SVEUČILIŠTE U SPLITUKEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET

ZAVOD ZA TERMODINAMIKU

TERMODINAMIKA I TERMOTEHNIKA

(formule za polaganje prvog parcijalnog kolokvija)

dr. sc. Vanja Martinac, red. prof.

Split, ak. god. 2007/2008

2

FORMULE

1. Osnovne termodinamičke veličine stanja

Specifični volumen, v je volumen kojeg zauzima jedinica mase tvari.

m

Vv =

v = specifični volumen, m3 kg–1

V = ukupni volumen, m3

m = masa tvari, kg

Recipročna vrijednost specifičnog volumena je gustoća tvari:

V

m

v== 1ρ , kg m–3.

Tlak , p je sila koja djeluje okomito na jedinicu površine.

A

Fp = , N m–2.

Razlikujemo apsolutni tlak, nadtlak i sniženi tlak ili podtlak (vakuum). Nadtlak i sniženi tlak odnosese na atmosferski tlak, dok je apsolutni tlak ukupni tlak kojim djeluje plin ili para. Apsolutni tlak predstavljazbroj barometarskog i manometarskog tlaka, tj.

mba ppp +=

Ako je tlak u nekoj posudi manji od barometarskog, taj podtlak ili vakuum očitava se na vakuummetru. Utom slučaju apsolutni tlak je jednak razlici barometarskog tlaka i vrijednosti koju pokazuje vakuummetar, tj.

vba ppp −=

Treba napomenuti da samo apsolutni tlak predstavlja veličinu stanja.

Temperatura, T je termička veličina stanja koja označuje mjeru srednje kinetičke energije molekula.

2. Jednadžba stanja idealnog plina

Veličine stanja, tj. p, v i T, meñusobno su ovisne. Najprikladnije izražavanje ovisnosti meñu osnovnimparametrima stanja predstavlja analitička jednadžba koja ima oblik

f (p, v, T) = 0

Prema tome, ako su poznate dvije od ovih veličina, treća se može izračunati iz odnosa

( )Tvfp ,1=

( )Tpfv ,2=

( )vpfT ,3=

Budući da prikazana jednadžba odreñuje stanje tijela, ona se naziva jednadžba stanja.

3

TRvp ⋅=⋅ jedn. stanja za 1 kg idealnog plina

TRmVp ⋅⋅=⋅ jedn. stanja za m kg idealnog plina

TVp ⋅=⋅ Rm jedn. stanja za 1 kmol idealnog plina

TnVp ⋅⋅=⋅ R jedn. stanja za n kmol idealnog plina

3. Normni kubni metar

U tehnici se često susreće izraz normni kubni metar, 3nm 1 . On predstavlja količinu plina koja kod normalnih

uvjeta (273.15 K, 1.013 bar) zauzima volumen od 3m 1 . Prema tome

414.22

1m 1 3

n = kmol;

odnosno 414.22

Mm 1 3

n = kg

4. Opća plinska konstanta

R je opća plinska konstanta koja je jednaka za sve plinove.11 K kmol kJ 314.8R −−=

Iz opće plinske konstante može se izračunati plinska konstanta pojedinog plina

K kg

kJ

314.8R

MMR ==

5. Toplinski kapaciteti:

vvv dT

du

dT

qc

=

= δ

pp

p dT

dh

dT

qc

=

= δ

ppp dT

dvp

dT

duc

+

= = p

Rp

dT

du

v

+

= cv + R.

Prema mjerenjima, svi jednoatomni plinovi imaju jednake toplinske kapacitete koji su neovisni otemperaturi, a iznose

( ) 11plin ijednoatomn, K kmol kJ 20.93 −−

mpC .

Kod dvoatomnih plinova, molarni toplinski kapaciteti su takoñer gotovo jednaki za različite plinove, ali nisuneovisni o temperaturi. Kod srednjih temperatura za dvoatomne plinove

( ) 11plin dvoatomni, K kmol kJ 29.31 −−

mpC .

4

Kod višeatomnih plinova ove su vrijednosti još veće, ali toplinski kapaciteti različitih plinova s istim brojematoma nisu više meñusobno jednaki.

Pored razlike, posebno je značajan i omjer toplinskih kapaciteta koji obilježavamo s κ,

v

p

v

p

C

C

c

c==κ .

Kod jednoatomnih plinova κ = 1.667.

Kod dvoatomnih plinova κ = 1.4.

6. Smjese plinova

Volumni udjeli: itd. , 22

11 V

V

V

V== ϕϕ

1...21 =+++ ϕϕϕ

Maseni udjeli:

itd. , 22

11 m

m

m

m== ωω

1 ...321 =++++ nωωωω ,

Kod istih temperatura i tlakova, mase pojedinih komponenata proporcionalne su volumenima imolarnim masama, stoga možemo napisati

22

11

2

1

22

11

2

1

22

11

2

1 ili M

M

MV

V

MV

V

m

mm

m

MV

MV

m

m

ϕϕ

ωω

==⇒=

Kod većeg broja komponenata to izražavamo omjerom

nnn MMM ϕϕϕωωω : ... ::: ... :: 221121 =

ili za i-ti plin

( )∑=

=n

iii

iii

M

M

1ϕ

ϕω

jer je

11

=∑=

n

iiω

Sljedećom jednadžbom možemo iz volumnih udjela izračunati masene udjele

∑=

=n

n i

i

i

i

i

M

M

1

ω

ω

ϕ

5

Volumni udjeli predočuju ujedno i množinske udjele pojedinih komponenata u smjesi, tj. iz volumnogsastava smjese možemo izračunati množinske udjele komponenata u smjesi. Iz izraza

n

n

p

p

p

p

V

V 1111 slijedi == .

Stoga je:

n

n

p

p

V

V 111 ==

Plinsku konstantu sR možemo izračunati iz masenih udjela i plinskih konstanti pojedinih komponentikako slijedi

( ) ( )

( )( )...

314.8...

... 314.8314.8

21

1

2

1

22

1

1

11

1

++=

+⋅+⋅==

∑

∑∑∑

=

==

=

ϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕω

n

iii

n

iii

n

iii

n

iiis

M

MM

M

MM

MRR

,

a kako je

1 ... 321 =+++ ϕϕϕ

( ) sn

iii

s MM

R314.8314.8

1

==∑=

ϕ

( ) ∑∑==

==n

iii

n

iiis MxMM

11

ϕ .

Toplinski kapaciteti plinske smjese:

cp,s – cv,s = Rs

=

=

∑

∑

=

=

K kmol

kJ

K kg

kJ

1ip,,

ip,,

n

iisp

n

1iisp

CC

cc

ϕ

ω

6

7. Promjene stanja idealnih plinova

7.1. Izohorna promjena stanja (V = konst.)

V = konst., dakle dV = 0 pa prema tome i

δW = p dV = 0

Dovedena toplina može se prema I. glavnom zakonu izraziti kako slijedi

( )12122,1 TTcmUUQ v −⋅=−=

ako smijemo pretpostaviti da je vc unutar temperaturnog područja ( )12 TT − neovisno o temperaturi, tj.konstantno. Uzevši u obzir jednadžbu stanja može se odrediti konačna temperatura iz tlakova i početnetemperature, tj.

konst. 121

2

11

22

111

222

==⋅⋅

=⋅⋅

⋅=⋅⋅=⋅

vvTR

TR

vp

vp

TRvp

TRvp

1

2

1

2

p

p

T

T=

7.2. Izobarna promjena stanja (p = konst.)

Prema I. glavnom zakonu dovedena toplina je

∫ ( ) 121212

2

1122,1 HHVVpUUdVpUUQ −=−⋅+−=⋅+−=

( ) ( )12122,1 TTRmTTcmQ v −⋅⋅+−⋅⋅=

( )( )RcTTmQ v +−⋅= 122,1

( )122,1 TTcmQ p −⋅⋅=

Rad izvršen za gibanje stapa, tj. za svladavanje stapnog opterećenja je

( )122,1 VVpW −⋅=

Zbog povećanja temperature povećat će se volumen pa je prema jednadžbi stanja

konst. 211

2

11

22 ==⋅⋅

=⋅⋅

ppTR

TR

Vp

Vp

1

2

1

2

T

T

V

V= ,

7

7.3. Izotermna promjena stanja (T = konst.)

Kod vrlo polaganog rastezanja plina u nekom cilindru koji nije izoliran, dostrujavat će plinu krozstijenke toplina iz okoline. Rasteže li se plin dovoljno polagano, dostrujavat će toliko topline da setemperatura plina i okoline neće primjetno razlikovati. Ako je temperatura okoline stalna, to će i temperaturaplina prilikom takve polagane ekspanzije ostati konstantna. Stoga se može primijeniti Boyleov zakon

=⋅=⋅=⋅ VpVpVp 2211 konst.

Do istog rezultata dolazimo i iz jednadžbe stanja

111 TRmVp ⋅⋅=⋅

222 TRmVp ⋅⋅=⋅

Budući da je TTT == 21 , slijedi

=⋅⋅=⋅=⋅ TRmVpVp 2211 konst.

p⋅V = konst. je jednadžba izoterme koja je u p, V – dijagramu predstavljena istostranom hiperbolom.

Prema I. glavnom zakonu

δ Q = dU + δ W

WdTcQ v δδ +=

T = konst. → dT = 0 → δ Q = δ W,

tj.

2,12,1 WQ =

Naime, kod idealnih plinova zbog T = konst. slijedi

21 UU = .

Kod izotermne promjene unutarnja energija se ne mijenja, a sva dovedena toplina pretvara se u rad kojimožemo izračunati iz početnog i konačnog stanja

∫2

12,1 dVpW ⋅=

1

22

1

2

1

2,1 lnV

VTRm

V

dVTRmdV

V

TRmW ⋅⋅=

⌡⌠⋅⋅=

⌡⌠ ⋅⋅⋅=

2

1

1

2

p

p

V

V= →

2

12,1 ln

p

pTRmW ⋅⋅= ,

prema tome

2

1

1

22,1 lnln

p

pTRm

V

VTRmW ⋅⋅=⋅⋅=

2

1

2

122

2

1112,1 lnlnln

p

pVp

p

pVp

p

pVpW ⋅=⋅=⋅=

8

7.4. Adijabatska promjena stanja (Q = 0)

Adijabatska promjena stanja vrši se kada plin ekspandira u dobro izoliranom cilindru ili kada jeekspanzija tako brza da se u tijeku njenog odvijanja ne može izmijeniti neka primjetna količina topline sokolinom.

Prema I. glavnom zakonu

δ Q = dU + δ W.

Obzirom da je Q = 0 slijedi da je δ Q = 0, to je

dU = –δ W

∫ ∫2

1

2

1

WdUU

Uδ−=

2,112 WUU −=− ili 212,1 UUW −=

Kod adijabatske promjene stanja, kako vidimo, rad se vrši isključivo na račun unutarnje energije radnogtijela te stoga adijabatska ekspanzija uzrokuje hlañenje tijela. Treba izračunati sniženje temperature radnogmedija pa nam je u tu svrhu potrebna jednadžba adijabate.

δ q = du + δ w

dvpdTcq v ⋅+⋅=δ

TcdvpdTc vv ⋅=⋅+⋅ :0

0=⋅

⋅+Tc

dvp

T

dT

v.

Iz jednadžbe stanja

v

R

T

p =

i supstitucijom slijedi

0=⋅+v

dv

c

R

T

dT

v.

Uvrštavanjem vp ccR −= dobivamo

( )0=⋅

−+

v

dv

c

cc

T

dT

v

vp.

Uzevši u obzir

κ=v

p

c

c,

slijedi

( ) 01 =⋅−+v

dv

T

dT κ .

Nakon integriranja dobiva se sljedeći izraz

( ) =−+ vT ln1ln κ konst.

9

i ako to napišemo u obliku potencije slijedi =⋅ −1κvT konst. Uvrštavanjem

R

vpT

⋅=

u gornji izraz slijedi

RR

vvp ⋅=⋅⋅ − konst.

1κ

konst.⋅=⋅ Rvp κ

konst.=⋅ κvp jednadžba adijabate

Jednadžba adijabate u p, V – dijagramu predstavljena je hiperbolom koja je nešto strmija od istostranehiperbole koja predstavlja izotermu.

Odnosi veličina stanja dobivaju se iz jednadžbe adijabate i iz jednadžbe stanja idealnog plina.

Tlak i volumen iz jednadžbe adijabate

κκ2211 vpvp ⋅=⋅ →

κ

=

2

1

1

2

v

v

p

p.

Volumen i temperatura iz jednadžbe adijabate i jednadžbe stanja

RT

vpR

T

vp=

⋅=

⋅

2

22

1

11 i

2

22

1

11 T

vp

T

vp ⋅=

⋅ → 122211 TvpTvp ⋅⋅=⋅⋅ →

12

21

1

2

Tv

Tv

p

p

⋅⋅

= .

Ako taj izraz uvrstimo u sljedeću jednadžbu

κ

=

2

1

1

2

v

v

p

p

dobivamo

κ

=

⋅⋅

2

1

12

21

v

v

Tv

Tv,

a odatle

1

2

1

1

2−

=

κ

v

v

T

T.

Temperatura i tlak iz jednadžbe

κ

=

2

1

1

2

v

v

p

p →

κ1

1

2

2

1

=

p

p

v

v

i ako taj izraz uvrstimo u jednadžbu

1

2

1

1

2−

=

κ

v

v

T

T

10

dobijemo

κκκ

κ1

1

2

11

1

2

1

2

−−

=

=

p

p

p

p

T

T →

κκ 1

1

2

1

2

−

=

p

p

T

T.

Za izvršeni rad pri adijabatskoj promjeni stanja vrijedi izraz

( )

−⋅⋅⋅=−⋅⋅=−=

1

212121 1

T

TTcmTTcmUUW vv .

Ako umjesto 1

2

T

T uvrstimo vrijednost iz jednadžbe adijabate, dobit ćemo

−⋅⋅⋅=

−κ

κ 1

1

212,1 1

p

pTcmW v .

Budući da je

1−=

κR

cv ,

slijedi

−⋅

−⋅⋅

=

−κ

κ

κ

1

1

212,1 1

1 p

pTRmW ,

a uz pomoć jednadžbe stanja dobiva se sljedeći izraz

−⋅

−⋅⋅

=

−⋅

−⋅

=

−−κ

κκ

κ

κκ

1

1

21

1

1

2112,1 1

11

1 p

pTRm

p

pVpW

iz čega slijedi

( ) ( )2211212,1 1

1

1VpVpTT

RmW −⋅

−=−⋅

−⋅=

κκ

7.5. Politropska promjena stanja

Stvarne linije kompresije, odnosno ekspanzije za uvjete koji vladaju u strojevima možemo predočitiopćim hiperbolama, politropama koje su dane jednadžbom politrope

=⋅ nvp konst.

Eksponent n razlikuje se od adijabatskog eksponenta κ. Eksponent n ima najčešće vrijednost

1 <n < κ.

Za izotermnu promjenu stanja eksponent n = 1, a za adijabatsku promjenu stanja n = κ.

11

Iz =⋅ nvp konst. i jednadžbe stanja dobivamo sljedeće izraze

n

n

p

p

T

T1

2

1

2

1

−

=

1

1

2

2

1−

=

n

v

v

T

T

n

v

v

p

p

=

1

2

2

1 .

Za razliku od adijabatske, pri politropskoj promjeni stanja izmjenjuje se toplina. Zanima nas, naravno,kolika je toplina koja se kod ekspanzije dovodi, odnosno kod kompresije odvodi i kako ih možemoizračunati.

Diferenciranjem jednadžbe politrope =⋅ nvp konst. dobiva se

n ⋅ p ⋅ dv + v ⋅ dp = 0.

Diferenciranjem jednadžbe stanja slijedi

p ⋅ dv + v ⋅ dp = R ⋅ dT.

Ako taj izraz oduzmemo od prethodnog dobiva se

(n – 1) p ⋅ dv = –R ⋅ dT

1−⋅−=⋅

n

dTRdvp .

Ako se ovaj izraz supstituira u izraz za I. glavni zakon slijedi

1−⋅−⋅=⋅+=

n

dTRdTcdvpduq vδ

( ) dTnc

Rcq

vv

−−=

11δ .

Uzevši u obzir da je

1−=−

= κv

vp

v c

cc

c

R

slijedi

dTn

cq v

−−−=

1

11

κδ

dTn

ncq v 1−

−= κδ .

Ako uzmemo da je

11 K kg kJ , 1

−−=−−

nv cn

nc

κ

slijedi

12

dTcq n ⋅=δ

( )122,1 TTcq n −⋅=

( )122,1 TTcmQ n −⋅⋅= .

Najčešće ćemo se susretati s politropama čiji je eksponent n veći od 1, a manji od κ. U tom slučaju nc

je negativno. Za vrijeme ekspanzije toplina se dovodi radnom mediju, ali njemu svejedno pada temperaturadok se kod kompresije toplina odvodi, ali temperatura raste. Naime, količina topline koja se kod ekspanzijedovodi nije dovoljna da bi se njome mogao pokriti izvršeni rad, već se jedan dio rada vrši na račun unutarnjeenergije plina pa mu usprkos dovoñenju topline temperatura pada.

Postojanje politropskoga kapaciteta nc pokazuje da kod plinova postoji čitav niz toplinskih kapaciteta

koji su, osim o vrsti plina, ovisni još i o promatranoj promjeni stanja. Toplinski kapaciteti pc i vc su samo

posebni oblici nc .

Rad dobiven politropskom ekspanzijom izmeñu dva stanja odredit ćemo prema I. glavnom zakonu iuz pomoć jednadžbe

dTcmQ n ⋅⋅=δ

δQ = dU + δW → δW = δQ – dU → dTcmdTcmW vn ⋅⋅−⋅⋅=δ

( ) dTccmW vn ⋅−⋅=δ

dTn

ncmdTc

n

ncmW vvv ⋅

−−−⋅⋅=⋅

−−−⋅= 1

11

κκδ

dTn

cmW v ⋅−−⋅⋅−=

1

1κδ .

Integracijom dobivamo

( )

−⋅⋅

−−⋅⋅=−⋅

−−⋅⋅=

1

21212,1 1

1

1

1

1

T

TT

ncmTT

ncmW vv

κκ,

a preureñenjem uz pomoć jednadžbe stanja i izraza za odnos temperature i tlakova kod politropske promjeneslijedi

−

−⋅

=

−n

n

p

p

n

VpW

1

1

2112,1 1

1

( )211

212,1 1

11

TTn

Rm

T

T

n

TRmW −

−⋅=

−

−⋅⋅

= .

Vidimo da je izraz za izračunavanje rada isti kao i kod adijabate s tim što umjesto eksponenta κ u ovomizrazu za politropsku promjenu je eksponent n.

13

Na slici 1 dat je grafički prikaz promjena stanja idealnih plinova u p,v – dijagramu.

Slika 1. Prikaz promjena stanja u p, v - dijagramu

14

8. Promjene stanja idealnog plina prikazane u T, s – dijagramu

8.1. v = konst. (izohorni proces)

Za izohorni proces slijedi:

dTcq v ⋅=δ dvpdudsTq ⋅+=⋅=δ , tj.

T

dTcds v ⋅

= ,

odnosno u granicama od 1 do 2

⌡⌠=−=∆2

1

12 T

dTcsss vv .

Ako je konst.=vc slijedi:

1

2lnT

Tcs vv =∆ .

8.2. .konst=p (izobarni proces)

Za izobarni proces, vrijedi

dTcq pp ⋅=δ

odnosno T

dTcds

p ⋅= .

Za konačnu promjenu od 1 do 2 slijedi

⌡⌠=−=∆2

1

12 T

dTcsss pp .

Ako je konst.=pc

1

2lnT

Tcs pp =∆

15

8.3. T = konst. (izotermni proces)

Izotermni proces možemo prikazati kako slijedi

dvpduq ⋅+=δ

0 2121 =→=→= duuuTT

dvpq ⋅=δ ,

a promjena entropije T

dvpds

⋅= .

Iz jednadžbe stanja

v

R

T

pTRvp =→⋅=⋅ .

Ako taj izraz uvrstimo u prethodnu jednadžbu, slijedi

v

dvRds = ,

a za promjenu od 1 do 2 slijedi: ⌡⌠=−=∆2

1

12 v

dvRsssT

1

2lnv

vRsT ⋅=∆

2

1lnp

pR ⋅=

8.4. Q = 0 (adijabatski proces)

Za adijabatu vrijedi δq = 0. Promjena entropije je

T

qds

δ=

iz čega slijedi ds = 0, tj. s je konstantno. Zato se adijabata naziva i izentropa.

16

8.5. Politropski proces

dTcq n ⋅=δ

⌡⌠ ⋅

=⌡⌠=−

2

1

2

1

12 T

dTc

T

qss nδ

politr.s∆1

2ln1 T

T

n

ncv ⋅

−−⋅= κ

1

212 ln

T

Tcss n ⋅=−

Na slici 2 prikazane su promjene stanja u T,s – dijagramu.

Slika 2. Prikaz promjena stanja idealnih plinova u T, s – dijagramu

17

8.6. Promjena entropije idealnog plina pri konstantnom

toplinskom kapacitetu

Promjenu entropije u nekom procesu moguće je izraziti pomoću dva parametra stanja.

8.6.1. s = f (T, v)

1

2

1

212 lnln

v

vR

T

Tcsss v ⋅+⋅=−=∆

8.6.2. s = f (p, v)

1

2

1

212 lnln

p

pc

v

vcsss vp ⋅+⋅=−=∆ .

8.6.3. s = f ( p, T )

1

2

1

212 lnln

p

pR

T

Tcsss p ⋅−⋅=−=∆

9. MAKSIMALAN RAD SUSTAVA

( ) ( )21021021.max VVpSSTUUW −+−⋅−−=

Indeks 0 odnosi se na okolinu, indeks 1 na početno stanje, a 2 na konačno stanje davatelja rada.

Da bi se dobio maksimalan rad, svejedno je kojim putem (načinom) davatelj rada mijenja stanja od 1 do 2,ali uz uvjet da se promjena vrši povrativo. Nikakvim načinom ne može se dobiti veći rad od rada koji je danjednadžbom. Stvarni rad će uvijek biti manji od maksimalnog. Kod potpunog iskorištenja radne sposobnostidavatelja rada njegovo stanje, dakle, treba izjednačiti (uravnotežiti) sa stanjem okoline tako da postane

02 pp = i 02 TT = .

Dakle, ( ) ( )01001001.max VVpSSTUUW −+−⋅−−= [kJ]

( )01v01 c m TTUU −⋅⋅=−

( )

⋅⋅−⋅⋅=−⋅

0

1

0

10010 lnln

p

pRm

T

TcmTSST p

( )

⋅⋅−

⋅⋅=−

0

0

1

10010 p

TRm

p

TRmpVVp

18

9.1. Maksimalan rad zraka stlačenog u rezervoaru

Razmotrit ćemo koliki maksimalni rad može izvršiti zrak, stlačen u nekom rezervoaru volumena 1V , a pod

tlakom 1p (viši tlak od atmosferskog), ako mu je temperatura jednaka temperaturi okolnog zraka, ( )01 TT = .Ovakav proces je tipičan povrativ proces jer se odigrava pri razlici temperatura stlačenog zraka (davateljarada) i okoline jednakoj nuli ( )01 TT = pa će i rad koji se tim procesom ostvari biti maksimalan. Dakle, u

stanju 2 postignut je okolni tlak op . Budući da je temperatura zraka u rezervoaru (spremniku) stalno bilajednaka okolnoj temperaturi, u stanju 2 zrak spremnika prilagodio se okolnom stanju.

Slijedi:

=.maxW

+−⋅

10

111 1ln

p

p

p

pVp o

9.2. Maksimalan rad vrućih plinova

Razmotrit ćemo primjer kada je dobiveni rad rezultat razlike temperatura davatelja rada i okoline. Trebaodrediti, npr. maksimalan rad vrućih plinova temperature 1T i volumena 1V koji su nastali sagorijevanjem

goriva u ložištu pri atmosferskom tlaku ( )01 pp = . Maksimalan rad dobit će se ako se vrući plinovi napovrativ način dovedu u ravnotežu s okolinom, tj. da u konačnom stanju bude

013 ppp == i 02 TT = .

To je moguće izvesti na taj način što će se plinovi najprije adijabatski ekspandirati do temperature okoline( )0T , a zatim izotermno (pri T = konst.) ponovo vratiti na početni tlak ( )0p .

Slijedi:

−−⋅⋅=

0

1

0

10.max ln1

T

T

T

TTcmW p .

10. TEHNI ČKI RAD – rad unutar stalnotla čnog procesa

∫2

1tehn. dpVW ⋅−= = n . W1,2.

19

11. EKSERGIJA (radna moć)

Eksergija (radna moć) jest najveći rad koji možemo dobiti iz 1 kg tvari koja struji i koja nadolazi prikonstantnom tlaku p, a otpušta se u okolinu tlaka 0p .

To je maksimalan rad unutar stalnotlačnog procesa.

Izraz za eksergiju možemo pisati u obliku:

( )01001 ssThhe −−−= [kg

kJ ]

h1 – h0 = cp . (T1 – T0)

( )

⋅−⋅=−⋅

0

1

0

10010 lnln

p

pR

T

TcTssT p

gdje se indeksom “0” označava stanje radne tvari pri okolnom tlaku i okolnoj temperaturi. Veličine saindeksom “1” odnose se na stanje dobavljene tvari kod konstantnog tlaka.

12. TIPIČNI NEPOVRATIVI PROCESI

12.1. Prigušivanje

12 p ⟨p

12 TT = (idealni fluidi) ; 12 TT ⟨ (realni fluidi)

Prilikom prigušivanja, ako se zanemari izmjena topline s okolinom, kako znamo, entalpija radnog tijela i tone samo idealnog plina nego takoñer i realnih plinova i tekućina, je konstantna, tj.

21 hh = .

20

12.2. Miješanje plinova

12.2.1. Miješanje plinova pri konstantnom volumenu

Kako je volumen konstantan, to je ukupno izvršeni rad nula. Budući da se ne izmijenjuje toplina s okolinomQ = 0, to je prema I. glavnom zakonu, unutarnja energija sustava prije miješanja jednaka unutarnjoj energijisustava nakon miješanja, tj.

=⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅ nvnvv TcmTcmTcmn

...2211 21

( ) Tcmcmcmnvnvv ⋅⋅++⋅+⋅= ...

21 21 .

Odatle slijedi

( )

( )∑

∑

=

=

⋅

⋅⋅=

n

ivi

n

iivi

i

i

cm

Tcm

T

1

1 ( )

( )∑

∑

=

=

⋅−⋅−⋅

=n

i ii

ii

n

i i

ii

T

Vp

Vp

1

1

1

1

κ

κ

Kada se npr. miješaju samo dvoatomni plinovi, tj. plinovi s jednakim iκ , slijedi

∑

∑

=

=⋅

⋅=

n

i i

ii

n

iii

T

Vp

Vp

T

1

1 .

Kod izračunavanja tlakova smjese treba primijeniti Daltonov zakon, tj.

( )npppp +++= ...'''

gdje su '' ,' pp , ... parcijalni tlakovi pojedinih sudionika u smjesi, te se za ukupni tlak smjese dobiva

∑=

⋅=

n

i i

ii

T

Vp

V

Tp

1

.

Indeksi i odnose se na stanja komponenata prije miješanja.

21

12.2.2. Miješanje plinskih struja

Ako se miješaju dimni plinovi iz više ložišta i dovode u zajednički dimnjak, to je primjer miješanja plinskih

struja pri konstantnom tlaku. Miješalištu se dovodi 121 s kg ... , , −mm ili 13

21 s m ... , , −VV plinova pri stalnim

tlakovina ... , , 21 pp , dok se od miješališta odvodi 1s kg −m ili 13 s m −V smjese pri stalnom tlaku p.

Ako se miješanje vrši bez izmjene topline s okolinom, zbroj unutarnjih energija i radova utiskivanja morabiti jednaka unutarnjoj energiji i radu istiskivanja smjese, tj.

VpUVpVpUU ⋅+=+⋅+⋅+++ ...... 221121 ,

odnosno

HHHH n =+++ ...21 .

Obzirom na to da je entalpija prije i nakon miješanja konstantna, slijedi

∑∑==

⋅⋅=⋅⋅n

ipi

n

iipi TcmTcm

ii11

,

a odatle

∑

∑

=

=

⋅

⋅⋅=

n

ipi

n

iipi

i

i

cm

Tcm

T

1

1

∑

∑

=

=

⋅⋅

−

⋅⋅−

=n

i i

ii

i

i

n

iii

i

i

T

Vp

Vp

1

1

1

1

κκ

κκ

.

Ako svi plinovi imaju isti iκ , dobivamo

∑

∑

=

=⋅

⋅=

n

i i

ii

n

iii

T

Vp

Vp

T

1

1 .

Meñutim, ovdje zbroj VVi ≠ .

Ukupni volumen smjese nakon miješanja odreñuje se iz sume parcijalnih volumena komponenata unovonastaloj smjesi:

( )nVVVV +++= ...'''

odnosno ∑=

⋅⋅=

n

i i

ii

T

Vp

p

TV

1.

Obzirom da je pi = p, dobivamo jednostavniji izraz ∑=

=n

i i

i

T

VTV

1.

22

13. KRUŽNI PROCESI

Ako kod kružnog procesa promatramo unutarnju energiju radnog medija, vidimo da ona prilikompromjene stanja mijenja svoju vrijednost, ali tako da konačno ponovo poprima svoju polaznu vrijednost jerse radna tvar vraća u početno stanje. Prema tome, unutarnja energija na početku i na kraju zatvorenogprocesa poprima iste vrijednosti tako da je promjena unutarnje energije

∆U = 0

Prema I. glavnom zakonu

Q = ∆U + W

pri čemu je ukupno iskorištena toplina

Q = ( .dovQ ) – ( .odvQ ).

Zbog ∆U = 0, dobivamo

W = ( .dovQ ) – ( .odvQ ) = Q - Qo.

Vidimo da je kod kružnog procesa dobiveni rad jednak razlici dovedene (Q) i odvedene (Qo)topline.

Važan kriterij za ocjenjivanje pretvorbe ogrjevne topline, Q u mehanički rad W pruža nam tzv.

termički stupanj djelovanja η nekog desnokretnog kružnog procesa.

11 <−=−

==Q

Q

Q

QQ

Q

W ooη

Termički stupanj iskorištenja Carnotovog kružnog procesa:

1<−

==T

TT

Q

W oCη

23

13.1. Procesi u stapnim strojevima s unutarnjim izgaranjem

13.1.1. Ottov proces

Slika 3. Ottov proces u p, v – i T, s – dijagramu

Opisani proces dade se prikazati i u T, s – dijagramu, slika 3.b. Dovedena toplina q proporcionalna jepovršini a – 2 – 3 – b, a odvedena toplina 0q površini a – 1 – 4 – b u T, s – dijagramu. Budući da se toplinadovodi i odvodi uz konstantan volumen, može se toplina po kilogramu radne tvari odrediti iz relacija

( )23 TTcq v −=

( )140 TTcq v −= ,

a budući da je to kružni proces, termički stupanj djelovanja bit će

3

2

4

1

3

4

23

140t

1

1

111

T

TT

T

T

T

TT

TT

q

q

−

−⋅−=

−−

−=−=η .

Poñe li se od izraza koji vrijedi za adijabatsku promjenu stanja, za adijabatsku kompresiju od stanja 1 do 2dobiva se izraz

1

1

2

2

1−

=

κ

v

v

T

T,

24

a za adijabatsku ekspanziju vrijedi omjer

1

1

2

3

4−

=

κ

v

v

T

T.

Iz prethodna dva izraza izlazi da je

3

2

4

1

3

4

2

1 T

T

T

T

T

T

T

T=→= .

Ako te izraze uvrstimo u relaciju za tη , dobiva se

1

2

1

t1

1−

−= κη

v

v.

Prema tome, osim o svojstvima radne tvari (eksponent κ), termički stupanj djelovanja ovisi samo o omjeruvolumena koji je odreñen konstrukcijom cilindra. Omjer volumena može se prikazati i kao omjer izmeñuukupnog volumena cilindra i kompresijskog volumena koji je jednak volumenu izmeñu stijenki cilindra istapa kada je stap u krajnjem položaju. Ako omjer volumena, koji možemo nazvati kompresijskimomjerom, označimo s ε, vrijedi da je

K

C

2

1

V

V

v

v==ε

pa je termički stupanj djelovanja

1t

11

−−= κε

η .

Stanje 1 odgovara stanju okoline pa se mogu odrediti temperature i tlakovi za sve karakteristične točkeprikazanih dijagrama. Za adijabatsku kompresiju vrijedi relacija

1

1

2

2

1−

=

κ

v

v

T

T

pa je temperatura na kraju kompresije

11

1

1

212

−−

⋅=

= κ

κεT

v

vTT ,

a tlak na završetku kompresije

κκ

ε⋅=

= 1

1

212 p

v

vpp

što se izvodi iz jednadžbe adijabate.

25

Stanje 4 karakterizirano je tlakom 4p i temperaturom 4T pa se uz zadani tlak 4p , a znajući stanje 1,

temperatura 4T odreñuje iz izraza

1

414

p

pTT =

jer je to izohorna promjena. Budući da je promjena stanja izmeñu 3 i 4 adijabatska, vrijedi

1

1

41

143

−− ⋅

=⋅= κκ εε

p

pTTT

κε⋅= 43 pp

što je analogno prethodnim jednadžbama za 2T i 2p .

13.2. Dizelski proces

Na slikama 3 i 4 predočen je dizelski proces u p, v – i T, s – dijagramu. Stanje 1 odgovara kraju usisavanjazraka u cilindar, odnosno kraju ispuhivanja. Nakon toga nastaje kompresija do stanja 2 za koju nemaograničenja u svezi opasnosti od samozapaljenja jer se komprimira čisti zrak. Kada je stap u krajnjempoložaju, stanje 2, počinje se ubrizgavati gorivo. Gorivo se samo pali jer je zrak visoko komprimiran iugrijan. Ubrizgavanje goriva tako je dozirano da se pri kretanju stapa od krajnjeg položaja u cilindru održavakonstantan tlak. U točki 3 završeno je izgaranje i tada se postiže maksimalna temperatura u procesu. Nakontoga vrši se adijabatska ekspanzija do stanja 4 kada počinje ispuh plinova izgaranja uz konstantan volumendo stanja 1.

Slika 3. Dizelski proces u p, v – dijagramu

26

Slika 4. Dizelski proces u T, s – dijagramu

Dovedena toplina q proporcionalna je površini a – 2 – 3 – b, a odvedena toplina 0q površini a – 1 – 4 – b uT, s – dijagramu. Toplina se dovodi uz konstantan tlak, a odvodi se uz konstantan volumen pa je

( )23 TTcq p −=

( )140 TTcq v −= .

Termički stupanj djelovanja bit će

3

2

4

1

3

4

23

140t

1

11

111

T

TT

T

T

T

TT

TT

c

c

q

q

p

v

−

−⋅⋅−=

−−

⋅−=−=κ

η .

Osim kompresijskog omjera ε potrebno je definirati i omjer ubrizgavanja (omjer opterećenja) ϕ koji jeodreñen relacijom

K

U

2

3

V

V

v

v==ϕ ,

a prema oznakama na prikazanoj slici.

27

Za adijabatsku ekspanziju izmeñu stanja 3 i 4 slijedi

1

1

31

4

3

3

4−−

=

=

κκ

v

v

v

v

T

T

jer je 14 vv = . Proširivanjem s 2v i uz uporabu izraza za ε i ϕ dobiva se

11

12

23

3

4−−

=

=

κκ

εϕ

vv

vv

T

T.

Omjer temperatura za vrijeme dovoñenja topline, zbog toga što je to izobarna promjena stanja, može seodrediti prema izrazu

ϕ1

3

2

3

2 ==v

v

T

T.

Ako se dobivene relacije uvrste u izraz za tη , slijedi

1

1111

1t −−⋅⋅−=

− ϕϕ

εκη

κ

κ .

Iz relacije za tη se vidi da s povećanim kompresijskim omjerom raste stupanj djelovanja, ali pada sporastom omjera ubrizgavanja. Iako u motorima s dizelskim procesom nema opasnosti od samozapaljenjajer se ne komprimira smjesa goriva i zraka, nego čisti zrak, ipak se motori ne konstruiraju za vrlo visokekompresijske omjere da ne bi kompresori zraka za ubrizgavanje goriva trošili previše snage.

Ako je poznato stanje okoline ( 11 ,Tp ), mogu se ustanoviti tlakovi i temperature za sve karakteristične točkeprikazanih dijagrama.

Navest ćemo izraze za temperaturu i tlak na kraju ekspanzije uz napomenu da se promjena stanja izmeñu 4 i1 provodi uz =1v konst.

κϕ⋅= 14 TT

κϕ⋅=⋅= 11

414 p

T

Tpp .

Temperatura na kraju izgaranja je

113

−⋅⋅= κεϕTT .

Kod prikaza ovisnosti temperatura i tlakova o omjeru ubrizgavanja ϕ, za pojedine vrijednosti omjerakompresije, vidljivo je da se radi o vrlo visokim maksimalnim temperaturama procesa koje su to više što suveći omjer ubrizgavanja i omjer kompresije. Temperature plinova izgaranja na izlazu iz cilindra takoñer suvrlo visoke, a ovise samo o omjeru ubrizgavanja pa rastu s njegovim povećanjem. Zbog toga se smanjujetermički stupanj djelovanja s porastom omjera uštrcavanja.