Sveu£ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati£ki fakultet ... · Prikladno za studij : Primijenjena matematika, Matemati£ak statistika, Financijska i poslovna matematika Preduvjeti

Sveu£ili²te u Zagrebu

Prirodoslovno-matemati£ki fakultet

Matemati£ki odsjek

Teme diplomskih radova u akademskoj godini 2014./2015.

- Slobodne teme -

Mentor: Draºen Adamovi¢

Poluprosti prstenovi

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: svi smjerovi

Preduvjeti: poºeljno je predznanje iz kolegija Algebra

Opis: U diplomskom radu bi se prou£avali poluprosti prstenovi, poluproste algebre i nji-hovi moduli. Ovisno o a�nitetu i predznanju studenta naglasak ¢e biti dan na strukturnuteoriju, konstrukciju i klasi�kaciju tih prstenova.

Literatura:

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.T.W. Hungerford, Algebra, Springer, 1980.

1

Mentor: Nenad Antoni¢

Razlomljene derivacije i primjene

Podru£je: matemati£ka analiza, matemati£ko modeliranje u �zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima, Mjera i integral

Opis: Razlomljene derivacije se u matematici prou£avaju od devetnaestog stolje¢a, da bitek nedavno postale izvor novih modela u �zici i inºenjerskim strukama.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:

R. Hilfer (ur.): Applications of fractional calculus in physics, World Scienti�c, 2000.S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev: Fractional integrals and derivatives - Theoryand application, Gordon and Breach, 1993.K. B. Oldham, J. Spanier: The fractional calculus - Theory and applications of di�eren-tiation and integration to arbitrary order, Academic Press, 1974.

2


Degenerirana difuzija

Podru£je: parcijalne diferencijalne jednadºbe



Opis: Jednadºba provo�enja topline prototip je za paraboli£ke parcijalne diferencijalnejednadºbe. Me�utim, ponekad modeliranje realne pojave difuzije pokazuje druga svojstva,koja se mogu opisati nelinearnom jednadºbom oblika ut = divgrad(um). Za m > 1 imamosporu difuziju (jednadºbu porozne sredine), za mc < m < 1 nadkriti£nu brzu difuziju, aza m ≤ mc podkriti£nu brzu difuziju (mc = (d− 2)+/d).Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:

P. Daskalopoulos, C. E. Kenig: Degenerate di�usion, EMS, 2007.

3


Tricomijeva jednadºba




Opis: Tricomijeva jednadºba, koja mijenja tip, je jednostavan model za prijelaz iz pod-zvu£nog toka u nadzvu£ni tok �uida.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:

A. Kuz'min: Boundary-value problems for transonic �ow, Wiley, 2002.J. M. Rassias: Lecture notes on mixed type partial di�erential equations, World Scienti�c,1990.

4


Matemati£ki modeli u klimatologiji

Podru£je: matemati£ko modeliranje u geo�zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Obi£ne diferencijalne jednadºbe

Opis: Klimatologija prou£ava vremenske uvjete tijekom duljeg vremenskog perioda. Raz-li£iti klimatolo²ki modeli, temeljeni na razli£itim matemati£kim tehnikama, se koriste zaprou£avanje dinamike vremena i klimatskih sustava, s ciljem projekcija na budu¢e vre-menske uvjete.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:

H. Kaper, H. Engler: Mathematics & Climate, SIAM, 2013.A. E. Gill: Atmosphere-ocean dynamics, Academic Press, 1982.

5


Matemati£ki pristup relativisti£koj elektrodinamici

Podru£je: matemati£ko modeliranje u �zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Diferencijalna geometrija

Opis: Neki �zikalni zakoni, poput Maxwellovih jednadºbi, koje su invarijantne na Lorent-zove transformacije, tj. u skladu su s posebnom teorijom relativnosti, posebno se elegantnomogu zapisati kori²tenjem diferencijalnih formi.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:

S. Parrott: Relativistic electrodynamics and di�erential geometry, Springer, 1987.P. Bamberg, S. Sternberg: A course in mathematics for students of physics 1,2; Cam-bridge, 1988.C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler: Gravitation, Freeman, 1973.

6

Mentor: Ljiljana Aramba²i¢

Fuzijski bazni okviri

Podru£je: funkcionalna analiza

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: Poloºeni kolegiji "Normirani prostori" i "Operatori na normiranim prosto-rima".

Opis: Neka je I kona£an ili prebrojiv skup i vi ∈ R+, i ∈ I. Familija zatvorenih pot-prostora (Wi)i∈I separabilnog Hilbertovog prostora H je fuzijski bazni okvir za H sobzirom na teºine (vi) ako postoje konstante A,B > 0 tako da za sve x ∈ H vrijediA‖x‖2 ≤

∑i v

2i ‖Pi(x)‖2 ≤ B‖x‖2, pri £emu je Pi ortogonalni projektor na Wi. O£ito su

fuzijski bazni okviri generalizacija baznih okvira Hilbertovih prostora, a pokazuje se i damnoga svojstva baznih okvira imaju svoje analogone u ovoj op¢enitijoj formulaciji. Ciljdiplomskog rada je prou£iti neka od tih svojstava.

Literatura:

P.G. Casazza, The art of frame Theory, Taiwanese Journal of Math., Vol 4 (2) (2000)129-202.P.G. Casazza, G. Kutyniok, Frames of subspaces, Wavelets, frames and operator theory,Con-temp. Math., 345, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2004), 87�113.P.G. Casazza, J.C. Tremain, A brief introduction to Hilbert space frame theory and itsapplications.D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, Providence,AMS, 2007.

7

Mentor: Ljiljana Aramba²i¢

C∗-algebre



Preduvjeti: Poloºeni kolegiji "Normirani prostori" i "Operatori na normiranim prosto-rima".

Opis: C∗-algebra A je Banachova algebra na kojoj je zadano preslikavanje involucija∗ : A → A tako da za sve a ∈ A vrijedi ‖a∗a‖ = ‖a‖2. Najjednostavniji, ali i najvaº-niji, primjeri C∗-algebri vezani su za B(H), C∗-algebru ograni£enih linearnih operatorana nekom Hilbertovom prostoru. Naglasak diplomskog rada moºe biti na upoznavanjustrukture C∗-algebri, konstrukciji reprezentacija, ili na prou£avanju posebnih klasa presli-kavanja me�u C∗-algebrama kao ²to su pozitivna, potpuno pozitivna i potpuno ograni£enapreslikavanjima.

Literatura:

W. Arveson, An invitation to C∗-algebras, Springer, 1998.,K.R. Davidson, C∗-algebras by example, AMS, 1996.J. Dixmier, C∗-algebras, North-Holland, Amsterdam, 1982.G.J. Murphy, C∗-algebras and operator theory, Academic Press, London, 1990.V.I. Paulsen, Completely bounded maps and dilations, Pitman research notes in mathe-matics, 146, Longman, 1986.

8

Mentor: Damir Baki¢

Kona£ni Parsevalovi bazni okviri

Podru£je: vektorski prostori, analiza


Preduvjeti:

Opis: Kona£na familija vektora a1, a2, . . . , am je bazni okvir n-dimenzionalnog unitarnogprostora X (tipi£no, X = Rn ili X = Cn) ako postoje konstante A,B > 0 takve da vrijediA‖x‖2 ≤

∑mi=1 |〈x, ai〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀x ∈ X. Kaºe se da je bazni okvir Parsevalov ako je

A = B = 1, tj. ako vrijedi ‖x‖2 =∑m

i=1 |〈x, ai〉|2, ∀x ∈ X.U radu ¢e se najprije izloºiti osnovna svojstva baznih okvira i, posebno, Parsevalovihbaznih okvira. U drugom dijelu prikazat ¢e se i neke metode konstrukcije kona£nih Par-sevalovih baznih okvira.

Literatura:

D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, AMS, 2007.Introduction to �nite frame theory, in Finite Frames: Theory and Applications, Eds. P.G. Casazza and G. Kutyniok, Birkhäuser, 2012.P. Casazza, N. Leonhard, Classes of �nite equal norm Parseval frames, Springer, Con-temp. Math. 451 (2008) 11-31.

9

Mentor: Damir Baki¢

Bazni okviri Hilbertovih prostora


Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: Niz vektora (fn) u Hilbertovom prostoru H se naziva bazni okvir za H ako postojekonstante A,B > 0 takve da vrijedi A‖x‖2 ≤

∑∞n=1 |〈x, fn〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀x ∈ H. Ako vri-

jedi samo druga od navedenih dviju nejednakosti kaºemo da je niz (fn) Besselov. Kaºe seda je bazni okvir Parsevalov ako je A = B = 1, tj. ako vrijedi ‖x‖2 =

∑∞n=1 |〈x, fn〉|2, ∀x ∈

H.U radu ¢e se najprije izloºiti osnovna svojstva baznih okvira. U drugom dijelu iznijet¢e se neki napredniji rezultati poput perturbacijskih teorema, svojstava vi²ka i de�cita idrugih

Literatura:

D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, AMS, 2007.O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, 2002.D. Baki¢, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju)

10

Mentor: Nela Bosner

Funkcije matrica

Podru£je: numeri£ka linearna algebra, numeri£ka analiza, matemati£ka analiza

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika, Financijska iposlovna matematika

Preduvjeti: Poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2, ili Numeri£ke metode�nancijske matematike, ili Pratikum iz numeri£kih metoda u statistici

Opis: Funkcije matrica se danas na²iroko primijenjuju u znanosti i tehnici. Tema uklju-£uje teoriju matrica, numeri£ku analizu, teoriju aproksimacija i razvoj algoritama. Ovaradnja bi obuhvatila teoriju matri£nih funkcija i numeri£ke metode za njihovo ra£unanje.Tako�er bi se dao uvid u osjetljivost ovog problema baziranu na Fréchetovoj derivaciji.Za numeri£ke algoritme dala bi se analiza to£nosti, stabilnosti i sloºenosti. Posebno bise obradile neke vaºne funkcije poput: matri£ne funkcije predznaka, matri£ni kvadratnikorijen, matri£na eksponencijalna funkcija, matri£ni logaritam, i sl.

Literatura:

N. J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, SIAM.,2008.G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M. D. JohnsHopkins University Press, Baltimore, 1996.R. A. Horn and C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press,1991.

11

Mentor: Nela Bosner

To£nost i stabilnost numeri£kih algoritama

Podru£je: numeri£ka analiza, znanstveno ra£unanje

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2

Opis: Ova radnja bi trebala dati opis pona²anja raznih numeri£kih algoritama u arit-metici kona£ne preciznosti. Tema obuhva¢a algoritamske izvode, teoriju perturbacije ianalizu gre²aka zaokruºivanja. Teorija perturbacije ima centralnu ulogu jer otkriva osjet-ljivost problema koji se rje²ava i daje ograde gre²aka. U naslovu teme to£nost se odnosina apsolutnu ili relativnu gre²ku aproksimacije y veli£ine y = f(x) koju ºelimo izra£u-nati, i to ºelimo izraziti za neke vaºne algoritme. Dobivena aproksimacija je naj£e²¢edobivena primjenom algoritma u aritmetici kona£ne preciznosti. S druge strane, moºemose pitati za koje ulazne parametre smo zaista egzaktno rje²ili problem, tj. za koje ∆x jey = f(x+∆x)? Vrijednost od |∆x| (ili |∆x|/|x|) naziva se povratnom gre²kom. Proces ra-£unanja ograde na povratnu gre²ku nam je zanimljiv jer gre²ke zaokruºivanja interpretirakao perturbaciju ulaznih podataka, a gre²ku u rezultatu moºemo dobiti iz teorije pertur-bacija. Za mnoge algoritme moºemo dobiti tek slabiji izraz za gre²ku y+∆y = f(x+∆x),²to u principu zna£i da se izra£unati y malo razlikuje od izraza y + ∆y, koji se dobivaiz ulaznih podataka x + ∆x, pri £emu se oni malo razlikuju od pravih ulaznih podatakax. Takve algoritme nazivamo numeri£ki stabilnim algoritmima, i ova vrsta stabilnosti seodnosi na probleme u kojima su gre²ke zaokruºivanja dominantni oblik gre²ke. U radnjibi se razradila analiza povratnih gre²aka i stabilnosti, te teorija perturbacije za nekolikovaºnih algoritama iz numeri£ke matematike.

Literatura:

N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Second Edition, Phila-delphia, SIAM., 2002.G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M. D. JohnsHopkins University Press, Baltimore, 1996.

12

Mentor: Tina Bosner

Osnovni algoritmi rasterske gra�ke za crtanje 2D primitiva

Podru£je: ra£unarstvo i numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: po mogu¢nosti Ra£unalna gra�ka

Opis: Algortimi rasterizacije, aproksimiraju matemati£ke primitive, opisane vrhivima uKartezijevim koordinatama, skupom piksela odre�ene nijanse sive ili neke druge boje.Glavni algoritmi koji se ovdje obra�uju su �scan converting� algoritmi za pretvaranjeprimitiva u piksele i algoritmi za njihovo obrezivanje s obzirom na pravokutnik prozora.

Literatura:

J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principles andPractice, Addison�Wesley (2005)

13

Mentor: Tina Bosner

Algoritmi ubacivanja £vorova splajnova

Podru£je: numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika, Ra£unarstvo imatematika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poºeljni su i Numeri£ka analiza 1 i 2 ili Ra£unalnagra�ka

Opis: Polinomni splajnovi imaju veliku primjenu, ponajvi²e u kompjuterskoj gra�ci ipri numeri£kom rje²avanju diferencijalnih jednadºbi s rubnim uvjrtima. Zato je i bitnoimati stabilne algoritme za ra£unanje njihovih vrijednosti. Ideja ovog diplomskog radaje da se de�niraju B-splajnovi, daju neka njihova svojstva, te izvedu nekoliko algoritamabaziranih na ubacivanju £vorova i to koriste¢i polarne forme.

Literatura:

C. deBoor: B(asic)-Spline Basics, ftp://ftp.cs.wisc.edu/Approx/bsplbasic.psL. Ramshaw: Blossoms are polar forms, CAGD 6, 323�358 (1989)H. P. Seidel: A new multia�ne approach to B-splines, CAGD 6, 23�32 (1989)Knot Insertion and Deletion Algorithms for B-Spline Curves and Surfaces, R. N. Gold-man, T. Lyche, eds., Geometric Design Publications, SIAM (1993)

14

Mentor: Tina Bosner

�ebi²evljevi sustavi i splajnovi


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poºeljni su i Numeri£ka analiza 1 i 2

Opis: U primjeni postoji potreba i za drugim vrstama splajnova osim polinomnih. Usvrhu generalizacije prostora polinoma, de�niraju se �ebi²evljevi potprostori. Cilj ovogdiplomskog rada je istraºivanja svojstava �ebi²evljevih sustava i potprostora, te de�nira-nja splajnova, kao i predstavljanje nekoliko konkretnih primjera.

Literatura:

L. L. Schumaker: Spline Functions: Basic Theory, New York, John Wiley & Sons (1981)

15

Mentor: Tina Bosner

Globalno konvergentne modi�kacije Newtonove metode


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika, Financijska iposlovna matematika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poºeljni su i Numeri£ka analiza 1 i 2

Opis: U primjeni se dosta £esto pojavljuje potreba za rje²avanjem bezuvjtenih minimiza-cijiskih problema ili rje²avanjem sistema nelinearnih jednadºbi. Za oba problema koristese skoro iste numeri£ke metode, gdje je jedna od najpopulatnijih Newtonova metoda.Poznat je kao jedan od glavnih nedostataka Newtonove metode nepostojanje globalnekonvergencije, pa je cilj ovog diplomskog rada ponuditi nekoliko mogu¢ih modi�kacijaNewtonove metode kojima se taj problem rje²ava.

Literatura:

J. E. Dennis Jr., R. B. Schnabel: Numerical Methods for Unconstrained Optimizationand Nonlinear Equations, SIAM (1996), (Originally published by Prentice-Hall, Inc., En-glewood Cli�s, N.J., 1983.)

16

Mentor: Zvonimir Bujanovi¢

Implemenatacija algoritama na grafovima pomo¢u GPU

Podru£je: ra£unarstvo

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti: nema

Opis: Suvremeni gra�£ki procesori (GPU) sastoje se od vrlo velikog broja procesorskihjezgri. Takva se arhitektura, osim za osnovnu namjenu izra£unavanja i iscrtavanja trodi-menzionalne scene, moºe iskoristiti u svrhu ra£unanja op¢e namjene. Masovni paralelizamostvariv pomo¢u GPU daje potencijalno velika ubrzanja klasi£nih algoritama, od matri£-nih algoritama do algoritama na grafovima.Cilj ovog diplomskog rada je dati pregled arhitekture CUDA koja omogu¢uje ra£unanjeop¢e namjene na gra�£kim karticama tvrtke NVIDIA. Tako�er, student ¢e implementi-rati neke osnovne algoritme na grafovima koriste¢i klasi£nu CPU i CUDA tehnologiju, tenapraviti usporedbu performansi.

Literatura:

CUDA C Programming Guide, http://docs.nvidia.com/cuda/Schulz, Christian; Hasle, Geir; Brodtkorb, Andre; Hagen, Trond: GPU computing in dis-crete optimization. Part II: Survey focused on routing problems, EURO J Transp Logist,2013.Harish, Pawan; Narayanan, P.J.: Accelerating Large Graph Algorithms on the GPU UsingCUDA, High Performance Computing, 2007.

17

Mentor: Zvonimir Bujanovi¢

Numeri£ko rje²avanje linearnih matri£nih jednadºbi


Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti: poznavanje programiranja u Matlabu ili Pythonu; poºeljno: poloºen izbornimodul Teorija upravljanja

Opis: Problem rje²avanja Sylvesterove matri£ne jednadºbe sastoji se u pronalaºenju ma-triceX ∈ Rn×n takve da je AX+XB+C = 0, pri £emu su zadane matrice A,B,C ∈ Rn×n.Ova i njoj srodna Lyapunovljeva jednadºba (kod koje je B = AT ) imaju mnogo primjenau teoriji kontrole (analiza stabilnosti sustava, optimalna kontrola, . . . ). Posebno je odinteresa rje²avanje matri£nih jednadºbi kod kojih su sve uklju£ene matrice velikih dimen-zija, pri £emu su A i B rijetko popunjene, a matrica C niskog ranga.Cilj ovog diplomskog rada je dati pregled osnovnih rezultata o numeri£kom rje²avanjuovakvih jednadºbi, te napraviti usporedbu nekoliko glavnih algoritama. Implementacijaalgoritama moºe se napraviti pomo¢u Matlaba ili biblioteka numpy/scipy u Pythonu.

Literatura:

Datta, Biswa Nath: Numerical Methods for Linear Control Systems, Elsevier AcademicPress, 2004.Saak, Jens: E�cient Numerical Solution of Large Scale Algebraic Matrix Equations inPDE Control and Model Order Reduction, PhD thesis, 2009.Bini, Dario; Iannazzo, Bruno; Meini, Beatrice: Numerical Solution of Algebraic RiccatiEquations, SIAM, 2012.

18

Mentor: Zvonko �erin

Teorija oblika

Podru£je: topologija

Prikladno za studij: Teorijska matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje kolegija Metri£ki prostori i Uvod u topologiju

Opis: K. Borsuk je u pro²lom stolje¢u pro²irio teoriju homotopije de�nirav²i teoriju oblikaza kompaktne metri£ke prostore i zapo£eo s izgradnjom teorije koja ima mno²tvo vaºnihi lijepih rezultata. Uveo je klase pokretljivih i snaºno pokretljivih kompakata koji imajuizvjesnu analogiju s apsolutnim okolinskim retraktima. Kasnije je T. Chapman povezaoteoriju oblika s beskona£no-dimenzionalnom topologijom.

Literatura:

1. K. Borsuk,Theory of Shape, PWN, Warszawa 1975.2. S. Marde²i¢, J. Segal,Shape Theory - An inverse limit approach, North-Holland, Ams-terdam 1982.

19


Beskona£no-dimenzionalna topologija

Podru£je: topologija


Preduvjeti: Poºeljno predznanje kolegija Metri£ki prostori i Uvod u topologiju

Opis: R. D. Anderson je u pro²lom stolje¢u zapo£eo s izgradnjom teorije koja imamno²tvo vaºnih i lijepih rezultata. Prvi je otkrio da beskona£no-dimenzionalni prostoripoput Hilbertove kocke Q posjeduju iznene�uju¢e jednostavniju strukturu od kona£no-dimenzionalnih kocki. Na primjer, Q je homogen prostor. Dokazao je i homeomorfnostHilbertovog prostora kvadratno sumabilnih nizova realnih brojeva s prebrojivim beskona£-nom produktom pravaca. Poslije je T. A. Chapman promatrao mnogostrukosti modeliranena Q i pokazao da su to zapravo produkti poliedara s Q.

Literatura:

1. C. Bessaga, A. Peªczy«ski,Selected topics in in�nite-dimensional topology, PWN, War-szawa 1975.2. T. A. Chapman,Lectures on Hilbert cube manifolds, CBMS 28, Providence 1975.3. J. van Mill,In�nite-dimensional Topology, Prerequisites and Introduction, North-Holland,Amsterdam 1989.

20


Geometrija trokuta ra£unalom

Podru£je: geometrija


Preduvjeti: Poºeljno predznanje kolegija Elementarna Matematika

Opis: Trokute su prou£avali ve¢ i stari Grci a danas kada moºemo koristiti pomo¢ ra£u-nala istraºivanja trokuta doºivljava novi procvat. On se najbolje vidi na Web stranicama£asopisa Forum Geometricorum. Veliku pomo¢ pruºaju i novi programi kao Cabri iliSketchpad za dinami£ku geometriju.

Literatura:

1. Clark Kimberling, Triangle centers and center triangles, Utilitas Mathematica, 1998.2. Abraham A. Ungar, Hyperbolic Triangle Centers: The Special Relativistic Approach,Springer 2010.

21


Fibonaccijevi brojevi

Podru£je: teorija brojeva


Preduvjeti: Poºeljno predznanje kolegija Elementarna teorija brojeva ili Diskretna Ma-tematika

Opis: Jo² u srednjem vijeku je Fibonacci uveo brojeve koji £ine slijed 0, 1,1,2,3,5,8,13,...koji se gradi tako da je svaki suma prethodna dva. Ti brojevi imaju mnoga lijepa svoj-stva i predmet su istraºivanja mnogih znanstvenika a pojavljuju se u raznim dijelovimamatematike i znanosti.

Literatura:

1. R. A. Dunlap, The golden ratio and Fibonacci numbers, World Scienti�c, 1997.2. Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, The fabulous Fibonacci numbers, Promet-heus Books, 2007.3. Nicolai N. Vorobiev, Fibonacci numbers, Birkhäuser, 2002.

22

Mentor: Tomislav Do²li¢

Dominacijski polinomi lan£astih grafova

Podru£je: kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis: Skup vrhova D grafa G je dominiraju¢i skup u grafu G ako svaki vrh od G kojinije u D ima barem jednog susjeda u D. Dominacijski polinom grafa G je polinom £ijikoe�cijent uz xk je broj dominiraju¢ih skupova u G kardinalnosti k. U radu bi trebaloodrediti dominacijske polinome za razne klase lan£astih grafova.

Literatura:

D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika

23


Vaºnost i zalihost bridova u grafovima

Podru£je: teorija grafova, kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis: Sparivanje u grafu G je skupM bridova od G takav da je svaki vrh iz G incidentans najvi²e jednim bridom izM . SparivanjeM je savr²eno ako je svaki vrh iz G incidentan sto£no jednim bridom iz M . Vaºnost brida e je broj savr²enih sparivanja od G koja sadrºee; zalihost od e je broj savr²enih sparivanja koja ne sadrºe e. U radu bi trebalo odreditivaºnost i zalihost bridova u nekim klasama grafova.

Literatura:


24


Tutteov polinom

Podru£je: teorija grafova, kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis: Tutteov polinom je jedna od najvaºnijih graf-teoreti£kih invarijanata koja kodiramno²tvo informacija o grafu. Cilj rada bi bio eksplicitno izra£unati Tutteove polinome zaklase grafova koje opisuju linearne polimere male povezanosti.

Literatura:


25

Mentor: Alan Filipin Suvoditelj: Andrej Dujella

Linearne forme u logaritmima i binarno rekurzivni nizovi



Preduvjeti: Poloºen kolegij Teorija brojeva ili Elementarna teorija brojeva

Opis: U ovom diplomskom radu odbradit ¢e se primjena Bakerove teorije linearnih formiu logaritmima na traºenje presjeka binarno rekurzivnih nizova te na jo² neke sli£ne pro-bleme.

Literatura:

H. Cohen, Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer-Verlag,Berlin, 2007.H. Cohen, Number Theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer- Verlag,Berlin, 2007.A. Baker, G. Wüstholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, 2008.

26

Mentor: Alan Filipin Suvoditelj: Andrej Dujella

Linearne forme u logaritmima i posljednji Fermatov teorem



Preduvjeti: Poloºen kolegij Teorija brojeva ili Elementarna teorija brojeva

Opis: U ovom diplmoskom radu obradit ¢e se primjena Bakerove teorije linearnih formi ulogaritmima na rje²avanje posljednjeg Fermatovog teorema u posebnom slu£aju. Tako�er¢e se dati i povijesni prikaz problema.

Literatura:

H. Cohen, Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer-Verlag,Berlin, 2007.H. Cohen, Number Theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer- Verlag,Berlin, 2007.A. Baker, G. Wüstholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, 2008.

27

Mentor: Boris Gulja²

Kompaktni operatori u Banachovim prostorima

Podru£je: funkcionalna analiza, teorija operatora

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normira-nim prostorima, Metri£ki prostori

Opis: Kompaktni operatori na Banachovim prostorima su operatori koji preslikavajuograni£ene skupove u predkompaktne skupove, tj. skupove £iji zatvara£ je kompaktanskup. Oni su uniformni limesi operatora kona£nog ranga i po svojstvima su najsli£nijioperatorima na vektorskim prostorima kona£ne dimenzije.Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora i struktura koje oni tvore. Tako�er seplanira obraditi neke njihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd edition, Springer, New York,1980.Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

28


Nuklearni operatori




Opis: Nuklearni operatori ili operatori s tragom su podskup skupa kompaktnih operatorana Hilbertovom prostoru X. Svaki kompaktan operator A : H → H ima prikaz oblika

Ax =∞∑n=1

λn(x|un)en,∀x ∈ H,

gdje su (un)n i (en)n ortogonalni nizovi vektora, ∀n ∈ N, λn ≥ 0 i λn → 0. Operator jenuklearan ako vrijedi

∑∞n=1 λn <∞.

U bilo kojoj ortonormiranoj bazi mogu¢e je de�nirati (kona£an) trag operatora kao tragpripadne (beskona£ne) matrice i on je neovisan o izboru baze. Na skupu svih nuklearnihoperatora de�nira se norma tako da je on zatvara£ u toj normi skupa svih operatora ko-na£nog ranga.Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora, struktura koje oni tvore i obraditi nekenjihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Simon B., Trace ideals and their applications, Second Edition, Amer. Math. Soc., 2005,Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

29


Zatvoreni operatori




Opis: Linearan operator A : D(A) → Y , D(A) ⊆ X, je zatvoren operator ako je njegovgraf Γ(A) = {(x,Ax)|x ∈ X} ⊆ X × Y zatvoren potprostor u X × Y , gdje su X, YBanachovi prostori. Zatvorni operatori predstavljaju prirodnu generalizaciju ograni£e-nih linearnih operatora na beskona£no-dimenzionalnim Banachovim prostorima. Zbogteorema o zatvorenom grafu, ako je operator A neograni£en onda je nuºno D(A) 6= X.Cilj rada je prou£iti koje teoreme iz teorije ograni£enih linearnih operatora je mogu¢epro²iriti na zatvorene operatore.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

30


Spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore




Opis: Spektralni teoremi predstavljaju poop¢enja rezultata iz kona£no dimenzionalnihvektorskih prostora koji se odnose na dijagonalizaciju odgovaraju¢ih klasa operatora uortonormiranim bazama. U slu£aju beskona£no dimenzionalnih Hilbertovih prostora radise o egzistenciji tzv. dekompozicije jedinice ili spektralne funkcije za operator A, tj. fami-lije ortogonalnig projektora {Eλ;λ ∈ K}, gdje je K = R u slu£aju hermitskih operatora iK = C u slu£aju normalnih operatora. Tada je mogu¢ prikaz operatora u obliku

A =

∫KλdEλ.

Cilj rada je dokazati spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore i opisati nekenjegove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza - Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963,Rudin Walter, Functional analysisn, McGraw-Hill Book Company, 1973.

31

Mentor: Marcela Hanzer

Lokalna polja i prsten adela

Podru£je: algebarska teorija brojeva


Preduvjeti: Poloºeni kolegij Algebarske strukture; poºeljno je da je poloºen i kolegijAlgebra

Opis: Upotpunjenja polja Q, i op¢enitije, upotpunjenja kona£nih pro²irenja polja Qobzirom na nearhimedsku metriku (tzv. p-adski brojevi) su od velikog interesa ne samoza algebarsku teoriju brojeva, ve¢ i za teoriju reprezentacija, automorfnih formi i mnogadruga podru£ja suvremene matematike. U klasi£noj teoriji brojeva, polje algebarskihbrojeva (kona£no algebarsko pro²irenje polja Q) se ulaºe u produkt svojih arhimedskihupotpunjenja, tj. u Euklidov prostor. Me�utim, jo² od radova Chevalleya i Weila, postaloje jasno da je za mno²tvo primjena mnogo prirodnije gledati sva upotpunjenja odjednom, ina takvom objektu promatrati neku prirodnu topologiju. Tako su formirani prsten adelai ideli. �esto se informacije o Q (odnosno njegovim kona£nim pro²irenjima) i²£itavajuiz informacija dobijenih iz adeli£ke slike. Cilj diplomskog rada bi bilo davanje osnovnihstrukturnih £injenica i teorema o p�adskim poljima (prsteni s diskretnom valuacijiom,Dedekindove domene), a s druge strane uo£avanje da su takva p�adska polja, zajednos R iC jedina nediskretna lokalno kompaktna polja, ²to omogu¢ava primjenu klasi£neharmonijske analize. Tako�er, trebala bi se dati de�nicija adela i idela i prou£iti njihovaosnovna svojstva.

Literatura:

Lang, Algebraic number theory, Springer 1994.Weil, Basic number theory, Springer 1995.Cassels, Fröhlich, Algebraic number theory, Academic Press Inc, 1986.Serre, A course in Arithmetic, Springer 1973.

32

Mentor: Marcela Hanzer

Teorija reprezentacija kona£nih grupa; Artinov teorem

Podru£je: teorija reprezentacija


Preduvjeti: poloºen kolegij Algebarske strukture

Opis: Reprezentacije kona£nih grupa su vrlo zna£ajne za primjene u �zici ili kvantnojkemiji, a u matematici su, zajedno s klasi£nom harmonijskom analizom, ishodi²na to£ka urazvoju teorije reprezentacija i drugih klasa grupa, npr. algebarskih. U radu bi se trebaodati osvrt na osnove teorije reprezentacija kona£nih grupa, teoriju karaktera i osnovnekoncepte (sume, tenzorski produkti, induciranje) uz analizu nekoliko primjera konkretnihgrupa. U radu bi se trebali dokazati Artinov i Brauerov teorem, koji imaju zna£ajnuulogu u primjeni teorije reprezentacija, npr. u prou£avanju L-funkcija.

Literatura:

Serre, Linear representations of �nite groups, Springer 1977.Curtis, Reiner, Representation theory of �nite groups and associative algebras, Wiley,1962.

33

Mentor: Vjeran Hari

Jacobijeva metoda za kompleksne hermitske matrice

Podru£je: linearna algebra, teorija matrica, dijagonalizacijski algoritmi


Preduvjeti: Poloºen kolegij Vektorski prostori

Opis: U radu bi izvela i implementirala Jacobijeva metoda za kompleksne hermitskematrice. Pored kompleksnog algoritma izveo bi se i realan algoritam prema £lanku izpopisa literature. Programi bi se napisali u MATLABu i FORTRANu. Algoritmi bi seusporedili po brzini i to£nosti. U prvom dijelu radnje izveli bi se svi potrebni teorijskirezultati.

Literatura:

Park H., Hari V.: A Real Algorithm for the Hermitian Eigenvalue Decomposition. BIT33 (1993) 158�171B. N. Parlett, The Symmetric Eigenvalue Problem. SIAM, Philadelphia, 1998 (This SIAMedition is an unabridged, corrected reproduction of the work published by Prentice-Hall,Inc., Englewood Clifs, NJ, 1980.)

34

Mentor: Vjeran Hari

CS dekompozicija ortogonalnih matrica

Podru£je: linearna algebra, teorija matrica



Opis: Rad bi bio baziran na dolje spomenutim £lancima kao i na jednom novom £lanku upripremi. Prou£avala bi se e�kasnost i relativna to£nost algoritama na manjim matricamado reda 128. Cilj je prona¢i najoptimalniji algoritam po brzini i to£nosti. Primjena leºiubrzavanju jednostranog blok Jacobijevog algoritma za ra£unanje singularne dekompozi-cije. Algoritmi bi se implementirali u MATLABu i FORTRANu.

Literatura:

Stewart G.W.: Computing the CS decomposition of a partitioned orthogonal matrix. Nu-mer. Math., 40 (1982), 297�306Van Loan C.: Computing the CS and the Generalized Singular Value Decompositions.Numer. Math., 46 (1985), 279�491Sutton B. D.: Computing the complete CS decomposition. Numer. Algorithms. 50(1)(2009), 33�65

35

Mentor: Vjeran Hari

CS dekompozicija unitarnih matrica

Podru£je: linearna algebra, teorija matrica



Opis: Rad bi bio baziran na dolje spomenutim £lancima kao i na jednom novom £lankuu pripremi. Prou£avala bi se e�kasnost i relativna to£nost kompleksnih algoritama namanjim unitarnim matricama do reda 128. Cilj je prona¢i najoptimalniji algoritam pobrzini i to£nosti. Primjena leºi ubrzavanju jednostranog blok Jacobijevog algoritma zara£unanje singularne dekompozicije kompleksnih matrica. Algoritmi bi se implementiraliu MATLABu i FORTRANu.

Literatura:

Stewart G.W.: Computing the CS decomposition of a partitioned orthogonal matrix. Nu-mer. Math., 40 (1982), 297�306Van Loan C.: Computing the CS and the Generalized Singular Value Decompositions.Numer. Math., 46 (1985), 279�491Sutton B. D.: Computing the complete CS decomposition. Numer. Algorithms. 50(1)(2009), 33�65

36

Mentor: Dijana Ili²evi¢

Hahn-Banachov teorem


Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika

Preduvjeti: kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima

Opis: Hahn-Banachov teorem predstavlja jedan od temelja funkcionalne analize. Njegovaklasi£na verzija se odnosi na pro²irenje linearnih funkcionala. Zadatak ovog diplomskograda je predstaviti nekoliko formulacija Hahn-Banachovog teorema i pristupa njegovomdokazu.

Literatura:

S. K. Berberian, Lectures in functional analysis and operator theory, Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg, 1974.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, �kolska knjiga, Zagreb, 1990.

37

Mentor: Dijana Ili²evi¢

Konvergencija niza operatora

Podru£je: teorija operatora


Preduvjeti: kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima

Opis: Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem. Niz (An) operatora iz L(X, Y )konvergira operatoru A0 ∈ L(X, Y ):

(a) uniformno ako ‖An − A0‖ → 0,

(b) jako ako |Anx− A0x| → 0 za svaki x ∈ X,

(c) slabo ako y∗(Anx)→ y∗(A0x) za svaki x ∈ X i svaki y∗ ∈ Y ∗.

Zadatak ovog diplomskog rada je prou£iti uniformnu, jaku i slabu konvergenciju nizaoperatora.

Literatura:

T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-NewYork, 1966.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, �kolska knjiga, Zagreb, 1990.

38

Mentor: Mladen Jurak

Prodor morske vode u priobalne vodonosnike. Matemati£kimodeli

Podru£je: primijenjena matematika i matemati£ko modeliranje

Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Preduvjeti: Matemti£ki modeli transporta kroz poroznu sredinu I

Opis: Potrebno je razviti razli£ite modele intruzije morske vode u priobalne akvifere:model s o²trom granicom i mje²ivi model s varijabilnom gusto¢om. Na¢i tipi£na egzaktnarje²enja i simulirati u Dumux-u neke standardne zada¢e.

Literatura:

1. J. Bear, A.H.-D. Cheng: Modeling Groundwater Flow and Contaminant Transport,Springer, 2010.2. Z. Chen, G. Huan, Y. Ma: Computational Methods for Multiphase Flows in PorousMedia, SIAM 2006.3. http://www.dune-project.org/index.html

39


Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata

Podru£je: primijenjena i numeri£ka matematika.

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo

Preduvjeti:

Opis: Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata je vrlo �eksibilan na£in diskretizacijeparcijalnih diferencijalnih jednadºbi koji se intenzivno razvija zadnjih dva desetlje¢a. Uovom radu je potrebno prou£iti osnovne metode diskretizacije za elipti£ke i paraboli£kejednadºbe prema knjizi B. Rivière. Zatim je potrebno implementirati metodu u dune-pdelab paketu (vidi Dune web-stranicu) i testirati e�kasnost i robusnost metode. Zaimplementaciju je potrebno dobro poznavanje jezika C++.

Literatura:

Béatrice Rivière, Discontinuous Galerkin Methods For Solving Elliptic And parabolic Equ-ations: Theory and Implementation (Frontiers in Applied Mathematics) SIAM, 2008.DUNE web-stranica: http://www.dune-project.org.

40


Izvod Darcyjevog zakona u periodi£noj poroznoj sredini

Podru£je: primijenjena matematika i matemati£ko modeliranje


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe I i II

Opis: Potrebno je strogo izvesti Darcyjev zakon metodom matemati£ke homogenizacijeiz Stokesovih jednadºbi. Porebno je opisati metodu homogenizacije, dvoskalne konvergen-cije te teoriju egzistencije i jedinstvenosti Stokesove zada¢e. U izvodu modela sluºiti sereferencom [1].

Literatura:

1. G. Allaire: One-Phase Newtonian Flow, poglavlje 3 u U. Hornung ed., Homogenizationand porous media, Springer 1997.2. Z. Chen, G. Huan, Y. Ma: Computational Methods for Multiphase Flows in PorousMedia, SIAM 2006.3. V. Girault, P.-A. Raviart, Finite Element Method for Navier-Stokes Equations, Sprin-ger, 1986.

41


Galerkinova metoda za paraboli£ku parcijalnu diferencijalnujednadºbu

Podru£je: primijenjena matematika i matemati£ka analiza


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe I i II

Opis: Potrebno je dokazati teorem egzistencije i jedinstvenosti slabog rje²enje za linearnuparaboli£ku inicijalnu rubnu zada¢u Galerkinovom metodom. Zatim je potrebno pro²iritikori²tenu metodu na klasu nelinearnih paraboli£kih PDJ. Potrebno je uvesti evolucijskeSoboljevljeve prostore.

Literatura:

1. L. Lions, R. Dautray: Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science andTechnology: vol 6., Springer, 1985.

42

Mentor: Matija Kazalicki

Magi£ne kocke i 3-adska zeta funkcija

Podru£je: teorija brojeva i kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis: Cilj ovog diplomskog je istraºiti (neo£ekivanu) vezu izme�u konstrukcija (vi²edimenzionalnih) magi£nih kvadrata i p-adskih zeta funkcija. Tu vezu je prvo uo£io Adleru svojim £lancima.

Literatura:

A. Adler, Magic Cubes and the 3-adic Zeta Function, The Mathematical IntelligencerSummer 1992, Volume 14, Issue 3, pp 14-23A. Adler, L.C. Washington, p-Adic L-Functions and Higher Dimensional Magic Cubes,Journal of Number Theory, 52, 179-197 (1995)

43

Mentor: Matija Kazalicki

Problem broja klasa

Podru£je: algebarska teorija brojeva i modularne funkcije


Preduvjeti: nema

Opis: Problem broja klasa je slavan problem koji je postavio Gauss. Treba odreditisva kvadratno imaginarna polja s brojem klasa 1. Problem je rije²io Heegner (1952), alinjegov dokaz nije bio prihva¢en sve do 1969 (naºalost Heegner to nije doºivio). Cilj ovogdiplomskog je izloºiti Heegnerov dokaz koji koristi modularne funkcije i teoriju komplek-snog mnoºenja.

Literatura:

D.A. Cox, Primes of the form x2 + ny2, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley &Sons, Inc., New York, 1989.

44

Mentor: Vedran Kr£adinac

Kleinova kvadrika

Podru£je: projektivna geometrija


Preduvjeti: Poloºen kolegij Projektivna geometrija.

Opis: Kleinova kvadrika je nedegenerirana hiperboli£ka kvadrika u 5-dimenzionalnomprojektivnom prostoru. U ovom diplomskom radu uvest ¢e se Plückerove koordinate, us-postaviti izomor�zam izme�u Kleinove kvadrike i 3-dimenzionalnog projektivnog prostorai dokazati jo² neka svojstva Kleinove kvadrike.

Literatura:

1. A. Beutelspacher, U. Rosenbaum, Projective geometry: From foundations to applicati-ons, Cambridge University Press, 1998.

45

Mentor: Vedran Kr£adinac

Kona£ne inverzijske ravnine

Podru£je: geometrija, kombinatorika


Preduvjeti: Poloºen kolegij Kona£ne geometrije.

Opis: Kona£ne inverzijske ravnine mogu se de�nirati kao dizajni s parametrima 3-(n2 +1, n, 1). U ovom diplomskom obradit ¢e se osnovni rezultati o kona£nim inverzijskimravninama prema knjigama navedenim u literaturi.

Literatura:

A. Beutelspacher, Einführung in die endliche Geometrie II, Bibliographisches Institut,Zürich, 1983.P. Dembowski, Finite geometries, Springer, 1968.

46

Mentor: Martin Lazar Suvoditelj: Nenad Antoni¢

Upravljanje i opaºajnost diferencijalnih jednadºbi

Podru£je: matemati£ka analiza, parcijalne diferencijalne jednadºbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Teorija upravljanja diferencijalnih jednadºbi (Control Theory) predstavlja inten-zivno podru£je istraºivanja zadnjih nekoliko desetlje¢a sa ²irokom mogu£no²¢u primjene.Osnovni zadatak teorije moºe se ukratko prikazati na sljede¢i na£in: za dani evolucijskisustav na¢i upravlja£ku funkciju (Control) koja ¢e ga u kona£nom vremenu dovesti u pro-izvoljno, ºeljeno stanje. Pokazuje se da pitanje egzistencije i na£ina izbora takve funkcijeima svoj dualni problem u teoriji opaºajnosti (Observability Theory), koja energiju sus-tava procjenjuje na osnovu vrijednosti rje²enja na odgovaraju¢oj poddomeni.Kroz izradu rada student bi trebao usvojiti pojmove upravljanja i opaºajnosti, njihovaosnovna svojstva, te pokazati njihovu ekvivalenciju. Pri tom bi se analiza radila na odre-�enom model-sustavu koji ¢e biti izabran u dogovoru sa samim studentom (npr. sustavuODJ-a, ili sustavu valnih jednadºbi). Posebna pozornost zatim bi se obratila na odgovara-ju¢i rezultat usrednjenog upravljanja (Averaged Control), koje predstavlja potpuno novugranu unutar teorije upravljanja. Namjesto upravljanja svih komponenti sustava, ona is-pituje mogu¢nosti kojima se u ºeljeno stanje moºe dovesti njihova usrednjena vrijednost.Na taj na£in student ¢e se upoznati s recentnim rezultatima i smjerovima istraºivanja oveperspektivne teorije.

Literatura:

Martin Lazar, Enrique Zuazua: Averaged control and observation of parameter-dependingwave equations, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 352 (2014) 497�502.J.-L. Lions: Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems,SIAM Rev. 30 (1988) 1-68.Enrique Zuazua: Controllability and Observability of Partial Di�erential Equations: Someresults and open problems u Handbook of Di�erential Equations: Evolutionary Di�erentialEquations, 3, pp. 527-621, C. M. Dafermos i E. Feireisl ur., Elsevier Science, 2007.

47


H-mjere

Podru£je: matemati£ka analiza, parcijalne diferencijalne jednadºbe


Preduvjeti:

Opis: H-mjere su vrsta (mikrolokalnih) defektnih alata, te kao takve mjere odstupanjeslabe od jake konvergencije. Posebno, poku²avaju dati odgovor na pitanje da li slabo ko-nvergentan niz L2 funkcija konvergira i jako. Svoju primjenu su na²le u brojnim granamamatematike: teoriji homogenizacije, brzinskog usrednjenja, upravljivosti, te u poop¢enjuteorije kompenzirane kompaktnosti s diferencijalnih jednadºbi s konstantnim koe�cijen-tima na varijabilne koe�cijente.Cilj je opisati H-mjere, dati pregled njihovih osnovnih svojstava, te nekih primjena u te-oriji parcijalnih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

Luc Tartar: The general theory of homogenization: A personalized introduction, Springer,2009.Gilles A. Francfort: An introduction to H-measures and their applications u Variationalproblems in materials science, pp. 85�110, Progress in Nonlinear Di�erential Equationsand their Applications 68, Birkhäuser, 2006.Patrick Gérard: Microlocal defect measures, Communications in Partial Di�erential Equ-ations 16 (1991) 1761�1794.

48


Slabe konvergencije u Banachovim prostorima

Podru£je: funkcionalna analiza, parcijalne diferencijalne jednadºbe


Preduvjeti:

Opis: U teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadºbi niz prou£avanih funkcija (rje²enjapromatranih zada¢a) £esto ne konvergira jako u odgovaraju¢em funkcijskom prostoru.Me�utim ome�enost tog niza u istom prostoru ipak omogu¢uje prijelaz na slabi ili slabo∗ limes, koji u slu£aju linearnih zada¢a predstavlja pripadno homogenizacijsko rje²enje.Cilj je dati prikaz slabih topologija u Banachovim prostorima, njihova svojstava, kao inekih primjena u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

Haïm Brezis: Analyse fonctionnelle, Masson, 1983.Lawrence C. Evans: Weak convergence methods for partial di�erential equations, AmericanMathematical Society, 1990.

49


Fourierova pretvorba na S ′



Preduvjeti:

Opis: Fourierova pretvorba funkcije zadana je formulom

f(ξ) =

∫Rd

e−2πix·ξf(x)dx .

Pokazuje se da formula ima smisla samo za integrabilne, L1 funkcije. Me�utim, u praksi sejavlja potreba njene primjene na mnogo ²iru klasu funkcija, odnosno poop¢enih funkcijaili distribucija, poput Diracove mjere. U radu bi se opisao na£in na koji se Fourierovapretvorba de�nira na prostoru temperiranih distribucija S ′ (dual Schwartzovog prostorabrzoopadaju¢ih funkcija), dao prikaz njenih svojstava i dopu²tenih operacija, kao i nekihprimjena u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

Elliot H. Lieb, Michael Loss: Analysis, American Mathematical Society, 1996.Xavier Saint-Raymond: Elementary introduction to the theory of pseudodi�erential ope-rators, CRC Press, 1991.Christopher D. Sogge: Fourier Integrals in Classical Analysis, Cambridge UniversityPress, 2008.

50

Mentor: Eduard Maru²i¢-Paloka

Matemati£ko modeliranje puha£kih instrumenata

Podru£je: Primijenjena matematika

Prikladno za studij:

Preduvjeti: Matemati£ka analiza 1 i 2 ili Dir 1

Opis: Izvod jednostavnih matemati£kih modela za puha£ke instrumente i analiza dobi-venih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

Literatura: N.H.Fletcher, T.D.Rossing, The physics of musical instruments, Springer,1998.

51


Primjeri egzaktnih rje²enja Navier-Stokesovih jednadºbi

Podru£je: Primijenjena matametika


Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 ili Dir 2 i Primijenjene metemati£ka analiza

Opis: Navier-Stokesov sustav opisuje gibanje viskoznog �uida i rijetko se kada moºe ana-liti£ki rije²iti. Cilj ovog rada je dati pregled nekoliko klasi£nih primjera kod kojih nam jepoznato egzaktno rje²enje.

Literatura:

P.Drazin, N.Riley, The Navier-Stokes equations. A classi�cation of �ows and exact so-lutions, London mathematical society lecture notes series No 334, Cambridge universitypress, 2006.

52


Topolo²ki stupanj

Podru£je: Matemati£ka analiza


Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 ili Dir 2 i Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: De�nicija i osnovni pojmovi vezani uz topolo²ki (Brouwerov) stupanj glatkog pres-likavanja te neke primjene na rje²ivost nelinearnih jednadºbi.

Literatura:

Literatura: D.Mitrovi¢, D.�ubrini¢, Fundamentals of applied functional analysis, PitmanMonographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, Vol. 91, Addison WesleyLongman, Harlow, 1998.

53


Idealni nestla£ivi �uid



Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 i 4 ili Dir 2 i Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Osnovni pojmovi. Eulerove jednadºbe. Potencijalni bezvrtloºni tok. TeoremKutta-�ukovskog. D'Alambertov paradox.

Literatura:

C.Malchioro, M.Pulvirenti, Mathematical theory of incompressible nonviscous �uids, Sprin-ger, 1994.A.J.Chorin, J.E.Marsden, A mathematical introduction to �uid mechanics, Springer,2000.

54

Mentor: Jadranka Mi¢i¢ Hot Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Pdf kalkulator

Podru£je: primjena ra£unala u nastavi matematike

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji

Preduvjeti:

Opis: U nastavi na tehni£kim fakultetima vaºno je razvijati e-u£enje. U skladu s tim,potrebno je razvijati suvremene alate u nastavi matematike, posebice na prvoj godini,kada nastavu slu²a izmedju 500 i 1000 studenata. Studente treba zainteresirati za u£enjepruºaju¢i im moderne i vizualne alate za u£enje.Cilj diplomskog rada je izraditi pdf kalkulator za rje²avanje zadataka kolegija Matematikena tehni£kim fakultetima. Fond zadataka i sadrºaj bit ¢e izabran iz nastavnih materijalai ispita koji se nalaze na web stranici Katedre za matematiku Fakultetu strojarstva i bro-dogradnje i drugih srodnih fakulteta.

Literatura:

1) http://tex.stackexchange.com/questions/75981/pdftex-and-javascript-forms-

with-automatic-calculations

2) https://acrobatusers.com/tutorials/print/how-to-do-not-so-simple-form-

calculations

3) http://www.fsb.unizg.hr/matematika/materijali/

55

Mentor: Boris Muha

Slaba rje²enja Navier-Stokesovih jednadºbi



Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe I, II, Normirani prostori, Mjera i integral

Opis: Navier-Stokesove jednadºbe opisuju tok inkompresibilnog, viskoznog �uida. Ciljradnje bio bi formulirati inicijalno-rubnu zada¢u za Navier-Stokesove jednadºbe, te doka-zati egzistenciju slabih rje²enja za promatran sustav.

Literatura:

R.Temam, Navier-Stokes equations. Theory and Numerical Analysis, North-Holland,1977.

56

Mentor: Boris Muha

Kompaktni skupovi u Lp(0, T ;B) prostorima



Preduvjeti: Normirani prostori, Mjera i intergral

Opis: Cilj radnje je dokazati neke kriterije kompaktnosti u Lp(0, T ;B) prostorima, pri£emu je B Banachov prostor.

Literatura:

Roubi£ek, T. Nonlinear Partial Di�erential Equations with Applications (2nd ed.), Basel:Birkhäuser, 2013.Simon, J. Compact sets in the space Lp(O, T ;B), Annali di Matematica Pura ed Applicata146. pp. 65-96 1986.

57

Mentor: Boris Muha

Numeri£ko rje²avanje Navier-Stokesovih jednadºbi

Podru£je: numeri£ka analiza, parcijalne diferencijalne jednadºbe


Preduvjeti: Numeri£ka analiza, Parcijalne diferencijalne jednadºbe

Opis: Cilj radnje je formulirati metodu kona£nih elemenata za numeri£ko rje²avanjeinkompresibilnih Navier-Stokesovih jednadºbi, te dokazati stabilnost i konvergenciju oda-brane metode. Odabranu metodu treba implementirati i primijeniti na konkretne pri-mjere.

Literatura:

V. Girault and P.-A. Raviart, Finite element methods for Navier-Stokes equations, Springer-Verlag, Berlin, 1986R.Temam, Navier-Stokes equations. Theory and Numerical Analysis, North-Holland,1977.

58

Mentor: Boris Muha

Lie-Trotterova produktna formula

Podru£je: funckionalna analiza


Preduvjeti: Normirani prostori

Opis: Cilj radnje je dokazati generalizaciju Lie-ove produktne formule za matrice:

eA+B = limN→∞

(eAN e

BN )N .

Promatrat ¢e se slu£aj kada suA iB odre�eni neograni£eni operatori koji su in�nitezimalnigeneratori polugrupa. U drugom dijelu radnje promatrat ¢e se primjene produktne formulena rje²avanje evolucijskih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

R. Dautray, J.-L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science andTechnology. (Vol. 5) Evolution Problems I, Springer-Verlag, Berlin, 2000

59

Mentor: Goran Mui¢

Normalizacija projektivnih krivulja

Podru£je: algebarska geometrija


Preduvjeti: Algebarske krivulje, Uvod u algebarsku geometriju

Opis: Uvodi se pojam normalizacije projektivne mnogostrukosti. Dokazuje se niz svoj-stava te se konstruira normalizacija projektivnih krivulja koja se koristi da se dobijenesingularni model krivulje.

Literatura:

I. Shafarevich, Basic algebraic geometry I, Springer Verlag, 1993.

60

Mentor: Goran Mui¢

Regularna preslikavanja nesingularnih projektivnihmnogostrukosti

Podru£je: algebarska geometrija


Preduvjeti: Algebarske krivulje, Uvod u algebarsku geometriju

Opis: Uvodi se pojam nesingularnih projektivnih mnogostrukosti i odgovarajuci lokalniparametri u svakoj to£ki. Dokazuju se Bertinijevi teoremi.

Literatura:

I. Shafarevich, Basic algebraic geometry I, Springer Verlag, 1993.

61

Mentor: Ivica Naki¢

Princip jedinstvenog produljenja i njegove primjene u teorijiupravljanja



Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori

Opis: Princip jedinstvenog produljenja, koj tvrdi da svako rje²enje parcijalne diferen-cijalne jednadºbe koje is£ezava na maloj kugli mora biti svugdje nula je fundamentalnosvojstvo s raznim primjenama.U diplomskom radu student bi izloºio osnovne rezultate vezane uz princip jedinstvenogproduljenja, s naglaskom na pitanja upravljivosti parcijalnih diferencijalnih jednadºbi.Postoji mogu¢nost uklju£ivanja studenta u bilaternalni hrvatsko�njema£ki projekt.

Literatura:

L. Rosier, A survey of controllability and stabilization results for partial di�erential equ-ations, Journal européen des systemes automatisés, vol. 41, no3-4, str. 365.-411., (2007),S. Micu, E. Zuazua, An Introduction to the Controllability of Partial Di�erential Equati-ons, in Quelques questions de théorie du contrôle, Collection Travaux en Cours, EditionsHermann, str. 69.-157. (2005),D. Borisov, I. Naki¢, C. Rose, M. Tautenhahn, I. Veseli¢, Multiscale unique continuationproperties of eigenfunctions, arXiv:1410.1065 (2014)

62


Vizualizacija kompleksnih funkcija

Podru£je: kompleksna analiza


Preduvjeti: Kompleksna analiza

Opis: Grafovi kompleksnih funkcija su podskupovi skupa C2 koji je £etverodimenzionalanprostor, te ih ne moºemo jednostavno nacrtati. No uz pomo¢ boja moºemo ih vizualiziratina na£in da se najvaºnija svojstva funkcija ipak mogu i²£itati.Cilj diplomskog rada je izloºiti osnovene na£ine prikazivanja kompleksnih funkcija, s na-glaskom na holomorfne funkcije. Ovisno o interesu studenta naglasak moºe biti na mate-mati£kom ili ra£unalnom aspektu problema.

Literatura:

E. Wegert, Visual Complex Functions - An Introduction with Phase Portraits, Birkhäuser,2012.

63


Interpolacijski teoremi tipa Nevanlinna-Pick

Podru£je: kompleksna analiza, funkcijonalna analiza


Preduvjeti: Kompleksna analiza, Normirani prostori

Opis: Problem koji je ishodi²te teorije o Nevanlinna-Pick interpolacijama je sljede¢i: zazadane to£ke a1, . . . , an u otvorenoj desnoj kompleksnoj poluravnini, te kompleksne to£keb1, . . . , bn, treba na¢i pravu racionalnu funkciju G koja je holomorfna u zatvorenoj desnojkompleksnoj poluravnini, te za koju vrijedi:

• G(ai) = bi, i = 1, . . . , n,

• supw∈R |G(iw)| ≤ 1.

Ovaj problem i njegova poop¢enja se javljaju u nizu matemati£kih i tehni£kih podru£ja, acilj diplomskog rada je dati rje²enje ovog i srodnih problema pomo¢u terema o podizanju.

Literatura:

M. Rosenblum, J. Rovnyak, Hardy classes and operator theory, Oxford University Press,1985.,N. K. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: An Easy Reading, American Mathe-matical Society, 2009,B. Sz Nagy, C. Foias, H. Bercovici, L. Kérchy, Harmonic Analysis of Operators on HilbertSpace, Springer, 2010.

64


Pohlepna aproksimacija u Hilbertovim prostorima



Preduvjeti: predznanje obuhva¢eno kolegijima Normirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima

Opis: Pohlepna aproksimacija je posebna vrsta nelinearnih aproksimacija, kod kojih jebaza zamijenjena ve¢im sustavom funkcija koji je obi£no redundantan te ga zovemo ri-je£nikom. S jedne strane redundantnost omogu¢ava ve¢u e�kasnost s obzirom na brzinuaproksimacije, no s druge strane dovodi do vrlo netriviljanih teoretskih i prakti£nih pro-blema.Cilj diplomskog rada je dati prikaz osnovnih de�nicija i rezultata vezanih uz pohlepnealgoritme za rije£nike te njihovu konvergenciju.

Literatura:

V. Temlyakov Greedy approximation, Cambridge University Press, 2011.

65

Mentor: Zlatko Pavi¢ Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Kvaziaritmeti£ke sredine

Podru£je: matemati£ka analiza (realne funkcije jedne varijable)

Prikladno za studij: nastavni£ki smjerovi

Preduvjeti: matemati£ka analiza

Opis: U prvom dijelu rada student ¢e de�nirati konveksne funkcije i dokazati njihovaosnovna svojstva. U drugm dijelu rada student ¢e se posvetiti prou£avanju diskretnihi integralnih kvaziaritmeti£kih sredina. U tre¢em zavr²nom dijelu student ¢e istraºitiprimjenu kvaziaritmeti£kih sredina.

Literatura:

1. P. S. Bullen, D. S. Mitrinovi¢ and P. M. Vasi¢, Means and Their Inequalities, Reidel,Dordrecht, NL, 1988.2. J. Mi¢i¢, Z. Pavi¢ and J. Pe£ari¢, The inequalities for quasiarithmetic means, Abstractand Applied Analysis, 2012(2012), Article ID 203145, 25 pages.3. Z. Pavi¢, Inequalities for convex and non-convex functions, Applied MathematicalSciences, 8(2014), 5923-5931.

66


Potencijske i logaritamske sredine

Podru£je: matemati£ka analiza (realne funkcije jedne varijable)



Opis: U prvom dijelu rada student treba de�nirati konveksne funkcije i kvaziaritmeti£kesredine, te navesti i dokazati njihova osnovna svojstva. U drugom dijelu rada studenttreba uvesti potencijske sredine kao poseban slu£aj diskretnih kvaziaritmeti£kih sredina,te logaritamske sredine kao poseban slu£aj integralnih kvaziaritmeti£kih sredina. U tre¢emdijelu rada student treba istraºiti me�usobne veze potencijskih i logaritamskih sredina.

Literatura:

1. J. E. Pe£ari¢, F. Proschan and Y. L. Tong, Convex Functions, Partial Orderings, andStatistical Applications, Academic Press, New York, USA, 1992.2. Z. Pavi¢, Two inequalities and two means, Journal of Advances in Mathematics,9(2014), 1714-1723.3. Z. Pavi¢, Generalizations of the functional form of Jensen's inequality, Advances inInequalities and Applications, 2014(2014), Article ID 33, 12 pages.

67


Jensenova i Hermite-Hadamardova nejednakost

Podru£je: matemati£ka analiza (realne funkcije jedne i dviju varijabli)



Opis: U prvom dijelu rada student treba de�nirati konveksne i a�ne funkcije, te ko-nveksne i a�ne kombinacije. U drugom dijelu rada student treba predstaviti Jensenovui Hermite-Hadamardovu nejednakost na segmentu, te pokazati njihovu povezanost. Utre¢em dijelu rada student treba odrediti Jensenovu i Hermite-Hadamardovu nejednakostna trokutu.

Literatura:

1. C. P. Niculescu and L. E. Persson, Convex Functions and Their Applications, Ca-nadian Mathematical Society, Springer, New York, USA, 2006. 2. Z. Pavi¢, Extensionof Jensen's inequality to a�ne combinations, Journal of Inequalities and Applications,2014(2014), Article 298, 10 pages.3. Z. Pavi¢ and S. Wu, Inequalities for convex functions on simplexes and their cones,Abstract and Applied Analysis, 2014(2014), Article ID 690803, 7 pages.

68

Mentor: Igor Paºanin

Tok mikropolarnog �uida


Prikladno za studij: Diplomski studij Primijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: Model mikropolarnog �uida osnovno je poop¢enje klasi£nog Navier-Stokesovogmodela koji uzima u obzir i mikrostrukturu samog �uida te je kao takav iznimno vaºansa stanovi²ta primjena. Polaze¢i od temeljnih zakona odrºanja, u ovom radu izveli biosnovne jednadºbe koje opisuju tok mikropolarnog �uida te diskutirali pripadne rubneuvjete. Tako�er, kako bi ilustrirali efekte mikrostrukture na tok �uida, bavili bi se iprimjerima jednostavnih tokova za koje je mogu¢e odrediti neka specijalna stacionarnarje²enja.

Literatura:

G.Lukaszewicz, Micropolar Fluids: Theory and Applications, Birkhauser, 1999.G.P.Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations,Vol I, Springer, 1997.I.Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, 2003.

69


Stokesov sustav


Prikladno za studij: Diplomski studij Primijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: Stokesov sustav predstavlja linearizaciju Navier-Stokesovih jednadºbi i dobro opi-suje tok newtonovskog �uida za male Reynoldsove brojeve. U ovom radu razmatrale bise stacionarne Stokesove jednadºbe u ograni£enom podru£ju. Nakon izvoda jednadºbi iztemeljnih zakona odrºanja, uveli bi se odgovaraju¢i funkcijski prostori te izloºila njihovaosnovna svojstva. Glavni dio rada bio bi posve¢en varijacijskoj formulaciji polaznog pro-blema i dokazu egzistencije i jedinstvenosti rje²enja.

Literatura:

R.Temam, Navier-Stokes equations, Vol I, North-Holland, 1977.G.P.Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations,Vol I, Springer, 1997.I.Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, 2003.

70


Modeliranje obi£nim diferencijalnim jednadºbama

Podru£je: matemati£ko modeliranje

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji

Preduvjeti:

Opis: Diferencijalnim jednadºbama se najjednostavnije izraºavaju i modeliraju mnogiprirodni zakoni te razni procesi u razli£itim podru£jima znanosti i tehnike. Ovaj rad za-mi²ljen je kao pregled ve¢eg broja matemati£kih modela opisanih obi£nim diferencijalnimjednadºbama. Posebna paºnja posvetila bi se izvodu i analizi modela zna£ajnih u popu-lacijskoj dinamici, kemijskoj kinetici te newtonovoj mehanici.

Literatura:

J.R.Chasnov, Mathematical Biology, Lecture Notes, The Hong Kong University of Scienceand Technology, 2009.J.R.Brannan, W.E.Boyce, Di�erential Equations: An Introduction to Modern Methods &Applications, J. Wiley & Sons, 2007.M.Braun, Di�erential Equations and Their Applications, Springer-Verlag, 1986.

71

Mentor: Mirko Polonijo

Matemati£ki sadrºaji u staroegipatskoj arhitekturi

Podru£je: matematika, geometrija, matemati£ka edukacija

Prikladno za studij: nastavni£ki diplomski studiji

Preduvjeti:

Opis: Arhitektura u sebi krije mnoge matemati£ke sadrºaje, numeri£ke odnose i geome-trijske oblike, te je odraz stupnja razvoja i pogleda pojedinog razdoblja. Spoznaje omatemati£kim znanjima i spoznaja u vrijeme Starog Egipta daju se is£itati iz sa£uvanihonodobnih gra�evina. Cilj je ovog diplomskog rada prikazati na temelju poznatih istraºi-vanja pojave i odnose matemati£kih sadrºaja u staroegipatskoj arhitekturi

Literatura:

Rossi, C. (2007). Architecture and mathematics in ancient Egypt. Cambridge univ. press.Gillings, R. J. (1982), Mathematics in the time of Pharaons. Dover

72


George Polya - doprinos matemati£koj edukaciji

Podru£je: matemati£ka edukacija


Preduvjeti: nema

Opis: George Polya (1887-1985) je bio zna£ajni matemati£ar ali i izuzetni metodi£ar ma-tematike. Svojim knjigama izdanima u visokim tiraºama i prevo�enima na mnoge jezike,zna£ajno je utjecao na pristup matemati£koj edukaciji. Taj pristup je "popularan" i danastraje, pa je svrha rada da se prikaºu i ocjene Polya-ovi doprinosi pou£avanju matematike.

Literatura:

G. Polya, How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (Princeton ScienceLibrary)G. Polya, Mathematics and Plausible Reasoning, Volume 1: Induction and Analogy inMathematicsG. Polya, Mathematics and Plausible Reasoning: Volume II Patterns of Plausible Infe-renceG. Polya, Mathematical Discovery on Understanding, Learning, and Teaching ProblemSolving, Volume IG. Polya, Mathematical Discovery on Understanding, Learning, and Teaching ProblemSolving, Volume IIG. Polya, Matemati£ko otkri¢e, HMD, Zagreb, 2003

73


Udºbenik "Uvod u matematiku" Svetozara Kurepe



Preduvjeti: nema

Opis: Svetozar Kurepa (1929-2010) odigrao je veliku i trajnu ulogu u hrvatskoj mate-matici. Osim vaºnih znanstvenih matemati£kih doprinosa, S. Kurepa je autor mnogihmatemati£kih udºbenika za srednju ²kolu i fakultete. Njegov je udºbenik "Uvod u mate-matiku" (1970.) zami²ljen kao knjiga koja je trebala popuniti prazninu u matemati£komobrazovanju izme�u srednje ²kole i fakulteta, pa je ona time danas svjedo£anstvo jednogavremena. Svrha rada je detaljno prikazati i ocijeniti (u tada²njem i dana²njem kontekstu)spomenuto djelo.

Literatura:

Kurepa, S. (1970). Uvod u matematiku, Zagreb; Tehni£ka knjiga

74


Udºbenik "Uvod u linearnu algebru" Svetozara Kurepe



Preduvjeti: nema

Opis: Svetozar Kurepa (1929-2010) odigrao je veliku i trajnu ulogu u hrvatskoj mate-matici. Osim vaºnih znanstvenih matemati£kih doprinosa, S. Kurepa je autor mnogihmatemati£kih udºbenika za srednju ²kolu i fakultete. Njegov udºbenik "Uvod u linearnualgebru" (1978.) bio je namjenjen studentima prve godine i nastao je kao reakcija napostoje¢e (ali i nepostoje¢e) udºbenike linearne algebre. Na taj na£in je on danas "ma-etmati£ka slika" jednog vremena. Svrha rada je detaljno prikazati taj udºbenik te gaocijeniti i usporediti s tada²njim i dana²njim odgovaraju¢im na²im knjigama.

Literatura:

Kurepa, S. (1970). Uvod u linearnu algebru, Zagreb; �kolska knjiga

75

Mentor: Mirko Primc

Reprezentacije kona£nih i kompaktnih grupa

Podru£je: algebra, topologija i analiza


Preduvjeti: Vekorski prostori, Operatori na normiranim prostorima

Opis: Jedan od osnovnih rezultata analize i teorije grupa je Peter-Weylov teorem o aprok-simaciji neprekidne funkcije na kompaktnoj grupi matri£nim elemenatima ireducibilnihreprezentacija grupe. U su²tini je to poop¢enje klasi£nih rezultata poput razvoja peri-odi£ke funkcije u Fourierov red ili aproksimacije funkcije na sferi kuglinim funkcijama.Ovisno o sklonostima i predznanju studenta odabralo bi se gradivo koje bi uklju£ivaloPeter-Weylov teorem ili samo neke dijelove te teorije.

Literatura:

Barry Simon, Representations of Finite and Compact Groups, Graduate Studies in Mat-hematics 10, AMS, Providence R.I., 1996.

76

Mentor: Mirko Primc

Cli�ordove algebre i klasi£ne grupe

Podru£je: algebra i teorija grupa


Preduvjeti: Vektorski prostori

Opis: Cilj rada bio bi konstrukcija Cli�ordovih algebri te, ovisno o sklonostima i pred-znanju studenta, neke njihove primjene u teoriji reprezentacija grupa SO(n) i Spin(n) umatematici i �zici.

Literatura:

M. Postnikov, Lie Groups and Lie Algebras, Lectures in Geometry V, Mir Publishers,Moscow, 1986.

77

Mentor: Mirko Primc

Proste Liejeve algebre i njihove reprezentacije

Podru£je: algebra



Opis: Cilj rada bio bi opis strukture prostih kompleksnih Liejevih algebri i njihovihkona£no dimenzionalnih reprezentacija. Ovisno o sklonostima studenta biralo bi se gradivos naglaskom na strukturu algebri ili na svojstva reprezentacija.

Literatura:

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GraduateTexts in Mathematics 9, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1972.

78

Mentor: Mirko Primc

Multilinearna algebra

Podru£je: algebra



Opis: Cilj rada bio bi konstrukcija tenzorske algebre i vanjske algebre, te osnovni rezultatio strukturi vanjske algebre.

Literatura:

S. Mac Lane, G. Birkho�, Algebra, third edition, AMS Chelsea Publishing, AmericanMathematical Society, Providence, Rhode Island, 1999.

79

Mentor: Dragutin Svrtan

Sparivanja u grafovima

Podru£je: teorija grafova


Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Kombinatorna i diskretna ma-tematika i Kombinatorika

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate i algoritme iz teorije grafova vezane uz(savr²ena) sparivanja.

Literatura:

J.A.Bondy and U.S.R.Murty, Graph Theory,2008, GTM 244, Springer VerlagMiklos Bona, A Walk Through Combinatorics, An Introduction To Enumeration AndGraph Theory, 2006D.Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Zagreb, Algoritam, 2001

80


Generiranje permutacija

Podru£je: kombinatorika, ra£unarstvo



Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate o permutacijama, i neke algoritme generi-ranja permutacija (leksikografsko generiranje, generiranje zamjenama susjednih, Erlichovametoda).

Literatura:

D.E.Knuth, The Art of Computer Programming,Volume 4A: Combinatorial Algorithms,Part 1 . First Edition (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 2011), xv+883pp. ISBN0-201-03804-8R.P.Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 1: Second Edition (Cambridge Univer-sity Press, 2012), xiii+626 pp.D.Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Zagreb, Algoritam, 2001

81


Matematika presavijanja papira

Podru£je: kombinatorna geometrija


Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate iz teorije presavijanja papira (paper fol-ding) i po mogu¢nosti prezentirati rje²enje Arnoldova problema o pove£avanju opseganov£anica.

Literatura:

Hesus de la Pena Hernandez,Mathematics and origami, http://ebookbrowse.com/pena-hernandez-mathematics-and-origami-pdf-d155757282

Igor Pak, Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry, http://www.math.ucla.edu/~pak/book.htm

82

Mentor: Boris �irola

Povezanost prim brojeva s Fermatovim, Mersenneovim iFibonaccijevim brojevima

Podru£je: elementarna teorija brojeva


Preduvjeti: Osnovno znanje elementarne teorije brojeva

Opis: Prim brojevi bazi£ni su `blokovi' u multiplikativnoj teoriji brojeva. Op¢enito ra-zumijevanje i posebno razdioba prim brojeva me�u svim prirodnim brojevima jedan je odtemeljnih problema matematike. Cilj predloºenog rada bio bi prou£iti tri specijalne vrstebrojeva; tzv. Fermatove brojeve, Mersenneove brojeve i Fibonaccijeve brojeve. Posebannaglasak bio bi na razumijevanju prim djelitelja tih brojeva.

Literatura:

A. Fine and G. Rosenberger, Number theory; An introduction via the distribution of pri-mes, Birkhäuser, Boston 2007.

83


Dirichletov teorem o prim brojevima u aritmeti£kim nizovima



Preduvjeti: Poloºen kolegij Teorija brojeva ili Elementarna teorija brojeva. Poºeljnoznanje osnova Kompleksne analize.

Opis: Dirichletov teorem je jedan od prvih velikih teorema u analiti£koj teoriji brojeva.On govori da ako su a i b dva relativno prosta prirodna broja, onda u skupu svih brojevaoblika ax+b, kada x prolazi skupom svih prirodnih brojeva, ima beskona£no mnogo primbrojeva. U predloºenom radu najprije bi se, kao motivacija, napravili neki posebni slu£a-jevi Dirichletovog teorema. Nakon toga bi se detaljno pro£ili tzv. Dirichletovi karakteri,a zatim bi se uvele i tzv. Dirichletove L-funkcije. U zadnjem dijelu rada napravio bi seili potpun dokaz Dirichletovog teorema, ili dokaz �do na neke presko£ene korake�; ovisnoo volji kandidata.

Literatura:

A. Fine and G. Rosenberger, Number theory; An introduction via the distribution of pri-mes, Birkhäuser, Boston 2007.

84


Poluproste Liejeve algebre i Liejeve grupe

Podru£je: Liejeva teorija, teorija reprezentacija


Preduvjeti: Poznavanje materije iz preddiplomskih kolegija Vektorski prostori i Algre-barske strukture.

Opis: Vektorski prostor n × n kompleksnih matrica traga nula, uz tzv. komutatorskomnoºenje [A,B] := AB − BA, ozna£ava se sa sl(nC). To je jedan od glavnih primjera uklasi (kompleksnih) poluprostih Liejevih algebri. S druge strane, grupa SL(n,C) je jedanod glavnih primjera u klasi (kompleksnih) poluprostih Liejevih grupa. Pokazuje se da, po"analogiji" s parom (sl(n,C), SL(n,C)), ima i jo² nekih drugih vrlo zanimljivih parova(g, G); ovdje je G Liejeva grupa i g je "odgovaraju¢a" Liejeva algebra.Teorija Liejevih grupa i Liejevih algebri, kao i teorija reprezentacija tih objekata, igrajuvrlo vaºne uloge u mnogim drugim maatemati£kim disciplinama (npr. algebarska geome-trija, diferencijalna geometrija, teorija brojeva, teorija reprezentacija,...) Cilj diplomskograda je razumijeti osnove o Liejevim algebrama i Liejevim grupama, sa posebnim nagla-skom na primjere poluprostih algebri i grupa.

Literatura:

A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Math., vol. 140, Birkhäu-ser, Boston, 2005.

85


Algebarske mnogostrukosti

Podru£je: algebarska geometrija, algebra


Preduvjeti: Poznavanje materije iz preddiplomskih kolegija Algrebarske strukture.

Opis: Neka je A = C[x1, . . . , xn], prsten polinoma u n varijabli, s koe�cijentima iz po-lja kompleksnih brojeva C. (Namjesto C moºe se uzeti bilo koje algebarski zatvorenopolje.) Ako je f = f(x1, . . . , xn) ∈ A neki polinom, de�niramo njegov skup nulto£akaV (f) = {P ∈ Cn | f(P ) = 0}. Op¢enitije, ako je F = {fi | i ∈ I} bilo koja familijapolinoma fi ∈ A, moºemo de�nirati skup V (F) =

⋂I V (fi); tj., V (F) je skup zajedni£kih

nulto£aka svih polinoma fi. Takvi se skupovi zovu (a�ne) algebarske mnogostrukosti.Isti, i njihove generalizacije/analogoni, predmet su prou£avanja u jednoj od najvaºnijihmatemati£kih discplina, Algebarskoj geometriji.Cilj diplomskog rada je na uvodnom, i sasvim elementarnom, nivou uvesti pojam al-gebarske mnogostrukosti. Kao glavne dijelove rada, promatralo bi se a�ne algebarskemnogostrukosti i projektivne mnogostrukosti.

Literatura:

K. Ueno, Algebraic Geometry 1; From algebraic Varieties to Schemes, Translations ofMathematical Monographs, Vol. 185, Amer. Math. Soc., 1999.

86

Mentor: Marko Tadi¢

Modularne forme

Podru£je: analiti£ka teorija brojeva, kompleksna analiza


Preduvjeti: Poloºen kolegij Teorija brojeva

Opis: Modularne forme su od iznimne vaºnosti u teoriji brojeva (dovoljno je da pod-sjetimo na Shimura-Tanyaminu slutnju i njenu ulogu u rje²enju velikog Fermatovog pro-blema). Danas se intenzivno radi na njihovoj generalizaciji.Cilj radnje je izloºiti osnovne rezultate klasi£ne teorije modularnih formi za punu modu-larnu grupu SL(2,Z).

Literatura:

J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Springer Verlag, New York, 1996.A. Robert, Elliptic curves, Lecture Notes in Math. 326, Springer-Verlag, New York, 1973.

87


Prosti brojevi u aritmeti£kim nizovima

Podru£je: analiti£ka teorija brojeva

Prikladno za studij: Teorijska matematika, svi studiji

Preduvjeti: Poloºen kolegiji Algebra 1 i Algebra 2

Opis: Dokazati da u nizu prirodnih brojeva ima beskona£no prostih brojeva je vrlojednostavno (dokaz je napisao jo² Euklid, oko 300 godine prije na²e ere). Za podniz an+b, n ∈ N, niza prirodnih brojeva, gdje su a, b ∈ N relativno prosti, dugo se pretpostavljaloda sadrºi beskona£no prostih brojeva. No to je dokazano tek koncem devetnaestogastolje¢a.Cilj radnje je izloºiti netrivijalni dokaz ove £injenice, te formulirati generalizaciju ovogarezultata u poljima algebarskih brojeva.

Literatura:

J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Springer Verlag, New York, 1996.L.J. Goldstein, Analytic Number Theory, Prentice-Hall, Englewood Cli�s, 1971.

88


Klasi�kacija lokalnih polja



Preduvjeti: Poloºen kolegiji Algebra 1 i Algebra 2

Opis: Bez pojma realnih brojeva nemogu¢e je zamisliti veliki dio dana²nje matematike.Polje realnih brojeva je upotpunjenje polja racionalnih brojeva s obzirom na uobi£ajnunormu. Prirodno se name¢e pitanje: koja su ostala upotpunjenja polja racinalnih brojeva,i da li ona mogu biti od koristi u matematici.S druge strane, do drugih popunjenja od Q se dolazi prirodno kada se gledaju Diofantskejednadºbe i pripadne kongruencijske jednadºbe. Ovo pokazuje njihovu vaºnost za teorijubrojeva.Sva ova popunjenja su lokalno komaktna i nediskretna. Stoga se postavlja prirodno pitanjeklasi�kacije svih ovakovih polja. Cilj radnje je izloºiti njihovu klasi�kaciju.

Literatura:

A. Weil: Basic number theory, Springer-Verlag, New York 1995J.-P. Serre: Local �elds, Springer, Berlin 1980

89


p-adski brojevi i kvadratne forme nad Q



Preduvjeti: Poloºen kolegiji Algebra 1, Algebra 2 i Teorija brojeva

Opis: U teoriji kvadratnih formi nad nekim poljem (ili prstenom), izme�u ostaloga,prou£avaju se pitanja predstavljivosti elemenata polja pomo¢u dane kvadratne forme,te pitanja ekvivalencija kvadratnih formi (i klasi�kacije istih). Vaºno mjesto zauzimajuforme nad poljem racionalnih i prstenom cijelih brojeva. Teorija kvadratnih formi je bitnojednostavnija nad popunjenjima polja racinalnih brojeva, nego nad samim Q. Primjersu forme nad R (to je arhimedsko popunjenje od Q), gdje su pitanja predstavljivosti iklasi�kacije vrlo jednostavna.Cilj radnje je uvesti ostala popunjenja od Q. To su polja p-adskih brojeva (²to su ne-arhimedska popunjenja od Q), istraºiti njihova osnovna svojstva, izloºiti osnovne rezultateteorije kvadratnih formi nad ovim popunjenjima, te primjeniti te rezultate na forme nadQ.

Literatura:

J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Springer Verlag, New York, 1996.J.W.S. Cassels: Rational Quadratic Forms, Dover, 2008

90

Mentor: Josip Tamba£a

C++ implementacija metode kona£nih elemenata zadvodimenzionalnu lineariziranu elasti£nost


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti:

Opis: Objektno programiranje (C++) Opis teme: Zadatak je implementirati u C++metodu kona£nih elemenata (FEM) za problem ravnoteºe dvodimenzionalnog linearnoelasti£nog tijela. Elementi koje treba implementirati su polinomijalni na triangulaciji po-ligonalne domene na trokute.

Literatura:

1. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.2. A. Valli, A. Quarteroni, Numerical Approximation of Partial Di�erential Equations,volume 23 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer, Berlin, 1997.3. T. Petrina, Implementacija metode kona£nih elemenata za zada¢u linearizirane elas-ti£nosti u 3D, PMF-MO, 2010, diplomski rad.

91


Numeri£ko rje²avanje modela biorazgradivih elasti£nih materijala

Podru£je: matemati£ko modeliranje, PDJ, numerika


Preduvjeti:

Opis: Zadatak je numeri£ki rje²iti model za biorazgradivi elasti£ni materijal, te analiziratipona²anje rje²enja

Literatura:

J. E. J. Moore, J. S. Soares i K. R. Rajagopal. Biodegradable Stents: BiomechanicalModeling Challenges and Opportunities. Cardiovascular Engineering and Technology 1(2010.), 52�65.B. �ugec, Model biorazgradivog elasti£nog stenta, disertacija, Sveu£ili²te u Zagrebu, 2014.I. Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, Zagreb, 2003.M. Jurak, Praktikum primijenjene matematike II. Metoda kona£nih elemenata, skripta.F. Hecht, FreeFEM++ dokumentacija.

92


Varijacijske nejednakosti


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika, Matemati£kastatistika

Preduvjeti:

Opis: Varijacijske nejednakosti od velikog su interesa kod problema mehanike kontinuumas uvjetima. U okviru ove teme zadatak je dati osnovne teorijske rezultate vezane zaegzistenciju, jedinstvenost, te aproksimaciju rje²enja varijacijskih nejednakosti.

Literatura:

D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities andTheir Applications. Academic Press, New York (1980)R. Glowinski, Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. Springer Verlag,New York (1984)

93


Matemati£ko modeliranje tehnolo²kog procesa sterilizacije

Podru£je: matemati£ko modeliranje, PDJ, numerika


Preduvjeti:

Opis: Zadatak je numeri£ki rje²iti jednadºbu difuzije te analizirati uvjete procesa da bise postiglo da tijelo bude na zadanoj minimalnoj temperaturi zadano vrijeme

Literatura:

I. Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, Zagreb, 2003.M. Jurak, Praktikum primijenjene matematike II. Metoda kona£nih elemenata, skriptaF. Hecht, FreeFEM++ dokumentacija

94

Mentor: Zvonimir Tutek

Aproksimacija plohe pomo¢u tenzorskog produkta funkcija

Podru£je: Numeri£ka matematika


Preduvjeti: ...

Opis: Problem je aproksimirati plohu pomo¢u funkcija jedne varijable. Cilj rada je razvitiodgovaraju¢u teoriju i ilustrirati ju na primjerima

Literatura:

C. de Boor, A Practical Guide to Splines, Springer, 2001

95


Upravljanje linearnim sistemima

Podru£je: Primijenjena matematika matematika


Preduvjeti: ...

Opis: Problem je upravljanje linearnim sistemom obi£nih diferencijalnih jednadºbi. Ciljrada je razviti odgovaraju¢u teoriju i ilustrirati ju na primjerima

Literatura:

S.K. Godunov, Ordinary Di�erential Equations with Constant Coe�cients, AmericanMathematical Society, 1997

96


Modeli turbulentnog toka �uida



Preduvjeti: ...

Opis: Cilj rada je navesti vaºne modele turbulentnog toka, razviti odgovaraju¢u teorijui ilustrirati ju na primjerima

Literatura:

W. Layton, Introduction to the Numerical Analysis of Incompressible Viscous Flows,SIAM, 2008

97


Varijacijske nejednakosti



Preduvjeti: ...

Opis: Problem je razviti teoriju za evolucijske varijacijske nejednakosti i ilustrirati ju naprimjerima

Literatura:

M. Sofonea, A. Matei, Variational Inequalities with Applications, Springer, 2009

98

Mentor: Mladen Vukovi¢

Van Benthem�Rosenov teorem

Podru£je: Matemati£ka logika i ra£unarstvo

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijem Matemati£ka logika

Opis: Van Benthemov teorem karakterizacije uspostavlja vezu izme�u modalne logike ilogike prvog reda. U dokazu se koriste saturirani modeli i ultraprodukti. E. Rosen jedokazao da teorem karakterizacije vrijedi kada se ograni£imo samo na kona£ne modele.Po²to se za kona£ne modele ne mogu koristiti standardne tehnike teorije modela, razvi-jen je pojam bisimulacijskih igara, te su iskro²teni Hanfov teorem i Gaifmanov teorem olokalnosti.

Literatura:

P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema, Modal Logic, Cambridge University Press,2001.V. Goranko, M. Otto, Model theory of modal logic, in: F. Wolter et al. (eds.), Hand-book of Modal Logic, Elsevier, 2006, 255�325M. Otto, Elementary proof of the van Benthem�Rosen characterisation theorem, Tech-nical Report 2342, Department of Mathematics, Technische Universität Darmstadt, 2004.E. Rosen, Modal logic over �nite structures, Journal of Logic, Language and Information6(1997) 427�439

99

Mentor: Mladen Vukovi¢

Vjerojatnosne logike

Podru£je: Matemati£ka logika i ra£unarstvo

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: Poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Matemati£ka logika i Teorijaskupova

Opis: Vjerojatnosne logike su pro²irenja klasi£ne logike (propozicionalne i prvog reda)s izrazima koji govore o vjerojatnosti. Vjerojatnosni operatori su vrlo sli£ni modalnimoperatorima, a pripadna semantika je vrlo sli£na Kripkeovim modelima. U diplomskomradu treba de�nirati vjerojatnosnu logiku LPP2, te za nju dokazati teoreme adekvatnosti ipotpunosti. Posebno treba razmotriti pitanje odlu£ivosti. Osim te osnovne vjerojatnosnepropozicionalne logike, u diplomskom treba razmotriti neka pro²irenja.

Literatura:

J. Halpern, Reasoning about uncertainty, MIT Press, 2005.Z. Ognjanovi¢, M. Ra²kovi¢, Z. Markovi¢, Probability logics, Zbornik radova12(20) (2009), Logic in computer science, Beograd, 35�111, http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/zr/20/n020p035.pdf

M. Ra²kovi¢, R. Ðor�evi¢, Probability Quanti�ers and Operators, VESTA, Beograd,1996.

100

Documents

Sveu£ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati£ki fakultet ... · Prikladno za studij : Primijenjena matematika, Matemati£ak statistika, Financijska i poslovna matematika Preduvjeti