Széchenyi István Egyetem Mőszaki Tudományi Kar

Jedlik Ányos Gépész-, Informatikai és Villamosmérnöki Intézet

Távközlési Tanszék

Elektromágneses Terek Laboratórium

A SKALÁR HISZTERÉZIS KARAKTERISZTIKA

MÉRÉSE ÉS SZABÁLYOZÁSA ANALÓG ÉS

DIGITÁLIS INTEGRÁTORRAL

Országos Tudományos Diákköri dolgozat

Készítette: Pólik Zoltán

II. éves villamosmérnök (BSc) szakos hallgató

Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, PhD

egyetemi adjunktus

Gyır, 2007. január

1

I. BEVEZETÉS A ferromágneses anyagok hiszterézis karakterisztikájának minél pontosabb szimulációja,

azaz a ferromágneses anyagok ( )tM mágnesezettségének ismerete a ( )tH mágneses

térerısség függvényében rendkívül fontos az egyre nagyobb teret hódító számítógéppel

segített tervezés (CAD – Computer Aided Design) és a különbözı elektromágneses

térszámítási programcsomagok (pl. COMSOL Multiphysics, FLUX, Ansys, Gmsh, stb.)

alkalmazása során[8]. Az irodalomból ismeretes[6,8,15], hogy az elektromágneses teret

matematikailag leíró Maxwell-egyenletekbıl skalár- és vektorpotenciálok bevezetésével

adódó nemlineáris parciális differenciálegyeneletek megoldása numerikus iteratív

eljárásokat igényel, amely azonban jelenleg is nyitott kérdéseket fogalmaz meg. A skalár

hiszterézis modellek megfelelıen leírják a mágneses térerısség és a mágnesezettség

vektorok közötti nemlineáris és többértékő függvénykapcsolatot, amennyiben

feltételezhetjük, hogy ezen vektorok mindvégig párhuzamosak maradnak egymással.

Mindez jó közelítéssel teljesül például a torroid alakú ferromágneses anyagból készült

tekercsek esetében, amely elrendezés jelen mérés középpontjában áll. A torroid tekercs a

mérés szempontjából ideális, mert elınye, hogy a benne záródó fluxus nem lép ki a

mágneses anyagból. Egy másik klasszikus alkalmazási lehetıség a végtelennek tekinthetı

ferromágneses anyagból készült un. féltér numerikus analízise. Ez kerül ugyanis elıtérbe

például árnyékolás vizsgálata esetén.

A mágneses anyagok skalár hiszterézis karakterisztikája tehát a mágneses

térerısség és a mágneses anyag mágnesezettsége között teremt kapcsolatot. Ezen erısen

nemlineáris és memóriával bíró rendszer modellezésére meglehetısen nehéz megfelelı

struktúrát találni. A mágneses jelenségek vizsgálata során több modell is született már a

hiszterézis karakterisztika matematikai modellezésére, a mágneses anyagok

viselkedésének reprodukálására, mint például a Preisach–modell, illetve annak

általánosításai, a Jiles−Atherton–modell [8] vagy a Stoner−Wohlfarth−modell [8]. A

modellek, szimulációs eljárások mőködésének helyessége, pontosságuk meghatározása,

mérési eredményekkel történı összevetéssel lehetséges, ezért rendkívül fontos, hogy az

2

elméleti eredményeket saját magunk által készített mérésekkel támasszuk alá. A

villamosmérnöki gyakorlatban elıforduló, elektromágneses szimulációt is igénylı

problémák analízise során nemcsak a pontosság, hanem az alkalmazhatóság is rendkívül

fontos. Meg kell jegyezni, hogy egy térszimuláció nagyon számításigényes feladat, ezért a

modell mérnöki alkalmazhatóságát is szem elıtt kell tartanunk.

2006 tavaszán a Széchenyi István Egyetem MTK Jedlik Ányos Gépész-,

Informatikai- és Villamosmérnöki Intézet Távközlési Tanszékének segítségével

megalakult az Elektromágneses Terek Laboratórium, ahol jelenleg is több kutatás folyik

egymással párhuzamosan. Egyik munkánk során létrehoztunk egy számítógép által

vezérelt rendszert, amely a Jiles−Atherton−modell segítségével szimulált torroid tekercs

skalár hiszterézis karakterisztikájának mérését és a mágneses indukció vezérlését

valósította meg [1,2,3,4]. Mivel azonban ez a rendszer félig egy számítógépes szimuláció

a ferromágneses anyagok fizikai viselkedését és a kérdéses folyamatok elektrodinamikai

hátterét figyelembe véve, szükséges volt egy ezen a szimuláción alapuló fizikai

mérırendszer felállítása is, hogy bizonyosságot szerezzünk modelljeink és az elmélet

helyességérıl. Felépítettünk tehát egy számítógép által vezérelt mérési elrendezést, amely

megvalósítja a torroid tekercs skalár hiszterézis karakterisztikájának mérését, és

megvalósítottuk az elektromágneses indukció szabályozását. Munkánk során kétféle

eljárást dolgoztunk ki a mágneses indukció számítására. Egy digitális módszert, amely a

baloldali téglányösszeg módszerrel, számítógép segítségével határozza meg az

elektromágneses indukciót. A másik egy analóg módszer, ahol egy feladatspecifikusan

épített RC vagy RL integráló áramkör végzi ugyanezt a feladatot. A méréseket két

különbözı módszerrel végeztük. Elsı esetben egy meghatározott áramjel kibocsátásával a

( )tH mágneses térerısséget szabályoztuk. A másik esetben pedig az áramjel iteratív

módosításával a )t(B mágneses indukciót szabályoztuk. A méréseket a National

Instruments LabVIEW szoftvercsomag segítségével végeztük. Jelen Tudományos

Diákköri Dolgozatban bemutatásra kerül ezen eljárások részletes bemutatása és

összehasonlítása is.

3

A megvalósított mérés az elsı lépés végsı célunk, a vektor hiszterézis

karakterisztika mérésének megvalósítása felé. Ez a témakör még napjainkban is meg nem

értett problémákat vethet fel, ezért fontosnak tartjuk az alaposabb elmélyülést a

kutatásban, esetleges új eredmények reményében.

II. A MÉRÉS ELMÉLETI HÁTTERE

A mérés során a torroid alakú próbatest primer tekercsére bocsátott )t(i áram pontos

követése volt az egyik fı szempont, mivel ennek hatására a tekercsben Ampere törvénye

szerint a következı összefüggéssel leírható ( )tH mágneses térerısség jön létre:

∫∫ ⋅=⋅Sl

dSJdlH ⇒ )t(iNl)t(H 11= ⇒l

)t(iN)t(H 11= , (1)

ahol πRl 2= és R a torroid középvonalában vett kör sugara. Az 1. ábrán Ampere-

törvényének illusztrációja láthtó. A 2. ábrán a )t(B mágneses indukció torroidban való

viselkedését mutatja.

1. ábra. Ampere-törvénye

4

2. ábra. A B(t) mágneses indukció viselkedése torroid alakú vasmagban

Az 1N menetszámú primer tekercs végzi tehát a mágneses anyag gerjesztését, az így

kialakuló ( )tΦ fluxus hatására az 2N menetszámú szekunder tekercsben Faraday törvénye

szerint indukált feszültség jön létre:

22 SNtd

)t(Bd

td

)t(d)t(u −=−=

Φ, (2)

ahol a B a mágneses indukció, S pedig a torroid vasmagjának keresztmetszete. (2) alapján

a mágneses indukció a következı összefüggéssel számolható:

( ) ( )∫−=t

d uSN

BtB

0

22

0

1ττ , (3)

ahol 0B az integrálási konstans, amelynek értéke szabadon választható, de a hiszterézis

karakterisztika szimmetriája miatt a mért indukció középértékével tettük egyenlıvé, azaz

∫=T

dt)t(BB

0

0 . (4)

ahol T=1/f, azaz a periodusidı reciproka.

Az inregrált digitálisan például a téglányösszeg-módszerrel határozhatjuk meg [7,10]:

( ) ( )∑−

=

−≅1

02

1 k

i

i TTiuSN

TkB ∆∆∆ (5)

ahol T∆ a mintavételezési periódusidı. A mágneses indukció ismeretében az ( )tM

mágnesezettség számolható, ugyanis ( ) ( ) ( )[ ]tMtHtB += 0µ , ahol 0µ a vákuum

5

permeabilitása, azaz

)t(H)t(B

)t(M −=0µ

. (6)

Az ( )ti1 áramot a generátor egy speciálisan erre a feladatra tervezett kimenetérıl kapjuk

meg.

III. A MÉRÉS FELÉPÍTÉSE

A mérés középpontjában tehát a torroid tekercs áll, melynek adatai a következık:

2m0001,0=S , 1801 =N , 2002 =N , m86,0=l ,

ahol S a torroid vasmagjának keresztmetszete, l a torroid vasmagjának középvonalában

vett kör kerülete, N1 és N2 pedig a tekercs primer és szekunder tekercs menetszáma.

Az áramjel egy matematikai formulával leírható függvény, amelyet a számítógépre

installált National Instruments LabVIEW szoftvercsomag segítségével adhatunk meg.

A LabVIEW egy grafikus fejlesztıi környezet, ahol a forráskód létrehozása

ikonok egymás után történı összekapcsolásával grafikusan történik. A LabVIEW

programok angol neve „virtual instruments” (röviden vi), amelyek egy fizikai eszközzel

teremtenek kapcsolatot, legyen az akár oszcilloszkóp vagy tetszıleges mérımőszer. A

LabVIEW programcsomag nagy mennyiségben tartalmaz olyan eszközöket, melyekkel

adatokat vihetünk a számítógépre, elemezhetjük, megjeleníthetjük azokat, valamint

lehetıségünk van az adatok rögzítésére is. A LabVIEW felhasználói felületén (angolul

front panel) tetszés szerint helyezhetünk el vezérlı és megjelenítı komponenseket. A

program felhasználóbarát, vizuális fejlesztıi környezetében a kódolás jelentısen

leegyszerősödik. Az alkalmazásban a szekvenciát az ikonok megfelelı sorrendben történı

összekapcsolásával érhetjük el. Többfajta vezérlı komponens létezik, például beviteli

mezık, nyomógombok, kapcsolók stb. A kijelzéshez használhatunk LED-eket,

grafikonokat, táblázatokat, stb.

Esetünkben a LabVIEW egy NI PCI-6251 DAQ (National Instruments, Data

6

Acquisition – mérés-adatgyőjtı kártya) mérıkártyát vezérel, amely 8 analóg bemenettel,

és 2 analóg kimenettel rendelkezik, a csatornák analóg-digitális átalakítója 16 bites,

mintavételezési frekvenciája pedig maximum 1,25 MS/s. A kártya ±10V-os

feszültségtartományban üzemel, amelyen belül szoftver útján programozható.

A program által generált gerjesztıjelet az NI-DAQ kártya ezután egy speciálisan

erre a feladatra tervezett áramgenerátor bemenetére kapcsolja. A generátor egy feszültség

vezérelt áramgenerátor amely a ±10V-os tartományban beadott jelalakot kimeneti áram

formájában követni. A generátor maximálisan 30A kibocsátására képes, maximális

teljesítménye 4500W. Az eszköz segítségével olyan tekercset gerjeszthetünk, melynek

induktivitása minimum 5mH és maximum 50mH. A generátor rendelkezik még két

további kimenettel is, amelyek segítségével a kiadott áramjelet, valamint az áramjel

kiadásához szükséges feszültséget követhetjük figyelemmel.

Eztután a létrejövı áramjelet a torroid tekercs pirmer tekercsére kapcsoljuk,

melynek hatására a tekercsben ( )tΦ fluxus jön létre, amelynek köszönhetıen a szekunder

tekercsben )t(u2 feszültség indukálódik. Az indukált feszültséget az elsı esetben az NI-

DAQ kártya segítségével rögzítjük, majd ebbıl a )t(B mágneses indukciót szoftveresen

számoljuk. Másik lehetıségként az )t(u 2 indukált feszültséget egy integráló áramkörre

kapcsoljuk, ezután kerül az integrált jel a mérıkártyára. A két módszer bemutatása és

összehasonlítása az IV./1. és IV./2. fejezetben olvasható.

Az )t(B indukció meghatározása után az eredmények feldolgozása következik.

Amennyiben a )t(B mágneses indukciót vezéreljük, a számolási feladatok elvégzése után

a program újabb, az elızıhöz képest módosított vezérlıjelet állít elı, ezzel a folyamat

kezdıdik elırıl mindaddig, amíg a kívánt eredményt el nem érjük. A szabályozó

algoritmus bemutatása az V. fejezetben olvasható. Az 3. ábrán az Elektromágneses Terek

Laboratóium azon részlete látható, ahol a mérést végeztük.

7

3. ábra. Részlet az Elektromágneses Terek Laboratóriumból, ahol látható a számítógép, a

torroid és generátor is

8

IV. A PROGRAM MŐKÖDÉSÉNEK BEMUTATÁSA

Az installált LabVIEW szoftvercsomag által nyújtott szolgáltatások segítségével

létrehoztunk egy grafikus kezelıi felületet, és a hozzá tartozó forráskódot, amelyek

segítségével az elızıekben definiált feladatok megvalósíthatók. A program kezelıi

felülete (GUI – Graphical User Interface) a 4. ábrán látható.

4. ábra. A program kezelıi felülete

A kezezıi felületen beállíthatunk a méréshez szükséges olyan adatokat, mint

például a bemeneti és kimeneti csatornákat (Analog Input és Analog Output), a bemeti és

kimeneti értékhatárokat (Limits), a kimenı jel amplitúdóját (Amplitude), a periódusok

9

számát (Number of Periods) és a kimenı jel frekvenciáját (Frequency). A kimenı

feszültségjellel vezérli az áramgenerátort, melynek árama arányos a kimenı jellel.

Beállíthatjuk továbbá a torroid tekercs primer és szekunder tekercseinek menetszámát

( 21 N ,N ), a vasmag keresztmetszetét ( S ) és a vasmag középvonalának hosszát ( l ).

Az indítást követıen a program automatikusan konfigurálja a kimenı és a bejövı

csatornákat (5. és 6. ábra.), az aktuális értékeknek megfelelıen meghatározza a

gerjesztıjelet, amelyet az NI-DAQ kártyának továbbít.

5. ábra. Az analóg bemeneti csatornák konfigurálása és a mérés elindítása LabVIEW-

ban

6. ábra. Az analóg kimeneti csatornák konfigurálása és a jelgenerálás elindítása

LabVIEW-ban

A mérıkártya kiadja az utasítást a generátornak, ami a kívánt jelformát a torroid

primer tekercsére kapcsolja. A kártya ezzel egyidıben a bejövı jelet is rögzíti.

10

Ha nem a ( )tH , hanem a )t(B vezérlését tartjuk szem elıtt, akkor a bejövı jel

figyelembe vételével egy proporcionális szabályozó algoritmussal úgy módsítja a

gerjesztı jelet, hogy a kívánt jelformájú )(tB mágneses indukciót a torroid tekercsben

létrehozza. Ennek gyakorlati jelentıségére az IV./c.) fejezetben térek ki bıvebben. Ha a

( )tH mágneses térerısséget vezéreljük, a vezérlıjel alakja futás közben nem változik. A

kezdı vezérlıjel beállítása az 7. ábrán látható.

7. ábra. A kezdı vezérlıjel elıállítása LabVIEW környezetben

Kutatásunk során a skalár hiszterézis karakterisztika mérését lehetıségeink szerint

széles frekvenciatartományban (kb. 0,5 Hz – 1 kHz) kívántuk elvégezni. A

szakirodalomban számos írást találunk a skalár hiszterézis karakterisztika mérésére [5,9],

azonban ezek a mővek általában csak egy szők frekvenciatartományban érvényesek, egy

speciális feladat megoldásaként születtek meg, például alacsony frekvencián (f<1 Hz), az

un. statikus hiszterézis karakterisztika mérésére alkalmas, elsısorban a statikus modellek

felállítása végett. Magas frekvencián végzett mérések alapján a modell frekvencia

függését is implementálni tudjuk. Az ilyen és hasnló mérések során felmerülı legnagyobb

problémát a )(tB mágneses indukció kiszámítása okozza, mivel ez (3) szerint az indukált

feszültségbıl fejezhetı ki. A problémát az összefüggésben található integrálás okozza,

amelyre különbözı írásokban különbözı analóg és digitális, alacsony- és

magasfrekvenciás megoldásokat találhatunk. Olyan dokumentációval azonban a mai

11

napig nem találkoztunk, amely ezeket a megoldásokat egy lapon említi, elınyeiket,

hátrányaikat és alkalmazási területeiket figyelembe véve. Ezen Tudományos Diákköri

Dolgozatban tehát górcsı alá veszünk két analóg magas frekvenciás és egy digitális

alacsony frekvenciás ingtegrátort.

IV.1. Indukció számolása Fourier-transzformáció segítségével

Elsıízben a mérési elrendezésünket úgy építettük fel, hogy a torroid szekunder

tekercsén indukálódó )t(u 2 feszültséget közvetlenül az NI-DAQ kártya egyik bemenetén

mértük. A mérési elrendezés blokkvázlata a 8. ábrán látható.

8. ábra. A mérési elrendezés blokkvázlata

Az integrálást digitálisan a téglányösszeg módszerrel (5) határoztuk meg. Ezen

mővelet során azonban felmerült egy probléma. A NI-DAQ kártya felépítésébıl és

digitális jellegébıl adódóan, tapasztalatunk szerint minden bemenete rendelkezik egy pár

millivoltos, nagyfrekvenciás zajjal. A zaj további tulajdonsága, hogy megfigyelésünk

12

szerint nem nulla középértékkel rendelkezik, nagyobb részt ugyanis a pozitív

tartományban helyezkedik el. Ez különösen kis értékő jelek esetén jelent problémát. Az

indukció számításakor minden egyes diszkrét idıpillanatban az ( )Tiu ∆2 -hez adódik

hozzá. Így a többnyire pozitív értékő zajnak köszönhetıen egy pozitív érték is

hozzáadásra kerül az integrálhoz. Ez azt eredményezi, hogy a mágneses indukció

folyamatosan emelkedik és így helytelen eredményt ad a számításban szereplı integrálás

miatt. Ilyenkor a megjelenített hiszterézis görbén sem fedik egymást a vonalak, amely

értelemszerőleg helytelen eredmény. A 9. és a 10. árbrán az eltolódott )t(B indukció és

az ebbıl számolt hiszterézis görbe látható. Megfigyelhetı, hogy az indukció görbéje és a

hiszterézis karakterisztika nem nulla középértékkel rendelkezik. Ez abból adódik, hogy az

indukált feszültség a mérés szempontjából nem nullából indul.

9. ábra. Eltolódott mágneses indukció

13

10. ábra. Eltolódott indukcióból számolt hiszterézis görbe

Mivel a zaj zagyfrekvenciás, ha a mérést jóval kisebb frekvencián végezzük

(f<200 Hz), megfigyelésünk szerint az )t(u 2 indukált feszültség legmagasabb

frekvenciájú felharmonikusai is kisebbek lesznek a zaj ugyanezen tartományba esı

komponenseinél. Így egyértelmőnek tőnt a megoldás, hogy olyan szőrıt kellett

implementálnunk, amely átengedi az indukált feszültséget, de kiszőri a zajt a mért jelbıl.

A szőrı paramétereinek beállításához elıször ismernünk kell az indukált feszültség

spektrális összetételét. Egy valós értékő jel spektruma komplex értékő, és az ω

körfrekvencia függvénye )j(S)(S_

ωω = , amelynek abszolút értéke a jel

amplitúdóspektruma, fázisa pedig a jel fázisspektruma. Esetünkben csak a jel

amplitúdóspektrumát vizsgáltuk, amit az

dte)t(s)t(s)j(S tj

∫∞

∞−

−=ℑ= ωω (7)

definíciós képletbıl kiindulva kaphatunk meg, ahol )(ts az idıtartománybeli jel. [7,10]

Az így meghatározott spektrum megfigyelésével már egyértelmően

megkülönböztethetı a zaj és az átereszteni kívánt indukált feszültség, és megtervezhetı

14

egy alkalmas szőrı. A jel spektrumának meghatározása LabVIEW-ban egy beépített

modullal (FFT – Fast Fourier Transform) is végrehajtható. [7,10,13]

Mivel diszkrét idejő jelekkel dolgozunk, a beépített FFT algoritmus a Fourier-

transzformáció következı, diszkretizált alakját használja: [7,10,13]

∑−

=

−=1

0

2n

i

n/ikj

ik esSπ

, (8)

ahol k=0, 1, 2, … , n-1; és n az összes minta száma mind az idı, mind a frekvencia

tartományban. Az ebbıl számolt spektrum komplex értékő, és függvénye páros a

következı jól ismert összefüggéseknek megfelelıen [7,10,13]. (Az FFT mőködése a 11.

ábrán látható.)

)(SImj)(SRe)(jS)(S)(S]k[s ImRe ϑϑϑϑϑ +=+==ℑ (9)

)(S)(S iin ϑϑ −− = , (10)

vagyis,

)(SRe)(SRe iin ϑϑ =− , (11)

és

)(SIm)(SIm iin ϑϑ =− − . (12)

Itt s[k] jelöli a folytonos s(t) mintáit. Tsωϑ = , ahol Ts a mintavételi periódusidı.

11. ábra. Példa az FFT modul mőködésére

15

A jel spektrumának ismeretében már meg tudjuk határozni azt a

frekvenciatartományt, amelyet a továbbiakban hasznosítani szeretnénk, a további

frekvenciák pedig számunkra lényegtelenek, elhagyhatóak. Ennek érdekében alkalmaztuk

a LabVIEW beépített eszközei közül a Butterworth-szőrıt.

A Butterworth-szőrık olyan szőrık, amelyek megvalósíthatók kauzális eszközök

segítségével is, passzív RLC eszközökkel. Átviteli karakterisztikája matematikailag a

következı összefüggéssel adható meg:

N

c

)(

)j(W21

1

ω

ωω

+

= , (13)

ahol N az filter nagyságrendje és cω a levágási frekvencia. A levágási frekvencia az a

frekvencia, ahol a jel nagysága 3 dB-lel csökken, vagyis ahol

2

1=|)j(W| cω . (14)

A )j(W ω vagy )s(W átviteli karakterisztika matematikai formulával egyszerően

megadható polinom per polinom alakban, így a szőrı létrehozása is megoldható feladattá

válik. Mivel tudjuk, hogy a szőrı csak pólusokat tartalmaz [12], fel tudjuk írni a

következı módon:

1...

1)(

11

1 +++=

−− sasas

sWn

nn , (15)

amely formulából például a MATLAB program segítségével kifejezhetıek a keresett

értékek. Mivel azonban a LabVIEW beépített funkcióként tartalmaz Butterworth-szőrıt,

feladatunk mindössze annyi volt, hogy meg kellett adnunk, hogy a karakterisztika hol

kezdjen el letörni és hol váljon a szőrı átviteli karakterisztikája nullává. A szőrı

karakterisztikája a 12. ábrán látható. Három különbözı analóg Butterworth-szőrı

figyelhetı meg az ábrán N különbözı értékeinél. Látható, hogy n növelésével

karakterisztikája közelít az ideális szőrıéhez. Az ideális szőrı azonban kauzális

eszközökkel nem valósítható meg.

16

12. ábra. Butterworth-szőrık átviteli karakterisztikája

Utolsó lépésként az )t(u2 indukált feszültségrıl leválasztjuk zaj

egyenkomponensét is:

02 S)t(u − ⇒ ∫−T

dt)t(uT

)t(u

0

22

1 (16)

Ezzel az eljárás-sorozattal leválasztottuk az indukált feszültségrıl a bemenı

csatorna zaját és a zaj egyenkomponensét. Ezután a jel integrálása során már nem fogunk

hibát tapasztalni, a )t(B mágneses indukció pontosabban számolható. A szőrés

alkalmazása elıtti jel a 13. ábrán, a szőrt jel a 14. ábrán látható. A szőrt jellel számolt

skalár hiszterézis karakterisztika grafikonja a 15. ábrán látható. Az ábrázolt

karakterisztika 50 Hz-en 18 A csúcsérték mellett készült.

17

13. ábra. Indukált feszültség szőrı használata nélkül

14. ábra. Indukált feszültség Butterwort- szőrı alkalmazása után

A mérések során azt tapasztaltuk, hogy ez a módszer kitőnıen alkalmazható

alacsony frekvenciatartományban. A frekvencia növelésével, körülbelül 200 Hz-tıl

azonban az értékek kezdenek pontatlanná válni. Ennek oka, hogy az indukált

feszültségben széles spektrumú, tüskeszerő impuzusok jelennek meg a gyors

fluxusváltozás következtében, ezt pedig csak nagy mintavételezési frekvenciával lehetne

18

pontosan mérni. A mérési pontatlanság oka, hogy egymás után végzett mérések esetén

nem mindig ugyanazon a pontban kapunk adatot, a periódusonkénti minták számának

csökkenése miatt. A rendelkezésünkre álló kártyával 200 Hz felett ily módon nem tudtunk

megfelelı méréseket végezni. Ezt oldja meg a IV.1. pontban részletezett eljárás.

15. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika grafikonja

IV.2. Indukció számolása analóg integrátorral

Az analóg, RL és RC integrátorok alkalmazása jelentıs elınyökkel jár. Az elızıekbıl

kiderült, hogy az )t(u2 indukált feszültség jó hatásfokkal analizálható digitális

módszerekkel, így diszkrét Fourier-transzformációval, és különféle szőrık

alkalmazásával. Azonban az elızı részben bemutatott módszernek is megvannak a

hátulütıi. Elıször is nagy hátránya, hogy közvetlenül a mért eszközrıl szerzett információ

– jelen esetben az )t(u 2 indukált feszültég – a bejövı csatorna zaja által keltett

torzulásokat már az elsı lépésben elszenvedi. További, de nem kisebb jelentıségő

hátránya a számítógéppel végzett jelfeldolgozásnak, a mőveletek elvégzése során lefoglalt

19

rengeteg memória és processzoridı, azonban a mérési eredményeket így könnyedén

tárolhatjuk, analizálhatjuk, stb. Az integrálás, Fourier-transzformáció és szőrés azonban

nagy számítási kapacsitást igénylı matematikai mőveletek, így logikusan nagy

teljesítményt követelnek meg. Végül itt van a digitális módszer nagyobb frekvencián

tapasztalható pontatlansága is, amely az elızıekben került kifejtésre. A skalár hiszterézis

karakterisztika mérésének blokkdiagrammja analóg integrátorral az 16. ábrán látható.

16. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika blokkdiagrammja analóg integrátorral

Ezek után belátható, hogy az analóg áramkörökkel végzett integrálás ugyanezeket

a szempontokat figyelembe véve milyen elınyökkel jár. Elıször is a vizsgált )t(u2 jel a

mért eszközrıl közvetlenül az analóg integrátorba jut, ahol additív zaj nélkül történik az

integrálás és csak ezután jut a mérıkártyába. Az itt hozzáadódó zaj tapasztalataink szerint

már elhanyagolhat, mivel amplitúdójuk között több nagyságrendnyi különbség van,

továbbá ezen jellel nem kell már olyan számolásokat végeznünk, hogy a zaj jelenléte a

végeredményben észlelhetıvé válna, ugyanis nem kell digitálisan integrálni. Ebbıl a

tulajdonságából adódóan a programból már nem kell integrálnunk, transzformációkat

végeznünk és bonyolult szőrı algoritmusokat alkalmaznunk, így rengeteg proccesszoridıt

20

és memóriát megspórolunk. Legvégül a digitális módszer mintavételezési hibáiból adódó

pontatlanság RC és RL integrátoroknál ismeretlen fogalommá degradálódik a mintavétel

hiányából adódóan.

Azonban sajnálatos módon az analóg integrátorokkal nem lehet minden esetben

helyettesíteni a digitális módszert, inkább egymás kiegészítéseiként, specializáltabb

feladatok megoldásakor alkalmazhatók egymás helyett. Alacsony frekvencián (f<200 Hz)

a digitális módszerrel értünk el jó eredményeket, itt az analóg integrátorok a nem kellıen

nagy τ idıállandójuk miatt nem mőködtek megfelelıen. Magas frekvencián (f>200 Hz)

azonban az analóg integrátorok sokkal használhatóbbnak bizonyultak a digitális

integrálásnál.

(a.) Elıszır nézzük az RL integráló tagot, melynek vázlata a 17. ábrán látható.

17. ábra. Az RL integráló tag vázlata

Az áramkör idıállandója [10,12]:

R

L=τ (17)

Minél alacsonyabb frekvencián szeretnénk integrálni, annál nagyobb idıállandójú

áramkört kell építenünk, tehát RL tag esetén logikusan minél nagyobb induktivitással és

minél kisebb ellenállással célszerő dolgoznunk. Azonban mindkét eszköz esetében

felmerül egy probléma. A tekercs induktivitása nagyban függ a menetszámtól, így nagy

induktivitás, sok menetet jelent, amibıl viszont a tekercs nagy soros ellenállása

21

következik. Ettıl nı a jól integrálási frekvencia alsó határa. A másik probléma az

ellenállás értékének megválasztásakor merül fel. Minél kisebb ellenállást választunk

tehát, annál nagyobb az idıállandó, viszont ezzel egyidıben a kimeneti )(tv feszültség is

csökken, mivel így csökken az ellenálláson esı feszültség. Kompromisszumot kell tehát

kötni. Matematikailag az integrátor kimenete a következıképpen írható fel [10,12]:

ξξξξτ

d)(uL

Rd)(u)t(v

tt

∫∫ −=−≅00

1, (18)

azaz a szorzó konstans az idıállandó reciproka, tehát minél nagyobb az idıállandó, annál

kisebb az integrált )(tv jel amplitúdója. Tapasztalataink szerint RL integráló áramkörrel,

ésszerő kompromisszumok mellett, nagyjából 200 Hz-tıl kezdıdıen tudunk pontosan

integrálni. Több mérés elvégzése és analizálása után 1 H nagyságrendő induktivitással és

100 Ω-os ellenállással dolgoztunk. Így a tekercs soros ellenállása körülbelül 1 kΩ lett, a

)(tv feszültség pedig minden esetben meghaladta a 100 mV-os értéket, így még

könnyőszerrel elkülöníthetı maradt a bemenı csatorna zajától. Problémát jelent a

rendszer soros ellenállása, a pontosabb integrátort a 18. ábra mutatja.

18. ábra A passzív. RL kör az induktivitás soros ellenállásával

Az áramkör ideális fáziskarakterisztikája a következı: [10,12]

R

Larctg)(i

ωωΦ −= . (19)

A soros sR belépésével azonban a valódi fáziskarakterisztika a következı: [12]

22

s

svRR

LarctgLj)RR(arcRarc)(

+−=++−=

ωωωΦ , (20)

ebbıl a fázistolás,

s

vivRR

Larctg

R

Larctg)(

++−=−=

ωωΦΦω∆Φ . (21)

A fáziskarakterisztika eltérése egy egyszerő eltolási mővelettel kompenzálható. A

rendszer amplitúdókarakterisztikája is változik, a )(tv kimenı jel valamelyest csökken,

azonban azt tapasztaltuk, hogy a mérés során ez elhanyagolható különbség, így nem

foglalkoztunk vele bıvebben.

22 )L()RR(

R)(K

s

i

ωω

++= <

22 )L(R

R)(K r

ωω

+= (22)

Az általunk használt körülbelül 1 H induktivitású tekercsbıl és változtatható értékő

ellenállásból épített RL integrátorral a torroid tekercs szekunder kapcsain mért )t(u2

indukált feszültség 200 Hz és 800 Hz között integrálható pontosan. A 17. ábrán látható a

B(t) mágneses indukció analóg és digitális módszerrel számolva. A 18. ábrán az ebbıl

kapott skalár hiszterézis karakterisztika grafikonja látható. A kimeneti jel egy tranziens és

egy stacionárius tag összege, hisz az integrátor egy stabil dinamikus rendszer. A tranziens

lecsengése után beáll a stacionárius állapot, amit a 19. ábrán láthatunk. Az ábrán a

világosabb jel az analóg módszerrel kapott érték. A 20. ábrán látható a tranziens tag is. A

21. ábrán a skalár hiszterézis karakterisztika látható digitális módszerrel számolva. Az

analóg és digitális módszerek egymással összevetve jó egyezést mutatnak.

23

19. ábra. B(t) mágneses indukció analóg és digitális módszerrel számolva, stacionárius

állapotban

20. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika 200Hz-en 6 A mellett, RL integrátorral számolva

24

21. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika 200Hz-en 6 A mellett, digitálisan integrálva

(b.) Az RC integráló tag hasonló elven mőködik, azzal a különbséggel, hogy itt egy

kapacitás végzi el az integrálás mőveletét. Az áramkör kapcsolási rajza a 22. ábrán

látható.

22. ábra. Az passzív RC integráló tag vázlata

Az áramkör idıállandója: [10,12]

RC=τ (23)

Ha a kondenzátoron létrejövı feszültség a bemeneti feszültséghez képest kicsi,

akkor az ellenálláson a bemeneti feszültséggel arányos áram folyik át - ezt integrálja a

25

kondenzátor. A nagy kondenzátor nyilván jól integrál, a nagyon kicsi ellenállás pedig nem

zavarja meg a integráló kapcsolás kondenzátorának áramát. Ha azonban alacsony

frekvencián dolgozunk, idıállandó növelésének érdekében az ellenállást kellıen nagyra

kell választani, ám így csökken a kijövı jel erıssége is. A probléma világosabban

megérthetı, ha összevetjük a kapcsolás idıállandóját és a )(tv kimenı jel integrálási

állandóját.

ξξξξτ

duRC

dutv

tt

∫∫ −=−=

00

)(1

)(1

)( (24)

Az RC integráló áramkörrel lényegesen jobb eredményeket értünk el, mint az RL

kapcsolással. Ellenállásdekádon változtattuk R értékét, így az idıállandót az éppen

szükséges értékre tudtuk beállítani. Ezzel a módszerrel sikerült 50 Hz-tıl 1 kHz-ig terjedı

intervallumban pontosan meghatározni a )(tB indukciót. Sajnálatos módon a

rendelkezésünkre álló generátor nem alkalmas 1 kHz fölötti jel kibocsátására, de úgy

gondoljuk, hogy a bemutatott módszer jóval magasabb frekvencián is mőködne. A

szakirodalomból ismeretes, hogy RC integrátor építése több száz kHz-en, sıt még jóval

afölött sem jelent különösebb problémát. Az 23. ábrán az RC analóg integrátorral 1000

Hz-en 3 A mellett mért skalár hiszterézis karakterisztika látható. 1000 Hz-en a digitális

módszer már egyátalán nem mőködik jól. Az ábrán megfigyelhetı a tranziens tag is. A

24. ábrán RC integrátorral készített skalár hiszterézis karakterisztika látható 200 Hz-en,

6 A mellett. Megfigyelhetı, hogy az RC integrátorral meghatározott karakterisztika is jó

egyezést mutat az RL taggal és a digitális módszerrel meghatározott karakterisztikával is.

26

23. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika 1000 Hz-en, 3 A mellett

24. ábra. Skalár hiszterézis karakterisztika 200 Hz-en, 6 A mellett

Végezetül összefoglaljuk az integrátorok átviteli karakterisztikáját: [10]

)t(u

)t(v

)j(U

)j(V)j(W

ℑ

ℑ==

ω

ωω (25)

képletbıl határozható meg, ahol )(tv a rendszer válaszjele, )(tu pedig a gerjesztés. Innen

az RL integrátor átviteli karakterisztikája a tekercs soros ellenállását is figyelembe véve

27

)L

RR(

jRR

R

LjRR

R)j(W

s

ss

++

+=

++=

ωωω

1

1. (26)

Az RC integrátor esetben hasonlóan járunk el.

)RC

(

jRCj

CjR

Cj)j(W

11

1

1

11

1

ωω

ω

ωω

+

=+

=

+

=. (27)

Továbbá )()()( ωωω Φ= jeKW , ahonnan )(ωK az amplitúdókarakterisztika és )(ωΦ a

fáziskarakterisztika. Az RC és RL integrátor amplitúdó- és fáziskarakterisztikái a 25. és a

26. ábrán láthatóak. Az RL kör esetében L

RR s+=0ω , az RC áramkörnél pedig

RC

10 =ω .

25. ábra. Az analóg integrátorok Bode-féle amplitúdókarakterisztikája

28

26. ábra. Az analóg integrátorok Bode-féle fáziskarakterisztikája

V. A SZABÁLYOZÓ ALGORITMUS

A torroid tekercs vasmagja C19-es szerkezeti acélból készült, melynek statikus

karakterisztikája a 27. ábrán látható módon meglehetısen meredek a könyök és a

koercitív tér környékén, ami gyors fluxusváltozást jelent. Ennek következtében az ( )tu2

feszültségben nagyon széles spektrumú tüskeszerő ugrások jelennek meg, amit csak

nagyon sőrő mintavételezéssel lehet hően visszaállítani, korábbi tapasztalatok alapján kb.

20000 minta/periódus szükséges és elegendı a karakterisztika felvételéhez [9]. Ellenkezı

esetben több egymás után elvégzett mérés nem adja ugyanazt az eredményt, hiszen nem

garantált, hogy minden mérésben a mintavételezés során ugyanazon pontban kapunk

adatot. Különösen kényes ez az indukált feszültség tüskéinek környezetében. Az áramjel

alkalmas módosításával, iteratív szabályozásával mindez csökkenthetı, mint az a 28. és

29. ábrán látható. A cél a mágneses indukció idıfüggvényének szinuszossá tétele, ekkor

ugyanis az indukált feszültség is szinuszos lefutású lesz, melynek integrálása sokkal

egyszerőbb. A cél tehát az, hogy ne mágneses térerısségbıl, hanem a mágneses

29

indukciónak megfelelı indukált feszültségbıl vegyünk ekvidisztánsan mintákat. Ez

látható a 25. ábrán.

27. ábra. A C19 szerkezeti acél hiszterézis karakterisztikája, f=0,2 Hz-en

28. ábra. A mágneses indukció és a fluxus idıbeli változása szinuszosan lefutó mágneses

térerısség esetén [9]

30

29. ábra. A mágneses indukció és a fluxus idıbeli változása szinuszosan lefutó mágneses

indukció esetén

Mindezt egy egyszerő szabályozó algoritmus segítségével oldottuk meg. A

szabályozási kör általános elvi felépítése a 30. ábrán látható. [7]

30. ábra. A szabályozási kör általános tömbvázlata

Jelen esetben a kimenet a mágneses indukció (a szabályozandó jel), hiszen azt

kívánjuk szinuszos lefutásúvá alakítani, tehát az alapjel (referenciajel) egy szinuszos

lefutású idıfüggvény. Az alapjel és a kimeneti jel különbsége egy hibajelet generál, amely

a szabályozó algoritmus bemenetéül szolgál. Ez egy szabályozó jelet ad, melynek

segítségével a kimeneti jel az alapjelhez elméletileg aszimptotikusan közelít, s a hiba

értéke fokozatosan csökken. A szabályozó jel tehát a gerjesztı áramjel, melyet módosítani

kell, és a szabályozandó objektum a torroid tekercs. Az algoritmus jelen esetben a

következıképp fogalmazható meg:

Szabályozó Szabályozandó objektum

alapjel

szabályozó jel

kimeneti jel hibajel

31

A mérést szinuszos áramjellel indítjuk, ez az inicializálás. A torroid tekercs

szekunder kapcsain mérhetı indukált feszültséget beolvassuk, majd a IV. fejezetben

bemutatott eljárások valamelyikével integráljuk. Az integrált jelet, azaz a mágneses

indukciót egy frekvenciában vele megyegyezı, adott amplitúdójú szinuszos jellel (a

referenciajelel) hasonlítjuk össze. A referencia jel a következı egyenlet formájában írható

fel:

( )tsinB)t(B maxref ω= , (28)

ahol maxB a mért mágneses indukció maximális értéke és ω a mágneses indukció

alapharmónikusának körfrekvenciája.

A hiba a referenciajel és a mért mágneses indukció különbsége:

)t(B)t(B)t(e ref −= . (29)

A kapott hiba adott százalékával módosítjuk a szabályozójelet, mint alapvetı

szabályozási algoritmus (ez az un. P-típusú szabályozási algoritmus, proporcionális-

szabályozás). Ezen mőveleteket ciklusban addig ismételjük, amíg egy elıre beállítható

hibaküszöböt el nem érünk. A leállási feltételt biztosíó küszöb értékét az

∑−

=

=1

0

21 N

k

keN

MSE (30)

un. átlagos négyzetes hiba (Mean Square Error) segítségével definiáljuk. Itt ke a (28) által

definiált hiba mintái, N pedig az egy periódusban vett minták száma. A leállási feltétel

tehát a következıképp fogalmazható meg:

ε≤MSE . (31)

A megvalósított szabályozási hurok a 31. ábrán látható. A leállítás egy a grafikus

interfészre kihelyezett gombbal is lehetséges.

32

31. ábra. A használt szabályozási kör tömbvázlata

A 32. ábrán a szabályozási algoritmus látható futás közben. Jól kivehetı, hogy a

mágneses indukció idıbeli lefutása közel szinuszoshoz tart. Látható továbbá, hogy a (30)

által definiált hiba monoton csökken, ideális állapotban nullához tartana.

32. ábra. Szabályozási algoritmus futás közben

33

VI. ÖSSZEFOGLALÁS, TOVÁBBI FELADATOK

Elektromágneses Terek Laboratóriumunkban összeállítottunk egy mérési elrendezést a

skalár hiszterézis karakterisztika felvételére, amely a LabVIEW programcsomag és az

általa interfészen vezérelt generátor támogatására épül. Kidolgoztunk egy eljárást az

indukált feszültség zavarmentesítésére Fourier-transzformáció és egy Butterworth-szőrı,

valaint RL és RC integráló áramkörök alkalmazásával. Megvalósítottuk továbbá az elıre

megadott jelformájú mágneses indukciót elérı szabályozási algoritmust egy valóságos,

fizikai rendszeren.

Léterhoztunk három, két analóg és egy digitális elven mőködı integrátort, melyek

segítségével a mágneses indukció mérése valósítható meg. Ezeket az eljárásokat

validáltuk és összevetettük, leírtuk tulajdonságaikat, így bizonyítottuk mindhárom

módszer helyességet. Ezen eszközök segítségével és egy most készülı mérıeszközzel

képesek leszünk különféle ferromágneses anyagok skalár hiszterétis karakterisztikájának

meghatározására kb. 0,2 Hz és 1 kHz között. A digitális integrátorral alacsony

frekvencián értünk el jó eredményeket, itt az analóg áramkörök nem mőködtek

megfelelıen. 200-300 Hz-en mindhárom módszer közel azonos eredményt mutatott. 400

Hz fölött már csak az analóg módszerek hoztak jó közelítéssel pontos eredményt. Az itt

bemutatott analóg módszerek jóval magasabb frekvenciák mérésére is alkalmasak

lennének, azonban a rendelkezésre álló áramgenerátor ezt nem teszi lehetıvé számunkra.

A széles frekvenciatartományban végzett méréseknek több témakörben is nagy

jelentısége van. Az 1 Hz alatti frekvenciákon a ferromágneses anyagokban nem

alakulnak ki örvényáramok vagy azok elhanyagolhatóan kicsik, így az un. statikus

hiszterézis karakterisztikák felvételére van lehetıség. Ez adja a skalár hiszterézis

karakterisztika modelljeinek alapjait, amelyek a magasabb frekvencián mért

karakterisztika eredményeivel pontosíthatók, a karakterisztika frekvenciafüggése

modellezhetı. Ismeretes, hogy a villamos hálózatról mőködı elektromos eszközök 50-60

Hz frekvencián mőködnek világszerte, így az ezekben található elektromágneses

34

hatásokat kihasználó ferromágneses anyagok mágneses tulajdonságainak ismerete

szempontjából elengedhetetlen azok skalár hiszterézis karakterisztikájának ismerete és

CAD rendszerekben való modellezése. Az utóbbi években egyre nagyobb teret hódít a

miniatürizálás [11]. A méret csökkenése mellett tapasztalható tendencia az eszközök

teljesítményének növekedése is. Ez számos eszközben a mőködési frekvencia

növekedését jelenti. Ez nagyobb áramfelvétellel járhat, amit a méretcsökkentés miatt

egyre kisebb DC/DC átalakítókkal oldanak meg. Az ilyen berendezésekben található

induktív elemek hiszterézis karakterisztikájának ismerete tehát szintén nagy jelentıséggel

bír. Az általunk bemutatott módszerrel egy RC integráló áramkör használatával és

megfelelı generátorral az ilyen mérések is elvégezhetık lennének.

A villamosmérnöki gyakorlatban jelen mérések fıként a hiszterézis modellek

identifikációját célozzák meg, hogy azok mind pontosabban és minél nagyobb

hatékonysággal modellezzenek egy adott eszközt. Egy kutatási irányunk ugyanis a

modellek alkalmas iterációs algoritmussal végeselem-módszerbe történı illesztését

célozza meg [5].

Távolabbi céljaink közé tartozik egy új szabályozó algoritmus kifejlesztése,

melynek használatával a szabályozás gyorsabbá, pontosabbá tehetı.

A késıbbiekben kísérletet fogunk tenni egy olyan mérési berendezés

összeállítására, amely képes mérni és vezérelni az un. vektor hiszterézis karakteriszitkát

oly módon, ahogy ezt a skalár hiszterézis karakterisztikával tettük, ezzel segítve az

elektromágneses térszámítási feladatok végrehajtása során végeselem-módszert alkalmazó

tervezıprogramok fejlıdését, fejlesztését. A hiszterézis jelensége ugyanis általánosan

vektor jellegő, hiszen a H és B vektorok nem minden esetben párhuzamosak egymással,

így a skalár modell feltételezése nem minden esetben helyes.

35

V. IRODALOMJEGYZÉK

[1] Zoltán Pólik, Tamás Ludvig, Miklós Kuczmann, “Measuring and control of the scalar

hysteresis characteristic applying the LabVIEW software environment”, Journal of

ELECTRICAL ENGINEERING, (megjelenés alatt)

[2] Pólik Zoltán, Ludvig Tamás, „A skalár hiszterézis karakterisztika mérésének megvalósítása

LabVIEW környezetben”, TDK dolgozat, Gyır, 2006. tavaszi szem.

[3] Pólik Zoltán, „A skalár hiszterézis karakterisztika mérése és a mérés automatikus

szabályozása”, TDK dolgozat, Gyır, 2006. ıszi szem.

[4] Zoltán Pólik, Tamás Ludvig, Eszter Sárospataki, Miklós Kuczmann, „Scalar Hysteresis

Measurement System Applying the LabVIEW Software Package”, Pollack Periodica

(megjelenés alatt)

[5] M. Kuczmann, A. Iványi, “Neural Network Based Hysteresis Model in Electromagnetic

Field Computation”, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2006. (kézirat lektorálás alatt)

[6] Dr. Standeisky István, „Elektrodinamika”, Universitas-Gyır Kht., Gyır, 2006.

[7] Csáki Frigyes, „Korszerő szabályozáselmélet”, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1970.

[8] A. Iványi, „Hysteresis Models in Electromagnetic Computation”, Akadémiai Kiadó,

Budapest, 1997.

[9] P. Kis, M. Kuczmann, J. Füzi, A. Iványi, „Hysteresis Measurements in LabVIEW”, Physica

B, vol. 343, pp. 357-363.

[10] Dr. Kuczmann Miklós, „Jelek és Rendszerek”, Universitas-Gyır Kht., Gyır, 2005.

[11] Mikó Annamária, „Nanoszerkezető és amorf Fe-alapú vékonyrétegek és Fe/Fe-oxid

multirétegek elıállítása nemstacionárius elektrokémiai eljárással”, Doktori értekezés,

Budapest, 2006.

[12] Dr. Schnell László, „Jelek és rendszerek méréstechnikája”, Mőszaki Könyvkiadó, Bp., 1985.

[13] www.ni.com.

[14] cnx.org

[15] Simonyi Károly, „Elméleti villamosságtan”, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991