Svensk bruttoproduktion för nötkreatur

Kandidatuppsats i statistik och dataanalys

Svensk bruttoproduktion för

nötkreatur

Caroline Svahn

Avdelningen för statistik

Institutionen för datavetenskap

Linköpings universitet

Handledare

Patrik Waldmann

Examinator

Karl Wahlin

Linköping University Electronic Press

Upphovsrätt

Detta dokument hålls tillgängligt på Internet – eller dess framtida ersättare – från

publiceringsdatum under förutsättning att inga extraordinära omständigheter

uppstår.

Tillgång till dokumentet innebär tillstånd för var och en att läsa, ladda ner,

skriva ut enstaka kopior för enskilt bruk och att använda det oförändrat för icke-

kommersiell forskning och för undervisning. Överföring av upphovsrätten vid

en senare tidpunkt kan inte upphäva detta tillstånd. All annan användning av

dokumentet kräver upphovsmannens medgivande. För att garantera äktheten,

säkerheten och tillgängligheten finns lösningar av teknisk och administrativ art.

Upphovsmannens ideella rätt innefattar rätt att bli nämnd som upphovsman i

den omfattning som god sed kräver vid användning av dokumentet på ovan be-

skrivna sätt samt skydd mot att dokumentet ändras eller presenteras i sådan form

eller i sådant sammanhang som är kränkande för upphovsmannens litterära eller

konstnärliga anseende eller egenart.

För ytterligare information om Linköping University Electronic Press se för-

lagets hemsida http://www.ep.liu.se/.

Copyright

The publishers will keep this document online on the Internet – or its possible

replacement – from the date of publication barring exceptional circumstances.

The online availability of the document implies permanent permission for

anyone to read, to download, or to print out single copies for his/her own use

and to use it unchanged for non-commercial research and educational purpose.

Subsequent transfers of copyright cannot revoke this permission. All other uses

of the document are conditional upon the consent of the copyright owner. The

publisher has taken technical and administrative measures to assure authenticity,

security and accessibility.

According to intellectual property law the author has the right to be

mentioned when his/her work is accessed as described above and to be protected

against infringement.

For additional information about the Linköping University Electronic Press

and its procedures for publication and for assurance of document integrity,

please refer to its www home page: http://www.ep.liu.se/.

© Caroline Svahn

http://www.ep.liu.se/

http://www.ep.liu.se/

Abstract

Since Sweden became a member of the EU in 1995, several demands ofdelivering statistics within di�erent areas has been put on the nation - amongthese, every nation has to compute prognoses of a so called GIP for di�erentanimals. GIP stands for gross indigenous production, and this project will centreon evaluating the model in use today for cattle within four groups and also �ndan alternative to said model. It was developed in 1998, was based on very littledata, and has not been evaluated since.

The current method is not a statistical model in the classic scense and doesnot adjust for global changes regarding society, such as laws or market. Overtime, this method has described the actual data quite unsteady, hence, it needsto be re�tted - in addition, the model does not compute prognoses for calvesand are therefore not modelled at all.

EU requires that the model, which should predict calves, heifers, cows andbulls/bullocks respectively, should use slaughter data, import and export num-bers and cattle population data within every group. Slaughter data is monthly,but the population is accounted for but twice a year, which concludes that themodel needs to be able to handle missing data/di�erent times of measuring thevariables.

Dynamic linear models are very �exible and can handle said problem. Onecan also use other variables, both time dependent and time independent, toset up models, which allows one to take other useful variables such as globaleconomy, changes in restrictions and similar variables into account.

The timeframe of this project has limited the possibility of adapting a modelthat takes more than the slaughter data into account and therefore should thefollowing model be considered as a base model which can be built on in thefuture to achieve appropriate forecasting models, for example, by adding thepopulation.

The model chosen for this project uses trend and seasonal components andis called a second order polynomial DLM. The results from this model were alot steadier than the results from the current model, with likely forecasts andmore even residuals, although, the lower interval of the calves forecast fell belowzero and suggests more information needs to be added to the model.

As a conclusion, the current model should be replaced by a DLM - possiblythe model �tted in this project with the population and other desired variablesthat could a�ect the GIP.

Sammanfattning

Sedan Sveriges inträde i EU 1995 har krav om att leverera diverse statistik ställtspå nationen - bland annat är alla medlemsländer ålagda att leverera prognoserpå olika djurs GIP, dess bruttoproduktion. Detta arbete avser utvärdera be�ntligmodell samt frambringa en lämplig prognosmetod för nötkreaturens GIP för attersätta den be�ntliga. Detta då modellen anpassades 1998 med mycket lite datasom grund och sedan framtagandet har den heller inte utvärderats.

Nuvarande metod är inte en statistisk modell i klassisk mening och tar intehänsyn till globala förändringar i samhället såsom lagändringar eller marknads-skiftningar. Över tid har denna metod beskrivit data ojämnt i förhållande tillfaktiska data och metoden bör således ses över - inte minst för att den intetäcker kalvgruppen, som inte modelleras alls.

EU kräver att modellen, som gruppvis ska prediktera kalv, kviga, ko ochtjur/stut, ska ta hänsyn till slaktvärden inom grupperna, import och export isamma fördelning samt nötbeståndet gruppvis. Slaktdata �nns månadsvis, menbeståndet är endast mätt en gång per halvår, vilket kräver en metod som kanhantera saknade data/olika mätpunkter.

Dynamiska linjära modeller är mycket �exibla och kan hantera just detta.Man kan också sätta upp modeller med avseende på andra, både tidsberoendeoch icke tidsberoende serier/variabler, vilket möjliggör hänsyn till exempelvisglobal ekonomi, regeländringar och liknande.

Då tidsaspekten satt gränser tar modeller i fråga inte hänsyn till annat änslaktvärdena inom grupperna och ämnas ligga som grund för framtida påbygg-nad, med bland annat djurbeståndet.

Modellen som anpassats i detta arbete tar hänsyn till respektive grupps tren-der och säsongsmönster och är en andra ordningens polynom-DLM. Prognosertas fram baserade på skattade trender och säsongskomponenter. Resultaten blevbetydligt jämnare för denna modell, om än inte oklanderliga, då kalvgruppensundre kon�densintervall hamnade under noll.

Som slutsats anses att be�ntlig modell bör bytas ut mot en DLM. För-slagsvis modellen som anpassats i detta projekt, med pålagt bestånd, och andraönskvärda variabler som kan justera för plötsliga förändringar i samhället.

Förord

Denna avhandling är skriven som ett kandidatarbete i ämnet statistik, tillhö-rande �Statistik och dataanalysprogrammet� vid Linköpings universitet. Upp-dragsgivare är statistikenheten på Jordbruksverket i Jönköping.

Tack riktas mot Patrik Waldmann vid IDA, Linköpings universitet, somagerat handledare under arbetet och till opponenterna.

Tack till Ann-Marie Karlsson, enhetschef på statistikenheten, för möjlighetenatt skriva arbetet på plats på enheten där alla nödvändiga uppgifter funnits näratill hands.

Tack också till Anders Grönvall, statistiker på Jordbruksverket, som fungeratsom kontaktperson i processen och som svarat på alla frågor rörande tidigarearbete med ämnet och som tillhandahållit allt underlag som efterfrågats.

Linköping, juni 2015Caroline Svahn

Innehåll

1 Bakgrund 11.1 Bakgrund och forskningsläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Jordbruksverket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Forskningsläge i Sverige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Forskningsläge i andra medlemsstater . . . . . . . . . . . 3

1.2 Syfte och frågeställningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Syfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Avgränsingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Konkreta frågeställningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Centrala begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.4.1 GIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4.2 CAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4.3 DLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Förutsättningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Legala förutsättningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Krav på prognosmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.3 Ekonomiska förutsättningar . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Datamaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Trend- och säsongsutredning . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.2 Andragradspolynom-DLM med säsongskomponenter . . . 111.5.3 Gibbs-sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.4 Modellutvärdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.4.1 Residualfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.4.2 MSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.5 Programvaror . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Resultat och analys 172.1 Visuell jämförelse med be�ntliga modeller . . . . . . . . . . . . . 172.2 Trend och säsongsvariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Säsongsrensning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Mann-Kendalls trendtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Andra gradens polynom DLM med säsongskomponenter . . . . . 252.3.1 Kalvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

2.3.2 Tjurar och stutar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.3 Kvigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.4 Kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Modellutvärdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.1 Residualfördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2 MSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Slutsatser 393.1 Vad som kunde gjorts annorlunda . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Felkällor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Källförteckning 42

5 Bilagor 445.1 Ekvationsuppställningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1.1 Kalvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.2 Tjurar och stutar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.3 Kvigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.4 Kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Prognoser med intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.1 Kalvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.2 Tjurar och stutar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.3 Kvigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.4 Kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figurer

1.1 Kalvslakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Tjur- och stutslakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Kvigslakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Koslakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Jämförelse - tjurar och stutar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Jämförelse - kvigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Jämförelse - kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Trend och säsong - kalvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Trend och säsong - tjurar och stutar . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Trend och säsong - kvigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Trend och säsong - kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 Prognos - kalvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9 Prognos - tjurar och stutar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10 Prognos - kvigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.11 Prognos - kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.12 Residualfördelning - kalvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.13 Residualfördelning - tjurar/stutar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.14 Residualfördelning - kvigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.15 Residualfördelning - kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

Tabeller

2.1 Mann-Kendalls trendtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Parameterskattningar - kalvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Parameterskattningar - tjurar och stutar . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Parameterskattningar - kvigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Parameterskattningar - kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 MSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kapitel 1

Bakgrund

1.1 Bakgrund och forskningsläge

1 januari 1995 inträdde Sverige i EU. Med medlemsskapet kom bland annatkrav på rapportering av diverse statistik inom jordbruket i landet, som en delav strävan mot en gemensam jordbrukspolicy - CAP (common agricultural po-licy). Denna rapportering ska ske i form av en så kallad �kvalitetsrapport�, somska lämnas en eller två gånger per år beroende på storleken av landets djur-bestånd. Medlemsstater med ett nötbestånd större än 1 500 000 djur ska tillexempel leverera beståndssi�ror för två tidpunkter på året - en bestämd dag imaj/juni och en bestämd dag i november/december. Sveriges nötbestånd över-skrider denna gräns och därmed ska si�ror levereras två gånger per år. Vidareså ska månatliga slaktsi�ror i antal och vikt levereras för nöt slaktat på slakterii de fall köttet kan klassas som livsmedel - även slakt utanför slakterier ska es-timeras för att ge en komplett bild av medlemsstatens slaktstatistik. Dessutomska prognoser för inhemska bruttoproduktionen - landets GIP (gross indigenousproduction) - utarbetas och beräknas för tre halvår framåt. Detta ska görasgruppvis för kalvar, tjurar/stutar, kvigor respektive kor.1

1.1.1 Jordbruksverket

Som en av Sveriges o�ciella statistikproducenter ligger ovan nämnda krav påJordbruksverket att möta. Myndigheten ansvarar för jordbrukspolitiska frågoroch arbetar för en vision där både lantbruk och samhälle är starka och hållbara.Man eftersträvar en levande och attraktiv landsbygd och en miljö hälsosamför både människor och djur som är motståndskraftig vid påfrestningar ochförändringar i samhället som annars kan vara svåra att hantera. Stora insatsergörs för att förenkla det byråkratiska och på så vis främja företagande ochtillväxt inom lantbruket. Jordbruksverket som statistikproducent tillhandahåller

1Europaparlamentet och rådets förordning (EG) NR 1165/2008. �Om statistik över besätt-ningar och köttproduktion�. Bryssel: Europaparlamentet.

1

statistik rörande jordbruk, djurhållning och växtlighet.Enligt direktiv från regeringen ska �ske- och jordbruksverksamheten i landet

bedrivas på ett hållbart - både ekologiskt och ekonomiskt - och etiskt försvar-bart sätt där odling, �ske och vattenbruk ska bedrivas resursbevarande. Dettaligger på Jordbruksverket att efterfölja, liksom arbete för god djurhälsa där manbland annat förebygger smittospridning bland djur och växter samt högpriori-terar biologiskt mångfald och möjligheterna för minimal miljöpåverkan inomlantbruket.

Sammanlagt arbetar omkring 1200 personer med dessa frågor. Huvudkon-toret är beläget i Jönköping där nära 650 anställda är stationerade. 400 ärveterinärer och assistenter till dessa och därför utplacerade på distriktsveteri-närmottagningar runt om i landet för att möjliggöra djursjukvård dygnet runt.Resterande 150 är utplacerade på nio lokalkontor i mellersta och södra Sverige.2

1.1.2 Forskningsläge i Sverige

Från inträdet som medlemsland har Sverige producerat si�ror efter EU:s krav.Be�ntlig metod är dock simpel, hårddragen och heller inte utvärderad sedanskapandet.

Man har använt sig av en typ av antagen procentuell slaktsi�ra utifrån detlevande beståndet föregånde djurräkningar, enligt:

�Beståndet av storboskap ett år efter senaste djurräkning uppskattas som:+ Antalet storboskap vid senaste djurräkning+ Antalet kalvar- Antalet slaktade storboskap under tolv månader efter djurräkningen- Två tredjedelar av antalet slaktade kalvar under tolv månader efter djur-

räkningen= Antalet storboskap ett år efter senaste djurräkning�3

Att två tredjedelar subtraheras beror på att en tredjedel av kalvarna upp-skattats ofödda vid periodens början.

Först efter ovan uträkning delas prognosen in i de olika grupperna, baseratpå hur stor andel av beståndet som borde tillhöra vilken grupp.

Vidare har följande beräkning använts:

�1. Antalet slaktade djur under ett års tid efter en djurräkning uppskattasför vardera gruppen kviga, ko och stut/tjur (alla i åldern över ett år).

2. Dessa uppskattningar fördelas på halvår.3. Antalet djur i vardera gruppen ett år efter djurräkningen uppskattas.

2Jordbruksverket. 2015. �Jordbruksverkets övergripande mål och verksam-het�. http://www.jordbruksverket.se/omjordbruksverket/verksamhetochorganisation/overgripandemalochverksamhet.4.5aec661121e2613852800010081.html (Hämtad 2015-05-12).

3Jönrup, H. 1998. �Prognoser av nöt- och kalvslakt�. Jönköping: Jordbruksverket.

2

4. Antalet slaktade djur under det tredje halvåret för vardera gruppen upp-skattas.�4

Övervägts har även någonting man benämnt som �sammansatta prognoser�som korrigerar slaktprognoserna efter följande faktorer:

� Pris- och lönsamhetsutveckling

� Regelkorrigeringar

� Kalvförsäljning

� Expertinformation om marknaden

� Produktionsutveckling såsom stallbyggnad

� Köttkonsumtion

Dessa tre modeller och även en variant av den första har ämnats beräknatsparallellt för att utröna vilken som är bäst anpassad till data.5

Man hävdar i dokumentationen att marknad och således slaktsi�ror skiftarför häftigt för att statistiska modeller ska kunna hantera prognosticering, Dettaär dock felaktigt - regressionskoe�cienter kan användas även i tidsserieanalysvilket kommer visas i denna avhandling.

1.1.3 Forskningsläge i andra medlemsstater

Eftersom alla medlemsstater levererar dessa si�ror är ämnet utstuderat. Detvanligaste är att använda sig av kvoter, såsom slaktade djur per levande djurtidigare räkningar eller liknande. Många använder också biologisk teori som vidvilken ålder eller vikt djuren troligtvis slaktas. Detta är dock enkla tillväga-gångssätt och eftersom staterna samlar in data på olika sätt går inga solklarajämförelser i metodval att göra. 6

1.2 Syfte och frågeställningar

1.2.1 Syfte

Syftet med denna avhandling är i stort att undersöka möjligheterna för en bättreprognosmetod gällande svenskt GIP för nöt. Detta genom att dels utväderaprognosmodellen som används i dagsläget och dels genom att undersöka andra,mer komplexa prognosmetoder.

4Jönrup, H. 1998. �Prognoser av nöt- och kalvslakt�. Jönköping: Jordbruksverket.5Jönrup, H. 1998. �Prognoser av nöt- och kalvslakt�. Jönköping: Jordbruksverket.6Eurostat. 2015. �Working party on animal production statistics�. Luxemburg: European

Commission.

3

1.2.2 Avgränsingar

Då tidsramen är för snäv kommer inte möjlighet att ta hänsyn till djurbestån-det �nnas. Dessutom samlar Sverige i dagsläget inte in gruppvis import- ochimportsi�ror och således är det inte möjligt att ta hänsyn till dessa vid mo-dellering. Vid undersökning av dessa poster på aggregerad nivå ter sig värdenadock relativt obetydliga då de årligen bara berör några hundra djur vardera.

Med dessa avgränsingar bör arbetet ses som en första grund för en modellsom kan utvecklas med hänsyn till bestånd, import, export och andra möjligavariabler.

1.2.3 Konkreta frågeställningar

Följande punkter är centrala i arbetet:

� Hur har be�ntliga prognosmodellen beskrivit faktiska data?

� Är metoden rimlig och uppfylls EU:s krav på modellen?

� Finns bättre metoder att applicera?

1.2.4 Centrala begrepp

1.2.4.1 GIP

�Gross indigenous production�, eller GIP, är ett lands inhemska bruttoproduk-tion. Denna beräknas enligt:

GIP = slakt+ (export− import)

där �slaktade� anges i respektive grupp som antalet slaktade djur, �export�och �import� motsvarar antalet exporterade/importerade levande djur i respek-tive grupp.7

1.2.4.2 CAP

�Common agricultural policy� är den gemensamma jordbrukspolitiken inom EU.Bestämmelser kring hur medlemsländerna ska föra sin jordbrukspolitik, vilkakrav som ska ställas, mått som ska hållas och vad som ska rapporteras.8

1.2.4.3 DLM

En �dynamic linear model�, eller på svenska en dynamisk linjär modell (och ävenövergruppen, state space-modeller) sätts upp baserad på ett dynamiskt system.

7Europaparlamentet och rådets förordning (EG) NR 1165/2008. �Om statistik över besätt-ningar och köttproduktion�. Bryssel: Europaparlamentet.

8European Commission. 2015. �The Common Agricultural Policy after 2013�.http://ec.europa.eu/agriculture/cap-post-2013/ (Hämtad 2015-05-12).

4

Flera typer av DLM kan kombineras för att ta hänsyn till önskade parametrarsåsom trend och säsong.9

1.3 Förutsättningar

1.3.1 Legala förutsättningar

Data utgörs av o�ciell statistik, all publicerad på Jordbruksverkets hemsida,varför inga legala hinder föreligger beträ�ande data.

1.3.2 Krav på prognosmodell

Metodval förhålls till EU:s publikation 93/24/EEG vari kraven på uppgifternasom ska lämnas speci�eras. Enligt speci�kationen måste prognosmodellen förmedlemsstaternas GIP ta hänsyn till det gruppvisa djurbeståndet och historiskainhemska bruttoprodukten. Det uppmuntras även att modellen tar hänsyn tillandra väsentliga variabler och säsongsvariation om sådan föreligger.

1.3.3 Ekonomiska förutsättningar

Arbetet bedrivs på halvtid från januari-juni. Detta ger uppskattningsvis 20 tim-mar/vecka i 19 veckor vilket ger en estimerad totaltid om 380 timmar. Viss ar-betstid krävs även av uppdragsgivaren vid problemformulering och dataåtkomst.Litteratur för metodvalen har kostat omkring 1000 kr.

1.4 Datamaterial

Datatillgången består av månatliga slaktvärden, grupperade efter kalv, kviga, kooch tjur/stut för perioden januari 1995-december 2014, vilka presenteras nedan(i tusental).

9Petris, G., Petrone, S. och Campagnoli, P. 2009. �Dynamic linear models with R�, s. 31.New York: Springer.

5

0

5

10

15

20

25

30

Slaktade kalvar, månadsvis 1995−2014

Antal

År

I tusental

1995 2000 2005 2010 2015

Figur 1.1: Kalvslakt

Kalvslakten över tid ses i �gur 1.1. En period med toppar i slakten synsi slutet av 1990-talet. Sveriges medgång i EU 1995 medförde som nämnt �eraskillnader i jordbrukspolitik och regler, varför dessa toppar troligen beror påinträdet. Efter det verkar kalvslakten ha minskat något över tid. Säsongsmönstergår att urskilja, om än något mindre tydligt på senare tid.

6

0

5

10

15

20

25

30

Slaktade tjurar och stutar, månadsvis 1995−2014

Antal

År

I tusental

1995 2000 2005 2010 2015

Figur 1.2: Tjur- och stutslakt

I �gur 1.2 visualiseras slakten inom gruppen tjur- och stutslakt. En tyd-lig topp �nns kring början av 2005 och en dipp vid 2012. En ny EU-reformgällande jordbrukspolitiken trädde i kraft i januari 2005, som bland annat inne-bar ändringar i handjurs- och slaktbidrag som verkar ha orsakat tillfälligt ökadslakt inom gruppen. Inga större förändingar i politiken har hittats kring 2012.Säsongsmönster går även här att urskönja.

7

0

5

10

15

20

25

30

Slaktade kvigor, månadsvis 1995−2014

Antal

År

I tusental

1995 2000 2005 2010 2015

Figur 1.3: Kvigslakt

Även kvigslakten visar antydan, om än mindre än tjur- och stutgruppen,enligt �gur 1.3 på att ha påverkats av EU-reformen 2005. I övrigt har nivån legatganska jämn över tid. Visst säsongsmönster går att ana, mestadels i mitten ochslutet av respektive år.

8

0

5

10

15

20

25

30

Slaktade kor, månadsvis 1995−2014

Antal

År

I tusental

1995 2000 2005 2010 2015

Figur 1.4: Koslakt

Koslakten verkar gå nedåt i �gur 1.4. Någorlunda konsekvent mönster verkar�nnas, åtminstone i mitten och slutet av åren. Denna grupp verkar ha påverkatsmindre av reformen 2005, då ingen tydlig topp här går att urskilja.

Tillgång till halvårsdata över beståndet i respektive grupp �nns också församma tidsperiod (vilket dock inte kommer nyttjas vid modellering i nulägetmen bör vägas in vid metodval). Dessa data grundas på räkningar av antaletlevande djur inom respektive grupp ett bestämt datum i juni och ett i decemberFör att undvika att missa information i slaktvariabeln kommer mellanliggandemånader, det vill säga de månader nötbeståndet inte räknats, betraktas somsaknade data.

9

1.5 Metod

För att modellera dessa data krävs �exibla metoder som kan ta hänsyn tilltidsberoendet, saknade data i beståndsvariabeln, hastiga förändringar i seriensom följd av exempelvis ändrade lagar/regler eller skatter.

Dynamiska linjära modeller, som är en samling specialfall av �state space�-modeller, erbjuder dessa kvalitéer. State space-modeller, eller dynamiska model-ler, modellerar data med hjälp av en linjär ekvation som beskriver observationer-na, och en linjär ekvation som beskriver systemet i data. Observationsekvationenbygger på tidigare observationers värden och systemekvationen, som i sin turbeskriver mönster i data.10

Dynamiska linjära modeller används ofta vid gravt skiftande tidsserier ochnär hänsyn önskas tas till andra tidsserier eller variabler. Således behöver in-te alla variabler vara tidsberoende, och data behöver heller inte vara stationärvarför inga transformeringskrav åligger. Modellparamentrarna kan skattas medexempelvis maximum likelihood/minsta kvadrat-metoden eller via Bayesianskinferens. Dynamiska linjära modeller, eller DLM:s, har blivit populärt på sena-re tid för att de erbjuder lösningar för många typer av data. De används oftainom bland annat biologi, marknadsföring, ekonomi, ingenjörskonst, demogra�och klimatanalyser.11Det är i denna avhandling alltså motiverat att användadynamisk linjär modellering för att öppna upp framtida möjligheter, som attinvolvera beståndsdata, som är halvårsgenererat och inte månatligt och därmedkan betraktas som inkomplett. Vidare kan andra önskvärda variabler inklude-ras om hänsyn vill tas till andra variabler, tidsberoende eller tidsoberoende.Metoden lägger vikt vid de senaste observationerna vilket avhjälper historiskauteliggare orsakade av andra, yttre faktorer.

1.5.1 Trend- och säsongsutredning

Data säsongsrensas för visuellt bättre grepp om hur trenderna och säsongsvaria-tionen i tidsserierna egentligen ser ut. För att vidare fastställa eventuella trenderkommer Mann-Kendalls trendtest utföras.

Mann-Kendalls trendtest utgår från följande hypoteser:

Ho : τ = 0

Ha : τ 6= 0

H0, ingen monoton trend föreligger i data, ställs således motHa, som föreslåratt monoton trend �nns. Teststatistikan beräknas enligt:

10Fahrmeir, L. �State space models: brief history and som recent developments�.http://www.stat.�/isi99/proceedings/arkisto/varasto/fahr0140.pdf (Hämtad 2015-06-04).

11Petris, G., Petrone, S. och Campagnoli, P. 2009. �Dynamic linear models with R�, preface.New York: Springer.

10

τ =S(n2

) (1.1)

där

S = 2P −(n2

)(1.2)

n är antalet observationer i data och P är antalet gånger yt2>yt1 , det villsäga, antalet gånger nästkommande observation är större än den föregående.Tau blir således en typ av proportionsskattning på hur ofta nästkommande vär-det tenderar att öka i förhållande till det föregående. Värdet på teststatistikanjämförs sedan med värdet för normalfördelningen för vald signi�kansnivå (somhär sätts till 5 %). Om värdet på teststatistikan är mindre än värdet för nor-malfördelningen förkastas nollhypotesen och trend går statistiskt att påvisa försigni�kansnivån i fråga. I detta arbete tolkas testerna dock via p-värdet, somvid värden under 0.05 föreslår att monoton trend föreligger.12

1.5.2 Andragradspolynom-DLM med säsongskomponen-

ter

Generellt ges en dynamisk linjär modell med m variabler och p parametrar av,för t ≥ 1:

Yt ={Ftθt + vt, vt ∼ Nm(0, Vt) (1.3)

θt ={Gtθt−1 + wt, wt ∼ Np(0,Wt) (1.4)

där Yt är observationsmatrisen vid tidpunkt t, θt är en vektor innehållandemodellens parametrar och Ft och Gt är matriser bestående av nollor och ettorberoende på vilka variabler i det eventuellt multivariata datasetet som är tids-beroende. vt är en felterm för observationerna och wt är felterm för systemet.vt är normalfördelad med väntevärde 0 och varians enligt en matris Vt, inne-hållande observationsvarianserna för respektive variabel och wt normalfördeladmed väntevärde 0 och varians enligt en matris Wt innehållande varianserna försystemfelens fördelningar. Formel 3 kallas för modellens �observationsekvation�,och formel 4 för �systemekvation�.13

12Western university. �Appendix: Mann-Kendall Trend Tests�.http://www.stats.uwo.ca/faculty/mcleod/2003/DBeirness/MannKendall.pdf (Hämtad2015-06-04).


11

Modellen som anpassas i detta arbete är en kombinerad DLM som tar hänsyntill trend och säsongsmönster. Första delen av modellen utgörs av en andragradens polynom dynamisk linjär modell, ofta kallad �linear growth�-modell,som tar hänsyn till nivå och trend. Denna modell ställs upp enligt följande:

θt =

[µtβt

](1.5)

där θt representerar modellens så kallade �tillstånd� med hjälp av paramet-rarna µt, som är nuvarande nivån, och βt vilken representerar tidsberoende lut-ningen i data. Observationsvariansen, Vt, samt varianserna för systemenfelensfördelningar, matrisen Wt, används sedan för att beskriva observationen yt vidtidpunkt t enligt:

yt ={µt + vt, vt ∼ N(0, V ) (1.6)

där

µt ={µt−1 + βt−1 + wt,1, wt,1 ∼ N(0, σ2

µ) (1.7)

och

βt ={βt−1 + wt,2, wt,2 ∼ N(0, σ2

β) (1.8)

vt är observationsfelterm och wt,1 respektive wt,2 är systemfeltermer, allanormalfördelade med väntevärde 0 och med varianserna V ,σ2

t,1 och σ2t,2 . Då

varje nötslag kommer modelleras för sig och endast en variabel kommer tashänsyn till blir Vt en skalär och inte en matris. Varianserna för µt och βt, σ2

µ

respektive σ2β , utgör diagonalen i matrisen Wt

14:

W =

[σ2µ 00 σ2

β

](1.9)

Andra delen av modellen som sätts upp utgörs av en modell som endast tarhänsyn till säsongsvariationen. θt representerar nu istället 11 säsongskomponen-ter:

θt =[s(1)t s

(2)t s

(3)t s

(4)t s

(5)t s

(6)t s

(7)t s

(8)t s

(9)t s

(10)t s

(11)t

]′,

(1.10)

14Petris, G., Petrone, S. och Campagnoli, P. 2009. �Dynamic linear models with R�, s. 42-43.New York: Springer.

12

yt skattas sedan istället enligt:

yt ={s(1)t + vt, vt ∼ N(0, Vt) (1.11)

s(1)t =

{−s(1)t−1 − s

(2)t−1 − s

(3)t−1 − . . .− s

(11)t−1 + wst , wst ∼ N(0,Wt) (1.12)

s(2)t = s

(1)t−1, (1.13)

s(3)t = s

(2)t−1, (1.14)

...

s(11)t = s

(10)t−1 (1.15)

s(1:11)t är säsongskomponenter för 11 månader tillbaka. Eftersom trend- och

nivåhänsynen i denna modell byts ut mot hänsyn till endast säsongsvariation�nns endast en felterm för systemekvationen, wst , och således blir både Vt ochWt skalärer och inte matriser.

I modellen som slutligen kommer presenteras kombineras tidigare förklarademodeller, vilket ger slutgiltiga θt:

θt =[µt βt s

(1)t s

(2)t s

(3)t s

(4)t s

(5)t s

(6)t s

(7)t s

(8)t s

(9)t s

(10)t s

(11)t

]′,

(1.16)

där µt är nuvarande nivån, βt är lutningen och s(1:11)t är säsongskomponenter

för 11 månader bakåt i tiden.Vidare används dessa parametrar för att beskriva yt, observationen vid tid-

punkt t, enligt:

yt ={µt + s

(1)t + vt, vt ∼ N(0, V ) (1.17)

µt = µt−1 + βt−1, (1.18)

βt ={βt−1 + wβt , wβt ∼ N(0, σ2

β) (1.19)

s(1)t =

{−s(1)t−1 − s

(2)t−1 − s

(3)t−1 − . . .− s

(11)t−1 + wst , wst ∼ N(0, σ2

s) (1.20)

13

s(2)t = s

(1)t−1, (1.21)

s(3)t = s

(2)t−1, (1.22)

...

s(11)t = s

(10)t−1 (1.23)

där vt är observationsfelterm, wβt är systemfelterm för lutningen och wst för

säsongskomponenterna. Alla feltermer är normalfördelade med väntevärde 0. Vtblir som nämnt en skalär och Wt blir en 13× 13-matris för modellen enligt15:

V = σ2 (1.24)

W =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 σ2

β 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 σ2s 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. . .

. . .0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(1.25)

När någon parameter är multivariat, vilketW är i vald modell, skattas samt-liga parametrar med fördel med så kallad �Gibbs-sampling�. 16

Prognoser för 18 månader framåt kommer göras för respektive grupp, varföräven prediktionsintervall för dessa kommer beräknas.

1.5.3 Gibbs-sampling

Ett startvärde sätts för varje komponent som sedan uppdateras �ertalet gångerför att approximera det sanna värdet, här variansen V och den multivariatavariansen W , parametrarna µt, βt samt säsongskomponenterna. Detta görs ge-nom dragning från varje komponents fördelning givet de andra komponenternassenaste värden - denna dragning uppdaterar sedan det förra värdet. Kompo-nenterna uppdateras en i taget. Om denna typ av dragning med uppdatering

15Petris, G. 2009. �dlm: an R package for Bayesian analysis of Dynamic Linear Models�.s.18. Fayetteville: University of Arkansas.


14

genomförs tillräckligt många gånger närmar sig skattningarna variansernas ochparametrarnas simultanfördelning. För att sedan �nna väntevärdet för varje va-rians/parameter, det vill säga skattningen som eftersöks, dras ett medelvärdeför respektive varians/parameters dragningar. Eftersom det tar �ertalet uppda-teringar innan samplingen når en stationär nivå tas en så kallad �burn-in� bortinnan väntevärdesskattningen. Således fungerar de första dragningarna som en�inkörningsfas� som inte representerar fördelningen i fråga. Därefter användsresterande dragningars medelvärde för V (σ2), W (σ2

β och σ2s) och modellpara-

metrarna. Varianserna är oberoende gammafördelade enligt nedan:

θ0:n ∼ N() (1.26)

σ2 ∼ IG(a2

b+n

2,a

b+

1

2SSy

)(1.27)

σ2β ∼ IG

(a2θ,2bθ,2

+n

2,aθ,2bθ,2

+1

2SSθ,2

)(1.28)

σ2s ∼ IG

(a2θ,3bθ,3

+n

2,aθ,3bθ,3

+1

2SSθ,3

)(1.29)

där

SSy =

n∑t=1

(yt − Ftθt)2, (1.30)

SSθ,i ={∑T

t=1(θt,i − (Gtθt−1)i)2, i = 2, 3 (1.31)

a2, a2θ,2 och a2θ,3är förvalda väntevärden för respektive varians priorfördelning

och b, bθ,2 och bθ,3 är förspeci�erade varianser för respektive priorfördelning.17

För att inte påverka resultatet kommer dessa priormedelvärden och variansersättas som icke informativa genom att deklarera värden nära noll (0.01).

1.5.4 Modellutvärdering

För att utreda hur väl anpassad den uppsatta modellen är för data i förhållandetill andra modeller kommer jämförelser ske med den be�ntliga modellen ochseparat de två modelltyperna som kombinerats - det vill säga, en modell somendast tar hänsyn till nivå och trend i data och en modell som endast tar hänsyntill säsongsmönster i data.


15

1.5.4.1 Residualfördelning

För att upptäcka eventuell snedfördelning i residualerna kommer visualiseringav hur väl residualerna följer normalfördelningen ske.

1.5.4.2 MSE

För att vidare undersöka hur mycket residualerna för varje modell skiljer sig frånfaktiska data beräknas medelfelet av residualerna i kvadrat för alla modeller,enligt:

MSE =1

n

n∑t=1

e2t (1.32)

där et är residualen vid tidpunkt t. En bra modell ger ett lågt MSE (meansquare error) då skillnaden mellan skattning och faktiskt värde är liten.18

1.5.5 Programvaror

Alla diagram och modeller är utförda i R. 19

Vid analyser används �dlm�, som är ett R-paket avsett för anpassning avdynamiska linjära modeller.20


19R Development Core Team. 2008. �R: A language and environment for statistical com-puting. R Foundation for Statistical Computing�. Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URLhttp://www.R-project.org.

20Petris, G. 2010. �An R Package for Dynamic Linear Models�. Journal of Statistical Soft-ware, 36(12), 1-16. URL http://www.jstatsoft.org/v36/i12/.

16

Kapitel 2

Resultat och analys

2.1 Visuell jämförelse med be�ntliga modeller

I detta avsnitt följer en visuell jämförelse av tidigare använd prognosmetodoch de faktiska slaktvärdena inom grupperna. Medelvärdet av tidigare användametoder används vid jämförelserna då det är just medelvärdet av prognosskatt-ningarna från de fyra modellerna som levererats till Eurostat. Ingen prognoshar gjorts på kalvslakten då man vid skapandet ansåg den vara obetydlig ochdessutom omständig att ta fram, varför ingen jämförelse av denna grupp föl-jer. Si�rorna presenteras här visuellt halvårsvis eftersom det är så de slutligenpresenteras. Vid MSE-skattningarna och normalfördelningsplottarna är dock re-sidualerna dividerade med 6 för mer rättvis jämförelse med övriga modeller somistället grundas på månadsdata.

17

0

20

40

60

80

100

120

140

Slaktade tjurar och stutar, halvårsvis 1998−2014

År

Antal I tusental

1998 2002 2006 2010 2014

●

●

ObserveradePrognos

Figur 2.1: Jämförelse - tjurar och stutar

Modellen för tjurar och stutar verkar åtminstone ha fångat upp trendeni slakten. I början hålls prognosen någorlunda till de faktiska värdena men påsenare tid verkar den ha missat avsevärt och prognoserna verkar även vara någotfördröjda i förhållande till faktiska data..

18

0

20

40

60

80

100

120

140

Slaktade kvigor, halvårsvis 1998−2014

År

Antal I tusental

1998 2002 2006 2010 2014

●

●

ObserveradePrognos

Figur 2.2: Jämförelse - kvigor

Även kvigornas prognoser verkar hålla sig kring faktiska medelvärdet, åt-minstone i början. Dock både över- och underskattas slaktvärdena �era tid-punkter i sträck.

19

0

20

40

60

80

100

120

140

Slaktade kor, halvårsvis 1998−2014

År

Antal I tusental

1998 2002 2006 2010 2014

●

●

ObserveradePrognos

Figur 2.3: Jämförelse - kor

Kornas prognosvärden är de som visuellt verkar ha hållit sig närmast san-ningen. Den faktiska trenden följs och säsongsvariationen verkar också täckas avmodellen - dock felskattas även dessa värden nämnvärt i mitten av tidsperioden.

2.2 Trend och säsongsvariation

I följande avsnitt undersöks eventuella trender och säsongsmönster i data, förstvisuellt , varefter serierna testas för trend med Mann-Kendalls trendtest.

2.2.1 Säsongsrensning

Nedan visas säsongsrensade data och den estimerade säsongsvariationen inomrespektive grupp.

20

Figur 2.4: Trend och säsong - kalvar

Enligt �gur 2.4 är slakttrenden för kalv från och med sent 1990-tal negativ.Inträdet i EU verkar enligt denna uppdelning ha påverkat åtminstone nivån förkalvslakten, tillfälligt. Säsongsvariationen ter sig minska med tiden, precis somdet förutspåddes vid första anblicken.

21

Figur 2.5: Trend och säsong - tjurar och stutar

Beträ�ande tjur- och stutslakten i �gur 2.5 ter sig trenden negativ och ävenhär �nns antydan till att säsongsvariationen minskat något med tiden. Mindreförändringar kan också ses i säsongsmönstret då månaderna i mitten av åretskiftas något med tiden. Nivån har minskat ganska mycket på senare tid, eftertidigare nämnd dipp. Enligt rensningen verkar nivån ha sänkts efter just dettaminimivärde, varför det är troligt att det ändå beror på andra samhällsfaktorer.

22

Figur 2.6: Trend och säsong - kvigor

Trenden för kvigorna har som gissningen tidigare legat ganska plan över tid.Figur 2.6 verkar inte påvisa att någon monoton trend åligger. Säsongsvariationenverkar inte minska nämnvärt med tiden men månaderna i början på respektiveår ter sig närma sig varandra mer med tiden. Reformen 2005 påverkade nivånendast tillfälligt. Här syns möjligen tecken på samma händelse 2012 som förtjurar/stutar - efter denna tidpunkt verkar nivån ha ökat. Det är dock relativtlite och det är svårt att veta om detta är sammankopplat.

23

Figur 2.7: Trend och säsong - kor

Trenden för koslakten är enligt �gur 2.7 på nedåtgång medan säsongsvaria-tionen verkar stabil över tid. Som anat har koslaktens nivå påverkats minimaltav de faktorer som förändrat de övriga gruppernas nivåer då kornas minskarrelativt konsekvent.

2.2.2 Mann-Kendalls trendtest

I detta underavsnitt följer resultaten av Mann-Kendalls trendtest för respektivenötgrupp. Nedan ses en tabellsammanfattning.

Grupp τ p-värde

Kalvar -0.328 4.1576e-14Tjurar/stutar -0.253 5.4037e-09Kvigor 0.0459 0.29052Kor -0.266 8.7315e-10

Tabell 2.1: Mann-Kendalls trendtest

Som synes fås värdet på τ längst från noll för kalvgruppen, vilket föreslår denstarkaste negativa trenden av grupperna. Värdet närmast noll fås för kviggrup-pen, där inte heller signi�kans fås med p-värdet då detta långt överskrider valdnivå om 0.05. Med hjälp av Mann-Kendalls test för trend kan τ skilt från noll

24

därmed statistiskt påvisas med 95 % säkerhet och därmed trend fastställas förkalvar, kor och tjurar/stutar men inte kvigor. De signi�kanta uppskattade lut-ningarna är som misstänkt negativa.

2.3 Andra gradens polynom DLM med säsongs-

komponenter

Här följer resultaten av prognoser tre halvår framåt med andra gradens polynomDLM. De första 500 dragningarna för varje parameter har använts som burn in,då dragningarna först efter dessa uppnådde en stationär nivå. Prognoserna, med95 % kon�densintervall, är först pålagda på hela tidsserierna för en överblick.Direkt under respektive serie följer en trimmad faktisk serie med prognoser ochintervall, för tydlighetens skull. Alla prognospunkter är bruna och alla intervallär gråa.

2.3.1 Kalvar

Figur 2.8: Prognos - kalvar

Slaktvärdena för gruppen kalvar är ganska små, och på senare tid verkar lutning-en blivit allt mer negativ i förhållande till övriga serier. Detta ger relativt breda

25

intervall för prognosen och därmed ganska osäkra skattningar. Nedan följer allaparameterskattningar.

Parameter Undre, 95 % KI Medel Övre, 95 % KI

σ2 0.1516184 0.1921023 0.2402146σ2β 0.0002388234 0.0006118967 0.0015121059σ2s 0.0005271921 0.0038055316 0.0122886117µt 1.5546304 2.01364552 2.47829006βt -0.1526255 -0.02973922 0.08433551

s(1)t -0.4094813 -0.06938813 0.27530167

s(2)t 0.3789276 0.77761432 1.11740743

s(3)t 0.2343970 0.60084435 0.92486406

s(4)t -0.2090835 0.14216872 0.46149590

s(5)t -0.5758972 -0.24359173 0.10692622

s(6)t -1.1183014 -0.79015341 -0.40524357

s(7)t -1.0434274 -0.71272604 -0.35431520

s(8)t -0.5808969 -0.25011932 0.09008075

s(9)t -0.3675017 -0.02757965 0.31660503

s(10)t -0.1505873 0.19756719 0.52580698

s(11)t -0.2353878 0.09764940 0.44062494

Tabell 2.2: Parameterskattningar - kalvar

Ovan fås

V = 0.1921023

respektive

dW = (0, 0.0006118967, 0.0038055316, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

Lutningen uppskattas som svagt negativ (intervallet täcker dock 0 och sak-nar därmed signi�kans) med µt omkring 2. Säsongskomponterna har generelltlåg inverkan på observationen vid tidpunkt t - mest utmärkande är s(2)t medskattningen 0.7761432 och s(7)t på -0.71272604, som är mest påverkande i posi-tiv respektive negativ riktning. Intervallen för s(1)t , s(4)t , s(5)t , s(8)t , s(9)t ,s(10)t ochs(11)t täcker alla 0 och verkar således inte ha nämnvärd e�ekt på observationenvid tidpunkt t .

26

2.3.2 Tjurar och stutar

Figur 2.9: Prognos - tjurar och stutar

Värdena för tjurar och stutar, som följer en relativt rak trend och ett konsekventsäsongsmönster, ger snävare intervall än kalvarna. Parameterskattningarna:

27


σ2 3.353931 4.077621 4.963806σ2β 0.0001834752 0.0005601071 0.0014000869σ2s 0.0005679712 0.0142465354 0.0614643295µt 15.30455381 16.75051021 18.2470806βt -0.14876776 0.01289145 0.1870622

s(1)t -5.01052916 -3.92251793 -2.7153428

s(2)t -3.40762834 -2.33125540 -1.1247561

s(3)t -0.68553245 0.42333761 1.5296161

s(4)t -0.04858559 1.14129057 2.2172641

s(5)t 2.02135289 3.11682967 4.2170164

s(6)t -0.27083190 0.80627398 1.9832499

s(7)t 1.60629562 2.78737850 3.8263062

s(8)t 1.43595484 2.52997607 3.6523984

s(9)t -1.05550187 0.02516282 1.1825676

s(10)t -0.34252931 0.84777099 1.9162834

s(11)t -3.44766327 -2.31660352 -1.2385176

Tabell 2.3: Parameterskattningar - tjurar och stutar

Observationsvariansen,V , är här större än för kalvarna:

V = −4.077621

dW = (0, 0.0005601071, 0.0142465354, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

Lutningen verkar röra sig kring 0 och µt är något högre här, närmare 17.Säsongskomponterna är mer tydliga i dena grupp - mest inverkan ger s(1)t ochs(5)t . Intervall som täcker 0, skattningar som har liten e�ekt vid tidpunkten t,fås för komponenterna s(3)t , s(4)t , s(6)t , s(9)t och s(10)t .

28

2.3.3 Kvigor

Figur 2.10: Prognos - kvigor

1,5-årsprognosen för kvigslakten med denna metod ger förhållandevis snävareintervall än kalvarna men bredare än tjurarna/stutarna. Parametrar med inter-vall:

29


σ2 0.3080139 0.390197 0.4815030σ2β 0.0001201186 0.0003101181 0.0006887746σ2s 0.0003634561 0.0044667555 0.0190241877µt 4.3919639 4.956374033 5.51727420βt -0.1062701 -0.002090072 0.10083235

s(1)t -0.5479173 -0.008804477 0.41081551

s(2)t 0.9145807 1.422194819 1.83669250

s(3)t 0.3233044 0.740778015 1.16429416

s(4)t -0.8859716 -0.440449800 -0.01375976

s(5)t -1.7238828 -1.314342065 -0.87691615

s(6)t -2.4259575 -2.017278931 -1.59061321

s(7)t -1.6505986 -1.207390751 -0.80637819

s(8)t -0.1668721 0.255550380 0.66479107

s(9)t -0.3112948 0.103888932 0.56012925

s(10)t 0.2725084 0.682139341 1.15941241

s(11)t 0.2249274 0.645266835 1.07850694

Tabell 2.4: Parameterskattningar - kvigor

V och dW är för kvigorna:

V = 0.390197

dW = (0, 0.0005601071, 0.0142465354, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

Positiv lutning uppskattas med Gibbs-samplingen, men är inte signi�kant,och µt hamnar på omkring 5. Säsongskomponterna är mer tydliga i dena grupp- mest inverkan ger s(2)t och s(6)t har mest vikt för tidpunkten t. Komponenternas(1)t , s(8)t och s(9)t får intervall på båda sidor av 0 och är således mindre viktigavid skattning av t.

30

2.3.4 Kor

Figur 2.11: Prognos - kor

Som slutledningen sig bör fås intervall åt det snävare hållet även för korna.Slutligen, parameterskattningarna för kor:

31


σ2 1.501382 1.841878 2.248090σ2β 0.0001312731 0.0003656074 0.0009057352σ2s 0.0006450819 0.0085406890 0.0367670228µt 10.4896177 11.516115243 12.56344135βt -0.1373912 -0.009284408 0.12360160

s(1)t 0.7142099 1.489568454 2.27870637

s(2)t 4.6940768 5.675209263 6.41933979

s(3)t 4.1026762 4.855800755 5.64686450

s(4)t 2.0462469 2.816881626 3.64791774

s(5)t -0.8239521 0.002434472 0.75464760

s(6)t -4.5747913 -3.835477308 -3.05578495

s(7)t -5.5895746 -4.802141968 -4.04753482

s(8)t -4.0891131 -3.356576676 -2.59221062

s(9)t -3.6204670 -2.826704733 -2.03053809

s(10)t -2.3627423 -1.596932079 -0.81246871

s(11)t -1.5097722 -0.750235358 0.06287901

Tabell 2.5: Parameterskattningar - kor

Ovan ses att

V = 1.841878

och

dW = (0, 0.0003656074, 0.0085406890, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

Även här fås med denna metod en lutning kring 0. µt hamnar omkring 11.5.Här verkar säsongskomponenterna vara av stort värde med de största respektiveminsta värdena för alla grupper på s(2)t respektive s(7)t , och endast s(5)t och s(11)t

ger intervall som täcker 0.

2.4 Modellutvärdering

I detta avsnitt presenteras först hur väl residualerna för modellerna följer nor-malfördelningen och sedan presenteras respektive modells MSE. Då ingen be-�ntlig skattningsmodell �nns för kalvgruppen utelämnas följaktligen denna jäm-förelse.

32

2.4.1 Residualfördelning

Figur 2.12: Residualfördelning - kalvar

Kalvarnas residualfördelning ser generellt bra ut för kalvgruppen för samtligamodeller - dock uppvisar alla avvikelser från normallinjen för tidiga och senaresidualer. Modellen med endast andragradspolynom (medelvärde- och lutnings-parametrar) ter sig följa linjen bäst. Dock uppvisar denna modell även residualenmed störst absolutbelopp. Modellen med minst tunga svansar är säsongsmodel-len.

33

Figur 2.13: Residualfördelning - tjurar/stutar

Den be�ntliga modellens residualer för tjur- och stutgruppen tar sig ha följtnormalfördelningen relativt bra, då inga större avvikelser �nns. Dock verkar re-sidualerna aldrig hålla sig helt enligt linjen utan avviker lite hela tiden, vilkettroligen resulterat i ett högt RMSE. Även här verkar säsongsmodellen ha för-hållit sig närmast linjen men när residualerna väl avviker i början och slutet avkurvan avviker de ganska plötsligt. Modellen med endast andragradspolynomverkar också ha avvikit från linjen relativt tidigt medan resiudalerna för denkombinerade modellen ser ut att ha störst avvikelser i form av störst absolut-belopp på residualerna vid ändpunkterna.

34

Figur 2.14: Residualfördelning - kvigor

Även för kviggruppen uppvisas följsamma residualer för den be�ntliga model-len. Andragradsmodellen har inte särskilt stora absolutbelopp för residualernamen följer visuellt normalfördelningslinjen sämst. Högst absolutbelopp fås medden kombinerade modellen. Säsongsmodellen uppvisar liknande residualfördel-ning för denna grupp som för övriga - följsamt i mitten men plötsliga avvikelseri slutet och början av linjen.

35

Figur 2.15: Residualfördelning - kor

Som tidigare är modellen med minst residual-absolutbelopp den be�ntliga.Säsongsmodellen följer åter linjen i mitten men avviker plötsligt i början ochslut. Andragradsmodellen verkar ge tyngst svansar, medan den kombinerademodellen visar upp något mindre generell följsamhet i residualer kontra normal-fördelning.

2.4.2 MSE

Modell Kalvar Tjurar/stutar Kvigor Kor

Be�ntlig - 1.923419 0.3550173 0.8238562Säsong 0.7857718 0.9441843 0.9413296 0.9432508Andragradspolynom 0.9529815 0.9310457 0.9582258 0.9568934Andragradspolynom m. säsong 0.9062564 0.9158925 0.8914191 0.9047642

Tabell 2.6: MSE

Som föregående underavsnitt visade fås för kalvarna lägst avvikelse för residua-lerna för modellen som enbart tar hänsyn till säsong. Längst ifrån noll hamnarmodellen med endast nivå- och lutningsparametrar. Den kombinerade model-len hamnar således i mitten, dock med ett MSE närmre den sämsta modellen,andragradsmodellen, än säsongsmodellen.

36

Tjur- och stutmodellerna ligger generellt nära varandra i MSE. Mest utmär-kande här är den be�ntliga modellen som uppnår ett MSE om hela 1.923419och är således betydligt sämre residualmässigt än modellen med lägst MSE -den kombinerade modellen.

För kviggruppen utmärker sig MSE mest för den be�ntliga modellen, medden ohotat lägsta si�ran om 0.3550173. Modellerna som tar hänsyn till säsongrespektive nivå och trend ligger relativt nära varandra. Näst bäst MSE fås förden kombinerade modellen.

Slutligen fås för korna lägst MSE med den be�ntliga modellen. Högst fås medmodellen som parametermässigt enbart tar hänsyn till nivå och lutning och tättdärefter hamnar säsongsmodellen. Den kombinerade modellen verkar näst bästmed ett MSE väldigt nära tidigare gruppers värde för samma modelltyp.

2.5 Diskussion

Mann-Kendalls trendtest verkar inte ha varit representativt i sammanhanget dåjämförelser mellan tester och visualisering av säsongsrensade serier inte talar församma resultat. Kalvgruppen ska enligt testet vara den grupp med starkast mo-noton trend, men så verkar inte vara fallet efter säsongsrensning. Detta resultatkan bero just på att säsongsmönster föreligger i data, varför Mann-Kendalls testverkar kunna förbises här. Lutningsparametrarna är heller inte signi�kanta i denkombinerade modellen. Vidare gavs sämst resultat, med avseende på residualer,med andragradsmodellen. Detta tyder ytterligare på att trenden som uppskatta-des i Mann-Kendalls test egentligen inte föreligger och att testet är missvisande.Det verkar således som kalvdata bäst modelleras med en modell som endast tarhänsyn till säsongsvariation. Tjur- och stutdata, som med trendtestet skatta-des med minst lutning, uppvisar enligt modellutvärderingen mer tydligt trendän kalvarna, vilka i testet tytt på gruppen med starkast trend. Bäst för dennagrupp verkar vara den kombinerade modellen.

Prognoserna för andragradspolynom-modellen med säsongskomponenter sompresenterades i resultat-kapitlet verkar logiska - det säsongsmönster som verkar�nnas i serierna ser ut att följas och likaså de trender som verkar föreligga. Attmodellen gav intervall lägre än noll för kalvgruppen talar dock sämre resultatför denna tidsserie.

Den be�ntliga modellen för kvigdata uppvisade det utan konkurrens lägstaMSE och ger därmed bäst skattningsmetod för denna grupp. Kogruppens MSElåg generellt nära varandra för alla modeller, dock gavs det lägsta även i dennagrupp med be�ntliga modellen. Även om den be�ntliga modellen är den som- med avseende på residualer - verkar bäst för att modellera �est grupper ochockså uppvisade det lägsta värdet på MSE är det också denna modell som ver-kar mest instabil då tjur/stutmodelleringen också resulterade i det högsta MSE.Faktumet att metoden dessutom ansågs undermålig för skattning av kalvgrup-pen ger modellen låg trovärdighet. Vidare gav säsongsmodellen bäst resultat ien grupp medan den i övriga hamnade på tredje plats. Modellen som verkarmest stabil, med lägsta möjliga MSE, är den kombinerade modellen. Erinras

37

ska också att de tre modellerna som ställts upp i detta arbete inte tar hänsyntill beståndet, varför ytterligare potential för denna modell �nns.

38

Kapitel 3

Slutsatser

� Hur har be�ntliga prognosmodellen beskrivit faktiska data?

Enligt �gur 2.1, 2.2 och 2.3 verkar åtminstone gruppernas trender täckas avskattningssättet. Tydliga felskattningar syns på �era ställen i alla gruppersskattningar - troligtvis som följd av plötsliga skiftningar i samhälle, marknad,ekonomi, regler eller dylikt. Att ta hänsyn till bestånd med kvoter på detta sättger således en grov uppskattning men missar potentiellt viktiga mönster i data.

Residualfördelningen i förhållande till normalfördelningen visade på gene-rellt små absolutbelopp för residualerna men sämre följsamhet i det stora helajämfört med övriga modeller. Då MSE för den be�ntliga modellen visade påbäst residualer för kooch kviggruppen men gav ett avsevärt högre värde förtjur/stutarna än de övriga modellerna gjorde ter sig modellen beskriva faktis-ka data ganska ojämnt. Diagrammen och residualanalysen visar på att hänsynbehöver tas till de senare observationerna - ofta under- eller överskattas slaktvär-den �era prognospunkter i sträck, vilket hade avhjälpts med en mer informativmodell som tar hänsyn till åtminstone senaste värdet. Modellen verkar såledesinte särskilt pålitlig och bör omvärderas.

� Är metoden rimlig och uppfylls EU:s krav på modellen?

Modellen tar hänsyn till djurbeståndet gruppvis för att förklara slaktvärdenaoch i enligt EU:s riktlinjer är endast beståndet är ett krav och andra variablerär bara meriterande, varför man klarar kraven i det avseendet.

Problem �nns dock i datatillgången då historiska data över import och exportav nöt i respektive grupp saknas, detta med motiveringen att dessa värdenär oväsentliga i sammanhanget då endast ett fåtal djur exporteras respektiveimporteras årligen i varje grupp.

Vidare �nns ingen prognosmetod för kalvar, då tillvägagångssättet för övrigadjur inte är applicerbart på denna grupp och anpassning för denna grupp be-dömdes vid framställandet 1998 inte vara mödan värd. Detta är alltså kritisktoch fäller denna metod.

39

� Finns bättre metoder att applicera?

Enligt föregående frågeställningssvar är det av värde att ersätta den be�ntligamodellen med ett bättre alternativ, inte minst då metoden i fråga inte kanmodellera för alla grupper.

Modellen som verkar beskriva data sämst är andragradsmodellen, som intetar hänsyn till säsong, vilket indikerar att säsongsvariationen som visuellt verkarföreligga i tidsserierna är av värde vid prognosmodellering. Modellen som enbarttar hänsyn till säsongsmönster i data och inte föregående observations nivå ellertrend i data har på det stora hela också fungerat relativt dåligt - endast kalvdatagav lägst MSE med denna modell. Den kombinerade modellen, som modellerarbåde med hjälp av trend och säsongsmönster har givit det stadigaste intrycketoch verkar således fungera bäst för att beskriva grupperna, förutsatt att måletär att �nna en gemensam modell för alla fyra tidsserier. Endast slaktvärdenhar använts i detta arbete, men modellen går som nämnt utveckla till en EU-godkänd metod där beståndet involveras, som förhoppningsvis skulle ge mertillfredsställande intervall för kalvgruppen. Med justeringar för samhällsfaktorerkommer modellen även kunna reglera för väntade förhållandeändringar gällandebidrag, lagar, ekonomi eller dylikt.

3.1 Vad som kunde gjorts annorlunda

Fler varianter av dynamiska linjära modeller hade varit av värde att anpassa,för bättre jämförelsemöjligheter. Dessutom hade det varit intressant att mo-dellera med nötbeståndet i beaktning för att få en bättre bild av hur slutligaprognoserna kunde sett ut. Önskvärda variabler som nämnts i uppsatsen hadekunnat vara en del av frågeställningen - vad som kan tänkas vara intressant attinkludera, mer konkret än bara spekulationer. Vidare konsultation med experterkring marknaden hade således kunnat bidra med bättre underlag. Ett Mann-Kendall-test för data med säsongsvariation hade kunnat göras för att tidigarese att trenderna som föreslogs av det utgförda testet inte vara av lika stor viktsom de först verkade - vetskapen om detta test lät sig dock vänta tills efterfärdigt arbete. Vidare hade �er utvärderingsmått kunnat beräknas för bättrejämförelser.

3.2 Felkällor

Inga datamässiga fel ska egentligen �nnas då använd data, slaktvärdena, är fak-tiska värden. Dock �nns alltid risken för odokumenterad slakt, trots att detta skarapporteras. Dessa fall kan troligtvis anses som oväsentliga. I övrigt har behovav datatvätt inte funnits och inga andra överföringar har gjorts. Originaldata ärangivet i antal i tusental, vilket också använts vid modellanpassandet eftersomy-variabeln annars blev för stor för programmet att hantera.

Möjligheten för tryckfel bör nämnas. Flera fel i modelluppställningarna harfunnits i vignetten för dlm-paketet som refereras till i metodbeskrivningen. Des-

40

sa har självfallet avhjälpts i rapporten men risken �nns att �er liknande fel �nns.Detta påverkar dock inte resultaten då inga beräkningar utförts för hand.

Då mycket programkod för modellerna genererats kan även skriptfel �nnas.Koden är dock genomgången �ertalet gånger för att minimera, dock tyvärr intehelt eliminera, denna risk.

41

Kapitel 4

Källförteckning

1. European Commission. 2015. �The Common Agricultural Policy after 2013�.http://ec.europa.eu/agriculture/cap-post-2013/ (Hämtad 2015-05-12).

2. Europaparlamentet och rådets förordning (EG) NR 1165/2008. �Om sta-tistik över besättningar och köttproduktion�. Bryssel: Europaparlamentet.

3. Eurostat. 2015. �Working party on animal production statistics�. Luxem-burg: European Commission.

4. Fahrmeir, L. �State space models: brief history and som recent develop-ments�. http://www.stat.�/isi99/proceedings/arkisto/varasto/fahr0140.pdf(Hämtad 2015-06-04.

5. Jordbruksverket. 2015. �Jordbruksverkets övergripande mål och verksam-het�.http://www.jordbruksverket.se/omjordbruksverket/verksamhetochorganisation/overgripandemalochverksamhet.4.5aec661121e2613852800010081.html (Häm-tad 2015-05-12).

6. Jönrup, H. 1998. �Prognoser av nöt- och kalvslakt�. Jönköping: Jordbruks-verket.

7. Petris, G., Petrone, S. och Campagnoli, P. 2009. �Dynamic linear modelswith R�. New York: Springer.

8. Petris, G. 2009. �dlm: an R package for Bayesian analysis of DynamicLinear Models�. s.18. Fayetteville: University of Arkansas.

9. Petris, G. 2010. �An R Package for Dynamic Linear Models�. Journal ofStatistical Software, 36(12), 1-16. URL http://www.jstatsoft.org/v36/i12/.

10. R Development Core Team. 2008. �R: A language and environment forstatistical computing. R Foundation for Statistical Computing�. Vienna,Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org.

42

11. Western university. �Appendix: Mann-Kendall Trend Tests�.http://www.stats.uwo.ca/faculty/mcleod/2003/DBeirness/MannKendall.pdf(Hämtad 2015-06-04).

43

Kapitel 5

Bilagor

5.1 Ekvationsuppställningar

Generell uppställning enligt metodbeskrivningen, kombinerad modell:

Yt ={Ftθt + vt, vt ∼ Nm(0, Vt) (5.1)

θt ={Gtθt−1 + wt, wt ∼ Np(0,Wt) (5.2)

För alla grupper:

Ft =[1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

](5.3)

Gt =

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

(5.4)

44

5.1.1 Kalvar

V = 0.1921023 (5.5)

W =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0006118967 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.0038055316 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

. . .. . .

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(5.6)

θ =

2.01364552−0.02973922−0.069388130.777614320.600844350.14216872−0.24359173−0.79015341−0.71272604−0.25011932−0.027579650.197567190.09764940

(5.7)


V = 4.077621 (5.8)

W =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0005601071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.0142465354 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

. . .. . .

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(5.9)

45

θ =

16.750510210.01289145−3.92251793−2.331255400.423337611.141290573.116829670.806273982.787378502.529976070.025162820.84777099−2.31660352

(5.10)

5.1.3 Kvigor

V = 4.077621 (5.11)

W =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0005601071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.0142465354 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

. . .. . .

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(5.12)

θ =

4.956374033−0.002090072−0.0088044771.4221948190.740778015−0.440449800−1.314342065−2.017278931−1.2073907510.2555503800.1038889320.6821393410.645266835

(5.13)

46

5.1.4 Kor

V = 1.841878 (5.14)

W =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0003656074 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.0085406890 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

. . .. . .

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(5.15)

θ =

11.516115243−0.0092844081.4895684545.6752092634.8558007552.8168816260.002434472−3.835477308−4.802141968−3.356576676−2.826704733−1.596932079−0.750235358

(5.16)

47

5.2 Prognoser med intervall

5.2.1 Kalvar

Månad Undre, 95 % PI Medel Övre, 95 % PI

Jan 2015 1.800025953 2.2659665 2.731907Feb 2015 1.503881047 2.0524707 2.601060Mar 2015 1.470043982 2.1103721 2.750700Apr 2015 1.124489125 1.8645027 2.604516Maj 2015 0.758242323 1.6050373 2.451832Jun 2015 0.165949274 1.1259783 2.086007Jul 2015 -0.047142438 1.0320765 2.111295Aug 2015 0.330918474 1.5348893 2.738860Sep 2015 0.545903532 1.8798690 3.213834Okt 2015 0.829552982 2.2984908 3.767429Nov 2015 0.837608653 2.4462729 4.054937Dec 2015 -0.152823898 1.6001284 3.353081Jan 2016 0.004783366 1.9064175 3.808052Feb 2016 -0.361640033 1.6929217 3.747483Mar 2016 -0.460779766 1.7508231 3.962426Apr 2016 -0.867684780 1.5049537 3.877592Maj 2016 -1.292072275 1.2454883 3.783049Jun 2016 -1.939840873 0.7664293 3.472700



Jan 2015 12.24193 13.60045 14.95897Feb 2015 13.03676 14.50271 15.96867Mar 2015 16.06041 17.64055 19.22070Apr 2015 15.16122 16.86185 18.56249Maj 2015 17.55710 19.38409 21.21109Jun 2015 17.63627 19.59513 21.55399Jul 2015 15.62240 17.71833 19.81425Aug 2015 17.77959 20.01750 22.25541Sep 2015 15.62067 18.00523 20.38980Okt 2015 14.82479 17.36048 19.89616Nov 2015 11.90141 14.59249 17.28356Dec 2015 10.23226 13.08283 15.93340Jan 2016 10.77198 13.78600 16.80002Feb 2016 11.50697 14.68827 17.86956Mar 2016 14.47384 17.82611 21.17838Apr 2016 13.52057 17.04741 20.57425Maj 2016 15.86474 19.56965 23.27456Jun 2016 15.89431 19.78069 23.66706

48

5.2.3 Kvigor



5.2.4 Kor



49

LIU-IDA/STAT-G--15/014—SE

Documents

Svensk bruttoproduktion för nötkreatur