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Filtres numériques
Systèmes de Traitement du SignalPolytech Marseille – INFO – 2016
Filtrage temporel
Spectre decos(nω0)sur 5 périodes
Polytech Marseille - INFO 2Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Intervalle de mesure ≡filtrage par une porte
Pondération ou apodisation
� Fenêtres de N+1 points : k=0,…, N� Hanning
� Hamming
� Blackman
� …
π−=N
k2cos50.050.0)k(w
π−=N
k2cos46.054.0)k(w
π+
π−=N
k4cos08.0
N
k2cos50.042.0)k(w
Polytech Marseille - INFO 3Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Pondération ou apodisation (2)
HanningHammingBlackman
Polytech Marseille - INFO 4Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Porte versus Hanning
Polytech Marseille - INFO 5Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Hamming et Blackman
Polytech Marseille - INFO 6Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Spectre non pondéré
Polytech Marseille - INFO 7Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Spectre pondéré par Blackman
Polytech Marseille - INFO 8Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtrage fréquentiel
Polytech Marseille - INFO 9Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres élémentaires
� Retard :
� Dérivée numérique :
� Intégration numérique :
)1n()n()n(h)1n(e)n(e)n(s −δ−δ=⇔−−=
)1n(u)n(u)n()n(e)1n(s)n(s −−=δ⇔+−=
)kn()n(h)kn(e)n(s −δ=⇔−=
)n(u)n(h =⇔
Polytech Marseille - INFO 10Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Signal ad hoc de référence : x(n)
Polytech Marseille - INFO 11Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Signal ad hoc de référence : x(n)
N =70 ;n1 = 0 ;n2 = N-1 ;n = n1:n2 ;x = zeros(1,N) ;a = 0.2 ;x(11:20) = a.*(n(11:20).-10) ;b = a*(n(21)-10) ;a = 0.5 ;x(21:30) = (a.*(n(21:30)-20))+b ;x(31:40) = x(30) ;a = -2 ;b = 10 ;x(41:50) = (a*(n(41:50)-40))+b ;a = 0.3 ;x(51:N) = x(50)*exp(-a*(n(51:N)-49)) ;
Polytech Marseille - INFO 12Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Dérivée numérique : y(n) = h(n)*x(n)
)1n()n()n(h −δ−δ=
Polytech Marseille - INFO 13Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Produit de convolution
� Définition :
� Si séquences limitées :
x(n) : [n1, n2]y(n) : [n3, n4]
x(n)*y(n) : [n1+ n3, n2+ n4]
∑∞+
−∞=−=
k
)kn(y)k(x)n(y*)n(x
Polytech Marseille - INFO 14Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
≤≤=
ailleurs0
20n10si1)n(x
Polytech Marseille - INFO 15Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
≤≤−=
ailleurs0
5n5sin)n(h
Polytech Marseille - INFO 16Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
y(n) = h(n)*x(n) est défini sur l’intervalle [5, 25]Polytech Marseille - INFO 17Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Intégration numérique : z(n) = u(n)*y(n)
Polytech Marseille - INFO 18Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Comparaison x(n) et z(n)
Polytech Marseille - INFO 19Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Signal retardé : δδδδ(n-k)*x(n)
k = 10
Polytech Marseille - INFO 20Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtre passe-bas
Fréquence réduitede coupure :υc = 0.1
Polytech Marseille - INFO 21Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Réponse impulsionnelle
� En analogique :
� En numérique :
t
)t(sin
t
)t(sinTF)t(h c
c
cc
c
1
πω
=ω
ωπ
ω=
ωωΠ= −
n
)n2(sin)n(h c
πνπ
=
Polytech Marseille - INFO 22Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
h(n) et H(υυυυ)
Polytech Marseille - INFO 23Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Amélioration avec Blackman
Bande de transition :
Polytech Marseille - INFO 24Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Comparaison des pondérations
HanningHammingBlackman
Polytech Marseille - INFO 25Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Comparaison des pondérations (2)
HanningHammingBlackman
Polytech Marseille - INFO 26Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Bande de transition
N
4BT =
N = 17N = 33N = 129
Polytech Marseille - INFO 27Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Exemple de filtre passe-bas
% Filtre passe-bas
N = 4097 ; % Nombre de points du noyauNc = floor(N/2) ;n = 0:N-1 ;nu_c = 0.0095 ; % Fréquence réduite de coupurev = 2*nu_c*(n-Nc) ;h = 2*nu_c*sinc(v) ;nh = n-Nc ;
% Pondération de Blackman
w = 0.42.-(0.5*cos(2*pi*n/N))+(0.08*cos(4*pi*n/N)) ;h = w.*h ;
Polytech Marseille - INFO 28Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Signal de référence
fe = 44100 ; % fréquence d’échantillonnagedt1 = 0.5 ;dt2 = 0.5 ;Nr = (7.*(dt1+dt2)+dt1) * fe ;n = 0:Nr-1 ;
la = 440 ;f(1) = 16*la/27 ; % dof(2) = 2*la/3 ; % réf(3) = 3*la/4 ; % mif(4) = 64*la/81 ; % faf(5) = 8*la/9 ; % solf(6) = la ; % laf(7) = 9*la/8 ; % si
Polytech Marseille - INFO 29Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Signal de référence (2)
x = 0.2*sin(2*pi*la*n/fe) ;
for i=1:7n1 = (((i-1)*(dt1+dt2))+dt1)*fe ;n2 = n1+(dt2*fe) ;dn = n1:n2 ;x(dn) = x(dn).+0.2*sin(2*pi*f(i)*dn/fe) ;
endfor
plot(x) ;wavwrite(x',fe,16,"before.wav") ;
Polytech Marseille - INFO 30Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Signal de référence (3)
Polytech Marseille - INFO 31Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Signal filtré
y = conv(h,x) ;plot(y) ;
wavwrite(y',fe,16,"after.wav") ;
Polytech Marseille - INFO 32Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Signal filtré (2)
Polytech Marseille - INFO 33Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtre passe-haut
)n(h)n()n(h1 −δ= [ ] )(H1)n(h)n(TFD)(H1 ν−=−δ=ν
Polytech Marseille - INFO 34Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtre passe-haut (2)
� Changement de signe d’un échantillon sur deux
� Fréquence de coupure : 0.5-υc
Polytech Marseille - INFO 35Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres passe-bande et coupe-bande
� Deux filtres successifs :
� Filtre équivalent :
)n(e*)n(h*)n(h)n(s
)n(x*)n(h)n(s
)n(e*)n(h)n(x
12
2
1
=⇒
=
=
)n(h*)n(h)n(h 21=
Polytech Marseille - INFO 36Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtre passe-bande
Passe-bas (coupure 0.4) et passe-haut (coupure 0.1)
Polytech Marseille - INFO 37Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtre coupe-bande
Passe-bas (coupure 0.2) et passe-haut (coupure 0.3)
Polytech Marseille - INFO 38Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtre à moyenne glissante
� Caractéristique :
moyenne de M échantillons� Réponse impulsionnelle : porte de largeur M
et d’amplitude 1/M� Forme récursive :
∑−
=
−=1M
0k
)kn(eM
1)n(s
)1Mn(e)1n(e)n(sM)1n(sM +−−++=+
Polytech Marseille - INFO 39Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtre à moyenne glissante (2)
Fenêtre glissante sur 21 échantillons
Polytech Marseille - INFO 40Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres adaptés
� Signal à analyser : s(n)
� Recherche d’un signal x(n) dans du bruit
Polytech Marseille - INFO 41Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres adaptés (2)
Polytech Marseille - INFO 42Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres adaptés (3)
� Supposons connue l’allure temporelle du signal à détecter
Polytech Marseille - INFO 43Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres adaptés (4)
� Moyenne glissante
Polytech Marseille - INFO 44Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres adaptés (5)
� Inter-corrélation entre s(n) et x(n)
Polytech Marseille - INFO 45Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres adaptés (6)
� Filtre de Wiener :
22
2
W)(B)(X
)(X)(H
ν+ν
ν=ν
Polytech Marseille - INFO 46Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres adaptés (7)
� Réponse impusionnelle du filtre de Wiener� Transformée de Fourier inverse de la fonction
de transfert HW(υ)� Avec pour TFD-1 :
N/k2nj1N
0k
eN
k2X
N
1)n(x π
−
=∑
π=
Polytech Marseille - INFO 47Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres adaptés (8)
Polytech Marseille - INFO 48Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Filtres adaptés (9)
Polytech Marseille - INFO 49Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée
Polytech Marseille - INFO 50Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée (2)� Méthode :
Transformée de Fourier numérique inverse pour N échantillons de la fonction de transfert prise sur une période complète : -0.5 à 0.5.
Polytech Marseille - INFO 51Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée (3)� Exemple pour N = 63
� En général, on peut négliger la partie imaginaire
Polytech Marseille - INFO 52Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée (4)� Réponse fréquentielle pour N = 63
Polytech Marseille - INFO 53Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée (5)� Réponse fréquentielle pour N = 257
Polytech Marseille - INFO 54Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016
Réalisation d’un filtre à réponse fréquentielle spécifiée (6)� Réponse fréquentielle pour N = 257
échantillons pondérés par Blackman
Polytech Marseille - INFO 55Systèmes de Traitement du Signal - S. Tisserant - 2016