Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Antonija Milisic
Mohr-Mascheronijeve konstrukcije
Diplomski rad
Osijek, 2012.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Antonija Milisic
Mohr-Mascheronijeve konstrukcije
Diplomski rad
Mentor: prof. dr. sc. Zdenka Kolar-Begovic
Osijek, 2012.
Sadrzaj
Uvod 2
1 O povijesti Mohr-Mascheronijevih konstrukcija 3
2 Geometrijske konstrukcije 5
3 Mohr-Mascheronijeve konstrukcije 73.1 Mohr-Mascheronijev teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Kratak dokaz Mohr-Mascheronijevog teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Dokaz Mohr-Mascheronijevog teorema primjenom inverzije 224.1 Inverzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Dokaz Mohr-Mascheronijevog teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Neki primjeri konstruktivnih zadataka 27
6 Geometrija i glazba 36
Sazetak 38
Summary 39
Zivotopis 40
1
Uvod
U ovom radu razmatraju su konstrukcije kojima se prvi bavio George Mohr, konstruk-cije samo sestarom.
U prvom poglavlju ukratko je obradena povijest geometrijskih konstrukcija, posebnokonstrukcija koristenjem samo sestara.
U drugom poglavlju razmatraju se geometrijske konstrukcije te su navedene sve vrstegeometrijskih konstrukcija ogranicenim sredstvima.
U trecem poglavlju bavimo se samo Mohr-Mascheronijevim konstrukcijama. Nave-den je i dokazan na dva nacina Mohr-Mascheronijev teorem.
U cetvrtom poglavlju Mohr-Mascheronijev teorem dokazan je koristenjem inverzije.Opisano je kako se metoda inverzije koristi za rjesavanje geometrijskih konstruktivnih zada-taka koristenjem samo sestara. Definirana je sama metoda, naveden dokaz te su koristenjemmetode inverzije rijeseni neki geometrijski konstruktivni zadaci.
Peto poglavlje se sastoji od velikog broja rijesenih geometrijskih konstruktivnih pri-mjera, medu kojima je i poznati Napoleonov problem.
U posljednjem poglavlju ukratko je navedena veza izmedu geometrije i glazbe.
2
Poglavlje 1
O povijesti Mohr-Mascheronijevihkonstrukcija
Anticki grcki matematicari su osim ravnala i sestara za svoje konstrukcije koristilimnoge druge instrumente kao sto su npr. razni uredaji pomocu kojih su konstruirali kut triputa manji od zadanog.Medutim, smatrali su da je potrebno ograniciti upotrebu instrumenata za izvodenje kons-trukcija. Poznati nerjesivi konstruktivni problemi ravnalom i sestarom su trisekcija kuta,duplikacija kocke i kvadratura kruga. 2000 godina su matematicari uporabom jedino rav-nala i sestara pokusavali rijesiti ta tri problema, dok konacno nisu dokazali da to nije moguce.
Neki su matematicari kroz povijest restringirali instrumente koje koriste za izvodenje kons-trukcija. Prvi poznati matematicar koji je izvrsio restrikciju instrumenata za izvodenjekonstrukcija je perzijski matematicar Abul Wefa1. Njegovo djelo Kitab al-Hindusa sadrziveliki broj geometrijskih problema vezanih za fundamentalne konstrukcije sa ”fiksiranimsestarom”, sestarom koji nikada ne mijenja svoj polumjer. Neke od temeljnih konstrukcija
Slika 1.
koje je izveo Wefa koristeci ravnalo i sestar odredenog polumjera su konstrukcija simetraleduzine (vidi Sliku 1), konstrukcija paralele kroz zadanu tocku sa zadanim pravcem (vidi Sliku2), konstrukcija pravilnog hektagona (poligon sa sto stranica jednake duljine kojemu su sviunutrasnji kutovi jednaki) duljine stranice jednake polovini stranice jednakostranicnog tro-kuta upisanog u isti krug... Osim Wefe, takvim konstrukcijama bavio se Leonardo da Vinci2
te brojni ruski matematicari.Jos jedno vazno djelo iz ovog podrucja anonimno je izdano u Amsterdamu 1673. godine,
1Abul Wefa ibn Mohammad ibn Yahya ibn Ismail Buzjani (940.-998.) perzijski matematicar i astronom.2Leonardo da Vinci (1452.-1519.), talijanski slikar, arhitekt, izumitelj, glazbenik, kipar, mislilac, mate-
maticar i inzenjer.
3
4
Slika 2.
knjizica od 24 stranice pod nazivom Compendium Euclidis Curiosi. Smatra se kako izvornopripada danskom matematicaru Georg Mohru. Poncelet3 i Steiner4 su dokazali da su svekonstrukcije izvodive ravnalom i sestarom izvodive upotrebom ravnala i fiksiranog sestaraproizvoljno odredenog polumjera (dovoljan je samo centar i kruzni luk).Konstrukcijama samo sestarom bavio se danski matematicar George Mohr te je u svojojknjizi Euclides Danicus, izdanoj 1672. godine, dokazao da su sve euklidske konstrukcijeizvedive samo upotrebom sestara. Njegovo djelo bilo je izgubljeno tako da je talijanski ge-ometricar Mascheroni dokazao taj isti teorem ne poznavajuci Mohrove rezultate i objavio ga1797. godine u djelu Geometria del compasso. Izgubljeno djelo Georga Mohra pronasao jeu antikvarijatu u Kopenhagenu danski student. Pokazao ga je svom profesoru matematike,Johannesu Hjelmslevu5, koji je preveo Euclides danicus na njemacki jezik i objavio ga 1928.u Kopenhagenu.
3Jean-Victor Poncelet (1788.-1867.), francuski vojni inzenjer i matematicar.4Jacob Steiner (1796.-1863.), svicarski matematicar.5Johannes Trolle Hjelmslev (1873.-1950.), danski matematicar.
Poglavlje 2
Geometrijske konstrukcije
Problemi geometrijskog konstruiranja poznati su jos iz vremena anticke Grcke. Grcisu konstrukcije vrsili uz pomoc ravnala i sestara. Glavni problem teorije geometrijskih kons-trukcija je odredivanje geometrijskih konstrukcija rjesivih odnosno nerjesivih konstruktivnogeometrijski odredenim pomagalima.Opce poznati geometrijski problemi nerjesivi ravnalom i sestarom su duplikacija kocke, tri-sekcija kuta i kvadratura kruga. U pocetku su matematicari nastojali pronaci rjesenja tih kaoi mnogih drugih geometrijsko konstruktivnih problema, ne sagledavajuci ih iz neke druge per-spektive. Tek od kraja 18. stoljeca nastojali su takve probleme rijesiti na nacin da dokazuda je neka geometrijska konstrukcija rjesiva odnosno nerjesiva konstruktivno geometrijskipomocu ravnala i sestara.
Rijesiti neki konstruktivni zadatak znaci svesti ga na tri osnovne konstrukcije: sjeciste dvajupravaca, sjeciste pravca i kruznice i sjeciste dviju kruznica.
Prvo cemo navesti aksiome konstruktivne geometrije, aksiome ravnala i aksiome sestara,pomocu kojih se rjesavaju fundamentalne konstrukcije.
Aksiomi konstruktivne geometrije:
1. Svaka zadana figura je konstruirana.
2. Ako su konstruirane dvije ili vise figura, onda je konstruirana i njihova unija.
3. Ako su konstruirane dvije figure, onda se moze ustanoviti je li njihova razlika prazanskup ili nije. U slucaju da ta razlika nije prazan skup, ta je razlika konstruirana.
4. Ako su konstruirane dvije ili vise figura, onda se moze ustanoviti je li njihov presjekprazan skup ili nije. U slucaju da taj presjek nije prazan skup, taj presjek je konstru-iran.
5. Ako je dana neka neprazna figura, onda je moguce konstruirati tocku koja pripada tojfiguri.
Ravnalom se mogu vrsiti sljedece konstrukcije:
1. Konstrukcija duzine ako su dani krajevi te duzine.
2. Konstrukcija polupravca s danom pocetnom tockom koji prolazi kroz drugu danu tocku.
5
6
3. Konstrukcija pravca kroz dvije dane tocke.
Sestarom se mogu vrsiti sljedece konstrukcije:
1. Konstrukcija kruznice ako je dano srediste i njen polumjer.
2. Konstrukcija bilo kojeg od dva luka kruznice odredenog s dvije tocke kruznice ako jedano srediste kruznice i krajnje tocke tog luka.
Pri geometrijskom konstruiranju sluzimo se razlicitim metodama i sredstvima. S obziromna sredstva koja koristimo pri geometrijskom konstruiranju navest cemo samo konstrukcijeogranicenim sredstvima:
1. Konstrukcije samo s ravnalom.
2. Konstrukcije u omedenom dijelu ravnine samo ravnalom.
3. Konstrukcije ravnalom i sestarom u omedenom dijelu ravnine.
4. Konstrukcije ravnalom ako je dana jedna pomocna figura.
5. Konstrukcije ravnalom ako je dana jedna kruznica i njeno srediste (Steinerove kons-trukcije).
6. Konstrukcije dvostranim ravnalom.
7. Konstrukcije ravnalom i prenosiocem jedinicne duzine (Hilbert-Bachmanove konstruk-cije).
8. Konstrukcije samo sestarom (Mohr-Mascheronijeve konstrukcije).
U radu cemo razmatrati konstrukcije koje se izvode samo koristenjem sestara. U literaturisu te konstrukcije poznate pod imenom Mohr-Mascheronijeve konstrukcije.
Poglavlje 3
Mohr-Mascheronijeve konstrukcije
3.1 Mohr-Mascheronijev teorem
Neovisno jedan od drugoga, Mohr1 i Mascheroni2 bavili su se pitanjem izvodivostikonstrukcija samo pomocu sestara te su zasebno dokazali da je svaka konstrukcija koja jeizvodiva pomocu ravnala i sestara, izvodiva samo pomocu sestara. Taj teorem poznat je kaoMohr-Mascheronijev teorem.Mohr ga je prvi dokazao u svojoj knjizi Euclides Danicus koju izdaje u Amsterdamu 1672.godine. 125 godina kasnije Mascheroni je, ne poznavajuci dotadasnje Mohrove rezultate ve-zane za rjesavanje geometrijsko konstruktivnih zadataka samo sestarom, rijesio isti problemte svoj dokaz objavio u knjizi Geometria del compasso.Postavlja se pitanje kako konstruirati pravac koristeci jedino sestar. Nije potrebno konstru-irati sve tocke pravca jer je on odreden s dvije svoje tocke. Dakle, ako smo konstruirali bilokoje dvije tocke pravca, pravac je konstruiran. U primjeru 3 pokazat cemo da samo sestarommozemo konstruirati tocke nekog pravca.
Kako bismo dokazali Mohr-Mascheronijev teorem potrebno je izvesti niz konstrukcija kojece nam posluziti u dokazu teorema ili daljih konstrukcija.
1. Konstrukcija pravca paralelnog s pravcem AB koji prolazi tockom C.
Rjesenje. Ako konstruiramo paralelogram ABCD tako da je AB‖CD dobit cemopravac paralelan sa AB koji prolazi kroz tocku C (vidi Sliku 4). Zadane su tri tocke uravnini, A,B i C. Koraci u konstrukciji su sljedeci:
(a) k(C, |AB|)(b) k(A, |BC|)(c) D = k(C, |AB|) ∩ k(A, |BC|)
2. Konstrukcija tocke D koja je simetricna tocki C s obzirom na pravac AB.
Rjesenje. Tocka D bi trebala biti jednako udaljena od pravca AB kao i tocka C takoda cemo tocku D konstruirati kao sjeciste kruznica sa sredistima A i B te polumjerimaredom |AC| i |BC| (ADBC je deltoid (vidi Sliku 5)). Zadane su tri tocke u ravnini:A,B i C. Koraci u konstrukciji su sljedeci:
1George Mohr (1640.-1697.), danski matematicar.2Lorenzo Mascheroni (1750.-1800.), talijanski matematicar.
7
8
Slika 4.
(a) k(A, |AC|)(b) k(B, |BC|)(c) D = k(A, |AC|) ∩ k(B, |BC|)
Slika 5.
3. Konstrukcija nekoliko tocaka pravca odredenog s tockama A i B.
Rjesenje. Imamo zadane dvije tocke A i B pravca AB. Ukoliko konstruiramo tockeP i Q, koje su simetricne s obzirom na pravac AB te oko tocke P opisemo kruzni lukjednakog polumjera kao i oko tocke Q koji sijece pravac AB, dobit cemo dvije tocke Ci D pravca AB kao sjecista tih kruznih lukova. Tocke C i D kolinearne su s tockamaA i B, odnosno pripadaju pravcu AB (vidi Sliku 3).
Tocke P i Q su simetricne s obzirom na pravac AB pa su jednako udaljene od bilo
Slika 3.
koje tocke tog pravca. Buduci da tocke C i D leze na kruznicama sa sredistima P i Q
9
jednakog polumjera, P je jednako udaljena od tocaka C i D kao i tocka Q. Mozemozakljuciti da je C ∈ AB i D ∈ AB.
4. Konstrukcija okomice na pravac AB koja prolazi tockom C.
Rjesenje. Ukoliko konstruiramo tocku D koja je simetricna tocki C s obzirom napravac AB, konstruirali smo okomicu CD na pravac AB (vidi Sliku 6). Tako da sukoraci pri konstrukciji identicni onima u prethodnom primjeru.
Slika 6.
5. Konstrukcija duzine AC tako da je |AC| = 2 · |AB| te duzine AN , za koju vrijedi|AN | = n · |AB|.
Rjesenje. Promotrimo li pravilan sesterokut, mozemo primijetiti da je srediste sesterokutapoloviste njegove najdulje dijagonale te da se on sastoji od sest jednakostranicnih tro-kuta. Konstruiramo li glavnu dijagonalu pravilnog sesterokuta kojemu je |AB| jednakapolovini duljine njegove dijagonale (koja je jednaka duljini stranice sesterokuta), kons-truirali smo trazenu duzinu AC (vidi Sliku 7). Zadani su u ravnini krajevi duzine AB,A i B. Koraci u konstrukciji su sljedeci:
(a) k(B, |AB|)(b) k(A, |AB|)(c) K = k(B, |AB|) ∩ k(A, |AB|)(d) k(K, |AB|)(e) L = k(K, |AB|) ∩ k(B, |AB|)(f) k(L, |AB|)(g) C = k(L, |AB|) ∩ k(B, |AB|)
|AC| = 2 · |AB|. Ponavljanjem ove konstrukcije s kruznim lukom oko C kroz Bdobivamo tocku D za koju vrijedi |AD| = 3 · |AB| (vidi Sliku 8). Induktivno dobivamoduzinu AN , tako da je |AN | = n · |AB| za bilo koji prirodan broj n.
6. Podjela duzine AB na n jednakih dijelova.
Rjesenje. Potrebno je prvo konstruirati tocku N , tako da je |AN | = n · |AB|. Ovdjeje razraden slucaj za n = 3 (Slika 8). Prvo konstruiramo tocku D kao u prethodnomprimjeru. Dakle, prethodnu konstrukciju nastavimo sa sljedecim koracima:
10
Slika 7.
Slika 8.
(a) k(D, |AD|)(b) {E,F} = k(D, |AD|) ∩ k(A, |AB|)(c) k(E, |AE|)(d) k(F, |AF |)(e) P = k(E, |AE|) ∩ k(F, |AF |)
Prema K-K poucku o slicnosti trokuta (^FAP = ^FAD su kutovi uz osnovice APi FA jednakokracnih trokuta) mozemo zakljuciti da su trokuti FAP i FAD slicni,
tako da vrijedi |AF ||AD| = |AP |
|AF | . Buduci da je |AF | = |AB| jer su to polumjeri kruznice
k(A, |AB|) te |AD| = 3 · |AB|, uvrstavajuci u prethodnu jednakost dobivamo
|AB|3 · |AB|
=|AP ||AB|
,
odnosno
|AP | = 1
3|AB|.
11
7. Konstrukcija polovista F kruznog luka AB.
Rjesenje. Neka je S srediste kruznice na kojoj lezi luk AB.
(a) k(S, |AB|)(b) k(A, |BS|)(c) k(B, |AS|)(d) C = k(S, |AB|) ∩ k(A, |BS|)(e) D = k(S, |AB|) ∩ k(B, |AS|)(f) k(C, |CB|)(g) k(D, |CB|)(h) E = k(C, |CB|) ∩ k(D, |CB|)(i) k(C, |SE|)(j) k(D, |SE|)(k) F = k(C, |SE|) ∩ k(D, |SE|)
Slika 9.
Cetverokuti ABSC i ABDS su paralelogrami (vidi Sliku 9). Kako je SC‖AB i SD‖ABtocke C, S,D su kolinearne i vrijedi |AB| = |CS| = |SD|. Kruzni lukovi sa sredistimaC i D, oba s polumjerom |CB| se sijeku u tocki E. Zbog simetricnosti cijele konstrukcijemozemo zakljuciti da je ES ⊥ CD.Kako bismo dokazali da je tocka F poloviste kruznog luka AB trebamo dokazati daona lezi na kruznici sa sredistem u S polumjera |SA| i da je ^FSA = ^BSF .Primjenom kosinusovog poucka na 4BCS imamo jednakost
|BC|2 = |CS|2 + |BS|2 − 2|CS| · |BS| · cos^BSC.
4ASB je jednakokracan s osnovicom AB pa vrijedi12|AB||BS| = cos^SBA, |AB|
|BS| = −2 ·cos^BSC i |AB| = |CS|, slijedi
|BC|2 = |CS|2 + |AS|2 +|AB||BS|
· |CS| · |BS|,
12
|BC|2 = |AS|2 + 2 · |CS|2,
−|CS|2 = |AS|2 + |CS|2 − |BC|2.
4CSE je pravokutan pa vrijedi jednakost |CE|2 = |CS|2 + |SE|2; |SE| = |CF | i|CE| = |BC|, tako da je
|CE|2 = |CS|2 + |CF |2,
|CF |2 = |CE|2 − |CS|2 = |CE|2 + |AS|2 + |CS|2 − |BC|2,
|CF |2 = |AS|2 + |CS|2.
Kako je 4CSF pravokutan, primjenom Pitagorinog poucka vrijedi sljedeca jednakost
|CF |2 = |CS|2 + |SF |2,
pa iz toga slijedi da je |AS| = |SF |, odnosno, tocka F lezi na luku AB.
Kako je ^CSA = ^DSB i ^ASF = ^BSF tocka F je zaista poloviste luka AB.
8. Dane su dvije duzine AB i CD. Konstrukcija duzina AD′ i AC ′ tako da je |AD′| =|AB|+ |CD| i |AC ′| = |AB| − |CD|.
Rjesenje. Kako bismo konstruirali zbroj, odnosno razliku dviju duzina AB i CD,konstruiramo kruznicu sa sredistem u B polumjera |CD|. Zatim konstruiramo kruznicuproizvoljnog polumjera sa sredistem u tocki A. Sjecista tih dviju kruznica oznacimosa E i F . Preostale krajnje tocke zbroja (razlike) zadanih duzina su polovista C ′ i D′
lukova EF (Slika 10).
Slika 10.
9. Konstrukcija okomice u tocki A na duzinu AB.
Rjesenje. Prisjetimo se da je srediste opisane kruznice pravokutnog trokuta zapravopoloviste njegove hipotenuze. Konstruirajmo dvije kruznice sa sredistem A, odnosnoB proizvoljnog polumjera te jednu tocku njihovog sjecista oznacimo sa C (vidi Sliku11). Udvostrucavanjem duzine BC preko tocke C dobit cemo tocku D koja je trecivrh pravokutnog trokuta. Prilikom konstrukcije slijedimo sljedece korake:
13
(a) k(A, r), r proizvoljan polumjer
(b) k(B, r)
(c) C = k(A, r) ∩ k(B, r)
Slika 11.
Prema 4. udvostrucimo duzinu BC i tako dobijemo tocku D. AD je trazena normala.
10. Za tri dane duzine a, b, c, konstrukcija cetvrte geometrijske proporcionale x, tj.a : b = c : x.
Rjesenje. Pretpostavimo da je c ≤ 2a. Polumjer r, odnosno duljinu duzine AC cemoproizvoljno odabrati.
(a) k(O, b)
(b) k(O, a)
(c) A ∈ k(O, a)
(d) B = k(O, a) ∩ k(A, c)
(e) C = k(O, b) ∩ k(A, r)
(f) D = k(O, b) ∩ k(B, r)
Buduci da je4AOC sukladan4BOD slijedi da je4AOB slican4COD, pa je |OA||OC| =
|AB||CD| , odnosno a : b = c : x (vidi Sliku 12).Kada bi bilo c > 2a, trazena konstrukcija se ne bi mogla izvesti na opisani nacin. Tadabismo umjesto c uzeli duzinu duljine c
n, za neki proizvoljno odabrani prirodan broj n,
tako da je ispunjena trazena nejednakost. U tom slucaju dobiveni rezultat uvecamo nputa.
14
Slika 12.
Teorem 3.11. Sve konstrukcije koje se mogu izvesti ravnalom i sestarom mogu se izvesti isamo sestarom.
Dokaz. Ukoliko je samo pomocu sestara moguce konstruirati
1. sjeciste nekog pravca i kruznice
2. sjeciste dvaju pravaca
3. sjeciste dviju kruznica
tada je moguce konstruirati sve osnovne pa i slozene konstrukcije dakle teorem ce biti doka-zan. Ocito je da su konstrukcije sjecista dviju kruznica izvodljive samo pomocu sestara takoda preostaje samo dokazati da je prve dvije konstrukcije moguce izvesti samo upotrebomsestara.
1. (a) Neka je zadan pravac koji prolazi tockama A i B i kruznica k sa sredistem u tockiO, tako da tocka O ne lezi na zadanom pravcu. Treba odrediti sjeciste zadanogpravca i kruznice.
Rjesenje. Konstruiramo tocku O′ simetricnu tocki O s obzirom na pravac ABte kruznicu k′ sa sredistem u tocki O′ polumjera jednakog polumjeru kruznice k(Slika 13). Sa C i D oznacimo sjecista kruznica k i k′. Buduci da su tocke Ci D, sjecista kruznica k i k′, same sebi simetricne s obzirom na pravac AB, onepripadaju pravcu AB ({C,D} = k ∩ AB).
(b) Potrebno je konstruirati sjecista kruznice k i pravca AB tako da pravac AB pro-lazi sredistem O zadane kruznice k.
Rjesenje. Neka je zadani pravac AB odreden tockama A i B, tako da je B ≡ O(Slika 14). Konstruiramo oko tocke A kruzni luk proizvoljnog polumjera tako daon sijece zadanu kruznicu. Oznacimo ta sjecista sa C i D. Trazena sjecista pravcai kruznice su polovista E i F lukova CD.
2. (a) Zadana su dva neparalelna i neokomita pravca AB i CD svojim tockama A, B iC, D. Treba konstruirati sjeciste zadanih pravaca.
15
Slika 13.
Slika 14.
Slika 15.
Rjesenje. Konstruirajmo tocke C ′ i D′ simetricne tocki C, odnosno D s obzi-
16
rom na pravac AB (vidi Sliku 15). Zatim cemo konstruirati tocku E, tako da jeCDD′E paralelogram. Ako sa X oznacimo sjeciste duzina CD i C ′D′, imamo dvaslicna trokuta CC ′X i EC ′D′. Prema S-K-S poucku o slicnosti trokuta vrijedi
|C ′E| : |C ′C| = |C ′D′| : |C ′X|.
Tocka X je trazeno sjeciste pravaca AB i CD. Nakon sto odredimo cetvrtugeometrijsku proporcionalu C ′X konstruirat cemo duzinu D′X za koju vrijedi|D′X| = |C ′D′| − |C ′X|.
(b) Potrebno je konstruirati sjeciste dvaju okomitih pravaca AB i CD.
Rjesenje. Prvo konstruiramo tocku C ′ simetricnu tocki C s obzirom na pra-
Slika 16.
vac AB (vidi Sliku 16). Buduci da su pravci AB i CD okomiti, tocka C ′ lezi napravcu AD. Prema tome sjeciste pravaca AB i CD odnosno AB i CC ′ cemo dobitikonstrukcijom polovista duzine CC ′ (vidi Sliku 14). Trazeno sjeciste oznacimo saX, cime je Mohr-Mascheronijev teorem dokazan. 2
Primjer 3.11. Konstrukcija sredista nacrtane kruznice.
Rjesenje. Zadana je kruznica k promjera d koja prolazi tockom A cije srediste trebamokonstruirati. Koraci u konstrukciji prikazanoj na Slici 17 su sljedeci:
(a) A ∈ k
(b) k(A, r), r < d
(c) {B,C} = k(A, r) ∩ k
(d) k(B, |BA|)
(e) k(C, |CA|)
(f) D = k(B, |BA|) ∩ k(C, |CA|)
(g) k(D, |DA|)
17
Slika 17.
(h) {E,F} = k(A, |AB|) ∩ k(D, |DA|)
(i) k(E, |EA|)
(j) k(F, |FA|)
(k) G = k(E, |EA|) ∩ k(F, |FA|)
Tocka G je trazeno srediste.Kako bismo dokazali da je tocka G zaista srediste zadane kruznice, trebamo dokazati da lezina pravcu AD i da je udaljenost tocke G do bilo koje tocke na kruznici (u ovom slucaju uzetcemo tocku A) jednaka polumjeru zadane kruznice. Ukoliko sa S oznacimo pravo srediste,trebamo pokazati da vrijedi jednakost |SA| = |GA|.Promotrimo trokute AGE i AED. Buduci da su oba trokuta jednakokracna i kutovi uzosnovice AG i AE su im jednaki, prema K-K poucku oni su slicni pa vrijedi |AG| : |AE| =|AE| : |AD|, odnosno |AG| = |AE|2
|AD| .Ako je S srediste kruznice, trokuti ABS i DAB su slicni jer su jednakokracni sa jednakimkutovima uz osnovice AB i AD. Stoga vrijedi jednakost |AS| : |AB| = |AB| : |AD|,|AS| = |AB|2
|AD| = |AE|2|AD| = |AG|. Iz cega se lako vidi da je G ≡ S.
3.2 Kratak dokaz Mohr-Mascheronijevog teorema
Postoji vise dokaza Mohr-Mascheronijevog teorema. Mohr i Mascheroni su na razlicitenacine dosli do dokaza da su sve euklidske konstrukcije izvodljive samo sestarom. U ovomdijelu navest cemo dokaz Mohr-Mascheronijevog teorema ([7]).
Kratak dokaz Mohr-Mascheronijevog teoremaKao i u prethodnom dokazu potrebno je pokazati da je samo upotrebom sestara mogucekonstruirati
1. sjeciste dviju kruznica od kojih je svaka zadana sredistem i radijusom
2. sjeciste kruznice zadane sredistem i radijusom i pravca zadanog dvjema tockama
18
3. sjeciste dvaju pravaca od kojih je svaki zadan dvjema tockama
Konstrukcije prethodnih tocaka provodimo na sljedeci nacin:
1. Samom konstrukcijom zadanih kruznica konstruirana su njihova sjecista.
2. Razlikujemo dva slucaja:
(a) Ako zadani pravac ne prolazi sredistem dane kruznice, dokaz je kratak i analoganprethodnom dokazu teorema. Sjecista pravca i kruznice konstruirana su na Slici13.
(b) Zadana je kruznica svojim sredistem i radijusom te pravac koji prolazi sredistemte kruznice.Potrebno je za ovu konstrukciju znati konstruirati poloviste dane duzine. U radusmo pokazali na koji nacin mozemo konstruirati duzinu cija je duljina jednakatrecini zadane. Induktivno mozemo konstruirati duzinu cija je duljina jednakan-tom dijelu zadane duzine. Na Slici 18 je dana konstrukcija duzine AP , tako daje |AP | = 1
2· |AB| odnosno P je poloviste duzine AB.
Slika 18.
Dokazimo da je P zaista poloviste duzine AB. Promotrimo trokute EFA i FAP .|AE| = |EF | jer su to polumjeri kruznice sa sredistem u E polumjera |AE|, tako daje 4EFA jednakokracan. |FA| = |PF | jer su |FA| i |PF | jednaki polumjeru kruznicesa sredistem u F polumjera |FA|, dakle, 4FAP je jednakokracan. Kutovi ^FAP i^FAE uz osnovice redom AP i FA su sukladni. Buduci da se radi o jednakokracnomtrokutu, podudaraju se i u preostala dva kuta pa su prema K-K teoremu ta dva trokutaslicna. Promotrimo li duljine stranica, mozemo primjetiti da su slicni u omjeru 2 : 1.|AB| = |FA| = 2 · |AP |, sto smo i trebali dokazati.
Sada cemo koristeci konstrukciju polovista duzine samo sestarom konstruiratisjeciste kruznice i pravca koji prolazi sredistem te kruznice. Zadana je kruznica k sasredistem u tocki M te pravac MP (vidi Sliku 19). Konstruirajmo prozvoljnu tocku
19
A ∈ k. Neka je {A,B} = k ∩AP . Konstruirajmo kruznicu l koja prolazi tockama A iB radijusa veceg od radijusa kruznice k. Njezino srediste oznacimo sa N . Neka je CDduzina cije su krajnje tocke na kruznici l duljine jednake duljini promjera kruznice k.Zatim konstruiramo kruznicu m sa sredistem u N koja prolazi tockom P . Sjeciste tekruznice i pravca CD oznacimo sa R. Sa Q oznacimo poloviste duzine CD. Neka jen kruznica sa sredistem u Q koja prolazi tockom C. Kruznica oko R radijusa |PB|sijece kruznicu n u tocki E. Sjecista X i Y kruznice k i pravca MP leze na kruznici k,a dobit cemo ih tako da oko tocke B opisemo kruznice radijusa |EC| i |ED| odnosnovrijede jednakosti |BX| = |EC| i |BY | = |ED|.
Slika 19.
Kako bismo dokazali da pravac MP zaista sijece kruznicu k u tockama X i Y ,prvo trebamo uociti da su kruznice k i k(Q, |QC|) sukladne jer je |CD| jednak promjerukruznice k. Primjenimo li jednakosti koje vrijede zbog potencije tocaka P i R s obziromna dvije kongruentne kruznice dobivamo |PX|·|PY | = |PA|·|PB| = |RC|·|RD|. Kakosu tocke P,B,M,X, Y dobivene analognim konstrukcijama kao i tocke R,D,Q,C,Emozemo zakljuciti da pravac MP prolazi tockama X i Y . X i Y su sjecista kruznicek i pravca MP .
3. Razlikujemo dva slucaja:
(a) Prvo cemo konstruirati sjeciste dvaju okomitih pravaca AB i TP odnosno provestcemo konstrukciju nozista L okomice iz tocke T na pravac AB.
Prvo konstruiramo tocku T ′ simetricnu tocki T s obzirom na pravac AB (vidiSliku 20). Noziste L je poloviste duzine TT ′. Konstrukcija sjecista okomitihpravaca posluzit ce nam prilikom konstrukcije sjecista neokomitih pravaca.
(b) Neka su zadani pravci AB i CD neokomiti. Potrebno je konstruirati sjeciste Szadanih pravaca. Prvo konstruiramo noziste L okomice iz tocke C na pravac
20
Slika 20.
AB (vidi Sliku 22). Zatim konstruiramo noziste N okomice iz tocke L na CD.Trokuti CNL i CLS su slicni tako da vrijedi razmjer |CL| : |CN | = |CS| : |CL|odnosno vrijedi jednakost |CL|2 = |CN | · |CS|. Konstruirajmo sjeciste S kao
sjeciste pravca CD i kruznice sa sredistem u C polumjera |CS|, |CS| = |CL|2|CN | . S
je trazeno sjeciste zadanih pravaca AB i CD. Ostaje jos provesti konstrukcijuduzine cija je duljina jednaka udaljenosti tocke C do sjecista S (Slika 21), |CS|.Konstrukciju provodimo na sljedeci nacin:
(a) CL
(b) |CE| = 2 · |CL| (vidi Sliku 7)
(c) T = k(C, r) ∩ k(E, r), r proizvoljan
(d) k(T, |TC|)(e) k(L, |CN |)(f) F = k(L, |CN |) ∩ k(T, |TC|)(g) G = LF ∩ k(T, |TC|)|CS| = |LG|.
Primjenimo li teorem o potenciji tocke L s obzirom na kruznicu k(T, |TC|),imamo jednakost |CL|2 = |CL| · |LE| = |FL| · |LG| = |CN | · |LG| odnosno|CS| = |LG|.
Slika 21.
21
Slika 22.
Poglavlje 4
Dokaz Mohr-Mascheronijevogteorema primjenom inverzije
4.1 Inverzija
Metoda inverzije je preslikavanje ravnine koje je pogodno za rjesavanje problema Mohr-Mascheronijevih konstrukcija, odnosno geometrijskih konstrukcija samo upotrebom sestara.Za razliku od ostalih transformacija ravnine koje preslikavaju pravce u pravce, kruzniceu kruznice, pomocu metode inverzije mozemo preslikati pravac u kruznicu i na kraju kaddobijemo konacno rjesenje, metodom inverzije tu istu kruznicu preslikati u pravac.
Definicija 4.11. Neka je M ravnina i O ∈ M cvrsta tocka, a R > 0 zadani pozitivan broj.Preslikavanje
IO : M \ {O} →M \ {O}, T 7→ T ′ = IO(T ),
zove se inverzija s centrom O i radijusom R > 0 ukoliko su zadovoljena sljedeca tri uvjeta:
(a) O, T , T ′ kolinearne
(b) T , T ′ s iste strane tocke O
(c) |OT | · |OT ′| = R2.
Teorem 4.11. Neka su A,A′ i B,B′ parovi pridruzenih tocaka pri inverziji IO = IRO . Tadavrijedi
^OAB = ^OB′A′ i ^OBA = ^OA′B′.
Dokaz. Tocka A′ je inverzna slika tocke A pri inverziji sa centrom u O (vidi Sliku 34) paprema definiciji 4.1 vrijedi |OA| · |OA′| = R2. Analogno je |OB| · |OB′| = R2 iz cega slijedi|OA| · |OA′| = |OB| · |OB′|,
|OA| : |OB| = |OB′| : |OA′|.
Buduci da je ^BOA = ^A′OB′, prema S-K-S slijedi da je 4OAB ∼ 4OB′A′, odakle slijeditvrdnja teorema. 2
Teorem 4.12. Ako je O centar inverzije, pravac p koji prolazi tockom O preslikava se usamog sebe.
22
23
Slika 34.
Dokaz. Prema definiciji 4.1 svaku tocku T 6= O pravca p koji prolazi tockom O kruznicainverzije sa centrom u O preslika u T ′, tako da su T, T ′ i O kolinearne odnosno T ′ ∈ p.Buduci da je inverzno preslikavanje bijektivno, pravac p se preslika u samog sebe. 2
Teorem 4.13. Ako je O centar inverzije, pravac p koji ne prolazi tockom O preslikava se ukruznicu koja prolazi tockom O.
Slika 35.
Dokaz. Neka je zadana kruznica inverzije sa centrom u O i pravac p (vidi Sliku 35).Prvo konstruiramo noziste visine iz tocke O na pravac p. Neka je to tocka A, a A′ = IO(A).Odaberimo proizvoljnu tocku B pravca p te njezinu inverznu sliku B′. Prema teoremu 4.1^OB′A′ = ^OAB = 90◦. Prema Talesovom poucku tocka B′ lezi na kruznici polumjera|OA′|, preciznije p′\{O}. Dakle, pravac p se inverzijom preslika u kruznicu p′ koja prolazikroz srediste inverzije, O. 2
Teorem 4.14. Ako je O centar inverzije, kruznica koja prolazi tockom O preslikava se upravac, a kruznica koja ne prolazi tockom O u kruznicu.
Dokaz. Prvo trebamo pokazati da je slika kruznice k dijametra |OT |, koja prolazi krozsrediste inverzije O, pravac p koji prolazi kroz T ′ te za koji vrijedi p⊥OT odnosno da jep = IO(k). Odaberimo proizvoljnu tocku Q ∈ k tako da je ^TQO = 90◦. Tada je prema
24
Slika 36.
teoremu 4.1 ^OT ′Q′ = 90◦ iz cega mozemo zakljuciti da tocka Q′ pripada pravcu p. Buducida to vrijedi za proizvoljnu tocku Q ∈ k, slijedi da je IO(k) ⊆ p. Zbog bijektivnosti inverznogpreslikavanja mozemo zakljuciti da je IO(k) = p.
Pokazimo da je slika kruznice k koja ne prolazi sredistem inverzije O opet kruznica.Neka je T ∈ k, a IO(T ) = T ′. Tocke O, T i T ′ su kolinearne i vrijedi jednakost |OT | · |OT ′| =R2 (R je polumjer kruznice inverzije). Neka je T1 sjeciste polupravca OT i kruznice k.Oznacimo li sa r2 potenciju tocke O s obzirom na kruznicu k, tada je |OT |·|OT1| = r2 odnosno|OT ′| = R2/|OT | = (R/r)2|OT1|. Tocka T ′ je homoteticna slika tocke T1 s koeficijentomhomotetije (R/r)2. Buduci da to mozemo pokazati za svaku tocku kruznice, teorem jedokazan. 2
Najprije cemo dokazati dva osnovna teorema koja su nam potrebna za dokaz Mohr-Mascheronijevog teorema pomocu metode inverzije.
Teorem 4.15. Ako je zadana inverzija svojim centrom O i kruznicom inverzije ki, onda jeza svaku tocku T 6= O ravnine moguce samo sa sestarom konstruirati njezinu sliku T ′.
Dokaz.
1. Zadana je kruznica inverzije ki(O,R) i neka tocka T 6= O. Konstruiramo kruznicu sasredistem u T koja prolazi tockom O (Slika 23). Sjecista kruznice inverzije i kruznicek(T, |TO|) oznacimo sa A i B. Konstruirajmo kruzne lukove sa centrima A i B krozO. Sjeciste ta dva kruzna luka oznacimo sa T ′.
Slika 23.
Promotrimo4TOA i4AT ′O. Jednakokracni su sa zajednickim kutom ^T ′OA =^TOA uz osnovice OA i T ′O odnosno podudaraju se u sva tri unutrasnja kuta tako da
25
su prema K-K poucku ta dva trokuta slicna. Stranice su im proporcionalne pa vrijedijednakost |OT |
|OA| = |OA||OT ′| , tj.
|OT | · |OT ′| = |OA|2 = R2
iz cega mozemo iscitati da su tocke T i T ′ inverzne.
2. Konstrukciju smo proveli za slucaj kada je |OT | > R2
.
Sto ako je udaljenost tocke T do sredista O dvostruko manja od polumjera kruzniceinverzije? U tom slucaju prvo odredimo tocku P za koju vrijedi |OP | > R
2. Odaberemo
prirodan broj n tako da tocka P lezi na pravcu OT i pri tome vrijedi |OP | = n · |OT |.Da takav n postoji posljedica je Arhimedovog aksioma. Zatim konstruiramo tocku P ′
inverznu tocki P te na kraju tocku T ′ tako da je |OT ′| = n · |OP ′|. Iz prethodne dvijejednakosti dobivamo:
|OT | · |OT ′| = 1
n· |OP | · n · |OP ′| = |OP | · |OP ′| = R2,
sto smo i trebali dokazati. 2
Teorem 4.16. Neka su A,B,C tri nekolinearne tocke. Samo sa sestarom moguce je kons-truirati srediste kruznice koja prolazi tim tockama.
Slika 24.
Dokaz. Neka su zadane tri nekolinearne tocke A,B i C te kruznica inverzije k(A, |AB|).Potrebno je konstruirati srediste S kruznice k koja prolazi zadanim tockama A,B i C.Konstruirajmo tocku C ′ koja je inverzna slika tocke C s obzirom na kruznicu inverzije (vidiSliku 24). Pravac BC ′ je inverzna slika kruznice k, oznacimo ga sa k′. Srediste kruznice k jeinverzna slika tocke S ′ koja je simetricna tocki A u odnosu na pravac k′. Dobiveno sredistekruznice k je tocka S. 2
26
4.2 Dokaz Mohr-Mascheronijevog teorema
Kao sto smo vec rekli, svaka geometrijska konstrukcija se svodi na sljedece tri temeljnekonstrukcije:
1. Sjeciste dvaju pravaca.
2. Sjeciste pravca i kruznice.
3. Sjeciste dviju kruznica.
Kako bismo dokazali Mohr-Mascheronijev teorem, potrebno je dokazati da je te tri temeljnekonstrukcije moguce izvesti primjenjujuci metodu inverzije samo upotrebom sestara. Sjecistedviju kruznica nije potrebno dokazivati jer je ocito izvodivo samo sa sestarom. Preostajekonstruirati sjeciste dvaju pravaca te sjeciste pravca i kruznice.
1. Pretpostavimo da imamo zadana dva pravca p i q. Neka je pravac p zadan tockamaA i B te pravac q tockama C i D. Odaberimo tocku O koja ne pripada niti jednomod zadanih pravaca i inverziju sa centrom u O proizvoljnog polumjera. Buduci dazadani pravci ne prolaze centrom inverzije O, njihova slika su kruznice koje prolazetim sredistem. Pokazali smo da je samo sa sestarom moguce konstruirati inverznusliku tocke. Metodom inverzije konstruiramo tocke A′, B′, te C ′ i D′ koje su inverznetockama A,B,C i D. Dakle, tocke A′, B′ i O pripadaju jednoj kruznici, a tocke C ′, D′
i O leze na drugoj kruznici. Kako je metodom inverzije samo pomocu sestara mogucekonstruirati srediste kruznice zadane sa samo tri svoje tocke, konstruirat cemo kruznicep′ i q′ inverzne zadanim pravcima p i q, a i samim time mozemo konstruirati njihovosjeciste T . Sjeciste pravaca p i q je zapravo tocka T ′ koja je inverzna sjecistu kruznica,T .
2. Neka je pravac p zadan dvjema tockama A i B te kruznica k trima tockama C,D iE. Uzmimo inverziju IO s centrom u O proizvoljnog polumjera, tako da niti pravac p,niti kruznica k ne prolaze sredistem inverzije. Pravac p metodom inverzije preslikamou kruznicu p′ odredenu tockama O,A′ i B′. Zatim konstruiramo njezino srediste.Inverzna slika kruznice k je kruznica k′ koju odredimo tako da konstruiramo njezinetri tocke C ′, D′ i E ′ te njezino srediste. Inverzna slika sjecista kruznica p′ i k′ su sjecistapravca p i kruznice k.
2
Poglavlje 5
Neki primjeri konstruktivnih zadataka
U ovom poglavlju rijesit cemo niz zanimljivih konstruktivnih zadataka. Pri rjesavanjuzadataka koristit cemo samo sestar.
Primjer 5.01. Zadana je kruznica k sa sredistem u A polumjera |AB|. Samo sestarom trebakonstruirati kvadrat kojemu je duljina dijagonale jednaka promjeru zadane kruznice k.
Slika 25.
Rjesenje. Postavljeni zadatak poznat je pod nazivom Napoleonov problem. Dakle, trebakonstruirati kvadrat tako da je on upisan u zadanu kruznicu k sa sredistem A, odnosno,kruznicu prvo podijeliti na 4 jednaka dijela. Prilikom konstrukcije prikazane na Slici 25pratit cemo sljedece korake:
(a) D ∈ k
(b) k(D, |DA|)
(c) {E,C} = k(D, |DA|) ∩ k(A, |DA|)
(d) k(C, |DA|)
(e) B = k(C, |DA|) ∩ k(A, |DA|)
(f) k(E, |BD|)
27
28
(g) k(B, |BD|)
(h) F = k(E, |BD|) ∩ k(B, |BD|)
(i) k(B, |AF |)
(j) {G,H} = k(A, |DA|) ∩ k(B, |AF |)
Tocke B, G, E, H dijele kruznicu k na 4 jednaka dijela. BGEH je kvadrat. Kvadrat jecetverokut kojemu su dijagonale jednake duljine, medusobno su okomite i raspolavljaju se,tako da je dovoljno dokazati da su duzine BE i GH dva okomita promjera kruznice k.Trokuti ABC, ACD i ADE su jednakostranicni i sukladni (stranice duljine jednake duljinipolumjera |AB|) tako da mjere svih triju kutova pri vrhu A iznose 60◦, dakle ^EAB = 180◦.Stoga je EB promjer kruznice k te A ∈ EB. Prema Talesovom poucku 4EBD je pravo-kutan. Duljine kateta su |EB| = 2r, |ED| = r tako da je prema Pitagorinom pouckuduljina hipotenuze |DB| =
√(2r)2 − r2 = r
√3. 4EBF je jednakokracan sa osnovi-
com duljine |EB| = 2r i krakovima duljina |BF | = |FE| = r√
3. Buduci da je A po-loviste osnovice EB, AF je visina 4EBF . Slijedi da je |^FAB| = 90◦, odnosno 4FABje pravokutan s hipotenuzom duljine |BF | = r
√3 i katetom duljine |AB| = r. Prema
Pitagorinom poucku vrijedi |FA| =√|BF |2 − |AB|2 =
√3r2 − r2 = r
√2, iz cega sli-
jedi da je |BG| = |FA| = r√
2. Prema Talesovom poucku ^BGE = 90◦, tako da je|EG| =
√4r2 − 2r2 = r
√2, |EG| = |GB|, odnosno 4EBG je jednakostranican pa je
G ∈ FA. Pripadni promjeri su okomiti.
Primjer 5.02. Zadana je kruznica k sa sredistem u A polumjera |AB|. Samo sestarom trebakonstruirati pravilan sesterokut kojemu je duljina glavne dijagonale jednaka promjeru zadanekruznice k.
Rjesenje. Koraci konstrukcije prikazane na Slici 26 su sljedeci:
Slika 26.
(a) k(A, |AB|)
(b) k(B, |AB|)
(c) C,K = k(A, |AB|) ∩ k(B, |AB|)
29
(d) k(C, |AB|)
(e) D = k(C, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
(f) k(D, |AB|)
(g) E = k(D, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
(h) k(E, |AB|)
(i) J = k(E, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
Tocke B,C,D,E, J,K dijele kruznicu k na 6 jednakih dijelova odnosno konstruirali smopravilan seterokut BCDEJK.
Primjer 5.03. Zadana je kruznica k sa sredistem u A polumjera AB. Samo sestarom trebakonstruirati pravilan peterokut upisan u zadanu kruznicu k.
Slika 27.
Rjesenje. Treba konstruirati pravilan peterokut tako da je on upisan u zadanu kruznicuk sa sredistem A odnosno kruznicu prvo podijeliti na 5 jednakih dijelova. Nakon sto kons-truiramo kruznicu k(A, |AB|) (vidi Sliku 27) te ju prema prethodnom primjeru podijelimo
na 5 jednakih dijelova tako da je |BC| = |CD| = |DE| = |EF | = |FG| = |GB|, slijedimosljedece korake:
(a) k(B, |BD|)
(b) k(E, |BD|)
30
(c) {H, I} = k(B, |BD|) ∩ k(E, |BD|)
(d) k(H, |AB|)
(e) {J,K} = k(H, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
(f) k(I, |AB|)
(g) {L,M} = k(I, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
(h) k(B, |HA|)
(i) {N,O} = k(B, |HA|) ∩ k(A, |AB|)
(j) k(N, |AB|)
(k) {P,Q} = k(N, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
(l) k(O, |AB|)
(m) {R, S} = k(O, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
(n) k(P, |HA|)
(o) k(Q, |HA|)
(p) T = k(P, |HA|) ∩ k(Q, |HA|), T unutar kruznice k(A, |AB|)
(r) k(E, |ET |)
(s) {V, U} = k(E, |ET |) ∩ k(A, |AB|)
(t) W = k(U, |UE|) ∩ k(A, |AB|)
(u) X = k(V, |V E|) ∩ k(A, |AB|)
Tocke W,U,E, V,X dijele kruznicu k na 5 jednakih dijelova odnosno konstruirali smo pete-rokut WUEVX.
Primjer 5.04. Zadana je kruznica k sa sredistem u S polumjera AB. Samo sestarom trebakonstruirati pravilan osmerokut kojemu je duljina glavne dijagonale jednaka promjeru zadanekruznice k.
Rjesenje. Nakon sto konstruiramo kruznicu k(A, |AB|) te ju prema jednom od prethodnih
primjera podijelimo na 6 jednakih dijelova tako da je |BC| = |CD| = |DE| = |EM | =
|MO| = |OB|, slijedimo sljedece korake kako bismo dobili rjesenje prikazano na Slici 28:
(a) k(B, |BD|)
(b) k(E, |BD|)
(c) {F,N} = k(B, |BD|) ∩ k(E, |BD|)
(d) k(F, |AB|)
(e) {J, I} = k(F, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
31
Slika 28.
(f) k(N, |AB|)
(g) {K,L} = k(A, |AB|) ∩ k(N, |AB|)
(h) k(B, |AF |)
(i) {G,H} = k(B, |AF |) ∩ k(A, |AB|)
Tockama B, I,G, J, E,K,H,L podijelili smo kruznicu na 8 sukladnih kruznih lukova te smona taj nacin konstruirali pravilni osmerokut BIGJEKHL samo upotrebom sestara.
Primjer 5.05. Zadana je kruznica k sa sredistem u S polumjera AB. Samo sestarom trebakonstruirati pravilan dvanaesterokut kojemu je duljina glavne dijagonale jednaka promjeruzadane kruznice k.
Rjesenje. Nakon sto konstruiramo kruznicu k(A, |AB|) te ju prema vec opisanom pos-
tupku podijelimo na 6 jednakih dijelova tako da je |BC| = |CD| = |DE| = |EJ | = |JK| =|KB|, slijedimo sljedece korake:
(a) k(B, |BD|)
(b) k(E, |BD|)
(c) {F,H} = k(B, |BD|) ∩ k(E, |BD|)
(d) k(F, |AB|)
(e) {L,M} = k(F, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
(f) k(H, |AB|)
(g) {N,O} = k(H, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
32
Slika 29.
(h) k(B, |FA|)
(i) {G, I} = k(B, |FA|) ∩ k(A, |AB|)
(j) k(G, |AB|)
(k) {P,Q} = k(G, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
(l) k(I, |AB|)
(m) {R, S} = k(I, |AB|) ∩ k(A, |AB|)
EPDGOQBSKIJR je pravilni dvanaesterokut (vidi Sliku 29).
Primjer 5.06. Konstruirajte kut cetiri puta veci od zadanog.
Rjesenje. Zadan je ^CAB sa vrhom u tocki A. Konstruirat cemo prvo kut DABdvostruko veci od zadanog (vidi Sliku 30), zatim kut EAB trostruko veci od kuta CAB i nakraju ^FAC za koji vrijedi ^FAC = 4 · ^CAB.
(a) k(A, |AB|)
(b) k(A, |AC|)
(c) k(C, |BC|)
(d) D = k(A, |AB|) ∩ k(C, |BC|)
(e) AD
(f) k(D, |DC|)
33
Slika 30.
(g) E = k(D, |DC|) ∩ k(A, |AC|)
(h) AE
(i) k(E, |ED|)
(j) F = k(E, |ED|) ∩ k(A, |AB|)
4BAC ∼= 4DAC (podudaraju se u sve tri stranice) pa je ^CAB = ^DAC. Ana-logno prema istom poucku o sukladnosti trokuta (S-S-S) mozemo pokazati da je 4FAE ∼=4DAE ∼= 4DAC odnosno ^FAB = ^FAE + ^EAD + ^DAC + ^CAB = 4 · ^CAB.
Primjer 5.07. Konstruirajte kvadrat ako je zadana jedna njegova stranica.
Rjesenje. Neka je zadana stranica AB kvadrata ABTF (vidi Sliku 31). Potrebno jekonstruirati preostala dva njegova vrha.
(a) k(A, |AB|)
(b) k(B, |AB|)
(c) {C,C ′} = k(A, |AB|) ∩ k(B, |AB|)
(d) k(C, |CB|)
(e) D = k(A, |AB|) ∩ k(C, |CB|)
(f) k(D, |DC|)
(g) E = k(A, |AB|) ∩ k(D, |DC|)
(h) k(E, |ED|)
(i) D′ = k(A, |AB|) ∩ k(E, |ED|)
(j) k(B, |BD|)
(k) k(E, |BD|)
34
Slika 31.
(l) {H, I} = k(B, |BD|) ∩ k(E, |BD|)
(m) k(D, |DB|)
(n) k(D′, |D′B|)
(o) V = k(D, |DB|) ∩ k(D′, |D′B|)
(p) k(B, |AH|)
(r) F = k(A, |AB|) ∩ k(B, |AH|)
(s) k(F, |FA|)
(t) T = k(B, |AB|) ∩ k(F, |FA|)
Primjer 5.08. Konstruirajte kvadrat ako je zadana jedna njegova dijagonala.
Rjesenje. Neka je zadana dijagonala AB kvadrata kojeg trebamo konstruirati (vidi Sliku32). Prilikom konstrukcije slijedimo sljedece korake:
(a) k(A, |AB|)
(b) k(B, |AB|)
(c) C = k(A, |AB|) ∩ k(B, |AB|)
(d) k(C, |AB|)
(e) D = k(A, |AB|) ∩ k(C, |AB|)
35
Slika 32.
(f) k(D, |AB|)
(g) E = k(A, |AB|) ∩ k(D, |AB|)
(h) k(B, |CE|)
(i) k(E, |CE|)
(j) F = k(B, |CE|) ∩ k(E, |CE|)
(k) k(E, |AF |)
(l) P = k(B, |AB|) ∩ k(E, |AF |)
(m) k(B, |AP |)
(n) k(A, |AP |)
(o) {L,M} = k(B, |AP |) ∩ k(A, |AP |)
Cetverokut AMBL je trazeni kvadrat kojemu je AB dijagonala.
Poglavlje 6
Geometrija i glazba
Apstraktni glazbeni prostor sadrzi notacije koje se odnose na geometriju kao npr. linijai tocka. David Stutz je iskoristio Mohr-Mascheronijevu konstrukciju kvadrata upisanog ukrug zadanog polumjera i skladao vrhunsko glazbeno djelo. Za razliku od euklidskih kons-trukcija koje sadrze linije, u glazbu je prikladnije pretvoriti konstrukcije samo sa sestarom.Pokazao nam je da ljepota geometrije nije samo vizualna, nego i auditivna, ukoliko ju znamoprimijeniti. Konstrukcija upisanog kvadrata sastoji se od 22 koraka i prikazana je na Slici33. Note je napisao na nacin da je iskoristio glavne tocke konstrukcije (sredista kruznica injihova medusobna sjecista).
Slika 33.
Jedna linija u crtovlju predstavlja jednu kruznicu tako da prva nota predstavlja sredistepojedine kruznice. Neke tocke mogu se ponavljati u pojedinim kruznicama, ovisno o tomejesu li sjecista dviju ili vise kruznica, predstavljaju li samo srediste jedne kruznice ili suistovremeno i jedno i drugo. Hoce li se nesto otpjevati brze ili sporije ovisi o dijametrukruznice. Svaka kruznica moze se izvesti beskonacno mnogo puta.
36
37
Bibliografija
[1] B. Pavkovic, D. Veljan, Elementarna matematika I, Skolska knjiga, Zagreb, 2004.
[2] D. Palman, Geometrijske konstrukcije, Element, Zagreb, 1996.
[3] F. Fabrizi, P. Pennestri, La Nuova Geometria del Compasso, Liceo ScientificoIsacco Newton - Roma, 2011.
[4] D. Hilbert, Osnove geometrije, Beograd, 1957.
[5] M. Gardner, Mathematical circus, The Mathematical Association of America, Wa-shington, DC, 1992.
[6] L.A. Graham, The Surprise Attack in Mathematical Problems, Dover Publications,Inc., New York, 1968.
[7] N. Hungerbuhler, A Short Elementary Proof of the Mohr-Mascheroni Theorem,Amer. Math. Monthly, 101(1994), no. 8, 784–787.
[8] M. Kurnik, Z. Kurnik, Lorenzo Mascheroni i geometrija sestara, Mis, 5(2000),209–215.
[9] D. Stutz, Mohr Mascheroni - math in the music of Anathem,http://www.synthesist.net, 5.listopad 2012.
Sazetak
U ovom radu razmatraju se geometrijske konstrukcije koje su izvodljive samo sestarom.U literaturi su te konstrukcije poznate pod imenom Mohr-Mascheronijeve konstrukcije. Ta-lijanski matematicar Lorenzo Mascheroni je 1797. godine dokazao da su sve geometrijskekonstrukcije koje su izvodljive ravnalom i sestarom izvodljive samo sestarom, iako je istutu tvrdnju 125 godina ranije dokazao danski matematicar George Mohr u manje poznatojpublikaciji. Smatra se da je pravac zadan svojim dvjema tockama, tako da ga smatramokonstruiranim ako smo konstruirali bilo koje dvije njegove tocke. Poznavajuci dvije tockepravca, mozemo konstruirati bilo koju drugu tocku koja lezi na tom pravcu. Tocka se smatrakonstruiranom ako je dobivena kao presjek dvaju pravaca, pravca i kruznice ili kao presjekdviju kruznicu. Na temelju te tvrdnje u radu je Mohr-Mascheronijev teorem dokazan na trinacina. U posljednjem dokazu koristena je jedna od metoda geometrijskih transformacija,metoda inverzije. Definirana je sama metoda te naveden razlog njezine velike primjene prirjesavanju geometrijsko konstruktivnih zadataka samo sestarom. Na samom kraju rijesenisu razni geometrijski primjeri samo upotrebom sestara.
38
Summary
In this paper we consider the geometric constructions that are carried out only withcompass. In the literature, these constructions are known as the Mohr-Mascheroni construc-tions. In 1797 italian mathematician Mascheroni proved that every geometric constructionthat can be carried out by ruler ans compass can be carried out by compass alone; in fact,this had already been proved 125 years ago by danish mathematician Mohr in a little-knownpublication. The straight line is determined by its two points, so the line is constructed if weconstruct any two of its points. If we have two points of a straight line, we can construct anyother point which lies on this line. Point is constructed if it is obtained as the intersection oftwo lines, line and circle, or as a intersection of two circles. Based on these arguments, in thispaper Mohr-Mascheroni theorem is proved in three ways. In the final proof the inversion isintroduced and some its important properties are studied. Inversion method is defined andspecified the reason for its numerous applications in solving geometric construction taskswith a compass. In the end various geometrical examples are solved with compass alone.
39
Zivotopis
Antonija Milisic je rodena 20. prosinca 1988. u Vinkovcima. Osnovnu skolu pohadalaje u OS Gradiste od 1995. do 2002. godine. Nakon zavrsene osnovne skole upisala seu Prirodoslovno-matematicku gimnaziju u Zupanji te maturirala 2007. godine. Tijekomosnovnoskolskog i srednjoskolskog obrazovanja redovito je sudjelovala na natjecanjima izmatematike, a najveci uspjeh postigla je sudjelovavsi u svibnju 2005. godine na drzavnomnatjecanju iz matematike koje se odrzalo u Omisalju na Krku.28. lipnja 2007. upisala se na Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku / Odjel zamatematiku.Dobila je nagradu za postignuti izuzetan uspjeh (5,00) na 1. godini Sveucilisnog nastavnickogstudija matematika i informatika u akademskoj 2007./2008. godini.2012. je primila rektorovu nagradu za najbolje izradeni seminarski rad u suradnji sa kolegomB. Dokicem pod nazivom ”Richardsonova teorija konflikta” iz kolegija Matematicki modeliu akadem. 2011./2012., mentor prof. dr. sc. D. Jukic.
40
