Table Des Matieres

TABLE DES MATIERES

I -Introduction 8p.A - Contenu de ce document

1 - Formulation matricielle des lments I -12 - Simulation de l'emboutissage I - 2

B - Programmation1 - Logiciels gnraux I - 42 - Simulation de l'emboutissage I - 6

C - Notations principales I - 6

II - Structures de poutres 10 p.A - Treillis plan de barres

1 - Exemple H -12 - Matrice de rigidit - 23 - Assemblage n - 24 - Rsolution H - 3

B - Ossature plane de poutres1 - Matrice de rigidit n - 32 - Fonctions d'interpolation n - 43 - Charges en trave H - 54 - Rsolutions n - 65 - Matrice gomtrique n - 7

G - Complments1 - Rsum des principales notions n - 82 - Bibliographie du chapitre n n - 8

D - Exemple1 - Donnes n - 92 -Rsultats H-10

III - Elasticit plane et axisymtrie 14 p.A - Elment triangulaire dformation constante

1 - Matrice de rigidit m - 22 - Matrice de raideur gomtrique m - 3

i [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

B - Triangle isoparamtrigue 6 noeuds1 - Dformations m - 42 - Matrice de rigidit m - 53 - Contraintes m - 54 - Efforts quivalents m - 65 - Repre local en un noeud m - 7

G - Complments1 - Triangle 3 nuds m - 72 - Rsum des principales notions ni - 83 - Bibliographie du chapitre ni ni - 8

D Exemple 1 : "Poutre" encastre1 - Triangle 3 noeuds m - 92 - Triangle 6 noeuds ni - 93 - Conclusion m -11

E - Exemple 2 : Enveloppe paisse1 - Etude numrique in -122 - Etude thorique m -13

IV - Flexion des plaques 18 p.

A Prliminaires1 - Formulation variationnelle IV -12 - Proprits des lments IV - 2

B - Thorie de Kirchhoff1 - Exemple d'une plaque circulaire IV - 42 - Elments finis conformes IV - 63 - Elments non conformes IV - 6

C - Thorie de Mindlin1 - Exemple d'une plaque circulaire IV - 82 - Elment fini triangulaire SRI IV -10

D - Complments1 -Patch-test IV-132 - Intgration rduite IV -133 - Bibliographie du chapitre IV IV-16

E - Exemple : Plaque carre IV -17

ii [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

V - Coques 30 p.A Elment "CQii (Belytschko)

0 - Interpolation V - 21 - Membrane V - 22 - Flexion V - 33 -Cisaillement V-44 -- Etude des rotations et dplacements V - 55 - Matrice de raideur de l'lment V - 66 - Rsultats pour une plaque circulaire encastre . V - 77 - Exemple : hmisphre pinc V - 8

B - Elment DKT (Batoz)1 - Poutre droite V - 82 - Cts d'un triangle V - 83 - Triangle complet V - 94 - Matrice de raideur V -105 - w quadratique V -116 -wlinaire V-117 -Contraintes V-128 - Interpolation cubique de w V -139 -Supplments V-1310- Exemple : hmisphre pinc V -14

G - Assemblage d'lments plats1 - Repre local un lment V -162 - repre global la structure V -163 - Repre local un nud V -17

D - Elment courbe (Stolarski)0 - Blocage en membrane V - 211 - Poutre surbaisse sans cisaillement V - 212 - Elment triangulaire V - 233 - Exemple : cylindre pinc V - 254 - Autres exemples V - 275 -Conclusion V-28

E - Complments1 - Poutre avec cisaillement V - 292 - Bibliographie du chapitre V V - 30

iii [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

VI - Non linarit gomtrique 20 p.A Principe des puissances virtuelles

1 - Formes incrmentales VI -12 - Consquences pour un lment VI - 3

B - Programmation1 - Prsentation gnrale VI - 62 - Plaque circulaire appuye avec bords fixes VI - 83 - Plaque circulaire appuye avec bords libres VI -104 - Plaque avec flexion impose VI -11

G Complments1 - Critres de convergence VI -142 - Repre local un lment VI 143 - Etude thorique d'un exemple VI -164 - Bibliographie du chapitre VI VI -19

VII - Non linarit matrielle 12 p.A - Formulation matricielle

1 - Cas unidimensionnel vn -12 - Critre de Von Mises vn -13 - Critre de Hill V-4

B - Mise en oeuvre informatique1 - Procdures gnrales V - 62 - Mthode explicite de rabattement vn - 73 - Contraintes V - 9

C - Bibliographie du chapitre VII vn -11

VIII - Code dynamique explicite 10 p.A - Notions lmentaires

1 - Exemple unidimensionnel Vffl -12 - Expression matricielle Vffl - 23 - Cas d'une quation diffrentielle du second ordre VI - 2

B - Calcul des structures1 - Formulation matricielle VI - 32 - matrice masse : M VI - 53 - Estimation du pas de temps Vl - 64 -Complment vm-6

iv [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

G - Non-linarit due au contact1 - Pnalisation Vffl - 72 - Projection dynamique vm - 8

D - Bibliographie du chapitre VIII vm-10

Annexe I - Gnralits 14 p.A - Interpolations

1 - Interpolation linaire AI -12 - Interpolation quadratique AI - 2

B - Intgration numrique1 - Points d'intgration AI - 32 - Application des points de Gauss AI - 5

G - Intgration : longueur, surface, volume1 - Transformation AI - 72 - Application aux lments linaires AI - 83 - Exemples d'intgration numrique AI - 94 -Complment A1-10

D - Formulation d'un lment1 - Matrice de raideur AI -112 -Matrice "gomtrique" A1-133 - Efforts internes AI -134 - Matrice de masse AI -13

Annexe II - Structures de poutres 26 p.A - Treillis plan de barres

1 - Premier exemple A -12 - Second exemple A n - 33 - Flambement A n - 4

B - Ossature plane de poutres droites1 - Matrice de raideur A n - 52 - Matrice masse-consistante A n - 63 - Charges en trave A H - 84 - Dforme en flexion A H - 9

v [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

G Ossature de poutres - Statique1 -Donnes An-102 - Matrices An-103 - Systme linaire A H -114 - Efforts de liaison A n -115 - Efforts de connexion A n -11

D - Bifurcation d'quilibre1 -Dfinition A H-122 - Matrice gomtrique A n -123 - Exemple AH-13

E - Dynamique Vibrations libres1 - Mthode d'tude AH-152 - Exemple An-15

F - Vibrations forces par dplacement d'appui1 - Mouvement relatif A n -162 -Efforts AH-173 - Exemple A H-17

G - Vibrations forces - Sollicitation directe1 - Mthode d'tude A H-182 - Exemple AH-18

H - Complments1 -Vibrations AH-192 - Bifurcation AH-193 -Statique A H-19

I - Poutre 3D1 - Matrice de raideur A n -212 - Efforts quivalents A H -23

Annexe III - Elasticit plane et axisymtrie 8 p.A - Triangle trois noeuds

1 - Matrice de raideur A m -12 - Variation de temprature A ni - 2

B - Quadrilatre isoparamtrique1 - Caractristiques A m - 22 - Matrice de raideur A m - 33 - Exemple numrique A m - 4

vi [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

G - Triangle six noeuds1 - Matrice de raideur A ffl - 52 - Efforts quivalents A m - 53 - Modlisation d'un ct courbe A ffl - 6

D - Complments1 - Contraintes principales A ffl-72 - Extrapolation aux noeuds A ffl - 7

Annexe IV - Flexion des plaques 14 p.A - Rappels thoriques

1 - Plaque mince (Kirchhoff) AIV -12 - Plaque paisse (Mindlin) AIV - 2

B - Elments finis pour plaque mince (Kirchhoff)1 - Rectangle de Melosh A TV - 32 - Rectangle de Bogner (B16) AIV - 43 -Elments triangulaires AIV-5

C - Quadrilatre pour plaque paisse (Mindlin)1 - Matrice de raideur AIV - 82 - Intgration slective AIV - 93 - Intgration rduite AIV - 94 - Efforts quivalents pour une pression AIV-105 - Contraintes AIV -106 - Champ impos de dformations de cisaillement transversal AIV -11

D - Exemples1 - Exemple thorique AIV-122 - Exemple numrique AIV -13

E - Rfrences Aiv-14

Annexe V - Coques facettises 18 p.A-Elment TRUMP

1 - Poutre droite A V -12 -Triangle A V - 23 - Formulation de l'lment TRUMP A V - 54 - Elment de membrane - Etude prliminaire A V - 65 - Membrane - Elment TRUMP A V - 66 - Flexion A V - 6

vii [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

7 - Cisaillement A V - 78 - Matrice de raideur A V - 89 -Supplments A V - 810- Exemple : cylindre pinc avec extrmit libre A V -10

B - Elment quadrilatre1 - Repres locaux et raideur fictive A V -112 -Exemples AV-12

G - Complments1 - Poutre avec cisaillement (TRUMP) A V -142 - Poutre droite (DKT) AV-153 -Bibliographie AV-16

D - Exemples1 - Plaque rectangulaire encastre A V -172 - Plaque circulaire encastre AV-18

Annexe VI - Non linarit gomtrique 6 p.1 - Plaque avec torsion impose A VI -12 - Variantes de l'tude prcdente A VI - 23 - Hmisphre pinc A VI - 5

Annexe VII - Non-linarit matrielle 8 p.A - Critre en contraintes gnralises

1 -Intrt AVH-12 - Critre d'Ilyushin AVH-13 - Formulation matricielle A VU - 3

B - Tests lmentaires1 - Traction : effort impos A vn - 52 - Traction : dplacement impos A vn - 63 - Plaque elliptique A VH - 64 - Arc encastr A VU - 8

Annexe VIII - Code dynamique explicite 10 p.A - Complments thoriques

1 - Matrice masse-cohrente A vm -12 - Clrit du son A vm -1

viii [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

B - Exemple : Hydraulic Bulge Test A vm -1G - Exemples avec contact

1 - Emboutissage d'une bote carre A Vffl - 42 - Retour lastique d'un U A vm - 6

D - Bibliographie relative au contact Avm-10

ix [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

Chapitre I Gnralits

I - Introduction

A - Contenu de ce document

1 - Formulation matricielle d'lments finisRfrence dans les chapitres n V et dans les annexes I V, cette premire partie

regroupe les formulations matricielles utiles une programmation des lmentsconcerns et est organise pour aller du plus simple vers ce qui l'est moins...

La rdaction des chapitres et des annexes est prvue pour accompagner la parole d'unenseignant lors d'une prsentation de la mthode des lments finis dans le domaine ducalcul des structures... Il est ncessaire de garder l'esprit qu'il s'agit bien de faciliter unapprentissage et non de rinventer les excellents ouvrages de rfrence franais !

a - Structures barresLes premiers lments finis prsents sont des barres - dont l'assemblage donne des

treillis - puis des poutres assembles en ossatures.

La premire raison de ce choix est la possibilit de prsenter progressivement etaisment la mthode d'analyse des structures par lments finis en statique sans inflationdu discours mathmatique.

L'tude du phnomne de bifurcation d'quilibre met ensuite en vidence la notion dematrice gomtrique. Quant l'tude dynamique - ici par superposition modale - ellepeut tre considre comme une introduction la mthode de calcul dynamique explicite.

La seconde raison est la relative importance qu'occupent les fonctions de formecubiques propres aux poutres dans les formulations des lments de flexion des plaques :lment D/CT propos par Satozet lment "courbe" propos par Stolarski.

La troisime justification est propre l'lment TRUMP proche de l'assemblage detrois poutres - dont la matrice de raideur fait apparatre une vritable analogie, jusquedans les notations, avec celle d'une poutre droite o le cisaillement est pris en compte.

b - Elments pour lasticit plane et axisvmtriquePour prsenter simplement l'opration de discrtisation bidimensionnelle o la notion

d'lment est moins intuitive que pour les poutres, sont dtaills successivement l'lmenttriangulaire dformation constante et l'lment triangulaire isoparamtrique six nudsdont on retrouve en partie les fonctions d'interpolation dans l'lment DKT.

La prsentation de ces lments dans le cas d'une symtrie de rvolution figure aussien annexe ainsi que l'lment quadrilatre quatre nuds qui donne lieu, dans lesplaques, aux notions d'intgration rduite et slective (SRI).

1-1 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

Chapitre I Gnralits

c - Rappels sur la thorie des plaquesContrairement l'lasticit plane, un rappel thorique a t jug utile paralllement

la prsentation de quelques lments. Il permet de prciser les notations mais surtout demarquer la distinction entre la thorie de Kirchhoffel celle de Reissner-Mindlin.

Certains lments ne sont dcrits que partiellement, uniquement pour illustrer certainesnotions : lment "conforme" HCT (Hsieh, Clough, Tocher) et lment "non conforme" ZO(Zienkiewicz), par exemple.

En annexe, sont dcrits deux lments rectangulaires dont l'un fait intervenir desfonctions d'approximation connues (Hermite). L'lment quadrilatre est plus dtaill pourmettre en vidence les consquences de l'intgration rduite et de l'intgration slectivequi pourraient n'apparatre que comme des artifices numriques.

d - Coques facettisesComme prcis pralablement, le contenu des chapitres successifs est constitu des

connaissances minimales juges ncessaires la bonne comprhension des lmentsutiliss pour la modlisation des coques par facettes planes.

La formulation des lments triangulaires suivants a donc t dveloppe :- Elment SRI;- Elment C (Belytschko) ;- Elment DKT (Batoz) ;- Elment Courbe (Stolarski) ;- Elment TRUMP (Argyris.

2 - Formulations Implicite et Explicite

Les notions compltes relatives aux dformations (Green-Lagrange, Euler-Almansi) etaux contraintes (Cauchy, Piola-Kirchhoff) ne sont pas reprises ici puisqu'elles sontdtailles par ailleurs dans le cours : Analyse non-linaire des structures et il en est demme pour la thorie de la plasticit.

a - Non-linarit gomtriqueAfin de prciser convenablement la formulation Lagrangienne actualise, un para-

graphe est consacr au Principe de Puissances Virtuelles sous ses formes incrmentales.

Aprs la mise en vidence des notions de matrice gomtrique et d'effortsinternes , l'algorithme propre un code de type quasi-statique implicite est prcis.

f - Non-linarit matrielleOutre la formulation locale classique en plusieurs points dans l'paisseur, une

formulation du critre de plasticit en contraintes gnralises (efforts normaux etmoments de flexion) est propose. Elle reprend les travaux rcents de Grisard bass surle critre d'Ilyushin.


Chapitre I Gnralits

Ceci est justifi par le gain de temps de calcul d l'absence de plusieurs pointsd'intgration dans l'paisseur. Les rsultats correspondants sont jugs acceptables dansle cas de la mise en forme - aussi bien pour la phase d'emboutissage proprement dite quepour l'tude ultrieure d'un retour lastique - qui ncessite un maillage assez dense etdont la prcision est largement tributaire d'autres facteurs comme la gestion du contact dela tle avec son environnement.

c - Non-linrit due au contactCe type de non-linarit est prsent avec la formulation dynamique explicite largement

utilise dans les codes de mise en forme o les dplacements sont imposes par dessurfaces rigides et dans les codes fortement non-linaires (crash).

Sont brivement montres des surfaces actives, facettises ou non, issues de logicielsde C..A.O./D.A.O, soit sous forme facettise (fichiers STL) soit utilises directement avecles proprits des B-splines et des NURBS (fichiers IGES).

B - ProgrammationTous les rsultats de calculs numriques figurant dans ce document proviennent de

logiciels dvelopps spcifiquement.

1 - Logiciels gnrauxPrvus pour illustrer tous les chapitres et les annexes associes, ces logiciels de mise

en uvre simple ont aussi t labors avec le souci de les utiliser comme outils dedimensionnement en bureau d'tudes. Ils sont excutables sur tout "compatible" etaccompagns de manuels regroupant des exemples trs dtaills. La documentation estaussi fournie sous forme de fichiers *.Doc (Word 97).a - Poutres

Bien qu'utilisant la mthode des matrices de transfert, ce programme s'inscrit dansl'ensemble de logiciels ddis aux calculs par lments finis de structures lastiques.

- POUTRE : Poutre en flexion et traction avec chargement spatial;Les liaisons, fixes ou lastiques, combinent tous les blocages en translation et en

rotation quel que soit l'hyperstatisme. Ce programme recherche, dans des bibliothques,des profils rpondant un critre de contrainte ou de dplacement.

- ARBRE : Arbre en torsion, flexion et traction avec chargement spatial ;Toutes les liaisons lmentaires sont possibles (rotule, pivot, glissire, etc.) quel que soit

le degr d'hyperstaticit. Des roulements billes sont proposs et le calcul prend encompte le dplacement non linaire du centre de ces paliers.

b - Structures barresLa mthode est, ici, celle des dplacements. Comme pour le programme POUTRE,

des bibliothques de profils normaliss (HEA, IPE, etc.) sont fournies.1-3 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

Chapitre I Gnralits

-FERME: Treillis plan de barres articules ;Calcul en statique avec recherche de barres parmi des profils normaliss rpondant

un critre de contrainte maximale tenant compte du phnomne de flambement (Dutheil).- PORTIQUE : Ossature plane de barres articules ou non ;Calculs en statique, dynamique - vibrations libres et forces - et bifurcation d'quilibre.

g -Elments 2D pour lasticit. plane_ou axisvmtrie- EFT6 : Elments Finis Triangulaires isoparamtriques 6 nuds pour lasticit planeou tude axisymtrique ;

Calcul en statique. Maillage automatique avec nuds intermdiaires accessibles pour ydclarer efforts, liaisons et temprature ou les dplacer pour imposer des cts courbes.

- EFT3 : Elments Finis Triangulaires 3 nuds ;Mmes caractristiques que EFT6 mais les lments sont dformation constante.

d__- Flexion des plaques et calculs des coques- T3PLAQUE : Calcul lastique - non linaire gomtriquement - d'une plaque chargedans son plan (membrane) et perpendiculairement ce plan (flexion) ou d'une coque.

La saisie des donnes et l'dition des rsultats sont des modules graphiques limits auxplaques. Pour la gestion graphique de coques des macro-commandes destines aumodule surfacique du progiciel DMT10 sont fournies ainsi - comme EFT6 et EFT3 -qu'un interfaage DXF en entre et en sortie.

Les lments implments accessibles partir des menus sont les triangles DKT etTRUMP. En fait ce module de calcul est tendu d'autres lments (SRI, Belytschko,...)accessibles uniquement aux utilisateurs avertis...

En membrane, tous ces lments sont dformation constante. Cet effet peut prendreen compte les diffrences angulaires entre la normale la surface relle en un nud etles normales aux plans des lments connects en ce nud. Cette formulation rsultedes travaux de MM. Stolarski, Belytschko et Carpenter.

La documentation de ce programme est principalement constitue d'exemples prconi-ss pas les auteurs dj cits ainsi que par MM. MacnealL et Harder.

Ces exemples de plaques ou de coques - parfois en grands dplacements -permettent une comparaison avec des solutions thoriques. Quand il s'agit de calculs nonlinaires, sont prciss diffrents paramtres pouvant influer sur le rsultat (nombresd'incrments de chargement, valeurs du critre d'arrt des itrations, chargement initial).- SSPIaque :

Outre des modules graphiques de saisie de donnes et d'dition des rsultatssimilaires a ceux de TSPIaque, un code Statique Implicite permet de traiter avec l'lmentS3 les mmes exemples que ceux faisant intervenir les lments DKTel TRUMP.

Toutefois, ce module de calcul prend aussi en compte la plasticit et est accompagnd'un code Dynamique Explicite.

- Toutes les documentations des logiciels cits prcdemment sont regroupes dans undocument de quelque 300 pages qui fait le pendant de ce prsent document "thorique".


Chapitrel Gnralits

2 - Simulation de l'emboutissageLes modules de calcul "gnraux" dtaills prcdemment ont t dvelopps en

PASCAL pour favoriser la clart de la programmation et sont organiss en units auxinterfaces cohrentes afin de pouvoir y implmenter aisment tout nouvel lment.

Il en est de mme pour les codes Dynamique Explicite et Statique Implicite ddis la mise en forme qui sont donc aussi excutables dans une fentre DOS.

Cependant, pour une excution plus rapide (?) sur station de travail dans le cas demaillages trs denses, ces codes ont t retranscrits. Par souci d'clectisme, le codeDynamique Explicite a t retranscrit en C++ et le code Statique Implicite en FORTRAN...

C - Notations principales

a - Notations communesw : travail virtuelA, 1 : aire de l'lmentUe : vecteur des dplacements nodaux en base globaleFe : vecteur des efforts nodaux en base globaleKe : matrice de rigidit de l'lment Fe = Ke.UeKJJ : sous - matrice relative aux noeuds i et jJ"1 : inverse de la matrice JacobienneN : matrice ligne des fonctions d'interpolation des dplacementsN*: matrice ligne des fonctions d'interpolation des coordonnesO : contraintes sous forme d'un vecteur0 : contraintes sous forme d'une matrice carre symtrique : dformations sous forme d'un vecteur8 : dformations sous forme d'une matrice carre symtrique

b - Poutres droitesui, vi : dplacements du nud i en base localeNi, Ti: efforts - en base locale - exercs par le nud i sur l'lment.9i, Mi: angle et moment au noeud i

"Nil Tuil r- 1 r -i r- -i

FH= Ti Oi= Vi t = SUS.S Fe = Ke.e_MiJ [e>J LFHj LKji KjiJLUjJ

c - Elments de membranee: vecteur des dplacements virtuels nodaux en base globalee: dplacements nodaux en base globale dans cet ordre e = \ l


Chapitre I Gnralits

d - Elments de flexioni, vi, wi : dplacements virtuels du noeud i en base locale/\Ue: vecteur des dplacements virtuels nodaux en base localeUe: vecteur des dplacements nodaux en base locale

fVee: dplacements nodaux en base locale dans cet ordre e = < OeW. e>

Ve: vecteur des dplacements nodaux dans le plan de l'lment@e : vecteur des angles de rotation nodaux en base locale l'lmentWe: vecteur des dplacements nodaux perpendiculaires au plan de l'lment

Fe: vecteur des efforts nodaux en base locale l'lmentfN-iF Efforts nodaux en base locale dans cet ordre F = < ML >C C I C

IQ.JNe: vecteur des efforts nodaux dans le plan de l'lmentMe: vecteur des moments nodaux en base locale l'lmentQe: vecteur des efforts nodaux perpendiculaires au plan de l'lment

"C \e IC "^vv ^ve "^vw

Ke = Kev Kee Kew Fe=Ke .UeK K K

_

fxvw "^wO "^ww _

Dm : matrice de comportement pour les effets de membraneDb : matrice de comportement pour les effets de flexion (bending)Ds : matrice de comportement pour les effets de cisaillement (shear)*B : matrice transpose de la matrice BKm : matrice de rigidit relative aux de membrane Km = JJ !Bm.Dm,BmBdS

Kb : matrice de rigidit relative aux de flexion Kb = JJ tBb.Db8Bb.dS

Ks : matrice de rigidit relative aux de cisaillement Ks = JJ tBs.Ds.Bs.dSN, M, Q : contraintes gnralises

e Autres notations

{ } : matrice-colonne (ex. {d@}){ ) : matrice-ligne (ex. (6e))[ ] : matrice carre ou rectangulaire (ex. [Ke]).


Page de titreTable des matiresI - IntroductionA - Contenu de ce documentB - ProgrammationC - Notations principales

II - Structures de poutresIII - Elasticit plane et axisymtrieIV - Flexion des plaquesV - CoquesVI - Non linarit gomtriqueVII - Non linarit matrielleVIII - Code dynamique expliciteAnnexes

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