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Tabla de contenido Página
Sustitución en ecuaciones diferenciales 3
Ecuación de Bernoulli 3
Ecuación de Ricatti 7
Otras sustituciones 10
Resumen 14
Bibliografía recomendada 14
Nexo 14
Autoevaluación formativa 15
5
2
Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN
Facultad de Ingeniería de Sistemas.
Sistema de Educación Abierta y a Distancia.
Santa Fe de Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por
escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
JAIME PRECIADO LOPEZ
Sede Santa Fe de Bogotá, D.C.
Diseño instruccional y orientación a cargo de
MARIANA BAQUERO DE PARRA
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SAENZ
ORLANDO DIAZ CARDENAS
Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Santa Fe de Bogotá, D.C.
5
3
Sustitución en ecuaciones diferenciales En este fascículo veremos cómo al realizar una sustitución apropiada
sobre una ecuación diferencial es posible que esta última se convierta
en una ecuación de alguno de los tipos que hemos estudiado y por tan-
to sabremos cómo resolverla. Las ecuaciones más famosas para desa-
rrollar por sustitución son las conocidas como de Bernoulli y de Ricatti.
Vamos a aprender a reconocerlas y a resolverlas.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Identifica y distingue ecuaciones diferenciales de Bernoulli y Ricatti.
Resuelve correctamente una ecuación de Bernoulli.
Resuelve correctamente una ecuación de Ricatti.
Realiza sustituciones apropiadas para reducir ecuaciones diferenciales
a los tipos conocidos.
Resuelve ecuaciones diferenciales empleando sustitución.
Ecuación de Bernoulli
Si n es un número real, la ecuación diferencial
nyxfyxP
dx
dy)()( (1)
es llamada Ecuación de Bernoulli. Para 0n y 1n la sustitución
nyu
1 convierte la ecuación diferencial (1) en una ecuación lineal,
veamos:
Si n
yu 1
entonces:
dx
dyyn
dx
du n )(1
5
4
Jacob Bernoulli (1645–
1705): matemático suizo,
maestro de Guillaume de
L’Hopital.
de donde:
dx
du
n
y
dx
dyn
)(
1
Si sustituimos en términos de u en la ecuación (1) obtenemos:
)()()()( xfnuxPndx
du 11 (2)
Es claro que (2) tiene la forma de una ecuación diferencial lineal y por
tanto podemos resolverla. Veamos una aplicación de Bernoulli.
Ejemplo
Resolvamos la ecuación 2
1
yy
dx
dyx , podemos reescribir esta
ecuación como:
211 yx
yxdx
dy (1)
La ecuación (1) corresponde a una ecuación de Bernoulli, con 2n ,
empleando la sustitución 321
yyu )( se convierte en:
xu
xdx
du 13
13 (2)
(2) es una ecuación lineal, el factor de integración es:
33
3
xeex
dxx ln
Multiplicando por el factor integrante y reduciendo la ecuación podemos
escribir (2) como:
23 3xuxdx
d (3)
5
5
integrando (3) tenemos:
cxux 33
con c constante arbitraria, despejando tenemos:
31 cxu
como 3
yu la solución la podemos escribir por:
33 1 cxy
Ejemplo
Resolvamos la ecuación:
42 32 yxydx
dyx (1)
Sujeta a la condición
2
1y cuando 1x .
Podemos escribir (1) como:
4
2
32y
xy
xdx
du (2)
Esta es una ecuación de Bernoulli, con 4n , si hacemos la sustitu-
ción 341 yyu (2) se convierte en:
| 2
96
xu
xdx
du (3)
Para la ecuación diferencial lineal (3) el factor de integración es:
66
6
xeex
dxx ln
Multiplicando (3) por el factor de integración y escribiendo el lado iz-
quierdo como derivada obtenemos:
5
6
46 9xuxdx
d (4)
Integrando (4):
cxux 56
5
9
de donde
65
9
x
c
xu
Si reemplazamos u por 3
y la solución general es:
6
3
5
9
x
c
xy
(5)
La condición inicial
2
1y cuando 1x nos lleva a que
549c , al
remplazar c en (5) obtenemos la solución
6
3
5
49
5
9
xxy
10.1
a. Resuelve la ecuación de Bernoulli dada.
1. 2
yyy ' 2. 13 xyy
dx
dy
3. 21 xyyxdx
dyx 4. xyy
dx
dyx 22
5. 1213 322 yxydx
dyx 6.
592yxy
xy '
b. Resuelve la ecuación diferencial dada, sujeta a la condición inicial
que se indica.
5
7
Jacobo Francisco Ricatti
(1676 – 1754): filósofo y
matemático italiano.
40123
21
)(, yydx
dyy
Ecuación de Ricatti
Una ecuación no lineal
2yxRyxQxP
dx
dy)()()( (1)
es llamada ecuación de Ricatti. Si se conoce una solución particular 1y
de la ecuación (1) podemos a partir de 1y construir una solución u de
tal forma que uy 1 sea la solución de (1).
Es fácil encontrar u si resolvemos la ecuación lineal:
)()(,)( xRwxRyxQdx
dw 2 (*)
es decir, si encontramos w y hacemos luego
wu 1 .
En este fascículo omitimos la demostración del procedimiento
que lleva a la solución dada para la ecuación de Ricatti. Si
estás interesado puedes encontrar las sugerencias para dicho
desarrollo en la bibliografía recomendada.
A continuación desarrollamos algunos ejemplos de ecuaciones de
Ricatti.
Ejemplo
Resolvamos la ecuación
02 2 yydx
dy (1)
5
8
Sabiendo que 21 y es una solución particular.
Podemos reescribir la ecuación (1) como
22 yydx
dy (2)
(2) corresponde a una ecuación de Ricatti con:
112 )(,)(,)( xRxQxP
podemos resolver (2) si encontramos la solución (*) con estos valores
11221 wdx
dw))((
es decir
13 wdx
dw (3)
(3) es una ecuación lineal, calculemos el factor de integración
xdx
ee3
3
Si multiplicamos los miembros de (3) por el factor de integración y lo es-
cribimos como derivadas obtenemos:
xxewe
dx
d 33
integrando
ce
wex
x
3
33
de donde
xcew
3
3
1
Si hacemos
wu
1 obtenemos
5
9
xce
u3
3
1
1
así, la solución general y es
xce
uyy3
1
3
1
12
Ejemplo
Resolvamos la ecuación de Ricatti
022 yyxxdx
dy)(tansec , con xy tan1 .
Reconocemos a 12 )(,tan)(,sec)( xRxxQxxP
reemplazando en la ecuación )()(,)( xRwxRyxQdx
dw 2
tenemos
112 wxxdx
dw)(tantan (1)
de donde:
1 wxdx
dw)(tan
Hallemos el factor de integración:
xeex
xdx
sec)ln(sec
tan
Multiplicando (1) por el factor de integración y escribiendo como deriva-
da obtenemos:
5
10
xxwdx
dsecsec
integrando:
cxxxw tanseclnsec
despejando w
x
cxxw
sec
tansecln
Haciendo
wu
1 obtenemos:
cxx
xu
tansecln
sec
por tanto la solución general es:
cxx
xxuyy
tansecln
sectan1
10.2
Resuelve las ecuaciones de Ricatti que siguen:
1. 11 1
2 yxyyxdx
dy,
2.
xyyy
xxdx
dy 2141
2
2 ,
3. xyyyx
xdx
dy 1
22 21
2 ,
Otras sustituciones
Hemos visto cómo una sustitución apropiada puede convertir una ecua-
ción diferencial en otra más fácil de resolver por los procedimientos co-
5
11
nocidos; podemos intentar cualquier sustitución para buscar la solución
de una ecuación, la sustitución apropiada a veces salta a la vista, pero
en algunas otras se debe probar hasta obtener la adecuada.
A continuación veremos algunos ejemplos donde una sustitución con-
vierte la ecuación dada en una sencilla de resolver.
Ejemplo
Resolvamos la ecuación:
x
xe
dx
dyxe
yy ln 22
(1)
Después de observarla, durante un buen rato, se nos ocurre intentar la
sustitución
yxeu
2 o su equivalente yx
u2
ln y al aplicar las propiedades
de la función logaritmo natural tenemos:
yxu 2 )ln()ln(
al derivar respecto a x
dx
dy
xdx
du
u2
11
de donde
xdx
du
udx
dy 11
2
1
si sustituimos en (1) obtenemos:
x
x
x
u
xdx
du
uu
ln
11
2
1
que corresponde a:
5
12
x
xu
xdx
du ln21 (2)
La ecuación (2) es lineal, calculemos el factor de integración:
xeex
dxx ln
1
si multiplicamos (2) por el factor de integración y la escribimos como
derivada obtenemos:
xxudx
dln2
integrando:
cxxxxu 22 ln
Si sustituimos u obtenemos la solución general:
cxxxexy 2222
ln
Ejemplo
Resolvamos la ecuación:
32 33324 xyxyyx'
(1)
Si hacemos sustitución 33
yxu o su equivalente 3
3y
x
u
podremos reducir la ecuación (1); si derivamos respecto a x nuestra
sustitución obtenemos:
dx
dyy
x
uxdx
dux
2
6
23
3
3
equivalente a:
dx
dyyxu
dx
dux
2433
5
13
Si sustituimos en (1) obtenemos:
323
33
xu
udx
dux
de donde
96 3 xdx
dux (2)
La ecuación diferencial (2) se puede desarrollar por separación de varia-
bles, veamos, (2) es equivalente a:
xx
dx
du 96 2
Integrando tenemos:
cxxu ln92 3
Remplazando u tenemos la solución:
cxxyx ln92 333
10.2
Resuelve la ecuación diferencial dada usando una sustitución apro-
piada:
1. 01 dyyeydxx
2. 0122
dyy
xdxe
yx
3. 02 22 xyxyy'
4. yxdx
dyyx tanlncsc 222
5. senxeyyx )('
'1
5
14
6.
xexy
dx
dyxseny
2 cos
7. 2
)(''''
yxyxy . Sugerencia: Sea '
yu
8. 022 )('''
yyx
En este fascículo hemos trabajado dos nuevos tipos de ecuaciones dife-
renciales, las ecuaciones de Bernoulli y Ricatti, hemos visto cómo a tra-
vés de una sustitución simple y apropiada éstas y muchas otras ecua-
ciones pueden llevarse a una de las formas ya conocidas por nosotros
(por separación, exactas, lineales), las cuales podemos resolver de ma-
nera fácil y rápida.
Rainville, Earl D. y otros. Ecuaciones Diferenciales. México: Ed. Prentice
Hall, octava edición, 1997, cap. 2
Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.
México: Ed. Internacional – Thomson Editores, sexta edición. 2000, cap.
2, secciones 2.6 y 2.7.
En el próximo fascículo trabajaremos algunas aplicaciones de las ecua-
ciones diferenciales para resolver problemas reales e interesantes; ha-
remos aplicaciones para mezcla de sustancias, circuitos eléctricos y
otras situaciones físicas.
5
15
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 10
Nombre_____________________________________________________________________
Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________
Ciudad __________________________________________ Semestre _________________
Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:
1. 0111 2 )(, ydx
dyxyxy
2. xxxeyyyee
dx
dy 1
22 21 ,
3. '''
yyy 2