Upload
others
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Csernák GáborBME Müszaki Mechanikai Tanszék
1 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Száraz súrlódású gerjesztett oszcillátor
Mozgásegyenlet:
mz ′′ + sz = F0 cos (ω0 (τ + τ0))− µmgf (z′) ,
f (z ′) ∈
1 ha z ′ > 0[−µ1/µ, µ1/µ] ha z
′ = 0−1 ha z ′ < 0
,
ms
µ
z( )τgcos(F 0 ωτ+τ 0)
Mechanikai modell
Arra keressük a választ, hogy. . .
1 Csak időben és térben szimmetrikus periodikus megoldások vannak?
2 A sebesség előjele hányszor változhat periódusonként?
3 Milyen feltételek mellett kapunk véges időtartamra letapadó
megoldásokat?
4 Lehetnek-e kaotikus megoldások?
2 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Matematikai problémák
Dimenziótlan egyenlet: ẍ + x = cos (Ω (t + t0))− Sf (ẋ)
f (ẋ) ∈
1 ha ẋ > 0[−S1/S,S1/S] ha ẋ = 0
−1 ha ẋ < 0,
-1
1
f(x)
x
S1/S
-S1/S
Nemsima egyenlet; transzcendens egyenlet adja meg az irányváltási
időpontokat → x(t) =?
Lipschitz-feltétel nem teljesül → unicitás?
Többértékű differenciálegyenlet → letapadás!
A letapadás feltétele: |x − cos(Ω(t + t0))| < S1 amikor ẋ = 0.
3 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Példa letapadó megoldásra
xt
v 200
220 240
260 −2
0
2 0
−0.4
−0.8
0.4
0.8
Piros: megoldás; kék: 2S1 széles letapadási tartomány, szélső
pontjai: ±(1 + S1); zöld: letapadás
4 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Példa nem letapadó megoldásra (ilyet
keresünk)
Piros: megoldás; kék: 2S1 széles letapadási tartomány, szélsőpontjai: ±(1 + S1)
5 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Szimmetrikus, nem letapadó megoldás
Amplitúdó:
A =
√
1
(Ω2 − 1)2−
S2 sin2(π/Ω)
Ω2 (cos(π/Ω) + 1)2.
0
10
20
30
0 0.5 1 1.5
A, N
Ω2
Nagyítási görbe, S = 0.3
Letapadási feltétel:
A ≤S1
Ω2.
Periódusonként két előjelváltás feltétele:
H(t ,Ω) = sin(t)+sin(π/Ω) cos(Ωt)+sin(t−π/Ω)Ω sin(Ωt)(1+cos(π/Ω)) ≤AS, t ∈ [0, π/Ω].
(S1 > 1/3 esetén nem kell ellenőrizni.)
6 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Amplitúdó-frekvencia diagram, S = S1 = 0.3
0
10
20
30
0 0.5 1 1.5
A, N
Ω2
Fekete folytonos vonal: képlet; négyzetek: numerikus;kék: letapadások száma/periódus
7 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Amplitúdó-frekvencia diagram
S = S1 = 0.02-nél.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Ω
Am
plitú
dó
, le
tapadási fe
ltéte
l,
leta
p. szám
/10
S1/Ω2
Amp.
Két előjelváltás felt.
8 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Amplitúdó-frekvencia diagram
S = S1 = 0.02-nél.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Ω
Am
plitú
dó
, le
tapadási fe
ltéte
l,
leta
p. szám
/10
1+S
S1/Ω2
Amp.
Két előjelváltás felt.
Kérdés: minek felelnek meg a csúcsok Ω = 0.5-nél és Ω = 0.25-nél? 8 / 21Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Aszimmetrikus megoldások I.
A periodikus megoldásokra vonatkozó levezetés nem alkalmazhatóΩ = 1/(2n) esetén! A módosított számítás szerint
x−(t) =
(
x0 − S +1
Ω2 − 1
)
cos(t)−1
Ω2 − 1cos(Ωt) + S,
x+(t) =
(
x0 + S +1
Ω2 − 1
)
cos(t)−1
Ω2 − 1cos(Ωt)− S
is megoldás. x0 egy szabad paraméter, kontinuum sokaságúmegoldás van!
Ilyen megoldások csak kis súrlódási tényezőknél fordulhatnak elő:
1 + S ≤ x0 ≤4n2 + 1
4n2 − 1− S.
1+S ≤4n2 + 1
4n2 − 1−S ⇒ S ≤
1
4n2 − 1(Ω = 1/2 -nél Smax = 1/3)
9 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Aszimmetrikus megoldások II.
- Marginálisan stabil aszimmetrikus megoldások Ω = 1/2, 1/4, . . . -nél- Nullmértékű paraméterhalmaz – van ennek gyakorlati jelentősége?
- S1 > S esetén kiszélesednek az aszimmetriát mutató tartományok.
0
0.5
1
1.5
2
0.3 0.4 0.5 0.6
A,N
�
1+S1
Letapadási feltételek
10 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Bifurkációs diagram a tapadási elmozdulásokból S/S1 paraméterrelés a megoldások szimmetriája, S1 = 0.4, Ω = 0.5. (Licskó Gábor)
S/S1
xstick
S/S1
ℵ
0
0
0.125
0.125
0.25
0.25
0.375
0.375
0.625
0.625
0.75
0.75
0.875
0.875
1
1
−1.5
0
0
1.5
3
IIIIII
IV
V
ℵ = |∑n
i=1 x (σi ) |, σi → ẋ (σi) = 0 (σi ∈[
0; 2πΩ]
, i = 1, ..., n)
11 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Aszimmetrikus és szimmetrikus megoldások a szimmetria-sértésnél
t
x
−1.5
1.5
10 40
Aszimmetrikus megoldásS/S1 = 0.75-re.
t
x
−1.5
1.5
10 40
Szimmetrikus megoldásS/S1 = 1-re.
A további paraméterek rendre S1 = 0.4 és Ω = 0.5.
12 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
A maximális Ljapunov-exponens kiszámítása
1. Direkt numerikus módszerrel
Precíz definíció: Λ = limt→∞
limr0→0
1
tln
|r(t)|
|r0|
Diszkretizált alak: Λ = 1N
N∑
i=1
1
∆tln
|di+1|
|di |, ahol
di =
√
(x1(ti )− x2(ti ))2+ (ẋ1(ti)− ẋ2(ti))
2a trajektóriák fázissíkbeli
abszolút távolsága az i-edik időpillanatban.
13 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
A maximális Ljapunov-exponens kiszámítása
1. Direkt numerikus módszerrel
Precíz definíció: Λ = limt→∞
limr0→0
1
tln
|r(t)|
|r0|
Diszkretizált alak: Λ = 1N
N∑
i=1
1
∆tln
|di+1|
|di |, ahol
di =
√
(x1(ti )− x2(ti ))2+ (ẋ1(ti)− ẋ2(ti))
2a trajektóriák fázissíkbeli
abszolút távolsága az i-edik időpillanatban.
Gondok a módszerrel
Az egyik megoldás letapad, míg a másik nem (a távolodás nem biztos,
hogy exponenciális).
Mindkét megoldás ugyanott tapad le.
13 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
A maximális Ljapunov-exponens kiszámítása
1. Direkt numerikus módszerrel
Precíz definíció: Λ = limt→∞
limr0→0
1
tln
|r(t)|
|r0|
Diszkretizált alak: Λ = 1N
N∑
i=1
1
∆tln
|di+1|
|di |, ahol
di =
√
(x1(ti )− x2(ti ))2+ (ẋ1(ti)− ẋ2(ti))
2a trajektóriák fázissíkbeli
abszolút távolsága az i-edik időpillanatban.
Gondok a módszerrel
Az egyik megoldás letapad, míg a másik nem (a távolodás nem biztos,
hogy exponenciális).
Mindkét megoldás ugyanott tapad le.
Ezeket a problémás eseteket kiszűrtük a számítás során.
13 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
2. Káosz-szinkronizáció
Kibővített, egyirányúan kapcsolt egyenletrendszer.
ẋ1 = x2
ẋ2 = −x1 + cos (Ω (t + t0))− Sf (ẋ1)
ẋ3 = x4 + q (x1 − x3)
ẋ4 = −x3 + cos (Ω (t + t0))− Sf (ẋ3) + q (x2 − x4)
Bifurkációs számítás a q kapcsolási paraméterre.Ha x1 − x3 eltűnik ⇒ q ≡ Λ.
Megjegyzés: ezzel a módszerrel csak pozitív exponens számítható.
A. Stefanski and T. Kapitaniak. Using chaos synchronisation to
estimate the largest Lyapunov exponent of nonsmooth systems.
Discrete Dynamics in Nature and Society 4:3, 2000.
14 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
q
x1−
x3
q = 0.0073
−0.25
0.25
0.001 0.01
Egy példa a számításra. A szinkronizáció q = 0.0073-nál következikbe, vagyis Λ = 0.0073. (S/S1 = 0.125, Ω = 0.5)
15 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Eredmények (a korábbi bifurkációs diagram nagyítása)
S/S1
xstick
S/S1
Λ
0
0
0.075
0.075
0.175
0.175
0.25
0.25
0.5
2
−0.015
0
0.01
/ - direkt számítás (1), o - szinkronizációs módszer (2)
Vissza...
16 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Tranziens káosz
Negatív csúcs a Ljapunov-exponensben egy kaotikus ablak közepén
(S/S1 = 0.116).
0
-1.5
1.5
2000 2100
x
t
x
-2
1.5
0
t5010 5090
A kaotikus viselkedés (bal) három periódusú mozgásba vált (jobb).(S/S1 = 0.116, S1 = 0.4, Ω = 0.5)
17 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Egymás utáni letapadások pókháló diagramja
xn
xn+
1
0.85
1.1
0.85 1.1
A paraméterek
S/S1 = 0.11625,Ω = 0.5.
18 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Egymás utáni letapadások pókháló diagramja
xn
xn+
1
0.85
1.1
0.85 1.1
A paraméterek
S/S1 = 0.11625,Ω = 0.5.
0.85 1.1
0.85
1.1
xn
xn+
1
Közelítő szakaszosan
lineáris leképezés
18 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Egymás utáni letapadások pókháló diagramja
xn
xn+
1
0.85
1.1
0.85 1.1
A paraméterek
S/S1 = 0.11625,Ω = 0.5.
0.85 1.1
0.85
1.1
xn
xn+
1
Közelítő szakaszosan
lineáris leképezés
xn
xn+
1
0.8445
0.8452
0.8444 0.845
18 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Egymás utáni letapadások pókháló diagramja
xn
xn+
1
0.85
1.1
0.85 1.1
A paraméterek
S/S1 = 0.11625,Ω = 0.5.
0.85 1.1
0.85
1.1
xn
xn+
1
Közelítő szakaszosan
lineáris leképezés
xn
xn+
1
0.8445
0.8452
0.8444 0.845
A szakaszosan lineáris 1D
leképezés Ljapunov-exponense
könnyen számítható a
meredekségekből; osztva a két
letapadás közti τ̄ átlagos idővel:
λflow = λmap/τ̄ = 0.005748.
18 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
Bifurkációs diagram és Ljapunov-exponens
S/S1
xstick
S/S1
Λ
0
0
0.075
0.075
0.175
0.175
0.25
0.25
0.5
2
−0.015
0
0.01
/ - direkt módszer, o - szinkronizációs módszer, o - 1D leképezésből
19 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
E-mail: [email protected]
Köszönöm a figyelmet!
20 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
Bevezetés Analitikus megoldás Numerikus vizsgálatok
A letapadási számok változása, S = 0.3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
135 140 145 150 155 160 165
x
t
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
130 135 140 145 150 155 160
x
t
a. Ω = 0.23 b. Ω = 0.236
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
31137 31140 31143 31146 31149
x
t
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
31140 31143 31146 31149 31152
x
t
c. Ω = 0.495 d. Ω = 0.5
21 / 21
Száraz súrlódású oszcillátor szimmetriasértése
BevezetésAnalitikus megoldásNumerikus vizsgálatok"Brute force" számításLjapunov-exponensTranziens káosz