Upload
karen-duque
View
243
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
TABLAS DE SISTEMAS LINEALES
Emilio Gago-Ribas
14 de enero de 2004
Índice general
I Señales y Sistemas de Variable Continua 1
1. Propiedades de la Distribución Delta de Dirac 3
2. Operadores y Distribuciones 5
3. Expresiones Importantes 7
3.1. Funciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Desarrollo en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4. Desarrollo en Serie de Fourier 9
4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2. Desarrollos de señales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5. Transformada de Fourier 11
5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2. Transformadas de señales aperiódicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3. Transformadas de señales periódicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6. Transformada de Laplace 13
6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.2. Transformadas de señales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II Señales y Sistemas de Variable Discreta 15
7. Parámetros de Señal 16
7.1. Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.2. Potencia instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.3. Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.4. Potencia media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ii
8. Expresiones Importantes 17
8.1. Sumatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.2. Desarrollo en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.4. Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9. Desarrollo en Serie de Fourier. 19
9.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9.2. Desarrollos de señales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10.Transformada de Fourier 21
10.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10.2. Transformadas de señales aperiódicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10.3. Transformadas de señales periódicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11.Transformada Z 23
11.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11.2. Transformadas de señales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
iii
iv
Parte I
Señales y Sistemas de VariableContinua
1
2
1. Propiedades de la Distribución Delta de Dirac
Unidades Inverso de las unidades de x
Desplazamiento δ(x− x0)
δ(x− x0) : f(x) −→ f(x0)Z ∞−∞
δ(x− x0)f(x)dx = f(x0)
Simetría δ(x− x0) = δ(x0 − x)δ(x− x0) = δ(x0 − x)
δ(x) = δ(−x)
Producto por una función f(x)δ(x− x0) = f(x0)δ(x− x0)f(x)δ(x) = f(0)δ(x)
xδ(x) = 0δ(x) = 0
Escalado var. independiente δ(ax) =1
|a|δ(x)
Primera derivada xδ0(x) = −δ(x)
Derivada n-ésima
Z ∞−∞
δ(n)(x)f(x) dx = (−1)nf (n)(0)
Relación con Γ(x) δ(x) =dΓ(x)
dxΓ(x) =
Z x
−∞δ(x0) dx0
Convolución f(x) ∗ δ(x− x0) = f(x− x0)f(x) ∗ δ(x) = f(x)
Γ(x) ∗ δ0(x) = δ(x) (*)
(*) Siendo δ0(x) y Γ(x) las respuestas al impulso asociadas a F = d/dx, y F−1 =R x−∞ dy.
3
4
2. Operadores y Distribuciones
Operador: F I(·) ≡ Identidad d(·)dx
d2(·)dx2
Z x
−∞(·) dy
Distribución: D(x) δ(x) δ0(x) δ00(x) Γ(x) ≡ U(x)
Como resp. al impulso:Z ∞−∞
f(x)D(x− x0)dx0f(x) f 0(x) f 00(x)
Z x
−∞f(x0)dx0
Definición:Z ∞−∞
f(x)D(x)dxf(0) −f 0(0) f 00(0)
Z ∞0
f(x)dx
Propiedad:Z ∞−∞
D(x)dx1 0 0 Divergente
Algunas sucesiones de funciones de buen comportamiento asociadas
f∆(x) g∆(x)
δ(x) 1∆√πe−x
2/∆2 ∆
π
1
x2 +∆2
δ0(x) −2∆3√πxe−x
2/∆2
δ00(x) 2∆3√π
³2x2
∆2 − 1´e−x
2/∆2
Γ(x) ≡ U(x) 12 +
1π tan
−1 ¡ x∆
¢
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
∆=0.5
∆=1.0
∆=2.0
f∆''(x)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0∆=0.5
∆=1.0
∆=2.0
f∆'(x)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2 f∆(x)
∆=0.5
∆=1.0
∆=2.0
5
6
3. Expresiones Importantes
3.1. Funciones importantes
a) Función sinc: sinc(x) =sinx
x.
b) Función sinc cuadrado: sinc2(x) =sin2 x
x2.
c) Convolución periódica: f0(x) ∗ g0(x) =ZhX0i
f0(y)g0(x− y) dy.
d) Convolución: f(x) ∗ g(x) =Z ∞−∞
f(y)g(x− y) dy.
3.2. Desarrollo en serie de Fourier
Señales f0(x) de período X0
Pulsación: ξ0 = 2π/X0 Frecuencia: f0 = 1/X0
ϕ0(x;m) = ejmξ0x, m ∈ Z
f0(x) =∞X
m=−∞a(m)ϕ0(x;m) a(m) =
1
X0
ZhX0i
f0(x)ϕ∗0(x;m) dx
3.3. Transformada de Fourier
Señales f(x) arbitrarias ϕ(x; ξ) = ejξx, ξ ∈ R
f(x) =1
2π
Z ∞−∞
F (ξ)ϕ(x; ξ) dξ F (ξ) =
Z ∞−∞
f(x)ϕ∗(x; ξ) dx
3.4. Transformada de Laplace
Señales f(x) arbitrarias ϕ(x; s) = esx, s ∈ C
f(x) =1
2πj
Z s0+j∞
s0−j∞F (s)ϕ(x; s) ds F (s) =
Z ∞−∞
f(x)e−sx dx
7
8
4. Desarrollo en Serie de Fourier
4.1. Propiedades
Linealidad αf0(x) + βg0(x) αa(m) + βb(m)
Desplazamiento f0(x− x0) a(m)e−jmξ0x0
Producto por una exponencial imaginaria f0(x)ejMξ0x a(m−M)
Conjugado de la función f∗0 (x) a∗(−m)
Reflexión f0(−x) a(−m)
Escalado variable indep. f0(ax), a > 0,X00 = X0/a a(m)
Convolución periódica f0(x) ∗ g0(x) X0a(m)b(m)
Modulación f0(x) · g0(x)∞X
k=−∞a(k)b(m− k)
Primera derivadadf0(x)
dxjmξ0a(m)
Derivada n-ésimadnf0(x)
dxn(jmξ0)
na(m)
Integración (finita y periódica si a0 = 0)
Z x
−∞f0(τ) dτ
1
jmξ0a(m)
Relación de Parseval
ZhX0i
|f0(x)|2 dx = X0
∞Xm=−∞
|a(m)|2
Funciones reales f0(x) real a(m) = a∗(−m)
4.2. Desarrollos de señales importantes
Exponencial imaginaria ejξ0x a(1) = 1; a(m 6= 1) = 0
Coseno cos ξ0x a(1) = 1/2; a(−1) = 1/2; a(m 6= ±1) = 0
Seno sin ξ0x a(1) = −j/2; a(−1) = j/2; a(m 6= ±1) = 0
Constante K ∈ C a(0) = K; a(m 6= 0) = 0
Tren de deltas δ0(x)1
X0, ∀m
Tren de pulsos de anchura ∆ < X0 P0,∆(x)∆
X0sinc
µmπ
∆
X0
¶Tren de triángulos de anchura ∆ < X0 T0,∆(x)
∆
2X0sinc2
µmπ
∆
2X0
¶
9
10
5. Transformada de Fourier
5.1. Propiedades
Linealidad αf(x) + βg(x) αF (ξ) + βG(ξ)
Desplazamiento f(x− x0) F (ξ)e−jξx0
Producto por exponencial imaginaria f(x)ejξ0x F (ξ − ξ0)
Conjugado de la función f∗(x) F ∗(−ξ)
Reflexión f(−x) F (−ξ)
Escalado de la variable indep. f(ax)1
|a|Fµξ
a
¶Convolución f(x) ∗ g(x) F (ξ)G(ξ)
Modulación f(x)g(x)1
2πF (ξ) ∗G(ξ)
Primera derivadadf(x)
dxjξF (ξ)
Derivada n-ésimadnf(x)
dxn(jξ)nF (ξ)
Integración
Z x
−∞f(y) dy
1
jξF (ξ) + πF (0)δ(ξ)
Producto por x xf(x) jdF (ξ)
dξ
Dualidad f(x)←→ F (ξ) F (x)←→ 2πf(−ξ)
Relación de Parseval E [f(x)] =
Zx
|f(x)|2 dx1
2π
Zξ
|F (ξ)|2 dξ =1
2πE [F (ξ)]
Funciones reales f(x) real F (ξ) = F ∗(−ξ)
11
5.2. Transformadas de señales aperiódicas importantes
Delta δ(x) 1
Delta desplazada δ(x− x0) e−jξx0
Heaviside Γ(x) πδ(ξ) +1
jξ
Pulso unidad de ancho ∆x P∆x(x) ∆x sinc
µξ∆x
2
¶Sinc
∆ξ
2πsinc
µx∆ξ
2
¶P∆ξ(ξ)
Triángulo unidad de ancho ∆x T∆x(x)∆x
2sinc 2
µξ∆x
4
¶Exponenciales e−αxΓ(x), Reα > 0 1
α+ jξ
xe−αxΓ(x), Reα > 01
(α+ jξ)2
xn−1
(n− 1)!e−αxΓ(x), Reα > 0
1
(α+ jξ)n
5.3. Transformadas de señales periódicas importantes
Período X0 ←→ ξ0 = 2π/X0 ←→ f0 = 1/X0
Exponencial imaginaria ejξ0x 2πδ(ξ − ξ0)
Coseno cos ξ0x πδ(ξ − ξ0) + πδ(ξ + ξ0)
Seno sin ξ0xπ
jδ(ξ − ξ0)−
π
jδ(ξ + ξ0)
Constante K 2πKδ(ξ)
DSF
∞Xm=−∞
a(m)ejmξ0x 2π∞X
m=−∞a(m)δ(ξ −mξ0)
Tren de deltas
∞Xn=−∞
δ(x− nX0)2π
X0
∞Xk=−∞
δ (ξ − kξ0)
Tren de pulsos de anchura ∆x P∆x(x)2π∆xX0
∞Xk=−∞
sinc
µkπ∆x
X0
¶δ (ξ − kξ0)
12
6. Transformada de Laplace
6.1. Propiedades
Linealidad αf(x) + βg(x) αF (s) + βG(s) Al menos RF ∩RGDesplazamiento f(x− x0) F (s)e−sx0 RF
Producto por exponencial f(x)es0x F (s− s0) RF desplazada
Escalado variable indep. f(ax)1
|a|F³ sa
´RF escalada
Convolución f(x) ∗ g(x) F (s)G(s) Al menos RF ∩RG
Primera derivadadf(x)
dxsF (s) Al menos RF
Derivada n-ésimadnf(x)
dxnsnF (s) Al menos RF
Integración
Z x
−∞f(y) dy
1
sF (s) Al menos RF ∩Res > 0
Producto por x −xf(x) dF (s)
dsRF
6.2. Transformadas de señales importantes
Delta δ(x) 1 ∀ s
Delta desplazada δ(x− x0) e−sx0 ∀ s
Heaviside ±Γ(±x) 1
sRes ≷ 0
xΓ(x)1
s2Res > 0
± xn−1
(n− 1)!Γ(±x)1
snRes ≷ 0
Exponenciales, α ∈ R ±e−αxΓ(±x) 1
s+ αRes ≷ −α
± xn−1
(n− 1)!e−αxΓ(±x)
1
(s+ α)nRes ≷ −α
Coseno a derechas [cos ξ0x]Γ(x)s
s2 + ξ20Res > 0
Seno a derechas [sin ξ0x]Γ(x)ξ0
s2 + ξ20Res > 0
Prod. coseno y exp. a derechas [e−αx cos ξ0x]Γ(x)s+ α
(s+ α)2 + ξ20Res > −α
Prod. seno y exp. a derechas [e−αx sin ξ0x]Γ(x)ξ0
(s+ α)2 + ξ20Res > −α
13
f(x) = e−axΓ(x), a ∈ R
0 1 2 3 4 5 60,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-a-a
a > 0
ROC-a
ξ
s'
| F(s) |
x
| f(x) |
0 1 2 3 4 5 6-1,00π
-0,75π
-0,50π
-0,25π
0,00π
0,25π
0,50π
0,75π
1,00π
ϕF(s)
ϕf(x)
x
-2,0-1,5
-1,0-0,5
0,00,5
1,0-2
-10
12
012345678
9
10
ξs'
-2,0-1,5
-1,0-0,5
0,00,5
1,0 -2-1
01
2
-0,75π
-0,50π
-0,25π
0,00π
0,25π
0,50π
0,75π
1,00π
ξs'
0 1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10ξ
s'
-aROC
-a-as'
|F(s)|
a < 0
x
|f(x)|
0 1 2 3 4
-0,75π
-0,50π
-0,25π
0,00π
0,25π
0,50π
0,75π
1,00π
ϕF(s)
x
ϕf(x)
-1,0-0,5
0,00,5
1,01,5
2,0 -2-1
01
2012345678
9
10
ξ
-1,0-0,5
0,00,5
1,01,5
2,0 -2-1
01
2
-0,75π
-0,50π
-0,25π
0,00π
0,25π
0,50π
0,75π
1,00π
14
Parte II
Señales y Sistemas de VariableDiscreta
15
7. Parámetros de Señal
7.1. Valor medio
Señal aperiódica finita hx(n)i = 1
N + 1
NXn=0
x(n)
Señal aperiódica infinita hx(n)i = lımN→∞
1
2N + 1
NXn=−N
x(n)
Señal periódica hx0(n)i =1
N0
Xn=<N0>
x0(n)
7.2. Potencia instantánea
pi(n) = x(n)x∗(n) = |x(n)|2
pi0(n) = x0(n)x∗0(n) = |x0(n)|
2
7.3. Energía
Señal aperiódica finita E [x(n)] =NPn=0
|x(n)|2
Señal aperiódica infinita E [x(n)] =∞P
n=−∞|x(n)|2 .
Señal periódica E [x0(n)] =∞P
n=hN0i|x0(n)|2
7.4. Potencia media
Señal aperiódica finita hpi(n)i =1
N + 1
NXn=0
|x(n)|2
Señal aperiódica infinita hpi(n)i = lımN→∞
1
2N + 1
NXn=−N
|x(n)|2
Señal periódica hpi0(n)i =1
N0
Xn=<N0>
|x0(n)|2
16
8. Expresiones Importantes
8.1. Sumatorios
a)NPn=0
rn =
⎧⎨⎩1− rN+1
1− rr 6= 1
N + 1 r = 1
.
b)NPn=1
rn =
⎧⎨⎩r − rN+1
1− rr 6= 1
N r = 1
.
c)1
2+
NPn=1
cosnα =sin£¡N + 1
2
¢α¤
2 sin³α2
´ .
d) Convolución periódica: x0(n) ∗ y0(n) =P
k=<N0>
x0(k)y0(n− k).
e) Convolución: x(n) ∗ y(n) =∞P
k=−∞x(k)y(n− k).
8.2. Desarrollo en serie de Fourier
Señales x0(n) de período N0
Ω0 =2π
N0Ω0k = kΩ0 = k
2π
N0
ϕ(n;m) = ejmΩ0n
x0(n) =X
m=<N0>
a(m)ϕ(n;m) a(m) =1
N0
Xn=<N0>
x0(n)ϕ∗(n;m)
8.3. Transformada de Fourier
Señales x(n) arbitrarias X(Ω) de período 2π ϕ(n;Ω) = ejΩn
x(n) =1
2π
ZΩ=<2π>
F (Ω)ϕ(n;Ω) dΩ X(Ω) =∞X
n=−∞x(n)ϕ∗(n;Ω)
8.4. Transformada Z
Señales x(n) arbitrarias ϕ(n; z) = zn
x(n) =1
2πj
IX(z)
zϕ(n; z) dz X(z) =
∞Xn=−∞
x(n)z−n
17
18
9. Desarrollo en Serie de Fourier.
9.1. Propiedades
Linealidad αx0(n) + βy0(n) αa(k) + βb(k)
Desplazamiento x0(n− n0) a(k)e−jkΩ0n0
Producto por exponencial imaginaria x0(n)ejMΩ0n a(k −M)
Conjugado de la función x∗0(n) a∗(−k)
Reflexión x0(−n) a(−k)
Escalado variable indep.período pN0
x0p(n) =
(f0(n/p) n mult. p
0 n no mult. p
1
pa(k)
Convolución periódica x0(n) ∗ y0(n) N0a(k)b(k)
Modulación x0(n) y0(n)
Xm=<N0>
a(m)b(k −m)
Primera diferencia x0(n)− x0(n− 1)¡1− e−jkΩ0
¢a(k)
Suma (finita y periódica si a(0) = 0)
nXp=−∞
x0(p)1
1− e−jkΩ0a(k)
Relación de Parseval
Xn=<N0>
|x0(n)|2 N0
Pk=<N0>
|a(k)|2
Funciones reales x0(n) real a(k) = a∗(−k)
9.2. Desarrollos de señales importantes
Exponencial imaginaria ejΩ0pn = ejpΩ0n a(k) = 1, k = p±mN0
Coseno cos(pΩ0n) a(k) = 1/2; k = ±p±mN0
Seno sin(pΩ0n)a(k) = −j/2; k = p±mN0
a(k) = j/2; k = −p±mN0
Constante K a(k) = K; k = 0±mN0
Tren de deltas δ0(n)1
N0, ∀k
Tren de pulsos (anchura 2N + 1) P0,2N+1(n)1
N0
sin£kΩ0
¡N + 1
2
¢¤sin¡kΩ02
¢
19
20
10. Transformada de Fourier
10.1. Propiedades
Linealidad αx(n) + βy(n) αX(Ω) + βY (Ω)
Desplazamiento x(n− n0) X(Ω)e−jΩn0
Producto por expon. imaginaria x(n)ejΩ0n X(Ω− Ω0)
Conjugado de la función x∗(n) X∗(−Ω)
Reflexión x(−n) X(−Ω)
Escalado variable indep. xp(n) =
(x(n/p) n mult. p
0 n no mult. pX (pΩ)
Convolución x(n) ∗ y(n) X(Ω) Y (Ω)
Modulación x(n) y(n)1
2πX(Ω) ∗ Y (Ω)
Primera diferencia x(n)− x(n− 1)¡1− e−jΩ
¢X(Ω)
Suma acumulativanX
p=−∞x(p)
1
1− e−jΩX(Ω) +
+πX(0)∞X
k=−∞δ(Ω− 2πk)
Producto por n nx(n) jdX(Ω)
dΩ
Relación de ParsevalXn
|x(n)|2 1
2π
ZΩ=<2π>
|X(Ω)|2 dΩ
Funciones reales x(n) real X(Ω) = X∗(−Ω)
21
10.2. Transformadas de señales aperiódicas importantes
Delta δ(n) 1
Delta desplazada δ(n− n0) e−jΩn0
Heaviside Γ(n)1
1− e−jΩ+ π
∞Xk=−∞
δ(Ω− 2πk)
Exponencial imaginaria ejΩ0n, Ω0/2π irracional 2π∞X
m=−∞δ(Ω− Ω0 − 2πm)
Pulso unidad de ancho 2N + 1 P2N+1(n)sin£¡N + 1
2
¢Ω¤
sin¡Ω2
¢Exponenciales anΓ(n), |a| < 1 1
1− ae−jΩ
(n+ 1)anΓ(n), |a| < 1 1
(1− ae−jΩ)2
(n+ p− 1)!n!(p− 1)! anΓ(n), |a| < 1 1
(1− ae−jΩ)p
10.3. Transformadas de señales periódicas importantes
Período N0 ←→ Ω0 =2π
N0←→ Ω0k = kΩ0
Exponencial imaginaria ejΩ0kn = ejkΩ0n 2π∞X
k=−∞δ(Ω− Ω0k − 2πk)
Coseno cos (Ω0kn)
π∞X
k=−∞δ(Ω− Ω0k − 2πk)+
+π∞X
k=−∞δ(Ω+Ω0k − 2πk)
Seno sin (Ω0kn)
π
j
∞Xk=−∞
δ(Ω− Ω0k − 2πk)−
−πj
∞Xk=−∞
δ(Ω+Ω0k − 2πk)
Constante K 2πK∞X
k=−∞δ(Ω− 2πk)
DSF∞X
m=−∞a(m)ejmΩ0n 2π
∞Xm=−∞
a(m)δ(Ω−mΩ0)
Tren de deltas δ0(n)2π
N0
∞Xm=−∞
δ (Ω−mΩ0)
Tren de pulsos (anchura 2N + 1) P0,2N+1(n) 2π∞X
m=−∞amδ (Ω−mΩ0)
22
11. Transformada Z
11.1. Propiedades
Linealidad αx(n) + βy(n) αX(z) + βY (z) Al menos RX ∩RYDesplazamiento x(n− n0) X(z)z−n0 RX (origen?)
Producto por exp.: ejΩ0n x(n)ejΩ0n X(e−jΩ0z) RX
Producto por exp.: zn0 x(n)zn0 X
µz
z0
¶|z0| RX
Producto por exp.: an x(n) an X³za
´|a|RX
Conjugado de la función x∗(n) X∗(z∗) RX
Reflexión x(−n) X
µ1
z
¶1
RX
Escalado variable indep. xp(n) =
½x(n/p) n = kp0 n 6= kp
X(zk) [RX ]1/k
Convolución x(n) ∗ y(n) X(z) Y (z) Al menos RX ∩RY
Suma acumulativa
nXp=−∞
x(p)1
1− z−1X(z) Al menos RF ∩ |z| > 1
Producto por n n x(n) −z dX(z)dz
RX
23
11.2. Transformadas de señales importantes
Delta δ(n) 1 ∀z
Delta desplazada δ(n− n0) z−n0 ∀z (¿z = 0,∞?)
Heaviside Γ(n)1
1− z−1|z| > 1
Γ(−n− 1) 1
1− z−1|z| < 1
Exponenciales anΓ(n)1
1− az−1|z| > |a|
n anΓ(n)az−1
(1− az−1)2|z| > |a|
−anΓ(−n− 1) 1
1− az−1|z| < |a|
−n anΓ(−n− 1) az−1
(1− az−1)2|z| < |a|
Coseno a derechas [cosΩ0n]Γ(n)1− z−1 cos (Ω0)
z−2 − 2z−1 cos (Ω0) + 1|z| > 1
Seno a derechas [sinΩ0n]Γ(n)z−1 sin (Ω0)
z−2 − 2z−1 cos (Ω0) + 1|z| > 1
Prod. coseno y exp. a derechas [an cosΩ0n]Γ(n)1− z−1a cos (Ω0)
a2z−2 − 2az−1 cos (Ω0) + 1|z| > a
Prod. seno y exp. a derechas [an sinΩ0n]Γ(n)z−1a sin (Ω0)
a2z−2 − 2az−1 cos (Ω0) + 1|z| > a
24
x(n) = anΓ(n)←→ 1
1− az−1; ROC = |z| > |a|.
Ejemplo dibujado: a = 1.
-2 -1 0 1 2-2-1012
0
2
4
6
8
10
|X(z)|
z''z'
-2-1
01
2 -2-1
01
2-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,52,02,53,0
|z|=|a|
z''
z'
|ϕX(z)|
z''z'
Transformada Z en módulo y fase.
25