Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         1  

 

   Classwork:  Composition  of  Functions,  Solving  a  System  by  elimination    Given  𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1  and  𝑔(𝑥) = 𝑥!,  find:    

 1. 𝑓 𝑔 3  

   

2. g(f(1))    

 3. 𝑓 𝑔 𝑥 =  

   

4. 𝑔(𝑓(𝑥))=    

 5. 𝑓(𝑓(𝑥))  

   Example  1     A  system  with  one  solution.    

 3𝑥 − 8𝑦 = 21−5𝑥 + 6𝑦 = 9  

Multiply  the  first  equation  by  5,  and  the  second  one  by  3.    This  creates  coefficients  of  x  that  are  inverses;  15x  and  -­‐15x.    Those  terms  will  cancel  when  added.    

15𝑥 − 40𝑦 = 105−15𝑥 + 18𝑦 = 27  

 

 Add  the  two  equations  by  combing  the  like  terms.  

0𝑥 − 22𝑦 = 132    −22𝑦 = 132              𝑦 = −6  

   Solve  for  y.  

 3𝑥 − 8 −6 = 21  3𝑥 = 69  𝑥 = 13  

 Find  x  using  one  of  the  original  equations  

 The  solution  is  the  point  (13,  -­‐6).      

 Express  your  answer  an  as  ordered  pair.    The  graphs  intersect  at  the  single  point  (13,  -­‐6).  

         

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         2  

 

   Homework:  Solving  a  System  of  Linear  Equations    Solve  each  system  by  substitution.      

1. 2x  +  3y  =  5             2.         4x  +  6y  =  15  x  –  5y  =  9               -­‐x  +  2y  =  5      

Solve  each  system  by  eliminating  one  variable,  using  linear  combination.    3.       3x  +  4y  =  -­‐4               4.   3x  +  2y  =  6     x  +  2y  =  2               6x  +  3y  =  6        5.           2x  –  5y  =  10             6.     4x  –  3y  =  0     -­‐3x  +  4y  =  -­‐15               10x  –  7y  =  2        7.        This  system  of  equations  does  NOT  have  exactly  one  solution.  What  sort  of  solutions  does  it  have?                  Solve  and  interpret  your  result.       4x  +  6y  =  -­‐11     2x  +  3y  =  -­‐  1        

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         3  

 

 Classwork:  Composition  of  Functions,  Solving  a  System  of  Equations      Bell-­‐Work:    Composition  of  Functions        Given  f(𝑥)  =  2𝑥  + 5  and  𝑔(𝑥) = 3𝑥!,  find:    

1. 𝑓(𝑔(1))  

2. 𝑔(𝑓(−4))  

3. 𝑓(𝑓(5))  

4. 𝑓(𝑔(𝑥))  

5. 𝑔(𝑓(𝑥))  

6. 𝑓(𝑓(𝑥))  

 

Systems  of  equations  with  one,  none,  or  infinite  solutions  

 

                      Notes  on  solutions  

7.  Solve  the  System  2𝑥 − 4𝑦 = 134𝑥 − 5𝑦 = 8  

 

 

 

 

 

 

8.  Solve  the  System   𝑥 − 2𝑦 = 32𝑥 − 4𝑦 = 7  

 

 

 

 

 

 

   

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         4  

 

                      Notes    

9.  Solve  the  system    6𝑥 − 10𝑦 = 12

−15𝑥 − 25𝑦 = −30        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Linear-­‐Quadratic  Systems  of  Equations  

 

10.  Solve  the  system    𝑦 = 𝑥  𝑦 = 𝑥!  

                                     

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         5  

 

 Classwork:  Composition  and  Inverses  of  Functions;  Solving  Systems      Composition  of  Functions    1. Given  𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2    and  𝑔(𝑥) =  𝑥−23  ,  find  𝑓(𝑔(𝑥)).      2. Given  𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)!    and  𝑔 𝑥 =   𝑥3 − 1,  find  𝑓(𝑔(𝑥)).      Definition  of  inverse.      

If  f(g(x))  =  x  and  g(f(x))  =  x,  then  f  and  g  are  inverses.    3.  Are  these  functions  inverses  of  each  other?         𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)!                   𝑔 𝑥 = 𝑥! + 1    

• Test  with  a  value.  Find  f(g(a))  for  some  value  x  =  a.      

• Test  with  composition.  Find  f(g(x)).      Solving  a    Linear-­‐Quadratic  system  of  equations    

4.    Solve  the  system,  using  linear  combination.     𝑦 = 𝑥! − 5𝑥 + 7𝑦 = 2𝑥 + 1  

     

5.  Solve  the  system,  using  linear  combination.     𝑦 = 𝑥! + 4𝑦 = 𝑥 + 1  

         

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         6  

 

 

Classwork:  Solving  Systems  

 

1.  Describe,  using  an  example,  a  procedure  for  solving  a  system  of  two  linear  equations.  Explain  each  step,  and  the  rationale  for  it.  

   

2.  Given  a  system  of  two  linear  equations,  what  is  the  geometric  meaning  of  there  being:  

a.  Exactly  one  solution  

b.  No  solution  

c.  An  infinite  number  of  solutions  

   

3.  Given  a  system  of  two  linear  equations,  what  is  the  algebraic  meaning  of  there  being:  

a.  Exactly  one  solution  

b.  No  solution  

c.  An  infinite  number  of  solutions  

   

4.  Given  a  system  of  one  linear  equation  and  one  quadratic  equation,  describe  all  the  possible  numbers  of  solutions.

   Practice  for  Unit  Test                      Inverses    

1. Find  the  inverse  of  𝑦 = !!𝑥 + 8.    

 2. Find  the  inverse  of  𝑦 = 2𝑥 + 8 !.  Use  composition  to  prove  that  your  inverse  is  correct.  

     

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         7  

 

 Solving  a  Quadratic    

3. Solve  the  equation  for  x.       𝑥! − 12𝑥  − 28 = 0    

4. Solve  for  x:     3𝑥! + 10𝑥 + 3 = 0    

5. Solve  for  x:      3𝑥! − 6𝑥 + 12 = 0    

6. Solve  for  x:         𝑥! + 10𝑥  − 3 = 0    

7. Solve  for  x     7𝑥! − 2𝑥  − 9 = 0      Solving  a  System  of  Equations,  using  Elimination      

8. Solve  the  system        2𝑥  − 4𝑦 = 13  4𝑥  − 5𝑦 = 8  

 9. Solve  the  system  

7𝑥  − 12𝑦 = −22  −5𝑥 + 8𝑦 = 14    

10. Solve  the  system  −9𝑥 + 6𝑦 = 0  −12𝑥 + 8𝑦 = 0    

11. Solve  the  system  6𝑥 + 9  𝑦 = −3  −4𝑥 − 6𝑦 = 11    

12.  Solve  the  system,  using  elimination  𝑦 = 2𝑥 + 1  𝑦 = 𝑥! − 2    

13. Solve  the  system  3𝑥  − 2𝑦 + 10 = 0  2𝑥! + 12𝑦 + 13 = 0  

 14. A  rocket  is  launched  from  the  ground  and  follows  a  parabolic  path  described  by  the  equation  y  =  -­‐

x2  +  10x  .  At  the  same  time,  a  flare  is  launched  from  10  feet  above  ground  and  follows  a  straight  path  described  by  the  equation  y  =  -­‐x  +  10.  Solve  this  system  of  equations  to  find  the  coordinates  where  their  paths  intersect.  

   

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         8  

 

 Test-­‐A:  Systems  of  Equations  &  Composition       Name:  ________________________________    

• Partial  credit  is  given  for  evidence  of  correct,  but  incomplete,  work.    • Unsupported  answers  will  not  receive  credit.  

   1.  Janina  is  solving  a  system  of  equations,  and  gets  0  =  19  as  the  result.  What  does  this  tell  her  about  these  equations,  and  what  should  she  write  down  as  her  answer  for  the  solution  of  the  system?          2.  Write  a  simple  system  of  equations  that  will  have  NO  solution.            3.  Solve  the  system,  using  substitution.    Write  your  solution  as  an  ordered  pair,  (x,  y).    

𝑥 + 6𝑦 = 1  2𝑥 + 11𝑦 = 4  

             4.  Solve  the  system,  using  elimination  (linear  combination).  Write  your  solution  as  an  ordered  pair,  (x,  y).    

2𝑥 + 3𝑦 = 55𝑥 + 7𝑦 = 8  

     

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         9  

 

 5.  Solve  the  system,  using  elimination  (linear  combination).  Give  your  answer  as  an  ordered  pair.    4𝑥 + 𝑦 = 𝑥! − 2

𝑥 − 𝑦 = 2  

                         

6.  Given  𝑓 𝑥 = 2𝑥! + 5  and  𝑔 𝑥 = 𝑥3

2 − 5,  determine  whether  or  not  they  are  inverses,  and  verify  your  answer.                        

7.  Solve  the  equation  for  x,  using  the  Quadratic  Formula:     𝑥 = −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎  

             𝑥! − 8𝑥 + 20 = 0          

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         10  

 

   TEST-­‐B:  Systems  of  Equations  &  Composition       Name:  ________________________________    

• Partial  credit  is  given  for  evidence  of  correct,  but  incomplete,  work.    • Unsupported  answers  will  not  receive  credit.  

   1.  Jamila  is  solving  a  system  of  equations,  and  gets  0  =  0  as  the  result.  What  does  this  tell  her  about  these  equations,  and  what  should  she  write  down  as  her  answer  for  the  solution  of  the  system?          2.  Write  a  simple  system  of  equations  that  will  have  an  INFINTE  number  of  solutions.            3.  Solve  the  system,  using  substitution.    Write  your  solution  as  an  ordered  pair,  (x,  y).  

7𝑥 + 𝑦 = 6  𝑥 − 2𝑦 = −12  

               4.  Solve  the  system,  using  elimination  (linear  combination).  Write  your  solution  as  an  ordered  pair,  (x,  y).    

 7𝑥 − 2𝑦 = −95𝑥 − 3𝑦 = 3  

     

Algebra  2                                                                          Systems  of  Equations         11  

 

   5.  Solve  the  system,  using  elimination  (linear  combination).  Give  your  answer  as  an  ordered  pair.      𝑦 − 4𝑥 = 𝑥! + 5

𝑦 − 𝑥 = 5  

                           

6.  Given  𝑓 𝑥 = 2𝑥! + 5  and  𝑔 𝑥 = 𝑥−52

3 ,  determine  whether  or  not  they  are  inverses,  and  verify  your  answer.                          

7.  Solve  the  equation  for  x,  using  the  Quadratic  Formula:     𝑥 = −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎  

         𝑥! − 16𝑥 + 4 = 0