SVEUČILIŠTE U ZAGREBUrepozitorij.fsb.hr/3223/1/Šojat_2015_zavrsni... · 2015-02-26 · unutrašnji toplinski izvori (ponori) zadani u općem obliku Φ𝑣=𝑓ԫ , , ,𝑡Ԭ te

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

ZAVRŠNI RAD

Borna Šojat

Zagreb, 2015.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

NESTACIONARNO JEDNODIMENZIJSKO

TEMPERATURNO POLJE U RAVNOJ

STIJENCI S TOPLINSKIM IZVOROM

ZAVRŠNI RAD

Mentor: Student:

Prof. dr. sc. Antun Galović, dipl. ing. Borna Šojat

Zagreb, 2015.

Izjavljujem da sam ovaj rad izradio samostalno koristeći stečena znanja tijekom studija i

navedenu literaturu.

Zahvaljujem se mentoru prof. dr. sc Antunu Galoviću čiji su mi savjeti, strpljenje, znanje i

stručnost bili od neizmjerne važnosti tijekom pisanja ovog rada.

Borna Šojat

Borna Šojat Završni rad

Fakultet strojarstva i brodogradnje 1

SADRŽAJ

POPIS SLIKA ............................................................................................................................ 3

POPIS TABLICA ....................................................................................................................... 4

POPIS OZNAKA ....................................................................................................................... 5

SAŽETAK .................................................................................................................................. 6

SUMMARY ............................................................................................................................... 7

1. UVOD .................................................................................................................................. 8

2. DISKRETIZACIJA PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

JEDNODIMENZIJSKOG NESTACIONARNOG MODELA PROVOĐENJA TOPLINE

S TOPLINSKIM IZVOROM IZDAŠNOSTI 𝜱𝒗 ............................................................... 9

2.1 Formulacija problema na diferencijalnoj razini ........................................................... 9

2.2 Prikaz problema u diskretizacijskom obliku .............................................................. 12 2.2.1 Diskretizacija diferencijalne jednadžbe jednodimenzijskog nestacionarnog

temperaturnog polja s toplinskim izvorom izdašnosti 𝜱𝒗 .................................. 12 2.2.2 Diskretizacija rubnih uvjeta diferencijalne jednadžbe jednodimenzijskog

nestacionarnog temperaturnog polja s toplinskim izvorom izdašnosti 𝜱𝒗 ........ 14 2.3 Kriterij stabilnosti eksplicitne metode ....................................................................... 16

3. ODREĐIVANJE JEDNODIMENZIJSKOG STACIONARNOG TEMPERATURNOG

POLJA U RAVNOJ STIJENCI S TOPLINSKIM IZVOROM IZADAŠNOSTI 𝜱𝒗 ...... 18

4. ODREĐIVANJE DEBLJINE STIJENKE 𝒙𝒎 NA KOJOJ SE NALAZI

TEMPERATURNI MAKSIMUM..................................................................................... 21

4.1 Određivanje debljine stijenke 𝒙𝐦 na kojoj se nalazi temperaturni maksimum uz uvjet

da 𝜱𝒗 → ∞ ................................................................................................................ 22

5. PRIKAZ JEDNODIMENZIJSKOG STACIONARNOG TEMPERATURNOG POLJA U

RAVNOJ STIJENCI S TOPLINSKIM IZVOROM IZADAŠNOSTI 𝜱𝒗 ....................... 23

5.1 Bakar .......................................................................................................................... 24

5.2 Krom – nikl čelik ....................................................................................................... 25 5.3 Suhi beton .................................................................................................................. 26

5.4 Azbest ......................................................................................................................... 28

5.5 Stacionarno temperaturno polje za sva četiri materijala pri 𝜱𝒗 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 W/m3 .... 29

6. PRIKAZ JEDNODIMENZIJSKOG NESTACIONARNOG TEMPERATURNOG

POLJA U RAVNOJ STIJENCI S TOPLINSKIM IZVOROM IZADAŠNOSTI 𝜱𝒗 ...... 30

6.1 Azbest ......................................................................................................................... 30

6.1.1 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟎 W/m3 ............................................... 30

6.1.2 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 W/m3 ........................................ 32

6.1.3 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 W/m3 ..................................... 34

6.1.4 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 W/m3 ..................................... 35

6.1.5 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 W/m3 ..................................... 36

6.2 Suhi beton .................................................................................................................. 40 6.3 Krom – nikl čelik ....................................................................................................... 44



6.4 Bakar .......................................................................................................................... 46

7. ZAKLJUČAK .................................................................................................................... 50

LITERATURA ......................................................................................................................... 51

PRILOZI ................................................................................................................................... 52



POPIS SLIKA

Slika 1. Vremensko prostorna diskretizacija ...................................................................... 12

Slika 2. Diskretizacija rubnog uvjeta za 𝒙 = 𝟎 .................................................................. 14

Slika 3. Diskretizacija rubnog uvjeta na 𝒙 = 𝜹 .................................................................. 14 Slika 4 . Prikaz temperaturnog polja u bakru s variranjem toplinskog izvora od 0 do 20000

W/m3 ...................................................................................................................... 24

Slika 5. Prikaz temperaturnog polja u bakru za Φv=20000 W/m3 ...................................... 25

Slika 6. Prikaz temperaturnog polja u krom - nikl čeliku s variranjem toplinskog izvora od

0 do 20000 W/m3 ................................................................................................... 26

Slika 7. Prikaz temperaturnog polja u suhom betonu s variranjem toplinskog izvora od 0

do 20000 W/m3 ...................................................................................................... 27

Slika 8. Prikaz temperaturnog polja u azbestu s variranjem toplinskog izvora od 0 do

20000 W/m3 ........................................................................................................... 28

Slika 9. Stacionarno temperaturno polje za sva četiri materijala za Φv=20000 W/m3 ...... 29

Slika 10. Vremenska distribucija temperaturnog polja u azbestu za Φ𝑣 = 0 W/m3 .............. 31

Slika 11. Aproksimacija temperaturnog polja u Azbestu za Φ𝑣 = 0 W/m3 .......................... 32

Slika 12. Vremenska distribucija temperaturnog polja u azbestu za Φ𝑣 = 5000 W/m3 ........ 33

Slika 13. Aproksimacija temperaturnog polja u azbestu za Φ𝑣 = 5000 W/m3 ..................... 33

Slika 14. Vremenska distribucija temperaturnog polja u azbestu za Φ𝑣 = 10000 W/m3 ...... 34

Slika 15. Aproksimacija temperaturnog polja u azbestu za Φ𝑣 = 10000 W/m3 ................... 35





Slika 20. Aproksimacija temperaturnog polja u azbestu za Φ𝑣 = 20000 W/m3 za različit broj

čvorova .................................................................................................................. 39

Slika 21. Trenutna vrijednost ukupne gustoće toplinskih tokova na graničnim površinama

azbestne stijenke .................................................................................................... 40

Slika 22. Vremenska distribucija temperaturnog polja u suhom betonu za Φ𝑣 = 20000 W/m3

............................................................................................................................... 41

Slika 23. Aproksimacija temperaturnog polja u suhom betonu za Φ𝑣 = 20000 W/m3 ......... 42

Slika 24. Aproksimacija temperaturnog polja u suhom betonu pri Φ𝑣 = 20000 W/m3 za

različit broj čvorova ............................................................................................... 42 Slika 25. Trenutna vrijednost ukupne gustoće toplinskog toka na graničnim površinama

stijenke suhog betona ............................................................................................ 43

Slika 26. Vremenska distribucija temperaturnog polja u krom - nikl čeliku za Φ𝑣 = 20000

W/m3 ...................................................................................................................... 44

Slika 27. Aproksimacija temperaturnog polja u krom - nikl čeliku za Φ𝑣 = 20000 W/m3 ... 45

Slika 28. Trenutna vrijednost ukupne gustoće toplinskog toka na graničnim površinama

stijenke krom - nikl čelika ..................................................................................... 46

Slika 29. Vremenska distribucija temperaturnog polja u bakru za Φ𝑣 = 20000 W/m3 ......... 47

Slika 30. Aproksimacija temperaturnog polja u bakru za Φ𝑣 = 20000 W/m3 ...................... 48


bakrene stijenke ..................................................................................................... 49



POPIS TABLICA

Tablica 1. Popis materijala te njihovih svojstava .................................................................. 23



POPIS OZNAKA

Oznaka Jedinica Opis

v W/m3 Toplinski izvor

c J/(kg K) Specifični toplinski kapacitet krutine

Q J Toplina

q W/m2 Gustoća toplinskog toka

ρ kg/m3 Gustoća

U J Unutrašnja energija

λ W/(m K) Toplinska provodnost

a m2/s Temperaturna provodnost

δ m Debljina stijenke

𝜗 oC Temperatura

α W/m2K Koeficijent prijelaza topline

To oC Temperatura

qx W/m2 Gustoća toplinskog toka u smjeru osi x

qy W/m2 Gustoća toplinskog toka u smjeru osi y

qz W/m2 Gustoća toplinskog toka u smjeru osi z

m kg Masa

Bi - Biotova mrežna značajka

M - Fourierov broj

Δ𝑥 m Diskretizacijski prostorni korak

Δ𝑡 s Diskretizacijski vremenski korak



SAŽETAK

U radu su prikazana rješenja temperaturnog polja po vremenu i prostoru za četiri ravne

stijenke s jednoliko distribuiranim toplinskim izvorom, čija se vrijednost varira od 0 do 20000

W/m3

s korakom od 5000 W/m3, uz definirane početne i rubne uvjete. Ravne stijenke debljine

100 mm napravljene su od:

bakra

krom-nikl čelik

azbesta i

suhog betona gustoće ρ=500 kg/m3.

Za dobivanje temperaturnog polja po vremenu i prostoru bilo je potrebno prvo izvesti

diskretizacijski oblik parcijalne diferencijalne jednadžbe provođenja topline u ravnoj stijenci s

jednoliko distribuiranim toplinskim izvorom izdašnosti 𝛷𝑣 i diskretizacijske oblike rubnih

uvjeta 3. vrste. Za kontrolu tih temperaturnih polja je izveden analitički oblik stacionarnog

temperaturnog polja, kao vrijednost kojoj će nestacionarna temperaturna polja težiti, dok se

približavanje stacionarnom stanju kontrolira odgovarajućom energijskom bilancom i

temperaturnim kriterijem.

Ključne riječi: nestacionarno; temperaturno polje; toplinski izvor; diskretizacija



SUMMARY

The goal of the paper was to show unsteady 1 – D temperature field in four different plane

wall with heat source whose values varied from 0 to 20000 W/m3 with step of 5000 W/m

3.

Their initial and boundary conditions were also specified and the plane walls were made of:

• copper

• chrome-nickel steel

• asbestos and

• dry concrete

To obtain temperature fields it was necessary to apply finite difference method to transient

problem by discretizing the problem in the space and time variables and solving for

temperatures at discrete points called the nodes. To see if those obtained temperature fields

were correct appropriate energy balance and temperature criteria were used.

Key words: unsteady; temperature field; heat source; discretization



1. UVOD

Modeli provođenja topline koji mogu biti analitički rješeni su u pravilu oni modeli koji imaju

jednostavnu geometriju i rubne uvjete, a na takve probleme u praksi rijetko kada nailazimo.

Uglavnom se susrećemo s problemima koji imaju kompleksnu geometriju kao i rubne uvjete

ili promjenjiva svojstva. U tim slučajevima koristimo numeričke metode kao dovoljno dobra

približna rješenja.

Numeričke metode nam za razliku od analitičkih, pomoću kojih dobivamo funkciju koja

opisuje sve točke nekog medija (u slučaju provođenja topline to je dakako temperaturno

polje), daju skup od N algebarskih jednadžbi za opisivanje nepoznatog temperaturnog polja u

N točaka krutine. Postoji nekoliko numeričkih metoda pomoću kojih možemo doći do rješenja

temperaturnog polja. To su metoda konačnih diferencija; metoda konačnih elemenata; metoda

rubnih elemenata i metoda kontrolnih volumena, a svaka od navedenih metoda ima svojih

prednosti i nedostataka i svaka od metoda se koristi u praksi. U okviru rješavanja problema

koristi se metoda konačnih diferencija.



2. DISKRETIZACIJA PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

JEDNODIMENZIJSKOG NESTACIONARNOG MODELA

PROVOĐENJA TOPLINE S TOPLINSKIM IZVOROM IZDAŠNOSTI

𝜱𝒗

2.1 Formulacija problema na diferencijalnoj razini

Da bi se dobilo rješenje temperaturnog polja u krutini mora se prvo formulirati diferencijalnu

jednadžbu provođenja topline. Uvođenjem sljedećih pretpostavki olakšavamo njezino

izvođenje:

promatrana krutina je homogena i izotropna

fizikalna svojstva tijela su konstantna

deformacija promatranog infintezimalnog volumena je zanemarivo mala uslijed

temperaturnih varijacija

unutrašnji toplinski izvori (ponori) zadani u općem obliku Φ𝑣 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) te su

nejednoliko distribuirani po volumenu krutine

Uzimajući u obzir pretpostavke, izvod diferencijalne jednadžbe provođenja topline se dobiva

postavljajući I. glavni stavak za elementarni volumen krutine. Izraženo riječima to je neto

iznos topline 𝛿𝑄prov koji se unosi u elementarni volume krutine provođenjem kroz vanjske

površine uslijed postojanja temperaturnog gradijenta u diferencijalnom vremenu dt i iznos

topline koji u istom diferencijalu vremena dt razvije toplinski izvor 𝛿𝑄izv. One utječu

isključivo na promjenu unutrašnje energije dU elementarnog volumena krutine.

𝛿𝑄prov + 𝛿𝑄izv = 𝑑𝑈 (1)

Iznos topline koji se unosi u elementarni volumen 𝛿𝑄𝑝𝑟𝑜𝑣 (prvi član u jednadžbi (1)) je jednak

iznosu topline koji se provođenjem kroz elementarne površine u smjeru sve 3 koordinatne osi

unese u elementarni volumen.

𝛿𝑄prov = 𝛿𝑄𝑥,neto + 𝛿𝑄𝑦,neto + 𝛿𝑄𝑧,neto (2)

𝛿𝑄𝑥 = 𝑞𝑥 ∙ 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (3)

𝛿𝑄𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥+𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (4)



𝛿𝑄𝑥,neto = 𝑞𝑥 ∙ 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 − 𝑞𝑥+𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (5)

𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +𝜕𝑞𝑥

𝜕𝑥∙ 𝑑𝑥 +

1

2!∙

𝜕2𝑞𝑥

𝜕𝑥2∙ 𝑑𝑥2 +

1

3!∙

𝜕3𝑞𝑥

𝜕𝑥3∙ 𝑑𝑥3 + ⋯ (6)

𝛿𝑄𝑥,neto = 𝑞𝑥 ∙ 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 − (𝑞𝑥 +𝜕𝑞𝑥

𝜕𝑥∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (7)

𝛿𝑄𝑥,neto = −𝜕𝑞𝑥

𝜕𝑥∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (8)

Gdje je 𝑞𝑥 projekcija gustoće toplinskog toka u smjer osi x, a 𝛿𝑄𝑥+𝑑𝑥 zapravo predstavlja neto

uneseni rad koji se dobiva raspisivanjem funkcije 𝑞𝑥+𝑑𝑥 u Taylorov red i oduzimanjem

jednadžbe (3) i prva dva člana jednadžbe (4). Isti postupak se ponavljaja i za ostale dvije

koordinatne osi

𝛿𝑄𝑦,neto = 𝑞𝑦 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 − 𝑞𝑦+𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 (9)

𝑞𝑦+𝑑𝑦 = 𝑞𝑦 +𝜕𝑞𝑦

𝜕𝑦∙ 𝑑𝑦 +

1

2!∙

𝜕2𝑞𝑦

𝜕𝑦2∙ 𝑑𝑦2 +

1

3!∙

𝜕3𝑞𝑦

𝜕𝑦3∙ 𝑑𝑦3 + ⋯ (10)

𝛿𝑄𝑦,neto = 𝑞𝑦 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 − (𝑞𝑦 +𝜕𝑞𝑦

𝜕𝑦∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑡 (11)

𝛿𝑄𝑦,neto = −𝜕𝑞𝑦

𝜕𝑦∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (12)

𝛿𝑄𝑧,neto = 𝑞𝑧 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 − 𝑞𝑧+𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 (13)

𝑞𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞𝑧 +𝜕𝑞𝑧

𝜕𝑧∙ 𝑑𝑧 +

1

2!∙

𝜕2𝑞𝑧

𝜕𝑧2∙ 𝑑𝑧2 +

1

3!∙

𝜕3𝑞𝑧

𝜕𝑧3∙ 𝑑𝑧3 + ⋯ (14)

𝛿𝑄𝑧,neto = 𝑞𝑧 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 − (𝑞𝑧 +𝜕𝑞𝑧

𝜕𝑧∙ 𝑑𝑧) ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 (15)

𝛿𝑄𝑧,neto = −𝜕𝑞𝑧

𝜕𝑧∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (16)

Supstituirajući jednadžbe (16), (12) i (8) u jednadžbu (2) dobiva se ukupni neto iznos topline

unesen provođenjem u elementarni volumen.

𝛿𝑄prov = − (𝜕𝑞𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑞𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑞𝑧

𝜕𝑧) ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (17)

Drugi član jednadžbe (1) 𝛿𝑄izv predstavlja toplinu koja u diferencijalnom vremenu dt razvije

toplinski izvor izdašnosti 𝛷𝑣 u promatranom diferencijalnom volumenu krutine dV

𝛿𝑄izvor = 𝛷𝑣 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (18)

Treći član jednadžbe (1) 𝑑𝑈 predstavlja promjenu unutrašnje energije elementarnog volumena

𝑑𝑈 = 𝑐 ∙ 𝑑𝜗 ∙ 𝑑𝑚 (19)



Uvrštavajući da je

𝑑𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (20)

u jednadžbu (19) dolazi se do izraza

𝑑𝑈 = 𝑐 ∙ 𝜌 ∙𝜕𝜗

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (21)

Supstituirajući jednadžbe (21), (18) i (17) u jednadžbu (1) dolazi se do diferencijalne

jednadžbe

𝑐 ∙ 𝜌 ∙𝜕𝜗

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 = − (

𝜕𝑞𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑞𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑞𝑧

𝜕𝑧) ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 + Φ𝑣 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 (22)

Skraćivanjem jedadžbe (22) s 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 i uvrštavajući izraze za gustoću toplinskih tokova u

smjeru koordinatnih osi dobva se diferencijalna jednadžba provođenja topline u obliku

𝜕𝜗

𝜕𝑡=

1

𝜌 ∙ 𝑐∙ [

𝜕

𝜕𝑥(𝜆

𝜕𝜗

𝜕𝑥) +

𝜕

𝜕𝑦(𝜆

𝜕𝜗

𝜕𝑦) +

𝜕

𝜕𝑧(𝜆

𝜕𝜗

𝜕𝑧)] ±

Φ𝑣

𝜌 ∙ 𝑐 (23)

Jednadžba (23) daje vezu između vremenske promjene temperature u bilo kojoj točki prostora

promatrane krutine kao posljedice provođenja topline i toplinskog izvora (ponora). Uzimajući

u obzir pretpostavke da je tijelo homogeno i izotropno, tj. vrijednost toplinske provodnosti je

konstantna nad čitavom domenom krutine jedadžba (23) se transformira i zapisuje u obliku

𝜕𝜗

𝜕𝑡=

𝜆

𝜌 ∙ 𝑐∙ [

𝜕2𝜗

𝜕𝑥2+

𝜕2𝜗

𝜕𝑦2+

𝜕2𝜗

𝜕𝑧2] ±

Φ𝑣

𝜌 ∙ 𝑐 (24)

S tim da član

𝑎 =𝜆

𝜌 ∙ 𝑐 (25)

predstavlja temperaturnu provodnost.

Budući da je problem zadan kao jednodimenzijsko nestacionarno provođenje topline s

toplinskim izvorom može se pisati da su:

𝜕2𝜗

𝜕𝑦2= 0;

𝜕2𝜗

𝜕𝑧2= 0; +Φ𝑣

Te jednadžba (24) shodno uvedenim pretpostavkama, uz korištenje jednadžbe (25) prelazi u

konačan oblik

𝜕𝜗

𝜕𝑡= 𝑎 ∙

𝜕2𝜗

𝜕𝑥2+

𝑎 ∙ Φ𝑣

𝜆 (26)



Iz jednadžbe (26) je očigledno da je vremenska promjena temperature krutine proporcionalna

njezinoj temperaturnoj provodnosti.

Za jednoznačno definiranje problema na diferencijalnoj razini potrebno je jednadžbi (26)

pridružiti odgovarajuće početne uvjete kao i odgovarajuće rubne uvjete.

2.2 Prikaz problema u diskretizacijskom obliku

2.2.1 Diskretizacija diferencijalne jednadžbe jednodimenzijskog nestacionarnog

temperaturnog polja s toplinskim izvorom izdašnosti 𝜱𝒗

Za prikaz problema u diferencijskom obliku koristi se metoda konačnih diferencija.

Vremensko prostorni kontinuum se podijeli na diskretizacijsku prostornu koordinatu Δ𝑥 i

diskretizacijsku vremensku koordinatu Δ𝑡.

Slika 1. Vremensko prostorna diskretizacija



Stoga se jednadžbu (26) može pisati u sljedećem obliku

Δ𝑡𝜗

Δ𝑡= 𝑎 ∙

Δ𝑥2 ϑ

(Δ𝑥)2+

𝑎 ∙ Φ𝑣

𝜆 (27)

Koja nakon sređivanja poprima oblik:

Δ𝑡𝜗 = 𝑎 ∙Δ𝑡

(Δ𝑥)2∙ Δ𝑥

2 ϑ +𝑎 ∙ Φ𝑣

𝜆∙ Δ𝑡 (28)

s time da je Δ𝑡𝜗 prirast temperature neke točke u vremenskom intervalu Δ𝑡. U određenom

trenutku t, Δ𝑥ϑ označuje temperaturnu razliku dviju ravnina koje su razmaknute za Δ𝑥, dok

Δ𝑥2 ϑ označuje razliku dviju prostorno susjednih vrijednosti Δ𝑥ϑ. Ukoliko je u ravnini 𝑖Δ𝑥 u

trenutku 𝑘Δ𝑡 temperatura 𝜗𝑖,𝑘 onda se prema slici 1. mogu pisati diferencijski oblici:

Δ𝑡𝜗 = 𝜗𝑖,𝑘+1 − 𝜗𝑖,𝑘 (29)

Δ𝑥𝜗 = 𝜗𝑖+1,𝑘 − 𝜗𝑖,𝑘 (30)

Δ𝑥2 ϑ = (𝜗𝑖+1,𝑘 − 𝜗𝑖,𝑘) − (𝜗𝑖,𝑘 − 𝜗𝑖−1,𝑘) (31)

Δ𝑥2 ϑ = 𝜗𝑖+1,𝑘 + 𝜗𝑖−1,𝑘 − 2 ∙ 𝜗𝑖,𝑘 (32)

Uvrštavajući jednadžbe (29) i (30) u jednadžbu (28) dobiva se

𝜗𝑖,𝑘+1 − 𝜗𝑖,𝑘 = 𝑎 ∙Δ𝑡

(Δ𝑥)2∙ (𝜗𝑖+1,𝑘 + 𝜗𝑖−1,𝑘 − 2 ∙ 𝜗𝑖,𝑘) +

𝑎 ∙ Φ𝑣

𝜆∙ Δ𝑡 (33)

Te uvrštavajući supstitucije

𝑀 = 𝑎 ∙Δ𝑡

(Δ𝑥)2 (34)

koju često nazivamo Fourierov broj i

𝑁 =𝑎 ∙ Φ𝑣

𝜆∙ Δ𝑡 (35)

može se jednadžbu (33) zapisati u konačnom obliku:

𝜗𝑖,𝑘+1 = 𝑀 ∙ (𝜗𝑖+1,𝑘 + 𝜗𝑖−1,𝑘) + 𝜗𝑖,𝑘 ∙ [1 − 2 ∙ 𝑀] + 𝑁 (36)

Iz strukture diferencijske jedandžbe jasno je vidljivo da ona vrijedi za sve unutrašnje čvorove

ravne stijenke i ona predstavlja eksplicitni zapis. Također je razvidno i da čim postoji

specifiran početni uvjet, a gornja formulacija je kompletirana, rješenje ovog nestacionarnog

problema se dobiva marširanjem u vremenu koristeći korak Δ𝑡. Za svako od 𝐼 − 1 unutrašnjih

čvorova dobiva se 𝐼 − 1 jednadžbi. Ostale dvije jednadžbe dobivaju se iz rubnih uvjeta koji se

također moraju diskretizirati.



2.2.2 Diskretizacija rubnih uvjeta diferencijalne jednadžbe jednodimenzijskog

nestacionarnog temperaturnog polja s toplinskim izvorom izdašnosti 𝜱𝒗

Rubni uvjeti koji se moraju diskretizirati su rubni uvjet 3.vrste na 𝑥 = 0 i 𝑥 = 𝛿

Slika 2. Diskretizacija rubnog uvjeta za 𝒙 = 𝟎

Slika 3. Diskretizacija rubnog uvjeta na 𝒙 = 𝜹



Postavljajući jednadžbu za rubnu plohu 𝑥 = 0, tj. rubne uvjet 3. vrste može se pisati:

−𝜆 ∙ (𝜕𝜗

𝜕𝑥) = 𝛼𝑥=0 ∙ (𝜗∞,0 − 𝜗1,𝑘) (37)

Te se diskretizirajući gornju jednadžbu dobiva se

(𝜕𝜗

𝜕𝑥) =

𝜗2,𝑘 − 𝜗0,𝑘

2 ∙ ∆𝑥 (38)

𝜗2,𝑘 − 𝜗0,𝑘

2 ∙ ∆𝑥=

𝛼𝑥=0

𝜆∙ (𝜗1,𝑘 − 𝜗∞,0) (39)

Definiranjem Biotove mrežne značajke

𝐵𝑖𝑥=0 =𝛼𝑥=0 ∙ ∆𝑥

𝜆 (40)

može se pisati

𝜗0,𝑘 = 𝜗2,𝑘 − 2 ∙ 𝐵𝑖𝑥=0 ∙ (𝜗1,𝑘 − 𝜗∞,0) (41)

𝜗1,𝑘+1 − 𝜗1,𝑘 = 𝑀 ∙ (𝜗2,𝑘 + 𝜗0,𝑘 − 2 ∙ 𝜗1,𝑘) + 𝑁 (42)

Supstituirajući jedandžbu (41) u jednadžbu (42) dolazi se do

𝜗1,𝑘+1 − 𝜗1,𝑘 = 𝑀 ∙ (𝜗2,𝑘 + 𝜗2,𝑘 − 2 ∙ 𝐵𝑖𝑥=0 ∙ (𝜗1,𝑘 − 𝜗∞,0) − 2 ∙ 𝜗1,𝑘) + 𝑁 (43)

Te se sređivanjem dobiva konačni oblik izraza za temperaturu u čvoru 1 u vremenu 𝑘 + 1

𝜗1,𝑘+1 = 𝜗1,𝑘 ∙ ⌈1 − 2 ∙ 𝑀 ∙ (1 + 𝐵𝑖𝑥=0)⌉ + 2 ∙ 𝑀 ∙ 𝜗2,𝑘 + 2 ∙ 𝑀 ∙ 𝐵𝑖𝑥=0 ∙ 𝜗∞,0 + 𝑁 (44)

Provodeći analogni postupak za rubnu plohu na 𝑥 = 𝛿 dolazi se do konačnog oblika izraza za

temperatu tog I – tog rubnog čvora u vremenu 𝑘 + 1

−𝜆 ∙ (𝜕𝜗

𝜕𝑥) = 𝛼𝑥=𝛿 ∙ (𝜗𝐼,𝑘 − 𝜗∞,𝛿) (45)

(𝜕𝜗

𝜕𝑥) =

𝜗𝐼+1,𝑘 − 𝜗𝐼−1,𝑘

2 ∙ ∆𝑥 (46)

𝜗𝐼−1,𝑘 − 𝜗𝐼+1,𝑘

2 ∙ ∆𝑥=

𝛼𝑥=𝛿

𝜆∙ (𝜗𝐼,𝑘 − 𝜗∞,𝛿) (47)

𝐵𝑖𝑥=𝛿 =𝛼𝑥=𝛿 ∙ ∆𝑥

𝜆 (48)

𝜗𝐼+1,𝑘 = 𝜗𝐼−1,𝑘 − 2 ∙ 𝐵𝑖𝑥=𝛿 ∙ (𝜗𝐼,𝑘 − 𝜗∞,𝛿) (49)



𝜗𝐼,𝑘+1 − 𝜗𝐼,𝑘 = 𝑀 ∙ (𝜗𝐼+1,𝑘 + 𝜗𝐼−1,𝑘 − 2 ∙ 𝜗𝐼,𝑘) + 𝑁 (50)

𝜗𝐼,𝑘+1 − 𝜗𝐼,𝑘 = 𝑀 ∙ (𝜗𝐼−1,𝑘 − 2 ∙ 𝐵𝑖𝑥=𝛿 ∙ (𝜗𝐼,𝑘 − 𝜗∞,𝛿) + 𝜗𝐼−1,𝑘 − 2 ∙ 𝜗𝐼,𝑘) + 𝑁 (51)

𝜗𝐼,𝑘+1 = 𝜗𝐼,𝑘 ∙ [1 − 2 ∙ 𝑀(1 +∙ 𝐵𝑖𝑥=𝛿)] + 2 ∙ 𝑀 ∙ 𝜗𝐼−1,𝑘 + 2 ∙ 𝑀 ∙ 𝐵𝑖𝑥=𝛿 ∙ 𝜗∞,𝛿 + 𝑁 (52)

2.3 Kriterij stabilnosti eksplicitne metode

„Eksplicitna metoda nije bezuvjetno numerički stabilna, tako da je kod primjene te metode,

najveća vrijednost vremenskog koraka Δ𝑡 ograničena upravo kriterijem stabilnosti te metode.

Ukoliko vremenski korak nije dovoljno malen, dobivena rješenja eksplicitnom metodom

mogu izrazito oscilirati i divergirati od stvarnih rješenja. Da bi se spriječilo te oscilacije

čvorišnih temperaturnih vrijednosti, vrijednost odabranog vremenskog koraka mora biti manja

ili u krajnjem slučaju jednaka vrijednosti dobivene iz kriterija stabilnosti. Taj je kriterij

stabilnosti baziran na II. zakonu termodinamike, na osnovu kojeg je ispunjen kriterij

stabilnosti ako su koeficijenti (nazvani primarnim koeficijentima) u izrazima za 𝜗𝑖,𝑘 i 𝜗𝑖,𝑘+1

jednaki ili veći od nule.“1 Pošto se postavljaju različite diferencijske jedandžbe za različite

čvorove postoji mogućnost da će te jednadžbe rezultirati i različitim ograničenjima za

vremenski korak Δ𝑡. Stoga se prvo mora pronaći jednadžba s najmanjim primarnim

koeficijentom, kao najrestriktivnijim uvjetom. Kada se odredi tu vrijednost, tj. taj kriterij,

onda je definiran i kriterij stabilnosti za cijeli sustav. Ako se promatra diferencijska jednadžba

za čistu kondukciju kroz ravnu stijenku (s nametnutim temperaturnim rubnim uvjetima) tada

iz jednadžbe (36) slijedi

𝜗𝑖,𝑘+1 = 𝑀 ∙ (𝜗𝑖+1,𝑘 + 𝜗𝑖−1,𝑘) + 𝜗𝑖,𝑘 ∙ [1 − 2 ∙ 𝑀] + 𝑁 (36)

[1 − 2 ∙ 𝑀] ≥ 0 (53)

𝑀 = 𝑎 ∙Δ𝑡

(Δ𝑥)2≤

1

2 (54)

Δ𝑡 ≤(Δ𝑥)2

2 ∙ 𝑎 (55)

Pošto je u zadanom sučaju definiran problem s rubnim uvjetima 3. vrste tada se kriterij

stabilnosti mora ispitati i za te slučajeve. Stoga se za 𝑥 = 0 može pisati

1 Galović, A.: Diskretizacija parcijalne diferencijalne jednadžbe nestacionarnog 1 - D modela provođenja topline



𝜗1,𝑘+1 = 𝜗1,𝑘 ∙ ⌈1 − 2 ∙ 𝑀 ∙ (1 + 𝐵𝑖𝑥=0)⌉ + 2 ∙ 𝑀 ∙ 𝜗2,𝑘 + 2 ∙ 𝑀 ∙ 𝐵𝑖𝑥=0 ∙ 𝜗∞,0 + 𝑁 (44)

⌈1 − 2 ∙ 𝑀 ∙ (1 + 𝐵𝑖𝑥=0)⌉ ≥ 0 (56)

Δ𝑡 ≤(Δ𝑥)2

2 ∙ 𝑎 ∙ (1 +𝛼0 ∙ Δ𝑥

𝜆) (57)

A za 𝑥 = 𝛿

𝜗𝐼,𝑘+1 = 𝜗𝐼,𝑘 ∙ [1 − 2 ∙ 𝑀(1 +∙ 𝐵𝑖𝑥=𝛿)] + 2 ∙ 𝑀 ∙ 𝜗𝐼−1,𝑘 + 2 ∙ 𝑀 ∙ 𝐵𝑖𝑥=𝛿 ∙ 𝜗∞,𝛿 + 𝑁 (52)

[1 − 2 ∙ 𝑀(1 +∙ 𝐵𝑖𝑥=𝛿)] ≥ 0 (58)

Δ𝑡 ≤(Δ𝑥)2

2 ∙ 𝑎 ∙ (1 +𝛼𝛿 ∙ Δ𝑥

𝜆) (59)



3. ODREĐIVANJE JEDNODIMENZIJSKOG STACIONARNOG

TEMPERATURNOG POLJA U RAVNOJ STIJENCI S TOPLINSKIM

IZVOROM IZADAŠNOSTI 𝜱𝒗

Za rješavanje problema nestacionarnog temperaturnog polja u ravnoj stijenci s toplinskim

izvorom izdašnosti Φ𝑣 od krucijalne je važnosti stacionarno temperaturno polje jer će njemu

kao asimptotskoj vrijednosti težiti nestacionarno temperaturno polje. Budući da je stacionarno

polje definirano za svaku točku krutine, a nestacionarno se dobiva za N točaka, to jest pomoću

N algebarskih jednadžbi, kvaliteta aproksimacije će upravo ovisiti o tom broju točaka.

Ukoliko bi neka stijenka bila podijeljena na beskonačno mnogo točaka približno temperaturno

polje bi savršeno točno opisivalo dobiveno stacionano temperaturno polje. Iz tog se razloga

ovdje daje izvod za jednodimenzijsko stacionarno temperaturno polje u ravnoj stijenci s

toplinskim izvorom izdašnosti Φ𝑣 kao funkciju temperatura fluida, toplinske provodnosti

krutine, toplinskog izvora, debljine stijenke i dakako koeficijenata prijelaza topline na rubnim

plohama stijenke. 𝑇(𝑥) = 𝑓(𝛼1, 𝛼2, 𝑇01, 𝑇02, 𝜆, 𝛿, 𝛷𝑣)

Zapisuje se diferencijalna jednadžba provođenja topline u smjeru osi 𝑥 uz postojanje

toplinskog izvora

𝑑2𝜗

𝑑𝑥2+

Φ𝑣

𝜆= 0 ∕ ∫ (59)

𝑑𝜗

𝑑𝑥= −

Φ𝑣

𝜆∙ 𝑥 + 𝐶1 ∕ ∫ (60)

𝜗(𝑥) = −Φ𝑣

𝜆∙

𝑥2

2+ 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2 (61)

Te rubni uvjeti 3. vrste za rubove stijenke

−𝜆 ∙ (𝜕𝜗

𝜕𝑥)

𝑥=0= 𝛼1 ∙ (𝑇01 − 𝑇𝑠1) (62)

−𝜆 ∙ (𝜕𝜗

𝜕𝑥)

𝑥=𝛿= 𝛼2 ∙ (𝑇𝑠2 − 𝑇02) (63)

Proračun se započinje na stijenci za 𝑥 = 0

𝑇𝑠1 = −Φ𝑣

𝜆∙

02

2+ 𝐶1 ∙ 0 + 𝐶2 (64)



−𝜆 ∙ (−Φ𝑣

𝜆∙ 0 + 𝐶1) = 𝛼1 ∙ (𝑇01 − 𝑇𝑠1) (65)

−𝜆 ∙ 𝐶1 = 𝛼1 ∙ (𝑇01 − 𝐶2) (66)

Kada se dobije jednadžba (66) koja je zapravo obična linearna jednadžba s dvije nepoznanice

i koja sadrži funkcijsku vezu između konstanti (izražena je konstanta 𝐶1 kao funkcija

konstante 𝐶2 ) onda je potrebno još razrješiti i slučaj na stijenci 𝑥 = 𝛿

−𝜆 ∙ (−Φ𝑣

𝜆∙ 𝛿 + 𝐶1) = 𝛼2 ∙ (𝑇𝑠2 − 𝑇02) (67)

𝑇𝑠2 = −Φ𝑣

𝜆∙

𝛿2

2+ 𝐶1 ∙ 𝛿 + 𝐶2 (68)

Φ𝑣 ∙ 𝛿 − 𝜆 ∙ 𝐶1 = 𝛼2 ∙ (−Φ𝑣

𝜆∙

𝛿2

2+ 𝐶1 ∙ 𝛿 + 𝐶2 − 𝑇02) (69)

Φ𝑣 ∙ 𝛿 + 𝛼1 ∙ (𝑇01 − 𝐶2) = 𝛼2 ∙ (−Φ𝑣

𝜆∙

𝛿2

2+ 𝐶1 ∙ 𝛿 + 𝐶2 − 𝑇02) (70)

𝐶2 =Φ𝑣 ∙ 𝛿 + 𝛼1 ∙ 𝑇01 +

Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼2

2 ∙ 𝜆− 𝐶1 ∙ 𝛿 ∙ 𝛼2 + 𝛼2 ∙ 𝑇02

𝛼1 + 𝛼2

(71)

Konstanta 𝐶1 dobiva se uvrštavanjem jednadžbe (71) u jednadžbu (66)

−𝜆 ∙ 𝐶1 = 𝛼1 ∙ (𝑇01 −Φ𝑣 ∙ 𝛿 + 𝛼1 ∙ 𝑇01 +

Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼2

2 ∙ 𝜆− 𝐶1 ∙ 𝛿 ∙ 𝛼2 + 𝛼2 ∙ 𝑇02

𝛼1 + 𝛼2) (72)

𝐶1 ∙ (𝜆 +𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿

𝛼1 + 𝛼2) = 𝛼1 ∙ (

Φ𝑣 ∙ 𝛿 + 𝛼1 ∙ 𝑇01 +Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼2

2 ∙ 𝜆+ 𝛼2 ∙ 𝑇02

𝛼1 + 𝛼2− 𝑇01)

(73)

𝐶1 =𝛼1 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑇02 − 𝑇01)

𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿+

Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼1 ∙ 𝛼2

2 ∙ 𝜆 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿] (74)

Nakon određivanja konstante 𝐶1 do konstante 𝐶2 dolazi se uvrštavanjem jednadžbe (74) u

jednadžbu (66)



−𝜆 ∙ (𝛼1 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑇02 − 𝑇01)

𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿+

Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼1 ∙ 𝛼2

2 ∙ 𝜆 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿])

= 𝛼1 ∙ (𝑇01 − 𝐶2)

(75)

𝐶2 = 𝑇01 +𝜆 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 + 𝜆 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑇02 − 𝑇01) +

Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼2

2𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿

(76)

𝐶2 =𝑇01 ∙ 𝜆 ∙ 𝛼1 + 𝑇01 ∙ 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿 + 𝜆 ∙ 𝛼2 ∙ 𝑇02 + 𝜆 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 +

Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼2

2𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿

(77)

Uvrštavajući jednadžbe (77) i (74) u jednadžbu (61) dobiva se partikularno rješenje

temperaturnog polja za zadane uvjete

𝑇(𝑥) = −Φ𝑣

𝜆∙

𝑥2

2+

+ (𝛼1 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑇02 − 𝑇01)

𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿+

Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼1 ∙ 𝛼2

2 ∙ 𝜆 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿]) ∙ 𝑥

+𝑇01 ∙ 𝜆 ∙ 𝛼1 + 𝑇01 ∙ 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿 + 𝜆 ∙ 𝛼2 ∙ 𝑇02 + 𝜆 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 +

Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼2

2𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿

(78)



4. ODREĐIVANJE DEBLJINE STIJENKE 𝒙𝒎 NA KOJOJ SE NALAZI

TEMPERATURNI MAKSIMUM

Za rješavanje modela nestacionarnog temperaturnog polja također je važno poznavati debljinu

stijenke 𝑥m na kojoj se nalazi temperaturni maksimum. Naime pošto je u stvarnom modelu,

konačan broj čvorova pomoću kojih se dobiva temperaturno polje unutar stijenke, a taj broj će

biti i relativno malen, postojat će i razlike maksimalnih postignutih temperatura između

stacionarnog i nestacionarnog temperaturnog polja. Također se, kako se i pokazuje u daljnjoj

razradi problema, uočava zanimljivo rješenje, a to je da temperaturni maksimum može pasti

bilo gdje unutar stijenke na debljini od 𝑥 = 0 do 𝑥 = 𝑥m ali iza te debljine ma koliko god se

povećao 𝛷𝑣 neće doći do promjene vijednosti 𝑥m koordinate, nego će se samo mijenjati oblik

temperaturnog polja.

Do tražene debljine stijenke se dolazi postavljajući diferencijalnu jednadžbu provođenja

topline s toplinskim izvorom

𝑑𝜗

𝑑𝑥= −

Φ𝑣

𝜆∙ 𝑥 + 𝐶1 (78)

(𝑑𝜗

𝑑𝑥)

𝑥=𝑥m

= −Φ𝑣

𝜆∙ 𝑥m + 𝐶1 (79)

Jasno je da će se temperaturni maksimum dobiti pomoću rubnog uvjeta druge vrste, tj.

adijabatskim rubnim uvjetom pa se može pisati

(𝑑𝜗

𝑑𝑥)

𝑥=𝑥m

= 0 (80)

Supstituirajući jednadžbu (80) u jedndžbu (79) dolazi se do tražene vrijednosti debljine

stijenke

−Φ𝑣

𝜆∙ 𝑥m +

𝛼1 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑇02 − 𝑇01)

𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿

+Φ𝑣 ∙ 𝛿2 ∙ 𝛼1 ∙ 𝛼2

2 ∙ 𝜆 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿]= 0

(81)

𝑥m =𝜆 ∙ [𝛼1 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 − 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑇02 − 𝑇01)]

Φ𝑣 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿]+

𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿2

2 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿] (82)



4.1 Određivanje debljine stijenke 𝒙𝐦 na kojoj se nalazi temperaturni maksimum uz

uvjet da 𝜱𝒗 → ∞

Kako je već ranije napomenuto ma koliko god se povećao iznos toplinskog izvora on neće

moći pomaknuti poziciju točke 𝑥m, na kojoj se nalazi temperaturni maksimum, u pozitivnom

smjeru osi x. Za određivanje te pozicije potrebno je krenuti od jednadžbe (82)

𝑥m =𝜆 ∙ [𝛼1 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 − 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑇02 − 𝑇01)]

Φ𝑣 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿]+

𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿2

2 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿] (82)

Te svođenjem na zajednički razlomak i sređivanjem za primjenu L'Hôpitalovog pravila gornja

jednadžba prelazi u sljedeći oblik

𝑥𝑚 =2 ∙ 𝜆 ∙ [𝛼1 ∙ Φ𝑣 ∙ 𝛿 − 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑇02 − 𝑇01)] + Φ𝑣 ∙ 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿2

2 ∙ Φ𝑣 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿] (83)

Te se dobiva da je pozicija na kojoj se nalazi temperaturni maksimum kada 𝛷𝑣 → ∞ jednaka

limΦ𝑣→∞

𝑥m =2 ∙ 𝜆 ∙ 𝛼1 ∙ 𝛿 + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿2

2 ∙ [𝜆 ∙ (𝛼1 + 𝛼2) + 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛿] (84)



5. PRIKAZ JEDNODIMENZIJSKOG STACIONARNOG



U zadatku je zadanao da za analizu nestacionarnog jednodimenzijskog temperaturnog polja

treba, za ravnu stijenku s jednoliko distribuiranim toplinskim izvorom izadšnosti 𝛷𝑣, uzeti 4

materijala debljine =100 mm, a to su redom :

bakar

krom-nikl čelik

azbest i

suhi beton gustoće ρ=500 kg/m3,

s time da im je početna temperatura stijenki 30o C. Zadane temperature fluida s jedne i s druge

strane su 80 o

C i 30 o

C, a pripadajući im koeficijenti prijelaza topline iznose (x = 0) = 100

W/(m2 K) i (x = ) = 30 W/(m

2 K). Vrijednosti toplinskih izvora je potrebno varirati od 0

do 20000 W/m3 s korakom od 5000 W/m

3, te tako pripremljenom diskretizacijskom metodom

zajedno sa specificiranim početnim i rubnim uvjetima doći do rješenja temperaturnog polja po

vremenu i prostoru.

Za rješavanje ovog problema prvo se mora napraviti prikaz jednodimenzijskog stacionarnog

temperaturnog polja u ravnoj stijenci s jednoliko distribuiranim toplinskim izvorom izadšnosti

Φ𝑣 za sve materijale, radi prikaza konačnog stanja kojem će temperaturna polja u svakom

materijalu težiti, tj. približna temperaturna polja koja će se ustaliti nakon nekog proteka

vremena.

Podatci koji su se koristili za fizikalna svojstva materijala su prikazani sljedećom tablicom:

Tablica 1. Popis materijala te njihovih svojstava

Materijal Gustoća ρ [kg/m

3]

Specifični toplinski

kapacitet c [kJ/(kg K)]

Toplinska provodnost

λ [W/(m K)]

Bakar 8930 0,379 386

Krom – niklov čelik 7900 0,477 14,0

Azbest 383 0,795 0,112

Suhi beton 500 0,879 0,128



5.1 Bakar

Bakar je jedan od najboljih toplinskih vodiča koje ljudi poznaju, pa je i za očekivati da će

njegovo temperaturno polje imati približno horizontalan karakter.

Slika 4 . Prikaz temperaturnog polja u bakru s variranjem toplinskog izvora od 0 do 20000

W/m3

Iz gornjeg dijagrama je jasno vidljivo da utjecaj toplinskog izvora 𝛷𝑣 nema veliki utjecaj na

izgled krivulja temperaturnog polja, jer su sve približno linearne, tj. to su vrlo slabo

zakrivljene parabole. Tamno plava linija koja prikazuje temperaturno polje bez toplinskog

izvora, koje onda shodno tome prati zakon pravca, se po zakrivljenosti ne razlikuje puno od

svijetlo plave linije koja zapravo ne prati zakon pravca već je parabola kako je to i prikazano

na sljedećoj slici. Također je jasno vidljivo iz dijagrama da se povećanjem vrijednosti 𝛷𝑣

krivulje translatiraju u smjeru povećanja temperature, te da rubovi stijenke imaju približno

sličnu temperaturu kao i maksimalnu temperaturu koja se nalazi na 𝑥 = 𝑥m.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Φ𝑣=0 W/m3

Φ𝑣=5000 W/m3

Φ𝑣=10000 W/m3

Φ𝑣=15000 W/m3

Φ𝑣=20000 W/m3



Slika 5. Prikaz temperaturnog polja u bakru za Φv=20000 W/m3

Iz dijagrama koji prikazuje temperaturno polje u bakru je vidljiva prethodna tvrdnja da je to

blago zakrivljena parabola jer kada se dovoljno smanji temperaturna skala, krivulja poprima

karakterističan oblik.

5.2 Krom – nikl čelik

Od četiri zadan materijala krom – nikl čelik i bakar su toplinski vodiči, s time da bakar ima

višu vrijednost toplinske provodnosti pa je i sukladno tome bolji toplinski vodič. Ta činjenica

svejdno ne mijenja puno očekivanja oko izgleda temperaturnog polja krom – nikl čelika.

83,70

83,72

83,74

83,76

83,78

83,80

83,82

83,84

83,86

83,88

83,90

83,92

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Φ𝑣=20000 W/m3



Slika 6. Prikaz temperaturnog polja u krom - nikl čeliku s variranjem toplinskog izvora od 0

do 20000 W/m3

Iako je i krom – nikl čelik, kako je već rečeno, toplinski vodič, iz dijagrama su neke stvari

oko temperaturnog polja u stacionarnom stanju jasne. Tamno plava krivulja koja opisuje

stacionarno temperaturno polje bez jednoliko distribuiranog toplinskog izvora izdašnosti Φv je

pravac koji se dodavanjem toplinskog izvora počinje blago zakrivljavati i postiže neki lokalni

makismum kako je to i prikazano ljubičastom i svijetlo plavom krivuljom. Što je iznos

toplinskog izvora veći to su krivulje zaobljenije, a maksimalna temperatura postignuta u

materijalu se počinje sve više razlikovati od temperatura na rubovima stijenke.

5.3 Suhi beton

U zadatku je među četiri zadana materijala i suhi beton gustoće ρ=500 kg/m3, a iz tablice

podataka je vidljivo da suhi beton spada u kategoriju toplinskih izolatora zbog male toplinske

provodnosti. To posljedično znači da svi zaključci koji su izvedeni na temelju prethodnih

dijagram nisu u potpunosti primjenjivi i na ovaj materijal.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Φ𝑣=0 W/m3

Φ𝑣=5000 W/m3

Φ𝑣=10000 W/m3

Φ𝑣=15000 W/m3

Φ𝑣=20000 W/m3



Slika 7. Prikaz temperaturnog polja u suhom betonu s variranjem toplinskog izvora od 0 do

20000 W/m3

Iz dijagrama za suhi beton je vidljivo kao i za prethodni slučaj kod krom – nikl čelika da

dolazi do prelaska temperaturnog polja koje prati zakon pravca u slučaju bez jednoliko

distribuiranog toplinskog izvora u parabolu s izraženim lokalnim ekstremom za slučaj kada

postoji toplinski izvor. Za razliku od oba prethodna materijala, za koje smo već rekli da su

toplinski vodiči, suhi beton kao toplinski izolator pokazuje drugačije ponašanje. Već i kod

manjeg iznosa toplinskog izvora, u ovom primjeru crvena i zelena krivulja, zamjećujemo

znatno izraženiju zakrivljenost parabole. To je posljedica kako je već napomenuto, manjeg

iznosa toplinske provodnosti, ali i jednako tako većeg iznosa specifičnog toplinskog

kapaciteta materijala. Logično je da se s povećanjem količine pohranjene energije mora

promijeniti i temperaturno polje unutar materijala. Također je na ovom dijagramu jako dobro

vidljiv i utjecaj rubova, tj. da koeficijenti prijelaza topline na graničnim površinama stijenke

itekako utječu na oblik temperaturnog polja. Jednostavno rečeno to bi se moglo slikovito

prikazati kao da toplinski izvor „vuče“ temperaturno polje u smjeru povećanja temperature, a

da koeficijenti prijelaza topline „pokušavaju zadržati“ temperaturno polje na mjestu. Osim

navedenih činjenica razvidno je i da postoji znatna razlika između maksimalne temperature

temperaturnog polja i temperature na rubovima materijala.

0

50

100

150

200

250

300

350

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina stijenke [mm]

Φ𝑣=0 W/m3

Φ𝑣=5000 W/m3

Φ𝑣=10000 W/m3

Φ𝑣=15000 W/m3

Φ𝑣=20000 W/m3



5.4 Azbest

Slika 8. Prikaz temperaturnog polja u azbestu s variranjem toplinskog izvora od 0 do 20000

W/m3

Za azbest vrijede svi zaključci izvedeni i za suhi beton s time da je prema svojstvima azbest

bolji toplinski izolator pa shodno tome i ima manju vrijednost toplinske provodnosti.

Posljedično su temperaturna polja unutar materijala nešto izraženija pa je i maksimalna

temperatura koja se postiže unutar materijala nešto viša nego što je to bio slučaj u suhom

betonu. Također i ovdje valja skrenuti pozornost na rubove stijenke gdje, kako je već u

prethodnom slučaju bilo detaljno opisano, koeficijenti prijelaza topline igraju krucijalnu

ulogu. Pošto je na lijevoj strani stijenke koeficijent prijelaza topline (x = 0) = 100 W/(m2 K)

vidimo da na toj plohi vrijednost temperaturnog polja azbesta i ne prikazuje značajne razlike u

odnosu na vrijednost temperature u dijagramu suhog betona, dok na rubnoj plohi za x = , pri

koeficijentu prijelaza topline = 30 W/(m2 K), možemo zamjetiti razliku temperatura između

ova dva materijala.

0

50

100

150

200

250

300

350

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina stijene [mm]

Φ𝑣=0 W/m3

Φ𝑣=5000 W/m3

Φ𝑣=10000 W/m3

Φ𝑣=15000 W/m3

Φ𝑣=20000 W/m3



5.5 Stacionarno temperaturno polje za sva četiri materijala pri 𝜱𝒗 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 W/m3

Slika 9. Stacionarno temperaturno polje za sva četiri materijala za Φv=20000 W/m3

Na gornjoj slici su jasno vidljivi svi navedeni zaključci. Za bakar koji je idenetificiran kao

eklatantan primjer toplinskog vodiča je jasno vidljivo da stavljanjem njegovog temperaturnog

polje u istu mrežu s temperaturnim poljima ostalih materijala, ono ima gotovo horizontalan

karakter. Također je s druge strane vidljivo za azbest, da kao najbolji izolator iz zadane

skupine materijala, ima najizraženiji temperaturni maksimum. Ovdje se također jako dobro

vidi i utjecaj rubnih uvjeta, tj. da će na lijevoj strani stijenke (za 𝑥 = 0) gotovo svi materijali

imati istu temperaturu, a na desnoj strani stijenke (za 𝑥 = 𝛿) će parovi materijala imati gotovo

jednaku temperaturu. To je posljedica činjenice da je na lijevoj strani koeficijent prijelaza

topline dovoljno velik da postane dominantan član što se tiče formiranja temperaturnog polja

na rubu stijenke, dok nam je na desnoj strani koeficijent prijelaza topline manji, pa je i

posljedično tome prestao biti dominantan član; zato su tu svojstva materijala od velikog

utjecaja.

0

50

100

150

200

250

300

350

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina stijenke [mm]

Azbest

Krom - niklov čelik

Bakar

Suhi beton



6. PRIKAZ JEDNODIMENZIJSKOG NESTACIONARNOG



Kako je već rečeno u točci 5., u zadatku se traži da se diskretizacijskom metodom zajedno sa

specificiranim početnim i rubnim uvjetima dobije rješenje temperaturnog polja u vremenu i

prostoru. To se prikazje u potpunosti za azbest, tj. prikazuju se nestacionarna temperaturna

polja unutar stijeke s jednoliko distribuiranim toplinskim izvorm izdašnost 𝛷𝑣 varirajući mu

vrijednosti od 0 do 20000 W/m3 s korakom od 5000 W/m

3. Za ostale materijale prikazuje se

temperaturno polje pri vrijednosti 𝛷𝑣 = 20000 W/m3

jer će zaključci izvedeni za azbest biti

univerzalno primjenjivi.

6.1 Azbest

Budući da se u zadatku traži prikaz nestacionarnog temperaturnog polja s jednoliko

distribuiranim izvorom izdašnosti 𝛷𝑣, prema pripremljenom matematičkom modelu u točci 2.,

provodi se proračun koristeći svojstva azbesta navedena u Tablici 1. Za broj čvorova je uzeta

vrijednost N = 20.

6.1.1 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟎 W/m3

U točci 5. je prikazano da ukoliko ne postoji toplinski izvor, tj. ako je njegova izdašnost

jednaka 0 stacionarno temperaturno polje unutar bilo koje ravne stijnke prati zakon pravca. Za

prikaz vremenske distribucije nestacionarnog temperaturnog polja u ravnoj stijeci korišten je

fortranski kod. Uzeta vrijednost debljine stijenke je 100 mm, a budući da je ona podijeljena na

20 segmenata prostorni korak Δ𝑥 će iznositi 5 mm i stijenka će sadržavati 21 čvor.



Slika 10. Vremenska distribucija temperaturnog polja u azbestu za Φ𝑣 = 0 W/m3

Kako je vidljivo iz gornjeg dijagrama u početnom trenutku je temperaturno polje bilo

jednoliko, tj. stijenka je bila progrijana na 30oC. Kako se protok vremena mijenjao, odnosno

kako je nestacionarno temperaturno polje težilo stacionarnom stanju, krivulja se sve više i

više približavala zakonu pravca. Budući da je s lijeve strane stijenke (za 𝑥 = 0) temperatura

fluida jednaka 80 o

C , a za 𝑥 = 𝛿 temperatura fluida iznosi 30 o

C, jasno je da se ovdje radi o

modelu zagrijavanja ravne stijenke pa temperaturna polja s lokalnim minimumom nastaju

zbog činjenice da se prvo zagrijava rub stijenke na 𝑥 = 0, a potom ostale točke stijenke

kondukcijom kroz materijal.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje u 0 s

Temp polje u 2000 s

Temp polje u 4000 s

Temp polje u 6000 s

Temp polje u 8000 s

Temp polje u 10000 s






Slika 11. Aproksimacija temperaturnog polja u Azbestu za Φ𝑣 = 0 W/m3

Iz dijagrama na slici 11. jasno je vidljivo da približno stacionarno temperaturno polje u 16000

sekundi jako dobro opisuje analitički dobiveno stacionarno temperaturno polje.

6.1.2 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 W/m3

U azbestu pri toplinskom izvoru izdašnosti 𝛷𝑣 = 5000 W/m3 temperaturno polje ima oblik

parabole, kako je to i vidljivo iz dijagrama na slici 8., pa će nestacionarno temperaturno polje

težiti toj paraboli.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Približno temp polje u 16000 s

Stacionarno temp polje




Slika 13. Aproksimacija temperaturnog polja u azbestu za Φ𝑣 = 5000 W/m3

0

20

40

60

80

100

120

140

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje u 0 s

Temp polje nakon 2000 s






0

20

40

60

80

100

120

140

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]





Vidljivo je i da nestacionarno temperaturno polje u 11451 sekundi dobro opisuje stacionaro

temperaturno polje, a da se tijekom zagrijavanja materijala maksimalna temperatura, tj.

lokalni ekstrem svake parabole nalazi na manjoj vrijednosti nego je to bio slučaj za približno

temperaturno polje.

6.1.3 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 W/m3


U slučaju povećanja iznosa toplinskog izvora, malo se smanjuje potrebno vrijeme za

uspostavljanje približnog stacionarnog temperaturnog polja, koje nastaje kao posljedica bržeg

zagrijavanja materijala. A na sljedećem dijagramu je vidljivo da nestacionarno temperaturno

polje u 10495 sekundi dobro opisuje stacionarno.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje u 0 s

Temp polje nako 2000 s









6.1.4 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 W/m3


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]



0

50

100

150

200

250

300

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje u 0 s










U dijagramu aproksimacije temperaturnog polja vidljivo je da dolazi do sve veće razlike

maksimalnih temperatura približnog stacionarnog i analitički dobivenog stacionarnog

temperaturnog polja. To je posljedica numeričke greške, pošto je u fortranskom kodu za

rješavanje nestacionarnog problema bilo zadano da se rubne temperature na 𝑥 = 𝛿 moraju

razlikovati za manje od 0,008oC. Također je i ovdje vidljivo da se je vrijeme potrebno za

uspostavljanje približnog stacionarnog temperaturnog polja smanjilo u odnosu na prošli

slučaj.

6.1.5 Temperaturno polje u azbestu za 𝜱𝒗 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 W/m3

Kako je već i prije bilo rečeno, azbest je toplinski izolator pa znamo da će on imati i najvišu

maksimalnu temperaturu stacionarnog temperaturnog polja od grupe zadanih materijala. U

prethodnim slučajevima zamjetno je da se povećanjem iznosa toplinskog izvora povećava i

rastojanje maksimalne temperature u stacionarno i nestacionarnom temperaturnom polju pa bi

za slučaj 𝛷𝑣 = 20000 W/m3

ta temperaturna razlika morala biti najveća.

0

50

100

150

200

250

300

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]






Dijagram na slici 18. prikazuje nekoliko stvari. Kao što je i očekivano, za Φ𝑣 = 20000 W/m3

je postignuta maksimalna temperatura nestacionarnog temperaturnog polja u azbestu, pa je i

stoga parabola najzaobljenija. Također je vidljivo da temperaturno polje materijala, u

početnim trenutcima zagrijavanja, uvelike diktiraju rubni uvjeti. Crvena krivulja koja

prikazuje temperaturno polje u 200 sekundi uopće nije parabola jer toplina koja se

kondukcijom širi kroz stijenku (od ruba stijenke za x = 0), tj. od topline koja se konvekcijom

prenese od fluida više temperature na rub stijenke rezultira puno bržim zagrijavanjem lijevog

dijela stijenke. Srednji dio temperaturnog polja u 200 sekundi diktira toplinski izvor, a na

desnom kraju (rub stijenke za 𝑥 = 𝛿) ponovo dolazi do utjecaja stijenke, tj. toplina

kondukcijom odlazi prema rubu stijenke i konvekcijom se predaje fluidu niže temperature.

Temperaturno polje u 500 sekuni, označeno zelenom bojom također nije parabola jer ni u

ovom slučaju nije proteklo dovoljno vremena za formiranje karakteristične krivulje (parabole)

pod utjecajem toplinskog izvora. Temperaturno polje od 2000 sekunde do trenutka

uspostavljanja približnog stacionarnog temperaturnog polja ima karakterističan oblik.

0

50

100

150

200

250

300

350

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje u 0s

Temp polje nakon 200s






Temp polje u 9986 s




Kako je i očekivano na dijagramu sa slike 19. je vidljivo da približno stacionarno i analitički

dobiveno stacionarno temperaturno polje imaju najveću razliku maksimalnih temperatura. U

ovom slučaju je to dosta velika razlika jer iznosi ̴ 10oC. To nastaje, kako je već napomenuto

zbog numeričke pogreške, a ovom problemu se jednostavno može doskočiti povećanjem broja

čvorova u stijenci materijala. Povećanjem broja čvorova se dakako i povećava broj segmenata

na koji je podijeljena stijenka, a samim time i prostorni korak Δ𝑥. Iz jednadžbi (55), (57) i

(59) je također razvidno da će to utjecati i na smanjenje vremenskog koraka Δ𝑡, a time i na

produljenje potrebnog vremena za uspostavljanje približnog stacionarnog temperaturnog

polja.

0

50

100

150

200

250

300

350

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje nakon 9985,607s




Slika 20. Aproksimacija temperaturnog polja u azbestu za Φ𝑣 = 20000 W/m3 za različit broj

čvorova

S dijagrama na slici 20. se jasno vidi da je razlika između približnog stacionarnog i analitički

dobivenog stacionarnog temperaturnog polja smanjena povećanjem broja čvorova. U prvom

slučaju kada je stijenka bila podjeljena na 20 čvorova postojala je znatna temperaturna razlika

(̴ 10oC) između nestacionarnog i stacionarnog temperaturnog polja, a u drugom slučaju kada

se je stijenka podijelila na 80 čvorova ta je temperaturna razlika pala na ̴ 2oC. To potvrđuje

prethodno navedenu tvrdnju u točci 3., a to je da ukoliko bi postojala stijenka podijeljena na

beskonačno mnogo čvorova, onda bi njezino približno nestacionarno temperaturno polje

savršeno točno pogodilo stacionarno. Također važno je i napomenuti da je došlo do porasta

vremena potrebnog za postizanje ovog novog približnog stacionarnog temperaturnog polja, te

ono sada iznosi 13633 sekunde ili povećanje od 27% u usporedbi s onim za 20 čvorova.

0

50

100

150

200

250

300

350

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]


Temp polje za 20 čvorova




Slika 21. Trenutna vrijednost ukupne gustoće toplinskih tokova na graničnim površinama

azbestne stijenke

Svi navedeni zaključci su vidljivi i u dijagamu trenutne vrijednosti ukupne gustoće toplinskih

tokova na graničnim površinama azbestne stijenke. Vidi se da svaka od krivulja asimptotski

teži približnoj vrijednosti ukupne gustoće toplinskog toka u stacionarnom stanju. Malo

odstupanje rezultata od traženih vrijednosti nastaje kao greška numerike. Također je razvidno

i da je potrebno vrijeme za postizanje približnog nestacionarnog temperaturnog polja s

jednoliko distribuiranim izvorom topline to kraće što je Φ𝑣 veći.

6.2 Suhi beton

Suhi beton kao i azbest spada u skupinu materijala koju se naziva toplinskim izolatorima, tako

da će svi zaključci koji su prethodno izvedeni vrijediti i u ovom slučaju. Dakako, budući da

suhi beton ima nešto slabiju toplinsku provodnost za očekivati je da će njegovo temperaturno

polje ipak doseći vrijednost maksimalne temperature ispod one vrijednosti koja je postignuta

za azbest uz jednake narinute vanjske uvjete. Također je i za očekivati da će vrijeme potrebno

za uspostavljanje približnog stacionarnog temperaturnog polja biti veće od onog u slučaju

-200-100

0100200300400500600700800900

1000110012001300140015001600170018001900200021002200

0 5000 10000 15000

Gu

sto

ća t

op

linsk

og

toka

[W

/m2]

Vrijeme [s]

"azbest za Φ𝑣=5000 W/m3"






azbesta. I ovdje je uzeta vrijednost debljine stijenke 100 mm, a budući da je ona podijeljena

na 20 segmenata prostorni korak Δ𝑥 će iznositi 5 mm te će stijenka sadržavati 21 čvor.

Slika 22. Vremenska distribucija temperaturnog polja u suhom betonu za Φ𝑣 = 20000 W/m3

Na dijagramu sa slike 22. je vidljivo da će s povećanjem protoka vremena temperaturno polje

postići neku vrijednost približnog stacionarnog temperaturnog polja. Zagrijavanje ravne

stijenke materijala kreće od trenutka t = 0 u kojem je taj materijal progrijan na početnu

temperaturu od 30oC, te u početnim trenutcima temperaturno polje nema oblik parabole, već

neke složene krivulje kako je opisano i za azbest u točci 6.1.5. Također je iz dijagrama

vidljivo i vrijeme postizanja tog približnog stacionarnog temperaturnog polja i razvidno je da

je pretpostavka da će biti potrebno više vremena točna. Pošto je u azbestu na dijagramu

približnog stacionarnog i analitički dobivenog stacionarnog temperaturnog polja bila vidljiva

temperaturna razlika onda se vrši ispitivanje hoće li se pojaviti i kolika će razlika biti u

slučaju suhog betona.

0

50

100

150

200

250

300

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje u 0s











Slika 23. Aproksimacija temperaturnog polja u suhom betonu za Φ𝑣 = 20000 W/m3

Slika 24. Aproksimacija temperaturnog polja u suhom betonu pri Φ𝑣 = 20000 W/m3 za različit

broj čvorova

0

50

100

150

200

250

300

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]


Temp polje u 12869,5 s

0

50

100

150

200

250

300

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]


Temp polje za 41 čvor

Temp polje za 61 čvor




Kao što je i bilo za očekivati, pošto azbest i beton spadaju u istu grupu materijala, postoji

zamjetno rastojanje između maksimalnih temperatura približnog stacionarnog i analitički

dobivenog stacionarnog temperaturnog polja, a ona iznosi ̴ 8oC. Povećavanjem broja čvorova

povećava se broj segmenata na koji je stijenka materijala podijeljena pa se i smanjuje

vrijednost prostornog koraka Δ𝑥. Vidljivo je iz dijagrama da se povećanjem broja čvorova na

41 temperaturna razlika između temperaturnih polja smanjila na ̴ 4oC, a daljnjim povećanjem

na 61 čvor na nešto manje od 3 oC.


stijenke suhog betona

Sa slike 25. je razvidno da gustoća toplinskog toka teži vrijednosti od 2000 W/m2

što

predstavlja vrijednost u stacionarnom stanju, pa nam ovaj dijagram daje potvrdu sa stajališta

energijske bilance.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Gu

sto

ća t

op

linsk

og

toka

[W

/m2 ]

Vrijeme [s]

suhi beton za Φ𝑣=20000 W/m3



6.3 Krom – nikl čelik

Krom – nikl čelik spada u grupu toplinskih vodiča zbog velike vrijednosti toplinske

provodnosti, a korišteni podatci u proračunu su dani u Tablici 1. Poznato je iz točke 5. da će

temperaturno polje u stacionarnom stanju pri iznosu toplinskog izvora Φ𝑣 = 20000 W/m3

biti

blago zakrivljena parabola pa je i za očekivati takav oblik približnog stacionarnog

temperaturnog polja. Također je i za očekivati da će biti potrebno više vremena za postizanje

tog polja.

Slika 26. Vremenska distribucija temperaturnog polja u krom - nikl čeliku za Φ𝑣 = 20000

W/m3

S dijagrama na slici 26. je vidljivo da će se približno stacionarno temperaturno polje u ravnoj

stijenci krom – nikl čelika uspostaviti nakon 14985 sekundi, a to nastaje kao posljedica većeg

keoficijenta toplinske provodnosti materijala. Također je iz istog razloga vidljivo da će trebati

duže vremena da krivulje počnu poprimati karakterističan oblik parabole. Temperaturno polje

prikazano zelenom bojom, tj. nakon 2000 sekundi još uvijek pokazuje da se veliki dio topline

unosi u materijal konvekcijom s fluida više temperature na lijevoj strane stijenke (za x = 0).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje u 0s











Tek negdje oko 8000 sekunde temperatura lijevog ruba stijenke poraste iznad vrijednosti

temperature fluida, a to je na gornjem dijagramu prikazano temperaturnim poljem narančaste

boje.

Slika 27. Aproksimacija temperaturnog polja u krom - nikl čeliku za Φ𝑣 = 20000 W/m3

Sa slike 27. je vidljivo da numerički dobiveno približno stacionarno temperatuno polje u

14985 sekundi dobro opisuje analitički dobiveno stacionarno temperaturno polje prema

egzaktnom modelu jer je razlika između postignutih temperatura manja od 0,5oC. I za prikaz

temperaturnog polja u krom - nikl čeliku je za broj čvorova uzeta vrijednost N = 20.

80,50

81,00

81,50

82,00

82,50

83,00

83,50

84,00

84,50

85,00

85,50

86,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]






stijenke krom - nikl čelika

Na dijagramu sa slike 28. je prikazana kontrola odgovarajućom energijskom bilancom te se

može vidjeti ranije navedena tvrdnja o tome da će trebati proći dosta vremena dok toplinski

izvor ne preuzme dominantnu ulogu u formiranju temperaturnog polja. Kako je vidljivo s

dijagrama, tek će oko 4000 sekunde biti gustoća toplinskog toka jednaka 0, dok je za

prethodna dva materijala krivulja trenutne vrijednosti gustoće toplinskog toka imala bitno

različite vrijednosti u navedenom vremenskom trenutku.

6.4 Bakar

Kako je već bilo rečeno, bakar je izrazito dobar toplinski vodič, a njegova fizikalna svojstva

koja smo koristili u proračunu su dani u Tablici 1. Za proračun temperaturnog polja i u bakru

je uzeta vrijednost broja čvorova N = 20. U 5. točci je prikazano stacionaro temperaturno

polje bakra, a sa slike 4. je vidljivo da ono ima približno horizontalan karakter za sve zadane

vrijednosti izvora topline u zadatku (0 – 20000 W/m3)

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

0 4000 8000 12000 16000

Gu

sto

ća t

op

linsk

og

toka

[W

/m2 ]

Vrijeme [s]

Krom - niklov čelik za Φ𝑣=20000 W/m3



Slika 29. Vremenska distribucija temperaturnog polja u bakru za Φ𝑣 = 20000 W/m3

Kako je vidljivo iz dijagrama na slici 29., a i što je bilo očekivano, i u nestacionarnom stanju

temperaturna polja s jednoliko distribuiranim izvorom izdašnosti Φ𝑣 unutar materijala imaju

približno horizontalan karakter, a to nastaje kao posljedica izrazito velike vrijednosti toplinske

provodnosti. Vidljivo je iz dijagrama da će se približno stacionarno temperaturno polje postići

u 11651 sekundi.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje u 0s






Temp polje u 11650,68 s



Slika 30. Aproksimacija temperaturnog polja u bakru za Φ𝑣 = 20000 W/m3

Iz dijagrama na slici 30. vidljivo je da numerički dobiveno približno stacionarno temperaturno

polje jako dobro opisuje analitički dobiveno stacionarno temperaturno polje, jer je

maksimalno odstupanje manje od 0,02oC. Također je i razvidno da ukoliko dovoljno

smanjimo temperaturnu skalu da će temperaturna polja poprimiti karakterističan oblik, tj.

parabolu.

83,70

83,72

83,74

83,76

83,78

83,80

83,82

83,84

83,86

83,88

83,90

83,92

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Tem

pe

ratu

ra [

oC

]

Debljina [mm]

Temp polje nakon 11650,68 s





bakrene stijenke

Kako je vidljivo i iz dijagrama sa slike 31. kontrola energijskom bilancom također pokazuje

da krivulja asimptotski teži stvarnoj vrijednosti ukupne gustoće toplinskog toka u

stacionarnom stanju, tj. dobivena razlika vrijednosti ukupnih gustoća toplinskih tokova

između nestacionarnog i stacionarnog stanja iznosi samo 0,734 W/m2.

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Gu

sto

ća t

op

linsk

og

toka

[W

/m2]

Vrijeme [s]

Bakar za Φ𝑣=20000 W/m3



7. ZAKLJUČAK

U radu su prikazani diskretizacijski oblici parcijalne diferencijalne jednadžbe provođenja

topline u ravnoj stijenci s jednoliko distribuiranim toplinskim izvorom izdašnosti 𝛷𝑣, kao i

diskretizacijski oblici rubnih uvjeta 3. vrste dobiveni korištenjem metode konačnih diferencija

kao metode diskretizacije. Za analizu su bila odabrana četiri materijala koja su imala zadane

početne i rubne uvjete, a približavanje njihovog nestacionarnog temperaturnog polja

stacionarnom se kontroliralo odgovarajućom energijskom bilancom i temperaturnim

kriterijem pa je stoga bilo potrebno odrediti i analitički oblik stacionarnog polja.

Kako je iz rada vidljivo ponašanje različitih skupina materijala (toplinskih vodiča i toplinskih

izolatora) odlikuje se i drugačijim temperaturnim poljima. Za rješavanje problema

nestacionarnog temperaturnog polja je korišten fortranski kod, a stijenka materijala je bila

podijeljena na 20 segmenata, odnosno sadržavala je 21 čvor. Numerički dobivena rješenja

približnog stacionarnog temperaturnog polja za toplinske vodiče su jako dobro opisivala

rješenje stacionarnog temperaturnog polja prema egzaktnom modelu, dok u slučaju toplinskih

izolatora to nije bilo tako. Prikazano je da povećanjem broja čvorova dobiveno temperaturno

polje toplinskih izolatora sve bolje opisuje temperaturno polje u stacionarno stanju, a i

izveden je zaključak da je to posljedica velikih razlika u vrijednostima toplinske provodnosti.

Kako su vidljive razlike u dobivenim temperaturnim poljima, tako su vidljive i razlike

vrijednosti gustoća toplinskih tokova dobivenih za navedene dvije skupine materijala.

Krivulje ukupnih gustoća toplinskih tokova toplinskih vodiča (bakar i krom – nikl čelika) i

toplinskih izolatora (azbesta i suhog betona) asimptotski teže istoj vrijednosti ali s značajnim

vremenskim rastojanjem. Također se vrijednosti ukupnih gustoća toplinskih tokova toplinskih

vodiča u početnim trenutcima bitno razlikuju od toplinskih izolatora, a to opet nastaje kao

posljedica toplinske provodnosti materijala kao i specifičnog toplinskog kapaciteta.

Numerički dobivena približna stacionarna temperaturna polja dosta dobro opisuju stacionarno

temperaturno polje prema egzaktnom modelu, a pošto su očekivanja prilikom riješavanja

problema temperaturnih polja unutar stijenki materijala bila približno jednaka onima kako je

to prikazano na slici 9. (očekivan je prikaz veće izraženosti toplinskog otpora kod izolatora

nego kod vodiča) zaključujem da sam zadovoljan dobivenim rezultatima.



LITERATURA

[1] Galović, A.: Termodinamika II, Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu, Fakultet strojarstva i

brodogranje, Ivana Lučića 5, Zagreb 2010.

[2] Bošnjaković, F.: Nauka o toplini, Svezak I, II i III, Graphis, Zagreb, 2012.

[3] Cengel, Y. A.: Heat transfer, A practical approach, Mc Graw - Hill, Boston, 2003.

[4] Halasz B., Galović, A., Boras I.: Toplinske tablice, Fakultet strojarstva i brodogranje,

Ivana Lučića 5, Zagreb 2010.

[5] Galović, A.: Diskretizacija parcijalne diferencijalne jednadžbe nestacionarnog 1 - D

modela provođenja topline, Zagreb: Fakultet strojarstva i brodogradnje



PRILOZI

I. CD-R disc

Documents

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUrepozitorij.fsb.hr/3223/1/Šojat_2015_zavrsni... · 2015-02-26 · unutrašnji toplinski izvori (ponori) zadani u općem obliku Φ𝑣=𝑓ԫ , , ,𝑡Ԭ te