Symmetry for Control of a Few, Trapped Ultracold AtomsNathan HarshmanProfessor of Physics and Director of NASA DC Space Grant ConsortiumAmerican University

regular polytopes

2

point groups, space groups, kaleidoscopes, matrix groups, Lie groups, symmetric spaces, dynamical catastrophes, random matrices,

Hamiltonian symmetry groups, topological insulators/superconductors…

My Favorite Kind of Mathematical Physics

Top 10 Symmetry Groups forEngineered Quantum Few‐Body Systems

1. Time translations2. Involutions3. Rotations and orthogonal groups4. Symmetric group5. Euclidean group

6. Galilean group7. Coxeter groups8. Homotopy groups9. Unitary groups10. Conformal groups

1. Time translationsOne observable to rule them all: the Hamiltonian

Continuous, abelian group• Real line with addition

• Unitary representation on a Hilbert space

• Derivative is sometimes useful

,tT

† 1U t U t U t 0 0U t U U U t U t

U t U t U t U t U t t

0

( )t

dH i U tdt

†( ) ( ) ( ), 0U t HU t H U t H

Kinematic Symmetry

Goal: find maximal* kinematic symmetry group of Hamiltonian

( ) ( ) KU g H HU g g K

Projective irreducible 

representations

Energy eigenspaces

Invariant operators

Conservedquantities

2. InvolutionsStupid baby group for stupid babies.

Also: really important.

Discrete, finite group

• Group multiplication table

• Realizations on space:• reflection, rotation or inversions• represented as orthogonal matrices

• Realizations on Hilbert space or Fock space:• C, P, and T• represented as unitary or antiunitary operators

2 2 1 2 1 (1)Z C D S A O e aa e

Representations of One‐dimensional Parity

• Representation on space

• Induced representation on Hilbert space

• Projection into orthogonal sectors

x x x

2 ( )L ˆ ( ) ( ) ( ) ( )U x x x

ˆ ˆ( )U

12

ˆˆ ˆ( )P 12

ˆˆ ˆ( )P

2 1 ˆˆ ˆ( ) ( )U U †ˆ ˆ( ) ( )U U

ˆ ˆ 0P P

Parity as a Kinematic Symmetry

• Hamiltonian provides decomposition of Hilbert space into energy sectors

• Commutes with Hamiltonian

• Spectral decomposition

ˆ ( ) ( )E Ex x ˆ ˆˆ ˆH H

EE

E EE E

Why *NOT* Symmetry?

FRAGILEthe elephant and the flea

T Dauphinee, F Marsiglio, AJP (2015) 11

3. Rotations andOrthogonal Groups

Three‐parameter compact Lie group• Representation on space

• Lie group• One parameter subgroup• Euler angles

• Induced representation on Hilbert space 

(3)R SO

ˆ ˆ( ) exp( )R i L n n( , , ) exp( )exp( )exp( )z y zR i L i L i L

1ˆ ( ) ( ) ( ) ( )U R R x x x

3R x x 3

T TR R RR I det( ) 1R

2 3( )L 1 † 1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )U R U R U R

2 1 2 1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )U R R U R U R

Irreducible representations • Hilbert space decomposed into sectors

• Rotations leave irrep invariant

• Orbital angular momentum is a good quantum number

( ) ( ) ( , )E m E mR r Y x

( )

'

ˆ ( ) ( , ) ( , ) ( )m m m mm

U R Y Y D R

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )U R H HU R

2 1

( )

'( ) ( )m m

mU R m m D R

(3) (2)SO SO

15

Projective Representations

• Wigner 1: Corresponding to a symmetry transformation of physical states is a linear and unitary (or antiunitary) transformation on vectors

• Wigner 2: If there is a group of symmetries, group representation can be projective, i.e. like

• Wigner 3: Projective reps of a simply connected group without central charges are equivalent to (single-valued, true) reps.

• Wigner 4: Projective reps of a group are equivalent to the true reps of the universal covering group of that group.

)(),()()( 212121 RRTRRRTRT

Weyl, Bargmann may have helped.

2 2 2T T

16

Universal Covering Group

• UCG of Lie group is a unique, simply connected Lie group with a homomorphism and isomorphic Lie algebras.

• UCG of SO(n) sometimes called Spin(n)

G G

)3(SO)2(SU is UCG of

G~ G

2SO(3) SU(2) / Z(locally isomorphic to factor group)

Applications of SO(3)

• Single particle in three dimensions, free or spherical trap• Particle on a sphere• Relative motion of two particles in three dimensions and Galilean invariant interaction, free or harmonic trap, e.g. Hydrogen

• Configuration space of three non‐interacting particles in one dimension, free or harmonic trap

• Relative configuration space of four non‐interacting particles in one dimension, free or harmonic trap

Generalize to other dimensions

Generalizations• O(3)

• Rotations• Reflections and rotoreflections, including parity

• SO(4)• Bound states of hydrogen atom• Two subgroup chains

• O(N)• Hyperspherical harmonics

det 1O det 1O

(4) (3) (2)SO SO SO (4) (3) (3)SO SO SO

Dimensionality

• Separate internal discrete degrees of freedom• Separate center of mass DOF for quadratic traps• Separate relative hyperradial DOF for certain traps, interactions

– Remaining DOFs form a sphere• Remove orientation: shape space

19

D\N 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2 2 4 6 8 10 12 14 16

3 3 6 9 12 15 18 21 24

D\N 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 1 2 3 4 5 6 7

2 0 2 4 6 8 10 12 14

3 0 3 6 9 12 15 18 21

Nm Nm

D\N 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 0 1 2 3 4 5 6

2 0 1 3 5 7 9 11 13

3 0 2 4 8 11 14 17 20

Other schemes to separate DOF: adiabatic, Born‐Opp, s‐waves

D\N 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 0 1 2 3 4 5 6

2 0 0 2 4 6 8 10 12

3 0 0 2 6 9 12 15 18

Hyperspherical Harmonics Subgroup Chain

1(1) : 1, 1O

2(2) : 0,1,2,3,...O

1( ) 1d

2(0) 1, ( 0) 2d d

3(3) : 0,1, 2,3,...O 3 3( ) 2 1d

3(4) : 0,1,2,3,...O 2

4 4( ) 1d

4(5) : 0,1,2,3,...O 5

4

25 4 5 5 5

0

( ) (2 1)( 1) / 6d

(5) (4) (3) (2) (1)O O O O O

4. Symmetric GroupThe master of all finite groups

Symmetric groups

12 (1)(2)p 21 (12)p

123 (1)(2)(3)p 213 (12)p 231 (123)p

1234 ( )p 2134 (12)p 2314 (123)p

Objects Elements ConjugacyClasses

2 2 2

3 6 3

4 24 5

5 120 7

2143 (12)(34)p 2341 (1234)p

One irreducible representation for every conjugacy class

Standard Young Tableaux

• Young diagram:• There are N boxes in rows and columns.• Upper left justified• Each row has the same or fewer number of columns as row above.• Unique correspondence between partition of N and Young diagram

• Standard Young tableau:• Fill boxes with all numbers 1 through N used only once.• Numbers must increase to the right and to the bottom.

• Conjugate partitions :• Conjugate diagrams have rows and columns reversed• Conjugate diagrams have same number of standard Young tableaux

Symmetric Group Irreps

1 21

2[2] 2[1 ]

1 2 33

1 2

2

1 31

2

3

[3] 3[1 ][21]

[4]

2[21 ]2[2 ]

1 2 3 43

1 2 4

4

1

3

3

2

3

1 2

4

2

1 3 4

4

1 2 3

[31]

2

1 3

4

1

3

4

3

1

2

3

4

1

2

3

4[1 ]

22

2

S (1 ) (2)[2] 1 1[1 ] 1 1

33 1 3 2

3

S (1 ) (12) (3)[3] 1 1 1[21] 2 0 1[1 ] 1 1 1

Character tables

Irrep and character facts

• Dimensions of irreps

• Orthogonality of irrep characters

• Useful special case

( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ]i i ii

g g g G

2 [ ]n G

2( )[ ] ( ) [ ]i ii

g g G

4 2 24 6 3 8 6

2

2

4

S (1 ) (1 2) (2 ) (13) (4)[4] 1 1 1 1 1[31] 3 1 1 0 1[2 ] 2 0 2 1 0[21 ] 3 1 1 0 1[1 ] 1 1 1 1 1

A

B

C

D

5 3 2 25 10 15 20 20 30 24

2

2

3

5

S (1 ) (1 2) (12 ) (1 3) (23) (14) (5)[5] 1 1 1 1 1 1 1[41] 4 2 0 1 1 0 1[32] 5 1 1 1 1 1 0[31 ] 6 0 2 0 0 0 1[2 1] 5 1 1 1 1 1 0[21 ] 4 2 0 1 1 0 1[1 ] 1 1 1 1 1 1 1

Five is different

Applications

•Particle permutation symmetry

Normal Exchange Statistics:particle permutations of identical particles given by symmetric group 

• Bosons

• Fermions

• Parastatistics (useful for partially distinguishable identical particles)

30

Np S

1 21 2 1 2ˆ ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

NN p p p NU p x x x x x x x x x

1 21 2

1 2

( , , ) evenˆ ( ) ( , , )( , , ) odd

NN

N

x x x pU p x x x

x x x p

1 2 1 2ˆ ( ) ( , , ) ( ) ( , , )i N ij j N

jU p x x x D p x x x non‐ abelian

abelian

Applications

• Particle permutation symmetry• State permutation symmetry

Double Tableaux Basis

Applications

•Particle permutation symmetry• State permutation symmetry•Non‐interacting particle symmetry

Wreath Products

What is the group of symmetry transformations?

1 3D S3

3 1S D

31D

3Spermutations reflectionspermutations and reflections don’t commute

semidirectproduct

Non-interacting identical quantum systems

35

T St N

Applications

•Particle permutation symmetry• State permutation symmetry•Non‐interacting particles•Ordering permutation symmetry

( )i iV q q ( )i iV q q

2( )i iV q q 10( )i iV q q10 0

( ) 0| |

iii

ii

qqV q

qq

Disconnected Ordering Sectors

37

Unitary limit: Ordering permutation symmetry

3!tT S

38

Ordering Permutation Symmetry

123

213

132

231

321

312

1 2st nd

1 2st nd

1 2st nd

2 3nd rd

2 3nd rd2 3nd rd

Ordering permutations are different from particle 

permutations

40

Symmetric Well Asymmetric Well

1‐2 and 2‐3 tunneling rates the same 1‐2 and 2‐3 tunneling rates different

Harshman, FBS (2017)

Near‐Unitary Limit

Four particles

41

Symmetric Well

Asymmetric Well

Square Well

Two parameters for four particles in symmetric trap

42

Applications

•Particle permutation symmetry• State permutation symmetry•Non‐interacting particles•Ordering permutation symmetry•Well permutation symmetry

2 2

2 2

2 2

00

a a A a b a BD b C

a A a b a BD C

a a A a b a BD b C

KT P T W T P

P T W PT O T W T O

2 2

2 2

2 2

00

a A a b BD b C

A a b BD C

a A a b BD b C

KT P T W T P

P T W PT O T W T O

2 2

2 2

2 2

00

a a A a b a b BD b b C

a A a b a b BD b C

a a A a b a b BD b b C

KT P T W T P

P T W PT O T W T O

2

2 2

2 2

00

a ABCD

AC a BD

a A AC a BD

KT P W

P W T P WT O W T P W

2

2 2

2 2

00

a ABCD

AC a BD

a A AC a BD

KT P W

P W T P WT O W T P W

2

2 2

2 2

00

a a ABCD

a AC a a BD

a a A AC a a BD

KT P W

P W T P WT O W T P W

5. Euclidean GroupNot a simple, compact Lie Group

Euclidean group

• Isometries of space

• Matrix representation

• Semidirect product

x x Rx a y x y x ( ), NR O N a T

, , ,R a R a R R a R a ,0 ,0 ,0R R R R , , ,I a I a I a a

( ) ( ) NE N O N T

( ) ( )E N ISO N

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 0 0 1 1

x R R a xx R R a x

Applications

• Free space in N dimensions• Two and three dimensions well‐studied for 2000+ years

• Subgroups include point groups and space groups• Classified (but not counted)

• Configuration space• Relative configuration space

• Rotations in space shape!• Relativistic quantum mechanics

• Little group of photon

6. Galilean Group

Galilean Symmetry

• Translations in space

• Translations in time

• Rotations

• Galilean boosts

t t b Ĥ ˆ ˆ( ) exp( )U b ibH

x x a P̂ ˆ ˆ( ) exp( )U i a a P

R x x Ĵ ˆ ˆ( ) exp( )U R i θ J

t x x v ˆ ˆmK Xˆ ˆ( ) exp( )

ˆexp( )

U i

im

v v K

v X

Kinematic symmetries of free‐space Hamiltonian

Dynamic symmetries of free‐space Hamiltonian

Complete Set of Commuting Observables forQuantum One-Body Problem

• For one‐body problem in free space

• For spherical symmetry

• For central potential

ˆˆ{ , }zSX ˆˆ{ , }zSP2

0ˆˆ ˆ ˆ{ , , , }z zH L SL

2 20

ˆ ˆ ˆ ˆ{ , , , }zH JJ L

ˆ ˆ, 0H J2 2ˆ ˆ ˆ ˆ{ , , , }zH JJ L

ˆˆ ˆ ˆ, , 0H H L S2 ˆˆ ˆ ˆ{ , , , }z zH L SL

7. Coxeter GroupsUpon further reflection…

21, , ijr i i j m e

Coxeter groups realized as geometric reflection groups in Laplacians with delta ridge potentials

( )xH c n x s

2 22 1 2 1 2( ) ,I e D

2 2

(2 1)222n

n iH x nL x L

m x

• Same a contact interaction, but different masses with same trapping frequency

• Hard core limit• Solvable and (maximally super) integrable when masses have right size and right order

2 2 2

1 ,

1 1 ( )2 2

N

i i i i ji i ji

H p m x g x xm

Coxeter Model

g

NL Harshman, M. Olshanii, A Dehkharghani,  A Volosniev, SG Jackson,  NT Zinner, PRX (2017) 56

Natural coordinates Mass‐rationalized Jacobi coordinates

Relative, mass‐rationalized Jacobi coordinates

( )tan j i j kijk

i k

m m m mm m

Unequal Masses

57

12,34

123132

234324

13,2412341324

1243

1342

2134

3124

14231432

23143214

2143

3142

Three particles: quantum billiards on a ring

Four particles: quantum billiards in spherical triangles

( )tan j i j kijk

i k

m m m mm m

, 2ij kl

Five particles: quantum billiards in 3‐spherical tetrahedra 58

3A 3C 3H

Four equal mass 

particles

Not possible with four particles

But…

: tetrahedral : octahedral : icosahedral

maximally superintegrable, exactly solvable

59

•Angles

•Reflections

Coxeter Groups and the Method of Images

3 [3,3]A 3 [4,3]C 3 [5,3]H

123 234 12,34[ ,3] , ,3 2q

q

3 223 12 34 23 12 34[ ,3] ( ) ( ) ( ) 1

qq R R R R R R 60

1

2

3

4

3A

3C

3H

mass fractions

rational masses exist for A‐series and C‐series. Not others.

61

62

algebraic solvability, separabilityLiouville integrability, Bethe‐Ansatz integrability, superintegrability, maximal superintegrability, 

ergodity, mixing, chaos!

8. Homotopy GroupsThe “aid” groups

Generalized Exchange Statistics:occur when configuration space *not simply connected*

Three reasons this can occur:1. Underlying space has non‐trivial topology (e.g. wells, ring, torus)2. Hard‐core interactions create defects in configuration space3. Indistinguishable particles induce non‐trivial topology on 

configuration space

64

• Make space not connected• Order points in space, left or right• No phase relation in disconnected sectors

Defects with co‐dimension onePoint in a line Line in a plane Plane in a space

• Make space not simply‐connected, path space not connected• Order paths in space, winding numbers• No phase relations among inequivalent paths

Defects with co‐dimension twoNot possible 

in 1‐DPoint in a plane Line in a space

Defects with co‐dimension threePoint in a space

• Make space not simply‐contained, path space not simply connected• Order surfaces in space, wrapping numbers• No phase relations among inequivalent surfaces

Not possible in 1‐D

Not possible in 2‐D

1 1 1i i i i i is s s s s s

Breaking the Symmetric Group

• Symmetric group– Generators– Relations

68

1 2 1, , , Ns s s

2 1is when 2i j j is s s s j i

NS 1 2(12), (23),s p s p

11 1s s

1 2 1 2 1 2s s s s s s 1 3 3 1s s s s

Three ways to break symmetric group

21 1 1 23, ,n n i i i i j i iS s s s s s s s e

break

1 1 1 23, ,n n i i i j i iB s s s s s s e

21 1 2, ,n n i i j i iT s s s s s e

21 1 1 3, ,n n i i iF s s s s s e

Braid group

Traid groupaka twin group

Fraid group

Traid and fraid are hyperbolic Coxeter groups

11 1b b

11 1t t

1 2 1 2 1 2b b b b b b 1 2 1 2 1 2t t t t t t

braid group traid group

11 1s s

1 2 1 2 1 2s s s s s s

symmetric group

Topology of Hard Core Particle Models

71

2‐body 3‐body 4‐body

1 2 3

2 4 6

3 6 9

1d

2d

3d

co‐dimension of defect caused by local few‐body 

hard core interaction

Configuration space is

disconnected: defects like line in plane, planes in space

connected, butnot simply connected:

defects like point in plane,lines in space

everything else,simply connected:

defects like point in space

i j

i j

x x

y y

i j k

i j k

x x x

y y y

Defect co‐dimensiondoes *NOT* depend on N

Bose‐Fermi mapping

Braid anyons

Traid anyons

One more case: fraid anyonsnon‐local 2‐2 interactions

9. Unitary GroupsMatrix, Lie, compact and useful for harmonic oscillators

Harmonic oscillators

• Kinematic symmetry of N‐dimensional isotropic harmonic oscillator

• Lie algebra of quadratic operators

(2 ) (2 , ) ( )O N Sp N U N

2 2 † †1 1

1 1 / 22 2

N N

i i i ii i

H p q a a N

a a

Rotations in phase space

Canonical linear transformations

† †( )ij i j j i i j j iL Q P Q P i a a a a † †( )ij i j i i j jC N N a a a a

† †( )ij i j i j i j j iD Q Q PP i a a a a

Compact Lie Groups from Simple Lie Algebras

• A series

• B series

• C series

• D series

• Exceptional Lie groups

74

1 2 3, , ,A A A

2 3 4, , ,B B B

3 4 5, , ,C C C

4 5 6, , ,D D D

2 4 6 7 8, , , ,G F E E E

SU( 1)r

SO(2 1)r

Sp(2 )r

SO(2 )r

10. Conformal Groups

Scale transformation

• Consider the differential operator

• Stretching operator

xx

n nx x nxx

( ) ( )x

xe f x f e x

Scale dilations in free space QM

• Consider the free space Hamiltonian

• Scale transformation leaves Schrodinger equation invariant

• Dilation operator

0 2 i i ji i jH V r rm

2,r r t t

2V r V r with

1 ( )2 i i i ii

Q r p p r 0 0[ , ]Q H H

Calogero interaction2‐D delta function1‐D delta prime

Can also add harmonic trapping potential

Applications

1. Entanglement in scattering systems2. Contact interactions in one dimension3. Double‐well control dynamics4. Tight‐binding models in one dimension5. Anyons from hard‐core interactions