Sveu£ili²te J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Mihaela Adºi¢

Egipatska matematika

Diplomski rad

Osijek, 2014.

1

Sveu£ili²te J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Mihaela Adºi¢

Egipatska matematika

Diplomski rad

VODITELJ:

doc.dr.sc. Ivan Mati¢

Osijek, 2014.

2

Sadrºaj

1. Uvod 3

2. Egipatska civilizacija 42.1. Po£etak matematike u ranoj egipatskoj civilizaciji . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Egipatsko pismo 83.1. Kamen iz Rosette i tajna hijeroglifa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Zapisi brojeva u starom Egiptu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Egipatska aritmetika 144.1. Zbrajanje i oduzimanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Mnoºenje i dijeljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3. Egipatski razlomci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.1. Tablica jedini£nih razlomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3.2. Mnoºenje i dijeljenje razlomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3.3. Metoda razdvajanja i Fibonaccijeva metoda . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4. Nekoliko problema iz Rhindovog papirusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4.1. Metoda laºne pozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4.2. Problem "Zamisli broj" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4.3. Geometrijski niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Literatura 33

Saºetak 34

Title and summary 35

�ivotopis 36

3

1. Uvod

Egipat je smje²ten u sjeveroisto£noj Africi u dolini rijeke Nil. Egipatsko kraljevstvo trajaloje oko 3000 godina. Vladar Egipta bio je faraon koji je smatran Bogom na zemlji. Egipat jepoznat po piramidama, koje su bile grobnice faraona. Najpoznatija je Keopsova piramida.Egip¢ani su poznavali matematiku, astronomiju, kalendar i medicinu. Imali su razvijen deci-malni sustav te svoje oznake za brojeve. Egipatska aritmetika temelji se na osnovi ra£unanjatj. na zbrajanju te na njihovim egipatskim razlomcima, a bili su vje²ti u zbrajanju, oduzi-manju, mnoºenji i dijeljenju te ra£unanju s razlomcima.

U drugom poglavlju upoznat ¢emo se s egipatskom civilizacijom te njenim razvojem krozpovijest. Opisan je zna£aj rijeke Nil za Egipat te neka obiljeºja najpoznatije gra�evineEgipta-Keopsove piramide. Vidjet ¢emo na koji na£in je Tales izra£unao visinu Keopsovepiramide te kako je do²lo do razvitka matematike u ranoj egipatskoj civilizaciji.

U tre¢em poglavlju opisan je razvoj egipatskog pisma. Ovo poglavlje govori nam kako suEgip¢ani zapisivali znakove prvim pismom-hijerogli�ma te kako je do²lo do razvoja drugog,pojednostavljenog, egipatskog pisma koje se naziva Hijeratsko pismo. Re¢i ¢emo kako suhijerogli� de²ifrirani pomo¢u kamena iz Rosette te za²to je de²ifriranje hijeroglifa trajalopune 23 godine. Na kraju poglavlja upoznat ¢emo se sa zapisom brojeva hijerogli�ma ihijeratskim pismom.

Posljednje poglavlje opisuje aritmetiku starog Egipta. Na po£etku su navedena i opisanadva glavna povijesna izvora iz kojih saznajemo o egipatskoj aritmetici to su Rhindov papirusi Moskovski papirus. Zatim, kroz primjere ¢emo vidjeti na koji na£in su Egip¢ani zbrajali ioduzimali te mnoºili i dijelili brojeve. Vidjet ¢emo kojim metodama su egip¢ani zapisivalirazlomke u egipatskom obliku tj. svaki razlomak su zapisivali kao zbroj jedini£nih razlomaka.Na samom kraju poglavlja navedeni su primjeri s Rhindovog papirusa kroz koje vidimo dasu Egip¢ani za rje²avanje nekih zadataka koristili metodu laºne pozicije te da su poznavaligeometrijski niz.

4

2. Egipatska civilizacija

Jedna od najranijih i najnaprednijih civilizacija ²to ih je £ovijek stvorio na Zemlji bila jestaroegipatska. Sam Herodot, kojeg nazivamo "otac povijesti" opisivao je Egipat te se £inida je vi²e odu²evljen Egip¢anima nego bilo kojim drugim narodom. Kao ve¢ina egipatskihposjetitelja, bio je svjestan iznimno povoljne klime i topogra�je duº rijeke Nil.Rekao je: "Svatko tko vidi Egipat, bez da je £uo i²ta o njemu, treba uo£iti da je Egipatdarovana zemlja, dar rijeke".Pri takvoj sun£anoj klimi, bez imalo ki²e, rijeka Nil je pri poplavljivanju svojih obala svakegodine izbacivala velike koli£ine mulja. U tom podru£ju su postojala plodna polja za usjevei pa²u ºivotinja, a izvan toga su neplodne pustinje koje se proteºu u svim smjerovima. Pre-dvidljive poplave i kontrolirano navodnjavanje tla proizvelo je vi²ak usjeva, koji su pokretalidru²tveni razvoj i kulturu. U tom podru£ju se razvila bogata egipatska civilizacija.

Nigdje nisu prona�ene tako zadivljuju¢e i veli£anstvene gra�evine kao njihovi hramovi,grobnice i piramide, za £iju je gradnju bilo potrebno znanje i umije¢e koje je i uz svu dana²-nju razvijenu tehnologiju nama nepoznato i nedostiºno. Najimpresivnije gra�evine Egiptasvakako su piramide koje su jedan od najmo¢nijih i najdugovje£nijih simbola staroegipatskecivilizacije. Jedan od razloga ²to su piramide toliko fascinantne je taj ²to su bile prve gra�e-vine ikada sagra�ene samo slaganjem isje£enih ogromnih kamenih blokova jednih na drugog.Primjer toga je Keopsova piramida u Gizi, jedno od Sedam svjetskih £uda, za koju jo² uvijekne znamo kako je sagra�ena.

Slika 2.1: Keopsova piramida u Gizi

Smatra se da je gra�ena punih 20 godina, budu¢i da su se blokovi od kojih je sagra�enapiramida, prevozili £amcem niz rijeku sa suprotne obale rijeke Nil, a to je bilo mogu¢e jedinou prolje¢e za vrijeme izlijevanja. Zidana je prije 4500 godina kao grobnica faraona Keopsa.Kad je sagra�ena piramida je bila visoka 147 metara, a duºina stranica osnovice je 229metara, dok je horizontalni presjek u bilo kojem dijelu kvadratan. Kut stranica u odnosu naosnovicu iznosi 51 ◦51', a svaka je stranica orjentirana prema jednoj od £etiri strane svijeta.Do nastanka Ei�elovog tornja u Parizu 1887. godine, Keopsova piramida bila je najve¢agra�evina koju je £ovijek sagradio na zemlji. Talesovim ra£unanjem njezine visine nastaoje Talesov pou£ak. Zaklju£io je da koliko je puta njegova visina ve¢a (ili manja) od duljine

5

njegove sjene, toliko je puta i visina piramide ve¢a (ili manja) od duljine njezine sjene.Prou£avanjem tih omjera do²ao je do traºene visine piramide (Slika 2.2).

Slika 2.2: Kako je Tales izra£unao visinu Keopsove piramide

Pojava jedne od najranije svjetske kulture zapravo je politi£ki £in. Izme�u 3500. i 3100.godine prije Krista poljoprivredne zajednice koje su se nalazile uz podru£je Nila su se stapaleu ve¢e dok nisu nastali Gornji i Donji Egipat. Oko 3100. godine prije Krista te su se regijeujedinile vojnim osvajanjem vladara Menesa, koji je bio prvi faraon.

Egipatskom su drºavom u najve¢em dijelu njezine duge pro²losti vladale razne vladarskeobitelji koje nazivamo dinastijama. Od Menesa, prvog faraona, do zadnje egipatske kraljiceKleoparte izmjenilo se 33 dinastije.

Razvoj egipatske civilizacije dijelimo na sljede¢a razdoblja:

• Preddinasti£ko razdoblje

• Arhajsko razdoblje (I.-II. dinastija)

• Staro kraljevstvo (III.-VI. dinastija)

• I me�urazdoblje (VII.-XI. dinastija)

• Srednje kraljevstvo(XI.-XII. dinastija)

• II me�urazdoblje (XIII.-XVII. dinastija)

• Novo kraljevstvo (XVIII.-XX. dinastija)

• III me�urazdoblje (XXI.-XXV. dinastija)

• Saitski period (XXVI. dinastija)

• Kasno razdoblje (XVII.-XXXI. dinastija)

• Helenisti£ko razdoblje (XXXII.-XXXIII. dinastija)

• Rimsko razdoblje

6

Egiptom su vladali faraoni koji su naslje�ivali vlast od svojih mu²kih predaka. U vri-jeme vladavine III. dinastije po£ela je izgradnja povijesnih spomenika i Egip¢ani su po£elimumi�cirati svoje mrtve, vjeruju¢i u zagrobni ºivot. Egipatska civilizacija bile je poznatai po politeizmu (vjerovanje u vi²e Bogova). Vrhovni Bog Egip¢ana bio je Amon Ra. Zavrijeme IV. dinastije po£eli su graditi piramide. Najpoznatija je, ve¢ spomenuta, Keopsovapiramida. Na prostoru Egipta nalazi se ukupno 109 piramida. Prete£e piramida bile sugrobnice bez piramidalnih vrhova. Piramide su gra�ene zbog vjerovanja u zagrobni ºivot ikao simbol mo¢i faraona. �uvar piramida je s�nga, duga£ka 73 metra i visoka 20 metara.To je statua s glavom faraona i tijelom lava koja simbolizira mo¢ faraona.

Egipatski su vladari nametnuli i razli£ite poreze svome narodu. Zemljoposjednici su pla-¢ali porez u ºitu i drugim proizvodima koje su proizvodili na svojoj zemlji. Obrtnici su pla¢alirobom koju su proizvodili. Lovci i ribari pla¢ali su onim ²to su ulovili u rijeci, mo£vari ilipustinji. Jedan £lan ku¢anstva bio je obvezan pla¢ati porez javnim radom nekoliko tjedanagodi²nje, kao ²to je kopanje kanala ili rad u rudniku.

Godi²nja poplava Nila mogla se predvidjeti motrenjem zvijezda, zbog toga su Egip¢aniprije svih drugih naroda razvili zvjezdoznanstvo. Utvrdili su kalendar i godinu od 365 dana.

Ve¢ina povjesni£ara smatra da je po£etak uspostavljanja anti£ke pro²losti Egipta bila1798. godine invazijom, upadom neprijateljske vojske, Napoleona Bonapartea. Njegov ciljbio je prisvojiti Egipat i na taj na£in prekinuti Engleske puteve u Indiju. Iako je nakonmjesec dana engleski admiral Nelson uni²tio veliki dio francuske �ote (skup brodova koji senalaze pod zajedni£kim zapovjedni²tvom), ratni pohod vukao se sljede¢ih 12 mjeseci prijenego li je Napoleon napustio podru£je i vratio se natrag u Francusku. Ipak, francuska vojnakatastrofa je bila znanstveni trijumf. Napoleon je u pohod poveo povjerenstvo od 167 paº-ljivo odabrahih znanstvenika i umjetnika, uklju£uju¢i matemati£are Gaspard Mongea i JeanBaptist Fourierea, koji su zasluºni za obuhvatno istraºivanje svih dijelova egipatskog ºivota,anti£kog i modernog doba. Njihov plan je bio obogatiti svjetsku zalihu znanja te ublaºitiporaz francuske vojske na na£in da se istakne vaºnost njihove kulture. Nakon nekog vremenaoni su napisali iznimno vaºno djelo pod naslovom Déscription de l'Egipte.Tekst je bio podijeljen na £etiri dijela: o staroj egipatskoj civilizaciji, spomenicima, moder-nom Egiptu i iz neposredne pro²losti. Nikad prije izvje²taj o nekoj zemlji nije bio napravljentako potpuno, to£no i brzo, a u isto vrijeme pod tako te²kim uvjetima.

Iznenadno otkri¢e uspje²ne civilizacije, starije od bilo koje do sad poznate, probudilo jeveliko zanimanje u europskim kulturnim i znanstvenim krugovima.

2.1. Po£etak matematike u ranoj egipatskoj civilizaciji

"U ve¢ini znanosti jedna generacija ru²i ono ²to je druga izgradila i poni²tava ²to je uspos-tavila. U samoj matematici svaka generacija gradi novu pri£u na starim temeljima."Hermann Henkel

Osim astronomije, matematika je najstarija egzaktna znanost £ija su saznanja kontinu-irano nadogra�ivana. Njen to£an po£etak se ne zna. �esto se kaºe da u matematici sviputovi vode natrag u Gr£ku. Grci su imali druge ideje o po£ecima matematike. Najpozna-

7

tija je ona koju je zastupao Aristotel, koji je u svom djelu Meta�zika napisao: "Matemati£kaznanost je nastala u susjednom Egiptu, jer je postojala sve¢eni£ka klasa, koja je dozvoljavalaslobodno vrijeme i razonodu."

To je djelomi£no to£no, jer se najve¢i napredak u matematici dogodio istovremeno s posto-janjem slobodne klase usmjerene potrazi za znanjem.

Matematika se razvila zbog prakti£nih ljudskih potreba. Egip¢anima je bilo nuºno sva-kodnevno ra£unanje u trgova£kim poslovima, drºavnoj vlasti za ra£unanje poreza, za ra£u-nanje kamata na kredit, za ra£unanje nadnice i za izradu kalendara.Svake godine za vrijeme redovnih godi²njih poplava u dolini rijeke Nil, granice zemlji²nihposjeda su se izbrisale i trebalo ih je ponovno odrediti. Zbog toga se po£ela razvijati geome-trija. Jednostavna geometrijska pravila koristila su se za odre�ivanje granica posjeda i poljate sadrºaja ºitnice (ambar). Kao ²to Herod Egipat naziva darom Nila, moºemo re¢i da jegeometrija njen drugi dar.

Neprocjenjiv izvor informacija iz pred-Euklidske geometrije je razmatranje gr£kog ko-mentatora Prokla (410.−485.) koje se nalazi u prvoj knjizi Euklidovih elemenata:

Prema svemu sude¢i geometrija je prvi put otkrivena me�u Egip¢anjma i nastala

je mjerenjem njihovih posjeda. To je bilo neophodno jer se Nil prelijevao i brisao

granice.

8

3. Egipatsko pismo

Najstariji prona�eni zapisi egipatskog pisma potje£u iz oko 3200. godina prije Krista, ²to tajjezik £ini jednim od najstarijih i najduºe biljeºenih. Prvo pismo Egip¢ana bili su hijerogli�.Rije£ "hijeroglif" zapravo je gr£kog porijekla, a sastoji se od rije£i hieros, ²to zna£i svet, irije£i glyfo, ²to zna£i klesati. Hijerogli� su se prvotno klesali u kamen i njima su se ispisivalisakralni tekstovi u piramidama, hramovima i grobnicama. Hijerogli� su bili crteºi te je svakicrteº predstavljao neki predmet iz ºivota. Ponekad je jedan crteº predstavljao cijelu rije£ ilislog ili samo slovo. Hijerogli� su bili pisani s lijeva na desno, ali i s desna na lijevo. Smjerpisanja teksta odre�uje se po tome u kom pravcu su okrenuti simboli. Ako je simbol okrenutna lijevo, tada je i tekst pisan s lijeva na desno te se tako £ita, i obratno.

Slika 3.3: Hijerogli� Slika 3.4: Hijerogli� u kamenu

Budu¢i da je pisanje bilo ograni£eno samo po kamenu, trebalo se pisati kratkim zapisima.Bio je potreban lako dostupan i jeftin materijal za pisanje. Taj problem Egip¢ani su rije²iliizumom papirusa. Papirus se izra�ivao od samonikle biljke koja je u izobilju rasla u mo-£varama rijeke Nil. Proces izrade papirusa bio je relativno jednostavan. Stabljika te biljkerezala se na tanke, uzduºne trake koje su se slagale u dva sloja na tvrdu kamenu podlogu.Drugi sloj slagao se na prvi pod pravim kutom. Zatim se to sve natapalo vodom, nakon£ega se ostavilo da se su²i na suncu. Prirodna guma te biljke sljepila je ta dva sloja. Nakonsu²enja, dobiveni papirus se peglao ²koljkom ili kamenom do gotovog lista. Egip¢ani su telistove sastavljali u duga£ke trake preklapanjem rubova. Kad nisu bile kori²tene, trake subile zarolane u svitke. Pisali su kistom, nalik olovci, i tintom izra�enom od obojene zem-lje ili ugljenom pomije²anim sa smolom ili vodom. Izrazito suha egipatska klima sprije£ilaje nakupljanje plijesni te je velik dio svitaka ostao sa£uvan za nas, ²to ina£e ne bi bilo mogu¢e.

Izum papirusa zahtijevao je pojednostavljenje pisanja. Egipatski sve¢enici razvili su brºii manje slikovit na£in pisanja, uvodi se takozvano Hijeratsko pismo, drugo egipatsko pismo.Znakovi u ovom pismu su toliko pojednostavljeni da je u njima ponekad jako te²ko prepoz-nati pticu, ljudsku ruku ili glavu, ²to kod hijeroglifa nije bio slu£aj. Moºe se re¢i da oniodgovaraju na²em rukopisu, a hijerogli� na²em tisku.

9

Kako je vrijeme prolazilo te se pisanje svakodnevno koristilo i hijeratski zapis se pokazaokao prespor te nastaje Demotsko pismo. Glavna zna£ajka tog pisma je da se pojedini sim-boli stapaju u jedan simbol te time predstavljaju novu rije£. Uglavnom se koristio za pisanjeknjiºevnih djela te u administraciji i trgovini.

3.1. Kamen iz Rosette i tajna hijeroglifa

Godine 1799. francuski su vojnici kopaju¢i temelje svoje utvrde u selu Rosette, u blizinidelte Nila, otkrili crnu kamenu plo£u. Pronalazak tog ispoliranog komada crnog bazalta bioje najzna£ajniji doga�aj Napoleonovog vojnog pohoda. Na tom kamenu iz Rosette nalaze setri natpisa, svaki pisan drugom vrstom pisma. Na slomljenoj gornjoj tre¢ini kamena nalazise 14 redaka hijeroglifskog pisma, srednji dio kamena sastoji se od 32 retka demotskog pismai na donjoj tre¢ini su 54 retka gr£kog pisma. Kako je na£in £itanja gr£kog pisma bio poznat,jedan £asnik vojske odmah je pro£itao i preveo natpis s gr£kog jezika:

"U Memphisu su se 196. godine prije Krista okupili sve¢enici iz cijelog Egipta. Vije¢alisu o tome kakve ¢e se po£asti dati mladom faraonu Ptolomeju V. koji je mnogo u£inio zahramove i sve¢enike. Odlu£eno je da se u svakom hramu postavi po jedan kraljev kip s plo£omna kojoj ¢e se na tri pisma ovjekovje£iti taj doga�aj."

Slika 3.5: Kamen iz Rosette

Zaklju£ili su da je isti tekst napisan na sva tri pisma. Vaºnost kamena iz Rosette prvosu shvatili Francuzi, posebno Napoleon, koji je naredio da se obavi prijepis kamena te dase podijeli europskim znanstvenicima. Narodni interes za kamen bio je toliko jak da, kad jeNapoleon bio poraºen od Britanaca te je bio prisiljen napustiti Egipat 1801. godine, jedan oduvjeta kapitulacije (vojnog sporazuma) bio je predaja kamena Britancima. Kao i svi ostaliprona�eni predmeti i kamen iz Rosette se nalazi u British Museumu u Londonu, gdje sunapravljene 4 kopije kamena za sveu£ili²ta u Oxfordu, Cambridgeu, Edinburghu i Dublinu.Nakon toga je zapo£elo de²ifriranje hijeroglifskog pisma uspore�ivanjem i analiziranjem. Taj

10

problem bio je teºi nego ²to se o£ekivalo te je de²ifriranje hijeroglifa zahtjevalo 23 godineintenzivnog prou£avanja mnogih znanstvenika.

Najve¢i doprinos de²ifriranju hijeroglifa dali su engleski znanstvenik Thomas Young(1773. − 1829.) i francuski Jean−Francois Champollion (1790. − 1832.). Thomas Youngje prou£avao razne jezike, sluºio se s dvanaest jezika me�u kojima su bili i jezici Bliskogistoka te se po£eo zanimati za povijest i jezik starog Egipta. Dugo je prou£avao natpis nakamenu iz Rosette te je 1814. godine utvrdio vaºnu £injenicu. Utvrdio je da je kartu²a, nazivza pravokutni okvir koji se £esto nalazi u egipatskim tekstovima, oznaka za vladare. Zaklju-£io je da se u tekstu u kojem se nalazi kartu²a, govori o vladarima, a u samoj kartu²i se nalaziispisano ime vladara. Tako je naslutio tajnu hijeroglifa nekoliko godina prije Champolliona,ali zbog nemogu¢nosti daljnjeg �nanciranja morao je napustiti svoja istraºivanja.

Champollionov najve¢i san i cilj koji si je postavio bio je de²ifriranje hijeroglifa. Prou£a-vanje je zapo£eo s pretpostavkom da hijerogli� nisu samo slikovno pismo u kome svaki znakpredstavlja cijelu rije£, predmet ili pojam, ve¢ moºe biti znak za pojedine slogove ili glasove.S tim uvjerenjem mjesecima je prou£avao samo jednu rije£ teksta kamena iz Rosette, rije£u kartu²i gdje se nalazilo ime egipatskog vladara Ptolomeja. Godine 1822. Champoliondobiva kopiju obeliska (£etverobridni monolitni stup koji se prema vrhu suºava) prona�enogu Egiptu. Na toj kopiji teksta nalaze se dvije kartu²e pri £emu je jedna jednaka onoj nakamenu iz Rosette. Tako je Champollion mogao usporediti simbole koji predstavljaju ime"Ptolomej" sa simbolima u toj drugoj kartu²i, znaju¢i pri tome da je to tako�er zapis nekogegipatskog vladara ili vladarice. Odmah je uo£io u obe kartu²e 3 ista simbola. To je simbolkvadrata koji ozna£uje slovo P, sli£ica lava koji ozna£uje slovo L te tre¢i simbol, koji je bioisti u oba kartu²a, odgovarao je slovu O. Nakon toga, promatraju¢i simbole odgonetnuo jeda je u drugoj kartu²i hijerogli�ma predstavljeno ime Ptolomejeve ºene i vladarice EgiptaKleopatre, te je uz ostale simbole napisao slova koja predstavljaju (Slika 3.6). Nakon toga,Champollion je bio siguran da se hijerogli� mogu zamijeniti slovima. To je bilo najvaºnijeotkri¢e u de²ifriranju hijeroglifa. Kao posljedica de²ifriranja hijeroglifa 1822. godine razvijase egiptologija, znanost o jeziku kulturi i starinama drevnog Egipta.

Slika 3.6: Hijeroglifski zapis vladara Ptolomeja i njegove ºene Kleopatre

11

Iscrpljen od neprestanih napora i istraºivanja Champollion umire 1832. godine od sr-£anog udara. Kao vrhunac cjeloºivotnog prou£avanja, napisao je rije£nik egipatskog jezikai njegove gramatike Grammaire Egyptienne en Encriture Hieroglyphique, koji je objavljenposmrtno 1843. godine. U njemu je jasno izraºen na£in de²ifriranja hijeroglifa, ²to je biloosnova za sve ²to su radili kasniji egiptolozi. Sad kad su ljudi bili u mogu¢nosti de²ifriratihijeroglife, mogli su nau£iti sve o pro²losti Egipta, jer su Egip¢ani ostavili mnogo svojihpisanih tekstova.

Kamen iz Rosette bio je klju£ za razumijevanje jedne od najve¢ih civilizacija u povijesti.

3.2. Zapisi brojeva u starom Egiptu

Ubrzo nakon ujedinjenja Egipta po£eo se razvijati administrativni sustav. Moralo se na-praviti popis stanovni²tva, nametnuti poreze te jo² mnoga ra£unanja s velikim brojevima.Jedna od godina II. dinastije zvala se Godina numeriranja sve sitne i krupne stoke Sjevernogi Juºnog Egipta. Egip¢ani su imali potpuno razvijen brojevni sustav koji je omogu¢avaobrojanje. To potvr�uje macehead, povijesni nalaz imena glava buzdovana (topuza), jedan odnajzna£ajnijih ostataka anti£kog vremena koji se nalazi u muzeju na Sveu£ili²tu u Oxfordu.On svjedo£i o vojnoj pobjedi vladara Menesa te se na njemu nalazi sluºbeni zapis njegovihpostignu¢a. To je uzimanje 120000 zatvorenika i podatak o broju zato£enih ºivotinja, 400000goveda i 422000 koza (Slika 3.7).Jo² jedan primjer ranog biljeºenja velikih brojeva nalazimo u Knjizi mrtvih, zbirci vjerskihtekstova i tekstova o magiji £iji je cilj bio osigurati pokojniku zadovoljavaju¢ zagrobni ºivot.

Slika 3.7: Prikaz jednog dijela glave buzdovana

U jednoj od grobnica blizu piramida u Gizi otkriveni su hijeroglifski simboli za brojeve(Slika 3.8).

Slika 3.8: Hijeroglifski simboli za brojeve

12

Postoji i obja²njenje za²to su Egip¢ani za brojeve koristili ba² te simbole. Broj 1 prikazanje vertikalnim potezom ili slikom ²tapa, za broj 10 koristili su potkovu, jer je svaka potkovana sebi imala 10 rupica. Za broj 100 koristili su znak za zakrivljeno uºe koje je ozna£avalomjerno uºe od 100 lakata duºine. Nadalje, broj 1000 prikazan je lotusovim cvjetom, kojije u tisu¢ama prekrivao mo£vare oko Nila. Broj 10000 savijenim prstom, a broj 100000punoglavcem kojih je poslije poplava Nila u stotinama tisu¢a bilo po mo£varnim obalama.Za broj 1000000 kori²ten je znak za £ovjeka ruku ra²irenih prema nebu, koji kao da govori"toliko je zvijezda na nebu" ili "toliki je Bog". Broj 10000000 prikazan je simbolom izlaze¢egsunca.

Kao ²to vidimo, koristili su poseban simbol za svaku novu potenciju od 10 do 10000000.Drugim rije£ima, egipatski brojevni sustav bio je decimalni (od latinske rije£i decem ²to zna£ideset). Deset se £esto moºe na¢i kao baza za brojevne sustave kod drevnih naroda. To semoºe pripisati tome ²to ljudi imaju 10 prstiju na rukama te je prirodno ra£unati na prste.Iz istog razloga simbol sli£an na²oj oznaci broja 1 se gotovo svugdje koristi za oznaku broja 1.

Drugi brojevi se prikazuju koriste¢i te simbole aditivno, to jest broj je predstavljen sku-pom simbola £iji zbroj predstavlja taj broj, s tim da se svaki pojedina£no moºe prikazatinajvi²e devet puta jer postoji oznaka za deset. Smjer pisanja je bio s desna u lijevo, s timda su ve¢e potencije prve na popisu, zatim druge po veli£ini i tako do kraja zapisa broja.Slika 3.9 predstavlja zapis broja 142136.

Slika 3.9: Hijeroglifski zapis broja 142136

Dakle, imamo 1 · 100000 + 4 · 10000 + 2 · 1000 + 1 · 100 + 3 · 10 + 6 · 1 = 142136.Ponekad su ve¢e potencije bile zapisane s lijeve strane i u tom slu£aju su simboli bili okrenutiprema smjeru iz kojeg je pisanje zapo£elo.

Zapis istog broja mogu¢e je pisati u dva ili tri reda kako bi se smanjila duljina zapisa.To nam pokazuje Slika 3.10, gdje je hijerogli�ma na tri razli£ita na£ina zapisan broj 1232.

Slika 3.10: Tri na£ina hijeroglifskog zapisa broja 1232

Kako je postojao razli£it simbol za svaku potenciju broja 10, na vrijednost zapisanogbroja nije utjecao poredak grupiranih hijeroglifa, stoga egipatski brojevni sustav nije bio

13

pozicijski.

Pojavom jednostavnijeg hijeratskog pisma, ponavljanje jednog simbola u hijeroglifskomzapisu zamijenjeno je drugim simbolom. Na primjer, 5 vi²e nije skup pet vertikalnih poteza,nego mu je dodijeljen jedan karakteristi£an znak. Slika 3.11 prikazuje pojednostavljeni hije-ratski zapis brojeva.

Slika 3.11: Hijeratski zapis brojeva

Ovim oblikom pisanja ostali brojevi su se tako�er prikazivali aditivno, kao i kod hijeroglif-skog zapisa. Primjetite da su oznake za 10, 100 i 1000 pojednostavljene u odnosu na prije.

Pogledajmo zapis istog broja hijerogli�ma i hijeratskim pismom. Slika 3.12 prikazujehijeroglifski zapis broja 37, dok Slika 3.13 prikazuje hijeratski zapis istog broja sa samo dvasimbola.

Slika 3.12: Hijeroglifski zapis broja 37 Slika 3.13: Hijeratski zapis broja 37

Ve¢i broj simbola za brojeve u hijeratskom zapisu zahtjevao je bolje pam¢enje, ali egi-patski pisari to su smatrali opravdanim zbog brzine i saºetosti.

14

4. Egipatska aritmetika

Glavna dva povijesna izvora iz kojih saznajemo o egipatskoj matematici su Rhindov papirusi Goleni²£evljev papirus, oba nazvana po svojim prija²njim vlasnicima. Goleni²£evljev jepoznat pod nazivom Moskovski papirus, jer se nalazi u Muzeju likovnih umjetnosti u Mo-skvi. Oni nisu jedini, ali su najzna£ajniji otkriveni i sa£uvani matemati£ki papirusi.

Rhindov papirus i Moskovski papirus

Rhindov papirus prona²ao je ²kotski arheolog Alexander Henry Rhind 1858. godine u Luxoruu Egiptu. Na tome mjestu nalazio se drevni egipatski grad Teba koji je bio glavni grad Egiptatijekom Srednjeg i Novog kraljevstva. A. Henry Rhind prvotno je bio ²kotski odvjetnik, anakon ²to mu je zdravlje oslabilo posjetio je Egipat gdje mu je godila blaga egipatska klima.U Egiptu je postao arheolog, specijalizirav²i se za iskapanje grobnica u Tebi te se vjeruje daje Rhindov papirus prona�en u ru²evinama Tebe.Nakon Rhindove smrti taj papirus stiºe u British Museum, gdje se £uva i danas.

Rhindov papirus pisan je hijeratskim pismom oko 1650. godine prije Krista, a napisao gaje pisar Ahmes. Ahmes navodi da je to prijepis svitka iz razdoblja XII. dinastije (1849.−1801.prije Krista) tj. svitka tada starog 200 godina, ²to zna£i da predstavlja matematiku poznatuiz toga vremena. Iako je papirus izvorno bio svitak u jednom dijelu, dug 5,4 metra i ²irok 33centimetra, u British Museum stigao je u dva dijela, bez sredi²njeg dijela. Moºda je papirusprelomljen dok ga je odmatao netko tko nije znao rukovati tako osjetljivim dokumentima ilisu bila dva pronalaza£a te je svaki htio svoj dio. Bilo kako bilo, £inilo se da je taj sredi²njidio papirusa zauvijek izgubljen sve dok se nije dogodio jedan slu£ajan doga�aj, ²to se ina£edoga�a u arheologiji. Otprilike £etiri godine nakon Rhindovog otkri¢a papirusa, ameri£kiegiptolog Edwin Smith kupio je ne²to za ²to je mislio da je medicinski papirus. Pokazalo seda je taj papirus varka te da je napravljen od starih dijelova drugih papirusa. Nakon Smit-hove smrti 1906. godine njegova zbirka egipatskih starina bila je predstavljena Povijesnomdru²tvu u New Yorku, a 1922. godine je otkriveno da dijelovi tog laºnog papirusa pripadajuRhindovom papirusu. Nakon ²to su ti dijelovi doneseni u British Museum i stavljeni napripadaju¢a mjesta, dovr²eno je i de²ifriranje Rindova papirusa.Na Rhindovom papirusu nalazi se 85 problema i zadataka zajedno s rje²enjima te tablicakoja prikazuje rastavljanje razlomaka kojima je brojnik 2, a nazivnici neparni brojevi od 5do 101, kao zbroj jedini£nih razlomaka.

Rhindov papirus smatra se najzna£ajnijim i najvrijednijim dokumentom Egipatske civi-lizacije.

Za razliku od Rhindovog papirusa, autor Moskovskog papirusa je nepoznat. Papirus po-tje£e iz oko 1850. godine prije Krista, ²to zna£i da je stariji od Rhindovog papirusa. Prona²aoga je ruski istraºiva£ V. S. Goleni²£ev i 1893. godine donio u Moskvu. Moskovski papiruspisan je tako�er hijeratskim pismom. Duljine je oko pola metra i ²irine oko 8 cm. Sadrºi 25zadataka, me�u kojima su najve¢a dostignu¢a egipatske geometrije. Najzanimljiviji zada-tak je 14. U tom zadatku nazvanom Operacije s krnjom piramidom dano je to£no rje²enjeobujma krnje kvadratne piramide £ije su duljine osnovnih bridova donje baze 4, gornje 2 ivisine 6. U papirusu je napisano da je obujam jednak 56. Nije navedena formula kojom su

15

izra£unali obujam, ali mi vidimo da je taj volumen krnje kvadratne piramide sa stranicama

baza a i b izra£unat to£no po formuli V = ha2 + ab+ b2

3. Uo£imo da za b = 0 dobijemo

to£nu formulu za volumen piramide.

Slika 4.14: Rhindov papirus Slika 4.15: Moskovski papirus

U egipatskim papirusima otkrivena su razli£ita matemati£ka dostignu¢a, no bez ikakvaobja²njenja.

4.1. Zbrajanje i oduzimanje

Egipatski brojevni sustav nije bio pogodan za ra£unanje, ali je trgovina zahtijevala svakod-nevno zbrajanje, oduzimanje, mnoºenje i dijeljenje te ra£unanje s razlomcima. Najlak²e jebilo zbrajanje.

Za zbrajanje je bilo potrebno skupiti iste simbole zajedno i zamijeniti ih simbolom kojipredstavlja 10 takvih.

Primjer 4.1. Egipatski na£in zbrajanja brojeva 345 i 678.

16

Nakon zamjene 10 istih simbola za jedan simbol ve¢e potencije broja 10 imamo:

Istim postupkom dobivamo kona£an zbroj, 1023:

Oduzimanje se provodilo na isti na£in, ali obrnutim postupkom. Po potrebi se koristila"posudba" pri £emu se zamjenjuje jedan simbol umanjenika s deset simbola niºe potencijebroja 10.

Primjer 4.2. Egipatski na£in oduzimanja brojeva 123 i 45.

Nakon "posudbe", uklanjanjem odre�enog broja simbola dobijemo rezultat 78:

4.2. Mnoºenje i dijeljenje

Iz Rhindova papirusa saznajemo kako su Egip¢ani mnoºili i dijelili. Kroz 85 problema sadr-ºanih u njemu moºemo zaklju£iti da se egipatska aritmetika temelji na zbrajanju.

17

Mnoºenje se provodi udvostru£avanjem i zbrajanjem. Broj su udvostru£avali zbrajaju¢iga sa samim sobom, dakle samo su zapisivali brojeve jedan ispod drugog i pretvarali svakih10 istih simbola u jedan simbol ve¢e potencije broja 10, koji predstavlja 10 takvih.

Postupak mnoºenja dva broja je sljede¢i. Svaki od faktora ima svoj stupac, dakle imamodva stupca. U prvi stupac umjesto prvog faktora uvijek upisujemo 1, a paralelno s njimu drugi stupac upisujemo drugi faktor. Zatim te brojeve u svakom sljede¢em retku udvos-tru£ujemo, sve dok u prvom stupcu ne dobijemo broj koji je ve¢i od prvog faktora, tadaudvostru£enje staje. Zatim gledamo koji brojevi prvog stupca zbrajanjem daju prvi faktorte njih ozna£imo, a zbroj odgovaraju¢ih udvostru£enja u drugom stupcu je traºeni produkt.Mnoºenje prirodnih brojeva odaje nam da su se sluºili i potencijama broja 2.

Primjer 4.3. Egipatski na£in mnoºenja brojeva 19 i 71.

Neka je prvi faktor 19, a drugi faktor 71. Dakle, u prvom stupcu pi²emo 1, a u drugom71. Te brojeve paralelno udvostru£ujemo sve dok u prvom retku ne dobijemo ve¢i broj od 19.To izgleda ovako:

1 712 1424 2488 56816 1136

Ovdje udvostru£avanje staje, budu¢i da bi u sljede¢em retku, u prvom stupcu dobili 32, a toje ve¢e od na²eg prvog faktora 19. Zatim ozna£imo brojeve prvog stupca koji zbrajanjem dajuna² prvi faktor, tj. 19, njih ¢emo ozna£iti sa strelicom. Vidimo da su to brojevi 1, 2 i 16.Budu¢i da je 1+2+16 = 19, zbrajanjem pripadnih udvostru£enja u desnom stupcu, nasuprotstrelica, egipatski matemati£ari bi dobili traºeni produkt 1349.

=⇒ 1 71=⇒ 2 142

4 2488 568

=⇒ 16 1136ukupno: 19 1349

Dakle, 1349 = 71 + 142 + 1136 = (1 + 2 + 16) · 71 = 19 · 71.

Ako bi za prvi faktor uzeli 71, a za drugi faktor 19, postupak bi bio sljede¢i:

=⇒ 1 19=⇒ 2 38=⇒ 4 76

8 15216 30432 608

=⇒ 64 1216ukupno: 71 1349

18

Jer je 64+4+2+1 = 71, treba jednostavno zbrojiti pripadne vi²ekratnike broja 19 u drugomstupcu kako bi ponovno dobili 1349.

Ovakav na£in mnoºenja je uvijek primjenjiv, budu¢i da se svaki pozitivni cijeli broj moºeizraziti kao zbroj razli£itih potencija broja 2, odnosno kao zbroj izraza 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .Egipatski matemati£ari vjerojatno nisu znali dokazati tu £injenicu, ali njihovo povjerenjetemelji na mnogobrojnim primjerima. Ovaj na£in mnoºenja udvostru£avanjem i zbrajanjemponekad se naziva i Rusko mnoºenje zbog kori²tenja me�u ruskim seljacima. O£ita prednostovog na£ina mnoºenja je ta ²to je nepotrebno pamtiti ikakvu tablicu.

Egipatsko dijeljenje moºemo opisati kao obrnuto mnoºenje gdje se djelitelj udvostru£ujesve dok rezultat udvostru£enja bude manji od djeljenika. Njihova metoda dijeljenja temeljise na jednostavnoj matemati£koj £injenici koja je bila poznata i egipatskim pisarima, a toje da su mnoºenje i dijeljenje inverzne matemati£ke operacije, tj da je a · b = c ako i samoako je c : b = a. Dakle, njihov na£in dijeljenja zahtjevao je kori²tenje mnoºenja i vrlo £estoupotrebu razlomaka. Pogledajmo sljede¢i primjer.

Primjer 4.4. Podijelimo 91 sa 7.

Egip¢ani su znali da trebaju prona¢i x takav da je 7 · x = 91.Dakle, u prvom stupcu opet imamo potencije broja 2, dok paralelno s tim u drugom stupcuudvostru£ujemo djelitelja, u ovom slu£aju 7, sve dok su udvostru£enja manja od djeljenikatj. 91.

1 7 ⇐=2 144 28 ⇐=8 56 ⇐=

ukupno: 13 91

Uo£avamo da je 7 + 28 + 56 = 91, dakle na² traºeni x je zbroj brojeva prvog stupca kojiodgovaraju ovim udvostru£enjim. Dakle, kvocijent je jednak 1 + 4 + 8 = 13.

Prednost egipatskog na£ina dijeljenja je ²to se ne uvode nikakve nove operacije, no di-jeljenje nije uvijek ovako jednostavno kao u prethodnom primjeru, £esto se moraju uvestirazlomci. Pogledajmo sljede¢i primjer.

Primjer 4.5. Podijelimo 35 sa 8.

Pisar Ahmes zapo£inje udvostru£enjem djelitelja, dakle 8, sve dok udvostru£enje ne bibilo ve¢e od djeljenika, 35. Zatim se po£inje prepolavljati djelitelj kako bi se dobio potrebniostatak. Postupak ra£unanja moºe se pokazati na sljede¢i na£in:

19

1 82 164 32 ⇐=12

414

2 ⇐=18

1 ⇐=ukupno: 4 + 1

4+ 1

835

Dakle, traºeni kvocijent je 4 + 14+ 1

8.

4.3. Egipatski razlomci

Egipatski na£in zapisivanja razlomaka nema sli£nosti niti s jednom drugom kulturom. Kadsu egipatski matemati£ari trebali ra£unati s razlomcima, bili su suo£eni s brojnim pote²ko-¢ama jer si nisu mogli pojmiti djeli¢ kao ²to je 2

5ili 3

7. Egip¢ani su pri ra£unanju koristili

samo jedini£ne razlomke, odnosno razlomke oblika 1n, gdje je n prirodan broj. Egip¢ani su

prikazivali jedini£ne razlomke stavljanjem jajolikog oblika iznad hijeroglifa koji predstavljanazivnik (Slika 4.16). Izuzetak je bio razlomak 2

3koji je imao poseban simbol, sve ostale

razlomke izrazili su kao zbroj jedini£nih razlomaka, od kojih je svaki imao razli£iti nazivnik,npr. 3

4= 1

2+ 1

4, 6

7= 1

2+ 1

3+ 1

42. Takav zapis razlomka zove se zapis u egipatskom obliku

odnosno egipatski razlomak.

Slika 4.16: Egipatski zapis razlomaka 14, 1100

i poseban simbol za razlomak 23

Prema tome 67moºemo prikazati kao

6

7=

1

2+

1

4+

1

14+

1

28,

ili u sljede¢em obliku:

6

7=

1

7+

1

7+

1

7+

1

7+

1

7+

1

7.

Iako su oba zapisa to£na, za Egip¢ane je to bilo besmisleno i kontradiktorno, za njih jepostojao samo dio koji je predstavljao sedminu ne£ega.

20

Egip¢ani bi mogli prona¢i zapis 67tako ²to bi na uobi£ajen na£in podijelili 6 sa 7:

1 712

3 + 12

⇐=14

1 + 12+ 1

4⇐=

17

1114

12

⇐=128

14

⇐=ukupno: 1

2+ 1

4+ 1

14+ 1

286

4.3.1. Tablica jedini£nih razlomaka

Kako bi se pojednostavilo i olak²alo rastavljanje razlomaka na jedini£ne razlomke, postojalesu mnoge povezane tablice, zbog £ega Egip¢ani nisu morali sve pamtiti. Najopseºnija od sviharitmeti£kih tablica koje su prona�ene me�u drevnim egipatskim papirusima koji su do²lido nas je ona koja se nalazi na po£etku Rhindovog papirusa. Na toj tablici nalazi se zapisrazlomaka kojima je brojnik 2, a nazivnik neparni brojevi od 5 do 101, kao zbroj jedini£nihrazlomaka. Ona zauzima tre¢inu ukupne duºine Rhindovog papirusa.

Za razlomke 2nkojima je nazivnik djeljiv s 3 vrijedi sljede¢e pravilo:

2

3k=

1

2k+

1

6k.

Pogledajmo sljede¢i primjer.

Primjer 4.6. Napi²imo 215

u obliku zbroja jedini£nih razlomaka.

Vidimo da je u ovom slu£aju k=5 te imamo:

2

15=

1

10+

1

30.

Preostale razlomake zapisane kao zbroj jedini£nih razlomaka, koji nisu oblika 23k

£itamoiz Tablice 4.1.

Otkad se pojavio prijevod Rhindovog papirusa te je de²ifrirana ova tablica, matemati£arisu poku²avali objasniti koju je metodu pisar Ahmes koristio pri njenoj izradi. Za²to je zan = 19 razlomak zapisan

2

19=

1

12+

1

76+

1

114,

a ne ovako

2

19=

1

12+

1

57+

1

228?

21

Tablica 4.1: Tablica jedini£nih razlomaka

25= 1

3+ 1

15253

= 130

+ 1318

+ 1795

27= 1

4+ 1

28255

= 130

+ 1330

211

= 16+ 1

66259

= 136

+ 1236

+ 1531

213

= 18+ 1

52+ 1

104261

= 140

+ 1244

+ 1488

+ 1610

217

= 112

+ 151

+ 168

265

= 139

+ 1195

219

= 112

+ 176

+ 1114

267

= 140

+ 1335

+ 1536

223

= 112

+ 1276

271

= 140

+ 1568

+ 1710

225

= 115

+ 175

273

= 160

+ 1219

+ 1292

+ 1365

229

= 124

+ 158

+ 1174

+ 1232

277

= 144

+ 1308

231

= 120

+ 1124

+ 1155

279

= 160

+ 1237

+ 1316

+ 1790

235

= 130

+ 142

283

= 160

+ 1332

+ 1415

+ 1498

237

= 124

+ 1111

+ 1296

285

= 151

+ 1255

241

= 124

+ 1246

+ 1328

289

= 160

+ 1356

+ 1534

+ 1890

243

= 142

+ 186

+ 1129

+ 1301

291

= 170

+ 1130

247

= 130

+ 1141

+ 1470

295

= 160

+ 1380

+ 1570

249

= 128

+ 1196

297

= 156

+ 1679

+ 1776

251

= 134

+ 1102

2101

= 1101

+ 1202

+ 1303

+ 1606

Nije otkriveno op¢enito pravilo koje daje sve rezultate u tablici. Jedino pravilo koje jeotkriveno slijedi iz posljednjeg zapisa

2

101=

1

101+

1

202+

1

303+

1

606,

taj konkretan slu£aj predstavljen je op¢om formulom:

2

n=

1

n+

1

2n+

1

3n+

1

6n.

22

Od iskazane formule mogu¢e je imati novu 2ntablicu:

23

= 13+ 1

6+ 1

9+ 1

18

25

= 15+ 1

10+ 1

15+ 1

30

27

= 17+ 1

14+ 1

21+ 1

42

29

= 19+ 1

18+ 1

27+ 1

54.

Iako je pisar vjerojatno bio toga svjestan, nisu zapisane te vrijednosti u tablicu (osim uposljednjem slu£aju 2

101) jer su postojali drugi na£ini za rastavljanje razlomaka na jedini£ne

razlomke.Dana²njem £ovjeku se £ini da se pisar pridrºavao nekih pravila u sastavljanju svoje tablice.

Zapaºamo sljede¢e:

1. Ako se razlomak moºe prikazati na vi²e na£ina, zapisuje se onaj koji ima najmanji brojjedini£nih razlomaka (ne vi²e od 4).

2. Koristi se ²to ve¢i jedini£ni razlomak u raspisu, osim ako nije kontradiktorno prvompravilu.

3. Jedini£ni razlomci pi²u se od ve¢eg prema manjem te ne postoje dva jednaka.

4. Za po£etni £lan poºeljniji su parni nazivnici.

4.3.2. Mnoºenje i dijeljenje razlomaka

Sljede¢a dva primjera iustriraju kako su Egip¢ani mnoºili i dijelili razlomke.

Primjer 4.7. Kao ilustraciju mnoºenja razlomaka prona¢i ¢emo umnoºak razlomka 2 + 14i

1 + 12+ 1

7.

Primijetimo da udvostru£avanjem 1 + 12+ 1

7dobivamo 3 + 2

7, u egipatskom obliku to je

jednako 3 + 14+ 1

28. Taj postupak izgleda ovako:

1 1 + 12+ 1

7

=⇒ 2 3 + 14+ 1

2812

12+ 1

4+ 1

1417

1=⇒ 1

414+ 1

8+ 1

28

ukupno: 2 + 14

3 + 12+ 1

8+ 1

14

Egipatski matemati£ari su znali da je 12n

dvostruki razlomak jedini£nog razlomka 1n, dakle,

traºeni produkt je 3 + 12+ 1

8+ 1

14.

23

Sljede¢i primjer nam ilustrira sloºenije dijeljenje egipatskim razlomcima, a pojavljuje seu problemu 33. Rhindovog papirusa.

Primjer 4.8. (Problem 33. Rhindovog papirusa) Podijelimo 37 sa 1 + 23+ 1

2+ 1

7.

Po£injemo uobi£ajenim postupkom egipatskog dijeljenja, dakle u desnom stupcu udvostru-£ujemo 1 + 2

3+ 1

2+ 1

7, sve dok zbrajanjem odre�enih vrijednosti tog stupca ne dobijemo 37.

Postupak je sljede¢i:

1 1 + 23+ 1

2+ 1

7

2 4 + 13+ 1

4+ 1

28

4 8 + 23+ 1

2+ 1

14

8 18 + 13+ 1

7

16 36 + 23+ 1

4+ 1

28

Udvostru£avanjem predzadnjeg retka, kad 27zapi²emo u egipatskom obliku kao zbroj jedini£-

nih razlomaka, dobivamo zbroj 36+ 23+ 1

4+ 1

28, ²to je blizu 37. Ostaje nam izra£unati koliko

nam nedostaje do 37 ili kako je pisar Ahmes zapisao: " �to nadopunjuje 23+ 1

4+ 1

28do 1 "?

Modernim zapisom potrebno je dobiti razlomak x za koji je

23+ 1

4+ 1

28+ x = 1.

Ako problem iskaºemo na drugi na£in traºimo brojnik y za koji vrijedi

23+ 1

4+ 1

28+ y

84= 1,

gdje je 84 najmanji zajedni£ki vi²ekratnik nazivnika 3, 4 i 28. Mnoºenjem obje strane tejednadºbe s 84 dobivamo 56 + 21 + 3 + y = 84 te vidimo da je y = 4. Stoga, ostatak kojitrebamo dodati 2

3+ 1

4+ 1

28da bi dobili 1 je 4

84, odnosno 1

21.

Sljede¢i korak je odrediti s kojom vrijednosti trebamo pomnoºiti 1 + 23+ 1

2+ 1

7kako bi dobili

potrebnih 121, dakle trebamo prona¢i z takav da je

z(1 + 2

3+ 1

2+ 1

7

)= 1

21.

Mnoºenjem te jednadºbe s 42 dobivamo 97z = 2, tj. z = 297, ²to je pisar zapisao egipatskim

oblikom kao 156

+ 1679

+ 1776

. Slijedi nastavak ra£unanja:

1 1 + 23+ 1

2+ 1

7

2 4 + 13+ 1

4+ 1

28

4 8 + 23+ 1

2+ 1

14

8 18 + 13+ 1

7

16 36 + 23+ 1

4+ 1

28⇐=

156

+ 1679

+ 1776

121

⇐=ukupno 16 + 1

56+ 1

679+ 1

77637

Dakle, rezultat dijeljenja 37 sa 1 + 23+ 1

2+ 1

7je 16 + 1

56+ 1

679+ 1

776.

24

4.3.3. Metoda razdvajanja i Fibonaccijeva metoda

Postoji nekoliko na£ina pomo¢u kojih razlomke s brojnikom ve¢im od 2 zapisujemo u egi-patskom obliku, odnosno kao zbroj jedini£nih razlomaka. Pogledajmo sljede¢i primjer.

Primjer 4.9. Zapi²imo 913

kao zbroj jedini£nih razlomaka.

Budu¢i da je 9 = 1 + 4 · 2, jedan od na£ina je da 913

prvo zapi²emo kao

913

= 113

+ 4(

213

).

Zatim, razlomak 213

zapi²emo kao zbroj jedini£nih razlomaka koriste¢i 2ntablicu, kako bi dobili

ukupni zbroj bez ponavljanja istih jedini£nih razlomaka

913

= 113

+ 4(18+ 1

52+ 1

104

)= 1

13+ 1

2+ 1

13+ 1

26

= 213

+ 12+ 1

26

=(18+ 1

52+ 1

104

)+ 1

2+ 1

26.

Kona£an zapis bi bio 913

= 12+ 1

8+ 1

26+ 1

52+ 1

104.

Ovaj primjer funkcionira jer su nazivnici 8, 52 i 104 djeljivi s 4, ali ne¢emo uvijek biti tesre¢e. Sljede¢e dvije metode nam ilustriraju kako moºemo bilo koji razlomak prikazati kaozbroj jedini£nih razlomaka, to su Metoda razdvajanja i Fibonaccijeva metoda.

Metoda razdvajanja

Ova metoda temelji se na tzv. razdvajaju¢oj jednakosti

1

n=

1

n+ 1+

1

n(n+ 1),

kojom jedan jedini£ni razlomak zapisujemo kao zbroj drugih dvaju. Sljede¢a dva primjerailustriraju ovu metodu.

Primjer 4.10. Metodom razdvajanja zapi²imo 219

kao zbroj jedini£nih razlomaka.

Prvo zapi²emo 219

= 119

+ 119, zatim razdvajamo jedan od razlomaka 1

19na 1

20+ 1

19·20 teimamo

2

19=

1

19+

1

20+

1

380.

Primjer 4.11. Metodom razdvajanja razlomak 35napi²imo kao zbroj jedini£nih razlomaka.

Prvo 35zapi²emo u obliku

25

3

5=

1

5+

1

5+

1

5,

zatim svaki od posljednja dva razlomka zapi²emo kao 16+ 1

5·6 , stoga je

3

5=

1

5+

(1

6+

1

30

)+

(1

6+

1

30

).

Sada postoji nekoliko mogu¢ih na£ina za nastavak ovog rastava. Zanemarit ¢emo jednakosti26= 1

3i 2

30= 1

15, umjesto toga ¢emo 1

6i 1

30rastaviti kao sume 1

6= 1

7+ 1

6·7 ,130

= 131

+ 130·31

kako bi do²li do kona£nog rastava:

3

5=

1

5+

1

6+

1

30+

1

7+

1

42+

1

31+

1

930.

Op¢enito, postupak je prikazan na sljede¢i na£in. Po£ev²i sa razlomkom mnprvo zapisu-

jemo

m

n=

1

n+

(1

n+ . . .+

1

n

)︸ ︷︷ ︸

m− 1 pribrojnik

Zatim koristimo razdvajaju¢u jednakost kako bi zamijenili m-1 jedini£nih razlomaka 1ns

1

n+ 1+

1

n(n+ 1),

te dobivamo sljede¢e

m

n=

1

n+

1

n+ 1+

1

n(n+ 1)+

[(1

n+ 1+

1

n(n+ 1)

)+ . . .+

(1

n+ 1+

1

n(n+ 1)

)]︸ ︷︷ ︸

m− 2 pribrojnika

.

Nastavljaju¢i na isti na£in u sljede¢em koraku razdvajaju¢u jednakost primijenimo na 1n+1

i1

n(n+1)te dobivamo

m

n=

1

n+

1

n+ 1+

1

n(n+ 1)+

1

n+ 2+

1

(n+ 1)(n+ 2)

+1

n(n+ 1) + 1+

1

n(n+ 1)[n(n+ 1) + 1]+ . . .

Iako u svakom koraku broj jedini£nih razlomaka raste, moºe se pokazati da je ovaj postupakna kraju kona£an.

26

Fibonaccijeva metoda

Druga metoda pripisana je talijanskom matemati£aru XIII. stolje¢a Leonardu iz Pise, pozna-tijem po svom prezimenu Fibonacci. Godine 1202. on je objavio algoritam za prikaz svakogracionalnog broja izme�u 0 i 1 u obliku sume razli£itih jedini£nih razlomaka. Ideja je sljede¢a.

Pretpostavimo da je zadan razlomaka

b, gdje je 0 <

a

b< 1. Prvo prona�emo n1 ∈ Z koji

zadovoljava

1

n1

6a

b<

1

n1 − 1;

odnosno

n1 − 1 <b

a6 n1.

Iz prethodne relacije je jednostavno odrediti n1. Ova nejednakost implicira

n1a− a < b 6 n1a,

iz £ega vidimo da vrijedin1a− b < a.

Nakon ²to smo odredili n1, oduzmimo1

n1

oda

bi izrazimo razliku u obliku razlomka, ozna£it

¢emo ju kaoa1b1:

a

b− 1

n1

=n1a− b

bn1

=a1b1.

Nakon togaa

bmoºemo zapisati kao

a

b=

1

n1

+a1b1.

Vaºno je naglasiti da je a1 = n1a− b < a. Drugim rije£ima brojnik a1 ovog novog razlomkaje manji od brojnika a po£etnog razlomka. Ako je a1 = 1 postupak je gotov. U suprotnomponavljamo postupak tako da

a1b1

sada ima ulogua

bkako bi dobili

a

b=

1

n1

+1

n2

+a2b2

gdje je a2 < a1.

U svakom sljede¢em koraku smanjuje se brojnik posljednjeg razlomka. Trebamo do¢i dorazlomka

akbk

u kojem je ak = 1. Kad to postignemo traºeni prikaza

bkao suma jedini£nih

razlomaka izgleda ovakoa

b=

1

n1

+1

n2

+ . . .+1

nk

+1

bk.

Sljede¢a dva primjera ilustriraju Fibonaccijevu metodu.

27

Primjer 4.12. Fibonaccijevom metodom zapi²imo 219

kao zbroj jedini£nih razlomaka.

Dakle ab= 2

19. Kako bi dobili n1 primjetimo da je 9 < 19

2< 10 odnosno 1

10< 2

19< 1

9. Iz

toga slijedi da je n1 = 10. Oduzimanjem dobivamo

2

19− 1

10=

20− 19

19 · 10=

1

190.

Dakle, 219

u egipatkom obliku zapisujemo kao 219

= 110

+ 1190

.

Primjer 4.13. Fibonaccijevom metodom razlomak 913

zapi²imo u egipatskom obliku.

Dijeljenjem 9 sa 13 dobivamo 12< 9

13< 1, odnosno 1 < 13

9< 2. Iz toga slijedi da je

n1 = 2. To zna£i da je prvi jedini£ni razlomak u rastavu od 913

jednak 12. Sada je

9

13− 1

2=

18− 13

13 · 2=

5

26,

²to zna£i da je9

13=

1

2+

5

26.

Kao ²to je bilo o£ekivano, brojnik dobivenog razlomka je manji od brojnika zadanog razlomka,tj. 5 < 9. Sada ponovimo postupak s razlomkom 5

26. Budu¢i da je 5 < 26

5< 6, dobivamo

16< 5

26< 1

5i n2 = 6.

Provo�enjem ra£unskih operacija dobivamo

5

26− 1

6=

30− 26

26 · 6=

4

156=

1

39.

Dakle, na²e rje²enje je9

13=

1

2+

1

6+

1

39.

4.4. Nekoliko problema iz Rhindovog papirusa

Rhindov papirus sadrºi nekoliko "dovr²enih" problema. Oni obi£no po£inju zbrojem nekolikojedini£nih razlomaka te se traºe jedini£ni razlomci koje treba dodati da ukupni zbroj budejednak 1.

4.4.1. Metoda laºne pozicije

Primjer 4.14. (Problem 22. Rhindovog papirusa) Dopunite zbroj 23+ 1

30kako bi dobili 1.

U suvremenom zapisu ra£unanje zapo£injemo odabirom pogodnog broja N i jedini£nihrazlomaka 1

n1, . . . , 1

nkkoji zadovoljavaju sljede¢u jednadºbu(

2

3+

1

30+

1

n1

+ . . .+1

nk

)N = N.

28

Iz toga slijedi da je zbroj u zagradi koji sadrºi dva zadana razlomka jednak 1. Uzmimo da jeN = 30, jer je to zajedni£ki nazivnik danih razlomaka. Iz toga slijedi(

2

3+

1

30

)30 =

(20 + 1

30

)30 = 21,

²to je za 9 manje od ºeljenih 30. Ali(1

5+

1

10

)30 =

(6 + 3

30

)30 = 9.

Zbrajanjem te dvije jednadºbe dobivamo(2

3+

1

30+

1

5+

1

10

)30 = 30,

stoga je traºeno rje²enje2

3+

1

30+

1

5+

1

10= 1.

Velik dio Rhindova papirusa sadrºi prakti£ne probleme kao na primjer kako pravednopodijeliti neku koli£inu kruha odre�enom broju ljudi ili odre�ivanje potrebne koli£ine ºita zapravljenje piva. Ovi problemi su jednostavni jer je bilo potrebno rije²iti linearnu jednadºbus jednom nepoznanicom. Pisar Ahmes je koristio najstariji i najuniverzalniji postupak zarje²avanje linearnih jednadºbi, metodu laºne pozicije ili metodu krive pretpostavke. Metodase prvi put spominje na Rhindovom papirusu 1770. godine. U ovoj metodi pretpostavljamoda je neki po volji odabrani broj rje²enje jednadºbe. Provode¢i operacije dane u zadatkutim brojem dolazimo do saznanja koliko je puta odabrani broj ve¢i ili manji od traºenogrje²enja. Na temelju dobivenog odnosa ispravljamo po£etnu pretpostavku kako bi do²li dorje²enja zadatka.

Primjer 4.15. (Problem 24. Rhindovog papirusa) Koli£ina i njezina 17zbrajanjem daju 19.

Kolika je koli£ina?

Danas, na²im algebarskim simbolima uzimamo x za nepoznanicu traºene koli£ine, a jed-nadºba koju trebamo rije²iti je

x+x

7= 19 ili

8x

7= 19.

Pretpostavljamo da je traºena vrijednost nepoznanice x = 7 (izbor je pogodan jer je x7lako

izra£unati). Zatim ra£unamo 7 + 77= 8 umjesto traºenog 19.

Potom ra£unamo koliko je traºeni broj ve¢i ili manji od dobivene vrijednosti:

19 : 8 =19

8= 2 +

1

4+

1

8.

Traºena vrijednost x dobiva se mnoºenjem laºne pozicije 7 s 2 + 14+ 1

8.

Traºena koli£ina je

x =

(2 +

1

4+

1

8

)7.

29

Moºemo uzeti bilo koju vrijednost za nepoznanicu x, recimo x = a. Ako je a + a7= b i

bc = 19 onda x = ac zadovoljava jednadºbu x+ x7= 19 jer vidimo da je

ac+1

7ac =

(a+

a

7

)c = bc = 19.

Vidimo da su Egip¢ani poznavali, bar u osnovnom obliku, omiljenu metodu Srednjegvijeka, metodu laºne pozicije. Otkad je metoda nau£ena od Arapa, postala je vaºan dioeuropskih matemati£kih tekstova, od Fibonaccijeve knjige Liber Abaci (1202. godine) pa svedo aritmetike XVI. stolje¢a. Slijedi primjer iz Fibonaccijeve Liber Abaci.

Primjer 4.16. Neki £ovjek kupuje 7 jaja za 1 nov£i¢ te prodaje 5 jaja za 1 jedan nov£i¢,zarada mu je 19 nov£i¢a. Pitanje je: Koliko je nov£i¢a uloºio?

Algebarski ovaj problem moºemo izraziti pomo¢u jednadºbe

7x

5− x = 19.

Pretpostavimo da je x = 5, tada je

7

5· 5− 5 = 2.

Sad ra£unamo koliko je puta taj broj manji od traºene vrijednosti:

19

2= 9 +

1

2.

Traºena vrijednost je

x = 5 ·(9 +

1

2

)= 47 +

1

2.

Primijetimo da broj koji je Fibonacci odabrao za nepoznanicu nije bio proizvoljno odabran.Ako je nepoznanica razlomak, broj koji se uzima za nepoznanicu je nazivnik razlomka.

Do sad smo razmatrali metodu laºne pozicije s jednom pretpostavkom, ali postojala jevarijanta koja je zahtjevala dvije pretpostavke, ra£unaju¢i pogre²ku u svakoj. Ova metodadvostruke laºne pretpostavke, kako se nekad nazivala, obja²njena je na sljede¢i na£in.

Kako bi rije²ili jednadºbu ax+ b = 0, neka su g1 i g2 dvije pretpostavke za nepoznanicux i neka su f1 i f2 odgovaraju¢e pogre²ke, tj. ag1 + b i ag2 + b bi bilo jednako 0 ako supretpostvke to£ne. Stoga, neka je

ag1 + b = f1, (1)ag2 + b = f2. (2)

Oduzimanjem (1)− (2) imamo

a(g1 − g2) = f1 − f2. (3)

30

Mnoºenjem jednadºbe (1) sa g2 i jednadºbe (2) sa g1 imamo

ag1g2 + bg2 = f1g2, (4)ag2g1 + bg1 = f2g1. (5)

Oduzimanjem posljednje dvije jednadºbe dobivamo

b(g2 − g1) = f1g2 − f2g1. (6)

Na kraju, kako bi izrazili nepoznanicu x, podijelit ¢emo jednadºbu (6) s jednadºbom (3)kako bi dobili

− b

a=

f1g2 − f2g1f1 − f2

.

Kako je x = − ba, vrijednost traºene nepoznanice x je

x =f1g2 − f2g1f1 − f2

.

Ukratko, postavili smo dvije laºne pretpostavke za vrijednost od x kako bi dobili rje²enjejednadºbe ax + b = 0. Kako bi ova metoda bila jasnija pogledajmo kako bi tu metoduprimjenili na ve¢ rije²enom primjeru metodom laºne pozicije s jednom pretpostavkom.

Primjer 4.17. Metodom s dvije laºne pretpostavke rije²ite jednadºbu x+ x7= 19.

S desne strane jednadºbe treba biti 0, pa ovu jednadºbu napi²emo u ekvivalentnom obliku

x+x

7− 19 = 0.

Sad uzimamo dvije pretpostavke za vrijednost nepoznanice x. Neka je g1 = 7 i g2 = 14. Tadaje

7 +7

7− 19 = −11 = f1 i 14 +

14

7− 19 = −3 = f2.

Iz toga slijedi da je prava vrijednost nepoznanice x jednaka

x =f1g2 − f2g1f1 − f2

=(−11) · 7 + 3 · 14(−11)− (−3)

=133

8= 16 +

1

2+

1

8.

Koliko god se £inilo neobi£no, postoji odre�eni element jednostavnosti u ovom primitiv-nom pravilu te nije ni £udno ²to je ova metoda kori²tena £ak i krajem 19. stolje¢a.

4.4.2. Problem "Zamisli broj"

Vratimo se na Rhindov papirus, razmotrit ¢emo najraniji primjer zadatka tipa "zamisli nekibroj". U sljede¢em primjeru izrazit ¢emo Problem 22. Rhindovog papirusa i Ahmesovorje²enje zapisano dana²njim izrazima.

31

Primjer 4.18. (Problem 22. Rhindovog papirusa) Zamislite neki broj, dodajte mu 23tog

broja. Od toga zbroja oduzmite 13njegove vrijednosti i recite koliko ste dobili. Pretpostavljam

da je odgovor 10. Zatim oduzmite 110

od 10 i ostaje vam 9. To je bio broj koji ste na po£etkuzamislili.

Ako je zami²ljeni broj bio 9, onda su 23od tog broja 6. Kad zbrojimo 6 i 9 dobijemo 15.

Zatim, 13od 15 je 5. Od 15 oduzmemo 1

3od 15 i dobijemo 15− 5 = 10.

Suvremenim zapisom taj problem bi zapisali na sljede¢i na£in:(n+

2n

3

)− 1

3

(n+

2n

3

)− 1

10

[(n+

2n

3

)− 1

3

(n+

2n

3

)]= n,

gdje je n vrijednost zami²ljenog broja, u na²em slu£aju n = 9.

4.4.3. Geometrijski niz

Problem 79. Rhindovog papirusa sadrºi neobi£an skup podataka koji ukazuje na poznavanjeprvih nekoliko £lanova geometrijskog niza.

Problem 79. izgleda ovako:

1 28012 56024 11204ukupno: 190607

ku¢e 7ma£ke 49mi²evi 343snopovi 2401zrna ºita 16807ukupno: 19607

Ovaj skup podataka predlagao je mnogo ma²tovitih ideja. Neki smatraju da je ovimena simboli£an na£in dano prvih pet potencija broja 7. Na desnoj strani imamo zbrajanje7, 72, 73, 74 i 75. Na lijevoj strani zbroj istog geometrijskog niza je dan kao 7 · 2801, s tim

da se mnoºenje provodi uobi£ajenim postupkom udvostru£avanja. Kako je 2801 =75 − 1

7− 1slijedi

7 · 2801 = 7

(75 − 1

7− 1

)= 7 + 72 + 73 + 74 + 75,

a to je upravo ono ²to bi dobili ra£unaju¢i po formuli za zbroj prvih n £lanova geometrijskogniza:

Sn = a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 = arn − 1

r − 1.

Vidimo da je u pro²lom primjeru a = r = 7 i n = 5. Ne postoje konkretni dokazi da je taformula bila poznata Egip¢anima.

Vjerojatnije tuma£enje prikaza tog problema je ne²to tipa: U svakoj od 7 ku¢a je 7 ma-£aka. Svaka ma£ka ubije 7 mi²eva. Svaki mi² je pojeo 7 snopova p²enice i u svakom snopu

32

p²enice ima 7 zrna ºita. Koliko ih je sveukupno?

Otprilike 3000 godina poslije Ahmesa, isti niz potencija broja 7 pojavljuje se u Fibonac-cijevoj knjizi Liber Abaci sa sljede¢im tuma£enjem:Sedam starih ºena je putovalo u Rim. Svaka ºena je vodila 7 magaraca. Svaki magarac jenosio 7 torbi. U svakoj torbi je bilo 7 kruhova. Uz svaki kruh je bilo 7 noºeva. Svaki noº jebio u 7 omota£a. Koliki je ukupni zbroj?

Sli£no tuma£enje povezano s brojem 7 pojavljuje se u jednoj engleskoj dje£joj pjesmici,²to nam pokazuje kako se ovaj problem Rhindovog papirusa pojavljivao stolje¢ima.

Rhindov papirus zavr²ava sljede¢om molitvom, iz koje vidimo glavne brige poljoprivred-nih zajednica:

Uhvatite ²teto£ine i mi²eve, istrijebite ²tetni korov, molite se bogu Ra za toplinu, vjetar ivisok vodostaj.

33

Literatura

[1] F. M. Brückler, Povijest matematike 1, Odjel za matematiku, Sveu£ili²te J. J. Stros-smayera u Osijeku, 2007.

[2] D. Burton, The History od Mathematics: An Introduction, Sixth Edition, The McGraw-Hill Companies, 2007.

[3] D. Jankov, Egipatski razlomci, Osje£ki matemati£ki list 11 (2011), 11-18.

[4] A. Jon£i¢, Elementi egipatske kulture, Nova Akropola, broj 3http://nova-akropola.hr/kultura/kulture-i-civilizacije-elementi-

egipatske-kulture/

[5] B. �aja, Pisma kroz civilizacije, Nova Akropola, broj 16http://nova-akropola.hr/kultura/povijest-pisma-kroz-civilizacije/

[6] Kako su stari narodi zapisivali brojevehttp://element.hr/artikli/file/926

[7] Stari vek-egipatska civilizacijahttp://www.dgt.uns.ac.rs/download/istrazgeo3v.pdf

[8] http://hr.wikipedia.org/wiki/Drevni_Egipat

[9] http://sh.wikipedia.org/wiki/Staroegipatska_matematika

[10] http://tragovima.blogger.ba/arhiva/2010/03/06/2448431

[11] http://egipat.8m.net/hijeroglifi.htm

34

Saºetak

U radu se upoznajemo s egipatskom civilizacijom, njihovim pismom i aritmetikom. Napo£etku navodimo zna£ajke jedne od najranijih i najrazvijenijih civilizacija. Opisali smoiznimno velik zna£aj rijeke Nil za razvoj te civilizacije. Vidjet ¢emo da se matematikapo£ela razvijati zbog prakti£nih ljudskih potreba. Zatim smo opisali razvoj egipatskog pisma.Prvo pismo Egip¢ana bili su hijerogli� £iji su se znaci na po£etku klesali u kamen, a zatimzapisivali na papirus, ²to je dovelo do razvoja pojednostavljenog Hijeratskog pisma, a nakonnjega javlja se Demotsko pismo. Opisat ¢emo tko je i kako de²ifrirao hijeroglife. Zatimopisujemo dva najzna£ajnija povijesna izvora iz kojih saznajemo o egipatskoj aritmetici, tosu Rhindov papirus i Goleni²£evljev papirus. Zahvaljuju¢i tim izvorima vidjet ¢emo kakosu stari Egip¢ani zapisivali brojeve i koji se brojevni sustav koristili. Kroz mnoge primjere¢emo saznat kako su zbrajali, oduzimali, mnoºili i dijelili te zapisivali razlomke. Vidjet ¢emoi na koji na£in su ra£unali s razlomcima.

35

Title and summary

In this work we familiarize ourselves with the Egyptian civilization, their writing systemand arithmetics. In the beginning, we will name characteristics of one of the earliest andmost developed civilizations. We will described an extraordinarily big importance of theriver Nile for the development of this civilization. We will see that mathematics started todevelop because of the practical human needs. Then we'll describe the development of theEgyptian writing system. The �rst Egyptian script were hieroglyphs, whose signs were at thebeginning carved in stone and then written on papyrus, which brought us to the developmentof simpli�ed Hieratic script, and later to the development of Demotic script. We will describewho was the �rst one to decipher the hieroglyphs and how did he do it. Then we describe thetwo most signi�cant historical sources from which we �nd out everything about Egyptianarithmetics. Those are the Rhind Papyrus and the Golenischchev Papyrus. Thanks to thosesources we will see how the ancient Egyptians wrote numbers and what number system theyused. Through various examples we will �nd out how they added, subtracted, multiplied anddivided numbers and how they noted fractions. We will also see in what way they calculatedwith fractions.

36

�ivotopis

Mihaela Adºi¢ ro�ena je 21.09.1989. godine u Poºegi. �ivi u Mihaljevcima. Poha�alaje Osnovnu ²kolu Vladimir Nazor, Trenkovo. Nakon zavr²etka osnovne ²kole upisala jePrirodoslovno-matemati£ku Gimnaziju u Poºegi. Tijekom osnovno²kolskog i srednjo²kol-skog obrazovanja sudjelovala je na op¢inskim i ºupanijskim natjecanjima iz matematike.Godine 2008. upisuje Sveu£ili²ni nastavni£ki studij matematike i informatike na Odjelu zamatematiku u Osijeku.