. The second one is

evident forδ1 ≥3

2. For

3

2− 1

α< δ1 <

3

2we use the inequality

√s2 + x2

2 ≥ |s| and the

result is obvious.

Finite limit case (α <3

2)

In the following we prove that convergences take place forα <4

3without supple-

mentary hypothesis while for4

3≤ α <

3

2we show the convergence under a restrictive

assumption onh0.

THÉORÈME 2.3.5. For 0 < α <4

3we have for any(x0

1,x02) ∈ Ω:

∫Ω

p→∫

Ω

p0,

∫Ω

(xk − x0k)p→

∫Ω

(xk − x0k)p0; k = 1,2

with p0 solution of the limit problem(P01).



Démonstration.From Proposition 2.3.3 we havep → p0 in H10 (Ω,h2δ1

0 ,h30)-strongly for

anyδ1 such that

δ1 >3

2− 1

α(2.17)

On the other hand we remark that if

0 < δ1 <1

α(2.18)

then∫

Ωh−2δ1

0 is finite, which by Cauchy-Schwartz inequality gives the continuous em-

bedding ofH10 (Ω,h2δ1

0 ,h30) in L1(Ω). This will prove the three desired convergences.

Now the existence of at least aδ1 satisfying (2.17) and (2.18) is assured if3

2− 1

α<

1

α

which is equivalent toα <4

3.

THÉORÈME 2.3.6. For4

3≤ α <

3

2, under the supplementary hypotheses4h0 ≥ 0 on

Ω we have the same convergences as in Theorem 2.3.5.

Démonstration.We need here an estimation ofp in a stronger norm than‖h3/20 ∇ · ‖L2(Ω)

in order to obtain‖hδ10 p‖L2(Ω) bounded with a better parameterδ1 than in Theorem 2.3.5.

we prove in the following that‖h(3−δ)/20 ∇p‖L2(Ω) is bounded for an appropriateδ > 0.

Takingϕ =(h0 + ε

)−δp with 0 < δ < 2

α− 1 ≤ 1

2as a test function in the variational

formulation of (P1) we obtain :∫Ω

(h0 + ε

)3−δ∣∣∇p∣∣2 = I1 + I2 with (2.19)

I1 = δ

∫Ω

(h0 + ε

)2−δ∇h0p∇p (2.20)

I2 = −∫

Ω

∂h0

∂x1

(h0 + ε

)−δp (2.21)

Using Grenn formula, we deduce :

I1 = −δ2

∫Ω

∇ ·[(h0 + ε

)2−δ∇h0

]p2

= −δ2

∫Ω

[(2− δ)

(h0 + ε

)1−δ∣∣∇h0

∣∣2 +(h0 + ε

)2−δ∆h0

]p2


which is negative, thanks to the additional hypothesis∆h0 ≥ 0.

On the other hand :

|I2| ≤1

1− δ

∫Ω

∣∣∣∣(h0 + ε)1−δ ∂p

∂x1

∣∣∣∣=

1

1− δ

∫Ω

(h0 + ε)(3−δ)/2

∣∣∣∣ ∂p∂x1

∣∣∣∣ (h0 + ε)−(1+δ)/2

≤ 1

1− δ

(∫Ω

(h0 + ε)3−δ

∣∣∣∣ ∂p∂x1

∣∣∣∣2)1/2(∫

Ω

(h0 + ε)−1−δ

)1/2

≤ 1

2

∫Ω

(h0 + ε)3−δ

∣∣∣∣ ∂p∂x1

∣∣∣∣2 dx+1

2

1

(1− δ)2

∫Ω

dx

(h0 + ε)1+δdx

The last integral of the above inequality is bounded uniformly inε due to the hypotheses

on δ.

We deduce from (2.19) that (∫Ω

h3−δ0

∣∣∇p∣∣2dx)1/2

≤ C

Applying Lemma 2.2.1 withf = h0,δ2 =3

2− δ

2andδ1 >

3

2− δ

2− 1

αwe deduce thatp

is bounded inH10 (Ω,h2δ1

0 ,h3−δ0 ). We then infer the existence ofξ ∈ H1

0 (Ω,h2δ10 ,h3−δ

0 ) and

of a subsequence ofε such thatp → ξ in H10 (Ω,h2δ1

0 ,h3−δ0 )-weakly. From the continuous

embedding ofH10 (Ω,h2δ1

0 ,h3−δ0 ) in H1

0 (Ω,h2δ10 ,h3

0) and by identification and uniqueness of

p0 we deduce thatp→ p0 in H10 (Ω,h2δ1

0 ,h3−δ0 )-weakly for the entire sequence.

Choosing nowδ =2

α− 1− η,δ1 =

3

2− δ

2− 1

α+η

2= 2− 2

α+ η with 0 < η <

3

α− 2

we obtain∫

Ωh−2δ1

0 < +∞ which implies the continuous embedding ofH10 (Ω,h2δ1

0 ,h3−δ0 )

in L1(Ω).

We then obtainp→ p0 in L1(Ω) weakly which gives the desired convergences.

Infinite limit case(α ≥ 3/2)

In this paragraph we use the polar coordinatesr,θ:

x1 = r cos θ



x2 = r sin θ

and we denoteΩ, the image ofΩ by this change of variables.

In order to simplify notations we use the same notations as in cartesian coordinates

(for exampleh0(r,θ) meansh0(r cos θ,r sin θ)).

We set :

Ωr =]0,r[ × ]− π,− π

2[ ⊂ Ω, ∀r ∈]0,1[

The problem (P1) becomes :∂

∂r

[(a+ h0(r,θ))

3r∂p

dr

]+

∂

∂θ

[(a+ h0(r,θ))3

r

∂p

∂θ

]= r

∂h0

∂rcos θ − sin θ

∂h0

∂θin Ω

p = 0 in ∂Ω(2.22)

Let us remark that from the relationh0 = rαh1(r,θ) there is a positive constantK > 0

andr1 ∈]0,1[ such that∂h0

∂r≥ Krα−1, ∀(r,θ) ∈ Ωr1 (2.23)

We recall thath0 is non increasing inx1 which is equivalent in polar coordinates to

r∂h0

∂rcos θ ≤ sin θ

∂h0

∂θon Ω (2.24)

We need here the following supplementary local condition:

There isr2 > 0 andβ ∈]0,1[ such that

βr∂h0


∂h0

∂θon Ωr2 (2.25)

Remarque 2.3.2.Hypothesis(2.25) is a little stronger locally than(2.24)and is true if

for example∂h0

∂θ≤ 0 locally (in particular if h0 is radial) since

∂h0

∂r> 0 locally and

cos θ ≤ 0

We now give an analogous of Lemma 2.3.2 in Line contact case.

LEMME 2.3.4. Suppose that(2.25) is fulfilled and setr0 = minr1,r2. Then for any

φ ∈ C2([0,r0]) with φ(r0) = 0, a constantc > 0 exists such that

p(r,θ) ≥ cq1(r)φ(r)q2(θ) ∀(r,θ) ∈ Ωr0


with

q1(r) =rα+1

(Mrα + ε)3, andq2(θ) = cos3 θ sin θ

Démonstration.It suffices to prove the inequality :

∂

∂r

[(ε+ h0)

3r∂

∂r

(cq1q2φ

)]+

∂

∂θ

[(ε+ h0)3

r

∂

∂θ

(cq1q2φ

)]≥ r

∂h0


∂h0

∂θ(2.26)

From (2.25) we have

r∂h0


∂h0

∂θ≤ (1− β)r

∂h0

∂rcos θ

Performing the derivatives in the left-hand side of (2.26) and dividing byr ∂h0

∂rcos θ, it

suffices to obtain the following inequality inΩr0

q2(θ)

cos θφ[3(ε+ h0)

2q′

1(r) + (a+ h0)2q

′

1(r)(ε+ h0)

r

(∂h0

∂r

)−1

+ (ε+ h0)3q

′′

1 (r)(∂h0

∂r

)−1]

+q2(θ)

cos θφ′(r)[3(ε+ h0

)2q1 +

(ε+ h0

)3 q1r

(∂h0

∂r

)−1

+ 2(ε+ h0

)3q′

1(r)(∂h0

∂r

)−1]

+q2(θ)

cosθ(ε+ h0)

3q1φ′′(∂h0

∂r

)−1

+ 3q′2(θ)

cos θφ(ε+ h0)

2q1∂h0

∂θ

1

r2

(∂h0

∂r

)−1

+q′′2

cos θφ

(ε+ h0)3q1

r2

(∂h0

∂r

)−1

≤ 1− β

c(2.27)

Remark also that there is a constantK1 > 0 such that

|q′1(r)| ≤ K1rα(

Mrα + ε)3

|q′′1 (r)| ≤ K1rα−1(

Mrα + ε)3 (2.28)

Using now (2.23), (2.28) and the expression ofq2 we obtain that the absolute value of the

left-hand side of (2.27) is bounded by a constant. Takingc small enough we obtain the

result.



THÉORÈME 2.3.7. Under hypothesis(2.25)we have∫Ω

pdx→ +∞ for ε→ 0

Moreover there isK > 0 constant such that forε small enough we have

–∫

Ωpdx ≥ Kε

3α−2 for α >

3

2

–∫

Ωpdx ≥ K log(

1

ε) for α =

3

2

Démonstration.Passing in the polar coordinates and using the non-negativity ofp we

have ∫Ω

pdx ≥∫

Ωρ

rp(r,θ)drdθ, ∀ρ ∈]0,1]

Applying Lemma 2.3.4 withφ = 1 on[0,r02

]we show that there is ac > 0 such that∫

Ω

pdx ≥ c

∫ −π/2

−π

q2(θ)dθ ·∫ r0/2

0

rq1(r)dr

As in the proof of Theorem 2.3.2 with some elementary computations we obtain the result.

THÉORÈME 2.3.8. Under hypothesis(2.25) if moreoverh1(r,θ) = g1(r)g2(θ) with

g1 ∈ C1[0,√

2],g2 ∈ C1[−π,− π

2], g1(r) > 0,g2(θ) > 0 and

d

dr(rαg1(r)) ≥ 0 we have∫

Ω

(xk − x0k)pdx→ +∞, whenε→ 0, k = 1,2

Démonstration.Firstly we prove that there is a constantK > 0 large enough such that

p(r,θ) ≤ K

∫ √2

r

ds

(h0(s) + ε)2, ∀(r,θ) ∈ Ω (2.29)

with

h0(r) = g2mrαg1(r), andg2m = min

θ∈[−π,−π2]g2(θ)

We use the maximum principle as in the proof of Lemma 2.3.3. It suffices to prove the

following inequality

K(ε+ h0)

3

(ε+ h0)2+Kr

∂h0

∂r

(ε+ h0)3

(ε+ h0)3E(r,θ) ≥ −r∂h0

∂rcos θ + sin θ

∂h0

∂θ(2.30)


with

E(r,θ) = 3ε+ h0

ε+ h0

− 2g2m

g2(θ)

We consider two situations:

Cas 1: r ≤ r1 with r1 given in (2.23).

As in the proof of Lemma 2.3.3 we haveE(r,θ) ≥ g2m

g2M

with g2M = maxθ∈[−π,−π

2]g2(θ).

Then it suffices to prove forr ≤ r1

Kr∂h0

∂r

g2m

g2M

≥ −r∂h0

∂rcos θ + sin θ

∂h0

∂θ(2.31)

wit K > 0 large enough.

From (2.23) the function

∣∣∣∣∣∣∣∂h0

∂θ

r∂h0

∂r

∣∣∣∣∣∣∣ is bounded forr ≤ r1. Now dividing byr∂h0

∂rthe

inequality (2.31) is obvious, which proves (2.30) forr ≤ r1.

Cas 2: r > r1.

We shall prove

K(ε+ h0) ≥ −r∂h0

∂rcos θ + sin θ

∂h0

∂θfor r > r1 (2.32)

for K > 0 large enough, which implies (2.30) forr > r1.

We have, from hypothesis onh0, h0(r) ≥ h0(r1) soK(ε + h0(r)) ≥ Kh0(r1) for

r ≥ r1. Since the right-hand side of (2.32) is bounded, the result is obvious.

Then the proof of (2.29) is complete.

Now we have∫Ω

(xk − x0k)pdx =

∫Ωδ

r(r cos θ − x01)pdrdθ +

∫Ω−Ωδ

r(r cos θ − x01)pdrdθ (2.33)

We choose0 < δ < min(r0,|x0

1|2

) with r0 given in Lemma 2.3.4.

We haver cos θ − x01 ≥ −r + |x0

1| ≥|x0

1|2

for r < δ, so

∫Ωδ

r(r cos θ − x01)pdrdθ ≥

|x01|2

∫Ωδ

rpdrdθ



and this last integral goes to+∞ as in the proof of Theorem 2.3.7. Now using (2.29) we

easily prove that the second integral of the right-hand side of (2.33) is bounded which

ends the proof fork = 1. The casek = 2 is similar.

2.4 Asymptotic behavior in the inequation case (Problem

(P2))

In this section we suppose for simplicity thatΩ =]−1,1[2 and thath0 is non-increasing

in x1 onΩ1 and non-decreasing inx1 onΩ2 where we denote

Ω1 =]− 1,0[×]− 1,1[ andΩ2 =]0,1[×]− 1,1[

We study the asymptotic behaviour of the solutionp of (P2) when ε → 0. In order to

introduce the limit problem we defineKδ1 as the closure ofK = ϕ ∈ H10 (Ω) : ϕ ≥ 0

with respect to the norm ofH10 (Ω,h2δ1

0 ,h30) .

We remark thatKδ1 is a closed convex set inH10 (Ω,h2δ1

0 ,h30).

We now define the limit problemFindp0 ∈ Kδ1 such that∫Ω

h30∇p0∇(ϕ− p0)dx ≥

∫Ω

h0∂

∂x1

(ϕ− p) ∀ϕ ∈ Kδ1

(P02)

We now give the following existence, uniqueness and convergence results

Proposition 2.4.1.Suppose that∫

Ω

dx

h0

< +∞ andδ1 ∈ R is such that

K = supx2∈[−1,1]

∫ 0

−1

∫ x1

−1

h2δ1−30 (s,x2)dsdx1

+ supx2∈[−1,1]

∫ 1

0

∫ x1

0

h2δ1−30 (s,x2)dsdx1 <∞

Then

1. Problem(P02) admits an unique solutionp0 ∈ Kδ1 which is independent ofδ1

2. The solutionp of problem(P2) converges, whenε → 0, to p0 in H10 (Ω,h2δ1

0 ,h30)-

strongly.

2.4. ASYMPTOTIC BEHAVIOR IN THE INEQUATION CASE (PROBLEM(PROBLEM:P2)) 39

Démonstration. 1. We apply Lemma 2.2.1 withd1 = 0 andδ2 =3

2and we obtain

classically the result.

2. Takingϕ = 0 in (P2) we obtain∫Ω

(h0 + ε)3|∇p|2dx ≤∫

Ω

h0∂p

∂x1

=

∫Ω

(h0 + ε)∂p

∂x1

which leads to ∥∥(h0 + ε)3/2∇p∥∥

L2(Ω)≤(∫

Ω

dx

h0(x)

)1/2

(2.34)

which implies ∥∥∥h3/20 ∇p

∥∥∥L2(Ω)

≤(∫

Ω

dx

h0(x)

)1/2

(2.35)

From Lemma 2.2.1 withd1 = 0 andδ2 =3

2we deduce thatp is bounded inH1

0 (Ω,h2δ10 ,h3

0).

Then an elementξ ∈ Kδ1 exists such that, up to a subsequence,p→ ξ in H10 (Ω,h2δ1

0 ,h30)-

weakly. We now pass to the limit in all terms in the inequality∫Ω

(h0 + ε)3∇p · ∇ϕ ≥∫

Ω

(h0 + ε)3|∇p|2 +

∫Ω

h0∂

∂x1

(ϕ− p) ∀ϕ ∈ K (2.36)

Writing for anyϕ ∈ K∫Ω

(h0 + ε)3∇p · ∇ϕ =

∫Ω

((h0 + ε)3/2 − h

3/20

)(h0 + ε)3/2∇p · ∇ϕ

+

∫Ω

((h0 + ε)3/2 − h

3/20

)h

3/20 ∇p · ∇ϕ

+

∫Ω

h30∇p · ∇ϕ

and using (2.34) and (2.35) we deduce∫Ω

(h0 + ε)3∇p · ∇ϕ→∫

Ω

h30∇ξ · ∇ϕ ∀ϕ ∈ K (2.37)

Writing also ∫Ω

h0∂

∂x1

(ϕ− p) =

∫Ω

h−1/20 h

3/20

∂

∂x1

(ϕ− p)

we obtain ∫Ω

h0∂

∂x1

(ϕ− p) →∫

Ω

h0∂

∂x1

(ϕ− ξ) ∀ϕ ∈ K (2.38)



Finally we have ∫Ω

(h0 + ε)3|∇p|2 ≥∫

Ω

h30|∇p|2

which gives

lim inf

∫Ω

(h0 + ε)3|∇p|2 ≥∫

Ω

h30|∇ξ|2 (2.39)

From (2.36)-(2.39) we deduce∫Ω

h30∇ξ · ∇ϕ ≥

∫Ω

h30|∇ξ|2 +

∫Ω

h0∂

∂x1

(ϕ− ξ) ∀ϕ ∈ K

By density and uniqueness we deduce thatξ = p0 and that the entire sequencep converges

to p0.

It remains to prove the strong convergence. We have∫Ω

h30|∇(p− p0)|2 ≤

∫Ω

(h0 + ε)3|∇p|2 +

∫Ω

h30|∇p0|2 − 2

∫Ω

h30∇p · ∇p0

Takingϕ = 0 in (P2) and (P02) and passing to the limit we deduce

limε→0

∫Ω

h30|∇(p− p0)|2 ≤ 2

∫Ω

h0∂p0

∂x1

− 2

∫Ω

h30|∇p0|2

The right hand-side of the above inequality is 0 (takeϕ = 0 andϕ = 2p0 in (P02)) which

proves the result.

In the following we shall use the classical notations

Ω0ε = x ∈ Ω : p(x) = 0 (cavity zone)

Ω+ε = x ∈ Ω : p(x) > 0 (active zone)

It is well known that ifx ∈ Ω0ε then

∂h0

∂x1

≤ 0 which implies the following inclusion

Ω1 ⊂ Ω+ε

sop satisfy inΩ1 the equality

∇ ·[(h0 + ε)3∇p

]=∂h0

∂x1

(2.40)

The next lemma will be useful for the proofs in the infinite cases.

LEMME 2.4.1. Let Ω∗ ⊂ Ω1 and p∗ the solution of(2.40)with p∗ = 0 on ∂Ω∗. Then

p ≥ p∗ onΩ∗

2.4. ASYMPTOTIC BEHAVIOR IN THE INEQUATION CASE (PROBLEM(PROBLEM:P2)) 41

Démonstration.Sincep andp∗ satisfy the same equation (2.40) onΩ∗ we have the result

by maximum principle sincep ≥ 0 on∂Ω∗ andp∗ = 0 on∂Ω∗.

2.4.1 Line contact case

As in the equation case we suppose

h0(x) = (−x1)αh1(x),∀x ∈ Ω with α > 0 andh1 as in (2.11).

We have the following result.

THÉORÈME 2.4.1. For anyα ∈]0,1[ and(x01,x

02) ∈ Ω we have∫

Ω

pdx→∫

Ω

p0dx∫Ω

(xk − x0k)pdx→

∫Ω

(xk − x0k)p0dx, k = 1,2

Démonstration.Hypothesis of Proposition 2.4.1 are satisfied withδ1 =1

2. Then the proof

is exactly as the proof of Theorem 2.3.1.

Now for the infinite limit case we use Lemma 2.4.1 withΩ∗ = Ω1. Performing for

p∗ the same kind of estimates as forp in paragraph 2.3.1 we easily obtain the following

result

THÉORÈME 2.4.2. For α ≥ 1 we have

1.∫

Ωpdx→ +∞

2. If h0 is symmetric inx2 with respect tox2 = 0 then

–∫

Ω(x2 − x0

2)pdx→ +∞ for x02 < 0

–∫

Ω(x2 − x0

2)pdx→ −∞ for x02 > 0

–∫

Ω(x2 − x0

2)pdx = 0 for x02 = 0

3. We assume thath1 is of the formh1(x) = g1(x1)g2(x2), g2 ∈ C0([−1,1]), g1 ∈H1(] − 1,1[), g2 > 0, g1 > 0 and

d

dx1

((−x1)αg1) ≤ 0. Then for anyx0

1 ∈] − 1,0[

we have ∫Ω

(x1 − x01)pdx→ +∞ whenε→ 0

Remarque 2.4.1.In the above theorem we obtained the behaviour of thex1-moment for

x0 ∈ Ω1 only. The problem is open whenx0 is such thatx01 ≥ 0.



2.4.2 Point contact case

We supposeh0(x) = |x|αh1(x) with h1 as in Section 2.3.1.

The analoguous of Theorem 2.3.5 for the inequation problem is the following

THÉORÈME 2.4.3. For 0 < α <4

3we have for any(x0

1,x02) ∈ Ω∫

Ω

pdx→∫

Ω

p0dx∫Ω

(xk − x0k)pdx→

∫Ω

(xk − x0k)p0dx, k = 1,2

Démonstration.The proof uses Proposition 2.4.1 and is exactly as the proof of Theorem

2.3.5.

For the infinite limit case we pass again in polar coordinates. We have the following

result which is immediat applying Lemma 2.4.1 withΩ∗ =] − 1,0[2 which reduce the

problem to the equation case.

THÉORÈME 2.4.4. Suppose that ar2 > 0 andβ ∈]0,1[ exist such that

βr∂h0


∂h0

∂θ, ∀(r,θ) ∈ [0,r2]×]− π,− π

2[

Then we have forα ≥ 3

21.∫

Ωpdx→ +∞

2. If moreoverh1 is of the formh1(r,θ) = g1(r)g2(θ) with g1 ∈ C1[0,√

2],g2 ∈C1[−π,− π

2], g1 > 0, g2 > 0 and

d

dr(rαg1(r)) ≥ 0 then∫

Ω

(xk − x0kpdx→ +∞ whenε→ 0

for anyx0k ∈]− 1,0[,k = 1,2

Remarque 2.4.2.In the caseα ∈ [4

3,3

2[ we are not able to obtain a result as in Theorem

2.3.6 since we cannot take a test functionϕ in (P2) such thatϕ− p = −c(h0 + ε)−δp with

c a constant independent ofε.

Chapitre 3

Équilibre d’un mécanisme lubrifié

incompressible à deux degrés de liberté

44CHAPITRE 3. ÉQUILIBRE D’UN MÉCANISME LUBRIFIÉ INCOMPRESSIBLE À

DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ

3.1 Introduction

Dans la première partie de ce chapitre (section 3.2) nous étudions l’existence d’une

solution (p(x),a,θ) du système suivant:

∇ ·[(h0 + a+ θx1

)3∇p] =∂h0

∂x1

+ θ dansΩ (3.1)

p = 0 sur∂Ω (3.2)∫Ω

p = F (3.3)∫Ω

px1 = Fx01 (3.4)

Nous considéronsΩ =] − 1,1[n, n = 1 ou n = 2 et h0 une fonction satisfaisant les

hypothèses suivantes:

h0 ∈ W 1,∞(Ω),∂h0

∂x1

(x) ≤ 0 p.p. x ∈ Ω, h0(x) ≥ 0 (H1)

∃α > 1,h1 ∈ W 1,∞(Ω) tel queh0(x) = (1− x1)αh1(x) (H2)

Remarque 3.1.1.Pour que le problème(3.1)-(3.2) admette une solutionp positive, une

condition suffisante est quea et θ vérifient :

h0(x) + a+ θx1 > 0 ∀x ∈ Ω (3.5)

∂

∂x1

(h0 + a+ θx1) ≤ 0 p.p. x ∈ Ω (3.6)

Remarque 3.1.2.La condition(3.6) est équivalente àθ ≤ infessx∈Ω

−∂h0

∂x1

(x)

. De

(H1) et (H2) nous avonsinfessx∈Ω

−∂h0

∂x1

(x)

= 0. Par suite(3.6) est équivalente à

θ ≤ 0 et (3.5)est équivalente àa+ θ > 0.

Nous allons donc chercher dans le premier partie de ce chapitrea et θ satisfaisantθ ≤ 0

a+ θ > 0(3.7)


Dans la deuxième partie de ce chapitre (section 3.3) nous considérons le cas monodi-

mensionnel (Ω =]− 1,1[) et nous nous plaçons dans la condition (3.7) n’est pas nécessai-

rement satisfaite. La solution de (3.1)-(3.2) peut alors prendre des valeurs négatives. Il est

alors d’usage de remplacer (3.1)-(3.2) par l’inéquation variationnelle associée.

Le problème à résoudre est alors:

Trouver(p,a,θ) ∈ K × R× R tel que∫Ω

(h0 + a+ θx

)3

p′(ϕ′ − p′) ≥∫

Ω

(h0 + a+ θx

)(ϕ′ − p′) ∀ϕ ∈ K (3.8)∫

Ω

p = F (3.9)∫Ω

xp = Fx01 (3.10)

oùK =ϕ ∈ H0

1 (Ω),ϕ ≥ 0

Nous supposons queh0 vérifie les hypothèses suivantes:

h0 ∈ C2(Ω)

h0 est strictement convexe surΩ c.a.d.h′′0(x) > 0,∀x ∈ Ω

h′′0 est une fonction croissante surΩ

h0(1) = h′0(1) = 0

(H3)

Remarque 3.1.3.L’hypothèse(H3) impliqueh′0(x) < 0 et h0(x) > 0;∀x ∈ [−1,1[. Par

suite les hypothèses(H1) et (H2) sont vérifiées avecα = 2.



3.2 Équilibre dans le cas équation

Nous rappelons que dans cette partie nous prenonsΩ =] − 1,1[n, n = 1 oun = 2 et

h0 satisfait les hypothèses (H1) et (H2).

3.2.1 Résultats préliminaires

Nous donnons ici quelques résultats utiles pour la suite.

Nous considérons un pavé,∆ ⊂ Rn, de la forme

∆ =]− 1,b[×]− 1,1[ si n = 2

∆ =]− 1,b[ si n = 1

avecb0 ≤ b ≤ 1 et b0 ∈]− 1,1[ donné.

SoitP la solution du problème suivant ∇ · [(H0 + A)3∇P ] =∂H0

∂x1

x = (x1,x2) ∈ ∆

P = 0 x ∈ ∂∆(3.11)

avecA > 0 etH0 vérifiant les hypothèsesH0 ∈ W 1,∞(∆),min

x∈∆H0(x) = 0

∂H0

∂x1

(x) ≤ 0 p.p. x ∈ ∆, mes

x ∈ ∆ :

∂H0

∂x1

(x) < 0

> 0

(3.12)

Nous introduisons l’application

G :]0,+∞[ →R

A 7→G(A) =

∫∆

Pdx

avecP = P (A) solution de (3.11).

Remarque 3.2.1.L’hypothèse(3.12)entraîne queP ≥ 0, donc∀A > 0,G(A) ≥ 0. Nous

avons aussi, d’après(3.12), P 6= 0 et doncG(A) > 0,∀A > 0.

3.2. ÉQUILIBRE DANS LE CAS ÉQUATION 47

Dans cette partie nous donnons des minorations de la solutionp de (3.11). Nous étu-

dions aussi la régularité deG, de la monotonie et son comportement en0 et l’infini.

Proposition 3.2.1.G est une fonction de classeC∞.

Démonstration.Nous appliquons le théorème des fonctions implicites à la fonction défi-

nie par

L(P,A) = −∇ ·[(H0 + A)3∇P

]+∂H0

∂x1

Il est clair queL est de classeC∞ et que∂L

∂P(P (A),A) · Q = −∇ · [(H0 + A)3∇Q], où

nous notonsP (A) = P l’unique solution de (3.11).

Ceci entraîne que∂L

∂P(P (A),A) est un isomorphisme deH1

0 (∆) dansH−1(∆). Par le

théorème des fonctions implicites l’application

A ∈]0,+∞[→ P (A) ∈ H10 (∆)

est de classeC∞, ce qui donne le résultat.

Proposition 3.2.2.Nous avons

limA→+∞

G(A) = 0

avec l’ordre de convergence

|G(A)| ≤√

2/3‖H0‖L2(∆)

1

A3

Démonstration.En prenantP comme fonction test dans la formulation variationnelle de

(3.11) on a ∫∆

(H0 + A)3|∇P |2 =

∫∆

H0∂P

∂x1

ce qui donne en utilisant le fait queH0 ≥ 0

‖∇P‖L2(∆) ≤1

A3‖H0‖L2(∆)

En écrivant∫

Ω

Pdx = −∫

Ω

x1∂P

∂x1

dx ≤ ‖x1‖L2(∆)‖∇P‖L2(∆) nous avons le résultat.

Dans la proposition suivante on donne un résultat concernant le comportement quandA

tends vers 0 de la fonctionG.



On pose, pour toutη ∈]0,b+ 1]

∆η =]b− η,b[×]− 1,1[ pourn = 2

ou

∆η =]b− η,b[ pourn = 1

Proposition 3.2.3.Supposons qu’en plus de l’hypothèse(3.12), il existe0 < M0 < M1,

α ≥ 1 et δ0 ∈]0,b0 + 1

2] tels que:

M0(b− x1)α−1 ≤ −∂H0

∂x1

(x) ≤M1(b− x1)α−1p.p. x ∈ ∆2δ0 (3.13)

Alors il existec > 0 dépendant uniquement deM0,M1,δ0,α et b0 tel que la solutionP

de(3.11)vérifie∫∆B

P (x)dx ≥ c

(log

(1 +M1

B

A

)− 2

), ∀B ∈]0,δ0],∀A > 0, pourα = 1

et ∫∆B

P (x)dx ≥ cA2α−2, ∀B ∈]0,δ0],∀A < Bα, pourα > 1

Démonstration.Faisons d’abord la démonstration en dimension 2 (n = 2).

On peut écrire :

H0(x) =

∫ 1

x1

[− ∂H0

∂x1

(ξ1,x2)dξ1

]et en intégrant (3.13) on obtient

M0

α(b− x1)

α ≤ H0(x) ≤M1

α(b− x1)

αp.p. x ∈ ∆2δ0

Soitφ ∈ C2[b− 2δ0,b] avecφ ≥ 0, φ(b− 2δ0) = 0 etφ(x) = 1,∀x ∈ [b− δ0,b].

Notons :

q1(x1) =(b− x1)

α+1

(M1(b− x1)α + A)3et q2(x2) = 1− x2

2

Nous montrons exactement comme dans le Lemme 2.3.2 qu’il existe une constantec1 =

c1(φ,M0,M1,δ0,α,b0) = c1(M0,M1,δ0) > 0 telle que

P (x) ≥ c1φ(x1)q1(x1)q2(x2) ∀x ∈ ∆2δ0


Ceci implique ∫∆B

P (x)dx ≥ 4

3c1

∫ b

b−B

q1(x1)dx1

Pourα > 1 nous avons, pourA < Bα

∫ b

b−B

q1(x1)dx1 ≥4

3c1

1

(M + 1)3A3

∫ b

b−A1/α

(b− x1)α+1dx1

ce qui nous donne le résultat.

Pourα = 1, nous avons, en posantf1(x1) = M1(b−x1)+A, le calcul élémentaire suivant

q1(x1) =1

M21 f

31

(f 21 − 2Af1 + A2) ≥ 1

M21

(1

f1

− 2A

f 21

)

En intégrant entreb−B et b nous obtenons le résultat.

La preuve dans le casn = 1 est identique: il suffit de prendreq2 = 1.

COROLLAIRE 3.2.1. Sous les hypothèses de la Proposition 3.2.3 nous avons

limA→0A>0

G(A) = +∞

Démonstration.CommeP ≥ 0, le résultat est une conséquence immédiat de la proposi-

tion 3.2.3

On a le lemme suivant

LEMME 3.2.1. Supposons quen = 1 (cas monodimensionnel) et qu’en plus de l’hypo-

thèse(3.12)H0 satisfait

θ + 2M0(1− x) ≤ −H ′0(x) ≤ θ + 2M1(1− x) ∀x ∈ [1− 2δ0,1] (3.14)

avec−1 ≤ θ < 0,0 < M0 < M1.

Alors il existeC > 0 dépendant uniquement deM0,M1 et δ0 tel que :∫Ω

Pdx ≥ C

A+ θ2, ∀A > 0,θ ∈ [−1,0[ tel queA+ θ2 < δ2

0



Démonstration. – Etape 1: On fixeφ ∈ C2(Ω) avecφ ≡ 1 sur [1 − δ0,1] et φ(1 −2δ0) = 0. Nous montrons qu’il existeC1 > 0 dépendant uniquement deM0,M1 et

δ0 tel que

p(x) ≥ C1q1(x)φ(x), ∀x ∈ [1− 2δ0,1]

avec

q1(x1) =−θ(1− x1)

2 +M0(1− x1)3[

− θ(1− x1) +M1(1− x1)2 + A]3

Preuve de l’Etape1Nous appliquons le principe de maximum sur l’intervalle[1−2δ0,1]. Commeq1(1) = 0 il suffit de montrer

−C1

[(b+H0)

3(q1φ)′]′≤ −H ′

0

Il suffit, d’après (3.14) de montrer l’existence d’unC2 > 0 dépendant deM0,M1 et

δ0 tel quelques [(b+H0)

3(q1φ)′]′≤ C2(−θ +M0(1− x))

En développant, il suffit de montrer

Ik ≤C2

5(−θ +M0(1− x)), k = 1,2, . . . ,5 (3.15)

avec

I1 = 3∣∣∣(A+H0)

2H ′0q′1φ∣∣∣

I2 = 3∣∣∣(A+H0)

2H ′0q1φ

′∣∣∣

I3 = 3∣∣∣(A+H0)

3q′′1φ∣∣∣

I4 = 2∣∣∣(A+H0)

3q′1φ′∣∣∣

I5 =∣∣∣(A+H0)

3q1φ′′∣∣∣

Les majorations (3.15) pourk = 2 etk = 5 sont évidentes.

Nous avons par un calcul élémentaire

|q′1(x)| ≤ C3−θ(1− x) +M0(1− x)2[

− θ(1− x) +M1(1− x)2 + A]3 (3.16)


|q′′1(x)| ≤ C4−θ + 1− x[

− θ(1− x) +M1(1− x)2 + A]3 (3.17)

avecC3,C4 > 0 dépendant deM0 etM1.

D’autre part, en intégrant (3.14) entrex et 1 avecx ∈]− 1,1[ nous avons

−θ(1− x) +M0(1− x)2 ≤ H0(x) ≤ −θ(1− x) +M1(1− x)2

ceci nous donne

A+H0 ≤ −θ(1− x) +M1(1− x)2 + A

Avec (3.16) nous obtenons (3.15) pourk = 4 et avec (3.17) nous obtenons (3.15)

pourk = 3. Pour obtenir (3.15) pourk = 1 nous utilisons (3.16) et la deuxième

inégalité de (3.14). Ceci finit la preuve de l’étape 1.

– Etape 2:Nous montrons la minoration désirée. On a:

−θ(1− x) +M1(1− x)2 + A ≤ (M1 + 1)(1− x)2 + A+ θ2

Or P ≥ 0, donc ∫Ω

P ≥∫ 1

1−δ0

P ≥ C1

∫ 1

1−δ0

q1(x)dx

donc ∫Ω

P ≥ C1M0

∫ 1

1−δ0

(1− x)3dx((M1 + 1)(1− x)2 + A+ θ2

)3

Soit x ∈]− 1,1[ tel que1− x =√A+ θ2.

Commex > 1− δ0 par hypothèse on a∫Ω

P ≥ C1M0

(M1 + 2)3(A+ θ2)3

∫ 1

x

(1− x)3dx

=C1M0

4(M1 + 2)3(A+ θ2)3

1

A+ θ2

ce qui finit la preuve.



Dans la proposition suivante nous montrons que la fonctionG est strictement décrois-

sante dans deux situations particulières.

Proposition 3.2.4.La fonctionG vérifiedG

dA(A) < 0, ∀A > 0, dans les deux cas parti-

culiers suivants :

(i) En dimension 1 (n = 1)

(ii) En dimension 2 dans le cas oùH0 est de la forme

H0(x) = C(1− x1), avecC > 0 ( le cas plan)

Démonstration.Nous avonsG′(A) =

∫Ω

Qdx avecQ =dP

dA∈ H1

0 (Ω) solution du

problème suivant:∇ · [(H0 + A)3∇Q] = −3∇ · [(H0 + A)2∇P ] dansΩ

Q = 0 sur∂Ω(3.18)

(i) En dimension 1:Nous allons montrer que((H0 + A)2P ′

)′ ≤ 0 et mesx ∈ Ω :

((H0 + A)2P ′

)′< 0> 0 (3.19)

Ceci entraîne d’après le principe de maximum queQ ≤ 0 et etQ 6= 0 ce qui donne

le résultat.

Comme on est en dimension 1, on peut expliciter la solutionP de (3.11). Par inté-

gration on a

(H0 + A)3P ′ = H0 + A− C(A) (3.20)

avec

C(A) =

∫ 1

−1(H0 + A)−2dx1∫ 1

−1(H0 + A)−3dx1

> 0

D’autre part en divisant (3.20) parH0+A et en dérivant enx1, on obtient((H0 + A)2P ′)′=

C(A)H ′

0

(H0 + A)2.

Par suite, d’après (3.12), (3.19) est vraie, ce qui finit la preuve dans ce cas.


(ii) En dimension 2: En prenantQ comme fonction test dans (3.11) et en utilisant∂H0

∂x1

= −C on a

C

∫Ω

Q =

∫Ω

(H0 + A)3∇P · ∇Q

En prenantP comme fonction test dans (3.18) on a∫Ω

(H0 + A)3∇P · ∇Q = −3

∫Ω

(H0 + A)2|∇P |2 < 0 ( carP 6= 0)

ce qui prouve le résultat.

3.2.2 Existence d’un point d’équilibre dans le cas monodimensionnel

(n = 1)

Nous supposons iciΩ =]− 1,1[.

On cherche(p(x),a,θ) satisfaisant :((h0 + a+ θx

)3p′)′

= (h0 + a+ θx)′ dansΩ (3.21)

p(−1) = p(1) = 0 (3.22)∫Ω

p = F (3.23)∫Ω

px1 = Fx01 (3.24)

a+ θ > 0 (3.25)

θ < 0 (3.26)

Pour utiliser les résultats du paragraphe 3.2.1 on fait le changement d’inconnues

(b,θ) = (a+ θ,θ) (3.27)

Le problème (3.21)-(3.26) devient :



Trouver(p,b,θ) tels que :((b+ h0(x) + θ(1− x))

)3p′)′

= h′0(x) + θ dansΩ (3.28)

p(−1) = p(1) = 0 (3.29)∫Ω

p = F (3.30)∫Ω

px1 = Fx01 (3.31)

b > 0 (3.32)

θ < 0 (3.33)

Résoudre le système (3.28)-(3.33) revient à trouverb > 0 et θ < 0 satisfaisant le systèmeg1(b,θ) = 0

g2(b,θ) = 0(3.34)

avecg1,g2 :]0,+∞[×]−∞,0[→ R définies par

g1(b,θ) =

∫Ω

p− F, g2(b,θ) =

∫Ω

px− Fx01

oùp = p(b,θ) est l’unique solution de (3.28)-(3.29) pour(b,θ) donné.

Nous avons le résultat de régularité suivant

Proposition 3.2.5.Les fonctionsg1 etg2 sont de classeC∞ sur ]0,+∞[×]−∞,0[.

Démonstration.Il suffit d’appliquer, comme dans la Proposition 3.2.1, le théorème des

fonctions implicites.

Proposition 3.2.6.Pour toutθ < 0 il existe un uniqueb > 0 tel queg1(b,θ) = 0.

Démonstration.Il suffit de prouver l’existence et l’unicité deb > 0 et p satisfaisant

le système (3.28)-(3.30). Nous appliquons les Propositions 3.2.1, 3.2.2 avecH0(x) =

h0(x) + θ(1 − x) etA = b. Ceci implique que l’applicationb ∈]0, + ∞[→ g1(b,θ) est

continue et quelimb→+∞

g1(b,θ) = −F < 0. D’autre part nous avons

−H ′0(x) = −h′0(x)− θ


et commeθ < 0 eth0 ∈ W 1,∞(Ω), les hypothèses de le Proposition 3.2.3 et du Corollaire

3.2.1 sont satisfaites. Par suitelimb→0

g1(b,θ) = +∞. Le théorème des valeurs intermédiaires

nous donne l’existence et la Proposition 3.2.4 avecn = 1 nous donne l’unicité.

Nous notonsb(θ) la solution trouvée dans la Proposition 3.2.6 et nous introduisons

l’application:

S : θ ∈]−∞,0[→ S(θ) = g2(b(θ),θ) (3.35)

Trouver une solution de (3.34) revient alors à trouver une solutionθ de

S(θ) = 0

Il est clair qu’on peut écrire

S(θ) =

∫Ω

(x− x01)p(b(θ),θ)(x)dx (3.36)

Nous allons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pourS.

Proposition 3.2.7.L’applicationS est de classeC∞.

Démonstration.Nous utilisons la Proposition 3.2.4(i) avecH0(x) = h0(x) + θ(1− x) et

A = b. On déduit∂g1

∂b(b(θ),θ) < 0, ∀θ < 0. Commeg1 ∈ C∞, le théorème des fonctions

implicites entraîne que l’applicationθ ∈] − ∞,0[→ b(θ) est de classeC∞. En tenant

compte queg2 ∈ C∞ nous avons le résultat.

Nous avons la majoration suivante de la solutionp.

LEMME 3.2.2. Pour toutθ < 0 et b > 0 la solutionp de(3.28)-(3.29)satisfait

p(x) ≤∫ x

−1

ds[b+ h0(s) + θ(s− 1)

]2Démonstration.Nous appliquons le principe de maximum. Nous notons parq le membre

de droite de l’inégalité précédente. Il est clair queq satisfait la même équation quep et

queq(x) > p(x) = 0 pourx ∈ ∂Ω = −1,1. Ce qui finit la preuve.

Nous pouvons énoncer le résultat principal de cette section:

THÉORÈME 3.2.1. Pour toute forceF > 0 il existex = x(F ) ∈] − 1,1[ tel que∀x01 ∈

]x,1[, il existe au moins une solution(p(x),b,θ) du système(3.28)-(3.33)



Démonstration.Tout revient à montrer que la fonctionS a au moins une solution. La

preuve sera faite en deux étapes:

Etape 1 : Nous montrons tout d’abord que

limθ→−∞

S(θ) > 0 (3.37)

En utilisant la définition (3.35) deS et le fait que∫ 1

−1p = F nous pouvons écrire

S(θ) = (1− x01)F −

∫ 1

−1

(1− x)p(b(θ),θ)dx (3.38)

Du lemme 3.2.2 et en tenant compte queh0 ≥ 0 nous avons

p(x) ≤∫ x

−1

ds[b+ θ(s− 1)

]2et un calcul élémentaire nous donne

p(x) ≤ 1

−θ

[1

b+ θ(x− 1)− 1

b− 2θ

]≤ 1

θ2(1− x)

Nous avons alors

0 ≤∫ 1

−1

(1− x)p(x)dx ≤ 2

θ2

ce qui montre que

limθ→−∞

∫ 1

−1

(1− x)p(x)dx = 0

La relation (3.38) nous donne alors (3.37) carx01 < 1 etF > 0.

Etape 2 : Montrons dans cette étape qu’il existe au moins un nombreθ0 < 0 tel queS(θ0) <

0 ce qui avec la continuité deS ( Proposition 3.2.7) nous donnera le résultat.

Comme−p(x) < xp(x) < p(x), ∀x ∈ Ω tel quep(x) > 0 nous obtenons en

intégrant:

−∫

Ω

pdx <

∫Ω

xpdx <

∫Ω

pdx

Soit

ξθ =

∫Ωxpdx∫

Ωpdx

∈]− 1,1[


Nous avons alors

S(θ) = g2(b(θ),θ) = (ξθ − x01)

∫Ω

p(x)dx = (ξθ − x01)F

En posantx = infθ<0

ξθ ∈ [−1,1[, le résultat est immédiat.

3.2.3 Existence d’un point d’équilibre dans le cas bidimensionnel(n =

2)

Dans cette partie nous cherchons à déterminer une solution du problème (3.1)-(3.4)

sous les conditions (3.5)-(3.6). En considérant le même changement d’inconnues(b,θ) =

(a+ θ,θ) qu’en dimension 1, le problème devient

∇ ·((b+ (1− x1)(r2(x)− θ)

)3∇p) =∂

∂x1

((1− x1)(r2(x)− θ) dansΩ (3.39)

p = 0 sur∂Ω (3.40)∫Ω

p = F (3.41)∫Ω

px1 = Fx01 (3.42)

b > 0 (3.43)

θ < 0 (3.44)

où nous avons noté r2(x) =h0(x)

1− x1

.

Soient M2 = sup

x∈Ωr2(x) > 0

M3 = supx∈Ω

h0(x)

(1− x1)α

(3.45)

Résoudre le système (3.39)-(3.44) revient à résoudre

g1(b,θ) = 0 (3.46)

g2(b,θ) = 0 (3.47)



avecg1,g2 définies par

g1(b,θ) =

∫Ω

pdx− F

g2(b,θ) =

∫Ω

x1pdx− Fx01

et p = p(b,θ) la solution de (3.39)-(3.40). Nous montrons encore queg1 et g2 sont de

classeC∞ et nous avons aussi le résultat suivant d’existence dont la preuve est identique

à celle de la Proposition 3.2.6.

Proposition 3.2.8.Pour toutθ < 0 il existeb > 0 tel que

g1(b,θ) = 0

L’unicité de la solutionb de (3.46) pourθ fixé n’est pas immédiate car la décroissance

en b de g1 n’est pas assurée en dimension 2. La Proposition 3.2.4 nous assure cette dé-

croissance uniquement sir2(x) est une constante. Nous remarquons pourtant que siθ tend

vers−∞ alorsr2(x) devient négligeable devant−θ et doncr2(x)−θ se comporte comme

une constante.

En divisant (3.39) par−θ3 et en notant

b = − bθ, r2(x) =

r2(x)

θ, p = θ2p,

le problème (3.39)-(3.41) est équivalent au problème suivant:

Trouver(p,b) satisfaisant le système

∇ ·[b+ (1− x1)(1− r2(x))

]3∇p

=∂

∂x1

(1− x1)(1− r2(x) dansΩ (3.48)

p = 0 sur∂Ω (3.49)∫Ω

p = θ2F (3.50)

Nous remarquons que pour|θ| → +∞ le terme de diffusion de (3.48) tend vers(b+ (1−x1))

3 et que l’applicationb ∈]0, +∞[→∫

Ωpdx ∈]0, +∞[, avecp = p(b) la solution de

(3.48)-(3.49), est strictement décroissante pourr2 = 0 qui correspond au casθ = −∞ (


Proposition 3.2.4 (ii) avecC = 1).

Pour la suite nous posons

fb,θ(x) = b+ (1− x1)(1− r2(x)) (3.51)

Nous allons montrer cette même décroissance pour|θ| grand etb petit.

Nous commençons par deux lemmes techniques.

Nous donnons d’abord l’analogue suivant du lemme 3.2.2

LEMME 3.2.3. Pour toutb > 0 et θ ≤ −4M2, la solutionp de(3.48)-(3.49)satisfait

p(x) ≤ c

b+ 1− x1

, ∀x ∈ Ω

avec

c = 2 +1

2M2

∥∥∥∥∂h0

∂x1

∥∥∥∥∞

Démonstration.Nous utilisons le principe de maximum.

Soit

q(x1) =c

b+ 1− x1

Il est clair queq(x) ≥ p(x) = 0 ∀x ∈ ∂Ω, donc il suffit de montrer que

− ∂

∂x1

[(1− x1)(1− r2(x))] ≤ − ∂

∂x1

[(b+ (1− x1)(1− r2(x))

)3

q′(x1)

]

c’est à dire en remarquant que(1− x1)r2(x) =h0(x)

θ

1 +1

θ

∂h0

∂x1

(x) ≤ −c ∂

∂x1

(b+ (1− x1)(1− r2(x))

)3

(b+ 1− x1

)2

Ceci est équivalent à

1+1

θ

∂h0

∂x1

(x) ≤ c

(b+ (1− x1)(1− r2(x))

)2

(b+ 1− x1

)2

[3 +

3

θ

∂h0

∂x1

− 2b+ (1− x1)(1− r2(x))

b+ 1− x1

](3.52)



Comme0 ≤ −r2(x) ≤1

4, nous avons

1 ≤ b+ (1− x1)(1− r2(x))

b+ 1− x1

≤ 5

4

ce qui implique, en utilisant l’inégalité3

θ

∂h0

∂x1

≥ 0 que le membre de droite de (3.52) est

minoré parc

2. L’inégalité (3.52) est alors immédiate en prenantc = 2 +

1

2M2

∥∥∥∥∂h0

∂x1

∥∥∥∥, ce

qui termine la preuve.

Nous avons le lemme technique suivant

LEMME 3.2.4. Il existeb0 ∈]0,1[ et c0 > 0 dépendant uniquement deh0 tels que∫Ω

f 2b,θ

(x)|∇p|2dx ≥ c0

b, ∀θ < θ0,∀b ∈]0,b0[

avec

θ0 = min

−max

x∈Ωr2(x),− 4M2

Démonstration.Commeθ < −max

x∈Ωr2(x), nous avons

−r2(x) ≤ 1, ∀x ∈ Ω

et donc

fb,θ(x) ≤ b+ 2(1− x1), ∀x ∈ Ω (3.53)

Il est facile de voir que pour toutµ > 0 tel que0 < µb ≤ 1 nous avons∫Ω

f 2b,θ

(x)|∇p|2dx ≥ 1

(1 + 4µ)b

∫Ω2µb

f 3b,θ

(x)|∇p|2dx (3.54)

où nous rappelons la notation

Ωη =]1− η,1[×]− 1,1[, ∀η ∈]0,2]

Il suffirait alors de trouver unµ > 0 indépendant deb tel que∫

Ω2µb

f 3b,θ

(x)|∇p|2dx soit

minoré par une constante strictement positive. Pour cela nous considérons la fonction de

troncatureψ telle que:ψ ∈ C2(R),0 ≤ ψ ≤ 1 avec:

ψ(x1) =

0 si x1 ≤ 0

1 si x1 ≥ 1


et nous posons

ψb(x1) = ψ

(x1 − 1 + 2µb

µb

)qui a la propriété:

ψb(x1) = 0, si x1 ≤ 1− 2µb, etψb(x1) = 1, si x1 ≥ 1− µb

En prenantφ = ψbp comme fonction test dans la formulation variationnelle de (3.48)-

(3.49) et en écrivant

− ∂

∂x1

[(1− x1)(1− r2(x))] = 1 +1

θ

∂h0

∂x1

(x)

nous obtenons∫Ω

f 3b,θ|∇p|2ψbdx+

1

2

∫Ω

f 3b,θ∇ψb · ∇(p2) =

∫Ω

(1 +

1

θ

∂h0

∂x1

)ψbp

ce qui peut s’écrire ∫Ω

f 3b,θ

(x)|∇p|2ψbdx = E1 + E2 (3.55)

avec

E1 =1

2

∫Ω

∇ ·(f 3

b,θ∇ψb

)p2 =

1

2

∫ 1

−1

∫ 1−µb

1−2µb

∂

∂x1

(f 3

b,θ

dψb

dx1

)p2dx (3.56)

E2 =

∫Ω

(1 +

1

θ

∂h0

∂x1

)ψbp (3.57)

Nous avons de (3.53)

fb,θ(x) ≤ b(1 + 4µ), ∀x1 ≥ 1− 2µb

Nous avons les inégalités évidentes suivantes:∣∣∣∣ ∂∂x1

fb,θ

∣∣∣∣ ≤ 1 +1

|θ0|

∥∥∥∥∂h0

∂x1

∥∥∥∥∣∣ψ′

b(x1)

∣∣ ≤ 1

µbsupx1∈R

|ψ′(x1)|



∣∣ψ′′b(x1)

∣∣ ≤ 1

µ2b2supx1∈R

|ψ′′(x1)|

En utilisant (3.56), (3.53) et les 3 inégalités précédentes nous obtenons

|E1| ≤ c1b

[(1 + 4µ)3

µ2+

(1 + 4µ)2

µ

] ∫ 1

−1

∫ 1−µb

1−2µb

p2dx

avecc1 =1

2max

3

(1 +

1

|θ0|

∥∥∥∥∂h0

∂x1

∥∥∥∥) ‖ψ′‖∞,‖ψ′′‖∞.

Du lemme 3.2.3, commeθ < −4M2, nous avons:∫ 1

−1

∫ 1−µb

1−2µb

p2dx ≤ 2c21

b(1 + µ)

avecc donnée dans le Lemme 3.2.3.

Ceci entraîne

|E1| ≤ 2c1c2 1 + 4µ

1 + µ

[(1 + 4µ)2

µ2+

1 + 4µ

µ

](3.58)

D’autre part, comme1

θ

∂h0

∂x1

(x) ≥ 0,p ≥ 0, ψb ≥ 0 etψb = 1 sur [1− µb,1] nous avons

E2 ≥∫ 1

−1

∫ 1

1−µb

pdx =

∫Ωµb

pdx (3.59)

Nous appliquons la Proposition 3.2.3 avecH0(x) = (1−x1)(1− r2(x)) = 1−x1−h0(x)

θ,

α = 1,δ0 = 1, H1(x) = 1 − r2(x) ∈ [1,2] et A = b. H0 vérifie l’hypothèse de la

Proposition 3.2.3 car on a

−∂H0

∂x1

(x) = 1 +1

θ

∂h0

∂x1

(x)

ce qui donne

M0 = 1 ≤ −∂H0

∂x1

(x) ≤ 1

|θ0|

∥∥∥∥∂h0

∂x1

∥∥∥∥+ 1 = M1, ∀x ∈ Ω

De la Proposition 3.2.3 avecB = µb et de (3.59) on déduit

E2 ≥ c2 [log(1 +M1µ)− 2] (3.60)


avecc2 indépendante deb,θ et deµ.

Nous choisissonsµ > 0 assez grand, indépendant deb et θ tel que

c2 (log(1 +M1µ)− 2)− 2c1c2 1 + 4µ

1 + µ

[(1 + 4µ)2

µ2+

1 + 4µ

µ

]≥ 1

On peut prendre, par exemple

µ =(exp

((1 + 160c1c

2 + 2c2)/c2)− 1)/M1

On choisit maintenantb0 > 0 tel queb0µ < 1.

On déduit alors de (3.55)-(3.57), (3.58) et (3.59) que∫Ω

f 3b,θ

(x)|∇p|2ψbdx ≥ 1, ∀b < b0

Commeψb ≤ 1 si x1 ∈ [1− 2µb,1] etψb = 0 si x1 ∈ [−1,1− 2µb], nous déduisons∫Ω2µb

f 3b,θ

(x)|∇p|2dx ≥ 1

ce qui avec (3.54) nous donne le résultat avecc0 =1

1 + 4µ.

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat d’unicité suivant

Proposition 3.2.9. Il existeθ1 < 0 tel que pour toutθ < θ1 on a l’unicité de la solution

b( notéeb(θ)) donnée par la Proposition 3.2.8. En plus on a∂g1

∂b(b(θ),θ) < 0.

Démonstration.Nous faisons la preuve en deux étapes:

– Etape 1: Nous montrons que la fonctionb ∈ [0,b0] →∫

Ω

p(b,θ)dx est stricte-

ment décroissante pour toutθ < −3α−1 M3√c0(α− 1)

, avecb0 et c0 données dans

le Lemme 3.2.4. Notonsq =∂p

∂b. On peut montrer facilement queq satisfait la

formulation variationnelle suivanteq ∈ H10 (Ω)∫

Ωf 3

b,θ∇q · ∇ϕ+ 3

∫Ωf 2

b,θ∇p · ∇ϕ = 0, ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω)(3.61)



En écrivant le membre de droite de (3.48) sous la forme−1−1

θ

∂h0

∂x1

(x) et en prenant

ϕ = p dans la formulation variationnelle de (3.48)-(3.49) on obtient∫Ω

p =

∫Ω

f 3b,θ|∇p|2 +

1

θ

∫Ω

h0∂p

∂x1

En dérivant par rapport àb on déduit∫Ω

q = 3

∫Ω

f 2b,θ|∇p|2 + 2

∫Ω

f 3b,θ∇p · ∇q +

1

θ

∫Ω

h0∂q

∂x1

(3.62)

En prenantϕ = p dans (3.61) on déduit avec (3.62):∫Ω

q = −3

∫Ω

f 2b,θ|∇p|2 +

1

θ

∫Ω

h0∂q

∂x1

(3.63)

L’inégalité de Cauchy Schwarz implique∣∣∣∣∫Ω

h0(x)∂q

∂x1

∣∣∣∣ ≤[∫

Ω

h20(x)

f 3b,θ

]1/2 [∫Ω

f 3b,θ|∇q|2

]1/2

(3.64)

En prenantϕ = q dans (3.61) nous obtenons∫Ω

f 3b,θ|∇q|2 = −3

∫Ω

f 2b,θ∇q · ∇p

Avec l’inégalité de Cauchy Schwarz nous déduisons∫Ω

f 3b,θ|∇q|2 ≤ 3

[∫Ω

f 3b,θ|∇q|2

]1/2 [∫Ω

fb,θ|∇p|2

]1/2

ceci nous donne, en minorantfb,θ par b:∫Ω

f 3b,θ|∇q|2 ≤ 9

b

∫Ω

f 2b,θ|∇p|2 (3.65)

D’autre part, commer2 ≤ 0, de (3.51) nous avons

fb,θ(x) ≥ b+ 1− x1

Nous avons alors ∫Ω

h20(x)

f 3b,θ

≤ 2M23

∫ 1

−1

(1− x1)2α

(b+ 1− x1)3dx1


En majorant1− x1 par b+ 1− x1 et b par 1 et commeα > 1 nous avons∫Ω

h20(x)

f 3b,θ

≤ 32α−2

α− 1M2

3 (3.66)

De (3.64), (3.65) et (3.66) nous déduisons∣∣∣∣∫Ω

h0(x)∂q

∂x1

∣∣∣∣ ≤ 3α M3√b√α− 1

[∫Ω

f 2b,θ|∇p|2

]1/2

Avec (3.63) nous avons∫Ω

q ≤[∫

Ω

f 2b,θ|∇p|2

]1/2−3

[∫Ω

f 2b,θ|∇p|2

]1/2

+1

|θ|√b3α M3√

α− 1

Du Lemme 3.2.4 nous avons alors∫Ω

q ≤[∫

Ω

f 2b,θ|∇p|2

]1/21√b

−3√c0 +

1

|θ|3α M3√

α− 1

ce qui nous donne

∫Ωq < 0 et finit la preuve de l’étape 1.

– Etape 2:De la Proposition 3.2.2 avecH0(x) = (1−x1)(1−r2(x)) = 1−x1−h0(x)

θnous avons pour toutθ < −1 (par exemple):∫

Ω

p ≤ C3

b3

avecC3 > 0 dépendant uniquement deh0.

On choisitθ < −

√C3

Fb30. Si b > b0, la condition (3.50) ne peut pas être satisfaite.

Par suite, si(b,p(b,θ)) est solution du système (3.48)-(3.50) on a nécessairement

b ≤ b0

En choisissant alors

θ1 = min

−3α−1 M3√

c0(α− 1),−

√C3

Fb30,− 1

et en utilisant le résultat de l’étape 1 nous avons le résultat demandé.



Remarque 3.2.2.La proposition 3.2.8 nous donne l’existence, pour toutθ < 0 fixé, d’au

moins unb > 0 tel quep(b,θ),b) est une solution du système(3.39)-(3.41). La proposition

3.2.9 nous permet de définir, à partir de cette solutionb une fonctionb : θ ∈] −∞,θ1[→b = b(θ) qu’on va utiliser dans la suite.

Nous pouvons maintenant introduire, comme en dimension 1, l’applicationS : θ ∈]−∞,θ1[→ S(θ) = g2(b(θ),θ) avecb(θ) l’unique solutionb donnée par les Propositions

3.2.8 et 3.2.9 (voir la remarque 3.2.2).

Nous rappelons que trouver une solution(b,θ) de (3.46)-(3.47) revient à trouver une solu-

tion θ de

S(θ) = 0

Nous pouvons alors énoncer le résultat principal de cette section.

THÉORÈME 3.2.2. Pour toute forceF > 0 il existe x1 = x1(F ) ∈] − 1,1[ tel que

∀x01 ∈]x1,1[ il existe au moins une solution(p(x),b,θ) du système(3.39)-(3.44)

Démonstration.Nous montrons, comme dans la Proposition 3.2.7, que la fonctionS est

de classeC∞. En utilisant le lemme 3.2.3 nous avons∫Ω

(1− x1)p(x)dx ≤ 2C

avecC la constante donnée dans le lemme 3.2.3.

Ceci nous donne puisquep = pθ2∫Ω

(1− x1)p(x)dx→ 0, quandθ → −∞

Or

S(θ) = (1− x01)F −

∫Ω

(1− x1)p(x)dx

Donc

limθ→−∞

S(θ) > 0, ∀x01 ∈]− 1,1[

Nous montrons, comme dans le théorème 3.2.1 que

S(θ) = (ξθ1 − x0

1)F, avecξθ1 =

∫Ωx1pdx∫

Ωpdx

∈]− 1,1[

En posantx1 = infθ<θ1

ξθ1 ∈ [−1,1[ on a l’existence deθ < θ1 tel queS(θ) < 0 si x0

1 > x1.

Le théorème des valeurs intermédiaires nous donne le résultat.


3.2.4 Le cash0 ≡ 0

Nous traitons dans cette partie le cas particulier où la forme de référence de la surface

esth0 ≡ 0. Ceci revient à considérer la surface supérieure comme une surface plane. Nous

allons considérer les deux cas monodimensionnel (n = 1) et bidimensionnel (n = 2).

Nous allons obtenir un meilleur résultat que dans les cas des sous-sections précédentes, à

savoir, l’existence d’une solution pour tout forceF et tout pointx01 > 0.

Notre problème s’écrit

∇ ·((a+ θx1

)3∇p) = θ dansΩ (3.67)

p = 0 sur∂Ω (3.68)∫Ω

p = F (3.69)∫Ω

px1 = Fx01 (3.70)

a+ θ > 0 (3.71)

θ < 0 (3.72)

Nous allons exploiter une homogénéité de ce systéme ce qui nous permettra de d’éliminer

une inconnue. En divisant (3.67) para3 et en notants = −θa

et q = a2p nous obtenons le

système d’inconnues(q,a,s) suivant

∇ ·((

1− sx1

)3∇q) = −s dansΩ (3.73)

q = 0 sur∂Ω (3.74)∫Ω

q = a2F (3.75)∫Ω

qx1 = a2Fx01 (3.76)

a > 0 (3.77)

s ∈]0,1[ (3.78)

En multipliant (3.75) par−x01 et en l’ajoutant à (3.76), il est clair que (3.76) peut être

remplacée par ∫Ω

q(x)(x1 − x01)dx = 0 (3.79)



Tout revient alors à trouverq(x) ets ∈]0,1[ satisfaisant (3.73), (3.74) et (3.79).

Comme∫

Ωq > 0, a sera donné par

a =

√∫Ωq

F

Il est alors naturel d’introduire la fonction

g : s ∈ [0,1[→ g(s) =

∫Ω

q(s)(x1 − x01)dx

avecq(s) = q la solution unique de (3.73)-(3.74) et de cherchers ∈]0,1[ solution de

g(s) = 0.

En utilisant le théorème des fonctions implicites, nous montrons, en prolongeantg sur un

intervalle ouvert contenant 0, queg est de classeC∞.

Il est évident aussi queg(0) = 0.

Le résultat principal de cette section est le suivant:

THÉORÈME 3.2.3. Pour toutF > 0 et pour toutx01 ∈]0,1[ le problème(3.67)-(3.72)

admet une solution.

Démonstration. – Etape 1: Nous allons montrer d’abord

lims→1

g(s) = +∞ (3.80)

Nous remarquons qu’à la limites = 1 la fonction1 − sx1 s’annule enx1 = 1. On

écrit alors

1− sx1 = 1− s+ s(1− x1)

On divise (3.73) pars3 et on poses =1

s− 1 et q = s2q.

Le système (3.73)-(3.74) est alors équivalent au système∇ ·((s+ 1− x1

)3∇q) = −1 dansΩ

q = 0 sur∂Ω

et nous remarquons quelims→1s<1

s = 0.

Nous allons montrer

lims→0

∫Ω

(x1 − x01)q = +∞ (3.81)


ce qui va nous donner (3.80).

Nous choisissonsη0 > 0 tel quex01 < 1− η0 et nous écrivons∫

Ω

(x1 − x01)q = E1 + E2 (3.82)

avec

E1 =

∫Ωη0

(x1 − x01)q

E2 =

∫Ω−Ωη0

(x1 − x01)q

Nous avons

E1 ≥ (1− η0 − x01)

∫Ωη0

q

En appliquant la Proposition 3.2.3 avecH0(x) = 1− x1 etA = s nous avons

lims→0

∫Ωη0

q = +∞

ce qui nous donne

lims→0

E1 = +∞ (3.83)

D’autre part il est facile de démontrer

|q(x)| ≤∫ x1

−1

dy

(s+ 1− y)2, ∀x ∈ Ω

(conséquence immédiate du principe de maximum).

Ceci implique

|q(x)| ≤ 1

(s+ 1− x1), ∀x ∈ Ω

D’où

0 ≤ q(x) ≤ 1

η0

, ∀x ∈ Ω− Ωη0

Commeq ≥ 0, on a

|E2| ≤4

η0

(3.84)

De (3.82), (3.83) et (3.84) nous obtenons (3.81)



– Etape 2:Nous montrons dans cette étape que

∂g

∂s(0) < 0 (3.85)

ce qui, avec le fait queg est de classeC∞, g(0) = 0 et le résultat de l’étape 1 va

nous donner le résultat recherché.

Nous avons

∂g

∂s(s) =

∫Ω

(x1 − x01)ξ(s)ds

avecξ =∂q

∂set q la solution de (3.73)-(3.74).

Nous notonsξ0 = ξ(s = 0).

Il est clair queξ satisfait le problème

∇ ·[(1− sx1)

3∇ξ]

= 3∇ ·[x1(1− sx1)

2∇q]− 1 dansΩ

ξ = 0 dans∂Ω

En prenants = 0 et puisqueq(s = 0) = 0 on déduit queξ0 est solution du problème

−4ξ0 = 1 dansΩ

ξ0 = 0 sur∂Ω(3.86)

Il est facile de voir queξ0 est une fonction paire enx1 (il suffit de considérer la

fonction ξ0(x1,x2) = ξ(−x1,x2) et qu’elle vérifie la même équation queξ).

Ceci nous donne ∫Ω

x1ξ0dx = 0

Commeξ0 > 0 surΩ etx01 > 0 nous avons (3.85), ce qui termine la preuve.

3.3. INÉQUATION VARIATIONNELLE 71

3.3 Inéquation variationnelle

3.3.1 Introduction

Dans la section 3.2 nous avons cherché une solution du probléme (3.1)-(3.4) avec

(a,θ) vérifiant : θ ≥ 0

a+ θ > 0

Dans cette partie nous élargissons le domaine de(a,θ), précise dans (3.90)-(3.90). Il faut

alors remplacer(3.1)-(3.2) par l’inéquation variationnelle associé (3.87). Nous montrons,

dans le cas monodimentionnel qu’on a au moins un point d’équilibre pour tout force posée

F > 0 et point d’appuix01 ∈]− 1,1[.

On suit la même démarche de démonstration que dans la section précédente. On ef-

fectue le changement d’inconnues (3.27) et on montre dans un premier temps pourθ fixée

l’existence d’une unique solution ;b = b(θ),p = p(θ). On introduit ensuite une applica-

tion analogue àS définit par (3.35) et on résout l’équation scalaire non linéaire correspon-

dante. Les difficultés supplémentaires interviennent du fait que nous sommes conduit a

démontrer des résultats préliminaires analogues à ceux de sous-section 3.2.1 dans le cas

inéquation.

Nous considérons que dans cette partie que la dimensionn est égale à 1 (n=1) avec

Ω =]− 1,1[ eth0 satisfait l’hypothèse:

h0 ∈ C2(Ω)

h0 est strictement convexe surΩ c.a.d.h′′0(x) > 0,∀x ∈ Ω

h0(1) = h′0(1) = 0

(H3)

Remarque 3.3.1.L’hypothèse(H3) impliqueh′0(x) < 0 et h0(x) > 0∀x ∈ [−1,1[. Par

suite les hypothèses(H1) et (H2) sont vérifiées avecα = 2.

Nous voulons ici résoudre le système suivant:



Trouver(p,a,θ) ∈ K × R× R tel que∫Ω

(h0 + a+ θx

)3

p′(ϕ′ − p′) ≥∫

Ω

(h0 + a+ θx

)(ϕ′ − p′) ∀ϕ ∈ K (3.87)∫

Ω

p = F (3.88)∫Ω

xp = Fx01 (3.89)

oùK =ϕ ∈ H1

0 (Ω),ϕ ≥ 0

Pour trouver une solution au problème (3.87)-(3.89) on doit imposer les contraintes sui-

vantes au couple(a,θ):

– Il faut que la fonctionx ∈ Ω → h0(x) + a + θx ne soit pas croissante car ceci

donnep ≡ 0 comme unique solution de (3.87) et les égalités (3.88) et (3.89) sont

impossibles. Ceci impose la condition

θ < −h′0(−1) (3.90)

– D’autre part il faut avoir

minx∈Ω

(h0 + a+ θx

)> 0 (3.91)

Remarque 3.3.2.Pourθ ≤ 0, comme l’applicationx ∈ Ω → h0(x)+a+ θx est décrois-

sante, l’inéquation(3.87)se raméne à l’équation de Reynolds(3.1)-(3.2)déjà étudiée.

3.3.2 Quelques résultats préliminaires

SoitP la solution du problème suivant∫

Ω

(H0 + A

)3

P ′(ϕ′ − P ′) ≥∫

Ω

(H0 + A

)(ϕ′ − P ′) ∀ϕ ∈ K

P ∈ K(3.92)

avecA > 0 etH0 ∈ C2(Ω) vérifiant les hypothèses :


Il existed ∈ [−1,1] tel que :H0(d) = H ′

0(d) = 0 avec d ∈]− 1,1[

H ′0(x) < 0 si x < d etH ′

0(x) > 0 si x > d

H ′′0 (x) > 0 ∀x ∈ Ω

(3.93)

Cette hypothèse impliqueH0(x) > 0 si x 6= d.

Nous introduisons l’application

G : A ∈]0,+∞[→ G(A) =

∫Ω

Pdx

avecP = P (A) la solution de (3.92).

Remarque 3.3.3.Nous avonsG(A) > 0, ∀A > 0.

Nous avons l’analogue de la Proposition 3.2.2 dont la preuve est identique en prenant

ϕ = 0 dans (3.92) :

Proposition 3.3.1.On a limA→+∞

G(A) = 0, avec l’ordre de convergence:

|G(A)| ≤√

2/3‖H0‖L2(Ω)

1

A3

Nous avons aussi l’analogue suivant du Corollaire 3.2.1:

Proposition 3.3.2. Soitd0 ∈] − 1,1[ fixé. Il existe une constante strictement positiveC

dépendant uniquement ded0, minx∈Ω

H ′′0 (x) etmax

x∈ΩH ′′

0 (x) telle que sid > d0 alors

∫Ω

P (x)dx ≥ C

A, ∀0 < A <

(d0 + 1

2

)2

Démonstration.Il est bien connu [4] queP satisfait sur]− 1,d] l’équation différentielle((H0 + A)3P ′

)′= H ′

0 ∀x ∈]− 1,d[

CommeP (−1) = 0 etP (d) > 0 par le principe de maximum on a

P ≥ q sur [−1,d]



avecq solution du problème((H0 + A)3q′

)′= H ′

0 ∀x ∈]− 1,d[

q(−1) = q(d) = 0

Nous pouvons appliquer la Proposition 3.2.3 avecδ0 =d0 + 1

2, α = 2,M0 = min

x∈ΩH ′′

0 (x),

M1 = maxx∈Ω

H ′′0 (x), b = d et b0 = d0. Il existe donc une constante positivec dépendant

uniquement deM0,M1 etd0 telle que∫ d

−1

q(x)dx ≥ c

A, ∀0 < A <

(d0 + 1

2

)2

CommeP ≥ 0 surΩ nous avons le résultat.

Ceci nous donne immédiatement

COROLLAIRE 3.3.1.

limA→0A>0

G(A) = +∞

Dans la suite on va montrer comme dans le cas équation la monotonie de la fonction

G(A).

Il est bien connu [4] que sous les hypothèses (3.93) surH0 nous avons deux possibilités

– SoitP (x) > 0,∀x ∈ Ω et dans ce casP satisfait le problème((H0 + A)3P ′

)′= H ′

0 ∀x ∈ Ω

P (−1) = P (1) = 0(3.94)

– Soit il existeβ ∈]d,1[ telle queP (x) > 0, ∀x ∈] − 1,β[, P (β) = P ′(β) = 0 et

P (x) = 0,∀x ∈ [β,1].

Dans ce casP satisfait le problème

((H0 + A)3P ′

)′= H ′

0 ∀x ∈]− 1,β[

P (−1) = P (β) = 0

P ′(β) = 0

P (x) = 0 ∀x ∈ [β,1]

(3.95)


En intégrant la première équation de (3.95) nous obtenons

(H0 + A)3P ′ = H0 − C

etP ′(β) = 0 entraîneC = H0(β).

Nous avons donc

P ′(x) =1

(H0(x) + A)2− H0(β) + A

(H0(x) + A)3

en en tenant compte queP (−1) = 0 nous déduisons

P (x) =

∫ x

−1

ds

(H0(s) + A)2− (H0(β) + A)

∫ x

−1

ds

(H0(s) + A)3(3.96)

CommeP (β) = 0, nous introduisons l’application

ψ : [−1,1]×]0,+∞[→ R

définie par

ψ(β,A) =

∫ β

−1

ds

(H0(s) + A)2− (H0(β) + A)

∫ β

−1

ds

(H0(s) + A)3(3.97)

Il est clair queψ ∈ C2 (]− 1,1[×]0,+∞[) et nous avons

∂ψ

∂β(β,A) = −H ′

0(β)

∫ β

−1

ds

(H0(s) + A)3(3.98)

En utilisant les hypothèses (3.93), ceci implique que la fonctionβ ∈] − 1,1[→ ψ(β,A)

atteint son maximum enβ = d pour toutA > 0 et en plus est strictement croissante sur

]−1,d[ et strictement décroissante sur]d,1[. Commeψ(−1,A) = 0 la condition nécessaire

et suffisante pour avoir l’existence et l’unicité d’unβ ∈]d,1[ satisfaisant

ψ(β,A) = 0 (3.99)

est

ψ(1,A) < 0

Nous avons donc montré le résultat suivant

Proposition 3.3.3.Siψ(1,A) < 0 alors il existe un uniqueβ = β(A) ∈]− 1,1[ tel queP

satisfait(3.95).

Siψ(1,A) ≥ 0 alorsP satisfait(3.94).



Nous voulons montrer dans la suite que l’applicationA ∈]0, +∞[→ G(A) est stric-

tement décroissante.

Nous avons le lemme suivant :

LEMME 3.3.1. Supposons en plus des hypothèses(3.93) queH ′′0 est croissante. Soit

ν ∈]d,1] tel queH0(−1) > H0(ν) et soitq la solution du problème(φ(H0)q

′)′

= H ′0 ∀x ∈]− 1,ν[

q(−1) = q(ν) = 0(3.100)

avecφ : [0,+∞[→]0,+∞[ une fonction continue. Alors∫ ν

−1

q(x)dx > 0

Démonstration.En intégrant (3.100) il existec(A) ∈ R telle que

φ(H0)q′ = H0 − c(A) (3.101)

En tenant compte des hypothèses surH0 trois cas sont possibles en fonction de la valeur

dec(A):

– Cas 1:q′ ≤ 0,∀x ∈]− 1,ν[ ou q′ ≥ 0, ∀x ∈]− 1,ν[ avecmesx : q′(x) = 0 = 0.

Ceci contredit le fait queq(−1) = q(ν) = 0.

– Cas 2:Il existeν1 ∈]− 1,ν[ tel que

q′(x) > 0 si x ∈]− 1,ν1[

q′(x) < 0 si x ∈]ν1,ν[

q′(ν1) = 0

Alors on aq(x) > 0,∀x ∈]− 1,ν[ et le lemme est démontré.

– Cas 3:Il existeν1 ∈]− 1,d[ etν2 ∈]d,ν[ tel que

q′(x) > 0 si x ∈]− 1,ν1[∪]ν2,ν[

q′(x) < 0 si x ∈]ν1,ν2[

q′(ν1) = q′(ν2) = 0


Soitν∗ ∈]− 1,ν[ tel queH0(ν∗) = H0(ν). Il est clair queν∗ < ν1.

En écrivant :∫ ν

−1

H ′′0 (x)q(x)dx = −

∫ ν

−1

H ′0q′dx = −

∫ ν∗

−1

H ′0q′dx−

∫ ν

ν∗

H ′0q′dx (3.102)

De (3.101) et deH0(ν∗) = H0(ν) nous déduisons∫ ν

ν∗

H ′0q′dx = 0

D’autre part nous avons

H ′0(x) < 0 si x ∈]− 1,ν∗[

q′(x) > 0 si x ∈]− 1,ν∗[

Avec (3.102) on obtient ∫ ν

−1

H ′′0 (x)q(x)dx > 0 (3.103)

D’autre part nous pouvons écrire∫ ν

−1

q(x)dx =

∫ ν

−1

1

H ′′0 (x)

H ′′0 (x)q(x)dx

Soitν3 ∈]ν1,ν2[ tel queq(ν3) = 0, q(x) > 0 si x ∈]− 1,ν3[ etq(x) < 0 si x ∈]ν3,1[.

Nous pouvons alors écrire en utilisant la croissance deH ′′0 :∫ ν

−1

q(x)dx >1

H ′′0 (ν3)

∫ ν3

−1

H ′′0 (x)q(x)dx+

1

H ′′0 (ν3)

∫ ν

ν3

H ′′0 (x)q(x)dx

ce qui avec (3.103) finit la preuve.

Nous avons un premier résultat concernant le signe de la dérivée deG.

Proposition 3.3.4. SupposonsH ′′0 croissante et soitA > 0 tel queψ(1,A) 6= 0 avecψ

donnée par 3.97.

AlorsG est dérivable enA et on a

G′(A) < 0



Démonstration.Nous distinguons les deux cas:ψ(1,A) > 0 etψ(1,A) < 0.

– Cas 1:ψ(1,A) > 0 (le cas équation). Dans ce cas nous avions montré la décrois-

sance deG dans la Proposition 3.2.4(i) mais pour le cas oùH0 était décroissante

partout, ce qui n’est pas le cas ici.

Il est clair par continuité deψ que l’on a

ψ(1,A′) > 0, ∀A′ dans un voisinage deA

Par suite pour toutA′ dans un voisinage deA la solutionP de (3.92) avecA rem-

placé parA′ satisfait le problème (3.94) (A remplacé parA′).

Il est alors évident par le Théorème des fonctions implicites queP est dérivable en

A.

Notonsq1 =∂P

∂A. Nous avonsG′(A) =

∫Ωq1(x)dx où q1 est la solution du pro-

blème ((H0 + A)3q′1

)′= −3

((H0 + A)2P ′

)′∀x ∈ Ω

q1(−1) = q1(1) = 0(3.104)

En intégrant (3.104) il existe une constanteC1(A) ∈ R telle que

(H0 + A)3q′1 = −3(H0 + A)2P ′ + C1(A) (3.105)

En multipliant parH0 + A et en dérivant on trouve((H0 + A)4q′1

)′= −3

((H0 + A)3P ′

)′+ C1(A)H ′

0

En utilisant (3.94) on déduit((H0 + A)4q′1

)′= (C1(A)− 3)H ′

0

Par linéarité on déduit

q1 = (C1(A)− 3)q1 (3.106)

avecq1 satisfaisant le problème((H0 + A)4q′1

)′= H ′

0 ∀x ∈ Ω

q1(−1) = q1(1) = 0(3.107)


Nous avons besoin de connaître le signe deC1(A)− 3.

De (3.105) on déduit

q′1 = − 3

H0 + AP ′ +

C1(A)

(H0 + A)3

ce qui nous donne avecq1(−1) = q1(1) = 0

C1(A) = 3

∫ 1

−1P ′(H0 + A)−1∫ 1

−1(H0 + A)−3

(3.108)

D’autre part, en intégrant (3.94) il existeC2(A) ∈ R tel que

(H0 + A)3P ′ = H0 + A− C2(A) (3.109)

En divisant par(H0 + A)4 et en intégrant nous avons∫ 1

−1

P ′(H0 + A)−1dx =

∫ 1

−1

(H0 + A)−3 − C2(A)

∫ 1

−1

(H0 + A)−4

En remplaçant dans (3.108) on obtient

C1(A)− 3 = −3C2(A)

∫ 1

−1(H0 + A)−4∫ 1

−1(H0 + A)−3

En divisant (3.109) par(H0+A)3, en intégrant ensuite surΩ et en utilisantP (−1) =

P (1) = 0 nous déduisonsC2(A) > 0 ce qui nous donne

C1(A) < 3 (3.110)

D’autre part montrons par l’absurde que :

H0(1) < H0(−1) (3.111)

Supposons le contraire, ce qui implique quex = 1 est un point oùH0 est maximal.

On a alors

(H0(1) + A)

∫ 1

−1

ds

(H0(s) + A)3≥∫ 1

−1

ds

(H0(s) + A)2



ce qui contredit l’hypothèseψ(1,A) > 0.

Nous avons donc (3.111).

En appliquant le Lemme 3.3.1 avecν = 1 etφ(z) = (z + A)4 nous déduisons que

la solutionq1 de 3.107 satisfait ∫Ω

q1dx > 0

Avec (3.106) et (3.110) nous avons le résultat cherché dans ce cas.

– Cas 2ψ(1,A) < 0

SoitA > 0 fixé tel queψ(1,A) < 0. Il existe alors un voisinageV0 deA tel que la

solutionP de (3.92) satisfait (3.95) avecβ = β(A) ∈]d,1[.

Il est clair queψ est de classeC2 et de (3.98) on a∂ψ

∂β(β(A),A) < 0 carβ(A) > d.

Du théorème des fonctions implicites on déduit queβ est de classeC1 enA.

D’autre part

∂ψ

∂A(β,A) = −3

∫ β

−1

ds

(H0(s) + A)3+ 3(H0(β) + A)

∫ β

−1

ds

(H0(s) + A)4(3.112)

ce qui nous donne

β′(A) = 3(H0(β) + A)

∫ β

−1(H0(s) + A)−4 −

∫ β

−1(H0(s) + A)−3

H ′0(β)

∫ β

−1(H0(s) + A)−3

(3.113)

Nous avons

G(A) =

∫ β

−1

P (x)dx

avecP donnée par (3.96) oùβ = β(A).

Il est clair queG est dérivable enA et commeP (β) = 0 nous avons par un calcul

élémentaire

G′(A) =

∫ β

−1

q2(x)dx (3.114)

avecq2 : [−1,β] → R définie par

q2(x) = − (3 +H ′0(β)β′(A))

∫ x

−1

(H0(s) + A)−3ds

+ 3 (H0(β) + A)

∫ x

−1

(H0(s) + A)−4ds


En multipliant par(H0(s) +A)4 et en dérivant de nouveau on montre queq2 vérifie

le problème [(H0 + A)4q′2

]′= −

[3 +H ′

0(β)β′(A)]H ′

0

q2(−1) = q2(β) = 0(3.115)

où q2(β) = 0 se déduit de la relation (3.113).

Par linéarité on a

q2 = −[3 +H ′

0(β)β′(A)]q2 (3.116)

avecq2 satisfaisant le problème[(H0 + A)4q′2

]′= H ′

0 ∀x ∈]− 1,β[

q2(−1) = q2(β) = 0(3.117)

D’autre part de (3.113) nous déduisons

3 +H ′0(β)β′(A) = 3(H0(β) + A)

∫ β

−1(H0 + A)−4∫ β

−1(H0 + A)−3

donc

3 +H ′0(β)β′(A) > 0 (3.118)

Nous montrons maintenant par l’absurde que

H0(β) < H0(−1) (3.119)

Supposons quex = β est un point oùH0 est maximal de]− 1,β[. On a alors

(H0(β) + A)

∫ β

−1

ds

(H0(s) + A)3>

∫ β

−1

ds

(H0(s) + A)2

carH0(s) < H0(β) ∀s ∈]− 1,β[.

Cette dernière inégalité contredit le fait queψ(β,A) = 0, ce qui montre (3.119).

En appliquant le Lemme 3.3.1 pour le problème (3.117) avecν = β,φ(z) = (z+A)4

on obtient∫ β

−1q2dx > 0. Ce dernier résultat combiné avec (3.116) et (3.118) nous

donne le résultat demandé.



Proposition 3.3.5.SiA > 0 satisfaitψ(1,A) = 0 alors∂ψ

∂A(1,A) > 0

Démonstration.Nous avons de (3.112)

∂ψ

∂A(1,A) = 3

∫ 1

−1

H0(1)−H0(x)

(H0(x) + A)4dx

Nous montrons exactement comme pour (3.111) queH0(1) < H0(−1), donc il existe

ν ∈]− 1,d[ tel queH0(ν) = H0(1).

Nous avons alors

∂ψ

∂A(1,A) = 3

∫ ν

−1

φ(x)

H0(x) + Adx+ 3

∫ 1

ν

φ(x)

H0(x) + Adx

avecφ(x) =H0(1)−H0(x)

(H0(x) + A)3.

Or ψ(1,A) = 0 qui est équivalent à∫ 1

−1

φ(x)dx = 0 (3.120)

Nous avons aussi

φ(x) < 0 si x ∈]− 1,ν[

φ(x) > 0 si x ∈]ν,1[

Ceci implique

∂ψ

∂A(1,A) >

3

H0(β) + A

∫ ν

−1

φ(x)dx+3

H0(β) + A

∫ 1

ν

φ(x)dx

ce qui est avec (3.120) donne le résultat.

On peut maintenant annoncer notre résultat principale concernant la decroissance deG :

Proposition 3.3.6.SupposonsH ′′0 croissante. Alors si l’applicationA→ G(A) est conti-

nue sur]0,+∞[ alors elle est strictement décroissante.

Démonstration.De la Proposition 3.3.5 on déduit qu’il peut exister au plus un unique

pointA > 0 tel queψ(1,A) = 0. Alors la Proposition 3.3.4 nous donne le résultat de-

mandé.


3.3.3 Un résultat d’existence

Nous rappelons que nous voulons montrer l’existence d’une solution(p,a,θ) avecp ∈K et (a,θ) ∈ Q du système (3.87)-(3.89) avecK définit par (3.87) et

Q =

(a,θ) ∈ R2 : θ < −h′0(1),a > −minx∈Ω

(h0(x) + θx)

Comme dans le paragraphe 3.2.2 nous introduisons les applicationsg1,g2 : Q → R défi-

nies par

g1(a,θ) =

∫Ω

pdx− F

g2(a,θ) =

∫Ω

xpdx− Fx01

avecp = p(a,θ) l’unique solution de l’inéquation variationnelle (3.87). La régularité de

g1 etg2 n’est plus évidente car le théorème des fonctions implicites ne s’applique plus.

Nous montrons dans la proposition suivante la continuité des fonctionsg1 et g2 par une

méthode directe.

Proposition 3.3.7.Les applicationsg1 etg2 sont continues surQ.

Démonstration.Soit (a,θ) fixé dansQ et soit une suite(an,θn) → (a,θ) tel que il existe

b0 > 0 avec :

h0(x) + θnx+ an ≥ b0, ∀x ∈ Ω (3.121)

Soitpn = p(an,θn). En prenantφ = 0 dans (3.87) et en utilisant (3.121) on déduit facile-

ment

‖pn‖H10 (Ω) ≤ C

avecC indépendante den.

On déduit l’existence d’une sous-suite depn que nous notons toujourspn et p ∈ H10 (Ω)

tel que

pn → p dansH10 (Ω)− faible

Nous avons aussi∫Ω

(h0 + an + θnx)3p′nφ

′dx ≥∫

Ω

(h0 + an + θnx)3(p′n)2 +

∫Ω

(h0 + an + θnx)(φ′ − p′n)dx

(3.122)



En utilisant

h0 + an + θnx→ h0 + a+ θx dansL∞(Ω)− fort

et le fait que

lim infn→+∞

∫Ω

(h0 + an + θnx)3(p′n)2 ≥

∫Ω

(h0 + a+ θx)3(p′)2

nous montrons en passant à la limite dans (3.122) quep = p(a,θ).

Par unicité dep nous déduisons que toute la suitepn converge faiblement dansH10 (Ω)

versp ce qui finit la preuve.

Nous avons l’analogue suivant de la Proposition 3.2.6

Proposition 3.3.8. Pour tout θ < −h′0(−1) il existe un uniquea tel que(a,θ) ∈ Q

satisfaisantg1(a,θ) = 0.

Démonstration.On va distinguer 3 cas

– Cas 1: θ < 0 Dans ce cas ( cas équation )le résultat est une conséquence de la

Proposition 3.2.6.

– Cas 2: θ ∈]0, − h′0(−1)[ : Commeh′0 est croissante (carh′′0 > 0) il existe une

solution uniquedθ ∈]− 1,1[ de l’équation

h′0(dθ) = −θ (3.123)

et on a la fonctionx→ h0(x)+a+ θx qui est strictement décroissante sur]− 1,dθ[

et strictement croissante sur]dθ,1[.

Nous avons

h0(x) + a+ θx = b+ r(x)

avec

b = h0(dθ) + a+ θdθ (3.124)

et

r(x) = h0(x)− h0(dθ)− h′0(dθ)(x− dθ)


Il est clair

r ∈ C2(Ω), r(dθ) =r′(dθ) = 0

r′(x) < 0 si x < dθ

r′(x) > 0 si x > dθ

r′′(x) = h′′0(x) > 0, ∀x ∈ Ω

Il est clair queg1(a,θ) = 0 si et seulement sib > 0,p ∈ K satisfont le système∫Ω

(b+ r

)3

p′(ϕ′ − p′) ≥∫

Ω

(b+ r

)(ϕ′ − p′) ∀ϕ ∈ K (3.125)∫

Ω

p = F (3.126)

b > 0

Nous introduisons l’applicationb ∈]0, + ∞[→ G1(b) =∫

Ωpdx ∈]0, + ∞[ et le

problème (3.125)-(3.126) devient

G1(b) = F (3.127)

De la Proposition 3.3.7 nous déduisons queG1 est continue carθ est fixé etb dé-

pend continûment dea (voir relation (3.124)).

D’autre part nous somme dans les hypothèses du paragraphe 3.3.2 avecH0 = r et

A = b.

On déduit alors du Corollaire 3.3.1 quelimb→0b>0

G1(b) = +∞ ce qui nous montre l’exis-

tence d’une solutionb > 0 de (3.127).

La proposition 3.3.6 nous donne l’unicité.

– Cas 3:θ = 0 Dans ce cas commeh′0 ≤ 0 résoudre l’équationg1(a,0) = 0 revient á

trouverA > 0 etp(x) satisfaisant

((h0 + a)3p′)′ = h′

0 (3.128)

p(−1) = p(1) = 0 (3.129)∫Ω

p = F (3.130)



SoitG01 =

∫Ωp avecp la solution de (3.128)-(3.129).

Nous appliquons la Proposition 3.2.3 avecH0 = h0,A = a et b = 1. L’ hypothèse

(3.13) est satisfaite avecα = 2,M0 = minx∈Ω

h′′0(x) etM1 = maxx∈Ω

h′′0(x).

Ceci nous donnelima→0a>0

G01(a) = +∞ et nous avons facilement l’existence d’au moins

une solution de (3.128)-(3.130). L’unicité est une conséquence immédiate de la

Proposition 3.2.4 avecH0 = h0 et b = 1.

Nous notons alors pour toutθ < −h′0(−1) para = a(θ) l’unique solution de

g1(a,θ) = 0

Nous introduisons l’applicationS :]−∞,− h′0(−1)[→ R définie par

S(θ) = g2(a(θ),θ)

Il est clair queS est le prolongement sur]−∞,− h′0(−1)[ de l’applicationS définie sur

]−∞,0[ introduite dans le paragraphe 3.2.2.

On a alors :

limθ→−∞

S(θ) > 0 (3.131)

Nous avons le résultat suivant

Proposition 3.3.9.Pour toutx01 ∈]− 1,1[, il existeθ0 ∈]0,− h′0(−1)[ tel que

S(θ0) < 0

Démonstration.Nous avons en fait

S(θ) =

∫Ω

p(x− x01) (3.132)

avecp(x),b > 0 solution unique de (3.125)-(3.126). Nous notons :

b = h0(dθ0) + a+ θ0dθ0

avecdθ0 l’unique solution deh′0(dθ0) = −θ0.

Nous avons aussi

r0(x) = h0(x)− h0(dθ0)− h′0(dθ0)(x− dθ0) (3.133)


Il est clair que siθ0 → −h′0(−1) alorsdθ0 → −1 et doncr0(−1) → 0.

On peut donc prendreθ0 suffisement proche de−h′0(−1) tel que

r0(−1) < r0(1) (3.134)

Nous déduisons alors qu’il existeβ ∈]− 1,1[ tel que la solutionp de (3.125) satisfasse

((r0 + b)3p′)′ = r′

0 sur ]− 1,β[

p(−1) = p(β) = 0

p′(β) = 0

p(x) = 0 sur ]β,1[

(sinon on déduirait comme pour déduire (3.119) quer0(1) < r0(−1) ce qui contredirait

(3.134))

Nous avons ensuite exactement comme dans (3.119) que

r0(β) < r0(−1) (3.135)

Il est clair que siθ0 → −h′0(−1) alorsdθ0 → −1 et de (3.133) et (3.135) nous avons

r0(β) → 0.

Comme

r0(x) ≥1

2infx∈Ω

h′′0(x)(x− dθ0)2

nous déduisons alors que|β − dθ0 | → 0 et doncβ → −1.

Alors pour toutx01 ∈]− 1,1[ on peut choisirθ0 assez proche de−h′0(−1) tel que

β < x01 (3.136)

Nous avons alors de (3.132)

S(θ0) =

∫ β

−1

p(x− x01)

(carp = 0 si x ≥ β)

donc

S(θ0) ≤ (β − x01)

∫ β

−1

p = (β − x01)F

ce qui avec (3.136) nous donne le résultat.



Il nous reste à montrer la continuité de la fonctionS.

Proposition 3.3.10.S est une fonction continue sur]−∞,− h′0(−1)[

Démonstration.Soit θ0 fixé. On va considérer trois cases

– Cas 1θ0 < 0: Le résultat est une conséquence de la Proposition (3.2.7)

– Cas 2θ0 ∈]0, − h′0(−1)[: Soit θn → θ0. On peut supposer queθn ∈ [θ1,0] avec

θ1 < −h′0(−1) fixé.

Nous considéronsdθn la solution de (3.123) avecθ = θn. et

rn(x) = h0(x)− h0(dθn)− h′0(dθn)(x− dθn)

Nous notons aussibn > 0,pn(x) l’unique solution de (3.125)-(3.126) avecr = rn.

Nous montrons par l’absurde qu’il existe un ensemble compactK ⊂]0,+∞[ indé-

pendant den tel que

bn ∈ K ∀n ∈ N (3.137)

Supposons le contraire, donc on a 2 possibilités

– Cas 2.1:Il existe une sous-suite notée encorebn telle quebn → +∞. Alors

de la Proposition (3.3.1) avecH0 = rn on déduit que∫

Ωpndx → 0 ce qui

contredit∫

Ωpndx = F .

– Cas 2.2:Il existe une sous-suite notée encorebn telle quebn → 0.

On applique la Proposition (3.3.2) avecH0 = rn,d0 = dθ1 (remarquer que

r′′n(x) = h′′0(x) donc indépendant den)

et on déduit que∫

Ωpndx→ +∞ ce qui contredit encore

∫Ωpn = F .

On a donc montré (3.137).

On peut alors extraire une sous-suite notée encorebn et un élémentb ∈ K tel

quebn → b.

En faisant ensuite exactement comme dans la preuve de la Proposition (3.3.7)

on peut extraire encore une sous-suite et il existep ∈ K tel quepn → p dans

H10 (Ω)- faible et queb et p satisfont (3.125)-(3.126) avecr(x) = h0(x) −

h0(dθ0)− h′0(dθ0)(x− dθ0) ( on utilise le fait quern → r dansL∞(Ω)-fort).

Par unicité de la solution de (3.125)-(3.126) la suite entière(bn,pn) converge


vers la limite.

On obtient alors

S(θn) → S(θ0)

– Cas 3θ0 = 0: Nous prenons encore une suiteθn → 0 et nous pouvons considérer 2

cases

– Cas 3.1θn > 0: Nous montrons exactement comme dans le cas 2 queS(θn) →S(0).

– Cas 3.2θn < 0 Dans ce cas nous appliquons les résultats du paragraphe 3.2.2.

Nous avons

S(θn) =

∫Ω

pn(x− x01)dx

avecbn > 0,pn(x) solutions de[(bn + h0(x)− θn(1− x))3p′n

]′=[h0(x)− θn(1− x)

]′pn(−1) = pn(1) = 0∫

Ω

pndx = F

Comme dans le cas 2 nous montrons par absurde l’existence d’un compact

K ⊂]0, + ∞[ tel quebn ∈ K ∀n ∈ N. Supposons par l’absurde qu’une

sous-suite notée encorebn satisfaitbn → +∞. Alors de la Proposition (3.3.1)

avecb = 1,H0(x) = h0(x) − θn(1 − x),A = bn nous avons∫

Ωpn(x)dx → 0

ce qui contredit∫

Ωpn(x)dx = F .

Supposonsbn → 0. Alors nous appliquons le lemme 3.2.1 avecH0(x) =

h0(x)− θn(1− x),A = bn,b = b0 = 1. Nous avons

−H ′0(x) = −θn − h′0(x)

et les hypothèses du lemme 3.2.1 sont satisfaites avecM0 = minx∈Ω

h′′0, M1 =

maxx∈Ω

h′′0 et δ0 = 1.

Nous avons alors∫

Ωpndx→ +∞ ce qui contredit

∫Ωpndx = F .

Ceci finit la preuve.



En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires nous avons alors comme consé-

quence immédiate de (3.131), la Proposition 3.3.9 et la Proposition 3.3.10

COROLLAIRE 3.3.2. Pour toutx01 ∈] − 1,1[, pour toutF > 0 on a au moins une

solution(p,a,θ) de(3.87)-(3.89)

Chapitre 4

Comportement dynamique d’un

mécanisme lubrifié dans le cas

incompressible

92CHAPITRE 4. COMPORTEMENT DYNAMIQUE D’UN MÉCANISME LUBRIFIÉ

DANS LE CAS INCOMPRESSIBLE

4.1 Introduction

Dans les chapitres précédents, on a traité le cas statique. Dans ce chapitre on va étudier

la dynamique d’un dispositif constitué de deux surfaces rigides en mouvement l’une par

rapport à l’autre, l’espace entre les deux surfaces étant rempli d’un fluide incompressible.

La surface supérieure est mobile et soumise à une force verticale constanteF > 0. La

surface inférieure horizontale, supposée plane est animée par une vitesse de translation

horizontale . Par son mouvement la surface inférieure entraîne du lubrifiant ; ce qui per-

met de créer un champ de pression qui s’oppose à la forceF . On autorise à la surface

supérieure un seul degré de liberté qui est le déplacement verticala = a(t).

La pressionsp = p(x,t) dans le fluide vérifie l’équation de Reynolds quasistationnaire :

∇ ·[(a(t) + h0(x)

)3∇p] = a′(t) +

∂h0

∂x1

dans Ω

p = 0 sur ∂Ω(4.1)

Le mouvement de la surface supérieure est modélisé par la deuxième loi de Newton :

a′′

=

∫Ω

p dx− F

a(0) = a01

a′(0) = a0

2

(4.2)

Dans tout ce chapitre, nous supposons queΩ =]− 1,0[n, n = 1 oun = 2 eth0 vérifie

l’hypothèse suivante :


h0 ∈ W 1,∞(Ω)

∂h0

∂x1

≤ 0 x ∈ Ω etmesx ∈ Ω :∂h0

∂x1

< 0 > 0

minx∈Ω

h0(x) = 0

(H1)

Nous cherchons donca(t) > 0 etp(x,t) satisfaisant le problème (4.1)-(4.2). Par linéa-

rité le problème (4.1) peut s’écrire comme une équation différentielle ordinaire d’ordre2

de la forme ( équation de Lienard ) :

a′′(t) = −g2(a(t))a

′(t) + g1(a(t))− F (4.3)

avec les conditions au tempt = 0 :a(0) = a0

1

a′(0) = a0

2

Où les fonctionsgi sont définies pour touta > 0 par :

gi(a) =

∫Ω

pi(x)dx i=1,2

oùp1 est la solution de : ∇ · [(a+ h0(x))3∇p1] =

∂h0

∂x1

dans Ω

p1 = 0 sur ∂Ω(4.4)

etp2 est la solution de :∇ · [(a+ h0(x))

3∇p2] = −1 dans Ω

p2 = 0 sur ∂Ω(4.5)



En utilisant les notations classiquesa1(t) = a(t) eta2(t) = a′(t) l’équation (4.3) peut

se mettre sous la forme d’un système différentiel d’ordre 1 :

Trouver(a1,a2) ∈ U = R∗+ × R, tel que :a′

1(t) = a2

a′

2(t) = −g2(a1)a2 + g1(a1)− F(4.6)

avec les conditions initiales a1(0) = a0

1

a2(0) = a02

(4.7)

4.2 Quelques préliminaires et un résultat d’existence lo-

cal

Commençons par étudier les propriétés deg1, g2 afin de pouvoir obtenir le maximum

d’informations sur le système (4.6)-(4.7).

Proposition 4.2.1.Les fonctionsg1 etg2 sont de classeC∞, strictement positives et véri-

fient :

lima→∞

gi(a) = 0 i = 1,2 (4.8)

avec l’ordre de convergence :

| gi(a) |≤C

a3i = 1,2 ∀a > 0 avecC > 0

Démonstration.La positivité est une conséquence du principe du maximum. La régularité

C∞ se démontre comme dans la Proposition 3.2.1 et la convergence vers0 comme dans

la Proposition 3.2.2

La proposition (4.2.1) nous donne classiquement [10] :

THÉORÈME 4.2.1. Pour tout(a01,a

02) ∈ U , il y a existence et unicité locale en temps

d’une solution de(4.6) - (4.7)dansC∞ × C∞.

4.3. EXISTENCE GLOBALE EN TEMPS 95

4.3 Existence globale en temps

On va donner dans cette section des conditions d’existence ou de non existence glo-

bale en temps de la solution du problème (4.6) - (4.7).

On noteTmax = le temps maximal d’existence de la solution de ce problème.

Nous montrerons que l’existence ou la non existence globale d’une solution dépend du

comportement des fonctionsg1(a1) etg2(a1) quanda1 tend vers0.

4.3.1 Conditions suffisantes d’existence globale

Introduisons la fonctionnelle :

V : U → R

V (a) = V (a1,a2) =1

2a2

2 −G1(a1) + Fa1

avec :G1(a1) =

∫ a1

1

g1(s)ds

Nous avons le résultat suivant :

Proposition 4.3.1.Si (a1(t),a2(t)) est une solution de(4.6), alors la fonction :

t→ V (a1(t),a2(t)) est décroissante.

Démonstration.Nous avons :

d

dtV (a1(t),a2(t)) =

∂V

a1

a1′ +

∂V

a2

a2′

= [−g1(a1) + F ]a2 + a2[−g2(a1)a2 + g1(a1)− F ]

= −a22g2(a1)

Commeg2(a1) > 0, on a le résultat.

Proposition 4.3.2.SupposonsTmax <∞. Alors il existe une suite croissantetn → Tmax

avect0 = 0 telle que :

a1(tn) → 0



Démonstration.Soit tn une suite croissante qui tend versTmax ( par exempletn =

Tmax(1−1

n) si n ≥ 1 et t0 = 0).

Alors de la Proposition 4.3.1 la suiteV(a1(tn),a2(tn)

)est décroissante . D’où :

1

2[a2(tn)]2 + Fa1(tn) ≤ 1

2(a0

2)2 + Fa0

1 −G1(a01) +G1(a1(tn)), ∀n ∈ N (4.9)

D’autre part de la Proposition 4.2.1, nous avons :

G1(a) ≤∫ ∞

1

g1(s) ds <∞, ∀a > 0

ce qui implique avec (4.9) que les suitesa1(tn) eta2(tn) sont bornées.

Il existe alors une sous suite detn encore notéetn et a1 ≥ 0 et a2 ∈ R telles que :

a1(tn) → a1 et a2(tn) → a2 pourn→∞

Il est bien connu [10] que(a1,a2

)appartient nécessairement à la frontière du domaine

]0,∞[×R, ce qui nous donnea1 = 0 et termine la preuve.

Nous pouvons énoncer le résultat d’existence globale suivant :

Proposition 4.3.3.Si1

2(a0

2)2 −

∫ a01

0

g1 + Fa01 < 0, alorsTMAX = +∞

Démonstration.Supposons queTmax <∞.

Soit tn la suite définit dans la Proposition 4.3.2. Nous avons alors :

1

2[a2(tn)]2 −G1(a1(tn) + Fa1(tn) ≤ 1

2(a0

2)2 + Fa0

1 −G1(a01)

En passant à la limiten→∞, nous trouvons :

0 ≤ 1

2(a0

2)2 − [G1(a

01)−G1(0)] + Fa0

1

oùG1(0) peut être une valeur finie ou égale à∞.

Par hypothèse, ceci est une contradiction, d’où le résultat.

COROLLAIRE 4.3.1. Si∫ 1

0

g1(s)ds = ∞, alors on a existence globale en temps pour

touta01 > 0, a0

2 ∈ R etF > 0.


Si∫ 1

0

g1(s)ds < ∞, alors on a existence globale en temps à condition que les données

soient “petites” dans le sens suivant :

1

2(a0

2)2 + Fa0

1 <

∫ a01

0

g1(s) ds

Nous donnons maintenant des conditions surh0 pour avoir l’existence globale en

temps dans le cas de contact lineique et du contact ponctuel.

THÉORÈME 4.3.1. Supposons qu’ outre(H1), h0 vérifie l’hypothèse :Il existeh1 ∈ C1(Ω) avech1 > 0 tel que

h0(x) = (−x1)αh1(x)( contact lineique)

(H2)

Si α ≥ 2 alors il y a existence globale en temps d’une solution de(4.6) - (4.7) dans

C∞(R+)× C∞(R+) pour touta01 > 0, a0

2 ∈ R etF > 0.

Démonstration.Il est clair que :∫ 1

0

g1(s) ds = +∞ si α ≥ 2 (Théorème 2.3.2 ), donc

nous avons comme conséquence du Corollaire 4.3.1 le résultat cherché.

En suivant le même raisonnement que dans la proposition précédente , on démontre :

THÉORÈME 4.3.2. Supposons qu’ outre(H1), h0 vérifie l’hypothèse :Il existeh1 ∈ C1(Ω) avech1 > 0 tel que

h0(x) = |x|αh1(x)( contact ponctuel)(H

′2)

Si α ≥ 3 alors il y a existence globale en temps d’une solution de(4.6) - (4.7) dans

C∞(R+)× C∞(R+) pour touta01 > 0, a0

2 ∈ R etF > 0.

4.3.2 Conditions suffisantes de non existence globale

Dans la suite nous étudions les conditions dans lesquellesTmax < ∞, c’est à dire, la

possibilité pour que la distance entre les deux surfaces rigides devienne égale à zéro en

temps fini (Proposition 4.3.2).



Nous commençons par le résultat technique suivant :

LEMME 4.3.1. Soit I un intervalle du temps de la forme]0,T [ avecT > 0 tel que

a2(t) < 0 ∀t ∈ I.

Alors∀β > 0 et∀t ∈ I, on a :

a22(t) ≥ eβa1

[(a0

2)2e−βa0

1 +

∫ a01

a1(t)

[− 1

βg22(s)− 2g1(s) + 2F

]e−βsds

](4.10)

Démonstration.Commea′

1(t) = a2(t) < 0, l’application :t ∈]0,T [→ a1(t) ∈]a1(T ),a01]

est bijective.

On peut alors exprimera2 en fonction dea1 et on a :

da2

da1

=−a2g2(a1) + g1(a1)− F

a2

(4.11)

c’est à dire :

a2da2

da1

= −a2g2 + g1 − F

En utilisant l’inégalité :

−2a2g2(a1) ≤ βa22 +

1

βg22(a1), ∀β > 0

nous déduisons :d

da1

[a2

2

]≤ βa2

2 +1

βg22(a1) + 2[g1(a1)− F ]

Ceci nous donne classiquement :

d

da1

[a22e−βa1 ] ≤

[ 1βg22(a1) + 2[g1(a1)− F ]

]e−βa1

On termine la démonstration en intégrant entrea1 eta01.

Proposition 4.3.4.Soita02 < 0 et supposons que la condition suivante soit vérifiée :

il existeβ0 > 0 tel que

(a02)

2e−β0a01 >

∫ a01

b

[1

β0

(g2(s))2 + 2(g1(s)− F )]e−β0sds ∀b ∈ [0,a0

1] (4.12)

AlorsTmax <∞


Démonstration.Supposons queTmax = ∞.

Nous notons :

L = infb∈[0,a0

1]

(a0

2)2e−β0a0

1 −∫ a0

1

b

[1

β0

(g2(s))2 + 2(g1(s)− F )]e−β0sds

etL > 0 par hypothèse.

Commea02 < 0, il existe un intervalleI1 de la forme[0,T1] tel quea2(t) < 0, ∀t ∈ I1.

Nous avons alors :

a1(t) < a01 ∀t ∈ I1

Il est clair queT1 = ∞ ( car sinon on devrait avoira2(T1) = 0 ce qui contredit le lemme

(4.3.1) et le fait queL > 0).

Nous avons alors :

a2(t) ≤ −√L ∀t ∈ [0,+∞[

ce qui nous donne :

a1(t) = a01 +

∫ t

0

a2(s)ds ≤ a01 −

√Lt ∀t ≥ 0

Avec unt assez grand, ceci contredita1(t) > 0, d’où le résultat.

Remarque 4.3.1.L’hypothèse de la proposition(4.3.4) est vérifiée dans au moins les

deux situations suivantes :

– Sig1 etg2 sont tels que :∫ 1

0

g22(s) ds <∞ et

∫ 1

0

g1(s) ds <∞

Alors pour touta01 > 0 etF > 0 il existea0

2 < 0 avec|a02| suffisamment grand tel

que(4.12)soit satisfaite.

– Si g1 et g2 sont bornées sur]0,∞[ alors une condition suffisante pour avoir(4.12)

estF > sups∈]0,a0

1[

g1(s), car en prenantβ0 assez grand, le membre de droite de(4.12)

devient négatif.



THÉORÈME 4.3.3. Supposons queh0 satisfait l’hypothèes(H1) et l’hypothèe(H2) avec

α ∈]0,1[. Alors pour touta01 > 0 eta0

2 < 0 et pour toutF > sups∈]0,a0

1]

g1(s), on a :

Tmax < +∞

Démonstration.Commeh0 vérifie(H2

)avec0 < α < 1, le Théorème 2.3.1 implique

queg1 est bornée sur[0,∞]. L’application :

ϕ ∈ H10 (Ω,h0,h

30) →

∫Ω

x1∂ϕ

∂x1

dx ∈ R

est linéaire et continue car :∫Ω

|x1|∣∣ ∂ϕ∂x1

∣∣ ≤ [ ∫Ω

(x1)2

h30

dx]1/2[ ∫

Ω

h30

∂ϕ

∂x1

dx]1/2

Commeα < 1, on a∫

Ω

(x1)2

h30

dx < ∞. On peut alors comme dans le chapitre2 ( théo-

rème (2.3.1) ), déduire queg2 reste bornée sur]0,+∞[ pour0 < α < 1. En appliquant la

remarque (4.3.1) et la proposition 4.3.4 on trouve le résultat cherché.

En suivant le même raisonnement que dans la proposition précédente , on démontre :

THÉORÈME 4.3.4. Supposons queh0 satisfait l’hypothèes(H1) et l’hypothèe(H′2) avec

α ∈]0,3

2[. Alors pour touta0

1 > 0 eta02 < 0 et pour toutF > sup

s∈]0,a01]

g1(s), on a

Tmax < +∞

4.4 Points d ’équilibre et stabilité

Il est évident quea∗ = (a∗1,a∗2) est un point stationnaire de problème (4.6) si et seule-

ment si : a∗2 = 0

g1(a∗1) = F

(4.13)

On a le résultat suivant :

4.4. POINTS D ’ÉQUILIBRE ET STABILITÉ 101

Proposition 4.4.1.Sous l’hypothèse :

lima→0

g1(a) > F

il existe au moins un point stationnaire de(4.6). En outre sig est dérivable etg′1(s) <

0 ∀s > 0 alors ce point est unique et asymptotiquement stable.

Démonstration.L’existence est une conséquence immédiate de Proposition (4.2.1) et

l’unicité est élémentaire.

Pour la stabilité nous calculons les valeurs propres de la matrice jacobienne ena∗ du

membre du droite de (4.6) :

A =

0 1

g′

1(a∗1) −g2(a

∗1)

(4.14)

Les valeurs propres sont les racines de l’équation :

λ2 + g2(a∗1)λ− g

′

1(a∗1) = 0 (4.15)

Commeg′

1(a∗1) < 0 et g2(a

∗1) > 0, il est facile de voir que les parties réelles des vecteurs

propres sont strictement négatives, ce qui nous donne classiquement le résultat.

Supposons queh0 vérifie les hypothèses (H1) et (H2).

Les résultats du chapitre 2 impliquent qu’il existe au moins une solution stationnaire pour

toutF > 0 si α ≥ 1 ou pourF ne dépassant pas∫

Ω

p0 dx pourα < 1 avecp0 solution de

(P01)(

Chapitre 2).

De plus siα = 1 eth1 est une constante alors de la Proposition 3.2.4(ii), nous déduisons

que ce point stationnaire est unique et asymptotiquement stable.

Remarque 4.4.1.En dimension1(Ω =] − 1,0[

), nous avons l’unicité et la stabilité

asymptotique sous les hypothèsesα = 1 eth1 constant ( Proposition 3.2.4).



Chapitre 5

Comportement asymptotique du fluide

compressible

104CHAPITRE 5. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DU FLUIDE

COMPRESSIBLE

5.1 Introduction

Nous allons considérer dans ce chapitre le cas où le fluide lubrifiant entre deux sur-

faces rigides est un fluide compressible et isotherme ( l’air par exemple). La surface infé-

rieure, supposée plane horizontale, est animée d’une vitesse de translation horizontale. La

surface supérieure est mobile et soumise à une force verticaleF > 0 appliquée au point

x0.

La pression normalisée du fluide vérifie :

∇ ·[(H3p+ λH2

)∇p]

=∂

∂x1

[Hp]

x = (x1,x2) ∈ Ω (5.1)

p = 1 x ∈ ∂Ω (5.2)

oùH est la distance normalisée entre les surfaces avecH(x) = h0(x) + ε avecε > 0, Ω

est un borné ouvert deRn, n = 1,2, λ ∈ [0,+∞[ est le paramètre de raréfaction de l’air.

Notons, pour toutε > 0 :

g(ε) =

∫Ω

pdx,

mi(ε) =

∫Ω

(xi − x0i )pdx i = 1,2 x0 = (x0

1,x02) ∈ Ω,

respectivement la charge et les moments.

Pour simplifier, on considèreΩ =]− 1,0[2.

Dans tout ce chapitre, on suppose queh0 vérifie les hypothèses suivantes :

(H)

h0 ∈ L∞(Ω) et on noteM0 = ||h0||L∞(Ω)

infΩh0(x) = 0, h0 > 0 surΩ

h0 est décroissante par rapport àx1 surΩ

(5.3)

Remarque 5.1.1.Rappelons queh0 est décroissante par rapport àx1 signifie que pour

toutϕ ∈ D(Ω) positif, on a : ∫Ω

h0∂ϕ

∂x1

≥ 0


Le but de ce chapitre est d’étudier le comportement asymptotique de la charge et

des moments quandε → 0 en adaptant les techniques utilisées dans le Chapitre 2. Le

comportement asymptotique va être différent suivant les hypothèses vérifiées parh0.

Dans un premier temps, on va prouver que le problème de départ àε fixée (5.1)-(5.2) est

bien posé. On introduira pour cela des espaces de Sobolev à poids et on va montrer une

inégalité de type Poincaré qui va nous servir pour étudier la convergence de la solution de

(5.1)-(5.2).

Sous l’hypothèse1

h0

∈ L1(Ω) nous définissons de deux manière différentes le problème

limite. D’abord nous définissons un premier problème dont les fonctions test sont de type

D(Ω). Ce type de fonction test ne nous permet pas d’avoir l’unicité du problème limite.

Nous serons alors conduit à définir un nouveau problème limite dont les fonctions test

appartiennent à un espace plus restreint, ceci entraîne une hypothèse supplémentaire sur

h0. Bien que les techniques de démonstration sont presque identique, nous serons dans ce

cas obligé de différencier le casλ = 0 et le casλ 6= 0.Dans le même cadre et comme

résultat immédiat nous obtenons la convergence de la charge et des moments.

Le cas ou la condition1

h0

∈ L1(Ω) n’est pas vérifiée, les problèmes limites ne sont pas

bien posés. La non convergence de la charge et des moments quandε → 0 est prouvée à

l’aide du principe du maximum.

Dans la section 5.5, en imposant un seul degré de liberté pour la surface supérieure, on va

montrer l’existence d’une solution pour le problème d’équilibre suivant :

Trouver(p,a) ∈(1 +H1

0 (Ω))× R+ tels que :

∇ ·[[(

h0 + a)3p+ λ

(h0 + a

)2]∇p] =∂(h0 + a)p

∂x1

dansΩ (5.4)

p = 1 sur∂Ω (5.5)∫Ω

(p− 1) dx = F (5.6)

oùa est le déplacement vertical de la surface supérieure.


COMPRESSIBLE

5.2 Quelques définition et résultats préliminaires

5.2.1 Espaces de Sobolev à poids

Nous introduisons, pour toutf0,f1 ∈ C0(Ω) avecfk > 0 surΩ, k = 1,2 l’espace de

Sobolev à poids suivant:

H1(Ω,f0,f1)

qui est définit, comme ensemble de toute fonction mesurable,ϕ = ϕ(x) surΩ, telle que :∫Ω

f0(x)ϕ(x)2dx+

∫Ω

f1(x)|∇ϕ|2(x)dx <∞

Il est clair que l’espaceH1(Ω,f0,f1) est pre-hilbertien, muni du produit scalaire.

(ϕ1,ϕ2

)H1(Ω,f0,f1)

=

∫Ω

f0(x)ϕ1(x)ϕ2(x)dx +

∫Ω

f1(x)∇ϕ1∇ϕ2dx

On introduit aussi :

H10 (Ω,f0,f1) = D(Ω)

H1(Ω,f0,f1)= H1

0 (Ω)H1(Ω,f0,f1)

Cette espace est muni de même produit scalaire que l’espaceH1(Ω,f0,f1).

Remarque 5.2.1.Si1

fk

∈ L1loc(Ω),k = 0,1 alors H1(Ω,f0,f1) est un espace de Hilbert

[5].

On introduit aussi pour toutf ∈ C0(Ω) avecf > 0 surΩ, l’espace de Sobolev a poids

suivant :

H0(Ω,f) =

ϕ est mesurable

∫Ω

fϕ2dx < +∞

LEMME 5.2.1. Si1

f∈ L1(Ω), alorsH0(Ω,f) s’injecte continûment dansL1(Ω).

Démonstration.soitϕ ∈ H0(Ω,f), on a :

||ϕ||L1(Ω) =

∫Ω

1

f12

f12 |ϕ| ≤ || 1

f||1/2

L1(Ω)||f1/2ϕ2||L2(Ω) = || 1

f||1/2

L1(Ω)||ϕ||H0(Ω,f)

Ce qui finit la preuve.

5.2. QUELQUES DÉFINITION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 107

On définit pour tout compactK inclus dansΩ l’opérateur :

TK : H1(Ω,h0,h30) → H1(K)

tel queTK(ϕ) est la restriction deϕ dansK.

LEMME 5.2.2. L’opérateurTK est linéaire et continue.

Démonstration.Soitϕ ∈ H1(Ω,h0,h30), on a :∫

K

(∇ϕ)2dx +

∫K

ϕ2dx =

∫K

1

h30

h30(∇ϕ)2 dx +

∫K

1

h0

h0(∇ϕ)2

≤(minx∈K

h30

)−1∫

Ω

h30(∇ϕ)2dx +

(minx∈K

h0

)−1∫

Ω

h0(ϕ)2dx

Commeh0 > 0 surK qui est compact, le résultat est immédiat.

Nous introduisons pour toutu défini surΩ, u+(x) = maxu(x),0.On va montrer dans la suite que siu ∈ H1

0 (Ω,f0,f1), alorsu+ ∈ H10 (Ω,f0,f1). Pour cela

on a besoin du lemme suivant :

LEMME 5.2.3. L’opérateurϕ→ ϕ+ est continue surL2(Ω).

Démonstration.Soitun ∈ L2(Ω) etun → u enL2(Ω) forte. On a alors∫Ω

(u+n − u+)2 dx =

∫un>0,u>0

(un − u)2 dx

+

∫un>0,u<0

u2n dx +

∫un<0,u>0

u2 dx

Pour le premier terme de droite, on a :∫un>0,u>0

(un − u)2 dx ≤∫

Ω

(un − u)2 → 0

On a aussi :∫un>0,u<0

u2n dx ≤

∫Ω

(un − u)2 → 0 et∫

un<0,u>0

u2 dx ≤∫

Ω

(un − u)2 → 0



COMPRESSIBLE

Proposition 5.2.1.Soitu ∈ H10 (Ω,f0,f1). Alorsu+ ∈ H1

0 (Ω,f0,f1)

Démonstration.Soitun ∈ D(Ω) telle que :un → u dans la normeH1(Ω,f0,f1).

Commeun ∈ H10 (Ω). Il est clair que :∫

Ω

f0|u+n |2 ≤

∫Ω

f0|un|2 ≤ c

∫Ω

f0|∂xiu+

n |2 ≤∫

Ω

f0|∂xjun|2 ≤ c i = 1,2.

doncu+n est borné dansH1

0 (Ω,f0,f1) et on déduit qu’il existev ∈ H10 (Ω,f0,f1) et une sous

suite notée toujoursn telle que :

u+n v dansH1

0 (Ω,f0,f1) faible

Alors pour tout compactK ⊂ Ω, le lemme 5.2.2 implique :

u+n /K → v/K dansL2(K) fort.

D’autre part, la continuité enL2(K) de l’opérateurϕ→ ϕ+, induit que :

u+n /K → u+

/K dansL2(K) forte.

Par identification, nous obtenonsv = u+, ce qui finit la preuve.

Nous rappelons l’inégalité de type Poincaré suivante :( lemme 2.2.1 )

LEMME 5.2.4. Soitf ∈ C0(Ω) tel quef > 0 sur Ω. On suppose quef est décroissant

enx1 sur [−1,0]× [−1,0].

Alors pour toutδ1,δ2 ∈ R tel que :

K = supx2∈[−1,0]

∫ 0

−1

∫ x1

−1

f 2(δ1−δ2)(s,x2)dsdx1 <∞

on a : ∫Ω

f 2δ1u2 ≤ K

∫Ω

f 2δ2(∇u)2, ∀u ∈ H1

0 (Ω,f 2δ1 ,f 2δ2)


On déduit immédiatement :

COROLLAIRE 5.2.1. Sif,δ1,δ2 satisfont les hypothèses du Lemme 5.2.4, alors :

• la semi norme||f δ2∇ · || est une norme surH10 (Ω,f 2δ1 ,f 2δ2) équivalente à la norme

deH10 (Ω,f 2δ1 ,f 2δ2).

• ∃c1,c2 > 0 dépendant deδ1 et δ2 tels que :

||f δ1u||L2(Ω) ≤ c1 + c2||f δ2∇u||L2(Ω) ∀u ∈ 1 +H10 (Ω,f 2δ1 ,f 2δ2)

5.2.2 Existence, unicité et Principe de maximum

Dans cette partie, on va énoncer des résultats d’existence, d’unicité pour le problème

(5.1)-(5.2) et un principe de maximum.

Pourλ > 0, le résultat d’existence d’une solution positive unique a été prouvée dans [30],

sous les mêmes hypothèses que dans notre travail.

Pourλ = 0, l’existence d’une solution positive sous l’hypothèseH ∈ L∞(Ω) a été [34],

l’unicité de la solution étant prouvée sous la condition supplémentaireH ∈ W 1,∞ [1].

Nous prouvons ici l’unicité sans régularité mais avec l’hypothèseH décroissante enx1.

Comme dans[1] mais sous l’hypothèseH ∈ W 1,∞, nous commençons par démontrer que

toute solutionp satisfaitp ≥ 1 et nous prouverons ensuite l’unicité de la solution.

LEMME 5.2.5. Sip est solution de(5.1)-(5.2), alors :

p ≥ 1 surΩ

Démonstration.La preuve est différente selon queλ = 0 ouλ > 0.

Cas1 : λ = 0

On introduit la fonctionu = p2 qui vérifie l’équation :

1

2∇ ·[H(x)3∇u

]=

∂

∂x1

[H(x)

√u]

x = (x1,x2) ∈ Ω (5.7)

u = 1 x ∈ ∂Ω (5.8)


COMPRESSIBLE

Nous rappelons :

minx∈Ω

H = ε et maxx∈Ω

H = M0 + ε

L’équation (5.7)-(5.8), admet une solution positive.

D’après la formulation variationnelle de (5.7)-(5.8), pour toutϕ ∈ H10 (Ω) positive, on

a d’après la remarque (5.1.1):∫Ω

H3∇(1− u)∇ϕ− 2H(1−√u)∂ϕ

∂x1

dx = −2

∫Ω

H∂ϕ

∂x1

dx ≤ 0 (5.9)

On définit pour touta > 0, la fonction suivante ([19]):

ζ =(1− u)+

(1− u)+ + a

On remarque queζ ∈ H10 (Ω), et on a :

∇( (1− u)+

(1− u)+ + a

)= a

∇(1− u)+((1− u)+ + a

)2 (5.10)

∇ log(1 +

(1− u)+

a

)=

∇(1− u)+

(1− u)+ + a(5.11)

On prendζ comme fonction test dans (5.9), et en utilisant (5.10), on trouve :∫[1−u>0

]H3∇(1− u)∇(1− u)[

(1− u) + a]2 − 2H(1−

√u)

∂∂x1

(1− u)[(1− u) + a

]2 dx ≤ 0 (5.12)

La formule (5.11), nous donne :∫[1−u>0

]H(1−√u)

∂∂x1

(1− u)[(1− u) + a

]2 dx ≤∫[

1−u>0]H 1− u

1 +√u

∣∣∣ ∂∂x1

(1− u)[(1− u) + a

]2 ∣∣∣dx

≤∫[

1−u>0] ∣∣∣H 1

1 +√u

∂

∂x1

[log(1 +

1− u

a

)]∣∣∣dx

≤ (M + ε)||∇[log(1 +

(1− u)+

a

)]||L2(Ω)

(5.13)


Alors de (5.12)-(5.13), on conclut en minorantH parε et en utilisant l’inégalité de Poin-

caré que :

|| log(1 +

(1− u)+

a

)||H1(Ω) ≤ 2

M0 + ε

ε3, ∀a > 0 (5.14)

ce qui nous permet d’avoir :

(1− u)+ = 0

et donc le résultat recherché.

Cas2 : λ > 0

Soitw = 1 − p , d’après la formulation variationnelle de (5.1)-(5.2), on trouve d’après

(5.1.1) :∫Ω

H3p∇w∇ϕdx+λ

∫Ω

H2∇w∇ϕdx−∫

Ω

Hw∂ϕ

∂x1

dx = −∫

Ω

H∂ϕ

∂x1

dx ≤ 0 ∀ϕ ∈ H10 (Ω) positive

(5.15)

En remarquant quew+ ∈ H10 (Ω), on choisit comme fonction testϕ =

w+

w+ + adans (5.15),

aveca > 0.

On remarque aussi que :

∇( ω+

w+ + a

)= ε

∇w+(w+ + a

)2 (5.16)

∇ log(1 +

w+

a

)=

∇w+

w+ + a(5.17)

On a : ∫Ω

(H3p+ λH2)∇w∇ϕ =

∫Ω

(H3p+ λH2)(∇w+)2

(w+ + a)2

Commep ≥ 0 etλ > 0, alors :∫Ω

(H3p+ λH2)∇w∇ϕ ≥ |λ|∫

Ω

H2 (∇w+)2

(w+ + a)2

ce qui nous donne :∫Ω

(H3p+ λH2)∇w∇ϕ ≥ a|λ|ε2||∇ log(1 +

ω+

a

)||2L2(Ω) (5.18)

En utilisant (5.16)-(5.17) , on obtient l’inégalité suivante :


COMPRESSIBLE

∫Ω

Hw∇ϕ ≤ a(M0 + ε)||∇ log(1 +

w+

a

)||L2(Ω) (5.19)

De la formulation variationnelle (5.15) et en utilisant (5.18) et (5.19), on a :

|| log(1 +

w+

a

)||H1(Ω) ≤ C (5.20)

oùC est une constante indépendante dea, alors :

w+ = 0

d’où le résultat.

Proposition 5.2.2.Le problème(5.1)-(5.2)avecλ = 0, admet une solution unique.

De plus, sipi i = 1,2 sont deux solutions faibles de(5.1)-(5.2)correspondant à la condi-

tion limitepia. Alorsp1

a ≥ p2a sur∂Ω, impliquep1 ≥ p2 surΩ.

Démonstration.On posew = p2 − p1, qui satisfait le problème suivant :w ∈ (p2

a − p1a) +H1

0 (Ω)

∫Ω

H3p1∇w∇ϕdx +

∫Ω

H3w∇p2∇ϕdx =

∫Ω

Hw∂ϕ

∂x1

∀ϕ ∈ H10 (Ω)

(5.21)

On prend comme fonction testϕ =w+

w+ + a.

Du lemme (5.2.5) on ap1 ≥ 1, ce qui nous donne :∫Ω

H3p1∇w∇ϕ ≥∫

Ω

H3 (∇w+)2

(w+ + a)2

En suivant la même démarche que dans le lemme (5.2.5)( cas2 ), on trouve le résultat

recherché.

Nous rappelons la définition suivante :


Définition 5.2.1. Soitq ∈ H1(Ω) . On dit queq est une sous solution de(5.1)-(5.2)si :

(q − 1)+ ∈ H10 (Ω) (5.22)

∇ ·((H3(x)q + λH2

)∇q)−∂(H(x)q

)∂x1

≥ 0 (5.23)

On va prouver dans le lemme suivant que sip et q sont respectivement une solution

et une sous-solution de (5.1)-(5.2) alorsp ≥ q. Ce principe de maximum est prouvé

dans([1]) sous l’hypothèseH ∈ W 2,∞. Nous avons toutefois besoin de l’hypothèseh0

décroissante enx1.

LEMME 5.2.6. Soitp solution de(5.1)-(5.2)etq une sous solution de(5.1)-(5.2), alors :

p ≥ q p.p surΩ

Démonstration.On posew = q − p, qui satisfait le problème suivant :

∫Ω

H3p∇w∇ϕdx +

∫Ω

H3w∇q∇ϕdx + λ

∫Ω

H2∇w∇ϕdx−∫

Ω

Hw∂ϕ

∂x1

≤ 0

∀ϕ ∈ H10 (Ω) positive

(5.24)

On prendϕ =w+

w+ + aaveca > 0. En utilisant le fait quep ≥ 1, on obtient le résultat

cherché de la même manière que dans la proposition (5.2.2).

Comme dans le cas incompressible, on va distinguer en fonction du comportement de

h0 quandx1 → 0 le cas où il existe un problème limite quandε→ 0 et le cas ou la charge

et les moments divergent.


COMPRESSIBLE

5.3 Le cas limite finie

Dans toute la section on suppose queh0 vérifie les hypothèses suivantes qui seront

vérifiées dans le cash0(x) = (−x1)αh1(x) avecα ∈]0,1[ :

(H0

)

1

h0

∈ L1(Ω)

K0 = supx2∈[−1,0]

∫ 0

−1

∫ x1

−1

1

h20

dsdx1 < +∞

On va étudier le comportement asymptotique de la solution faible du problème (5.1)-

(5.2), en introduisant le problème limite suivant :

Trouverp0 ∈ 1 +H10 (Ω,h0,h

30) tel que

∫Ω

(h30p0 + λh2

0)∇p0∇ϕdx =

∫Ω

h0p0∂ϕ

∂x1

dx ∀ϕ ∈ D(Ω)

(5.25)

Dans la suite on aura besoin de l’espace de Sobolev à poids suivant :H1(Ω,H,H3).

Remarque 5.3.1.On a : supx2∈[−1,0]

∫ 0

−1

∫ x1

−1

1

H2dsdx1 < K0 < +∞ etK0 est indépendante

de ε, ce qui implique que la semi norme||H3/2∇ · ||L2(Ω) est une norme sur l’espace de

Sobolev à poidsH10 (Ω,H,H3), avec une constante d’équivalente indépendante deε.

LEMME 5.3.1. Soitλ ≥ 0 etp la solution de(5.1)- (5.2)alors, il existeC1 > 0 etC2 > 0

indépendantes deε tels que :

||p||H1(Ω,H,H3) ≤ C1

||p||H1(Ω,h0,h30) ≤ C2

Démonstration.D’après le lemme (5.2.5), on ap ≥ 1, donc| log p| ≤ p.

On a aussi :|∇(log p)| = |∇p|p

≤ |∇p|, ce qui implique :

log p ∈ H10 (Ω)

5.3. LE CAS LIMITE FINIE 115

On prendϕ = log p comme fonction test dans la formulation variationnelle de (5.1)-(5.2),

ce qui nous donne :∫Ω

(h0 + ε)3(∇p)2dx+λ

∫Ω

(h0 + ε)2 1

p(∇p)2 dx =

∫Ω

(h0 + ε)∂p

∂x1

dx =

∫Ω

(h0 + ε)−12 (h0 + ε)

32∂p

∂x1

dx

(5.26)

Comme le deuxième terme de gauche est positive et en appliquant l’inégalité de Cauchy-

Schwartz, on trouve : (∫Ω

(h0 + ε)3(∇p)2) 1

2 ≤ || 1

h0

||L1(Ω) (5.27)

En utilisant le corollaire (5.2.1), avecf = H,δ1 =1

2et δ2 =

3

2, on déduit :

||p||H1(Ω,H,H3) ≤ C1 (5.28)

oùC1 est une constante indépendante deε.

Comme0 ≤ h0 ≤ H, le deuxième résultat est immédiat.

Nous avons le résultat de convergence suivant :

THÉORÈME 5.3.1. Soit λ ≥ 0, il existe une sous suite deε tel que la solutionp de

(5.1)-(5.2)converge faiblement dansH1(Ω,h0,h30), versp0 solution de(5.25).

Démonstration.D’après le lemme (5.3.1), il existep0 ∈ H1(Ω,h0,h30), tel quep converge

versp0 dansH1(Ω,h0,h30), à une sous suite près.

Il reste a montrer quep0 est solution de (5.25). Soitϕ ∈ D(Ω) fixée. D’après (5.1)-(5.2),

on a:∫Ω

(h0 + ε)3p∇p∇ϕdx + λ

∫Ω

(h0 + ε)2∇p∇ϕdx =

∫Ω

(h0 + ε)p∂ϕ

∂x1

dx (5.29)

On va montrer d’abord la convergence du premier terme de gauche. Nous pouvons écrire :

∫Ω

(h0 + ε)3p∇p∇ϕ− h30p0∇p0∇ϕdx = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 (5.30)


COMPRESSIBLE

Avec :

A1 =

∫Ω

[(h0 + ε)− h0

](h0 + ε)

12p(h0 + ε)

32∇p∇ϕdx (5.31)

A2 =

∫Ω

[(h0 + ε)− h0

]h

120 p(h0 + ε)h

120∇p∇ϕdx (5.32)

A3 =

∫Ω

[(h0 + ε)− h0

]h

120 ph

320∇p∇ϕdx (5.33)

A4 =

∫Ω

h120 (p− p0)h

320∇ph0∇ϕdx (5.34)

A5 =

∫Ω

h120 p0h

320 (∇p−∇p0)h0∇ϕdx (5.35)

Commeϕ ∈ D(Ω) alors [(h0 + ε) − h0

]∇ϕ converge vers0 dansL∞(Ω) quandε

tend vers0. D’autre part d’après le lemme (5.3.1)(h0 + ε)12p et (h0 + ε)

32∇p sont bornées

indépendamment deε dansL2(Ω). On a alorsA1 → 0 .

En utilisant le même type de raisonnement, on montre queA2 → 0 etA3 → 0.

D’autre part, il existe un compactK ⊂ Ω tel que le support deϕ est inclut dansK, ce qui

permet d’écrire :

A4 =

∫K

h320 (p− p0)∇ϕh

320∇pdx

Des lemmes (5.2.2)-(5.3.1), on déduit quep → p0 dansH1(K) faible et dansL2(K)

forte. Ceci nous implique queA4 → 0 etA5 → 0.

On obtient de la même manière :

limε→0

∫Ω

(h0 + ε)2∇p∇ϕdx =

∫Ω

h20∇p0∇ϕdx

Pour du terme de droite de (5.29) s’écrit :∫Ω

(h0 + ε)p∂ϕ

∂x1

−∫

Ω

h0p0∂ϕ

∂x1

=

∫Ω

[(h0 + ε)

12 − h

120

](h0 + ε)

12p∂ϕ

∂x1

−∫

Ω

[(h0 + ε)

12 − h

120

]h

120 p

∂ϕ

∂x1

+

∫Ω

h0(p− p0)∂ϕ

∂x1

et on termine en faisant le même raisonnement que pourA1.


LEMME 5.3.2. Sip0 est une solution faible du problème limite(5.25), alors :

p0 ≥ 1 p.p surΩ

Démonstration.Définissons :

A = x ∈ Ω tel quep0(x) < 1

Supposons que|A| > 0, où |A| désigne la mesure deA

Comme1

h0

∈ L1(Ω), alorsζ =1

h0

χA ∈ H0(Ω,h0), oùχA représente la fonction indica-

trice deA.

D’après le lemme (5.2.5), on a :∫Ω

h0pζdx =

∫A

p dx ≥ |A| (5.36)

D’après le lemme (5.3.1),p→ p0 dansH0(Ω,h0) faible , ce qui implique :

limε→0

∫Ω

h0pζdx =

∫Ω

h0p0ζdx

=

∫A

p0 dx < |A|

(5.37)

ce qui contredit (5.36), d’où le résultat.

Nous ne pouvons pas montrer l’unicité de la solution du problème limite (5.25) car les

fonctions test dans (5.25) sont dans l’ensemble très restreint(D(Ω)

).

On va obtenir dans ce qui suit un problème limite bien posée sous l’hypothèse supplé-

mentaire :1

h30

∈ L1(Ω)

Nous allons distinguer les casλ = 0 etλ > 0.

Pourλ = 0, on introduit le problème limite suivant :


COMPRESSIBLE

Trouverp0 ∈ 1 +H10 (Ω,h0,h

30) avecp2

0 ∈ 1 +H10 (Ω,h0,h

30) tel que

∫Ω

h30p0∇p0∇ϕdx =

∫Ω

h0p∂ϕ

∂x1

dx ∀ϕ ∈ H10 (Ω,h0,h

30)

(5.38)

A cause du terme supplémentaire enλ. Nous devrons considérer un espace plus restreint

pour la solution.

Pourλ > 0, on introduit le problème limite suivant :

Trouverp0 ∈ 1 +H10 (Ω,1,h2

0) tel quep20 ∈ 1 +H1

0 (Ω,h0,h30) et

∫Ω

(h30p0 + λh2

0)∇p0 · ∇ϕ =

∫Ω

h0p0∂ϕ

∂x1

∀ϕ ∈ H10 (Ω,1,h3

0)

(5.39)

THÉORÈME 5.3.2. Les deux problème(5.38)et (5.39)admet au plus une solution telle

quep0 ≥ 1 p.px ∈ Ω.

Démonstration.Nous commençons pour le casλ = 0. Soientp01 et p02 deux solutions

de (5.38).

On posew = p02 − p01, qui vérifie le problème suivant :w ∈ H1

0 (Ω,h0,h30)∫

Ω

h30p01∇w∇ϕdx +

∫Ω

h30w∇p02∇ϕdx =

∫Ω

h0w∂ϕ

∂x1

∀ϕ ∈ H10 (Ω,h0,h

30)

(5.40)

D’après la Proposition 5.2.1, on aw+ ∈ H10 (Ω,h0,h

30) et on pose comme fonction test

ϕ =w+

w+ + adans (5.40), aveca > 0.

Comme dans la preuve de la Proposition 5.2.5, on a :∫Ω

h30p01∇w∇ϕ ≥ a||h3/2

0 ∇ log(1 +

w+

a

)||2L2(Ω)

∫Ω

h30w∇p02∇ϕ ≤ a

∫Ω

h30|∇p02||

∇w+

w+ + a|2

≤ a||h3/20 ∇p02||L2(Ω)||h3/2

0 ∇ log(1 +

w+

a

)||L2(Ω)


De même on a :∫Ω

h0w∇ϕ ≤ a|| 1

h0

||1/2

L1(Ω)||h3/20 ∇ log

(1 +

w+

a

)||L2(Ω)

ce qui nous donne, d’après ce qui précède :

|| log(1 +

w+

a

)||H1(Ω,h0,h3

0) ≤ || 1

h0

||1/2

L1(Ω) + ||h3/20 ∇p02||L2(Ω) = c (5.41)

où c est une constante indépendante dea d’après le lemme (5.3.1), donc :

w+ = 0

D’où le résultat qu’on cherche.

Pourλ = 0 la démarche est identique car l’expression enλ va donner un terme positive

qui sera minorer par zéro.

THÉORÈME 5.3.3. Supposons qu’en plus des hypothèses(H0

),h0 est tel que

1

h30

∈ L1(Ω),

et soitp la solution de(5.1)-(5.2).

• Si λ = 0, alors (p,p2) converge, quandε → 0, vers (p0,p20) faiblement dans

H1(Ω,h0,h30)×H1(Ω,h0,h

30). oùp0 est l’unique solution de(5.38).

• Si λ > 0, alors (p,p2) converge, quandε → 0, vers (p0,p20) faiblement dans

H1(Ω,1,h20)×H1(Ω,h0,h

30), avecp0 l’unique solution de(5.39).

Démonstration.

Étape1 : Pour avoir le résultat qu’on cherche, on va montrer d’abord qu’il existeC > 0,

indépendant deε, tel que :

||p2||H1(Ω,h0,h30) ≤ C (5.42)

On prendp2 − 1 comme fonction test dans la formulation faible de (5.1), on trouve :

1

2

∫Ω

(h0 + ε)3|∇p2|2dx + 2λ

∫Ω

(h0 + ε)2p|∇p|2dx =

∫Ω

(h0 + ε)p∂p2

∂x1

dx (5.43)


COMPRESSIBLE

Commeλ ≥ 0, on a :

1

2

∫Ω

(h0 + ε)3|∇p2|2dx ≤∫

Ω

(h0 + ε)p∂p2

∂x1

dx

Pour le terme de droite, on a :

I =

∫Ω

(h0 + ε)∣∣p∂p2

∂x1

∣∣dx =

∫Ω

(h0 + ε)32 | ∂∂x1

(p2)| · (h0 + ε)14p · (h0 + ε)−

34 dx

En appliquant Hölder généralisée, on trouve :

I ≤(∫

Ω

(h0 + ε)3|∇p2|2dx) 1

2(∫

Ω

(h0 + ε)p4dx) 1

4(∫

Ω

(h0 + ε)−3dx) 1

4(5.44)

ce qui nous donne :[ ∫Ω

(h0 + ε)3|∇p2|2dx] 1

2 ≤ 2[ ∫

Ω

(h0 + ε)p4]1/4[ ∫

Ω

h−30

]1/4

On déduit du corollaire 5.2.1 que :

||(h0 + ε)∇p2||L2(Ω) ≤ 2c1||1

h30

||14

L1(Ω) + 2c2||1

h30

||14

L1(Ω)||(h0 + ε)3|∇(p2)||L2(Ω)

ce qui nous donne facilement (5.42).

Étape2 : Nous avons montré dans le lemme (5.3.1) quep est bornée dansH1(Ω,h0,h30)

pourλ ≥ 0. Nous montrons maintenant que pourλ > 0 p est borné dans la norme plus

forteH1(Ω,1,h20).

En prenantϕ = p dans la formulation variationnelle de (5.1)-(5.2), on obtient :∫Ω

(h0 + ε)3p|∇p|2dx + λ

∫Ω

(h0 + ε)2|∇p|2dx =1

2

∫Ω

(h0 + ε)∂p2

∂x1

dx

Comme le premier terme à gauche est positif etλ > 0, on déduit :∫Ω

(h0 + ε)2|∇p|2dx ≤ 1

2λ

∫Ω

(h0 + ε)−12 (h0 + ε)

32p∂p2

∂x1

dx

≤ 1

2λ|| 1

h0

||12

L1(Ω)||(h0 + ε)32∂p2

∂x1

||L2(Ω)


Alors p est bornée indépendamment dansH1(Ω,1,h20) en utilisant le corollaire (5.2.1)

avecδ1 = 0 et δ2 = 1, d’où le résultat qu’on cherche.

Étape 3 : De (5.42), nous déduisons que pourλ ≥ 0, il existe ρ qui appartient à

H1(Ω,h0,h30), tel quep2 converge faiblement versρ dansH1(Ω,h0,h

30) à une sous suite

près.

Du Lemme 5.2.2, on déduitp2 → ρ dansH1(K) faiblement et enL2(K) fortement pour

tout K compact inclus dansΩ. D’autre part dans le Lemme 5.3.1, on a obtenue quep

converge fortement versp0 dansL2(K) à une sous suite près, doncp2 converge fortement

versp20 dansL1(K), ce qui nous permet par identification d’avoir :

ρ = p20

Il reste a montrer quep0 vérifie le problème limite (5.38) pourλ = 0 et (5.39) pourλ > 0,

d’où par unicité(

Théorème (5.3.2))

on déduit que toute la suitep converge versp0. On

va faire d’abord la preuve pour le casλ > 0.

Soit ϕ ∈ H10 (Ω,1,h2

0), alors il existe une suiteϕn deD(Ω) qui converge versϕ dans

H10 (Ω,1,h2

0) fortement.

D’après le Théorème 5.3.1,p0 vérifie le problème (5.25) donc :

1

2

∫Ω

h30∇(p2

0)∇ϕndx + λ

∫Ω

h20∇p0∇ϕn =

∫Ω

h0p0∂ϕn

∂x1

dx (5.45)

Commep20 ∈ H1(Ω,h0,h

30), on a :

limn→∞

∫Ω

h30∇(p2

0)∇ϕndx = limn→∞

∫Ω

h320∇(p2

0)h320∇ϕndx =

∫Ω

h30∇(p2

0)∇ϕdx (5.46)

Pour le deuxième terme à gauche, la convergence est un résultat immédiat du fait que :

p0 ∈ H1(Ω,1,h20) et queϕn → ϕ enH1

0 (Ω,1,h20)

Pour le terme à droite de (5.45), on a :∫Ω

h0p0∂ϕn

∂x1

dx =

∫Ω

h− 1

20 p0h

320

∂ϕn

∂x1

dx (5.47)

En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwartz, on a :∫Ω

h−10 p2

0dx =

∫Ω

h1/20 p2

0h−3/20 dx ≤ || 1

h30

||12

L1(Ω)||p20||H1(Ω,h0,h3

0)


COMPRESSIBLE

Nous avons alorsh− 1

20 p0 ∈ L2(Ω), donc de (5.47), on déduit :

limn→∞

∫Ω

h0p0∂ϕn

∂x1

dx =

∫Ω

h0p0∂ϕ

∂x1

dx

d’où le résultat recherché.

Nous remarquons que dans tous les termes de (5.45) sauf celui enλ le passage à la limite

peut se faire pourϕ ∈ H10 (Ω,h0,h

30) avecϕn → ϕ enH1

0 (Ω,h0,h30). Ceci montre le résultat

souhaité pourλ = 0.

Maintenant, on peut énoncer notre résultat principal :

THÉORÈME 5.3.4. Supposons que les hypothèses(H0

)sont vérifiées. Alors il existe

p0 une solution de(5.25)tel que pour tout(x01,x

02) ∈ Ω on a quandε→ 0 à une sous suite

deε prés :∫Ω

pdx →∫

Ω

p0dx,

∫Ω

(xk − x0k)pdx →

∫Ω

(xk − x0k)p0dx, k = 1,2. (5.48)

Si de plus1

h30

∈ L1(Ω), alors pour toute suite deε, on a les mêmes convergences

(5.48), avecp0 l’unique solution de(5.38)pourλ = 0 où de(5.39)si λ > 0.

Démonstration.Le résultat est une conséquence immédiate du lemme (5.2.1).

5.4 Cas limite infinie

Les résultats obtenues dans la section précédente s’appliquent en particulier lorsque

h0 se comporte comme(−x1)α, au voisinage dex1 = 0 avec0α < 1. Nous considérons

dans cette section la casα > 1 pourλ = 0 ouα ≥ 2 pourλ > 0. L’idée est de minorer la

fonctionp par des fonctions dont on connaît le comportement pourε→ 0.

5.4. CAS LIMITE INFINIE 123

Dans cette section nous faisons les deux hypothèses suivantes :

(H1

)

Il existeα > 1 eth1 ∈ C1(Ω) avech1 > 0 tel que :

h0(x) = (−x1)αh1(x), ∀x ∈ Ω

M0 < αh1(0,x2), pour toutx2 ∈ [−1,0]

(H2

) Il existe0 < k1 < k2 tels que :

k1(−x1)α−1 ≤ −∂h0

∂x1

≤ k2(−x1)α−1 ∀x ∈ Ω

On introduit les notations suivantes :

m0 = infx∈Ω

h1(x) Mi = supx∈Ω

∣∣∂h1(x)

∂xi

∣∣ i = 1,2 A = supx2∈[−1,0]

M0

αh1(0,x2)< 1

(5.49)

Soientp1 etp2 deux fonctions positives définies par:

p1(x1) =(−x1)

3α−1(M0(−x1)α + ε)3

∀x1 ∈ [−1,0] (5.50)

p2(x2) = x22(1 + x2)

2 ∀x2 ∈ [−1,0] (5.51)

On va utiliser dans ce qui suit, le principe du maximum(

Lemme (5.2.6)), pour mi-

norer la solutionp de notre problème par la fonction :

cp1p2 + c1/2

où c > 0 une constante assez petite mais indépendante deε. Ceci va nous permettre

de conclure sur le comportement de la charge et des moments.


COMPRESSIBLE

5.4.1 Quelques résultats préliminaires

Les deux lemmes suivants nous donnent des majorations utiles pour la suite.

LEMME 5.4.1. Soitp1 la fonction définie par(5.50). Alors il existeKi i = 1,2,3, etK′

positives, dépendant dem0,k1,k2,M0, etα, tel que :∣∣∣(h0 + ε)ip(i−1)1

(∂h0

∂x1)i

∣∣∣ ≤ Ki ∀x ∈ Ω i = 1,2,3 (5.52)

∣∣∣(h0 + ε)2p1

(∂h0

∂x1)2

∣∣∣ ≤ K′ ∀x ∈ Ω (5.53)

Démonstration.On écrit :(h0 + ε)p1

∂h0

∂x1

=h0 + ε

M0(−x1)α + ε

(−x1)2α(

M0(−x1)α + ε)2 (−x1)

α−1

∂h0

∂x1

tenant compte de(H2

), on obtient (5.52) pouri = 1 avecK1 =

1

k1M20

Pour obtenir (5.52) pouri = 2, nous écrivons :(h0 + ε)2p

′1

|∂h0

∂x1|2

=(h0 + ε)2

(M0(−x1)α + ε)2

(−x1)2α−2

|∂h0

∂x1|2

[− (3α− 1)

(−x1)α

M0(−x1)α + ε+ 3αM0

(−x1)2α(

M0(−x1)α + ε)2 ]

avec :

K2 =6α− 1

M0k21

De la même manière on montre (5.52) pouri = 3.

D’autre part pour obtenir (5.53), on utilise :

(h0 + ε)2p1(∂h0

∂x1

)2 =(h0 + ε)2(−x1)

α

(M0(−x1)α + ε)3

(−x1)2α−2(

∂h0

∂x1

)2 (−x1)

avecK ′ =1

M0k21

.

LEMME 5.4.2. Il existec0 > 0 tel que∀c ∈]0,c0[, on a :

cp2(ε+ h0)p′1

|∂h0

∂x1|[cp1p2 + c1/2

] < 1 + A

2∀x ∈ Ω

avecA donnée dans(5.49)etp1 , p2 les deux fonction définies par(5.50)et (5.51).


Démonstration.On a d’après (5.50):

p′

1 =−(3α− 1)(−x1)

3α−2

(M0(−x1)α + ε)3+

3αM0(−x1)4α−2

(M0(−x1)α + ε)4

=(−x1)

3α−2

(M0(−x1)α + ε)4

[− (3α− 1)

(M0(−x1)

α + ε)

+ 3αM0(−x1)α]

ce qui nous donne :

p′

1 ≤M0(−x1)

4α−2

(M0(−x1)α + ε)4

Nous avons : (cp2(h0 + ε)p

′

1

)/(∣∣∂h0

∂x1

∣∣(cp1p2 + c1/2))≤ E1E2E3

avec :

E1 =h0 + ε

M0(−x1)α + εE2 =

M0(−x1)α−1

|∂h0

∂x1|

E3 =cp2(−x1)

3α−1

cp2(−x1)3α−1 + c1/2[ε+M0(−x1)α

]3Nous avons facilement :

E1 ≤ 1 etE3 ≤ 1 ∀x ∈ Ω (5.54)

Commeh1 ∈ C1(Ω), on a d’après l’ hypothèse(H1

):

limx1→0

M0

|h1 + x1

α∂h1

∂x1|

=M0

h1(0,x2)< Aα

Il existe alorsδ ∈]0,1[ tel que :

maxx1∈Ωδ

M0

|α(h1 + x1

α∂h1

∂x1)|<A+ 1

2(5.55)

avecΩδ = [−δ,0]× [−1,0].

Ceci nous donne :

E2 =M0

|α(h1 + x1

α∂h1

∂x1)|<A+ 1

2∀x ∈ Ωδ


COMPRESSIBLE

Nous obtenons alors :

E1E2E3 <1 + A

2∀x ∈ Ωδ (5.56)

Il reste a montrer la même inégalité pour toutx ∈ [−1,− δ]× [−1,0].

D’après(H2

): E2 ≤

M0

k1

.

Finalement on a pourx1 ≤ −δ :

E3 ≤ c1/2p2(−x1)

3α−1

(ε+M0(−x1)α)3

≤ c1/2 1M3

0

1δ

En choisissantc assez petit on a le résultat.

Dans le casλ = 0 on a le résultat suivant :

LEMME 5.4.3. Supposonsλ = 0. Alors il existec0 > 0 tel que∀c ∈]0,c0[, on a:

p ≥ cp1(x1)p2(x2) + c1/2 ∀x ∈ Ω

Démonstration.On va démontrer quecp1p2 est une sous solution ( définition (5.2.1) ), ce

qui démontre le théorème cherche d’après le lemme (5.2.6).

En choisissantc tel que :c1/2 +c

M30

< 1, la condition (5.22) est vérifiée. Il reste a montrer

que l’hypothèse (5.23) est satisfait.

On a :

∇ ·[(h0 + ε)3

(cp2p1 + c1/2

)∇(cp2p1

)]= 3c(h0 + ε)2(cp1p2 + a)p2p

′

1

∂h0

∂x1

+ c(h0 + ε)3(cp1p2 + c1/2)p2p′′

1

+c2(h0 + ε)3p22(p

′

1)2 + c(h0 + ε)3(cp1p2 + c1/2)p1p

′′

2

+3c(h0 + ε)2∂h0

∂x2

(cp1p2 + a)p′

2p1 + c2(h0 + ε)3p21(p

′

2)2

(5.57)

D’autre part :

∂[(h0 + ε)(cp1p2 + c1/2)

]∂x1

=∂h0

∂x1

(cp1p2 + c1/2) + c(h0 + ε)p′

1p2 (5.58)


En divisant par∂h0

∂x1

(cp1p2 + c1/2) < 0 ∀x ∈ Ω, tout revient à montrer que:

B ≤ 1

avec

B = 3c(h0 + ε)2p2p′

1 + c(h0 + ε)3p2p′′

1

(∂h0

∂x1

)−1

+c2(h0 + ε)3p22(p

′

1)2((cp1p2 + c1/4)

∂h0

∂x1

)−1

+ c(h0 + ε)3p1p′′

2

(∂h0

∂x1

)−1

+3c(h0 + ε)2∂h0

∂x2

p′

2p1

(∂h0

∂x1

)−1

+ c2(h0 + ε)3p21(p

′

2)2((cp1p2 + c1/2)

∂h0

∂x1

)−1

−c(h0 + ε)p′

1p2

[∂h0

∂x1

(cp1p2 + c1/2)]−1

(5.59)

On a d’après les hypothèses(H0

):

c2(h0 + ε)3[p22(p

′

1)2 + p2

1(p′

2)2]((cp1p2 + c1/2)

∂h0

∂x1

)−1

≤ 0

En utilisant les deux lemmes (5.4.1)-(5.4.2), il existeC1 qui dépende deK1,K2 etK3

tel que :

B ≤ A+ 1

2+ cC1 (5.60)

d’où le résultat recherché en choisissantc assez petit.

Nous considérons maintenant le casλ > 0, il aura alors un terme supplémentaire en

λ qu’il faudra majorer convenablement.

On aura besoin ici de l’hypothèse supplémentaireα ≥ 2.

LEMME 5.4.4. Supposonsλ > 0 et α ≥ 2. Alors pour toutλ > 0 il existec1 tel que

∀c ∈]0,c1[ on a:

p ≥ cp1(x1)p2(x2) + c1/2 ∀x ∈ Ω

Démonstration.En reprenant la démonstration du Lemme5.4.3 tout revient à démontrer

que:

B +B′ ≤ 1 (5.61)


COMPRESSIBLE

avecB définie par (5.59) etB′donné par :

B′

= λc[2(h0 + ε)p

′

1p2

][(cp1p2 + c1/2)

]−1+ λc

[(h0 + ε)2p

′′

1p2

][∂h0

∂x1

(cp1p2 + c1/2)]−1

+λc[(h0 + ε)2p

′′

2p1

][∂h0

∂x1

(cp1p2 + c1/2)]−1

+ 2λc[∂h0

∂x2

(h0 + ε)p′

2p1

][∂h0

∂x1

(cp1p2 + c1/2)]−1

(5.62)

Pour le premier terme deB′, on a :

c[2(h0 + ε)p

′

1p2

][(cp1p2 + c1/2)

]−1 ≤ c1/2([

2(h0 + ε)2p′

1p2

][∂h0

∂x1

]−2)[∂h0

∂x1

]2(h0 + ε)−1

ce qui nous donne d’après le Lemme 5.4.1 et les hypothèses(H1

)et(H2

):

c[2(h0 + ε)p

′

1p2

][(cp1p2 + c1/2)

]−1 ≤ 2c1/2K2k2

2(−x1)2α−2

m0(−x1)α

L’hypothèseα ≥ 2 nous donne alors :

c[2(h0 + ε)p

′

1p2

][(cp1p2 + c1/2)

]−1 ≤ 2c3/4K2k2

2

m0

(5.63)

De même, on a :

c[(h0 + ε)2p

′′

1p2

][∂h0

∂x1

(cp1p2 + c1/2)]−1 ≤ c1/2K3

k22

m0

(5.64)

D’autre part l’inégalité (5.53) du lemme (5.4.1) nous donne :

c[(h0+ε)

2p′′

2p1

][∂h0

∂x1

(cp1p2+c1/2)]−1

+2c[∂h0

∂x2

(h0+ε)p′

2p1

][∂h0

∂x1

(cp1p2+c1/2)]−1 ≤ c1/2(K1+K

′)

(5.65)

On a alors d’après (5.60),(5.63), (5.64) et (5.65) :

B +B′ ≤ 1 + A

2+ cC1 + λc1/2

(2K2

k22

m0

+K3k2

2

m0

+K1 +K′)

ce qui nous donne le résultat recherché.


5.4.2 Les principaux résultats dans le cas limite infinie

Le résultat principal concerne la charge est le suivant :

THÉORÈME 5.4.1. Supposons que l’on soit dans une des deux situations :

soitλ = 0 etα > 1.

soitλ > 0 etα ≥ 2.

Alors pour touteδ ∈]0,1], on a :∫Ωδ

pdx→ +∞ pour ε→ 0

avecΩδ =]− δ,0[×]− 1,0[. En particulier nous avons :∫Ω

pdx→ +∞ pour ε→ 0

Plus précisément, il existeR > 0 une constante dépendent deδ, telle que pourε assez

petit on a : ∫Ωδ

pdx ≥ R log(1ε

)(5.66)

Démonstration. En appliquant respectivement les Lemmes 5.4.3 et 5.4.4, nous avons :∫Ωδ

pdx =

∫ 0

−δ

∫ 0

−1

p dx

≥ c

∫ 0

−1

p2dx2

∫ 0

−δ

p1dx1

(5.67)

On effectue le changement de variable suivant :

y = M0(−x1)α + ε

ce qui nous donne :∫ 0

−δ

p1dx1 =

∫ M0δα+ε

ε

(y − ε

M0

) 3α−1α 1

y3

(y−εM0

) 1−αα

αM0

dy

=1

αM30

[ ∫ M0δα+ε

ε

dy

y− 2ε

∫ M0δα+ε

ε

dy

y2+ ε2

∫ M0δα0 +ε

ε

dy

y3

]


COMPRESSIBLE

On obtient facilement : ∫ 0

−δ

p1dx1 ≥ R log (1

ε) (5.68)

d’où le résultat recherché.

Dans la suite, on va donner des résultats sur le comportement asymptotique des mo-

ments.

Nous avons l’analogue suivant du Théorème 2.3.3 dont la preuve est identique.

THÉORÈME 5.4.2. Sous les hypothèses du théorème(5.4.1), si en plush0 est symétrique

enx2 par rapport àx2 = −1/2, alors on a pourε→ 0:

•∫

Ω

(x2 − x02)pdx → +∞ si x0

2 ∈]− 1,− 1

2[.

•∫

Ω

(x2 − x02)pdx → −∞ si x0

2 ∈]− 1

2,0[.

•∫

Ω

(x2 − x02)pdx → 0 si x0

2 = −1

2.

Il reste a étudier le comportement asymptotique du moment enx1. Nous utilisons le

résultat suivant de([2]).

LEMME 5.4.5. Supposonsλ = 0 et la fonctionh0 dépendant uniquement dex1. Alors

on a :

p ≤∫ 0

−1

ds

(h0 + ε)2+ 1

Nous avons le comportement suivant de la charge pourλ = 0.

THÉORÈME 5.4.3. Sous les hypothèses du lemme précédent, on a :∫Ω

(x1 − x01)pdx → +∞ si ε→ 0 pour toutx0

1 ∈]− 1,0[

Démonstration.On choisitδ > 0 tel que−δ > x01. Alors on a :∫

Ω

(x1 − x01)pdx) ≥ (−δ − x0

1)

∫Ωδ

pdx +

∫ −δ

−1

∫ 0

−1

(x1 − x01)p dx

D’après le Théorème 5.4.1 la première intégrale du membre de droite tend vers+∞ car

−δ − x01 > 0. Commeh0(x) ≥ h0(−δ) pourx1 ≤ −δ, on déduit du Lemme 5.4.5 que la

deuxième intégrale est bornée en valeur absolue par une constante indépendante deε, ce

qui nous donne le résultat.

5.5. ÉQUILIBRE AVEC UN SEUL DEGRÉ DE LIBERTÉ 131

5.5 Équilibre avec un seul degré de liberté

Dans cette partie on se donne une forceF > 0 et on cherche une positionε telle que

la charge crée par la pression correspondante équilibre la forceF . On a va appliquer les

résultats des deux sections précédentes afin de résoudre le système suivant :

∇ ·[[(

h0 + a)3p+ λ

(h0 + a

)2]∇p] =∂

∂x1

[(h0 + a)p

]dansΩ (5.69)

p = 1 sur∂Ω (5.70)∫Ω

(p− 1) dx = F (5.71)

d’inconnuesp(x) eta > 0.

Comme dans les autres chapitres nous introduisons l’applicationa ∈]0, +∞[→ g(a) =∫Ω

(p − 1)dx avecp solution de (5.69)-(5.70). Tout revient à trouver une solution de

g(a) = F .

LEMME 5.5.1. La fonctiong est continue est de plus elle vérifie :

lima→∞

g(a) = 0

avec l’ordre de convergence :

||p(a)− 1||H1(Ω) ≤C

a3(5.72)

Démonstration.On prendϕ = log (p) dans la formulation variationnelle de (5.69)et on

obtient facilement l’estimation (5.72).

Pour la continuité soita > 0 et soit une suitean → ε avecan > 0. Nous notons

pn = p(an) ∈ 1 +H10 (Ω) .

En prenant respectivementϕ = log (pn) etϕ = pn − 1 dans la formulation variationnelle

de (5.69), on déduit facilement :

||pn||H1(Ω) ≤ c1 ||p2n||H1(Ω) ≤ c2


COMPRESSIBLE

avecc1, c2 indépendant den.

On déduit l’existence d’une sous-suite depn que nous notons toujourspn etp ∈ 1+H10 (Ω)

telle que :

pn → p dansH1(Ω)− faible

Par identification, nous montrons facilement quep2n → p2 enH1(Ω)− faible En passant

à la limite dans (5.69), on obtient :∫Ω

[(h0 + a

)3p+ λ

(h0 + a

)2]∇p∇ϕ dx =

∫Ω

(h0 + a)p∂ϕ

∂x1

dx ∀ϕ ∈ H10 (Ω)

ce qui nous donnep = p(a). Par unicité dep nous déduisons que toute la suitepn converge

faiblement dansH10 (Ω) versp.

Commepn → p dansH1(Ω)− faible, on a :

limn→∞

∫Ω

pn dx =

∫Ω

p dx


On peut alors déduire facilement en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires et

les Théorèmes 5.3.1, 5.3.3 et 5.3.4 que :

THÉORÈME 5.5.1.

a) Supposonsλ ≥ 0 et que l’hypothèse(H0

)est vérifiée. Alors siF est telle que

0 < F < inf

∫Ω

(p0 − 1) dx, p0 solution de(5.25)

on a l’existence d’au moins une solution de(5.69)-(5.71).

b) Supposons qu’en plus1

h30

∈ L1(Ω), tel que0 < F <

∫Ω

(p0 − 1) dx oùp0 est l’unique

solution de(5.38)pourλ = 0 ou (5.39)pourλ > 0.

Alors il existe au moins une solution du problème(5.69)-(5.71).

Démonstration.La seule assertion à démontrer est :

inf

∫Ω

(p0 − 1) dx, p0 solution de (5.25)

> 0

5.5. ÉQUILIBRE AVEC UN SEUL DEGRÉ DE LIBERTÉ 133

On va supposer par absurde que :

inf

∫Ω

(p0 − 1) dx, p0 solution de (5.25)

= 0

Alors, il existe une suitep0n telle que : limn→∞

∫Ω

p0n dx = 1.

D’après le Lemme 5.3.1,p0n est bornée indépendamment den dansH1(Ω,h0,h30) ( comme

limite, quandε tend vers 0, d’une solution bornée dansH1(Ω,h0,h30)).

Alors il existe une sous suite qu’on notera toujoursp0n etp0 ∈ H1(Ω,h0,h30) telle que :

p0n → p0 dansH1(Ω,h0,h30) faible

De la même que dans le Théorème 5.3.1 on montre quep0 vérifie le problème limite

(5.25), ce qui nous donne d’après le Lemme 5.3.2 quep0 ≥ 1 p.p. x ∈ Ω.

D’autre part, commepn → p0 dansL1(Ω) faible (Lemme 5.2.1) on a:∫Ω

p0 dx = limn→∞

∫Ω

p0n dx = 1

Nous déduisons alorsp0 = 1 p.p. x ∈ Ω.

De (5.25) on déduit ∫Ω

∂h0

∂x1

ϕ dx = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω).

ce qui implique :∂h0

∂x1

= 0, ce qui absurde.

Finalement nous avons comme conséquence immédiate du Théorème 5.4.1:

THÉORÈME 5.5.2. Supposons les hypothèses(H1

)et(H2

)sont vérifiées. Alors pour

tout F > 0, le problème(5.69)-(5.71),admet au moins une solution dans les situations

suivantes :

– soitλ = 0 etα > 1

– soitλ > 0 etα ≥ 2


COMPRESSIBLE

Chapitre 6

Existence et unicité de l’équation de

Reynolds compressible parabolique

136CHAPITRE 6. EXISTENCE ET UNICITÉ DE L’ÉQUATION DE REYNOLDS

COMPRESSIBLE PARABOLIQUE

6.1 Introduction

Dans ce chapitre on s’intéresse à l’existence et l’unicité d’une solution du problème

d’évolution “ direct “ d’inconnuep = p(x,t) oùh est supposé connue :

α ∂∂t

[ph]−∇ ·[(h3p+ λh2

)∇p]

+ Λ · ∇[hp]

= 0 (x,t) ∈ QT = Ω×]0,T [

p(x,t) = pa, x ∈ ∂Ω, t ∈]0,T [

p(x,0) = p0(x) ∈ L2(Ω) x ∈ Ω

(6.1)

Une solution faible du problème (6.1) est une fonctionp satisfaisant :

• p ∈ pa + L2(0,T ;H10 (Ω)

• p2 ∈ p2a + L2(0,T ;H1

0 (Ω)

• ∂(hp)

∂t∈ L2(0,T,H−1(Ω))

•∫ T

0

<∂hp

∂t,ϕ > dt = −

∫Ω

h(x,0)p0(x)ϕ(x,0) dx

−∫ T

0

∫Ω

hp∂ϕ

∂tdx dt, ∀ϕ ∈ D

(Ω× [0,T [

) (6.2)

•α∫ T

0

<∂hp

∂t,ϕ > dt +

∫ T

0

∫Ω

(h3p+ λh2)∇p∇ϕ dx dt

−∫ T

0

∫Ω

hpΛ · ∇ϕ dx dt = 0, ∀ϕ ∈ L2(0,T,H1

0 (Ω)) (6.3)


On suppose queh vérifie les hypothèses suivantes :

0 < hmin < h(x,t) < hmax p.p. x ∈ Ω et∀t ∈ [0,T ]

h ∈ L∞(QT ),∂h

∂t∈ L∞(QT )

(6.4)

La preuve de l’existence est basée sur une semi discrétisation en temps du problème (6.3).

Dans la section 6.2 on montre l’existence et l’unicité du problème semi-discrétisé en

temps en utilisant le théorème du point fixe de Schauder et les estimationsL∞ de Kinder-

lehrer et Stampaccia [20].

Dans la section 6.3 nous donnons des estimations de la solution semi-discrétisée qui nous

permettront de passer à la limite et d’obtenir l’existence d’une solution faible positive

du problème continu (6.3). C’est l’objet de la première partie de la section 6.4. Dans la

deuxième partie de la section 6.4 nous montrons l’unicité pour toute les solutions faibles

de (6.3).



6.2 Problème semi discrétisé en temps

La méthode utilisée dans ce travail est basée sur une semi-discrétisation implicite en

temps.

Considérons la subdivision régulièret0 = 0 < t1 = ∆t < · · · < tn = n∆t < · · · < T =

N∆t, oùN est un entier positif, de l’intervalle[0,T ]. Le problème semi-discrétisé associé

au problème (6.1) est définit pour toutt ∈ [tn−1,tn] par :

(Pn

)

−∆t∇ ·((h3

npn + λh2

n)∇pn)+αhnp

n + ∆tΛ · ∇(hnpn)

= αhn−1pn−1 x ∈ Ω

pn = pa ∀x ∈ ∂Ω et p0 = p0 ∀x ∈ Ω

(6.5)

pour toutn = 1,2, · · · ,N .

Avec les notations suivantes :

• pn est une approximation dep(x,tn).

• hn(x) = h(x,tn).

Remarque 6.2.1.De l’hypothèse(6.4)et du théorème des accroissement finis on a :

|h(x,t)− h(x,tn)| ≤M∆t ∀(x,t) ∈ Ω×]tn−1,tn]

Ce qui implique queh∆t converge fortement versh dansL∞(QT ) quand∆t tends vers0.

La formulation variationnelle associée au problème (6.5) est:

Trouverpn ∈ pa + L2(0,T ;H1

0 (Ω))

avec(pn)2 ∈ (pa)2 + L2

(0,T ;H1

0 (Ω))

telle que :

∆t

∫Ω

(h3

npn + λh2

n

)∇pn · ∇ϕ−∆t

∫Ω

hnpnΛ · ∇ϕ

+α

∫Ω

hnpnϕ = α

∫Ω

hn−1pn−1ϕ ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω)

(6.6)

On définit une solution globale surQT par :

6.2. PROBLÈME SEMI DISCRÉTISÉ EN TEMPS 139

p∆t(x,t) =N∑

n=1

pn(x)χ]tn−1,tn[(t) (6.7)

oùχ]tn−1,tn[ est la fonction, caractéristique de]tn−1,tn[.

Avecp∆t(x,0) = p0(x).

On note :

p∆t(x,t) =n=N∑n=1

hnpn − hn−1p

n−1

∆tχ]tn−1,tn[(t) ∀(x,t) ∈ QT (6.8)

h∆t(x,t) =n=N∑n=1

h(x,tn) χ]tn−1,tn[(t) ∀(x,t) ∈ Q (6.9)

En sommant l’équation (6.6) den = 1 àN , on vérifie quep∆t satisfait l’équation :

α

∫ T

0

∫Ω

p∆tϕ dx dt +

∫ T

0

∫Ω

(h3

∆tp∆t + λh2∆t

)∇p∆t · ∇ϕ dx dt

−∫ T

0

∫Ω

h∆tp∆tΛ · ∇ϕ dx dt = 0 ∀ϕ ∈ L2(0,T; H1

0(Ω)) (6.10)

6.2.1 Existence d’une solution du problème discrétisé local

Dans ce paragraphe nous montrons par récurrence surn l’existence d’une solution

faible positivepn de (6.5) pour toutn = 1,2, · · ·N ainsi que la monotonie de la solution

par rapport aux conditions limites.

Pour cela nous allons utiliser le théorème de point fixe de Schauder et les estimationsL∞

de Kinderlehrer-Stampacchia[20].

SoitAN un nombre réel positif dépendant deN ( et donc de∆t ) et vérifiant :

AN > (2√N/TD)4N2

etAN > 2pa (6.11)

oùD est une constante à préciser ultérieurement.

On considère :

Rn = AknN , n = 0,1 · · ·N. (6.12)

aveckn =1

2+

n

2n+ 1.

et

BRn =y ∈ L2(Ω) : 0 ≤ y(x) ≤ Rn,p.p x ∈ Ω



L’hypothèse de récurence que nous allons considérer est

(i) Il existe une solution faible positivepn−1 de(Pn−1) qui appartient à la bouleBRn−1

(ii) Si pn−11 ,pn−1

2 sont des solutions correspondant respectivement aux conditions

aux limitesp1a,p

2a alorspn−1

1 ≥ pn−12

(HR)

On définit l’opérateur :

Tn : BRn → H1(Ω)

y → z = Tn(y)

avecz ∈ pa +H10 (Ω) la seule solution du problème variationnel:

∆t

∫Ω

(h3

ny + λh2n

)∇z · ∇ϕdx+α

∫Ω

hnzϕdx−∆t

∫Ω

hnyΛ · ∇ϕdx

= α

∫Ω

hn−1pn−1ϕdx ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω)

(6.13)

On introduit aussi l’opérateur :

Sny =(Tny)+

= max(Tny,0

)Il est clair que sous l’hypothèse (HR)(i) le problème (6.13) admet une unique solution. On

va prouver que l’opérateurS vérifie les conditions du théorème de Point Fixe de Schau-

der. On aura besoin des lemmes suivants :

LEMME 6.2.1. Supposons l’hypothèse de récurence(HR) satisfaite. Alors pour tout

y ∈ BRn, la solutionz de(6.13)satisfait :

||∆t(1 + y)12∇z||L2(Ω) ≤ CRn−1 (6.14)

z(x) ≤ pa +D

′

√4t

Rn−1 (6.15)

où :

C etD′sont des constants ne dépendant que deΩ,hmin,hmax,pa,α,λ etΛ


Démonstration.Dans toute la démonstrationc désignera une constante générique dépen-

dant uniquement dehmin,hmax,pa,α,λ etΛ.

En prenantϕ = z − pa dans (6.13), on obtient :

∆t

∫Ω

(h3

ny + λh2n

)|∇z|2dx + α

∫Ω

hn(z − pa)2dx−∆t

∫Ω

hnyΛ · ∇zdx

= α

∫Ω

hn−1pn−1(z − pa)dx− α

∫Ω

hn(z − pa)pa

(6.16)

En remarquant que le deuxième terme de gauche est positif et en utilisant les hypo-

thèses (6.4), on obtient :

c∆t

∫Ω

(1 + y)|∇z|2dx

≤ c∆t

∫Ω

|yΛ · ∇z|dx + c

∫Ω

|pn−1(z − pa)|dx + c

∫Ω

|pa(z − pa)|dx

Commey ∈ BRn et pn−1 ∈ BRn−1, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwartz, on ob-

tient :

c∆t

∫Ω

(1 + y)|∇z|2dx

≤ c|Λ|∆t√Rn||(1 + y)

12∇z||L2(Ω) + cRn−1||(1 + y)

12∇z||L2(Ω) + c|pa|||(1 + y)

12∇z||L2(Ω)

(6.17)

D’autre part∆t < 1 et√Rn < Rn−1, donc on a :

∆t||(1 + y)12∇z||L2(Ω) ≤ CRn−1 (6.18)

D’où (6.14).

Pour montrer l’estimationL∞ (6.15), on utilise le lemmeB1 de Kinderheler et Stam-

pacchia [20].

On définit pour tout réelk > pa

A(k) = x ∈ Ω : z(x) > k

Soitψ = (z − k)+ ∈ H10 (Ω), en prenantϕ = ψ dans (6.13), on obtient :

∆t

∫Ω

(h3ny + λh2

n)|∇ψ|2dx+α

∫Ω

hnzψdx−∆t

∫Ω

hnyΛ · ∇ψdx = α

∫Ω

hn−1pn−1ψdx



Commeλ ethn sont positifs, on a, en écrivantz = z − k + k :

∆t

∫Ω

h3n|∇ψ|2dx ≤ ∆t

∫Ω

hnyΛ · ∇ψdx + α

∫Ω

hn−1pn−1ψdx

En utilisant les hypothèses (6.4),y ∈ BRn et l’inégalité de Hölder généralisée, on a :

∆t||∇ψ||2L2(Ω) ≤c√Rn|A(k)|

12 ∆t

(∫Ω

y|∇z|2dx) 1

2

+ c||ψ||L2(Ω)||pn−1||L4(Ω)|A(k)|14

(6.19)

En utilisant la majoration (6.14) et le fait quepn−1 ∈ BRn−1 , on obtient :

∆t||∇ψ||2L2(Ω) ≤ cR2n−1|A(k)|

12 + cRn−1|A(k)|

14 ||ψ||L2(Ω)

L’utilisation de l’inégalité de Poincaré avec un calcul simple donne :

∆t||∇ψ||2L2(Ω) ≤ cR2n−1|A(k)|

12 (6.20)

Pour toutr tel que4 < r ≤ 6, on notecr la constante satisfaisante l’inégalité suivante(injection continue deH1

0 (Ω) dansLr(Ω))

:

||v||Lr(Ω) ≤ cr||∇v||L2(Ω), ∀v ∈ H10 (Ω) (6.21)

Pour toutl ≥ k ≥ pa et r > 4, on a l’inégalité suivante :

(l − k)r|A(l)| =

∫A(l)

(l − k)rdx

≤∫

A(l)

(z(x)− k)rdx

≤∫

A(l)

|ψ|rdx

≤ crr||∇ψ||rL2(Ω)

De (6.20), on obtient :

|A(l)| ≤ crrRrn−1c

r

√N

T

r|A(k)| r4(l − k)r

(6.22)


On obtient(6.15) en utilisant le lemme de Kinderleher-Stampacchia [20] :

D′= crc|A(pa)|

r−44r 2

rr−4 (6.23)

COROLLAIRE 6.2.1. On a :

Sn(BRn) ⊆ BRn

Démonstration.On poseD =√c2(r)C1|Ω|

r−44r 2

r−44r ≥ D

′.

De la définition (6.12) deRn et de (6.11), on obtient par un calcul élémentaire :

Rn

2> DRn−1

√N/T

D’autre part, on a :Rn

2> pa, ce qui nous donne :

Rn > pa +D√N/TRn−1

Alors le corollaire est un résultat immédiat du lemme (6.2.1) et du fait queSny ≥ 0.

LEMME 6.2.2. Tn etSn sont des opérateurs continus.

Démonstration.Soit y ∈ BRn fixé et yk ∈ BRn une suite telle queyk → y dansL2(Ω)

quandk → +∞.

On pose :

z = Tny, zk = Tnyk

La suitezk ∈ pa +H10 (Ω) satisfait l’égalité variationnelle:

∆t

∫Ω

(h3

nyk + λh2n

)∇zk∇ϕdx + α

∫Ω

hnzkϕdx−∆t

∫Ω

hnykΛ · ∇ϕdx

= α

∫Ω

hn−1pn−1ϕdx ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω)

(6.24)

En prenantϕ = zk − pa dans (6.24), on obtient :

||zk||H1(Ω) ≤ C (6.25)



oùC est une constante indépendante dek (C peut dépendre deΩ, hmax, hmin, α, λ, Λ,N

etAN ).

Par suite il existez∗ ∈ pa +H10 (Ω), tel que la suitezk → z∗ faiblement dansH1(Ω) et

fortement dansL2(Ω). En passant à la limite dans (6.24) pour toutϕ ∈ D(Ω), on obtient :

∆t

∫Ω

(h3

ny + λh2n

)∇z∗∇ϕdx+α

∫Ω

hnz∗ϕdx−∆t

∫Ω

hnyΛ · ∇ϕdx

= α

∫Ω

hn−1pn−1ϕdx ∀ϕ ∈ D(Ω)

(6.26)

Et par densité on obtient (6.26) dansH10 (Ω).

En utilisant l’unicité de la solution de (6.13), on az∗ = z, d’où la continuité deTn. La

continuité deSn est une conséquence immédiate de la continuité de l’opérateurv → v+

deL2(Ω) dansL2(Ω).

LEMME 6.2.3. Sn(BRn) est relativement compact dansL2(Ω).

Démonstration.Soit z ∈ T (BRn), d’après (6.14) on a :

||∇(z − pa)||L2(Ω) ≤ C (6.27)

oùC est une constante dépendant de∆t etAN .

De l’inégalité Poincaré, on déduit||z||H1(Ω) ≤ C. Alors ||z+||H1(Ω) ≤ ||z||H1(Ω) ≤ C, d’où

le résultat cherché.

THÉORÈME 6.2.1. il existe une solution,pn de(6.5), pour toutn = 1,2, . . . ,N .

Démonstration.D’après le Corollaire 6.2.1, les Lemmes 6.2.2 et 6.2.3 et en utilisant le

théorème de point fixe de Schauder, il existey ∈ BRn point fixe deS vérifianty = Sny

et d’après la définition de l’opérateurTn, il existez ∈ pa + H10 (Ω) tel quey = z+. En

prenantϕ = z− comme fonction test dans (6.13)

−∆t

∫Ω

(h3

nz+ + λh2

n

)|∇z−|2dx− α

∫Ω

hn(z−)2dx = α

∫Ω

hn−1pn−1z−dx

Par suitez− = 0 et doncy = z ≥ 0 est un point fixe deTn.

Le problèmepn admet une solution d’après les hypothèses de récurrence(HR

).


6.2.2 Unicité du problème semi-discrétisé local

THÉORÈME 6.2.2. Sous l’hypothèse de récurrence(HR), le problème(6.5) admet au

plus une solution positive. En plus nous avons la monotonie dans le sens suivant:

Soit yi (i = 1,2) une solution faible de(6.5) correspondant aux conditions aux limites

pia(i = 1,2). Sip1

a ≥ p2a alorsy1 ≥ y2 p.px ∈ Ω.

Démonstration.L’unicité de la solution sera une conséquence directe de la monotonie.

Soit q = y2 − y1 ∈ (p1a − p2

a) +H10 (Ω), on a en utilisant l’hypothèse de récurrence (HR):

∆t

∫Ω

h3nq∇y2 · ∇ϕdx + ∆t

∫Ω

h3ny1∇q · ∇ϕdx + ∆tλ

∫Ω

h2n∇q · ∇ϕdx

+ α

∫Ω

hnqϕdx−∆t

∫Ω

hnqΛ · ∇ϕdx = α

∫Ω

hn−1(pn−12 − pn−1

1 )ϕ ≤ 0

∀ϕ ∈ H10 (Ω) ϕ(x) > 0 p.px ∈ Ω

(6.28)

On a q+ ∈ H10 (Ω). En prenant comme fonction testϕ =

q+

q+ + εpour toutε > 0 dans

(6.28), et en remarquant que :

∇( q+

q+ + ε

)= ε

∇q+

(q+ + ε)2(6.29)

∇ log(1 +

q+

ε

)=

∇q+

q+ + ε(6.30)

on obtient les inégalités suivantes :∣∣∣∆t∫Ω

h3nq∇y2∇ϕdx

∣∣∣ ≤ ∆tε∣∣∣ ∫

Ω

h3n∇y2∇[log(1 +

q+

ε)]∣∣∣

≤ ∆tε||y2||L2(Ω)|| log (1 +q+

ε)||L2(Ω)

(6.31)

∆t

∫Ω

h3ny1∇q · ∇ϕdx = ∆t

∫Ω

h3ny1

|∇q+|2

[q+ + ε]2dx ≥ 0 (6.32)



∆tλ

∫Ω

h2n∇q · ∇ϕdx = ∆tλε

∫Ω

h3n

|∇q+|2

(q+ + ε)2

≥ ∆tεc||∇ log(1 +

q+

ε

)||2L2(Ω)

(6.33)

et ∫Ω

hn q ϕdx ≥ 0 (6.34)

∣∣∣∆t∫Ω

hnqΛ · ∇vdx∣∣∣ = ∆tε

∣∣∣ ∫Ω

hnΛq+ · ∇q+

(q+ + ε)2dx∣∣∣

≤ c∆tε

∫Ω

hn|∇q+|

(q+ + ε)2dx

≤ c∆tε||∇ log(1 +

q+

ε

)||L2(Ω)

(6.35)

De(6.31)-(6.32)-(6.33)-(6.34)- (6.35) , (6.28), on a :

||∇ log(1 +

q+

ε

)||L2(Ω) ≤ C ∀ε > 0 (6.36)

oùC est une constante indépendante deε , ce qui nous donne :

w+ = 0

D’où le résultat cherché.

6.3 Estimations

Dans le partie précédente, on a montré que le problème (6.5) admet une solution

unique positivepn ∈ pa +H10 (Ω) avec(pn)2 ∈ (pa)

2 +H10 (Ω) pour toutn = 1,2, . . . ,N .

Dans cette section, on va donner des estimations sur la solution discrétiséep4t qui vont

nous permettre de passer à la limite dans l’équation (6.10).

6.3. ESTIMATIONS 147

Proposition 6.3.1.Sous les hypothèses(6.4), il existe une constanteC indépendante de

∆t telle que :

||p2∆t||L2(0,T,H1(Ω)) ≤ C (6.37)

||p∆t||L2(0,T,H1(Ω)) ≤ C (6.38)

Démonstration.Preuve de(6.37) :

En prenantϕ =((pn)2 − p2

a

)dans (6.6) et en sommant den = 1 àn = N , on trouve :

αn=N∑n=1

∫Ω

(hnp

n − hn−1pn−1)(

(pn)2 − p2a

)dx + ∆t

n=N∑n=1

∫Ω

(h3

npn + λh2

n

)∇pn · ∇(pn)2

−∆tn=N∑n=1

∫Ω

hnpnΛ · ∇(pn)2 = 0

(6.39)

Ce qui nous donne :

∆t

2

n=N∑n=1

∫Ω

h3n

∣∣∇(pn)2∣∣2 dx + 2λ∆t

n=N∑n=1

∫Ω

h2npn|∇pn|2dx

= ∆tn=N∑n=1

∫Ω

hnpnΛ · ∇(pn)2 − α

n=N∑n=1

∫Ω

(hnp

n − hn−1pn−1)(

(pn)2 − p2a

)dx

(6.40)

En utilisant les hypothèses (6.4), les inégalités de Cauchy Schwartz et de Poincaré, et

en remarquant que le deuxième terme de (6.40) est positif, on montre qu’il existe une

constantec indépendante de∆t, telle que :

||∇p2∆t||2L2(QT ) ≤ c||∇p2

∆t||L2(QT ) + c||∇p2∆t||

32

L2(QT ) + c+ αS (6.41)

OùS s’écrit sous la forme :

S = −n=N∑n=1

∫Ω

(hnp

n − hn−1pn−1)(

(pn)2 − p2a

)dx

=

∫Ω

h0(p0)3 + I + J

(6.42)



avec :

I =n=N−1∑

n=0

∫Ω

hnpn((pn+1)2 − (pn)2

)dx−

∫Ω

hN(pN)3dx +

∫Ω

hNpNp2

adx (6.43)

et

J =n=N∑n=1

∫Ω

p2a

(hnp

n − hn−1pn−1)dx−

∫Ω

hNpNp2

adx = −∫

Ω

h0p0p2a dx ≤ 0 (6.44)

Par un calcul simple, on a :

hnz1

(z22 − z2

1

)≤∫ z2

2

z21

hn

√sds ∀z1,z2 ∈ R+ (6.45)

Alors :

I ≤n=N−1∑

n=0

∫Ω

[ ∫ (pn+1)2

0

hn+1

√sds−

∫ (pn)2

0

hn

√sds]dx

−n=N−1∑

n=0

∫Ω

∫ (pn+1)2

0

[hn+1 − hn]√sdsdx−

∫Ω

hNpN((pN)2 − (pa)

2)dx

En simplifiant le premier terme a droite, et en utilisant l’inégalité|hn+1 − hn| ≤ C∆t

déduite de (6.4) , on obtient :

I ≤∫

Ω

∫ (pN )2

0

hN

√sds−

∫Ω

∫ (p0)2

0

h0

√sdsdx

+M∆tn=N−1∑

n=0

∫Ω

∫ (pn+1)2

0

√sdsdx−

∫Ω

hNpN((pN)2 − p2

a

)dx

qui s’écrit :

I ≤ I1 + I2 + I3 (6.46)

Avec :

I1 =

∫Ω

∫ (pa)2

0

hN

√sds−

∫Ω

∫ (p0)2

0

h0

√sds ≤ c


I2 =

∫Ω

∫ (pN )2

(pa)2hN

√sds−

∫Ω

hNpN((pN)2 − p2

a

)dx

Alors, il existes ∈ (pa,pN) tel que :

I2 =

∫Ω

hN(s− pN)((pN)2 − p2

a

)dx ≤ 0

et

I3 = M∆tn=N−1∑

n=0

∫Ω

∫ (pn+1)2

0

√sdsdx

≤ 2M∆t

3

n=N−1∑n=0

∫Ω

((pn+1)2

)3/2dx

≤ c||p2∆t||

32

L2(QT )

Ce qui implique :

I ≤ c+ c ||p2∆||

32

L2(QT ) (6.47)

D’autre part on a: ∫Ω

h0(p0)3dx ≤ c (6.48)

D’après (6.41),(6.47)-(6.48) et (6.44), on conclut que :

||∇(p∆t)2||2L2(QT ) ≤ c||∇p2

∆t||32

L2(QT ) + c||p2∆||

32

L2(QT ) + c||∇p2∆t||L2(QT ) + c (6.49)

Ce qui prouve le résultat.

Preuve de(6.38) :

En choisissant maintenantϕ =(pn − pa

)dans (6.6) et en sommant den = 1 àn = N ,

on trouve :

α

n=N∑n=1

∫Ω

(hnp

n − hn−1pn−1)(pn − pa

)dx + ∆t

n=N∑n=1

∫Ω

(h3

npn + λh2

n

)|∇pn|2

−∆tn=N∑n=1

∫Ω

hnpnΛ · ∇pn = 0

(6.50)



Ce qui nous donne :

∆tn=N∑n=1

∫Ω

h3np

n|∇pn|2dx + λ∆tn=N∑n=1

∫Ω

h2n|∇pn|2dx

=∆t

2

n=N∑n=1

∫Ω

hnΛ · ∇(pn)2 − αn=N∑n=1

∫Ω

(hnp


)dx

(6.51)

En utilisant les hypothèses (6.4) , on montre qu’il existe une constante générique,C,

indépendant de∆t, telle que :

||∇p∆t||2L2(QT ) ≤ c||∇(p2∆t)||L2(QT ) + αS

′(6.52)

oùS′s’écrit sous la forme :

S′

= −n=N∑n=1

∫Ω

(hnp


)dx

=

∫Ω

h0(p0)2 + I

′+ J

′

(6.53)

avec :

I′=

n=N−1∑n=0

∫Ω

hnpn(pn+1 − pn

)dx−

∫Ω

hN(pN)2dx +

∫Ω

hNpNpadx

et

J′=

n=N∑n=1

∫Ω

pa

(hnp

n − hn−1pn−1)dx−

∫Ω

hNpNpadx

En utilisant les mêmes techniques que précédemment, on trouve le résultat recherché.

On va prouver dans ce qui suit un résultat de convergence forte dansL1(QT ) dep∆t

en utilisant le lemme suivant :

LEMME 6.3.1. Soitu∆t une suite convergeant faiblement dansL2(0,T ;H1(Ω)

)versu

et vérifiant l’estimation suivante :∫ T−h

0

∫Ω

(u2

∆t(x,t+ h)− u2∆t(x,t)

)(u∆t(x,t+ h)− u∆t(x,t)

)dx ≤ Ch

alorsu∆t converge versu fortement dansL2(QT ).


Démonstration.Voir[32].

THÉORÈME 6.3.1. Il existep ∈ L2(0,T ;H1(Ω)

)tel quep∆t converge versp fortement

dansL2(QT ).

Démonstration.D’après la Proposition 6.3.1, il existep ∈ L2(0,T ;H1(Ω)

)tel quep∆t

converge versp faiblement dansL2(0,T ;H1(Ω)

). Pour terminer la preuve il suffit de

montrer quep∆t satisfait l’hypothèse du Lemme 6.3.1. CommeQ est dense dansR, il

suffit de prouver l’hypothèse du lemme pourh = k∆t aveck ∈ 1,2, · · · ,N.Soitm ∈ 1,2, · · · ,N − k. En sommant l’équation (6.6) dem+ 1 àm+ k, on a :

α

∫Ω

(pm+k − pm

)ϕ dx = −∆t

m+k∑n=m+1

∫Ω

[h3

npn + λh2

n

]∇pn · ∇ϕ dx

+∆tm+k∑

n=m+1

∫Ω

hnpnΛ · ∇ϕ dx, ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω)

En prenantϕ = (pm+k)2 − (pm)2 ∈ H10 (Ω) et en sommant l’équation précédente de

m = 1 àm = N − k, on obtient :

αm=N−k∑

m=1

∫Ω

(pm+k − pm

∆t

)((pm+k)2 − (pm)2

)dx

= −∆tm=N−k∑

m=1

m+k∑n=m+1

∫Ω

[h3

npn + λh2

n

]∇pn ·

(∇(pm+k)2 −∇(pm)2

)dx

+∆tm=N−k∑

m=1

m+k∑n=m+1

∫Ω

hnpnΛ ·

(∇(pm+k)2 −∇(pm)2

)dx

(6.54)

Le membre de gauche est égal à :

α

∆t

∫ T−h

0

(pm+k − pm

)((pm+k)2 − (pm)2

)(6.55)

D’autre part, pour toutn ∈ m+ 1, · · · ,m+ k , on a :

I =∣∣∣ m+k∑

n=m+1

∫Ω

h3np

n∇pn · ∇(pm+k)2∣∣∣ =

h3max

2

∣∣∣ m+k∑n=m+1

∫Ω

∇((pn)2

)· ∇(pm+k)2

∣∣∣



En utilisant l’inégalité de Cauchy Schwartz, on a :

I ≤ h3max

2

[||∇(pm+1)2||L2(Ω)||∇(pm+k)2||L2(Ω)+· · ·+||∇(pm+k)2||L2(Ω)||∇(pm+k)2||L2(Ω)

]ce qui nous donne :

−∆tm=N−k∑

m=1

m+k∑n=m+1

∫Ω

h3np

n∇pn · ∇(pm+k)2 dx≤ ∆th3

max

2

m=N−k∑m=1

||∇(pm+1)2||L2(Ω)||∇(pm+k)2||L2(Ω) + · · ·

+∆th3

max

2

m=N−k∑m=1

||∇(pm+k)2||L2(Ω)||∇(pm+k)2||L2(Ω)

(6.56)

Pour touti ∈ m+ 1, · · · ,m+ k, à l’aide de l’inégalité de Cauchy Schwartz on a :

∆th3

max

2

m=N−k∑m=1

||∇(pi)2||L2(Ω)||∇pm+k||L2(Ω) ≤ ∆th3

max

2

(m=N−k∑m=1

||∇(pi)2||2L2(Ω)

)1/2

(m=N−k∑m=1

||∇(pm+k)2||2L2(Ω)

)1/2

≤ h3max

2||∇(p2)||L2(QT )||∇(p∆t)

2||L2(QT )

En utilisant l’inégalité précédente, l’inégalité (6.37) la proposition (6.3.1), on a :

−∆tm=N−k∑

m=1

m+k∑n=m+1

∫Ω

h3np

n∇pn∇pm+k dx ≤ C1k

De la même façon, on montre que les autres termes de droite de (6.54) sont majorées par

des expressions de typeCk. Ceci termine la preuve.

LEMME 6.3.2. Sous les hypothèses(6.4), il existe une constanteC indépendante de∆t

telle que :

||pm||L2(Ω) ≤ C ∀m ∈ 1, · · · ,N


Démonstration.On prendϕ = ∆t(pm − pa) dans(6.6) et on somme den = 1 àn = m

pour toutm ∈ 1, · · ·N. On obtient :

αn=m∑n=1

∫Ω

(hnpn − hn−1p

n−1)pn dx= αn=m∑n=1

∫Ω

(hnpn − hn−1p

n−1)pa dx

−∆tn=m∑n=1

∫Ω

(h3npn + λh2

n)|∇pn|2 dx+∆tn=m∑n=1

∫Ω

hnpnΛ · ∇pn dx

(6.57)

En utilisant l’inégalité−ab > −a2/2− b2/2 pour le terme de gauche de (6.57), on a :

αn=m∑n=1

∫Ω

(hnpn − hn−1p

n−1)pn dx ≥ α

2

n=m∑n=1

∫Ω

(hn(pn)2 − hn−1(p

n−1)2)

dx

≥ αhmin

2

∫Ω

(pm)2 dx− αhmax

2

∫Ω

(p0)2 dx

(6.58)

En utilisant (6.58) dans (6.57) on obtient :

αhmin

2

∫Ω

(pm)2 dx ≤ αhmax

2

∫Ω

(p0)2 dx + αn=m∑n=1

∫Ω

(hnpn − hn−1p

n−1)pa dx

−∆tn=m∑n=1

∫Ω

(h3npn + λh2

n)|∇pn|2 dx + ∆tn=m∑n=1

∫Ω

hnpnΛ · ∇pn dx

D’où :

αhmin

2

∫Ω

(pm)2 dx ≤ αhmax

2

∫Ω

(p0)2 dx + αpa

∫Ω

hmpm dx

+∆tn=m∑n=1

∫Ω

hnpnΛ · ∇pn dx

≤ αhmax

2

∫Ω

(p0)2 dx + αpa

∫Ω

hmpm dx + c||p∆t||L2(QT )||∇p∆t||L2(QT )

On obtient le résultat en utilisant la Proposition 6.3.1.



On va Maintenant énoncer le résultat principale dans cette partie :

THÉORÈME 6.3.2. Il existep ∈ L2(0,T ;H1(Ω)

)∩ L∞(O,T ;L2(Ω)) tel quep2 ∈ L2

(0,T ;H1(Ω)

)et :

p2∆t p2 dansL2

(0,T,H1(Ω)

)faiblement (6.59)

p∆t p dansL2(0,T,H1(Ω)

)faiblement (6.60)

Démonstration.De (6.38) de la Proposition 6.3.1 et du Lemme 6.3.2 on déduit qu’il existe

p ∈ pa + L2(0,T ;H1

0 (Ω))∩ L∞

(0,T ;L2(Ω)

)tel que :

p∆t → p dansL2(0,T ;H1(Ω)

)faible

De l’inégalité (6.37) de la Proposition 6.3.1 on déduit qu’il existeρ ∈ p2a+L

2(0,T ;H1

0 (Ω))

telle que :

p2∆t → ρ dansL2

(0,T ;H1

0 (Ω))

faible

D’autre part d’après le Théorème 6.3.1,p∆t converge fortement versp dansL2(QT ) à une

sous suite près, donc(p∆t)2 converge fortement versp2 dansL1(QT ), ce qui nous permet

par identification d’avoir :

ρ = p2

6.4 Existence et unicité du problème continu

Dans cette section on va prouver l’existence d’une unique solution faible positive

global du problème (6.1) initial.

THÉORÈME 6.4.1. Sous les hypothèses(6.4), il existe une solution faible pour le pro-

blème(6.1).

Démonstration.Montrons dans un premier temps quep définie par (6.59) et (6.60) vérifie

(6.2).

6.4. EXISTENCE ET UNICITÉ DU PROBLÈME CONTINU 155

La fonctionp∆t définie dans (6.7) vérifie, d’après (6.10) :

α

∫QT

p∆tϕ dx dt = −∫

QT

(h3

∆tp∆t + λh2∆t

)∇p∆t · ∇ϕ dx dt

+

∫QT

h∆tp∆tΛ · ∇ϕ dx dt ∀ϕ ∈ L2(0,T; H1

0(Ω)) (6.61)

D’après la Proposition 6.3.1, on a :∫QT

p∆tϕ dx dt ≤ C||ϕ||L2(0,T,H10(Ω)) ∀ϕ ∈ L2

(0,T; H1

0(Ω))

Par suitep∆t est bornée dansL2(0,T,H−1(Ω)

)et donc il existep ∈ L2

(0,T,H−1(Ω)

)tel que :

p∆t → p faiblement dansL2(0,T,H−1(Ω)

)Pour obtenir l’équation (6.2) , il faut d’abord montrer quep =

∂(hp)

∂t.

Montrons que :

lim∆t→0

∫ T

0

∫Ω

p∆tϕdxdt =−∫ T

0

∫Ω

hp∂ϕ

∂tdxdt

−∫

Ω

h(x,0)p0(x)ϕ(x,0) dx ∀ϕ ∈ D(Ω× [0,T [

) (6.62)

Nous avons pour toutϕ ∈ D(Ω× [0,T [

):∫ T

0

∫Ω

p∆tϕdxdt = −∫ T−∆t

0

∫Ω

h∆tp∆tϕ(x,t+ ∆t)− ϕ(x,t)

∆tdxdt

+1

∆t

∫Ω

hNpN

∫ T

T−∆t

ϕ(x,t)dtdx− 1

∆t

∫Ω

h0(x)p0

∫ ∆t

0

ϕ(x,t)dtdx

(6.63)

Soit :E∆t =

∫ T

0

∫Ω

p∆tϕdx +

∫ T

0

∫Ω

h p∂ϕ

∂t+

∫Ω

h(x,0)p0(x)ϕ(x,0) dx.

Pour avoir (6.62) il suffit de montrer que :

lim∆t→0

E∆t = 0 (6.64)



En utilisant la relation (6.63) on peut écrireE∆t sous la forme :

E∆t = E1∆t + E2

∆t + E3∆t + E4

∆t (6.65)

avec :

E1∆t = −

∫ T−∆t

0

∫Ω

(h∆t − h)p∆tϕ(x,t+ ∆t)− ϕ(x,t)

∆tdxdt (6.66)

E2∆t = −

∫ T−∆t

0

∫Ω

hp∆tϕ(x,t+ ∆t)− ϕ(x,t)

∆tdxdt +

∫ T

0

∫Ω

hp∂ϕ

∂t(6.67)

E3∆t =

1

∆t

∫Ω

hNpN

∫ T

T−∆t

ϕ(x,t)dtdx (6.68)

E4∆t = − 1

∆t

∫Ω

h0(x)p0

∫ ∆t

0

ϕ(x,t)dtdx +

∫Ω

h(x,0)p0(x)ϕ(x,0) dx (6.69)

Nous allons montrer que

lim∆t→0

Ei∆t = 0 pouri = 1,2,3,4 (6.70)

Nous avons :

E1∆t ≤ c||h∆t − h||L∞(QT )||p∆t||L2(QT )||

∂ϕ

∂t||L∞(QT )

D’après la Remarque 6.2.1 et la Proposition 6.3.1, on obtient (6.70) pouri = 1.

D’autre part, on peut réécrire (6.67) sous la forme :

E2∆t = −

∫ T−∆t

0

∫Ω

hp∆t

(ϕ(x,t+ ∆t)− ϕ(x,t)

∆t− ∂ϕ(x,t)

∂t

)dxdt

+

∫ T

T−∆t

∫Ω

hp∂ϕ

∂tdxdt−

∫ T−∆t

0

∫Ω

(hp∆t − hp)

∂ϕ

∂tdxdt

(6.71)

Commehp∆t est bornée dansL2(QT ) etϕ ∈ D(Ω×]0,T [) , le premier terme deE2∆t tend

vers0. Commeϕ ∈ D(Ω×]0,T [) , en prenant∆t suffisamment petit le deuxième terme

deE2∆t est égale à0. On écrit le dernier terme comme suit:∫ T−∆t

0

∫Ω

(p− p∆t)h∂ϕ

∂tdxdt =

∫ T

0

∫Ω

h(p− p∆t)∂ϕ

∂tdxdt−

∫ T

T−∆t

∫Ω

h(p− p∆t)∂ϕ

∂tdxdt

(6.72)


Le premier membre de droite tend vers0 quand∆t → 0 car h∂ϕ

∂t∈ L2(QT ) et le

deuxième terme est égal à0 pour∆t suffisamment petit.

D’où la limite (6.70) pouri = 2.

E3∆t = 0 pour∆t suffisamment petit.

De la régularité deϕ on obtient la limite (6.70) pouri = 4.

Finalement en passant à la limite(∆t→ 0) dans (6.63), on a :∫ T

0

∫Ω

pϕ dx dt = −∫

Ω

h(x,0)p0(x)ϕ(x,0) dx

−∫ T

0

∫Ω

hp∂ϕ

∂tdx dt

(6.73)

En prenantϕ ∈ D(Ω×]0,T [

)dans (6.73) on obtientp = ∂t(hp) et par suitep satisfait

la relation (6.2).

En utilisant (6.59) et 6.60 et en passant à la limite ,∆t→ 0, dans (6.6) on obtient (6.3).

Dans la suite nous allons montrer l’unicité d’une solution positive de (6.1) en utilisant

le lemme suivant [28]:

LEMME 6.4.1. Soiente ∈ R+ etv ∈ e+L2(0,t;H1

0 (Ω))

avec∂

∂t(hv) ∈ L2

(0,t;H−1

0 (Ω))

tel quev(x,0) ≥ 0, ∀x ∈ Ω. Alors on a :

limδ→0

∫ t

0

<∂

∂t(hv),Ψδ(v) > ds =

∫Ω

h(t) min(v(t),0)dx

oùΨδ est la fonction définie par

Ψδ(z) =

0 si z ≤ 0

z

δsi 0 ≤ z ≤ δ

1 si z ≥ δ

(6.74)

On va montrer d’abord que toute solution faible de (6.1) est positive.

Proposition 6.4.1.Supposons queλ > 0. Sous les hypothèses(6.4), toute solution faible

de(6.1)est positive.



Démonstration.En prenantϕ = Ψδ(−p) comme fonction test dans (6.3), on obtient :

α

∫ t

0

<∂

∂t(hp),Ψδ(−p) > ds =

1

δ

∫[0≤−p≤δ]

(h3p+ λh2)|∇p|2 dxds

− α

δ

∫[0≤−p≤δ]

hpΛ · ∇pdxds

(6.75)

D’autre part, on a :∫[0≤−p≤δ]

(h3p+ λh2)|∇p|2 dxds ≥∫

[0≤−p≤δ]

h2(hmaxp+ λ)|∇p|2 dxds

≥∫

[0≤−p≤δ]

h2(λ− hmaxδ)|∇p|2 dxds

(6.76)

Le paramètreδ est destiné à tendre vers 0 etλ est supposé strictement positif, par suite on

peut prendreδ vérifiant

δ <λ

hmax

En utilisant l’inégalité de Cauchy Schwarz on a∣∣∣∣1δ∫

[0≤−p≤δ]

hpΛ · ∇pdxds

∣∣∣∣ ≤ C

(∫[0≤−p≤δ]

dxds

)1/2

‖∇p‖L2(Qt) (6.77)

En utilisant (6.76) et (6.77) dans (6.75) et en passant après à la limite quandδ tend vers

0, on obtient, d’après le Lemme 6.4.1:∫Ω

h(t) min (p(t),0) ≥ 0

Ce qui termine la démonstration.

THÉORÈME 6.4.2. Le problème(6.1)admet une solution unique positive vérifiant :

p ∈ L2(0,T ;H1(Ω)) ∩ L∞(0,T ;L2(Ω)) p2 ∈ L2(0,T ;H1(Ω))

En plus, on a la monotonie dans le sens suivant : sip1a ≤ p2

a sur la frontière deΩ et

p10 ≤ p2

0 surΩ alors les solutions correspondantes satisfontp1 ≤ p2 pp surQT


Démonstration.L’unicité sera une conséquence immédiate de la monotonie de la solu-

tion.

Soit q = p2 − p1, on montre queq vérifie :

α

∫ t

0

<∂

∂tq,ϕ > dt +

∫Q

h3q∇p2 · ∇ϕdx dt +

∫Q

h3p1∇q · ∇ϕdx dt + λ

∫Q

h2∇q · ∇ϕdx dt

−∫

Q

hqΛ · ∇ϕ dx dt = 0 ∀ϕ ∈ H10(Ω)

(6.78)

Prenonsϕ = Ψδ(−q)χ[0,t], pour toutt ∈ [0,T ] comme fonction de test dans l’équation

(6.78), on obtient :

α

∫ t

0

<∂

∂t(hq),Ψδ(−q) > ds− 1

δ

∫Qt

h3q∇p2 · ∇q χ[0≤−q≤δ] dxds

−1

δ

∫Qt

h3p1|∇q|2 χ[0≤−q≤δ] dx dt− λ1

δ

∫Qt

h2|∇q|2 χ[0≤−q≤δ] dx

+1

δ

∫Qt

hqΛ · ∇q χ[0≤−q≤δ] dx = 0

(6.79)

Commep1 etλ sont positifs, on a :

α

∫ T

0

<∂

∂tq,Ψδ(−q) > dt ≥ 1

δ

∫[0≤−q≤δ]

h3q∇p2∇q dxdt− 1

δ

∫[0≤−q≤δ]

hqΛ∇qdx

(6.80)

En utilisant la même majoration que dans (6.77), on obtient en passant à la limite quand

δ → 0 : ∫Q

h(t) min (q(t),0) ≥ 0

Ce qui termine la preuve.



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Sur l’existence de position d’équilibre dans des ...csidoc.insa-lyon.fr/these/2005/hafidi/these.pdf · 1.2) à deux degrés de liberté. Le premier est le déplacement vertical,