M I S K O L C I E G Y E T E M G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I K A R

P É N Z Ü G Y I T A N S Z É K

Tőzsdei ismeretek – feladatgyűjtemény –

Miskolc, 2005

2

MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK Összeállította: Galbács Péter demonstrátor

3

1. feladat Egy 15 millió forint névértékű váltó (N=15000000) március 20-án jár le. A bank január 10-én kívánja leszámítolni 25%-os bankári diszkontláb mellett (d=0,25). Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 30%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? Megoldás: A váltók leszámítolásakor használt képlet:

tdNNPV ××−= . A lejáratig még 69 nap van hátra, így a képletbe behelyettesítve:

1429109689,142910953656925,01500000015000000 ≈=××− .

A váltó névértéke tehát 14291096 forint. Annak eldöntéséhez, hogy a leszámítolás, vagy a hitelfelvétel gazdaságosabb, fel kell használni a diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb alábbi képletét:

tddi×−

=1

* .

A feladat adataival behelyettesítve:

%24,26262401,0

3656925,01

25,0* ≈=×−

=i .

A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 26,24%. Mivel a tényleges kamatláb magasabb, mint az egyensúlyi szint, nem éri meg a hitelfelvétel, diszkontálni érdemesebb. A küszöbnap meghatározása:

24433,2433653,0

125,0136511

≈=×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

idt

Vagyis a lejárat előtt 244, vagy több nappal már megéri a hitelfelvétel. 2. feladat Egy 20 millió forint névértékű váltó. 2005. október 2-án jár le. A bank március 2-án kívánja leszámítolni 16,5%-os bankári diszkontláb mellett. Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 17%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? Megoldás: A hátralévő napok száma 214. A váltó értéke 18065205,48 forint. A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 18,26%. Stratégia: hitelfelvétel. Küszöbnap: 66. 3. feladat Egy 10 millió forint névértékű váltó. 2005. július 28-án jár le. A bank április 7-én kívánja leszámítolni 26%-os bankári diszkontláb mellett. Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 30%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? Megoldás: A hátralévő napok száma 112. A váltó értéke 9202191,78 forint. A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 28,25%. Stratégia: diszkontálás. Küszöbnap: 188.

4

4. feladat Egy 45,2 millió forint névértékű váltó. 2006. február 28-án jár le. A bank 2005. június 30-án kívánja leszámítolni 29%-os bankári diszkontláb mellett. Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 40%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? Megoldás: A hátralévő napok száma 243. A váltó értéke 36473304,11 forint. A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 35,93%. Stratégia: diszkontálás. Küszöbnap: 347. 5. feladat Egy 36,5 millió forint névértékű váltó. 2006. december 12-én jár le. A bank 2005. június 17-én kívánja leszámítolni 36%-os bankári diszkontláb mellett. Mekkora összeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatláb 37%, akkor a váltót érdemes leszámítoltatni, vagy hitelt érdemes felvenni? Megoldás: A hátralévő napok száma 543. A váltó értéke 16952000 forint. A diszkontlábnak megfeleltethető hitelkamatláb 77,51%. Stratégia: hitelfelvétel. Küszöbnap: 28. 6. faladat Egy kötvény futamideje 2 év, névleges kamatlába 15% (K=150000). Az elvárt hozam 10% (r=0,1). A kötvény névértéke 1 millió forint (N=1000000). A névértéket egy összegben, a futamidő végén fizetik ki. Mekkora a kötvény árfolyama, ha évente fizetnek kamatot? Megoldás: A cash-flow ábrája az alábbi módon alakul:

A kötvény éves kamata 150000 forint. A kötvények nettó árfolyama az alábbi módon határozható meg:

( )( )( ) rr

rKr

NP n

n

nN×+−+

×++

×=1

111

1 .

Behelyettesítve:

77686,10861,01,1

11,11501,111000 2

2

2 =×−

×+×=NP .

5

A kötvény árfolyama tehát 1086776,86 forint. Felhalmozódott kamattal ebben az esetben nem kell számolni. 7. feladat Egy félévente kamatot fizető, 10 millió forint névértékű kötvény 2007. december 30-án jár le. A kötvény névleges kamata évi 15%. A befektetők által elvárt kamatláb 9%. Mennyi a kötvény falhalmozott kamata, a nettó és a bruttó árfolyama 2005. június 6-án? Megoldás: Az egy alkalommal fizetett kamat 750000 forint (K=750000). A hátralévő periódusok száma 6. A kalkulatív kamatláb:

( ) %4,404403,0109,01 ≈=−+ . A kötvény nettó árfolyama a 6. feladatnál ismertetett képlet segítségével számolva 11604112,52 forint. A felhalmozott kamat (X) meghatározását szemlélteti az alábbi ábra:

Igaz, hogy:

tX

TK

= ,

amelyből:

tTKX ×= .

A T az első kamatfizetési időpont és a nulladik időpont közötti távolság (utóbbira vonatkozóan kerül meghatározásra a kötvény nettó árfolyama), a t pedig a nulladik időpont és a kötvény árfolyam-meghatározási napja közötti különbség. Behelyettesítve (T=182; t=158) a felhalmozott kamatra 651098,9011 forint adódik. A kötvény bruttó árfolyama tehát (amely a nettó árfolyam és a felhalmozott kamat összege) 2006. június 6-án 12255211,42 forint.

6

8. feladat Egy félévente kamatot fizető, 1 millió forint névértékű kötvény 2006. december 15-én jár le. A kötvény névleges kamata évi 20%. A befektetők által elvárt kamatláb 10%. Mennyi a kötvény falhalmozott kamata, a nettó és a bruttó árfolyama 2005. június 10-én? Megoldás: A hátralévő periódusok száma 4. A kalkulatív elvárt hozam 4,88%. T=182, t=177. A kötvény nettó árfolyama 1335997,055 forint, a felhalmozott kamat 97252,74725 forint. A kötvény bruttó árfolyama 1433249,802 forint. 9. feladat Egy félévente kamatot fizető, 15 millió forint névértékű kötvény 2007. május 15-én jár le. A kötvény névleges kamata évi 25%. A befektetők által elvárt kamatláb 12%. Mennyi a kötvény falhalmozott kamata, a nettó és a bruttó árfolyama 2005. május 1-én? Megoldás: A hátralévő periódusok száma 5. A kalkulatív elvárt hozam 5,83%. T=181, t=167. A kötvény nettó árfolyama 20568624,26 forint, a felhalmozott kamat 1729972,376 forint. A kötvény bruttó árfolyama 22298596,63 forint. 10. feladat Egy félévente kamatot fizető, 25 millió forint névértékű kötvény 2007. október 20-án jár le. A kötvény névleges kamata évi 14%. A befektetők által elvárt kamatláb 8%. Mennyi a kötvény falhalmozott kamata, a nettó és a bruttó árfolyama 2005. március 8-án? Megoldás: A hátralévő periódusok száma 6. A kalkulatív elvárt hozam 3,923%. T=182, t=139. A kötvény nettó árfolyama 29042641,86 forint, a felhalmozott kamat 1336538,462 forint. A kötvény bruttó árfolyama 30379180,32 forint. 11. feladat Mekkora tőkét kell elhelyeznünk a bankban 7%-os kamatláb mellett, ha 15 éven át minden év végén 100000 forint járadékot akarunk felvenni? Megoldás: Az annuitás jelenértékének képlete:

( )( ) rr

rcPV n

n

×+−+

×=1

11 .

A feladat szerint c=100000, n=15, r=0,07. Behelyettesítve az elhelyezendő tőke 910791,12 forint.

7

12. feladat 15 éven keresztül minden hónapban egy betét után 84385,7 forint kamatot kapunk. A betét hozama évi 6%. Mennyi a pénzáram jelenértéke? Megoldás: A 11. feladatnál említett képlet az alábbi alakra módosul:

mr

mrmr

cPV tm

tm

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×= ×

×

1

11,

ahol m az évenkénti kamatfizetések száma. Behelyettesítve:

10000000

1206,0

1206,01

11206,01

1512

1512

≈

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= ×

×

PV .

A feladatban szereplő pénzáram realizálásához 10000000 forint összegű betétet kell elhelyeznünk. 13. feladat Egy 1100 forint névértékű részvény következő osztalékfizetési időpontja 2005. június 12. A megelőző évben szintén erre a napra esett az osztalékok kifizetése; akkor az osztalék mértéke 25% volt (DIV0=25%). A következő időszakokban az osztalékok folyamatos emelkedésére lehet számítani, a növekedés üteme évi 10% (g=0,1). Mennyi a részvény bruttó árfolyama 2005. január 20-án? Az elvárt hozam 20% (r=0,2). Megoldás: A feladat szövege alapján DIV0=275. Az előre jelzett növekedés alapján DIV1=302,5. A szükséges képlet:

grcP−

= .

Behelyettesítve:

30251,02,0

5,302=

−=P .

A részvény nettó árfolyama tehát 3025 forint. A felhalmozott osztalék (X) meghatározása a kötvények felhalmozott kamatánál alkalmazott eljárás mintájára történik. A feladat szerint T=365 és t=222. Behelyettesítve:

184365222

1 ≈×= DIVX .

A részvény bruttó árfolyama 2005. január 20-án 3209 forint. 14. feladat Egy befektető Synergon-részvény vásárlására 2004. március 22-én opciót kötött 2004. október 30-i lejárattal. A kötési árfolyam 800 forint volt részvényenként (X=800). Ismert

8

továbbá az is, hogy az opciós díj 200 forint volt (c=200). A Synergon árfolyama 2004. április 13-án 900 (S0=900), október 30-án pedig 1200 forint volt (S1=1200). Feladat: mennyi volt az egyes időpontokban az opció belsőértéke, illetve időértéke? Megoldás: A rendelkezésekre álló adatok alapján kitölthető az alábbi táblázat. Egy opció belső értéke meghatározható, ha megvizsgáljuk, hogy az adott időpontban érvényes prompt árfolyam mellett mennyit ér az opció az opció vevőjének (mekkora nyeresége származik abból, ha az adott időpontban lehívja az opciót). Egy opció időértéke az az összeg, amellyel a belső értéke meghaladja az opció díját – figyelembe véve azt, hogy lejáratkor az opció időértéke mindig zérus. Az opció értéke a belső érték és az időérték összege. Ezek alapján tehát:

2004. április 13. 2004. október 30. ∆ Belső érték 100 400 300 Időérték 100 0 –100 ∑ 200 400 200 15. feladat Egy befektető MOL-részvény eladására opciót vásárolt 2004. január 22-én. A lejárat időpontja 2004. június 30. volt. Tudjuk, hogy a kötési árfolyam 16000 forint (X=16000), az opciós díj pedig 1000 forint volt (p=1000). Ismert továbbá az is, hogy 2004. február 17-én a MOL árfolyama 15400 (S0=15400), 2004. június 30-án pedig 17000 forinton alakult (S1=17000). Megoldás: Az 1. feladatban ismertetett módszer segítségével előállítható az alábbi táblázat:

2004. február 17. 2004. június 30. ∆ Belső érték 600 0 –600 Időérték 400 0 –400 ∑ 1000 0 –1000 16. feladat A Synergon prompt árfolyama a mai napon 850 forint (S0=850). Becslések szerint 1 év elteltével az értékpapír árfolyam vagy 900 forintra emelkedik, vagy 800 forintra süllyed. Mennyi annak a vételi opciónak az értéke, amely 870 forintos kötési árfolyamra vonatkozik? A kockázatmentes kamatláb 10% (rf=0,1). A részvény árfolyamának mozgása nem követi a normális eloszlást. Hány opció vásárlásával juthatunk a részvénybe történő befektetéssel azonos pozícióba? Megoldás: A prompt árfolyamok ismeretében Su=900 és Sd=800. Az opció belső értéke meghatározható a kötési árfolyam és a prompt árfolyamok segítségével:

Cu=30; Cd=0.

9

Olyan mesterséges befektetési portfoliót kell alkotnunk, amelynél az értékpapírok vásárlását hitelből finanszírozzuk. A banktól akkora összegű hitelt kapunk, amelynek törlesztése a kamatokkal együtt pesszimista végkimenetel esetében is megoldható:

( ) 724800 11,0 ≈×=×= ×−×− eeSSPV trdd

f A hitelösszeg mellett önrészre is szükség van a részvény megvásárlásához:

850–724=126. Ennek alapján a befektetés értéke kedvező esetben 100, kedvezőtlen esetben pedig 0 – ennyi marad ugyanis a részvény eladási árából, ha a vásárláshoz igénybe vett hitelt kamataival együtt visszafizetjük. Meghatározható az m értéke, amely megmutatja, hogy hány vételi opcióra van szükségünk ahhoz, hogy a részvénnyel történő befektetéssel megegyező pénzáramot kapjuk:

3333,3030800900

=−−

=−−

=du

du

CCSS

m .

Mivel a feladat szerint nem tételezhetjük fel a normális eloszlás fennállását, az alábbi képletet kell alkalmaznunk az opció helyes árának meghatározásához:

tr

tr

d

tr

u

f

ff

e

dueuC

dudeC

c ×

××

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

×

=

Az u és d paraméterek meghatározása:

06,1850900

0

≈==SS

u u , illetve 94,0850800

0

≈==SS

d d .

Behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

4,3794,006,1

06,1094,006,194,030

11,0

11,011,0

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

×= ×

××

e

ee

c .

A vételi opció helyes díja tehát 37,4 forint. 17. feladat 2004. április 11-én a MOL prompt ára 16560 (S=16560) forint volt. Ismert az is, hogy ugyanezen napon 2004. június 30-ra vonatkozóan a részvény határidős ára 19000 forinton alakult. Mennyi az értékpapír határidős egyensúlyi ára, és milyen arbitrázs-technikával élne? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (rf=0,0775). Hogy alakulna az ennek révén elérhető nyereség? A megoldás során a brókeri jutalékkal nem kell számolni. Megoldás: Április 11. és június 30. között 80 nap telik el, így a határidős egyensúlyi ár meghatározása:

1684416560 365800775,0

=×=×=×× eeSF trf .

Látható, hogy az egyensúlyi árfolyam a ténylegestől elmarad, így megéri a részvénybe történő befektetés, vagyis határidősen eladni, prompt pedig venni érdemes. Az ügylethez nem szükséges saját erő, a teljes vételár hitelből finanszírozható. A vásárláshoz akkora összegű hitelt kapunk, hogy a határidős eladási ár fedezze az adósságszolgálatot. A kapott hitel összege:

10

( ) 1868019000 365800775,0

19000 =×=×−

ePV . Az arbitrázsőr nyeresége a hitelösszeg és a prompt vételi árfolyam különbsége, vagyis 1836 forint. 18. feladat 2004. április 11-én a MOL prompt ára 16560 (S=16560) forint volt. Mennyi az értékpapír határidős egyensúlyi ára 2004 június 30-án, és milyen arbitrázs-technikával élne? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (rf=0,0775). Hogy alakulna az ennek révén elérhető nyereség? A brókeri jutalék mértéke 1%. Ismert, hogy az április 11-én fennálló tényleges határidős árfolyamok a.) 17000 b.) 18000 c.) 16000 forinton alakulnak. Megoldás: A brókeri jutalékok miatt két határidős árat kell meghatározni. Vételnél:

1701201,116560 365800775,0

1 ≈××=×

eF Eladásnál:

1667599,016560 365800775,0

2 ≈××=×

eF Első esetben, mivel a tényleges határidős árfolyam a két egyensúlyi árfolyam közé esik, nem nyílik mód arbitrázsra. Második esetben érdemes prompt venni és határidősen eladni. A felvehető hitel összege:

( ) 1769718000 365800775,0

18000 ≈×=×−

ePV Az arbitrázsőr nyeresége ismét a hitelösszeg és a prompt ár közötti különbség, vagyis 1137 forint. Harmadik esetben nyereséges a prompt eladás és a határidős vétel kombinálása. 19. feladat 2004. április 11-én a MOL prompt ára 16560 (S=16560) forint volt. Június 6-án a MOL értékpapírjára várhatóan 10%-os mértékű osztalékot fizet. Mennyi az értékpapír határidős egyensúlyi ára? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (rf=0,0775). A megoldás során a brókeri jutalékkal nem kell számolni. A MOL-részvény névértéke 1000 forint. Megoldás: A határidős egyensúlyi ár meghatározásához mindenekelőtt le kell vonni a prompt árfolyamból a várható osztalék mértékét. Az osztalékot minden esetben a névérték alapján határozzuk meg, így DIV=100. A lépéseket egyesítve a szokásos képlet az alábbiak szerint alakul:

1674310016560 365800775,0

365560775,0

≈×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=

××−eeF

100 forintnyi osztalék esetén tehát a MOL-részvény egyensúlyi árfolyama 16743 forinton alakul.

11

20. feladat 2004. március 19-én a MOL prompt ára 16120 (S=16120) forint volt. Április 1-én a MOL értékpapírjára várhatóan 15%-os mértékű osztalékot fizet. Ismert továbbá, hogy október 30-án esedékes határidős árfolyam a.) 19000 b.) 17000 c.) 16000 forinton alakul. Mennyi az értékpapír határidős egyensúlyi ára? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (rf=0,0775). A MOL-részvény névértéke 1000 forint. A brókeri jutalék mértéke 1,5%. A MOL-részvény névértéke 1000 forint. Milyen arbitrázs technikával élne a három esetben, s hogyan alakulna az ügylettel elérhető nyereség? Megoldás: A határidős egyensúlyi ár meghatározásakor figyelembe kell venni az osztalékot, és a brókeri jutalékot is – a brókeri jutalékot mindig a bruttó ár alapján kell kalkulálni. Természetesen ebben az esetben is két egyensúlyi árfolyamunk lesz. Vételhez:

17005150015,116120 3652250775,0

365120775,0

1 ≈×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×=

××−eeF

Eladáshoz:

16498150985,016120 3652250775,0

365120775,0

2 ≈×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−×=

××−eeF .

Az a.) feladatrész esetében van lehetőség arbitrázs-ügyletre, hiszen a tényleges árfolyam magasabb, mint az egyensúlyi. A felvehető hitel összege:

( ) 1811419000 3652250775,0

19000 ≈×=×−

ePV . A nyereség megszokott módon a prompt árfolyam és a hitelösszeg különbözete, azaz 1994 forint. A b.) esetben nem nyílik mód arbitrázs műveletre. A c.) esetben határidősen vehet, és prompt eladhat a befektető. 21. feladat Az eurobúza prompt árfolyama 2004. március 8-án 25000 forinton alakult. Ugyanezen időpontban az eurobúza határidős árfolyama 2004. november 30-i lejárat mellett 30000 forint. Hogyan alakul az eurobúza határidős egyensúlyi ára? Milyen arbitrázstechnikát alkalmazna? A kockázatmentes kamatláb 7,75% (rf=0,0775). A raktározási költség 2000 forint/hó tonnánként. Megoldás: Az egyensúlyi ár meghatározása:

( ) 28006365267200025000 365

2670775,0≈×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+=×+=

×× eeUSF trf

Mivel a tényleges határidős ár magasabb az egyensúlyinál, hitelfelvétel mellett nyereségesen valósítható meg az eurobúza határidős eladása. A felvehető hitel összege:

12

( ) 2834730000 3652670775,0

30000 ≈×=×−

ePV . A határidős nyereség összege 341. 22. feladat Az Euró árfolyama 2004. március 18-án 247 forint volt (S=247). Ugyanezen a napon a 2005. március 18-i határidős árfolyam 280 forinton alakul. A kockázatmentes euró-kamat 2,25% (rEUR=0,0225), a kockázatmentes forintkamat pedig 7,75% (rHUF=0,0775). Hogyan alakul egy év múlva az Euró egyensúlyi árfolyama? Milyen arbitrázstechnika lenne nyereségesen alkalmazható? (Hitelösszeg: 1000000 forint = 4049 Euró). Megoldás: Az egyensúlyi árfolyam a két kamatláb különbségének segítségével határozható meg az alábbi módon:

( ) ( ) 261247 10225,00775,0 ≈×=×= ×−×− eeSF trr EURHUF . Mivel a tényleges határidős árfolyam magasabb az egyensúlyinál, nyereségesen lehet Eurót határidősen eladni (illetve prompt vásárolni). A hitelt forintban vesszük fel, így azt átváltva 4049 Euróval rendelkezünk. Ezt befektetve 1 év alatt 4141 Euróra fog gyarapodni a pénzünk:

41414049 10225,0 ≈× ×e . Ezt az 1 év letelte után visszaváltjuk forintra a tényleges, 280 forintos árfolyamon, így a kamatperiódus végén 1159480 forinttal fogunk rendelkezni. Az igénybe vett forinthitel kapcsán felmerülő adósságszolgálat:

10805821000000 10775,0 ≈× ×e . Az ügylettel realizálható nyereség a kamatozással nyert forintösszeg és az adósságszolgálat különbsége, azaz hozzávetőlegesen 78898 forint. Az arbitrázs-négyszög az alábbi módon alakul:

23. feladat Az Euró árfolyama 2004. január 2-án 247 forint volt (S=247). Ugyanezen a napon a 2004. július 2-i határidős árfolyam 275 forinton alakul. Az Euróban denominált betétek kamata 1,5%, az Euró-hitelek kamata 2,5%; a forint-betétek kamatlába 6%, míg a forintban felvett

13

hitelekre 8%-os kamatot kell fizetni. Hogyan alakul fél év múlva az Euró egyensúlyi árfolyama? Milyen arbitrázstechnika lenne nyereségesen alkalmazható? (Hitelösszeg: 1000000 forint = 4049 Euró). Megoldás: A rendelkezésre álló adatok alapján felírható az alábbi táblázat:

Betétek kamata Hitelek kamata EUR 1,5% 2,5% HUF 6% 8%

A kamatráták eltérései miatt itt is két egyensúlyi árfolyam fog adódni:

( ) 255247 5,0015,008,01 ≈×= ×−eF

( ) 251247 5,0025,006,02 ≈×= ×−eF

Mivel a tényleges határidős árfolyam magasabb, mint az egyensúlyi árfolyamok (az Euró drágább), határidőre nyereségesen lehet Eurót eladni (forinthitelből történő prompt vásárlással kombinálva). 1000000 forintos hitelösszeg esetén 4049 Euróval számolhatunk, amely összeg félévnyi kamatozás után 4079 Euróra növekszik. Átváltva (a tényleges 275 forintos árfolyamon) 1121725 forintot kapunk. A forinthitel adósságszolgálata hozzávetőlegesen 1040811 forint, a nyereség így 80914 forint. 24. feladat A Synergon részvényének prompt árfolyama 2004. április 19-én 850 forint (S=850). Ezen papírra vonatkozóan egy befektető június 30-i lejárattal vételi opciót vásárol, amelynek kötési árfolyama 900 forint (X=900). A kockázatmentes kamatláb 7% (rf=0,07). Az alaptermék árfolyamának szórása 30% (σ=0,3). Hogyan alakul a helyesen árazott opció díja? A normális eloszlás feltételezhető az alaptermék árára vonatkozóan. Megoldás: A feladat a Black-Sholes–modell felhasználásával oldható meg. A d1 és d2 paraméterek meghatározása:

26,02587,02

365723,0

365723,0

3657207,0

900850ln

1 −≈−=×

+×

×+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=d

( ) 39,03919,0365723,02587,02 −≈−=×−−=d .

Igaz, hogy N(–d1)=1–N(d1). Ezek alapján a normál eloszlás táblázatából könnyen meghatározható, hogy N(d1)=0,3974; N(d2)=0,3483. Ezeket behelyettesítve a Black–Sholes-képletbe:

296187,283483,09003974,0850 3657207,0

≈=××−×=×−

ec . A helyesen árazott opció díja tehát 29 forint.

14

25. feladat A Synergon részvényének prompt árfolyama 2004. április 19-én 850 forint (S=850). A részvényre 2005. június 6-án várhatóan 20 forint osztalékot fognak fizetni. Ezen papírra vonatkozóan egy befektető június 30-i lejárattal vételi opciót vásárol, amelynek kötési árfolyama 900 forint (X=900). A kockázatmentes kamatláb 7% (rf=0,07). Az alaptermék árfolyamának szórása 30% (σ=0,3). Hogyan alakul a helyesen árazott opció díja? A normális eloszlás feltételezhető az alaptermék árára vonatkozóan. Megoldás: Meg kell határozni az osztalék jelenértékét, s ennek segítségével a módosított prompt árfolyammal kell a Black–Sholes-képletet használni:

183264,83020850 3654807,0* =×−=×−=

×−×− eeDIVSS trf

43,04357,02

365723,0

365723,0

3657207,0

900183264,830ln

1 −≈−=×

+×

×+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=d

( ) 57,05689,0365723,04357,02 −≈−=×−−=d

Ezek alapján N(d1)=0,3336 és N(d2)=0,2843. Behelyettesítve adódik, hogy c=24,58. 26. feladat A Synergon részvényének prompt árfolyama 2004. április 19-én 850 forint (S=850). Ezen papírra vonatkozóan egy befektető június 30-i lejárattal vételi opciót vásárol, amelynek kötési árfolyama 900 forint (X=900), kötési díja pedig 29 forint (a 24. feladat alapján). A kockázatmentes kamatláb 7% (rf=0,07). Az alaptermék árfolyamának szórása 30% (σ=0,3). A normális eloszlás feltételezhető az alaptermék árára vonatkozóan. Put–call paritással számolva mennyi az értéke egy hasonló lejárati időpontú (2004. június 30.), illetve hasonló kötési árfolyamú (X=900) eladási opciónak? Mennyi az időérték és a belső érték? Megoldás: A put–call paritás megmutatja, hogy egy meghatározott kötési árfolyamú és lejáratú európai vételi opció értéke levezethető egy hasonló kötési árfolyamú és lejáratú európai eladási opció értékéből, és viszont. Igaz tehát az, hogy:

SpXec trf +=+ ×− . Az eladási opció értéke így:

658,6685029900 3657207,0

=−+×=×−

ep . A belső érték ebből 50, az időérték pedig 16,658 forint. 27. feladat Mennyi annak az amerikai vételi opciónak az értéke, amely esetében az alaptermékül szolgáló részvény árfolyama 2004. április 19-én (a kötés időpontjában) 16650 forint (S=16650), az árfolyam változásának szórása 40% (σ=0,4), a normalitás pedig feltételezhető. Az opció lejárata 2004. december 30. A kockázatmentes kamatláb 7%

15

(rf=0,07). A kötési árfolyam 16000 forint (X=16000). 2004. június 6-án a részvényre várhatóan 1600 forint osztalékot fognak fizetni (DIV=1600). Megoldás: A Black–Sholes-képlet segítségével két időpontra vonatkozóan kell kiszámolni az opció értékét, hiszen az amerikai opciók bármikor lehívhatók. Az osztalékfizetés napján az opció értéke az alábbi módon alakul:

41,04105,02

365484,0

365484,0

3654807,0

1600016650ln

1 ≈=×

+×

×+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=d

27,02654,0365484,04105,02 ≈=×−=d .

Ebből adódik, hogy N(d1)= 0,6591 és N(d2)= 0,6064. Ezek alapján c=1360,52. Második esetben az opció lejáratáig, vagyis december 30-ig kell kiszámítani az opció értékét. Ekkor azonban az osztalék jelenértékével módosítani kell a prompt árfolyamot. A jelenérték 1585,338818, így a módosított prompt árfolyam 15065; T=255 nap=255/365 év. Ezek alapján d1=0,1333 és d2=(–0,2010), N(d1)= 0,5517, N(d2)=0,4207. Az opció értékére c=1901,42 adódik. Lejáratig tartva tehát az opció értéke magasabb, érdemes tehát megvárni a lejáratot. 28. feladat Egy részvényre vonatkozó vételi opció esetében a kötési ár 14900 forint (X=14900). A részvény prompt árfolyama 15150 forint (S=15150). Az opció kötésének időpontja 2004. május 2. Az opció 2004. június 25-én jár le. A kockázatmentes kamatláb 7,5% (rf=0,075). Az alaptermék árának szórása 40% (σ=0,4). Az árváltozás esetében a normális eloszlás feltételezhető. Mennyi a helyesen árazott vételi opció értéke? Megoldás: A behelyettesítések révén d1=0,2571≈0,26; d2=0,1033≈0,1; N(d1)=0,6026 és N(d2)=0,5398. Az opció díjára adódik, hogy c=1175,12. 29. feladat Egy részvényre vonatkozó vételi opció esetében a kötési ár 895 forint. A részvény prompt árfolyama 975 forint. Az opció kötésének időpontja 2004. február 28. Az opció 2004. július 14-én jár le. A kockázatmentes kamatláb 7,75%. Az alaptermék árának szórása 35%. Az árváltozás esetében a normális eloszlás feltételezhető. Mennyi a helyesen árazott vételi opció értéke? Megoldás: A behelyettesítések révén d1=0,642138≈0,64; d2=0,4277≈0,43; N(d1)=0,7389 és N(d2)=0,6664. Az opció díjára adódik, hogy c=141,099.

16

30. feladat Egy részvényre vonatkozó vételi opció esetében a kötési ár 775 forint. A részvény prompt árfolyama 1000 forint. Az opció kötésének időpontja 2004. február 12. Az opció 2004. szeptember 8-án jár le. A kockázatmentes kamatláb 7%. Az alaptermék árának szórása 45%. Az árváltozás esetében a normális eloszlás feltételezhető. Mennyi a helyesen árazott vételi opció értéke? Megoldás: Az osztalék jelenértékével csökkentett prompt árfolyam 802,4019. A behelyettesítések révén d1=0,39; d2=0,049491≈0,05; N(d1)=0,6517 és N(d2)=0,5199. Az opció díjára adódik, hogy c=135,83. 31. feladat Egy "A" és "B" részvényből álló portfolió esetén az idő múlásával az alábbiak szerint alakultak a hozamok:

Idő "A" részvény "B" részvény 1 5% 8% 2 10% 16% 3 15% 24%

A portfolióban az "A" részvényből 70%-nyi (WA=0,7), a "B" részvényből 30%-nyi (WB=0,3) található. Hogyan alakul a portfolió hozama és kockázata? Milyenek az ideális részarányok a portfolión belül? Milyen az egyes részvények kockázata? Megoldás: A két részvény (átlagos) hozama a számtani átlaggal, illetve kockázata (a hozamok szórása) a kovariancia vagy a korrigált tapasztalati szórás alapján könnyedén meghatározható:

( )∑=

−×−

=n

jjr rr

ns

1

2

11

Ezek alapján rA=10%, rB=16%. Az "A" részvény kockázata:

( ) ( ) ( ) %52

10151010105 222

=−×−×−

=As .

Ehhez hasonlóan sB=8%. A portfolió hozama az egyes részvények átlagos hozamainak a portfolión belüli részarányukkal súlyozott átlaga: rP=11,8%. A két értékpapír közötti kovariancia meghatározása az általános képlet segítségével történhet:

( )1

cov−

= ∑ndxdy

xy .

Behelyettesítve adódik, hogy:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 402

1624101516161010168105;cov =−×−+−×−+−×−

=BA rr .

Az alábbi összefüggéssel meghatározható a korrelációs együttható is:

185

40);cov(;

=×

=×

=BA

BArr ss

rrBA

ρ .

17

A portfolió kockázatának meghatározása az alábbi képlettel lehetséges:

BA rrBABABBAAP ssWWsWsWs ;2222 2 ρ×××××+×+×= ,

amelynél itt 5,9% adódik. Ha a papírok ellentétesen reagálnak, a korrelációs együttható értéke (–1) lesz, a kovariancia pedig (–40). Ekkor a minimális relatív kockázatú portfolió súlyai

( )( )

( )( ) %54,61

40258408

;cov2;cov

22

2

22

2

=−×−+

−−=

×−+−

=BAAB

BABA rrss

rrsW .

Igaz, hogy WB=1–WA, tehát WB=38,46% 32. feladat Egy elemző cég négy részvényre vonatkozó becsléseit tartalmazza az alábbi táblázat:

Részvény Jelenlegi ár Negyedév

múlva várható ár

Negyedév múlva várható

osztalék βi

A 3000 3100 180 0,5 B 1000 1100 75 1,16 C 20000 22000 1400 1,5 D 800 900 50 0,9

A piac várható hozama 9% lesz az elkövetkező negyedévben. A kockázatmentes kamatláb évi 8%. Mely papírok felül-, és mely papírok alulértékeltek? Mely papírokba érdemes fektetni? Megoldás: A részvények elvárt hozamát (CAPM-szerinti hozamát) az alábbi képlettel határozhatjuk meg:

( ) ifmfi rrrr β×−+= . A feladat alapján rm=9%, rf=8/4=2%. Ezek alapján CAPMA=5,5%; CAPMB=10,12%; CAPMC=12,5%; CAPMD=8,3%. Az egyes értékpapírok tényleges hozamai meghatározhatók az alábbi képlettel:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

0

1lnPDIVP

r .

Ennek alapján rA=8,9%; rB=16,13%; rC=15,7%; rD=17,18%. Az egyes részvények esetében az αi értékek, amelyek pozitivitása jelzi az alulértékeltséget, a tényleges és az elvárt hozam különbségeként határozhatók meg. Ezek szerint αA=3,4%; αB=6,01%; αC=3,2%; αD=8,88%. Valamennyi papír alulértékelt, legerőteljesebben a D részvény, így leginkább abba érdemes befektetést eszközölni. 33. feladat A gazdasági kilátásokra vonatkozó becslés adatait az alábbi táblázat tartalmazza:

A változás iránya Valószínűség pi

"A" részvény rA

"B" részvény rB

Piaci hozam rM

Recesszió 0,2 –15% 8% –6% Kis növekedés 0,6 0% 16% 12%

18

Nagy növekedés 0,2 20% 10% 18% A kincstárjegy hozama jelenleg évi 7% (rf=0,07). Hogyan alakul az egyes papírok bétája, alfája, illetve a portfolión belüli ideális részaránya? Megoldás: A várható hozam meghatározása:

( ) ∑=

×=n

iii rprE

1.

Ezek alapján E(rA)=1%; E(rB)=13,2%; E(rM)=9,6%. Az egyes részvények, illetve a teljes piac hozamának szórása (a kockázat) a korrigált tapasztalati szórás képletével határozható meg, ahol a súlyokat itt a valószínűségek, az átlagokat pedig a várható hozamok fogják adni. Azaz:

( ) ( ) ( ) %13,111202,0106,01152,0 222 =−×+−×+−−×=As

( ) ( ) ( ) %48,32,13102,02,13166,02,1382,0 222 =−×+−×+−×=Bs Ezekhez hasonlóan sM=8,14%. A kovariancia meghatározásakor a súlyokat ismét a valószínűségek adják:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4,806,9181202,0

6,912106,06,961152,0;cov=−×−×+

+−×−×+−−×−−×=MA rr

Hasonlóképpen számolva cov(rB;rM)=14,88; cov(rA;rB)=2,8. Az egyes részvényekre vonatkozó béta meghatározásához szükséges képlet:

( )2

;cov

M

mii s

rr=β .

Ebből adódik, hogy βA=1,21; βB=0,22. A már ismert módon CAPMA=10,146%; CAPMB=7,572%. Az alfa értékének meghatározásánál a várt hozamok értékét csökkentjük a CAPM-szerinti hozamokkal. αA=–9,146%; αB=5,628%. B alulértékelt, így az abba való befektetés tűnik kifizetődőnek. WA=7,74%; WB=92,26%. 34. feladat Az "A" és "B" részvény hozamait tartalmazza az alábbi táblázat:

Év "A" részvény "B" részvény 1991 9 8 1992 14 9 1993 19 5 1994 7 4 1995 5 9 1996 –9 3 1997 –2 2 1998 8 9 1999 17 7

Milyen az egyes papírok várható hozama? Mekkora a papírok kovarianciája és korrelációs együtthatója? Mekkora az egyes papírok kockázata? Megoldás: E(rA)=7,6%; E(rB)=6,2%; cov(rA;rB)=12,9; sA=8,9%; sB=2,8%; ρ=0,52.

19

35. feladat Különböző állampapírok adatait tartalmazza az alábbi táblázat:

Névérték Lejárat Évi kamat Árfolyam 100 0,2 0 96 100 1 0 93 100 1,5 10 104 100 2 12 110 100 2,5 14 120

A fél év múlva esedékes, fél éves lejáratú kötvény árfolyama 96,9 (0,5DWIX0,5=96,9). Milyen arbitrázs-technikával használható ki a helyzet? Megoldás: A feladat a bootstrap-módszer segítségével oldható meg. Az egyes lejáratokon érvényes kamatlábak (amelyek a hozamgörbe egyes pontjait adják) meghatározhatók annak ismeretében, hogy az árfolyam és a névérték között a lejárati idő és a kamatláb teremt kapcsolatot:

10096 5,05,0 =× ×re %16,85,0 =r

Az általános képlet:

tPN

rt⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=ln

Ebből r1=7,26%. A kamatfizetést is tartalmazó években az alábbi egyenlőségeket lehet felírni:

5,110726,05,00816,0 5,110555104 ×−×−×− ++= reee %99,65,1 =r

25,10699,010726,05,00816,0 2106666110 ×−×−×−×− +++= reeee %4,62 =r

5,22064,05,10699,010726,05,00816,0 5,21077777120 ×−×−×−×−×− ++++= reeeee %05,55,2 =r

Az implicit forward, vagyis az m év múlva n éves lejáratú kamatlábak meghatározásához szükséges képlet:

( )n

rmrnmr mnmnm

×−×+= + .

Ennek segítségével 0,5r0,5=6,36%; 1r0,5=6,45%; 1,5r0,5=4,63%; 2r0,5=-0,35%. A fél év múlva érvényes kötvényárfolyam alapján számított kamatráta:

%3,65,0

9,96100ln

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=r .

Mivel ez a kamat alacsonyabb, mint az általunk számított implicit forward ráta, érdemes két hitelt felvenni, és egy betétet elhelyezni, az alábbi kamatok mellett:

20

36. feladat Különböző állampapírok adatait tartalmazza az alábbi táblázat:

Névérték Lejárat Évi kamat Árfolyam 100 0,2 0 94 100 1 0 89 100 1,5 10 100 100 2 12 103 100 2,5 14 105

A fél év múlva esedékes, fél éves lejáratú kötvény árfolyama 90 (0,5DWIX0,5=90). Milyen arbitrázs-technikával használható ki a helyzet? Megoldás: A korábban vázolt módon r0,5=12,38%; r1=11,65%; r1,5=9,65%; r2=9,98%; r2,5=11,43%. Az implicit forward kamatlábak: 0,5r0,5=10,92%; 1r0,5=5,65%; 1,5r0,5=10,97%; 2r0,5=17,23%. A DWIX árfolyama alapján számolt kamatláb 21,07%. Így éves lejáratú hitel vehető fel nyereséggel, s kétszer félévre kell befektetni:

21

37. feladat A búza december 15-i határidős ára május 12-én 26000 forint tonnánként. Mutassa be a fedezeti ügylet kockázatcsökkentő hatását, ha a termelő november 15-én adja el búzáját! November 15-én az azonnal búzaár a.) 10000 b.) 40000 forint tonnánként. A tárolási és ügynöki költségek elhanyagolhatók. A kockázatmentes kamatláb 6%. Megoldás: A termelő május 12-én határidőre elad a 26000 forintos tonnánkénti árfolyamon, majd november 15-én prompt is elad az akkor érvényes azonnali áron, s ekkor december 15-i lejárattal határidősen vesz is. A két december 15-i határidős árfolyam november 15-én 10049, illetve 40198 forint tonnánként. Az a.) esetben a határidős nyereség 15951, a b.) esetben –14198 forint tonnánként. A tényleges (határidős nyereséggel módosított) prompt eladási ár 25951, illetve 25802 forint tonnánként. A tényleges prompt ártól függetlenül a tényleges eladási árak gyakorlatilag azonosnak tekinthetők a fedezeti ügylet hatásaként. 38. feladat A MOL tart az olajárak emelkedésétől, ezért május 15-én határidőre vásárol kőolajat augusztus 31-i határidőre. Az ügylet kötésekor a kőolaj ára 50USB/barrel. Milyen irányú fedezeti ügyletet köt a MOL? Mutassa be a fedezeti ügylet kockázatcsökkentő hatását! Július 15-én a kőolaj ára a.) 20USD/barrel b.) 100USD/barrel. A kockázatmentes kamatláb 3%. Tárolási költség 1USD/barrel/hó. Megoldás: A MOL határidősen vesz május 15-én augusztus 31-i lejárattal, majd július 15-én prompt vesz, s ezen a napon határidős eladási ügyletet is köt, szintén augusztus 31-i lejárattal. A május 15-én kötött, augusztus 31-i lejáratú határidős vételi ár 54,08USD/barrel. A július 15-én érvényes, augusztus 31-re szóló határidős eladási árak 21,65, illetve 101,96USD/barrel. A határidős nyereség tehát –32,43, illetve 47,88USD/barrel. A tényleges vételár 52,43, illetve 52,12USD/barrel. 39. feladat Egy termelőnek várhatóan 25000 tonna búzája lesz. A búza minősége I. osztályú. A tőzsdén viszont kizárólag euróbúzára lehet kontraktust kötni. Egy kontraktusban 100 tonna búza van. A malmi búza árváltozásának szórása 35% (σS=35). A határidős termék árváltozásának szórása 45% (σF=45). A két termék közötti korreláció 0,82 (ρ=0,82). Mi a határidős kötés iránya? Mekkora a határidős kontraktusszám? Megoldás: A fedezeti arány meghatározása:

F

Shσσ

ρ ×= .

22

Behelyettesítve h=0,63. A fedezeti arány ismeretében meghatározható a határidős kontraktusszám is:

1585,157100

63,025000 ≈=× .

Eszerint határidősen veszünk 158 kontraktus euróbúzát. 40. feladat Egy befektető megtudja, hogy a MOL következő negyedévi eredménye jelentősen meghaladja az elemzők várakozásait. Szívesen venne a MOL részvényeiből, azonban fél a makropiac gyengeségétől, illetve egy általános részvényár-csökkenéstől. Ezért a kockázatok ellen be szeretné biztosítani magát. A MOL bétája 1,4. A befektetni kívánt összeg 10 millió forint. A határidős BUX-kontraktus értéke a BUX minden pontjára 100 forint. Jelenleg a határidős BUX értéke 16750 pont. Megoldás: A részvénypiaci kontraktusszám meghatározható:

83582,810016750

4,110000000_≈=

××

=×

×=

pontBUXbéteösszegndőbefeketeteszámkontraktus .

Vagyis a befektető vesz 10 millió forint értékben MOL-részvényt, és elad 8 kontraktus BUX-ot határidőre.