Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Natalija Kolar

Diskalkulija

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Natalija Kolar

Diskalkulija

Diplomski rad

Mentor: doc.dr.sc. Ivan Matic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Uzroci teskoca u ucenju matematike 2

2.1. Neuroloske disfunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Nedovoljni stupanj razvoja kognitivne inteligencije i visih psihickih funkcija 2

2.3. Nerazvijenost temeljnih vjestina koje su preduvjet za usvajanje mate-

matike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4. Postojanje posebnih jezicnih teskoca i specificnih teskoca u citanju i

pisanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.5. Nepravilnosti u procesu poducavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.6. Emocionalno stanje djeteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Sto je diskalkulija? 5

3.1. Verbalna diskalkulija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Praktognosticka diskalkulija (disprakticna diskalkulija) . . . . . . . . . 6

3.3. Leksicka diskalkulija (numericka diskalkulija) . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4. Graficka diskalkulija (numericka disgrafija) . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.5. Ideognosticka diskalkulija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.6. Operacijska diskalkulija (anaritmetija) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Prepoznavanje diskalkulije 9

4.1. Greske koje cine diskalkulicna djeca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2. Ispitivanje i dijagnosticiranje razvojne diskalkulije . . . . . . . . . . . . 11

4.2.1. Ispitivanje opcih matematickih sposobnosti ucenika . . . . . . . 12

4.2.2. Ispitivanje spremnosti djeteta za usvajanje matematike u skoli . 16

5. Pomoc i poducavanje djece s diskalkulijom 25

5.1. Koncept broja: Poducavanje i uklanjanje teskoca . . . . . . . . . . . . 26

5.2. Uklanjanje vizualno-perceptivnih teskoca u ucenju matematike . . . . . 30

6. Zakljucak 33

Literatura 34

Sazetak 35

Title and summary 36

Zivotopis 37

Diskalkulija 1

1. Uvod

Teskoce u ucenju obuhvacaju specificno neurolosko funkcioniranje koje ometa spo-

sobnost pohranjivanja, obrade ili stvaranja informacija. Kao i kod svakog drugog pro-

blema, vazno je na vrijeme otkriti ima li dijete teskoce u ucenju ili svladavanju gradiva,

kako bi mu se pomoglo i dala potrebna podrska. Ukoliko se ne identificiraju na vrijeme,

teskoce u ucenju negativno utjecu na samopouzdanje djeteta i njegov stav prema skoli.

Djeca s teskocama u ucenju zahtijevaju posebnu paznju u procesu odgoja i obra-

zovanja. Nuzno im je osigurati posebnu brigu za vrijeme skolovanja. Prije polaska

djeteta u skolu, roditelji bi se trebali posavjetovati sa strucnjacima koji bi im pomogli

u savladavanju teskoca kada se one pojave. Ucitelji bi takoder trebali davati smjernice

roditeljima kako svakodnevno pomoci djetetu. Da bi djeca sto bezbolnije prolazila kroz

svoje teskoce, u skoli i u obiteljima potrebno im je razumijevanje i pomoc. Stoga je

nuzno da su roditelji i ucitelji upoznati s pojedinim vrstama teskoca u ucenju, te kako

prepoznati odredene vrste teskoca i kako poducavati djecu s istima.

Najpoznatije teskoce u ucenju su disleksija, disgrafija, diskalkulija, poteskoce u

slusnom i vidnom procesuiranju i poremecaj hiperaktivnosti i smanjene paznje. U ovom

radu obradit cemo teskocu usvajanja matematickih vjestina, odnosno diskalkuliju, te

zbog cega se zapravo poteskoce u ucenju matematike javljaju i kako olaksati djeci

ucenje matematike.

2 Diplomski rad

2. Uzroci teskoca u ucenju matematike

Veliki broj djece osjeca strah i odbojnost prema svemu sto podsjeca na matema-

tiku, te imaju poteskoce u njezinom podrucju. Svaki ucenik ima razlicite teskoce, neki

ucenici cesto grijese, neki rjesavaju zadatak ispravno, ali veoma sporo, a neki variraju

u svojoj uspjesnosti.

Uzroci teskoca su mnogobrojni, stoga ne postoji samo jedan nacin pomaganja,

niti samo jedno objasnjenje. Svako pojedino dijete je jedinstveni slucaj i zahtjeva

detaljnu analizu prirode teskoca i njihovih mogucih uzroka. Teskoce u ucenju mate-

matike izrazavaju se na mnogo razlicitih nacina, te ukoliko djetetu nije na vrijeme

pruzena pomoc, problemi prelaze u odraslu dob. Sve uzroke teskoca u ucenju mate-

matike mozemo podijeliti u dvije skupine, a to su uzroci koji se nalaze unutar djeteta

(neuroloske disfunkcije, zaostajanje u kognitivnom razvoju, jezicne teskoce i psiholoska

nespremnost), te uzroci koji se nalaze izvan djeteta (stresne situacije i neadekvatno

poducavanje). Promotrit cemo svaku od ovih teskoca zasebno.

2.1. Neuroloske disfunkcije

Neurolozi smatraju da teskoce u matematici nastaju zbog odstupanja u radu

mozga, koja mogu biti uzrokovana kasnjenjem djetetova razvoja, neravnomjernim ra-

zvojem ili kasnijim ostecenjem zdravih dijelova mozga zbog bolesti ili ozljede.

2.2. Nedovoljni stupanj razvoja kognitivne inteligencije i visih

psihickih funkcija

a) Stupanj kognitivne inteligencije

Rjesavanje matematickog problemskog zadatka zahtijeva razvijenost kognitivne

inteligencije: sposobnosti sintetiziranja, poopcavanja, analiziranja, primjene stecenih

znanja i vjestina u novim situacijama, shvacanje smisla problema, te pronalazenje

strategija za njihovo rjesavanje. Nerazvijenost kognitivnog misljenja moze biti uzrok u

ucenju matematike.

b) Razvijenost visih psihickih funkcija

Ukoliko potrebne psihicke funkcije nisu dovoljno razvijene, ucenici nailaze na

teskoce u ucenju matematike. Vise psihicke funkcije su logicko misljenje, razni vidovi

pamcenja, percepcije i paznje.

Diskalkulija 3

2.3. Nerazvijenost temeljnih vjestina koje su preduvjet za usva-

janje matematike

Nedovoljna pripremljenost djeteta za ucenje matematike u skoli uzrok su mnogih

teskoca. Dijete nije spremno za sustavno izucavanje matematike kao predmeta u skoli

ukoliko prije polaska u skolu ili u pocetnom razdoblju skolovanja nije ovladalo temeljnim

vjestinama koje su preduvjet za usvajanje matematike.

2.4. Postojanje posebnih jezicnih teskoca i specificnih teskoca

u citanju i pisanju

Matematika je oblik jezika koji u svrhu razumijevanja koristi simbole. Najcesce

se matematicki zadatak djetetu zadaje usmeno, pismeno ili rijecima. U udzbenicima

iz matematike i u usmenim uputama ucitelja koristi se cijeli niz izraza i rijeci koji

su specificni za matematiku. Djeca koja imaju teskoce u citanju s razumijevanjem i

pisanju, uglavnom imaju teskoce i u matematici.

2.5. Nepravilnosti u procesu poducavanja

a) Nekompatibilnost stilova poducavanja i ucenja

Svatko od nas ima razliciti stil ucenja matematike i pristupa matematickoj proble-

matici. Razlikujemo kvantitativni i kvalitativni stil ucenja matematike. Kvantitativni

stil ucenja prepoznajemo ukoliko ucenik obraduje informaciju postupno, korak po ko-

rak, te je uspjesan u zadacima koji se rjesavaju postupnim nadogradivanjem radnji.

S druge strane kvalitativni stil ucenja prepoznajemo po tome sto ucenici obraduju

informaciju vizualno, odnosno od cjeline prema dijelovima.

Najcesce nastavnici poducavaju svoje ucenike u onom stilu u kojem je sastavljen

udzbenik koji koriste, a novo gradivo objasnjavaju prema vlastitom stilu ucenja. Nepo-

dudarnost nacina poducavanjem koji koriste nastavnici i autori udzbenika, te djetetova

stila ucenja moze postati uzrok teskoca u ucenju.

b) Pogresan pristup poducavanju novih koncepta

Postoji sest stupnjeva savladavanja matematickih vjestina i koncepta kroz koje

svaki nastavnik treba voditi ucenike korak po korak: intuitivni, konkretni, reprezenta-

tivni (likovni), apstraktni, upotrebni i komunikacijski. Mozemo smatrati da je ucenik

doista usvojio koncept ukoliko je sustavno voden od prvog do zadnjeg stupnja. Cesto

nastavnici pocinju izlagati novi matematicki koncept s krive razine ili preskacu jednu ili

nekoliko razina. Zbog toga ucenici ne usvajaju koncept ili vjestinu u potpunosti, a pri

tome nastavnik vec prelazi na demonstraciju sljedeceg koncepta. Tada ucenik prestaje

pratit nastavnikova objasnjenja, te pocinje imati teskoce u rjesavanju zadataka.

4 Diplomski rad

c) Nedovoljna matematicka praksa

Uzrok djetetovih teskoca u ucenju matematike moze biti cesto izostajanje sa

satova matematike. Medutim, ima i drugih uzroka. Ukoliko ucenik nije u stanju rijesiti

aritmeticki zadatak, nastavnik mu ne pruza mogucnost napredovanja do problemskih

aspekata matematike. Neki nastavnici smatraju da su racunske radnje s brojevima

temelj za daljnje napredovanje u matematici, no to nije uvijek tocno. Ucenici koji

imaju teskoce u algebri i/ili aritmetici, bez teskoca mogu uciti geometriju ili obrnuto.

2.6. Emocionalno stanje djeteta

Djeca cesto imaju strah od matematike koji se moze pojaviti nakon nekog neugod-

nog dozivljaja ili raste kada dijete prestaje pratiti uciteljeva objasnjenja. Matofobija,

strah od matematike, neprestano se siri i smatra se posebnom teskocom u ucenju ma-

tematike.

Diskalkulija 5

3. Sto je diskalkulija?

Danasnji strucnjaci pod diskalkulijom podrazumijevaju skup specificnih teskoca

u ucenju matematike i u obavljanju matematickih zadataka. To su odstupanja koja

osobi stvaraju ozbiljne teskoce u savladavanju matematike bez obzira na normalno

funkcioniranje osjetila, na dovoljni stupanj intelektualnog razvoja i optimalne uvjete

redovnog poducavanja. Pri usvajanju matematike teskoce mogu biti lake, umjerene i

teske, pa prema tome razlikujemo djelomicnu ili potpunu matematicku nesposobnost,

odnosno diskalkuliju ili alkalkuliju.

Diskalkulija je djelomican poremecaj procesa usvajanja matematike, koji se moze

pojavljivati u svim ili samo odredenim podrucjima matematike. Dijete pri tome na-

preduje u usvajanju matematike, ali mnogo sporije od svojih vrsnjaka i neadekvatno

svojoj mentalnoj dobi.

Kod djece se najcesce radi o razvojnoj diskalkuliji, odnosno o teskocama koje se

formiraju u ranoj razvojnoj dobi. Teskoce se prepoznaju cim je dijete pocelo upozna-

vati pojam broja i obavljati elementarne racunske operacije, te se zbog toga nazivaju

”razvojne teskoce”. Diskalkulija moze biti jedina djetetova teskoca ili se moze pojaviti

u kombinaciji s nekom drugom teskocom, na primjer, disgrafijom ili disleksijom.

Definirajuci diskalkuliju potrebno je u obzir uzeti odnos specijalnih matematickih

sposobnosti djeteta i opcih mentalnih sposobnosti. O postojanju diskalkulije kod dje-

teta mozemo govoriti samo kada je njegova matematicka dob znatno ispod prosjeka dok

je mentalna dob normalna. Analogno mentalnoj dobi, matematicka dob se odraduje

putem standardiziranih testova matematickih sposobnosti.

Neuroloski poremecaj i specificnost u radu mozga su dva razlicita mehanizma ra-

zvojne diskalkulije, zbog kojih nastaju teskoce u ucenju matematike kod razlicite djece.

Kod jednog djeteta teskoce su uzrokovane neuroloskom disfunkcijom, dok su kod dru-

gog djeteta uzrokovane neuobicajenim, ali ispravnim funkcioniranjem sustava mozga.

Takvo dijete zapravo je nadareno, jer posjeduje izvanredne sposobnosti holistickog

misljenja, ali ima teskoce u shvacanju analitickih aspekata matematike.

Navest cemo osnovne oblike razvojne diskalkulije koje je 1970. definirao i opisao

Ladislav Kosc. On je definirao oblike diskalkulije prema simptomima koje je uocavao

kod djece. Oblici razvojne diskalkulije su verbalna, praktognosticka, leksicka, graficka,

ideognosticka i operacijska diskalkulija.

3.1. Verbalna diskalkulija

Dijete s verbalnom diskalkulijom veoma tesko usvaja matematicki rjecnik, kao sto

su nazivi znamenki, racunskih simbola i radnji, te imenovanje kolicine i broja predmeta.

Dijete koje nema verbalnu diskalkuliju znat ce reci koliko ima predmeta prije nego li

upozna brojeve i znamenke. Tek kada je dijete u stanju rijecima imenovati kolicinu

6 Diplomski rad

predmeta koje promatra, ono razumije brojeve i znamenke. Dijete s ovim oblikom

diskalkulije ne zna imenovati kolicinu. Razlikujemo senzornu i motoricku verbalnu

diskalkuliju.

Ukoliko dijete ima senzornu verbalnu diskalkuliju, ono ima teskoce u prepozna-

vanju usmeno izgovorenog naziva broja kada ne vidi pred sobom konkretne predmete

cija kolicina odgovara tom broju. Primjer senzorne verbalne diskalkulije je da ucenik

ispravno zapisuje i cita brojeve 3, 4, 5, ali nije u stanju pokazati tri prsta, nacrtati

cetiri kruzica i prekriziti pet kvadrata. Takvo dijete ce, ukoliko nema dodatnih teskoca

slusne percepcije, ispravno izbrojati udarce koje cuje, odnosno znati odgovoriti koliko

je puta netko pokucao, ali nece shvatiti uputu da pokuca odredeni broj puta.

Dijete s motorickom verbalnom diskalkulijom u stanju je pisati i citati diktirane

brojeve i obavljati racunske operacije, ali ne moze samostalno imenovati kolicine. Ono

ce ispravno procitati ili zapisati broj, ali ne moze imenovati isti broj kada je prikazan

kao kolicina. Primjer verbalne motoricke diskalkulije ocituje se u pokazivanju kolicine

ispitivacevih prstiju. Na prikazanih deset prstiju ucenik odgovara kako vidi dva.

Dijete s motorickom verbalnom diskalkulijom takoder moze imati teskoce i u bro-

janju naglas, jer to zahtjeva poznavanje naziva brojeva i njihovo automatizirano iz-

govaranje. Ono moze izostaviti neke brojeve, te zastati na izgovaranju nekog broja

ili ponoviti vec jednom izgovorene brojeve. S druge strane, takvo dijete je u stanju

zapisivati brojeve u nizu bez greske. Jos jedan primjer motoricke verbalne diskalkulije

je da dijete prepoznaje zadani broj, na primjer broj 21, ali kada ga treba zapisati, ono

zapisuje 20 1.

3.2. Praktognosticka diskalkulija (disprakticna diskalkulija)

Dijete s praktognostickom diskalkulijom ima teskoce u manipuliranju nacrtanim i

stvarnim objektima, kao sto su prsti, stapici, kocke i kuglice. Ucenici u osnovnoj skoli

trebaju usvojiti racunske operacije na temelju konkretnih situacija, na primjer, zbraja-

nje jabuka u zdjelama, brojanje stapica, oduzimanje kuglica. Dijete nece biti u stanju

usvojiti niti osnovno nacelo matematike ukoliko je sposobnost obavljanja matematickih

manipulacija predmeta poremecena.

Dijete s ovom oblikom diskalkulije ima teskoce u usporedivanju prema kolicini,

zbrajanju predmeta i prepoznavanju prostornih osobina. Praktognosticka diskalkulija

moze se jasno pokazati u senzorickom ili motorickom obliku. Neophodno je razlikovati

nesposobnost i prepoznavanje demonstrirane kolicine predmeta (senzorika) od nespo-

sobnosti zbrajanja zadanog broja stvarnih predmeta (motorika). Ovako dijete obicno

nema teskoca u pisanju i citanju brojeva i matematickih simbola, kao sto su + − x : ,

te u obavljanju racunskih radnji.

Dijete s praktognostickom diskalkulijom tesko ce poredati likove prema velicini ili

pokazati veci ili manji izmedu dva lika. Primjer praktognosticke diskalkulije da ucenik

Diskalkulija 7

nije u stanju poredati 6 stapica prema visini, od kojih je najkraci dug 4 cm, a najdulji

16 cm. Takoder nije u stanju odabrati dva predmeta iste visine, sirine i dr. iz odredenog

skupa.

3.3. Leksicka diskalkulija (numericka diskalkulija)

Dijete s ovim oblikom diskalkulije ima teskoca u citanju matematickih simbola,

odnosno znamenki, brojeva, racunskih znakova i zapisanih matematickih postupaka.

Leksicka diskalkulija moze se pojaviti kao jedina djetetova teskoca, ali najcesce se po-

javljuju u kombinaciji s drugim simptomima i verbalnom, praktognostickom i grafickom

diskalkulijom. Dijete s umjerenom leksickom i grafickom diskalkulijom ispravno cita

jednoznamenkaste brojeve, ali nije u stanju citati viseznamenkaste, osobito one s neko-

liko nula u sredini. Takvo dijete kasnije nece moci citati kvadrate, korijene, razlomke,

decimalne brojeve itd. Ono moze ispravno rijesiti aritmeticki zadatak, ali ga nece moci

procitati. U slucaju teske manifestacije ovoga oblika dijete ne moze citati izolirane

znamenke i/ili jednostavne racunske operacije, na primjer 1, 4, 7, + − x : . Najcesce

pogrjeske koje dijete cini su da zrcalno cita dvoznamenkaste brojeve (broj 23 procita

kao 32), zamjenjuje znamenke po istom optickom izgledu ( 3 i 8, 2 i 5, 6 i 9), izostavlja

nulu unutar broja (broj 3056 cita kao ”tristo pedeset i sest”), umjesto da procita broj

imenuje samo izolirane znamenke (broj 532 cita kao ”pet, tri, dva” ).

3.4. Graficka diskalkulija (numericka disgrafija)

Graficka diskalkulija je teskoca u pisanju matematickih simbola, a najcesce se po-

javljuje u kombinaciji s disleksijom i disgrafijom. Dijete s ovakvim oblikom diskalkulije

ne moze prepisivati, preslikavati znamenke i pisati diktat brojeva. Ucenici cesto imaju

teskoce u rjesavanju pismenih aritmetickih zadataka koji su prezentirani brojevima,

dok isti mogu ispravno rijesiti zadatak zadan rijecima, ali imaju teskoca s pisanjem

brojeva.

Dijete s umjerenom grafickom diskalkulijom je u stanju bez pogrjesaka pisati jed-

noznamenkaste brojeve, ali ne moze ispravno zapisivati viseznamenkaste brojeve.

Specificne pogrjeske koje cini dijete su izostavljanje, dodavanje ili premjestanje

nule, pogrjesno pisanje racunskih znakova, pisanje brojeva u suprotnom smjeru i pre-

mjestanje znamenki u broju.

Razlikujemo i prostornu diskalkuliju, koja je podvrsta graficke diskalkulije, a teskoce

su ocite kada je potrebno zapisati brojeve u stupce, spustati i prenositi dalje u drugi

stupac, te odredivanje polozaja decimalne tocke.

8 Diplomski rad

3.5. Ideognosticka diskalkulija

Ideognosticka diskalkulija je teskoca u shvacanju matematickih pojmova, racunanju

u sebi, te u obavljanju vrlo jednostavnih izracuna. Djeca s ovim oblikom diskalku-

lije obicno nemaju problema s pisanjem i citanjem matematickih simbola. Dijete s

najtezim oblikom ovoga tipa nije u stanju u sebi izracunati niti koliko je 2 + 2. U

laksim slucajevima dijete ne moze racunati u sebi zadatke primjerene za njegovu dob

i razred.

Primjer ideognosticke diskalkulije je da dijete zna da ”6” znaci ”sest” i da ”sest”

pisemo kao ”6”, ali ne zna da je ”6” ili ”sest” oznaka za jedan manje od sedam ili da

je to dva puta tri. Takoder ono nije u stanju pokazati toliko kockica, stapica ili drugih

predmeta koliko je nacrtano na ploci ili koliko je zapisalo u svoju biljeznicu.

Dijete s ovakvim oblikom diskalkulije ne moze nastaviti niz brojeva, jer ne shvaca

prema kojem je nacelu sastavljen. Ideognosticka diskalkulija se takoder jasno pokazuje

kao nedostatak matematickog misljenja.

3.6. Operacijska diskalkulija (anaritmetija)

Operacijska diskalkulija je teskoca u izvodenju temeljnih racunskih radnji, zbraja-

nja, oduzimanja, mnozenja i dijeljenja. Dijete s ovakvim oblikom diskalkulije najcesce

zamjenjuje jednu racunsku radnju drugom ili pojednostavljuje nacin racunanja (3 ·7 =

7+7+7 = 21). U tezim slucajevima, prethodni primjer dijete moze pojednostaviti kao

3 · 7 = 7 + 7 + 7 = 777, te dugo koristi prste u racunanju umjesto da racuna u sebi ili

na papiru. Ovaj oblik je najteze identificirati, jer je potrebno pratiti kako dijete dolazi

do rezultata i na koji nacin racuna.

Vazno je naglasiti da nam neispravan rezultat sam po sebi uglavnom ne pokazuje

u cemu dijete grijesi i na kojem se stupnju racunanja ispoljava poremecaj, odnosno

koje pravilo nije usvojeno. Dijete nerijetko dolazi do ispravnog rezultata na sasvim

pogresan nacin.

Postupak dijagnosticiranja i terapije diskalkulije je tezi ukoliko dijete ima nekoliko

oblika istih. Narocito se razni oblici mogu pojaviti s razvojnom disleksijom i disgrafi-

jom.

Diskalkulija 9

4. Prepoznavanje diskalkulije

U ovom poglavlju vidjet cemo kako prepoznati diskalkulicno dijete, odnosno koje

pogreske najcesce ono cini. Upoznat cemo se i s kvalitetnim ispitivanjem koje je us-

mjereno na otkrivanje cinjenica koje dijete ne zna i cinjenica koje zna, te s dijagnosti-

ciranjem diskalkulije.

4.1. Greske koje cine diskalkulicna djeca

Neka djeca pri ucenju i savladavanju gradiva iz matematike cine mnogo gresaka.

No, diskalkulicna djeca razlikuju se po tome sto cine mnogo neuobicajenih gresaka.

Navest cemo iste te greske.

1. Parafazicne supstitucije

Parafazicna supstitucija je neispravna upotreba brojeva pri pisanju, racunanju i

citanju. Pri racunanju dijete zamjenjuje broj nekim drugim brojem, no ovakvu zamjenu

ne cini zbog nerazumijevanja pojma broja. Kako u citanju i pisanju brojeva, ovakve

greske dogadaju se i pri upotrebi kalkulatora. Zamjena jednog broja drugim takoder se

ne dogada ni zbog slicnosti oblika, prostornog polozaja brojeva ili o pritiskanju tipke

kalkulatora koje se nalazi pored one ispravne.

Primjer parafazicne supstitucije je da dijete cita broj 4 kao broj ”osam”, a nekada

ga koristi kao da je to broj 3. Tako ce zadani zadatak rijesiti na sljedeci nacin: 3 ·4 = 9.

2. Perseveracije (greske ”zaglavljivanja”)

Perseveracije se ocituju ukoliko dijete isti broj ili radnju ponavlja vise puta, te nije

u stanju prijeci na sljedeci korak. Recimo, ako je u prvom zadatku na stranici bio znak

”−”, dijete oduzima u svim zadacima koji se nalaze na toj stranici, bez obzira sto se

znak promijenio. Dogada se i da dijete uporno ponavlja nedavno naucenu radnju. Ono

primjenjuje novousvojenu radnju ili postupak tamo gdje taj postupak nije prikladan.

Primjeri gresaka ”zaglavljivanja” su da dijete umjesto zbrajanja ili mnozenja za-

danih brojeva pise kao rezultat sljedeci broj po redu. Tako zadani zadatak rjesava na

sljedeci nacin: 6 + 4 = 5, 16 · 3 = 17. Takoder moze i ponavljati jedan od faktora ili

pribrojnika. Na primjer, 6 · 3 = 3, 4 + 2 = 2.

3. Zrcalne greske

Prepoznavanje zrcalnih gresaka ocituje se po zrcalnom okretanju znamenaka. Di-

jete narusava ili zrcalno okrece redoslijed znamenaka u viseznamenkastim brojevima.

10 Diplomski rad

Tako ce ono umjesto broja ”6” koristiti broj ”9”, a broj ”524” ce procitati ili napisati

kao ”425” ili ”245”.

Slika 4.1.: Zrcalno okretanje znamenki

4. Usporenost

Djetetu je za davanje ispravnog odgovora potrebno mnogo vise vremena nego sto

je to potrebno ostaloj djeci njegove dobi.

5. Stavljanje brojeva u uzajamno neprikladan prostorni polozaj

Dijete tijekom obavljanja pismenog racunanja u stupcima zapisuje brojeve u uza-

jamno neprikladnom prostornom polozaju te zbog toga dolazi do pogresnog rezultata.

Na primjer,

56

+32

592

6. Vizualne greske

Kod ove vrste gresaka dijete pogresno prepoznaje matematicke simbole i relativan

polozaj znamenki. Zbog toga ono neispravno prepoznaje broj ili obavlja pogresnu

radnju. Zadatak 14 + 1, dijete rjesava kao 14 + 1 = 13, jer je umjesto zbrajanja

koristilo oduzimanje. Jos jedan primjer je da je rjesenje zadatka 18− 27 broj 11, jer je

njegov postupak bio: 8 − 7 = 1, 2 − 1 = 1.

Slika 4.2.: Neispravno prepoznavanje racunskih operacija

Diskalkulija 11

Slika 4.3.: Neispravno prepoznavanje znamenki

7. Proceduralne greske

Primjer proceduralne greske je da dijete zamjenjuje ulogu znamenke ”2” u sljedecim

polozajima u brojevima: 3.2, 32, 32. Odnosno, ono izostavlja jedan od obaveznih ko-

raka u rjesavanju zadatka.

8. Slabo pamcenje i prepoznavanje niza brojeva

Ukoliko je dijete naviknuto izgovarati telefonski broj 822455 kao 822 − 455, bit ce

mi tesko prepoznati isti broj ako je izgovoren ili zapisan na drugaciji nacin, na primjer

kao 82−24−55. Posebno velike teskoce su kada je potrebno brojati unatrag ili ponoviti

zapamceni niz brojeva unatrag, na primjer, 6134 − 4316.

4.2. Ispitivanje i dijagnosticiranje razvojne diskalkulije

Na pocetku ovog poglavlja smo naveli specificne greske koje cini diskalkulicno

dijete. Iako se najveca paznja u prepoznavanju diskalkulije upravo posvecuje tim

greskama, jedan od vaznih zakljucaka jest da su strategije mnogo bitnije od gresaka.

Za dijagnosticku analizu vazno je otkrivanje tipologije gresaka, no pravo ispitivanje

se ne sastoji od popisivanja gresaka, niti od identifikacije kategorija gresaka, nego od

detaljne analize mentalnih procesa koji su ih uzrokovali.

Ispitivanje zapravo znaci odredivanje kako ucenik razumije matematicke koncepte,

procese i medusobnu povezanost raznih podrucja matematike. Ono takoder odreduje

sposobnost djeteta da primijeni matematiku u razlicitim zivotnim situacijama. Ispitna

metodika treba integrirati proceduralna znanja, rjesavanje problemskih zadataka, kon-

ceptualno razumijevanje, logicko zakljucivanje i matematicku osobnost ucenika. S

12 Diplomski rad

druge strane, u ispitivanju matematicke sposobnosti odreduje se razvijenost mate-

matickog jezika, predmatematickih i pomocnih vjestina, matematickog misljenja, te

stupanj usvojenosti specificnog matematickog sadrzaja.

Upoznali smo se s vaznim cimbenicima koji utjecu na ucenje matematike, te su oni

obavezna podrucja ispitivanja djece s teskocama u ucenju matematike. Dijagnosticira-

nje razvojne diskalkulije ukljucuje sljedece elemente: ispitivanje stupnja razvoja kogni-

tivnih sposobnosti (inteligencije), ispitivanje neuropsihologijskih funkcija, odredivanje

individualnog stila ucenja (matematicke osobnosti ucenika), ispitivanje matematickog

jezika, ispitivanje predmatematickih vjestina i ispitivanje sposobnosti citanja i pisanja.

Takoder, trebamo razlikovati razvojnu diskalkuliju od disleksije i drugih teskoca

u ucenju. Da bismo ucinili tocnu diferencijalnu dijagnostiku, trebamo tocno znati sto

mozemo smatrati diskalkulijom. Dakle, na diskalkuliju mozemo posumnjati i podvrg-

nuti ucenika diferencijalnom dijagnostickom postupku kada je razlika u matematickoj

i mentalnoj dobi najmanje dvije godine.

4.2.1. Ispitivanje opcih matematickih sposobnosti ucenika

Ispitivanje matematickih sposobnosti ucenika svih dobnih skupina treba ukljucivati

cinjenice i postupke, problemske zadatke, geometriju i prostorno misljenje, mjerenje i

prakticnu primjenu znanja, matematicko misljenje i matematicki jezik. Sada cemo opi-

sati primjere zadataka u odredenim podrucjima ispitivanja.

1. Matematicke cinjenice, vjestine i postupci

U ovom podrucju ispituju se analiticke, geometrijske i algebarske cinjenice, pos-

tupci i koncepti, matematicki jezik, te vokabular i sintaksa. Ucenici trebaju pokazati

znaju li modelirati, objasnjavati i zakljucivati na temelju osnovnih aritmetickih i al-

gebarskih cinjenica i algoritama, koristiti se raznovrsnim mentalnim, pismenim i elek-

tronickim nacinima racunanja, te birati i primjenjivati odgovarajuce racunske tehnike

u odnosu na odredeni problemski zadatak i odrediti ima li dobiveni rezultat smisla. Pri

ispitivanju poznavanja cinjenica, vjestina i postupaka, moramo imati na umu da su to

vjestine nize razine, te da njihovo dobro poznavanje ne jamci prisutnost vjestina visoke

razine, kao sto su rjesavanje problemskih zadataka, matematicko misljenje i primjena

matematike u zivotu.

Ako ispitujemo dijete individualno, trebamo sjesti pored njega i zamoliti ga da

razmislja naglas. Na taj nacin ispitivac moze promatrati djetetov nacin obrade infor-

macije, stil i stupanj razvijenosti matematickog misljenja te odabir strategije.

Sljedeci primjer pokazuje kako je dvanaestogodisnji ucenik s operacijskom diskalku-

lijom slucajno dobio ispravan rezultat, te je ustanovljeno koristenje pogresnog postupka

samo zato jer ga je ispitivac zatrazio da verbalno komentira svoje postupke.

Diskalkulija 13

9361825

+ 8758785

18120610

Verbalizacija racunskog postupka: ”Evo, vidite 5 vise 5 jednako 10. Zato spustam 10

ovamo dolje, ovako (ucenik pise 10). Sada cekajte malo, daaa... o da... ovaj pa... daaa.

Mmmm. OK! 8 vise 8 je 16. 10 je vec tu, pa 16 spustamo ovamo. Ne... ovdje pisemo

samo 6,a 1 ide dalje. 8 vise 1 jednako 9, a jedan ide dalje. OK! Ali ovdje sada imamo

1 visak, zato zbrajamo 7 i 6, a to je jednako 13. Oduzimamo onu suvisnu jedinicu i

dobijemo 12 (ucenik pise 12 u 6. i 5. stupcu). Sada trebamo nekud smjestiti tu jedinicu,

pa cemo je pribrojati na kraju. 9 vise 8 jednako 17 i vise 1 jednako 18 (ucenik pise 18

u 8. i 7. stupac).”

Ovaj ucenik je od 46 ispitnih zadataka ispravno rijesio samo devet. Njegove diskal-

kulicne teskoce, odnosno nesustavno i naruseno vodenje racunskog postupka ne bi se

otkrile klasicnim ocjenjivanjem. Veoma vazno znacenje ima i nacin formuliranja ispit-

nih pitanja. Njih trebamo formulirati tako da mozemo dobiti uvid u stupanj djetetovog

razumijevanja.

Razmotrit cemo dva primjera koji ispituju oduzimanje cijelih brojeva:

1. Izracunaj razliku sljedecih brojeva:

718 − 459

2. Pred tobom su dva zadatka iz oduzimanja. Izmisli jos jedan zadatak iz oduzimanja

ciji ce rezultat biti izmedu rezultata ovih zadataka:

718 − 459 624 − 397

Ova dva zadatka ispituju istu vjestinu, no na razlicitim razinama konceptual-

nog razumijevanja. Vidimo da je drugi zadatak neovisan o mehanickoj uvjezbanosti

racunskog postupka, te otvara priliku za ispoljavanje konceptualnog razumijevanja

znacenja oduzimanja.

Podrucje koje se rijetko ispituje je vjestina procjenjivanja. Uvjezbavanje vjestine

procjenjivanja vazno je uvjezbavati, jer ono koristimo u vecini stvarnih zivotnih pro-

blemskih situacija. Jedan primjer u kojem se ispituje vjestina procjenjivanja je:

1?

+ 26

14 Diplomski rad

Kojem je od ovih brojeva rezultat najblizi?

a) 300 b) 50 c) 250 d) 220

2. Matematicki problemski zadaci: Visi stupanj misljenja i

rjesavanja problemskih zadataka

U ovom podrucju se ispituju zakljucivanje, raspoznavanje meduodnosa, prosudivanje

i ucenikove dispozicije. Ucenici trebaju pokazati znaju li istrazivati, rjesavati probleme

koji zahtijevaju kvantitativne, algebarske i geometrijske metode, tumaciti vrste pro-

blemskih zadataka kojima treba pristupati na razlicite nacine i primjenjivati znanstvene

metode.

Ucenici trebaju pokazati znaju li procijeniti imaju li dovoljno cinjenica i poda-

taka potrebnih za rjesavanje odredenog zadatka, koristiti usvojena znanja i vjestine za

rjesavanje nove eksperimentalne situacije, birati adekvatan pristup rjesavanja zadatka

te rjesavati problemske zadatke koji imaju vise od jednog odgovora ili ih uopce nemaju.

Ispitni matematicki zadaci trebaju biti takvi da na temelju njega ispitivac moze

procijeniti u kojoj mjeri ucenik razumije zadanu informaciju, formulira problem, pla-

nira rjesavanje, ostvaruje ga i generalizira odgovor. U ovom slucaju preporucuje se

projektnog zadatka jer tada ispitivac odreduje ucenikovu sposobnost primjenjivanja

znanja i vjestina u konkretnoj problemskoj situaciji.

3. Geometrija i prostorno misljenje

Geometrija je uvelike prisutna u nasem zivotu i djeca se prirodno interesiraju za

istrazivanje prostora. Mnoga djeca mogu imati teskoce u ucenju brojeva, ali rijetko

koje dijete osjeca odbojnost prema prostornim istrazivanjima. Mnoge geometrijske

vjestine su nuzne u procesu rjesavanja problemskih zadataka. U poducavanju, ucenju i

ispitivanju geometrije kod djece naglasak treba biti na razvijanju prostornog misljenja.

Ucenici trebaju pokazati znaju li prepoznavati geometriju u stvarnom svijetu, opisi-

vati, crtati i razvrstavati geometrijske likove i tijela, te povezivati geometriju i prostorne

ideje s kolicinama i mjerenjem.

U sljedecem primjeru navest cemo zadatak koji ispituje razumijevanje trokuta i

njihova obiljezja.

Navedi slicnosti i razlicitosti likova koje vidis.

Diskalkulija 15

4. Mjerenje

Ispitivanjem znanja i vjestina u podrucju matematike ispitujemo njezino pozna-

vanje i primjenu. Pri ovakvom ispitivanju vazno je ispitati je li ucenik sposoban oda-

brati odgovarajuci instrument za mjerenje, ispravno ga upotrijebiti i procitati rezultate

mjerenja. To se najbolje postize u zadacima u kojima ucenik treba razmisliti na koje

podrucje matematike se odnosi mjerenje, odabrati mjerni instrument i obaviti mjerenje.

Primjer ovakvog tipa zadatka je:

Tocke N i M se nalaze na suprotnim stranama pravokutnika. Duljine stranica pravo-

kutnika su 10 i 32. Koja je najmanja moguca udaljenost izmedu tocaka N i M?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e)16.

5. Ispitivanje matematickog misljenja

Svrha kvalitetne nastave iz matematike je poduciti ucenike da razmisljaju, for-

muliraju pitanje, lako rjesavaju problemske zadatke te lako barataju matematikom.

Iz toga razloga te iste vjestine trebamo i ispitivati. Za ispitivanje razvijenosti mate-

matickog misljenja korisna su pitanja otvorenog tipa. Ona pruzaju uceniku mogucnost

upotrebe razlicite strategije pri rjesavanju istoga zadatka. Pitanja otvorenog tipa su

dijagnosticka, jer na temelju njih mozemo procijeniti jezicnu i konceptualnu razvijenost

matematickih ideja.

6. Ispitivanje usvojenosti matematickog jezika

Ispitivanje usvojenosti matematickog jezika podrazumijeva ispitivanje ucenikove

sposobnosti komuniciranja o matematickim konceptima na jeziku matematike. Ucenik

mora pokazati je li sposoban razumjeti i aktivno koristiti matematicki vokabular. Od

ucenika se trazi da razumije i aktivno koristi matematicki vokabular u odnosu na dob,

usmeno izlaze matematicke ideje, te koristi razlicita didakticka i jezicna sredstva kako

bi pokazao svoja znanja.

Sastavljanje verbalnih problemskih zadataka je dobar dijagnosticki materijal za

ispitivanje matematickog jezika, misljenja i koncepta. Djeca koja znaju napisati sa-

mostalno verbalni problemski zadatak imaju manje teskoca u rjesavanju zadataka koje

je sastavio ucitelj. Tijekom samostalnog sastavljanja djeca uce povezivati znanja i

vjestine iz raznih podrucja matematike i dublje usvajaju matematicki jezik.

Navest cemo nekoliko primjera zadataka koji integriraju matematicki jezik s dru-

gim podrucjima iz matematike:

16 Diplomski rad

Primjer 1.

6 − 2 =?

Koja recenica odgovara matematickom zadatku?

a) 2 jabuke, 6 jabuka. Koliko ih je ukupno?

b) 2 jabuke, 6 kostica. Koliko ima kostica?

c) Marta je imala 6 kuna. Potrosila je 2 kune. Koliko joj je kuna ostalo?

d) Marta je imala 2 kune. Potrosila je 4 kune. Koliko joj je kuna ostalo?

Primjer 2.

Ispitivac:

Napisi zadatak zadan rijecima koji odgovara sljedecem matematickom izrazu:

(39 − 5) + 13 =

Ucenik:

U trgovini sam dobio 39 slicica.

5 slicica sam dao svojem prijatelju.

On mi je za mojih 5 slicica dao svojih 13 slicica.

Koliko slicica imam sada?

4.2.2. Ispitivanje spremnosti djeteta za usvajanje matematike u skoli

U ovom poglavlju opisat cemo niz dijagnostickih zadataka koji ispituju spremnost

za usvajanje matematike u skoli. Zadaci su namijenjeni djeci s teskocama u razvoju

koja se upisuju u prvi razred osnovne skole. Da bi dijete u skoli usvojilo apstraktne

matematicke pojmove treba imati razvijene predmatematicke vjestine. To su vjestine

koje cine preduvjet za ucenje matematickih sadrzaja u skoli. Potrebno ih je sustavno

razvijati u predskolskoj dobi u obliku djecjih igara i ostalih motivirajucih aktivnosti s

konkretnim materijalima. One se vjezbaju u nematematickom okruzenju, sto znaci da

nije bitno da je sadrzaj igre matematicki pojam, vec se mozemo koristiti igrackama i

ostalim predmetima bliskima djeci. No, zadaci koji se rade s tim objektima jesu ma-

tematicki.

Diskalkulija 17

Zadatak 1 – Razvrstavanje

U ovom zadatku ispituje se djetetova sposobnost razvrstavanja objekata prema

nekom svojstvu, boji, obliku, velicini. Preporucuje se rad s objektima koji su bliski

predskolskoj djeci, te koji se perceptivno lako uocavaju. Dijete treba shvacati da niti

jedan predmet ne moze istodobno pripadati dvjema kategorijama (biti istodobno i velik

i malen), da svi predmeti u jednoj kategoriji imaju zajednicku osobinu (svi su crveni)

i da mora slusati po kojemu kriteriju treba razvrstati odredene predmete (Razvrstaj

stapice po boji.).

Materijal: 2 plave kocke, 1 plava loptica, 1 plava vrpca, 2 zute kocke, 1 zuta loptica i

1 zuta vrpca.

Dio A

Stavite na stol plave kocke, lopticu i vrpcu.

1) ”Reci, po cemu su ove stvari slicne?”

2) ”Reci, po cemu su ove stvari razlicite?”

Dio B

Stavite na stol zute kocke, lopticu i vrpcu.

1) ”Reci, po cemu su ove stvari slicne?”

2) ”Reci, po cemu su ove stvari razlicite?”

Dio C

Stavite na stol zute i plave kocke.

1) ”Reci, po cemu su ove stvari razlicite?”

(Neka dijete razvrsta kocke u dva skupa.)

2) ”Reci, po cemu su ove stvari slicne?”

Dajte djetetu dvije loptice.

3) ”Kuda trebamo staviti ove loptice?”

Slika 4.4.: Vjestina razvrstavanja

18 Diplomski rad

Povezivanje sa skolskom matematikom

Aktivnosti sa skupovima koji se mogu razvrstati prema vise kriterija vrlo su bitne

za razvoj apstraktnog misljenja. Sama definicija apstrakcije je odbacivanje nebitnog

i fokusiranje na bitno. Primjerice, ako kazemo djetetu da predmete razvrsta po boji,

ono ce zanemariti sva ostala obiljezja i fokusirat ce se samo na boju. Ovom vjestinom

poboljsava se djetetova koncentracija, te je nuzan preduvjet za rjesavanje problemskih

zadataka.

Zadatak 2 – Nizanje

Ovaj zadatak ispituje djetetovu sposobnost nizanja predmeta i odrzavanja slijeda.

Predskolsko dijete bi trebalo znati brojati do 10 ili dodati tri predmeta, ali to ne znaci

da je ono svjesno pojma ritma ili velicine broja. Nizati znaci stavljati predmete jedan

do drugoga u odredenom ritmu (trokut, krug, trokut, krug ili plava lopta, zuta lopta,

plava lopta, zuta lopta). Osim sto cemo u ovom zadatku ispitivati sposobnost stav-

ljanja predmeta u odredeni niz prema velicini, ispitivat cemo i osjecaj za redne brojeve.

Dio A

Materijal: 5 vrpca razlicite duljine, od 1 do 5 jedinica.

Stavite trake na stol u nepravilnom redoslijedu.

2) ”Napravi od ovoga stepenice.”

Dio B

Materijal: 5 stupica razlicite visine: 1 jedinica (bijela), 3 jedinice (zelena), 5 jedinica

(zuta), 7 jedinica (crna) i 9 jedinica (plava).

Stavite stupice na stol u nepravilnom redoslijedu.

1) ”Poslozi stupice od najveceg prema najmanjem.”

Dio C

Materijal: Kartice na kojima je nacrtano 2, 4, 6, 8 i 10 predmeta. Neki predmeti su

nacrtani vrlo blizu jedan drugome, dok su drugi s vecim razmakom.

Stavite kartice na stol u nepravilnom redoslijedu.

1)”Poslozi ove slike od one gdje ima najvise predmeta do one gdje ima naj-

manje.”

Diskalkulija 19

Slika 4.5.: Vjestina nizanja

Povezivanje sa skolskom matematikom

Nizanje brojeva nuzna je predradnja za snalazenje na brojevnom pravcu, u ravnini

i prostoru.

Zadatak 3 – Ujednacavanje

U ovom zadatku ispitivat cemo razvijenost predmatematicke vjestine ujednacavanja

i usporedivanja. Ujednacavanje se za razliku od prethodno opisane vjestine nizanja od-

nosi na dva predmeta ili skupa. Bitno je da dijete pokraj sebe ima barem jedan odredeni

predmet vise nego sto mu treba te da uoci koliko mu predmeta treba da napravi skup

koji izgleda isto kao i onaj kojeg smo mi napravili ili koji ono treba samostalno napra-

viti.

Materijal: 8 zutih i 8 plavih kocaka.

Dio A

Stavite 4 zute kocke u vodoravni red.

1) ”Napravi isti takav red od plavih kocaka da ih ima isto toliko koliko i

zutih.”

Dio B

Stavite 5 zutih kocaka u dva reda tako da su u jednom redu dvije kocke, a u

drugom tri.

1) ”Napravi isto tako s plavim kockama.”

Dio C

Pomocu 5 zutih kocaka napravite krug. (Obavezno provjeriti da dijete ima na

raspolaganju vise od 5 plavih kocaka.)

1) ”Napravi plavi krug s istim brojem kocaka kao i sa zutim.”

20 Diplomski rad

Slika 4.6.: Vjestina ujednacavanja

Povezivanje sa skolskom matematikom

Ova aktivnost je temelj za usporedivanje cijelih brojeva, kasnije za usporedivanje

razlomaka, te za usporedivanje skupova. Na primjer, ukoliko damo djetetu dva skupa:

U jednom skupu su 4, a u drugom isto 4 kockice, te ih poslozimo polukruzno. Pitamo

dijete jesu li ova dva skupa jednaka. Zatim postavimo kockice u oba skupa u red, te

pitamo dijete jesu li skupovi i dalje jednaki. Ono dolazi do zakljucka da su skupovi

jednaki kada je broj predmeta u svakom skupu isti, ili da promjena mjesta predmeta

u skupu nece promijeniti njihov ukupni zbroj.

Zadatak 4 – Odrzavanje broja (zasebni objekti)

U ovom zadatku demonstriramo djetetu tri razlicita skupa koji se razlikuju u

jednoj ili nekoliko dimenzija. U dijelu A ispituje se razvijenost percepcije prostornih

dimenzija. Na dio B nema potrebe prelaziti ako dijete u dijelu A nije u stanju uociti

jednaki broj predmeta. Drugi dio testa ispituje djetetovu sposobnost perceptivnog de-

centriranja i pocetak transformiranja. Centrirano dijete osjeca da su redovi jednaki sve

dok vizualno percipira da su iste duljine, bez obzira na broj predmeta u njima. Kada

se broj predmeta mijenja, ali se duljina reda pri tome ne narusava, centrirano dijete ce

i dalje misliti da nema promjena.

Materijal: 10 plavih i 10 zutih kocaka.

Dio A

Napravite 2 reda kocaka: jedan red od 5 plavih, a drugi od 5 zutih kocaka. Izmedu

kocaka ostavi otprilike 3 cm razmaka.

1) ”Je li broj kocaka u oba reda isti?”

Ako dijete kaze ”Ne”, nemojte nastaviti s ovim zadatkom i odmah prijedite

na prvi dio 5. zadatka.

Ravnomjerno razmaknite zute kocke, odnosno produljite red.

2) ”Je li broj kocaka u oba reda i sada isti?”

Diskalkulija 21

Dio B

Napravite 2 reda kocaka: jedan red od 5 plavih, a drugi od 5 zutih kocaka. Izmedu

kocaka ostavi otprilike 3 cm razmaka.

1) ”Je li broj kocaka u oba reda isti?”

U red sa zutim kockama izmedu svake kocke dodajte po jos jednu zutu kocku.

2) ”Je li broj kocaka u oba reda i sada isti?”

Povezivanje sa skolskom matematikom

Ova aktivnost pomaze kod usvajanja koncepta broja, jer se on usvaja prema

kolicini, vizualno i simbolicki.

Zadatak 5 – Odrzavanje broja (nepodijeljni skupovi)

Nepodijeljni didakticki materijal je skup predmeta u kojem je svaki predmet dio

jedne cjeline koja ima edukativno znacenje upravo kao cjelina, ali pri tome svaki dio

cjeline nosi vlastite vizualno-prostorne osobine. Svaki dio kompleta nepodijeljnih di-

daktickih materijala je drugaciji (prema boji, velicini i drugo).

Materijal: Plastelin.

Dio A

Od plastelina napravite dvije kuglice jednake velicine.

1) ”Jesi li kuglice jednake?”

Ako dijete odgovori ”Ne”, dopustite mu da oduzima plastelin jednoj kuglici

i dodaje ga drugoj sve dok ne odluci da su kuglice jednake.

Spljostite jednu kuglicu i napravite od nje oblik crvica.

2) ”Gdje ima vise plastelina? Ima li ga jednako?”

22 Diplomski rad

Dio B

Pokazite djetetu dvije jednake kuglice od plastelina.

1) ”Jesu li jednake?”

Ako dijete odgovori ”Ne”, dopustite mu da oduzima plastelin jednoj kuglici

i dodaje ga drugoj sve dok ne odluci da su kuglice jednake.

Podijelite jednu kuglicu na pola i ucinite od nje dvije manje kuglice.

Dajte djetetu u saku dvije male kuglice, a u drugu vecu kuglicu.

2) ”Gdje ima vise plastelina? Imamo li jednako plastelina?”

Slika 4.7.: Vjestina odrzavanja boja

Zadatak 6 – Obrtanje

U ovom zadatku ispituje se je li dijete sposobno uociti dva jednaka skupa, te

vidjeti da su oni jednaki bez obzira na razliciti raspored predmeta u njima. Radnje

obrtanja omogucuju djetetu prepoznavanje cinjenice da se bilo koja promjena u redos-

lijedu, polozaju ili obliku moze vratiti u prijasnje stanje.

Materijal: 12 plavih kruzica i 12 crvenih kruzica.

Dio A

Napravite dva odvojena uzorka od 12 crvenih i 12 plavih kruzica tako da u svakom

bude 4 reda po 3 kruzica.

1) ”Gdje ima vise kruzica? Ili su mozda skupovi jednaki?”

Promijenite uzorak plavih kruzica u 3 reda po 4 kruzica u svakom.

2) ”Gdje ih ima vise? Ili ih ima jednako mnogo?”

Dio B

Poslozite u krug 10 crvenih kruzica. Isti takav odvojeni krug napravite od 10

plavih kruzica.

Diskalkulija 23

1) ”Gdje ima vise kruzica? Ili ih ima jednako mnogo?”

Promijenite uzorak plavih kruzica tako da ih polozite u obliku trokuta s redovima

4, 2, 2 i 1 kruzica.

2) ”Gdje ima vise? Ili ih ima jednako mnogo?”

Slika 4.8.: Vjestina obrtanja

Povezivanje sa skolskom matematikom

Ova vjestina ce pomoci djeci da sto bolje razviju prostorni zor. Mnoga djeca pre-

poznaju kvadrat samo ako im je donja stranica u vodoravnom polozaju. Zakrenemo li

taj kvadrat za 45◦, mnogi od njih ce reci da to vise nije kvadrat.

Zadatak 7 – Brojanje

U sedmom zadatku ispituje se djetetovo poznavanje glavnih brojeva, te se od njega

trazi da oznaci brojem zadani skup, odnosno da kaze koliko se predmeta nalazi u skupu.

Materijal: 7 zutih kocaka.

Dio A

Stavite na stol 3 kocke u jedan red.

1) ”Koliko ima kocaka?”

Dio B

Ispod reda s 3 kocke stavite novi red sa 4 kocke.

1) ”Koliko ima kocaka?”

Dio C

Polukruzno postavite 5 kocaka.

1) ”Koliko ima kocaka?”

24 Diplomski rad

Slika 4.9.: Vjestina brojanja

Diskalkulija 25

5. Pomoc i poducavanje djece s diskalkulijom

Iako je matematika za neku djecu tezak predmet, u mnogim zanimanjima poz-

navanje osnova matematike je vrlo bitno. Osjecaj za broj je uroden ljudski osjecaj,

te putem tog osjecaja dijete usvaja aritmetiku. Ne moze svako dijete postati mate-

maticar, ali svako dijete koje je sposobno smisleno citati u stanju je usvojiti osnove

aritmetike kao sto su zbrajanje i oduzimanje. Mnoga djeca govore kako ne mogu uciti

matematiku ili je mrze, a zbog cestih neuspjeha u njima se pojavio strah, a moguce

je da nisu poduceni kako efiksno uciti matematiku. Ukoliko nase dijete ili nas ucenik

ima teskoce u matematici, najbolji izbor je pruziti djetetu strucnu pomoc. Prethodno

smo razjasnili da dijete moze imati teskoce u matematici zbog raznih razloga: zbog

nedostatka kognitivnih sposobnosti, nekompatibilnosti matematicke osobnosti ucenika

i ucitelja i drugo. Stoga, prije nego li zapocnemo bilo koju terapiju, nuzno je identifici-

rati uzroke teskoca u ucenju matematike. Efikasno ucenje matematike znaci usvajanje

odredenih vjestina i ucenik s teskocama u matematici mora ovladati tim vjestinama.

To su vjestina slusanja, predmatematicke vjestine, formuliranje problema, razumije-

vanje jezika matematike, tumacenje formula, te ucenje putem domacih zadaca. Na

primjer, ucenik s teskocama bi trebao domacu zadacu uraditi odmah nakon nastave ili

istoga dana, odnosno sto manje odgadati. Koju god terapiju da odaberemo, trebamo

ju provoditi prije nego li se dijete nade u nevolji. Nju trebamo provoditi tijekom cijele

skolske godine u odgovarajucem mirnom tempu u kojem se ucenik osjeca ugodno.

Specijaliziranu pomoc djetetu moze pruziti osoba koja poznaje kako djeca uce

matematiku i zasto neka od njih imaju teskoce s njome. Drugo, osoba koja posjeduje

odgovarajuca strucna znanja, poznaje matematiku kao predmet i poznaje prakticne me-

tode pruzanja pomoci djeci s teskocama u ucenju matematike. Pocetno poducavanje

i terapiju moze provoditi osoba s relativno malo iskustva i prakse. Osnovno je imati

empatiju spram djetetovih teskoca i dobro poznavati matematicki sadrzaj. No, u svrhu

uspjesne terapije ozbiljnih matematickih teskoca potrebno je poznavati kako djeca uce

i usvajaju matematicke koncepte, prirodu teskoca u matematici, vrstu teskoce koje

ima odredeno dijete i efikasne i odgovarajuce metode terapije. Mnogi nastavnici sma-

traju da ce efikasno raditi s djecom koja imaju teskoce u matematici ako i sami znaju

matematiku, no to je tocno samo u ogranicenom broju slucajeva.

Osim nastavnika i terapeuta, roditelji su prvi i najutjecajniji ucitelji svoje djece.

Svaki roditelj treba preuzeti osobnu odgovornost za obrazovanje svojeg vlastitog dje-

teta, sto znaci da mora biti svjestan sto se dogada u djetetovom skolovanju. Pomazuci

djeci u ucenju matematike, roditelji svakako ne bi trebali imati negativan stav prema

njoj, odnosno govoriti djetetu da smo i sami neuspjesni u matematici te da ju ne vo-

limo. Tada u djetetu stvaramo negativne i gubitnicke osjecaje. Umjesto takvih rijeci,

roditelji trebaju odabrati drugaciji pristup: ”Idemo zajedno pokusati naci rjesenje ovog

zadatka.” ili ”Pronaci cemo nekoga tko ce nam pomoci da lakse ucimo matematiku.”.

26 Diplomski rad

Glavno pravilo za pomaganje djetetu u matematici jest da i roditelj i dijete pristupaju

ucenju matematike radosno, shvacajuci da matematika moze postati odlicna igra. Mu-

dar roditelj ce dopustiti djetetu da se bavi matematickim igrama kao nagradu za dobro

ponasanje, a za lose ponasanje nece igrati te igre. Najvaznije sto mogu uciniti roditelji

je ucvrstiti kolicinu matematickih znanja i vjestina koje je dijete dobilo u skoli.

5.1. Koncept broja: Poducavanje i uklanjanje teskoca

S brojem se susrecemo u njegovim raznim oblicima. Razumijevanje broja znaci

poznavanje nacina njegove primjene. Ponekad ga primjenjujemo za preciziranje velicine

skupa objekata u obliku glavnog broja, a ponekad za preciziranje polozaja objekta u

nizu u obliku rednog broja.

Proces usvajanja pojma broja nije jednostavan proces niti se odvija korak po ko-

rak. Kao sto cemo u nastavku vidjeti, umijece brojanja zahtijeva pokazivanje jednog

objekta i istodobno cuvanje vec prebrojanih objekata. Ucitelji koji rade s djecom s

teskocama u ucenju trebaju znati kako se razvija osjecaj za broj i koji su cimbenici

odgovorni za njegov optimalan razvoj. U ovom dijelu rada cemo razmotriti kako djeca

usvajaju pojam broja, koje teskoce mogu nastati u tom procesu i kako ucitelj/terapeut

moze pomoci djeci da usvoje pojam broja.

A. Broj kao niz

U ovom kontekstu razumijevanje znacenja brojeva od jedan do deset znaci pozna-

vanje da ”jedan” znaci jedan predmet odredene kategorije, ”dva” znaci jedan predmet

vise nego ”jedan”, ”tri” znaci jedan vise nego ”dva” itd. Poznavanje znacenja ”sest” u

tom smislu jest da je to jedan vise nego ”pet” i jedan manje nego ”sedam”, odnosno

da se ”sest” u nizu brojeva nalazi izmedu ”pet” i ”sedam”. Efikasna didakticka po-

magala za usvajanje ovog oblika znacenja broja su brojevna crta i drugi materijali za

brojanje, na primjer stapici i kocke. U ovom kontekstu naglaseno je da je svaki broj

dio niza, te prema vecini nastavnih programa ucitelji poducavaju djecu dominantno

ovome znacenju broja. Metodologija brojeva kao niza vise odgovara djeci s kvantita-

tivnim stilom ucenja matematike.

B. Broj kao skup

Znacenje brojeva kao skupa jest poznavanje da ”dva” predstavlja skup od dva

elementa, a ”tri” skup od tri elementa, odnosno da je svaki broj ime za odredeno veliki

skup zasebnih predmeta. Poznavanje broja ”sest” u tom smislu je poznavanje naziva

za bilo koji skup koji se sastoji od sest zasebnih, lako uocljivih objekata. Efikasna

didakticka pomagala za usvajanje ovog oblika broja su kocke za brojanje, te Unifiks

Diskalkulija 27

kocke, didakticki materijal koji se sastoji od medusobno spojivih plasticnih kocaka

raznih boja, te su istih dimenzija.

Vecina iskustava s brojevima i poducavanja u skoli pocinje od ovoga aspekta

znacenja broja. Djetetu se pokazuje skup predmeta i trazi se od njega da odredi njihov

broj. U tom procesu dijete shvaca broj kao numericko ime zadnjeg predmeta u skupu,

odnosno ime cijeloga skupa se identificira s imenom zadnjeg prebrojanog objekta. Ne-

dostatak takve metodologije poducavanja je u tome da veliki broj djece ne stvara veze

poistovjecivanja izmedu brojeva i objekata u skupu. Ako dijete izgovara broj ”sest”

dodirujuci zadnji predmet u skupu, ono zakljucuje da u skupu ima ”sest” predmeta,

ali ”sest” za njega znaci i ime zadnjeg predmeta. Zato za mnogu djecu broj postaje

obiljezje zadnjeg predmeta, a ne obiljezje cijeloga skupa. Metodologija brojeva kao

skupa najvise odgovara djeci s kvantitativnim razumijevanjem matematike.

Slika 5.1.: Unifiks kocke

C. Broj kao omjer

Mala djeca, prije nego nauce prosudivati apsolutnu velicinu, duljinu, smjer ili broj,

uce raspoznavati koji je od dva lika veci ili manji, koja je od dvije crte kraca ili dulja itd.

U ovom kontekstu poznavanje brojeva od jedan do deset moze znaciti poznavanje da

”dva” znaci dva puta bilo cega sto je odredeno kao jedan, ”tri” znaci tri puta toga sto

se zove jedan itd., tj. broj poprima znacenje omjera. Poznavati znacenje broja ”sest” u

tom kontekstu znaci poznavati da ako je ” ” jedan, onda sest puta toliko znaci ”sest”,

a to je ” ”. Efikasni didakticki materijal za razumijevanje ovog znacenja broja su

Cuisenaire stupici, didakticki komplet koji se sastoji od drvenih stupica, bijeli stupic –

1 cm × 1 cm × 1 cm, crveni stupic - 2 cm × 1 cm × 1 cm, svijetlozeleni stupic - 3 cm

× 1 cm × 1 cm, ljubicasti stupic - 4 cm × 1 cm × 1 cm, zuti stupic - 5 cm × 1 cm × 1

cm, tamnozeleni stupic - 6 cm × 1 cm × 1 cm, crni stupic - 7 cm × 1 cm × 1 cm, smedi

stupic - 8 cm × 1 cm × 1 cm, plavi stupic - 9 cm × 1 cm × 1 cm i narancasti stupic -

10 cm × 1 cm × 1 cm, u kojima duljina i boja svakog stupica oznacuje odredeni broj.

Razumijevanje ovog znacenja broja je preduvjet za razumijevanje koncepta mjerenja.

Djeca s kvalitativnim stilom ucenja preferiraju ovaj aspekt broja.

28 Diplomski rad

Slika 5.2.: Cuisenaire stupici

D. Broj kao odnos

Jos jedan nacin razumijevanja broja je putem usporedbe: broj moze biti veci ili

manji od drugoga broja. Poznavati broj ”sest” u ovome smislu znaci poznavati da je

vise od pet ili cetiri, manje od sedam ili osam, da su to dvije skupine po tri ili tri skupine

po dva sastavljene zajedno, da je to zbroj pet i jedan i slicno. Navedeno znacenje broja

kao odnosa i razumijevanje istoga je pocetak razumijevanja racunskih aspekata brojeva

(aritmetickih cinjenica). Cuisenaire stapici i Dienes blokovi, didakticki komplet koji se

sastoji od kocaka, stapica, plocica i blokova koji predstavljaju jedinice, desetice, stotice

i tisucice, su efikasna didakticka sredstva za usvajanje ovoga znacenja broja. Dijete

razumijevanjem ovog aspekta brojeva pokazuje da razumije i njihove meduodnose.

Slika 5.3.: Dienes blokovi

Diskalkulija 29

E. Primjena raznih znacenja broja

Poznavanje raznih aspekata broja vazno je za ucitelje i terapeute, jer o tome

ovisi metodologija poducavanja i biranje nastavnih materijala u procesu ucenja arit-

metike. Ukoliko dijete poznaje samo neke aspekte pojma broja, nastaju teskoce u

ucenju matematike. Zadaca nastavnika i terapeuta jest da djeci koja imaju teskoce u

konceptualizaciji broja pomognu da shvate sva njegova znacenja. Djeca s kvantitativ-

nim razumijevanjem matematike preferiraju znacenje broja kao niza, te uvjezbavaju

koncept broja i numericke cinjenice brojanjem. Funkcionalnija nastavna metodologija

za takvu djecu je ona koja prezentira broj kao prikaz odredene kolicine zasebnih pred-

meta. S druge strane, djeca s kvalitativnim stilom ucenja lakse shvacaju broj kada je

u znacenju skupa ili omjera. Oni lakse usvajaju pojam broja pomocu nastavnih stra-

tegija u kojima se naglasavaju obiljezja velicine i boje. Buduci da u razredima ima i

djece s kvantitativnim i s kvalitativnim stilom ucenja matematike, nastavnici bi trebali

u nastavnim strategijama koristiti oba pristupa za poducavanje pojma broja.

Biti sposoban ispravno prebrojati predmete i shvacati pojam broja nije isto.

Mnoga djeca s teskocama u ucenju lako ovladaju mehanickim brojanjem, ali pri tome

nemaju razumijevanje numerickih koncepata. Navest cemo nekoliko primjera grubog

nerazumijevanja pojma broja.

Primjer 1.

Defektolog: ”Mozes li mi reci koliko je novcica na stolu?”

Ucenik: (broji dodirujuci prstom svaki novcic) ”Sedam.”

Defektolog: ”Kada si brojao ove novcice, koji je broj prethodio broju sedam?”

Ucenik: ”Ne znam. Mozda jedan? Tri? Pet? Ne znam.”

Defektolog: ”Molim te, prebroji novcice ponovno.”

Ucenik: (broji na isti nacin kao i prije, dodirujuci svaki novcic) ”Sedam.”

Defektolog: ”Mozes li mi dati sest novcica?”

Ucenik: ”Ne znam. Mislim da tu nema dovoljno. Mozda ima.” (Broji sest novcica

jedan po jedan.)

Primjer 2.

Ucenik ponavlja 1. razred zbog teskoca u ucenju matematike. Uciteljica kaze da

ne razumije pojam broja. Tijekom dijagnostickog postupka se ustanovilo da ucenik

poznaje temeljne aritmeticke cinjenice i moze ih slikovno prikazati strelicama na bro-

jevnoj crti. Defektolog mu pokazuje karticu s brojem 4 i trazi da procita broj. Ucenik

cita: ”Cetiri.” Zatim mu defektolog daje sedam kocaka i trazi od njega da stavi na stol

toliko kocaka (pokazuje broj 4).

30 Diplomski rad

Ucenik: ”Ne mogu. Nema ih dovoljno.”

Defektolog ponavlja uputu i moli ga da pokusa. Ucenik slaze kocke na sljedeci nacin:

Zatim povlaci prstom zrcalnu znamenku 4 i kaze: ”Eto, vidite, nema ih dovoljno.”

Broj nije nesto sto se utiskuje u djecji mozak nekom vanjskom silom ili samo

putem percipiranja objekata, nego je produkt mentalne aktivnosti s objektima u pro-

cjenjivanju njihove kolicine, tj. radi se o interaktivnom procesu koji zato i mora biti

popracen na primjeren nacin u nastavi matematike.

5.2. Uklanjanje vizualno-perceptivnih teskoca u ucenju mate-

matike

U kulturi u kojoj se golem dio informacija usvaja putem vizualnog prikazivanja,

jedan od prvih koraka u procesu ucenja je ispravna percepcija slova, znamenki, rijeci,

recenica, geometrijskih likova, grafova i dijagrama, te razumijevanje i tumacenje tih

simbola. No, razumijevanje i tumacenje simbola je nemoguce ako dijete ima percep-

tivne teskoce. Obrtanje i zrcalno prikazivanje znamenki, geometrijskih likova i slova

uobicajeno je kod predskolske djece i ucenika nizih razreda osnovne skole. S vreme-

nom i (sazrijevanjem fizickim, psihomotorickim i neuroloskim) u vecine djece teskoce

uglavnom nestaju do 2. – 3. razreda, dok u nekim slucajevima traju cak i do odrasle

dobi. Takvi slucajevi zahtijevaju dobro planiranu i kvalitetno izvodenu terapiju koja je

usmjerena na maksimalno ublazavanje i uklanjanje vizualno-perceptivne nestabilnosti

u ucenika. Prije planiranja i provodenja terapije za djecu koja stalno obrcu znamenke i

slova potrebno je pronaci razlog i uzrok tih teskoca. Razlozi obrtanja mogu biti jedan

ili nekoliko od ovih: teskoce u vizualnoj percepciji, teskoce u prostornoj orijentaciji i

organizaciji, teskoce u kratkorocnoj vizualnoj i auditivnoj memoriji, te vjezbe pisanja

znamenki i slova su pocele prije nego sto je dijete dobilo dovoljno vizualnih stimulanasa

Diskalkulija 31

(raznovrsnih u odnosu na kvantitetu i kvalitetu).

Terapijski postupak

1. Prvi korak u uklanjanju vizualno-perceptivnih teskoca je razvijanje spo-

sobnosti prepoznavanja objekata odredene vrste. Dijete treba najprije nauciti

usporedivati objekte razlicitih velicina suprotstavljajuci ih. Nakon toga uci re-

producirati vizualne uzorke geometrijskih likova i tijela. Ucitelj izraduje odredeni

uzorak i trazi od djeteta da ga promotri i reproducira. Na pocetku uzima 2-3

elementa, sastavlja od njih uzorak i trazi od djeteta da odabere jednake elemente

i reproducira uzorak. Oblici raznih velicina i boja, dijelovi slagalica i sl. mogu

posluziti kao didakticki materijal. Ukoliko dijete ima teskoce u prepoznavanju

takvih oblika i prostornih odnosa, potrebno ga je poticati da verbalno opisuje to

sto vidi. Nakon sto je reproduciralo uzorak, od njega se trazi da ga opise iz raz-

nih perspektiva, poput svog gledista, gledista terapeuta i slicno. Zatim terapeut

okrene uzorak i zamoli dijete da ga nastavi okretati. Uz to terapeut mora pratiti

na koji nacin dijete vrsi rotaciju te traziti da ga vrati u izvorni polozaj. Ova

vjezba dobra je za razvijanje orijentacije u prostoru i vizualne percepcije, te za

formiranje sposobnosti vracanja misli unatrag.

2. Vjezbe pronalazenja dijelova koji nedostaju predmetu ili zadanim geometrij-

skim likovima na slici.

3. Kljucnu ulogu u integraciji broja i znamenke, odnosno kolicine i simbola koji

oznacuje tu kolicinu ima predmatematicka vjestina vizualnog grupiranja. Ucitelj

moze pomoci djetetu u prepoznavanju znamenaka i uklanjanju zrcalnih gresaka

putem integracije fizickog cina brojanja (taktilno iskustvo), prikaza rezultata (pi-

sanje brojeva – vizualno iskustvo) i izgovaranja brojevnih rijeci (slusno-govorno

iskustvo).

Metodika razvijanja vjestine vizualnog grupiranja

I. korak: Izlozite pred djetetom skup konkretnih predmeta sastavljenih u elementarni

uzorak ili karticu sa standardnim rasporedom tocaka.

32 Diplomski rad

II. korak: Izlozite komplet kartica na kojima su ispisane znamenke.

III. korak: Zatrazite od djeteta da odabere znamenku koja odgovara broju tockica

(predmeta) i da stavi karticu sa znamenkom preko kartice s tockama, tako da se oblik

znamenke preklapa sa skupinom tocaka. (Da bi to bilo moguce, oba kompleta kartica

trebaju biti napravljeni od prozirne folije.)

IV. korak: Zatim pokazite karticu na kojoj je nacrtana znamenka i trazite od djeteta

da odabere karticu s odgovarajucim brojem tockica i preklopi ih (ovaj puta kartica s

tockicama preklapa karticu sa znamenkom).

Na ovaj nacin se stvara cvrsta asocijacija izmedu vizualnog grupiranog skupa

objekata i oblika znamenke koja predstavlja taj skup. Potrebno je ponoviti ta cetiri

koraka primjenjujuci raznovrsna konkretna iskustva koja povezuju oblik znamenke i

brojevnu rijec s vizualnom skupinom objekata.

Jedan od nacina da pomognemo djetetu s teskocama u ucenju da usvoji oblik ili

polozaj slova i znamenki je njihovo ”zapisivanje” na djetetovim dlanovima. Osjet koji

dijete dobiva kada mu pisemo simbol na dlanu je dodatna informacija koja putuje u

mozak i nadopunjava informaciju pristiglu preko auditivnih i vizualnih kanala. Korisne

vjezbe su jos i pisanje znamenki i slova prstom po zraku, na pijesku ili vodi. Tako dijete

uvjezbava kineticku formulu slova i matematickih simbola.

Diskalkulija 33

6. Zakljucak

Prema statistickim podacima, oko 6% osoba ima razvojnu diskalkuliju. Najvaznije

je na vrijeme uvidjeti ovu teskocu u ucenju kako bi se na vrijeme pocelo s adekvatnom

terapijom. Djeca s poteskocma u ucenju zahtijevaju posebnu pozornost u procesu

odgoja i obrazovanja. Nuzno im je stoga osigurati posebnu brigu za vrijeme skolovanja.

Buduci da roditelji provode najvise vremena sa svojom djecom, bitna je njihova bliska

suradnja s terapeutima i nastavnicima. Diskalkulija je teskoca koja se ne moze u

potpunosti izlijeciti, no pravilnim didaktickim i metodickim pristupom diskalkulicna

djeca mogu postici zavidne rezultate.

34 Diplomski rad

Literatura

[1] D. Glasnovic Gracin, Predmatematicke vjestine, Matematika i skola, Vol. 55

(2010)., 200-205. str.

[2] T. Jancevski, Razvijanje predmatematickih vjestina prije skole, 2010., dostupno

na: http://obiteljskicentar.hr/vijesti/1000

[3] M. C. Sharma, Matematika bez suza: Kako pomoci djetetu s teskocama u

ucenju matematike, Lekenik, Ostvarenje, 2001.

Diskalkulija 35

Sazetak

U ovom radu cemo reci sto su teskoce u ucenju, koje su najpoznatije te cemo

obraditi teskocu u ucenju matematike, diskalkuliju. Uzroci zbog kojih nastaje diskal-

kulija su mnogi, pocevsi od odstupanja u radu mozga do matofobije, odnosno straha od

matematike. Diskalkulicno dijete napreduju u usvajanju matematike, ali mnogo sporije

od svojih vrsnjaka, te se diskalkulija kod njega moze pojavljivati samo u odredenim

podrucjima matematike. Najcesce se kod djeteta radi o razvojnoj diskalkuliji te iden-

tificiramo sest oblika iste. Uociti diskalkuliju kod djeteta tezak je posao, jer roditelji

najcesce misle da je rijec o njegovoj nepaznji ili lijenosti. U prepoznavanju diskalkulije

mogu nam pomoci greske koje najcesce cini takvo dijete, a pri uocavanju takvih gresaka

roditelji se trebaju obratiti strucnim osobama. Prije nego li na osnovi ovih gresaka za-

kljucimo da dijete ima diskalkuliju vazno je podvrgnuti ga ispitivanju, te mu se nakon

toga dijagnosticira diskalkulija. Nakon sto je zaista utvdeno da je dijete dikalkulicno,

roditelji su prvi koji mu trebaju pruziti pomoc, razumijevanje i strpljenje, jer oni pro-

vode najvise vremena s njim. Osim roditelja, tu su i logopedi koji su iznimno vazni

jer su obrazovani za poducavanje takvog djeteta. Polaskom u skolu, roditelji trebaju

upozoriti nastavnika na problem njihova djeteta. Nastavnici trebaju takvom uceniku

prilagoditi zadatke, smisliti prilagodeni i jednostavniji nacin objasnjavanja sadrzaja, te

imati mnogo strpljenja.

36 Diplomski rad

Title and summary

Dyscalculia. In this project we will say something about difficuties of learning, which

of them are the most popular, then we will discuss about dyscalculia. There are

many reasons why dyscalculia occurs, starting from deviations in the brain to the

fear of mathematics. Children with dyscalculila disease can progress in mathematic

but much more slowly then other children their age, and dyscalcuila can affect just

on some parts of mathematic. Usually it is a developmental dyscalculia and we have

six types. Indentify dyscalculi at the kid is hard to do because parents usually think

about their inattention or laziness. Mistakes which children with dyscalculi does can

help us with indetification that disease, and parents must call qualified person when

they indetify that mistakes. Child must be tested before we make a counclusion based

on mistakes and after that we can diagnose dyscalculi. After we realise that child has

dyscalculi, parents must help him a lot, they must have understanding and patience

because they spending a lot of time with him. Except parents, important persons are

logopeds because they have experience for teaching these children. When these children

arrived in school, proffesor must be alerted by the parents on the problem who has that

child. To that child, proffesors needs adjust tasks, make an easier and simple way of

explanation and they must have a lot of patience with them.

Diskalkulija 37

Zivotopis

Rodena sam 6. listopada 1990. godine u Slavonskom Brodu. Svoje osnovnoskolsko

obrazovanje zapocinjem 1997. godine u Osnovnoj skoli ”Hugo Badalic” u Slavonskom

Brodu. Nakon zavrsetka, 2005. godine upisujem Gimnaziju ”Matija Mesic” u Sla-

vonskom Brodu, te zavrsavam Opcu gimnaziju. Buduci da sam vec u osnovnoj skoli

zeljela poducavati matematiku, upisujem 2009. godine Sveucilisni nastavnicki studij

matematike i informatike na Odjelu za matematiku u Osijeku.