Upload
nguyenkhanh
View
230
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Zawartość
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 2 [email protected]
Zawartość 1. Rozkład normalny ....................................................................................................................... 3 2. Rozkład normalny standardowy ................................................................................................. 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ ........ 6 4. Przedział ufności dla średniej ..................................................................................................... 7 5. Przedział ufności dla odchylenia standardowego ...................................................................... 8 6. Przedział ufności dla wskaźnika struktury ................................................................................. 9 7. Test dla średniej w populacji generalnej .................................................................................. 10 8. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach ....................................................................... 11 9. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji ......................................................................... 12 9. Test dla wariancji w populacji generalnej ................................................................................ 13 10. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen. ...................................................................... 14 11. Test zgodności χ2 .................................................................................................................... 15 12. Test niezależności χ2 .............................................................................................................. 16 14. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1) .......................................................................... 17 15. Rozkład t-Studenta. Wartości krytyczne ................................................................................ 18 16. Rozkład χ2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne ........................................................................ 19 13. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne ................................................................................ 20
1. Rozkład normalny
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 3 [email protected]
1. Rozkład normalny
Funkcja gęstości rozkładu normalnegoFunkcja gęstości rozkładu normalnegoFunkcja gęstości rozkładu normalnegoFunkcja gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości rozkładu normalnego dana jest wzorem:
���� = 1��2 ��� ������� ((((1111))))
Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego prezentuje rys. 1.
Rys. 1. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego — krzywa Gaussa (krzywa dzwonowa)
WłaściwośćWłaściwośćWłaściwośćWłaściwość funkcji gęstościfunkcji gęstościfunkcji gęstościfunkcji gęstości Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjparametrami m i σ, przyjparametrami m i σ, przyjparametrami m i σ, przyjmie mie mie mie wartości z przedziwartości z przedziwartości z przedziwartości z przedziału [A ; B], ału [A ; B], ału [A ; B], ału [A ; B], jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod wykresem funkcjiwykresem funkcjiwykresem funkcjiwykresem funkcji gęstości pomiędzy punktami A i Bgęstości pomiędzy punktami A i Bgęstości pomiędzy punktami A i Bgęstości pomiędzy punktami A i B (rys. 2)(rys. 2)(rys. 2)(rys. 2)....
��� ∈ ��;��� = � ��������
((((2222))))
Rys. 2. Sposób wykorzystania funkcji gęstości do określania prawdopodobieństwa
σ
f(x)f(x)f(x)f(x)
m A B
Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość z przedziału [A;B] jest równe polu
pod wykresem funkcji gęstości w tym
przedziale
σ
f(x)f(x)f(x)f(x)
m
Oznaczenia Parametry rozkładuParametry rozkładuParametry rozkładuParametry rozkładu N(m, σ)
m średnia (jednocześnie maksimum funkcji)
σ odchylenie standardowe zmiennej
1. Rozkład normalny
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 4 [email protected]
Dystrybuanta rozkładu normalnegoDystrybuanta rozkładu normalnegoDystrybuanta rozkładu normalnegoDystrybuanta rozkładu normalnego
Dystrybuanta rozkładu normalnego dana jest wzorem:
���� = ������� = ��
� 1��2 ��� ������� �� �� ((((3333))))
Wartość dystrybuanty w punkcie x jest równa polu powierzchni pod wykresem funkcji gęstości (całce oznaczonej) w przedziale od -∞ do x (porównaj tablica na str. 17). Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego prezentuje rys. 3.
Rys. 3. Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego
Właściwość dystrybuantyWłaściwość dystrybuantyWłaściwość dystrybuantyWłaściwość dystrybuanty Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny zPrawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjmie parametrami m i σ, przyjmie parametrami m i σ, przyjmie parametrami m i σ, przyjmie wartości z przedziału [Awartości z przedziału [Awartości z przedziału [Awartości z przedziału [A ;;;; B]B]B]B],,,, jest równe jest równe jest równe jest równe różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach.różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach.różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach.różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach.
��� ∈ ��;��� = ���� − ���� ((((4444))))
Rys. 4. Sposób wykorzystania dystrybuanty do określania prawdopodobieństwa
FFFF(x)(x)(x)(x) 1
B A
F(F(F(F(AAAA))))
F(F(F(F(BBBB))))
PPPP
FFFF(x)(x)(x)(x)
m
1
0,5
Oznaczenia Parametry rozkładuParametry rozkładuParametry rozkładuParametry rozkładu N(m, σ)
m średnia
σ odchylenie standardowe zmiennej
2. Rozkład normalny standardowy
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 5 [email protected]
2. Rozkład normalny standardowy Rozkład normalny standardowy to rozkład normalny z parametrami m = 0 i σ = 1. Funkcja gęstości rozkładu normalnego standardowego dana jest wzorem:
�� � = 1�2 ��!�� ((((5555))))
Rys. 5. Funkcja gęstości rozkład normalnego standardowego N(0;1)
Zwyczajowo zmienną mającą rozkład normalny z tymi parametrami oznacza się symbolem Z.
Standaryzacja zmiennejStandaryzacja zmiennejStandaryzacja zmiennejStandaryzacja zmiennej Jeżeli Jeżeli Jeżeli Jeżeli zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym σ, to σ, to σ, to σ, to prawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [Aprawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [Aprawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [Aprawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [A ; B]; B]; B]; B],,,, jest równe jest równe jest równe jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziałuprawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziałuprawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziałuprawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziału [[[[zzzzAAAA ; ; ; ; zzzzBBBB]]]]::::
" � = � −#� $;$ � = � −#� % ((((6666))))
Ten zabieg matematyczny nazywa się standaryzacją zmiennejstandaryzacją zmiennejstandaryzacją zmiennejstandaryzacją zmiennej.
σ =1
f(zf(zf(zf(z))))
m = 0
zzzz
3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 6 [email protected]
3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych
o rozkładzie norm. z parametrami m i σ
Tab. 1 Dane wejściowe mmmm Średnia analizowanej zmiennej o rozkładzie normalnym σσσσ Odchylenie standardowe tej zmiennej AAAA Lewy kraniec przedziału, dla którego liczone jest prawdopodobieństwo BBBB Prawy kraniec przedziału, dla którego liczone jest prawdopodobieństwo
ProceduraProceduraProceduraProcedura
4. Interpolacja wartości kryt. dla df spoza tablic
Tab. 2 Dane wejściowe FFFF2222, df, df, df, df2222 Znana wartość krytyczna (F2) dla większej liczby stopni swobody df2 FFFF1111, df, df, df, df1111 Znana wartość krytyczna (F1) dla mniejszej liczby stopni swobody df1 F, dfF, dfF, dfF, df Poszukiwana wartość krytyczna dla zadanych df stopni swobody
� = �� − �&��� − ��& ��� − ��&� ((((7777))))
1. Obliczyć standaryzowane krańce przedziałów zA i zB
� = �−#� $ � = �−#� $2. Znaleźć wartość dystrybuanty
rozkładu normalnego standardowego w punktach A’ i B’
odczytując F(zA) i F(zB) z tablic
lub korzystając z funkcji arkusza kalkulacyjnego
F(zA) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(zA) F(zB) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(zB)
' = �� �� − �� ��$3. Obliczyć szukane prawdopodobieństwo p
5. Przedział ufności dla średniej
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 7 [email protected]
5. Przedział ufności dla średniej
Tab. 3 Dane wejściowe xxxxśrśrśrśr Średnia obliczona z próby
σσσσ ssss ŝŝŝŝ
Jedno z odchyleń: odchylenie standardowe w populacji generalnej (o ile jest znane) odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, N) odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, N–1)
nnnn Liczebność próby 1111––––αααα Zakładany poziom ufności (bardzo często równy 0,95)
αααα Prawdopodobieństwo popełnienia błędu — w oparciu o poziom ufności p = 1p = 1p = 1p = 1----α/2α/2α/2α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności
ProceduraProceduraProceduraProcedura
Ocena możliwości wnioskowaniaOcena możliwości wnioskowaniaOcena możliwości wnioskowaniaOcena możliwości wnioskowania
� B < 5% — duża precyzja oszacowania, można wynik uogólniać wynik na populację generalną,
� B od 5% do 10 % — należy ostrożnie uogólniać wynik na populację generalną, � B > 10 % — nie należy uogólniać wyniku na populację generalną lub robić to
z zastrzeżenie o wysokim błędzie względnym.
3. Znaleźć wart. krytyczną
z1-α/2 dla p = 1–α/2
z rozkładu normalnego standardowego
3. Znaleźć wart. krytyczną
z1-α/2 dla p = 1–α/2
z rozkładu normalnego standardowego
( = &�)/� ∙ ��,$4. Obliczyć szerokość
przedziału ufności c
( = &�)/� ∙ -�,$( = &�)/� ∙ -.�,$
4. Obliczyć szerokość
przedziału ufności c
lub
� = (�ś0 �∙ 100%�$5. Wyznaczyć przedział ufności dla średniej i błąd względny B
przedział ufności to: �ś0 ± (, a zatem ��ś0 − ($; $�ś0 + (�
3. Znaleźć wart. krytyczną
t1-α/2; n-1 dla p=1–α/2
i df = n–1 stopni swobody z rozkładu t-Studenta
( = 5&�)/�;$6�& ∙ -�, − 1$( = 5&�)/�;6�& ∙ -.�,$
4. Obliczyć szerokość
przedziału ufności c
lub
2. Czy n ≥ 30
NIENIENIENIE
1. Czy znane jest σ — odchylenie standardowe zmiennej w populacji generalnej?
TAKTAKTAKTAK TAKTAKTAKTAK
n ≥ 30NIENIENIENIE n<30
6. Przedział ufności dla odchylenia standardowego
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 8 [email protected]
6. Przedział ufności dla odchylenia standardowego
Tab. 4 Dane wejściowe ssss ŝŝŝŝ
Jedno z odchyleń: odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, metodą N) odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, metodą N–1)
nnnn Liczebność próby 1111----αααα Zakładany poziom ufności (bardzo często równy 0,95) αααα Prawdopodobieństwo popełnienia błędu — z przeliczenia powyższego
pppp1111 = 1= 1= 1= 1----α/2α/2α/2α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności pppp2222 = α/2= α/2= α/2= α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności
ProceduraProceduraProceduraProcedura
Ocena możliwości wnioskowania — podobnie, jak w przypadku przedziału ufności dla średniej.
2. Jak obliczono
odchylenie z próby?
3. Znaleźć wart. krytyczną
z1-α/2 dla p = 1–α /2
z rozkładu normalnego standardowego
3. Znaleźć wartości krytyczne
χ2
1-α/2; n–1 dla p1 =1–α/2
χ2
α/2; n–1 dla p2 = α/2
z rozkładu χ2 dla df = n–1 stopni swobody
( = &�)/� ∙ -�2,$
4. Obliczyć szerokość
przedziału ufności dla
odchylenia standardowego c (& = ,-�7&�)/�;$6�&� $(� = ,-�7)/�;$6�&� $
4. Obliczyć przedział ufności
dla wariancji (c1 ; c2)
� = (- �∙ 100%�$
5. Wyznaczyć przedział
ufności i błąd względny B przedział ufności to: - ± (,
a zatem �- − ($; $- + (�
1. Czy próba była duża (n ≥ 30)?
(& = �, − 1�-.�7&�)/�;$;$6�&� $(� = �, − 1�-.�7)/�;$;$6�&� $
4. Obliczyć przedział ufności
dla wariancji (c1 ; c2)
TAKTAKTAKTAK n ≥ 30 s = ŝ
NIENIENIENIE n < 30 jakojakojakojako
skorygowaneskorygowaneskorygowaneskorygowane (n-1)
jakojakojakojakozwykłezwykłezwykłezwykłe
(n)
� = �(� − �(&2- �∙ 100%�$
5. Wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia
standardowego i błąd względny B
przedział ufności dla odchylenia st. to: ��(&$;$�(��
7. Przedział ufności dla wskaźnika struktury
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 9 [email protected]
7. Przedział ufności dla wskaźnika struktury
Tab. 5 Dane wejściowe wwww Wskaźnik struktury (frakcja, częstość względna) obliczony z próby nnnn Liczebność próby (powinna być wielka >120 jednostek)
1111----αααα Zakładany poziom ufności (zazwyczaj 0,95) αααα Prawdopodobieństwo popełnienia błędu — z przeliczenia powyższego
p = p = p = p = 1111----α/2α/2α/2α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności
ProceduraProceduraProceduraProcedura
Ocena możliwości wnioskowania — podobnie, jak w przypadku przedziału ufności dla średniej. .
2. Zwykły sposób szacowania
( = &�)/� ∙ 89�1 − 9�, $3. Obliczyć szerokość przedziału ufności c
� = (9 �∙ 100%�$4. Wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury i błąd względny B
przedział ufności to: 9 ± (, a zatem �9 − ($; $9 + (�
1. Znaleźć wart. krytyczną
z1-α/2 dla p = 1–α /2
z rozkładu normalnego standardowego
2. Ostrożny sposób szacowania
( = &�)/� ∙ 12�,$3. Obliczyć szerokość przedziału ufności c
8. Test dla średniej w populacji generalnej
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 10 [email protected]
8. Test dla średniej w populacji generalnej
Tab. 6 Dane wejściowe xxxxśrśrśrśr Średnia obliczona z próby
σσσσ ssss ŝŝŝŝ
Jedno z odchyleń: odchylenie standardowe w populacji generalnej (o ile jest znane) odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, N) odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, N–1)
nnnn Liczebność próby mmmm0000 Testowana wartość średnia w populacji generalnej αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu
Wybór testu statystycznegoWybór testu statystycznegoWybór testu statystycznegoWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testoweji obliczenie wartości testoweji obliczenie wartości testoweji obliczenie wartości testowej
Weryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezWeryfikacja hipotez testowychtestowychtestowychtestowych
1. Test dla hipotez
H0: m ≥ m0
H1: m < m0
1. Test dla hipotez
H0: m = m0
H1: m ≠ m0
:0;< = ) = −� &�)�$5:0;< = 5);6�& = −=5&�);6�&>$
2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. lewostronnylewostronnylewostronnylewostronny
dla p = α lub
dla p = α i df = n–1 st. swobody
:0;< =$ &�)/�$5:0;< = 5&�)/�;6�&$
2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. obustronny obustronny obustronny obustronny
dla p = 1–α/2 lub
dla p = 1–α/2 i df = n–1 st. swobody
1. Test dla hipotez
H0: m ≤ m0
H1: m > m0
:0;< =$ &�)$5:0;< = 5&�);6�&$
2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny prawostronny prawostronny prawostronny
dla p = 1–α lub
dla p = 1–α i df = n–1 st. swobody
5<?@< ≤$ 5:0;< $
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy <?@< ≤$ :0;<$$
lub B5<?@<B ≥ $ 5:0;<$
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy B <?@<B ≥ $ :0;< $$
lub 5<?@< ≥$ 5:0;< $
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy <?@< ≥$ :0;<$$
lub
2. Czy n ≥30
NIENIENIENIE
3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny
3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny
-DE = ��,$4. Obliczyć sX
-DE = -�, $FGHI$-DE = -.�,$4. Obliczyć sX
1. Czy znane jest σ — odchylenie standardowe cechy w populacji generalnej?
3. Test T Wart. testowa ma rozkład t-Studenta
-DE = -�, − 1 $FGHI$-DE = -.�,$4. Obliczyć sX
TAKTAKTAKTAK TAKTAKTAKTAK
n ≥ 30NIENIENIENIE n < 30
<?@< = �ś0 −#J-DE $5. Obliczyć wartość testową (sprawdzian) ztest
5<?@< = �ś0 −#J-DE $5. Obliczyć wartość ttest
9. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 11 [email protected]
9. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach
Tab. 7 Dane wejściowe xxxx1111śrśrśrśr, x, x, x, x2222śrśrśrśr Średnie obliczone z dwóch prób, pochodzących z dwóch populacji
σσσσ1111,,,, σσσσ1111 ŝŝŝŝ1111, , , , ŝŝŝŝ2222
Jedne z odchyleń: odchylenia standardowe w obu populacjach (o ile jest znane) odchylenia standardowe obliczone z obu prób (skorygowane, N-1)
nnnn1111, n, n, n, n2222 Liczebność obu prób αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu
Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej
Weryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowych
1. Test dla hipotez
H0: m1 ≥ m2
H1: m1 < m2
1. Test dla hipotez
H0: m1 = m2
H1: m1 ≠ m2
:0;< = ) = −� &�)�$5:0;< = 5);KL = −=5);KL>$
2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. lewostronnylewostronnylewostronnylewostronny
dla p = α lub
dla p = α i df = n1+n2–1 st. swobody
:0;< =$ &�)/�$5:0;< = 5&�)/�;KL$
2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. obustronny obustronny obustronny obustronny
dla p = 1–α/2 lub
dla p = 1–α/2 i df = n1+n2–1 st. swobody
1. Test dla hipotez
H0: m1 ≤ m2
H1: m1 > m2
:0;< =$ &�)$5:0;< = 5&�);KL$
2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny prawostronny prawostronny prawostronny
dla p = 1–α lub
dla p = 1–α i df = n1+n2–1 st. swobody
5<?@< ≤$ 5:0;< $
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy
<?@< ≤$ :0;<$$lub B5<?@<B ≥ $ 5:0;<$
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy B <?@<B ≥ $ :0;< $$
lub
5<?@< ≥$ 5:0;< $
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy
<?@< ≥$ :0;<$$lub
2. Czy n1 i n2 ≥ 30
NIENIENIENIE
3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny
3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny
-DE = 8�&�,& + ���,� $4. Obliczyć sX
-DE = 8-.&�,& + -.��,�$4. Obliczyć sX
1. Czy znane są σ1 i σ2 — odchylenia standardowe cech w obu populacjach generalnych?
3. Test T Wart. testowa ma rozkład t-Studenta
-DE = 8,&-.&� + ,�-.��,& + ,� − 2 ∙ M 1,& + 1,�N$
4. Obliczyć sX
TAKTAKTAKTAK
TAKTAKTAKTAKn1 i n2 ≥ 30
NIENIENIENIE n1 lub n2 < 30 zał.: σ1 = σ2
<?@< = �&ś0 − ��ś0-DE $5. Obliczyć wartość testową (sprawdzian) ztest
5<?@< = �&ś0 − ��ś0-DE $5. Obliczyć wartość ttest
10. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 12 [email protected]
10. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji
Tab. 8 Dane wejściowe xxxxiiii, , , , yyyyiiii Zestaw par danych dla tych samych jednostek z tej samej populacji
zzzziiii Zestaw przyrostów zi = yi – xi zzzzśrśrśrśr Przyrost średni sssszzzz Odchylenie standardowe przyrostów (zwykłe, N) nnnn Liczebność próby αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu
Wybór testu Wybór testu Wybór testu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejstatystycznego i obliczenie wartości testowejstatystycznego i obliczenie wartości testowejstatystycznego i obliczenie wartości testowej
Weryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowych
1. Test dla hipotez
H0: mz ≥ 0
H1: mz < 0
1. Test dla hipotez
H0: mz = 0
H1: mz ≠ 0
5:0;< = 5);6�& = −=5&�);6�&>$2. Znaleźć wartość krytyczną
Obszar kryt. lewostronny
dla p = α i df = n–1 st. swobody
5:0;< = 5&�)/�;6�&$2. Znaleźć wartość krytyczną
Obszar kryt. obustronny obustronny obustronny obustronny
dla p = 1–α/2 i df = n–1 st. swobody
1. Test dla hipotez
H0: mz ≤ 0
H1: mz > 0
5:0;< = 5&�);6�&$2. Znaleźć wartość krytyczną
Obszar kryt. prawostronny prawostronny prawostronny prawostronny
dla p = 1–α i df = n–1 st. swobody
5<?@< ≤$ 5:0;< $
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy
<?@< ≤$ :0;<$$lub B5<?@<B ≥ $ 5:0;<$
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy B <?@<B ≥ $ :0;< $$
lub
5<?@< ≥$ 5:0;< $
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy
<?@< ≥$ :0;<$$lub
1. Test T Wart. testowa ma rozkład t-Studenta
5<?@< = ś0-! �, − 1$2. Obliczyć wartość testową ttest
11. Test dla wariancji w populacji generalnej
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 13 [email protected]
11. Test dla wariancji w populacji generalnej
Tab. 9 Dane wejściowe
ssss2222 ŝŝŝŝ2222
Jedna z wariancji wariancja obliczona z dużej próby (zwykła, N) wariancja obliczona z dużej próby (skorygowane, N–1)
nnnn Liczebność próby σσσσ22220000 Testowana wartość wariancji w populacji generalnej αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu
Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej
Weryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezWeryfikacja hipotezyyyy testowtestowtestowtestowejejejej
1. Test dla hipotezy
H0: σ2 = σ
20
H1: σ2 > σ
20
:0;< =$ &�)$7:0;<� = 7&�);6�&� $
2. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronnyprawostronnyprawostronnyprawostronny
dla p = 1–α lub
dla p = 1–α i df = n–1 st. swobody
7<?@<� >$7:0;<� $
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy
<?@< >$ :0;<$$lub
2. Test χ Wartość testowa ma rozkład χ2
1. Czy badana próba była duża (n ≥ 30)?
2. Test Z Wartość testowa ma rozkład normalny
TAK, n ≥ 30NIE, n < 30
7<?@<� = ,-��J� $
7<?@<� = �, − 1�-.��J� $
3. Obliczyć wartość testową χ2
test
lub
<?@< = 82,-��J� −�2, − 3$
<?@< = 82�, − 1�-.��J� −�2, − 3$
3. Obliczyć wartość testową ztest
lub
12. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen.
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 14 [email protected]
12. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen.
Tab. 10 Dane wejściowe wwwwpppp Wskaźnik struktury obliczony z próby wwww0000 Testowana wartość wskaźnika struktury w populacji generalnej nnnn Liczebność próby (powinna być wielka > 120) αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu
Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowejWybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej
Weryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowychWeryfikacja hipotez testowych
1. Test dla hipotez
H0: w ≥ w0
H1: w < w0
1. Test dla hipotez
H0: w = w0
H1: w ≠ w0
:0;< = ) = −� &�)�$2. Znaleźć wartość krytyczną
Obszar kryt. lewostronnylewostronnylewostronnylewostronny
dla p = α
:0;< =$ &�)/�$2. Znaleźć wartość krytyczną
Obszar kryt. obustronny obustronny obustronny obustronny
dla p = 1–α/2
1. Test dla hipotez
H0: w ≤ w0
H1: w > w0
:0;< =$ &�)$2. Znaleźć wartość krytyczną
Obszar kryt. prawostronny prawostronny prawostronny prawostronny
dla p = 1–α
3. Zweryfikować hipotezy H0 można odrzucić, gdy
<?@< ≤$ :0;<$$3. Zweryfikować hipotezy
H0 można odrzucić, gdy B <?@<B ≥ $ :0;< $$3. Zweryfikować hipotezy
H0 można odrzucić, gdy
<?@< ≥$ :0;<$$
1. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny
-Q = 89J�1 − 9J�, $2. Obliczyć sw
<?@< = 9R −9J-Q $3. Obliczyć wartość testową ztest
13. Test zgodności χ2
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 15 [email protected]
13. Test zgodności χ2
Tab. 11 Dane wejściowe
[n][n][n][n] Badany rozkład cechy z częstościami bezwzględnymi ni (np. rozkład empiryczny z próby)
[np][np][np][np] Rozkład odniesienia z częstościami bezwzględnymi npi
(np. teoretyczny rozkład cechy) iiii Ilość wartości (wariantów) cechy, na przykład ilość klas αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu
ProceduraProceduraProceduraProcedura
1. Hipotezy testowe
H0: oba rozkłady są zgodne
H1: oba rozkłady są niezgodne (są różne)
7<?@<� = S�,T − ,'T��,'TT$
2. Obliczyć wartość testową (sprawdzian testu) χ2
test
Do obliczenia wartości testowej można posłużyć sie tabelą:
Wartość
cechy
Częstości
rozkładu
badanego
n
Częstości
rozkładu
odniesienia
np
χ2
xxxx1111 n1 np1 χ21
xxxx2222 n2 np2 χ21 ............ ... ... ... xxxxiiii ni npi χ2i χχχχ2222testtesttesttest ==== ΣΣΣΣ χχχχ2222iiii
3. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny $7:0;<� = 7&�);T�&� $
dla p = 1–α i df = i–1 st. swobody
7<?@<� >$7:0;<� $4. Zweryfikować hipotezy
H0 można odrzucić, gdy
14. Test niezależności χ2
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 16 [email protected]
14. Test niezależności χ2
Tab. 12 Dane wejściowe
[n][n][n][n] Tablica korelacyjna rozkładu empirycznego dwóch cech X i Y z częstościami bezwzględnymi ni
[np][np][np][np] Tablica rozkładu cech teoretycznie niezależnych X i Y iiii Ilość wartości cechy X jjjj Ilość wartości cechy Y αααα Poziom istotności testu (zazw. 0,05) — prawdopodob. popełnienia błędu
Zasada kZasada kZasada kZasada konstrukcjonstrukcjonstrukcjonstrukcjiiii tablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnychtablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnychtablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnychtablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnych
n: X \ Y y1 y2 ... yj Sumy
xxxx1111 n11 n12 ... n1j Σn1j
xxxx2222 n21 n22 ... n2j Σn2j ............ ... ... ... ... ... xxxxiiii ni1 ni2 nij Σnij
SumSumSumSumyyyy Σni1 Σni1 ... Σnij N
np: X \ Y y1 y2 ... yj
xxxx1111 U,TV ∙ U,&VW $ itd.
xxxx2222 ............ xxxxiiii
Podobnie, dla każdego pola tabeli np należy wykorzystać sumy z odpowiadających mu wierszy i kolumn w tabeli n.
ProceduraProceduraProceduraProcedura
1. Hipotezy testowe
H0: obie cechy są niezależne
H1: obie cechy są zależne
7<?@<� = S=,TV − ,'TV>�,'TVTV$
2. Obliczyć wartość testową (sprawdzian testu) χ2
test
Jest to suma pól tablicy χ2
3. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronnyprawostronnyprawostronnyprawostronny $7:0;<� = 7&�);KL� $
dla p = 1–α i df = (i-1)(j-1) st. swobody
7<?@<� >$7:0;<� $4. Zweryfikować hipotezy
H0 można odrzucić, gdy
7� = =,TV − ,'TV>�,'TV $2. Zbudować tablicę χ
2
Dla każdej odpowiadającej sobie pary pól z tablicy n i np obliczyć
15. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1)
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 17 [email protected]
15. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1) Tablica zawiera wartości F(z) — dystrybuanty rozkładu normalnego, standardowego z parametrami m=0 (średnia) i σ=1 (odchylenie standardowe). Wartość dystrybuanty w punkcie z to pole pod krzywą gęstości rozkładu normalnego w przedziale od -∞ do z.
zzzz 0000 0,010,010,010,01 0,020,020,020,02 0,030,030,030,03 0,040,040,040,04 0,050,050,050,05 0,060,060,060,06 0,070,070,070,07 0,080,080,080,08 0,090,090,090,09
0000,0,0,0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,10,10,10,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,20,20,20,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,30,30,30,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,40,40,40,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,50,50,50,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,60,60,60,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,70,70,70,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,80,80,80,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,90,90,90,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1111,0,0,0,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,11,11,11,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,21,21,21,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,31,31,31,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,41,41,41,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,51,51,51,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,61,61,61,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,71,71,71,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,81,81,81,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,91,91,91,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2222,0,0,0,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,12,12,12,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,22,22,22,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,32,32,32,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,42,42,42,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,52,52,52,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,62,62,62,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,72,72,72,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,82,82,82,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,92,92,92,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3333,,,,0000 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,13,13,13,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,23,23,23,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,33,33,33,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,43,43,43,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3,53,53,53,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
F(z) — pole pod krzywą N(0;1) od -∞ do z
��X ∈ ��;��� = ���� − ����$��− � = 1 − �� �$
Prawdopodobieństwo, że Z należy do przedziału [A; B]:
Wartości F dla ujemnych z:
z
16. Rozkład t-Studenta. Wartości krytyczne
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 18 [email protected]
16. Rozkład t-Studenta. Wartości krytyczne Tablica zawiera wartości odwróconej dystrybuanty (wartości krytyczne) rozkładu t-Studenta. Dla danej ilości stopni swobody (df) oraz zadanego prawdopodobieństwa pokazuje wartość zmiennej t.
PrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwo
pppp 0,90,90,90,9 0,950,950,950,95 0,9750,9750,9750,975 0,980,980,980,98 0,990,990,990,99 0,9950,9950,9950,995 0,9990,9990,9990,999 0,99950,99950,99950,9995
Istotność Istotność Istotność Istotność αααα = 2(1= 2(1= 2(1= 2(1----p)p)p)p) dwustronny ob. kr.dwustronny ob. kr.dwustronny ob. kr.dwustronny ob. kr.
0,20,20,20,2 0,10,10,10,1 0,050,050,050,05 0,040,040,040,04 0,020,020,020,02 0,010,010,010,01 0,0020,0020,0020,002 0,0010,0010,0010,001
Istotność Istotność Istotność Istotność α = (1α = (1α = (1α = (1----p)p)p)p) jednostronny ob. kr.jednostronny ob. kr.jednostronny ob. kr.jednostronny ob. kr.
0,0,0,0,1111 0,0,0,0,05050505 0,00,00,00,025252525 0,00,00,00,02222 0,00,00,00,01111 0,00,00,00,005050505 0,000,000,000,001111 0,000,000,000,0005050505
df = df = df = df = 1111 3,0777 6,3138 12,7062 15,8945 31,8205 63,6567 318,3088 636,6192
2222 1,8856 2,9200 4,3027 4,8487 6,9646 9,9248 22,3271 31,5991
3333 1,6377 2,3534 3,1824 3,4819 4,5407 5,8409 10,2145 12,9240
4444 1,5332 2,1318 2,7764 2,9985 3,7469 4,6041 7,1732 8,6103
5555 1,4759 2,0150 2,5706 2,7565 3,3649 4,0321 5,8934 6,8688
6666 1,4398 1,9432 2,4469 2,6122 3,1427 3,7074 5,2076 5,9588
7777 1,4149 1,8946 2,3646 2,5168 2,9980 3,4995 4,7853 5,4079
8888 1,3968 1,8595 2,3060 2,4490 2,8965 3,3554 4,5008 5,0413
9999 1,3830 1,8331 2,2622 2,3984 2,8214 3,2498 4,2968 4,7809
10101010 1,3722 1,8125 2,2281 2,3593 2,7638 3,1693 4,1437 4,5869
11111111 1,3634 1,7959 2,2010 2,3281 2,7181 3,1058 4,0247 4,4370
12121212 1,3562 1,7823 2,1788 2,3027 2,6810 3,0545 3,9296 4,3178
13131313 1,3502 1,7709 2,1604 2,2816 2,6503 3,0123 3,8520 4,2208
14141414 1,3450 1,7613 2,1448 2,2638 2,6245 2,9768 3,7874 4,1405
15151515 1,3406 1,7531 2,1314 2,2485 2,6025 2,9467 3,7328 4,0728
16161616 1,3368 1,7459 2,1199 2,2354 2,5835 2,9208 3,6862 4,0150
17171717 1,3334 1,7396 2,1098 2,2238 2,5669 2,8982 3,6458 3,9651
18181818 1,3304 1,7341 2,1009 2,2137 2,5524 2,8784 3,6105 3,9216
19191919 1,3277 1,7291 2,0930 2,2047 2,5395 2,8609 3,5794 3,8834
20202020 1,3253 1,7247 2,0860 2,1967 2,5280 2,8453 3,5518 3,8495
21212121 1,3232 1,7207 2,0796 2,1894 2,5176 2,8314 3,5272 3,8193
22222222 1,3212 1,7171 2,0739 2,1829 2,5083 2,8188 3,5050 3,7921
23232323 1,3195 1,7139 2,0687 2,1770 2,4999 2,8073 3,4850 3,7676
24242424 1,3178 1,7109 2,0639 2,1715 2,4922 2,7969 3,4668 3,7454
25252525 1,3163 1,7081 2,0595 2,1666 2,4851 2,7874 3,4502 3,7251
26262626 1,3150 1,7056 2,0555 2,1620 2,4786 2,7787 3,4350 3,7066
27272727 1,3137 1,7033 2,0518 2,1578 2,4727 2,7707 3,4210 3,6896
28282828 1,3125 1,7011 2,0484 2,1539 2,4671 2,7633 3,4082 3,6739
29292929 1,3114 1,6991 2,0452 2,1503 2,4620 2,7564 3,3962 3,6594
30303030 1,3104 1,6973 2,0423 2,1470 2,4573 2,7500 3,3852 3,6460
40404040 1,3031 1,6839 2,0211 2,1229 2,4233 2,7045 3,3069 3,5510
50505050 1,2987 1,6759 2,0086 2,1087 2,4033 2,6778 3,2614 3,4960
60606060 1,2958 1,6706 2,0003 2,0994 2,3901 2,6603 3,2317 3,4602
80808080 1,2922 1,6641 1,9901 2,0878 2,3739 2,6387 3,1953 3,4163
100100100100 1,2901 1,6602 1,9840 2,0809 2,3642 2,6259 3,1737 3,3905
120120120120 1,2886 1,6577 1,9799 2,0763 2,3578 2,6174 3,1595 3,3735
150150150150 1,2872 1,6551 1,9759 2,0718 2,3515 2,6090 3,1455 3,3566
200200200200 1,2858 1,6525 1,9719 2,0672 2,3451 2,6006 3,1315 3,3398
300300300300 1,2844 1,6499 1,9679 2,0627 2,3388 2,5923 3,1176 3,3233
400400400400 1,2837 1,6487 1,9659 2,0605 2,3357 2,5882 3,1107 3,3150
500500500500 1,2832 1,6479 1,9647 2,0591 2,3338 2,5857 3,1066 3,3101
600600600600 1,2830 1,6474 1,9639 2,0582 2,3326 2,5840 3,1039 3,3068
700700700700 1,2828 1,6470 1,9634 2,0576 2,3317 2,5829 3,1019 3,3045
800800800800 1,2826 1,6468 1,9629 2,0571 2,3310 2,5820 3,1005 3,3027
900900900900 1,2825 1,6465 1,9626 2,0567 2,3305 2,5813 3,0993 3,3014
1000100010001000 1,2824 1,6464 1,9623 2,0564 2,3301 2,5808 3,0984 3,3003
∞∞∞∞ 1,2816 1,6449 1,9600 2,0537 2,3263 2,5758 3,0902 3,2905
17. Rozkład χ2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne
19
17. Rozkład χ2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne Tablica zawiera wartości odwróconej dystrybuanty (wartości krytyczne) rozkładu chi-kwadrat. Dla danej ilości stopni swobody (df) oraz zadanego prawdopodobieństwa pokazuje wartość zmiennej χ2.
Prawd.Prawd.Prawd.Prawd. pppp = 1= 1= 1= 1---- αααα
0,0050,0050,0050,005 0,010,010,010,01 0,0250,0250,0250,025 0,050,050,050,05 0,10,10,10,1 0,20,20,20,2 0,80,80,80,8 0,90,90,90,9 0,950,950,950,95 0,9750,9750,9750,975 0,990,990,990,99 0,9950,9950,9950,995
αααα = = = = 1111----pppp prawostr.prawostr.prawostr.prawostr. ob. kryt.ob. kryt.ob. kryt.ob. kryt.
0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,8 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005
df = df = df = df = 1111 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 1,642 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879
2222 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,446 3,219 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597
3333 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,005 4,642 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838
4444 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,649 5,989 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860
5555 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,343 7,289 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750
6666 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,070 8,558 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548
7777 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 3,822 9,803 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278
8888 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 4,594 11,030 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955
9999 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,380 12,242 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589
10101010 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,179 13,442 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188
11111111 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 6,989 14,631 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757
12121212 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 7,807 15,812 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300
13131313 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 8,634 16,985 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819
14141414 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 9,467 18,151 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319
15151515 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 10,307 19,311 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801
16161616 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,152 20,465 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267
17171717 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,002 21,615 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718
18181818 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 12,857 22,760 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156
19191919 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 13,716 23,900 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582
20202020 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 14,578 25,038 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997
21212121 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 15,445 26,171 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401
22222222 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 16,314 27,301 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796
23232323 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 17,187 28,429 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181
24242424 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 18,062 29,553 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559
25252525 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 18,940 30,675 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928
26262626 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 19,820 31,795 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290
27272727 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 20,703 32,912 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645
28282828 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 21,588 34,027 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993
29292929 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 22,475 35,139 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336
30303030 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 23,364 36,250 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672
40404040 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 32,345 47,269 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766
50505050 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 41,449 58,164 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490
60606060 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 50,641 68,972 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952
70707070 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 59,898 79,715 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215
80808080 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 69,207 90,405 96,578 101,879 106,629 112,329 116,321
90909090 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 78,558 101,054 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299
100100100100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 87,945 111,667 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169
110110110110 75,550 78,458 82,867 86,792 91,471 97,362 122,250 129,385 135,480 140,917 147,414 151,948
120120120120 83,852 86,923 91,573 95,705 100,624 106,806 132,806 140,233 146,567 152,211 158,950 163,648
150150150150 109,142 112,668 117,985 122,692 128,275 135,263 164,349 172,581 179,581 185,800 193,208 198,360
200200200200 152,241 156,432 162,728 168,279 174,835 183,003 216,609 226,021 233,994 241,058 249,445 255,264
300300300300 240,663 245,972 253,912 260,878 269,068 279,214 320,397 331,789 341,395 349,874 359,906 366,844
400400400400 330,903 337,155 346,482 354,641 364,207 376,022 423,590 436,649 447,632 457,305 468,724 476,606
500500500500 422,303 429,388 439,936 449,147 459,926 473,210 526,401 540,930 553,127 563,852 576,493 585,207
18. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 20 [email protected]
18. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne
Rozkład normalnyRozkład normalnyRozkład normalnyRozkład normalny
Dystrybuanta rozkładu normalnego
TabliceTabliceTabliceTablice W tablicy znaleźć wartość poszukiwanego prawdopodobieństwa p, odczytać z pierwszej kolumny i nagłówka tablicy wartość zp
Arkusz Arkusz Arkusz Arkusz kalk.kalk.kalk.kalk.
=ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(p)
Rozkład tRozkład tRozkład tRozkład t----StudentaStudentaStudentaStudenta
Wartości kryt. rozkładu t-Studenta
TabliceTabliceTabliceTablice
Odczytać z tablicy wartość bezpośrednio dla danego prawdopodobieństwa p (lub odpowiadającej mu istotności α) i df stopni swobody
Arkusz Arkusz Arkusz Arkusz kalk.kalk.kalk.kalk.
Wartość krytyczna dla p =ROZKŁAD.T.ODW(2*(1-p); df) Wartość krytyczna obustronna dla istotności α =ROZKŁAD.T.ODW(α; df) Wartość krytyczna jednostronna dla istotności α =ROZKŁAD.T.ODW(2*α; df) dla danej ilości stopni swobody df
RRRRozkład ozkład ozkład ozkład χχχχ2222
Wartości kryt. rozkładu χ2
TabliceTabliceTabliceTablice
Odczytać z tablicy wartość bezpośrednio dla danego prawdopodobieństwa p (lub odpowiadającej mu istotności α) i df stopni swobody
Arkusz Arkusz Arkusz Arkusz kalk.kalk.kalk.kalk.
Wartość krytyczna dla p =ROZKŁAD.CHI.ODW((1-p); df) Wartość krytyczna prawostr. dla istotności α =ROZKŁAD. CHI.ODW(α; df) dla danej ilości stopni swobody df
p = 1 – α
Przykładowa wartość krytyczna lewostronna
p = α
z1–α zα
= – (z1–α)
z
f(z)
p = 1 – α
Przykładowa wartość krytyczna obustronna
p = α/2
t1–α/2
tα/2
= – (t1–α/2)
t
p = α/2
f(t)
p = 1 – α
Przykładowa wartość krytyczna prawostronna
χ21–α
χ2
p = α
f(χ2)