Embed Size (px)
Citation preview
Sylvester-Schurの定理について
風あざみ
2016/10/14
目 次
1 記号の説明編 2
2 Sylvester-Schurの定理とは 2
3 Sylvester-Schurの定理と同値な命題編 3
4 証明の準備編 3
5 証明の準備編 (とくに二項係数に関するもの) 5
6 1, 2, · · · , nの最小公倍数の上界編 6
7 k ≥ 33のとき、Sylvester-Schurの定理が成り立つことの証明 11
8 6 ≤ k ≤ 32のとき、Sylvester-Schurの定理が成り立つことの証明 18
9 k ≤ 5のとき、Sylvester-Schurの定理が成り立つことの証明 22
10 参考にしたサイト 24
1
1 記号の説明編
[x]は xを超えない最大の整数を意味する。
また整数 nと素数 pに対して、nが pl で割り切れ pl+1 で割り切れないとき
l = vp(n)と書くことにする。
また、c < p ≤ dをみたす素数 pの積を以下のように書くことにする。∏c<p≤d
p
π(n)を、n以下の正の整数のうち、素数であるものの個数とする。
1, 2,・・・, nの最小公倍数を lcm(1, 2, · · · , n)と書くことにする。log xは自然対数を意味する。
2 Sylvester-Schurの定理とは
Sylvester-Schurの定理とは以下の命題である。
n ≥ 2kをみたす任意の正の整数 n, kに対して、
隣接する k個の整数 n, n− 1, · · · , n− k + 1
の素因数の中に kより大きなものが必ず存在する。
2
3 Sylvester-Schurの定理と同値な命題編
命題０：Sylvester-Schurの定理は以下の命題と同値である。
n ≥ 2kをみたす任意の正の整数 n, kに対して、(nk
)の素因数の中に kより大きなものが必ず存在する。
証明：上記の２つの命題の同値性を示す。
n, n− 1, · · · , n− k + 1の素因数の中に kより大きなものが存在する。
⇐⇒ n(n− 1) · · · (n− k + 1)の素因数の中に kより大きなものが存在
する。⇐⇒(n
k
)=
n(n− 1) · · · (n− k + 1)
k!の素因数の中に kより大
きなものが存在する。
以上より、命題０はいえた。 □
以降、Sylvester-Schurの定理と同値な以下の命題を示すことにする。
n ≥ 2kをみたす任意の正の整数 n, kに対して、(nk
)の素因数の中に kより大きなものが必ず存在する。
4 証明の準備編
命題１：x, yを実数とするとき、[x+ y]− [x]− [y] = 0, 1がいえる。
証明：[x+ y]− [x]− [y]＜ (x+ y)− (x− 1)− (y − 1) = 2
[x+ y]− [x]− [y]＞ (x+ y − 1)− x− y = −1
[x+y]−[x]−[y]は整数だから、[x+y]−[x]−[y] = 0, 1となる。 □
命題２：素数 pを任意にとる。 このとき、以下が言える。
vp(n!) =
∞∑i=1
[n
pi]
証明：1以上 n以下の整数で vp(m) = iとなるものの個数
=(pi の倍数の個数-pi+1 の倍数の個数)・iより
vp(n!) =
∞∑i=1
i・([n
pi]− [
n
pi+1]) =
∞∑i=1
[n
pi] □
命題３：任意の 33以上の整数 kに対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤ k
3
3
証明：k ≥ 49のとき、1, 25, 35, 49および、2以外の偶数や、3以外の 3の倍
数は素数ではないので、
π(k) ≤ k − 1− ([k
2]− 1)− ([
k
3]− 1) + [
k
6]− 3
< k − 1− (k
2− 2)− (
k
3− 2) +
k
6− 3 =
k
3
だから正しい。
34 ≤ k ≤ 36のとき
π(k) = 11かつ、k
3≥ 34
3≥ 11だから正しい。
37 ≤ k ≤ 40のとき
π(k) = 12かつ、k
3≥ 37
3> 12だから正しい。
41 ≤ k ≤ 42のとき
π(k) = 13かつ、k
3≥ 41
3> 13だから正しい。
43 ≤ k ≤ 46のとき
π(k) = 14かつ、k
3≥ 43
3> 14だから正しい。
47 ≤ k ≤ 48のとき
π(k) = 15かつ、k
3≥ 47
3> 15だから正しい。
よって命題３はいえた。 □
命題４：n, k, eを n > k > eをみたす正の整数とすると以下がいえる。
n− e
k − e>
n
k
証明：左辺と右辺との差を取る。
n− e
k − e− n
k=
(n− k)e
k(k − e)> 0
よって命題４はいえた。 □
4
5 証明の準備編 (とくに二項係数に関するもの)
命題５：n, kを n > kをみたす正の整数とすると以下がいえる。(n
k
)> (
n
k)k
証明：命題４より(n
k
)=
n
k· n− 1
k − 1· . . . · n− k + 1
1> (
n
k)k
よって命題５はいえた。 □
命題６：任意の正の整数 nに対して、n2 ≤ [n+1
2 ]がいえる。
証明：nが偶数のとき
n = 2rとかける。(ただし、rは正の整数とする)。
このとき、n2 = r, [n+1
2 ] = rだから正しい。
nが奇数のとき
n = 2r − 1とかける。(ただし、rは正の整数とする)。
このとき、n2 = r − 1
2 , [n+12 ] = rだから正しい。
以上より命題６はいえた。 □
命題７：n, kを n > kをみたす正の整数、pを素数とする。すると
vp(
(n
k
)) =
∞∑i=1
([n
pi]− [
k
pi]− [
n− k
pi])
証明：命題２より
vp(
(n
k
)) =
∞∑i=1
[n
pi]−
∞∑i=1
[k
pi]−
∞∑i=1
[n− k
pi] =
∞∑i=1
([n
pi]− [
k
pi]− [
n− k
pi]) □
定理８：n, kを n > kをみたす正の整数、pを素数とする。vp((nk
)) = jp, h =
[logp n]とおくと、以下の不等式が言える。
jp ≤ h
pjp ≤ n
証明：i > hのとき、[ npi ] = [ kpi ] = [n−kpi ] = 0がいえる。
よって命題１と命題７より
jp =
∞∑i=1
([n
pi]− [
k
pi]− [
n− k
pi])
5
=
h∑i=1
([n
pi]− [
k
pi]− [
n− k
pi]) ≤
h∑i=1
1 = h
一方、ph ≤ n < ph+1だから、pjp ≤ ph ≤ nであることがいえる。
よって、定理８がいえた。 □
以降、簡単のため、vp((nk
)) = jp と書くことにする。
命題９：nを 2以上の正の整数とすると、以下の不等式が成立する。
2n ·(2n
n
)> 4n
証明：証明すべき不等式の左辺が 2以上の数による 2n個の積になることを
利用する。
2n ·(2n
n
)=
2
1· 31· 42· 52
· · · 2n− 2
n− 1· 2n− 1
n− 1· 2nn
· 2nn
> 4n □
6 1, 2, · · · , nの最小公倍数の上界編定理１０：nを 41以上の整数とするとき、以下の不等式が成立する。(
n
[n+12 ]
)< 22[
n+12 ]−3
証明：数学的帰納法を用いて証明する。
n = 41のとき、(41
21
)= 269128937220, 22·21−3 = 549755813888より正しい。
n = 42のとき、(42
21
)= 538257874440, 22·21−3 = 549755813888より正しい。
となって定理１０は正しい。
n = 2c− 1, n = 2cのとき(2c− 1
c
)< 22c−3,
(2c
c
)< 22c−3
6
が成り立つと仮定する。
n = 2c+ 1のとき(2c+1c+1
)(2c−1
c
) =
(2c+1)!(c+1)!·c!(2c−1)!c!·(c−1)!
=2c+ 1
c+ 1· 2cc
< 2 · 2 = 4より(2c+ 1
c+ 1
)< 4 ·
(2c− 1
c
)< 22 · 22c−3 = 22(c+1)−3
n = 2c+ 2のとき(2c+2c+1
)(2cc
) =
(2c+2)!(c+1)!·(c+1)!
(2c)!c!·c!
=2c+ 2
c+ 1· 2c+ 1
c+ 1< 2 · 2 = 4より(
2c+ 2
c+ 1
)< 4 ·
(2c
c
)< 22 · 22c−3 = 22(c+1)−3
よって、n = 2c+ 1, n = 2c+ 2のときも以下の不等式が成立することがい
える。 (n
[n+12 ]
)< 22[
n+12 ]−3
したがって、定理１０が成り立つことがいえた。 □
定理１１：nを 2以上の整数とするとき、以下の不等式が成立する。
lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , [n+ 1
2]) ·
(n
[n+12 ]
)証明：n以下の素数 pを任意に取る。
ph ≤ n < ph+1をみたす整数 hをとる。
このとき、vp(lcm(1, 2, · · · , n)) = hとなる。
0 < ph ≤ n+ 1
2のとき
このとき、vp(lcm(1, 2, · · · , [n+ 1
2])) = hとなる。
したがって、vp(lcm(1, 2, · · · , [n+ 1
2]) ·
(n
[n+12 ]
)) ≥ hとなる。
n+ 1
2< ph ≤ nのとき
命題６より、ph−1 ≤ n
p≤ n
2≤ [
n+ 1
2]
よって、ph−1 ≤ [n+ 1
2] < phとなるから
vp(lcm(1, 2, · · · , [n+ 1
2])) = h− 1となる。· · · (1)
7
このとき命題７より、以下の式 (2)がいえる。
vp(
(n
[n+12 ]
)) =
∞∑i=1
([n
pi]− [
[n+12 ]
pi]− [
n− [n+12 ]
pi]) · · · (2)
ここで、n− [n+ 1
2] < n− (
n+ 1
2− 1) =
n+ 1
2, [
n+ 1
2] ≤ n+ 1
2
がいえるからn
ph≥ 1, 0 <
[n+12 ]
ph,n− [n+1
2 ]
ph< 1がいえる。
よって命題１より、[n
ph]− [
[n+12 ]
ph]− [
n− [n+12 ]
ph] = 1がいえる。
式 (2)から再び命題１より∞∑i=1
([n
pi]− [
[n+12 ]
pi]− [
n− [n+12 ]
pi]) ≥ [
n
ph]− [
[n+12 ]
ph]− [
n− [n+12 ]
ph]
= 1がいえる。したがって式 (1)より、
vp(lcm(1, 2, · · · , [n+ 1
2]) ·
(n
[n+12 ]
)) ≥ hとなる。
上記より、0 < ph ≤ n+ 1
2と
n+ 1
2< ph ≤ nのいずれにせよ
vp(lcm(1, 2, · · · , n)) ≤ vp(lcm(1, 2, · · · , [n+ 1
2]) ·
(n
[n+12 ]
)) · · · (3)
がいえる。任意の素数 pに対して、式 (3)は成立するから
lcm(1, 2, · · · , n)は、lcm(1, 2, · · · , [n+ 1
2]) ·
(n
[n+12 ]
)を割り切ることが
言える。つまり定理１１がいえた。 □
定理１２：nを 2以上の整数とするとき、以下の不等式が成り立つ。
lcm(1, 2, · · · , n) < 4n
2n
証明：数学的帰納法を用いて証明する。
2 ≤ n ≤ 40のとき
n = 2のとき
lcm(1, 2) = 2,42
2 · 2= 4
n = 3のとき
lcm(1, 2, 3) = 6,43
2 · 3= 10.66 · · ·
8
n = 4のとき
lcm(1, 2, 3, 4) = 12,44
2 · 4= 32
n = 5のとき
lcm(1, 2, · · · , 5) = 60,45
2 · 5= 102.4
n = 6のとき
lcm(1, 2, · · · , 6) = 60,46
2 · 6= 341.33 · · ·
n = 7のとき
lcm(1, 2, · · · , 7) = 420,47
2 · 7= 1170.28 · · ·
8 ≤ n ≤ 9のとき
lcm(1, 2, · · · , 9) = 2520,48
2 · 8= 4096
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 9) < 48
2 · 8≤ 4n
2n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) < 4n
2nがいえる。
10 ≤ n ≤ 11のとき
lcm(1, 2, · · · , 11) = 27720,410
2 · 10= 52428.8
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 11) < 410
2 · 10≤ 4n
2n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) < 4n
2nがいえる。
12 ≤ n ≤ 14のとき
lcm(1, 2, · · · , 14) = 360360,412
2 · 12= 669050.66 · · ·
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 14) < 412
2 · 12≤ 4n
2n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) < 4n
2nがいえる。
15 ≤ n ≤ 18のとき
lcm(1, 2, · · · , 18) = 12252240,415
2 · 15= 35791394.13 · · ·
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 18) < 415
2 · 15≤ 4n
2n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) < 4n
2nがいえる。
9
19 ≤ n ≤ 23のとき
lcm(1, 2, · · · , 23) = 5354228880,419
2 · 19= 7233629130.10 · · ·
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 23) < 419
2 · 19≤ 4n
2n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) < 4n
2nがいえる。
24 ≤ n ≤ 29のとき
lcm(1, 2, · · · , 29) = 2329089562800,424
2 · 24= 5864062014805.33 · · ·
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 29) < 424
2 · 24≤ 4n
2n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) < 4n
2nがいえる。
30 ≤ n ≤ 40のとき
lcm(1, 2, · · · , 40) = 5342931457063200,430
2 · 30= 19215358410114116.26 · · ·
より lcm(1, 2, · · · , n) ≤ lcm(1, 2, · · · , 40) < 430
2 · 30≤ 4n
2n
だから、lcm(1, 2, · · · , n) < 4n
2nがいえる。
となって定理１２は正しい。
2 ≤ n < cのとき、定理１２が正しいと仮定する
(ただし、cは 41以上の整数)とする。
n = cのとき 定理１１より
lcm(1, 2, · · · , c) ≤ lcm(1, 2, · · · , [c+ 1
2]) ·
(c
[ c+12 ]
)定理１０より
(c
[ c+12 ]
)< 22[
c+12 ]−3がいえるから、
lcm(1, 2, · · · , [c+ 1
2]) ·
(c
[ c+12 ]
)<
4[c+12 ]
2[ c+12 ]
· 22[c+12 ]−3
ここで命題６より、
42[c+12 ]−1
2 · 2[ c+12 ]
≤ 42c+12 −1
2 · 2 c2
=4c
2c
よって n = cのときも、定理１２は正しいことがわかる。
以上より、定理１２は正しいことが示された。 □
10
命題１３：nを 2以上の整数とするとき、以下の等式が成り立つ。
lcm(1, 2, · · · , n) =∏
1<p≤n
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . .
証明：n以下の素数 pを任意に取る。
ph ≤ n < ph+1をみたす整数 hをとる。
pw ≤ n ⇐⇒ p ≤ w√nと pw > n ⇐⇒ p > w
√nがいえるから
(ただし、wは正の整数とする)
vp(∏
1<p≤n
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . .) = hがいえる。
一方、vp(lcm(1, 2, · · · , n)) = hだから、
vp(lcm(1, 2, · · · , n)) = vp(∏
1<p≤n
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . .)
がいえる、このことは任意の n以下の素数 pでいえるから、
lcm(1, 2, · · · , n) =∏
1<p≤n
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . . がいえる。
したがって、命題１３がいえた。 □
7 k ≥ 33のとき、Sylvester-Schurの定理が成り立
つことの証明
命題１４：n, k, uを n > k, u k ≥ 33をみたす正の整数でかつ以下の条件を
みたすとする。(nk
)は uより大きな素因数を持たない。
このとき、以下の不等式が言える。(n
k
) ≤
∏1<p≤u
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . .
証明：u以下の素数 pを任意に取る。
ph ≤ n < ph+1をみたす整数 hをとる。
pw ≤ n ⇐⇒ p ≤ w√nと pw > n ⇐⇒ p > w
√nがいえるから
(ただし、wは 2以上の整数とする)
11
vp(∏
1<p≤u
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . .) = hがいえる。
一方、定理８より jp ≤ hだから、
jp ≤ vp(∏
1<p≤u
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . .)
がいえる、このことは任意の u以下の素数 pでいえるから、∏1<p≤u
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . .が、(n
k
)で割り切れる。
したがって、命題１４がいえた。 □
命題１５：整数 n, kが、n > k ≥ 33をみたす正の整数で、かつ以下の条件
をみたすとする。(nk
)は kより大きな素因数を持たない。
このとき、以下の不等式が言える。
k > n23
証明：(nk
)の素因数 pを任意に取る。このとき、p ≤ kが言えることに注意す
ると、命題３および定理８より(n
k
)=
∏1<p≤k
pjp ≤ nπ(k) ≤ nk3
一方、命題５より、(n
k
)> (
n
k)kがいえるから
n2k3 < kkよって、k > n
23がいえた。
以上より、命題１５は示された。 □
定理１６：整数 n, kが、n > k, k > n23 , k ≥ 33をみたす正の整数とする。
このとき、以下の不等式が言える。∏1<p≤k
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . . < 4k
2k· 4
√n
証明：2以上の任意の整数 lに対して、
l√k = k
1l > n
23l ≥ n
12l−1 = 2l−1
√n
がいえるから、定理１２と命題１３より4k
2k> lcm(1, 2, · · · , k) =
∏1<p≤k
p ·∏
1<p≤√k
p · . . . ·∏
1<p≤ h√k
p · . . .
12
≥∏
1<p≤k
p ·∏
1<p≤ 3√n
p · . . . ·∏
1<p≤ 2h−1√n
p · . . .
即ち、∏
1<p≤k
p ·∏
1<p≤ 3√n
p · . . . ·∏
1<p≤ 2h−1√n
p · . . . < 4k
2k· · · (4)
がいえる。一方、定理１２と命題１３より∏1<p≤
√n
p ·∏
1<p≤ 4√n
p · . . . ·∏
1<p≤ 2h√n
p · . . .
≤∏
1<p≤[√n]+1
p ·∏
1<p≤√
[√n]+1
p · . . . ·∏
1<p≤ h√
[√n]+1
p · . . .
= lcm(1, 2, · · · , [√n] + 1) <
4[√n]+1
2([√n] + 1)
≤ 4[√n] ≤ 4
√n
即ち、∏
1<p≤√n
p ·∏
1<p≤ 2√n
p · . . . ·∏
1<p≤ 2h√n
p · . . . < 4√n · · · (5)
がいえる。また式 (4)と式 (5)より、以下がわかる。∏1<p≤k
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . . < 4k
2k· 4
√n
となることがいえる。以上より、定理１６はいえた。 □
定理１７：整数 n, kが、n > k ≥ 33をみたす正の整数で、かつ以下の条件
をみたすとする。(nk
)は kより大きな素因数を持たない。
このとき、以下の不等式が言える。(n
k
)<
4k
2k· 4
√n
証明：(nk
)は kより大きな素因数を持たないから命題１４より、(n
k
)≤
∏1<p≤k
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . . · · · (6)
命題１５より、k > n23 がいえるから、定理１６より∏
1<p≤k
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . . < 4k
2k· 4
√n · · · (7)
となることがいえる。したがって、式 (6)と式 (7)より、以下が言える。(n
k
)<
4k
2k· 4
√n
13
以上より、定理１７は正しいことが示された。 □
ここで、xの値を下回らない最小の整数を {x}とおくことにする。
命題１８：整数 n, kが、n ≥ 373100k, k ≥ 33をみたすとき、Sylvester-Schur
の定理は成り立つ。
証明：Sylvester-Schurの定理は成り立たないと仮定する。(n
k
)=
n(n− 1) · · · (n− k + 1)
k!
≥{ 373100k} · ({
373100k} − 1) · . . . · ({ 373
100k} − k + 1)
k!=
({ 373100k}k
)また、命題５および命題９より({ 373100k}k
)=
(2k
k
)·{ 373100k}2k
·{ 373100k} − 1
2k − 1· . . . ·
{ 373100k} − k + 1
k + 1
>4k
2k· (
{ 373100k}2k
)k ≥ 4k
2k· (373
200)kよって、定理１７より
4k
2k· (373
200)k <
4k
2k· 4
√nがいえる。
よって、(373
200)k < 4
√n = 22
√n即ち、k log
373
200< 2
√n log 2がいえる。
ここで、命題１５より k > n23がいえるから、n
23 < 2
√n log 2
log 373200
すなわち、n < (2log 2
log 373200
)6 = 121.09 · · ·がいえるが、n ≥ 373
100k ≥ 123.09
となるから不合理。以上より、命題１８はいえた。 □
命題１９：整数 n, kが、329100k ≤ n < 373
100k, k ≥ 33をみたすとき、Sylvester-
Schurの定理は成り立つ。
証明：Sylvester-Schurの定理は成り立たないと仮定する。(n
k
)=
n(n− 1) · · · (n− k + 1)
k!
≥{ 329100k} · ({
329100k} − 1) · . . . · ({ 329
100k} − k + 1)
k!=
({ 329100k}k
)また、命題５および命題９より({ 329100k}k
)=
(2k
k
)·{ 329100k}2k
·{ 329100k} − 1
2k − 1· . . . ·
{ 329100k} − k + 1
k + 1
>4k
2k· (
{ 329100k}2k
)k ≥ 4k
2k· (329
200)kよって、定理１７より
14
4k
2k· (329
200)k <
4k
2k· 4
√nがいえる。
よって、(329
200)k < 4
√n = 22
√n即ち、k log
329
200< 2
√n log 2がいえる。
ここで、k >100
373nがいえるから、
100
373n < 2
√n log 2
log 329200
すなわち、n < (2log 2
log 329200
· 373100
)2 = 107.92 · · ·がいえるが、n ≥ 329
100k
≥ 108.57となるから不合理。以上より、命題１９はいえた。 □
命題２０：n, kを 267104k ≤ n < 329
100k, k ≥ 33をみたし、かつ Sylvester-Schur
の定理をみたさない正の整数とする。このとき n ≤ 333がいえる。
証明：nの上界を算出する。(n
k
)=
n(n− 1) · · · (n− k + 1)
k!
≥{ 267104k} · ({
267104k} − 1) · . . . ({ 267
104k} − k + 1)
k!=
({ 267104k}k
)また、命題５および命題９より({ 267104k}k
)=
(2k
k
)·{ 267104k}2k
·{ 267104k} − 1
2k − 1· . . .
{ 267104k} − k + 1
k + 1
>4k
2k· (
{ 267104k}2k
)k ≥ 4k
2k· (267
208)kよって、定理１７より
4k
2k· (267
208)k <
4k
2k· 4
√nがいえる。
よって、(267
208)k < 4
√n = 22
√n即ち k log
267
208< 2
√n log 2がいえる。
ここで、k >100
329nがいえるから、
100
329n < 2
√n log 2
log 267208
すなわち、n < (2log 2
log 267208
· 329100
)2 = 333.60 · · ·がいえる
以上より、命題２０はいえた。 □
命題２１：x ≥ 1のとき下記の関数は単調増加である。
f1(x) =4x
x
証明：f1(x)を xで微分すると
f ′1(x) = 4x · x log 4− 1
x2≥ 4x · log 4− 1
x2> 4x · log 4− log 3
x2> 0
15
よって x ≥ 1のとき f ′1(x) > 0がいえる。このことは f1(x)が x ≥ 1のとき、
単調増加であることを示している。 □
命題２２：x ≥ 4のとき下記の不等式が言える。
x3
3− 1− x2 > 0
証明：関数 f2(x)を以下のように取る。
f2(x) =x3
3− 1− x2
x > 2のとき、f2(x)を xで微分すると f ′2(x) = x2 − 2x = x(x− 2) > 0がい
える。よって x > 2のとき f2(x)が単調増加であることがいえる。
したがって、x ≥ 4のとき、f2(x) ≥ f2(4) =133 > 0がいえる。
以上より、命題２２は正しいことが示された。 □
命題２３：n, kを n ≥ 2kをみたし、かつ Sylvester-Schurの定理をみたさな
い正の整数とする。このとき、(nk
)の素因数 pを任意に取ると、p ≤ n
3 とな
る。
証明：命題２３が成立しないと仮定する。
このとき、p >n
3となる。また、pは明らかに n以下である。
また、命題２３の仮定より、p ≤ kがいえる。
このとき、p ≤ k ≤ n− k < n < 3pだから、vp((n
k
)) ≤ 2− 2 = 0
よって、(n
k
)が pで割り切れないことがいえるが、これは不合理。
以上より、命題２３はいえた。 □
命題２４：n, kを 2k ≤ n < 267104k, k ≥ 50をみたし、かつ Sylvester-Schur
の定理をみたさない正の整数とする。このとき n ≤ 334がいえる。
証明：nの上界を算出する。(n
k
)=
n(n− 1) · · · (n− k + 1)
k!≥ 2k · (2k − 1) · . . . (k + 1)
k!=
(2k
k
)また命題９より
(2k
k
)>
4k
2kがいえる。
(n
k
)の素因数 pを任意にとる。このとき、命題２３より、任意の
16
(n
k
)の素因数 pに対して、p ≤ n
3がいえるから、命題１４より(
n
k
)≤
∏1<p≤[n3 ]
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . .
n13 ≥ 4.64158 · · · > 4だから、命題２２より n >
n
3≥ [
n
3] >
n
3− 1 > n
23
かつ [n
3] ≥ 33だから、定理１６より∏
1<p≤[n3 ]
p ·∏
1<p≤√n
p · . . . ·∏
1<p≤ h√n
p · . . . < 4[n3 ]
2[n3 ]· 4
√n
ここで命題２１より、4[
n3 ]
2[n3 ]· 4
√n ≤ 4
n3
2n3
· 4√n ≤ 3
2· 4
n3
2k· 4
√n
がいえるから、以上の議論より4k
2k<
3
2· 4
n3
2k· 4
√n
よって、4k <3
2· 4n
3 · 4√n <
3
2· 4 89k
104 · 4√n
したがって、45n89 < 4
15k104 <
3
2· 4
√n
即ち、n
8.9log 2 < 2
√n log 2 + log
3
2< 2
√n log 2 + log 2
よって、n < (8.9 +√8.92 + 8.9)2 = 334.40 · · ·がいえる。
以上より、命題２４はいえた。 □
2k ≤ n < 267104k, 33 ≤ k ≤ 49の場合は、n < 267
104 · 49 = 125.79 · · · となることを考慮すると、命題１８、命題１９、命題２０、命題２４より、n ≥ 335の
とき、Sylvester-Schurの定理が成り立つことがわかる。
命題２５：n, k を 2k ≤ n ≤ 334, k ≥ 33をみたすとき、Sylvester-Schurの
定理は成り立つ。
証明：61から 334までの素数列、61, 89, 113, 139, 167, 199, 229, 257, 283, 313
を考えれば明らかである。 □
以上より k ≥ 33のとき、Sylvester-Schurの定理は成り立つことがいえた。
17
8 6 ≤ k ≤ 32のとき、Sylvester-Schurの定理が成
り立つことの証明
命題２６：任意の 6 以上 7 以下の整数 k に対して、以下の不等式が成立
する。
π(k) ≤ 4k
7
任意の 8以上 14以下の整数 kに対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤ k
2
また、任意の 15以上 19以下の整数 kに対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤ 8k
19
また、任意の 20以上 22以下の整数 kに対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤ 2k
5
また、任意の 23以上 25以下の整数 kに対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤ 9k
23
また、任意の 26以上 32以下の整数 kに対して、以下の不等式が成立する。
π(k) ≤ 11k
31
証明：k = 6のとき
π(k) = 3かつ、π(k)
k=
3
6= 0.5 <
4
7だから正しい。
k = 7のとき
π(k) = 4かつ、π(k)
k=
4
7= 0.571 · · ·だから正しい。
8 ≤ k ≤ 10のとき
π(k) = 4かつ、π(k)
k≤ 1
2= 0.5だから正しい。
11 ≤ k ≤ 12のとき
π(k) = 5かつ、π(k)
k≤ 5
11= 0.454 · · · < 1
2だから正しい。
18
13 ≤ k ≤ 14のとき
π(k) = 6かつ、π(k)
k≤ 6
13= 0.461 · · · < 1
2だから正しい。
15 ≤ k ≤ 16のとき
π(k) = 6かつ、π(k)
k≤ 6
15= 0.4 <
8
19だから正しい。
17 ≤ k ≤ 18のとき
π(k) = 7かつ、π(k)
k≤ 7
17= 0.411 · · · < 8
19だから正しい。
k = 19のとき
π(k) = 8かつ、π(k)
k=
8
19= 0.421 · · ·だから正しい。
20 ≤ k ≤ 22のとき
π(k) = 8かつ、π(k)
k≤ 2
5だから正しい。
23 ≤ k ≤ 25のとき
π(k) = 9かつ、π(k)
k≤ 9
23= 0.391 · · ·だから正しい。
26 ≤ k ≤ 28のとき
π(k) = 9かつ、π(k)
k≤ 9
26= 0.346 · · · < 11
31だから正しい。
29 ≤ k ≤ 30のとき
π(k) = 10かつ、π(k)
k≤ 10
29= 0.344 · · · < 11
31だから正しい。
31 ≤ k ≤ 32のとき
π(k) = 11かつ、π(k)
k=
11
31= 0.354 · · ·だから正しい。
19
よって命題２６はいえた。 □
命題２７：n, kを n ≥ 2k, 6 ≤ k ≤ 7をみたし、かつ Sylvester-Schurの定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
k > n37
同様に、n ≥ 2k, 8 ≤ k ≤ 14をみたし、かつ Sylvester-Schurの定理をみた
さないとする。このとき、以下の不等式が言える。
k > n12
同様に、n, kを n ≥ 2k, 15 ≤ k ≤ 19をみたし、かつ Sylvester-Schurの定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
k > n1119
同様に、n, kを n ≥ 2k, 20 ≤ k ≤ 22をみたし、かつ Sylvester-Schurの定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
k > n35
同様に、n, kを n ≥ 2k, 23 ≤ k ≤ 25をみたし、かつ Sylvester-Schurの定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
k > n1423
同様に、n, kを n ≥ 2k, 26 ≤ k ≤ 32をみたし、かつ Sylvester-Schurの定理
をみたさないとする。このとき、以下の不等式が言える。
k > n2031
証明：kの値で場合分けをする。
6 ≤ k ≤ 7のとき(n
k
)の素因数 pを任意に取る。
このとき、p ≤ kが言えるので、命題２６および定理８より(n
k
)=
∏1<p≤k
pjp ≤ nπ(k) ≤ n4k7
一方、命題５より、(n
k
)> (
n
k)kがいえるから
n3k7 < kkよって、k > n
37がいえた。
8 ≤ k ≤ 14のとき
20
(n
k
)の素因数 pを任意に取る。
このとき、p ≤ kが言えるので、命題２６および定理８より(n
k
)=
∏1<p≤k
pjp ≤ nπ(k) ≤ nk2
一方、命題５より、(n
k
)> (
n
k)kがいえるから
nk2 < kkよって、k > n
12がいえた。
15 ≤ k ≤ 19のとき(n
k
)の素因数 pを任意に取る。
このとき、p ≤ kが言えるので、命題２６および定理８より(n
k
)=
∏1<p≤k
pjp ≤ nπ(k) ≤ n8k19
一方、命題５より、(n
k
)> (
n
k)kがいえるから
n11k19 < kkよって、k > n
1119がいえた。
20 ≤ k ≤ 22のとき(n
k
)の素因数 pを任意に取る。
このとき、p ≤ kが言えるので、命題２６および定理８より(n
k
)=
∏1<p≤k
pjp ≤ nπ(k) ≤ n2k5
一方、命題５より、(n
k
)> (
n
k)kがいえるから
n3k5 < kkよって、k > n
35がいえた。
23 ≤ k ≤ 25のとき(n
k
)の素因数 pを任意に取る。
このとき、p ≤ kが言えるので、命題２６および定理８より(n
k
)=
∏1<p≤k
pjp ≤ nπ(k) ≤ n9k23
一方、命題５より、(n
k
)> (
n
k)kがいえるから
n14k23 < kkよって、k > n
1423がいえた。
26 ≤ k ≤ 32のとき(n
k
)の素因数 pを任意に取る。
このとき、p ≤ kが言えるので、命題２６および定理８より
21
(n
k
)=
∏1<p≤k
pjp ≤ nπ(k) ≤ n11k31
一方、命題５より、(n
k
)> (
n
k)kがいえるから
n20k31 < kkよって、k > n
2031がいえた。
以上より、命題２７は示された。 □
命題２７より、6 ≤ k ≤ 7のとき、n < k73 ≤ 7
73 = 93.73 · · ·
8 ≤ k ≤ 14のとき、n < k2 ≤ 142 = 196
15 ≤ k ≤ 19のとき、n < k1911 ≤ 19
1911 = 161.71 · · ·
20 ≤ k ≤ 22のとき、n < k53 ≤ 22
53 = 172.73 · · ·
23 ≤ k ≤ 25のとき、n < k2314 ≤ 25
2314 = 197.97 · · ·
26 ≤ k ≤ 32のとき、n < k3120 ≤ 32
3120 = 215.26 · · ·
がいえるので、以下の命題２８とあわせると、6 ≤ k ≤ 32のとき、Sylvester-
Schurの定理は成り立つことがわかる。
命題２８：n, kを 6 ≤ k ≤ 32, 2k ≤ n ≤ 215をみたすとき、Sylvester-Schur
の定理は成り立つ。
証明：11から 215までの素数あるいは 37以上の素因数を持つ整数からなる
数列 11, 17, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 83, 89, 94, 97, 103, 109
113, 118, 122, 127, 131, 134, 139, 142, 146, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 183
188, 193, 199, 202, 206, 211を考えれば明らかである。 □
9 k ≤ 5のとき、Sylvester-Schurの定理が成り立
つことの証明
正の整数 nに対して、D(n)を nの素因数全体からなる集合とする。
命題２９：a, bを次のような正の整数とする。
D(a)の元 pを任意に取るとき、aは p2で割り切れ、bは p2で割り切れない。
このとき、任意の正の整数mに対して、am+ bはD(a)の元以外の素因数を
持つ。
証明：bが pで割り切れないとき
D(a)の元 pを任意にとる。このとき、am + b ≡ b (mod p)がいえるから
am+ bは pで割り切れない。したがって、am+ bはD(a)の元以外の素因数
22
qを持つことがいえる。
bが pで割り切れるとき
D(a) の元 p を任意にとる。a, b は正の整数 s, t を用いて a = ps, b = pt と
かける。このとき、sは pで割り切れ、tは pで割り切れないことに注意す
る。sm + t ≡ t (mod p)がいえるから、sm + tは pで割り切れない。し
たがって、sm + tは D(a)の元以外の素因数 q を持つことがいえる。また、
am+b = p(sm+t)だから、qはam+bの素因数でもある。いずれにせよ、am+b
はD(a)の元以外の素因数 qを持つことがいえた。 □
k = 1の場合は、明らかに Sylvester-Schurの定理が成り立つ。
命題３０：k = 2のとき、Sylvester-Schurの定理が成り立つ。
証明：n, n − 1のいずれかは奇数であるから、奇数の方が題意をみたすこと
は明らかである。 □
命題３１：k = 3, 4のとき、Sylvester-Schurの定理が成り立つ。
証明：集合 {n− 2, n− 1, n}から任意に n′ をとる。
n′ を 36で割ったときの余りを考える。命題２９を考慮すると、n′ が 2, 3以
外の素因数を持たない可能性があるのは、n′を 36で割ったときの余りが 4, 9
で割り切れる場合、即ち n′ が 4, 9で割り切れる場合のみである。
ここで、n−2, n−1, nには 4, 9の倍数が高 1々個しかないから、集合 {n−2, n−1, n}には、2, 3以外の素因数を持つ数、即ち題意をみたす整数が少なくとも 1
つあることがいえた。 □
命題３２：k = 5のとき、Sylvester-Schurの定理が成り立つ。
証明：集合 {n− 4, n− 3, n− 2, n− 1, n}から任意に n′ をとる。
n′を 900で割ったときの余りを考える。命題２９を考慮すると、n′が 2, 3, 5
以外の素因数を持たない可能性があるのは、n′を 900で割ったときの余りが
4, 9, 25で割り切れる場合、即ち n′ が 4, 9, 25で割り切れる場合のみである。
ここで、n− 4, n− 3, n− 2, n− 1, nには 9, 25の倍数が高々1個、そして 4の
倍数は高々2個しかないから、集合 {n− 4, n− 3, n− 2, n− 1, n}には 2, 3, 5
以外の素因数を持つ数、即ち題意をみたす整数が少なくとも 1つあることが
いえた。 □
23
10 参考にしたサイト
http://www.renyi.hu/~p_erdos/1934-01.pdf
24
