8/17/2019 T12 Chapter 4

1/13

Operadores lineales

22/09/2014   Kenyer Aguiar

8/17/2019 T12 Chapter 4

2/13

Operadores lineales

Sean  X ,Y  dos espacios normados sobre el mismo cuerpo deescalares.

Definición

Sea  T   : X   → Y   decimos que  T  es un operador lineal si 

(i)   T (x  + y ) = T (x ) + T (y )  para todo  x , y  ∈ X ,

(ii)   T (λx ) = λT (x )  para todo  x  ∈ X   , para todo escalar  λ.

Ejemplo

Sean  X   = C 1[0, 1],  Y   = C [0, 1],  Tf    = f   . Entonces  T   es unoperador lineal.

8/17/2019 T12 Chapter 4

3/13

Operadores lineales acotados

Proposición

Sea  T   : X   → Y  un operador lineal. Si existe  M  > 0  tal que T (x ) ≤ M  para todo  x  ∈ X   entonces  T   = 0.

Definición

Sea  T   : X   → Y  un operador lineal. Decimos que  T  es un operador lineal cotado cuando existe  M  > 0 tal que 

Tx Y    ≤ M x X ,   para todo  x  ∈ X .

8/17/2019 T12 Chapter 4

4/13

Ejemplos

Ejemplo

Sea  T   : C [a, b ] → R  dado por 

Tf    =

   b 

a

f   (s )ds .

Entonces  T  es acotado y   |Tf  | ≤ (b − a)f  ∞.

Ejemplo

Sea  T   : C [a, b ] → C [a, b ]  dado por 

(Tf   )(t ) =

   t 

a

f   (s )ds .

Entonces  T  es acotado y  Tf  ∞ ≤ (b − a)f  ∞.

8/17/2019 T12 Chapter 4

5/13

Ejemplos

Ejemplo

Para  f    ∈ L1[0, 2π]  y  n  entero, se define el n-ésimo coeficiente de Fourier de  f    como 

f̂   (n) =  1

2π   2π

0

f   (t )e −int dt .

Definamos  T   : L1[0, 2π] →  l ∞(Z)  por 

Tf    = f̂  

. Entonces  T  es acotado y 

Tf  ∞ ≤  1

2πf  L1 .

8/17/2019 T12 Chapter 4

6/13

Condiciones equivalentes de continuidad

Sean  T   : X   → Y  un operador lineal. Las siguientes condiciones sonequivalentes:

(a)   T  es continuo,

(b)   T  es continuo en  x  = 0,

(c)   T  es continuo en algún punto,

(d)   Existen  x o  ∈ X y  r  > 0 tales que  T (B (x o , r )) es acotado.

(e)   T (B (0, 1)) es acotado.

(f)   T (A) es acotado para todo subconjunto  A  de  X  que seaacotado.

(g)   T  es un operador acotado.

8/17/2019 T12 Chapter 4

7/13

El espacio  L(X ,Y  )

Sea

L(X ,Y ) = {T   : X   → Y   tales que  T  es un operador lineal y continuo  }

Ejercicio

L(X ,Y )  es un espacio vectorial con las operaciones 

(λT )(x ) = λT (x ),

(T 1 + T 2)(x ) = T 1(x ) + T 2(x ).

Para  T   ∈ L(X ,Y ) se define

T  = supx =1

T (x ).

8/17/2019 T12 Chapter 4

8/13

El espacio  L(X ,Y  )

Ejercicio

(a)   T  = supx =0

Tx 

x   = sup

x ≤1Tx .

(b)   T  = ı́nf {M   : Tx  ≤ M x  para todo  x  ∈ X }(c)   ·  es una norma en  L(X ,Y ).

Proposición (Una condición para que  L(X ,Y  ) sea de Banach)

Si  Y  es un espacio de Banach entonces  L(X ,Y )  es un espacio de Banach

8/17/2019 T12 Chapter 4

9/13

Homeomorfismos entre espacios normados

Definición

Una aplicaci´ on   f    : X   → Y  es un homeomorfismo si es biyectiva y bicontinua. Es decir, si tiene inversa biyectiva.

Definición

Sea  T   : X   → Y . Decimos que  T  es acotado inferiormente cuando existe  m  > 0  tal que 

mx  ≤ T (x ),

para todo  x  ∈ X .

8/17/2019 T12 Chapter 4

10/13

Homeomorfismos entre espacios normados

Proposición

Sea  T   ∈ L(X ,Y )  son equivalentes las siguientes condiciones:

(a)   T  es invertible con inverso acotado.

(b)   T  es sobreyectivo y  T  es acotado inferiormente.

Ejercicio

Sea  T   ∈ L(X ,Y )  tal que existe  T −1 y  T −1 ∈ L(X ,Y ).

(a)   X  es de Banach si y s´ olo si  Y  es de Banach.

(b)   dimX   =  dimY .

8/17/2019 T12 Chapter 4

11/13

Espacios normados de dimensión finita

LemaSea  X  un espacio vectorial de dimensi´ on finita  n. Si  T   : l n

1  → X   es 

un operador lineal entonces 

(i)  T es acotado 

(ii)   Si  T  es inyectivo entonces  T  es biyectivo y  T −1

es acotado.

Lema

Sean  X 1,X 2  dos espacios vectoriales normados tales que 

dimX 1 =  dimX 2  

8/17/2019 T12 Chapter 4

12/13

Espacios normados de dimensión finita

Teorema

Sea  X  un espacio vectorial de dimensi´ on finita  n, entonces:

(a)  Todas las normas en  X  son equivalentes.

(b)   Si   ·  es una norma entonces  (X , · )  es de Banach.(c)   X  es isomorfo a  Rn(´ o  Cn).

Teorema

Sea  X  un espacio vectorial de dimensi´ on finita  n, sea  Y   un espacio normado, sea  T   : X   → Y  un operador lineal. Entonces  T   es continuo (con cualquier norma en  X ).

8/17/2019 T12 Chapter 4

13/13

Caracaterización de los espacios de dimensión finita

LemaSea  X  un espacio normado y  M  un subespacio propio de  X . Si θ ∈ (0, 1)  entonces existe  x θ  ∈ X   tal que  x θ = 1  y dist(x θ,M ) ≥ θ.

Teorema

Sea  X  un espacio normado y sea

S  = {x  ∈ X   : x  ≤ 1}.

Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a)   dimX   es finita.

(b)   S  es compacto.