124/05

NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING

NR. 24 JULI 2005

M A T I L D E

Tema:

Matematik i Norden:

Sverige

2 24/05

Bent Ørsted

LederLeder

Mange kender nok Benny Andersen og Poul DissingsSvantes Viser og måske også Svantes længsel efter at be-søge Sverige - og glemme alt det onde, i lyse birkelunde- men desværre bliver han let søsyg. Nu kan Matildeslæsere jo bare køre over den nye Øresundsbro (se forsi-debilledet), eller også læne sig yderligere tilbage i sto-len, idet temaet for dette nummer af Matilde netop erSverige, under overskriften Matematik i Norden (og vihermed har startet en serie om de nordiske lande). Medsærlig tak til Ulf Persson (Chalmers, Göteborg) for re-daktionel hjælp har vi samlet nogle indtryk fra den se-neste tids debat i Sverige, og vi har fundet svenske bi-drag til både et fagligt og kunstnerisk (!) fokus på mate-matik. Nu kan et enkelt tema i Matilde naturligvis ikketegne andet end et omrids af svensk matematik; forhå-bentlig vil læseren selv få lyst til at Google sig vej lidtlængere, eller evt. se på f. eks.http:\\www.matematikdelegationen.gov.se, hvor denofficielle baggrund for en del af indlæggene nedenforomtales.

Det er snart 25 år siden vi i Danmark havde den stortanlagte konference, Landsmøde om Matematikken i Dan-mark, nogle dage i starten af maj måned 1981. Her blevdiskuteret og afrapporteret om snart sagt alle aspekteraf dansk matematik, lige fra didaktiske spørgsmål overanvendelser til uddannelsen af unge forskere. Det blevet digert materiale, redigeret af ildsjæle, og mange syns-punkter herfra er stadig interessante. Initiativet kom fraDansk Matematisk Forening, som jo også siden har leve-ret stof til debatter. På en hel anden måde, men alligeveli en parallel hertil, har der i de seneste to år i Sverigeværet søgelys på matematikken; den svenske regeringtog initiativ til en større debat og behandling af matema-tikkens rolle og fremtid i samfundet, idet den nedsatteden såkaldte Matematikdelegation. Hvis man følger lin-ket ovenfor kan man læse hele betænkningen som dele-gationen udgav for ca. et år siden - og finde mange vær-difulde tanker om (sic side 85)...matematikken...som vi-denskabeligt værktøj og dens status som verdens størsteuddannelsesemne. Motivationen for delegationens arbej-de er, at Sveriges stilling som en ledende industrinationhviler på teknisk og naturvidenskabelig kunnen, og atmatematik er et nøgleemne når det gælder fremtidensstuderende. (Mon ikke der ringer en klokke og spores etekko i vores hjemlige debat?)

I dette nummer af Matilde kan vi således lytte lidt med iden diskussion, der har fundet sted i kølvandet på ma-tematikdelegationens arbejde; man skal ikke opfatte detsådan at Matilde står inde for de fremførte synspunkter,kun at vi som gode naboer følger med og tænker over,om vi kan bruge nogle af argumenterne selv. Som detfremgår af et blik på gymnasie- og universitetsverdenen,er der store forskelle mellem Danmark og Sverige på fle-re punkter. Men vort fags stilling i videnskab og uddan-nelse er sammenlignelig.

Her er en kort omtale af nogle af temaets artikler: AnetteJahnke er gymnasielektor og medlem af matematikdele-gationen; hun giver et personligt indblik i mødet medeleverne. Andre fra delegationen præsenteres journali-stisk af Ulf Persson i en rundbordssamtale før de gik igang med det egentlige arbejde. Sten Kaijser har nogletanker om matematikken som levende videnskab (skre-vet før ICME i København), og Said Irandoust (ordfø-rende for matematikdelegationen) giver sine egne argu-menter for at det er på høje tid at satse på matematik.Som en del af det svenske tema anmeldes Anders Karl-quists bog om Hilbert og hans problem af dels Ulf Pers-son og dels Bengt Svensson. Jan Boman har skrevet ar-tiklen om Magnetic resonance imaging, og Ulf Perssonhar interviewet Arild Stubhaug, kendt for sine biografi-er af nordiske matematikere. Svenska Matematikersam-fundet har udarbejdet et (mere eller mindre) officielt svartil matematikdelegationens handlingsplan, og det brin-ger vi også her (der har ogsaa været mere kritiske svar,bl.a. gående på at gøre mere for at fjerne “kundskabs-fjendtlige holdninger i skolerne” osv. men som man kanse, er der nok allerede at diskutere). Endelig har den kend-te didaktiker Gerd Brandell en reaktion på bl. a. den ny-lige PISA rapport. Lars Gårding har skrevet et manuskripttil et teaterstykke, hvor bl.a. John von Neumann har enrolle; stykket har været opført, endda på Dramaten, sehttp://www.matematik.lu.se/LMS/varen99.html

Som sagt handler dette nummer om Sverige; men monikke man kunne få den tanke, at tiden også i Danmark ermoden til en fornyet indsats for matematikken som fagog videnskab, i forlængelse af arbejdet/rapporten ommatematikken og kompetencerne af Mogens Niss et al.?

324/05

Matilde – Nyhedsbrev forDansk Matematisk Foreningmedlem af EuropeanMathematical Society

Nummer 24 – Juli 2005

Redaktion:

Bent Ørsted, AU(ansvarshavende)

Bent Ørsted(TEMAREDAKTØR)

Carsten Lunde Petersen, RUCJørn Børling Olsson, KUPoul Hjorth, DTUMikael Rørdam, SDUCarl Winsløw, KU

Adresse:

MatildeMatematisk AfdelingKøbenhavns UniversitetUniversitetsparken 52100 København Ø

Fax: 3532 0704e-post: matilde@mathematics.dkURL:www.matilde.mathematics.dk

ISSN: 1399-5901

Matilde udkommer 4 gange omåret

Indlæg til næste nummerskal være redaktionen i hændesenest 21. oktober 2005

Tema: Matematik i Norden: Sverige

Anette JahnkeI huvudet på en gymnasielektor .......................... 4

Ulf PerssonDiskussion med matematikdelegationen ............. 5

Sten KaijserMatematikken en levande vetenskap .................. 7

Said IrandoustHög tid att satsa på matematik ............................ 9

Ulf PerssonÅrhundradets matematik ................................... 11

Bengt SvenssonNågra tankar runt Anders Karlquists bokom Hilbert och hans problem ............................ 13

Jan BomanOm magnetkameran,Magnetic Resonance Imaging, MRI ................... 14

Ulf PerssonIntervju med Arild Stubhaug .............................. 16

Remissvar angående Matematikdelegationensbetänkande “Att lyfta matematikken” ............... 18

Gerd BrandellGör om gymnasiematten! .................................. 22

Lars GårdingMatematikken, livet og døden ................................ 23

Uddannelsesfronten

Gerd BrandellEn svensk forskarskola i matematik medämnesdidaktisk inriktning .................................. 29

MatematikerNyt ....................................................... 31

Begivenheder ........................................................... 31

Aftermath ................................................................. 32

Indhold:

Foto på forsiden: Øresundsbroen

4 24/05 Tema

Mitt namn ar Anette Jahnke och jag ar invald som den ”femteledamoten” i samfundets styrelsen. Jag vill har presentera migsjalv genom att beratta om en del av mina erfarenheter fran attundervisa bade pa gymnasium och universitet.

Jag arbetar sedan 2000 som gymnasielektor i matematikvid Hvitfeldtska gymnasiet i Goteborg. Dar undervisarjag samt leder matematikinstitutionen. Hvitfeldtska harungefar 2000 elever och 180 larare, varav 25 matem-atiklarare. Vi har enbart teoretiska program (natur,samhall, handel, estetiskt, IB) och jag har undervisat pade flesta av dessa. Jag tog min licentiatexamen hosten1999 vid Matematiska Vetenskaper, GU/Chalmers inomalgebraisk talteori. Jag har aven utvecklat en ny 5-poangskurs vid GU, Glimtar ur algebrans historia, som ges somsommarkurs.

Jag har alltid drivits av en stor naiv undran over varforinte alla tycker matematik ar kul och varfor de tycker attdet ar sa svart. Under min grundutbildning studerade jagdidaktik pa somrarna vid GU. Jag borjade undervisa somnybliven doktorand. Att undervisa sag jag som intressantoch utmanade. En av de forsta kurserna jag undervisadepa var en en-veckas repetitionskurs av gymnasiematem-atiken infor matematikstudier vid GU. Jag fick en A4-sidadar innehallet specificerades av den kursansvarige. Ly-dig som jag var korde jag igang helt enligt instruktion-erna. Efter den forsta forelasningen kommer det fram enstudent till mig och sager pa rungande goteborgska: ”Vagor du nar du inte ar har da? Kor du angvalt da, eller ?”

Kanslan av att ha blivit overkord av en angvalt tror jagmanga har upplevt som borjat studera matematik viden hogskola/universitet. Overgangen mellan gymna-sium och hogskola ar nagot jag ar mycket intresseradav. Hur val insatta ar vi i varandras verksamheter?Hur forbereder gymnasiet studenterna bast? Hur tarhogskolan emot dem pa basta satt? Trots all debatt ombrist pa forkunskaper, sa har vi, pa kort sikt, de studentervi har och maste ta hand om dem pa basta satt.

Det blev nog lite av en kulturchock nar jag borjade un-dervisa pa gymnasiet. Lat mig beratta om tva episoder.

Efter en utforlig (enligt min mening) genomgang vidtavlan fragade jag klassen: ”Har ni nagra fragor?” En tjejviftade ivrig med handen och fragade: ”Var har du koptdina byxor? Dom ar urlackra!”

Vad man snabbt lar sig ar att det finns manga konkretasaker som konkurrerar om elevernas uppmarksamhet.Mitt i elevens vardag skall vi fa elevens uppmarksamhetpa nagot sa abstrakt som matematik. Om man da en-bart kor pa med matematiken ratt upp och ner sa harjag full forstaelse for att den upplevs som obegriplig

och ointressant. Det galler att forbereda varierade lek-tioner som engagerar eleverna, griper tag i dem och farde koncentrerade. Vilket inte ar en latt uppgift! For attgora matematiken mer begriplig och greppbar anser jagatt det ar nodvandigt att vi som larare har en formagaatt diskutera med eleverna OM matematik. Att vava infoljande fem punkter i sin undervisning tror jag ar my-cket viktigt (aven pa hogskolan!)

matematikens historia - att matematiken faktiskt haren historia

matematikens uppbyggnad, vad ar axiom, bevis,sats, definitioner

hur man kan utveckla ett begrepp. I nasta kurs? Vadgors pa hogskolan? Inom forskningen?

moderna tillampningar

hur man loser problem

En annan episod intraffade i en mycket duktig naturve-tarklass. Mitt i en genomgang avbryts jag av en elev somsager: ”Nu forstar jag ingenting av vad du gor! Eller vadsager ni?” fragar eleven sina klasskompisar. Allt fler hu-vud borjar nicka. ”Vi fattar ingenting!”.

Skulle detta kunna handa pa hogskolan? Min erfaren-het ar att studenterna ar knapptysta pa hogskolan. Men”angvaltspedagogik” fungerar inte pa gymnasiet. Elev-erna ifragasatter och kraver forklaringar. Det ar en stortillgang som larare att ha frisprakiga, och oppna elever.Jag kan fraga dem vad det ar som de egentligen inteforstar och vi kan tillsammans bena ut problemen. Attskapa en atmosfar dar det inte existerar dumma fragor armycket viktigt. Eleverna skall kunna fraga vad de vill,och fa berom nar de tar steg framat i sin egna matema-tiska utveckling. De lar sig matematiken och jag lar mighur fantastiskt olika vid kan tanka kring olika begrepp.Dessutom ar de fragor de staller oftast bade matematisktoch pedagogiskt utmanande for mig. Men det galler attlyssna mycket noga for att upptacka djupet i deras fragor.

Nar jag borjade undervisa pa Hvitfeldtska kom jag somen person som brann for amnet matematik. Nu efter trear brinner jag for manniskor och matematik. Det ar tillsam-mans som vi lar oss matematik. Det finns inget roligarean nar bade eleverna och jag utbrister ”A-ha!!”

Avslutningsvis vill jag tacka for fortroendet att bli invaldi styrelsen.

Anette Jahnke

I huvudet på en gymnasielektor

Anette Jahnke

524/05Matematik i Norden: Sverige

Narvarande: Ordforande Said Irandoust, sekreterareBengt Johansson samt medlemmen Christer Kiselman,samt vid pennan Ulf Persson1.

Ulf Persson: De direktiv som angetts av regeringen armycket allmanna och besitter darmed en stor tolknings-latitud. Det talas dock om vikten att forankra han-dlingsprogrammet hos regeringen, betyder detta att detingar implicita ideologiska direktiv?

Said Irandoust: Givetsvis maste handlingsprogrammetforankras hos regeringen, det ar ju politikerna somhar sista ordet nar det galler beslut och fordelningav resurser. Men delegationen ar helt fristaende franpartipolitiska overvagande och har ingen ideologiskoverrock, det ar ingen politiskt tillsatt delegation pa detsattet.

Bengt Johansson: Vi hoppas naturligtvis att regeringenskall bli nojd med vart arbete, - men framfor allt Sverigeselever, larare och foraldrar. Vi forsoker samla in insik-ter och asikter. Folkpartiet har t.ex. tagit fram ett forslagom matematiken i skolan. Andra exempel ar fran fragor,motioner och interpellationer i riksdagen dar sarskilt Kdsskolpolitiker har varit aktiva, vilket var utbildningsmin-ister uttryckt uppskattning for2.

UP: Ostros har ju i en debattartikel talat om att skolansframsta mal ar att overbrygga klyftorna i samhallet.Detta ar ju en mycket behjartansvard ambition som detvore grymt att motarbeta; men vad betyder detta ikonkreta termer? Skolan har ju tva mal, dels indivi-dens sjalvforverkligande, och dels samhallets behov avkompetens och duglighet. Dessa mal omsom forstarkervarandra, omsom star i motsatsforhallande till varandra.Om nu ett av de overgripande malen ar att gora Sverigeledande inom naturvetenskap, hur rimmar det med dennuvarande ideologin att allt som kan upplevas sasom ’eli-tistiskt’ maste rensas bort?

SI: Jag ser inte nagon motsattning. Alla skall bli battre,men givetvis skall de duktiga fa all uppmuntran.

BJ: Ostros har tillsatt en Tilltradesutredning. I direktivensags bl.att det skall ”lona sig” att lasa matematik. Eleveri gymnasieskolan skall uppmuntras till att valja kurser i

matematik och sprak i storre utstrackning an i dag.3

UP: Det forslag till Gymnasieproposition som presenter-ats har ju utsatts for mycket hard kritik, ar det inte enfara att om denna proposition gar igenom innan maj 4 attdetta kommer att drastiskt lasa delegationens utrymme?

BJ: En mycket bra fraga. Vi har stallt oss densamma ochfoljer naturligtvis arbetet med propositionen med stortintresse. En sammanstallning av alla remissvaren vantasi september. Ansvaret for utvecklingen av kursplaner lig-ger pa Skolverket sa man ska inte vanta sig att propositio-nen tar upp sarskilt mycket om matematiken. Vi hoppasoch tror att vart arbete kommer att kunna paverka gym-nasiepropositionens utformning nar det galler denna del.

SI: Redan i januari, nar arbetsgrupperna ar fardiga medsitt arbete, skall vi gora en sammanstallning, vilket kom-mer den pagaende diskussionen om gymnasiepropositio-nen tillgodo.

BJ: Jag betonar att delegationen arbetar mycket oppet.Vi tar tacksamt emot alla forslag och bearbetar demforutsattningslost.

UP: En annan fraga ar ju hur forandra attityder tillmatematiken. Matematiken ar ju ganska osynlig forden stora allmanheten. Oftast upplevs den som bara enformell och oftast missvisande sifferexercis.

SI: Att pasta att man inte kan rakna anses ofta fint,daremot skulle alla skammas att erkanna att de inte kanlasa eller skriva.

BJ: Maria Borelius5 vars bord detta ar, papekar att oin-tresset for matematik kan ligga i att den ar okontrover-siell, ingen ifragasatter den, alla tycker att den ar viktig.

Christer Kiselman: I Vetenskapsradion forekommervarje dag nyheter om forskning, mest om medicin, bi-ologi och teknik, men ytterst sallan matematik. Detta arett forhallande som har manga orsaker; allmanhetens bri-stande intresse ar sakert ett, journalisternas okunnighetett annat. Men en orsak ar sakert ocksa att forskarna imatematik inte ”gar ut”, som det heter, med sina resul-tat. Det som skulle fordras ar en attitydforandring badehos forskarna, journalisterna och allmanheten. En tulipa-naros, kanske, men vi maste borja nagonstans. Delegatio-

1Under intervjun fordes inga anteckningar, ej heller nagon bandupptagning. Strax efter intervjun gjorde jag nagra minnesanteckningar, ochskrev sedan ner parafraser pa vad som hade sagts. Man skall alltsa ej se detta som ett protokoll utan som en redigerad rapport. Darvid tog jag migvissa friheter. T.ex. Christer Kiselman skulle aldrig i verkliga livet avbrutit nagon i talet. Givetvis har de berorda sett intervjun och fatt tillfalle attomformulera sina inlagg

2Fortlopande information ges pa delegationens hemsida http://www.matematikdelegationen.se3For info om utredningen se delegationens hemsida4Delegationen skall presentera sitt handlingsprogram innan den 28 maj5Nytillsatt ordforande for den sjunde arbetsgruppen, den som vander sig mot samhalle, bildning och demokrati

Diskussion medmatematikdelegationen

Ulf Persson

6 24/05 Tema

nens forsta uppdrag ar att foresla atgarder som kan ledatill en attitydforandring.

UP: Men vi har ju stora svarigheter med kommunikatio-nen. Alla kanner ju till galaxer, virus, atomer; men mankan ju aldrig ta for givet att manniskor i allmanhet kannertill vad en grupp ar. Du gjorde ju sjalv for en tid sedanen malande parodi pa hur Atiyahs matematiska foredraginfor KVA (som trots allt bor besta av Sveriges ledandevetenskapsman) skulle ha tett sig om det oversatts till bi-ologi. Radio och andra medier i all ara, den viktigasteformedlaren av matematisk kultur ar trots allt skolan.Problemet med matematiken ar att dess fenomen inte armanifesta pa samma satt som naturvetenskapen. Desscharm ligger pa ett annat plan, namligen att resonera ochforsta.

BJ: Detta ar mycket riktigt. Elever har ofta rapporteratom just denna gladje i att kunna forsta. Senast, forresten,dokumenterat i Skolverkets rapport ”Lusten att lara medfokus pa matematik”.

UP: Det ar en sadan betoning pa lust. Kan lustforekomma utan plaga? Maste inte i all inlarning ett ele-ment av trakighet inga, som endast kan overvinnas medhjalp av disciplin. Att skolan ofta ar trakig vittnar ju dengamla skolagan om [allmannt skratt] som hade som syfteatt paminna eleverna om att det fanns an varre saker aninlarning.

SI: Man har gjort undersokningar. Man kan antingen larasig av lust eller radsla. Till synes ar bagge drifterna likaeffektiva, men det man lar sig av radsla forsvinner my-cket snabbare, det har sa att saga en betydligt kortarehalveringstid.

UP: Jag talar val inte sa mycket om radslan som omtrakigheten. I allt seriost arbete ingar trakighet.

SI: Jag marker att mina dottrar har en helt annan attitydan vad jag hade som elev. Dagens samhalle ar mycketannorlunda fran det jag vaxte upp i. Vi kunde accepteraatt ha trakigt, men nu ar det sa mycket som pockar ochstimulerar. Detta kan vi inte bortse ifran.

UP: Ligger inte denna attityd matematiken i fatet?

BJ: Kanner du till skollagen?

UP: [Skamset] Nej.

BJ: I skollagen och skolformsforordningarna finns detmycket stora utrymmen for mer matematik -for attbredda och fordjupa sina kunskaper - i.tex. i ”Elevensval” och ”Skolans val”. Men skolledarna tar oftast inte tillvara alla de mojligheter lagen inte bara medger utan di-rekt uppmuntrar och foreskriver. Har maste det till merainformation, mod och kreativitet.

UP: Det star sa mycket hogtidligt i lagar och forordningar.Kruxet ar att skolledare inte langre ar akademiskt tillsattasom de gamla rektorerna, och darmed kan man knappastforvanta sig att de skall tanka i slika banor.

SI: Lararens betydelse ar fundamental. Tva komponenteringar i lararrollen, dels de gedigna amneskunskaperna

och dels personligheten, formagan till inlevelse i elevenssituation. Brister i personligheten kan kompenserasmed amneskunskaper, ty elever ar toleranta; dock kanaldrig bristande amneskunskaper kompenseras av per-sonligheten, hur vinnande den an ma vara.

BJ: En nyligen genomford undersokning visade just huroerhort viktiga amneskunskaperna var for en larare - inteminst i matematik. Forskare i pedagogik som genomforststudien uttryckte forvaning over dessa resultat. Detgjorde inte vi.

UP: Positivt eller negativt?

BJ: En matematiklarare behover kunna kanna till hurelever tanker, och har kommer faktiskt, som du namnde,grupp-teorin in. Manga elever tanker i grupp-teoretiskatermer, och det galler for lararen att igen kanna detta -och bygga vidare pa denna grund. Matematikkraven foren ingenjor ser ju helt annorlunda ut an for en larare.

UP: Ar det inte underligt att med denna betoningpa amneskunskaperna hos lararna, dessa systematisktmarginaliseras i den reformerade lararutbildningen.

BJ: Detta stammer inte. Det finns gott om utrymme forokad amnesundervisning.

UP: Men klimatet ar inte sadant. Lagar och forordningarar ju bra, men det ar implementeringen som galler. Dettakan ju illustreras av att manga av reformerna i skolan harju fordrojts, ibland omojliggjorts av larare som hallit fastvid det gamla, och kanske i de allra flesta fall har dettavarit en valsignelse.

SI: Det stammer nog, troghet kan ibland vara av godo omdet medfor reflektion, eftertanke och sjalvrannsakan.

UP: Lararnas status har ju eroderats under manga ar.

CK: Men inte bara for larare. Kungar och praster har jufatt uppleva att deras aktning och inflytande dalat bety-dligt mera drastiskt.

UP: Under en lang tid var ju prastyrket den naturligavagen for den bildningstorstade ynglingen. Manga avgeologerna och palenteologerna i England under borjanav 1800-talet var ju praster. Senare blev det lararyrkettill vilka de sokte sig. Matematiklarare fram till 50- och60-talet hade oftast varit matematiska skolljus bland sinaklasskamrater, numera fruktar jag att detta snarare hortill undantagen an reglerna. Detta maste ha fatt genom-slag nar det galler attityder till matematiken. Vad viskulle behova vore lektorer i matematik pa gymnasierna,vi pa universiteten har en stor outnyttjad kapacitet att ut-bilda sadana.

BJ: Skulle manga av doktoranderna vara villiga att gaut i skolorna? Forresten aligger det kommunerna att istorsta mojliga man anstalla forskarutbildade larare. Menkommunerna vagrar. Det ar for dyrt, istallet forsoker dekomma undan sa billigt som mojligt. Det ar sorgligt. Situ-ationen ar speciellt prekar for matematiken. Vid en studiesom jag gjorde for ett antal ar sedan uppdagades det attdet fanns bland fysikerlararna pa gymnasiet tjugo gangersa manga lektorer som det fanns i matematik.

724/05Matematik i Norden: Sverige

UP: Kanske det vore rentav lage att riva upp kommu-naliseringen av skolan! Men detta ar val helt orealistiskt.For att aterga till lektorerna. Fysiker har betydligt mindremojlighet att undervisa pa universiteten an matematiker.Och jag anser att tillvaxten av alla smauniversitet har tillstor del ersatt gymnasierna.

SI: En del larare rekryterades ju fran gymnasierna tillde nya hogskolorna vid starten. Men numera kravsocksa forskningsmeriter vid de flesta lararrekryteringartill dessa hogskolor.

BJ: Det stammer. Goda gymnasielarare sugs ofta upp avdessa.

UP: Det ar en olycklig trend att undervisningen skjutsupp allt mer i stadierna. Den gamla gymnasieundervis-ningen bedrivs nu i universitetens regi, medan gym-nasierna sysslar med vad grundskolan tidigare befttadesig med. Detta ar ett sloseri av resurser.

BJ: Det stammer inte riktigt. Detta med diagnostiskaprov. En ny undersokning visar att visserligen kan gym-nasieeleverna vara daligt forberedda i jamforelse medtidigare, men efter nagra veckors god undervisning vidhogskolan kan en stor del av detta gap overbryggas. Detfinns saledes ingen anledning till att vrida sina hander ifortvivlan.

UP: Men om detta ar sa latt att atgarda, varfor gors detinte tidigare? Nar det galler matematikers inflytandepa laroplaner sa blev val denna omojlig efter den NyaMatematiken.

BJ: Jag anser detta vara overspelat. Och dessutom kas-tades mycket gott ut med badvattnet. Matematiker armycket valkomna med nya ideer. Problemet var valatt de gamla adjunkterna pa grundskolan och gymnasietstallde sig mycket skeptiska och satte sig aldrig in i dennya matematiken.

UP: Jag kanner till undantag. Annars finns det mangauppenbara exempel pa nygammal fornyelse inom skol-matematiken. Aterinforandet av geometrin t.ex. Den arju askadlig, och innefattar manga relativt subtila, mendock intuitiva begrepp sasom yta.

BJ: Till slut skulle jag vilja vadja till Samfundets medlem-mar, bland vilken jag sjalv ar en standig medlem...

CK: Jag ar bara medlem tills jag dor.

BJ: ...att komma med forslag till delegationen och dessarbetsgrupper. Vi ar oppna for alla forslag. Delega-tionens arbete star och faller med responsen fran allaberorda. Detta ar ett ypperligt tillfalle att satta matem-atiken i fokus och fa gehor hos statsmakterna. Grip dettatillfalle!

For oss matematiker ar det uppenbart och sjalvklart attmatematiken ar en levande vetenskap. For oss ar detocksa en vetenskap som under de senaste 50 aren befun-nit sig i snabb utveckling, och vi ar overtygade om att denkommer att fortsatta att utvecklas sa langt in i framtidensom vi kan se.

Men hur sprider vi den bilden till omvarlden? Vad seromvarlden av var levande vetenskap?

Svaret beror naturligtvis atminstone delvis pa vilkenomvarld vi menar. Det finns forvisso manga icke-matematiker som vet ganska mycket om vad som pagar,men de ar tyvarr en liten andel av (exempelvis) Sverigesbefolkning. I den andra anden finns de som aldrig traffatpa nagon matematik alls utanfor skolan, och som darmedfatt hela sin uppfattning om matematiken ifran sin egenskoltid. Daremellan finns det olika grader av kunskap,saval matematisk, som om matematik.

Generellt galler att omvarldens uppfattning om matem-atiken huvudsakligen grundas pa i tur och ordning: skol-matematik, hogskolematematik och popularmatematik.

For att forsta vad denna bakgrund ger for en uppfat-tning om matematiken sa kan vi borja med att noteraatt i all matematikundervisning (utom mojligen vidforskarhandledning) sa presenteras matematiken somom

sa har ar det

sa har har det alltid varit

och

det har man alltid vetat.

Dessutom sa ar den matematik som forekommer i skolor(och ofta aven i grundlaggande kurser pa hogskoleniva)som regel manga hundra (den allra forsta rentav tusen-tals) ar gammal.

Sa hur skulle nagon med endast denna erfarenhetav matematik overhuvudtaget kunna forestalla sig attmatematiken lever och fortfarande utvecklas?

Matematikken enlevande vetenskap

Sten Kaijser

8 24/05 Tema

Kort sagt, det intryck som ges ar att matematiker sitteroch forsoker losa urgamla problem, som (formodligen)inte kommer att vara till nagon som helst nytta.

Man kan naturligtvis fraga sig om det spelar nagon rollvad omvarlden tycker och jag tror att det gor det. Pa kortsikt spelar det roll vid utdelningen av forskningsstod ochpa langre sikt spelar det roll for nyrekryteringen av ungamatematiker.

Vad kan vi gora?

Forst och framst sa ska vi vara tacksamma mot de fa am-bassadorer vi har. Vi maste uppskatta dem som pa olikasatt populariserar matematiken, inte helt oavsett hur degor det, men nastan. I detta sammanhang vill jag ocksabetona att oberoende av vilken uppfattning var och enma ha utav matematikdidaktik, sa ar det vart att noteraatt manga som kallas didaktiker faktiskt ar utmarkta am-bassadorer for matematik.

Vi ska ocksa ta till vara de gratismojligheter vi erbjuds.Detta innebar bl.a. att vi maste forsoka att utnyttja ex-empelvis Abel-priset till att verkligen beratta om modernmatematik!

Aven om vi kan ha svart att fa in populara artiklar ommatematik i tidningar och tidskrifter, sa bor vi atminstonese till att alla populara bocker om matematik far en recen-sion i den lokala tidningen i varje universitetsstad.

var viktiga forutsattningar for exempelvis kvantmekanik,relativitetsteori och datorer.) Detta ar ocksa ett av deframsta argumenten for att aven dagens matematiskaforskning ar viktig.

Avslutningsvis skulle jag ocksa onska att vi oftare skullebetona den roll som matematiken spelar for det sombrukar kallas den vetenskapliga varldsbilden. En storre

Det ar ju t.o.m. sa att de fa ganger som matematikenuppmarksammas i media sa forstarks narmast intrycketav att matematiken ”ar mossig” for vad ar det somuppmarksammas – jo, vanligen att ett problem ifran ar1900 eller tidigare blivit lost. Vi vet ju att detta beror paatt ”tekniken gatt framat” sa att dagens matematiker haren helt annan arsenal av tekniker att tillga nar de studerargamla probllem, men detta kommer inte fram i medierna.

roll an de allra flesta anar. Grunden for det vetenskapligasynsattet ar namligen att alla vetenskapliga teorier ar pro-visoriska – vi vet inte om fysikens grundlaggande ekva-tioner ger den ratta beskrivningen av verkligheten. Det vidaremot ar sakra pa, det som skulle kunna kallas fysikens0:te postulat, ar att om dagens ekvationer inte ar de rattasa kommer de att ersattas av andra matematiska ekva-

tioner.

I sommar far vi ocksa fler chanser i samband med att vihar bade 4ecm i Stockholm - tillsammans med ett antalsatelliter - och ICME10 i Kopenhamn.

Eftersom jag ar huvudansvarig for en av dessa satel-liter, namligen den som kallas HPM (uttytt History andPedagogy of Mathematics) ar det naturligt for mig attocksa betona matematikens historia. Trots vad jag skrevovan om en ”mossig vetenskap som studerar urgamlaproblem”, sa tror jag namligen att var historia kan bidratill att ge en forestallning om en levande vetenskap.Detta av atminstone tva anledningar. Den forsta aratt det visar sig att aven gammal matematik utveck-las, och den andra ar att en hel del av den matematiksom faktiskt ”flimrar forbi” ofta ar forvanansvart ung.Ett tredje skal, och det som en gang var anledningentill att jag borjade intressera mig for matematikens his-toria, ar att manga vetenskapliga ideer som ar viktigaidag, ursprungligen kom ifran studiet av matematiskaproblem och darfor ”tanktes av matematiker” langt in-nan de hade blivit aktuella inom andra vetenskaper. (Demest beromda exemplen pa detta ar val gruppteorin, Rie-manngeometrin och berakningsbarhetsproblemet som

Stockholms Universitet

924/05Matematik i Norden: Sverige

Vi har med intresse tagit del av kontaktkommittens inlagg kringMatematikdelegationens arbete i forra numret av Medlemsuts-kicket liksom brevet 21 april 2004 fran Svenska matematiker-samfundets ordforande Sten Kaijser till delegationen. Vi tackarfor alla forslag och underlag som natt oss. Vi skall pa bastasatt forsoka beakta synpunkter och fragestallningar i det fort-satta arbetet. Nu aterstar for var del att sammansmalta allt tillen handlingsplan i ett betankande. Efter remissforfarande ochpolitiskt tagna beslut kommer det spannande arbetet med att re-formera svensk matematikutbildning, dar samfundet ar en my-cket viktig medverkande inspirator. For att ge en bild av prob-lem och mojligheter i vart arbete sander vi foljande artikel somhela delegationen star bakom.

Matematikdelegationens ordforande,

Said Irandoust

Hog tid att satsa pa matematik

Var matematikundervisning ar i fokus. I massmediadiskuteras studerandes bristande intresse och kunskaperoch hur en nedatgaende trend ska kunna brytas. En avde viktigaste uppgifterna for regeringens matematikdel-egation ar att oka medvetenheten om amnets betydelsepa alla nivaer i vart samhalle.

Parallellt med larmrapporter finns dokumenterat hurskolor och enskilda larare brutit den negativa trendenoch vant utvecklingen i positiv riktning. Efter att ha tagitdel av forskning, utredningar och beprovad erfarenhet iSverige och internationellt ar delegationen overtygad omatt det finns en stor potential for forbattringar i det sven-ska utbildningssystemet. Manga goda krafter kan tas tillvara pa ett battre satt och alla kan med stodjande, in-tressevackande och utmanande aktiviteter lara sig mermatematik. Vi har identifierat utvecklingsomraden franforskola till hogskola, dar det ar sarskilt angelaget medsatsningar. Bland dessa finns stod och stimulans till attsprida resultat av lokala utvecklingsprojekt och forskn-ing, en samordnad kursplaneoversyn av innehall ochovergangar mellan olika skolformer, en nationell sat-sning kring lararutbildningens innehall och former samtresurser till kontinuerlig kompetensutveckling av lararepa faltet.

Varfor satsa pa matematik? Det finns manga skal tillatt matematikamnet fatt allt storre betydelse i vart ut-bildningssystem. Ett skal ar att matematiska modelleroch det matematiska spraket genomsyrar allt fler verk-samheter. Matematiken ar en sjalvklar medborgarkun-skap. For att verka i ett demokratiskt samhalle och aktivt

delta i beslutsfattande om hur framtiden ska gestalta sigkravs grundlaggande kunskaper bade i och om matem-atik. Sadana kunskaper ar ocksa oundgangliga for allaformer av hogre eftergymnasiala studier. Forr anvandesmatematikens modeller och sprak framforallt allt inomnaturvetenskap, teknik och ekonomi, men idag aterfinnsi allt hogre grad matematikens sprak i utbildningar pavetenskaplig niva, aven inom samhallsvetenskap och hu-maniora. Gang pa gang uppmarksammar ocksa olikaavnamare betydelsen av att ungdomar i yrkeslivet hargrundlaggande matematikkunnande. Att kunna forstaoch uttrycka sig matematiskt ar en nodvandig kommu-nikativ kompetens och e n del av ett modernt bildnings-begrepp.

Ett annat skal att betona vikten av matematikkunnandefor alla ser vi i social, etnisk och konsmassig segregering.Omfattande undersokningar visar att bristen pa intresseoch kunnande i matematik spelar stor roll for uppkom-sten av olika skikt i samhallet, dar individer sorteras i desom kan och de som inte kan det matematiska spraketmed allt vad det innebar for mojligheter till yrkesutbild-ning och politiskt-ekonomiskt inflytande. Det modernamatematikamne som delegationen vill lyfta fram ar endel av manniskans samlade kulturhistoria, med anknyt-ningar till naturvetenskap, teknik och humaniora. Det arett internationellt sprak med egna symboler och gram-matik som anvands av allt fler som ett nodvandigt verk-tyg for att hantera medborgarskap, yrke, vetande ochvardag. Ett modernt matematikkunnande handlar intebara om att kunna rakna, det handlar om att kunnatillampa mangsidigt utvecklade kompetenser i t ex argu-mentation, kommunikation, problemlosning, rimlighets-och riskbedo mningar. Att vara ungdomar har medsig ett sadant kunnande for hogskolestudier eller foryrkeslivet har ett stort varde bade for dem sjalva och forsamhallet.

Problem i Sverige och internationellt. Delegationen hartill uppgift att utarbeta en handlingsplan med forslagtill atgarder for att forandra attityder till och oka in-tresset for matematik samt att utveckla undervisningenfran forskola och skola till vuxenutbildning, hogskola ochfolkbildning. Planen ska bl.a. syfta till att fler agnar sig atstudier inom omraden som matematik, naturvetenskapoch teknik. I uppdraget ingar att bedoma behovet avforandrade kursplaner. Ett av flera motiv i delegationensdirektiv ar rapporter fran tekniska hogskolor om okandespridning i studerandes forkunskaper och att resultaten iinledande matematikkurser forsamrats.

De svarigheter som uppmarksammats i Sverige finnsocksa i andra vastlander. Nu i februari kom en brittisklarmrapport med forslag till omfattande insatser for en

Hög tid att satsa på matematik

Matematikdelegationen- Said Irandoust

10 24/05 Tema

reformerad matematikundervisning “The crisis in mathsteaching could hardly be worse”. Utredningen tillsattesefter en studie av anledningar till bristande rekryteringoch vikande intresse for naturvetenskaplig och tekniskutbildning. Den fann, som i Sverige, att den mest kritiskapunkten var just matematiken:

it has been widely recognised that mathematics occupies arather special position. It is a major intellectual discipline inits own right, as well as providing the underpinning languagefor the rest of science and engineering and, increasingly, forother disciplines in the social and medical sciences. It under-pins major sectors of modern business and industry, in partic-ular, financial services and ICT. It also provides the individualcitizen with empowering skills for the conduct of private andsocial life and with key skills required at virtually all levels ofemployment.

Bristande intresse for studier i matematik, naturveten-skap och teknik har f.o. sarskilt uppmarksammats inomhela EU-omradet. Att forandra situationen ar ett strate-giskt utbildningsmal.

Betydelsen av bra larare. Vikten av goda kunskaper imatematik ar obestridlig slas fast i regeringens direktivtill delegationen. Det ar vasentligt att fa alla i samhalletatt inse betydelsen av goda kunskaper i och om matem-atik. Dessvarre kan vi spara ett utbrett synsatt att matem-atik ar latt att undervisa i. Enskilt arbete i larobockerdominerar. Matematiken maste, i likhet med andraamnen, innehalla motiveringar, analys, problemlosning,diskussion och vardering. Har har kommunerna ettviktigt ansvar och mycket tyder pa att politiker ochbeslutsfattare underskattat svarigheterna i utvecklingenav var matematikundervisning och inte tagit tillrackligtallvarligt pa sitt ansvar nar det galler lararforsorjningoch stod till kompetensutveckling av larare i matematik.Barn, elever och studenter efterlyser fler utmaningar ochbattre forstaelse for och i matematik. Det visar t exSkolverkets rapport Lusten att lara med fokus pa matem-atik. Larares intresse, engagemang och kunnande ar denviktigaste faktorn for utveckling av var matematikutbild-ning. Har kravs breda insatser for att ge tid och stodfor att forbattra undervisningen. For tredje gangen un-der 2000-talet samlade Matematikbiennalen i januari over3000 deltagare i Malmo, trots kommuners och skolorsdaliga ekonomi. Uppenbarligen ar larares intresse ochbehov att utveckla svensk matematikundervisning my-cket stort. Biennalens seminarier och ideutstallningarvisade ocksa att lusten och viljan till insatser ger engager-ade, nojda elever och studerande med battre arbetslustoch kunskaper.

Vilka kunskaper ar viktigast? Det ar positivt attamnesforetradare och forskare vid hogskolor och univer-sitet nu engagerar sig i fornyat innehall i grundskolans,i den reformerade gymnasieskolans och i hogskolansmatematikkurser. Det har papekats att mycket stoff igymnasiets kurser ska laras in pa kort tid. Det leder tillytinlarning med bristande forstaelse for viktiga begreppoch osakerhet i grundlaggande fardigheter. Det kan varavart att diskutera om en kursplan ska ha fokus pa ettvisst teoriinnehall eller pa utvecklandet av matematiskakompetenser som battre an idag kan anpassas till olika

studieinriktningar och studieintressen. Av stor betydelseblir da ocksa innehall i de nationella kursproven.

Att ge kursplanemal med hjalp av onskvarda matema-tiska kompetenser ar vanligt i vastlander och kan vara enframgangsvag aven for Sverige. Olika studieinriktningarmed anpassade kurser kan med battre studiemotivationleda till samma larandemal i matematikamnet.

Seminarier med matematikdelegationens arbetsgruppertyder pa att styrdokument och kursplaner i matem-atik ska ses over i ett sammanhang, det gallerforskola, grundskola, gymnasieskola och vuxenutbild-ning. Forvantningar pa elevernas kunskaper behover blitydligare for att nuvarande osakerheter vid stadie- ochskolformsovergangar ska kunna minskas.

Nya utmaningar Utbyggnaden av hogskolan med bred-dad rekrytering ger fler studenter battre mojlighetertill utbildning. Okad valfrihet med konkurrens omelevernas studieintressen leder ocksa till storre het-erogenitet bland nyborjarstudenter. Hogskolan haren mycket viktig uppgift att svara upp mot dennautveckling. Infor nya utmaningar far vi inte fastna iforenklade forklaringsmodeller och losningsforslag medensidiga klagomal och bestallningar pa narliggande skol-former. Fornyelse av innehall och arbetsformer som okarstuderandes vilja att arbeta uthalligt med matematik ochsom starker deras tilltro till egen formaga ar en viktigbyggsten for att na framgang. God utbildning rekry-terar fler studerande till matematikintensiva gymnasie-och hogskoleutbildningar. Dialoger och utvecklat samar-bete lokalt och centralt mellan larare och studerandei grund-, gymnasie-, och hogskolor ger nodvandigaforutsattningar for forbattringar. Fran flera hogskolor, tex Umea och Stockholm, kommer rapporter om hur manlyckats forbattra studieresultat och intresse for matem-atik.

Ingenjorer och naturvetare ar inte pa nagot sjalvklartsatt samhallets hjaltar for dagens ungdom. Manga medtoppbetyg fran gymnasieskolan valjer andra karriarer.Matematiken anses fortfarande viktig, men manga ty-cks inte inse varfor. Hogskolor och universitet har enavgorande, kvalificerad uppgift att lyfta fram matem-atik som ett fascinerande amne i standig utveckling, dessbetydelsefulla roll i tillampningar och som eget kun-skapsomrade. Sjalvklart maste ocksa undervisningensinnehall utvecklas i takt med amnets och samhalletsutveckling.

Samarbete och engagemang I delegationens uppdragingar att oppet diskutera problem och mojligheter un-der utredningens gang. Darfor genomfor vi ett stort an-tal hearingar, samrad, konferenser och seminarier. Vihar hittills mott mer an 2000 personer som utifran sinaperspektiv och erfarenheter gett underlag och forslag forvart arbete. Gemensamt for alla ar ett stort och profes-sionellt engagemang, brett ansvar och imponerande viljatill initiativ och insatser. Manga har stora forvantningarpa forslag och genomforande. Vi har nu ett betydelsefulltarbete med betankandet som enligt planerna ska lamnastill regeringen den 28 maj. Var ambition ar att – utifranallt det underlag vi fatt in – fokusera pa viktiga utveck-lingsomraden som kan ge god effekt vid en bred nationell

forts. side 15

1124/05Matematik i Norden: Sverige

En bok pa svenska om Hilberts Problem! En an-genam overraskning. Vem skriver och till vilkavander sig forfattaren? Forfattaren ar Anders Karlqvist,kand sasom chef for Polarforskningsinstitutet och med,formodar man, en gammal orostad karlek till matem-atiken1. Syftet ar att for en bredare allmanhet, utanspeciella forkunskaper, ge en introduktion till tjugondearhundradets matematik, med Hilberts problem sasomutsiktspunkter. Problemet att ge en icke-matematisk sko-lad lasekrets en vetenskaplig forstaelse for amnet ar, somforfattaren riktigt papekar i introduktionen, sa gott somomojligt. Man kan da undra vari ambitionen egentli-gen bestar? Att bekantgora lasaren med Hilbert ochnagra andra stora matematiker for att sprida dessa namninom en storre krets? Att visa att matematik ar ettaktivt och spannande omrade, och inte bara ha r sittberattigande i sina tillampningar utan aven som en kul-turell foreteelse? Att vacka nyfikenhet, framfor allt hosunga manniskor, om matematiken sasom en vetenskapoch en mojlig karriarvag?

Att popularisera matematiken ar bade enklare ochsvarare an att popularisera andra vetenskaper. Det arenklare i den meningen att aven pa elementar niva kannagot av matematikens fascinerande vasen formedlas,forutsatt att lasaren har det ratta sinnelaget och ar bereddatt anstranga sig. Men det ar samtidigt svarare eftersommatematiken inte later sig enbart beskrivas i orienterandeordalag, och dess begrepp, i motsats till andra veten-skaper, ar inte uppenbara och kanda. En astronom, enfysiker, en kemist och en biolog kan alla peka pa avancer-ade fenomen som folk har konfronterats med och varsdefinitioner och existenser knappast behover presenteraseller forklaras.

Men hur skall matematiken populariseras? Om manger helt avkall pa ambitionen att formedla forstaelse sahar det gjorts framgangsrikt, eller atminstonde med breduppskattning. Ett exempel darvidlag utgor Singhs bokom Fermats gata, som utan att ge nagon upplysning omlosningen till densamma dock kunnat formedla illusio-nen om en sadan. Dessutom har den, vilket inte aratt forakta, for en bred allmanhet lyckats levandegoravarfor matematik ar spannande och varfor matematikeragnar sig at den med en sadan passion. Men tyvarrbestar popularvetenskap, speciellt i matematik av urvat-tning. Allt som ar svart tas bort, eller beskrivs i grovaforenklade termer med missvisande analogier, och resul-tatet blir en rappakalja lika obegriplig for fackmannensom for den oinvigde. Inte undra pa att forfattandet avpopularvetenskaplig litteratur har setts ner pa av aktivavetenskapsman. Dock sa har vetenskapsman i allmanhetoch matematiker i synnerhet en plikt att ta varvet pa

allvar, i stallet for att helt overlata faltet at klapare.Popularvetenskap kan bedrivas pa manga nivaer alltefter forutsattningar. Pa grund av den tilltagande spe-cialiseringen sa finner ju manga av oss varande amatoreri andra matematiska specialiteter och det har darmed up-pstatt en tradition av icke-specialiserade oversikter savalskriftliga som muntligt framforda. Manga av dessa arfortraffliga och manga framstaende matematiker, mantanker kanske framst pa Atiyah, har visat sig vara my-cket skickliga i att ge spannande om an nagot glattadeforelasningar som gett ahorarna illusionen om forstaelseoch overblick och darmed den tillfredstallelse och up-peppning en sadan skapar. Om det gar att ge popularaframstallningar pa ganska hog niva, vore det da intemojligt att ge dem pa nagot lagre niva?

Nackdelen med att ta enskilda av Hilberts problemsom utgangspunkter for en lekmannaoversikt ar, somforfattaren inledningsvis mycket riktigt papekar, dessojamnhet. Vissa tillhor matematikens karna, andra harvisat sig vara blindspar. Det ar mycket mojligt, fast omdetta kan vi bara spekulera, att Hilbert inte lade nagonstorre moda pa att valja ut dem. Men a andra sidan lig-ger det i sakens natur att sjalva ambitionen att presen-tera problem att styra den framtida utvecklingen utgoren formatenhet gransande till det absurda och idag skulleingen matematiker pataga sig en sadan grandios uppgift.Sa hade han tagit alltfor allvarligt pa sin uppgift hadedet knappast blivit battre, snarare samre. Hans ambi-tion var val helt enkelt att stalla nagra provocerandefragor av varierande svarighetsgrad utan illusioner omatt dessa skulle ha nagot bestaende inflytande. Mensom forfattaren betonar, inflytande har de haft, ett infly-tande som ingen vid tillfallet hade kunnat ana. Kanskekan man tillskriva detta Hilberts fruktbara intuition, ellerbara tillfalligheter.

Viss matematik ar lattare att presentera for lekmannenan annan. Man tanker da osokt pa elementar talteorieller kombinatorik i dess forstroelsematematiska tappn-ing. Men kanske trots allt den for lekmannen enklastematematiken att presentera ar matematikens grundvalaroch hur dessa kan inforlivas med matematiken ochbli foremal for dess kalkyl. Jag tanker darmed paoandligheterna, Cantors mangdlara, de inneboende para-doxerna, Godels ofullstandighetsbevis, Turingmaskiner,rekursiva mangder etc. Ideerna ar enkla och kraftfullaoch tillgangliga for den reflekterande lekmannen med detfilosofiska sinnelaget. Och mycket riktigt, nar Karlqvisthaller sig inom dessa domaner, med vilken han troli-gen har en personlig fortrogenhet, ar hans framstallningnagorlunda medryckande. Problemet ar, vilket han aveninser, att en ensidig betoning pa detta ger en synnerligen

1I sjalva verket en disputerad matematiker, som under arens lopp har varit redaktor for ett antal verk om matematisk modellering

Århundradets matematikUlf Persson

12 24/05 Tema

skev bild av matematiken. Matematiken ar mycket meraan logik, ja logiken ar ju bara en matematisk gren blandandra se dan den har tappat sin metafysiska mystik, ochde logiska landvinningarna har haft mycket liten prak-tisk betydelse pa matematiken, forutom kanske att bet-ona att matematiken ar ett organiskt vaxande vasen ochdess fragestallningar inte kan genereras slumpmassigtoch att de allra flesta problem som kan formuleras armeningslosa. (Ett belysande exempel ar ju allmanna dio-fantiska ekvationer).

Ingen matematiker kan numera beharska matematikenssamtliga domaner, och an mindre galler detta den ivrigeamatoren. Tyvarr kan man inte helt frigora sig fran denelaka misstanken att Karlqvist for manga av Hilbertsproblem helt enkelt har last in sig pa sekundara ochpopulara framstallningar och sedan i urvattnad form rab-blat upp den laxa han lart sig. (Jag har t.ex. ingen an-ing om vad han menar med Shimuras och Tanyiamas ar-beten, jag vet vad detta innebar i samband med Fermatssats, men det ar mycket mojligt att han refererar till ocksanagot annat, for honom och darmed aven for lasaren, heltobegripligt.) (Hans karaktarisering av Hilberts sextondeproblem Utveckla en topologi for algebraiska kurvor och ytorar for mig helt obegriplig, och referensen till Taniyama-Shimuras formodan, gor det hela an mera forvirrande.Dock beror han granscykler och modulara former i tex-ten.). Framstallningen ar behaftad med ett antal sakfeloch grodor. Bland de mest oskyldiga ar att han insis-terar pa att anvanda termen valaxiomet for den etabler-ade svenska termen urvalsaxiomet (han orkar inte varakonsistent darvidlag). Att papeka att i de Gaussiskaheltalen entydig primtalsfaktorisering inte galler via ex-emplet 5 × 2 = 10 = (3 + i)(3 − i) ar en groda (ty vivet ju alla att 5 = (2 + i)(2 − i) och 2 = (1 + i)(1 − i)).Vidare gor han en harledning av Cardanos formler, mengenom att hoppa over en massa led, blir harledningenhelt forbryllande. Listan kan givetsvis goras langre ochman beklagar att forlaget inte lat boken granskas av enmatematiker av facket.

En allvarligare invandning ar att trots allt sa forutsatterforfattaren en hel del baskunskaper hos lasaren, som ma-triser, komplexa tal, oandliga serier. I manga fall, utavutmattning antar man, sa hanvisar han till mera avancer-ade begrepp sasom differentierbara mangfalder. Medsadana forutsattningar hade forfattaren kunnat ga my-cket langre, vara mycket mera precis. Samtidigt somhan da aven tavlar om lasarens gunst med mera avancer-ade framstallningar. Ekvationer lar vara anatema inompopularvetenskap. Hawkins forlaggare varnade honomfor att varje ekvation skulle halvera lasekretsen. Karlqvistdaremot ar inte radd for att presentera ekvationer, mangaantar man helt enkelt avskrivna. Naja det ar inget felmed detta, aven om de knappast forklaras. Mycket avmatematikens formler upplevs av allmanheten som magi(vilket illustreras av de patetiska forsok som tecknare oftagor genom att kludda ner en svarttavla med allehandarot uttryck) och om ambitionen inte huvudsakligen ar a

tt forklara utan att forfora och fortjusa, undrar man intevarfor det inte skulle ha varit lampligt att ta stegen fulltut och presentera mera komplicerade formler. Sadantkan fascinera och vara betydligt mera upplysande an attideligen hanvisa till den komplicerade matematiska verk-ligheten.

Hur skall da matematik populart presenteras? Somsagt vad, detta ar inte latt, och man valkomnar varjeseriost forsok, om inte annat for den provokativa utman-ing det kan innebara for andra att forsoka overtraffa.Vad skall man undvika? Matematiken ar inte ettframmande sprak som bara behover oversattas. Matem-atiska begrepp har, som jag inledningsvis betonade, of-tast ingen vardaglig motsvarighet, och forsoken att finnavardagliga ’oversattningar’ blir bara missledande ochforvirrande. Popularvetenskap kan inte fungera genomforenkling och urvattning, att via en teknisk matema-tisk text skala av teknikaliteterna. Den maste borja un-derifran, genom att forfattaren aterigen ser matematikenmed oskuldsfulla ogon. Detta forutsatter att forfattarenar val fortrogen med sitt amne, och forfattandet av denpopularvetenskapliga texten blir helt enkelt ett nytt ochskapande satt att aterigen se den verklighet med vilkenhan ar fortrogen. En sadan text behover inte varalattfattlig, den kan innehalla subtila resonemeng, ochkomma in pa omraden som gar lasaren overhuvud. Dettaar dock inte en katastrof, det ar oundvikligt, och en textskall spanna over ett brett spektrum. Men genom attbefria sig fran en yrkesmassig slentrian kan forfattarengenom sin entusiasm smitta lasaren med densamma.

Detta ar egentligen inget nytt. Manga av 1800-talets storabanbrytande vetenskapsman skrev for den bildade ochintelligente lekmannen. Man tanker darvidlag pa Dar-wins arbeten eller an mera pa hans vapendragare T.H.Huxley. De var darvid del av en fornamlig tradition somverkade langt in pa 1900-talet. Men nagonstans pa vagentorkade den ut. Kan det ha varit den bildade, intelligentelekmannen som helt enkelt forsvann? Utan en specifikmalgrupp sa havererar varje forsok till popularisering.Mitt rad ar att matematikern skall skriva till ’barnet inomsig’.

Forlaget ar dock att gratulera till det kommersielltotacksamma initiativet att utge matematisk litteratur forallmanheten. Det tar mig emot att inte kunna anmaladenna specifika frukt med storre entusiasm, man jag kanbara hoppas pa att initiativet skall inspirera till andraforsok, aven fran Karlqvist sjalv, som sakert kan mycketbattre. Jag ma faktiskt tillsta att jag sjalv lart mig ettoch annat fran texten. Slutligen eftersom det ar latt foren yrkesmatematiker att racka ner pa tekniska defekteroch doma ut, sa har jag bett en gymnasielarare lasa bo-ken och ge sitt oberoende omdome istallet. Recensionenfoljer nedan och ar skriven ovetandes om innehallet ochutformningen av min egen. Min kommentar till denna aratt det finns ett uppdamt behov av populara matematiskaframstallningar.

1324/05Matematik i Norden: Sverige

Boken “Arhundradets matematik” har sin upprinnelsei foredragsanteckningar och artiklar. Dessa har An-ders Karlquist bearbetat och utvidgat till en mer sam-manhangande text.

I boken belyser han matematikens utveckling fram tilloch med var tid. Som genomgaende tema har han valtde problem, som den tyske matematikern David Hilberthade formulerat infor matematikerkongressen i Paris ar1900.

Framstallningen ger en bred bild av matematikensutveckling. Ett flertal matematiker presenteras med smakorta bibliografier, som forhojer lasvardet. Att fa bekantasig med matematikern, som genom sina misstag utveck-lade matematiken, kanns ganska trosterikt.

Genomgaende ar att matematikbegavningen visar sig itidig alder. Flera beromda matematiker har publiceratsina epokgorande teorier under tonaren. Detta ar nagotfor den svenska skolan att fundera over. Hammar detsvenska skolsystemet vara matematikbegavningar?

Att skriva populart om modern matematisk forskning arsvart. Att gora det for en bredare publik med veten-skapliga kriterier pa forstaelse ar en omojlighet. skriverforfattaren.

Pastaendet besannas i boken. Trots detta ger boken smaguldkorn har och dar, sakert olika for olika personerberoende pa matematisk bakgrund.

Enligt forfattaren ar inte texten anpassad efter speciellaforkunskaper hos lasaren och kan lasas utan besvar med“matematiska operationer”. Eftersom det ar helt omojligtatt definiera och forklara varje matematiskt uttryck ien bok, som skall ge en overblick av det matematiskalandskapet, sa far lasaren inte fundera for lange pa vadobekanta uttryck betyder. Las vidare! Redan uttrycket“matematiska operationer” kan forvilla.

Matematikerkongressen i Paris 1900 beskrivs ingaendeoch ger en bra bakgrund till bokens utformning. Direktacitat fran Hilberts forelasningar finns med, som ger en

god bild av stamningen mellan matematikerna pa dentiden, vilken inte skiljer sig fran stamningen mellan da-gens matematiker.

Boken innehaller sma val avvagda kapitel om blandannat “Matematikens grunder”,”Den axiomatiska meto-den”,”Godels bevis”, “Oandligheten”, “Fysikens ax-iomatisering”, “Differentialekvationer och Liegrupper”och “Tatpackningsproblemet”. Nagra avsnitt ar svaraeller helt omojliga att forsta, men det bor inte avskrackalasaren fran att ga vidare till nasta kapitel. Dar kanskelasaren hittar nagot intressant istallet. Som tidigarepapekats ar det beroende av vilka forkunskaper ochvilket intresse lasaren har.

Det som fascinerade undertecknad mest var diskus-sionen om datorernas betydelse for den matematiskautvecklingen. Kan en sats pastas vara formellt bevisad,om en dator har raknat igenom alla upptankliga fall ?

Boken avslutas med tankar om framtidens matematikoch vilka problem, som kommer att losas under 2000-talet. Forfattaren slar fast att morgondagens matem-atiker inte kommer att kunna beharska alla omradeninom matematiken, som deras foregangar kunde gora vid1900-talets borjan.

Detta ar en lasvard bok kanske speciellt for blivandematematiklarare. Den kan vidga vyerna for alla, som troratt matematik ar “rakning och geometri”. Sa stod det i be-tygsboken for Folkskolan och det ar mer rattvisande foraktiviterna i dagens skola an “matematik”.

Las och begrunda den har boken!

manar Bengt Svensson som ar

matematikstuderande pensionerad matematiklarare vidGoteborgs universitet.

(Ar det har pastaendet sant eller falskt? EttGodelproblem?)

Några tankar runt Anders Karlquistsbok om Hilbert och hans problem

af Bengt Svensson

14 24/05 Tema

Nobelpriset i medicin for ar 2003 tilldelades Paul C.Lauterbur och Peter Mansfield for deras bidrag tillutvecklingen av magnetresonanstomografi (magnetkam-eran). Detta ar en metod att avbilda inre organ imanniskokroppen som ar mycket effektiv for diagnos-tik vid manga sjukdomar samtidigt som den ar skon-sam och (sa vitt man vet) helt ofarlig for patienten.Anvandning av magnetkamera har snabbt blivit rutininom sjukvarden. Men hur fungerar magnetkameran?

Protonen, vateatomkarnan, har spinn och laddning, alltsaett magnetiskt moment. En magnet som befinner sig iett yttre magnetfalt stravar att stalla in sig parallellt medfaltet; ett valkant exempel ar kompassnalen. Detta in-nebar att olika lagen relativt det yttre faltet svarar motolika lagesenergi for magneten. For protonen medforkvantmekanikens lagar att endast vissa diskreta en-erginivaer ar mojliga; eftersom protonen har spinn s =1/2 finns i sjalva verket endast 2s + 1 = 2 mojliga en-erginivaer. Nar protonen hoppar mellan lagena avgerden eller tar emot ett energikvantum i form av elek-tromagnetisk stralning. Energidifferensen ∆E mellanlagena ar proportionell mot magnetfaltets styrka B, d.v.s.∆E = κB for nagon konstant κ. Vidare ar stralningensfrekvens ν proportionell mot energidifferensen, ∆E =hν, dar h ar Plancks konstant. Alltsa galler

(1) hν = κB

d.v.s. stralningens frekvens ar proportionell mot mag-netfaltets styrka. Foljden ar att om man bestralar ettobjekt med monokromatisk stralning, sa kan dennaabsorberas av protonerna endast om faltstyrkan Boverensstammer med frekvensen ν enligt formeln(1). Detta kallas for resonans, narmare bestamtkarnspinnresonans, pa engelska nuclear magnetic reso-nance, NMR. Resonansen ar ytterst skarp, ett faktum somhar fatt tillampningar for olika matandamal. Med de my-cket starka magnetfalt som man anvander i magnetkam-eran (upp till 2 tesla, vilket ar mer an 20 000 gangerstarkare an det jordmagnetiska faltet) hamnar resonanseninom radions ultrakortvagsomrade; narmare bestamt arfrekvensen 42,6B MHz, dar B ar faltstyrkan i tesla.

Enligt kvantmekaniken utfor protonens spinn i mag-netfaltet en precessionsrorelse, sa kallad Larmorpreces-sion, liksom en vanlig snurra precesserar under inverkanav tyngdkraftens vridmoment. Larmorprecessionensfrekvens overenstammer med den resonansfrekvens sombestams av (1).

Om man till det starka grundfaltet B0 adderar ett my-cket svagare (i rummet) lineart varierande falt B1(x), sakommer ytorna for konstant faltstyrka B = B0 + B1

med god approximation att vara plan. Monokroma-

tisk inkommande stralning kan da absorberas endast paett plan, det plan pa vilket faltstyrkan stammer medstralningens vaglangd. Protoner exciteras i stort antalpa detta plan, eller snarare forstas i en tunn, plan skiva.Efter att man stangt av den inkommande stralningenfaller protonerna ater ned till sin ursprungliga energinivaoch utsander darvid en stralning som kan uppfangas ochmatas. Noggrannare beskrivet, om den inkommandestralningen ar cirkularpolariserad med sitt magnetfaltroterande i ortogonalplanet till B-faltet, sa kommer deexciterade protonerna att Larmorprecessera i fas medvarandra. Protonernas precessionsrorelse ger darmedupphov till ett roterande magnetfalt som inducerar enstrom i en matspole som omger det undersokta omradet.Stromstyrkan i matspolen ger upplysning om den totalaprotonmangden i skivan, alltsa vasentligen integralenav protonkoncentrationen over planet. Med andra ord:om L betecknar planet och f(x) ar protonkoncentratio-nen i punkten x = (x1, x2, x3), sa kan man mata ytinte-gralen

∫∫L f dS. Genom att gora en sadan matning for ett

stort antal val av faltet B1 kan man alltsa i princip mata∫∫L f dS for ”alla” plan L. Det ar sedan lange valkant hur

funktionen f kan beraknas ur dessa data. Eftersom pro-tonkoncentrationen — vasentligen detsamma som vat-tenhalten — ar olika i olika slags vavnad kan kannedomom f anvandas for att framstalla bilder av objektet.

Detta var i stort sett vad Lauterbur gjorde 1972. Hansobjekt var, atminstone i ett fall, en nektarin, och savaldatainsamlingstid som berakningstid var avsevarda, till-sammans cirka tjugo minuter.

Funktionen L �→∫∫

Lf dS, definierad pa mangden av

plan i R3, kallas for (tredimensionella) Radontransfor-

men for funktionen f . Radontransformen brukar beteck-nas med R, varvid alltsa Rf(L) =

∫∫L

f dS. Lat mig kortpaminna om hur f atervinnes fran Rf . Om g(L) ar enfunktion pa mangden av plan sa definierar man funktio-nen R∗g som den funktion pa R

3 vars varde i punktenx ar lika med medelvardet av g(L) taget over alla plangenom punkten x. Det ar ganska latt att inse att R∗Rf arlika med faltningen av f med Newtonkarnan 2/|x|, d.v.s.R∗Rf(x) = 2

∫f(x−y)|y|−1dy. Om ∆ betecknar Laplace-

operatorn sa foljer nu genast att inversionsformeln for Ri tre dimensioner kan skrivas

f(x) = −1

2π∆R∗Rf(x).

Motsvarande problem i tva dimensioner, dar man kannerintegralen av den sokta funktionen over alla linjer i ettplan, ar den matematiska basen for den sa kallade dator-tomografin. Detta problem lostes av osterrikaren JohannRadon ar 1917.

Jan Boman

Om magnetkameran,Magnetic Resonance Imaging,MRI

1524/05Matematik i Norden: Sverige

Intressant nog har varken Lauterbur eller Allan Cor-mack (delat Nobelpris 1979 for datortomografi) kant tillRadons formler pa 1960-talet da de gjorde sina arbeten.Bagge har beskrivit hur de fragade matematiker om prob-lemet utan att fa anvandbara svar. A andra sidan vetvi att Fritz John bidrog till att uppvacka Radons resultatur glomskan genom sin bok Plane waves and sphericalmeans ar 1955.

Under slutet av 1970-talet lyckades Mansfield forkortadatainsamlingstiden vid MRI till nagra tiotal millisekun-der. Metoden var ett raffinerat val av sekvenser av ex-citerande pulser i kombination med variation av gradi-entfaltet B1. Att forklara hur detta fungerar skulle foraen smula for langt, men jag ska anda forsoka saga nagotom detta utan att infora en stor begreppsapparat. An-tag att man, innan B1-faltet har slagits pa, insander enstralningspuls med frekvens anpassad till B0. Da excit-eras protoner i stort antal i hela det undersokta omradet.Jag namnde nyss att man kan utforma den exciterandepulsen sa att de exciterade protonerna Larmorprecesserari fas med varandra. I detta ogonblick (t = 0) slar manpa gradientfaltet B1. Eftersom faltstyrkan nu ar en affinfunktion av x, sag |B(x)| = konstant + ξx for nagot ξ ∈R

3, och darmed detsamma galler resonansfrekvensen, sakan vi anta att resonansfrekvensen, Larmorfrekvensenfor en proton som befinner sig i punkten x kan skrivasw0 + aξx, dar w0 ar resonansfrekvensen som svarar motB0 och a > 0. Pa varje fixt plan ξx = konstant kom-mer protonerna att precessera i fas med varandra avenfor t > 0 (under nagot hundratal millisekunder) ochdarmed astadkomma ett roterande magnetfalt, men ro-tationsfrekvensen blir olika pa olika plan. Bidraget vidtiden t till strommen i matspolen fran protonerna sombefinner sig i punkten x kommer darmed att vara pro-portionellt mot (realdelen av)

eit(w0+aξx)e−t/T ,

dar T ar en relaxationskonstant. Om protonkoncentratio-nen ar f(x), sa kan den totala stromstyrkan i matslingandarfor skrivas som en konstant ganger

e−t/T eitw0

∫f(x)eitaξxdx.

Integralen i detta uttryck ar den tredimensionella Fouri-ertransformen av f(x) evaluerad i punkten −taξ. Genom

att eliminera den hogfrekventa ”barvagen” eitw0 ochdarefter sampla vardet av integralen vid ett antal olikat-varden och variera ξ kan man bestamma Fouriertrans-formen av f . En invertering av Fouriertransformen gertill sist f(x).

Man kan ocksa mata konstanten T , och den har diagnos-tiskt intresse, eftersom T har olika varde for protoner somsitter i olika kemiska foreningar.

En ytterligare effektivisering av datainsamlingen ar attkombinera de tva ovannamnda metoderna. Med hjalpav ett lineart varierande B0-falt och en inkommandestralningspuls exciterar man forst protoner pa ett fixtplan L. Sedan fortsatter man som i foregaende styckemed ett antal olika B1-falt. Pa sa satt kan man mata dentvadimensionella Fouriertransformen av protonkoncen-trationen pa planet L.

Resonansfrekvenser for protoner som befinner sig i olikaslags molekyler skiljer sig en aning, eftersom narbelagnaatomer bidrar nagot till magnetfaltet. Detta kallas pa en-gelska for ”chemical shift”. Forskjutningen i frekvens arett fatal milliondelar (ppm), matt i relativ frekvens. Iett spektrum over ett intervall av nagra fa ppm brukarman tydligt urskilja fem eller fler resonanstoppar, somkan identifieras som harrorande fran kanda kemiskaforeningar. Detta faktum har sedan lange utnyttjats avkemister for analyser och strukturbestamningar. Can-cervavnad brukar innehalla hojd eller sankt koncentra-tion av vissa amnen. Ett magnetresonansspektrum ardarfor ofta ett vardefullt komplement till den vanligaMRI-undersokningen vid cancerdiagnoser. Genom sakallad selektiv excitation, som astadkoms med hjalp aven lamplig foljd av exciterande pulser och gradientfalt,kan man ocksa lokalisera den spektrala informationen tillett avgransat omrade i rummet.

Var kan man lara sig mer om MRI? Ingen alldeles lattfraga! Jag har konsulterat atskilliga bocker i amnet, mendet ar enligt min mening langt ifran latt att finna degrundlaggande fysikaliska och matematiska principernafor MRI i dessa bocker. Mest upplysande har jag fun-nit Introduction to Nuclear magnetic Resonance Spec-troscopy av Paul T. Callaghan, Oxford University Press,1991. For elementa om karnspinnresonans rekom-menderar jag Feynman Lectures on Physics, volym II,kapitel 35.

Hög tid att satsa på matematik.. fors. fra side 10

och langsiktig satsning. Vi har stor respekt for olikaforetradares insikter, asikter och avsikter. Vi forstar atten utveckling av var matematikutbildning ar en hjartesakfor manga i vart samhalle, inte minst for elever och stu-denter, och ska gora vart basta att visa pa samverkandeinsatser, dar mangas engagemang kan tas i ansprak och

ge framgang.

Matematikdelegationens ledamoter och sekretariatgenom

Professor Said Irandoust

16 24/05 Tema

Arild Stubhaug, kand for en bredare matematisk allmanhetgenom sin biografi over Abel har aven skrivit enuppmarksammad biografi over Lie, och ar nu i fard med attforfatta en biografi over Mittag-Leffler och hans matematiskasamtid. I tillagg till denna intervju har vi formanen att pub-licera ett litet brottstycke fran det pagaende arbetet. Vi betonaratt detta ar preliminart material och vad som i slutandan pub-liceras kan komma att se helt annorlunda ut. Noteras skall attbiografin skall oversattas till svenska.

1. Du ar en etablerad skonlitterar forfattare i Norge, ochom jag minns ratt sa debuterade du redan som 22 aring.Du har skrivit lyrik och romaner. Vad fick dig att borjaskriva biografier over norska matematiker pa senare ar?

’Pa senere ar...’ er det vel ikke akkurat. Biografien omAbel begynte jeg pa i 1988, og i løpet av de atte arenejeg arbeidet med den, ga jeg ut tre diktsamlinger. At jegda begynte a skrive om Abel og hans tid, skydtes flereforhold: A skrive dikt - sa spennende det enn i seg selvoppleves - er blitt et smalt arbeidsfelt, en marginalisertaktivitet. Ny poesi har vanskelige kar, kanskje ogsa enstadig minkende betydning og virkning i utviklingen avspraklige uttrykk og spraklig erkjennelse. Sa ville jegprøve andre uttrykksformer. Matematikken har alltidfascinert, Abel var tidlig en helt, og den historiske inter-essen ble vekket da jeg bodde i en by og i et omradet avlandet - Arendal sør i Norge - der fortiden er levende ogblir dyrket pa en spesiell mate.

2. Den brittiske biografiforfattaren Peter Ackroyd1 harhavdat smatt paradoxalt att det kravs mera fantasi attskriva en biografi an en roman. Skulle du vilja kom-mentera detta?

Det minner meg om en uttalelse som i sin tid bletillagt den franske forfatteren og filosofen Voltaire, nem-lig at Arkimedes var mer fantasifull enn Homer. Enpastand som selvsagt satte pa spissen motsetningenemellom klassisk (litterr-humanistisk) dannelse og nyerenaturvitenskapelige metoder og tenkning. (Motsetningersom senere er gatt inn i den sakalte ’to kulturer’-diskusjonen.)

Ackroyd uttalelse er interessant. Om en definerer fantasi- ikke bare som ’frodig forestillingsevne’, men - som ’enkraft, en evne til a overskue, handtere et stort og mange-fasettert materiale’ sa trenger biografen mer av dette ennromanforfatteren. Desto flere begrensninger det blir lagtpa det formatet fantasien ma gi seg uttrykk pa, desto

større evne trengst det til a overskue, balansere. Destosmalere, desto mer behov for en fantasi med evne til atreffe blink. Det blir som a sammenligne en balansekun-stner pa ei linje med en vandrer pa en flate - utover flatengjør det ikke sa mye om en sviver litt frem og tilbake, palinjen ma en ha all forestillingsevne konsentrert for ikkea falle...

3. Du studerade som ung ett antal amnen som matematikoch religionshistoria pa universitetet. Stammer detta, ochi sa fall kan du forklara detta, for manga, nagot orginellakombination?

Jo det stemmer. Matematikk var førstevalget: Men dettevar i 1968 og mye annet i studentverdenen fanget inter-esse og engasjement - ikke minst dette at det sprakligeuttrykket fikk høy prioritet. Det som kunne fanges og ut-trykkes i sprak, ble viktigere enn alt annet. Spraket vardet som etter hvert fremstod som det mest interessantearbeidsomradet. Etter matematikk- leste jeg latin, stud-erte litteraturhistorie og østlige religioner - alt bestemt ut-fra personlig lyst og interesser. Pa den tid kunne ikke enslik fagkombinasjon innga noen universitetsgrad - jeg harda heller aldri hatt arbeid i noen fast stilling.

4. Om Abel finns det valdigt litet dokumenterat, medanfor Mittag-Leffler ar dokumentationen overvaldigande.En ganska vanlig kritik av forfattare av biografier aratt de tenderar att inkludera sa gott som allt forfattarenmodosamt har letat reda pa. Nar det galler Abelbi-ografin far man kanslan av att allt du har lyckats forskafram pa nagot satt presenteras, men detta kommer attvara omojligt med Mittag-Leffler biografin, om du tankerbegransa dig till en enda volym. Fragan ar da hur kom-mer du att ga till vaga? Skriver du forst en brutto-version,kanske tusen eller mera sidor lang, ur vilken du kommeratt framstalla ett destillat av lamplig langd?

Det kan hende jeg til slutt ma destillere noe fra en brutto-versjon. Men foreløpig har jeg ikke bestemt meg for leng-den, og jeg arbeider enna utfra den holdningen at for-matet ma rette seg etter stoffet. Malet er a flette sammenbade et menneskes utviklingshistorie, mentalitetshistorieog matematikkhistorie - og det enorme materialet innbyrtil en slik biografi: Skrive Mittag-Leffler, svensk matem-atikks far, inn i en sammenheng store kunstnere, poli-tikere, finansmenn etc. tidligere er blitt forstatt i, og iforhold til.

Flere har spurt: Er Mittag-Leffler verdt en sa stor bi-

1Kand bl.a. for sina biografier over T.S.Eliot och Charles Dickens och pa senare ar over staden London.

Intervju med Arild Stubhaug

Intervjuare: Ulf Persson

1724/05Matematik i Norden: Sverige

ografi? Bakgrunnen for et slikt spørsmal er kanskje aten lett setter likhetstegn mellom biografi og genidyrkelse.Mange har en romantisk tendens til a underliggjøre denbiograferte, istedet for a forsta personen som menneske.Det er som om en vil bruke en eventyr-diskurs istedetfor allmenngjøring. Jeg tror ikke forskjellene mellom ossfinnes der en oftest søker etter dem: At noen i kraft avsitt geni nærmest skulle leve i andre sfærer, mens vi an-dre..De skjellsettende ulikhetene er a finne i et mindreformat, for a si det slik, og bestar mer i sma grep somtas av den enkelte, enn i grunnleggende annerledeshet.

Det som gjør det forskjellig a skrive om en matem-atiker enn en kunstner, politiker, oppdager, o.l., er atden biografertes (matematikerens) arbeidsomrader eruforstaelig for de fleste lerserne. Det stiller anda størrekrav til de grep en nærmer seg den biograferte med.

Jag vil ikke bare a gi et portrett av mannen Mittag-Leffler,men ogsa bruke ham som en metode til a beskrive entid og en mentalitet. Det ligger et meneskesyn og ennødvendighet i dette: En person speiler i stor grad sinsamtid. Om vi tar utgangspunkt i oss selv eller per-soner vi kjenner nært, sa ser vi jo at maten en ytrer segpa for en stor del blir bestemt av mottakeren av ytrin-gene - dvs. ens samtid og omgivelser. A ikke skrive fremden biografertes samtid, blir derfor som a fjerne en vik-tig og nødvendig klangbunn for leserens forstaelse - denforstaelse leseren automatisk stiller opp med i forhold tilnatidige biograferte.

5. Jag antar att de huvudsakliga kallorna du anvander arMittag-Lefflers brev och dagbocker. Du har fortalt migtidigare att du ar i stand att folja Mittag- Leffler dag frandag, nagot som du inte skulle kunna gora med ditt egetliv forstar jag. Far du nagon kansla av att du lar kannaMittag-Leffler personligen, eller finner du att hans brevoch dagboksanteckningar foljer nagon slags ideell mallsom gommer personliga kanslor bakom hogstamda ut-tryck?

Nei, jeg synes vel jeg kjenner ham ut og inn. Særlig ide tidlige brevene er det ikke noe bilde, eller image, hanprøvde a gi, eller opprettholde. Det er heller en vilje til askrive ut enhver uro i møte med nye mennesker og nyetanker. Den unge Mittag-Leffler sa pa sin egen væren somet like interessant forskningsomrade som ethvert annet -fornemmelser, følelser, ideer, mater a tenke pa... ingent-ing var for smatt eller for stort til a bli omtalt i brev ognotater.

Dette er fjerde personen jeg biograferer, og jeg magenerelt si jeg synes jeg kjenner disse personene bedreenn mennesker i min aktuelle nærhet - Mittag-Leffler, pagrunn av det rike og omfangsrike materialet, i kanskjeenda større grad enn de foregaende.

6. Jag har hittills bara tagit del av Mittag- Lefflers livfram till disputationen2. Han ger intryck av att vara enmonstergosse som alltid haller sin mamma underrattadom vad han gor och som framlever ett mycket kyskt och

allvarsamt liv uppfyllt av plikter och studier, samt avenpinat av vad vi nu skulle beteckna som psykosomatiskabesvar. Standiga huvudvarksattacker och aterkommandemagakommor. Det ar svart att fran hans ungdomsar ex-trapolera fram den imposanta och extroverta figur somden mogne Mittag-Leffler trots allt maste ha utgjort. Hardu en liknande erfarenhet och i sa fall, nar intraffar bryt-punkten? Med andra ord nar och hur avslutas hans ’ado-lescence’?

Mittag-Leffler var i slutten av 20-arene da han komParis og Berlin (i 1873-76) og møtte eliten og det allerbeste innen matematisk forskning og internasjonalt viten-skapsmiljø. Han ble personlig venn med flere av sinelærere (Hermite, Kronecker, Weierstrass, m.fl.), deltok iflere vitenskapelige sammenkomster, og etablerte et kon-takternett med en rekke av sine samtidige. Han komi stor grad ajour med internasjonal matematisk forskn-ing - eller rettere: Han ble godt kjent med de størstematematikerne og miljøet rundt dem, og de ga ham noenstandardar han holdt fast med livet ut. Det er klart detkunne virke arrogant, sarende og nedvurderende nar hananla disse standardene pa sine nordiske kollegaer og detvitenskapelig miljøet han hadde runt seg - først som pro-fessor i Helsingfors, of fra 1881 i Stockholm. At matem-atisk forskning skulle være avhengig av sprakstriden iFinland, eksamensystemet i Sverige etc, etc fortonte sigselvsagt an nerledes for en som mente a vite hvor høytlisten la for det ypperste innen matematisk forskning.Som redaktør i Acta Mathematica (fra 1882) beviste ogsaMittag-Leffler sin kompetense pa dette omradet - tid-skriften ble straks et av verdens ledende, det var en høyterskel for a fa spalteplass her.

Jag tror disse standardene - denne bevisstheten om hvaen topp-matematiker og vitenskapsmann egentligen rep-resenterte - var noe som preget Mittag-Leffler, noe hanbedømte sin samtid utifra, og som hans egne posisjonernle bestemt utfra. Mange omkring ham syntes naturlignok han svevde i en inbilt verden, at han ikke hadestukket fingeren tilstrekkelig dypt i jorda...

7. En av de mera fascinerande aspekterna av en biografiar tidskanslan. For att uppskatta och riktigt fornimmaden behover lasaren bade vara insatt sjalv samt instruerasav forfattaren som darmed bor iklada sig historikernsroll. For att fullgora denna uppgift bor man saledes avenforeta ganska grundliga studier om foreteelser som intedirekt ingriper i huvudpersonens liv. Finner du att du hartid att sa gora, eller skulle detta fa uppgiften att svalla utoporportionerligt? Som bekant forekommer det biografi-forfattare som viger decennier at sitt varv. Ar detta nagotdu skulle kunna tanka dig om de finansiella resursernavore tillgangliga?

Det hjelper meg att jag tidligere har arbeidet mye med1800-tallet. Men ja. Det er et svært rikt og omfattendemateriale, og jeg har ikke lyst a slippe det før jeg har ut-nyttet de potensialer jeg synes ligger i det - sa jeg haperde finansielle resursene er der til a fullføre dette løpet.

2Intervjun gjordes i november

18 24/05 Tema

8. En biografi over Mittag-Leffler ger ju ett ypperligttillfalle att mala ett brett panorama over det Oscarian-ska Sverige, som skulle kunna intressera en vid lasekretsutover den matematiska. Han hade ju vad vi nu skullekalla ett mycket brett natverk. Ja hans ungdomsar ger junastan intryck av att han var nagot av en socialt klattrare,jag tanker speciellt hans kontakter med den adliga famil-jen af Ugglas och den blandning av fascination och ini-tiellt avstandstagande han kanner infor dem. Skulle mankunna saga att Mittag-Leffler kande alla som betyddenagot i Sverige pa den tiden? Och skulle du vilja sagaatt han var svag for ’fina kontakter’?

I forhold til sin alder og klasse tror jeg han langt pa veivar som enhver ung mann. Det meste av social kon-takt gikk ut pa nettverksbyggning, og den tids sosialenettverk hade kanske noe mer av ’klatrer-mentaliteten’i seg. Men det er klart at Mittag-Leffler var en svært dyk-tig nettverksbygger, og etter hvert fikk han kontakt medalle de han mente det var nyttig a ha kontakt med.

9. Som svensk slas man av likheterna med var egen tid,trots att det da radde att standssamhalle. Kanner du somnorrman en nackdel att inte vara sa insatt i den svenskahistorien, eller anser du att det kan vara en fordel genomatt du kan se allt med friska ogon?

Det er alltid godt med friske øyne, og i den grad jegmerker at jeg kommer utenfra, har det bare vært stim-ulerende og skjerpende.

10. Det finns manga foreteelser under hans tid som hardirekta motsvarigheter till var egen. Skoldebatten ar ettuppenbart exempel. Tanker du speciellt belysa sadanaforeteelser systematiskt?

Nei, det ma bli leserens glede a dra disse parallellene.

11. Som forfattare av en biografi ar man kanske mestav allt en historiker och det mesta av arbetet gar attill att soka dokument, lasa och sammanfatta. Finnerdu att detta tar nastan all tid, eller finns det mojlighetatt atminstonde i slutskedet agna sig at litterar gestalt-ning? Om du skulle kunna valja, vad skulle intresseradig mest. Den sakliga historiskt korrekta verk du nu harsom uppgift att framskriva, eller en ren dramatisering avhans liv?

Jeg vil mene at det som ser ut som en saklig referendestil, i praaksis stiller de samme krav til skriveevne som endramatisering. A arrangere fakta-stoff slik at det framstarsom ’en bølge’ der leseren far en opplevelse av selv agjøre oppdagelser, dra slutninger og paralleller till egneerfaringer, er en form for dramaturgi som krever nitidarbeid. A strukturere det omfattende stoffet slik at allekomponenter fletter seg sammen som trader i den storeveven boken skall bli, ser jeg som en litterær utfordring.

12. Om du skulle gora en jamforelse mellan skrivandet avAbel, Lie och Mittag-Leffler biografierna vad skulle du daframhava?

De store forskjellene ligger ikke først og fremst i skrivear-beidet - selv om vanskelighetsgraden kanskje er endastørre denne gangen, men det er tre svært ulike personer,og det som først slar en, er kanskje Mittag-Lefflers etterhvert bevisste forhold til, og bruk av sin posisjon somberømt vitenskapsmann. Abel var ganske uvitende omsin posisjon og virkning - han stod utenfor, banket padøren og ble aldri sluppet inn. Lie sparket døren innog erobret sin soleklare plass. Mittag-Leffler hadde sim-pelthen nøkkelen.

1924/05Matematik i Norden: Sverige

I ett brev fran Utbildningsdepartementet daterat 3 dec2004 har Svenska matematikersamfundet (SMS) ombettsinkomma med remissvar rorande den handlingsplansom Matematikdelegationen (MD) lade fram den 27 sep2004. Detta ar vart remissvar. I brevet fran utbildnings-departementet stalls fyra konkreta fragor:

1: Pa vilket satt beror handlingsplanens forslag er verk-samhet?

2: Delar ni delegationens bedomningar vad galler de de-lar av forslagen som direkt beror er verksamhet och hurser ni pa forslaget som helhet?

3: Till vilken del kan handlingsplanens delforslag somberor er verksamhet genomforas inom de ekonomiska ra-mar som ni forfogar over?

4: Kommer insatser i enlighet med den foreslagnahandlingsplanen att prioriteras inom er myn-dighet/organisation om planen genomfors helt ellerdelvis?

Dessa fragor kommer i tur och ordning att besvaras i Avs-nitten 1–4 nedan, varefter vi gor nagra avslutande kom-mentarer i Avsnitt 5.

1. Hur handlingsplanen beror var verksamhet

Majoriteten av medlemmarna i SMS ar larare i matematikvid landets olika universitet och hogskolor, och berorspa sa vis direkt eller indirekt av snart sagt alla forslagbetraffande matematikutbildning. I den man forslagenhandlar om matematikutbildning pa hogskoleniva berorsvi naturligtvis direkt, men vart arbete paverkas ocksa ihog grad av alla atgarder pa lagre nivaer som kan tankasha effekt pa den forkunskapsniva vara studenter har narde anlander till hogskolan. Pga matematikamnets mednodvandighet kumulativa natur har dessa forkunskapermycket stor betydelse for vilken matematisk kunskap-sniva vi formar lyfta studenterna till. Och av sammaskal kan matematikundervisningen sa langt ned i utbild-ningssystemet som pa lagstadiet ha stor betydelse fordenna forkunskapsniva.

Utan att pa minsta vis vilja forringa vikten av stodtill de svagare grupperna av elever, vill vi framhallaatt vad vi framfor allt berors av nar det galler sats-ningar i grundskola och gymnasium ar hur de elevertas om hand som ligger over genomsnittet vad galler

forutsattningar och intresse for matematikamnet. Tydet ar naturligtvis dessa elever som vi i forsta handsoker rekrytera till civilingenjorsutbildningar och andramatematiktunga universitets- och hogskoleutbildningar.

2. Synpunkter pa handlingsplanen

MD:s handlingsplan innehaller en mycket lang radforslag i olika riktningar, men ger mindre vagledning iform av explicita prioriteringar forslagen emellan, nagotsom gor det svart for lasaren att urskilja handlingspla-nens huvudlinjer.

En huvudlinje som vi dock formar skonja ar den starkabetoningen pa lararens avgorande roll, och framfor alltvikten av att lararen har goda kunskaper (forslag 2A,2B, 2C i handlingsplanen). Vi delar denna uppfattning,men hade hoppats att MD skulle satta ned foten litetydligare i avvagningen mellan a ena sidan fackkun-skaper i matematikamnet sjalvt, och a andra sidan ped-agogiska och didaktiska fardigheter. Vi vill pa intet visforringa betydelsen av de senare, men tycker oss ty-dligt se hur stora delar av lararkaren sviktar allvarligt isina matematikkunskaper, och vill betona prioriteringenatt en matematiklarare som inte sjalv beharskar matem-atiken i forsta hand behover ta itu med att atgarda justdetta.

Har fortjanar inskarpas att behovet av gedigna ochomfattande matematikkunskaper hos matematiklararnaidag ar viktigare an nagonsin. Detta har att gora medatt tillgangen till elektroniska raknehjalpmedel gor detsvarare idag an tidigare att motivera elever att lara sigaritmetik och algoritmrakning. Men dessa moment arnodvandiga for den forstaelse som sedan ligger till grundfor algebran (bokstavsrakningen) och i forlangningenall hogre matematik. Den larare som saknar inblick iden hogre matematiken saknar darfor de perspektiv somkravs for att ratt kunna motivera sina elever i matem-atikundervisningen, och foljden riskerar bli ett vulgartoch ensidigt betonande av sa kallad vardagsmatematik.

Det ar huvudsakligen tva vagar till forbattrade kun-skaper i lararkaren som foreslas i MD:s handlingsplan,namligen a ena sidan en forbattrad lararutbildning (2A,2B) och a andra sidan fortbildning/kompetensutveck-ling (2C). Har vill vi efterlysa en tydlig prioritering avdet forstnamnda (satsning pa lararutbildning) framfordet senare. Det overlagset basta tillfallet i en larareskarriar att etablera solida egna matematikkunskaper arjust i lararutbildningen, ty det ar da och endast da somhan eller hon kan fa tid att satsa helhjartat pa att tranga

Remissvar angåendeMatematikdelegationens betänkande“Att lyfta matematikken”

20 24/05 Tema

in i matematiken; senare fortbildningsinsatser kan sallangora mycket mer an att skrapa pa ytan. Vi stodjerhelhjartat MD:s forslag om forstarkt matematikinslag ilararutbildningen.

Liksom allt fler bedomare idag (dock tyvarr inte MD)vill vi ga ett steg till i kritiken av lararutbildningen,och havda att denna som helhet behover omstruktureras:det ar ett helt enkelt oforsvarligt sloseri med lararkandi-daternas tid att t.ex. en blivande gymnasielarare i matem-atik skall lasa sa mycket som 60 p gemensamt medblivande forskolelarare. En fiskal anmarkning i dettasammanhang ar att en satsning pa en mer relevantlararutbildning vore (till skillnad mot t.ex. satsningarpa kompetensutveckling) i princip gratis: att ge en godlararutbildning kostar knappast mer an att ge en dalig.

Oaktat den ovan efterlysta prioriteringen, vill vi trotsallt framhalla att MD:s starkt betonade forslag om ensatsning pa kompetensutveckling ar mycket valkommet.Dock skulle vi vilja se en mer langsiktig och perma-nent satsning, snarare an den tillfalliga 5-ariga punktsat-sning som MD forordar. Harvid kan noteras den mycketalderstigna demografiska fordelningen i dagens lararkar,som i termer av framtida avkastning gor ”just nu” till enkanske inte helt lyckad tidpunkt for en tillfallig satsningpa fortbildning.

Vi har varit i muntlig kontakt med MD i denna fragaunder deras arbete med betankandet, och har da fatthora att situationen ju ar akut och att vi verkligen mastegora nagot at kunskapsnivan hos de larare som just nubefinner sig i systemet. Vi kan mojligen ha viss forstaelsefor denna typ av resonemang, men tycker att den rim-mar illa med hur mycket kraft MD i ovrigt lagger paforslag vilkas hogst osakra avkastning eller effekt lig-ger mycket langt in i framtiden: harmed avser vi iforsta hand forslagen om satsningar pa ”forskning omsynen pa matematik i samhalle och utbildning” (1E),”forskning om lararutbildning och kompetensutveck-ling” (2D), ”forskning om undervisande och larande imatematik” (3E) och ”forskning kring kursplaneutveck-ling och utvardering” (4D).

Att starka lararutbildningen i sig ar inte nog: det kravsocksa att lararyrket gors mer attraktivt for att pa sa sattstarka rekryteringen till lararutbildningen. Lararyrket ty-cks helt enkelt inte langre utova nagon lockelse pa varamest talangfulla ungdomar. (Jamfor med den langt battresituationen harvidlag hos vara grannar i Finland, somvi har mycket att lara av.) I MD:s handlingsplan finnsnagra passager som tar upp detta problem, men dessautmynnar tyvarr inte i nagra egentliga forslag. Vi villa det starkaste framhalla det absolut nodvandiga i delshojda lararloner, dels allmant forbattrade arbetsvillkorfor lararna; dessa arbetsvillkor har ju stadigt forsamrats ien lang rad avseenden alltsedan skolans kommunaliser-ing i borjan av 90-talet.

Ett angelaget tema som lyser med sin franvaro i MD:sbetankande ar den brannande fragan om nivagrupperingi matematikundervisningen. Den mycket stora sprid-ningen bland skolelever vad galler forutsattningar, am-bitioner och behov i matematikundervisningen tordevara uppenbar for var och en som har inblick i

skolan. I praktiken ar det vasentligen tva satt atthantera detta som har provats: antingen tillgriper mannivagruppering, eller ocksa hastighetsindividualiseringi klassrummet. Det senare greppet, som ocksa ar detsom idag dominerar, framtvingar ”tyst rakning” i klass-rummet, med forodande konsekvenser i form av att denenskilde eleven far hopplost lite tid till interaktion medlararen; det vore blott en mild overdrift att havda atteleverna i den radande situationen knappt far nagon un-dervisning alls. En chockerande – men av allt att domakorrekt – bild av hur detta fungerar i praktiken ges iden farska didaktiska avhandlingen Matematikundervis-ningens konkreta gestaltning av Madeleine Lowing, somfinns refererad i betankandet.

Aterstar alltsa nivagruppering, en slutsats som MD avnagon anledning inte vagar dra trots att de domer utden ”tysta rakningens” dominans i dagens matematikun-dervisning. Tvartom gar de sa langt i motsatt riktningatt de forsvarar dagens katastrofala system med en forsamtliga gymnasieprogram gemensam inledande A-kursmed underkantfrekvenser pa eller over 50%-strecket paflera yrkeslinjer som foljd. Om detta problem sager MDatt de forvantar sig att det skall forsvinna som en foljd avde atgarder som foreslas pa lagre undervisningsstadier.Vi finner det anmarkningsvart oansvarigt att en statligutredning bygger sina stallningstaganden pa den sortensuppenbart orealistiska spekulationer.

Vi anser det vara absolut nodvandigt att gymnasieskolanredan fran forsta terminen utformas pa ett satt som re-spekterar att vissa elever efterfragar och behover en meravancerad matematikundervisning an andra. Har kannamnas att den expertis som MD berommer sig om att hahaft tillgang till – i detta fall den sa kallade Arbetsgrup-pen 11-H – lade fram ett utmarkt forslag om omstopningav gymnasiematematiken i denna riktning. Vi stodjerdetta forslag av Arbetsgruppen 11-H, samtidigt som vifinner det beklagligt och en smula markligt att forslagetratt och slatt ignorerats i MD:s slutliga handlingsplan.

Aven pa lagre stadier torde nivagruppering vara enoundganglig ingrediens i ”att lyfta matematiken”. De-taljerna kan diskuteras, men vi kan i alla handelserkonstatera att nagot i stil med de pa 90-talet avskaf-fade ”allman och sarskild kurs” i hogstadiets matematikbehover inforas.

Av de skal som skisserats i Avsnitt 1 ar det framfor allt demer akademiskt studieinriktade eleverna vi har i atankenar vi pladerar for nivagruppering. Men vi ser sam-tidigt hur illa de svagare eleverna far i dagens systemsom vagrar att visa respekt for elevers olikheter, och troratt aven dessa svagare elever skulle ha mycket att vinnapa en nivagrupperad matematikundervisning.

Aven i denna fraga har vi haft muntliga underhand-skontakter med MD. Flera ledamoter i MD har motiveratfranvaron av stallningstagande for nivagrupperingungefar pa foljande vis: ”Det ar redan idag tillatet attlokalt besluta om nivagruppering, och vi ar overtygadeom att lararna sjalva ar battre skickade an regeringenatt bedoma hur undervisningen bast skall organiseras”.Detta svar finner vi otillfredsstallande av flera skal.For det forsta handlar det ju inte om regeringens egen

2124/05Matematik i Norden: Sverige

formaga att bedoma detta utan om den Matematikdel-egation som haft tillgang till hundratalet olika experter– skulle inte den vara skickad att ta stallning i dennafraga? For det andra finner vi det ytterst osannolikt attnivagrupperad matematikundervisning t.ex. skulle varalamplig i Eskilstuna men olamplig i Ostersund, och serden sortens lokala variationer som ett hinder for ambi-tionen att elever skall garanteras fullgod undervisningvar an i landet de rakar bo. For det tredje kan intelokalt beslutade nivagrupperingsreformer genomforaslika konsekvent som en nationellt beslutad sadan, ty detyngs i praktiken av standigt aterkommande ”uppsam-lingsheat”, liksom av de trots allt gemensamma kursmalsom laroplanen foreskriver.

Anvandandet av miniraknare och andra elektroniskaraknehjalpmedel ar mycket utbrett i dagens undervis-ning. Har vill vi bestamt hoja ett varningens finger. Ettvisst begransat anvandande av miniraknare i matematik-undervisningen tycker vi forvisso ar rimligt. Men omdet alltfor tidigt i utbildningssystemet blir alltfor omfat-tande – vilket ofta ar fallet idag – gar eleverna misteom nodvandig traning i att sjalva manipulera tal. Denbristande traningen i aritmetik fortplantar sig sedan tillsvarigheter i algebran, nagot som vi tydligt ser leder tillytterligare problem hogre upp.

Aven hogskolornas verksamhet berors i handlingspla-nen. Har pekar MD pa behovet av satsningar paforskarutbildning i matematik, och pa att hogskolornaslektorer och adjunkter behover fa markant forbattradearbetsvillkor. Som det ser ut idag har hogskolelarare imatematik ofta inte tid till att vid sidan av undervis-ningen agna sig at vare sig forskning eller pedagogisktutvecklingarbete, eller ens at att folja med i matem-atikamnets utveckling; sjalvklart far detta negativa kon-sekvenser for undervisningen. Vi stodjer a det varmastevarje tanke pa att ge okade resurser for forskarutbild-ning i matematik och for mer rimliga arbetsvillkor forhogskolans lektorer och adjunkter.

3. Handlingsplanen och vara ekonomiska ramar

Fraga 3 ar mycket enkel att besvara: SMS ar en ideell or-ganisation med mycket liten budget (arsbudgeten hallersig inom ett femsiffrigt belopp) som inte kan harbargeranagra av de foreslagna atgarderna.

4. SMS’ prioriteringar i anslutning till handlingsplanen

Som framgar av Avsnitt 3 sa forutsatter insatser fran SMS’sida vad galler handlingsplanens genomforande att vitilldelas resurser for detta. Givet sadana resurser ser viatt SMS skulle kunna spela en naturlig roll i foljande sam-manhang.

SMS skulle kunna ta ett delansvar (jamte en

resursstarkare intressent som t.ex. nagot universitet) forett centrum for popularisering av matematik (1A) som isin tur skulle kunna ansvara for webbportalen i (3C). SMShar en viss men ganska blygsam verksamhet inom fort-bildning/komptetensutveckling for larare, ett engage-mang som skulle kunna utvidgas (2C). Dartill vore detrimligt att SMS var representerat i en grupp som serover laroplaner pa samtliga nivaer (4A), och man skullerentav kunna tanka sig en modell med certifiering av nyalaromedel i matematik (4B) dar ater SMS kan medverka.

Om vi gor en nagot vidare tolkning av fraga 4, sasomvad den majoritet av samfundsmedlemmarna som arlarare/forskare i matematik pa landets universitet ochhogskolor kan hjalpa till med, sa kan naturligtvis lis-tan over vad vi kan tankas bidra med utokas. Harvill vi framfor allt framhalla den av MD stakt be-tonade kompetensutvecklingen (2C, 3A). Fortbildningi amnet matematik ar harvidlag en minst lika vik-tig – och vad galler framfor allt hogstadie- och gym-nasielarare formodligen avsevart viktigare – del som deni didaktik. Landets framsta kompetens vad galler attformedla matematikkunskaper finns pa universitetensoch hogskolornas matematikinstitutioner, och vi foreslardarfor att atminstone halften av den satsning pa fortbild-ning/kompetensutveckling som MD forordar kanalis-eras via dessa matematikinstitutioner (snarare an viat.ex. lararhogskolor, pedagogik/didaktikinstitutionereller NCM).

5. Avslutande kommentarer

Vi delar MD:s och regeringens uppfattning att nagotbehover goras at de svara problem som matematiken iden svenska skolan uppenbarligen brottas med. Ochaven om ett genomforande av MD:s handlingsplanforvisso vore battre an att inte gora nagonting alls, safinner vi den likval hopplost otillracklig. Vad som utoverMD:s foreslagna satsningar behover goras for att kriseni matematikutbildningen inte skall forvarras, ar framforallt tva saker: For det forsta behover lararyrket – medelsthojda loner och forbattrade arbetsvillkor – ater goras saattraktivt att det utgor en lockelse for dagens ungdom.Och for det andra behover skolan medelst en nationelltbeslutad nivagruppering visa hansyn till spannvidden ielevers forutsattningar, ambitioner och behov.

For Svenska matematikersamfundet, januari 2005,

Sten Kaijser (ordforande)

Olle Haggstrom (vice ordforande)

Fan Ming (sekreterare)

Milagros Izquierdo Barrios (skattmastare)

22 24/05 Tema

En intensiv diskussion pagar med anledning av sven-ska grundskoleelevers forsamrade och internationellt settsvaga resultat i matematik. I slutet av forra aret publicer-ades tre rapporter (TIMSS, PISA och NU-03) som visarpa en negativ utveckling. Gymnasiet gloms latt bort idiskussionen. Men krisen for gymnasiematematiken arlika allvarlig.

Det finns stora och valdokumenterade problem medgymnasiematematiken. Matematik har langt samre resul-tat an alla andra obligatoriska karnamnen. En vaxandeandel elever lyckas inte fa godkant pa matematikkurs-erna. Som exempel kan man ta gymnasiets A-kurs imatematik som ar en karnkurs som ar obligatorisk paalla program. Trots att nastan alla i en arskull (98 vi-dare till gymnasiet ar det knappt 70godkant pa dennakurs. Ovriga har fatt IG (ej godkant) pa kursen eller intefullfoljt sina gymnasiestudier. Pa vissa program ar detover 40eleverna som inte far godkant pa det nationellaprovet pa A-kursen.

Manga elever som gar vidare till hogskolestudier farproblem med matematiken. For ingenjorer, ekonomer,lararstuderande, naturvetare och manga andra amnenrapporteras i hogskoleverkets utvarderingar otillrackligaoch forsamrade grunder i matematik hos nyborjarna.

Elevernas svarigheter beror till stor del pa den struk-tur som gymnasiets matematik fick i gymnasierefor-men 1994. Till skillnad fran elever i alla andra landerlaser svenska elever i 16-17-arsaldern samma kurseri matematik oavsett program och fortsatta yrkes- ochstudieplaner. Skillnaden mellan gymnasiets olika pro-gram ar att pa vissa program laser eleverna fler, pa andrafarre kurser. Sverige ar det enda landet i varlden som harett sa likformigt system.

Med dagens system av gemensamma byggstenar kanman inte ge matematiken ett innehall som ar inriktat paelevernas ovriga amnen och programmets overgripandemal. Det ar inte rationellt. Det ar inte alls sjalvklart atten blivande ekonom bor lasa just den forsta delen avett program som blivande naturvetare laser. Tvartom -eleverna har olika mal med sina matematikstudier ochborde darfor lasa olika kurser. Det ar inte heller mest ef-fektivt for blivande naturvetare att borja pa samma sattsom elever pa yrkesprogram som laser sin enda och sistamatematikkurs.

Det finns ett konkret forslag pa en reformerad strukturfor gymnasiets matematik. Forslaget gar i korthet ut paatt matematikkurserna gors programspecifika, dvs gesmal och innehall som passar programmet. Vissa kurserkan fortfarande vara gemensamma for flera program.

Det ar viktigt att systemet kompletteras med kurser somoverbryggar for alla som vill lasa mer matematik en-ligt nagot annat programs kurser. Det ska inte finnasnagra atervandsgrander och alla ska kunna skaffa sigonskad behorighet for fortsatta studier, utan tidsodandeomlasning. Den nuvarande gemensamma karnkursen,A-kursen skulle andras sa att den forutom ett gemensamtinnehall av ”medborgarkunskap” i matematik far olikainnehall pa de olika programmen. Det nationella provetmaste da goras olika for olika program eller begransas tillden gemensamma delen.

Balansen i skolmatematiken har under olika perioderskiftat mellan a ena sidan det generella i matematikenoch a andra sidan matematikens anvandningar. I detgymnasium som fanns till borjan av 90-talet planer-ades matematiken i hog grad utifran tillampningarnai andra amnen. Med dagens gymnasieskola har bal-ansen definitivt tippat over for langt at det generellahallet. Men det nya forslaget innebar inte en atergangtill den snava yrkesmatematiken fran forr pa yrkespro-grammen eller den starka kopplingen av matematikentill just fysiken som naturvetare och tekniker fick fore1994 ars reform av gymnasiet. Det handlar om bredaretillampningsomraden idag.

Forslaget till reformerad gymnasiematematik togs framunder arbetet i matematikdelegationen, som tidigare ihost lamnade sitt betankande till regeringen. Forslagetfinns med i de forarbeten som gjordes av olika arbets-grupper under hosten 2003 och ingar i rapporten franen av arbetsgrupperna. Det ar bara att beklaga attmatematikdelegationen valde att inte att ta med forslagetnar delegationens betankande lamnades till regeringen iseptember.

Matematik ar skolans nast storsta amne, ambitionen arhog i malen for gymnasiet och menar man allvar medatt Sverige ska vara internationellt framstaende nar detgaller skolans matematikutbildning maste man snarastta itu med det grundlaggande problemet i gymnasietsmatematik. Detta strukturella problem ar statsmakternaansvariga for och det kan inte avhjalpas i enskilda klass-rum av enskilda larare. En reform ar en forutsattningatt andra forbattringar i matematikutbildningen ska fanagon effekt.

Den som ar intresserad av analysen bakom forslaget ochav hur den nya strukturen mer i detalj skulle se ut kanhitta arbetsgruppens rapport och bilagor pa webadressenwww.maths.lth.se/matematiklth/personal/gerd/

(Artikeln publicerades i SvD 31 januari 2005.)

Gör om gymnasiematten!

Af Gerd Brandell,Matematikcentrum, Lunds universitet,

Box 118, 221 00 LundEmail: Gerd.Brandell@math.lth.se

2324/05

Et spartansk værelse med en baggrund som man kanforsvinde igennem. Et bord og to stole. Personer: vonNeumann, Gud. En samtale i himlen. INGEN MU-SIK. Gud sidder ved bordet, von Neumann, en ver-densberømt matematiker, kommer ind gennem for-hænget. I dialogen holder Gud en kølig, høflig og ensmule neutral tone, von Neumann vil have svar påsine spørgsmål og agerer derefter.

Gud: Velkommen John von Neumann. Værsgoat sidde ned.

JvN: Tak.

Gud: Hvordan går det?

JvN: Bedre end på sygehuset. Hvad med dig?

Gud: Godt, tak. Har bestemt det selv. Jeg er joalmægtig, som bekendt.

JvN: Hvem er du?

Gud: Gud.

JvN: Det lyder mærkeligt. Fortæl mig mere.Er du måske den Gud der omtales i de helligeskrifter?

Gud: Den samme, i menneskelig skikkelse.

JvN: Så ved du måske alt om matematikken?

Gud: Ja, men jeg lader matematikken udviklesigselv. Det er mere underholdende på denmåde.

JvN: Hvor meget er mit arbejde om logikværd? Jeg synes ikke at jeg bliver påskønnet ef-ter fortjeneste. Ingen citerer mig længere.

Gud: Som sagt lader jeg menneskene om an-

erkendelse og ringeagt. Her hos os hersker enhøjere form for logik, utilgængelig for menne-skene. Jeg vil råde dig til at give dig god tid tilat se hvad der sker hos menneskene, nu hvordu har fået nye, rolige forhold. Hvis de opdagermodsigelser i matematikken er det deres sag.Du kan højst beklage at du ikke kan være tilstede ved sådanne interessante begivenheder.

JvN: Min bestræbelse i livet var først at blivehørt, siden var det et spørgsmål om at være nyt-tig og at tænke for adspredelsens skyld. Jeg varaldrig rolig og lykkelig.

Gud: Det var aldrig min hensigt med menne-skene.

JvN: Jeg nedskrev aksiomerne for Hilbertrum-met og følte siden fortsættelsen som en tvang.Mine operatoralgebraer blev bare et katalogover muligheder. Jeg ville skabe noget nyt, mendet lykkedes kun til dels. Jeg havde planer omet logisk system som skulle dække hjernens ak-tiviteter, men jeg nåede aldrig at tænke færdig.Sygdommen kom i vejen. Mit liv sluttede før ti-den. Hvis du er den du siger, må det være dinfejl. Hvorfor lod du mig ikke leve?

Gud: Min almægtighed uddelegeres ofte til til-fældighedernes spil. Der ville ellers blive alt formeget at lave. Det var en tilfældighed at du blevfødt, og tilfældigheden gav dig kræft. Jeg så påog gjorde ingenting. I øvrigt må jeg holde styrpå mere end dine forhold.

JvN: Hvad, for eksempel?

Gud: Alt hvad der sker, vil ske og har sket.Menneskenes ve og vel, mindste kryb og så vi-dere.

Filosofisk dialog

- Matematikken, livet og døden(Oversat af Ulrich Fahrenberg og Monica Johannsen)

Lars Gårding

24 24/05

JvN: Alligevel lader du til at tage det roligt.

Gud: Lige nu tager jeg mig af dig. Hvad er dinmening om matematikkens dybeste spørgsmål?

JvN: I modsætning til f.eks. Wittgenstein harjeg aldrig haft lyst til at lade filosofiens fun-damentale spørgsmål forstyrre mit sjælefred. Imatematikken er jeg opportunist. Så mange vi-dunderlige ting bliver skabt og gransket og for-stået. Sommetider protesterer en eller anden fi-losof imod vores måde at forstå på, men efter-som filosofferne stiller spørgsmål ved alt, behø-ver man ikke tage videre notits om hvad de si-ger. De har aldrig et ordentligt aksiomsystem.Hvis matematikken skulle indeholde en modsi-gelse, så kun i emnets filosofiske randområder,og det skulle kunne rettes op på ved små juste-ringer. Dette er min standpunkt, jeg er opportu-nist.

(Pause)

Der er i øvrigt noget mærkeligt ved den tiltræk-ningskraft, som de såkaldte yderste spørgsmålhar på mennesker. De kender intet til matema-tik, men er alligevel bekymret for emnets hold-barhed. Nogle gange antager det groteske for-mer. Min kollega Gödel tilbragte hele dage medat besvare breve om sin ufuldstændighedssæt-ning. Han forklarede at den ikke drejede sig omevige sandheder eller Guds eksistens (med for-lov), men bare om en vis måde at nummerereudsagnene i et logisk system på.

De der kontaktede ham, havde i bund og grunden religiøs længsel efter et velsignet, evigt feri-eliv. Har du en kommentar? Du er måske ikkehelt almægtig, men du kan tænke og have syns-punkter? Om matematikken for eksempel.

Gud: Jeg ER almægtig, men som jeg alleredehar sagt, kan jeg uddelegere min almagt. Engrund til det er, at jeg ikke vil forvikle mig ilogiske modsætninger. En total almagt betyderat jeg skulle have almagt over mig selv, og daville jeg både være almægtig og ikke almægtig.Dette er et logisk paradoks der ville kunne haveuoverskuelige følger. Som matematiker forstårdu mig bedre på dette punkt end mange an-dre. Jeg må sige at det føles godt at have enså kompetent samtalepartner. Hvis du vil havemig undskyldt, vil jeg nu forsøge at give udfør-

lige svar på dine spørgsmål. De omhandler tingsom er af stor betydning for mig.

Min almagt ville være en stor byrde hvis jegikke helt eller delvis delegerede den til tilfæl-dighederne, til naturens krafter, til visse men-nesker, forfattere, kunstnere, videnskabsmændosv. En gang imellem får endda djævelen del imin almagt, men naturligvis kun indenfor vissebegrænsninger. Altså: nogle gange bruger jegmin almagt, nogle gange ikke. Men hvor oghvordan jeg vil bruge den, bestemmer jeg na-turligvis selv. Alt andet er utænkeligt. Jeg måsige at jeg nyder min frihed.

Du spurgte om mine synspunkter. Ja, jeg harsynspunkter, eller rettere sagt, man har i alle ti-der tilskrevet mig synspunkter. Hvilke de er, erefterhånden lidt usikkert. Før var det enkelt: ef-ter min mening skulle mennesket være retskaf-fent, besøge helligdommen flittigt og have ensolid tro på mig og de hellige skrifter. Nu erdet egentlig kun muslimerne jeg kan stole på.Jeg ser et stadigt forfald af det religiøse liv, mentroen på at jeg findes synes at være ret stabil.Men alt dette kommer egentlig ikke mig ved.Menneskene behøver mig, ikke omvendt.

(Pause)

Og så var der det med matematikken. (Højtide-ligt) Den som forbinder verdens skæbner, kanikke være opportunist. Jeg tror på en entydig ogmodsigelsesfri matematik. Men samtidigt sårjeg tvivl hos visse mennesker, og særligt hosdem du taler nedsættende om. De kompromis-løse tvivlere har min sympati. Måske skal jeglade dem blive ved, og blive beundret for deresandægtige holdning til livets og videnskabensmysterier. Nu og i evighed. Amen.

JvN: Spar mig for dit religiøse tonefald. Dinmåde at kombinere tro og tvivl på, minder omden sene Wittgenstein. Er du blevet påvirket afham?

Gud: Jeg lader ikke dødelige påvirke mig.Tværtimod er det mig der påvirker dem.

JvN: Lad mig vende tilbage til matematikken.Er Riemanns formodning rigtig?

Gud: Ja!

2524/05

JvN: Så giv mig beviset.

Gud: Jeg ser beviset i ét hele. Det ville tage forlang tid at oversætte beviset til engelsk eller un-garsk. Du må nøjes med at Riemanns formod-ning er rigtig.

JvN: Du gør grin med mig. Giv mig beviset!

Gud: Jeg gør ikke grin med dig. Hvis du bliverved med at lave ballade, har jeg engle der kanføre dig til helvede. Længes du derhen?

JvN: (oprørt) Giv mig beviset!

Gud: Du kan larme så meget du vil. Det gene-rer ikke mig.

JvN: Jeg må få at vide om du bluffer eller ej.Forstår du hvorfor kvantemekanikken indehol-der så mange besværlige uendeligheder?

Gud: Forstår og forstår. Da jeg skabte kvante-mekanikken var jeg ikke i den bedste form, menden er OK.

JvN: Dit svar er latterligt. Det bliver mere ogmere umuligt for mig at tro at du er Gud.

Gud: Vi kommer ikke videre med dine spørgs-mål. Hvordan vil du have det her i mit hus?Vil du have nogen særlige opgaver? Måske somhimmelsk meteorolog?

JvN: Beskriv nærmere.

Gud: Vore meteorologer er ansvarlige for vej-ret på jorden. Jeg har ansat en engel der hæl-der vand på jorden, og en anden som sørger forsne og, indimellem, hagl. Jeg har også en mæg-tig stor og kraftig engel som puster og sørgerfor vind. Men disse opgaver er jo allerede besat.Vejret her i himlen er helt forudsigeligt, og alleved hvordan det bliver. Du kan måske få det tilat ligne vejret på jorden lidt mere. Men ikke formeget, naturligvis. Jeg tilbyder dig jobbet.

JvN: Vil ikke have det. Kan jeg ikke være ma-tematiker? Jeg er jo matematiker.

Gud: Det går ikke. Al matematik der findes her,findes i mig, og jeg offentliggør ikke noget påskrift. Jeg har endda forbudt al brug af skrift.Alt skal formidles mundtligt og i små portio-ner. Himlen ville ikke kunne overleve det rast-

løse system der hersker på jorden. Vi må leveøkologisk, i himmelsk forstand.

JvN: Du er ikke Gud. Jeg har hørt for mangemodsigelser allerede. Du lader som om du for-står alt og kan alt, og samtidigt har du et latter-ligt og modsigelsesfyldt system for vejret på jor-den. Det er umuligt at regn, sne og hagl og vindkan ordnes som du siger. Du er en bedrager, enelendig bedrager, eller også driver du gæk medmig.

Gud: Jeg driver ikke gæk med dig. Jeg er Gudog ingen bedrager. For at vise det, lader jeg detnu tordne. Torden! (Der lyder et forfærdeligt brag.)Pas på!

JvN: Du gør mig ikke bange. Jeg går. (Går, menstøder mod en usynlig væg. Prøver forgæves at findeud.)

Gud: Du må ikke gå. Jeg forhindrer dig i det.(JvN gør flere, men tammere forsøg. Sætter sig tilsidst.)

JvN: (noget stakåndet) Jeg tror stadig at du eren bedrager. Hvor er dine horder af engle, hvorer paradiset, hvor er ærkeenglene, hvor er Ga-briel? Hvor er Jesus? Skulle han ikke sidde veddin højre side?

Gud: Dem du søger findes i mit hoved. Jeg kanse dem for mig og derfor få dem til at eksisterehvornår det skal være. De der forestiller sig athimlen er en kopi af jorden, har ingen fantasi.

JvN: Du gør mig mere og mere forvirret. Hvorer vi?

Gud: Her, her!

JvN: Hvor er her?

Gud: Det er ubestemt. Eftersom vi taler så me-get, kan det ikke samtidig lade sig gøre at be-stemme hvor vi er.

JvN: Hentyder du til kvantemekanikkens ube-stemthedsrelation?

Gud: Ikke helt, noget lignende. – (En kortpause.) – Måske kan vi slutte fred? Du kan lideat tænke. Lad os tænke sammen.

JvN: Fint med mig.

26 24/05

(Både indtager tænkerstilling og tier stille i et stykketid.)

JvN: Hvad har du tænkt på?

Gud: Alt muligt, uendelig meget.

JvN: Kan du sige noget specifikt?

Gud: Jeg vil ikke. Det ville forstyrre helheden.Hvad har du tænkt på?

JvN: På primtal. Uden de hele tals primtals-struktur havde Gödel ikke kunnet gennemføresin nummerering.

Gud: Hvabehar!?

JvN: De hele tal er 1, 2, 3, 4, 5 osv. Ifølge én ma-tematiker er det dig der har skabt dem. Nogletal er produkter af andre tal bortset fra 1, andreer ikke, og de kaldes primtal. For eksempel er20 lig med 5 gange 4 og 4 lig med 2 gange 2.Tallene 5 og 2 er primtal, men f.eks. 20 er ikke.De første primtal er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Gud: Ja, ja. . . . Jeg ser dem allesammen: 29, 31,37, 41, 43, 47, 51, 53, 57, nej, det er 3 gange 19,61, 67, 71 . . . (denne talfølge fremsiges mere og meretøvende).

JvN: Stop! Stop! Du bliver aldrig færdig. Derfindes uendeligt mange primtal.

Gud: Det ved jeg godt. Jeg ser dem i ét hele.

JvN: Det kan jeg ikke. Men jeg kan vise at derfindes uendeligt mange primtal. Måden er føl-gende. Tag nogle primtal, gang dem sammen,og læg 1 til. Det tal man får, er enten selv etprimtal, eller et produkt af primtal, og ingenaf disse er et af dem man havde til at begyndemed. Lige meget hvor mange primtal man har,så findes der altid et til.

Gud: Lad være med at belære mig. Giv mignogle tal.

JvN: 2 gange 7 er 14. 14 plus 1 er 15. 15 er 3gange 5. Simsalabim! Af primtallene 2 og 7 harmetoden givet primtallene 3 og 5.

Gud: Meget snedigt! Og nyt for mig.

JvN: Beviset er 2400 år gammelt.

Gud: Men når man som jeg forstår alt og seralt, bliver man ikke så interesseret i beviser. Derer andre ting der optager min tid. Der findes såmange gudstjenester og bønner at lytte til. Jeghører dem kun med ét øre, men jeg kan ikke sebort fra menneskenes bønner og deres forestil-linger om mig.

JvN: Din eksistens og forholdene på jordenindebærer en modsigelse som normalt kaldesdet ondes problem. Du er alvidende, almægtigog uendelig god. Hvordan hænger det sammenmed sygdom, liden, synd og onde, og pludseligdød på jorden?

Gud: Det morer dig at gøre nar af mig. Du harselv set at jeg har truet dig og lukket dig indemod din vilje. Jeg er ikke gennemgående god.Den, der har skabt universet og livet og dødenpå jorden og andre steder, og som lader livetudfolde sig i en bestandig kamp, han er ikkegod og kan ikke være det. – I din matemati-ske jargon kunne jeg sige at det ondes problemsimpelthen ikke er velstillet. Apropos den slags:Leibniz’ løsning, den med at menneskene leveri den bedste af alle tænkelige verdener, har mo-ret mig engang. Problemet er at han ikke sigerhvem der tænker, ham eller jeg.

JvN: Som matematiker beundrer jeg Leibniz,men han var jo frem for alt filosof. Hvilke erdine tanker om filosofi?

Gud: Jeg har ingenting imod filosofi, bortset fraat den nogen gange er meget trættende. Menikke uinteressant! Jeg må sige, at de filosofferder har været stærke i deres tro, og som ikke harstillet spørgsmål ved min almagt eller visdom,mange gange har udført interessante tankepiru-etter. Men til sidst var de nødt til at tillade ube-viste påstande for ikke at modsige den menne-skelige fornuft. Den guddommelige fornuft harikke brug for den slags begrænsninger. For migdrejer det sig om at se helheden og ikke fortabesig i detaljer. Ved at jeg skabte virkeligheden, fikdet filosofiske begreb eksistens et meningsfuldtindhold. Og når man holder sig til eksistensen,forsvinder alle logiske problemer.

JvN: Din egen eksistens er et logisk problem.Hvis du er en del af virkeligheden, eksistererdu, hvis du ikke er en del af virkeligheden, ek-sisterer du ikke. Det er ikke sandt at alle proble-mer forsvinder med eksistensen.

2724/05

Gud: Jeg eksisterer, det er åbenbart, men jeghar ikke skabt mig selv! Må jeg være fri forspidsfindigheder.

JvN: Den uundgåelige konsekvens af at du harskabt virkeligheden er at du ikke findes! Eller atdu findes og ikke har skabt virkeligheden.

Gud: Men du ser jo at jeg findes! Og jeg harskabt alt!

JvN: Du vil ikke forstå. Men jeg har min men-neskelige fornuft i behold. Har du måske over-set noget?

Gud: Ikke helt. I virkeligheden morer menne-skenes kamp med logikken mig ganske meget.

JvN: Men det morer mig ikke at spille klovnfor dig. Jeg har egne tanker som du ikke kangennemskue.

Gud: Gud forbyde det! Men jeg er nu lidt usik-ker.

JvN: Skal vi ikke lægge filosofien bag os og gåover til mekanikken. Er du bekendt med solen,planeterne og kometerne?

Gud: Det er anden gang du prøver at gøre grinmed mig. Selvfølgelig er jeg det.

JvN: Kan du huske hvordan det var da duskabte solsystemet?

Gud: Om jeg kan huske! For mig har tid og rumingen grænser. Ved skabelsen sagde jeg: der skalvære lys, og så på den tredje dag, eller måskevar det den anden, kom solsystemet til, da jegskabte de store himmellegemer. Jeg sagde: derskal være sol og måner og stjerner. Første Mo-sebog siger ganske vist ikke mere end det, menjeg har altid syntes at den bog er alt for kort-fattet for at yde mig retfærdighed. Jeg mindesklart at jeg også skabte de små bevægelige him-mellegemer. Jeg sagde: der skal være planeter.Bagefter kunne jeg jo se det hele fra min højeudkigspost. Hvordan jorden og planeterne dre-jer rundt omkring dem selv og solen. Det var erstorartet skuespil. Jeg synes at det er lykkedesmig meget godt.

JvN: Hvordan var det med gravitationen?

Gud: Hvad mener du?

JvN: Planeterne bevægelse omkring solen føl-ger af gravitationsprincippet. I den matema-tiske model for planetsystemet tiltrækker topunktmasser hinanden med en kraft som er di-rekte proportional med produktet af deres mas-ser og omvendt proportional med kvadratet påderes indbyrdes afstand. Denne lov og accelera-tionsprincippet bestemmer den fortsatte bevæ-gelse hos vilkårligt mange sådanne masser, hvisderes sted og hastigheder er givet på et tids-punkt.

Gud: Det lyder godt, men hvad er masse og såvidere?

JvN: Det kan forklares, men fidusen er at ditplanetsystems bevægelse kan sammenfattes ogforudsiges i en simpel matematisk model. Dusagde: der skal være ditten og datten, og detsom blev til, styres af et enkelt princip.

Gud: Jeg er ikke dummere end at jeg kan for-stå hvad du siger hvis jeg vil. Men det du sigerforbavser mig. Har du fundet på det?

JvN: Nej. Det var Isaac Newton for 300 år si-den.

Gud: Ja, ja. . . . Nu kan jeg huske. Hos filosof-ferne blev jeg urmageren der gjorde universettil et selvkørende urværk. Det var en forulem-pelse.

JvN: Gravitationen gjorde det muligt at for-stå planetsystemets bevægelse. Og det var etstort fremskridt for den teoretiske fysik. Og denblev endnu bedre med Einsteins almene rela-tivitetsteori. Den kan ikke formuleres som år-sag og virkning, bare som et variationsprincip.Jeg og mange med mig anser variationsprincip-pet som universets dybeste princip. Hvad er dinmening? Har du nogen?

Gud: Måske, men husk på at jeg forstår AL-TING og ikke behøver at afsløre noget. For me-gen videnskab forstyrrer den himmelske har-moni.

JvN: Du siger at du forstår, men hvorden skaldet forstås?

Gud: Det er almagtens måde at forstå uden de-taljer.

28 24/05 Tema

JvN: (ironisk) Genialt! Måske kan du lære migat forstå på denne udmærkede måde?

Gud: Jeg advarer dig. Ironi har ingen plads ihimlen.

JvN: (ironisk) Hvorfor gjorde du ikke ska-belsen mere systematisk og videnskabelig. Dukunne for eksempel have startet med grund-stofferne. Der skal være brint, der skal være he-lium, der skal være litium, beryllium, bor, kul-stof, kvælstof, ilt osv. Eller du kunne have be-gyndt fra begyndelsen. Der skal være Knald!

Gud: Hvabehar?

JvN: Ifølge én model dannedes universet afkoncentreret energi på tre sekunder gennemen eksplosionsagtig udvidelse, noget man spø-gefuldt kalder urknaldet eller the Big Bang.Grundstoffer dannedes og spiraltåger og galak-ser osv. Universet som vi ser det nu.

Gud: Du begynder at gå for vidt. At belære migom skabelsen! Hvis det er som du siger, var detmig der var urknaldet.

Men skabelsen måtte forstås af mennesker udenuddannelse. Derfor valgte jeg at starte med atsvæve over vandene og at tale i billeder til men-neskene på menneskenes vis.

JvN: (alvorligt) Du begår en fejl når du stillerretorikken over videnskaben. Modeller er men-neskets eneste måde at forstå naturen på. Mate-matiske modeller er særligt skarpe og har væretoverordentlig succesrige i mange meget vigtigetilfælde. Men det forhindrer ikke at de kan væremislykkede eller blive brugt dårligt. Der findesogså alt for indlysende og intetsigende model-ler. Alle er menneskeskabte.

Gud: Nu er du altså mindre sikker!

JvN: (entusiastisk) Vores viden er foreløbig,men sikker indenfor vigtige områder. Relativi-tetsteori, kvantemekanik, lys og elektricitet erblevet kombineret til en skøn enhed, og de-res resultater er blevet verificeret tusindvis afgange gennem eksperimenter. Vi er på vej tilat forstå materiens struktur. Det vi mangler eren teori der også indbefatter gravitationen. (Iro-nisk.) Men du som er almægtig og som ved alt,

du kan måske hjælpe os?

Gud: Nu begynder du med dine sædvanligebønner. Svaret er nej.

JvN: Hvorfor?

Gud: Jeg har skabt menneskene og jeg er ogsåsolidarisk med dem. Det du taler om, forstås afet lille fåtal. Jeg må forstås af mange, og passeså mange detaljer, fra det lille til det store ogfra det eksakte til det tilfældige, at jeg ikke hartid til matematiske modeller. De har deres pladssom tidsfordriv. Filosofi som hobby. Menneske-nes velfærd som den store opgave. Mit syn erholistisk.

JvN: (rasende) Du siger at du forstår, men nu erdet mig som virkelig forstår hvem du er. Du harleget med i vores samtale, du har ladet som omdu forstår og afspist mig med retorik.

Samtidig har du ingen anelse om de naturloveder styrer både dig og alle andre. Du lader ogsåsom om menneskenes velfærd er din store op-gave. Utroligt. Alle lider og dør under din vel-færd, og de fleste dør som jeg for tidligt i van-vittig frygt. Din almagt er en illusion uden sub-stans. Din himmel er et stille helvede, et afbil-lede af et mere interessant helvede på jorden.

Men du har ingen forstand, du spejler kun dender taler til dig. Du tror at du er Gud, men duer en viljeløs tilskuer til naturens og livets un-der. Det er menneskene der har skabt dig. Deter deres ønsker og frygt som tager form i dig.Resultatet er svært at skelne fra en anden skik-kelse. Jeg mener djævelen.

Gud: (roligt) Du er blasfemisk, og det er ikkegodt for nogen af os. Vor samtale har ikke væretuinteressant for mig, men nu er den slut. (Gudforsvinder i baggrunden ved hjælp af en lyseffekt.JvN er alene tilbage og venter længe mens han mum-ler og gestikulerer – i starten i vrede og triumf (Hvil-ken idiot! Utroligt! Ren middelalder! osv. ad.lib. menikke for meget) der siden overgår i tvivl. På et tids-punkt under denne scene støder von Neumann indi en usynlig væg og bliver mindet om sin situation.Til slut hører man en stemme: John von Neumannbevilges foretræde hos Djævelen.)

(Forhæng)

2924/05

Uddannelsesfronten

ved Carl Winsløw

Ett nytt tillskott inom forskningen vid matematiska in-stitutioner i Sverige är matematik med didaktisk inrikt-ning, som på 90-talet introducerades som en specialise-ring på ett par ställen (Umeå, Luleå). Andra institutionerföljde efter i samband med att Riksbankens Jubileums-fond inrättade en nationell forskarskola inom området2001. Skolan har finansiering också från vetenskapsrå-det (den största statliga forskningsfinansiären) och dentotala budgeten för fem år uppgår till över 50 miljonerSEK. Idag har bland andra universiteten i Göteborg,Linköping, Luleå, Stockholm, Umeå, Uppsala och Växjöforskarutbildning inom området vid sina matematiskainstitutioner. Avgränsningen av området matematik meddidaktisk inriktning är av naturliga skäl inte skarp och up-pfattningen om vad det innehåller växer successivt framutifrån den forskning som bedrivs. En preliminär besk-rivning är att forskningen behandlar matematikdidakti-ska frågor som kräver djup förståelse av ämnet och attforskningen bygger på omfattande kunskaper om mate-matikens vetenskapsteoretiska status, av dess historiskautveckling och av matematikens begrepp, metoder ochteoriuppbyggnad. Sverige ligger efter de andra nordis-ka länderna när det gäller att inrätta speciella tjänsterinom matematikdidaktik och den matematikdidaktiskaforskningen har tidigare framförallt bedrivits vid peda-gogiska och ämnesdidaktiska institutioner.

Forskarutbildningen i Sverige är fyraårig men genom-förs oftast under fem år med 20% undervisning vid sidanav forskarstudierna. Som valmöjlighet finns licentiatexa-men som etappmål efter halva tiden. I utbildningen ingårförutom avhandlingsarbetet också kurser, som är specielltriktade till forskarstuderande. Doktoranderna har dok-torandtjänster, som finansieras via universitetens forsk-ningsanslag eller från externa källor.

Tjugo doktorander vid tio olika institutioner runt omi landet får sin finansiering från forskarskolan. Dessa dok-torander, andra forskarstuderande och handledare hardeltagit i matematikdidaktiska kurser och seminarier som

givits inom forskarskolan med internationellt etableradeforskare som inbjudna lärare. Handledningen sker i sam-verkan mellan matematiker, matematikdidaktiker, mate-matikhistoriker och pedagoger. Många av doktorander-na handleds i sitt avhandlingsarbete också av experterfrån andra länder. Forskarskolan har organiserat samar-bete med forskare från Norge, Danmark, Storbritannien,Nederländerna, Tyskland, USA och Australien.

Den matematikdidaktiska forskningen har breddatsinnehållsmässigt genom förankringen på matematikin-stitutionerna. Doktoranderna arbetar med projekt som tarupp en rad frågor som inte tidigare behandlats i svenskforskning. Många av projekten riktas mot gymnasiets ochhögskolans matematikutbildning. Hittills har tio dokto-rander avlagt licentiatexamen och fortsätter mot doktor-sexamen. Andra går direkt på doktorsexamen. Mångaspännande frågor dyker upp, eftersom forskarskolan ärtvärvetenskaplig och olika forskningstraditioner mötsinom dess ram. Det kan gälla frågor om kvalitet i forsk-ningen, organisation av forskarutbildningen och hand-ledningens innehåll. Ledningsgruppen för forskarskolankommer att låta utvärdera skolan utifrån olika perspek-tiv, med syftet att dra nytta erfarenheterna för framtiden.

Forskarskolan är en engångssatsning och den kom-mer att avslutas 2006 då de doktorander som antogs vidstarten beräknas kunna avlägga sin doktorsexamen. Even-tuellt kommer forskarskolan att få en fortsättning medannan finansiering. Oavsett forskarskolans framtid kom-mer forskningsområdet att utvecklas vidare vid de mate-matiska institutionerna, eftersom det numera finns akti-va forskare – både professorer och lektorer – som arbetarinom fältet, levande forskningsmiljöer och ett växandeintresse från studenterna. Efterfrågan på färdiga dokto-rer är stor, bland annat från lärarutbildningen.

Information om forskarskolans verksamhet och bak-grund finns på www.msi.vxu.se/Forskarskolan/

Af Gerd Brandell,Matematikcentrum, Lunds universitet,

Box 118, 221 00 LundEmail: Gerd.Brandell@math.lth.se

En svensk forskarskolai matematik medämnesdidaktisk inriktning

30 24/05 Tema

Nyt om gymnasielæreruddannelserne

Ministeriet for Videnskab, Teknologi og Udvikling harudsendt et Høringsudkast til retningslinier for universitets-uddannelser rettet mod undervisning i de gymnasiale uddan-nelser, som når dette læses må ventes at være færdigbe-handlet.

Det forudsættes som hidtil, at uddannelserne giverkompetence til undervisning i to fag fra gymnasiets fag-række. Retningslinierne omfatter, for gymnasiets fagræk-ke, en beskrivelse af to former for kompetence: faglig kom-petence, der opnås gennem kandidatuddannelsen, og pæ-dagogisk kompetence der opnås gennem pædagogikum. Vigiver her et sammendrag af bestemmelserne vedr. detførste, som på nogle punkter vil indebære forandringeraf universiteternes bidrag til matematiklærernes uddan-nelse.

Den faglige kompetence forudsætter en eksamen påkandidatniveau (i matematik eller et andet fag) samt gym-nasiefag i matematik. Det sidste indebærer studieaktivite-ter med et samlet omfang på to årsværk, indeholdende

• obligatorisk kernestof på mindst et årsværk• dybdestof på op til et halvt årsværk• breddestof på ca. en tredjedel årsværk• fagdidaktik og videnskabsteori på ca. en sjettedel

årsværkKategorierne er nye, og det er nyt at fagdidaktik ind-

går som et krav i selve universitetsstudiet (videnskabste-ori indgår som bekendt allerede i bachelor-uddannelser-ne).

Kernestoffet præciseres gennem en emneliste (calculus,matematisk analyse, geometri, lineær algebra, algebra,sandsynlighedsteori og statistik) der udmærker sig veden mindre detaljegrad end den tidligere kompetencebe-skrivelse. Dybdestoffet sigter på at give kendskab til ”ud-valgte emner af betydning for forskning, udvikling ellerformidling, og skal vælges fra en af universitetet fastsatliste”, som ”bør omfatte et eller flere videregående fag ialgebra, geometri eller analyse, diskret matematik, algo-ritmer, dynamiske systemer, sandsynlighedsteori og sta-tistik eller matematisk modellering inden for naturviden-skab”. Endelig skal breddestoffet omfatte matematikkenshistorie, indledende programmering/IT samt matematiskmodellering fra et eller flere fagområder.

Flg. bestemmelse er bemærkelsesværdig: ”For to-fag-lige uddannelser inden for naturvidenskab med henblikpå undervisning i de gymnasiale uddannelser, hvor ma-tematik er tilvalgsfag, forudsættes uddannelserne tilret-telagt således at ca. et halvt årsværk (herunder didaktikog videnskabsteori) kan godskrives fra det centrale fag.”Det betyder, at tilvagsfag (det ”lille fag”) kan indeholdeca.1/3 årsværk fra kandidatuddannelsen, som altså skalvære relevant for sidefaget, samtidig med at kravene tilgymnasiefaget opfyldes. Det betyder også, at studieele-menter i naturvidenskabernes fagdidaktik skal tilrettelæg-ges, så de kan indgå i flere faglige kombinationer.

Kilde: http://www.videnskabsministeriet.dk (se un-der ”Lovstof”, ”Retningslinier”)

Nyt tidsskrift om matematik- ognaturfagsdidaktik

Redaktionen modtaget en pressemeddelelse, hvori detbl.a. hedder: ”Undervisere i alle dele af uddannelsessy-stemet får adgang til den nyeste viden om undervisninginden for matematik og naturfag, når tidsskriftet MO-NA udkommer. Tidsskriftet skal være et tiltrængt binde-led mellem forskning og praksis og skal bidrage til enstyrkelse af matematik- og naturfagligheden i uddannel-sessystemet.

Tidsskriftet får navnet ”Matematik- og Naturfagsdi-daktik – tidsskrift for undervisere, formidlere og forske-re”. I daglig tale MONA. Undervisningsministeriet harstøttet initiativet ved at bevilge 600.000 kroner til etable-ringen af MONA og til udgivelsen af de fire første numrei 2005/2006.

Danmarks Pædagogiske Universitet er med til at fi-nansiere projektet og står som udgiver af tidsskriftet. Re-daktør bliver Henrik Busch, der er lektor i naturfagsdi-daktik ved Danmarks Pædagogiske Universitet. Han pe-ger på, at der længe har været behov for et bindeled mel-lem forskning og uddannelse.

”Forskning og udviklingsarbejde får meget størreværdi, hvis den opnåede viden i højere grad når ud tilunderviserne. Mange har peget på, at vi har et problempå dette punkt i Danmark. Derfor er vi glade for, at Un-dervisningsministeriet og Danmarks Pædagogiske Uni-versitet har støttet tidsskriftet,” siger Henrik Busch.

Der planlægges årligt fire numre af MONA. Førsteårgang vil takket være bevillingen fra Undervisningsmi-nisteriet kunne udsendes vederlagsfrit til ca. 5000 abon-nenter. Abonnement kan tegnes gratis på MONAs hjem-meside

Det første nummer udgives i september 2005.”Tidsskriftets hjemmeside er: www.dpu.dk/mona ,

hvor man bl.a. kan læse at abonnent nr. 2000 har modta-get en boggave, og at tidsskriftet er på vej mod 3000 abon-nenter. Om der også vil være en gave til nr. 3000 må jokomme an på en prøve!

Et par korte uddannelsesnyheder fra Danmark

3124/05

Boganmeldelse MatematikerNytved Mikael Rørdam

Morten Misfeldt er pr. 15. juniansat som adjunkt i Matematik-kens didaktik på Learning LabDenmark, DPU.

Morten er Cand. Scient. i Ma-tematik og Fysik fra KøbenhavnsUniversitet (2001) og har sidensommeren 2002 været ph.d. stude-rende ved Learning Lab Denmark.

Mortens forskning handler omhvordan teknologi kan understøt-

te matematisk skrivning på samme måde som alminde-lig skrivning er støttet af gængse tekstbehandlingssyste-mer. I sin afhandling har Morten undersøgt hvordanmatematiske skriveprocesser ser ud blandt forskere ogstuderende.

Morten er gift med Sille og far til Otto på 4 samt tvil-lingerne Sigurd og Asta fra april i år.

Mette Andresen er pr 1. august2005 ansat som adjunkt i matema-tikkens didaktik ved Institut forCurriculumforskning, DanmarksPædagogiske Universitet.

Mette er uddannet cand. scient.i Matematik og Kemi fra Køben-havns Universitet (1993) og harværet gymnasie- og seminariead-junkt i en årrække. Ph.d. projek-tet, afsluttet 1. august 2005, om-

handler brug af IT i gymnasiets matematikundervisnin-gen og er tilknyttet projektet ’Matematik og Naturfag iVerdensklasse’. Vejleder er lektor Morten Blomhøj, Ros-kilde Universitet.

Mettes professionelle interesseområder er, foruden ITsom didaktisk redskab i matematik, ingeniørdidaktik og(matematik-)læreres professionelle udvikling i ikke-sko-lastiske rammer.

I sin fritid laver Mette naturkosmetik og –hudpleje-midler, ser film og hygger sig med familien og vennerne.

Ryszard Nest er pr 1. april 2005ved kaldelse ansat som professorved Institut for Matematiske Fag,Københavns Universitet.

Ryszard er cand. scient. i mate-matik og fysik fra KøbenhavnsUniversitet (1975), licentiat (1987)samme sted. Han har været ansatsom lektor ved Herlev Gymnasi-um fra 1979 til 1988 og ved Mate-matisk Afdeling, KU siden 1989.

Han arbejder med ikke-kommutativ geometri, som harudviklet sig til et selvstændigt matematisk område i lø-bet af de sidste tyve år. Hans medforfattere er kan findespå alle verdens kontinenter, og det, som Ryszard er ikkeglad for, er lufthavne.

Ryszard bruger gerne sin fritid på ballet og vandret-ure.

Matematisk Forenings Sommerskole 2005 =54th Study Group with Industry.

Dansk Matematisk Forenings Sommerskole 2005 fusio-nerer under overskriften ‘Anvendt Matematik’ med af-holdelsen af den 54. ‘Study Group with Industry’, et ar-bejdsmøde hvor konkrete industriopgaver takles afmatematikere.Se: http://www.mip.sdu.dk/ESGI54

Begivenhederved Poul Hjorth

FORSKERSKOLE I MATEMATIKOG ANVENDELSER

Compact course for PhD-students5-9 Sep-tember 2005, University of Aarhus, DenmarkSponsor: The Danish Graduate School inMathematics and Applications. Organizer :Henning Haahr AndersenSe: http://www.imf.au.dk/conferences/FMOA05

Quantum Transport and Excitations from Macro to Na-noscale: Theory and ApplicationsAalborg, November10—13, 2005Deadline for registration: October 10, 2005.Ifyou wish to participate in the workshop, please e-mailcornean@math.aau.dkand specify your name, affiliation,and whether you would like to get our help in findingaccomodation. The registration deadline is October the10th, 2005. We expect to have a participation fee of 100Euros (including the conference dinner). Only the invitedspeakers are automatically exempted from paying thisf e e . h t t p : / / w w w. m a t h . a a u . d k / ~ c o r n e a n /frontpage_w.html

32 24/05

Boganmeldelse Aftermathved Mogens Esrom Larsen

Løsninger

AFTERMATH

LØSNINGER

De 3 sidste opgaver er hentet fra Kenneth

Hardy and Kenneth S. Williams, The Green

Book of Mathematical Problems, Dover

1985.

Vinkler i rum

Opgaven var fra Peter Winkler, Mat-

hematical Puzzles, A K Peters, 2004.

Han har den fra Paul Erdos og Victor

Klee. Løsningen skyldes George Danzig og

Branko Grunbaum.

Vis, at blandt en mængde af mere end 2n

punkter i Rn findes altid 3, der danner en

stump vinkel.

Lad x1, · · · , xn være forskellige punkter i

Rn, og lad P være deres konvekse hylster.

Vi kan skalere, sa rumfanget af hylsteret

er 1 i passende dimension of Rn. Vi kan

ogsa antage, at x1 = 0. Hvis ingen vinkel er

stump, sa vil det indre af P være disjunkt

fra translationen xi + P for alle i > 1. Thi

hyperplanen i xi vinkelret pa vektoren xi

skiller polytoperne. Ogsa de indre af xi +P

og xj +P for i �= j er disjunkte, fordi der er

en skillende plan vinkelret pa xi − xj gen-

nem xi + xj. Derfor er rumfanget af fore-

ningen af polytoperne xi + P for 0 ≤ i ≤ k

netop k. Men alle polytoperne ligger inden

i den dobbelte polytop 2P = P +P , der har

rumfanget 2n, sa vi slutter, at k ≤ 2n.

Harmoniske trekanter

Opgaven er fra Else Høyrup, og den er løst

af Ebbe Thue Poulsen.

Vi gar ud fra Pascals trekant:

1 1 1 1 1 · · ·0 1 2 3 4 · · ·0 0 1 3 6 · · ·0 0 0 1 4 · · ·0 0 0 0 1 · · ·

Vi starter en ny harmonisk trekant, hvis

1. søjle er leddene i den harmoniske række.

Hver søjle i denne trekant dannes ved at

tage kvotienten af den 1. søjle med tilsva-

rende række i Pascals trekant:

1112

12

13

16

13

14

112

112

14

15

120

130

120

15

16

130

160

160

130

16

17

142

1105

1140

1105

142

17

· · · · · · · ·· · · · · · · ·· · · · · · · ·

F. eks. er elementerne 13, 1

12, 1

30, ... i den 3.

søjle dannet ved at dividere 11, 1

2, 1

3, ... med

3, 6, 10, ..., elemeterne i 3. række i Pascals

3324/05

trekant.

Vis, at hver søjle bestar af differenserne af

elementer i søjlen til venstre.

xrs =1

(r − s)(

rs

)Den ønskede identitet xrs = xr−1,s−1−xr,s−1

følger heraf ved elementære udregninger,

men man kan ogsa bevise den ved at ud-

nytte identiteten

(r − s)

(r

s

)= (s + 1)

(r

s + 1

)

og det velkendte udtryk for binomialkoeffi-

cienterne som sum af to “lavere” binomial-

koefficienter.

xr−1,s−1 − xr,s−1 = 1

s(r−1s )

− 1

s(rs)

=

(rs)−(r−1

s )s(r

s)(r−1

s )=

(r−1s−1)

s(rs)(

r−1s )

=(r−1

s−1)(r−s)(r−1

s−1)(rs)

= xrs

Da der ogsa gælder

(r − s)

(r

s

)= r

(r − 1

s

)

ses det, at hvis skemaet skrives op sadan,

som man normalt skriver Pascals trekant

med symmetrisk arrangerede rækker, sa

bestar den r-te række af de reciprokke til

den r-te række i Pascals trekant divideret

med r.

Bernoulli

Opgaven er stillet af Kwang–Wu Chen i

Am. Math. Monthly 101, 1994.

Vis identiteten for Bernoulli polynomierne

for m ≥ 1,

∑mk=0

(mk

)Bk(α)Bm−k(β) = −(m − 1) ·

Bm(α + β) + m(α + β − 1)Bm−1(α + β)

Vi benytter den frembringende funktion for

Bernoulli polynomierne:

xekx

ex−1=

∞∑n=0

Bn(k)xn

n!

Ganges to af dem sammen for t = x, den

ene med k = α, den anden med k = β, fas

t2e(α+β)t

(et − 1)2 =∞∑

n=0

tn

n!

n∑k=0

(n

k

)Bk(α)Bn−k(β)

Ved differentiation af den frembringende

funkton med hensyn til t efterfulgt af mul-

tiplikation med t fas formlen

text

et − 1+xt

text

et − 1− t2e(x+1)t

(et − 1)2 =∞∑

n=0

nBn(x)tn

n!

Substitution af rækkken i denne formel med

x = α + β − 1 giver

t2e(α+β)t

(et−1)2=

1 +∑∞

n=1tn

n!(−(n − 1)Bn(α + β − 1)

+n(α + β − 1)Bn−1(α + β − 1))

34 24/05

Bernoulli polynomiernes differensligning gi-

ver nu

Bm(α+β−1) = Bm(α+β)−m(α+β−1)m−1

for m = n og m = n − 1 henholdsvis følger

formlen ved ledvis sammenligning.

En række

Hvis (bn), n = 0, 1, 2, · · · er en følge af ikke

negative reelle tal, skal det vises, at rækken

er konvergent:

∞∑n=0

bn

(a + b0 + b1 + · · · + bn)32

Den er løst af Ebbe Thue Poulsen.

Lad os sætte

an =bn

(a + b0 + b1 + · · · + bn)32

Vi ser først pa det tilfælde, at rækken∑∞n=0 bn er konvergent. I dette tilfælde gi-

ver vurderingen an ≤ bn/a32 , at rækken∑∞

n=0 an er konvergent.

Derefter betragtes det tilfælde, at rækken∑∞n=0 bn er divergent. Hvis vi sætter

sn = a + b0 + b1 + · · · + bn

og

nk = min{n ∈ N|sn ≥ 2k}

sa gar nk mod ∞ og

∞∑n=0

an =∑n<n0

an +∞∑

k=0

∑nk≤n<nk+1

an (1)

For n ≥ nk er an ≤ bn/(2k)32 , og altsa er

∑nk≤n<nk+1

an ≤ ∑nk≤n<nk+1

bn/(2k)32 ≤(

a +∑nk+1−1

n=0 bn

)/(2k)

32 < 2k+1/(2k)

32

Da rækken∑∞

k=0 2/(212 )k er konvergent, er

ogsa rækken pa højre side af (1) konvergent.

Polynomielt

Findes der et ikke konstant polynomium

p(z) af grad n med højestegradskoefficient

1, sa at |p(z)| < Rn pa |z| = R, hvor R > 0?

Den er løst af Ebbe Thue Poulsen.

Nej! Kurven med parameterfremstillingen

w = q(z) = zn, hvor z = Reit, 0 ≤t ≤ 2π, har omløbstal n omkring 0, og da

|p(z)| < |q(z)|, har kurven w = f(z) =

q(z) − p(z), z = Reit, 0 ≤ t ≤ 2π ligeledes

omløbstal n omkring 0. Derfor har funktio-

nen f præcis n nulpunkter inden for cirklen

|z| = R i modstrid med, at f er et polyno-

mium af grad højst n − 1.

Diophantisk

Vis, at ligningen ikke har heltallige

3524/05

løsninger

x4 + y4 + z4 − 2y2z2 − 2z2x2 − 2x2y2 = 24

I en løsning kan ikke alle 3 tal være lige, da

16 sa ville ga op i 24. Altsa har vi f. eks.

x ≡ 0 (2) y ≡ z ≡ 1 (2)

derfor gælder

x4 ≡ 0 (16)

y4 ≡ z4 ≡ 1 (16)

−2y2z2 ≡ −2 (16)

−2x2z2 ≡ −2y2x2 ≡ −2x2 (16)

Hereaf følger

−4x2 ≡ 8 (16)

som fører til

x2 ≡ 2 (4)

en umulighed.

NYE OPGAVER

Summer

Vis identiteten

n∑k=1

1

k(

nk

) =1

2n−1

n∑k=1,k ulige

(nk

)k

Diophantisk

Lad n være et naturligt tal. Vis, at hvis lig-

ningen

x3 − 3xy2 + y3 = n

har en heltallig løsning (x, y), sa har den

mindst 3 sadanne løsninger.

Sekskanten

Diagonalerne AC og CE i en regulær seks-

kant, ABCDEF deles af indre punkter hhv.

M og N saledes, at der gælder

|AM ||AC| =

|CN ||CE| = λ

Hvor stor er λ, hvis B, M og N ligger pa

ret linie?

Interpolation

En funktion er defineret for alle naturlige

tal og antager kun hele, ikke negative vær-

dier. Der gælder for alle m og n:

f(m + n) − f(m) − f(n) ∈ {0, 1}f(2) = 0

f(3) > 0

f(9999) = 3333

Bestem f(1982).

Institut Mittag-Leffler. Fotograf : Jakob Stoustrup

Torsten CarlemanArne BeurlingGösta Mittag-Leffler Lars Hörmander