1

SYSTEMATIC SAMPLING

METODE PENARIKAN CONTOH I(7-8)

LOGO

PERTEMUAN 8-9: SYSTEMATIC SAMPLING

Penarikan contoh acak sistematikPengertian, alasan, persyaratan dan

keuntungan/kelemahanProsedur penarikan contoh (linier dan

sirkuler)Tipe unit dalam populasi (acak,

periodik dsb)Pendugaan rata-rata, total dan

ragam/ varianEfisiensi terhadap PSAS

2

LOGO3

Referensi

Scheaffer, Richard L & Mendenhall, William. 1990. Elementary Survey Sampling. Duxbury Press. California.

Kish, Leslie. 1995. Survey Sampling. John Willey & Sons, Inc. New York.

LOGO4

PENGERTIAN SYSTEMATIC SAMPLING

Merupakan suatu cara pemilihan n unit sampel dari N unit populasi secara sistematis dengan interval (jarak) tertentu dari suatu kerangka sampel yang telah diurutkan.

Seluruh N unit dalam kerangka sampel diberi nomor urut. Pemilihan unit yang pertama dilakukan dengan angka random, pemilihan berikutnya dilakukan secara otomatis dengan interval tetap.

LOGO5

Deskripsi

Andaikan N unit dalam populasi diberi nomor 1 s/d N

Untuk memilih sampel sebanyak n unit, kita mengambil sebuah unit secara acak dari k unit pertama dan setiap unit ke-k setelah itu

Misal: k=15 dan unit pertama terpilih adalah nomor 13

unit-unit berikutnya adalah 28, 43, 58, dst

Pemilihan unit pertama akan menentukan sampel secara keseluruhan

LOGO6

PRINSIP

Ada interval (k) antar unit sampel: Unit sampel pertama dipilih secara

acak Cara 1: antara 1-k

(Linear Systematic Sampling) Cara 2: antara 1-N

(Circular Systematic Sampling)Unit sampel berikutnya ditentukan

oleh interval (k)Misal: N=60; n=10; maka

LOGO7

Jadi, systematic sampling adalah suatu teknik sampling di mana hanya unit pertama dipilih dengan bantuan angka random dan untuk mendapatkan sisanya dipilih secara otomatis menurut interval yang ditentukan sebelumnya

Misal: N=60; n=10; maka , dan AR=2

Jadi, sampel terpilih (cara 1):No: 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56

No Mhs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 60

Tinggi

(cm)

165

162 155 176 160 180 176 173 154 … 166

LOGO8

PROSEDUR PEMILIHAN SAMPEL

1. LINEAR SYSTEMATIC SAMPLING− frame disusun menjadi daftar unit populasi yang terurut

sehingga unit-unit dapat dirujuk oleh angka (nomor urut).− Menentukan interval sampling k = N/n, sehingga N=nk− Menentukan angka random pertama, R1k .− Sampel terpilih terdiri dari unit-unit ke :

R, R+k, R+2k, . . ., R+(n-1)k .− Jika N≠nk, maka ambil k sebagai bilangan bulat yg paling dekat

dengan N/n.− Contoh:

N=9 dengan nomor urut 1, 2, …, 9.

n=3, sehingga k=9/3=3

R=2

Sampel terpilih: 2, 5, dan 9

LOGO9

Skema Diagram Systematic Sampling

dimana: unit ke- pada sampel ke- (ukuran unit dalam populasiukuran unit dalam sampelinterval sampel ()

LOGO10

Kasus

Misal:, ,

All Possible Sample (APS)

= [1,4,7,10], [2,5,8,11], [3,6,9,12]

Kasus

Misal:, ,

APS = [1,4,7,10], [2,5,8,11], [3,6,9]

LOGO11

PROSEDUR PEMILIHAN SAMPEL

2. CIRCULAR SYSTEMATIC SAMPLING− Memilih angka random pertama.− Memilih setiap unit ke-k, (dengan k merupakan bilangan bulat

yang paling dekat dengan N/n), dalam suatu cara yang memutar sampai n unit sampel terpilih.

− Sampel terpilih terdiri dari unit-unit ke :

R+jk, jika R+jk ≤ N

R+2k-N, jika R+jk > N .

untuk j=1,2, …, (n-1)− Contoh:

N=9 dengan nomor urut 1, 2, …, 9.

n=3, sehingga k=9/3=3

R=7

Sampel terpilih: 7, 1, dan 4

Random start

LOGO12

Sirkuler Sistematik

Dalam kasus , dapat diatasi dengan prosedur sirkuler sistematik dimana fixed,

Random start: Kasus

Misal:, ,

APS = [1,4,7,10], [2,5,8,11], [3,6,9,1], [4,7,10,2],

[5,8,11,3], [6,9,1,4], [7,10,2,5], [8,11,3,6], [9,1,4,7], [10,2,5,8], [11,3,6,9]

LOGO13

Peluang unit dalam populasi terpilih menjadi sampel:

Metode

N=nk N≠nk

PeluangEstimasi rata-rata populasi

PeluangEstimasi rata-rata populasi

Linear Systematic 1/k Unbiased 1/k Biased

Circular Systematic 1/k Unbiased n/N Unbiased

LOGO14

KEUNTUNGAN & KELEMAHAN• Lebih cepat, murah, dan mudah

pelaksanaannya daripada cara-cara yang lain.• Memperkecil kesalahan pemilihan

dibandingkan dengan srs maupun stratified random sampel, terutama bila kerangka sampel tidak tersedia

• Sampel tersebar lebih merata, sehingga kemungkinan besar lebih representatif & efisien dibandingkan srs.

KEUNTUNGAN

• Penduga varian sulit diperoleh dari sampel sistematis tunggal.

• Apabila unit dalam populasi yang akan diambil sampel mengikuti pola tertentu, misalnya berfluktuasi secara periodik, Penyusunan yang tidak baik mungkin menghasilkan sampel yang sangat tidak efisien.

KELEMAHAN

LOGO15

SYSTEMATIC vs STRATIFIED SAMPLING Systematic vs Sratified sampling :

Misalkan sebuah populasi terdiri dari N unit yang diberi nomor urut 1 s.d. N dalam beberapa susunan. Akan dipilih sebuah sampel berukuran n unit.

StratifiedSystematic

Diambil sebuah unit dari k unit pertama, selanjutnya mengambil setiap kelipatan k.

Diambil sebuah unit dari k unit pertama, selanjutnya mengambil sebuah unit lagi dari k unit berikutnya secara acak.

LOGO16

Hubungan dengan Stratified Sampling

Systematic sampling menstratifikasi populasi menjadi n strata yang terdiri dari: k unit pertama, k unit kedua, dst.

Sampel sistematik sama precisenya dengan stratified random sampling dengan satu unit per strata yang bersesuaian

= systematic sample

= stratified random sample

k 2k 3k 4k

LOGO17

Perbedaan:

Systematic Sample:Unit-unit terletak pada posisi yang relatif sama dalam strata

Stratified Random Sample:Posisi dalam strata ditentukan secara terpisah berdasarkan pengacakan di dalam masing-masing strata.

LOGO18

Hubungan dengan Cluster Sampling

Dengan N=nk, populasi dibagi menjadi k unit sampling yang besar, yang masing-masing mengandung n unit original.

Pelaksanaan pemilihan sampel sistematik adalah pelaksanaan pemilihan satu dari unit-unit sampling yang besar ini secara acak.

Sebuah sampel sistematik adalah sebuah sampel acak sederhana dari satu unit cluster dari suatu populasi sebanyak k unit cluster.

LOGO19

KOMPOSISI K SAMPEL SISTEMATIK

NOMOR SAMPEL

1 2 … i … k

… …

… …

… … … … … …

… …

Rata-rata … …

LOGO20

PENDUGA RATA-RATA POPULASI

Linear Systematic Sampling Jika N=nkrata-rata sampel dari sebuah

sampel sistematik merupakan penduga unbiased dari rata-rata populasi

Jika Nnkrata-rata sampel dari sebuah sampel sistematik merupakan penduga biased dari rata-rata populasi

Circular Systematic Sampling (N=nk maupun Nnk) Rata-rata sampel akan selalu

merupakan penduga unbiased

LOGO21

Teorema 1Jika N=nk maka adalah sebuah perkiraan tidak bias dari untuk sebuah sampel yang ditempatkan secara acak.

k

i

n

j

ijk

iisy nk

yy

kyE .

1

LOGO22

Estimasi Rata-Rata

maka rata-rata kuadrat antar kolom dalam populasi:

LOGO23

PENDUGA RATA-RATA POPULASI

rata-rata sampel untuk sampel sistematik ke-i

(karena ada k possible sample, probability (jika N=nk)

LOGO24

Apabila , misal dimana

Pada kondisi ini besarnya sampel akan menjadi atau tergantung dari random start

, jika

, jika

Contoh:

APS

[1,4,7,10,13]

[2,5,8,11] [3,6,9,12]

LOGO25

Sebagai penduga rata-rata yang tak bias dinyatakan dengan:

LOGO26

Misal:

Unit: Nilai:

Sampel Prob Rata-rata

1

2

(terbukti)

LOGO27

Misal: atau

Unit: Nilai:

LOGO28

Sebagai penduga rata-rata yang tidak bias

Sampel Prob

2 1

2

3 1

2

3

LOGO29

untuk

untuk

LOGO30

Sirkuler Sistematik

Sampel Prob Rata-rata

1

2

3

4

5

LOGO31

Estimasi Varians (1)

Jika

Misal menyatakan unit ke- pada sampel ke- (

Teorema 1: Apabila , maka adalah penduga tak bias dari dan varians

dimana:

LOGO32

Estimasi Varians (2)

Teorema 2: Varians rata-rata sampling sistematik dapat dinyatakan dengan:

dimana:

LOGO33

Total Sum of Square (Jumlah Kuadrat Terkecil)

dimana:

Catatan: varians sistematik akan kecil dimana fixed dan semakin besar

LOGO34

Penghitungan membutuhkan informasi dari seluruh k sampel sistematik.

VARIANS PENDUGA RATA-RATA

Varians within dari k sampel sistematik

Varians within sampel sistematis

yang besar mengindikasikan

bahwa sampel tsb adalah HETEROGEN

LOGO35

Misal populasi:1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 periodicity

Misal 2 terpilih sampel dan k=5, sehingga sampel sistematik: 2,2,2 homogen dan tidak representatif

Varians within=0 dan akan besar.

Bagaimana mengukur kehomogenan atau keheterogenan ini ?

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT

LOGO36

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT

Ukuran yang menyatakan tingkat kehomogenan dalam sebuah sampel sistematik di antara pasangan unit dalam sampel sistematik yang sama adalah intraclass correlation coefficient

LOGO37

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT

Ketika ada n unit sampling dalam sebuah sampel sistematik, maka ada pasangan unit sampling yang berbeda yang bisa kita pilih

Karena keseluruhan ada k sampel sistematis, ada pasangan yang berbeda, sehingga:

LOGO38

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT

LOGO39

Jika,

maka

LOGO40

Estimasi Rata-Rata dan Varians (4)Teorema 3: Varians rata-rata sampling sistematik dapat dinyatakan dengan:

intraclass correlation coefficient menunjukkan tingkat keeratan hubungan suatu karakteristik antar unit di

dalam klaster. Menunjukkan derajat kehomogenitian dari sampling sistimatis

LOGO41

SYSTEMATIC SAMPLING Varians , dengan ρ ukuran kehomogenan antar

elemen-elemen dalam sampel systematic. Jika ρ<0 berarti elemen-elemen dalam sampel

cenderung berbeda, dan systematic sampling lebih baik daripada srs.

Jika ρ1 berarti elemen-elemen dalam sampel cenderung mirip, dan

Jika ρ0 dan positif maka makin kecil Jika ρ0 dan N sangat besar, systematic sampling

cenderung ekivalen dengan srs .

LOGO42

Unit homogen dlm

sampel sistimatis

besar

Unit-unit heterogen dlm sampel sistimatis

kecil

kecil &

positif/ negatif

besar &

positif

LOGO43

=0=0

𝑉 (𝑦 𝑠𝑦 ) 𝑉 (𝑦 𝑠𝑟𝑠 )

LOGO44

Suatu estimasi tak bias tidak dapat diperoleh dg mengunakan data dari hanya satu sampel sistematik.

Ketika sampel systematic sama dengan sampel dari srs, maka dapat digunakan untuk mendekati estimasi varians srs ().

Untuk populasi yg bagaimana, berlaku hal2 tsb diatas?

LOGO45

ContohMisalkan populasi N terdiri dari 9

unit, yaitu 1, 2, …, 9.Diambil sampel dg ukuran n=3 secara sistematis.

Hitung rata-rata & variansnya!

LOGO46

JawabAll possible sample dg sistematik

adalah:Unit terpilih pada n1: 1, 4, 7

Unit terpilih pada n2: 2, 5, 8

Unit terpilih pada n3: 3, 6, 9n1 n2 n3

4 5 6

5

LOGO47

Cara I

Cara II

3

2565554

3

11 2222

. k

iisy Yy

kyV

22

2

2 595119

1

1

N

Yy

S

k

i

n

jij

9

546941

9

1

8

60 22

2

2

N

yy

S

k

i

n

jijij

3

2

9

54

8

60

9

1911yV

22sy

wsyS

N

nkS

N

N

LOGO48

Cara III

Dg cara yang sama,untuk i=2,

untuk i=3S2=60/8

YyYyYyYyYyYyYyYyuj

iuij

131213111211

6575457515451 uj

iuij YyYy

9uj

iuij YyYy

6uj

iuij YyYy

LOGO49

60

21696

860

1

19

1

13

2

3

2

60

21131

9

19

3

860

syyV

LOGO50

Repeated Systematic SamplingMasalah systematic kita tidak

dapat mengestimasi varians dari informasi yang dicakup dalam sebuah sampel sistimatik tunggal.

Metode Alternative: “Repeated Systematic Sampling” Membutuhkan pemilihan lebih dari satu

sampel sistimatik• Misal 10 sampel sistimatik dengan interval 50 yang

mengandung 6 unit dapat diperoleh pada saat yang sama seperti 1 sampel sistimatik dengan interval 5 yang terdiri dari 60 unit

LOGO51

Repeated Systematic Sampling (2) Jika ns adalah jumlah repeated samples,

maka ini akan memberikan ns=10 repeated sampel berukuran masing-masing 6 unit.

Misal , , …, adalah rata-rata sampel. Maka estimasi rata-rata populasinya adalah:

Seringkali, diambil ns=10

LOGO52

Repeated Sampling (3)Misalkan n=60, k=16, N=960,

k=N/n=960/60=16),1. Pertama-tama, pilih k’=nsk=(10)(16)=160,

dng k =16

2. Pilih 10 angka random antara 1 dan 160

3. Tambahkan 160 untuk masing2 angka random (starting point) untuk memberikan 10 angka antara 161 dan 320

4. Lanjutkan dengan menambahkan 160 kepada angka-angka ini dan seterusnya

LOGO53

Jenis-jenis Populasi

POPULASI

B

E

C

D

APopulasi alamiah

Populasi acak

Populasi trend linear

Populasi yg berautokrelasi

Populasi dg variasi periodik

LOGO54

SAMPEL SISTEMATIK PADA MASING2 JENIS POPULASI (1)

POPULASI ACAK

POPULASI PERIODIK

POPULASI TREND LINEAR

• Elemen-elemen dalam populasi tersusun secara acak, sehingga unit-unit dalam sampel sistematis juga tersusun secara acak.

• ρ kecil, sampel heterogen, .

• Elemen-elemen dalam populasi berurutan, sehingga sampel sistematik akan heterogen,

• Elemen-elemen dalam populasi mengikuti variasi periodik, shg keefektifannya akan tergantung pada nilai intervalnya (k).

• Sistematik digunakan pd populasi yang keperiodikannya tidak terbatas.

LOGO55

SAMPEL SISTEMATIK PADA MASING2 JENIS POPULASI (2)

POPULASI ALAMIAH

POPULASI Yg BER-

AUTOKORELASI

• Kita menganggap bhw & adalah berhubungan secara positif, dan hubungan antara keduanya mrpk fungsi jarak, .

• Grafik dari ρd disebut korelogram.

• ρd meningkat jika d menurun.

• Contoh:o ketinggian dg jarak berturut-

turut 0,1 mil pada suatu daerah yang luas;

o temperatur tanah;o temperatur udara,o volume penjualan kayu per

lembar;o dll.

LOGO56

POPULASI DENGAN SUSUNAN ACAK

Jika unit-unit sampling di dalam populasi tersusun secara acak, unit-unit sampling di dalam sampel juga akan tersusun secara acak.

Oleh karena itu, sampel sistematik bisa diperlakukan seolah-olah adalah sampel acak.

Sampel yang tersusun secara acak ini akan menjadi heterogen dan akan memiliki yang kecil maka kurang lebih akan sama dengan .

Misal, sampling dari sebuah file yang disusun secara alfabetik menurut nama. Jika item yang diukur tidak memiliki hubungan dengan nama individu, kita bisa mengharapkan systematic sampling benar-benar equivalent dengan SRS dan memiliki varians yang hampir sama.

LOGO57

Varians pada populasi acak Pembuktian pd populasi acak, .

Karena yi & yj tidak berhubungan (i≠j), .

Maka

Sehingga

N

i

N

iii

N

ii YNyYyYy

1 1

222

1

2

1

1

2

N

Yy

nn

nNV

N

ii

ran

N

ii

N

iiN

iiran nN

nN

NN

NNn

nNV

1

222

1

2

1

2

1

N

uu

N

uusy Yky

kYy

kV

1

22

1

2 11

ran

N

ii

N

ii

N

ii

sy VnN

nN

N

k

nkV

1

222

1

2

21

2

1

LOGO58

POPULASI TERURUT

Dalam sebuah populasi terurut, pemilihan sampel sistematik akan memberikan sampel yang heterogen dan biasanya akan lebih kecil daripada .

Contoh: menduga produksi jagung dari populasi petani dengan luas lahan. Petani diurutkan terlebih dahulu menurut luas lahan, kemudian dipilih sampel secara sistematik. Sampel yang terpilih akan heterogen dan menghindari kesempatan memilih sampel yang mengandung terlalu banyak petani besar/kecil sehingga lebih mewakili populasi daripada ketika masih tersusun secara acak.

LOGO59

POPULASI DENGAN VARIASI PERIODIK

Jika populasi mengandung trend periodik (misalkan kurva sinus), keefektifan sampel sistematik tergantung pada nilai interval.

Contoh populasi hipotetik:1,2,3,4,5| 1,2,3,4,5| 1,2,3,4,5

Jika diambil 3 sampel dan dengan random start 2 dan k=5, maka sampel sistematiknya: (2,2,2)homogen, besar

Contoh praktis:Penjualan tinggi hari Jumat dan Sabtu

Penjualan rendah hari Senin dan Selasa

Sampel-sampel bisa dipilih dengan mengubah posisi unit-unit sampling setiap waktu.

LOGO60

Jika karakteristik yang sedang diteliti adalah sedemikian rupa sehingga ini merupakan periodik dengan periode specifik – “a periodic population”

Contoh : penjualan.Untuk populasi periodik, elemen dari

sampel sistimatik adalah “homogen” dan oleh karena itu rho>0. Selanjutnya jika N besar, kita memiliki Vsy > Vsrs.

Dalam hal ini, disarankan untuk mengubah starting point beberapa kali sehingga populasi menjadi acak.

LOGO61

Varians pada populasi trend linear (1)

Pembuktian pd populasi trend linier .Misal yi=i, maka

Pada penarikan sampel sistematis, ; ; ; dst

2

1

1

NNi

N

i

N

i

NNNi

1

2

6

121

12

1

1

1 2

1

22

NNYNy

NS

N

ii

12

11

12

112

NkNN

Nn

knS

Nn

nNVran

LOGO62

Varians pada populasi trend linear (2)

Jadi dapat diganti dengan deretan angka 1, 2, …, k. Maka:

Dengan demikian terbukti , karena

12

11

12

12

Nkk

N

uusy

N

uu

kYy

kV

kkYy

1

22

2

1

2

12

11:maka,

12

1

LOGO63

MODEL2 DLM SYSTEMATIC SAMPLING

Successive Difference Model

Paired Selection Model

Stratified Random Model

Simple Random Model

LOGO64

MODEL2 DLM SYSTEMATIC SAMPLING

Jk unit2 populasi seluruhnya acak, maka sampel sistematis ekivalen dg srs.

Mengasumsikan pembagian populasi ke dalam strata & menggabungkan unit-unit sampling di dalam strata itu.Pengambilan sampel harus meneliti ciri-ciri daftar populasi untuk menentukan strata

Menggunakan 2 angka random pertama pd penarikan sampelnya, intervalnya I’=2I.Jk n=genap, mk ,Jk n=ganjil, berarti ada 1 unit yg digunakan 2x.

Merupakan pengembangan dari paired selection model.

Paired Selection

Model

StratifiedRandom

Model

SimpleRandom

Model

SuccessiveDifference

Model

LOGO65

Relatif Efisiensi (RE)

efek dari penggunaan metode sampling yang merupakan rasio antara varians suatu metode sampling dari SRS.

Nilai :

metode tersebut sama efisien dengan SRS

metode SRS kurang efisien

metode SRS lebih efisien

LOGO66

EFISIENSI

Agar systematic sampling memiliki presisi yang sama dengan SRS, maka:

LOGO67

tergantung dari nilai Apabila , maka

(sama efisien) Apabila , maka

(sistematik lebih efisien) Apabila , maka

(SRS lebih efisien)

LOGO68

EFISIENSIKarena N biasanya besar, seharusnya

kecil agar systematic sampling memiliki presisi yang sama dengan SRS.

Nilai akan kecil jika unit-unit sampling dalam populasi didistribusikan secara random, sehingga bisa digunakan untuk sistematic sampling

LOGO69

Agar sistematik lebih efisien maka,

LOGO

Materi berikutnyaPPS SAMPLING

70

71