S.VLASE, H.TEODORESCU, L. SCUTARU V.GUIMAN, …aspeckt.unitbv.ro/jspui/bitstream/123456789/1591/1/CINEMATICA si... · s.vlase, h.teodorescu, l. scutaru v.guiman, v.munteanu, a.stanciu,

S.VLASE, H.TEODORESCU, L. SCUTARU

V.GUIMAN, V.MUNTEANU, A.STANCIU, R.PURCAREA

CINEMATICA SI DINAMICA. CULEGERE DE PROBLEME

Referent ştiinţific: prof.univ.dr.ing. Gheorghe Deliu

Consilier editorial: dr. Dorin Lixăndroiu

© 2009 - Editura INFOMARKET

www.infomarket.go.ro

Editura IFOMARKET Editură acreditată de CCSIS cu nr.198 O.P.1 - C.P.361 - BRAŞOV

Tel./Fax: (0268) 41 01 32

ISB 978-973-1747-16-3

Descrierea CIP a Bibliotecii aţionale a României VLASE, SORI Culegere de probleme de mecanică / Sorin Vlase, Horaţiu Teodorescu-Drăghicescu, Maria Luminiţa

Scutaru, ... - Braşov : Infomarket, 2009.

ISBN 978-973-1747-16-3

I. Teodorescu-Drăghicescu, Horaţiu

II. Scutaru, Maria Luminiţa

531

S.VLASE, H. TEODORESCU-DRĂGHICESCU, M.L. SCUTARU,

V. GUIMA, V. MUTEAU, A. STACIU, R. PURCĂREA

CINEMATICĂ şi DINAMICĂ.

Culegere de probleme

Editura IFOMARKET

i

CUPRINS

CAPITOLUL I

CINEMATICA PUNCTULUI ATERIAL………….………. 1

CAPITOLUL II

CINEMATICA RIGIDULUI………….………………….… 37

CAPITOLUL III

MISCAREA RELATIVĂ A PUNCTULUI MATERIAL….. 99

CAPITOLUL IV

APLICAŢIILE TEHNICE ALE CINEMATICII…………... 111

CAPITOLUL V

DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL………….……….. 129

CAPITOLUL VI

MOMENTE DE INERŢIE………….………….…………… 161

CAPITOLUL VII

DINAMICA RIGIDULUI………….………….……………. 209

CAPITOLUL VIII

DINAMICA SISTEMELOR DE RIGIDE………….….…... 263

CAPITOLUL IX

VIBRAŢIILE SISTEMELOR MECANICE………….…….. 313

ANEXA I

CALCUL VECTORIAL SI MATRICEAL………….……. 393

ii

1.1. Vectori. Noţiuni fundamentale………….………... 393

1.2. Operaţii cu vectori………….………….…….……. 396

1.2.1. Adunarea vectorilor…………......................... 396

1.2.1.1. Suma a doi vectori.………….…………. 396

1.2.1.2. Suma mai multor vectori………….…… 397

1.2.1.3. Proprietăţile sumei vectoriale…………. 398

1.2.1.4. Descompunerea unui vector…………… 400

1.2.1.5. Scăderea a doi vectori………….……… 403

1.2.1.6. Proprietăţi ale egalităţilor vectoriale în

care apar sume si diferenţe………….………….. 404

1.2.1.7. Descompunerea unui vector după doi

vectori coplanari cu el………….………………. 405

1.2.1.8. Înmulţirea unui vector cu un scalar…… 407

1.2.1.9. Vectori coplanari linear independenţi si

linear dependenţi………….………….………… 408

1.2.1.10. Descompunerea unui vector după trei

vectori necoplanari………….………….……… 408

1.2.1.11. Vectori necoplanari linear

independenţi si linear dependenţi……………… 410

1.2.1.12. Condiţiile în care trei vectori au

extremităţile în linie dreaptă sau patru vectori au

extremităţile în acelasi plan………….…………. 410

1.2.2. Produsul scalar a doi vectori………….……... 411

iii

1.2.2.1. Definiţie si proprietăţi………….……… 411

1.2.2.2. Reprezentări algebrice………….……… 413

1.2.3. Produsul vectorial a doi vectori……………… 415

1.2.3.1. Definiţie si proprietăţi…………………. 415

1.2.3.2. Reprezentări algebrice…………………. 419

1.2.4. Produsul mixt a trei vectori………….………. 420

1.2.4.1. Definiţia produsului mixt si proprietăţi... 420

1.2.4.2. Reprezentări algebrice………….……… 422

1.2.5. Dublul produs vectorial a trei vectori……….. 423

1.2.6. Aplicaţii ale calculului vectorial……………. 424

1.2.6.1. Vectorul de poziţie al unui punct……… 424

1.2.6.2. Determinarea dreptei suport a unei forţe. 424

1.3. Exerciţii………….…….……….……….……….… 427

1.4. Matrice.………….………….………… …….…… 444

1.4.1. Noţiuni fundamentale………….……….……. 444

1.4.2. Operaţii cu matrice………….………….…… 447

1.4.2.1. Suma a două matrice………….……….. 447

1.4.2.2. Înmulţirea unei matrice cu un scalar…... 449

1.4.2.3. Produsul a două matrice……………….. 449

1.4.2.4. Inversa unei matrice.………….……….. 451

1.4.2.5. Sisteme lineare………….……………... 452

1.4.2.6. Transpusa unei matrice……………...… 453

iv

1.4.2.7. Reprezentarea matriceală a produsului

vectorial………….………….………….………. 453

1.5. Vectori si valori proprii pentru matrice pătrate…….. 454

1.6. Matrice ortogonale………………………………..... 456

1.7. Unele proprietăţi ale operaţiilor cu matrice………… 457

1.8. Matrice compuse…………………………………… 459

1.9.Funcţii de matrice…………………………………… 460

1.9.1. Consideraţii generale………………………… 460

1.9.2. Cazul matricelor simetrice…………………… 460

ANEXA II

VECTORI SI VALORI PROPRII………………………….. 463

2.1 Matricea momentelor de inerţie…………………….. 463

2.2. Rotaţia axelor……………………………………..... 463

2.3. Momentul de inerţie al unui corp în raport cu o axă.. 466

2.4. Direcţii de extrem pentru momentele de inerţie…… 467

2.5. Raza de inerţie……………………………………… 470

2.6. Proprietăţi ale direcţiilor principale de inerţie……... 470

2.7. Elipsoidul de inerţie………………………………… 472

BIBLIOGRAFIE…………………………………………..... 479

CINEMATICĂ şi DINAMICĂ

1

CAPITOLUL I

CIEMATICA PUCTULUI MATERIAL

1.1. Un punt material se mişcă după legea:

tAtAx ωω sincos 21 +=

tBtBy ωω sincos 21 +=

Se cer traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului material.

Rezolvare: Pentru a afla traiectoria va trebui să eliminăm timpul

din cele două relaţii. Sistemul linear în tωcos şi tωsin :

=

y

x

t

t

BB

AA

ωω

sin

cos

21

21

oferă soluţia:

−

−

∆=

y

x

AB

AB

t

t

11

221

sin

cos

ωω

unde 1221 BABA −=∆

Avem deci: ( )yAxBt 22

1cos −

∆=ω ; ( )yAxBt 11

1sin +−

∆=ω

Întrucât: 1sincos 22 =+ tt ωω rezultă:

( ) ( ) 111 2

1122

222 =+−∆

+−∆

yAxByAxB

sau: ( ) ( ) ( ) 221

22

21122

21

22

2 2 ∆=+++−+ AAyBABAxyBBx


2

care reprezintă ecuaţia unei elipse.

Matricea acestei forme pătratice este:

( )

( )

++−

+−+21

221122

112221

22

AABABA

BABABB.

Problema de valori proprii:

( )

( )0

21

221122

112221

22 =

−++−

+−−+

λλ

AABABA

BABABB

sau: ( )( ) ( ) 021122

21

22

21

22 =+−−+−+ BABAAABB λλ

dă semiaxele elipsei: 21 /1;/1 λλ == ba unde 1λ şi 2λ sunt

soluţiile ecuaţiei de gradul doi obţinute. Sistemul linear omogen:

( )

( )0

sin

cos21

221122

112221

22 =

−++−

+−−+

θθ

λλ

AABABA

BABABB

dă înclinarea axelor elipsei faţă de sistemul de coordonate Oxy:

( ) ( )1122

221

22

21122

121

22

1 ;BABA

BBtg

BABA

BBtg

+−+

=+

−+=

λθ

λθ

Cele două axe, determinate de unghiurile 1θ şi respective 2θ , sunt

perpendiculare între ele şi formează un nou sistem de coordonate

OXY faţă de care elipsa traiectorie are forma:

122

21 =+ YX λλ

sau: 111

2

2

2

1

=

+

λλ

YX


3

Componenetele vitezei sunt:

( )tAtAvx ωωω cossin 21 +−=

( )tBtBvy ωωω cossin 21 +−=

de unde se poate obţine valoarea vitezei:

22yx vvv += .

Componentele acceleraţiei sunt:

( ) xtAtAax2

212 sincos ωωωω −=+−=

( ) ytBtBay2

212 sincos ωωωω −=+−=

şi dau valoarea acceleraţiei:

( )2242 yxa += ω .

Relaţiile de definiţie ale spaţiului se mai pot scrie:

( )11cos ϕω += tax

( )22cos ϕω += tay

unde:

1

21

22

211 ;

A

AtgAAa −=+= ϕ ;

1

22

22

212 ;

B

BtgBBa −=+= ϕ

Viteza va fi dată atunci de relaţiile:

( ) ( )2211 sin;sin ϕωωϕωω +−=+−= tavtav yx

iar acceleraţia:


4

( ) ( )2221

21 cos;cos ϕωωϕωω +−=+−= taataa yx

1.2. Ecuaţiile parametrice ale unui punct material în mişcare sunt:

ter α= ; tβθ = . Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia

utilizând sistemul de coordonate polare.

Rezolvare: Eliminăm timpul t între cele două relaţii: βθ

=t de

unde θ

βα

⋅

= er . Traiectoria este deci o spirală logaritmică. Avem:

ter αα=& ; ter αα 2=&& ; βθ =& ; 0=θ&& .

Rezultă:

tr erv αα== & ; terv α

θ βθ == & .

Vectorul viteză:

( )θα

θθ βα eeeevevv rt

rr +=+=rr

are valoarea:

22 βαα += tev .

Unghiul făcut de viteză cu raza vectoare este:

( ) ctv

vrvtg

r

===αβθ, .

Acceleraţia are componentele:


5

( )222 βαθ α −=−= tr erra &&& ; terra α

θ αβθθ 22 =+= &&&&

( )[ ]θα αββα eeea r

t 222 +−=

( ) ( )2222222 4 βαβαβα αα +=+−= tt eea

Unghiul făcut de acceleraţie cu vectorul de poziţie al punctului

( ) cta

aratg =

−==

22

2,

βααβ

ρ

θ .

1.3. Un om se deplasează trăgând de extremitatea punctului C a

unei funii, trecută după un scripete mic B, cealaltă extremitate a

funiei fiind legata la

un cărucior care se

deplasează pe o

platformă orizontală.

Ştiind că viteza cu

care aleargă omul este

constantă şi egală cu

ur şi că diferenţa de nivel dintre platformă şi extremitatea C a

funiei este h , se cere să se determine viteza v a căruciorului şi

acceleraţia sa (fig. 1.3).

Rezolvare: Din figură rezultă utx = ; 22222 htuhxy +=+= .

Fig.1.3


6

Viteza căruciorului este:

dt

dyv = deci

222

2

htu

tuv

+= sau

22 hx

xuv

+= .

Acceleraţia căruciorului este:

dt

dva = deci

( )23

222

22

htu

hua

+

= sau

( )23

22

22

hx

hua

+= .

1.4. O particulă se deplasează în linie dreaptă cu viteza

smx

v

+=

4

5. Să se determine poziţia acesteia la st 6= , dacă la

0,0 == xt . De asemenea, să se determine acceleraţia când

mx 2= .

Rezolvare: Din dt

dxv = , rezultă dtvdx = ; dt

xdx

+=4

5;

( ) dtdxx 54 =+ ; ( ) ∫∫ =+t

t

s

dtdxx

0

540

,

t

t

s

s

tx

x0

0

52

42

=

+ , t

ss 5

24

2

=+ .

Dacă t = 6s .72,4 ms =⇒


7

dx

dvv

dt

dx

dx

dv

dt

dva ⋅=⋅== .

Cum ( )24

5

xdx

dv

+−= rezultă că:

( ) ( )32 4

25

4

5

4

5

xxxa

+−=

+⋅

+−= .

Pentru mx 2= , rezultă 2116 sma −= .

1.5. Acceleraţia unui punct material în mişcare rectilinie este dată

prin relaţia ( ) 212 smta −= . Dacă mxo 1= şi smvo 2= la 0=ot

să se determine viteza punctului material şi poziţia acestuia la

st 6= . De asemenea să se determine spaţiul total parcurs de

punctul material în acest interval de timp.

Rezolvare: Din relaţia dtadv = , prin integrare rezultă:

( ) 2;;12 222 +−=+−−=−−= ∫∫ ttvttttvvdttdv ooo

t

to

v

vo

La momentul t = 6 s rezultă: smv 32= .

Putem scrie: ( )dtttdxdtvdx 22 +−=⇒= ,

( )∫∫ +−=6

0

2

1

2 dtttdx

s

,


8

msmttt

s 6766121872223

1

6

0

23

=⇒=+−=

+−=− ,

mssd 541550 =−=−=

1.6. Mişcarea unui punct pe suprafaţa

unui con circular drept este definită în

coordonate polare prin: αρ tgth ⋅⋅= ,

t⋅= πθ 2 , unde α este semiunghiul la vârf

al conului şi h este distanţa cu care punctul

se ridică la o rotaţie în jurul axei Oz a

conului (fig. 1.6). Să se determine

modulul vitezei şi acceleraţiei punctului

mobil, la orice moment t .

Rezolvare: Fiind vorba de un con circular drept, avem:

ztga

ρ=

rezultând: thtga

z ⋅==ρ

Componentele vitezei sunt:

αρρ tghv ⋅== & ; ( )παθρθ 2tgthv ⋅⋅== & ; hzvz == & ,

iar modulul vitezei va fi: απα 222 cos4 ecttghv +⋅= .

Fig.1.6


9

Componentele acceleraţiei sunt:

( )22παρ tgtha ⋅⋅−= ; ( )παθ 22 tgtha ⋅⋅= ; 0=za ,

iar modulul acceleraţiei va fi:

( )222 12 ttgha ππα +⋅= .

Relaţia dintre θ şi z este h

zπθ 2= .

1.7. Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia pentru un

punct ale cărui ecuaţii de mişcare în coordonate carteziene sunt:

θλθ cos0−+= exx ; θλθ sin0

−+= eyy ; λθ−+= ezz 0 ,

unde 0x , 0y 0z şi λ sunt parametrii constanţi.

Rezolvare: Traiectoria este descrisă prin ecuaţiile parametrice

date. Pentru a obţine informaţii suplimentare despre curbă vom

elimina parametrul θ din ecuaţii ( )( )ctt === ωθθθ &; . Scriem

ecuaţiile parametrice se scriu sub forma:

θλθ cos0−=− exx ; ( ) θλθ 222

0 cos−=− exx ;

θλθ sin0−=− eyy ; ( ) θλθ 222

0 sin−=− eyy ;

λθ−=− ezz 0 ; ( ) λθ220

−=− ezz ,

Apoi se ridică la pătrat toate cele trei ecuaţii, primele două se

aduna şi a treia se scade din acestea, rezultând ecuaţia:


10

( ) ( ) ( ) 020

20

20 =−−−+− zzyyxx .

Ecuaţia obţinută reprezintă un con pe care se înfăşoară elicea

conică cu relaţiile date.

Componentele vectorului viteză sunt:

θθθθλ λθλθ sincos −− −−== eexvx&&& ;

θθθθλ λθλθ cossin −− +−== eeyvy&&& ;

λθθλ −−== ezvz&& ,

deci:

( ) ( )[ ]kjiev λθθλθθλθ λθ −+−++−= − cossinsincos& ,

iar modulul acesteia este

2222 21 λθ λθ +=++= −ezyxv &&&& .

Componentele vectorului acceleraţie, ţinând sema că ct==ωθ& ,

sunt:

( )[ ]θλθλθ λθ cos1sin2 22 −+== −exax&&& ;

( )[ ]θλθλθ λθ sin1cos2 22 −+−== −eya y&&& ;

λθθλ −== ezaz22 &&& ,

deci:

( )[ ] ( )[ ] kjiea 2222 sin1cos2cos1sin2 λθλθλθλθλθ λθ +−+−++−−= −&

iar modulul acesteia este

( ) 4222 1 λλω λθ ++= −ea .


11

1.8. Bara AC de lungime egală cu l ( )Rl 2> este articulată în A

de manivela OA şi trece prin

punctul fix B (fig. 1.8). Ştiind că

manivela OA se roteşte faţă de O

şi are legea spaţiului unghiular

tk=ϕ , se cer să se determine: a)

viteza punctului C; b) acceleraţia

punctului C; c) raza de curbură a

traiectoriei punctului C. (fig. 1.8)

Rezolvare:

a) Coordonatele punctului C în raport cu sistemul de referinţă xOy

sunt:

2sincos

ktlktRx += ;

2cossin

ktlktRy −= .

Componentele pe axele sistemului de referinţă pentru viteza

punctului C sunt:

2cos

2sin

ktklktkRxvx +−== & ;

2sin

2cos

ktklktkRyvy +== & .

deci modulul vitezei este:

2sin

4

2222 kt

lRl

Rkvvv yxC −+=+=r

.

Fig.1.8


12

b) Componentele acceleraţiei punctului în sistemul de referinţă

xOy sunt:

2sin

4cos

22 ktk

lktkRxax −−== && ;

2cos

4sin

22 ktk

lktkRya y +−== && .

Mărimea acceleraţiei punctului C este:

2sin

216

22222 ktlRl

Rkaaa yxC −+=+=r

.

c) Raza de curbură Cρ se determină cu relaţia:

νρC

CC

a

v2

= .

Acceleraţia τCa (acceleraţia tangenţială) este:

2sin

44

2cos

2sin

4 22

22

2

ktlR

lR

ktlRk

ktlR

lRk

dt

d

dt

dvaC

−+

−=

−+==τ .

Rezultă că:

2sin

416

2cos

2sin

216 22

2222

22

ktlR

lR

ktlR

ktlRlRkaC

−+

−−+=ν

şi în final


13

2sin36

2sin12

2sin961664

2sin44

222334224

322

2

ktlR

ktlR

ktlRllRR

ktlRlR

a

v

C

CC

+−−++

−+

== νρ

1.9. Să se calculeze, în coordonate polare, în plan, expresia avrr

×

şi să se deducă, cu ajutorul acesteia raza de curbură a traiectoriei.

În particular să se ia unghiul polar θ ca măsură a timpului.

Răspuns: ( ) 23222

322221

θ

θθθθ&&

&&&&&&&&&

rr

rrrrrr

R +

+−+=

1.10. Ecuaţiile mişcării unui punct urmând o elice înfăşurată pe un

tor, sunt: .ctRr == , tωψ = ; tk=ϕ . Să se determine proiecţia

vitezei şi acceleraţiile punctului într-o poziţie situată într-un sistem

de coordonate toroidale ( ).., ctkct ==ω .

Răspuns: ( ) ( ) 22coscos ωω RktktRaar −⋅+−= ;

kktRRkta ωωψ ⋅−⋅⋅= sin2cos2 2 ;

( ) 2sincos ωϕ ⋅+= ktktRaa .


14

1.11. Un punct material M se deplasează pe bara OA în mişcare

uniformă pornind din O cu viteza smv 2,0= . Bara OA de

lungime egală cu m1 se roteşte faţă de O după legea spaţiului

unghiular tπθ 4,0= . Se cer să se determine componentele vitezei şi

acceleraţiei punctului material ajuns în poziţia A.

Răspuns:

vv =ρ ; vtv π4,0= ; ( ) vta24,0 πρ −= ; va πθ 8,0= ;

smvA 272,1= ; 2657,1 smaA = .

1.12. Calculaţi traiectoria

unui punct M al unui sistem

bielă-manivelă, viteza şi

acceleraţia. Se dă:

ct== πϕ 4& .

Aplicaţie: cmlr 601 == , lMB3

1= , (fig. 1.12).

Rezolvare: AMrAMOAr +=+= 1

rr;

jrirrrrr

ϕϕ sincos 111 += ; jlilAMrr

ϕϕ sin3

2cos

3

2−= ;

Fig.1.12.a


15

jlrilrrrrr

ϕϕ sin3

2cos

3

211

−+

+= .

Ecuaţiile parametrice de mişcare ae punctului M vor fi:

:sin3

2;cos

3

211 ϕϕ

−=

+= lrylrx

de unde prin eliminarea parametrului variabil ϕ rezultă ecuaţia

traiectoriei:

1

3

2

3

22

1

2

2

1

2

=

−

+

+ lr

y

lr

x.

Înlocuind valorile rezultă: 120100 2

2

2

2

=+yx

deci o elipsa raportată la

sistemul de coordonate Oxy cu semiaxele 100 şi 20 cm (fig.1.12.b).

Fig. 1.12.b


16

Viteza se determină prin derivarea vectorului de poziţie în raport

cu timpul:

:cos3

2;sin

3

211 ϕϕϕϕ &&&&

−==

+−== lryvlrxv yx

Ştiind că cttd

d=== π

ϕϕ 4& , 0=ϕ&& viteza devine:

:cos3

24;sin

3

24 11 ϕπϕπ

−==

+−== lryvlrxv yx &&

iar modulul vitezei este:

( )ϕϕπ 221

221 cossin

3

2

9

44 −++= lrlrvM .

Acceleraţia se determină derivând vectorul viteză în raport cu

timpul:

.sin3

2cos

3

2

;cos3

2sin

3

2

211

211

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

&&&&&

&&&&&

−−

−==

+−

+−==

lrlrya

lrlrxa

y

x

1.13. Să se determine ecuaţia analitică a traiectoriei, viteza şi

acceleraţia unui punct al unei drepte care se rostogoleşte, fără

alunecare, pe un cerc de rază R (fig. 1.13.a) (evolventa cercului).


17

Rezolvare: Se alege ca parametru cinematic unghiul θ făcut de

raza OT cu verticala. Avem: θRarcATTM == .

=+−++=+= )sincos()cossin( jRiRjRiRTMOTrrrrrr

θθθθθθjRiRrr)sin(cos)cos(sin θθθθθθ ++−= .

Ecuaţiile parametrice ale evolventei sunt deci:

)sin(cos

)cos(sin

θθθθθθ

+=

−=

Ry

Rx

Componentele vitezei vor fi:

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

cos)cossinsin(

sin)sincos(cos

&&&

&&&

RRyv

RRxv

y

x

=++−==

=+−== ,

iar viteza se obţine din relaţia:

Fig.1.13.a. Evolventa cercului


18

2222 )( θθ &&& Ryxv =+=

de unde:

θθ &Rv = .

Acceleraţia va fi dată de:

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

sincoscos

cossinsin22

22

&&&&&&

&&&&&&

RRRya

RRRxa

y

x

−+==

++==

cu valoare dată de:

)4( 2244222 θθθθθθθθ &&&&&&& +++= Ra .

Lungimea arcului de evolventă este:

∫∫∫ ====αα α

θθθθ0

2

0 2RdRdtRvdts &

(am presupus 0≥θ& ). Unghiul făcut de vectorul viteză cu verticala

este dat de:

Fig.1.13.b. Proprietăţile evolventei


19

θβ tgv

vtg

y

x == ,

de unde:

θβ = .

Rezultă:

- viteza este perpendiculară pe TM (paralelă cu OT) (avem

0=TMvr

);

- are valoarea TM⋅ω , unde am notat ωθ =& :

TMRRv ⋅=⋅== ωθθθθ &&

Punctul M de pe dreaptă se comportă dpdv al vitezei (instantaneu)

ca şi cum ar avea o mişcare circulară pe un cerc de raza TM cu

centrul în T, cu viteza unghiulară ω . Dacă ct==ωθ& , atunci:

)sin(cos

)cos(sin2

2

θθθθ

θθθθ

−=

+=&

&

Ra

Ra

y

x

( )222222 1)( θθ +=+= &Raaa yx

de unde:

OMRa ⋅=+= 222 1)( ωθθ& .

1.14. Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia unui punct de

pe periferia unei roţi de rază R care se rostogoleşte fără alunecare

pe planul orizontal (fig.1.14.a).


20

Rezolvare: Luăm ca parametru variabil unghiul θ . Vectorul de

poziţie al punctului M de pe periferia roţii, după ce aceasta s-a

rostogolit cu unghiul θ , este dat de relaţia:

jRiRjRiRCMACOAOMrrrrrr

θθθ cossin −−+=++==

cu componentele:

)cos1(

)sin(

θθθ

−=

−=

Ry

Rx

care reprezintă ecuaţiile parametrice ale cicloidei (parametrul fiind

unghiul θ ). Viteza va fi dată de relaţiile:

θθ

θθ

sin

)cos1(

&&

&&

Ryv

Rxv

y

x

==

−==

Fig.1.14.a. Cicloida

cu valoarea:


21

=++−=+= )sincoscos21()( 222222 θθθθ&&& Ryxv

2sin)(4)cos1()(2 222 θ

θθθ && RR =−=

2sin2

θθ&Rv = Valoarea maximă a vitezei se obţine pentru

2/2/ πθ = deci πθ = .

Fig.1.14.b. Graficul valorii vitezei

Componentele acceleraţiei punctului sunt date de relaţiile:

θθθθ

θθθθ

cossin

sin)cos1(2

2

&&&&&

&&&&&

RRya

RRxa

y

x

+==

+−==

iar valoarea de:

+++−= )sincoscos21()( 2222 θθθθ&&Ra

)coscos1(sin2)cos(sin)( 22222 θθθθθθθθ +−+++ &&&& RR

θθθθθθ sin2)()cos1()(2 2222 &&&&&& RRRa ++−=

4222222 sin22

sin4 θθθθθ

θ &&&&&& RRR ++=


22

de unde:

422 sin22

sin4 θθθθθ

θ &&&&&& ++= Ra

Lungimea arcului de cicloidă este:

∫∫∫ ==+== vdtdtyxdss 22&&

∫∫ −==αα

αθ

θθ

θ

00

)2

cos1(42

sin22

sin2 RdRdtR &

2sin8 2 α

Rs =

La o rostogolire completă a cercului spaţiul parcurs de punctul

material este:

RRL 82

2sin8 2 ==

π .

Unghiul făcut de viteză cu orizontala este:

)22

(2

2sin2

2cos

2sin2

cos1

sin

2

θπθθ

θθ

θθ

β −===−

=== tgctgx

y

v

vtg

x

y

&

&

deci: 22

θπβ −= .

(pentru ]2;0[ πθ ∈ ) cu excepţia cazului când ,02/sin =θ

,2/ πθ k= πθ k2= . În acest caz: 0;0)11( ==−= yRx && θ , deci

v=0. În punctele πθ k2= unghiul făcut de viteză cu orizontala

prezintă discontinuitate:


23

;2

;2

lim 1

22

1

πβ

θβ

πθπθ

−=−∞==<→

ctgtg

;2

;2

lim 2

22

2

πβ

θβ

πθπθ

=∞==>→

ctgtg

Graficul unghiului de

înclinare a vitezei în

funcţie de unghiul de

rostogolire θ este dat

în fig. 1.14.c. În cazul

în care considerăm că

roata se rostogoleşte cu

viteză constantă ωθ == ct& atunci vr şi a

r au următoarele

proprietăţi:

a) vectorul vr este perpendicular pe AM şi egal în modul cu

AM⋅ω . Într-adevăr 2/

2/)(2/

θθππβ

=

=−−=)2/sin(2 θRAM = şi

atunci (fig.1.14.d):

=+−+−=⋅ ]2

sin22

cos2

sin2][sin)cos1([ 2 jRiRjRiRAMvrrrrr θθθ

θθθθ

0]2

sinsin2

cos2

sin)cos1([ 22 =+−−=θ

θθθ

θθ&R

ωθ

ω ⋅== AMRv2

sin2

Fig.1.14.c


24

Rezultă că punctul

M de pe periferia

roţii se comportă

d.p.d.v. al vitezei ca

şi cum discul s-ar

roti cu viteza

unghiulară ω în

jurul punctului A

(viteza unghiulară ω

defineşte variaţia în timp a unghiului θ ) (fig.1.14.d).

b) Vectorul ar are direcţia razei MC şi este egal cu MC⋅2ω :

θωθθ sinsin 22 RRxax === &&& ;

θωθθ coscos 22 RRyay === &&&

jRiRMCrr

θθ cossin +=

deci:

MCjRiRjaiaa yx

2)cossin( ωθθ =+=+=rrrrr

.

Punctul M de pe periferia roţii se comportă, d.p.d.v. al acceleraţiei

ca şi cum s-ar mişca pe periferia cercului de rază R, cu viteză

constantă (fig.1.14.d). Dacă punctul material se găseşte în

interiorul unui cerc care se rostogoleste se obţine cicloida scurtată

Fig.1.14.d. Interpretarea geometrică a

mişcării pe o cicloidă


25

(fig.1.14.e) şi dacă se găseşte pe exteriorul lui, facând corp comun

cu cercul se obţine cicloida alungită (fig.1.14.f).

Fig.1.14.e

Fig.1.14.f

1.15. a) Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia unui punct

al unui cerc mobil ce se rostogoleşte pe exteriorul unui cerc fix

(epicicloida).


26

b) Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia unui punct al

unui cerc mobil ce se rostogoleşte pe interiorul unui cerc fix

(hipocicloida) (fig.1.15.a).

Fig.1.15.a. Epicicloida şi hipocicloida

Rezolvare: a) Dacă un cerc mobil derază r se rostogoleşte peste un

cerc fix de rază R avem AT=TM, deci αθ rR = . Ecuaţiile

parametrice ale traiectoriei sunt:

)1(sinsin)()sin(sin)(r

RrrRrrRx +−+=+−+= θθαθθ

)1(coscos)()cos(cos)(r

RrrRrrRy +−+=+−+= θθαθθ

Prin derivări succesive se obţin expresiile vitezei şi acceleraţiei.

Pentru viteză avem relaţiile:

])1cos([cos)1( θθθr

R

r

Rrxv x +−+== &&


27

])1sin(sin[)1( θθθr

R

r

Rryv y ++−+== && .

Lungimea arcului de epicicloidă se obţine, prin calcul, )(8 rRl += .

b) Dacă cercul mobil de rază r se rostogoleşte în interiorul

cercului de rază R avem, din egalitatea AT=TM, αθ rR = , iar

ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

)1(sinsin)()sin(sin)(r

RrrRrrRx +−−−=+−−−= θθαθθ

)1(coscos)()cos(cos)(r

RrrRrrRy +−+−=+−+−= θθαθθ

de unde, prin derivări, se obţin viteza şi acceleraţia:

])1cos([cos)1( θθθr

R

r

Rrxv x +−−+−== &&

])1sin(sin[)1( θθθr

R

r

Rryv y +−−−+−== &&

Lungimea arcului de hipocicloidă, la o rotaţie completă, este:

)(8 rRl −= .

Fig.1.15.b. Epicicloida şi hipocicloida pentru cazul R/r=2


28

Fig.1.15.c. Epicicloida şi hipocicloida pentru cazul R/r=3

Fig.1.15.d. Epicicloida şi hipocicloida pentru cazul R/r=4

Fig.1.15.e. Epicicloida şi hipocicloida pentru cazul R/r=5


29

În fig.1.15.b-e sunt reprezentate epicicloide şi hipocicloide

pentru diferite valori ale raportului R/r.

1.16. Să considerăm un

cerc mobil care se

rostogoleşte pe un cerc fix

de aceeaşi rază R (fig.1.16).

Să se determine traiectoria,

viteza şi acceleraţia unui

punct de pe cercul mobil.

Vom exprima vectorul de

poziţie al punctului M:

=++==→

BMABOAOMrr

=−++−+= )2sin2cos()sincos(2 jRiRjiRiRrrrrr

θθθθ

jRRiRRRrr)2sinsin2()2coscos2( θθθθ −++−=

S-a folosit observaţia că ABMO este trapez isocel. Rezultă:

θθ 2coscos2 RRRx +−= ; θθ 2sinsin2 RRy −= ;

222222 )cos1(4)2coscos43(2 θθθ −=+−−=+= RRyxr ;

2cos4)cos1(2)cos1(2 2 ααθ RRRr =+=−= ,

adică ecuaţia cardioidei. Componentele vitezei vor fi:

)2sin(sin2 θθθ −= && Rx ;

Fig.1.16. Mişcarea pe cardioidă


30

)2cos(cos2 θθθ −= && Ry

iar valoarea:

2sin16)cos1(4 222222 θ

θθθ && RRv =−=

2sin4

θθ&Rv = ;

πθα =+ ; θα && −= ,

iar componentele acceleraţiei:

)2cos2(cos2)2sin(sin2 2 θθθθθθ −+−= &&&&& RRx ,

)2sin2sin(2)2cos(cos2 2 θθθθθθ +−+−= &&&&& RRy

1.17. Să se determine viteza şi acceleraţia unui punct care se mişcă

pe o elice cilindrică (fig.1.17.a).

Rezolvare: Ecuaţiile parametrice ale elicei cilindrice cu pas

constant sunt:

=

=

=

αθθθ

tgRz

Ry

Rx

;sin

;cos

Prin derivare se obţin componentele vitezei şi acceleraţiei:


31

==

−==

−−==

==

==

−==

.

;sincos

;cossin

.

;cos

;sin2

2

αθ

θθθθ

θθθθ

αθ

θθ

θθ

tgRza

RRya

RRxa

tgRzv

Ryv

Rxv

z

y

x

z

y

x

&&&&

&&&&&

&&&&&

&&

&&

&&

de unde:

( ) ( )

.cos/

cos/

1222

222222

αθ

αθ

αθ

&

&

&&&&

Rv

R

tgRzyxv

=

=

=+=++=

( )( ).cos/

cos/422

4222

24242222

θαθ

θαθ

αθθθ

&&&

&&&

&&&&

+=

+=

=++=

Ra

R

tgRRRa

Lungimea arcului de elice este dată de relaţia:

Fig.1.17.a. Mişcarea pe elicea cilindrică

Fig.1.17.b


32

∫ ∫ ∫ ==== βα

θα

β

coscos 0

Rdt

Rdtvdss .

1.18. Să se determine mişcarea unui punct material pe o elice

cilindrică utilizând coordonatele polare.

Rezolvare: Vectorul de poziţie se poate scrie (vezi fig.1.17.a):

ktgReRrrrr

⋅+⋅= αθρ .

Aşadar viteza şi acceleraţia rezultă, prin derivări succesive:

( ).2 ktgReReRa

tgkeRkzeRvr

&&r&&r&r

rr&r&

r&r

αθθθ

αθθ

θρ

θθ

++−=

+=+=

1.19. Să se determine raza de curbură a cicloidei, evolventei, elicei

cilindrice şi cardioidei.

Rezolvare: Se va folosi relaţia 22

2

va

v

&−=ρ şi se va considera

ct=θ& (întrucât raza de curbură nu trebuie să depindă de timp). Se

obţine:

i) pentru cicloidă:


33

2sin2

θθ&Rv = ;

2cos2 θ

θ&& Rv = ; 2θ&Ra = ;

2sin16

2cos4

2sin16

22

24242

444

2 θθ

θθ

θθ

ρ R

RR

R=

−=

&&

&

.

ii) pentru evolventă

θθ &Rv = ; 2θ&& Rv = ; )1( 2222 θθ += &Ra ;

22

42442

4442

)(θ

θθθθθθ

ρ RR

R=

−+=

&&&

& ;

θρ R= .

iii) pentru elicea cilindrică:

αθ

cos

&Rv = ; 0=v& ; 2θ&Ra = .

αρ

2cos

R= .

iv) pentru cardioidă:

)2cos2(cos2 2 θθθ −= &&& Rx ; )2sin2sin(2 2 θθθ +−= &&& Ry ;

)cos45(4)cos441(4 22422 θθθθ −=−+= && RRa ;

2cos2 2 θ

θ&& Rv = ;

=−−

=

2cos4)cos45(4

2sin256

24242

444

2

θθθθ

θθ

ρ&&

&

RR

R


34

92

sin64

2sin

2sin8

2sin64

2sin)cos1(4

2sin64 22

22

42

2

42 θ

θθ

θ

θθ

θRRR

=+

=+−

=

2sin

3

8 θρ R= .

1.20. Să de determine viteza şi acceleraţia unui punct aflat în

mişcare circulară utilizând coordonatele carteziene (fig.1.20).

Rezolvare: Coordonatele carteziene ale punctului material aflat în

mişcare pe cerc sunt:

θθ sin;cos RyRx == ,

de unde, prin derivare, se obţine succesiv:

θθθθ cos;sin &&&& RyRx =−= ;

Fig.1.20 Fig.1.21


35

θθθθθθθθ sincos;cossin 22 &&&&&&&&&& RRyRRx −=−−= ,

cu θθ && RvRv =⇒= 222 şi ( )4222 θθ &&& += Ra .

Dacă θ&= ct, mişcarea se numeşte mişcare circulară uniformă.

Notând 0ωθ =& rezultă 00 θωθ += t . Dacă θ&& > 0 mişcarea este

uniform accelerată, iar dacă θ&& < 0 mişcarea este uniform întârziată.

Notând 0ωθ =& şi εθ =&& se obţine legea spaţiului 00

2

2θωθ

ε++= t

t.


mişcare circulară utilizând coordonatele polare (fig.1.21).

Rezolvare: În coordonate polare (fig.1.21) se scrie:

reRrrr

⋅= ; ;; θθ θ&r&r

RveRv ==

422 ; θθθθ θ&&&r&&r&r

+=+−= RaeReRa r

cu componentele: θθ θ&&& RaRar == ;2 .


mişcare circulară utilizând coordonatele naturale (fig.1.22).

Rezolvare: În coordonate naturale (fig.1.22) avem:


36

( )0θθ −== RAMs

τθτθr&r

&r&& RsvRsv ==== ;

νθτθ

θρ

θ ντ

r&r&&r

&&

&&&&

2

22

;;

RRa

Rs

aRsa

+=

====

22 θθ

θθ

αν

τ

&

&&

&

&&===

R

R

a

atg .

1.23. Să se determine viteza cu care se mişcă corpul B dacă corpul

A se mişcă cu viteza constantă u.

Fig.1.23

Fig.1.22


37

CAPITOLUL II

CIEMATICA RIGIDULUI

2.1. Toba de cablu a unei maşini de ridicat, ca în figura 2.1, este antrenată

printr-un mecanism ″melc-roată melcată″. Cunoscând 1

ω = 20rad ⁄ s, nf =3,

z2 = 60, R = 0,25m, să se determine viteza greutăţii Q, precum şi sensul

filetului şurubului pentru ca greutatea să urce.

Fig.2.1

Rezolvare: Analizând sensurile vitezelor unghiulare ale melcului şi

respectiv cel al roţii melcate (impus de coborârea greutăţii Q), se constată

că filetul trebuie să fie pe stânga. Se cunoaşte că 12 ωω

=z

n f unde ω este


38

viteza unghiulară a roţii melcate. După înlocuiri se obţine

./160

203srad=

⋅=ω Viteza greutăţii Q va fi:

./25,025,01 smRVQ =⋅=⋅=ω

2.2. Să se determine raportul de transmitere al reductorului planetar din

figura 2.2. Se cunosc razele roţilor, respectiv numerele de dinţi.

Rezolvare: Se observă că mişcarea satelitului 2 este plană şi că centrul său

instantaneu de rotaţie I2 se află în punctul de tangenţă al cercului de rulare

al satelitului cu cercul de rulare al coroanei fixe 4. Se desenează apoi

distribuţia de viteze pe roata centrală 1 şi pe satelitul 2. Plecând de la

distribuţia de viteze pe satelit, rezultă că viteza puntului B este egală cu

jumătate din viteza punctului A.

Fig.2.2


39

Atunci există următoarele relaţii:

11 RvA ⋅=ω ; 2222 2RAIvA ⋅=⋅= ωω ;

22222A

B

vRBIv =⋅=⋅= ωω ; ).( 2123 RROBvB +=⋅= ωω

În baza acestor relaţii raportul de transmitere devine:

i1,3=1

21

1

21

1

21

3

1 )(2

2

222

)(2

z

zz

mz

mzmz

R

RR +=

+=

+=

ωω

,

unde m reprezintă modulul roţilor dinţate, astfel că diametrul cercului de

rulare este D = mz, iar raza acestuia este R=mz ⁄ 2.

2.3. Pentru mecanismul diferenţial al unui automobil care parcurge un

viraj, să se determine: a) viteza unghiulară instantanee a satelitului în

raport cu caroseria automobilului; b) acceleraţia unghiulară a satelitului în

raport cu acelaşi reper. Se cunosc: viteza automobilului v = 36 km ⁄ h=10m

⁄s; raza virajului R=10m; ecartamentul automobilului B=1,5m; raza roţii rd

=0,25m; raportul între raza medie a pinionului planetar şi a satelitului

Rp:Rs=2:1,figura 2.3,a.

Rezolvare:

Se calculează mai întâi vitezele unghiulare de rotaţie proprie a roţilor, (fig.

2.3,b).


40

sradvR

BR

rr

v

dd

p /431010

75,010

25,0

12111 =

+⋅=

+⋅==ω ;

sradvR

BR

rr

v

dd

p /371010

75,010

25,0

12122 =

−⋅=

−⋅==ω .

Având în vedere că vitezele periferice ale punctelor de pe cercurile medii

ale planetarelor sunt proporţionale cu vitezele unghiulare 1pω şi respectiv

2pω , se găsesc uşor(fig.2.16,b) că viteza de rotaţie a centrului satelitului în

jurul axei punţii motoare este media vitezelor punctelor A1 şi B2,

a b.

Fig.2.3.


41

vC3=(vA1+vB2) ⁄ 2, ceea ce conduce la viteza unghilară a coroanei 4,

sradpp

/402

3743

221

4 =+

=+

=ωω

ω .

Se poate observa că satelitul are o mişcare de precisie regulată, compusă

dintr-o mişcare de precesie odată cu coroana 4, în jurul axei Oz1 şi o rotaţie

proprie, în jurul axei Oz, faţă de coroană. Vom avea deci:

3443 ωωωωωrrrrr

+=+= rppr în care viteza unghiularăde rotaţie a satelitului

în jurul axei proprii, 34ωr

se va găsi din distribuţia de viteze reprezentată în

figura 2.16,b ca fiind:

sradR

R

R

RR

R

vv pp

s

p

s

pppp

s

BA /62

37432

222212121

34 =−

⋅=−

⋅=−

=−

=ωωωω

ω

Fig.2.3.c


42

În reperul solidar cu Oxyz, vectorul viteză unghiulară instantanee se va

scrie:

sradkj /6403

rrr−−=ω ,

în timp ce viteza unghilară de precesie va fi desigur sradjpr /40rr

−=ω .

Rezultă acum, aceeleraţia unghiulară a satelitului:

23443 /240)6()40( sradikj

rrrrrr=−×−=+= ωωε .

2.4. Placa din figura 2.4 se mişcă în planul x1O1y1. Cunoscând că

sradv xo /80= , smmv

yA /200= şi smmv

yB /40−= , să se determine:

a) viteza unghiulară a plăcii;

b) vitezele punctelor O,A şi B;

c) coordonatele centrului instantaneu de rotaţie.

Rezolvare:

a, b) Se scriu mai întâi relaţiile

de distribuţie Euler:

AOvvA

rrrr×+= ω0 ;

BOvvB

rrrr×+= ω0 ;

care vor genera patru ecuaţii

scalare:

ω1200 += xxA vv ;

ω1200 += yyA vv ;

Fig.2.4


43

ω1200 −= xxB vv ;

ω2400 += yyB vv .

Soluţiile sistemului de ecuaţii sunt: srad /2−=ω ;

smmv yo /440= ;

smmv xA /160−= ;

smmv xB /320= .

Acum se pot scrie vectorii viteză căutaţi astfel:

smmjivo /44080rrr

+= ;

smmjivA /200160rrr

+−= ;

smmjivB /40320rrr

−= .

c) Coordonatele centrului instantaneu de rotaţie în reperul mobil vor fi:

mmv

x

y

2202

44001 =

−−=−=

ω; mm

Vy

x

402

8001 −=

−=−=

ω.

2.5. Un con circular drept de

înălţime h şi rază r se

rostogoleşte fără alunecare pe

un plan, având vârful fixat în

punctul O (fig.2.5). Să se

calculeze viteza unghiulară a

conului, când viteza centrului

Fig. 2.5


44

cercului de bază al conului este cunoscută şi constantă (vC=ct.).

Rezolvare: Fie oωr

viteza unghiulară de rotogolire a conului pe planul

orizontal şi 1ωr

viteza unghuilară în jurul axei conului. Vectorul viteză

unghiulară rezultant va fi:

1ωωωrrr

+= o ,

( ) ( )kji o

rrrrαωωθθαωω sinsincoscos 11 −++−=

Viteza centrului bazei conului este:

COkvC

rrr×⋅= 0ω unde ( ) .sinsincoscos khjihCO

rrrrαθθα ++=

Înlocuind se obţine:

( )jihvC

rrrθθαω sincoscos0 −= cu modulul αω cos0hVC =

r.

De aici rezultă viteza unghiulară .cos 2

22

0h

hrv

h

v CC +==

αω

Cum conul se rostogoleşte fără alunecare, OI este axă instantanee de

rotaţie deci vI=0.

==×=

0sincoscos

θθωωω

αω zyxI

kjih

IOv

rrr

rrr

( ) .0sincoscossin =+−++= kji xyzz

rrrθωθωθωθω

Se obţine deci: αωωω sin0 10 −==z şi .θωω tgxy = Rezultă:

.cossinsin 2

220

1rh

hrv

h

vC

C +⋅===

αααω

ω


45

2.6. Se consideră mecanismul din figura a, la care manivela OA se roteşte

cu viteza unghiulară .2 10

−= sω Să se determine vitezele punctelor A, B şi

C, de asemenea vitezele unghiulare ale elementelor mecanismului. Se

cunosc: OA=40cm; AB=80cm; BC=25cm; r =15cm.

Rezolvare: Viteza punctului A este vA=ω·OA=80cm/s.

Centrul instantaneu de rotaţie al bielei AB se determină ridicând

perpendiculare pe suporţii vectorilor viteză Avr

şi Bv , la intersecţia lor

găsindu-se punctul I2 căutat, fig b.

Viteza unghiulară instantanee 2Ω a bielei AB se calculează cu

relaţia: .2

2AI

VA=Ω

Din considerente geometrice rezultă:

0

22

0230cos30cos

ADABAKAI

−== ,

iar: AD=OA sin 300=20cm => AK=77,5cm.

Fig.2.6.a


46

./893,06,89

80;6,89

866,0

5,7722 sradcmAI ==Ω==

Calculând viteza punctului B în raport cu I2 se obţine:

vB=Ω2·I2B, unde I2B=(OA+I2A)sin300=64,8cm

Fig.2.6.b

astfel că rezultă:

vB=0,893·64,8=57,957,9cm/s.

Centrul instantaneu al roţii se găseşte în I1, iar viteza unghiulară

instantanee este:

./86,315

9,5715, 11

11 sradcmrBI

BI

vB ==Ω⇒===Ω

Viteza punctului C va fi:


47

,35120cos2, 21

221111 cmBCBIBCBICICIvC =⋅−+=⋅Ω=

deci vC=3,86·35=135cm/s.

2.7. Presa din figură este dotată cu un şurub “diferenţial”; cele două filete

au sensuri inverse şi pasul h1, respective h2.Unghiul glisierei este α. Să se

afle viteza glisierei, dacă mânerul face n rotaţii pe minut.

Fig.2.7

Răspuns: αctgnhh

v ⋅⋅+

=60

21


48

2.8. Un automobil se mişcă spre dreapta cu o viteză constantă de 50km/h.

Determinaţi vitezele punctelor A, B şi C de pe periferia roţii, dacă rularea

este perfectă (fără alunecare), fig.2.8.

Răspuns: ;/77,27 smvA =

;/64,19 smvB =

smvC /83,26=

Fig.2.8

2.9. Roata din figura 2.9 rulează fără alunecare pe un plan orizontal,

descriind un cerc de rază R şi făcând o rotaţie completă în jurul axei Oz1,

cu o viteză constantă într-un timp τ. Determinaţi: a)vectorul acceleraţie


49

unghiulară ε; b) viteza şi acceleraţia punctului A; c) ecuaţiile conurilor lui

Poinsot.

Răspuns:

a) ;2

ir

R rr

−=τπ

ε

b) ;2

;2

2

+

+

−=

−−= kiR

r

r

RRak

R

rji

RV AA

rrrrrrr

τπ

τπ

Fig.2.9

Conul polodic (axoida mobilă): ;022

22 =

−+ zR

ryx


50

Conul herpolodic (axoida fixă): .021

22

12

1 =

−+ zr

Ryx

2.10. În mecanismul diferenţial cu satelit din figura 2.10 roţile planetare 1

şi 4 se rotesc în acelaşi sens, cu vitezele unghiulare ./151 srad=ω şi

./304 srad=ω Să se determine: a) viteza unghiulară a satelitului dublu 2-

2’; b) viteza unghiulară a braţului port-satelit 3; c) acceleraţia unghiulară a

satelitului dublu 2-2’.

Fig.2.10

Răspuns: a) ;/5,7202 sradkjrrr

−=ω

b) ;/203 sradjrr

=ω


51

c) ;/150 22 sradi

rr−=ε

2.11. Un excentric executat sub forma unui disc de rază r, se roteşte în

jurul unui ax ce trece prin O după legea φ=φ(t). Excentricul pune în

mişcare tija AB, a cărei axă trece prin punctul O. Să se determine viteza

punctului B dacă excentricitatea OC=e, iar la momentul iniţial

φ=0(fig.2.11).

Răspuns: .sinsin

cos222

2

ϕϕϕ

ϕ&

−−=

er

eev

Fig.2.11


52

2.12. Sfera 1 de rază ρ1=0,1m a unui variator cu fricţiune (fig.2.12) este

pusă în mişcare de rotaţie de rola 2 de rază r2=0,05m, fixată pe acelaşi ax

cu roata dinţată conică 3 de rază r3=0,08m. Roata 3 este antrenată de roata

conducătoare 1 ce se roteşte după legea φ4(t)=t2-2t rad. Considerându-se că

rola 2 nu alunecă pe sfera 4, să se determine: a)acceleraţia punctului M

situate pe sfera 1, la timpul t=1sec după începerea mişcării; b)viteza

unghiulară şi acceleraţia unghiulară a sferei dacă α=30o, β=60o, iar la

momentul iniţial φ4=0, r4=0,06m.

Răspuns: a) aM=0,13m/s2; b) ω1=0; ε1=1,5rad/s2.

Fig.2.12


53

2.13. O bara de lungime 2L se mişcă astfel încât capătul A glisează pe axa

O1x1 cu viteza constantă v, iar B pe axa O1y1. Să se determine viteza

unghiulară şi acceleraţia unghiulară a barei, viteza şi acceleraţia punctului

B şi centroidele barei (baza şi rostogolitoarea) (Problema lui Cardan)

(fig.2.13.a).

Rezolvare:

i) Soluţie analitică. Componentele vitezei pe axele sistemului de referinţă

mobil sunt: θcos0 vvx= ; θsin0 vv y −= iar θω &= . Viteza punctului B este

dată de relaţia:

( ) 11 sin2cos2 jLiLvABvv AB

r&

r&

rrrθθθθω −−=×+=

→,

deoarece: 11 cos2sin2 jLiLABrr

αα +−=→

Fig.2.13.a Fig.2.13.b


54

Condiţia ca viteza punctului B să fie orientată după axa Oy dă:

θωθ

cos2L

v==& . Prin derivare se obţine acceleraţia unghiulară a barei:

θθ

θθθ

ωε32

2

2 cos4

sinsin

cos2 L

v

L

v=== && .

11 sincos2

2sin2 jtgvL

vLjLvB

rr&r

θθθ

θθ −=−=−=

=−×+=→→ABABaa AB

2ωεrrr

( )=+−−+−+= 112

111 cos2sin2)cos2sin2(0 jLiLjLiLxkrrrrr

θθωθθε

( ) =+−+−= 12

12 )cos2sin2(sin2cos2 jLLiLL

rrθωθεθωθε

=+−= 12 )cos2sin2( jLL

rθωθε 13

2

cos2j

L

v r

θ−

Coordonatele C.I.R. în raport cu sistemul mobil de coordonate vor fi:

;2sinsincos2

cos2

sin0 θθθ

θ

θω

ξ LL

L

v

vv y ===−=

( ).2cos12

cos2

cos2

cos 20 θθ

θ

θω

η +====L

L

L

v

vv x

Eliminând parametrul θ între cele două relaţii ţinând seama de expresia:

12sin2cos 22 =+ θθ se obţine ecuaţia rostogolitoarei:

( ) 222 Ll =−+ ηξ ,

adică ecuaţia unui cerc cu centrul în centrul barei şi cu raza egală cu

jumătate din lungimea barei. Coordonatele C.I.R. în raport cu sistemul de

referinţă fix vor fi date de:


55

;sin2sincossin21 θθηθξθξ LL =−+=

.cos2cossin1 θθηθξη L=+=

Se elimină θ prin ridicare la pătrat şi adunare şi se obţine ecuaţia bazei sub

forma:

,4 221

21 L=+ηξ

adica un cerc de raza 2L şi cu centrul în originea O1. În timpul mişcării

cercul mobil se rostogoleşte fără alunecare pe cercul fix (fig.2.13.b).

ii) Soluţie semianalitică. Ducând perpendicularele pe vectorii viteză în

punctele A şi B se obţine punctul I. Coordonatele acestuia în sistemul fix

de referinţă sunt: θξ sin21 L= ; θη cos21 L= . Dacă se proiectează I pe

axele sistemului mobil de coordonate se obţine:

θθθξ cossin2sin' LIAAI === ; θθη 2cos2cos" LIAAI === ,

adică rezultatele obţinute la punctul i).

Ţinând seama că θωω cos2LIAvvA ⋅=== se obţine viteza unghiulară ω.

iii) Soluţia geometrică. În cazul construcţiei de la punctul ii), figura O1AIB

este un dreptunghi. Faţă de bara unghiul I este întotdeauna drept. Punctul I

se va afla atunci pe cercul circumscris dreptunghiului de diametru AB =

2L. Distanţa O1I = AB = ct. ca diagonale ale dreptunghiului şi atunci faţă

de sistemul de referinţă fix punctul I se mişca pe cercul de rază egală cu

O1I = 2L şi cu centrul în O1.


56

2.14. Să se determine baza şi rostogolitoarea pentru biela din mecanismul

bielă-manivelă (fig. 2.14.a).

Rezolvare: Ecuaţiile parametrice ale bazei sunt:

ααβα sin)/(1coscoscos 21 lrlrlrxACx C −+=+===

αtgxICy C==1

Dacă ţinem seama de relaţiile:

αcos/CxAI = ; rAIBI −=

se obţin şi ecuaţiile parametrice ale rostogolitoarei:

;)cos( βα += BIx

)sin( βα += BIy .

Fig.2.14.a


57

Prezentăm secvenţa MATLAB care realizează construcţia grafică a bazei şi

rostogolitoarei.

% r raza manivelei;

% l lungimea bielei;

% al (alfa) unghiul variabil de

rotatiei al manivelei;

% be (beta) unghiul facut de

biela cu orizontala

r*sin(al)=l*sin(be);

% date de intrare:

%

r=0.1;l=0.3; lam=r/l;

%

% Constructia parametrica a

bazei si rostogolitoarei

%

for i=1:1:100;

al=(i-30)*pi/180;

bet(i)=asin(lam*sin(al));be=bet(i);

%

% Calculul distantei pistonului fata de origine d(i), a coordonatelor

% CIR in sistemul fix x1(i), y1(i), a coordonatelor CIR in sistemul

% mobil de coordonate x(i), y(i) si reprezentarea lui x(i) si y(i) in

% sistemul fix de coordonate pentru o pozitie a mecanismului

Fig.2.14.b. Baza şi rostogolitoarea

pentru bielă


58

% determinata de unghiul alfa=pi/6;

%

d(i)=r*cos(al)+l*cos(be); x1(i)=d(i); y1(i)=x1(i)*sin(al)/cos(al);

BI=x1(i)/cos(al)-r;

x(i)=BI*cos(al+be); y(i)=BI*sin(al+be);

be0=asin(lam*sin(pi/6));

xf(i)=r*cos(pi/6)+x(i)*cos(-be0)-y(i)*sin(-be0);

yf(i)=r*sin(pi/6)+x(i)*sin(-be0)+y(i)*cos(-be0);

end

%

% reprezentarea grafica a bazei si rostogolitoarei

%

hold off

plot(x1,y1); hold on; plot(xf,yf);

%

% Reprezentarea mecanismului pentru alfa=pi/6;

%

for i=1:1:21;

xm(i)=r/20*(i-1)*cos(pi/6);ym(i)=r/20*(i-1)*sin(pi/6);

xb(i)=r*cos(pi/6)+l/20*(i-1)*cos(be0);yb(i)=r*sin(pi/6)-l/20*(i-

1)*sin(be0);

end

plot(xm,ym);plot(xb,yb);

axis([-0.2 0.6 -0.4 1])


59

2.15. a) Locul geometric al punctelor pentru care viteza şi acceleraţia sunt

doi vectori colineari este un cerc numit cercul inflexiunilor.

b) Locul geometric al punctelor pentru care viteza şi acceleraţia sunt doi

vectori perpendiculari este un cerc numit cercul de rebrusment. (Cercurile

lui Bresse)

Rezolvare: Se demonstrează cele două proprietăţi în felul următor:

Expresia vitezei unui punct este:

rvvrrrr

×+= ω0 ,

iar a acceleraţiei:

rraarrrrr 2

0 ωε −×+= .

Condiţia ca vectorii viteză şi acceleraţie să fie colineari revine la a pune

condiţia: 0=× varr

, iar condiţia ca cei doi vectori să fie perpendiculari

revine la: 0=⋅ varr

.

Efectuând calculele se obţine, în ambele cazuri, ecuaţia unui cerc.

2.16. O bară de lungime 2L se mişcă într-o cavitate cilindrică cu viteza

capătului sprijinit constantă oA vv = . Să se determine baza şi

rostogolitoarea barei şi viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară. Să se

determine viteza şi acceleraţia punctului B.


60

Fig.2.16

Rezolvare: Centrul instantaneu de rotaţie I se află la intersecţia

perpendicularelor pe direcţia vitezelor în punctele corespondente. Viteza

punctului de pe bară, care vine în contact cu punctul fix B este în lungul

barei.

Triunghiul dreptunghic ABI este inscriptibil într-un cerc al cărui diametru

este O1I=O1A=O1B=R, cu centrul în O1. Ţinând seama de aceste relaţii, se

stabileşte că baza este un cerc cu centrul în O1 şi raza R. Mai departe

distanţa AI este egală, în orice poziţie, cu diametrul cercului de sprijin 2R.

Deci distanţa AI=2R iar rostogolitoarea este tot un cerc centrul în A şi raza

2R.

Pentru determinarea analitică a centroidelor, se alege sistemul de

coordonate fix O1x1y1, sistemul de coordonate mobil (solidar legat de bară)

Oxy şi unghiul θ ca parametru variabil în timp.

Ecuaţiile parametrice ale bazei sunt:


61

==

==

θθ

θθ

2sin2sin

2cos2cos

11

`11

RIOy

RIOx

de unde eliminând parametral θ se obţine ecuaţia bazei

221

21 Ryx =+ ,

adică un cerc cu centrul în O şi rază R.

Ecuaţiile parametrice ale rostogolitoarei sunt:

==

==

θθ

sin2

cos2

RACy

RABx

Eliminând parametrul θ se obţine ecuaţia rostogolitoarei

222 4Ryx =+

adică un cerc cu centrul în O şi raza 2R.

Pentru determinarea vitezei unghiulare se ţine seama că:

RIAvo 2⋅=⋅= ωω

de unde: R

vo

2=ω deci 0=ε .

Viteza punctului B se determină cu relaţia:

αααωω sinsin22

sin2 oo

B vRR

vRIBv =⋅

⋅=⋅=⋅= .

şi are direcţia după bara AB.

Pentru a determina acceleraţia scriem:

=−+= ABABxaa AB2ωε

rrr

( )( )=+−

−++=

jRiR

jRiRxkrr

rrr

θθθω

θθθε

sincos2cos2

sincos2cos2022

2


62

( )( ) =−+

++−=

jRR

iRRr

r

θθωθε

θωθθε

sincos2cos2

cos2sincos222

22

jR

vi

R

v oorr

θθθ sincos2

cos2

22

2

−−= .

şi are valoarea: θcos2

2

R

va o

B = . Punctul A este polul acceleraţiilor.

2.17. Un unghi drept se mişcă în planul său, astfel încât extremitatea A

alunecă pe axa ordonatelor, iar latura MC trece mereu prin punctul B, situat pe

axa Ox1 la distanţa a de O. Se ştie că AM = a.

a) Să se determine baza şi rostogolitoarea, dacă AM=OB=a (fig.2.17).

b) Să se determine viteza şi acceleraţia unghiulară a barei cotite dacă

punctul A alunecă de-a lungul peretelui cu viteza constantă v.

Rezolvare:

a) Punctul I, centrul instantaneu de rotaţie, rezultă la intersecţia normalelor pe

MB şi OA (care au direcţiile vitezelor punctelor A şi B). Se observă că:

ϕcos1 A<y = ;

Dar: ϕtgyaO<AM<MAMA< 1−=−=−= ;

deoarece O< = <M = DB= ytgφ,

deci: ϕϕ cos)( 11 tgyay −= ;

de unde: )sin1(

cos1 ϕ

ϕ+

=a

y


63

Fig.2.17

Rezultă de asemenea,

ϕϕ

ϕϕ

ϕsin1sin1

cos11 +

=+

−=−=−==a

tga

atgyaDBaODx

Ecuaţiile parametrice ale bazei vor fi deci:

;

)sin1(

cos

sin1

1

1

+=

+=

ϕϕϕ

ay

ax

Pentru a elimina parametrul φ variabil scoatem din prima ecuaţie ϕsin :

1sin1

−=x

aϕ

şi din a doua ecuaţie ϕcos :

1

1cosx

y=ϕ .


64

Ridicând la pătrat cele două relaţii şi adunând, obţinem:

112

1

1

2

1

=

+

−

x

y

x

a

de unde rezultă ecuaţia bazei: )2( 121 axay −= . Baza este deci o parabolă

cu focarul în B şi parametrul a.

În vederea determinării ecuaţiei rostogolitoarei, se observă că:

;

)sin1(coscos

sin1

coscoscos 1

+====

+=====

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ayIDIBy

axAIICMBx

La fel ca şi în cazul bazei se elimină parametrul ϕ şi se obţine ecuaţia

rostogolitoarei:

)2(2 ayax −=

care reprezintă o parabolă cu directoarea MC, focarul în A şi parametrul a.

b) Viteza punctului A are valoarea: ϕ

ωωsin1+

⋅=⋅=a

IAv . Rezultă:

a

v )sin1( ϕω

+⋅= .

Acceleraţia unghiulară poate fi obţinută acum prin derivare:

2

2 cos)sin1(cos

a

v

a

v ϕϕϕϕε

+=

⋅⋅=

&.

2.18. Să se determine centroida fixă şi centroida mobilă a barei AB de

lungime l din figura 2.18.


65

Fig.2.18.a. Baza şi rostogolitoarea

Rezolvare: Soluţie geometrică: ducând perpendiculare pe viteze în A şi B se

obţine punctul I (centrul instantaneu de rotaţie). Patrulaterul O1AIB este

inscriptibil (doua unghiuri drepte) în cercul de diametru IO1. În timpul mişcării

barei unghiul AIB corespunde aceluiaşi segment AB, deci diametrul O1I al

cercului este este constant. Deci rostogolitoarea este un cerc de diametru O1I:

ββπ sin)sin(1

llIO =

−= (teorema sinusului).

Baza este un cerc de rază IO1 , întrucât, în tot timpul mişcării, punctual I

rămâne la distanţă constantă IO1 faţă de punctual O1.

Soluţie semianalitică:

Se vor scrie coordonatele centrului instantaneu de rotaţie faţă de cele două


66

sisteme:

βα

αβα

αtg

llx

tg

lDODOlx

sincos;

sin;cos 1111 −==−=

βα

αβα

αtg

lly

tg

lCICIly

cossin;

cos;sin 11 +==+=

Ridicând la pătrat aceste expresii şi adunându-le membru cu membru se obţine

ecuaţia centroidei fixe:

( )ββ

ββ 2

221

212

22

2

221

21 ;

sin1

tg

lyx

ltg

tg

lyx =+=+=+

Deci centroida fixă este un cerc de rază βsin

l cu centrul în originea

sistemului de axe fix O1x1y1.

Coordonatele centrului instantaneu de rotaţie faţă de sistemul mobil sunt:

βα sin;cos BIyBIx ==

în care:

βα

αtg

llICBCBI

cossin11 +=+=

;2

2cos12sin

2coscossin 2

−

+=+=α

βαα

βαα

tg

ll

tg

llx

( ) .2

2sin2cos1

2cossinsin2 α

βααα

βα

tg

ll

tg

lly +−=+=

Ridicând la pătrat şi adunând relaţiile membru cu membru se poate realiza o

grupare convenabilă a termenilor obţinuţi astfel încât:

ββ 2

2222

4422 tg

llly

tg

lx +=

−+

− .


67

sau:

ββ 2

222

sin422

lly

tg

lx =

−+

−

Centroida mobilă este un cerc de rază βsin2

lcu centrul în punctul O şi care

trece prin punctele I, A, B şi O1. Distribuţia vitezelor pentru bara care alunecă

pe pereţi este dată în fig.2.18.b.

2.19. Să se determine baza şi rostogolitoarea mişcării plane a barei OA din

figurile 2.19.a şi 2.19.b. Capătul O se deplasează pe orizontală cu viteza vo,

Fig.2.18.b. Distribuţia vitezelor


68

bara sprijinindu-se în primul caz pe o suprafaţă cilindrică de rază R, iar în al

doilea caz pe un prag de înălţime h.

Fig. 2.19.a Fig. 2.19.b

Răspuns: Pentru primul caz:

αtg

RAB = ;

αα sincos1RAB

x == ;

α

αα 2

2

1sin

cos

sin

RABIBy === ;

αα 2tg

R

tg

ABIAx === ;

αtg

RABy == .

După eliminarea parametrului α se obţine:

( ) 021

21

241 =+− yxRx (baza);

y2=Rx (rostogolitoarea).


69

Fig.2.19c

Pentru al doilea caz:

αsin

hAB = ;

αtg

hBOx == 11 ;

αα 21sinsin

hABIBy === ;

αα

α2sin

coscos

hIBIAx === ;

αsin

hABy == .


70

Fig.2.19.d

După eliminarea parametrului α se obţine:

021

21 =+− hhyx (baza);

( ) 02224 =+− yxhy (rostogolitoarea).

2.20. Bara rectilinie PQ este articulată în A de bara OA, care se roteşte faţă de O

cu viteza unghiulară ω şi se reazemă tot timpul miscării pe muchia fixă B

(fig.2.20). Ştiind că OA=OB=l şi AP=2l, se cer să se determine:


71

a) centroidele mişcării barei PQ;

b) viteza punctului P.

Răspuns:

a) Ecuaţia bazei este:

( ) 2211 lyllx =+− ;

ecuaţia rostogolitoarei:

222 4lyx =+ .

b)

+=

4sin

4cos

2

ααω lvP .

2.21. Bara cotită ABD cu unghiul drept în B se deplasează în plan vertical

astfel încât rămâne permanent rezemată de punctul fix O şi de cilindrul fix

O1 de rază R. Considerând distanţa OO1 egală cu l, să se determine baza şi

rostogolitoarea (fig.2.21.a).

Raspuns: Ecuaţia bazei:

42

221

2

1

ly

lx =+

− ;

ecuaţia rostogolitoarei: ( ) 222 lRyx =++ (fig. 2.21.b).

Fig.2.20


72

a b

Fig. 2.21

2.22. O bară se mişcă în plan astfel încât capătul A alunecă tot timpul pe

peretele vertical, iar bara trece tot timpul prin punctul B (fig.2.22). Să se

determine baza şi rostogolitoarea şi să se reprezinte distribuţia vitezelor.

Fig. 2.22

Răspuns: ;cosα

aAB =


73

;coscos 2αα

aABAI ==

αα

α sincos

sin2

aAIBI ==

αα 21 sin atgBIx ==

αα atgBIy −=−= cos1

Ecuaţia bazei: 211

1y

ax = .

;cosα

aABx ==

αα

2cos

sinaBIy −=−= .

Rezultă ecuaţia rostogolitoarei:

( ) ( )2

222

4

4

2

22

4

22

4

222

1

cos

cos1

cos

sin

a

axx

x

a

x

aa

aay

−=

−

=−

==α

ααα

2.23. Se dă mecanismul bielă manivelă din fig.2.23 unde OA=AB=L. Să se

determine baza şi rostogolitoarea bielei AB.

Rezolvare: Dacă I este C.I.R. obţinut prin ducerea perpendicularelor pe

vitezele în B şi C, se observă că triunghiul ACI este dreptunghic şi AB =

BC = BI. Rezultă atunci:


74

αα

αα

sin2sin

cos2cos

1

1

LAIy

LAIx

==

==

Prin ridicare la pătrat şi adunare se obţine:

( )221

21 2Lyx =+

deci baza este un cerc cu centrul în punctul A şi de rază 2L.

Fig.2.23

Unghiul IBC este unghi exterior şi este egal cu 2α . Atunci vom avea:

αααα

2sin2sin

2cos2cos

1 LIBy

LIBx

==

==


75

Prin ridicare la pătrat şi adunare se obţine:

( )222Lyx =+

deci rostogolitoarea este tot un cerc cu centrul în B şi de rază L.

2.24. Să se determine legea de transmitere pentru mecanismul cardanic din

fig.2.24. considerând rotaţia finală ca o succesiune de trei rotaţii plane.

Rezolvare: Legea de transmitere pentru un mecanism cardanic ca în fig.

este dată de:

αϕ

ϕcos

tantan 1

2 =

obţinută utilzându-se formulele din geometria sferică. În cele ce urmează

formula prezentată anterior va fi dedusă utilizându-se proprietăţilor

vectorilor şi valorilor proprii pentru o matrice ortogonală. Cu notaţiile din

fig.2.24 se poate scrie:

Fig. 2.24. Transmisia cardanică


76

−

=

−

=

11

11

0

010

0

cos0sin

010

sin0cos

][

11

11

1

θθ

θθ

θθ

θθ

cs

sc

R

[ ]

−

=

−

=

100

0

0

100

0cossin

0sincos

22

22

22

22

2 θθ

θθ

θθθθ

cs

sc

R

[ ]

−=

−=

33

33

0

0

001

cossin0

sincos0

001

33

333

θθ

θθ

θθθθ

cs

scR

unde s-a notat: ,cos;sin 11 11θθ θθ == cs etc. Matricele ][ 1R , ][ 2R , ][ 3R

reprezintă matricele ortogonale de rotaţie care fac trecerea de la un sistem

local de referinţă la altul iar matricea care face transformarea de la sistemul

ataşat de arborele de intrare şi sistemul ataşat de arborele de ieşire este:

−−

−+

−

==

313213231321

313213231321

21221

]][][[][ 123

θθθθθθθθθθθθ


θθθθθ

cccsssccsssc

scsssccssccc

csscc

RRRR

Condiţia ca ]0[ αα sceT −= să fie vector propriu pentru matricea

][R este ca:

eeR λ=][

sau:

=

−−−

−−+

−−

0

0

00

1

1

1

313213231321

313213231321

21221

α

α



θθθθθ

s

c

cccsssccsssc

scsssccssccc

csscc

Efectuând calculele, rezultă:


77

0212

=+− αθθαθ scscs

( ) ( ) 013132132

=−+− αθθθθθαθθ sscsssccc

( ) 013132132

=−−+ αθθθθθαθθ scccsscsc

Din prima ecuaţie se deduce imediat:

12 θαθ stt −=

De aici rezultă:

2222221

2

1

1

2;

θαα

αθ

θαα

θαθ

ssc

cc

ssc

sss

+=

+−= .

Introducând aceste valori în ecuaţia a doua din sistem, se obţine:

ααθθ

θαα

θαθ

θαα

αθcssc

ssc

css

ssc

cc=

−

+−

+31

1

31

1

3

222

2

222

2

sau:

ααθθ

θαα

αθαθ cssc

ssc

sscc =+

+

+31

1

1

3 222

222

sau încă:

ααθθθααθ csscsscc =++3113

222

Dar:

( ) ( ) 122222

11=++ αθθαα scssc .

Atunci, dacă notăm:

2221θααδ sscs += ,

αθδ scc1

=


78

se obţine:

απαθδ−

+ ==2

3scs

cu soluţia convenabilă:

γαπ

θ −−=23

Obţinem atunci şi:

222113 θααααθαδαθ sscsscccs +−== +

2222113 θαααθαθ sscccsc ++= .

Pentru a determina legea de transmitere vom scrie primul invariant al

matricei ][R :

321133221cos211 θθθθθθθθθ

θθ θ sssccccccee ii +++=+=++ − .

Dacă facem înlocuirile, se obţine:

2221

121cos21θαα

αθθssc

cc

++=+ .

Rezultă:

2221

1

θαα

αθθ

ssc

ccc

+= ,

de unde:

αθ

θθ

θ

cos

1 12

tg

c

ctg =

−= .

Viteza unghiulară a furcii conducătoare faţă de sistemul de referinţă

111 zyOx este:


79

111 ]010[]00[ θθω && ==T

Viteza unghiulară a crucii faţă de furcă în sistemul 111 zyOx este:

2

1

1

12

12

21

cos

0

sin

cos

0

sin

θθ

θ

θθ

θθω &

&

&

=

= .

Dacă se derivează 2θt obţinut anterior, se obţine:

122

1

2

θθ

θαθ

&&

ctc

−=

sau:

1222222

2

12

2

1

1

1

121θθθ

θαα

θαα

θαα

αθαθθα

&&&

ssc

ccs

ssc

cctcct

+−=

+−=−=

Cu notaţia:

2221

1

θαα

θαα

ssc

ccsa

+−=

se obţine:

12 θθ && a=

deci:

1

1

1

21

cos

0

sin

θθ

θω &

=

a

a

.

Derivând legea de transmitere a transmisiei cardanice, se obţine:

1221

1θ

θ

αθθ

&&

ccc=


80

sau:

122212

2

11

θθθθαα

α

αθ

θ &&&

ssc

c

cc

c

+==

Cu notaţia:

2221θαα

α

ssc

cb

+=

rezultă:

1θθ && b=

şi se obţine şi viteza absolută a crucii cardanice cu relaţia:

12112

1

1

0 θωωω

θ

θ&

=+=

ac

as

.

2.25. Rotaţiile spaţiale sunt necomutative.

Rezolvare: Un exemplu demonstrează afirmaţia făcută în titlu. Astfel să

denumim, pentru simplitate, axele Ox, Oy, Oz respectiv cu axa 1, axa 2 şi

axa 3. Atunci, dacă facem două rotaţii succesive, de 90o , prima în jurul

axei 1 şi a doua în jurul noii axe 2, se obţine corpul aşezat ca în fig., figura

de sus dreapta. Dacă facem două rotaţii de 90o mai întâi în jurul axei 2 şi

apoi în jurul axei 1 se obţine corpul aşezat ca în fig.2.25.a, jos dreapta.

Cele două poziţii ale corpului sunt, în mod evident, diferite. Să facem şi

calculul:


81

−=

−=

010

100

001

2cos

2sin0

2sin

2cos0

001

][

ππ

ππαR ;

−

=

ππ

π−

π

=β

001

010

100

2cos0

2sin

0102

sin02

cos

][R ;

−

−

=

−

−

==+

001

100

010

010

100

001

001

010

100

]][[][ αββα RRR ;

Fig.2.25.a


82

−

−

=

−

−== βαα+β

010

001

100

001

010

100

010

100

001

]][[][ RRR ;

][][ α+ββ+α ≠ RR

Pentru prima succesiune de rotaţii, unghiul de rotaţie este dat de:

[ ]2

1

2

1cos 1 −=

−=ϕ

Rtr,

în jurul axei care are parametrii directori determinaţi de ecuaţiile:

=

−

−−

−−

0

0

0

101

110

011

13

2

1

e

e

e

sau, dacă se alege e1 = 1:

0

01

32

2

=+

=+

ee

e .

Această axă va fi deci determinată de vectorul:

−=

=

1

1

1

13

2

1

1

e

e

e

u

Pentru a doua succesiune de rotaţii, unghiul de rotaţie este dat de:

[ ]2

1

2

1cos 1 −=

−=ϕ

Rtr

deci la fel ca în primul caz, dar în jurul axei care are parametrii directori

determinaţi de ecuaţiile:

=

−

−−

−−

0

0

0

110

011

101

23

2

1

e

e

e


83

sau, dacă se alege e1 = 1:

01

01

2

3

=+

=+

e

e .

Această axă va fi deci determinată de vectorul:

−

−=

=

1

1

1

23

2

1

2

e

e

e

u

Cei doi vectori în jurul cărora are loc rotaţia finită 1u respectiv 2u sunt

deci diferiţi, unghiul de rotaţie fiind în ambele cazuri, 120o.

2.26. Se dă paralelipipedul OABCDEFG de laturi ,3lOA = ,4lOC =

lOE 12= care în timpul mişcării se roteşte cu viteza unghiulară 012ωω =

Fig 2.25.b


84

în jurul muchiei OC , iar punctul O are viteza smv /130 = dirijată dupî

diagonala OG ( fig. 2.26). Se cere să se calculeze viteza punctului D şi să

se stabilească acuaţia axei instantanee a mişcării elicoidale.

Rezolvare: Se alege sistemul de axe din figură, cu originea în O şi axele

dirijate după muchiile paralelipipedului. Faţă de acest sistem de referinţă se

poate scrie:

j012ωω = ,

De unde 0== zx ωω , 012ωω =y . Versorul direcţiei OG este:

( )kjiuOG 12433

1++= ,

Fig. 2.26

De unde rezultă:


85

kujuiuv 12430 ++= ,

Adică: uvuvuv zyx 12;4;3 000 === .

Viteza de alunecare în lungul axei instantanee a mişcării elicodale este:

uv

vi 40 =⋅

=ωω

şi este dirijată în sensul axei Oy .

Ecuaţia exei instantanee a mişcării elicoidale este:

0

1212

12

4

0

123 0

0

0 xuuzu ωω

ω −==

+

sau

−=

=

0

0

4ω

ωu

z

ux

, adică o dreaptă paralelă cu axa Oy , deci şi cu ω .

Viteza punctului D , utilizând formula generală, este:

=+++=×+=

ll

kji

kujuiuODvvD

1240

01201243 00 ωω

( ) kujuilu 1241443 0 +++= ω .

Viteza punctului D mai poate fi calculată ca într-o mişcare elicoidală în

jurul axei instantanee a mişcării elicoidale. Se alege pentru aceasta originea

noului sistem de referinţă punctul 'O de unde axa instantanee înţeapă

planul OAFE şi axele paralele cu cele iniţiale. Faţă de sistemul iniţial

punctului 'O are coodonatele 0

'ωu

x = ; 0'=y ; 04

'ωu

z −= . Faţă de noul


86

sistem de referinţă punctul D are coordonatele 0

''ωu

xxx DD −=−= ;

lyyy DD 4'' =−= ; 04

12''ωu

lzzz DD +=−= . Prin urmare viteza punctului

D este:

=

+−

+=×+=

00

0

4124

01204'

ωω

ωωu

llu

kji

juDOvv iD

( ) kujuilu 1241443 0 +++= ω

Adică acelaşi rezultat.

Se poate verifica invarianţa proiecţiei vitezei pe suportul vectorului ω :

uvD 4=ωω

.

2.27. Un rigid cu un punct fix efectuează o mişcare dată prin ecuaţiile

parametrice : 3

;2;π

θϕψ === ktpt .

Se cere să se calculeze viteza unghiulară, axa instantanee de rotaţie,

axoidele, acceleraţia unghiulară (fig.2.27)

Rezolvare: Din ecuaţiile parametrice rezultă

0;2; === θϕψ &&& kp .


87

Componentele vitezei unghiulare pe axele sistemului de referinţă mobil

sunt:

ktpktpx 2sin2

32sin

3sincossinsin ==+=

πϕθϕθψω &&

ktpktpy 2cos2

32cos

3sinsincossin ==−=

πϕθϕθψω &&

22

3cos2cos

pkpkz +=+=+=

πθψϕω && .

Componentele vitezei unghiulare ω pe axele sistemului de referinţă fix

sunt:

Fig 2.27.


88

ptkptkx sin3sin3

sin2sinsincos1 ==+=π

ψθϕψθω &&

ptkptky cos3cos3

sin2cossinsin1 −=−=−=π

ϕθϕψθω &&

kpkpz +=+=+=3

cos2cos1π

θψϕω && .

Modulul vitezei unghiulare este:

pkkpzyxzyx 24 2222221

21

21 ++=++=++= ωωωωωωω .

Ecuaţiile axei instantanee de rotaţie faţă de sistemul mobil – ecuaţiile

parametrice ale conului polodic (axoida mobila) sunt:

zyx

zyx

ωωω==

Adică:

222cos

2

32sin

2

3 pk

z

ktp

y

ktp

x

+== . (a)

Ecuaţiile axei instantanee de rotaţie faţă de sistemul fix – ecuaţiile

parametrice ale conului herpolodic (axoida fixă) – sunt:

1

1

1

1

1

1

zyx

zyx

ωωω==

pk

z

ptk

y

ptk

x

+=

−= 111

cos3sin3. (b)

Unghiurile formate de axa instantanee de rotaţie cu axele celor două

sisteme de referinţă sunt:


89

( ) ;242

2sin3,cos

22pkkp

ktpOx x

++==

ωω

ω

( ) ;24

sin3,cos

22

11

pkkp

ptkOx x

++==

ωω

ω

( ) ;242

2cos3,cos

22 pkkp

ktpOy

y

++==

ω

ωω

( ) ;24

cos3,cos

22

11

pkkp

ptkOy

y

++

−==

ω

ωω

( ) ;242

4,cos

22 pkkp

pkOz z

++

+==

ωω

ω

( ) ;24

,cos22

11

pkkp

kpOz z

++

+==

ωω

ω

Componentele acceleraţiei unghiulare ε pe axele sistemului de referinţă

mobil sunt:

;2cos311 ktpkxx == ωε &

;2sin311 ktpkyy == ωε &

.011 == zz ωε &

Componenetele acceleraţiei unghiulare ε pe axele sistemului de referinţă

fix sunt:

;cos311 ptkpxx == ωε &

;sin311 ptkpyy == ωε &

.011 == zz ωε &

Modulul acceleraţiei unghiulare este:


90

kpzyxzyx 321

21

21

222 =++=++= εεεεεεε .

Unghiurile făcute de suportul acceleraţiei unghiulare ε cu axele sistemelor

de referinţă sunt:

( ) ;cos2cos,cos ϕεε

ε === ktOx x ( ) ;coscos,cos 11 ψ

εε

ε === ptOx x

( ) ;sin2sin,cos ϕε

εε −=−== ktOy

y ( ) ;sinsin,cos 11 ψ

ε

εε === ptOy

y

( ) 0,cos ==εε

ε zOz ; ( ) 0,cos 11 ==

εε

ε zOz .

Interpretând aceste rezultate se vede că vectorul ε este orientat după linia

nodurilor O< . Pentru a calcula ecuaţia conului polodic se elimină timpul

între ecuaţiile (a). Pentru aceasta se formează două ecuaţii prin egalarea

primului raport cu ultimul şi al doilea raport cu ultimul, adică:

pz

pkx

kt

2

32

22sin

+= ;

pz

pky

kt

2

32

22cos

+= .

Ridicând la pătrat şi însumând rezultă:

0

224

3 2

2

2

22

=

+

−+

pk

z

p

yx.

Pentru a calcula cuaţia conului herpolodic se procedează la fel şi se obţine

( )0

3 2

21

2

21

21 =

+−

+

pk

z

k

yx.


91

2.28. O rola conica a unui rulment axial se rostogoleşte fără alunecare pe o

cale de rulare de asemenea conică, rotindu-se cu viteza unghiulară

const=1ω în jurul axei de simetrie a căii de rulare conice. Conul din care

se poate considera că face parte rola, are unghiul de vârf α2 şi înălţimea

ROC = . Raza bazei mari a rolei este αtgRr = . Unghiul la vârf al conului

care reprezintă calea de rulare este β2 . Se cer să se determine: viteza

centrului C al bazei mari a rolei, axa instantanee de rotaţie, axoidele (fixă

şi mobilă), viteza unghiulară rolei precum şi viteza şi acceleraţia unui

punct M de pe periferia bazei mari a rolei, a cărui poziţie este definită de

unghiul format de raza CM cu diametrul bazei mari care este perpendicul

pe 1ω (fig. 2.28).

Rezolvare: Pentru ca să se realizeze rostogolirea fără alunecare, conurile se

execută cu vârful O comun şi plasat pe axa de rotaţie. În acest fel punctul

O este fix.

Deoarece rola se rostogoleşte fără alunecare pe calea de rulare conul admis

fix), generatoarea OAA1 reprezintă locul geometric al punctelor de viteză

nulă, adică este axa instantanee de rotaţie.

Se alege sistemul fix 111 zyOx , unde axa 1Oz reprezintă axa în jurul căreia

se efectuează mişcarea de rotaţie de antrenare a rolei (cu viteza unghiulara

1ω ); planul 11yOx este perpendicular pe axa 1Oz ; axa 1Ox rezultă din

intersecţia planului perpendicular pe 1Oz cu planul definit în momentul

iniţial de axa 1Oz şi axa rolei OC ; axa 1Oy rezultă din condiţia ca sistemul

să fie drept.


92

Se alege sistemul mobil Oxyz , unde axa Oz reprezintă axa de simetrie a

rolei: planul Oxy este paralel cu baza rolei; axa Ox se alege paralela cu

CM ; axa Oy rezultă pentru ca sistemul să fie drept.

Linia nodurilor O< rezultă din intersecţia planurilor 11yOx şi Oxy .

Unghiurile lui Euler sunt: unghiul de precesie ψ (se măsoară în planul

11yOx ); unghiul de rotatie proprie ϕ (se măsoară în planul Oxy ); unghiul

de nutaţie θ (se măsoară în planul zOz1 ).

Diametrul DE este paralel cu axa 1Ox şi ca urmare ϕ=⟨DCM . Linia

nodurilor O< este perpendiculară pe planul COz1 . Axa 1Oy face unghiul

ψ cu planul COz1 .

Se vede că unghiul de nutaţie are valoarea

const=+= βαθ

De unde 0=θ& .

Fig.2.28


93

Pentru calculul modulului vitezei unghiulare absolute 1ω se exprimă viteza

punctului C (centrul bazei mari a rolei) în mişcarea de antrenare în jurul

axei 1Oz şi cu ajutorul axei instantanee de rotaţie OA (fig. 2.28).

"'1 CCOCvC ωω ==

Unde θsin' ROC = şi αsin" RCC = .

Rezultă

αθ

ωωsin

sin1= .

vkk θϕψω &&& ++= 1

Unde în cazul de faţă 0=θ& . Vectorul 1kψ& este dirijat după axa 1Oz , iar

kϕ& după axa Oz . Aplicând teorema sinusului rezultă (fig. 2.8).

( ) αψ

αθϕ

θω

sinsinsin

&&=

−=

de unde: 1sin

sinω

θα

ωψ ==&

( ) ( )ααθ

ωθαθ

ωϕsin

sin

sin

sin1

−=

−=& .

Ţinând seama de aceste rezultate riese că rola efectuează o mişcare de

precesie regulată.

Componenetele vectorului ω pe axele triedrului mobil se calculează cu

formulele:

ϕθωϕθϕθψω sinsincossinsin 1=+= &&x

ϕθωϕθϕθψω cossinsincossin 1=−= &&y


94

( )

θωθαω

θωααθ

ωθψϕω

sinsincot

cossin

sincos

11

11

r

Rg

z

==

=+−

=+= &&

Componentele vectorului ω pe axele sistemului fix se calculează cu

formulele:

( )ψθ

ααθ

ωψθϕψθω sinsinsin

sinsinsincos 11

−=+= &&

x

( )ψθ

ααθ

ωϕθϕψθω cossinsin

sincossinsin 11

−−=−= &&

y

( )

−+=+=

αθαθ

ωθψϕωsin

cossin1cos 11 &&z .

Componentele vectorului ωε &= pe axele sistemului mobil sunt

( )α

ϕθαθωωε

sin

cossinsin21

−== xx &

( )α

ϕθαθωωε

sin

sinsinsin21

−−== yy &

0== zz ωε & .

Axoida fixă (conul herpolodic) este conul care reprezintă calea de rulare,

iar axoida mobilă (conul polodic) este conul din care face parte rola.

Ecuaţiile axoidei mobile sunt în cazul de faţă

αϕϕ g

zyx

cotcossin==

Ecuaţiile axoidei fixe în cazul de faţă se scriu:

( ) ( ) ( ) θαθαψθαθψθαθ cossinsincossinsinsinsinsin111

−+=

−=

−

zyx.


95

Pentru calculul vitezei şi acceleraţiei punctului M se scriu coordonatele

acestuia faţă de sistemul mobil: Rzyrx MMM −=== ;0; .

Viteza punctului M este:

=

−

=×=

Rr

rR

kji

OMvM

0

cossinsin1 ϕϕθωω

( )[ ]krjRiR ϕϕϕθω cossin1cossin1 −++−= .

Acceleraţia punctului M este:

( ) =××+×= OMOMaM ωωε

( )+−

−=

Rr

kji

0

0sinsinsin

sinsin21 ϕϕ

αθαθ

ω .

( ) ϕϕϕϕϕθω

coscos1cos

sinsinsin221

rRR

rR

kji

−+−

−+ .

Observatie: dacă radπβ = problema se reduce la mişcarea conului pe un

plan orizontal.

2.29. Să se reprezinte distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor la mişcarea de

rotaţie cu axă fixă.

Rezolvare: Axa instantanee de rotaţie este data de:


96

kv

rrr

rrr

ωλωλω

ω=+

×=

20

deci este axa Oz. Axa instantanee de rotaţie este în acest caz o axă

permanentă de rotaţie, adică în tot timpul mişcării poziţia ei va rămâne

neschimbată. Viteza minimă a punctelor de pe axa instantanee este:

00min ==

ωωrr

vv .

Relaţia obţinută anterior dvrrr

×=ω ne arată că toate punctele rigidului care

au acelaşi vector distanţă dr

faţă de axa de rotaţie, au acelaşi vector viteză.

Dar aceste puncte sunt situate pe o dreaptă paralelă cu axa de rotaţie. Deci

putem formula următoarea proprietate:

- mulţimea punctelor situate pe o dreaptă paralelă cu axa de

rotaţie (au acelaşi vector distanţă dr) au acelaşi vector viteză.

Altă proprietate care rezultă din această relaţie este:

- vitezele se găsesc într-un plan perpendicular pe axa de rotaţie.

Relaţia care dă modulul vitezei dv ω= ne permite să formulăm a doua

proprietate a câmpului de viteze:

- mulţimea punctelor situate la aceeaşi distanţă d faţă de axă au

aceeaşi valoare a vitezei. Sau: toate punctele situate pe un cilindru

circular drept având ca axă axa de rotatie au aceeasi valoare a vitezei.

Altă proprietate care derivă din această relaţie este:

- vitezele sunt direct proporţionale cu distanţa la axa de rotaţie.

Aceste proprietăţi ne permit să vizualizăm distribuţia de viteze ca în

fig.2.29.a.


97

Fig.2.29.a. Distribuţia vitezelor în mişcarea de rotaţie cu axă fixă

Relaţiile obţinute anterior pentru acceleraţii: ddarrrr 2ωε −×= şi

42 ωε += da ne permit să formulăm, la fel ca în cazul vitezelor,

următoarele proprietăţi:

- mulţimea punctelor situate pe o dreaptă paralelă cu axa de

rotaţie (au acelaşi vector distanţă dr) au acelaşi vector acceleraţie.

- mulţimea punctelor situate la aceeaşi distanţă d faţă de axă au

aceeaşi valoare a acceleraţiei; sau: toate punctele situate pe un cilindru

circular drept, având ca axa axa de rotaţie, au aceeaşi valoare a

acceleraţiei;

-acceleraţiile sunt direct proporţionale cu distanţa la axa de

rotaţie;


98

- acceleraţiile se găsesc într-un plan perpendicular pe axa de

rotaţie.

Aceste proprietăţi ne permit să vizualizăm distribuţia de acceleraţii ca în

fig.2.29.b. Unghiul făcut de acceleraţie cu tangenta la traiectorie este dat de

relaţia: 2ωε

β ν

τ

==a

actg .

Fig.2.29.b


99

CAPITOLUL III

MIŞCAREA RELATIVĂ A PUCTULUI MATERIAL

3.1. Un cadru dreptunghiular (BC = OD= R) se roteşte cu .const=ω în jurul axei

lagărelor AF generând un cilindru (fig. 3.1). În acelaşi timp pe latura CD un punct M

cade liber cu acceleraţia g. Se cere viteza şi acceleraţia punctului M la un moment

dat.

Rezolvare: Sistemul fix este batiul cu lagărele A şi F. Sistemul mobil este cadrul care

efectuează o mişcare de rotaţie în jurul axei AF. Mişcarea relativă este mişcarea

rectilinie a lui M pe CD. Mişcarea de transport este efectuată de M imobilizat pe

cadru, adică o mişcare circulară cu raza R şi viteza unghiulară ω . Mişcarea absolută

este mişcarea lui M faţă de batiu.

Fig.3.1


100

Studiul vitezelor.

Viteza relativă este viteza căderii libere gtvr = şi ca vector kgtvrrr

−= .

Viteza de transport este ( )[ ] jRiRkdHxOMxvtrrrrrr

ωωω =+−== ) în sistemul

mobil de coordonate cu valoarea ωRvt = .

Viteza absolută este jRkgtvvv tra

rrω+−=+= şi cum k

r ( rv ) şi j

r ( tv ) sunt

perpendiculari:

222222 tgRvvvv traa +=+== ω

şi este cuprinsă într-un plan tangent la cilindru în M.

Studiul acceleraţiilor.

Acceleraţia relativă este kgarrr

−= cu valoarea gar = .

Acceleraţia de transport este:

( ) ( ) iRjRxkOMxxOMxatrrrrrrr 2ωωωωωε −==+= .

şi are componentele perpendiculare:

)0;( 2 === εω τ RaRaa ttnt

r.

Acceleraţia Coriolis este nulă deoarece vectorii ω şi rvv sunt paraleli.

Acceleraţia absolută este:

iRkgaaaa ctra

rr2ω−−=++= ,

şi este cuprinsă într-un planul spirei. Modulul acceleraţiei este:

.42222 ωRgaaaa tnraa +=+==

3.2. Un cadru ABCD, care are porţiunea BC semicirculară de rază R, se roteşte cu

.1 const=ω în jurul axei lagărelor AD, generând o sferă. În acelaşi timp pe

porţiunea semicirculară a cadrului se mişcă un punct M, cu viteza u = ct după

meridian (fig.3.2,a). Se cer viteza şi acceleraţia punctului M.


101

Rezolvare: Sistemul de referinţă fix este batiul cu lagărele A şi D. Sistemul de

referinţă mobil este cadrul, care efectuează o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară

1ω în jurul axei AD. Mişcarea relativă este mişcarea de circulară a lui M cu viteza u

pe un cerc de rază ROM = (pe cadru). Mişcarea de transport este mişcarea

mişcarea lui M fixat pe cadru, adică pe un cerc de rază ,sinsin tR

uRRMO ==′ θ

centrul fiind O′ , cu viteza unghiulară 1ω . Mişcarea absolută este mişcarea lui M faţă

de batiu.

Fig.3.2

Studiul vitezelor.

Viteza relativă este:

iukuvuv rr

rrrθθ cossin; +−== .

Viteza de transport este:

θωω sin11 RMOvt =′= ; jRvtr

θω sin1= .


102

Viteza absolută este (fig.3.2, a):

jRiukuvvv tra

rrrθωθθ sincossin 1++−=+=

fiind cuprinsă într-un plan tangent la sferă în M şi are modulul:

,sin 2221

222 θω Ruvvv tra +=+=

deoarece cele două viteze sunt perpendiculare.

Studiul acceleraţiilor.

Acceleraţia relativă este componenta centripetă a acceleraţiei la mişcarea pe cerc

(componenta tangenţială este zero întrucât punctul se mişcă cu viteză constantă) şi

este orientată dinspre M spre O. Ea are componentele după OM:

R

uarn

2

=

şi după tangenta la cercul meridian în M

0== uar &τ ,

deci:

=== .0;

2

uaR

uaa rrnr &

rτ

sau, vectorial:

kR

ui

R

uar

rrrθθ sinsin

22

−−= .

Acceleraţia de transport are o componentă centripetă, după direcţia razei cercului

MO’,

θωω sin21

21 RMOatn =′=

şi o componentă tangenţială

.01 =′= ετ MOat

Rezultă:

( )0;sin 121

21 =⋅′==⋅′= εθωω τ MOaRMOaa ttnt

r

sau vectorial:


103

iRatrr

θω sin21−= .

Acceleraţia Coriolis este rrt vv ×=× 122 ωω şi are suportul perpendicular pe planul

cadrului, sensul din figura 3.2,b şi expresia:

( ) juiukuxkaCrrrrr

θωθθω cos2cossin2 11 =+−= .

Modulul este

( ) .cos22

sin2,sin2 11 θωπ

θωωω uRR

uvva rtrtC =

+==

Acceleraţia absolută este ctra aaaa ++= , şi are modulul

θωθωθω 2221

2221

22412

4

222

sin2cos4sin

2

uuRR

u

aaaaaa trctra

+++=

=⋅+++=

deoarece

.0=⋅=⋅ ctcr aaaa

3.3. Un punct material se mişcă cu viteză constantă u de-a lungul unei coarde a unui

cerc aflată la distanţa s de centru. Cercul se roteşte în jurul centrului cu viteza

unghiulară constantă ω . Să se determine

viteza şi acceleraţia absolute ale punctului

material la un moment dat.

Rezolvare: Urmărind figura 3.3. se poate

scrie:

( )( ).sincos

cossin

11

11

jid

jisdsrrr

rrrrr

θθ

θθ

−+

++=+=.

De asemenea ,1krr

ωω = ,0=ε tωθ = , Fig.3.3.a


104

utd = . Viteza şi acceleraţia originii sistemului mobil faţă de sistemul de referinţă fix

sunt nule. Se pot obţine cu uşurinţă viteza absolută şi acceleraţia absolută a punctului

material, aplicându-se formulele cunoscute de la mişcarea relativă a punctului.

Fi

Fig.3.3.b

3.4. Pe o placă dreptunghiulară ABCD se deplasează de la A la C un punct material

M cu o lege orară a spaţiului 3,03

2sin2,0 +

+=

πpts [m]. Placa ABCD este

element component al mecanismului paralelogram (fig. 3.4.), la care manivela AO1

se roteşte având legea spaţiului unghiular t6

πϕ = [rad]. Ştiind că

2

π=p ,

mBCBOAO 3,021 === se cere să se determine viteza şi acceleraţia absolută a

punctului M la momentul 2=t secunde.

Rezolvare: Derivând s se obţine, la 2=t :

570,13

5cos

103

2

2cos

103

2cos2,0 ==

+=

+=

ππππππtptps& m/s,


105

273,43

5sin

203

2

2sin

203

2sin2,0

222 =−=

+−=

+−=

ππππππtptps&& m/s2

Fig.3.4.

Calculăm şi: ms 127,0= la momentul t=2s.

Pentru mişcarea de rotaţie a barei AO1 elementele cinematice sunt:

( ) 32

πϕ ==t rad;

61π

ϕω == & rad/s ; 01 ==ϕε && rad/s2.

Placa ABCD execută o mişcare de translaţie circulară, toate punctele au aceeaşi

viteză şi aceeaşi acceleraţie. Viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a plăcii sunt

nule. Viteza absolută a punctului M la momentul st 2= este :

tra vvvrrr

+= ,

unde: ( ) jijisvrrrrr

&r oo 785,0360,130sin30cos +=+= şi

ijjiOAxkAOxvv At

rrrrr&

rrr1360,00785,0

3sin

3cos11 −=

+⋅===

ππϕω .

Deci ,8635,0224,1 jivarrr

+= adică ./4979,1 smva =

Acceleraţia absolută a punctului M la momentul st 2= este:

Ctra aaaarrrr

++= ,

în care ( ) jijisarrrrr

&&r oo 134,2701,330sin30cos +=+=


106

( ) jijiAOaaAt

rrrr&

rr oo 071,0041,060sin60cos12 −−=−−⋅== ϕν

,

şi 0=Car

deoarece 0=tω (mişcarea de transport este o translaţie).

Deci ,063,2659,3 jiaa

rrr+= adică ./201,4 2sma

a=

3.5. Punctul M se deplasează pe circumferinţa semicercului de diametru AB cu legea

de mişcare mtsr201,0 π= , pornind la momentul iniţial din poziţia A (fig.3.5.).

Cunoscând legea de mişcare a discului ca fiind tπϕ 8,4= ,rad,

mBOAO 2,021 == şi ,16,0 mR = să se determine viteza şi acceleraţia absolută

ale punctului la momentul .21 st =

Fig.3.5


107

3.6. Pe biela 2 a mecanismului bielă manivelă din figura 3.6. se deplasează inelul M,

după legea ( ) 21,0 ttsAM == . Calculaţi viteza absolută şi acceleraţia absolută a

inelului, dacă la timpul st 2= sistemul ocupă poziţia din fig.3.6. Se cunosc:

11 =ω [ srad / ]; 31 =ε [rad/s2]; ,30o=α < o90=AOB , mOA 4,0= .

Răspuns: smvM

/1027,77 2−⋅= ; ./1094,95 22 smaM−⋅=

Fig.3.6

3.7. O placă circulară de rază mR 4,0= se roteşte

faţă de axa Ox având legea spaţiului unghiular

( ) .1,0 tt πϕ = Pe placă se deplaseazăun punct

material M, de la O la A având legea spaţiului

( ) 22,0 tts π= . Să se determine viteza şi acceleraţia

absolută a punctulu material în poziţia A (fig.3.7.).

La momentul iniţial placa se găseşte în poziţia din

figură.

Răspuns:

( ) smv Aa /006,1= ; ( )2/314,1 sma Aa = .

Fig.3.7


108

3.8. Arcul de cerc AB de rază R se roteşte în jurul

axei Oz cu o viteză unghiulară constantă ω . Un punct material M se deplasează pe disc de la A la

B cu o viteză constantă în modul şi egală cu u. Se

cere să se determine viteza şi acceleraţia absolută a

punctului M într-o poziţie oarecare definită de

unghiul α , dacă arcul AB se găseşte în momentul

respectiv în planul yOz; se va particulariza pentru

0=α şi 2/πα = (fig.3.8.).

Răspuns: ( ) ( ) 2222 cos1 uRv Ma +−= αω ;

( ) ( ) ααωααω 22

42

22

222 sincos1cossin4R

uR

R

uua Ma +

−−+= ;

pentru 0=α , ( ) uv Ma = ; ( )R

ua Ma

2

= ;

pentru 2/πα = , ( )222uRv Ma += ω ; ( ) 2

424224

R

uRua Ma ++= ωω .

3.9. Un disc O de rază R se roteşte în planul său faţă

de articulaţia fixă 1O cu viteza unghiulară constantă

ω ca în figura 3.9. Un punct material M se

delasează pe arcul de cerc 10MM după legea

spaţiului unghiular t1ωθ = ( 1ω constant). Ştiind că

la momentul iniţial al mişcării diametrul OMO1 a

fost orizontal, se cer să se determine:a) viteza de

transport a punctului M şi valorile unghiului θ

Fig.3.9

Fig.3.8


109

pentru care aceasta este coliniară cu viteza relativă; b) viteza absolută a punctului M;

c) pentru ce valoare a vitezei unghiulare 1ω , acceleraţia absolută are direcţia 11OM

şi care este valoarea acceleraţiei absolute în acest caz?

Răspuns: a) 0,2

cos2 == θθ

ωRvt şi πθ = ;

b) ( )( )12221 cos12 ωωθωω +++= RRv

a;

c) ωω 21 −= ; ( )θω cos122 += Raa .

3.10. Satelitul de rază r al unui

mecanism planetar se rostogoleşte fără

alunecare pe interiorul suprafeţei

cilindrice de rază 3r, fiind legat cu

manivela OC de lungime 2r a cărui

viteză unghiulară 0ω este constantă. Pe

disc se află un mobil Q care are o

mişcare circulară uniformă de-a lungul

circumferinţei, în sens orar, cu viteza

constantă u (fig.3.10). Să se determine

viteza şi acceleraţia punctului Q când

acesta este în contact cu suprafaţa fixă, adică în A. Aplicaţie numerică:

srad /20 =ω , smu /4,0= ,

mmr 100= .

Răspuns: smmva /400= ; .0=aa

Fig.3.10


110

3.11. Un punct material coboară pe generatoarea unui con pornind din vârful acestuia

cu viteza constantă u. Conul se roteşte în jurul axei cu viteza unghiulară constantă ω.

Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a punctului material la un moment dat.

Se cunosc înalţimea conului H şi unghiul la vârf α.

Rezolvare: Analizând figura 3.11 se pot scrie relaţiile:

( ) 111 cossincossin jiiundekdHidrrrrrrr

θθαα +=−+= ,

rezultă:

( ) 111 coscossinsinsin kdHjdidrrrrr

αθαθα −++= .

În continuare:

1111 coscossinsinsincossin kujuiukuiuuvrrrrrrrr

αθαθααα −+=−==

Viteza unghiulară va fi: 1krr

ωω = , acceleraţia unghiulară 0=ε , iar acceleraţia

relativă 0== uar & . Viteza şi acceleraţia originii sistemului mobil faţă de sistemul

de referinţă fix sunt nule. Se pot obţine acum cu uşurinţă viteza şi acceleraţia absolută

a punctului material.

Fig.3.11.


111

CAPITOLUL IV

APLICAŢIILE TEHICE ALE CIEMATICII

4.1. Să se rezolve analitic mecanismul patrulater (fig.4.1).

Rezolvare: Pentru rezolvarea

mecanismului (fig.4.1) se va aplica

metoda ecuaţiilor de contur.

Mecanismul este definit de un

singur contur iar ecuaţia de

închidere pentru mecanism va fi:

0=+++ DACDBCAB .

Dacă se proiectează ecuaţia pe cele două axe ale sistemului de referinţă, cu

notaţiile din figură, se obţine:

0sinsinsin

coscoscos

332211

4332211

=++

=++

ϕϕϕ

ϕϕϕ

lll

llll

Cele două relaţii ar trebui să furnizeze unghiurile 2ϕ şi 3ϕ ca funcţie de

lungimile barelor şi unghiul elementului conducător 1ϕ . Problema este

destul de dificil de rezolvat analitic însă în momentul de faţă dispunem de

subrutine decalcul suficient de puternice care să ne asigure soluţia. În cazul

unei abordări analitice se rezolvă succesiv triunghiurile ABD şi BCD.

Dacă se notează cu 332211 ;; ϕωϕωϕω &&& === vitezele unghiulare

ale barelor respective se obţin, prin derivare, relaţiile:

0sinsinsin 333222111 =++ ϕωϕωϕω lll

0coscoscos 333222111 =++ ϕωϕωϕω lll

Fig.4.1


112

sau:

−=

1

111

3

2

3322

3322

cos

sin

coscos

sinsin

ϕϕ

ωωω

ϕϕϕϕ

lll

ll

de unde rezultă vitezele unghiulare ale barelor BC şi CD:

)sin(

)sin(

232

31112 ϕϕ

ϕϕωω

−−

=l

l ;

)sin(

)sin(

233

21113 ϕϕ

ϕϕωω

−−

=l

l.

Prin derivare se obţin relaţiile care ne oferă acceleraţiile unghiulare ale

barelor:

0cossincossincossin 332333322

2222211

21111 =+++++ ϕωϕεϕωϕεϕωϕε llllll

0sincossincoscoscos 332333322

2222211

21111 =−+−+− ϕωϕεϕωϕεϕωϕε llllll

de unde se obţin, prin calcul, 1ε şi 2ε . Avem:

−

−=

1

111

3

2

3322

3322

cos

sin

coscos

sinsin

ϕϕ

εεε

ϕϕϕϕ

lll

ll

=

−

−

−3

3233

2

2222

1

1211 sin

cos

sin

cos

sin

cos

ϕϕ

ωϕϕ

ωϕϕ

ω lll

−

−−

−

−

−=2

2

232

2

3122

121

1

1211

1

111 sin

cos

)(sin

)(sin

sin

cos

cos

sin

ϕϕ

ϕϕϕϕ

ωϕϕ

ωϕϕ

εl

lll

−−

−3

3

232

3

2122

121 sin

cos

)(sin

)(sin

ϕϕ

ϕϕϕϕ

ωl

l

4.2. Să se rezolve analitic mecanismul bielă manivelă (fig.4.2).

Pentru mecanismul bielă-manivelă din fig.4.2, ecuaţiile de contur vor fi:

0'' =+++ AACABCAB

de unde, prin proiecţie pe cele două axe, se obţine:


113

0coscos =−+Cxlr ϕα

0sinsin =++ alr ϕα

relaţie care dă, în urma

calculelor, pe xC şi φ:

l

ar +−=

αϕ

sinsin

2sin

1cos

+

−+=l

arlrx

C

αα

Pentru a determina viteza

unghiulară 2ω şi viteza culisei Cv se derivează cele două proiecţii ale

ecuaţiilor de contur:

0sinsin 21 =++Cvlr ϕωαω

0coscos 21 =+ ϕωϕω lr .

Rezultă imediat:

)cos

sin(;cos

cos112 ϕ

ααω

ϕα

ωωtg

rvl

rC +−=−= .

Fig.4.2.a

Fig.4.2.b Fig.4.2.c


114

Graficele vitezei unghiulare a bielei şi a vitezei lineare a culisei sunt

prezentate în fig.4.2.b şi 4.2.c, unde s-a considerat viteza unghiulară a

manivelei constantă.

Printr-o nouă derivare se obţin relaţiile care ne dau acceleraţiile:

0sincossincos 2221

21 =++++ Callrr ϕεϕωαεαω ,

0cossincossin 2221

21 =+−+− ϕεϕωαεαω llrr

care ne oferă cu uşurinţă 2ε şi Ca în funcţie de elemente cunoscute:

211

21

212 cos

sin

cos

sin

cos

cosωεω

ββ

βα

εβα

ε uttl

r

l

r+=

−+−=

2

1

2

1 )cossinsin()sinsin( ωββαεβα lultrltraC

++−++−= .

Atenţie! Dacă se utilizează unghiul β în loc de unghiul φ în ecuaţiile de

contur, atunci se obţine βω &−=2 relaţie care rezultă cu uşurinţă dacă

derivăm πϕβ 2=+ şi ţinem seama că ϕω &=2 . Câteva curbe de bielă

pentru mecanismul bielă manivelă sunt prezentate în cele ce urmează.

r/l=0.4 r/l=0.2

Fig.4.2.d Fig.4.2.e.


115

4.3. Să se studieze cinematic mişcarea diferenţialului considerat ca un

mecanism cu două grade de libertate.

Rezolvare:

a) Dacă toate elementele se mişcă atunci avem mecanismul diferenţial

propriu-zis.

În acest caz distribuţia vitezelor este prezentată în fig.4.3.a. Am presupus

că roata centrală 1 are o mişcare de rotaţie în sens orar cu viteza unghiulară

1ω iar roata 3 are o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară 3ω . Avem

111 Rv ω= , 333 Rv ω= . Considerând figura, se pot scrie relaţiile de

asemănare între triunghiuri:

xR

v

x

v

−=

2

31

2 ,

de unde rezultă poziţia centrului instantaneu de rotaţie pentru roata 2:

r/l=0.4 r/l=0.6

Fig.4.2.f Fig.4.2.g


116

31

212

vv

Rvx

+= .

Din asemănarea:

xR

xR

v

v

−−

=2

2

3

2

2,

rezultă 2v :

213

2

vvv

−= .

Relaţia: 222 )( ωxRv −= ne dă viteza unghiulară a satelitului 2ω :

2

31

2

22 2R

vv

xR

v +=

−=ω .

Puteam obţine 2ω şi din relaţia xv /12 =ω . Pentru a afla viteza unghiulară

a manivelei utilizăm relaţia:

2)( 13

212

vvRRv H

−=+= ω

de unde:

Fig.4.3.


117

)(2 21

13

RR

vvH +

−=ω .

Relaţia între vitezele unghiulare ale elementelor care se rotesc este dată de:

0)2( 113321 =+−+ RRRRH ωωω (sau 0)2( 113321 =+−+ zzzzH ωωω ).

O cale mai elegantă de a obţine soluţia este de a da întregului mecanism o

mişcare inversă astfel încât unul din elemente să fie fix. Spre exemplu,

dacă dăm o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară 3ω− , atunci coroana

dinţată se va afla în repaus, manivela va avea viteza unghiulară Hωω −3 ,

roata centrală 1 va avea viteza unghiulară 31 ωω + iar satelitul doi viteza

unghiulară 23 ωω − . În acest caz distribuţia vitezelor devine cea din fig.4.3

iar rezolvarea se face pe baza relaţiilor deja studiate.

4.4. Să se efectueze studiul cinematic al mecanismului diferenţial simplu

din figura 4.4 în care s-au făcut notaţiile: 1 – roata centrală interioară; 2 –

satelitul; 3 – roata centrală exterioară; H – braţul port-satelit. Studiul se va

face în următoarele cazuri: a) se fixează braţul port-satelit(fig.4.4.b); b) se

fixează roata 3 (fig.4.4.c); c) se fixează roata 1 (fig.4.4.d).

Rezolvare:

a) Dacă fixăm manivela se obţine un mecanism cu roţi dinţate cu axe fixe

(fig.4.4.c). Distribuţia de viteze este în acest caz ca cea din figură. Pe baza

acestei distribuţii se scriu relaţiile:

,; 3322222111 RRvRRv ωωωω ====


118

de unde: .3

11

3

113

z

z

R

Rωωω ==

Avem şi relaţia ( ).22 321321 zzzRRR =+=+ Atunci rezultă: ,21

113

zz

z

+= ωω

iar raportul de transmitere va fi dat de: .2

1

21

3

13,1

z

zzi

+==

ωω

a. b.

Fig.4.4,a,b

c. d.

Fig.4.4.c,d


119

b) Roata 3 fixă. În acest caz distribuşia de viteze este reprezentată în figura

4.4.d. Pe baza acestei distribuţii se poate scrie:

),(;2 2122222111 RRRvRRv H +==== ωωωω

de unde: ,)(2)(2 21

11

21

111

zz

z

RR

RH +

=+

= ωω

ωω iar raportul de transmitere

este dat de:

.)(2

1

211,1

z

zzi

H

H

+==

ωω

c) Roata 1 fixă (manivela este element conducător). Pe baza distribuţiei de

viteze din figura 4.4.b se poate scrie:

),2(2;)( 21322222211 RRRvRRRv H +===+= ωωωω

de unde: .)2(2

)(

)2(2

)(

21

21

21

213

zz

zz

RR

RR HH

+

+=

+

+=

ωωω

Raportul de transmitere este:

.)2(2

21

21

11,

zz

zzi H

H +

+==

ωω

4.5. În figura 4.5 este reprezentată schema de acţionare a cilindrilor de

dozare la o presă de extrudare a placilor din aşchii. Se cere expresia vitezei

unghiulare ω3 a cilindrilor de dozare, ştiind că aceştia sunt coaxiali cu

roţile dinţate O3 şi O4. Se cunosc: ω1, R1, r, R, R3 şi AB=l.

Rezolvare: Pentru transmisia cu curele se obţine


120

.2

112R

Rωω =

Spaţiul parcurs de punctul B este:

2sin

1cos

−+=l

rlrsB

αα

sau dezvoltând în serie se obţine:

⋅⋅⋅−−+= ααα 4

3

42

2

sin8

sin2

cosl

r

l

rlrsB

Fig.4.5


121

Dacă se consideră doar primii trei termeni din expresia spaţiului rezultă

pentru viteza punctului B expresia:

.2sin2

sin2sin2

sin 2

+−=

+−== ααωαααl

rr

l

rr

dt

dsv B

B&

Deoarece vC=vB rezultă în final:

.2sin2

sin13

1

33

+== ααωωl

r

RR

rR

R

vC

4.6. Fie montajul din figura 4.6, în care se cunoaşte turaţia mosorului (M)

ca fiind n = 60 rot/min, diametrul său d = 20cm, precum şi valorile razelor

roţilor r1=15cm, r2=30cm, r3=20cm, r4=15cm, r5=45cm. Să se determine

viteza de urcare a corpului (C).

Rezolvare: Viteza unghiulară a mosorului va fi:

./2301 sradn

ππ

ω ==

Viteza unghiulară a roţii 2 se determină din condiţia:

,2 121 rd

ωω = de unde ./3

4

2 112 srad

r

d πωω ==

Viteza unghiulară a roţii 3 rezultă din condiţia de egalitate a vitezei

punctului A de pe roata 2 cu viteza punctului A de pe roata 3 astfel:

./220

30

3

4

3

2233322 sradr

rrrvA π

πωωωω =⋅==⇒==

Ţinând cont de condiţia îndeplinită de vitezele unghiulare ale roţilor 3 şi 4

între care transmiterea mişcarii se realizează prin curea se poate scrie:


122

./3

8

15

202

4

3344433 sradr

rrr

ππωωωω ===⇒=

Fig.4.6

Viteza de urcare a corpului (C) va fi:

./120453

854 scmrvC π

πω ===

4.7. Să se precizeze ce fel de filet trebuie să aibă şurubul din transmisia

prezentată în figura 4.7 (pe stânga ori pe dreapta) dacă se impune ca

greutatea Q să urce, iar sensul de rotaţie al şurubului este cel indicat pe

figură. Să se determine de asemenea viteza greutăţii Q. Se dă:

;15min;/3600;90;3 2121 cmrrotnzn f ==== ;20;20;45 433 === zzcmr

.40;80 55 cmrz ==


123

Fig.4.7

Rezolvare: Filetul şurubului trebuie să fie pe dreapta.

Pentru determinarea vitezei greutăţii Q trebuie să se afle următoarele

mărimi cinematice:

;/12030

3600

301

1 sradn

πππ

ω ===

sradz

nzn

ff /4

2

1122211 π

ωωωω ==⇒=

sradr

rrr /

3

4

3

2233322 π

ωωωω ==⇒=

sradz

zzz /

3

4

4

3344433 π

ωωωω ==⇒=


124

;/35

4455544 srad

z

zzz

πωωωω ==⇒=

./3

4040

355 scmzvQ ππ

ω =⋅==

4.8. O pană triunghiulară, cu unghiurile la bază egale cu α, se reazemă pe

două piese A şi B, care se mişcă rectiliniu cu vitezele 1vr

şi 2vr

. Să se

determine viteza 3v a penei şi unghiul β pe care aceasta îl face cu

verticala(fig.4.8).

Răspuns: αβα

αctg

vv

vvtg

vvvvv

21

212122

21

3 ;cos2

2cos2

+−

=++

=

Fig.4.8


125

4.9. Prisma din figura 4.9 se deplasează în linie dreaptă pe un plan după

legea s(t) = 0,02t(5-t)m. Pe această prismă se sprijină capătul A al unei

bare OA de lungime 0,20m, articulată în O. Determinaţi viteza unghiulară

şi acceleraţia unghiulară a barei la timpul t = 1s, dacă la acest moment β =

60o, iar α = 30o.

Fig.4.9

Răspuns: ./13,0;/17,0 2sradsrad == εω

4.10. Să se studieze cinematica mecanismelor diferenţiale duble din figura

4.10 în următoarele cazuri: a) braţul port-satelit fix; b) roata 3 fixă; c) roata

1 fixă.


126

Răspuns: a) ;32

2113

zz

zz ′= ωω

b) ( )( );

2122

211

zzzz

zzH +−′

′= ωω

c) ( )( )

.32

22213

zz

zzzzH

−′+= ωω

Fig.4.10

4.11. Cunoscând sensul de rotaţie al motorului (1) (fig.4.11) şi că roţile (6)

urcă pe planul înclinat rostogolindu-se fără alunecare, să se precizeze: a)

sensul filetului şurubului melc; b) viteza centrului C al roţilor (6), în

mişcarea de regim când turaţia motorului este .min/30001 rotn r = Sunt

cunoscute: ;40;20 21 == zz ;60;20;30 433 ==′= zzz ;605 =z ;24 =fn

;2005 mmr = .200;300 66 mmrmmR ==

Răspuns: a) filetul şurubului melc (4) este pe dreapta;


127

b) vC = 1,395 m/s.

Fig.4.11

4.12. Motorul electric (1) (fig.4.12) ajunge la turaţia de regim 18001 =n

min/rot în 10 secunde. Cunoscând: ;36;18 21 == zz ;80;20 43 == zz

;200;45;3 554 mmRzn f === ,200;300 66 mmrmmR == să se determine: a)

sensul filetului şurubului melc (4), astfel încât semifabricatul Q să urce; b)

spaţiul parcurs de semifabricatul Q în 12 secunde de la pornire.

Răspuns: a) filetul şurubului melc (4) este pe dreapta; b) s = 1,465 m.


128

Fig.4.12


129

Capitolul V

DIAMICA PUCTULUI MATERIAL

5.1. Să se determine legea de mişcare pentru un punct material de

masă m, aruncat în câmp gravitaţional, de la înălţimea h cu viteza 0vr

care face cu orizontala unghiul α. Condiţiile iniţiale la t = 0 sunt:

;00=

=ttx αcos0

0vx

tt=

=& ;

;0hy

tt=

= αsin0

0vy

tt=

=& ;

;00=

=ttz 0

0=

=ttz& .

Rezolvare: Ecuaţiile de mişcare sunt:

=

−=

=

.zm

;gmym

;xm

0

0

&&

&&

&&

de unde:

=

−=

=

.z

;gy

;x

0

0

&&

&&

&&

Se obţine cu uşurinţă:

=

+−=

=

.Cz

;Ctgy

;Cx

3

2

1

&

&

&

şi legea de mişcare:


130

+=

++−=

+=

.CtCz

;CtCgty

;CtCx

63

522

41

2

1

Punând condiţiile iniţiale rezultă valorile constantelor de integrare:

.0;;0;0;sin;cos 65430201 ====== ChCCCvCvC αα

Deci ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

=

−+=

=

.0

;2

1sin

;cos

20

0

z

gttvhy

tvx

α

α

care reprezintă ecuaţia parametrică a unei parabole ce se găseşte în

planul z = 0 (traiectoria este o curbă plană). Eliminând parametrul t

între primele două ecuaţii se obţine:

αcos0v

xt =

deci ecuaţia parabolei va fi:

Fig. 5.1. Aruncarea în câmp gravitaţional


131

α

α22

0

2

cos2v

xgtgxhy −+= .

Să calculăm acum câteva elemente caracteristice ale mişcării în câmp

gravitaţional:

a ) Durata mişcării

Făcând y = 0 se obţine:

20 2

1sin0 gttvh −+= α

sau:

02sin2 02 =−− htvgt α

de unde:

g

ghvvt

2sinsin 2200

2,1

+±=

αα

Convine problemei numai soluţia pozitivă:

g

ghvvt

2sinsin 2200

2

++=

αα

Putem scrie:

cu ttt +=2

unde:

g

sinvtu

α= 0

reprezintă timpul de urcare iar

g

ghvtc

2sin 220 +

=α


132

reprezintă timpul de coborâre, lucrul ce va fi demonstrat în continuare

la pct. c.

b) Bătaia (distanţa OA)

ααα

α cos2sinsin

cos22

00020

++==

g

ghv

g

vvtvxA .

Să punem condiţia ca bătaia să fie maximă:

0=αdxd A

Efectuând toate calculele rezultă în final:

( )20

202

2sin

vgh

v

+=α

de unde rezultă valoarea unghiului α care realizează maximul. Se

obţine, după efectuarea calculelor corespunzătoare, valoare maximă a

bătăii:

)(2

22

)(2

)(220

20

20

40

20

2

00 ghv

ghv

g

ghvgh

v

vghg

vvxA +

+

+

++

+= .

Am ţinut seama că avem:

( )ghv

ghv

++

=−=20

202

2

2sin1cos αα

şi obţinem după efectuarea calculelor xmax :

ghvg

vx 22

00

max +=


133

c) Înălţimea maximă se obţine punând condiţia anulării

componentei vitezei după axa Oy:

tgv −= αsin0 0

Rezultă timpul de urcare:

g

vtu

αsin0=

şi înălţimea maximă:

g

vhtgtvhH uu 2

sin

2

1sin

2202

0

αα +=−+= .

d) Viteza în punctul de contact cu solul se obţine introducând t2

în formulele componentelor vitezei:

ghvtgvv

ctvv

y

x

2sinsin

,.cos

22020

0

+−=−=

==

αα

α.

(componenta vitezei după axa Ox este, în tot timpul mişcării,

constantă). Rezultă:

ghvvvv yxA 220

22 +=+=

Relaţia se putea obţine mai uşor utilizând teorema conservării energiei.

Unghiul făcut de viteză cu orizontala în momentul atingerii solului

este dat de:

α

αβ

sin

2sin

0

220

v

ghv

v

vtg

Ay

Ax+

==


134

d) Parabola de siguranţă (fig.5.1.b) reprezintă înfăşurătoarea

curbelor traiectoriei, considerând unghiul α ca parametru şi menţinând

pe v0 constantă în modul. Pentru a o determina se elimină parametrul α

între ecuaţiile:

( ) 0;0 ==α

αd

dyy

Deci, în cazul nostru :

0cos2 22

0

2

=+−−α

αv

gxxtghy

şi:

0cos

sin

cos 320

2

2=+−

αα

α v

gxx

Din a doua relaţie se obtine:

xg

vtg

20=α

şi introducând în prima relaţie pusă sub forma:

( )αα 2

20

2

12

tgv

gxxtghy +−+=

se obţine:

20

220

22 v

xg

g

vhy −+=

deci o parabolă.Punând y = 0 se obţine:

20

220

22 v

gx

g

vh =+

de unde:

Fig.5.1.b. Parabola de

siguranţă


135

ghvg

vxx max 22

00 +==

adică punctul în care parabola de siguranţă intersectează orizontala

este punctul de bătaie maximă.

Caz particular.

Dacă punctul material se aruncă de la nivelul solului, se va introduce h

= 0 în toate relaţiile obţinute mai sus iar rezultatele devin:

Traiectoria:

α220

2

cos2v

gxxtgxy −=

Durata mişcării:

cu tt;g

sinvt =

α= 02

Bătaia:

g

sinvxb A

α==

220

Bătaia maximă:

Fig.5.1.c. Aruncarea de la nivelul solului


136

g

vx; max

20

4=

π=α

Înălţimea maximă:

g

sinvH

α=

220

Parabola de siguranţă:

20

220

22 v

gx

g

vy −=

5.2. Să se determine mişcarea unui punct material aflat la capătul unei

bare articulate. (pendulul simplu - legătură bilaterală).

Rezolvare: În acest caz, neinteresând

reacţiunea din legătură, se va utiliza

teorema energiei cinetice. În punctul

cel mai de jos al traiectoriei, punctul

material va avea o viteză v0, deci o

energie cinetică E0:

200 2

1vmE = .

Într-un alt punct de pe cerc, de exemplu A, va avea altă viteză, mai

mică v şi o energie cinetică E:

2

2

1vmE = .

Fig. 5.2. Legătura bilaterală


137

Lucrul mecanic total al forţelor gravitaţionale va fi:

( ) ( )θ∆ cos100 −−=−−=−=−= mgOBOAmgBAmghmgL

Teorema energiei cinetice va deveni:

( )θcos12

1

2

1 20

2 −−=− lgmvmvm

de unde va rezulta viteza punctului material în A:

( )θcos1220

2 −−= lgvv

Pentru viteze iniţiale mai mici decât

( )θcos120 −= lgv

punctul material se va opri înainte de a ajunge în punctul cel mai de

sus al cercului după care se va întoarce, având o mişcare oscilatorie în

jurul poziţiei iniţiale. Unghiul α care va determina poziţia în care se

opreşte momentan punctul, deci şi amplitudinea mişcării este obţinut

din relaţia de mai sus:

lg

v

lg

vlgcos

21

2

2 20

20 −=

−=α

Pentru a avea oscilaţii este necesar ca α < π deci 1−>αcos , de unde

rezultă:

lgv 420 <

Dacă lgv 420 > punctul material va parcurge în acelaşi sens cercul, în

absenţa frecărilor fără să se oprească. Mişcarea va fi circulară. În cazul

în care lgv 420 = viteza se va anula în punctul cel mai de sus al

traiectoriei. În cele ce urmează vom arăta că acest lucru se întâmplă

după un timp infinit de lung. Ţinând seama de relaţiile:


138

dt

dsv = şi θdlds =

avem:

( ) ∫∫∫∫

−

=−−

===αα

θ

θ

θ

θ

0 2200

20

2sin

4

2

1

cos124

gl

v

d

g

l

glv

dl

v

dsdt

T

Integrala obţinută este o integrală eliptică şi în general nu are soluţie

analitică. Rezultatul acestui calcul va reprezenta un sfert din perioada

oscilaţiilor punctului material în mişcarea sa pe cerc (va determina

perioada oscilaţiilor pendulului simplu). În cazul limită când lgv 420 =

şi π=α se obţine:

∫=π

θθ

0

2cos2

1 d

g

lT

Cu schimbarea de variabilă u=2

sinθ

rezultă:

1

0

1

02 1

1ln

2

1

1

2

2

1

u

u

g

l

u

du

g

lT

−+

=−

= ∫

care la limită tinde către infinit. Punctul material se va apropia de

poziţia finală într-un timp infinit de lung fără a o atinge niciodată.

Mişcarea va avea un caracter asimptotic.

(Micile oscilaţii ale pendulului). În cazul în care amplitudinea

oscilaţiilor este mică, acestea pot fi studiate cu uşurinţă dacă se face

aproximaţia, destul de bună până la unghiuri de 0,1 rad, că unghiul


139

este egal cu sinusul lui. În acest caz ecuaţiile de mişcare ale punctului

material vor fi:

0cos

sin

=−

=−

3G

amG t

θ

θ

unde θε &&llat == . Din prima ecuaţie, în aproximaţia θ=θsin se

obţine:

θθ &&lg =−

sau

02 =+ θωθ&&

unde s-a notat lg /2 =ω . Soluţia acestei ecuaţii este de forma:

( )0cos θωαθ += t

Constantele de integrare α şi θ0 se determină din condiţiile iniţiale.

Perioada micilor oscilaţii este:

g

lT π

ωπ

22

==

5.3. Un punct material, legat cu un fir, se mişcă pe circumferinţa unui

cerc sub acţiunea gravitaţiei. Să se determine mişcarea acestui punct.

(Pendulul simplu - Legătura unilaterală).

Rezolvare. Presupunem legătura realizată cu fir, ca în figura 5.3.

Ecuaţiile de mişcare sunt:


140

22

cos θθ ν&mR

R

mvamSG ===−

θθ τ&&mRamG ==− sin

Înmulţind ecuaţia a doua cu θ& se obţine:

( ) θθθθ &&&& mRG =− sin

sau prin integrare:

2cos

2θθ

&mRCG =+

Constanta C se determină din condiţiile iniţiale. Se presupune că la

momentul t = 0 avem θ&Rvv o == şi 2/πθ =o . Rezultă:

R

mv

R

vmRC

22

20

2

20 == .

Pentru unghiuri θ mici se poate considera θθ ≈sin şi mişcarea va fi

oscilatorie armonică:

0=+ θθ mgmR &&

sau: 0=+ θθR

g&&

de unde:

( )ϕωθθ −= tcos0 .

Tensiunea în fir este dată de relaţia:

R

mvGS

2

cos += θ .

Din conservarea energiei rezultă:

( )θcos122

220 −+= mgR

mvmv.

Fig.5.3. Legătura

unilaterală(cu fir)


141

Atunci:

( )θcos1222

20

2

−−= mgmvmv

,

iar tensiunea din fir va fi:

( ) ( )θθθ cos32cos12cos20

20 −−=−−+= mg

R

mvmg

R

mvGS .

Tensiunea devine nulă în momentul în care:

( )θcos3220 −= gRv

de unde:

gR

vgR

3

2cos

20−

=θ .

Se pot trage următoarele concluzii:

• dacă 02 20 >− vgR pendulul va executa oscilaţii;

• dacă 202 vgR = rezultă 2/πθ = , iar pendulul va avea mişcare

periodică la limită;

• dacă 03

21

20 <

−<−

gR

vgR, deci gRv 22

0 > şi gRv 520 ≤ tensiunea va

deveni zero într-un punct din jumătatea superioară a cercului şi va

urma o desprindere de pe cerc la momentul S=0 urmată de o

mişcare în câmpul gravitaţional; Există un punct în care reacţiunea

se anulează. În această poziţie punctul material va părăsi legătura,

iar mişcarea se va efectua pe o parabolă şi a fost analizată la

mişcarea în câmp gravitaţional.


142

• dacă gRv 520 > atunci S ≠ 0 şi pendulul se va mişca în continuu pe

cerc (mişcare circulară).

5.4. Un punct material alunecă din vârful unei calote sferice. Să se

determine:

a) ecuaţia de mişcare a punctului material;

b) reacţiunea normală N la un moment dat, înainte ca punctul

material să părăsească suprafaţa sferei;

c) punctul B în care corpul va părăsi sfera;

d) locul (punctul C) unde punctul material va întâlni orizontala.

Fig.5.4

Rezolvare:

a) Ecuaţiile de mişcare pentru punctul material, în coordonate

naturale, sunt:

=

=

n

t

Gma

Gma

ν

τ


143

unde θsinGGt = şi θcosGGn = sunt componentele tangenţiale şi

normale ale greutăţii. Rezultă

−=

=

3mgmR

mgmR

θθθθ

cos

sin2&

&&

Prima ecuaţie, care este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, reprezintă

legea de mişcare a punctului:

θθ singR =&&

Dacă înmulţim şi la dreapta şi la stânga cu θ& se obţine:

θθθθ sin&&&& gR =

care oferă o integrală primă a mişcării:

θθ

cos2

2

gCR

−=+&

Condiţiile iniţiale: t=0, theta=0, thetadot=0 oferă constanta de

integrare gC −= deci:

)cos1(2

2

θθ

−= gR &

Se poate obţine:

)cos1(2

θθ

θ −==R

g

dt

d&

care este o ecuaţie diferenţială cu variabile separabile:

dt

R

g

d=

− )cos1(2

θ

θ

Se poate scrie:


144

∫−

=α

θ

θ

0 )cos1(2

R

g

dt

Nu există o primitivă pentru funcţia de sub integrală, integrala fiind de

tip eliptic şi putând fi rezolvată numeric.

b) din ecuaţia a doua de echilibru rezultă:

θθ cos2 gmR3 +−= &

Ţinând seama că la punctul a) am calculat 2θ& :

)cos1(22 θθ −=R

g&

rezultă pentru 3:

)cos32()cos1(2

coscos 2 θθθθθ +−=−−=−= mgR

gmRmgmRmg3 &

c) în momentul desprinderii reacţiunea devine zero ( 3 = 0 ), ceea ce

conduce la condiţia:

)cos32(0 θ+−= mg

de unde, dacă se notează cu *a unghiul θ la momentul respectiv:

3

2*cos =a .

d) Coordonatele punctului de desprindere B sunt:


145

( ) RRRx

RRy

B

B

3

5cos*1*sin

;3

2*cos

2 =−==

==

α

α

Viteza punctului material în timpul desprinderii poate fi calculată

utilizân teorema conservării energei mecanice în câmp gravitaţional:

BA EE =

2*cos

2Bmv

mgRmgR += α

de unde:

gRgRvB 3

2*)cos1(22 =−= α

Mişcarea va fi o aruncare în câmp gravitaţional iar traiectoria va fi o

parabolă.

5.5. Traiectoria unui punct material, sub acţiunea unei forţe, este elicea

cilindrică αθρ tgRzctR === ; . Viteza punctului în mişcarea pe

elice este constantă ov . Să se determine forţa Fr

care determină

această mişcare (dinamică inversă).

Rezolvare: Ecuaţiile de mişcare ale punctului material sunt:

ρθρρ Fm =− )( 2&&&

θθρρ Fm =+ )2( &&&

zFzm =&&


146

Întrucât ctR ==ρ avem 0== ρρ &&& şi atunci relaţiile se simplifică:

ρθρ Fm =− 2& ;

θθρ Fm =&& ;

zFzm =&&

Mai departe să folosim proprietatea că viteza de mişcare pe elice este

constantă. Avem:

( ) ( ) ( )α

θαθθθρρ

2

22222222222

cos0

&&&&&&

RtgRRzvo =++=++=

deci:

0;cos

=== θα

θ &&& ctR

vo

Rezultă:

;cos22

R

vmF o α

ρ −=

;0=θF

0=zF

Acestea sunt forţele care asigură mişcarea pe elice a punctului

material, cu condiţia ca la momentul iniţial acesta să aibă viteza

iniţială vo care sa facă un unghi de înclinare α cu tangenta la cercul de

rază R.

5.6. Un corp cade în câmp gravitaţional, pornind din repaus. Se

consideră că rezistenţa aerului este proporţională cu viteza aerului. Să


147

să studieze mişcarea corpului în acest caz dacă forma legii de

rezistenţă din partea aerului este: 2

2

1SvcR ρ= unde c este coeficientul

de rezistenţă care depinde de forma corpului, ρ este densitatea

aerului, S este secţiunea transversală a corpului perpendiculară pe

direcţia vitezei, iar v viteza corpului.

Rezolvare: Legea de mişcare pentru corp se poate scrie:

RGzm −=&&

sau:

−=

−=

2

22

12

1u

vg

G

Svcgz

ρ&&

unde s-a notat: Sc

Gu

ρ22 = .

Ordinul ecuaţiei diferenţiale poate fi redus dacă se scrie:

dz

dvv

dt

dz

dz

dv

dt

dvz ===&&

rezultă ecuaţia diferenţială cu variabile separabile:

( ) 222 u

gdz

vu

dvv =

−

cu soluţia:

( )2

22ln2

1

u

gzCvu =+−−

Dacă fixăm originea în poziţia de lansare a punctului, cu orientarea în

jos, condiţia iniţială revine la t=0, z=0, v=0. Rezultă:


148

0ln =+− Cu

şi atunci prima integrală poate fi scrisă:

( )2

22 lnln2

1

u

gzuvu =+−−

sau 22

22

ln2

1

u

gz

u

vu=

−−

de unde:

−=

−2

2

1 u

gz

euv .

Se poate face observaţia că dacă z creşte termenul 2

2

u

gz

e−

tinde către 0,

deci viteza nu va putea depăşi viteza limită u. Adică un corp în cădere

îşi măreşte viteza până la un moment dat, după care se va mişca cu

viteza constantă Sc

Gu

ρ2

= . Mai de parte, se poate scrie:

−=

−2

2

1 u

gz

eudt

dz

sau:

dt

eu

dz

u

gz=

−

−2

2

1

Integrarea ecuaţiei diferenţiale cu variabile separabile poate oferi legea

mişcării. Integrarea numerică este cea mai potrivită pentru rezolvarea

problemei.


149

5.7. Un punct material alunecă fără frecare într-un jgheab de forma

celui din fig.5.7. Să se determine legea de mişcare a punctului material

pe carc, reacţiunea când raza vectoare a punctului face unghiul α cu

orizontala, înălţimea de la care trebuie lansat punctul, h, astfel încât să

ajungă în punctul cel mai de sus al cercului de rază R.

Rezolvare: Ecuaţiile de echilibru dinamic sunt:

αα

α

&&&& mRGymY

FG3X i

=−=

=+=

∑∑

cos:

;sin:0

Ultima ecuaţie dă:

αα &&Rg =− cos .

Fig.5.7

Preînmulţită cu α& se obţine:


150

αααα &&&& Rg =− cos

de unde, prin integrare rezultă:

CR

g +=−2

sin2α

α&

.

Constanta de integrare se obţine din condiţiile iniţiale. Luăm

momentul iniţial momentul în care punctul material se găseşte în

punctul B, 2

πα −= şi notăm cu oω derivata α& în acel moment.

Rezultă:

CR

g o +=2

2ω

deci: 2

2oR

gCω

−=

iar prima integrală a ecuaţiilor de mişcare se va scrie:

22sin

22oRR

ggωα

α −=−−&

de unde:

( )2

1sin2

22 αα

ω &Rg

R o =+−

sau:

( )1sin22 +−== αω

αα

R

g

dt

do&

Rezultă o ecuaţie diferenţială cu variabile separabile:

( )dt

R

g

d

o

=

+− 1sin22 αω

α


151

care este o integrală de tip eliptic, integrabilă numai numeric.

Reacţiunea normală N poate fi calculată fără a efectua integrala:

( )2sin3

sinsin2

2

+−=

=−=−=

αω

ααα

mgmR

GmRGF3

o

i&

Punctul material se va desprinde de cerc în punctul în care N=0, deci:

( ) 02sin32 =+− αω mgmR o

g

gR o

3

2sin

2 −=

ωα .

Condiţia 1sin0 ≤≤ α ne dă limitele între care trebuie să se afle 2oω

pentru ca punctul să se desprindă de cerc:

13

20

2

≤−

≤g

gR oω .

Rezultă:

R

g

R

go

52 2 ≤≤ω

Ca să aflăm înălţimea de la care trebuie lansat punctul material ca să

ajungă în D punem condiţia 2/πα = . Rezultă:

g

gR o

3

21

2 −=

ω deci

R

go

52 =ω , sau gRRv oo 5222 == ω .

Din condiţia ca energia potenţială în A să se transforme în energie

cinetică în B rezultă:

BA EE =

2

5

2

2 gRmmvmgh o ==


152

de unde:

2

5Rh = .

5.8. Să se integreze ecuaţia de mişcare pentru un punct material în

cazul în care forţa depinde numai de timp.

Rezolvare:

Ecuaţia de mişcare

( )tXxm =&&

poate fi integrată obţinându-se :

( )∫ +=t

t oxmvdttXxm0

&

şi apoi:

( ) ( )∫∫ +−+=t

t ox

t

tmxttmvdttXdtmx

0000


cazul în care forţa depinde numai de viteză.

Rezolvare:

Ecuaţia de mişcare este:

( )xXxm &&& =


153

Se notează vx =& şi oxvv =0 . Ecuaţia devine:

( )vXdt

dvm =

Cu condiţiile iniţiale: la t = t0 avem v = v0 , ecuaţia diferenţială este o

ecuaţie cu variabile separabile, obţinându-se :

( ) 000

ttdtvX

mdv t

t

v

v−== ∫∫

De aici, după integrare (dacă aceasta poate fi efectuată), se obţine

dependenţa t = t(v). Se poate proceda şi în felul următor; se scrie :

( )vXmvdv

vdtdx ==

de unde, prin integrare, tinând cont de condiţia iniţială x(t0) = x0 , se

obţine:

( )∫∫ =−=v

v

x

x vX

mvdvxxdx

000

Rezultă şi o reprezentare parametrică x = x(v) şi t = t(v)


cazul în care forţa depinde numai de poziţie.

Rezolvare:

Ecuaţia de mişcare este:

( )xXxm =&&

Teorema energiei cinetice ne dă :


154

Xdxxm

d =

2

2&

de unde, prin integrare şi ţinând seama de condiţiile iniţiale, se obţine:

( )∫=−x

xdxxXvmxm

0

20

2

2

1

2

1&&

Rezultă:

( ) ( )xdxxXm

vxx

xϕ=+= ∫

0

220

2&

cu ( ) 0200 ≥= vxϕ . Atunci:

( )xdt

dxx ϕ±==&

care reprezintă o ecuaţie diferenţială cu variabile separabile. Semnul

funcţiei este decis de semnul vitezei iniţiale vo. Dacă aceasta este 0 ,

sensul deplasării şi implicit semnul este dat de direcţia forţei. Se

obţine:

( )∫ −=±

x

xtt

x

dx0

0ϕ

Deci, dependenţa lui t ca funcţie de x. Dacă este posibil să inversăm

relaţia obţinută avem şi x ca funcţie de t.

5.11. Un con având unghiul la vârf 2α se roteşte în jurul axei sale cu

viteza unghiulară ωo constantă, figura 5.11. Un punct material M de

masa m se poate deplasa pe generatoarea conului. Să se determine

poziţia de repaus relativ (înălţimea h) a punctului material M şi


155

reacţiunea peretelui 3.

Răspuns: αω 22tg

gh

o

= ; αsin

mg3 = .

5.12. Inelul M cu masa egala cu m se poate deplasa pe bara circulară,

netedă AB. Dacă suportul OO1AB se roteşte cu viteză unghiulară

constantă ωr, se cere să se determine poziţia de echilibru dinamic a

inelului (unghiul α) şi reacţiunea normală pentru această poziţie (fig.

Fig.5.11


156

5.12).

Răspuns: 2

arccosω

αR

g= ; Rm3 2ωα = .

5.13. Bara Oa se roteşte în plan vertical în jurul punctului O cu o

viteză unghiulară constantă srad3=ω . Dacă punctul 0=α , corpul

de dimensiuni neglijabile şi de masa m este plasat la o distanţă 450=l

mm faţă de punctul O, se cere să se determine coeficientul de frecare

µ pentru poziţia de echilibru dinamic şi reacţiunea normală pe bară

când 45=α (fig. 5.13).

Răspuns: 4144,0=µ ; mgM 705,0= .

Fig.5.12


157

Fig.5.13

5.14. Axul circular de rază R se roteşte în jurul axei verticale Ox cu

viteză unghiulară constantă ωr. Un inel (M) de dimensiuni neglijabile

Fig.5.14


158

şi de masă m se deplasează fără frecare pe acest arc. Se cere să se

determine viteza relativă a inelului M şi reacţiunea arcului într-o

poziţie oarecare definită de unghiul α. La momentul iniţial M se află

în Mo ( 0=α ) şi are viteza ovr

(fig. 5.14).

Răspuns:

αωα 2222 sin)cos1(2 RgRvv or +−+=

++−=R

vRgm3 o

222 sin2)cos32( αωα

αω cos2 rx vm3 = şi 22x333 += ν .

5.15. Un punct material M de masa m se poate mişca fără frecare în

planul xOz care se roteşte cu viteză unghiulară ω constantă în jurul

axei verticale Oz. Să se studieze mişcarea relativă a acestui punct,

ştiind că în momentul iniţial se află în Mo ( 0,0,0 === zyxo ) având

viteza relativă iniţiala egală cu zero şi să se determine reacţiunea

planului (fig. 5.15).

Răspuns:

⋅⋅⋅=

g

zhcax

2 - ecuaţia traiectoriei relative;

thcam3 ωω ⋅⋅⋅⋅⋅= 22 - reacţiunea planului.


159

Fig.5.15

5.16. Un tub OB se roteşte în planul orizontal, în jurul unei axe

verticale ce trece în extremitatea O, cu viteza unghiulară constantă. În

interiorul tubului se deplasează de la M spre B un punct material M de

masa m. În momentul iniţial punctul se află în M (OM=a), viteza sa în

raport cu tubul fiind nulă. Să se determine legea de mişcare a

punctului, precum şi reacţiunea tubului.

Răspuns:

( )tt eaa

y ωωω −−=2

- legea de mişcare;

( ) 2242 geaam3 tt +−= −ωωω - reacţiunea tubului.


160

Fig.5.16


161

Capitolul VI

MOMETE DE IERŢIE

6.1. Bara considerată are masa m şi lungimea L (figura 6.1). Nu are

importanţă forma secţiunii cu condiţia să fie constantă. Dacă originea

axei x se alege în centrul barei se obţine:

123

22

2

32

2

222 mLx

L

mdxx

L

mdx

L

mxdmxJ

L

L

L

L

=====−−

∆ ∫∫∫

unde s-a notat dxL/mdm = .

Dacă axa (∆) trece prin capătul barei se obţine, modificând

corespunzător limitele de integrare:

3

2LmJ =∆ .

Fig.6.1 Bara omogenă Fig.6.2 Sfera plină


162

6.2. Să se determine matricea momentelor de inerţie pentru o sferă

plină de masă m şi rază R (figura 6.2)..

Rezolvare: Sfera considerată are masa m şi raza R. Datorită

simetriei Jxx= Jyy= Jzz şi Jxy= Jyz= Jzx= 0.

Rezultă:

( ) ( ) ( ) =+++++=

=++=

∫∫∫ dmyxdmxzdmzy

JJJJ zzyyxxxx

222222

3

( ) ∫∫ ==++= OJdmrdmzyx 222 2222 .

Calculăm O

J . Elementul de masă dm este ales o coajă sferică de rază r

şi de grosime dr care are volumul:

drrdV 24π=

şi masa:

3

22

3

2 34

4

34

R

drrmdrr

R

mdrr

V

mdm =π

π=π= .

deci:

2

0

4

33

222

5

223

3

2

3

2Rmdrr

R

m

R

drrmrdmrJ

R

xx ==== ∫∫∫ .

Rezultă: [ ]

=

100

010

001

5

2 2RmJO.


163

6.3. Să se determine matricea momentelor de inerţie pentru o sferă

goală.

Rezolvare: Sfera are raza exterioară R1, raza interioară R2 şi masa m.

Se obţine:

222

211 5

2

5

2RmRmJ xx −=

unde m1 şi m2 sunt masele sferelor de raze R1 şi R2.

Avem: m = m1 - m2 ;

( )32

3121 3

4RRVVV −

π=−= ;

( ) ;RRR

mV

V

mm 3

132

31

11 −==

( )323

231

22 RRR

mV

V

mm

−== ;

( )52

513

2315

2RR

RR

mJ xx −

−= ;

[ ] ( )

−

−=

100

010

001

5

232

31

52

51

RR

RRmJO .

În cazul unei suprafeţe sferice, deci când RRR =→ 21 , se obţine prin

trecere la limită:

[ ]

=

100

010

001

3

2 2RmJO .

Fig.6.3 Sfera goală


164

6.4. Să se determine matricea momentelor de inerţie pentru un

paralelipiped dreptunghic.

Rezolvare: Paralelipipedul are

laturile a, b, c şi masa m.

Datorită planelor de simetrie

ale paralelipipedului se poate

scrie: 0=== zxyzxy JJJ .

Avem, de asemenea :

;JJJ xOyzOxxx +=

;JJJ yOzxOyyy +=

.JJJ zOxyOzzz +=

Deci a calcula momentele axiale de inerţie revine la a calcula

momentele planare de inerţie. Astfel:

∫∫ === dzc

mzdmzJ xOy

22

12

22

2

2 cmdzz

c

m

c

c

=∫−

.

În mod analog se calculează:

1212

22 bmJ;

amJ zOxyOz == .

Momentele centrifugale de inerţie sunt nule, paralelipipedul având trei

plane de simetrie.

Va rezulta matricea momentelor de inerţie sub forma:

Fig.6.4.a. Paralelipiped dreptunghic


165

[ ]

+

+

+

=22

22

22

00

00

00

12ba

ac

cbm

JO .

Cazuri particulare.

a) placa plană de formă dreptunghiulară.

Vor exista relaţiile c << a şi c << b. Atunci pentru matricea

momentelor de inerţie se poate considera valabilă expresia

aproximativă:

[ ]

+

=22

2

2

00

00

00

12ba

a

bm

JO .

b) bară cu secţiunea dreptunghiulară.

Există relaţiile: a << c şi b << c. Se obţine:

[ ]

=

000

00

00

122

2

c

cm

JO

.

Fig.6.4.c. Placă Fig.6.4.b. Bară de secţiune

dreptunghiulară dreptunghiulară


166

6.5. Să se determine matricea momentelor de inerţie pentru un

cilindru circular drept.

Fig.6.5. Alegerea elementelor de volum pentru evitarea

calculului unor integrale triple

Soluţie:

Datorită simetriei cilindrice avem: yyxx

JJ = . Vom calcula Jzz care se

poate obţine cu uşurinţă dacă se consideră un element de volum tip

ţevă de grosimea dr (fig.6.5.b):

( )2

22 2

0

3

22

2222 mRdrr

R

mdr

R

mrrdmrdmyxJ

R

zz ====+= ∫∫ ∫ ∫

Am calculat anterior masa volumului elementar:

drR

mrHrdr

HR

mrdrH

V

mdm

22

222 =π

π=π= .

Mai departe, putem scrie:


167

( ) ( )∫ ∫ =+++=+= dmzxdmzyJJJyyxxxx

22222

( )∫ ∫ +=++=xOyzz

JJdmzdmyx 22 222 .

Rămâne de calculat momentul de inerţie planar xOy

J . Pentru aceasta se

alege un element de volum elementar(disc), obţinut prin secţionarea

cilindrului cu două plane paralele, perpendiculare pe axa cilindrului

(fig.6.5.b) . Avem:

∫ ∫∫ ====− 12

2

2

2

222 mHdzz

H

mdz

H

mzdmzJ

H

HxOy

Masa volumului elementar dm este:

dzH

mdzR

HR

mdzR

V

mdm =π

π=π= 2

2

2

Atunci, vom putea scrie: 1242

1 22 mHmRJJJJ xOyzzyyxx +=+==

Din considerente de simetrie 0===zxyzxy

JJJ iar matricea

momentelor de inerţie este:

[ ]

+

+

=

200

0124

0

00124

2

22

22

mR

mHmR

mHmR

JO

Cazuri particulare:

a) disc RH <<


168

[ ]

=

=

200

010

001

4

200

04

0

004

2

2

2

2

mR

mR

mR

mR

JO

b) bară cilindrică RH >>

[ ]

=

=

000

010

001

12000

012

0

0012

22

2

mHmH

mH

JO

6.6. Să se determine matricea momentelor de inerţie pentru un tub

cilindric de masă m cu raza exterioară R1 şi raza interioară R2 .

Soluţie:

22

21

22

2222

21

21

11

22

222

21

211

124124

RR

mRV

V

mm;

RR

mRV

V

mm

HmRmHmRmJ xx

−==

−==

−−+=

( )HRRVVV;mmm22

212121 −π=−=−=

Fig. 6.6


169

( )( ) =+−−

==124

242

412

221

mHRR

RR

mJJ yyxx

( )

124

222

21 mHRRm

++

( )( ) ( )2422

22

214

2412

221

222

211 RRm

RRRR

mRmRmJ zz

+=−

−=−=

[ ]

( )

( )

( )

+

++

++

=

200

0124

0

00124

22

21

222

21

222

21

RRm

mHRRm

mHRRm

JO

Pentru un cilindru gol, cu masa distribuită numai pe periferie,

RRR == 21 .

[ ]

+

+

=2

22

22

00

0122

0

00122

mR

mHmR

mHmR

JO

6.7. Să se determine matricea momentelor de inerţie pentru un con

crcular drept, faţă de un sistem de coordonate cu originea situată în

centrul bazei.


170

Soluţie: ∫ ∫==2

2dmrdJJ zzzz

HR

dzmrdzr

HR

mdV

V

mdm

2

22

2

33=π

π==

H

dz

R

dr;

H

zH

R

r−=

−= ; dr

R

Hdz −=

2

0

4

30 2

4

10

3

2

3

2

3mRdrr

R

mdz

R

H

HR

mrJ

RR

zz ==−= ∫∫ ;

( ) ( )∫ ∫ =+++=+= dmzxdmzyJJJ yyxxxx

22222

( )∫ ∫ +=++= xOyzz JJdmzdmyx 22 222 ;

( )∫∫ =

−=== dz

HR

RzHmzdz

HR

mrzdmzJ xOy 22

222

2

222 33

( )10

23 2

0

4322

2

mHdzzHzzH

H

m H

=+−= ∫ ;

22

10

1

20

3mHmRJJ yyxx +==

Fig.6.7


171

[ ]

+

+

=

10

300

01020

30

001020

3

2

22

22

mR

mHmR

mHmR

JO .

Momentele centrifugale sunt nule întrucât conul admite planele de

simetrie xOz şi yOz.

6.8. Să se determine matricea momentelor de

inerţie pentru o semisferă.

Soluţie:

∫ ∫ ∫ ∫ ===== dxrR

m

Rx

dzmrrdmrdJJ zzzz

4

33

222

4

3

22

3

2

( )∫ =

+−=−= 2

555

3

222

3 5

2

53

2

4

3

4

3mR

RRR

R

mdzzR

R

m;

xOyzzyyxxxx JJJJJ 22 +=+= ;

∫∫ ===3

222

2

3

R

dzmrzdmzJ xOy

( ) 255

30

222

3 5

1

532

3

2

3mR

RR

R

mdzzRz

R

m R

=

−=−= ∫

2

5

2

2

1mRJJJ xOyzzxx =+=

Fig.6.8.


172

[ ]

=

100

010

001

5

2 2mRJO

6.9. Să se determine momentul de inerţie al unui segment sferic faţă de

axa sa de simetrie.

Soluţie:

∫ −=π

= 2224

2xry;dxy

V

mJ xx .

Rezultă:

( ) =−π

= ∫2

1

222

2

x

xxx dxxrV

mJ

( ) ( )

−+−−−

π=

53

2

2

51

523

132

212

4 xxxxrxxr

V

m

Cazuri particulare:

a) 22 21

rx;

rx =−= ;

640

203

4

3

480

203 2

2

2 mr

r

rmJ xx =

ππ

=

b) 2

0 21

rx;x == ;

1280

203

4

3

960

203 2

3

5 mr

r

rmJ xx =

ππ

=

c) rxr

x == 21 ;2

(calota sferică); 1280

53

4

3

960

53 2

3

5 mr

r

rmJ xx =

ππ

=

d) rx;rx =−= 21 (sfera întreagă); 5

2 2mrJ xx =

Fig.6.9


173

6.10. Să se determine momentele axiale

de inerţie pentru un trunchi de con cu

razele bazelor ( )2121 RR,R,R > şi

înălţimea H.

Soluţie:

1020

3

1020

3 2222

22

2112

11

HmRm

HmRmJ xx −−+=

HHH;H

H

R

R=−= 21

1

2

1

2

21

22

21

11

RR

HRH;

RR

HRH

−=

−=

( )( )3

231

21

2221

21

21 333RR

RR

HHRHRVVV −

−π

=π

−π

=−=

( )( ) =

−π

−π−

==21

21

21

32

31

2111 3

3

RR

HRR

RRH

RRmV

V

mm

2132

31

32

232

31

31 mmm;

RR

mRm;

RR

mRm −=

−=

−=

( ) ( )( )( )

=−

−−

+−−

=2

21

52

513

231

252

513

231

1

1020

3

RRRR

RR

mHRR

RR

mJ xx

( )( )

( )( )( ) yyJ

RRRR

RRmH

RR

RRm=

−−

−+

−

−=

2

2132

31

52

51

2

32

31

52

51

1020

3

( )52

513

231

2211 10

3

10

3

10

3RR

RR

mRmRmJ zz −

−=−=

Fig.6.10


174

Pentru a avea simetrie sferică trebuie ca:

( )( )

( )( )( )

( )( )3

231

52

51

2

2132

31

52

51

2

32

31

52

51

10

3

1020

3

RR

RRm

RRRR

RRmH

RR

RRm

−

−=

−−

−+

−

−

de unde:

( )212

6RRH −= .

6.11. a) Dacă un corp are două plane de simetrie neperpendiculare,

atunci orice axă perpendiculară pe dreapta determinată de intersecţia

celor două plane este o axă principală de inerţie (simetrie cilindrică).

b) Dacă un corp are trei plane de simetrie neperpendiculare, atunci

orice axă este axă principală de inerţie.

Soluţie: a) Alegem ( ) ( )21 π∩π=Oz unde

( )1π şi ( )2π sunt planele de simetrie şi

( ) ( )21 π∈π∈ OX;Ox deci ( )1π≡xOz şi

( )2π≡XOz . Simetria existentă impune ca

matricea momentelor de inerţie să aibă

forma:

[ ]

−

−

=

zzxz

yy

xzxx

O

JJ

J

JJ

J

0

00

0

în sistemul de referinţă Oxyz şi forma:

Fig.6.11


175

[ ]

′′−

′

′−′

=′

zzxz

yy

xzxx

O

JJ

J

JJ

J

0

00

0

în sistemul de referinţă OXYz.

Matricea care face trecerea de la sistemul Oxyz la sistemul de referinţă

OXYz este:

[ ]

−=

100

0

0

cs

sc

R ,

unde s-a notat c = cos θ şi s = sin θ . Avem deci:

[ ] [ ] [ ][ ]( )

( )

−−

−+−

−−+

==′

zzxzxx

xxyyxxyyxx

xxyyxxyyxx

O

T

O

JsJcJ

sJJcJsscJJ

cJscJJJsJc

RJRJ 22

22

.

Egalând cele două expresii obţinute pentru [ ]OJ ′ , prin identificare

rezultă 0== xzyyxx J;JJ : iar matricea momentelor de inerţie în orice

sistem cu axa ( ) ( )21 π∩π=Oz va fi:

[ ]

=

3

1

1

00

00

00

J

J

J

JO .

Elipsoidul de inerţie va fi un elipsoid de rotaţie şi spunem că avem

simetrie cilindrică.

b) Fie ( ) ( )21 π∩π=Oz şi ( ) ( )32 π∩π=′zO . Faţă de sistemul Oxyz

avem:


176

[ ]

=

3

2

1

00

00

00

J

J

J

JO ,

iar faţă de O'x'y'z' avem:

[ ]

′

′

′

=′

3

2

1

00

00

00

J

J

J

JO .

Utilizând rezultatul obţinut la a) în acest caz vom avea simetrie

cilindrică, deci: J1 = J2 şi 21 JJ ′=′ . Invarianţii matricei momentelor de

inerţie sunt:

32

13213

32

131212

31311

22

22

JJJJI

JJJJJI

JJJJI

′′==

′+′=+=

′+′=+=

Din cele trei relaţii putem exprima pe 3J ′ în trei moduri:

( )2

1

321

1

2131

21

3113 2

22

J

JJ

J

JJJJJJJJ

′=

′

′−+=+′−=′

cu soluţia: 3311 JJ;JJ ′=′= . Dacă notăm cu [ ]Te γβα=1 versorul

axei xO ′ , avem:

[ ] ( )132

132

12

12

111 JJJJJJeJeJO

T −γ+=γ+β+α==′

întrucât: 1222 =γ+β+α . Dar 11 JJ =′ deci 13 JJ = . Rezultă:

[ ] [ ]EJJ

J

J

J

JO 11

3

2

1

100

010

001

00

00

00

=

=

=


177

şi va fi aceeaşi oricum am alege sistemul de referinţă. Într-adevăr, în

sistemul arbitrar ales Ox*y* z* avem:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]EJRERJRJRJ *T**

O

T**

O 11 === .

Orice axă va fi axă principală de inerţie iar elipsoidul de inerţie va fi o

sferă (simetrie sferică).

6.12. a) Să se determine mulţimea punctelor din spaţiu pentru care

matricea momentelor de inerţie calculată pentru un rigid prezintă

simetrie cilindrică.

b) Să se determine mulţimea punctelor din spaţiu pentru care

matricea momentelor de inerţie prezintă simetrie sferică.

6.13. Pentru cubul de latura a să se construiască elipsoidul de inerţie

într-unul din colţuri.

Soluţie: Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu laturile egale

cba == , deci în centrul de masă matricea momentelor de inerţie va fi:

[ ]

=

100

010

001

6

2MaJ

C

Prin translaţia de coordonate

−−−

222

a,

a,

a în unul din colţuri, se

obţine, aplicând teorema lui Steiner:


178

[ ] =

−−

−

−

−−

+

+

=

222

222

2222

2

244

424

4422

100

010

001

6aaa

aaa

aaaa

MMa

JO

−−

−−

−−

=

833

383

338

12

2Ma

Ecuaţia caracteristică:

0

833

383

338

=

λ−−−

−λ−−

−−λ−

ne dă: 112 321 =λ=λ ,;

Momentele principale de inerţie vor fi:

.12

11

12

;612

23,2

2

3,2

2

1

2

1

MaMa

J

MaMaJ

==

==

λ

λ

Pentru 21 =λ=λ se obţine vectorul propriu v1 din sistemul:

02833

3283

3328

3

2

1

=

−−−

−−−

−−−

e

e

e

cu două ecuaţii independente:

02

02

321

321

=−+−

=−−

eee

eee

Fig.6.13. Construcţia

elipsoi-dului de inerţie

pentru cub


179

care împreună cu condiţia de normare: 123

22

21 =++ eee are una din

soluţii:

3

3321 === eee

deci: 1113

31 =T

v

Pentru 112 =λ=λ rezultă o singură ecuaţie independentă:

0321 =−−− eee .

Pentru a o rezolva alegem spre exemplu 21 ee = care împreună cu

123

22

21 =++ eee dă, luând 01 >e :

6

62;

6

6;

6

6321 −=== eee

deci:

2116

62 −=T

v .

Vectorul v3 îl alegem din condiţia ca triedrul format din v1 ,v2 ,

v3 să fie drept. Avem:

jivvvrrrrr

2

2

2

2213 +=×=

0112

23 −=T

v .

Faţă de sistemul Oxyz elipsoidul de inerţie este:

[ ] 2

833

383

338

k

z

y

x

zyx =

−−

−−

−−


180

sau:

( ) ( ) 2222 68 kzxyzxyzyx =++−++

iar faţă de sistemul principal de cordonate OXZY:

[ ] 2

1100

0110

002

k

Z

Y

X

ZYX =

,

sau: ( ) 2222 112 kZYX ′=++ (elipsoid de rotaţie).

Observăm că la determinarea celui de-al doilea vector propriu, acesta

poate fi ales arbitrar în planul perpendicular pe 1v (condiţia

0321 =−−− eee ) . Acest lucru reflectă simetria cubului faţă de axa

OX ( prima axă principală de inerţie).

6.14. Pentru optimea de sferă de rază r

din figură să se determine momentele

principale de inerţie şi elipsoidul de

inerţie faţă de sistemul Oxzy. Să se

determine punctele din spaţiu pentru care

matricea momentelor de inerţie prezintă

simetrie sferică.

Soluţie: Utilizând coordonatele sferice:

θρθθρϕθρ cos;sinsin;cossin === zyx

ϕθρθρϕθρ dddddJddxdydzdV sin2===

Fig. 6.14. Calculul

momen-telor de inerţie

pentru un sector de sferă


181

calculăm momentele de inerţie planare, care vor fi egale:

5

2mr

JJJ zOxyOzxOy === .

Rezultă: 2

5

2mrJJJ zOxxOyxx =+= ,

şi analog:

2

5

2mrJJ zzyy ==

Dacă facem integrările obţinem şi:

2

5

2mrJJJ zxyzxy π

=== ,

deci: [ ]

π−−

−π−

−−π

π=

11

11

11

5

2 2mrJO ,

unde m este masa corpului. Ecuaţia caracteristică:

0

11

11

11

=

λ−π−−

−λ−π−

−−λ−π

are soluţiile 12 321 +π=λ−π=λ ,; deci momentele principale de

inerţie sunt:

( ) ( ) 22

322

2

1 5273.015

2;1453.02

5

2mr

mrJJmr

mrJ ≈+==≈−= π

ππ

π

Sistemul linear:

0

11

11

11

3

2

1

=

λ−π−−

−λ−π−

−−λ−π

e

e

e


182

pentru 1λ=λ oferă ecuaţiile independente:

02

02

321

321

=−+−

=−−

eee

eee

care împreună cu condiţia: 123

22

21 =++ eee dă:

3

3321 ±=== eee

Alegem vectorul propriu normat: [ ]1113

31 =T

v . Pentru 2λ=λ

rezultă o singură ecuaţie independentă:

0321 =++ eee

la care se adaugă condiţia de normare. Alegând spre exemplu 21 ee =

se obţine, luând 01 >e :

5

52

5

5

5

5321 −=== e;e;e

deci: [ ]2115

53 −=T

v

Pentru 3λ=λ , se pune condiţia ca triedrul format cu v1 ,v2 , v3

să fie drept. Rezultă:

[ ]0112

23 −=T

v

Elipsodul de inerţie raportat la sistemul Oxyz va fi:

[ ] 2

11

11

11

k

z

y

x

zyx =

π−−

−π−

−−π

sau:


183

( ) ( ) 2222 2 kzxyzxyzyx =++−++π

Faţă de sistemul de coordonate cu versorii v1, v2, v3, ecuaţia

elipsoidului va fi:

[ ] 2

100

010

002

k

Z

Y

X

ZYX =

+π

+π

−π

sau:

( ) ( ) ( ) 2222 12 kZYX =+π++−π (elipsoid de rotaţie).

Axa OX este axă de simetrie cilindrică. Matricea momentelor de

inerţie în centrul de masă

R,R,RC8

3

8

3

8

3va fi:

[ ] =

−

+π

+π

−π

π=

2

2

222

8

3300

08

330

000

100

010

002

5

2

r

rmmr

JC

.mr

π−

π−

−π

π=

128

7100

0128

710

002

5

2 2

Cum 321 JJJ => rezultă două puncte în care există simetrie sferică şi

anume:

−

ππ

±=−

±= 3128

135

5

22121 r

m

JJx , .


184

6.15. Să se determine, pentru un cilindru circular drept, punctele

pentru care momentele de inerţie prezintă simetrie sferică sau

cilindrică.

Rezolvare: Efectuând translaţia: ( )z,y,xO′ , avem:

[ ]

( )

( )

( )

++−−

−+++−

−−+++

=′

222

2222

2222

4

124

124

yxMMR

MyzMxz

MyzzyMMHMR

Mxy

MxzMxyzyMMHMR

JO

Dacă dorim să avem simetrie sferică trebuie ca momentele

centrifugale să fie nule, deci:

0=== xzzyyx

şi momentele axiale să fie egale, deci:

( ) ( ) 22

2222

2222

2124124Mx

MRxzM

MHMRzyM

MHMR+=+++=+++

Primele trei ecuaţii au sistemul de soluţii:

;y;x)c;z,y)b;z,x)a 000000 ======

Pentru cazul b), din al doilea sistem, se obţine:

22

22222

2124124Mx

MRMx

MHMRMHMR+=++=+

deci 300 RH;y;x === . Deci, dacă cilindrul are înalţimea

3RH = , prezintă simetrie sferică şi orice axă care trece prin centrul

de masă este axă principală de inerţie. Momentele principale de inerţie

vor fi:


185

2

2MRJJJ zzyyxx ===

Dacă 00 == z;x se obţine:

2222

222

2124124My

MRMHMRMy

MHMR+=+=++

de unde 30 RH;y == (aceeaşi soluţie).

Dacă x = 0 , y = 0 se obţine:

2124124

22

222

22 MRMz

MHMRMz

MHMR=++=++

de unde rezultă:

( )2222

2 312

1

124HR

HRz −=−=

Dacă 3RH < există două puncte S1 şi S2 de simetrie sferică:

−

−− 22

222

1 36

3003

6

300 HR,,S;HR,,S

Fig. 6.15. Elipsoizii de inerţie pentru cilindrii cu înălţimi diferite


186

Dacă 3RH > nu avem puncte de simetrie sferică ( )02 <z . Figurăm

(fig.5.14) elipsoizii de inerţie în cazurile ;RH 3= ;RH 3>

3RH < .

6.16. Să se construiască elipsoizii de inerţie pentru următoarele

corpuri: a) cub, sferă, tetraedru regulat, b) cilindru, paralelipiped

dreptunghic cu două muchii egale, c) bară, faţă de sisteme de referinţă

plasate în centrul de masă,.

Soluţie:

a) Cubul, sfera, tetraedrul regulat au simetrie sferică faţă de centrul

de masă deci momentele de inerţie principale egale. Matricea


[ ]

=

J

J

J

JC

00

00

00

deci elipsoidul de inerţie va fi o sferă

Fig. 6.16.a. Cub, sferă, tetraedru regulat


187

( ) 2222 kzyxJ =++

b) Cele două corpuri au simetrie cilindrică, deci matricea momentelor

de inerţie va fi:

[ ]

=

2

1

1

00

00

00

J

J

J

JC

Elipsoidul de inerţie va fi un elipsoid de

rotaţie.

c) Plasând axa Oz de-a lungul barei, avem:

[ ]

=

000

00

00

J

J

JC

deci elipsoidul de inerţie degenerează într-un cilindru:

( ) 222 kyxJ =+

Fig. 6.16.b. Elipsoizii de inerţie pentru corpuri cu simetrie

cilindrică

Fig.6.16.c


188

6.17. Să se determine punctele de simetrie sferică pentru conul

circular drept.

Soluţie: În centrul de masă C al conului

400

H,,C matricea


[ ] [ ] [ ]

=

−

+

+

=

=−=

000

016

0

0016

10

300

01020

30

001020

3

2

2

2

22

22

2

H

H

M

R

HR

HR

M

DMJJ OC

+

+

=

200

04

10

004

1

20

32

2

2

2

2

R

HR

H

MR .

Rezultă axa Oz ca fiind axă de simetrie cilindrică. Punctele de simetrie

sferică sunt date de relaţia:

−±=

−±=

2

2213

21 41

20

3

44 R

HRH

M

JJHz ,

Astfel:

• dacă 04

12

2

>−R

H , adică RH 2< avem două puncte de simetrie

sferică;


189

• dacă 04

12

2

=−R

H , adică RH 2= centrul de masă este punct de

simetrie sferică;

• dacă ;R

H0

41

2

2

<− , adică RH 2> nu avem puncte de simetrie

sferică.

6.18. Să se calculeze momentele axiale de inerţie pentru paraboloidul

de rotaţie 2y=z2 +x2 , mărginit de planul y=2. Corpul are masa m.

Fig.6.18

6.19. Pentru prisma din figura 6.19, de masă m, să se determine

momentele axiale de inerţie şi momentul centrifugal Jxy.


190

Fig.6.19

6.20. Să se determine momentul de inerţie mecanic, ,xJ al triunghiului

din figura 6.20 utilizându-se teorema lui Steiner şi momentul de

inerţie al dreptunghiului.

Rezolvare: Expresia momentelor de inerţie

faţă de axa 22 xG este:

( ) 12

3

2

bhJ x ρ= ;

( ) 24122

1 33

2

bhbhJ x

ρρ==

Pentru determinarea momentului de inerţie faţă de axa Ox trebuie

făcută următoarea observaţie:

- translaţia axelor din poziţia Ox , pentru triunghi, se face în

două etape:

Fig. 6.20


191

a) translaţia axei 22 xG în poziţia 11xG , se face prin apropierea de

centrul de greutate al triunghiului, deci momentul de inerţie scade;

b) translaţia din poziţia 11xG în poziţia Ox are loc prin îndepărtarea

de centrul de masă al triunghiului, deci momentul de inerţie creşte.

( ) ( )

12187224

23263333

22

2

bhbhbhbh

bhhbhhJJ xx

ρρ

ρρ

=

+−=

=

+

−=

Observaţie: Momentul de inerţie al triunghiului faţă de axa 22 xG este

jumătate ca valoare din cel al dreptunghiului, deoarece repartizarea

maselor celor două triunghiuri, obţinute ducând diagonala pătratului,

faţă de axa 22 xG este aceeaşi.

6.21. Un disc omogen de masă m şi rază r este montat înclinat cu

unghiul α faţă de planul normal la axa de rotaţie AB ce trece prin

centrul său de greutate G. Să se determine momentul de inerţie

centrifugal xzJ .

Rezolvare: Dacă se mai alege un

sistem de referinţă zyxG ′′′ , orientat

după axele de simetrie ale discului,

momentele de inerţie raportate la

Fig. 6.21


192

sistemul faţă de sistemul Gxyz se vor exprima, în funcţie de

momentele de inerţie faţă de sistemul zyxG ′′′ , prin relaţia

[ ] [ ][ ] [ ] == T

zyOxOxyz RJRJ '''

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

=

332313

322212

312111

'''

'''

'''

eJeeJeeJe

eJeeJeeJe

eJeeJeeJe

TTT

TTT

TTT

.

Dacă:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]ETRReee

eee

eee

eee

R ==

= ;321

333231

232221

131211

se poate scrie

[ ] eJeJT '113 =

Pentru cazul nostru particular avem:

[ ]

′

′

′

=

′′−′−

′−′′−

′−′−′

=

z

y

x

zyzzx

yzyxy

zxxyx

zyOx

J

J

J

JJJ

JJJ

JJJ

J

00

00

00

''' .

În cazul de faţă cosinuşii directori vor avea valorile:

αcos11 =e , ( ) αα sin90cos31 −=+= oe ,

090cos12 == oe , 090cos32 == oe ,

( ) αα sin90cos13 =−= oe , αcos33 =e .

Prin urmare:

( ).cossin

cossinsincos

xz

zxxz

JJ

JJJ

′−′⋅=

=⋅′+⋅′−=

αα

αααα


193

Ţinând seama că:

4

2rmJ x =′ ,

2

2rmJ z =′ ,

rezultă

ααα 2sin8

cossin4

22 rm

rmJ xz =⋅= .

6.22. Tija 1, de lungime l şi masă 1m , este articulată în A de piesa 2,

de masă 2m , în mişcare de translaţie cu viteza u (fig.6.22). Când tija 1

face un unghi α , cu verticala dusă prin A, are viteza unghiulară ω . Să

se determine energia cinetică a ansamblului.

Rezolvare: Tija 1 are o mişcare

plan–paralelă, deci energia cinetică

este:

2211 2

1

2

1ω⋅+= GG JvmE .

Viteza punctului G se compune din

viteza de transport u şi viteza

relativă2

lvr ω= . Din triunghiul vitezelor (fig.12.8) se obţine:

αcos2222rrG uvvuv ++= . α

Pe de altă parte

Fig. 6.22


194

.12

1

4342

1

21

21

2

1 lmlmlml

mJJ AG =+=+=

Înlocuind aceste date obţinem

.cos6

1

2

1

24

1cos

42

1

12

1

221

222

11

αω

ωαωω

ulmum

lmlul

umE

+=

=+

++=

Piesa 2 are mişcare de translaţie, deci energia cinetică a ei este:

.2

1 222 umE =

Energia cinetică a ansamblului va fi : 21 EEE += ,

( ) .cos2

1

6

1

2

11

221

221 αωω ulmlmummE +++=

6.23. Să se determine energia cinetică a sistemului format din piston,

bielă şi manivelă (fig.6.23).

Rezolvare: Energia cinetică a

pistonului este:

2111 2

1vME = , 1M fiind masa

pistonului.

Energia cinetică a manivelei OB, de

moment de inerţie oJ , faţă de axa Fig. 6.23


195

ei de rotaţie ce trece prin 0, având viteza unghiulară ω , este:

202 2

1ωJE = , deoarece manivela are o mişcare de rotaţie cu axă

fixă.

Biela având o mişcare plan- paralelă, energia cinetică a bielei este:

202 2

1ωJE = ,

IJ fiind momentul de inerţie al bielei în raport cu axa paralelă cu axa

de rotaţie şi care trece prin centrul instantaneu de rotaţie I , iar Iω -

viteza unghiulară a bielei în jurul punctului I.

Energia cinetică totală va fi:

.2

1

2

1

2

1 220

211

3

1II

i

i JJvMEE ωω ++==∑=

1v şi Iω se pot exprima în funcţie de ω ; pentru punctul A se poate

scrie:

AIvv IA ⋅== ω1 ,

Viteza butonului manivelei (punctul B) este:

BIBOv IB ⋅=⋅= ωω ;

rezultă: ωωIB

BOI = , şi AI

IB

BOvI ⋅=ω .

Cu acestea se obţine:

.2 2

2

2

22

1

++

⋅=

BI

BOJJ

BI

AIBOME Io

ω


196

6.24. O placă dreptunghiulară de masă m = 3kg, având grosime

constantă (mică în raport cu celelalte dimensiuni), este sudată la o45

pe un ax vertical care se roteşte cu o viteză unghiulară

./20 sradπω = Să se determine energia cinetică.

Rezolvare: Pentru a putea calcula energia

cinetică, vom determina momentul de

inerţie al plăcii în raport cu axa de rotaţie

(respectiv cu axa z-z) şi unghiurile pe

care aceasta le formează cu axele

,0,0,0 111 zyx astfel:

1212

23

1111

Maba

ab

MJ

A

MJ xxxx ===

1212

23

1111

Mbab

ab

MJ

A

MJ yyyy ===

( ) ( )

[ ]( )12

222/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2

22

2222

11

baMdydxdydxx

A

M

dxdyydxdyxA

M

dAyxA

MdmyxJ

b

b

b

a

b

b

a

a

zz

+=

+=

=+=

=+=+=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

− − − −

în care ma 4,0= şi mb 2,0= (fig.6.24), iar 0111111=== xzzyyx JJJ

( ) 0,cos 1 == xzα

( )2

2,cos 1 == yzβ

Fig. 6.24.


197

( )2

2,cos 1 == zzγ

Astfel încât relaţia:

zxyzxyzzyyxxzz JJJJJJJJ γαβγαβγβα 222222 −−−++== ∆

devine

( ) ( )22

222

224122

1

122

1ba

mbammbJ +=

++=∆

iar

( ) ( )

( ) .22,592,024,048

4003

248

2242

1

2

1

222

222

2222

J

bam

bam

JEc

=⋅+⋅

=

=+=+== ∆

π

ωωω

6.25. Sistemul de bare sudate din figura 6.25 se roteşte cu viteza

unghiulară ω în jurul axei Ox. Dacă fiecare tronson este de lungime a

şi masă m, determinaţi energia sa cinetică.

Rezolvare: Energia cinetică totală va fi

o sumă de energii:

∑=

=4

1i

cc iEE ; 2

2

1ωxxc JE = ;

( ) ( ) ( ) ( )4321 xxxxxxxxxx JJJJJ +++=

Fig. 6.25.


198

( )

( )( )

⋅+=

⋅=

maam

J

amJ

xx

xx

212

22

2

22

2

21

( )

( )

=

+

+=

3

2

3

12

3

4

222

3

maJ

maama

J

xx

xx

222 33,812

100

3

11

4

9

12

12

12

82 mamamaJ xx ==

++++++=

2222 166,433,82

1

2

1mamaJE xxc =⋅== ωω

.166,4 22ωmaEc =

6.26. Un disc rigid circular de masă m =2kg şi o rază r = 100mm,

rulează într-un cerc de rază b=200mm pe un plan orizontal, fără

alunecare. Dacă axa de

rotaţie proprie a discului OC

se roteşte în jurul axei

verticale 10z cu viteza

unghiulară ,/41 sradπω =

calculaţi energia cinetică a

discului.

Fig. 6.26


199

Rezolvare: Mişcarea discului este o rotaţie cu punct fix, energia

cinetică în acest caz va avea expresia:

[ ] .2

1ωω o

T

c JE =

Viteza unghiulară ω , în cazul acestei mişcări, are drept suport axa

instantanee de rotaţie A.I.R.- care trece prin 0 şi I (punctul de contact

dintre roată şi plan). Mişcarea discului se face cu viteza unghiulară 1ω ,

în cazul mişcării de precesie şi cu 2ω în cazul mişcării de rotaţie

proprie.

−

−=

2

1

0

ωωω ,

expresia lui 2ω în funcţie de 1ω se obţine cu ajutorul αtg :

212

1 ωωωω

αr

b

b

rtg =⇒==

Expresia matricei momentelor de inerţie faţă de axele ce trec prin

centrul discului este

[ ]

=

=

′

′

′

400

04

0

004

00

00

00

2

2

2

0

Mr

Mr

Mr

J

J

J

J

zz

yy

xx

Pentru determinarea matricei momentelor de inerţie faţă de 0 se aplică

relaţia lui Steiner


200

[ ]

+

+

=

200

04

0

004

2

22

22

0

Mr

MbMr

MbMr

J

Se calculează apoi

[ ] =

−

−

+

+

=

2

1

2

22

22

0

0

200

04

0

004

ωωω

Mr

MbMr

MbMr

J

−

+−=

2

4

0

2

2

22

1

Mr

MbMr

ω

ω

şi rezultă

[ ] =

−

+−−−=

2

4

0

02

1

2

2

22

121

Mr

MbMr

Ec

ω

ωωω


201

( ) .87,968

1

242

1 22221

22

221 JbrM

bb

rM ==+=

++= πωω

6.27. Pentru sistemul de bare din

figura 6.27, care se roteşte cu viteza

unghiulară ω în jurul axei Ox, se

cere să se determine vectorul

moment cinetic .0kr

Rezolvare: Momentul cinetic în mişcarea de rotaţie cu axă fixă se

exprimă matriceal:

[ ]

−−

−−

−−

==

0

00

ωω

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

O

JJJ

JJJ

JJJ

JK ;

Prin urmare:

( )ωkJjJiJK xzxyxx

rrrr−−=0 .

Dintre toate cele patru bare singura care are momentele de inerţie

centrifugale xzJ şi xzJ diferite de zero este bara (1):

( )

( )

=

−=−=−==

====

∫ ∫

∫ ∫

2

23

1

0

23

1

33,822

22

amJ

maaxdxaxydmJ

maaxdxaxzdmJ

xx

xy

d

xz

ρρ

ρρ

Fig. 6.27


202

xxJ - al acestui sistem de bare a fost calculat, pentru determinarea

energiei cinetice, în cadrul problemei nr. 6.25.

( ) .5,05,033,820 ωkjiamk

rrrr−+=

6.28. Roţile motoare ale unui automobil au, la un moment dat,

condiţiile inegale de aderenţă astfel încât una patinează pe loc în timp

ce cealaltă este imobilă. Cunoscând: viteză unghiulară 30ω a roţii care

patinează (fig. 6.28); razele medii ale roţilor planetare 1r , respective a

satelitului 2r ; momentele de inerţie yyxx JJ = şi zzJ ale satelitului în

raport cu un reper solidar cu acesta, să se determine energia cinetică a

unui pinion satelit.

Fig. 6.28


203

Rezolvare: Se observă mai întâi că mişcarea absolută a satelitului

superior este o rotaţie cu punct fix (0) şi, prin urmare, energia sa

cinetică se va scrie:

[ ]

=

z

y

x

zz

yy

xx

zyxC

J

J

J

E

ωωω

ωωω00

00

00

2

1

Observând că axa instantanee de rotaţie a satelitului superior 2 ( )2AIR

este tangentă la conul de rulare al roţii planetare mobile şi că mişcarea

satelitului este o precesie regulată compusă dintr–o rotaţie de transport

odată cu coroane diferenţialului 4 şi o rotaţie proprie a satelitului, vom

putea scrie

244020 ωωωrrr

+=

în care

;230

40

ωω

rr

= ;230

40 jrr ω

ω −= ;2 30

224 ωω

rr

r

rl= .2 30

224 k

r

rlrr

ωω =

Deci, viteza unghiulară a satelitului va fi:

+−= k

r

rj l

2

3020 2

rωω

Acum, energia cinetică a satelitului se va scrie

−

−=

302

3030

2

30

2

2

0

00

00

00

220

2

1

ω

ωω

ω

r

rJ

J

J

r

rE

lzz

yy

xx

lc .


204

+

=2

302

2

30

222

1ω

ωr

rJJE l

ZZyyc .

+= zz

lyyc J

r

rJE

22

2230

44

1

2

1ω .

6.29. Să se afle momentul de inerţie al unei linii materiale omogene

frânte care urmăreşte cele trei muchii diferite ale unui cub cu latura l ,

în raport cu axa ∆ care uneşte capetele liniei, dacă masa acesteia este

m.

Răspuns: .3/2mlJ =∆

6.30. Determinaţi momentul de inerţie al jumătăţii de cilindru faţă de

axa aa ′− .

Răspuns: .62

22

+=′

lr

MJ aa

6.31. Bara cotită A0BD, omogenă, de masă M se roteşte cu o viteză

unghiulară ω în jurul axei 0z (fig. 6.31). Se cer să se determine:


205

a). Momentele de inerţie axiale zzJ şi azzJ ( azz este axă centrală

paralelă cu 0z);

b). Energia cinetică şi impulsul barei A0BD.

Răspuns:

a) ;491,1 2MaJ zz = MaJazz

2820,0= ( )ayax aa 414,0;707,0 == şi

aza 292,0= .

b) MaEc

22745,0 ω= şi .819,0 MaH ω=

a b

Fig.6.32

6.32. Se consideră mecanismul din figura 6.32, alcătuit din manivelele

lC =0 articulată de bara lAB 2= , considerate bare omogene de

greutăţi G respective 2G. Patinele A şi B sunt identice având aceeaşi

greutate Q. Ştiind că AC=CB=l şi că manivela 0C se roteşte cu viteza

constantă ω , se cere să se determine energia cinetică a mecanismului.


206

Răspuns:

( ).432

22

QGg

lEG +=

ω

6.33. Corpul din figura 6.33 este format din bara omogenă OA de

lungime egală cu a8 , de greutate G şi un cerc din material de rază

aR 3= şi greutate G2 . Ştiind că în poziţie iniţială (1) corpul este în

repaus şi se roteşte în plan vertical în jurul articulaţiei din 0, se cer să

se determine:

a). momentul de inerţie polar, 0J , al corpului;

b). energia cinetică în poziţia (2) şi lucrul mecanic efectuat la

deplasarea din poziţia (1) în poziţia (2).

Răspuns:

a) ( ) ;33,281 2

0 ag

GJ =

b) ;665,140 22

2ωa

g

GEG =

.sin2621 αaGL =−

Fig. 6.33. Fig. 6.34


207

6.34. Aflaţi expresia energiei mecanice a sistemului de linii materiale

omogene cu configuraţia rigidă din figura 6.34, atunci când sistemul

se roteşte în jurul axei A – B care face cu orizontala unghiul de o60 ,

dacă poziţia de echilibru static stabil este luată ca referinţă, iar masa

întregului sistem este m.

Răspuns: ( ) ( ) ( )[ ] ( ).742/cos13256 2 +−+++= πθπθπ gRmREm

&

6.35. Corpul omogen din figura 6.35 de densitate ρ, este format din

inelul de raze Rr, şi înălţime egală cu

R5,1 şi din conul plin de rază a bazei R

şi înălţime R . Corpul se roteşte faţă de

axă ( )∆ cu viteză ω şi se cer să se

determine energia cinetică, impulsul

total şi momentul kinetic faţă de axa ( )∆ .

Răspuns:

( )[ ];125,175,0916,0425,0 4222242 rrRRrrRRREc −−++= ωπρ

( );5,183,1 22 rRRrH −= ωπρ

( )[ ].25,25,183,185,0 422224 rrRRrrRRRK −−++= ωπρ

Fig. 6.35


208

6.36. Dintr-un cilindru omogen de rază R este scos un alt cilindru de

rază 2/R . Axele cilindrilor sunt paralele, iar distanţa dintre ele este

4/R (vezi figura 6.36).

Să se determine energia mecanică a cilindrului când acesta se

rostogoleşte fără alunecare pe un

plan orizontal, dacă poziţia de

referinţă este cea corespunzătoare

echilibrului stabil, precum şi

torsorul impulsurilor acestui

cilindru în raport cu mijlocul axei

sale 0.

Răspuns:

( ) ( ) ( )[ ];cos18/cos87712/ 2 θθθ −+⋅−⋅= gRmREm&

( ) ( )( )

−=

−==

)cos429(48/

cos2414512/22

111 θθ

θθτ

&r

&r

r

mRK

mRHH

O

O

Fig. 6.36


209

Capitolul VII

DIAMICA RIGIDULUI

7.1. Se consideră o bară de lungime egală cu 2L care se aruncă astfel

încât la momentul iniţial centrul de masă al ei se găseşte la înălţimea

H faţă de sol şi are o viteză 0vr

care face unghiul α cu orizontala

(fig.7.1). Dacă la aruncare bara are o viteză unghiulară oω , să se

studieze mişcarea barei după aruncare.

Rezolvare:

Ecuaţiile de mişcare vor fi:

=θ

−=

=

0

0

&&

&&

&&

C

C

C

J

mgym

xm

Fig.7.1. Bară aruncată în câmp gravitaţional

Soluţie: Ecuaţiile de mişcare vor fi:


210

=θ

−=

=

0

0

&&

&&

&&

C

C

C

J

mgym

xm

După integrare, ţinând seama de condiţiile iniţiale:

ω=θ

α+−=

α=

0

0

0

&

&

&

sinvgty

cosvx

C

C

θ+ω=θ

α+−=

α=

00

0

2

0

2t

sintvtg

y

costvx

C

C

Deci bara se va roti cu viteza unghiulară constantă oω , iar centrul se va

mişca la fel ca un punct material aruncat în câmp gravitaţional (dacă

se neglijează rezistenţa aerului).

7.2. Se consideră o bară de lungime egală cu 2L, care se sprijină fără

frecare cu un capăt pe un plan

orizontal iar cu celălalt pe

planul vertical şi căreia i se dă

drumul. Să se studieze

mişcarea acestei bare.

Rezolvare: După ruperea

legăturilor, teorema Fig.7.2.a. Bară în mişcare plan

paralelă


211

impulsului şi a momentului cinetic dau:

θθθ cossin 21

1

2

L!L!J

G!ym

!xm

C

C

−=

−=

=

&&

&&

&&

Coordonatele centrului de greutate sunt:

.cos

;sin

θ

θ

Ly

Lx

C

C

=

=

Se obţine, prin derivare:

θθ

θθ

sin

cos

&&

&&

Ly

Lx

C

C

−=

=

şi:

θθθθ

θθθθ

cossin

sincos2

2

&&&&&

&&&&&

LLy

LLx

C

C

−−=

−=

Rezultă:

( )( ).sincos

cossin2

2

21

θθθθ

θθθθ&&&

&&&

LLm!

mgLLm!

−=

+−−=

Introducând !1 şi !2 în ecuaţia a treia, se obţine:

( )( ) θθθθθθ

θθθθθθ

cossincossin

sincossin22

22

&&&

&&&&&

−−+

+−−=

mLmgL

mLJ

sau:

( ) θθ sin2 mgLmLJ =+&&

deci:

2

sin

mLJ

mgL

+=

θθ&& .

Înmulţind egalitatea cu θ& se obţine:


212

( ) θθθθ sin2 &&&& mgLmLJ =+

relaţie care permite determinarea unei integrale prime:

( ) CmgLmLJ +−=+ θθ

cos2

22

&

Constanta C se determină din condiţiile iniţiale. Să presupunem că, la

momentul 0;0,0 θθθ === &t (bara pleacă din repaus, din poziţia

definită de unghiul 0θ ). Atunci:

( ) CmgLmLJ +−=+ 02 cos

2

0θ

de unde: 0cosθmgLC = , iar ecuaţia devine:

( ) ( )0

22 coscos

2θθ

θ−−=+ mgLmLJ

&

care exprimă teorema energiei cinetice. Rezultă:

( )2

02 coscos2

mLJ

mgJ

+−

=θθ

θ&

de unde se poate scoate:

( )2

0 coscos2

mLJ

mgL

dt

d

+−

==θθθ

θ&

Condiţia ca 02 ≥θ& duce la [ ]00 2, θπθθ −∈ .

Ecuaţia obţinută este o ecuaţie diferenţială cu variabile separabile:

( )dt

mLJ

mgL

d=

+−2

0 coscos2 θθθ

care este o integrală eliptică ce nu are soluţie analitică. Prin integrare

numerică, se poate obţine dependenţa ( )tθθ = . Ţinând cont că:


213

2

sin

mLJ

mgL

+=

θθ&& şi

( )2

02 coscos2

mLJ

mgJ

+−

=θθ

θ&

vom putea determina reacţiunile !1 şi !2 fără a rezolva ecuaţiile de

mişcare:

( )[ ]( )

1

coscos2cos3

coscos2cos3

coscoscos2sinsin

2

022

20

222

02

2

22

1

+

−+

=

=+−+

=

=+−++

−=

mL

J

mL

J

mg

mLJ

mLJmLmg

mgmLJ

Lm!

θθθ

θθθ

θθθθθ

Fig. 7.2.b. Mecanism cu două culise (legătură bilaterală)

( )[ ]

( )02

22

02

22

2

cos2cos3sin

sincoscos2cossin

θθθ

θθθθθ

−+

=

=−−+

=

mLJ

gLm

mLJ

gLm!

Rezultă că, pentru determinarea reacţiunilor, este suficient să

cunoaştem o integrală primă a ecuaţiilor de mişcare.

Dacă se consideră o bară omogenă de secţiune constantă, atunci:

( )312

2 32 mLLmJ ==


214

şi

( )θθωθθ

θε coscos2

;4

sin30

22 −====L

g

L

g &&&

( );

4

1coscos6cos9 02

1

+−=

θθθmg!

( )θθθθ sincos2cossin34

302 −=

mg!

Pentru oθθ cos3

2cos = rezultă !2=0 deci bara se desprinde de perete.

După desprindere ecuaţiile de mişcare se modifică întrucât s-au

modificat legăturile.

Rezultatele rămân valabile şi dacă capetele barei nu se pot desprinde

de cele două drepte pe care alunecă (legăturile sunt bilaterale). Situaţia

poate fi realizată tehnic prin ataşarea a două culise capetelor barei (fig.

7.4) . În acest caz, reacţiunile pot deveni negative iar bara va avea o

mişcare periodică (ca un pendul fizic cu mari oscilaţii). Perioada

acestor oscilaţii, T, se obţine:

( ) 4coscos20

20

T

mLJ

mgL

do

=

+−∫

θ

θθθ

Observaţie. Scrierea matriceală permite o prezentare mai elegantă a

problemei. Astfel, ecuaţiile de mişcare pot fi scrise:

θ−θ

−=

θ

cosL!sinL!

G!

!

y

x

J

m

m

C

C

21

1

2

00

00

00

&&

&&

&&


215

Condiţiile cinematice vor lua forma:

22

2

0

cos

sin

1

sin

cos

θθθθ

θθθ

θ

&&&&

&&

&&

&&

−

−

+

−=

L

L

L

L

y

x

C

C

Dacă se înlocuiesc aceste condiţii în ecuaţiile de mişcare se va obţine:

−

−=

=

−

−

+

−

θθ

θθθθ

θθθ

cossin

0

cos

sin

1

sin

cos

00

00

00

21

1

2

22

2

L!L!

G!

!

L

L

L

L

J

m

m

&&&&

Deoarece forţele de legătură sunt ortogonale cu deplasările

determinate de legături, proiectăm ecuaţiile de mişcare pe direcţia

deplasărilor virtuale compatibile cu legăturile (coeficientul lui θ&& ). Se

va obţine:

[ ] =

−

−

+

−

− 22

2

0

cos

sin

1

sin

cos

00

00

00

1sincos θθθθ

θθθ

θθ &&&& L

L

L

L

J

m

m

LL

[ ]

−

−−=

θθθθ

cossin

1sincos

21

1

2

L!L!

G!

!

LL

sau, după efectuarea calculelor:

( ) θθ sin2 mgLmLJ =+&& .


216

7.3. Să considerăm o bară de lungime egală cu 2L , care se sprijină pe

un plan orizontal, fără frecare şi căreia îi dăm drumul. Ne propunem

să studiem mişcarea acestei bare.

Rezolvare: Se alege sistemul de referinţă fix ca în figura 7.3 cu axa

O1y1 trecând prin centrul de masă. Condiţiile iniţiale vor fi:

01 == )tt(C ox& şi 01 == )tt(C o

x , iar unghiul de înclinare al barei este 0θ .

Ecuaţiile de mişcare sunt:

=

−=

=

θθ sin2

0

1

1

L!J

G!ym

xm

C

C

C

&&

&&

&&

Ţinând seama de condiţiile iniţiale, rezultă: 01 =C

x în tot timpul

mişcării, deci bara cade astfel încât centrul său de masă rămâne în tot

timpul mişcării pe aceeaşi verticală. Urmărind figura, se poate scrie:

θcos21

Ly C = ; θθsin

21&&

Ly C −= ; θθθθ cos

2sin

22

1&&&&&

LLy C −−= .

Fig.7.3. Bara care alunecă liberă pe un

plan orizontal, fără frecare


217

Rezultă:

GL

mL

mGym! C +−=+= θθθθ cos2

sin2

21

&&&&&

şi înlocuindu-l pe ! se obţine:

θθθθθθ sinsincos4

sin4

22

22

GLmLm

JC

=+

− &&&

care admite integrala:

=

−

2sin

4

22

2 θθ

&LmJ

C CG +− θcos

Ţinând seama de condiţiile iniţiale 0=θ& şi 0θθ = rezultă 0cosθGC =

deci:

( )θθθ

θ coscos2

sin4 0

22

2

−=

− G

LmJ

C

&

Concluziile trase pentru anterior rămân valabile. Dacă legătura cu

solul este bilaterală (se realizează printr-o culisă) mişcarea barei va fi

oscilatorie.

7.4. Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat.

Rezolvare: i) Centrul de masă coincide cu centrul de simetrie. Se

consideră un cilindru de greutate G care se rostogoleşte pe un plan

înclinat ce face unghiul α cu orizontala. Cilindrul va coborî sub

acţiunea greutăţii, pe planul înclinat. Dacă nu ar exista nici un fel de


218

frecare, atunci cilindrul ar

aluneca sub acţiunea

componentei αsinG a greutăţii,

deci va avea acceleraţia

α= singa .

Dacă apare o forţă de aderenţă

între cilindru şi plan, notând cu T

această forţă, ea va micşora pe de

o parte componenta αsinG , iar

pe de altă parte va determina

rostogolirea discului.

Teorema impulsului descrie mişcarea centrului de masă:

amTsinG =−α , iar teorema momentului cinetic, aplicată în

centrul cilindrului dă:

ε= JRT

unde ε este acceleraţia unghiulară a cilindrului, iar J este momentul

de inerţie al corpului faţă de o axă care trece prin centrul de masă,

perpendiculară pe plan.

Pot exista mai multe moduri posibile de mişcare a cilindrului:

a) Cilindrul se rostogoleşte fără alunecare pe planul înclinat

(Fig.7.4,a):

RaRv εω == ; .

Ecuaţiile de mişcare se pot scrie:

Fig.7.4.a. Rostogolirea unui cilindru

omogen pe un plan înclinat


219

=

=−α

2R

aJT

amTsinG

de unde prin adunare:

+=α2R

JmasinG

deci:

2R

Jm

singma

+

α= .

Forţa de aderenţă este:

2

2

sin

R

Jm

gm

R

JT

+=

α

Acest mod de mişcare va exista dacă:

αµµ cosG!T =≤

adică atâta timp cât forţa de frecare între cilindru şi plan este inferioară

forţei limită de frecare la alunecare. Înlocuind T se obţine:

a) Rostogolire fără alunecare b) Rostogolire cu alunecare

Fig.7.4.b. Cinematica mişcării unui cilindru pe planul înclinat


220

αµα

cossin

2

2gm

R

Jm

gm

R

J≤

+

de unde:

2

2

R

JR

Jm

tg

+≤ µα .

Dacă se notează cu ϕ unghiul de frecare, condiţia se scrie:

'

2

2

ϕϕα tg

R

JR

Jm

tgtg =+

≤ .

sau: 'ϕα ≤

unde: ϕϕ tg

R

JR

Jm

arctg

+=

2

2

' .

Dacă condiţia este satisfăcută, se realizează rostogolirea pură.

b) Dacă 'ϕα > cilindrul se rostogoleşte cu alunecare (Fig.7.4. b).

Notând cu u viteza de alunecare a cilindrului, viteza centrului de masă

va fi:

Ruv ω+= .

Prin derivare se obţine:

Rua ε+= & .

Deoarece cilindrul alunecă, forţa de frecare va fi, conform legilor

frecării, αµµ cosG!T == . Ecuaţiile de mişcare devin:


221

−=

=−

uJaJRG

amGG

&2cos

cossin

αµ

αµα

deci acceleraţia centrului de masă este:

( )αµα cossin −= ga

iar acceleraţia de alunecare:

J

Rgmau

αµ cos2

+=&

c) Dacă există frecare de rostogolire, iar aceasta este mare, mai poate

exista un mod de mişcare al corpului şi anume cilindrul poate aluneca

fără să se rostogolească. În acest caz 0=ε , αµµ cosG!T == , iar

legea de mişcare este:

amGG =− αµα cossin

deci:

( )αµα cossin −= ga .

ii) Centrul de masă nu coincide cu

centrul de simetrie.Dacă cilindrul

nu este omogen atunci centrul de

masă se va găsi la distanţa e de

centrul cilindrului (fig.7.4.c). În

acest caz ecuaţia de momente

scrisă în centrul cilindrului, care

nu e centrul de masă, se va

modifica în felul următor:

Fig.7.4.c. Centrul de greutate nu

coincide cu centrul cilindrului


222

RTeGeGJC

++= θαθαε sincoscossin

sau:

( ) RTeGJC

++= θαε sin .

Dacă mişcarea este de rostogolire fără alunecare, atunci ecuaţiile de

mişcare vor fi:

( )

+−=

=−

θαε

α

sin

sin

R

eG

RJT

maTG

C

Cx

.

Acceleraţia centrului de masă se obţine cu relaţia:

OCOCxaaoC

2ωε −+=

cu: )jcosi(sineOC θ+θ= . Componenta după direcţia mişcării este:

θωθεε sincos 2eeRaCx

−−= .

Prin adunare se obţine:

( ) ( ) θωε

θθαα sincossinsin 22em

RJmeRRm

R

eGG C −+−=++

sau:

( ) ( ) θθθααθθ sinsinsincos 22 emeGRGJmeRRmC

&&& +++=+− .

Prin înmulţire cu θ& se obţine:

( )( ) θθθαθαθ

θθθ

sinsinsin

cos3

2

emeGRG

JmeRRm C

&&&

&&&

+++=

=+−

sau:

( )( ) ( )( )dt

eRGd

dt

JmeRRmd C θααθθθ ++=

+− cossincos

2

1 22 &

de unde:


223

( ) ( )( )θααθθθ ++=++− cossincos2

1 22eRGCJmeRRm C

&

unde C este o constantă de integrare care depinde de condiţiile iniţiale.

Dacă considerăm, spre exemplu, că la momentul iniţial

0; === θωθθ &o , se obţine:

( )( )oo eRGC θααθ ++= cossin

deci:

( )( ) ( ) ( )( )[ ]oo

C

eRG

JmeRRm

θαθααθθ

θθ

+−++−=

=+−

coscossin

cos2

1 22 &

care este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi cu variabile separabile.

Exemplu

În cazul a) am obţinut pentru acceleraţia centrului de masă a unui corp

rotund care se rostogoleşte fără alunecare, expresia:

2R

Jm

sinmga

+

α=

Fig. 7.4.d. Rostogolirea diferitelor figuri geometrice

pe un plan înclinat


224

Să considerăm următoarele cazuri: cilindrul plin, cilindrul gol, sfera

plină, sfera goală, con, care se rostogolesc pe un plan înclinat (fig.

7.4.d).

Ne propunem să vedem care din corpuri ajunge mai repede la baza

planului.

Corpul Momentul de

inerţie

Acceleraţia Raportul

a1/a

Cilindru

plin

2

2

1

mRJ =

3

sin21

αga = 666,0

3

21 ==a

Cilindru

gol

22 mRJ =

2

sin2

αga = 5,0

2

1=

Sferă

plină

5

2 2

3

mRJ =

7

sin53

αga = 714,0

7

5=

Sferă

goală

3

2 2

4

mRJ =

5

sin34

αga = 6,0

5

3=

Con 10

3 2

5

mRJ =

13

sin105

αga = 769,0

13

10=

Acceleraţia unui punct material pe un plan înclinat este: α= singa .

Atunci:


225

aa;aa;aa;aa;aa13

10

5

3

7

5

2

1

3

254321 =====

Avem:

24135 aaaaaa >>>>> .

Legea spaţiului în acest caz 2

2at

s = dă: a

st

2= deci timpii de

coborâre a planului pot fi ordonaţi în felul următor:

24135 tttttt <<<<< .

7.5. Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat dacă

se consideră frecarea de rostogolite.

Rezolvare: Se constată, în practică, că acceleraţia pe care o capătă un

corp care se rostogoleşte pe un plan înclinat, este mai mică decât cea

calculată prin relaţiile anterioare. Datorită deformării corpului şi a

altor cauze, punctul de contact teoretic al cilindrului nu coincide cu

punctul unde acţionează reacţiunea normală N.

Aceasta va acţiona mai înainte cu distanţa s. În acest caz ecuaţiile de

mişcare vor fi:

ε=−

=−α

Js!RT

amTsinG

dar cum α= cosG! va rezulta:

a) în cazul rostogolirii pure:


226

=α−

=−α

R

aJscosGRT

amTsinG

de unde:

+=α−α

2R

JmacosG

R

ssin

2

cossin

R

Jm

R

sG

a

+

−

=αα

ααα

coscossin

2

2 R

sG

R

Jm

R

sG

R

JT +

+

−

=

Condiţia de rostogolire !T µ≤ dă:

αµααα

coscoscossin

2

2≤+

+

−

R

s

R

Jm

R

s

R

J

Fig.7.5. Frecarea de rostogolire în cazul unui cilindru


227

R

s

R

JR

Jm

R

stg +

+

−≤

2

2

µα

b) în cazul rostogolirii cu alunecare:

αµµ cosG!T ==


εααµ JsGRG =− coscos

de unde:


J

R

sGR

−

=µα

εcos

şi acceleraţia de alunecare este:

( )

−−−=−=

R

s

J

RGgRau µαµαε

2

cossin&

c) în cazul când rostogolirea este împiedicată, iar corpul va aluneca se

poate scrie:


cu:


Pentru aceasta vor trebui îndeplinite condiţiile:

J

R

sRG

−

=µα

εcos


228

deci:

α≤ cosGsRT

α≤αµ cosGsRcosG

sau: R

s≤µ

7.6. Să se studieze mişcarea roţii trase.

Rezolvare: Se consideră un cilindru de masă m, moment de inerţie J şi

raza R tras, în centru, de o forţă orizontală constantă F. Ecuaţiile de

mişcare vor fi:

=

=−

εJRT

amTF

unde a este acceleraţia centrului de masă al cilindrului, ε acceleraţia

unghiulară, T forţa de aderenţă. Şi în acest caz trebuie studiate, dacă

nu există frecare de rostogolire, două situaţii:

a) Rostogolire fără alunecare: Ra ε= .

Ecuaţiile de mişcare devin:

=

=−

2R

aJT

amTF


229

Fig.7.6. Roata trasă


=

=−

2R

aJT

amTF

de unde prin adunare:

+=

2R

JmaF

deci:

2R

Jm

Fa

+=

şi:

+

=

2

2

R

JmR

FJT

Rostogolirea fără alunecare are loc atâta timp cât !T µ≤ , adică:

G

R

JmR

FJµ≤

+

2

2

sau: J

RG

R

JmF

2

2

+µ≤ .


230

Cu alte cuvinte, roata trasă se va rostogoli, fără a aluneca, atâta timp

cât forţa F nu depăşeşte valoarea calculată mai sus. În momentul în

care această valoare este depaşită, este valabil cazul următor.

b) Rostogolire cu alunecare

Dacă condiţia scrisă nu este îndeplinită, atunci odată cu rostogolirea

roţii are loc şi alunecarea. În acest caz GT µ= , iar ecuaţiile de

mişcare devin:

=

=−

εµµ

JRG

amGF .

Condiţiile cinematice dau Ruv ω+= unde v este viteza centrului, ω

viteza unghiulară a cilindrului, u viteza de alunecare. Prin derivare

rezultă: Rua ε+= & . Atunci acceleraţia centrului de masă este:

gm

F

m

GFa µ

µ−=

−=

iar acceleraţia de alunecare:

02

>−−=−=J

RGg

m

FRau µµε& ,

condiţie care este îndeplinită dacă forţa F nu satisface anterioară.

7.7. Să se studieze mişcarea roţii motoare

Rezolvare: Roata este supusă unui moment motor ce face să apară o

forţă T între roată şi planul orizontal, care va propulsa roata spre


231

înainte. În cazul mişcării uniforme, momentul acestei forţe calculat în

centrul roţii O, va trebui să echilibreze momentul motor Mm. Dacă

mişcarea este accelerată ecuaţiile de mişcare vor fi:

ε=−

=

.JRTM

amT

m

La fel ca la roata trasă, cinematica mişcării impune studierea a două

cazuri:

a) Rostogolire fără alunecare: Ra ε= , de unde:

=−

=

.R

aJT

R

M

amT

m

2

Rezultă:

+=

2R

Jma

R

M m

deci:

+

=

2R

JmR

Ma m

+

=

2R

JmR

MmT m

Acest mod de mişcare are loc dacă !T µ≤ , adică:

gRR

JmMm

+≤

2µ

adică atâta timp cât forţa de reacţiune T este inferioară forţei limită de

alunecare.

Fig.7.7.a. Roata motoare


232

b) Rostogolire cu alunecare

În acest caz aderenţa este ruptă, forţa T devine egală cu forţa limită de

frecare GT µ= (şi indiferent de valoarea momentului nu poate depăşi

această valoare) iar ecuaţiile de mişcare devin:

amG =µ

εµ JGRMm =− .

Dacă se notează cu u viteza de alunecare, atunci condiţia cinematică

rămâne Rua ε+= & , de unde:

ga µ=

0>−+−=+−= RJ

G

J

MgRau m µµε&

Acest caz va avea loc atunci când momentul motor va depăşi valoarea:

RgR

JmMm

+≥

2µ .

Rezultă că, în absenţa diferenţialului, oricât de mică ar fi frecarea, un

autovehicul va trebui să înainteze (în realitate mai există forţa care se

opune deplasării vehiculului, provenind de la contactul celorlalte roţi

Fig.7.7.b. Graficul acceleraţiei centrului de masă şi al

acceleraţiei de alunecare


233

cu solul şi care ar putea anula această forţă mică gmµ ). La

autovehiculele ce trebuie să se deplaseze în condiţii grele de teren,

sunt utilizate diferenţiale cu blocare, care fac ca problema mişcării

roţilor motoare (independente) să se reducă, după blocarea

diferenţialului, la problema studiată. Studiul mişcării unui diferenţial

(sistem cu două grade de libertate) este mai complicat iar în acest caz

poate exista situaţia în care o roată va patina în timp ce cealaltă se va

opri complet şi autovehiculul nu se va putea deplasa.

Problemă propusă. Un cilindru de rază R care se roteşte în jurul axei

cu o viteză unghiulară oω , este pus pe un plan orizontal, coeficientul

de frecare la alunecare fiind µ. Să se determine momentul în care

cilindrul se va rostogoli fără alunecare pe planul orizontal şi distanţa

parcursă de centrul de greutate al cilindrului până în acel moment.

7.8. Un cilindru de rază R , masă m şi înălţime H se roteşte în jurul

axei AB cu viteză constantă ω (fig. 7.8) . Să se determine reacţiunile

dinamice ZA şi ZB .

Rezolvare: În poziţia iniţială sistemul de referinţă mobil Oxzy coincide

cu sistemul de referinţă fix Ox1z1y1. Faţă de sistemul de referinţă

OXYZ matricea momentelor de inerţie pentru un cilindru a fost

calculată şi are forma:


234

[ ]

+

+

=′

12400

02

0

00124

22

2

22

mHmR

mR

mHmR

JC

În sistemul Oxyz matricea momentelor de inerţie va fi:

[ ] [ ][ ][ ]TCC RJRJ ′=

unde:

[ ] [ ]

−==

cs

sckjiR

0

0

001

S-a notat:

Fig.7.8.a. Rotaţia unui cilindru în jurul unei diagonale


235

2222 44

2

HR

Hsins;

HR

Rcosc

+=α=

+=α= .

Atunci:

[ ]

++

−

−

++

+

=

=

−

+

+

−=

222

2222

222

222

2

22

22

2

22

12424120

41212420

00124

0

0

001

12400

02

0

00124

0

0

001

cmHmR

cmRmRmH

sc

mRmHscs

mHmRc

mR

mHmR

cs

sc

mHmR

mR

mHmR

cs

scJC

Întrucât am ales centrul de masă pe axa de rotaţie, teorema impulsului

ne va da ecuaţiile de echilibru:

00

0

0

=

=−

=−

BA

BA

XX

ZZ

Am neglijat greutatea cilindrului. Teorema momentului cinetic ne va

da:

( ) ( )

++=−ω

2212 b

aZZJJsc BA

( )

( ) ( )

+−=−

=+

2

0

21

21

22

baXXJJsc

sJcJ

BAε

ε

unde s-a notat:


236

2124

2

2

22

1

mRJ;

mHmRJ =+= .

Ecuaţia a doua ne dă ε = 0 , ω= ct, lucru pe care l-am presupus de la

început, adică momentul care face să rotească cilindrul este egal cu

momentul rezistent. Ecuaţia a treia ne dă:

0=+ BA XX

care împreuna cu 0=− BA XX obţinută din teorema impulsului ne dă:

0== BA XX .

Din prima ecuaţie de la teorema impulsului rezultă BA ZZ = şi

introducând în prima ecuaţie de la teorema momentului cinetic, se

obţine:

( )ba

mRmH

ba

JJscZZBA +

ω

−=

+

ω−==

24122

2

2222

21 .

Deci reacţiunile ZA şi ZB obţinute în sistemul de referinţă mobil, legat

de cilindru, sunt egale şi de sens opus. Acestea se vor roti, odată cu

sistemul de referinţă. Lagărele A şi B vor fi încărcate cu aceste

reacţiuni, dar la fiecare moment de timp vor face alt unghi cu

verticala. Dacă θ este unghiul de rotaţie al sistemului de referinţă

Fig.7.8.b. Reacţiunile rotitoare


237

mobil faţă de sistemul de referinţă fix, vom avea componentele

reacţiunii în sistemul de referinţă fix:

θθ

θθ

cos;sin

cos;sin

11

11

ABAB

AAAA

ZZZX

ZZZX

−==

−=−=

Se observă ca dacă 21 JJ = , deci 3RH = , adică dacă cilindrul

prezintă simetrie sferică, atunci reacţiunile dinamice ZA şi ZB sunt

egale cu zero. Lagărele nu vor fi solicitate în acest caz.

Dacă se consideră şi greutatea cilindrului G , aceasta va acţiona

suplimentar, încărcând în mod egal cele două lagăre. Atunci:

θθ

θθ

cos2

;sin

;cos2

;sin

11

11

ABAB

AAAA

ZG

ZZX

ZG

ZZX

+==

−=−=

7.9. O placă triunghiulară de

dimensiuni a şi b şi de densitate

superficială ρ se roteşte în jurul

unei laturi cu viteza unghiulară

constanta ω (fig.7.9). Să se

determine reacţiunile care apar în

lagărele A şi B.

Solutie:

Fig.7.9. Placă triunghiulară în

mişcare de rotaţie


238

+−

−=

A

BA

C

C

C

ZG

YY

z

y

x

m

0

&&

&&

&&

ε3

bxC=&& ; 2

3ω

byC −=&& ; 0=Cz&& .

Tωω 00=

Se scrie teorema momentului cinetic:

( )

++−

=

=

−

−

−

+

−

−

0

0

23

0

0

0

0

00

000

00

00

0

0

0

0

00

B

zzyz

yzyy

xx

zzyz

yzyy

xx

Ycab

G

JJ

JJ

J

JJ

JJ

J

ωω

ω

ε

sau:

( )

++−

=

=

−

+

−

−

0

0

23

0

0

000

00

0

0

0

0

0

00

B

xx

yzyy

zzyz

yzyy

xx

Ycab

G

J

JJ

JJ

JJ

J

ωω

ωω

ε

de unde:

( )Byz Yca

bGJ 2

32 ++−=ω

0=εzzJ .


239

Rezultă: ca

bGJ

Yyz

B 23

2

+

+ω= ;

323

22

ω−

+

+ω=−=

bm

ca

bGJ

ymYYyz

CBA&&

7.10. Să se studieze mişcarea pendulului fizic. Se numeşte pendul fizic

un rigid care se poate roti în jurul unei axe orizontale Oz şi este supus

acţiunii greutăţii proprii (fig.7.10).

Rezolvare: Ecuaţia care dă legea de

mişcare a unui rigid cu axa fixă:

Ozz MJ =θ&& ,

devine în cazul acesta:

θθ sinlGJ zz −=&&

unde G = mg este greutatea corpului, l

distanţa între punctul de suspensie şi

centrul de greutate (în planul xOy).

Ecuaţia se mai poate scrie:

0sin'

=+ θθl

g&&

unde lm

J'l zz= . Ecuaţia obţinută este identică cu ecuaţia de mişcare a

pendulului matematic de lungime l’. Din această cauză, pendulul

Fig.7.10.a. Pendulul fizic


240

matematic de lungime l’ se numeşte pendulul simplu sincron al

pendulului fizic considerat. Pentru oscilaţii mici θθ ≈sin , deci

ecuaţia de mişcare devine:

0'

=+ θθl

g&& ,

cu perioada:

zzJg

lm

g

lT ππ 2

'2 == .

Pentru oscilaţii mari e valabilă teoria dezvoltată la pendulul

matematic. Dacă JC este momentul de inerţie faţă de centrul de masă,

teorema lui Steiner dă:

2lmJJ Czz +=

de unde:

ll"lllm

J

lm

Jl Czz >+=+== unde s-a notat:

lm

J"l C= .

Deoarece l’ > l se poate lua pe

dreapta OG un punct O’, astfel încât

G să se găsească între O şi O’.

Punctul O’ fiind situat la distanţa l’

egală cu lungimea pendulului

sincron faţă de punctul O, va avea

aceeaşi mişcare ca şi pendulul

matematic de lungime l’. Punctul

Fig.7.10.b. Dependenţa lui l’

de l


241

O’ se numeşte centru de oscilaţie, iar punctul O centru de suspensie.

Cele două drepte paralele cu Oz trecând prin O şi prin O’ se numesc

respectiv axa de suspensie şi axa de oscilaţie. Expresia lui

2

20il

lm

Jl'l C +=+= poate fi reprezentată grafic. Lungimea pendulului

sincron prezintă un minim egal cu 2i0 pentru l = i0.

7.11. Să se determine timpul în care cilindrul plin din figura 8de rază

R, greutate G şi moment de inerţie în raport cu axa sa J∆ se opreşte

dacă în momentul în care rolele A şi B se blocheaeză viteza unghiulară

a cilindrului este ωo. Se mai cunoaşte coeficientul de frecare la

alunecare dintre cilindru şi role µ.

Fig.7.11


242

Rezolvare:

Asupra cilindrului acţionează următoarele: G – greutatea proprie; N1 şi

N2 – reacţiunile rolelor; T1 şi T2 - forţele de frecare dintre cilindru şi

role.

Momentul cinetic al cilindrului în raport cu O este ω∆= JoK ;

unde: g

GR

2J

2

=∆ .

Momentul forţelor exterioare în raport cu O este

( )2121 !!RRTRTM o +−=−−= µ .

Aplicând teorema momentului cinetic rezultă

( )21J !!rdt

d+−=∆ µ

ω

Din teorema de mişcare a centrul de masă rezultă:

( ) ααα sinsincos 1221 TT!!Gxm o +−+−=&& ;

αααα coscossinsin 1221 TT!!ym o −−−=&& .

0== yxo &&&& deoarece centrul O este fix (rotaţie cu axă fixă).

( ) ( ) G!!!! =−++ αµα sincos 2121 ;

( ) ( ) 0cossin 2121 =+−− αµα !!!! .

Eliminând expresia ( )21 !! − rezultă

( ) αµ cos1 221+

=+G

!! ;

şi înlocuind în teorema momentului cinetic avem

( ) αµµω

cos1J 2+

−=∆RG

dt

d;


243

( ) αµµω

cos12 2

2

+−=

RG

dt

d

g

GR;

( ) αµµω

cos1

22 R

g

dt

d

+−= .

Integrând expresia rezultă

( ) αµµ

ωωcos1

22 R

gof

+−=−

şi deoarece 0=fω obţinem:

( )µ

αµωg

Rt o

2

cos1 2+= .

7.12. În capătul D al unui fir inextensibil, înfăşurat pe discul (A) de

rază r, acţioaează forţa Pr sub unghiul α, faţă de orizontală. Discul (A)

de rază r este solidar cu discul B de rază R=2r, care se rostogoleşte pe

un plan orizontal. Întregul ansamblu are masa gPm = şi raza de

inerţie rR ⋅=ρ (fig. 7.12).

Determinaţi unghiul α maxim pentru care corpul se roatogoleşte fără

alunecare, dacă coeficientul de frecare de alunecare este 1,0=µ .

Rezolvare: Se aplică teoremele impulsului şi momentului cinetic,

după ce se reprezintă forţele de legătură !r

şiTr

(la limita !T µ= ).

∑= xx FH& ; !Pvm o µα += cos& (1)

∑= yy FH& ; αsin0 PP! +−= (2)


244

∑= ioo MK& ; rTrPJo 2⋅−⋅=ω& (3)

Din relaţia (2) rezultă )sin1(sin αα −=−= PPP! , care înlocuită în (1)

ne dă acceleraţia centrului de masă.

Fig.7.12

gac )sin(cos αµµα −+= (4)

Relaţia(3) se mai scrie:

r!rPm 22 ⋅⋅−⋅=⋅⋅ µερ (5)

Înlocuind în (5) rR ⋅=ρ , gPm = , rac 2=ε şi N,

αµµαµµα sin221sincos +−=−+ ,

ααµ cos)sin1(31 =−− . (6)

sau

Înlociund 21

2sin

t

t

+=α şi

2

2

1

2cos

t

t

+

−=α , unde

2

αtgt = ,

rezultă


245

µ3

212

=

−

t

t

de unde

µ

α

3

2

1

2== tgt (7)

Pentru:

1,0=µ ; 279,02

=α

tg ; iar 2131 ′= oα .

7.13. O emisfera de greutate G şi rază r este lăsată liberă din repaus în

poziţia indicată în figura 7.13.a. Admiţând ca ea se rostogoleşte fără să

alunece pe plan orizontal, se cere să se determine:

a. viteza unghiulară a emisferei după ce aceasta s-a rotit cu 90°;

b. reacţiunea normală a suprafeţei în acest moment.

a) b)

Fig.7.13


246

Rezolvare:

1) Observând că frecările se neglijează este preferabil să se aplice

teorema energiei cinetice. Avem atunci:

2,112 LEE =− ; 01 =E ;

222 2

1

2

1oo vJE =+= ω

şi

rGL ⋅=8

32,1 ;

22

8

3

5

2

−= r

g

Gr

g

GJG

Dacă se ţine cont că 22

5

2OCmmrJo ⋅−=

şi viteza centrului de masă este

ωωω rrrICvc 8

5

8

3=

−=⋅= ;

teorema energiei cinetice se va scrie:

rGrg

Gr

g

Gr

g

G⋅−+

−

8

3

64

25

2

1

64

9

5

2

2

1 22222 ωω ;

de unde: r

g

13

15=ω .

După introducerea forţelor exterioare date de legatură şi de inerţie, se

scrie echilibrul acestora conform principiului lui d’Alembert (fig.

7.13). Se observă ca în poziţia a doua acceleraţia unghiulară ε este

nulă, astfel încât torsorul forţelor de inerţie în centrul de masă se

reduce la rezultanta acestora


247

ci a

g

GF = cu cocooc aaaa τν rrrr

++= în care 0=oar

0=coaτr ; din

acelaşi motiv ( )0=ε . Avem aşadar:

gr

grOC

OC

vaa ococ 104

45

13

15

8

322

==⋅=== ων ;

şi din ecuaţia de echilibru:

0=−− iFG!

rezultă

GGG!104

149

104

45=+= .

7.14. Aparatul POR-55 pentru tratarea pe cale uscată a seminţelor

constă dintr-o tobă cilindrică, care se roteşte excentric cu ajutorul unei

manivele. Cunoscând dimensiunile (fig. 7.14) şi greutatea tobei

încărcate precum şi faptul că rotaţia se face cu n rot/min, să se

calculeze reacţiunile dinamice din legăturile A şi B.

Rezolvare:Se stabileşte sistemul de coordonate din figură invariabil

legat cu toba şi se figurează reacţiunile. Aplicăm ecuaţiile scalare ale

mişcării rigidului cu axă fixă.

BAoo XXXxmym ++=−− 2ωε

BAoo YYYymxm ++=− 2ωε

BA ZZZ ++=0

Axyzxz lYMJJ −=⋅+− 2ωε


248

Ayxzyz lXMJJ +=⋅−− 2ωε

zz MJ =ε .

În acest sistem, ţinând seama de datele din problemă şi de poziţia tobei

din figură, facem următoaree înlocuiri:

0=ε ; 0=ox ; GX = ; 0=Y

0=Z ; 0=yzJ (simetrie faţă de planul xOy)

0=xM ; 2lGM y ⋅= ; 0=zM .

Fig.7.14

Se obţine:

GXX BA ++=0 ;

lXl

GJ Axz +=⋅−2

2ω ,


249

de unde:

⋅+−=

⋅−−=

lJ

GX

lJ

GX

xzB

xzA

2

2

2

2

ω

ω

;

Se vede că AX este orientat în sens contrar celui din figură şi AX > BX

ceea ce este correct ţinând seama că reacţiunea statică ( 2ε ) şi

reacţiunea dinamică

=

lJ xz

2ω au acelaşi sens(se adună) în A şi

sensuri contrare (se scad) în B.

Este deasemenea evident că după o rotaţie cu 180°a tobei situaţia se

inversează şi avem BX > AX .

Pentru calculul momentului de inerţie centrifugal xzJ se foloseşte

relaţia:

α2sin2

21 ∆∆ −=

JJJ xz ;

unde 1∆J şi 2∆J sunt momentele principale (centrale în cazul nostru)

faţă de axele principale centrale ∆1 şi ∆2.

( )221 3

12

1hr

g

GJ +=∆ ;

22 2

1r

g

GJ =∆ ;

( ) α2sin324

1 22 rhg

GJ xz −= ;

( ) αω

2sin3242

222

rhgl

GGX A −−−= ;


250

( ) αω

2sin3242

222

rhgl

GGX B −+−= .

7.15. Pentru corpurile omogene din figura 7.15, determinaţi perioada

micilor oscilaţii.

Fig.7.15

Rezolvare:

a) Pentru bara de lungime a din figura 7.15.a, determinaţi perioada

micilor oscilaţii este:

g

a

ga

M

ma

gOCM

J

g

lT o

3

22

2

3222

2

ππππ =⋅

=⋅⋅

=′′

=


251

b) Placa pătrată de latură a, (fig. 7.15.b) oscilează în jurul axei

perpendiculare în O pe planul ei. Va avea perioada micilor oscilaţii

g

a

gaM

aM

gOCM

J

g

lT z

3

222

2

23

2

222

2

ππππ =

⋅

⋅

=⋅⋅

=′′

=

c) Pentru placa din figura 7.15.c având forma unui triunghi

echilateral de latură a, se obţine:

g

a

gma

ma

gOCM

J

g

lT z ⋅=

⋅

=⋅⋅

=′′

=34

52

3

312

5

222

2

ππππ

7.16. Arborele cotit al unui motor monocilindric cu ardere iaternă are

doi volanţi inedtici A şi B de rază r =0,5 m. Considerând că greutatea

manetonului arborelui p=210 N este concentrată la distanţa h=0,2 m

faţă de axa de rotaţie Oz, să se determine greutăţile PA şi PB ale masele

care trebuiec montate la periferia volanţilor pentru a echilibra sistemul

dacă a=0,6 m şi b=1,4 m.

Rezolvare:

Triedrul de referinţă se alege în aşa fel încât cotul arborelui să fie

conţinut în planul xOz. Acest plan va fi plan de simetrie, prin urmare,

yo= 0 şi Jxz=0.


252

Fig.7.16

Dacă notăm greutatea întregului sistem cu P avem:

P

hpPxG

⋅= ; ha

g

PJ xz ⋅= .

Greutăţile pentru echilibrare PA şi PB, fiind montate în planul xOz, au

ordonatele nule: 0== BA yy .

Pot fi scrise condiţiile pentru echilibrarea dinamică a maselor:

0=++ BBAAG PxPxPx ;

0=+= BBB

AAA

xz zxg

Pzx

g

PJ .

Tinând seama că masele suplimentare pentru echilibrare sunt montate

la periferia volanţilor, rezultă: 0=Az , 0=Bz şi rxx BA −== (pentru

semnul plus ecuaţiile nu au soluţie). Rezolvând sistemul celor două

ecuaţii de mai sus obţinem:

( )!P

br

habPA 48=

⋅−

= ,


253

!Pbr

haPB 36=

⋅⋅

= .

Prin adăugarea acestor mase se obţine echilibrarea dinamică a

arborelui şi axa Oz devine axa principală centrală de inerţie, fără a fi.

axă de simetrie a sistemului.

7.17. O sferă omogenă plină, de masă m şi rază r este montată pe axul

OA şi se reazemă pe un plan orizontal, ca în figura 14. Centrul de

masă C al sferei se deplasează pe un cerc de rază R=3r cu viteza

unghiulară constantă ω1, în timp ce sfera se rostogoleşte fără alunecare

pe planul orizontal. Axul OA este articulat sferic în punctul O.

Frecarea de rostogolire se neglijează. Să se determine reacţiunile din

articulaţia O şi din reazemul B.

Fig.7.17


254

Rezolvare:

Se aplică teorema torsorului:

( ) '''RRvm

dt

do

rrr+= ;

( ) '''ooo MMJ

dt

d rrrr+=ω ;

În care: 'Rr

- rezultanta forţelor efectiv aplicate GRrr

=' ;

''Rr

- rezultanta forţelor de legătură, Booo !ZYXRrrrrr

+++='' ;

'oM

r - momentul rezultant în O al forţelor efectiv aplicate

iGRM o

rr−=' ;

''oM

r - momentul rezultant în O al forţelor de legătură,

iR!M Bo

rr='' ;

iRvorr

1ω−= ;

kjkj o

rrrrr111 3ωωωωω −−=−−= ;

oJr

- tensorul momentelor de inerţie faţă de punctul O are matricea

asociată

[ ]

( )

( )

+

+

=

=

=

2

22

22

5

200

035

20

0035

2

00

00

00

mr

rmmr

rmmr

J

J

J

J

zz

yy

xx

o


255

[ ]

=

2

2

2

5

200

05

470

005

47

mr

mr

mr

Jo .

Acum se calculează momentul cinetic ωrrr

⋅= oo JK ;

−

−=

−

−

=

5

65

470

3

0

5

200

05

470

005

47

2

1

1

2

2

2

ωωω mr

mr

mr

mr

Ko .

Derivata momentului cinetic în raport cu timpul va fi

)()( ωωεωrrrrrrr&r ⋅×+=⋅= oooo JJJ

dt

dK

în care:

io

rrrr 211 3ωωωε =×=

Avem aşadar:

[ ]

=

0

0

3

.

5

200

05

470

005

472

1

2

2

2

ωε

mr

mr

mr

Jo ;

−−

−−=⋅×

12

12

11

5

6

5

470

30)(

ωω

ωωωω

mrmr

kji

Jo

rrr

rrr;


256

=

−

+

=

0

05

6

0

05

135

0

05

141 21

221

221

2 ωωω mrmrmr

KO& .

Revenind la ecuaţiile (O) şi proiectându-le pe axele reperului mobil

Oxyz solidar cu sfera, obţinem sistemul de ecuaţii

( )

−=

=−

−+=

=

.35

6

,3

,0

,0

21

2

21

2

G!rmr

Zmr

!GY

X

B

o

Bo

o

ω

ω

Cu soluţiile

0=oX ; 21

2

5

2ωmrYo = ;

21

2

5

2ωmrG!B += ; 2

123 ωmrZo −= .

7.18. O roată de greutate 2P şi rază R situată într-un plan vertical,

roteşte în jurul axei AB cu viteza unghiulară constantă ω. În acelaşi

timp, axa AB se roteşte în jurul verticalei cu viteza unghiulară

constantă ω1.

Se cere să se determine reacţiunile din lagărele A şi B, dacă AB=2a

(fig. 7.18).


257

Fig.7.18

Rezolvare:

Formula momentului forţelor din legături:

⋅

−+×= θ

ωω

ωω cos1)( 11

z

xzzo

J

JJJM

rrr

Devine, ţinând seama de faptul că ωωrr

⊥1 şi θ=90°,

)( 1 ωωrrr

×= zo JM ;

prin urmare

ωω ⋅= 1zo JM .

Cuplul giroscopic este egal cu momentul oM , rezultă deci:

ωω ⋅=== 122 zBAo Ja!a!M ;

de unde:

a

J!! z

BA 21 ωω ⋅

== ;

22

2R

g

PmRJ z −= .

Reacţiunile din lagărele A şi B produse de cuplul giroscopic vor avea

expresiile:


258

⋅⋅

+=⋅

⋅+=+=

ga

Rp

ga

pRp!p! AA 2

12

12

12

' ωωωω;

⋅⋅

+=⋅

⋅+=+=

ga

Rp

ga

pRp!p! BB 2

12

12

12

' ωωωω.

7.19. Corpul din figură este alcătuit din două bare omogene OA şi BD

sudate în A având fiecare masa, m, egală cu 8 kg. Corpul se roteşte în

plan vertical în jurul articulaţiei O. Stiind că în momentul când bara

OA trece prin poziţia orizontală corpul are e viteză unghiulară ω=4

rad/s, se cere să se determine reacţiunea din O în această poziţie (fig.

7.19.a).

a b

Fig.7.19

În figura 7.19.b s-au reprezentat forţele ce acţionează asupra corpului

şi torsorul forţelor de inerţie în centrul de masă (C) al corpului.

Ecuaţiile scalare de echilibru dinamic sunt:


259

( )

=−⋅+=

=−⋅⋅+=

=⋅+−=

∑∑∑

.022;0

,022;0

,02;0

2)(

2

oooozi

ooi

ooi

mgrrmJM

mgrmYy

rmXx

ε

ε

ω

( )( )( )3

2

1

Din ecuaţia (3) se obţine:

o

o

oo

o

J

mgr

rmJ

mgr 2

2

22=

⋅+=ε ,

în care 4

3lro = şi

12

17

123

22

22 mlml

mlmlJo =++=

Atunci l

g

17

18=ε .

Din ecuaţia (1) rezultă: !rmX oo 962 2 =⋅= ω .

Din ecuaţia (2) rezultă: ( ) mgrgmY oo 22 −⋅⋅−= ε

( ) mgggmrgmY oo 17

7

34

2722 =

−=⋅−= ε ,

adică !Yo 315,32= .

Rezultă în final reacţiunea totală din articulaţia O:

!YXR ooo 293,10122 =+= .

7.20. O bară de greutate G şi lungime l este lăsată să oscileze liber din

poziţie iniţială de repaus (fig. 7.20). Se cer legile mişcării şi reacţiunile

dinamice din articulaţie.


260

Fig.7.20

Rezolvare:

Se aplică teorema momentului cinetic faţă de axa de rotaţie care trece

prin articulaţie

oo MKr&r = .

Momentul cinetic este

ωωrrrr

⋅=⋅= zoo JJK .

derivata sa în raport cu timpul este

kg

GlmlJK zo

rrr&r εεε33

22

=== .

Momentul forţelor faţă de aceeaşi axă este

kl

GM o

rrϕcos

2= .

Expresia teoremei devine:

kl

Gkg

Gl rrϕε cos

23

2

= şi se obţine legea acceleraţiei unghiulare


261

ϕε cos2

3

l

g= .

Legea vitezei unghiulare se obţine prin integrare:

ϕϕ

ϕωω

ε cos2

3

l

g

dt

d

d

d

dt

d=== ,

ϕϕωϕ

dl

gd

dt

dcos

2

3= ,

∫∫ =ϕω

ϕϕωω00

cos2

3d

l

gd ,

ϕω

sin2

3

2

2

l

g= ,

deci ϕω sin32

l

g= .

Pentru daterminarea reacţiunilor din articulaţie la fel se aplică teorema

impulsului faţă de centrul de masă al barei FHr&r = .

Impulsul rigidulul este GvmHr&r = , iar derivata sa în raport cu timpul

)( τνGGG aamamHrrr&r +== .

Rezultanta forţelor este ooo YXGRGFrrrrrr

++=+= .

Expresia teoremei devine: ooGG YXGaamrrrrr

++=+ )( τν .

Pentru exprimarea reacţiunii se proiectează această relaţie pe axele

sistemului de referinţă:

oXll

m =+⋅ )sin2

cos2

( 2 ϕεϕω

GYll

m o −=−⋅ )cos2

sin2

( 2 ϕεϕω .


262

Înlocuind expresiile vitezei şi acceleraţiei unghiulare se obţin

reacţiunile dinamice:

ϕ2sin2

9GX o =

şi

)cossin2(4

3 22 ϕϕ −+= GGYo .


263

CAPITOLUL VIII

DIAMICA SISTEMELOR DE RIGIDE

8.1. Se dă sistemul din fig. 8.1 în care se cunosc: masa corpului 1, 1m ,

momentul de inerţie al cilindrului 2, 2J şi raza lui 2R , masa 3m ,

momentul de inerţie 3J şi razele 3r , 3R , ale mosorului cilindric 3. Se

cere să se analizeze mişcarea acestui sistem. Se neglijează frecarea de

rostogolire.

Rezolvare: Teoretic pot exista două cazuri de mişcare ale sistemului:

rostogolirea roţii 3 pe bară sau rostogolirea roţii 3 combinată cu

alunecare.

a) Rostogolire pură. În acest caz mosorelul 3 se va rostogoli, fără a

luneca, pe bara orizontală şi ţinând seama de firul care asigură

legătură dintre corpuri şi care are aceeaşi viteză lineară de-a lungul lui

la un moment dat, se vor putea scrie condiţiile cinematice, care leagă

vitezele:

22Rv1 ω= ; )r-(Rv331 3ω= ; r v

333ω=

sau, sub forma compactă:

1

33

3

33

2

3

3

2

1

1

11

v

rR

r

rR

R

v

v

−

−=

ωω


264

Fig.8.1.a. Sistemul de corpuri Fig.8.1.b. Legături

cinematice

Cu 1v s-a notat viteza masei 1m , cu 2ω viteza unghiulară a cilindrului

2, cu 3v viteza centrului de masă a mosorelului 3 iar cu 3ω viteza

unghiulară a lui. Dacă relaţiile scrise se derivează în raport cu timpul

se vor obţine legăturile dintre acceleraţii:

1

33

3

33

2

3

3

2

1

1

11

a

rR

r

rR

R

a

a

−

−=

εε

unde notaţiile sunt evidente.

Problema se poate rezolva prin mai multe metode:


265

i) Utilizând teoremele fundamentale ale dinamicii, se vor putea scrie

relaţiile:

111 amSG1 =−

22221 )( εJRSS =−

33332 εJTrRS =−

332 amST =−

sau:

−

−

−

=

2

2

1

3

3

3

3

2

1

S-T

TrRS

RS(S

SG

a

a

m000

0J00

00J0

000m

33

22

11

2

1

)

εε

Fig.8.1.c. Separarea sistemului în părţi componente

Dacă se ţine seama de condiţiile cinematice se obţine:


266

−

−

−

=

−

−

2

2

1

3

3

2

1

S-T

TrRS

RS(S

SG

a

rR

r

rR

R

m000

0J00

00J0

000m

33

22

11

1

33

3

33

2 )1

11

.

Preînmulţind relaţia matriceală obţinută cu:

]11

1[33

3

332 rR

r

rRR −−

se obţine:

=

−

−

−− 1

33

3

33

2

33

3

332

1

11

]11

1[ a

rR

r

rR

R

m000

0J00

00J0

000m

rR

r

rRR

3

3

2

1

−

−

−

−−=

2

2

1

S-T

TrRS

RS(S

SG

rR

r

rRR 33

22

11

33

3

332

)]

111[ .

După efectuarea înmulţirilor matriceale se va obţine:

11233

233

233

322

21 ]

)()([ Ga

rR

rm

rR

J

R

Jm =

−+

−++

forţele de legătură reducându-se. Se notează cu:

])()(

[2

33

233

233

322

21

rR

rm

rR

J

R

Jmmred −

+−

++=


267

masa redusă a întregului sistem la modul de mişcare al primului corp.

De aici relaţia anterioară devine:

11 Gam 1red =

de unde:

red

1m

Ga

1

1= .

Corpul de masă 1m va avea o mişcare uniform accelerată.

b) Rostogolire şi alunecare. În acest caz corpul 3 se va rostogoli şi în

acelaşi timp va aluneca de-a lungul barei. Sistemul va avea două grade

de libertate. În acest caz condiţiile cinematice vor fi:

22Rv1 ω= ; )( 3331 rRuv 1

−=− ω ; 33ruv 3

ω=+ .

Facând calculele se obţine:

Fig.8.1.d. Rostogolire cu alunecare


268

2

1

R

v2 =ω ;

rR

u

rR

v3 −

−−

=333

1ω ; 33

3

33

31

rR

Ru

rR

rvv 3 −

−−

= ,

sau, concentrat:

−−

−

−−

−=

u

v

rR

R

rR

r

rRrR

1

R

v

v

3

3

3

3

33

3

3

2

1

&

1

33

33

2

1

01

01

ωω

Derivând relaţia scrisă în raport cu timpul se obţine:

−−

−

−−

−=

u

a

rR

R

rR

r

rRrR

1

R

a

a

3

3

3

3

33

3

3

2

1

&&

1

33

33

2

1

01

01

εε

Ecuaţiile de mişcare rămân cele stabilite anterior cu singura observaţie

că în acest caz forţa de aderenţă T atinge valoarea maximă 3GT µ= .

Înlocuind acceleraţiile în funcţie de acceleraţiile celor două

coordonate independente alese se obţine:

−

−

−

=

−−

−

−−

−

2

2

1

3

3

3

3

33

3

3

2

1

S-T

TrRS

RS(S

SG

u

a

rR

R

rR

r

rRrR

1

R

m000

0J00

00J0

000m

33

22

11

1

33

33

2 )1

01

01

&&


269

Preînmulţind sistemul de ecuaţii cu matricea:

−−

−−

−−

33

332

100

11

rR

R

rR

rR

r

rR

1

R

3

3

3

3

3

3

se va obţine:

=

−−

−

−−

−

−−

−−

−−u

a

rR

R

rR

r

rRrR

1

R

m000

0J00

00J0

000m

rR

R

rR

rR

r

rR

1

R

3

3

3

3

33

3

3

2

1

3

3

3

3

3

3

&&

1

33

33

2

33

332 1

01

01

100

11

−

−

−

−−

−−

−−=

2

2

1

3

3

3

3

3

3

S-T

TrRS

RS(S

SG

rR

R

rR

rR

r

rR

1

R

33

22

11

33

332)

100

11

Făcând calculele se obţine:

−

=

−+

−−−

−−

−−

−−

−+

−++

3

1

23

233

23

32

3

3332

3

3

23

3332

3

32

3

332

3

322

2

))))

))))

G

G

u

a

r(R

Rm

r(R

J

r(R

rRm

r(R

J

r(R

rRm

r(R

J

r(R

rm

r(R

J

R

Jm

1

3333

3333

1

µ&&

care reprezintă un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute,

acceleraţii şi a cărui rezolvare nu implică probleme deosebite.

ii) Dacă se utilizează principiul lui D'Alembert ecuaţiile de mişcare

devin ecuaţii de echilibru static, după introducerea forţelor şi

momentelor de inerţie (fig.10.5):


270

Fig.8.1.e. Analiza cinetostatică a sistemului

0111 =−− iFSG

0)( 2221 =−− iMRSS

0 M-Tr-RS i3332 =

032 =−− iFST

Dacă se introduc expresiile forţelor şi momentelor de inerţie:

111 amF i = ; 222 εJM i = ; 333 εJM i = ; 333 amF i = ,

se va obţine:

01111 =−− amSG

0)( 22221 =−− εJRSS

0 J-Tr-RS 33332 =ε

0332 =−− amST

relaţii care coincid cu cele obţinute la pct. i). Din acest punct

rezolvarea devine identică cu cazul i).

iii) Dacă nu interesează forţele de legătură se poate aplica teorema

energiei cinetice:


271

dLdEc =

sub forma mai utilă pentru calcule:

dt

dL

dt

dEc = .

Metoda este valabilă numai în cazul sistemelor cu un singur grad de

libertate întrucât dispunem de o singură relaţie. Energia cinetică a

sistemului este:

=+++= 233

233

222

211 2

1

2

1

2

1

2

1vmJJvmEc ωω

=

3

3

2

11

3321 ][2

1

v

v

m000

0J00

00J0

000m

vv

3

3

2

ωω

ωω .


=

−

−

−−= 2

1

33

3

33

2

1

33

3

332

1

11

]11

1[2

1v

rR

r

rR

R

m000

0J00

00J0

000m

rR

r

rRRE

3

3

2

c

2112

1vm red= .

Se obţine:

111 vamdt

dEred

c = .

Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare este 11dxGdL = , de

unde:


272

11vGdt

dL= .

Rezultă 1111 vGvam 1red = de unde se obţine cu uşurinţă acceleraţia:

redm

Ga

1

11 = .

iv) În cazul sistemelor cu un singur grad de libertate se poate utiliza

şi principiul lucrului mecanic virtual. Astfel lucrul mecanic virtual al

forţelor exterioare şi de inerţie la o deplasare compatibilă cu legăturile

va fi:

3333212111 )( dxFdMdMdxFGdL iii −−−−= θθ

Relaţiile dintre deplasările elementare sunt:

Fig.8.1.f


273

1

33

3

33

2

3

3

2

1

1

11

dx

rR

r

rR

R

dx

d

d

dx

−

−=

ωω

.

Înlocuind în aceste relaţii forţele şi momentele de inerţie cu expresiile

lor se va obţine:

1

33

3331

33

3331222111 ) dx

rR

ramdx

rR

rJdxRJdxam(G 1 −

−−

−−− εε

Deplasarea 1dx fiind arbitrară se poate simplifica şi ţinând seama de

legăturile dintre acceleraţii se va obţine în final expresia acceleraţiei

corpului de masă 1m care a fost deja calculată prin alte metode.

8.2. Se dă sistemul din fig. 8.2.a în care se cunosc: masa corpului 1,

1m , momentul de inerţie 1J şi raza lui 1R , momentul de inerţie 2J al

cilindrului 2 şi raza sa 2R , masa 3m , momentul de inerţie 3J şi raza 3R

ale cilindrului 3. Se cere să se analizeze mişcarea sistemului.

Rezolvare: Se vor considera cele două moduri de mişcare pe care le

poate avea sistemul:

a) Rostogolire pură. În acest caz cilindrul 3 se va rostogoli, fără a

luneca, pe planul orizontal şi ţinând seama de firul care asigură


274

legătură dintre corpuri şi care are aceeaşi viteză lineară de-a lungul lui

la un moment dat, se vor putea scrie condiţiile cinematice, care leagă

vitezele:

111 Rv ω= ; 221 R2v ω= ; 331 2R2v ω= ; 333 Rv ω= ,


1

1

11

v

1

R

1

R

2

R

v

v

3

2

3

3

2

1

1

=

ωωω

Cu 1v s-a notat viteza masei 1m , cu 1ω viteza unghiulară a cilindrului

1, cu 2ω viteza unghiulară a cilindrului 2, cu 3v viteza centrului de

masă a cilindrului 3 iar cu 3ω viteza unghiulară a lui. Dacă relaţiile

Fig.8.2.a. Sistemul de corpuri


275

scrise se derivează în raport cu timpul se vor obţine legăturile dintre

acceleraţii: 1

1

11

a

1

R

1

R

2

R

a

a

3

2

3

3

2

1

1

=

εεε



relaţiile:

1121 amSSG1 =−−

111211 εJRSRS =−

222332 εJRSRS =−

3333 εJTRRS3 =+

Fig.8.2.b. Legături cinematice


276

333 amTS =−

sau:

−

+

−

−

−−

=

TS

TRRS

RSRS

RSRS

SSG

a

a

m

J

J

J

m

3

11

3

33

2332

1211

21

3

3

2

1

3

3

2

1

1

0000

0000

0000

0000

0000

εεε

Daca se ţine seama de condiţiile cinematice se obţine:

TS

TRRS

RSRS

RSRS

SSG

a

1

R

1

R

2

R

m

J

J

J

m

3

1

3

2

−

+

−

−

−−

=

3

33

2332

1211

21

1

1

3

3

2

1

111

0000

0000

0000

0000

0000

Fig.8.2.c. Analiza cinetostatică a sistemului


277

Preînmulţind relaţia matriceală obţinută cu ]1121

1[321 RRR

se obţine:

a

1

R

1

R

2

R

m

J

J

J

m

RRR

3

2

=

1

1

3

3

2

1

1

321

11

0000

0000

0000

0000

0000

]1121

1[

−

+

−

−

−−

=

TS

TRRS

RSRS

RSRS

SSG

RRR3

1

3

33

2332

1211

21

321

]1121

1[


11323

322

221

11 ]

4[ Gam

R

J

R

J

R

Jm =++++


323

322

221

111

4m

R

J

R

J

R

Jmm red ++++=


De aici relaţia anterioară devine:

111 Gam red =

de unde:

redm

Ga

1

11 = .


278

b) Rostogolire şi alunecare. În acest caz corpul 3 se va rostogoli şi în

acelaşi timp va aluneca de-a lungul planului orizontal. Condiţiile

cinematice vor fi:

În acest caz condiţiile cinematice vor fi:

11Rv1 ω= ; 2212 Rv ω= ; 331 22 Ruv ω=− & ; 333 Ruv ω=− & .


−

=

u

v

1

2R

1-

R

1

0R

2

0R

1

v

v

33

2

1

1

1

&

1

3

3

2

2

1

01

ωωω

Derivând relaţia scrisă în raport cu timpul se obţine:

Fig.8.2.d


279

−

=

u

a

1

2R

1-

R

1

0R

2

0R

1

a

a

33

2

1

1

1

&&

1

3

3

2

2

1

01

εεε

Ecuaţiile de mişcare rămân cele stabilite anterior cu singura observaţie

că în acest caz forţa de aderenţă T atinge valoarea maximă

3GT µ= .

Înlocuind acceleraţiile în funcţie de acceleraţiile celor două

coordonate independente alese se obţine:

−

+

−

−

−−

=

−

TS

TRRS

RSRS

RSRS

SSG

u

a

1

2R

1-

R

1

0R

2

0R

1

m

J

J

J

m

3

1

33

2

1

3

33

2332

1211

21

1

3

3

2

1

1

2

1

01

0000

0000

0000

0000

0000

&&

Preînmulţind sistemul de ecuaţii cu matricea:

−−2

1

2

1000

1121

1

3

321

R

RRR,

se va obţine:


280

=

−

−− u

a

1

2R

1-

R

1

0R

2

0R

1

m

J

J

J

m

R

RRR

33

2

1

&&

1

3

3

2

1

1

3

321

2

1

01

0000

0000

0000

0000

0000

2

1

2

1000

1121

1

−

+

−

−

−−

−−=

TS

TRRS

RSRS

RSRS

SSG

R

RRR

3

1

3

33

2332

1211

21

3

321

2

1

2

1000

1121

1


−

=

++−

+−++++

3

11

323

3323

3

323

332

3

322

221

11

442

2

4

G

G

u

a

m

R

Jm

R

J

m

R

Jm

R

J

R

J

R

Jm

µ&&

de unde:

−

++++−

−+=

3

1

323

322

221

11

323

3

323

3323

3

1

4

2

2441

G

G

mR

J

R

J

R

Jm

m

R

J

m

R

Jm

R

J

u

a

µ∆&&

cu:

2

323

3323

332

3

322

221

11 244

4

+−−

+

++++=

m

R

Jm

R

Jm

R

J

R

J

R

Jm∆

Notaţiile sunt cele de la capitolul precedent.


281



momentelor de inerţie (fig.8.2.e):

0

0

0

0

0

33

333

22332

11211

121

=−−

=−+

=−−

=−−

=−−−

i

i

3

i

i

i

1

FTS

MTRRS

MRSRS

MRSRS

FSSG


111 amFi = ; 111 εJM

i = ; 222 εJMi = ; 333 εJM i = ; 333 amF i = , se

va obţine:

0

0

0

0

0

333

3333

222332

111211

1121

=−−

=−+

=−−

=−−

=−−−

amTS

JTRRS

JRSRS

JRSRS

amSSG

3

1

ε

ε

ε

Fig.8.2.e


282

Din acest punct rezolvarea devine identică cu cazul precedent.

iii) Dacă nu interesează forţele de legătură se poate aplica teorema

energiei cinetice:

dLdEc =


dt

dL

dt

dEc = .

Energia cinetică a sistemului este:

=++++= 233

233

222

211

211 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1vmJJJvmEc ωωω

=

3

3

2

1

3

3

2

1

1

33211

0000

0000

0000

0000

0000

][2

1

v

v

m

J

J

J

m

vv

1

ωωω

ωωω .

Dacă se ţine seama de relaţiile cinematice se obţine:

211

21

1

3

3

2

1

1

321 2

1

11

0000

0000

0000

0000

0000

]1121

1[2

1vmv

1

R

1

R

2

R

m

J

J

J

m

RRRE red

3

2c =

=

Se obţine:

111 avmdt

dEred

c = .


283

Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare este 11dxGdL = de

unde:

11vGdt

dL= .

Rezultă: 11111 vGa vm red = de unde se obţine cu uşurinţă acceleraţia:

redm

Ga

1

11 = .

iv) Să rezolvăm problema utilizând principiul lucrului mecanic virtual.

Lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare şi de inerţie la o deplasare

compatibilă cu legăturile va fi:

0) 3333221111 =−−−−−= dxFdMdMdMdxF(GdL iiiii

1 θθθ

Legăturile dintre deplasările elementare sunt:

1

1

11

dx

1

R

1

R

2

R

xd

d

d

d

xd

3

2

3

3

2

1

1

=

θθθ

Înlocuind aceste relaţii forţele şi momentele de inerţie cu expresiile lor

se va obţine:

02

) 133

3

133

2

122

1

111111 =−−−−− dxam

R

dxJ

R

dxJ

R

dxJdxam(G1 εεε .


284




8.3. Se dă sistemul din fig. 8.3.a în care se cunosc: masa corpului 1,

1m ; momentul de inerţie 2J al mosorului 2 şi razele sale 2R , 2r ;

masa 3m , momentul de inerţie 3J şi razele 3R , 3r ale mosorului 3. Se

cere să se analizeze mişcarea sistemului.

Rezolvare: Dacă se ţine seama de firele care asigură legăturile dintre

corpuri se pot scrie relaţiile dintre vitezele lineare şi unghiulare ale

diferitelor corpuri:

221 Rv ω= ; )( 33 rR r 322 +=ωω ; 333 Rv ω= ,

Fig.8.3.a Fig.8.3.b


285


1

33

3

33

2

3

3

2

1

)(

)(

11

v

rRR

Rr

rRR

r

R

v

v

2

2

2

2

+

+=

ωω

.

Cu 1v s-a notat viteza masei 1m , cu 2ω viteza unghiulară a

cilindrului 2, cu 3v viteza centrului de masă a cilindrului 3 iar cu 3ω

viteza unghiulară a lui. Dacă relaţiile scrise se derivează în raport cu

timpul se vor obţine legăturile dintre acceleraţii:

1

33

3

33

2

3

3

2

1

)(

)(

11

a

rRR

Rr

rRR

r

R

a

a

2

2

2

2

+

+=

εε

,


La fel ca la celelalte două

probleme studiate anterior se vor

utiliza mai multe metode de

analiză:


relaţiile:

1111 amSG =−

Fig.8.3.c. Separarea sistemului

în componente


286

222221 εJrSRS =−

333332 εJRSrS =−

33323 amGSS =−+ ,

sau:

−+

−

−

−

=

332

3332

2221

11

3

3

2

11

GSS

RSrS

rSRS

SG

a

a

m000

0J00

00J0

000m

3

3

2

εε


−+

−

−

−

=

+

+

332

3332

2221

11

1

33

3

33

2

1

)(

)(

11

GSS

RSrS

rSRS

SG

a

rRR

Rr

rRR

r

R

m000

0J00

00J0

000m

2

2

2

2

3

3

2

Preînmulţind relaţia matriceală obţinută cu:

])()(

11[

33

3

332 rRR

Rr

rRR

r

R 2

2

2

2

++

se obţine:

=

+

+

++ 1

33

3

33

2

1

33

3

332

)(

)(

11

)()(

11[ a

rRR

Rr

rRR

r

R

m000

0J00

00J0

000m

rRR

Rr

rRR

r

R

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2


287

−+

−

−

−

++=

332

3332

2221

11

33

3

332 )()(

11[

GSS

RSrS

rSRS

SG

rRR

Rr

rRR

r

R 2

2

2

2


)()()( 332

323112

3322

23

22

3233

22

223

1rRR

RrGGa

rRR

Rrm

rRR

rJ

R

Jm

2

2

2

+−=

++

+++ ,


233

22

23

22

3233

22

223

1 )()( rRR

Rrm

rRR

rJ

R

Jmm

2

2

21red +

++

++=


De aici se obţine:

rRR

RrGGam

2

211red1 )( 33

33 +

−=

de unde:

m

rRR

RrGG

a red1

2

21

1

)( 33

33 +

−=

Condiţia ca sistemul să se mişte în sensul considerat de noi în

problemă şi nu în sens invers este ca:

0)( 33

33 ≥

+−

rRR

RrGG

2

21 .

Dacă relaţia nu este respectată atunci roata 3 va coborî iar corpul 1 va

urca.


288



momentelor de inerţie (fig. 8.3.d):

0111 =−− iFSG

022221 =−− iMrSRS

033332 =−− iMRSrS

03323 =−−+ iFGSS .


111 amFi = ; 222 εJM

i = ; 333 εJM i = ; 333 amF i = ,

se va obţine:

01111 =−− amSG

0222221 =−− εJrSRS

0333332 =−− εJRSrS

033323 =−−+ amGSS ,

relaţii care coincid cu cele obţinute

anterior. Din acest punct rezolvarea

devine identică cu cazul precedent.

iii) Dacă nu interesează forţele de

legătură se poate aplica teorema

energiei cinetice:

dLdEc =


Fig.8.3.d. Analiza cinetostatică

a sistemului


289

dt

dL

dt

dEc = .


=+++= 233

233

222

211 2

1

2

1

2

1

2

1vmJJvmEc ωω

=

3

3

2

11

3321 ][2

1

v

v

m000

0J00

00J0

000m

vv

3

3

2

ωω

ωω .


=

+

+

++= 2

1

332

32

332

2

2

3

3

2

1

332

32

332

2

2

)(R

r)(R

r

11

m000

0J00

00J0

000

])(R

r

)(R

r11[

2

1v

rR

R

rR

Rm

rR

R

rRREc

2112

1vm red= .

Se obţine:

vamdt

dE 11red

c1= .

Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare este:

331 dxGdxGdL 1 −= ,

de unde:

vrRR

RrGvGvGvG

dt

dL 1

2

211 )( 33

331331 +

−=−= .

Rezultă:


290

v rRR

RrGvGvam 1

2

211red1 )( 33

3311 +

−=

de unde se obţine cu uşurinţă acceleraţia:

m

rRR

RrGG

a red1

2

21

1

)( 33

33 +

−=

iv) Să rezolvăm problema utilizând principiul lucrului mecanic virtual.

Lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare şi de inerţie la o deplasare

compatibilă cu legăturile va fi:

3333212111 )( dxFdMdMdxFGdL iii −−−−= θθ .

Relaţiile dintre deplasările elementare este:

dx

rRR

Rr

rRR

r

R

dx

d

d

dx

1

2

2

2

2

3

3

2

1

+

+=

)(

)(

11

33

3

33

2

θθ

Înlocuind în aceste relaţii forţele şi momentele de inerţie cu

expresiile lor se va obţine:

0)()(

)332

12333

332

1233

2

122111 =

+−

+−−−

rRR

dxrRam

rRR

dxrJ

R

dxJdxam(G1 εε





291

8.4. Să se determine acceleraţia cilindrului care se rostogoleşte şi

alunecă pe planul înclinat din fig.8.4.a.

Fig.8.4.a

Cilindrul, fiind ţinut de către fir, va aluneca pe suprafaţa planului

înclinat. Asupra cilindrului vor acţiona forţele din fig.8.4.a. Scriem

teoremele fundamentale:

εα

JTRSR

maTSG

=−

=−−sin

sau:

−

−−=

TRSR

TSGa

J

m αε

sin

0

0.

Condiţiile cinematice se scriu: Rv ω= , deci Ra ε= sau:

aR

a

=

/1

1

ε

Dacă înlocuim aceste condiţii în ecuaţiile de mişcare se obţine:


292

−

−−=

TRSR

TSGa

RJ

m αsin

/1

1

0

0

şi dacă le preînmulţim cu [ ]R/11 se obţine:

Fig.8.4.b. Condiţiile cinematice

[ ] [ ]

−

−−=

TRSR

TSGRa

RJ

mR

αsin/11

/1

1

0

0/11

sau:

TRGaR

Jm 2sin

2−=

+ α ,

unde: αµ cosGT = . Rezultă acceleraţia:

+

−=

2

2sin

R

Jm

TRGa

α .

8.5. Să se determine acceleraţia corpului de masă m1 din fig. 8.5.


293

Fig.8.5.a şi b

Fig.8.5.c

Se vor aplica teoremele fundamentale pentru fiecare din corpuri:

1111 GSam −=

111211 RSRSJ −=ε

αµα cossin 222322 GSGSam −−−=

2322 RSMJ m −=ε

sau:


294

−

−−−

+−

+−

=

23

2223

1211

11

2

2

1

1

2

2

1

1

cossin

000

000

000

000

RSM

GSGS

RSRS

SG

a

a

J

m

J

m

m

αµαε

ε

Legăturile dau relaţiile între viteze:

221121 RRvv ωω ===

sau:

1

2

1

2

2

1

1

/1

1

/1

1

v

R

R

v

v

=

ω

ωşi 1

2

1

2

2

1

1

/1

1

/1

1

a

R

R

a

a

=

ε

ε

Rezultă:

−

−−−

+−

+−

=

23

2223

1211

11

1

2

1

2

2

1

1

cossin

/1

1

/1

1

000

000

000

000

RSM

GSGS

RSRS

SG

a

R

R

J

m

J

m

m

αµα

Prin preînmulţire cu: [ ]21 /11/11 RR se obţine:

[ ] =

1

2

1

2

2

1

1

21

/1

1

/1

1

000

000

000

000

/11/11 a

R

R

J

m

J

m

RR

[ ]

−

−−−

+−

+−

=

23

2223

1211

11

21 cossin/11/11

RSM

GSGS

RSRS

SG

RR

m

αµα.

Dacă se fac înmulţirile, se obţine:


295

αµα cossin 221122

222

1

11 GGGMa

R

Jm

R

Jm m −−−=

+++

deci:

22

222

1

11

2211

cossin

R

Jm

R

Jm

GGGMa m

+++

−−−=

αµα

8.6. Să se determine acceleraţia corpului de masă m1 din fig.8.6.a.

Fig.8.6.a şi b

Fig.8.6.c


296


1111 SGam −=

121111 RSRSJ −=ε

232222 RSRSJ −=ε

343333 RSRSJ −=ε

2422 GSam −=

sau:

−

−

−

−

−

=

24

3433

2322

1211

11

2

3

2

1

1

2

3

2

1

1

0000

0000

0000

0000

0000

GS

RSRS

RSRS

RSRS

SG

a

a

m

J

J

J

m

εεε

.


221121 RRvv ωω ===

sau:

1

3

2

1

2

3

2

1

1

1

/1

/1

/1

1

v

R

R

R

v

v

=

ωωω

şi 1

3

2

1

2

3

2

1

1

1

/1

/1

/1

1

a

R

R

R

a

a

=

εεε

Rezultă:

−

−

−

−

−

=

24

3433

2322

1211

11

1

3

2

1

2

3

2

1

1

1

/1

/1

/1

1

0000

0000

0000

0000

0000

GS

RSRS

RSRS

RSRS

SG

a

R

R

R

m

J

J

J

m


297

Prin preînmulţire cu: [ ]1/1/1/11 321 RRR se obţine:

[ ] =

1

3

2

1

2

3

2

1

1

321

1

/1

/1

/1

1

0000

0000

0000

0000

0000

1/1/1/11 a

R

R

R

m

J

J

J

m

RRR

[ ]

−

−

−

−

−

=

24

3433

2322

1211

11

321 1/1/1/11

GS

RSRS

RSRS

RSRS

SG

RRR .


211222

222

221

11 GGam

R

J

R

J

R

Jm −=

++++

deci:

++++

−=

222

222

221

11

211

mR

J

R

J

R

Jm

GGa

8.7. Să se determine acceleraţia corpului de masă m1 din fig.8.7.a.


1111 sin SGam −= α

111 TRJ =ε

222122 RSrSJ −=ε


298

3233 GSam −=

sau:

−

−

−

=

32

2221

1

1

3

2

1

1

3

2

1

1 sin

000

000

000

000

GS

RSrS

TR

SG

a

a

m

J

J

m α

εε

Fig.8.7.a şi b

Fig.8.7.c


221121 RRvv ωω ===

sau:


299

1

3

2

1

2

3

2

1

1

1

/1

/1

/1

1

v

R

R

R

v

v

=

ωωω

şi 1

3

2

1

2

3

2

1

1

1

/1

/1

/1

1

a

R

R

R

a

a

=

εεε

Rezultă:

−

−

−

−

−

=

24

3433

2322

1211

11

1

3

2

1

2

3

2

1

1

1

/1

/1

/1

1

0000

0000

0000

0000

0000

GS

RSRS

RSRS

RSRS

SG

a

R

R

R

m

J

J

J

m

Prin preînmulţire cu: [ ]1/1/1/11 321 RRR se obţine:

[ ] =

1

3

2

1

2

3

2

1

1

321

1

/1

/1

/1

1

0000

0000

0000

0000

0000

1/1/1/11 a

R

R

R

m

J

J

J

m

RRR

[ ]

−

−

−

−

−

=

24

3433

2322

1211

11

321 1/1/1/11

GS

RSRS

RSRS

RSRS

SG

RRR .


211222

222

221

11 GGam

R

J

R

J

R

Jm −=

++++

deci:


300

++++

−=

222

222

221

11

211

mR

J

R

J

R

Jm

GGa

8.8. Mecanismul bielă-manivelă. Ne propunem să determinăm

ecuaţiile de mişcare pentru un mecanism bielă manivelă.

Fig.8.8. Mecanismul bielă manivelă

Se dau: r - raza manivelei; l – lungimea bielei; a – poziţia centrului

de masă al manivelei faţă de punctul A; b – poziţia centrului de

masă al bielei faţă de punctul B.

Condiţii cinematice (legături olonome):

;sin

;cos

1

1

α

α

ay

ax

C

C

=

=

;sinsin

;coscos

2

2

βα

βα

bry

brx

C

C

−=

+=


301

;sinsin

;coscos

βα

βα

lr

lrxC

=

+=

Dacă se derivează ultima relaţie se obţine:

ββαα sincos && lr =

sau, dacă se ţine seama că:

221121 ;;; εωεωωβωα ==−== &&&&

rezultă:

βωαω coscos 21 lr −=

sau: 112 cos

cosωω

βα

ω tl

r=−=

şi:

βωβεαωαε sincossincos 222

211 llrr −−=−

de unde:

211

21

212 cos

sin

cos

sin

cos

cosωεω

ββ

βα

εβα

ε uttl

r

l

r+=

−+−=

Atunci primele relaţii, derivate, vor da:

;sin11 αωaxC −=&

;cos11 αωayC =&

( ) ;sinsinsinsin 1212 βαωβωαω btrbrxC +−=+−=&

( )βαωβωαω coscoscoscos 1212 btrbryC +=+=& ;

( )βαωβωαω sinsinsinsin 121 ltrlrxC +−=+−=&

sau, într-o scriere convenabilă pentru calculele următoare:


302

111

1

1

2

2

2

1

1

1

sinsin

coscos

sinsin

1

cos

sin

ωω

βα

βαβα

αωαω

ω

ωA

ltr

t

btr

btr

a

a

x

y

x

y

x

C

C

C

C

C

=

+−

+

+−

−

=

&

&

&

&

&

Dacă se derivează încă o dată condiţiile cinematice, se va obţine:

;cossin 2111 αωαε aaxC −−=&&

;sincos 2111 αωαε aayC −=&&

( ) ( ) ;sinsincossinsin

cossincossin21

21

222

2112

ωββαεβα

βωβεαωαε

bubtrbtr

bbrrxC

+−−++−=

=−+−−=&&

( ) ( ) ;cossinsincoscos

sincossincos21

21

222

2112

ωββαεβα

βωβεαωαε

bubtrbtr

bbrryC

++−++=

=++−=&&

( ) ( ) ;cossinsincoscos

sincossincos21

21

222

211

ωββαεβα

βωβεαωαε

lultrltr

llrryC

++−++=

=++−=&&

sau:

21

2

2

21

2

2

2

1

1

1

cossinsin

cossinsin

sinsincos

0

sin

cos

sinsin

coscos

sinsin

1

cos

sin

ω

ββα

ββαββα

α

α

ε

βα

βαβα

α

α

ε

ε

++−

++−

+−−

−

−

+

+−

+

+−

−

=

lultr

u

bubtr

bubtr

a

a

ltr

t

btr

btr

a

a

x

y

x

y

x

C

C

C

C

C

&&

&&

&&

&&

&&

sau în scriere compactă:

21211 ωε AAa +=


303

Ecuaţiile de mişcare

Pot fi obţinute în mai multe moduri. Dacă se aplică teoremele

fundamentale pentru rigid, considerându-se mecanismul ca fiind

compus din trei rigide, se va putea scrie:

Pentru bara AB se obţin două ecuaţii din teorema impulsului şi

una considerând teorema momentului cinetic;

BAC

BAC

YYym

XXxm

+=

+=

11

11

&&

&&

ααααε cos2

sin2

cos2

sin211

rY

rX

rY

rXMJ BBAAmC +−−+=

Pentru bara BC se obţine analog:

CBC

CBC

YYym

XXxm

+−=

+−=

22

22

&&

&&

ββββε cos2

sin2

cos2

sin222

lY

lX

lY

lXJ BBCCC +++=

Culisa C va avea o mişcare de translaţie rectilinie, deci se va

putea scrie:

CrCXFxm −=&&3 .

Dacă se scriu toate ecuaţiile grupate se obţine:

=

C

C

C

C

C

C

C

x

y

x

y

x

m

J

m

m

J

m

m

&&

&&

&&

&&

&&

2

2

2

1

1

1

3

2

2

2

1

1

1

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

ε

ε


304

−

++−+−

+−

+−

−+−−−+

+

+

Cr

BBCC

CB

CB

BBAAm

BA

BA

XF

bYbXblYblX

YY

XX

arYarXaYaXM

YY

XX

ββββ

αααα

cossincos)(sin)(

cos)(sin)(cossin

Fig.8.8.b. Separarea sistemului în părţile componente

sau, dacă se ţine seama de condiţiile cinematice:

=

++−

++−

+−−

−

−

+

+−

+

+−

−

)

cossinsin

cossinsin

sinsincos

0

sin

cos

sinsin

coscos

sinsin

1

cos

sin

(

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

2

2

21

3

2

2

2

1

1

1

ββα

ββαββα

αα

ε

βα

βαβα

αα

lultr

u

bubtr

bubtr

a

a

ltr

t

btr

btr

a

a

m

J

m

m

J

m

m

C

C


305

−

−−

−

−

−−−−

+

=

C

C

B

B

A

A

r

m

Y

X

Y

X

Y

X

blblbb

araraa

F

M

010000

cos)(sin)(cossin00

101000

010100

00cos)(sin)(cossin

001010

000101

0

0

0

0

0

ββββ

αααα

Dacă ţinem seama de notaţiile anterioare, se poate scrie sub formă

grupată:

[ ] ( ) [ ] R6QQQAAmextlegext +=+=+ 2

1211 ωε


Lucrul mecanic al forţelor de legătură

Lucrul mecanic al forţelor de legătură poate fi scris:

[ ] dtQAdtQAq

dtQQdL

leglegTT

legTlegT

111 ω

∆∆δ

==

===

&

&

Dar, avem relaţia:

=legTQA1

[ ]xltrtbtrbtraa βαβαβααα sinsincoscossinsin1cossin +−++−−=

=

−

−−

−

−

−−−−

C

C

B

B

A

A

Y

X

Y

X

Y

X

blblbb

araraa

x

010000

cos)(sin)(cossin00

101000

010100

00cos)(sin)(cossin

001010

000101

ββββ

αααα


306

=

−++

−+−++−

+−−−+

+−+−−−

−

+−

=

C

C

B

B

A

A

T

Y

X

Y

X

Y

X

bltbtr

ltrbltbtr

btbtrara

btbtrara

aa

aa

ββαβαββαββαααββααα

αααα

cos)(coscos

sinsinsin)(sinsin

coscoscoscos)(cos

sinsinsinsin)(sin

coscos

sinsin

[ ]

βα

βα

cos

cos

0000000

coscos

0

0

0

0

0

l

rt

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

tlr C

C

B

B

A

A

C

C

B

B

A

A

T

−=

=

=

+

=

Vectorul legQ reprezintă torsorul forţelor de legătură generalizate,

corespunzătoare coordonatelor generalizate considerate. Rezultă

ecuaţia de mişcare:

=++−+−++

+++−++

++−−+−+

+−+

++−++++

++−+++

21

232

22

22

21

21

12

32

22

2

221

221

221

)]cossinsin)(sinsin(

)cossinsin)(coscos(

)sinsincos)(sinsin(

cossincossin[

])sinsin()coscos(

)sinsin(cossin[

ωββαβα

ββαβα

ββαβα

αααα

εβαβα

βααα

lultrltrmtuJ

bubtrbtrm

bubtrbtrm

amam

ltrmtJbtrm

btrmJamam

C

C

C

)sinsin( βα ltrFM rm +−+=

Dacă se efectuază calculele, se obţine:

+++++++ 222

222

221

21 )cos(2[ tJrbtmtbmrmJam CC βα

−++−++−+ )cos()cos(([])sinsin( 221

23 βαβαεβα rburbtmltrm


307

+++−+− tuJtubtbrbt C 2232 )2cos)sin( ββα

=++−+−+ 21

23 )]cossinsin)(sinsin( ωββαβα lultrltrm

)sinsin( βα ltrFM rm +−+=

Dacă se notează:

[ ] ;])sinsin()cos(2

[)(2

32

22

222

221

2111

βαβα

α

ltrmtJrbtm

tbmrmJamAmAJ

C

C

T

+−++++

++++==

[ ] == 21)(' AmAJTα


2cos)sin()cos()cos(([2

322

3222

ββαβα

ββαβαβα

lultrltrmtuJtub

tbrbtrburbtm

C ++−+−+++

+−+−++−=

( )βαα sinsin)( ltrFMM rm +−+=

se obţine ecuaţia de mişcare sub forma:

)()(')( 2 ααααα MJJ =+ &&&

Reacţiunile se pot determina în acest caz cu uşurinţă.

Teorema energiei cinetice

Fiind un sistem cu un grad de libertate se poate aplica teorema

energiei cinetice şi se obţine:

21

3

2

2

2

1

1

1

sinsin

coscos

sinsin

1

cos

sin

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

sinsin

coscos

sinsin

1

cos

sin

2

1ω

βα

βαβα

αα

βα

βαβα

αα

+−

+

+−

−

+−

+

+−

−

=

ltr

t

btr

btr

a

a

m

J

m

m

J

m

m

ltr

t

btr

btr

a

a

E

C

C

T

c


308

221

23

22

222

221

21

)(2

1))sinsin(

)cos(2(2

1

ααωβα

βα

&JltrmtJ

rbttbmrmJamE

C

Cc

=+−++

++++++=

Lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare este:

( )[ ] αααβαα dMdltrFMdxFdMdL rmCrm )(sinsin =+−+=+=Avem:

+

+−

+

+−

−

+−

+

+−

−

= 11

3

2

2

2

1

1

1

sinsin

coscos

sinsin

1

cos

sin

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

sinsin

coscos

sinsin

1

cos

sin

εω

βα

βαβα

αα

βα

βαβα

αα

ltr

t

btr

btr

a

a

m

J

m

m

J

m

m

ltr

t

btr

btr

a

a

dt

dE

C

C

T

c

31

2

2

2

3

2

2

2

1

1

1

cossinsin

cossinsin

sinsincos

0

sin

cos

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

sinsin

coscos

sinsin

1

cos

sin

2

1ω

ββα

ββαββα

αα

βα

βαβα

αα

++−

++−

+−−

−

−

+−

+

+−

−

+

lultr

u

bubtr

bubtr

a

a

m

J

m

m

J

m

m

ltr

t

btr

btr

a

a

C

C

T

31

23

2232

2211

23

222

222

221

21


)2cos)sin(

)cos()cos(([])sinsin(

)cos(2[

ωββαβα

ββα

βαβαεωβα

βα

lultrltrm

tuJtubtbrbt

rburbtmltrm

tJrbtmtbmrmJamdt

dE

C

CCc

++−+−+

+++−+−

−++−++−+

+++++++=

şi dacă ţinem seama de teorema energiei cinetice pusă sub forma:

dt

dL

dt

dEc = ,

după simplificare cu 1ω rezultă relaţia obţinută anterior când am

utilizat teoremele fundamentale ale dinamicii.


309

Principiul lucrului mecanic virtual

Fig.8.8.c

3322222

111113

C

ii

C

i

yC

i

x

i

C

i

yC

i

xCRm

xFMyFxF

MyFxFxFML

δδβδδ

δαδδδδαδ

−+−−

−−−−+= ;

δαβαδ ⋅+−= )sinsin(3 ltrxC

; δααωδ ⋅−= sin11 axC

;

δααωδ ⋅= cos11 ayC ; ( ) δαβαδ ⋅+−= sinsin2 btrx

C ;

( ) δαβαδ ⋅+= coscos2 btryC

; δαδβ ⋅= t ;

111 C

i

xxmF &&= ; 111 C

i

y ymF &&= ; 222 C

i

x xmF &&= ; 222 C

i

y xmF &&= ;

1011 εJM i = ; 222 εC

i JM = ; 333 C

i xmF &&= ;

( )( ) ( )( ) δαβαδαεδαβα

δαβαδαεδααω

δααωδαβαδαδ

⋅+−−++−

−+−−−−

−−−⋅+−+=

)sinsin(coscos

sinsincos

sin)sinsin(

332222

2211111

111

ltrxmtJbtrym

btrxmJaym

axmltrFML

CC

CC

CRm

&&&&

&&&&

&&

( )( )( )( ) −−−−

−−−−−

−+−+=

1112111

12111

cossincos

sincossin

)sinsin([

εαωαωαε

αωαωαε

βαδ

Jaaam

aaam

ltrFML Rm

( ) ( )[ ]( )−+−+−−++−− βαωββαεβα sinsinsinsincossinsin 21

212 btrbubtrbtrm

( ) ( )[ ]( )++++−++− βαωββαεβα coscoscossinsincoscos 21

212 btrbubtrbtrm


310

( ) ( )[ ] 0)]sinsin(cossinsincoscos 21

21322 =⋅+−++−++−+ δαβαωββαεβαε ltrlultrltrmtJ

Se obţin, în final, relaţiile determinate anterior prin alte metode.

8.9. Să se scrie, utilizând ecuaţiile lui Lagrange, ecuaţiile de mişcare

ale unui punct material de masă m, care alunecă, fără frecare, în

interiorul unui arc de cicloidă.

Fig.8.9

Rezolvare: Ecuaţiile parametrice ale cicloidei sunt, pentru sistemul de

coordonate din figură:

( )θθ sin−= ax ; ( )θcos1+= ay .

Componentele vitezei sunt:

( )θθ cos1−= && ax ; θθ sin&& ay −= .

De unde se obţine energia cinetică:

( )θθ cos122 −= &maT .

Energia potenţială este:

( )θcos1+== mgamgyV ,

iar lagrangeanul L = T – V rezultă:

( ) ( )θθθ cos1cos122 +−−= mgamaL & .


311

Pentru determinarea ecuaţiilor de mişcare se aplică ecuaţiile lui

Lagrange. Se obţine:

( )θθθ

cos12 2 −=∂∂

&&

maL

; θθθθ

sinsin2mgama

L+=

∂∂

& ,

iar ecuaţiile de mişcare devin:

( ) 0sin2

sin2

1cos1 2 =−+− θθθθθ

a

g&&& .

Dacă facem schimbarea de funcţie:

2cos

θ=u

se obţine:

2sin

2

1 θθ&−=

dt

du ;

2cos

4

1

2sin

2

1 22

2 θθ

θθ &&& −−=

dt

ud .

Ecuaţia de mişcare devine, în noua variabilă:

022

2

=+ udt

udω

unde s-a notat: a

g

42 =ω .

Perioada mişcării este:

g

aT

42

2π

ωπ== .

Punctul material oscilează în jurul poziţiei de echilibru static cu

perioada cu care un pendul simplu matematic de lungime l=4a

oscilează în jurul verticalei (pendulul cicloidal).


312

8.10. Să de determine ecuaţiile de mişcare a două corpuri de mase m1

şi m2, legate prin resoarte având aceeasi constanta elastica k.

Fig.8.10


22

222

211 xmxm

T&&

+= .

Energia potenţială, acumulată în resoarte, este:

22

)(

2

22

212

21 kxxxkkx

V +−

+= .

Lagrangeanul devine:

+

−+−+=−=

22

)(

222

22

212

21

222

211 kxxxkkxxmxm

VTL&&

)( 1211

xxkkxx

L−+−=

∂∂

; 2122

)( kxxxkx

L−−−=

∂∂

;

111

xmx

L&

&=

∂∂

; 222

xmx

L&

&=

∂∂

.


02 2111 =−+ kxkxxm &&

02 1222 =−+ kxkxxm &&

sau:

=

−

−+

0

0

2

2

0

0

2

1

2

1

2

1

x

x

kk

kk

x

x

m

m

&&

&&


313

CAPITOLUL IX

VIBRAŢIILE SISTEMELOR MECAICE

9.1. Să se determine pulsaţia proprie ale sistemului mecanic din

fig. 9.1.

Fig.9.1

Rezolvare: La deformarea resortului cu lungimea 3xδ scripetele se

roteşte cu unghiul 2δθ iar masa m1 va coborî cu distanţa 1xδ .

Avem relaţiile cinematice:

.; 221223 δθδδθδ rxRx ==

Dacă le derivăm în raport cu timpul obţinem relaţiile între viteze:

.; 221223 ωω rvRv ==

şi între acceleraţii:


314

.; 221223 εε raRa ==

Vom putea scrie teoremele fundamentale pentru scripete şi pentru

masa care coboară. Pentru scripete, teorema momentului cinetic

dă:

322222 SRSrJ −=ε

unde forţa 3S este egală cu forţa elastică care apare în resort:

33 kxFS e ==

Pentru masa m1 teorema impulsului ne dă:

2111 SGam −=

Cele două ecuaţii pot fi scrise împreună:

−

−=

3222

21

2

1

2

1

0

0

kxRSr

SGa

J

m

ε;

sau:

−

=

+

22

21

2

1222

1

2

1

0

00

0

0

Sr

SGx

kR

a

J

m

θε

2

12

r

a=ε ;

2

12

r

xδδθ =

deci:

12

122

1

/1

1

/1

1x

ra

r

a&&

=

=

ε

; 122

1

/1

1x

r

xδ

δθδ

=

.



315

−

=

+

22

211

222

122

1

/1

1

0

00

/1

1

0

0

Sr

SGx

rkRx

rJ

m&& .

Dacă se preînmulţeşte sistemul cu: [ ]2/11 r se elimină tensiunea

în fir S2 şi se obţine ecuaţia:

[ ] [ ] 112

22

2122

12 /1

1

0

00/11

/1

1

0

0/11 Gx

rkRrx

rJ

mr =

+

&&

sau:

11

2

2

212

2

21 Gx

r

Rkx

r

Jm =

+

+ && ,

cu pulsaţia proprie:

+

=

22

21

2

2

2

2

r

Jm

r

Rk

p .

9.2. Să se determine pulsaţia proprie a sistemului mecanic din

fig.9.2.

Rezolvare: Cilindrul 1 are o mişcare plan-paralelă (de rotaţie şi de

translaţie a centrului). Ecuaţiile de mişcare vor fi:

21111 SSGam −−=

121111 RSRSJ −=ε


316

Fig.9.2.a

Pentru cilindrul 2 vom avea:

232222 RSRSJ −=ε

Pentru cilindrul legat de resort vom putea scrie:

TFSam e −−= 333

333333 RFTRrSJ e−+=ε

unde ''3kxFe = .

Ecuaţiile de mişcare se pot scrie grupat:


317

+

−

−

−

−−

=

+

333

3

2322

1211

211

3''3

''3

3

3

2

1

1

3

3

2

1

1

0

0

0

0000

0000

0000

0000

0000

TRrS

TS

RSRS

RSRS

SSG

Rkx

kxa

a

J

m

J

J

m

ε

εε

Condiţiile cinematice pot fi scrise sub forma:

;)(2;2; 333'31221111 δθδδδθδδθδ rRxxRxRx +==== .

333''3333 22; xRxRx δδθδδθδ ===

Fig.9.2.b

de unde:


318

1

33

333

2

1

3

3

2

1

1

)/(2

)/(2

/2

/1

1

x

rR

rRR

R

R

x

x

δ

δθδδθδθδ

+

+

=

Prin derivare se obţin vitezele şi acceleraţiile:

1

33

333

2

1

3

3

2

1

1

)/(2

)/(2

/2

/1

1

v

rR

rRR

R

R

v

v

+

+

=

ω

ωω

; 1

33

333

2

1

3

3

2

1

1

)/(2

)/(2

/2

/1

1

a

rR

rRR

R

R

a

a

+

+

=

ε

εε


=

+

+

+

+

+

1

3323

333

1

33

333

2

1

3

3

2

1

1

)/(4

)/(4

0

0

0

)/(2

)/(2

/2

/1

1

0000

0000

0000

0000

0000

x

rRkR

rRkR

a

rR

rRR

R

R

J

m

J

J

m

+

−

−

−

−−

=

333

3

2322

1211

211

TRrS

TS

RSRS

RSRS

SSG

.

Prin preînmulţire cu

++ 3333

3

21

22211

rRrR

R

RR se obţine:


319

11233

23

1233

32

33

233

22

221

11

)(16

)(

4

)(

44Gx

rR

Rkx

rR

J

rR

Rm

R

J

R

Jm =

++

++

++++ &&

Rezultă pulsaţia proprie:

233

32

33

233

22

221

11

233

23

2

)(

4

)(

44

)(16

rR

J

rR

Rm

R

J

R

Jm

rR

Rk

p

++

++++

+= .

9.3. Să se analizeze o transmisie (spre exemplu o cutie de viteze)

schematizată în fig. 9.3.a.

Soluţie: Întrucât se consideră legătura dintre volantul 3’ şi 3”

rigidă (k3 = inf ), transmisia poate fi redusă la trei volanţi, deci la

Fig.9.3.a. Sistem elastic cu trei grade de libertate


320

un sistem cu trei grade de libertate. Analiza acestui sistem se va

face gradat.

i) Ecuaţiile de mişcare

În fig.9.3.a este prezentat sistemul elastic şi împărţirea lui în

subsisteme cu un singur grad de libertate. Vom face notaţiile:

'2

22

R

Ri = ;

'2

2'3

33

R

R

R

Ri ⋅= ; (

3

'3

23R

Rii = )

unde 2i şi 3i sunt rapoartele de transmitere determinate de cele

două angrenări exterioare. Atunci, utilizând ecuaţiile lui

d’Alembert, ecuaţia de mişcare pentru volantul din subsistemul 1

este:

0111 =−− ie MMM (9.3.a )

unde 1M este momentul motor, care antrenează sistemul în

mişcare, ( ) ( )2211'2111 ϕϕϕϕ ikkM e −=−= este momentul elastic

care apare în elementul de legătură între volantul 1 şi volantuţii 2 şi

2’ iar 111 ϕ&&JM i = este momentul datoar inerţiei la rotaţie al

volantului 1. În acest caz ecuaţia (9.3.a ) se mai poate scrie:

( ) 1221111 MikJ =−+ ϕϕϕ&&

Unghiul '2ϕ al volantului cu raza '

2R devine, prin demultiplicare,

unghiul 2'2

222

'2 ϕϕϕ

R

Ri == . Pentru a nu complica formulele am


321

considerat că momentul de inerţie al volantului cu raza '2R este

zero, deci acest volant nu va juca nici un rol în ecuaţiile de

mişcare, având doar o semnificaţie cinematică.

Ecuaţia de mişcare pentru volantul cu raza 2R (fig.9.3.b) este:

02212 =−− iee MMMi

sau:

( ) 032

3221221222 =

−+−− ϕϕϕϕϕ

i

ikkiiJ &&

Momentul 1eM a devenit, în virtutea faptului că forţa tangenţială în

angrenare se păstrează ( 21 tt FF = ), i 1eM :

21 tt FF =

2

'1

'2

1

R

M

R

M ee =

Fig.9.3.b. Transmiterea mişcării prin

angrenare


322

11'2

2'1 eee iMM

R

RM ==

Pentru volantul al treilea se poate scrie:

03222

3 =−− ie MMM

i

i

sau:

2232

32

2

333 Mk

i

i

i

iJ −=

−− ϕϕϕ&&

Cele trei ecuaţii formează sistemul de ecuaţii diferenţiale:

232

32

2

3233

32

3222211222

1221111

)(

0)()(

)(

Mi

i

i

ikJ

i

ikikiJ

MikJ

−=−−

=−+−−

=−+

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

&&

&&

&&

sau, în formă matriceală:

−

=

−

−+−

−

+

2

1

3

2

1

222

23

22

3

22

321

2212

121

3

2

1

3

2

1

0

0

0

00

00

00

M

M

ki

ik

i

i

ki

ikkiki

kik

J

J

J

ϕϕϕ

ϕϕϕ

&&

&&

&&

ii) Model echivalent


323

Pe baza fig.9.3.a şi a analizei făcute anterior pentru sistemul elastic

dat se poate face figura sistemului echivalent (fig.9.3.c), alcătuit

din trei volanţi legaţi prin elemente elastice.

iii) Modul de mişcare rigidă

Dacă sistemul se comportă ca un rigid, atunci modul de mişcare

rigid este:

1

3

23

2

1

1

1

1

ϕϕϕϕ

=

i

i

Este natural să raportăm mişcarea tuturor volanţilor la mişcarea

primului volant prin noile funcţii:

Fig.9.3.c


324

=

3

2

1

3

2

3

2

1

00

00

001

ϕϕϕ

θθθ

i

i

de unde rezultă şi dependenţa:

=

3

2

1

3

23

2

1

100

01

0

001

θθθ

ϕϕϕ

i

i

În acest caz ecuaţiile de mişcare devin:

+

3

2

1

3

23

2

1

100

01

0

001

00

00

00

θθθ

&&

&&

&&

i

iJ

J

J

−

=

−

−+−

−

+

2

1

3

2

1

3

2

222

23

22

3

22

321

2212

121

0

100

01

0

001

0

0

M

M

i

i

ki

ik

i

i

ki

ikkiki

kik

θθθ

Pentru a transforma şi forţele şi momentele în spaţiul determinat de

noile coordonate independente [ ]321 θθθ se preînmulţesc

ecuaţiile cu:


325

T

i

i

3

21

00

01

0

001

se obţin noile ecuaţii:

−

=

−

−+−

−

+

3

2

1

3

2

1

22

222

2

22

232

211

11

3

2

1

23

3

22

2

1

0

0

0

00

00

00

i

M

M

i

k

i

k

i

k

i

kkk

kk

i

J

i

J

J

θθθ

θθθ

&&

&&

&&

Modelul matematic echivalent este prezentat în fig.9.3.d.

iv) Simulare numerică

Fig.9.3.d


326

Pentru un calcul numeric să alegem următoarele valori pentru

elementele care definesc sistemul:

ki

kkkJ

i

JJ

i

JJJ 2;3;2;2;3

22

212

3

322

21 =====

Cu aceste valori ecuaţiile de mişcare capătă forma:

−

=

−

−−

−

+

3

2

1

3

2

1

3

2

1

0

220

253

033

200

020

003

i

M

M

kJ

θθθ

θθθ

&&

&&

&&

Matricea dinamică este:

[ ] [ ] [ ]

−

−−

−

== −

220

253

022

212

J

kKJp

v) Valori proprii

Ecuaţia caracteristică este:

[ ] [ ] 0)det( 22 =− Ep ω (sau [ ] [ ] 0)det( 2 =− JK ω ).

Rezultă:

0

220

253

022

=

−−

−−−

−−

λλ

λ

unde s-a notat: k

J22ωλ = . Rezultă ecuaţia:


327

0149 23 =+− λλλ

cu soluţiile:

7;2;0 321 === λλλ

De aici rezultă pulsaţiile proprii:

=

7

2

0

23

2

1

J

k

ωωω

vi) Vectorii proprii (modurile proprii de vibraţie)

Pentru prima valoare proprie 021 =ω va rezulta modul de mişcare

rigidă din sistemul linear omogen:

0220

253

022

3

2

1

=

−

−−

−

e

e

e

Dacă se alege 11 =e se obţine pentru primul mod de mişcare:

=Φ

1

1

1

1

Pentru a doua pulsaţie proprie J

k=2

2ω rezultă sistemul:

0020

233

020

3

2

1

=

−

−−

−

e

e

e


328

Dacă se alege 11 =e se obţine al doilea mod de mişcare:

−

=Φ

5,1

0

1

2

În sfârşit, pentru a treia valoare proprie J

k

2

722 =ω rezultă sistemul:

0520

223

025

3

2

1

=

−−

−−−

−−

e

e

e

din care rezultă al treilea mod de mişcare:

−=Φ

1

5,2

1

3

Matricea modală va fi:

[ ]

−

−=Φ

15,11

5,201

111

vii) Coordonate canonice

Să facem trecerea la coordonatele canonice prin transformarea:

[ ]

−

−=

Φ=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

15,11

5,201

111

q

q

q

q

q

q

θθθ

Fig.9.3.e.Modurile de mişcare


329

Coeficienţii matriceali ai sistemului de ecuaţii în coordonate

canonice sunt:

[ ] [ ] [ ][ ]

=ΦΦ=

700

5,7

07

\\ JMMT ;

[ ] [ ] [ ][ ]

=ΦΦ=

2450

5,7

00

\\ kKKT ;

[ ]

−

Φ=

3

2

1

0

i

M

M

QT .

În noile coordonate canonice ecuaţiile de mişcare vor avea forma:

+

+

−

=

+

'21

'21

'21

3

2

1

3

2

1

5,2

245

5,7

0

70

5,7

7

MM

MM

MM

q

q

q

k

q

q

q

J

&&

&&

&&

unde: 3

2'2

i

MM = . Sistemul poate fi scris în forma alternativă:

;5,2

;7

'21

22

'21

1J

MMq

J

kq

J

MMq

+=+

−= &&&&

J

MMq

J

kq

702

7 '21

33+

=+&&

viii) -ormare inerţială


330

Dacă punem condiţia ca matricea modală normată să respecte

relaţia:

[ ] [ ][ ] [ ]EM MT

M =ΦΦ

rezultă pentru matricea modală normată inerţial:

[ ] [ ][ ] =

−

−=Φ=Φ −

70

100

05,7

10

007

1

15,11

5,201

111

2

1MM

−

−=

239,0548,03785,0

597,003785,0

239,0365,03785,0

ix) Matricea spectrală

Ecuaţiile de mişcare în spaţiul coordonatelor canonice, cu norma

inerţială, devin:

+

+

−

=

+

)(239,0

548,0365,0

)(3785,01

700

020

000

2 '21

'21

'21

3

2

1

3

2

1

MM

MM

MM

jq

q

q

J

k

q

q

q

&&

&&

&&

sau:

[ ] QJ

qq1

\\ 2 =Ω+&&

unde [ ]\\ 2Ω este matricea spectrală.


331

x) O soluţie numerică

Să alegem spre exemplificare 22 1002

−== sJ

kp . Rezultă pentru

matricea spectrală:

[ ]

=Ω

45,2600

014,140

000

\\ 2

Soluţia sistemului în coordonate canonice este:

+

+

+

=

)45,26cos(

)14,14cos(

3030

2020

1010

3

2

1

ϕϕ

tq

tq

qtq

q

q

q &

Soluţia sistemului în coordonatele modelului echivalent este:

=Φ=

qM ][

3

2

1

θθθ

( )

+

+

+

−+

++

−

++

=

)45,26cos(

)14,14cos(

239,0

597,0

239,0

)14,14cos(

548,0

0

365,0

3785,0

3785,0

3785,0

3030

2020

1010

30

20201010

ϕϕ

ϕ

tq

tq

qtq

q

tqqtq

&

&

Cele şase constante de integrare se determină din condiţiile iniţiale:

.;

30

20

10

03

2

1

30

20

10

03

2

1

=

=

==θθθ

θθθ

θθθ

θθθ

&

&

&

&

&

&

tt


332

Rezultă sistemul:

303020201030

30301020

303020201010

cos239,0cos548,03785,0

cos597,03785,0

cos239,0cos365,03785,0

ϕϕθ

ϕθ

ϕϕθ

qqq

qq

qqq

+−=

−=

++=

şi:

303020201030

30301020

303020201010

sin322,6sin749,73785,0

sin791,153785,0

sin322,6sin161,53785,0

ϕϕθ

ϕθ

ϕϕθ

qqq

qq

qqq

&&&&

&&&

&&&&

++=

+=

+−=

Din acest sistem de şase ecuaţii cu şase necunoscute rezultă

302030201010 ,,,,, ϕϕqqqq & .

xi) Sistem perturbat

Dacă sistemul este perturbat de un cuplu motor constant

m-M ⋅= 1001 cu 21 mkgJ ⋅= dar fără cuplu rezistent, ecuaţia

de mişcare devine:

=

+

239,0

365,0

3785,0

100

700

020

000

100 qq&&

Trecând la noua funcţie vectorială:

−=

−=

0341,0

1875,0

0

239,0

365,0

3785,0

7

100

02

10

000

ˆ qqq


333

sistemul devine din nou neperturbat:

=

+

0

0

85,37

ˆ

700

020

000

100ˆ qq&&

cu soluţia:

)cos(ˆ

)cos(ˆ2

85,37ˆ

303303

202202

1010

2

1

ϕω

ϕω

+=

+=

++=

tqq

tqq

qtqt

q &

.

Prima soluţie reprezintă mişcarea de rigid care, în lipsa unui

moment rezistent, este uniform accelerată, iar celelalte două

reprezintă oscilaţii armonice a căror suprapunere oferă mişcarea

volanţilor. Se va putea deci scrie:

[ ]

0341,0)cos(

1875,0)cos(2

85,37

30330

20220

1010

2

M

3

2

1

++

++

++

Φ=

ϕωϕω

θθθ

tq

tq

qtqt

&

xi) Transmiterea perturbaţiilor

Să considerăm transmiterea unei perturbaţii de la motor, de forma:

tM 50cos

0

0

100

1

=

şi a unei perturbaţii de la maşina de lucru de forma:


334

tM 10cos

100

0

0'2

=

Să considerăm sistemul de ecuaţii normat inerţial:

tt

qq

10cos

239,0

548,0

3785,0

10050cos

239,0

365,0

3785,0

100

700

020

000

100

−+

=

=

+&&

cu soluţia particulară forţată:

tt

q

q

q

p

10cos

239,0

548,0

3785,0

6

100

010

001

50cos

239,0

365,0

3785,0

18

100

023

10

0025

1

3

2

1

−

−

−

+

−

−

=

=

Această soluţie se va suprapune peste soluţia sistemului omogen

determinată anterior. Constantele de integrare se vor determina

pentru soluţia compusă din soluţia omogenă şi soluţia particulară.

xii) Câtul Rayleigh


335

Se vor aproxima valorile proprii utilizând câtul Razleigh. Pentru

primul mod de mişcare se alege vectorul propriu sub forma:

]111[1 =Φ T

Rezultă prima valoare proprie:

[ ] [ ]

011

1121 =

ΦΦ

ΦΦ=

M

KT

T

ω

Al doilea mod propriu îl alegem sub forma:

]101[2 −=Φ T

iar valoarea proprie rezultă din relaţia:

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

200

1

0

1

200

020

003

101

1

0

1

220

253

033

101

22

2222

==

−

−

−

−

−−

−

−

=

=ΦΦ

ΦΦ=

J

k

J

k

M

KT

T

ω

de unde 12 14,14 −= sω care coincide cu valoarea obţinută

calculând exact rezultatul. Pentru a calcula aproximativ a treia

valoare proprie se va alege vectorul propriu sub forma:

]121[3 −=Φ T

Rezultă:


336

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

69213

45

1

2

1

200

020

003

121

1

2

1

220

253

033

121

33

3323

≅=

−

−

−

−

−−

−

−

=

=ΦΦ

ΦΦ=

J

k

J

k

M

KT

T

ω

deci:

13 31,26 −= sω

faţă de rezultatul exact 26,45, deci şi în acest caz o aproximare

deosebit de bună.

xiii) Raportarea la mişcarea rigidă

Este natural ca în studiul sistemului să introducem o coordonată

1α care să descrie mişcarea rigidă a sistemului. Vom impune ca

această coordonată să respecte condiţia ca momentul cinetic total al

sistemului să fie egal cu momentul cinetic al transmisiei

considerate rigidă şi rotindu-se cu unghiul 1α . Deci:

133

32

2

211 αϕϕϕ &&&& J

i

J

i

JJ =++

de unde: 23

322

21

i

J

i

JJJ ++=


337

De asemenea se vor introduce coordonatele 2α şi 3α care să

reprezinte mişcarea relativă a volanţilor în raport cu mişcarea

rigidă:

2212 ϕϕα i−=

32

323 ϕϕα

i

i−=

deci:

−

−=

3

2

1

2

3

2

3

'3

2

'2'

1

3

2

1

10

01

ϕϕϕ

ααα

i

i

i

i

J

i

JJ

cu: J

JJ

J

JJ

J

JJ 3'

32'

21'

1 ;; === . Rezultă:

=

−−−

−

+

=

3

2

1

3

2

1

32

'3

23

2'1

3

'1

3

23

'3

2

'1

2

23

2'3

23

'3

22

'2

3

2

1

][

1

1

1

ααα

ααα

ϕϕϕ

L

ii

J

i

iJ

i

J

i

i

J

i

J

i

i

iJ

i

J

i

J

Dacă se fac calculele se obţine:


338

+

+=

J

JJJ

J

JJ

J

JJ

J

JJJ

J

LJL T

)(0

)(0

00

]][[][

*2

*13

*31

*31

*3

*21

cu 22

2*2

i

JJ = ,

23

3*3

i

JJ = şi:

=

*2

1

00

00

000

]][[][

k

kLKL T

unde: 22

2*2

i

kk = .


01 =α&&J

00

0

)(

)(1

3

2*2

1

3

2*2

*1

*3

*31

*31

*3

*21 =

+

+

+αα

αα

k

k

JJJJJ

JJJJJ

J &&

&&

Ultimile două ecuaţii sunt cuplate inerţial (dinamic) şi decuplate

elastic (static).

9.4. Se consideră un arbore cotit, care are la unul din capete un

amortizor, ce poate fi modelat într-un sistem cu mase concentrate


339

ca în fig.9.4.a. Ecuaţiile vibraţiilor libere neamortizate ale

sistemului sunt:

[ ] 0][ =+ ϕϕ KJ &&

unde:

=

9

8

7

6

5

4

3

2

1

][

J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

Fig.9.4.a. Modelul unui arbore cotit


340

−

−+−

−+−

−+−

−+−

−+−

−+−

−

=

77

7766

6655

5544

4433

3322

2211

11

0

0

0

][

kk

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

kk

K

][ 987654321 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ =T

Dacă se consideră şi influenţa amortizorului de vibraţii, ecuaţiile

de mişcare ale vibraţiilor libere sunt:

[ ] 0][][ =++ ϕϕϕ KCJ &&&

cu:

−

−

=

0

0

00

0

0

0

00

][

cc

cc

C

Sistemul:

0])[]([ 2 =Φ− ii MK ω


341

oferă modurile proprii de mişcare reprezentate în fig. 9.4.b. Se

observă că modurile de vibraţie ale arborelui sunt decuplate cu

modul de mişcare al amortizorului (al doilea mod de mişcare

rigidă).

Ecuaţia:

[ ] [ ] 0)det( 2 =− MK ω

oferă pulsaţiile proprii în absenţa amortizării. Pentru autocamionul

ROMAN cu motor D215 vectorul pulsaţiilor proprii, calculat, este:

]10866104458091659649382828107600[ 22222222 =ω

Fig.9.4.b. Modurile de vibraţie ale arborelui cotit


342

9.5. Fenomenul de bătăi. Să considerăm două pendule cuplate

elastic (fig.9.5.a). Ecuaţiile de mişcare vor fi:

)(sin 122

1111 θθθθ −+−= kagLmJ &&

)(sin 122

1222 θθθθ −−−= kagLmJ &&

Pentru oscilaţii mici se poate considera: 11sin θθ ≅ , 22sin θθ ≅ .

Neglijând masa barelor avem şi: 222

211 ; LmJLmJ == . În

aceste ipoteze ecuaţiile de mişcare devin:

=

+−

−++

0

0

0

0

2

1

222

21

2

2

1

2

12

θθ

θθ

gLmkaka

kagLmka

m

mL

&&

&&

Pentru simplificarea calculelor să considerăm: mmm == 21 .

Rezultă:

=

+−

−++

0

0

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

θθ

θθ

L

g

mL

ka

mL

kamL

ka

L

g

mL

ka

&&

&&

Fig.9.5.a. Pendule cuplate


343

Să notăm mai departe:

2

221

2 ;mL

kap

L

gpo == .

Cu această notaţie ecuaţiile de mişcare vor putea fi scrise:

021

221

21

21

2

=

+−

−++ θθ

ppp

ppp

o

o&&

Ecuaţia caracteristică:

022

122

1

21

221

2

=−+−

−−+

ωω

ppp

ppp

o

o

oferă imediat pulsaţiile proprii ale sistemului:

21

222

221 2; ppp oo +== ωω .

Pentru prima valoare proprie primul vector propriu este dat de

sistemul omogen:

=

−

−0

0

2

121

21

21

21

e

e

pp

pp

de unde, dacă se alege 11 =e se obţine:

=

1

1

2

1

e

e

Această mişcare proprie reprezintă o oscilaţie a sistemului ca şi

cum cele două pendule ar fi legate printr-o bară rigidă articulată la

capete şi ar oscila cu pulsaţia proprie Lgpo /= (ar fi un singur

pendul).


344

Pentru a doua valoare proprie se

obţine:

=

−−

−−0

0

2

121

21

21

21

e

e

pp

pp

cu soluţia:

−

=

1

1

2

1

e

e.

Este un mod de mişcare “simetric”

adică cele două pendule vor oscila, cu aceeaşi pulsaţie, dar în

contrafază (poziţia unuia se obţine din poziţia celuilalt prin

oglindire).

Soluţia generală devine:

( ) )cos(1

1cos

1

1222111

2

1 ϕωϕωθθ

+

−

++

=

tAtA

Constantele de integrare 2121 ,,, ϕϕAA rezultă din condiţiile

iniţiale:

=

= 20

10

02

1

θθ

θθ

t

;

=

=

= 20

10

20

10

02

1

ωω

θθ

θθ

&

&

&

&

t

care duc la sistemul linear:

=

−

+

20

102211 cos

1

1cos

1

1

θθ

ϕϕ AA

Fig.9.5.b. Condiţii iniţiale


345

−=

−

+

20

102222111 sin

1

1sinsin

1

1

ωω

ϕϕωϕω AA

Pentru simplificarea calculelor să luăm:

=

0

2

20

10 a

θθ

şi

=

0

0

20

10

ωω

(sistemul porneşte din repaus din poziţia din fig.9.5.b). Se va

obţine: aAA == 21 şi 021 == ϕϕ . În aceste condiţii răspunsul

sistemului este:

=

−

+

=

)cos1

1cos

1

1( 21

2

1tta ωω

θθ

−+

−+

=tt

tta

2sin

2sin

2cos

2cos

21221

1221

ωωωω

ωωωω

Fenomenul de bătăi.

În cazul în care L

g

mL

ka<<

2

2

apare fenomenul de bătăi. Atunci când

1θ are amplitudinea maximă pe caracteristica de modulare 2θ are

amplitudinea nulă şi reciproc.

Dacă se notează:

ooo

pppp

≅++

=+

=2

2

2

21

221 ωω

σ


346

( ) ooo

oooo

p

p

ppp

pppppp

222

2

2

2

2

21

21

2

21

2221

221 ≅

++

++−=

++−=

−=

ωωδ

se poate scrie:

=

=

ttB

ttA

tta

tta

σσ

δσδσ

θθ

sin)(

cos)(

sinsin2

coscos2*

*

2

1

unde tatBtatA δδ sin2)(;cos2)( ** == sunt amplitudini

variabile în timp (modulare) ale oscilaţiilor cu pulsaţia σ .

Pseudopulsaţia fenomenului oscilant este: op

Tπ

σ2

= şi 21

4

p

pT oπδ =

perioada celui modulator. Perioadele vor fi în raportul:

2

1

2

1

=

op

p

T

T

δ

σ

Fig.9.5.c.


347

ceea ce face ca cele două caracteristici să se separe foarte bine.

Prin urmare cuplajul elastic slab realizează un transfer de energie

între cele două pendule, energia sistemului conservându-se pe

ansamblu.

9.6. În cele ce urmează se prezintă un sistem cu volanţi cu ramuri

simetrice (fig.9.6.a)

şi subsistemul care va avea aceleaşi moduri proprii ca întregul

sistem:

Fig.9.6.a. Sistem cu volanţi cu ramuri simetrice

Fig.9.6.b. Subsistemul cu vibraţii proprii egale

cu ale sistemului simetric


348

Dacă se calculează valorile proprii pentru subsistemul (S1) se

constată că acestea se regăsesc prin pulsaţiile proprii ale sistemului

ramificat simetric. Sugestiv pentru prezentarea rezultatelor este

reprezentarea modurilor proprii de vibraţie pentru sistemul

ramificat şi unde se pot identificare cazurile în care vibraţiile

proprii ale subsistemului (S1) coincid cu cele ale sistemului (S). În

aceste cazuri modurile de mişcare ale celor două subsisteme (S1)

vor egale şi de sens contrar iar celelalte mase concentrate vor fi în

repaus.


349


350

Fig.9.6.c. Modurile proprii de vibraţie pentru sistemul ramificat

simetric din fig. 4.9.a

Fig.9.6.d. Modurile proprii de vibraţie pentru sistemul (S1)

simetric din fig. 9.6.b

9.7. Modelul unui autocamion. Gradul de simetrie al unui astfel de

sistem este destul de redus şi din această cauză o singură pulsaţie

proprie pentru sistemul simetric va coincide cu una din pulsaţiile

sistemului general. Dimensiunile sistemului sunt date în fig. 9.7.a.


351

Fig.9.7.a. Modelul matematic al unui autovehicul

cu două punţi (autocamion)

Se vor considera coordonatele independente generalizate

Tqqqq ][ 721 K= definite după cum urmează:

'';';

;;'';';

765

4321

βββ

α

===

====

qqq

qxqxqxq

Cinematica sistemul ne va da relaţiile care există între coordonatele

punctelor principale, scrise în funcţie de coordonatele generalizate

independente:

;2

;22 6255411 q

Eqxq

Eq

Aqx +=++=


352

;2

;22 6265412 q

Eqxq

Eq

Aqx −=−+=

7375413 2;

22q

Eqxq

Eq

Aqx +=+−=

7385414 2;

22q

Eqxq

Eq

Aqx −=−−=

Forţele care apar în arcurile care asigură suspensia şi în pneuri

sunt:

;)( 51'

1 xxkf −−=

;)( 62'2 xxkf −−=

;)( 73'3 xxkf −−=

;)(' 84'4 xxkf −−=

;)( 015'5 xxkf −−=

;)( 026'6 xxkf −−=

;)( 037'

7 xxkf −−=

;)( 048'

8 xxkf −−=

Se poate scrie:

qAx ][ =

unde matricea ][A este dată de:


353

−

−

−

−−

−

=

2000100

2000100

02

00010

02

00010

0022

001

0022

001

0022

001

0022

001

][

E

E

E

E

EA

EA

EA

EA

A

Ecuaţiile de mişcare pentru părţile componente ale sistemului sunt

date de:

0)()()()( 84736251 =−+−+−+−+ xxkxxkxxkxxkxm C&&

0'')()('' 656251 =++−−−− xkxkxxkxxkxm &&

0'')()('''' 878473 =++−−−− xkxkxxkxxkxm &&

02

)(2

)(2

)(2

)( 84736251 =−−−−−+−+A

xxkA

xxkA

xxkA

xxkJ αα &&

02

)(2

)(2

)(2

)( 84736251 =−+−−−−−+E

xxkE

xxkE

xxkE

xxkJ ββ &&

02

]')([2

]')([' 626515' =−−−−−+E

xkxxkE

xkxxkJ ββ&&

02

]')([2

]')(['' 737848'' =−−−−−+E

xkxxkE

xkxxkJ ββ&&


354

Fig.9.7.b. Descompunerea sistemului în părţile componente

Dacă se va ţine seama de condiţiile cinematice scrise anterior se va

obţine:

0''2'24 =−−+ kxkxkxxm cC&&

0)2(')'(2'' =++++ αAxkxkkxm c&&

0)2('')'(2''' =−+++ αAxkxkkxm c&&

0)'''( =+−+ xxAkAJ ααα &&

0)'''( =−−+ βββββ EEEkEJ &&


355

02

'2

)'('2

' =−++ ββββE

kEE

kkJ &&

02

)2(''2

)'('''' =++++E

AxkEE

kkJ C αβββ&&

Dacă, în continuare, se vor face notaţiile:

=

''

'

000000

000000

000000

000000

0000''00

00000'0

000000

][

β

β

β

α

J

J

J

J

m

m

m

M

+−

+−

−−

−

++−

−+−

−−

=

2)'(0

20000

02

)'(2

0000

220000

0000

000)'(202

0000)'(22

0000224

][

22

22

222

2

Ekk

Ek

Ekk

Ek

Ek

EkkE

kAkAkA

kAkkk

kAkkk

kkk

K

ecuaţiile diferenţiale ale vibraţiilor libere ale sistemului sunt date

de:

0][][ =+ qKqM && .

Dacă se ţin seama de valorile reale ale parametrilor care apar în

ecuaţii pentru autocamionul ROMAN 8135, se pot calcula valorile


356

proprii şi modurile propii de vibraţie. După efectuarea calculelor

cu programul de calcul MATLAB se obţine pentru matricea

modală forma:

=Φ

0.7071 0.7037 0.49560000

0.7071- 0.7037 0.49560000

0 0.0978- 0.71320000

0000.35720.118000

000 0.6605-0.70220.7037 0,4956

000 0.6605 0.7022-0.7037 0,4956

00000 0.0978-0,7132

][

În continuare se vor reprezentate modurile proprii de vibraţie ale

maselor suspendate şi nesuspendate ale autovehicului. În acest caz

gradul de simetrie este scăzut şi se manifestă numai în cazul

ultimului mod de vibraţie care este identic cu cel al masei

nesuspendate (puntea rigidă), dacă este studiat separate.


357

Fig.9.7.c. Modurile proprii de vibraţie pentru un sistem simetric


358

9.8. Să considerăm acum sistemul cu simetrii din fig.9.8.a. După

cum se vede pe figură pot fi izolate două ramuri identice. Luăm

pentru momentele de inerţie valorile ;4;2; 321 JJJJJJ ===

5;7;3; 7654 ==== JJJJJJJ şi pentru constantele elastice

kkkkkkkk

kkkkkkkk

3;;7;4

;3;5;3;

8765

4321

====

====.

Se notează Jkp /2 = . Se obţin pentru pulsaţiile proprii valorile:

2853 p, 2754 p, 2438 p, 2415 p, 2181 p, 1691 p, 1667 p, 1212 p,

917 p, 780 p, 659 p, 194 p.

Fig.9.8.a. Un sistem cu simetrii


359

Matricea modală rezultă, după efectuarea calculului:

−−−−−−−−

−−−−−

−−−−−−−−−

−−−

−−

−−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−−

−−−−

−−−−

−−−

33,022,032,058,034,007,002,004,003,002,001,001,0

30,040,028,012,029,023,022,012,063,066,025,018,0

29,041,039,027,017,014,012,002,013,015,016,014,0

32,000,020,000,048,015,000,022,000,003,000,005,0

30,000,003,000,048,008,000,060,000,015,000,030,0

33,022,032,058,034,007,002,004,003,002,001,001,0

30,040,028,012,029,023,022,012,063,066,025,018,0

29,041,039,027,017,014,012,002,013,015,016,014,0

27,027,029,021,013,024,023,013,015,008,049,051,0

27,027,029,021,013,024,023,013,015,008,049,051,0

21,022,025,020,015,059,062,051,024,013,041,037,0

21,022,025,020,015,059,062,051,024,013,041,037,0

Cu aceste valori se pot reprezenta vectorii proprii (fig.9.8.c.-h.)

Fig.9.8.b. Descompunerea în subsisteme


360

Fig.9.8.c

Fig.9.8.d

Fig.9.8.e


361

Fig.9.8.f

Fig.9.8.g

Fig.9.8.h


362

Dacă se face calculul valorilor proprii se obţine se obţine spectrul

2754 p, 2415 p, 1691 p, 917 p, 659 p iar matricea modală

corespunzătoare va fi:

−−

−

−−−−

−−

−−

=Φ

07,091,009,005,001,0

56,022,030,090,036,0

62,007,018,018,023,0

41,018,033,021,069,0

36,030,087,034,058,0

][ 1

Modurile proprii de vibraţie în acest caz sunt reprezentate în fig.

9.8.i.

Fig.9.8.i


363

Să considerăm acum sistemul din fig.9.8.j, care modelează

sistemul dat iniţial, lucrând cu un sistem simplificat, care nu mai

prezintă simetrii, dar care va avea aceleaşi pulsaţii propii şi aceiaşi

vectori proprii ca şi sistemul iniţial.

Dacă se calculează pulsaţiile proprii pentru acest sistem se obţine:

2853 p, 2438 p, 2181 p, 1667 p, 1212 p, 780 p, 194 p. Matricea

modurilor propii este date de:

−−−

−−

−−−

−−−−

−−−−−−

−−

−−−

42,027,056,021,026,004,007,0

39,004,056,011,072,021,041,0

43,045,040,010,005,003,001,0

39,039,034,031,014,093,024,0

37,054,020,020,002,021,019,0

35,040,015,034,015,012,069,0

27,035,018,083,061,018,050,0

Fig.9.8.j. Sistemul simplificat


364

Fig.9.8.k

Fig.9.8.l

Fig.9.8.m.

Fig.9.8.n.


365

Exemplul prezentat ilustrează proprietăţile prezentate şi

demonstrate anterior.

9.9. Să se determine matricea de inerţie pentru sistemul din fig.9.9.

Fig.9.9

Vom porni de la expresia energiei cinetice a sistemului, care este:

[ ]

=

3

3

1

3

2

1

321

0

0

2

1

x

x

x

m

m

m

xxxEc

&

&

&

&&&

Condiţiile cinematice dau relaţia: ( )1213 3

2xxxx −+= deci

213 3

2

3

1xxx += .

Se poate scrie:


366

=

2

1

3

3

1

3

2

3

110

01

x

x

x

x

x

;

=

2

1

3

3

1

3

2

3

110

01

x

x

x

x

x

&

&

&

&

&

[ ] =

=2

1

3

2

1

21

3

2

3

110

01

0

0

3

210

3

101

2

1

x

x

m

m

m

xxEc &

&&&

[ ]

+

+=

2

1

323

331

21

9

4

9

29

2

9

1

2

1

x

x

mmm

mmmxx

&

&&& .

deci matricea inerţială este:

[ ]

+

+=

323

331

9

4

9

29

2

9

1

mmm

mmmM

9.10. Să se determine matricea inerţială pentru sistemul de roţi

dinţate în agrenare din fig. 9.10.

Soluţie: Roţile dinţate 1 şi 2 angrenează prin dantura considerată

elastică ( )∞≠2k . Notând cu 321 ,, ωωω vitezele unghiulare ale

roţilor 1, 2 şi 3 avem:


367

[ ]

=

3

3

1

3

2

1

3212

1

ωωω

ωωωJ

J

J

Ec

Fig.9.10.a

Putem considera mai multe cazuri:

a) Dacă considerăm dantura şi bara care leagă volanta 2 şi 3

perfect rigide ( )∞== 32 kk sistemul are un grad de libertate,

intrucât: 2211 RR ωω = ; 32 ωω = , deci:

1

2

1

2

1

3

3

1 1

ωωωω

=

R

R

R

R


368

=

=

2

1

2

1

3

2

1

2

1

2

121

1

12

R

R

R

R

J

J

J

R

R

R

REc ω

( )

++=

2

2

1321

21

R

RJJJω

( )2

2

1321

++=

R

RJJJJ red

Matricea maselor reprezintă în acest caz un moment de inerţie

redus al sistemului.

b) Considerăm dantura perfect rigidă ( )∞=2k . Sistemul va avea

în acest caz două grade de libertate. Vom avea o singură condiţie

pentru viteze: 2211 RR ωω =

=

3

1

2

1

3

3

1

10

0

01

ωω

ωωω

R

R

Raportăm mişcarea volantului trei la mişcarea volantului 1 prin

necunoscuta ∗3ϕ la data de:

*3232 ϕϕ RR = deci 3

1

2*3 ϕϕ

R

R=


369

*3ϕ reprezintă unghiul cu care s-ar roti volantul 1 la o rotaţie 3ϕ a

lui 3, dacă am presupune cuplajul dintre roţile 2 şi 3 rigid. Avem

şi:

31

2*3 ωω

R

R=

Deci:

=

*3

1

2

1

2

1

3

3

1

0

0

01

ωω

ωωω

R

R

R

R

Rezultă:

[ ] =

= *3

1

2

1

2

1

3

2

1

2

1

2

1

*31

0

0

01

00

01

2

1

ωω

ωω

R

R

R

R

J

J

J

R

R

R

R

Ec

[ ]

+

= *3

12

2

13

2

2

121

*31

0

0

ωω

ωω

R

RJ

R

RJJ

Matricea de inerţie este în acest caz:


370

[ ]

+

= 2

2

13

2

2

121

0

0

R

RJ

R

RJJ

J

c) Dacă vom considera şi dantura elastică, atunci relaţia

2211 RR ωω = nu se mai păstrează, iar 21,ωω şi 3ω devin

independente. Raportăm mişcarea volanţilor 2 şi 3 la volantul 1 cu

relaţiile:

22*21 ϕϕ RR = şi 32

*31 ϕϕ RR =

Rezultă noile coordonate independente:

21

2*2 ϕϕ

R

R= ; 3

1

2*3 ϕϕ

R

R= ;

Deci: 21

2*2 ωω

R

R= ; 3

1

2*3 ωω

R

R= .

Avem:

=

*3

*2

1

2

1

2

1

3

3

1

0

01

ωωω

ωωω

R

R

R

R

Rezultă:


371

[ ]

=

2

2

13

2

2

12

1

0

0

R

RJ

R

RJ

J

J

Sistemele echivalente pentru cazurile a), b), c) sunt reprezentate

mai jos.

Fig.9.10.b

9.11. Să se determine matricea de inerţie pentru sistemul din figura

9.11.

Fig.9.11


372

Soluţie: Sistemul are patru grade de mobilitate, fiecare grad având

posibilitatea de translaţie şi rotaţie independente. Avem:

[ ]

=

2

2

1

1

22112

1

ω

ωωω

v

v

J

m

J

m

vvEc

Dacă sistemul se rostogoleşte pur avem legături între vitezele

unghiulare şi cele liniare: 1

11

R

v=ω ;

2

22

R

v=ω deci:

=

2

1

2

2

1

1

10

10

01

01

v

v

R

Rv

v

ω

ω.

Matricea maselor devine:

[ ]

=

R

R

J

m

J

m

R

RM

10

10

01

01

1100

001

1

Deci:

[ ]

+

+=

2

2

0

0

R

Jm

R

Jm

M .


373

Dacă cele două corpuri au pe lângă rostogolire şi alunecare putem

lua ca necunoscute vitezele liniare şi alunecările în locul vitezelor

unghiulare. Avem:

R

a

R

vRav −=⇔+= ωω

Deci:

−

−=

2

2

1

1

2

2

1

1

1100

0100

0011

0001

a

v

a

v

RR

RRv

v

ω

ω

[ ]

−

−

−

−=

RR

RR

J

m

J

m

R

R

R

R

M

1100

0100

0011

0001

1000

1100

001

0

001

1

[ ]

−

−+

−

−+

=

22

22

22

22

00

00

00

00

R

J

R

JR

J

R

Jm

R

J

R

JR

J

R

Jm

M


374

9.12. Să se determine matricea de elasticitate pentru sistem alcătuit

din trei volanţi din fig.9.12.

Fig.9.12

( )torsiunel

IG p⋅=κ ; el

jielij MM =

( )121121 ϕϕκ −==MM el

( ) ( )23212123212 ϕϕκϕϕκ −+−−=+= MMM el

( ) 3323230323 ϕκϕϕκ −−−=+= MMM el

[ ]

+−

−+−

−

=

3

2

1

322

2211

11

321

3

2

1

0

0

2

1

ϕϕϕ

κκκκκκκ

κκϕϕϕ

el

el

el

M

M

M

9.13. Să se determine matricea de elasticitate pentru placa din

figura 9.13.


375

Rezolvare: Placa are masa m şi momentele de inerţie yx JJ , faţă

de axele yx CC , ce trec prin punctul C şi sunt paralele cu lanturile

b şi a ( C - centrul de masă)

43214321 xxxxFFFFF eeeeel κκκκ −−−−=−−−−=

( ) ( ) ( ) ( )( )3241

32413241

xxxxa

axxaxxaFFaFFM eeeeelx

−−+=

=+−+=+−+=

κ

κκκκ

( ) ( ) ( ) ( )( )4321

43214321

xxxxb

bxxbxxbFFbFFM eeeeely

−−+=

=+−+=+−+=

κ

κκκκ

Coordonatele 4321 ,,, xxxx nu sunt independente, placa rigida

impunând o legătură între ele. Le exprimăm în funcţie de

21,, θθCx . Avem:

221*

1xx

x+

= ; 2

43*2

xxx

+=

2

*2

*1 xx

xC

+=⇒

44321 xxxx

xC

+++=

Invers:

2*1 θbxx C −= ; 2

*2 θbxx C += ;

211*11 θθθ baxaxx C −−=−= ;

211*12 θθθ baxaxx C −+=+= ;

211*23 θθθ baxaxx C +−=−= ;

211*24 θθθ baxaxx C ++=+= .

Rezultă:


376

Cel xkF 4−= ;

124 θakM elx −= ;

224 θbkM ely −= .

−=

2

12

2

4

4

4

θθC

ely

elx

el x

bk

ak

k

M

M

F

;

[ ]

−=

2

2

4

4

4

bk

ak

k

K .

9.14. Să se determine ecuaţiile de mişcare pentru următoarea

transmisie cu trei volanţi:

Fig.9.14

a) Utilizând ecuaţiile lui d’Alembert:


377

=+−

=−+−

=−−

0

0

0

33

212

11

ei

eei

ei

MM

MMM

MM

cu

;

;

;

333

222

111

ϕϕϕ

&&

&&

&&

JM

JM

JM

i

i

i

=

=

=

( )( )3222

2111

ϕϕϕϕ−=

−=

kM

kM

e

e

Rezultă:

( )( ) ( )

( )

=−−

=−+−−

=−+

0

;0

;0

32233

32221122

21111

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

kJ

kkJ

kJ

&&

&&

&&

sau:

=

−

−+−

−

+

0

0

0

0

0

3

2

1

22

2211

11

3

2

1

3

2

1

ϕϕϕ

ϕϕϕ

kk

kkkk

kk

J

J

J

&&

&&

&&

b) Energia cinetică asistemului este:

( ) [ ]

=++=

3

2

1

3

2

1

321233

222

2112

1

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ&

&

&

&&&&&&

J

J

J

JJJEC

Energia potenţială va fi:

( ) ( ) =−+−= 2322

22112 ϕϕκϕϕκPE

( ) =−−+++= 322211232

2221

212 22 ϕϕκϕϕκϕκϕκκϕκ

[ ]

−

−+−

−

=

3

2

1

22

2211

11

321

0

0

ϕϕϕ

κκκκκκ

κκϕϕϕ .

Utilizând ecuaţiile lui Lagrange se obţine:


378

=

∂∂

3

2

1

3

2

1

ϕϕϕ

ϕ&&

&&

&&

&J

J

JE

dt

d C ; 0=

∂∂ϕ&PE

dt

d;

şi:

−

−+−

−

=

∂∂

3

2

1

22

2211

11

0

0

ϕϕϕ

ϕkk

kkkk

kkEP

&; 0=

∂

∂

ϕ&CE

.

Am utilizat rezultatul: dacă [ ]A este simetrică şi [ ] XAXUT

2

1=

atunci [ ] XAX

U=

∂∂

.

Rezultă aceleaşi ecuaţii de mişcare ca la punctul a).

c) Pentru acest exemplu este convenabil să trecem la alte

coordonate independente. Transmisia va efectua o mişcare de

ansamblu, „de rigid”, iar volanţii vor executa mişcări relative unul

faţă de celălalt.

Pentru mişcarea de rigid ste natural să alegem un unghi 1θ astfel

încât momentul cinetic al transmisiei considerată rigidă, să

coincidă cu momentul cinetic al volanţilor în mişcare, deci:

1332211 θϕϕϕ &&&& IJJJ =++


379

În acest caz putem lua şi: 1332211 θϕϕϕ JJJJ =++ abstracţie

făcând de o constantă arbitrară care va reprezenta unghiul 1θ la

momentul iniţial şi pe care o luăm egală cu zero.

Roţiile relative este natural să le exprimă prin noile coordonatele

32 ,θθ astfel încât:

332

221

θϕϕ

θϕϕ

=−

=−

Deci avem schimbarea de funcţie:

−

−=

3

2

1'3

'2

'1

3

2

1

110

011

ϕϕϕ

θθθ JJJ

unde

J

JJ

J

JJ

J

JJ

3'3

2'2

1'1

=

=

=

Şi invers:

[ ]

=

−−−

−

+

=

3

2

1

3

2

1

'3

'1

'1

'3

'1

'3

'3

'2

3

2

1

1

1

1

θθθ

θθθ

ϕϕϕ

L

III

II

III

Avem:

[ ] [ ][ ]=LJLT

=

−−−

−

+

−−

−−+='2

'1

'1

'3

'1

'3

'3

'2

3

2

1

'2

'1

'3

'3

'1

'1

'3

'2

'3

1

1

111

III

II

III

I

I

I

IIII

IIII

I


380

( )

( )

+

+=

J

JJJ

J

JJI

JJ

J

JJJJ

21331

31321

0

0

00

şi

[ ] [ ][ ]

=

3

2

0

K

KLKLT

În noile coordonatre sistemul devine:

[ ] [ ][ ]=LJLT

( )

( ) 0

0

0

0

00

3

2

1

3

2

3

2

1

21331

31321 =

+

+

+=

θθθ

θθθ

K

K

J

JJJ

J

JJI

JJ

I

JJJJ

&&

&&

&&

şi se decuplează în:

01 =θ&&J

care indică o mişcare uniformă 1011 θωθ += t şi în sistemul:

( )( )

=

+

+

+

0

0

0

01

2

1

2

1

3

2

21331

31321

θθ

θθ

K

K

JJJJJ

JJJJJ

J &&

&&

Sistemul este cuplat inerţial şi decuplat elastic (static).


381

9.15. Ne propunem să determinăm ecuaţia de mişcare pentru masa

m prinsă prin resorturi identice cu constanta elastică k/2 (Modelul

creierului).

Soluţie: Utilizăm ecuaţiile lui d’Alembert:

=ey

ex

a F

Fam .

Fig.9.15

+

−

+

−+

−

+

=++=v

ul

ul

v

u

v

v

uaaaa rcta

22 ωεω&&

&

&&

&&

−=

v

uk

F

F

ey

ex

10

01

Rezultă:


382

+

−+

v

u

m

m

v

u

m

m

&

&

&&

&&

0

02

0

0ω

=

−

−+

+

v

u

m

m

m

m

0

0

0

0

10

01 2ωεκ

+

−−=

00

00

0

0 2 l

m

m

lm

mωε

9.16. Bara AB execută o mişcare plan paralelă. Punctul O are

coordonatele ( )YX , . YjiXvo += . Viteza unghiulara ω este

considerată constantă, deci 0=ε .

Fig.9.16


383

[ ]

+

+

=++=s

cu

c

su

Y

Xuuvv 111101

~ &&

&& ωω

cu: θθ

sin

cos

=

=

s

c

[ ] ( )( )

+

+

+−+

=+++=s

cu

cuL

suL

Y

XuuLvv 2

2

22202

~ &&

&& ωω

( ) ( )2112

111121 sucuYcusuXvvv

T&&&& ++++−== ωω

( )[ ] ( )[ ]2222

222222 suuLYcuuLXvvv

T&&&& ++++++−== ωω

( )ωω cYsXsYucXmu

E

dt

d C &&&&&&&&&

+−++=

∂∂

1112

1

( )ωω cYsXsYucXmu

E

dt

d C &&&&&&&&&

+−++=

∂∂

2222

1

( )12

11

ucYsXmu

EC ωωω ++−=∂

∂ &&&

( )( )22

22

uLcYsXmu

EC +++−=∂

∂ωωω &&

&

( )2

221 uu

EP

−=κ

; ( )211

uuu

EP −=∂

∂κ ; ( )12

2

uuu

EP −=∂∂

κ .

Rezultă ecuaţiile de mişcare:

=

−

−

−+

2

1

2

12

2

11

0

0

11

11

0

0

v

u

m

mk

v

u

m

mω

&&

&&

+

−=

Lm

m

Y

X

sc

sc

m

m 0

0

0

0

0

2

12

2

1 ω&&

&&


384

9.17. Vom determina matricea de flexibilitate utilizând metoda

coeficienţilor de influenţă:

Fig.9.17

∑∫ ==IE

ldx

IE

M 321

11 9

4δ

∑∫ ==IE

ldx

IE

MM 321

12 18

7δ

∑∫ ==IE

ldx

IE

M 322

22 9

4δ

[ ]

=

87

78

18

3

IE

lH

[ ][ ]

−

−=−

87

78

25

183

1

l

IEHK


385

[ ]

−

−=

−=87

78

25

183

2

1

l

IE

y

yKF el ;

−=

2

1

20

0

y

y

m

mF i

&&

&&

0=+ FF i

Deci:

=

−

−+

0

0

87

78

25

18

20

01

2

13

2

1

y

y

l

IE

y

ym

&&

&&

9.18. Să se studieze vibraţiile transversale ale unui autovehicul.

Fig.9.18.a


386

Soluţie:

i. Într-o primă aproximaţie se pot considera numai vibraţiile

transversale ale masei autovehiculului. Autovehiculul urmăreşte,

cu ajutorul motor, prin intermediul roţilor, profilul drumului

( )( )tx0 . Ecuaţia de mişcare va fi:

( ) ( ) 000 =−+−+ xxcxxxm &&&& κ

sau:

( )43421&&&&

tF

xcxxxcxm 00 +=++ κκ

Sistemul are pulsaţia proprie: m

κω =2 şi soluţia ecuaţiei

omogene: ( )ϕω +=−

teAxt

m

c

cos20 .

Soluţia 0x „se stinge” rapid în timp datorită amortizoarelor şi

răspunsul sistemului poate fi bine aproximat prin soluţia

particulara px .

ii. Un model mai bun, careia în considerare mişcarea de

„tangaj” a autovehiculului se obţine considerând ambele punţi

suspendate pe elemente elastice. Ecuaţiile de mişcare scrise în

centrul de masă, vor fi:

( ) ( ) ( ) ( ) 00222011102220111 =−+−+−+−+ xxcxxcxxxxxm &&&&&& κκ

( ) ( ) ( ) ( ) 00222011102220111 =−+−+−+−− xxbcxxacxxbxxaJ &&&&&& κκθ


387

L

xabxx 21 += ;

L

xx 21 −=θ .

Cele două ecuaţii pot fi scrise grupat:

+−+−

+++=

++−

+−++

+

++−

+−++

022011022011

0220110220112

22

121

2121

22

2121

2121

0

0

xbcxacxbxa

xcxcxxx

bcacbcac

bcaccc

x

baba

bax

I

m

&&

&&

&

&

&&

&&

κκκκ

θ

θκκκκκκκκ

θ

iii. Cuplarea şi decuplarea coordonatelor

În cele ce urmează vom ilustra importanţa alegerii coordonatelor în

scrierea ecuaţiilor de mişcare. Pentru simplificarea prezentării vom

neglija amortizările c.

a. Pentru cazul ii. dacă 021 == cc rezultă ecuaţiile de mişcare:

+−

+=

++−

+−++

022011

0220112

22

121

2121

0

0

xbxa

xxx

baba

bax

I

m

κκκκ

θκκκκκκκκ

θ&&&&

.

Cuplarea coordonatelor se face prin elemetele nediagonale ale

matricei de rigiditate 021 ≠+− ba κκ . Cuplajul se numeşte static

sau elastic.

b. Caz particular.

Dacă 021 =+− ba κκ atunci sistemul devine:


388

+−

+=

+

++

022011

0220112

22

1

21

0

0

0

0

xbkxak

xkxkx

bkak

kkx

J

m

θθ&&&&

Ecuaţiile sunt decuplate atât static câ şi dinamic; sistemul „se

sparge” în două ecuaţii independente.

c. Alegem un punct P astfel încât o forţă verticală aplicată în

acest punct produce numai o mişcare de translaţie. Din condiţia ca

momentul rezultant în P să fie nul în cazul static, obţiem:

( ) ( )ebxkeaxk +=− 21 ( )ekkbkak 2121 +=−⇒ şi 21

21

kk

bkake

+−

=

( )θeaxx P −−=1 ; ( )θebxx P ++=2

Ecuaţiile de mişcare scrise în centrul de masă sunt:

( ) ( ) ( )( ) ( )

=+−−−+

=−+−++

0

0

01120222

02220111

xxaxxbJ

xxxxexm

C

P

κκθκκθ

&&

&&&&

Sau

0220112211 xkxkxkxkemxm P +=+++ θ&&&&

0110221122 xakxbkxakxbkJC +=−+θ&&

Dar: 2emJJ PC −= şi înlocuind pe 1x şi 2x obţinem:

( )( ) ( )

−=−+++−+−

+=+++

01102212122

02201121

xaxbeaaebbxaxbemI

xxxemxm

PPP

PP

κκθκθκκκθθκκκκθ

&&&&

&&&&

Scoţând din prima ecuaţie θ&&2em şi introducând în a doua,

obţinem:


389

( )( ) ( )[ ]

−=++−+−

+=+++

0110222

22

1

02201121

xaxbebeaxemJ

xxxemxm

PP

PP

κκθκκθκκκκθ

&&&&

&&&&

Sau:

( ) ( )

−

+=

=

++−

++

011022

022011

22

21

21

0

0

xaxb

xx

x

ebea

x

Ime

mem PP

P

κκκκ

θκκκκ

θ&&&&

Cuplarea coordonatelor se face prin matricea de inerţie.

d. Cuplaj static şi dinamic.

Alegând punctul pentru care scriem deplasarea x diferit de P şi C

ecuaţiile sunt cuplate atât static şi dinamic.

iv. Pentru un studiu mai complet trebuie luate în considerare

rigidităţile pneurilor. Sistemul va avea patru grade de libertate.


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

0

0

0

212434212434

434212434212

4340233434023333

2120111212011111

=−+−+−+−−

=−−−−−−−−

=−+−+−+−+

=−+−+−+−+

xxacxxbcxxaxxbJ

xxcxxcxxxxxm

xxcxxcxxxxxm

xxcxxcxxxxxm

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&

κκθ

κκ

κκ

κκ

Ţinem seama că:

L

xabxx 42 += ;

L

xx 24 −=θ .

Obţinem ecuaţia de mişcare:


390

+

−−

−−

−+

−+

+

− 4

3

2

1

4422

4422

443

221

4

3

2

13

1

00

00

00

00

000

000

x

x

x

x

bbaax

x

x

x

L

I

L

IL

ma

L

mb

m

m

κκκκκκκκκκκ

κκκ

&&

&&

&&

&&

+

+

=

−−

−−

−+

−+

+

0

0

00

00

023023

011011

4

3

2

1

4422

4422

443

221

xcx

xcx

x

x

x

x

bcbcacac

cccc

ccc

ccc

&

&

&

&

&

&

κκ

Înmulţind a doua ecuaţie cu a , respectiv b− şi adunîndu-le la a

patra, obţinem două ecuaţii care vor înlocui ecuaţiile trei şi patru.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=+++++−+++−++−

=+++−+++−++−

0

0

22122212422

44344434422

xbacxbacxbaxbaL

xImab

L

xImb

xbacxbacxbaxbaL

xIma

L

xImab

κκ

κκ

&&&&

&&&&

Sistemul devine:

+

−

−

−+

−+

+

+

−+

+−

4

3

2

1

22

44

443

221

4

3

2

1

2

23

1

00

00

00

00

00

00

000

000

x

x

x

x

LL

LL

x

x

x

x

L

Imab

L

ImbL

Ima

L

Imab

m

m

κκκκκκκ

κκκ

&&

&&

&&

&&


391

+

+

=

−

−

−+

−+

+

0

0

00

00

00

00

023023

011011

4

3

2

1

22

44

443

221

xcx

xcx

x

x

x

x

LcLc

LcLc

ccc

ccc

&

&

&

&

&

&

κκ

Se observă că dacă Jmab = sistemul se decuplează în două

sisteme independente (am împărţit ec. 3 ş 4 cu L şi am reordonat

ecuaţiile în succesiunea 1, 4, 2,3).

+

+

+

4

3

2

1

23

21

0

00

00

0

x

x

x

x

L

Ima

m

L

Imb

m

&&

&&

&&

&&

M

LLLLLL

M

+

−

−+

−

−+

+

4

3

2

1

44

443

22

221

0

0

x

x

x

x

κκκκκ

κκκκκ

M

LLLLLL

M

+

+

=

−

−+

−

−+

+

0

00

0023023

011011

4

3

2

1

44

443

22

221

LLL&

&

&

&

&

&

M

LLLLLL

Mxcx

xcx

x

x

x

x

cc

ccc

cc

ccc

κκ

Raportul mab

J=ε se numeşte coeficient de repartizare a masei

suspendate şi are importanţă asupra vibraţiilor automobilului. Dacă

1≈ε atunci vibraţiile automobilului, după cum am vazut, pot fi


392

reduse la vibraţii verticale, fără mişcări unghiulare de tangaj,

putând fi studiate pe modele simplificate, cu două grade de

libertate.

v. Un model care studiază mişcările de ruliu (rotaţie în jurul

axei longitudinale) e prezentat în figură. Pot fi imaginate modele

care să studieze mişcări mai complexe ca:

- oscilaţii pe direcţia longitudinală (oscilaţii axiale sau

zvâcniri);

- oscilaţii în jurul axei verticale (giraţii sau rotiri).


393

ANEXA I

CALCUL VECTORIAL ŞI MATRICEAL

1.1. Vectori. oţiuni fundamentale

În mecanică apar mărimi care nu pot fi caracterizate numai prin măsura

lor (mărimi scalare) ci au nevoie şi de alte atribute pentru a le defini şi

anume direcţie, sens sau punct de aplicaţie (fix sau mobil). Acestea

reprezintă o multitudine de mărimi ca: forţele care acţionează asupra

unui punct material sau asupra unui solid, vitezele, acceleraţiile,

momentul forţei, etc. Aceste mărimi sunt numite mărimi vectoriale.

O mărime vectorială este definită de un element nou, vectorul, care

conţine măsura acelei mărimi (element aritmetic)

la care se adaugă direcţia şi sensul (elemente

geometrice). Direcţia şi sensul sunt definite cu un

singur cuvânt ca fiind orientarea vectorului.

Rezultă deci că vectorul se reprezintă geometric

printr-un segment, orientat. Direcţia pe care va

acţiona mărimea vectorială este dată de dreapta

suport a segmentului, sensul este o mărime binară

indicată geometric printr-o săgeată la extremitatea segmentului iar

măsura (valoarea numerică pozitivă) este dată de lungimea segmentului,

care se reprezintă la o anumită scară convenabil aleasă.

otaţia vectorilor: notaţiile pentru vectori sunt diferite, în funcţie de

abordările (geometrică sau algebrică) precum şi în funcţie de autori.

Fig. 1.1


394

Câteva notaţii s-au încetăţenit şi sunt prezentate în continuare. Pentru că

vectorul este reprezentat geometric printr-un segment orientat, el are o

origine să o numim A şi o extremitate, să o numim B. În acest caz

vectorul se notează: AB cu o săgeată. Prima literă va indica originea iar

cea de-a doua cealaltă extremitate. Dacă nu sunt numite extremităţile,

vectorii se pot nota printr-o literă cu săgeată: Rubarrrr

,,, sau printr-o

literă cu bară: Ruba ,,, . Uneori se renunţă la bară şi se notează cu

literă îngroşată: a , b , u , R . Dacă se utilizează reprezentările algebrice

se mai notează vectorii sub forma: Ruba ,,, .

otaţia pentru modulul vectorilor (mărimea sau intensitatea): modulul

se notează ca în cazul algebrei. Astfel modulul vectorului AB este AB ,

pentru vectorii Rubarrrr

,,, modulele vor fi, respective: Rubarrrr

,,,

sau, mai simplu Ruba ,,, . Uneori, pentru scrierea a , b , u , R se

utilizează ||a|| , ||b|| , ||u|| , ||R||.

O clasificare a vectorilor: în mecanică, pentru a

caracteriza un vector care apare într-un anumit

tip de probleme, sunt necesare date

suplimentare. Astfel s-a ajuns la clasificarea

vectorilor în următoarele trei clase:

- vectori legaţi sunt vectorii pentru care

poziţia punctului de aplicaţie este determinată.

Fig. 1.2. Versorul

unui vector


395

Punctul de aplicaţie poate fi fix (momentul unei forţe faţă de un punct)

sau mobil (viteza unui punct pe traiectorie);

- vectori alunecători sunt vectorii al căror punct de aplicaţie poate

să se găsească oriunde pe dreapta suport a vectorului, fără ca efectul

mecanic asupra corpului să se schimbe. Vectorii alunecători sunt forţele

care acţionează asupra unui rigid, vectorii viteză unghiulară.

- vectorii liberi sunt vectorii al căror punct de aplicaţie nu este

supus nici unei restricţii, deci poate fi considerat orice punct al spaţiului.

Un exemplu este cuplul de forţe, deoarece punctul său de aplicaţie poate

fi luat oriunde în spaţiu iar mărimea, direcţia şi sensul rămân

neschimbate.

Egalitatea vectorilor: Definiţie. Doi vectori sunt egali dacă au acelaşi

modul, direcţie şi sens, ei putând fi aşezaţi pe aceeaşi dreaptă sau pe

drepte paralele.

Egalitatea se exprimă prin semnul algebric = . Spre exemplu: barr

= sau

ba = sau ba = .

Vectorii egali situaţi pe drepte paralele se numesc vectori echipolenţi iar

operaţia prin care un vector este mutat printr-o translaţie pe o dreaptă

paralelă cu suportul vectorului se numeşte operaţie de echipolenţă.

Dacă doi vectori au acelaşi modul, aceeaşi direcţie şi sensuri diferite, ei

se numesc de sens contrar sau opuşi iar acest lucru se exprimă prin

relaţia: ba −= .

Doi vectori care nu au acelaşi modul dar au aceeaşi direcţie se numesc

vectori colineari, indiferent de sens.


396

Versorul unui vector: Dacă se dă un vector oarecare a , construim un alt

vector u de aceeaşi direcţie şi sens cu a , a cărui mărime să fie egală cu

unitatea: 1=u . Vectorul u se numeşte vectorul unitate sau versorul

vectorului a . Dacă s-a făcut această alegere, orice vector colinear cu a

se poate exprima cu ajutorul lui ub λ= .

Axă: Dacă pe o dreaptă oarecare am ales un sens pozitiv, o origine şi o

unitate de lungime spunem că am definit o axă. Vectorul axei este

vectorul unitate situat pe ea, al cărui sens coincide cu sensul pozitiv al

axei.

1.2. Operaţii cu vectori

1.2.1. Adunarea vectorilor

1.2.1.1. Suma a doi vectori.

Se consideră doi vectori a şi b în

spaţiu. Se transportă printr-o

echipolenţă vectorii într-un punct O

oarecare al spaţiului şi se construieşte

paralelogramul format cu aceşti doi

vectori. Diagonala acestui paralelorgram

se numeşte suma vectorilor a şi b .

Vectorii a şi b se numesc componente ale lui c iar vectorul bac +=

se numeşte vector rezultant (sau rezultanta) al vectorilor daţi. Operaţia

geometrică prin care se construieşte vectorul sumă poartă numele de

regula paralelogramului. Regula de adunare are bază experimentală şi

este considerată o axiomă în cazul în care vectorii sunt forţe. Din punct

Fig.1.3. Adunarea a doi

vectori


397

de vedere geometric vectorul c se poate obţine şi punând la

extremitatea vectorului a , vectorul b , vectorul c rezultând ca a treia

latură a triunghiului astfel format. Dacă se consideră regula de adunare

arătată se constată imediat că se poate scrie: abba +=+ adică

adunarea a doi vectori este o operaţie comutativă.

1.2.1.2. Suma mai multor vectori

Operaţia de sumă se poate

generaliza în mod natural în cazul

în care avem de–a face cu mai

mulţi vectori. Să considerăm

vectorii naaa ,,, 21 K . Cu vectorii

21, aa construim vectorul sumă

212 aas += , transportându-l pe 2a

la extremitatea lui 1a , apoi

construim vectorul sumă

321323 aaaass ++=+= ,

transportându-l pe 3a la extremitatea lui 2s (fig.A.4). Prin inducţie

matematică se poate obţine vectorul ns ca fiind suma:

nn aaas +++= K21 .

În consecinţă rezultă că vectorul sumă se obţine construind poligonul

strâmb alcătuit din vectorii naaa ,,, 21 K , segmentul orientat cu originea

în originea lui 1a şi extremitatea în extremitatea lui na fiind vectorul

Fig. 1.4. Suma mai multor vectori


398

rezultant nn aaass +++== K21 . Procedeul se numeşte regula

conturului poligonal.

Pentru ca n vectori să aibă sumă nulă va trebui deci ca poligonul

construit cu aceştia să fie închis. În particular, în cazul a trei vectori

condiţia ca aceştia să aibă sumă nulă este ca, punând fiecare vector cu

originea în extremitatea celui precedent, să se formeze un triunghi.

Deoarece triunghiul este o figură plană, trebuie ca cei trei vectori să fie

coplanari.

În cazul sumei a doi vectori bac += , întrucât cei trei vectori formează

un triunghi, se poate scrie inegalitatea triunghiului sub forma cunoscută:

bac +≤ (1.1)

În cazul unui contur poligonal strâmb generat de n vectori aşezaţi unul la

extremitatea celuilalt, inegalitatea poate fi generalizată sub forma:

nn aaaaaas +++≤+++= KK 2121 (1.2)

Avem egalitate numai dacă vectorii sunt colineari şi au acelaşi sens.

1.2.1.3. Proprietăţile sumei vectoriale

Suma vectorilor are următoarele proprietăţi:

Adunarea vectorilor este comutativă. Acest lucru a fost arătat

atunci când a fost definită suma. Rezultă că ordinea în care se face

însumarea mai multor vectori este indiferentă, adică avem:

abcabcacbcabcba ++=++=++=++=++ (1.3)

Adunarea vectorilor este asociativă. Dacă se reprezintă grafic, se

constată imediat că avem:


399

( ) ( )cbacba ++=++ (1.4)

Suma vectorială este distributivă faţă

de înmulţirea cu un scalar.

Se vor considera vectorii dcbarrrr

,,, , suma lor

dcbasrrrrr

+++= (fig.1.6) şi suma vectorilor

dmcmbmamsrrrrr

+++=' . Suma sr se obţine

construind linia poligonală OABCD cu

vectorii daţi, suma fiindOD .

Se construiesc vectorii:

amOAmOAr

⋅=⋅=' ,

bmOBmOBr

⋅=⋅='

cmOCmOCr

⋅=⋅=' ,

dmODmODr

⋅=⋅='

Poligoanele OABCD şi O’A’B’C’D’ sunt asemenea având laturile

paralele şi raportul laturilor omoloage acelaşi,

deci şi

)(' dcbamODmODrrrr

+++=⋅= .

Dar:

dmcmbmam

DCCBBAOAODrrrr

⋅+⋅+⋅+⋅=

=+++= ''''''''

Comparând cele două expresii pentru 'OD

rezultă:

dmcmbmamdcbamrrrrrrrr

⋅+⋅+⋅+⋅=+++ )( (1.5)

Raţionamentul rămâne valabil şi dacă poligonul din fig. 1.6 este strâmb.

Fig.1.5. Asociativitatea

adunării

Fig.1.6


400

1.2.1.4. Descompunerea unui vector

a) Descompunerea după două direcţii care determină un plan paralel cu

vectorul.

Să considerăm două drepte )( 1∆ şi )( 2∆ .

Fie O originea vectorului ar iar A

extremitatea lui. Mutăm prin paralelism

cele două drepte în punctul O. În acest

caz, în ipotezele din enunţ, cele două

drepte şi vectorul dat se vor găsi în

acelaşi plan (fig. 1.7). Rezultă că

problema se va reduce în acest caz la aceea de a găsi doi vectori cu

originea în O, 1ar

de-a lungul dreptei )( 1∆ şi 2ar

de-a lungul dreptei )( 2∆

astfel încât suma lor să fie vectorul dat ar. Ţinând seama că regula de

adunare a doi vectori este dată de regula paralelogramului, va trebui să

construim un paralelogram, cu laturile pe dreptele )( 1∆ şi )( 2∆ , şi care

să aibă diagonala chiar vectorul ar. Pentru aceasta prin punctul A care

reprezintă extremitatea vectorului ar se vor duce paralele la cele două

drepte )( 1∆ şi )( 2∆ . Se obţine paralelogramul OA1AA2 ale cărui laturi

OA1 şi OA2 reprezintă tocmai vectorii căutaţi 1ar

şi 2ar

.

Dacă cele două drepte )( 1∆ şi )( 2∆ sunt perpendiculare atunci 1ar

şi 2ar

reprezintă proiecţiile ortogonalele ale lui ar pe cele două drepte (după

cele două direcţii).

Descompunerea unui vector după mai mult de două direcţii care se

găsesc în acelaşi plan este nedeterminată (adică există o infinitate de

descompuneri ale unui vector după trei direcţii în plan). Acest lucru se

Fig. 1.7


401

poate demonstra foarte simplu dacă se ia pe una din direcţii o

componentă arbritară şi dacă se descompune vectorul dat din care se

scade componenta arbitrară după celelalte două direcţii.

b) Descompunerea unui vector după trei direcţii neparalele în spaţiu

Se notează cu Ox, Oy şi Oz cele trei direcţii concurente după care dorim

să descompunem vectorul ar cu originea în O. Dacă cele trei direcţii sunt

oarecare în soaţiu, le putem muta, printr-un paralelism, în O.

Pentru a face descompunerea se

procedează în modul următor:

Dreptele OA şi OA3 determină un

plan a cărui intersecţie cu planul Oxy

este dreapta Ot. Se poate

descompune acum vectorul ar după

direcţiile Oz şi Ot astfel încât:

OBaOBOAa +=+= 33

rr. Mai departe,

vectorul OB care se găseşte în planul Oxy poate fi descompus după

direcţiile Ox şi Oy astfel încât: 2121 aaOAOAOBrr

+=+= . Rezultă atunci

că vectorul ar poate fi descompus în mod unic după cele trei direcţii date

astfel încât:

321213213 aaaaaaOAOAOAarrrrrrr

++=++=++=

Dacă cele trei direcţii sunt axele de coordonate ale triedru ortogonal cele

trei proiecţii se numesc proiecţiile ortogonale ale vectorului pe cele trei

axe.

Fig.1.8. Descompunerea unui

vector după trei direcţii


402

Dacă componentele 321 ,, aaarrr

sunt considerate laturile unui paralelipiped

atunci vectorul dat este diagonala acestui paralelipiped.

Descompunerea unui vector după mai mult de trei direcţii care nu se

găsesc în acelaşi plan este nedeterminată.

c) Reprezentarea algebrică a vectorilor

În cele ce urmează vor fi prezentate noţiunile de calcul vectorial atât în

reprezentare geometrică cât şi în cea algebrică întrucât aplicaţiile pot fi

abordate mai simplu uneori în reprezentarea geometrică iar alteori în cea

algebrică.

Astfel, dacă se vor considera trei

versori kji ,, cu aceeaşi origine,

perpendiculari doi câte doi, care

indică direcţia şi sensul axelor

Ox,Oy, Oz, aceştia vor forma un

sistem de coordonate ortogonal. (fig.

1.9). Dacă se consideră un vector

oarecare a , acesta poate fi

descompus după cei trei versori,

putându-se scrie:

kajaiaa zyx ++= (1.6)

Mărimile zyx aaa ,, poartă numele de componentele vectorului a în

raport cu sistemul de coordonate ortogonal Oxyz. Menţionăm că se

poate considera şi un sistem de coordonate care să nu fie ortogonal

pentru a face descompunerea vectorului dat dar, în cele ce urmează,

Fig.1.9. Componentele unui

vector în raport cu un sistem

de coordonate ortogonal drept


403

deoarece în aplicaţii este utilizat aproape exclusiv sistemul ortogonal,

referirea se va face la acesta, dacă nu se specifică altceva.

În acest caz vectorul dat se poate scrie şi sub forma ),,( zyx aaaa sau:

=

z

y

x

a

a

a

a (1.7)

prin indicarea componentelor sale. În acest caz suma a doi vectori poate

fi definită în felul următor: dacă bac += unde ),,( zyx aaaa şi

),,( zyx bbbb atunci vectorul c va fi vectorul care are componentele:

.;; zzzyyyxxx bacbacbac +=+=+=

În scriere matriceală:

+

+

+

=

+

=+=

=

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

z

y

x

ba

ba

ba

b

b

b

a

a

a

ba

c

c

c

c (1.8)

Cu această definiţie a sumei a doi vectori, care se va reduce la mai multe

sume de numere reale, toate proprietăţile sumei arătate anterior se

demonstrează uşor.

1.2.1.5. Scăderea a doi vectori

Definiţie. A scădea vectorul br din vectorul a

r înseamnă a găsi vectorul

cr care adunat la b

rsă dea a

r: acb

rrr=+ .

Scăderea vectorilor se notează cu semnul - :

bacrrr

−= (1.9).

Geometric, operaţia de scădere poate fi executată în două moduri:


404

- pentru paralelorgramul cu

diagonala a şi o latură b la care se

cunoaşte unghiul dintre a şi b va

trebui să construim latura c a

paralelorgramului, construcţie care

se obţine imediat, unind

extremităţile vectorilor b şi a şi

apoi ducând prin vârful lui a o paralelă la b şi prin extremitatea lui

a o paralelă la c. Direcţia lui c se obţine din condiţia ca b însumat

cu c să dea a. Se poate scrie: OBOABAc −==r

, (relaţia lui

Chasles), adică vectorul diferenţă are ca origine extremitatea

vectorului scăzător şi ca extremitate, extremitatea vectorului

descăzut.

- se poate scrie )( babacrrrrr

−+=−= adică se adună ar cu vectorul

)( br

− , (fig.1.10).

Algebric, scăderea se poate scrie:

−

−

−

=

−

=−=

=

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

z

y

x

ba

ba

ba

b

b

b

a

a

a

ba

c

c

c

c (1.10)

adică componentele diferenţei sunt egale cu diferenţa componentelor

celor doi vectori.

1.2.1.6. Proprietăţi ale egalităţilor vectoriale în care apar sume şi

diferenţe

Fig.1.10. Scăderea a doi

vectori


405

Dacă este dată egalitatea ba = , se poate aduna un vector c în

ambele părţi şi se obţine tot o egalitate vectorială.

Fiind dată egalitatea ba = , se pot scădea în ambele părţi ale ei

acelaşi vector c şi se obţine tot o egalitate. Din cele două

proprietăţi rezultă că într-o egalitate vectorială se pot trece unii

termeni dintr-o parte a egalităţii în cealaltă, cu semn schimbat, ca

în orice egalitate algebrică.

Dacă avem egalităţile vectoriale 11 ba = şi 22 ba = , acestea pot fi

adunate sau scăzute termen cu termen şi se obţin tot egalităţi

vectoriale.

1.2.1.7. Descompunerea unui vector după doi vectori coplanari cu el

A descompune un vector cunoscut ar după doi vectori b

r şi c

r revine la a

descompune vectorul ar după direcţiile definite de vectorii b

r şi c

r

putându-se scrie:

21 OAOAOA += .

Aceste componente pot fi exprimate

funcţie de vectorii br şi c

r (fig. 1.11)

după relaţii de forma:

cnOAbmOArr

== 21 ; întrucât

componentele sunt vectori colineari cu

vectorii br şi c

r. Rezultă:

cnbmarrr

+= (1.11)

Fig. 1.11. Descompunerea

unui vector după doi vectori


406

Rezultă că orice vector se poate descompune după doi vectori coplanari

cu el. Dacă cei doi vectori nu sunt colineari, descompunerea este unică.

Dacă vectorii sunt colineari descompunerea este nedeterminată.

Relaţia scrisă se poate aduce la o formă omogenă dacă se ia:

αγ

αβ

−=−= nm ; .

În acest caz relaţia ( 1.11 ) poate fi scrisă sub forma:

0=++ cbarrr

γβα (1.12)

care reprezintă condiţia ca trei vectori să se găsească în acelaşi plan.

Relaţiile scrise arată că, dacă sunt daţi trei vectori coplanari, oricare din

ei poate fi exprimat ca o combinaţie lineară a celorlalţi doi.

Algebric, relaţia (1.12 ) se poate scrie:

0

0

0

=++

=++

=++

yyy

yyy

xxx

cba

cba

cba

γβα

γβα

γβα

(1.13)

Conform teoriei sistemelor lineare omogene, există γβα ,, nenuli care

verifică sistemul, dacă şi numai dacă determinantul sistemului se

anulează:

0=

zzz

yyy

xxx

cba

cba

cba

(1.14)

care reprezintă condiţia ca trei vectori să se găsească în acelaşi plan (O

coloană a determinantului este o combinaţie lineară de celelalte două).

Teoremă. Descompunerea unui vector dat după alţi doi vectori,

coplanari cu el, este unică.


407

Dacă se presupune că ar exista două descompuneri am avea:

cnbma += şi cnbma '' += cu ';' nnmm ≠≠ . Dacă se scad aceste

două relaţii se obţine: ( ) ( ) 0'' =−+− cnnbmm sau: ( )( )

ccmm

nnb λ=

−−

−='

'

cu ( )( )'

'

mm

nn

−−

−=λ , adică b şi c sunt colineari, ceea ce contrazice

ipoteza. Se poate arăta foarte uşor că şi cazurile ';' nnmm ≠= şi

';' nnmm =≠ contrazic ipoteza, de unde rămâne doar: ';' nnmm ==

adică descompunerea este unică.

Teoremă. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca trei vectori să fie

coplanari este ca între ei să existe relaţia (1.11) sau (1.12).

Dacă se consideră vectorii ba , şi c coplanari atunci a se poate

descompune după ceilalţi doi vectori şi se poate scrie: cnbma +=

(condiţia este necesară).

Reciproc, relaţia scrisă anterior arată că a este suma a doi vectori

colineari cu b , respectiv c , adică este un vector coplanar cu aceştia

(condiţia este suficientă).

1.2.1.8. Înmulţirea unui vector cu un scalar

Să considerăm un vector a şi scalarul λ. Prin definiţie produsul dintre

un vector a şi un scalar λ este un vector b , colinear cu a , are acelaşi

sens cu a dacă λ este pozitiv şi sens contrar dacă λ este negativ şi are

modulul egal cu aλ . Se scrie:


408

ab λ=r

(1.15)

1.2.1.9. Vectori coplanari linear independenţi şi linear dependenţi

Deoarece între doi vectori necolineari a şi b nu poate exista o relaţie

lineară (dacă ba λ= sau 0=β+α ba vectorii ar fi colineari, contrar

ipotezei), se spune că doi vectori necolineari sunt linear independenţi.

Să considerăm acum trei vectori care se găsesc în acelaşi plan. Deoarece

între ei există relaţia (1.11) sau (1.12) rezultă că între ei există o

dependenţă lineară. Din acest motiv ei se numesc linear dependenţi.

Dacă se consideră doi vectori necolineari, b şi c , orice vector coplanar

cu ei se poate exprima sub forma (1.11) sau (1.12). Deci cu ajutorul

acestor doi vectori se poate exprima orice alt vector coplanar cu ei.

Aceşti vectori se numesc vectori fundamentali.

1.2.1.10. Descompunerea unui vector după trei vectori necoplanari

Se consideră dat un vector a şi ne propunem să-l scriem ca suma a trei

vectori colineari respectiv cu vectorii dcb ,, , care nu sunt coplanari.

Pentru aceasta se duc cei trei vectori, printr-o echipolenţă, într-un punct

O al spaţiului, care este extremitatea vectorului a . Se descompune a

după direcţiile OB, OC, OD şi se obţin componentele ,, 21 OAOA ,3OA

deci:

.321 OAOAOAa ++=r


409

Întrucât ,,, 321 OAOAOA sunt colineari respectv cu dcb ,, , se poate

scrie: .,, 321 dpOAcnOAbmOArrr

===

Atunci rezultă:

dpcnbmarrrr

++= (1.16)

Dacă se face notaţia:

αδαγαβ /,/,/ −=−=−= pnm

se obţine:

0=+++ dcbarrrr

δγβα (1.17)

Teoremă. Descompunerea unui

vector după trei vectori necoplanari

este unică.

Se presupune că există două

descompuneri distincte:

dpcnbmarrrr

++=

şi dpcnbmarrrr

''' ++= .

Prin scădere rezultă:

( ) ( ) ( )dppcnnbmmrrr

'''0 −+−+−= (1.18)

Dacă ',',' ppnnmm ≠≠≠ rezultă, conform relaţiei precedente, că cei

trei vectori dcb ,, sunt coplanari, ceea ce contrazice ipoteza. Dacă

,',' nnmm ≠= 'pp ≠ , conform rel. (1.17) va rezulta:

( ) ( )dppcnnrr

''0 −+−=

Fig. 1.12. Descompunerea

unui vectori după trei vectori


410

adică cr şi d

r sunt colineari, ceea ce de asemenea este contrar ipotezei.

Cazurile în care numai 'nn = sau numai 'pp = se tratează analog şi duc

la violarea ipotezelor. Rezultă că rămâne doar cazul în care

',',' ppnnmm === adică descompunerea este unică.

1.2.1.11. Vectori necoplanari linear independenţi şi linear

dependenţi

Dacă avem trei vectori necoplanari dcb ,, între ei nu poate exista o

relaţie lineară de forma: 0=++ dcbrrr

δγβ căci această relaţie

caracterizează trei vectori coplanari. Se spune că cei trei vectori

necoplanari sunt lineari independendenţi. Dacă avem un ansamblu de

patru vectori, între ei va exista relaţia (1.15) sau (1.16) care arată că unul

dintre ei este o combinaţie lineară a celorlalţi trei. Din acest motiv ei se

numesc linear dependenţi.

Dacă se alege un grup de trei vectori necoplanari (lineari independenţi),

cu ajutorul lor se poate exprima orice alt vector din spaţiul cu trei

dimensiuni. De aceea aceşti vectori se numesc vectori fundamentali.

1.2.1.12. Condiţiile în care trei vectori au extremităţile în linie

dreaptă sau patru vectori au extremităţile în acelaşi plan

Dăm, fără demonstarţie, două teoreme care definesc condiţiile în care

trei vectori au extremităţile în linie dreaptă sau patru vectori au

extremităţile în acelaşi plan.


411

Teorema I. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca extremitatea

vectorului cOCr

= să se găsească pe dreapta AB este ca în relaţia de

dependenţă cpbnamdrrrr

++= să avem 1=++ pnm .

Teorema II. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca extremitatea

vectorului dODr

= să se găsească în planul ABC este ca în relaţia de

dependenţă bnamcrrr

+= să avem 1=+ nm .

1.2.2. Produsul scalar a doi vectori

1.2.2.1. Definiţie şi proprietăţi

Se consideră doi vectori a şi b şi se defineşte o operaţie între cei doi

vectori cu rezultat în mulţimea numerelor reale astfel:

Definiţie. Se numeşte produs scalar a doi vectori a şi b numărul care

rezultă din produsul modulelor celor doi vectori, înmulţit cu cosinusul

unghiului dintre ei.

Produsul scalar se notează cu un punct: ),cos( baabbac =⋅= . Produsul

scalar are următoarele proprietăţi:

Produsul scalar este nul dacă: a) unul din vectori este nul sau b)

dacă cei doi vectori sunt perpendiculari. Demonstraţia primei

proprietăţi este imediată. Pentru demonstraţia celei de-a doua, dacă

se consideră formula în care apare cosinusul unghiului dintre cei

doi vectori, deoarece vectorii sunt perpendiculari, acest cosinus

este zero şi deci şi rezultatul este zero;


412

Pătratul unui vector în raport cu operaţia produs scalar este egal cu

modulul pătratului. Dacă se aplică formula şi se ţine seama că

unghiul dintre cei doi factori ai produsului este, în acest caz, zero,

rezultă imediat:

)(0cos222 aaaaaaa ==⋅=⋅= (1.19)

Produsul scalar este comutativ. Demonstraţia decurge imediat din

formula de definiţie a produsului scalar.

Produsul scalar este distributiv la

înmulţirea unui vector cu un scalar.

Demonstraţia decurge simplu dacă se

ţine seama că a şi aλ sunt colineari şi

de asemenea b şi bλ sunt colineari,

deci:

),cos(),cos(),cos( bababa λλ ==

Atunci, din formulele de definiţie, rezultă simplu:

( ) ( ) ( )bababa λλλ ⋅=⋅=⋅ (1.20)

Produsul scalar a doi vectori este egal cu modulul unuia dintre ei,

înmulţit cu proiecţia celuilalt pe direcţia primului vector.

Proprietatea rezultă dacă se urmăreşte fig. 1.13. Avem:

( ) ( )[ ] bprabababaabba a=== ,cos,cos (1.21)

deoarece: ( )babbpra ,cos= . În mod analog:

aprbbab

= (1.22)

Dăm, fără demonstraţie, următorul rezultat: produsul scalar este

distributiv faţă de adunarea vectorilor. Avem:

cabacba +=+ )( (1.23)

Fig. 1.13. Proiecţia unui

vector pe un al doilea


413

Dacă se ţine seama de proprietatea precedentă, se poate scrie

imediat:

dbdacbcadcba +++=+⋅+ )()(

adică regula de înmulţire a două polinoame se păstrează. Se poate

scoate, de asemenea, factor comun.

Produsul scalar a doi vectori nu se schimbă dacă unuia dintre

vectori i se adaugă un vector perpendicular pe celălalt. Să

considerăm doi vectori a şi b şi un al treilea vector

u perpendicular pe a . Avem deci: 0=ua . Atunci:

bauabauba =+=+ )( ceea ce demonstrează proprietatea.

În continuare să considerăm un triedru ortogonal Oxyz care are

versorii axelor kji ,, . Există relaţiile, deosebit de importante în

reprezentarea algebrică a vectorilor:

0,0,02

cos =⋅=⋅=⋅=⋅==⋅=⋅ kiikjkkjijjiπ

( ) ( ) ( ) 10cos222 ==== kji (1.24)

1.2.2.2. Reprezentări algebrice

Dacă se consideră reprezentarea (1.6) a vectorilor a şi b atunci se

poate scrie:


414

( )zzyyxx

zzyzxzzy

yyxyzxyxxx

zyxzyx

bababa

kbajkbaikbakjba

jbaijbakibajibaiba

kbjbibkajaiaba

++=

=+⋅+⋅+⋅+

++⋅+⋅+⋅+=

=++++=⋅

2

22

)()()(

)()()()()(

))((r

(1.25)

adică produsul scalar este dat de suma produselor componentelor celor

doi vectori. În scriere matriceală avem:

[ ] zzyyxx

z

y

x

zyx

Tbababa

b

b

b

aaababa ++=

==⋅ .

Condiţia ca doi vectori să fie perpendiculari se va scrie, dacă se adoptă

această reprezentare:

0=++ zzyyxx bababa (1.26)

Mărimea unui vector se obţine, dacă se consideră înmulţirea unui vector

cu el însuşi, din relaţia:

( ) 22222zyx aaaaaaa ++===⋅ (1.27)

de unde:

222zyx aaaa ++= (1.28)

În scriere matriceală:

2222zyx

Taaaaaa ++==

Unghiul dintre doi vectori se obţine din relaţia:

222222),cos(

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

ab

baba

++++

++=

⋅= (1.29)

Versorul unei direcţii. Se consideră o dreaptă )(∆ care face cu cele trei

axe ale unui sistem de coordonate ortogonal unghiurile βα , şi γ şi să


415

considerăm un vector u orientat de-a lungul acestei drepte.

Componetele lui după cele trei axe vor fi egale cu proiecţiile lui pe cele

trei axe, respectiv:

.cos,cos,cos γβα uuuuuu zyx ===

Să considerăm acum versorul dreptei date, fie ou . Acest versor se obţine

împărţind vectorul u la mărimea lui, deci:

γβα coscoscos kjiu

uuo ++== (1.30)

În scriere matriceală avem:

=

γβα

cos

cos

cos

ou (1.31)

Deoarece ou este versor, rezultă imediat:

1coscoscos 222 =++ γβα (1.32)

1.2.3. Produsul vectorial a doi vectori

1.2.3.1. Definiţie şi proprietăţi

Se consideră doi vectori a şi b şi se defineşte o operaţie între cei doi

vectori cu rezultat în mulţimea vectorilor, numită produs vectorial.

Definiţie. Fiind daţi vectorii OBbOAa == , se defineşte operaţia,

numită produs vectorial al celor doi vectori, care le asociază un vector

OCc = determinat în felul următor:

a) este perpendicular pe planul determinat de vectorii daţi (acest lucru îi

determină direcţia);


416

b) pe normala la plan se alege un sens astfel ca un observator, care ar

sta cu capul în acest sens, să vadă rotaţia de la OA la OB în sens

trigonometric direct (invers acelor de ceasornic). Metoda de determinare

a sensului se mai numeşte

şi regula burghiului drept:

dacă se consideră un

burghiu cu elice dreaptă, şi

se roteşte acesta astfel încât

să ducem OA peste OB pe drumul cel mai scurt, sensul este determinat

de sensul mişcării de translaţie a burghiului.

c) mărimea vectorului este egală cu aria paralelogramului construit pe

vectorii OA şi OB .

Rezultă deci ( ) )(2,sin OABariabaabc == . Produsul vectorial se

notează cu semnul x : bxac = .

În continuare sunt enumerate câteva din proprietăţile produsului

vectorial.

Produsul vectorial este nul dacă unul dintre cei doi vectori este nul

sau dacă cei doi vectori au aceeaşi direcţie. Într-adevăr, dacă în

expresia modulului produsului vectorial se consideră că unghiul

dintre cei doi vectori este zero, atunci sinusul acestui unghi este

zero, deci şi modulul produsului vectorial este zero. În particular

produsul vectorial al unui vector cu el însuşi este zero.

Paralelismul a doi vectori. Doi vectori vor fi paraleli dacă

produsul lor vectorial este egal cu zero. Acest lucru este evident

dacă se va ţine seama că unghiul dintre cei doi vectori paraleli este

Fig. 1.14. Definirea produsului vectorial


417

zero, deci şi sinusul acestui unghi, care apare în formula modulului

produsului vectorial, este zero. Acestă proprietate permite testarea

situaţiilor în care doi vectori sunt paraleli.

Produsul vectorial nu este comutativ. Să considerăm produsele

bxa şi axb . Vectorul rezultant în cele două cazuri are aceeaşi

direcţie, fiind orientat după o dreaptă perpendiculară pe cei doi

vectori dar sensurile vor fi diferite. Dacă ducem pe a peste b pe

drumul cel mai scurt obţinem un sens iar dacă îl ducem pe b peste

a pe drumul cel mai scurt obţinem un sens contrar. Întrucât

modulii celor doi vectori sunt egali rezultă că se poate scrie:

axbbxa −= sau 0=+ axbbxa (1.33).

Produsul vectorial este distributiv faţă de înmulţirea cu un scalar.

Demonstraţia decurge simplu dacă se ţine seama că a şi aλ sunt

colineari şi de asemenea b şi bλ sunt colineari. În acest caz

unghiul dintre a şi b ca şi unghiul dintre λa şi b sau a şi λb este

acelaşi deci şi sinusul acestui unghi va fi acelaşi în toate cele trei

cazuri. Rezultă:

( ) ( ) ( )bxabxabxa λλλ == (1.34).

Produsul vectorial dintre doi vectori rămâne neschimbat atunci

când vârful unui vector se mişcă pe o dreaptă paralelă la celălalt

vector (fig.1.15). Să considerăm paralelogramul OABM generat de

vectorii a şi b şi paralelogramul OApBpMp generat de vectorii a şi

b p. Vectorul b p s-a obţinut mutând vârful lui b după o dreaptă

paralelă cua . Cele două paraleograme au aceeaşi arie întrucât au

aceeaşi bază, a şi aceeaşi înălţime. Rezultă că modulul produsului


418

vectorial în cele două cazuri este acelaşi. Întrucât direcţia şi sensul

nu se modifică prin deplasarea

vârfului lui b după o dreaptă

paralelă cu a rezultă că

vectorul produs vectorial este

acelaşi în cele două cazuri, deci

nu se modifică la deplasarea

vârfului unuia din vectori după

o dreaptă paralelă cu celălalt.

Produsul vectorial este distributiv faţă de adunarea vectorială.

Deoarece demonstraţia, fără a fi dificilă, este mai lungă, nu o dăm.

Se va putea deci scrie:

( ) cxabxacbxa +=+ (1.35).

Folosind proprietatea precedentă se poate scrie produsul vectorial a

două sume de vectori. Avem:

( ) ( )=++ dcxba dxbcxbdxacxa +++ .

Regula de înmulţire rămâne aceeaşi ca la polinoame cu deosebirea

că ordinea factorilor în produs nu este arbitrară ci în fiecare termen

al dezvoltării primul factor trebuie să aparţină primei paranteze iar

al doilea factor trebuie să aparţină celei de-a doua paranteze.

Produsul vectorial nu se schimbă dacă la unul din vectori adunăm

un alt vector paralel cu al doilea vector al produsului. Într-adevăr

adunarea la unul din vectori a unui alt vector paralel cu celălalt

duce la obţinerea unui vector a cărei extremitate se găseşte pe

paralela la primul vector rezultă atunci conform unei proprietăţi

Fig.1.15. Invarianţa produsul

vectorial la deplasarea

extremităţii unui vector după o

dreaptă


419

anterioare (dacă plimbăm vârful unui vector pe o dreaptă paralelă

cu celălalt) că produsul vectorial nu se schimbă.

Dacă se consideră un triedru ortogonal cu versorii kji ,, , dacă se

ţine seama de unghiurile dintre axele de coordonate şi de direcţia şi

sensul vectorilor rezultanţi, se poate scrie:

0=== kxkjxjixi şi:

jixkikxjkjxi === ,, (1.36)

Un triedru ortogonal pentru care sunt valabile relaţiile de mai sus poartă

numele de triedru ortogonal drept. Dacă pe cea de-a treia axă sensul este

definit de relaţia kjxi −= spunem că avem un triedru ortogonal stâng.

În general, în continuare se vor utiliza triedre ortogonale drepte dacă nu

se specifică altceva.


Să considerăm acum doi vectori a şi b definiţi prin componentele lor:

kbjbibbkajaiaa zyxzyx ++=++= ,

Ţinând seama de regulile de înmulţire a versorilor axelor, se poate scrie:

( ) ( )=++++== kbjbibxkajaiabxac zyxzyx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )=++++

+++++=

kxkbajxkbaixkbakxjba

jxjbaixjbakxibajxibaixiba

zzyzxzzy

yyxyzxyxxx

( ) ( ) ( )kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy −+−+−=

deci componentele vectorului c vor fi date de expresiile:

xyyxzzxxzyyzzyx babacbabacbabac −=−=−= ;; (1.37)

Simbolic, produsul vectorial poate fi reprezentat prin determinantul:


420

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bxac == .

Matriceal, pentru reprezentarea unui produs vectorial, se introduce

matricea antisimetrică 3x3 asociată vectorului a :

−

−

−

=

0

0

0

][

xy

xz

yz

aa

aa

aa

a

şi atunci produsul vectorial este reprezentat de produsul matriceal:

−

−

−

=

−

−

−

=

xyyx

zxxz

yzzy

z

y

x

xy

xz

yz

baba

baba

baba

b

b

b

aa

aa

aa

ba

0

0

0

][ (1.38)

1.2.4. Produsul mixt a trei vectori

1.2.4.1. Definiţia produsului mixt şi proprietăţi

Se consideră trei vectori a ,b şi c . Produsul mixt al acestor trei vectori

este un scalar d , definit de combinaţia:

)( cxbad ⋅= (1.39)

Produsul mixt are o semnificaţie geometrică interesantă. Să considerăm

cei trei vectori a ,b şi c . Ei vor forma un paralelipiped

OBDCA’B’D’C’.Modulul produsului vectorial )( cxb , aşa cum s-a

arătat anterior, reprezintă aria paralelogramului OBDC, iar vectorul

produs vectorial este vectorul OM, perpendicular pe planul determinat

de vectorii b şi c . Să ducem acum perpendiculara din A’ pe OM.

A’A’’ este perpendiculară pe OM şi va rezulta că OA’’ este înălţimea


421

paralelipipedului. Atunci produsul scalar dintre OM şi a va avea o

valoare egală cu produsul dintre OM şi proiecţia lui a pe OM adică OA’’

adică o valoare egală cu produsul dintre aria paralelogramului bazei şi

înălţimea paralelipipedului, deci va fi egal cu volumul paralelipipedului.

Produsul mixt poate fi pozitiv sau negativ în funcţie de orientarea

triedrului format cu cei trei vectori daţi. Dacă orientarea acestui triedru

este pozitivă produsul mixt este pozitiv

şi dacă orientarea este negativă,

produsul mixt este negativ.

Rezultă: produsul mixt a trei vectori

reprezintă, în valoare absolută,

volumul paralelipipedului construit pe

aceşti vectori consideraţi drept muchii.

Proprietăţi ale produsului mixt:

Produsul mixt a trei vectori rămâne nechimbat dacă se permută

circular factorii săi, adică avem:

)()()( bxacaxcbcxba == (1.40)

Rezultatul se poate demonstra uşor dacă se ţine seamă că cele trei

produse reprezintă volumul paralelipipedului construit cu cei trei

vectori ca muchii, iar semnul este acelaşi în cele trei cazuri întrucât

orientarea triedrelor se menţine.

Produsul mixt nu se schimbă dacă se permută între ele semnele •

şi x, adică:

cbxacxba )()( = (1.41)

Fig. 1.16. Produsul mixt a

trei vectori


422

Rezultatul se demonstrează simplu, dacă se ţine seama că produsul

scalar este comutativ şi dacă se foloseşte proprietatea menţionată

anterior prin care se spune că produsul mixt nu se schimbă dacă se

permută circular între ei factorii. Deoarece valoarea produsului

mixt depinde numai de cei trei vectori şi de orientarea triedrului

definit de ei, indiferent de semnul care se pune între ei • sau x, s-a

convenit să se noteze produsul mixt şi sub forma:

][)()()( cbacbacbxacxba === (1.42)

Dacă se schimbă între ei doi factori ai produsului mixt, acesta îşi

schimbă semnul:

( )()()() abcbcacabcba −=−=−= (1.43)

Produsul mixt este nul dacă unul dintre factori este nul sau dacă cei

trei vectori sunt coplanari. Primul caz este evident. Pentru al doilea

caz se va observa că dacă cei trei sunt coplanari, paralelipipedul

construit cu ei are volumul nul, deci şi produsul mixt este nul. Un

caz particular,des întâlnit în practică este când doi vectori ai

produsului sunt colineari, deci cei trei vectori sunt coplanari. Deci,

dacă oricare doi vectori ai produsului mixt sunt colineari, produsul

mixt este nul.


Dacă se consideră vectorii kajaiaa zyx ++= , kbjbibb zyx ++= şi

kcjcicc zyx ++= şi se efectuează calculele se obţine pentru expresia

produsului mixt:


423

yzxzxyxyzyxzxzyzyx cbacbacbacbacbacbacba −−−++=)( (1.44)

Această expresie este tocmai determinantul matricei având drept linii

componentele vectorilor a ,b şi c deci se poate scrie:

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba =)( (1.45)

Dacă scriem produsul mixt sub această formă toate proprietăţile enunţate

anterior se demonstrează imediat dacă se ţine seama de proprietăţile

determinanţilor.

1.2.5. Dublul produs vectorial a trei vectori

Dacă se consideră vectorii a ,b şi c , dublul produs vectorial al acestor

trei vectori este vectorul d :

)( cxbxad = (1.46)

În cele ce urmează dăm, fără demonstraţie (care nu pune probleme dar

este mai laborioasă), principalul rezultat referitor la dublul produs

vectorial. Astfel, dublul produs vectorial d poate fi descompus după

direcţiile vectorilor b şi c sub forma:

( ) ( )cbabcacxbxad −== )( (1.47)

Dublul produs vectorial este nul dacă unul dintre factori este nul, dacă

vectorii b şi c sunt colineari sau dacă vectorul a este perpendicular pe

planul determinat de vectorii b şi c . Demonstraţia este imediată.


424

1.2.6. Aplicaţii ale calculului vectorial

1.2.6.1. Vectorul de poziţie al unui punct

Să considerăm un punct M în spaţiu şi să alegem un punct fix O ca fiind

origine a spaţiului. Să construim vectorul OMr =r

. Poziţia punctului M

este complet determinată de vectorul astfel construit. Vectorul OMr =r

se numeşte vectorul de poziţie al punctului M. Poziţia punctului M este

determinată deci dacă se cunoaşte direcţia axei OM, mărimea

segmentului OM şi orientarea acestuia pe dreapta considerată. În

aplicaţii, pentru determinarea vectorilor se pot utiliza diferite sisteme de

coordonate (carteziene, cilindrice, polare, sferice, naturale, etc) în care

vectorii sunt definiţi prin componente scalare. Aceste componente

definesc în mod univoc vectorul de poziţie, deci şi poziţia punctului M.

1.2.6.2. Determinarea dreptei suport a unei forţe

Să considerăm cunoscute forţa Fr şi momentul ei faţă de un punct OM

r

(fig. 1.17), (avem Fr

OMr

=0). Ne propunem să determinăm suportul

forţei. Pentru aceasta, din ecuaţia vectorială OMFxrrrr

= , trebuie să

determinăm soluţia rr.

Pe componente, relaţia se va scrie:

;

;

;

Oz

Oy

Ox

MyXxY

MxZzX

MzYyZ

=−

=−

=−

sau:

Fig.1.17. Suportul unei forţe


425

=

−

−

−

Oz

Oy

Ox

M

M

M

z

y

x

ZY

XX

YZ

0

0

0

Se constată uşor că determinantul sistemului este zero:

0

0

0

0

=

−

−

−

ZY

XX

YZ

(1.48)

deci sistemul nu are o soluţie unică. Dacă considerăm primele două

ecuaţii ca ecuaţii principale, se obţine că determinantul caracteristic este

egal cu zero:

( ) 0)(0

0

==++=

−

−=∆ OOzOyOx

Oz

Oy

Ox

c MRZZMYMXMZ

MZY

MX

MZrr

în virtutea faptului că momentul şi forţa sunt doi vectori perpendiculari.

Rezultă că avem un sistem nedeterminat de două ecuaţii cu trei

necunoscute. Geometric, cele două ecuaţii reprezintă plane a căror

intersecţie ne va da o dreaptă, care este suportul forţei.

O altă metodă de determinare a suportului forţei este cea vectorială.

Astfel dacă ecuaţia vectorială:

OMFxrrrr

= (1.49)

o înmulţim vectorial, la stânga, cu Fr se obţine:

( ) OMxFFxrxFrrrrr

= ,

de unde ţinând seama de regula de dezvoltare a dublului produs

vectorial, avem:

( ) OMxFFrFrFrrrrrr

=−2 .

Rezultă:


426

( )

FF

rF

F

MxFr O

rrrrr

r22

+= (1.50)

Întrucât în baza consideraţiilor anterioare am văzut că nu toate

componentele vectorului rr sunt independente, se poate alege ca

parametru expresia:

( )2F

rFrr

=λ

şi obţinem:

FF

MxFr O

rrr

rλ+=

2 (1.51)

Ecuaţia obţinută reprezintă o dreaptă, care are direcţia forţei şi trece prin

punctul de coordonate:

2F

MxFd O

rrr= (1.52)

Vectorul dr reprezintă distanţa de la origine la dreaptă (este

perpendicular pe forţă - provine dintr-un produs vectorial - deci şi pe

dreapta suport şi în plus când λ = 0 va rezulta că extremitatea lui

aparţine dreptei). Deci suportul forţei are ecuaţia:

Fdrrrr

λ+= (1.53)

sau pe componente:

;

;

;

Zdz

Ydy

Xdx

z

y

x

λ

λ

λ

+=

+=

+=

(1.54)

Prin eliminarea parametrului λ dreapta se poate pune şi sub forma:

Z

dz

Y

dy

X

dx zyx −=

−=

− (1.55)


427

1.3. Exerciţii

1. Dacă sunt daţi vectorii a ,b şi c să se demonstreze că există relaţia:

0)()()( =++ bxaxcaxcxbcxbxa

2. Dacă avem patru vectori cba ,, şi d să se arate că avem relaţia:

dbcb

dacadxcbxa

⋅⋅

⋅⋅=⋅ )()(

3. Dacă se dau cba ,, şi d să se arate că avem relaţia:

abdcbadcdcbacdbadxcxbxa )()()()()()( −=−=

4. Fie vectorii a ,b şi c necoplanari. Să se arate că dacă:

)()()()( cbbadxcbxa ⋅⋅⋅=⋅

atunci vectorii a şi c sunt perpendiculari.

5. Să se arate că:

bcbacxbxbxa )()()( =

6. Să se arate că:

[ ] 2)())(()( cbaaxccxbbxa =

7. Să se arate că avem descompunerea:

[ ] ( )[ ]abcbaccbaaxcxcxbxbxa )()()()()( −=

8. Dacă )3,2,1(,, =icba iii sunt numere reale să se arate că vectorii:


428

kbajacicbu

kbajacicbu

kbajacicbu

)()()(

)()()(

)()()(

3333333

2222222

1111111

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

sunt coplanari.

Indicaţie: Dacă se scrie produsul mixt al celor trei vectori sub formă de

determinant se constată că acesta este zero, deci vectorii sunt colineari.

9. Dacă se dau vectorii a ,b şi c necoplanari, să se calculeze produsul

mixt al vectorilor: )(),(),( accbba +++ şi să interpreteze geometric

rezultatul.

Răspuns: ( )cbaP 2=

10. Dacă se dau vectorii a ,b şi c necoplanari, să se calculeze produsul

mixt al vectorilor: )(),(),( accbba −−−

Răspuns: P = 0.

11. Din dezvoltarea în două moduri diferite a produsului ))(( uxcbxa

să se deducă componetele lui u după direcţiile vectorilor a ,b şi c ,

presupuşi necoplanari.

Răspuns: ( )[ ]cubabuacaucbcba

u )()()(

1++=


429

12. Dacă se dau vectorii a ,b şi c necoplanari se construiesc cu aceştia

vectorii vu , şi w în felul

următor:

).(

),(

),(

baxcw

acxbv

cbxau

+=

+=

+=

Să se arate că:

a) === uxwwxvvxu

( )( )cbacba ++=

b) 0)( == wvuP

13. Să se scrie ecuaţia dreptei pentru următoarele cazuri:

a) trece prin punctul )( oo rM şi are direcţia dată de vectorul a ;

b) trece prin punctele )( ArA şi )( BrB ;

c) trece prin origine şi are direcţia dată de vectorul a .

Rezolvare:

a) M fiind un punct oarecare pe dreapta ( )∆ căutată, avem (fig.1.18):

aMM o

rλ= cu ∈λ R. Relaţia poate fi scrisă:

arr o λ=− , ∈λ R

sau:

arr o λ+= , ∈λ R

Dacă se consideră vectorii ),,( zyxr , ),,( oooo zyxr şi ),,( zyx aaaa

definiţi prin coordonatele carteziene, ecuaţia dreptei ia forma:

Razzayyaxx zoyoxo ∈λλ+=λ+=λ+= ,;;

Fig.1.18.


430

sau, dacă se elimină parametrul λ :

z

o

y

o

x

o

a

zz

a

yy

a

xx −=

−=

−

Dacă se înmulţeşte relaţia

vectorială a dreptei la dreapta cu

a se obţine:

axraxr o=

Se notează axrb o= (b este un

vector perpendicular pe a deci

0=⋅ba ). Atunci ecuaţia vectorială a dreptei se poate scrie sub forma:

baxr = (cu 0=⋅ba )

b) Vectorul AB rrABrr

−= este colinear cu dreapta (fig.1.19), deci dacă M

este un punct oarecare de pe dreaptă, se poate scrie: ABMM o λ= ,

∈λ R, sau )( ABo rrrr −=− λ sau încă:

)( ABo rrrr −+= λ

Dacă se consideră vectorii ),,( AAAA zyxr , ),,( BBBB zyxr definiţi prin

coordonatele carteziene, ecuaţia dreptei ia forma:

),();();( ABoABoABo zzzzyyyyxxxx −+=−+=−+= λλλ ∈λ R

sau, dacă se elimină λ :

AB

o

AB

o

AB

o

zz

zz

yy

yy

xx

xx

−

−=

−

−=

−

−

Dacă pornim acum de la relaţia vectorială pe care o înmulţim vectorial

la dreapta cu AB rr − se obţine:

BAABAAB rxrrrxrrrxr =−=− )()(

sau:

Fig.1.19.


431

BAAB rxrrrxr =− )(

c) Se ia la punctul precedent 0=Ar (punctul A coincide cu originea O)

şi se obţine

0=Brxr

În acest caz Br indică direcţia dreptei deci ar B λ= şi atunci:

0=axr .

14. Să se scrie ecuaţia unei drepte paralele cu axa Ox a sistemului de

coordonate.

Răspuns: bixrrrr

= cu kjbrrr

βα += .

15. Să se scrie condiţia ca trei puncte să fie colineare.

Rezolvare: Fie punctele A, B şi C. Condiţia ca ele să fie colineare se

scrie sub forma:

ABAC µ=

sau: )( ABAC rrrr −=− λ . Dacă se înmulţeşte relaţia la stânga vectorial

cu AB rr − se obţine: ( ) 0)( =−− ACAB rrxrr sau într-o formă simetrică:

0=++ ACCBBA rxrrxrrxr

16. a) Să se scrie ecuaţia planului π care trece prin punctele

)(),(),( CBA rCrBrA . Aplicaţie numerică: )5,1,2(,)1,2,3(,)5,3,1( CBA rrrrrr

;

b) Să se scrie ecuaţia planului π care trece prin punctul A iar normala

are direcţia dată de vectorul a ;


432

c) Care este condiţia ca punctele )(),(),(),( DCBA rDrCrBrA să fie

coplanare.

Rezolvare: a) Avem relaţiile (fig.1.20): ;AB rrABrr

−= ArrAMrr

−= . Un

vector perpendicular pe plan va fi perpendicular pe vectorii

AMACAB ;; . Dacă se notează cu nr normala la plan

== ACxABnr

ACCBBA rxrrxrrxrrrrrrr

++=

atunci trebuie să avem:

0=nxAMr

sau:

( ) ( ) ( )[ ] 0=−−− ACABA rrxrrrrrrrrrr

După dezvoltări se obţine:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ACABAACAB rrxrrrrrxrrrrrrrrrrrrr

−−=−−sau:

( ) [ ]CBAACCBBA rrrrxrrxrrxrrrrrrrrrrrr

=++

sau:

[ ]CBA rrrnrrrrrr

=

Aplicaţie numerică:

kji

kji

nrrr

rrr

r348

553112

513213 +−−=

−−−

−−−=

[ ] 35

512

123

531

−==CBA rrrrrr

deci ecuaţia planului va fi:

Fig.1.20


433

( ) 35348 −=+−− kjirrrrr

sau:

35348 =−+ zyx .

b) Dacă nr este vectorul normal la plan, el este perpendicular pe orice

vector din plan, adică: ( ) 0=− nrr A

rrr sau nrnr A

rrrr= . În cazul nostru

arar A

rrrr= .

c) Fie ACCBBA rxrrxrrxrnrrrrrrr

++= un vector normal la planul definit de

A,B,C (vezi punctul a). Dacă D se află în plan, trebuie să avem:

( ) 0=− nrr AD

rrr

sau:

[ ]CBAD rrrnrrrrrr

=

Avem:

[ ] [ ]CBAACCBBAD rrrrxrrxrrxrrrrrrrrrrrr

=++

sau:

[ ] [ ] [ ] [ ] 0=+++ BADADCDCBCBA rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

17. Să se rezolve ecuaţia vectorială baxrrrr

= .

Rezolvare: Dacă se preînmulţeşte ecuaţia cu vectorul ar se obţine:

( ) bxaaxrxarrrrr

=

sau, prin dezvoltarea dublului produs vectorial:

( ) bxaarararrrrrr

=−2


434

de unde:

aa

bxar

rrr

rλ+=

2 cu

( )2a

rarr

=λ .

18. Să se arate că a

b

a

bxad ==

2

rr

reprezintă distanţa de la origine la

dreapta baxrrrr

= )0( =barr

.

Rezolvare: Ecuaţia baxrrrr

= are soluţia: aa

bxar

rrr

rλ+=

2. Dacă 0=λ

vectorul :

20 a

bxadr

rrrr==

=λ

uneşte originea cu un punct de pe dreaptă şi este perpendicular pe

dreaptă, întrucât 0=adrr

, deci reprezintă vectorul a cărui modul e distanţa

de la origine la dreaptă.

19. Să se determine ecuaţia planului care trece prin origine şi este

perpendicular pe vectorul ar.

Rezolvare: În problema 15.b se ia 0=Arr

şi se obţine: 0=arrr

. Dacă se

consideră planele de coordonate xOyzOxyOz ,, ele vor avea respectiv,

ecuaţiile: ;0;0 == jrirrrrr

.0=krrr


435

20. Să se scrie forma vectorială a ecuaţiei unui plan care intersectează

axele în punctele )1

,0,0(,)0,1

,0(,)0,0,1

(c

Cb

Ba

A .

Rezolvare: Ecuaţia planului prin tăieturi este în acest caz:

1=++ zcybxa

Dacă se consideră vectorii kzjyixrrrrr

++= şi kcjbianrrrr

++= se poate

scrie:

1=nrrr

.

21. Să se scrie ecuaţia planului care conţine dreapta )0(, == babaxrrrrrr

şi punctul orr (fig.1.21).

Rezolvare: Rezolvând ecuaţia dreptei se obţine:

aa

bxar

rrr

rλ+=

2

Fig.1.21


436

Punctul D pentru care 0=λ aparţine planului:

2a

bxarD

rrr

=

Un vector normal la plan va fi dat de:

axrbaxra

bxaraxrrn ooDoD

rrrrrrr

rrrrr−=

−==−=

2)(

Dacă scriem ecuaţia planului sub forma (vezi 15.b):

nrnr o

rrrr=

şi introducem nr se obţine:

( )oo rbaxrbrrrrrrr

=− )(

22. Să se scrie ecuaţia unui plan perpendicular pe axa Oz şi trece prin

punctul Arr

.

Rezolvare: AA zkrkr ==rrrr

23. Să se determine punctul de intersecţie între planul car =⋅ 1 şi

dreapta baxrrrr

=2 ,( 02 =bar

). Aplicaţie: )1,3,1(1ar

, )1,1,2(2 −ar

, )1,1,1( −br

,

1=c .

Rezolvare: Se preînmulţeşte ecuaţia dreptei, vectorial, cu 1a . Se obţine:

( ) bxaaxrxarrrrr

121 =

Dacă se dezvoltă dublul produs vectorial se obţine:

( ) ( ) bxaararaarrrrrrr

12121 =−

de unde:


437

( )21

21

aa

acbxar rr

rrrr +=

Pentru valorile date se obţine:

kibxarrrr

441 −= ; ( ) 421 =aarr

; kjirIrrrr

4

5

4

1

2

3−+= .

24. Să se determine punctele de intersecţie ale dreptei

)0(, == babaxrrrrrr

cu planele de coordonate. Aplicaţie:

)4,2,2(;)2,3,1( barr

− .

Rezolvare: Pentru intersecţia cu planul yOz ( 0=⋅ irrr

), se preînmulţeşte

ecuaţia dreptei cu ir. Se obţine:

( ) bxiaxrxirrrrr

=

Dacă se dezvoltă dublul produs vectorial, se obţine:

( ) ( ) bxiairriarrrrrrrr

=− ,

( )( )( ) ( )ia

bxia

ia

ir

ia

bxirxOy rr

rrr

rr

rr

rr

rrr

=+= .

În mod analog se obţin celelalte două intersecţii. Pentru valori date se

obţine:

;24;24 kibxjkjbxirrrrrrrr

−=+−=

22 +−= ibxkrrr

; ( ) ( ) ;3;1 == jaiarrrr

( ) 2−=kar

.

Rezultă:

.

;3

2

3

4;24

kir

kirkjr

zOx

yOzxOy

rrr

rrrrrr

−=

−=+−=


438

25. Să se determine dreapta de intersecţie a planelor: ;11 car =⋅rr

22 car =⋅rr

(fig.1.22).

Rezolvare: Dacă se scrie dreapta sub forma: ,baxrrrr

= )0( =barr

,

vectorul ar va aparţine celor două plane.

Dacă 1ar

şi 2ar

sunt perpendiculare pe

cele două plane, se poate scrie:

21 axaarrr

= . Rămâne de determinat br.

Ecuaţia dreptei este, dacă se cunoaşte ar:

baxaxrrrrr

=)( 21 . Dezvoltându-se dublul

produs vectorial, rezultă:

( ) ( ) baaraarrrrrrrr

=− 2112 .

Dacă se ţine seama de relaţiile de definiţie a planelor, se obţine:

2112 acacbrrr

−=

Rezultă ecuaţia dreptei de intersecţie:

211221 )( acacaxaxrrrrrr

−=

26. Să se determine intersecţia planelor 11 car =⋅ , 22 car =⋅ , 33 car =⋅ .

Rezolvare: În conformitate cu problema precedentă, dreapta de

intersecţie a primelor două plane este:

211221 )( acacaxaxrrrrrr

−=

care trebuie intersectată cu planul: 33 car =⋅ .

Fig.1.22


439

Se preînmulţeşte vectorial ecuaţia dreptei cu 3ar

. Se obţine, după

dezvoltarea dublului produs vectorial:

[ ] ( ) ( )231132213213 ))(()( axacaxacaxararaxaarrrrrrrrrrrr

−=−

de unde rezultă punctul de intersecţie:

( ) ( ) ( )[ ]321

213132321

aaa

axacaxacaxacrI rrr

rrrrrrr ++

=

27. Să se determine distanţa de la un punct )( BrB la planul car =⋅

(fig.1.23).

Rezolvare: Fie A piciorul perpendicularei din B pe plan. Avem: aABr

λ=

sau: arr AB

rrrλ=− .

Dacă se înmulţeşte această relaţie

scalar cu ar se obţine:

( ) 2aarr AB λ=−rrr

De aici:

22 a

car

a

arar BAB −=

−=

rrrrrr

λ .

Mărimea distanţei este:

a

caraABd B −

===rr

λ .

28 Să se determine distanţa de la punctul )( ArAr

la dreapta baxrrrr

=

(fig.1.24).

Fig.1.23


440

Rezolvare: Fie M( rr) piciorul perpendicularei din A pe dreaptă. Vectorul

AM este perpendicular pe vectorul ar

care indică direcţia dreptei. Se poate

deci scrie:

0=⋅aAMr

sau:

( ) 0=⋅− arr A

rrr

arar A

rrrr⋅=⋅

Dacă forma vectorială a ecuaţiei dreptei se preînmulţeşte vectorial cu ar

se obţine, după dezvoltarea dublului produs vectorial:

( ) bxaarararrrrrr

=−2

sau:

( ) ( )M

A raa

ra

a

bxaa

a

ra

a

bxar

rrrrrr

rrrrr

r=+=+=

2222

care reprezintă vectorul de poziţie a punctului M. Atunci vectorul

distanţă dintre punctul A şi dreaptă este:

( )A

AA ra

a

ra

a

bxarrAM

rrrrrr

rrr−+=−==

22δ

iar modulul lui este:

( )=

−+=

2

2

a

raarabxa AA

rrrrrr

δ

[ ]2

2222 )()(

a

xaaaazayaxababa AzyxzAyAxAxyzzy ++−+++−=

∑

Fig.1.24


441

29. Să se determine distanţa dintre dreptele 11 baxrrrr

= şi 22 baxrrrr

=

(fig.1.25).

Rezolvare: Fie AB vectorul distanţă

dintre cele două drepte. Atunci vom

avea relaţiile: 01 =⋅ aABr

şi 02 =⋅aABr

.

Rezultă că trebuie să avem relaţia:

( )21 axarrAB AB

rrrrλ=−= şi 11 baxrA

rrr= ,

22 baxrBrrr

= . Dacă înmulţim scalar vectorul ABcu ( )21 axarr

se obţine:

22121 )()( axaaxaABrrrr

λ=⋅

sau:

( ) 22121 )()( axaaxarr AB

rrrrrrλ=−

2212121 )()()( axaaxaraxar AB

rrrrrrrrλ=−

Dacă se ţine seama de proprietăţile produsului mixt, se poate scrie:

( ) 2

211221 )()( axaaxraaxraAB

rrrrrrrrλ=−−

Introducând în paranteze ecuaţiile dreptelor, rezultă:

2211221 )( axababarrrrrr

λ=−−

de unde:

221

1221

)( axa

babarr

rrrr−−

=λ

Se obţine astfel vectorul distanţă dintre cele două drepte:

)()(

21221

1221 axaaxa

babaAB

rrrr

rrrr−−

=

şi modulul lui:

Fig.1.25


442

)( 21

1221

axa

babaAB rr

rrrr−−

=

30. Să se determine unghiul dintre dreapta baxrrrr

= )0( =barr

şi planul

cmr =⋅rr

.

Rezolvare: Fie π∈'A piciorul perpendicularei dusă din punctul A

aparţinând dreptei pe plan. Avem: π⊥'AA , deci mAAr

λ=' . Rezultă:

mrr AA

rrrλ=−' sau: mrr AA

rrrλ+=' . Dacă se preînmulţeşte ecuaţia dreptei,

vectorial cu mr rezultă: ( ) bxmaxrxm

rrrrr= . Dacă se dezvoltă dublul

produs vectorial, se obţine:

( )( )am

armbxmr rr

rrrrrr −=

şi dacă se pune condiţia ca punctul de intersecţie să aparţină planului

( cmr =⋅rr

), se obţine vectorul de poziţie al punctului de intersecţie al

dreptei cu planul:

( )amacbxm

rI rr

rrrr −

= .

Să aflăm acum direcţia dreptei IA' . Avem:

( ) 21a

bxa

am

acbxmrra AI

rr

rr

rrrrrr

−−

=−= .

Din ecuaţia dreptei sub forma:

aa

bxar

rrr

r12

λ+=

s-a considerat pentru alegerea punctului A cazul particular când 01 =λ ,

deci:


443

2a

bxarA

rrr

=

Avem: ( ) ( )111 cos aaaaaarrrr

<=

de unde: ( ) ( )1

11cos

aa

aaaa

rrrr

=<

dar:

( ) ( )( )

( ) ( )( )am

caaxbm

a

bxaa

am

cabxmaaa rr

rrrrrr

rr

rrrrr

2

2

2

1

−=−

−=

În acest caz rezultă:

( )

( )( )

( ) 2

2

1cos

a

bxa

am

acbxma

am

caaxbm

aa rr

rr

rrr

rr

rrr

rr

−−

−

=< .

31. Fiind dată dreapta baxrrrr

= pe care se află forţa alunecătoare Fr să

se determine punctele în care vectorul moment este Mr

( 0=⋅MFrr

),

(fig.1.26).

Rezolvare: Fie P un punct de pe

suportul forţei (unde momentul este

nul) şi D un punct în care vectorul

moment este Mr

. Avem:

'rxFMrrr

= .

Dacă preînmulţim vectorial cu Fr se

obţine: Fig.1.26


444

FF

MxFr

rrr

r''

2λ+−= .

Vectorul de poziţie al punctului D este:

FF

MxFa

a

bxarrrD

rrr

rrr

rrr''

22λλ +−+=+= .

Dacă se ţine seama că forţa este colineară cu vectorul ar ( aF

rr⋅= γ ),

rezultă:

aa

cxaa

a

Mbxa

rDr

rrr

rrr

r")'(

22

2

λγλλγγ

+=++

−

=

unde: 2γ

γMbc

rrr−= şi γλλλ '" += adică o dreaptă paralelă cu dreapta

suport a forţei.

1.4. Matrice.

1.4.1. oţiuni fundamentale

O matrice de dimensiune m x n este reprezentată de un tabel cu m linii

şi n coloane:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

K

M

K

K

21

22221

11211

,

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

K

M

K

K

21

22221

11211

,

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

K

M

K

K

21

22221

11211

.

Am prezentat trei modalităţi diferite de notare ale acestor mărimi care se

întâlnesc în literatură, dar în lucrare vor prefera notaţia cu paranteze

drepte întrucât este uşor de utilizat.


445

otaţia matricelor: în literatură se întâlnesc notaţii diferite pentru

matrice. Câteva notaţii care s-au încetăţenit sunt prezentate în cele ce

urmează. Mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane se notează nxmΜ .

Matricele se notează cu litere mari ale alfabetului, ca de exemplu Am x n ,

Bm x n , Km x n . Uneori se notează cu literă îngroşată Am x n , Bm x n , Km x n.

Se mai obişnuieşte introducerea simbolului între paranteze: [A]m x n ,

[B]m x n , [K]m x n sau reprezentări de forma: ( )ijijij aaa ,,][ . Pentru

matricele care au o singură coloană se utilizează notaţia cu acolade

(aceste matrice reprezintă vectori): XBA ,, .

Matrice pătrată. O matrice la care numărul de linii este egal cu numărul

de coloane se numeşte matrice pătrată de dimensiune n. Spre exemplu:

−

−

−=

2130

1153

2221

4321

][A

Mulţimea matricelor pătrate de dimensiune n se notează nΜ . O matrice

pătrată se notează nA sau dacă dimensiunea este subînţeleasă, se notează

simplu, A. Pentru definirea unei matrice pătrate este necesar să

cunoaştem cele 2n elemente ale ei.

Matrice simetrică. O matrice a cărei elemente au proprietatea jiij aa = se

numeşte matrice simetrică. De exemplu:


446

−

−−

−=

2154

1123

5202

4321

][A

Se observă că elementele matricei sunt simetrice faţă de prima

diagonală. Pentru definirea unei matrice simetrice este necesar să

cunoaştem doar elementele de pe diagonală şi deasupra ei, deci

1+2+3+... ...+ n = 2

)1( +nn elemente.

Matrice antisimetrică. O matrice ale cărei elemente au proprietatea

jiij aa −= se numeşte matrice antisimetrică.

Dacă ji = atunci relaţia de definiţie devine: iiii aa −= sau 0=iia deci

elementele de pe diagonala principală a unei matrice antisimetrice sunt

nule. De exemplu:

−−

−−

−−=

0154

1023

5202

4320

][A

Pentru definirea unei matrice antisimetrice este necesar să cunoaştem

doar elementele de deasupra sau de dedesubtul diagonalei, deci 2

)1( −nn

elemente.

Matrice diagonală. O matrice cu elemente diferite de zero numai pe

diagonală se numeşte matrice diagonală. Relaţia de definiţie a unei


447

matrice diagonale este: 0=ija dacă ji ≠ şi 0≠ija dacă ji = . Spre

exemplu:

=

5000

0300

0020

0001

][A

Pentru definirea unei matrice diagonale trebuie să cunoaştem doar

elementele de pe diagonală, deci n elemente.

Matrice triunghiulară. O matrice care are elemente nenule pe diagonală

şi deasupra sau dedesubtul ei poartă numele de matrice diagonală. O

matrice este superior triunghiulară dacă are elemente de sub diagonală

nule:

−

−

=

5000

1300

2320

5241

][ ST

şi inferior triunghiulară dacă are elemente de deasupra diagonalei nule:

−−

=

5125

0332

0024

0001

][ iT

1.4.2. Operaţii cu matrice

1.4.2.1. Suma a două matrice ( mxnmxnmxn x Μ→ΜΜ+ )


448

Să considerăm două matrice mxnBA Μ∈][],[ . Suma acestor două matrice,

notată cu +, este o matrice mxnC Μ∈][ care se scrie:

][][][ BAC += (1.56)

unde elementele matricei ][C sunt definite de relaţiile: ijijij bac += . Spre

exemplu, dacă:

−=

−−

=431

222][;

103

021][ BA

se obţine:

−−

−=

+−++−

−++=

=

−+

−−

=+=

332

243

413013

202221

431

222

103

021][][][ BAC

Pentru operaţia sumă există elementul neutru, pe care-l notăm cu

mxnO Μ∈][ care, dacă mxnA Μ∈][ are proprietatea:

][][][][][ AAOOA =+=+ (1.57)

Elementul neutru pentru operaţia de adunare are toate elementele zero:

=

000

000

000

][

K

M

K

K

O . (1.58)

Adunarea este comutativă, adică:

][][][][ ABBA +=+ (1.59)

şi asociativă:

( ) ( )][][][][][][ CBACBA ++=++ (1.60)


449

1.4.2.2. Înmulţirea unei matrice cu un scalar ( mxnpxnxR Μ→Μ )

Să considerăm un număr real, R∈λ , şi o matrice mxpA Μ∈][ . Produsul

matricei ][A cu scalarul λ este o matrice ][C , care se scrie:

][][ AC ⋅λ= (1.61)

unde elementele matricei ][C sunt definite de relaţiile: ijij ac λ= .

Operaţia de înmulţire cu un scalar se poate extinde dacă λ aparţine

corpului numerelor complexe. Spre exemplu, dacă 2=λ şi:

−−

=103

021][A

atunci produsul dintre matrice şi scalarul 2 este matricea:

−−

=

−−

=⋅λ=206

042

103

0212][][ AC

Există proprietatea de distributivitate a înmulţirii cu scalar faţă de

operaţia de adunare:

( ) ][][][][ BABA ⋅λ+⋅λ=+⋅λ (1.62)

1.4.2.3. Produsul a două matrice ( mxnpxnmxp x Μ→ΜΜ )

Să considerăm mxpA Μ∈][ şi pxnB Μ∈][ . Produsul acestor două matrice

este o matrice mxnC Μ∈][ pe care o scriem sub forma:

][][][ BAC ⋅= (1.63)

unde elementele matricei ][C sunt definite de relaţiile: ∑=k

kjikij bac .

În definiţia dată subliniem cerinţa ca numărul de coloane al primei

matrice să fie egal cu numărul de linii a celei de-a doua. Dacă acest


450

lucru nu este îndeplinit nu poate fi efectuat produsul matriceal.Acest

produs este de tipul linii pe coloane. Poate fi definit şi un produs de tipul

coloane pe linii, dar în cele ce urmează vom lucra exclusiv cu această

definiţie pentru produsul a două matrice. Spre exemplu, dacă:

−

=

−−

=

42

32

12

][;103

021][ 2332 xx BA

produsul celor două matrice este o matrice de dimensiune 2 x 2, dată de:

=

−

−−

=⋅=

42

32

12

103

021][][][ 22 BAC x

−−

=

⋅−+⋅+⋅−−⋅−+⋅+⋅−

⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅=

74

86

4)1(3013)2()1(2023

403221)2(02221

Dimensiunile matricei rezultante diferă, în general, de dimensiunile

factorilor. Ca urmare a acestui fapt, nu se poate pune problema

elementului neutru pentru operaţia de înmulţire decât pentru matricele

pătrate.

Dacă considerăm mulţimea matricelor de dimensiune n, atunci există

elementul neutru pentru operaţia de înmulţire, ][E , definit astfel:

][][][][][ AAEEA =⋅=⋅ (1.64)

Se obţine:

=

1

0

01

1

][

O

OE (1.65)


451

Nu se poate pune problema comutativităţii a două matrice de

dimensiune oarecare. Dacă matricele sunt pătrate, în cazul general,

înmulţirea nu este comutativă:

][][][][ ABBA ⋅≠⋅ (1.66)

Matricele comutative reprezintă cazuri speciale şi în cele ce urmează nu

vor fi întâlnite.

1.4.2.4. Inversa unei matrice.

Pentru matricele pătrate de dimensiune n se poate problema matricei

inverse. Astfel matricea 1][ −A care îndeplineşte condiţia:

][][][][][ 11 EAAAA =⋅=⋅ −− (1.67)

se numeşte inversa matricei ][A . A calcula această matrice revine la a

rezolva un set de sisteme lineare. Se obţine:

][1

][ *1 AA∆

=− (1.68)

unde ][ *A este adjuncta matricei ][A iar ∆ determinantul acestei.

Elementei matricei adjuncte sunt ( ) ijji

ija Γ−= +1* iar ijΓ reprezintă

determinanţii de rang n-1 obţinuţi prin eliminarea liniei i şi coloanei j

din matricea transpusă.

Dacă:

−

−=

132

121

031

][A

avem:


452

8−=∆ ,

−

−

=

110

323

211

][ TA , 3;3;5 131211 =Γ−=Γ−=Γ ;

1;1;1 232221 =Γ−=Γ−=Γ ; 5;3;7 333231 =Γ−=Γ−=Γ ;

−

−−

−

=

537

111

335

][ *A ;

Rezultă:

−−

−

−−

=

−−

−

−−

=−

625,0375,0875,0

125,0125,0125,0

375,0375,0625,0

537

111

335

8

1][ 1A

1.4.2.5. Sisteme lineare

Să considerăm sistemul linear:

132

12

203

=−+

−=++−

=++

zyx

zyx

zyx

care poate fi scris şi sub forma:

−=

−

−

1

1

2

132

121

031

z

y

x

.

Soluţia se poate obţine prin inversarea matricei coeficienţilor:

=

−

−

−=

−

1

1

2

132

121

0311

z

y

x


453

−=

−

−−

−

−−

=

75,2

25,0

25,1

1

1

2

625,0375,0875,0

125,0125,0125,0

375,0375,0625,0

În general, sistemul:

BXA =][ (1.69)

unde ][A este o matrice pătrată cu determinantul diferit de zero, are

soluţia:

BAX 1][ −= (1.70)

1.4.2.6. Transpusa unei matrice

Dacă ][A este o matrice, transpusa ei, notată TA][ , este matricea definită

de relaţiile:

jiij aa =' (1.71)

Spre exemplu, dacă:

−=

223

211][A avem:

−=

22

21

31

][ TA

În matricea transpusă liniile devin coloane, iar coloanele devin linii.

1.4.2.7. Reprezentarea matriceală a produsului vectorial

Să considerăm doi vectori a şi b şi produsul lor vectorial bxac = .

Ataşăm vectorilor b şi c matricele coloană:


454

=

=

z

y

x

z

y

x

c

c

c

c

b

b

b

b ;

iar vectorului a matricea antisimetrică:

[ ]

−

−

−

=

0

0

0

xy

xz

yz

aa

aa

aa

a

Produsul vectorial poate fi reprezentat matriceal sub forma pordusului

de matrice:

−

−

−

=

−

−

−

==

=

xyyx

zxxz

yzzy

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

baba

baba

baba

b

b

b

aa

aa

aa

ba

c

c

c

c

0

0

0

][

1.5. Vectori şi valori proprii pentru matrice pătrate

În acestă secţiune sunt introduse noţiunile de vectori şi valori proprii în

afara contextului în care apar în cadrul cursului de mecanică. Pentru

fiecare aplicaţie în parte va fi prezentată separat problema de vectori şi

valori proprii subliniindu-se proprietăţile caracteristice utile aplicaţiei.

Fie [ ]A o matrice pătratică de ordinal n cu elemente reale. Se spune că

un vector v este vector propriu pentru matricea [ ]A dacă avem relaţia:

vvA λ=][ (1.72)

cu alte cuvinte matricea [ ]A transformă vectorul v într-unul colinear cu

el. Valorile λ pentru care acest lucru se întâmplă se numesc valori

proprii. Relaţia (1.72) mai poate fi scrisă:

[ ] 0][ =λ− vEvA


455

sau:

[ ]( ) 0][ =λ− vEA (1.73)

Matricea:

][][ EA λ− (1.74)

poartă numele de matrice caracteristică a matricei [ ]A . Avem:

λ−

λ−

λ−

=λ−

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

EA

21

22221

11211

][][M

K

(1.74’)

Determinantul matricei caracteristice este un polinom de gradul n în λ.

Polinomul ])[]det([ EA λ− se numeşte polinomul caracteristic al

matricei[ ]A . Rădăcinile acestui polinom se numesc rădăcinile

caracteristice ale matricei.

A găsi vectorul v din (1.73) revine la a rezolva sistemul linear omogen

obţinut. Acesta are soluţii nenule dacă şi numai dacă:

[ ]( ) 0][det =λ− EA (1.75)

adică polinomul caracteristic se anulează. Rezolvând ecuaţia (1.75) se

obţin valorile λ pentru care acest lucru se întâmplă. Revenind în sistemul

(1.73) rezultă vectorii proprii. Dacă cele n valori λ sunt distincte vor

exita în general n vectori proprii linear independenţi. În cele ce urmează

se va presupune cazul în care valorile proprii sunt distincte. Cazul

valorilor proprii multiple, introduce unele probleme de calcul din cauză

că sistemul devine multiplu nedeterminat, dar rezultatele rămân în

principiu valabile. Câteva astfel de cazuri vor fi tratate în cadrul

aplicaţiilor.

Fie acum matricea ][B asemenea cu matricea [ ]A , adică:


456

[ ] [ ][ ]QAQB1][ −= (1.76)

cu [ ]Q nesingulară. Matricele asemenea au acelaşi polinom caracteristic

şi aceleaşi rădăcini caracteristice. Într-adevăr cum:

[ ][ ]Q

Qdet

1det 1 =− (1.77)

avem:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )[ ]( )=λ−=λ−=λ− −−QEAQEQAQEB

11 detdetdet

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )EAQEAQ λ−=λ−= − detdetdetdet 1

Cele două matrice au aceiaşi vectori proprii şi aceleaşi valori proprii.

Dacă ][B are forma:

=

nb

b

b

B

0

0

][ 2

1

O

deci cu elemente diferite de zero numai pe diagonală spunem că f are

forma canonică.

1.6. Matrice ortogonale

O matrice pătrată care are proprietatea:

][][][]][[ ERRRR TT == (1.78)

poartă numele de matrice ortogonală. Întrucât inversa unei matrice

verifică relaţia:

][][][]][[ 11 ERRRR == −− (1.79)

rezultă că matricele ortogonale au proprietatea:


457

TRR ][][ 1 =− (1.80)

foarte importantă atunci când avem de-a face cu probleme numerice,

întrucât transpunerea unei matrice este o operaţie deosebit de simplă, în

timp ce inversarea unei matrice cere calcule numeroase.

Ţinând seama de proprietatea determinanţilor

]det[]det[])][det([ BABA = şi ]det[]det[ RR T = ,

rezultă:

1]det[)]][det([ == ERR T

( ) 1]det[]det[]det[ 2 == RRR T

1]det[ ±=R (1.81)

1.7. Unele proprietăţi ale operaţiilor cu matrice

Enumerăm câteva din principalele proprietăţi ale calculului cu matrice,

care vor fi larg utilizate în dezvoltarea ulterioară a cursului:

• Orice matrice poate fi scrisă ca suma dintre o matrice simetrică şi o

matrice antisimetrică

Demonstraţie. Presupunem că putem scrie matricea ][A ca suma dintre o

matrice simetrică şi o matrice antisimetrică:

][][][ as AAA += (1.82)

Să transpunem relaţia scrisă:

][][][][][ as

T

a

T

s

T AAAAA −=+=

Dacă privim cele două ecuaţii ca un sistem matriceal cu necunoscutele

][ sA şi ][ aA se obţine:


458

( )T

s AAA ][][2

1][ += (1.83’)

( )T

a AAA ][][2

1][ −= (1.83’’)

Relaţiile scrise permit şi degajarea următoarelor două proprietăţi:

- Suma dintre o matrice pătrate şi transpusa ei este o matrice

simetrică;

- Diferenţa dintre o matrice şi transpusa ei este o matrice

antisimetrică;

• Produsul unei matrice pătrate cu transpusa ei este o matrice

simetrică ;

• Dacă ][A este simetrică ][][ AA T = (1.84)

• Dacă ][A este antisimetrică ][][ AA T −= (1.85)

sau: 0][][ =+ TAA

relaţie care poate defini o matrice antisimetrică.

• Dacă ][A este simetrică 1][ −A este de asemenea simetrică.

• ( ) TTTBABA ][][][][ +=+ (1.86)

• ( ) [ ] [ ]TTTABBA =]][[ (1.87)

• ( ) [ ] [ ] 111]][[ −−− = ABBA (1.88)

• ( ) ( )TT AA 11][][ −−

= (1.89)

• ( ) [ ]AATT =][ (1.90)

• ( ) [ ]AA =−− 11][ (1.91)


459

1.8. Matrice compuse

Să considerăm matrice ale căror elemente sunt tot matrice. Această

abordare este utilă în cazul în care dorim o scriere compactă pentru

anumite tipuri de ecuaţii sau, dimpotrivă, dorim să partiţionăm matricele

cu care lucrăm în elemente semnificative analizei care se efectuează.

Să considerăm o matrice ][A de forma:

[ ]

=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Prezentăm două moduri în care putem partiţiona matricea dată. Avem:

[ ]

=

2221

1211

AA

AAA

cu partiţionarea:

[ ] [ ] ;;2423

141312

2221

121111

=

=

aa

aaA

aa

aaA

[ ] [ ]

=

=

4443

343322

4241

323121 ;

aa

aaA

aa

aaA

sau cu partiţionarea:

[ ] [ ] ;;

34

24

14

12

333231

232221

131211

11

=

=

a

a

a

A

aaa

aaa

aaa

A

[ ] [ ] [ ] [ ]442243424121 ; aAaaaA ==

Suma şi produsul matricelor partiţionate se face după aceleaşi reguli

definite anterior,ca şi cum acestea ar fi elemente scalare, cu condiţia ca


460

produsele matriceale astfel apărute să fie definite (să fie respectate

condiţiile impuse pentru dimensiunile matricelor care se înmulţesc).

1.9.Funcţii de matrice

1.9.1. Consideraţii generale

În cele ce urmează, prin extensii ale definiţiilor funcţiilor uzuale, vor fi

definite funcţii de matrice. Considerarea funcţiilor generale de matrice

reprezintă o problemă mai dificilă, motiv pentru care se vor introduce,

gradat, diferite tipuri de matrice, mai des întâlnite în aplicaţii. Pentru

matricele simetrice, deoarece dispunem de forma canonică diagonală,

introducerea funcţiilor de matrice este mai uşoară. Prin extensii ale

operaţiilor de ridicare la putere, extragere de radicali, exponenţială,

inversă, se vor introduce astfel de funcţii atunci când variabila este o

matrice.

1.9.2. Cazul matricelor simetrice

Funcţii analitice. Orice matrice simetrică reală poate fi reprezentată sub

forma:

T

n

RRA ][

0

0

][][ 2

1

λ

λ

λ

=O

(1.92)

unde ][R este o matrice ortogonală. De aici rezultă imediat, prin inducţie

matematică după k:


461

T

k

n

k

k

k RRA ][

0

0

][][ 2

1

λ

λ

λ

=O

(1.93)

Rezultatul poate fi demonstrat pentru orice k raţional şi atunci, întrucât

orice funcţie analitică f(z) poate fi scrisă ca serie de puteri, se poate

defini funcţia analitică de matricea simetrică ])([Af sub forma:

T

n

R

f

f

f

RAf ][

)(0

)(

0)(

][])([ 2

1

λ

λ

λ

=O

(1.94)

Funcţia inversă: Utilizând procedeul de descompunere de mai sus este

natura să definim funcţia inversă sub forma:

T

n

RRA ][

0

0

][][

1

12

11

1

λ

λ

λ

=

−

−

−

−

O (1.95)

Se verifică cu uşurinţă că matricea 1][ −A astfel definită verifică relaţiile:

][]][[][][ 11 EAAAA == −−

unde ][E este matricea unitate.

Să verificăm în continuare dacă 1][ −A astfel obţinută este unică. Am

presupus, în descompunerea canonică, că toate valorile iλ sunt nenule.

Această condiţie este echivalentă cu: 0])det([ ≠A .

Într-adevăr, se verifică cu uşurinţă că dacă 0=λ i este o rădăcină a

ecuaţiei caracteristice 0])[]det([ =λ− EA atunci trebuie ca 0])det([ =A ,


462

şi, dacă 0]det[ =A atunci există o rădăcină 0=λ i . Deci în cazul în

care nici o valoare iλ nu este nulă matricea este nesingulară, şi ca atare,

inversabilă. Întrucât descompunerea în forma canonică este unică,

rezultă că şi inversa este unică, adică matricea definită sub forma

canonică pentru inversa unei matrice este aceeaşi cu cea care se obţine

în teoria clasică a matricelor.

Rădăcina pătrată: O matrice pozitiv definită reprezintă o generalizare a

unui număr pozitiv. Ţinând seama de forma obţinută pentru ridicarea

unei matrice la o putere raţională, rezultă că se poate scrie:

( )( )

( )

T

n

RRA ][

0

0

][][

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

λ

λ

λ

=O

(1.96)

Această matrice este pozitiv definită. Într-adevăr, dacă se ţine seama că

valorile sunt pozitive, atunci şi ( )2

1

iλ vor fi pozitive şi deci 2

1

][A va fi o

matrice pozitiv definită. Se poate arăta că rădăcina pătrată a unei matrice

este unică.


463

ANEXA II

VECTORI ŞI VALORI PROPRII

2.1 Matricea momentelor de inerţie

În mecanică, dacă se scriu ecuaţiile de mişcare pentru un rigid, se

constantă că intervin în ecuaţii momentele de inerţie axiale şi

momemntele de inerţie centrifugale. Modul în care intervin aceste

matrice în cadrul ecuaţiilor face comodă introducerea unei matrice

numită matricea momentelor de inerţie, care are forma:

−−

−−

−−

=

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

O

JJJ

JJJ

JJJ

J ][ (2.1)

Matricea momentelor are formă simetrică şi este o matrice care intervine

des atunci când studiem mişcarea unui rigid sau a unui sistem de rigide.

Matricea momentelor de inerţie joacă, pentru rotaţia generală a rigidului,

acelaşi rol pe care-l joacă matricea maselor pentru mişcarea de

translaţie.

2.2. Rotaţia axelor

Se consideră sistemul de referinţă Ox’y’z’, cu aceeaşi origine ca şi

sistemul Oxyz, dar cu alte direcţii ale axelor, definite de versorii:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

=

=

=

',cos

',cos

',cos

;

',cos

',cos

',cos

;

',cos

',cos

',cos

321

OzOz

OzOy

OzOx

e

OyOz

OyOy

OyOx

e

OxOz

OxOy

OxOx

e (2.2)


464

Matricea [ ] [ ]

==

333231

232221

131211

321

eee

eee

eee

eeeR , reprezintă matricea

de rotaţie, de componente eij, care reprezintă cosinuşii directori ai noilor

axe.

S-a notat ( )',cos jiij xxe = unde:

;1 xx = ;2 yx = ;3 zx = ';';' '3

'2

'1 zxyxxx === .

Un vector a în sistemul Oxyz va deveni vectorul a’ în sistemul

O’x’y’z’:

=++= 3'32

'21

'1 eaeaeaa [ ] [ ] '

'3

'2

'1

321 aR

a

a

a

eee =

(2.3)

Matricea [R] are proprietatea:

[ ] [ ] [ ]ERRT = , (2.4)

unde [E] este matricea unitate, relaţie care va fi demonstrată în cele ce

urmează (matricea [R] este ortonormală). Versorii e1, e2, e3 sunt

ortonormali,deci:

ijj

T

i ee δ= (2.5)

unde δij sunt simbolurile lui Kronecker, δij = 1 dacă i = j şi δij = 0 dacă i

≠ j. Atunci:

[ ] [ ]

[ ]=

= TTT

T

T

T

Teee

e

e

e

RR 321

3

2

1


465

[ ]E

eeeeee

eeeeee

eeeeee

TTT

TTT

TTT

=

=

=

100

010

001

332313

322212

312111

.

Rezultă atunci : [ ] [ ]TRR =−1 deci şi:

[ ] aRaT=' .

Expresia momentului cinetic în noul sistem de coordonate este:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =ω+== O

TT

O

T

O JRvSRKRK 0'

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] ''

0

'0

ω+=

=ω+=

RJRvRSR

RRJRvRSR

C

TT

T

O

TT

(2.6)

dar:

[ ] [ ] '' ''0

' ω+=T

OO JvSK (2.7)

de unde prin identificare rezultă:

[ ] [ ] [ ] [ ]RJRJ O

T

O =' (2.8)

[ ] [ ] [ ] [ ]RSRST=' (2.9)

Relaţia scrisă indică modul în care se modifică matricea momentelor de

inerţie la rotaţia axelor. Se evidenţiază şi transformarea inversă:

[ ] [ ][ ][ ]TOO RJRJ '= (2.10)

Exemplificăm calculul momentului de inerţie faţă de axa Ox’ dacă se

cunoaşte matricea momentelor de inerţie [ OJ ] :

[ ] ==′ 11 eJeJ C

T

xx

113131211211

2

31

2

21

2

11 222 eeJeeJeeJeJeJeJzzyzxyzzyyxx

−−−++ (2.11)


466

2.3. Momentul de inerţie al unui corp în raport cu o axă

Au fost definite momentele axiale sub forma:

( )( )( ) .

;

;

222

222

222

∫∫∫∫∫∫

δ=+=

δ=+=

δ=+=

dmdmyxJ

dmdmxzJ

dmdmzyJ

zzz

yyy

xxx

unde distanţele δx, δy, δz reprezintă distanţele punctului curent la axele

Ox, respectiv Oy şi Oz.

În cele ce urmează va exprimat momentul faţă de o axă oarecare în

funcţie de momentele faţă de axele unui sistem de coordonate.Momentul

faţă de o axă (∆) a fost definit prin relaţia:

∫δ=∆ dmJ 2 (2.12)

unde δ reprezintă distanţa de la punct la dreaptă. Dacă ( )γβα ,,ur

este

versorul axei ∆, rezultă:

Fig.5.9 Momentul de inerţie în raport cu o axă oarecare


467

( ) ( )( ) ( ) ( )−+++++=

=−=−=222222222

222222

yxxzzy

urururr

γβα

δrrrr

[ ]

+−−

−+−

−−+

=

=−−−

γβα

γβα

αγγββα

22

22

22

222

yxzyzx

yzxzyx

xzxyzy

zxzyyx

(2.13)

deci

[ ] uJuJ O

T=∆ (2.14)

adică se poate exprima momentul faţă de o axă printr-o formă pătratică

definită de matricea [JO]. De exemplu, se poate scrie:

[ ] iJiJ o

T

xx = , [ ] jJiJ o

T

xy = , etc. (2.15)

unde: [ ]Ti 001= , [ ] .010 Tj =

2.4. Direcţii de extrem pentru momentele de inerţie

Se pune problema căutării unei axe pentru care J∆ să admită un extrem.

Se va utiliza metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Cosinuşii directori

α, β, γ sunt supuşi restricţiilor:

1222 =γ+β+α (2.16)

deci:

( ) ( ) 01,, 222 =γ+β+α−=γβαg (2.17)

Lagrangeanul asociat problemei este:

( ) ( ) =γβαλ+=γβα ∆ ,,,, gJf


468

[ ] [ ] ( ).1 222 γ−β−α−λ+

γ

β

α

γβα= OJ (2.18)

Condiţiile 0=

∂∂

u

f revin la:

[ ] 0=

γ

β

α

λ−

γ

β

α

CJ (2.19)

Am folosit rezultatul: dacă [A] este matrice simetrică şi

[ ] XAXbT

2

1= (2.20)

atunci:

[ ] XAx

b

x

b

x

b

Xd

bd

n

=

∂∂

∂∂

∂∂

=

...21

(2.21)

Condiţiile date se mai pot scrie:

[ ]

γ

β

α

λ=

γ

β

α

OJ (2.22)

care exprimă faptul important că direcţia ( )γβα ,,ur

căutată este direcţie

proprie pentru matricea [ JO ], iar valorile λ sunt valori proprii pentru

[ JO ]. Deci valorile de extrem ale momentelor de inerţie faţă de o axă

sunt valorile proprii ale matricii [ JO ], iar direcţiile pentru care se

întâmplă acest lucru sunt vectorii proprii ai lui [ JO ].

Valorile proprii se mai numesc momente principale de inerţie, iar

vectorii proprii, direcţii principale de inerţie. Relaţia dată se mai poate

scrie:

[ ] uuJO λ= (2.23)


469

sau

[ ] [ ] uEuJO λ=

sau încă:

[ ] [ ] 0)( =λ− uEJO , (2.24)

care reprezintă un sistem linear omogen ce are soluţie diferită de cea

banală dacă şi numai dacă:

[ ] [ ]( ) 0det =λ− EJO

(2.25)

Această relaţie este o ecuaţie de gradul trei în λ, numită ecuaţie

caracteristică, care furnizează valorile proprii. Ecuaţia caracteristică se

poate pune sub forma:

0322

13 =−λ+λ−λ III (2.26)

unde I1, I2, I3 reprezintă invarianţii matricei momentelor de inerţie

(indiferent de sistemul de referinţă în care sunt calculaţi, dacă are

aceeaşi origine cu cel iniţial, mărimile acestea vor avea aceeaşi valoare)

şi sunt daţi de:

zzyyxx JJJJJJI ++=++= 3211 ;

zzxz

xzxx

zzyz

yzyy

yyxy

xyxx

JJ

JJ

JJ

JJ

JJ

JJ

JJJJJJI

−

−+

−

−+

−

−=

=++= 1332212

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

JJJ

JJJ

JJJ

JJJI

−−

−−

−−

== 3213

unde J1, J2 , J3 sunt soluţiile ec. (2.25). Valorile proprii fiind

determinate, se revine la sistemul omogen şi se rezolvă, obţinându-se

vectorii proprii.


470

2.5. Raza de inerţie

Se numeşte rază de inerţie corespunzătoare unei axe ∆, lungimea:

M

Ji ∆∆ = (2.27)

deci

2∆∆ = iMJ . (2.28)

Rezultă că i∆ reprezintă distanţa la care trebuie să se găsească un punct

material fictiv, având aceeaşi masă M şi acelaşi moment de inerţie J∆ ca

şi sistemul de puncte materiale considerat, faţă de axa ∆în raport cu

care se calculează momentul de inerţie.

2.6. Proprietăţi ale direcţiilor principale de inerţie

Direcţiile principale de inerţie sunt ortogonale. Astfel, dacă notăm cu

e1, e2, e3 soluţiile sistemului:

[ ] [ ]( ) 0=λ− eEJ iO (2.29)

pentru i = 1,2,3 atunci ei, i = 1,2,3 dau direcţiile principale de inerţie.

Se notează cu J1, J2, J3 valorile proprii, deci momentele principale de

inerţie. Se obţine:

[ ] iiiO eJeJ =

care prin premultiplicare cu ejT devine:

[ ] i

T

jiiO

T

j eeJeJe =

La fel se obţine:

[ ] j

T

ijjO

T

i eeJeJe = .

Dacă i = j rezultă:


471

[ ] iiO

T

i JeJe = (2.30)

întrucât 1=i

T

i ee . Dacă i ≠ j, scăzând cele două relaţii, se obţine:

( ) jT

iji eeJJ −=0 (2.31)

de unde, deoarece în general Ji ≠ Jj, rezultă 0=j

T

i ee , deci cele două

direcţii principale sunt ortogonale. S-a ţinut seama de faptul că:

[ ] [ ] iO

T

jjO

T

i eJeeJe = (2.32)

deoarece [ JO ] este matrice simetrică şi:

iT

jj

T

i eeee = (2.33)

(produsul scalar este comutativ). Deci: e1, e2, e3 vor forma un

triedru ortogonal.

Matricea:

[ ] [ ]321 eeeR =

face trecerea de la triedrul Oxyz la triedrul definit de direcţiile principale

de inerţie.

Ţinând seama de relaţia demonstrată anterior, scrisă sub forma:

[ ] ijiiO

T

j JeJe δ= (2.34)

unde δij este simbolul lui Kronecker, rezultă:

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ]=

= 321

3

2

1

eeeJ

e

e

e

RJR O

T

T

T

O

T


472

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

=

=

=

3

2

1

332313

322212

312111

00

00

00

J

J

J

eJeeJeeJe

eJeeJeeJe

eJeeJeeJe

O

T

O

T

O

T

O

T

O

T

O

T

O

T

O

T

O

T

(2.35)

adică faţă de acest sistem de referinţă, matricea momentelor de inerţie

are forma diagonală. Este deci convenabil de a alege sistemul de

referinţă principal în problemele de dinamică, întrucât termenii care vor

interveni în ecuaţii vor fi mai puţin numeroşi.

2.7. Elipsoidul de inerţie

Elipsoidul de inerţie este o reprezentare intuitivă a proprietăţilor de

inerţie la rotaţie ale corpurilor. Se ia pe axa (∆) a cărei direcţie este dată

de versorul [ ]Tu γβα= un segment OQ invers proporţional cu

rădăcina pătrată din J∆:

∆

=J

kOQ (2.36)

(unde k este o constantă arbitrară, ale cărei dimensiuni se aleg astfel

încât OQ să rezulte o lungime), deci:

uJ

kOQr

∆

== . (2.37)

Coordonatele punctului Q vor fi:

.;; γ=β=α=∆∆∆ J

kz

J

ky

J

kx (2.38)


473

deci:

γ

β

α

=

∆J

k

z

y

x

(2.39)

de unde

=

γ

β

α

= ∆

z

y

x

k

Ju (2.40)

Presupunând că dreapta (∆) variază, locul geometric al punctului Q este

un elipsoid. Într-adevăr:

[ ] [ ] [ ]

== ∆

∆

z

y

x

Jzyxk

JuJuJ OO

T

2 (2.41)

duce la:

[ ] [ ] 2k

z

y

x

Jzyx O =

(2.42)

Fig.5.1 Elipsoidul de inerţie


474

care reprezintă ecuaţia unei cuadrice cu centru. Cuadrica nu are puncte

la infinit întrucât:

γ

β

α

=

∆Jz

y

x1

(2.43)

J∆ ≠ 0 (exceptând cazul în care toate punctele s-ar afla pe dreapta ∆), iar

α, β, γ sunt finite pentru că sunt cosinuşi directori. Deci este vorba de un

elipsoid, numit elipsoidul de inerţie, corespunzător punctului O.

Faţă de sistemul de referinţă principal, dacă X, Y, Z sunt coordonatele

punctului curent în acest sistem, ecuaţia elipsoidului va avea forma:

[ ] 2

3

2

1

00

00

00

k

Z

Y

X

J

J

J

ZYX =

(2.44)

sau

223

22

21 kZJYJXJ =++ (2.45)

relaţie obţinută din prin operaţia:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2k

z

y

x

RRJRRzyxT

O

T =

(2.46)

şi ţinând seama de faptul că:

[ ]

=

z

y

x

R

Z

Y

XT şi [ ] [ ] [ ]RzyxZYX = .

Direcţiile principale de inerţie vor fi direcţiile semiaxelor elipsoidului de

inerţie. În raport cu axele principale de inerţie, momentele centrifugale

sunt nule. Această proprietate permite uneori identificarea axelor


475

principale de inerţie. De exemplu, dacă un corp are o axă de simetrie,

atunci momentele centrifugale sunt nule şi axa respectivă este axă

principală de inerţie pentru toate punctele prin care trece.

Caz particular. Se presupune că toate punctele corpului sunt situate pe o

dreaptă (∆) deci J∆ = 0. Se alege această dreaptă ca fiind axa Oz (Jzz =

0). Momentele centrifugale vor fi nule şi Jxx = Jyy = J. Deci elipsoidul de

inerţie va fi:

222 kyJxJ yyxx =+ (2.47)

sau

( ) 222 kyxJ =+ (2.48)

adică un cilindru de rotaţie având axa Oz.

Ecuaţia elipsoidului de inerţie raportată la sistemul principal de axe se

mai poate scrie:

22

3

2

2

2

2

2

1

2

111k

J

Z

J

Y

J

X=

+

+

(2.49)

cu semiaxele a, b, c:

.1

;1

;1

321 Jc

Jb

Ja === (2.50)

iar ecuaţia elipsoidului capătă forma clasică:

22

2

2

2

2

2

kc

Z

b

Y

a

X=++ (2.51)

Relaţiile:

232221

1;

1;

1

cJ

bJ

aJ === (2.52)


476

exprimă faptul că momentele principale de inerţie sunt invers

proporţionale cu pătratul semiaxelor elipsoidului. În continuare se vor

studia diverse cazuri în care se poate afla elipsoidul de inerţie şi

proprietăţile lui.

a) Pentru un rigid (sau sistem de puncte materiale), în orice punct

al spaţiului există un elipsoid de inerţie. Când punctul în care se

calculează matricea momentelor de inerţie coincide cu centrul de masă

al corpului se spune că elipsoidul este elipsoid central de inerţie. Axele

principale ale elipsoidului central de inerţie se numesc axele centrale de

inerţie (sau axe libere), iar planele lui principale sunt plane centrale de

inerţie.

b) După direcţia axei mari a elipsoidului se obţine momentul de

inerţie minim, iar după direcţia axei mici, momentul de inerţie maxim.

Faţă de axa mare a elipsoidului central de inerţie se obţine cel mai mic

moment de inerţie, momentul de inerţie minim minimorum.

c) În cazul în care două momente principale de inerţie sunt egale

(J1 = J2), elipsoidul este un elipsoid de rotaţie:

( ) 222

221 kZJYXJ =++ (2.53)

Momentul de inerţie faţă de orice axă care trece prin punctul considerat,

este cuprins între valorile extreme J1 şi J2. Orice axă situată în planul

ecuatorial (XOY) este axă principală de inerţie, iar momentul de inerţie

faţă de oricare din aceste axe este egal cu J1.

d) Dacă J1 = J2 = J3 atunci elipsoidul de inerţie devine o sferă:

( ) 22221 kzyxJ =++ (2.54)

cu raza:


477

1

22

J

kr = (2.55)

În acest caz orice axă ce trece prin O este o axă principală de inerţie, iar

momentul de inerţie faţă de oricare din aceste axe este egal cu J1.

e) Momentul de inerţie faţă de orice axă (∆) care trece prin punctul

considerat şi are versorul ( )γβα ,,ur

, faţă de sistemul format de axele

principale de inerţie este dat de relaţia

32

22

12 JJJJ γ+β+α=∆ (2.56)

Dacă în plus (∆) este o axă centrală, momentul faţă de o axă (∆)

paralelă cu (∆) şi situată la distanţa d de aceasta are expresia:

( )2

32

22

12

1 dMJJJJ +γ+β+α=∆ (2.57)

f) Elipsoidul central de inerţie al unui corp omogen urmăreşte

forma corpului; astfel în cazul unui corp de formă alungită, elipsoidul

central de inerţie este alungit în aceeaşi direcţie ca şi corpul considerat.

g) Dacă sistemul are trei plane de simetrie, perpendiculare între

ele, intersecţiile lor sunt axe principale de inerţie.

h) Dacă un corp omogen are un plan de simetrie, orice

perpendiculară la acest plan este o axă principală de inerţie pentru

punctul unde dreapta înţeapă planul.

i) Dacă un corp omogen are o axă de simetrie, aceasta este o axă

principală pentru toate punctele ei;

j) La un solid de rotaţie, elipsoidul de inerţie este un elipsoid de

rotaţie în jurul aceleiaşi axe;

k) Pentru ca un elipsoid să fie un elipsoid de inerţie trebuie ca:

213132321 ;; JJJJJJJJJ ≥+≥+≥+


478

relaţii justificate anterior. De aici rezultă:

222222222

111;

111;

111

bacacbcba≥+≥+≥+

479

BIBLIOGRAFIE

1. Bălan Şt., - Probleme de mecanică. Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1977.

2. Bălan Şt., - Culegere de probleme de mecanică. Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1972.

3. Bellman R., - Introducere în analiza matriceală. Editura Tehnică,

Bucureşti, 1969

4. Cândea I., Constantinescu D., Macovei M., - Mecanica -Statica.

Universitatea Transilvania din Braşov, 1992.

5. Constantin Fl., - Mecanica -Statica. Universitatea Transilvania din

Braşov, 1991.

6. Deliu Gh., - Mecanica -Statica. Universitatea Transilvania din

Braşov, 1991.

7. Deliu Gh., - Mecanica. Editura Albastră, Cluj, 2003.

8. Deliu Gh., Vlase S., - Statica. Culegere de probleme. Editura

Albastră, Cluj, 2004.

9. Iacob C., - Mecanica teoretică. Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1971.

10. Lugojanu R., - Mecanica. Universitatea Transilvania din Braşov,

1989.

11. Mangeron D., Irimiciuc .., - Mecanica rigidelor cu aplicaţii în

inginerie.Vol.I,II,III, Editura Tehnică Bucureşti, 1978-1982.

12. Pandrea .., - Elemente de mecanica solidului în coordonate

pluckeriene. Editura Academiei, Bucureşti, 2000.

13. Rădoi M., Deciu E., - Mecanica. Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1981.

14. Rădoi M., Deciu E., Voiculescu D., - Curs de mecanică. Statică şi

cinematică. Reprografia Institutului Politehnic Bucureşti, 1974.

15. Silaş Gh., Groşanu I., - Mecanica. Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1981.

16. Staicu Şt., - Aplicaţii ale calculului matriceal în mecanica solidelor.

Editura Academiei , Bucureşti, 1986.

17. Staicu Şt., - Probleme de mecanică teoretică, statică. Reprografia

Universităţii Tehnice Bucureşti, 1993.

480

18. Stoenescu Al., Silaş Gh., - Mecanica teoretică. Editura Didactică şi


19. Teodorescu P.P., - Mechanical Systems, Classical Models. Springer

Verlag, 2006.

20. Teodorescu P.P., - Sisteme mecanice. Modele clasice. Editura

Tehnică, 2002.

21. Tofan M., - Mecanica. Cinematica. Universitatea Transilvania, 1983.

22. Ţiţeica G., - Probleme de mecanică. Editura Didactică şi


23. Vâlcovici V., Bălan Şt., Voinea R., - Mecanica teoretică. Editura

Tehnică, 1963.

24. Vlase S., - Mecanica. Statica. Editura Infomarket, Braşov, 2004.

25. Vlase S., - Mecanica. Cinematica. Editura Infomarket, Braşov, 2006.

26. Vlase S., - Mecanica. Dinamica. Editura Infomarket, Braşov, 2005.

27. Voinea R., - Introducere în mecanica solidului cu aplicaţii în

inginerie. Editura Academică, Bucureşti, 1989.

28. Voinea R., Voiculescu D., Ceauşu V., - Mecanica. Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

Documents

S.VLASE, H.TEODORESCU, L. SCUTARU V.GUIMAN, …aspeckt.unitbv.ro/jspui/bitstream/123456789/1591/1/CINEMATICA si... · s.vlase, h.teodorescu, l. scutaru v.guiman, v.munteanu, a.stanciu,