Tafazol Final 02

جناب آقاي دكتر محمدرضا توكلي زاده

تقديم به پدرم كه چراغ راهم بوده وهست

عمران مهندسي در آن كاربرد و محدود تفاضل روش

تاجيك محمد ، اميرمهاني مظفرپور، محمدرضا

[email protected]

: زا هژيو ركتش اب

0F

1

استاد دانشگاه فردوسی مشهد و دانشگاه آزاد واحد علوم و تحقيقات خراسان رضوی ۱

محمدرضا مظفرپور

1 روش تفاضل محدود و كاربرد آن در مهندسي عمران

ه نام يزدان داناب

روش تفاضل محدود و كاربرد آن در مهندسي عمران محمدرضا مظفرپور، اميرمهاني ، محمد تاجيك

[email protected]

:چكيده

معادالت لحنيازمند ،نها آرو و در برخي تحليل هاي مهندسي و پس از مدل سازي در حل بسياري از مسائل پيشلذا .ستيم كه حل اين مسائل با روش هاي كالسيك يا خيلي دشوار بوده يا ميسر نميباشدديفرانسيل از مراتب باال ه

،روش هاي حل عددي كه به حل تقريبي مسئله ها منجر ميشود و سرعت محاسبات را بسيار افزايش ميدهند1Fيكي از اين روش هاي حل عددي نيرومند، روش تفاضل محدود .جايگزين روش هاي كالسيك شده اند

.دشميبا 22Fايده و تفكر اين روش جايگزين كردن معادالت ديفرانسيل پاره اي

3Fي ناظر و معادالت شرايط مرز 3

با معادالت ،4در نهايت به يك دستگاه چند معادله و چند مجهول جبري خواهيم رسيد كه بدون زحمت . تفاضل محدود ميباشد

جم محاسبات وبه منظور افزايش سرعت از نرم البته با توجه به افزايش ح. و دردسرهاي رياضي حل ميگردند .وغيره استفاده مي شود Ansys , Flac, Matlab افزارهاي مختلف همچون

حل عددي –گره –تحليل خطا –مولكول محاسباتي –تفاضل محدود : كليد واژه

2 FEM : Finite Difference Method 3 PDE : Partial Differential Equations 4 BCE : Boundary Condition Equations

روش تفاضل محدود و كاربرد آن در مهندسي عمران 2 مقدمه -1

بيان رياضي با هببسياري از پديده هاي فيزيكي حل هك شوندداده ميمعادالت ديفرانسيل،نمايش

بسياري از اين معادالت ديفرانسيل با استفاده از روش بررسي وتحليل چنين لذا . هاي تحليلي ممكن نيست

سازي فيزيكي و هايي به دو روش مدلپديدهمدل سازي فيزيكي . گيردعددي انجام مي يزاسمدل

يك پديده ها عموماً كار مشكل و پر هزينه وهمچنين گاهي ساخت مدل هاي با بار مصرف است و

لذا . باشدمشخصات واقعي يا كوچكتر ممكن نميرويكرد غالب در اين گونه موارد به منظور حل

ياهروش از استفاده معادالت ديفرانسيل پيچيده،البته . و يا اصطالحا روش هاي عددي است يبيرقت

قدرت كامپيوتر در حل سريع حجم انبوه محاسبات روش هاي عددي را دوچندان انگيزه ي استفاده از

معرفي به مود در اين مقاله و در بخش. كندمي محدود روش عددي تفاضل

4F

روش محاسبات و ، 5رفتار ارتعاشي موسدر بخش . ردازيمدقت آنها مي پ

پيك را با استفاده از روش تفاضل وارتوتر ورقهايتحليل ميكنيم و نتايج حاصل را راهچمحدود و مرتبه

در .مقايسه خواهيم كرد Ansys با كمك نرم افزارروش اختالف محدود تعميم يافته را ،ارهچبخش

معرفي كرده و با استفاده از آن به حل عددي معادله .پواسون خواهيم پرداخت

:حدودروش تقاضل م -2

: تعريف مشتق با استفاده از تعريف -1-2

سيل را با معادالت ديفران ،روش تفاضل محدودمل مشتق با معادالت جايگزين كردن عبارات شا

. دل آنها،تقريب خواهد زداتفاضلي تقريبا مع

5 Finite Difference Method

ميدانيم كه مشتق اول يك تابع با تعريف رياضي .خواهد بود

𝑓 ́ (𝑎) = limℎ→0

𝑓(𝑎 + h) − 𝑓(𝑎)h

دل آن به فرم زير اكه يك عبارت تفاضلي تقريبا مع .خواهد بود

𝑓 ́ (𝑎) ≈ limℎ→0

𝑓(𝑎 + h) − 𝑓(𝑎)h

. hكوچك البته براي مقادير

تعريف مشتق با استفاده از سري تيلور .2-2

:دانيمدر سري تيلور مي

𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0) +𝑓 ́ (𝑥0)

1!ℎ + ⋯

+𝑓(𝑛)(𝑥0)

𝑛!ℎ𝑛 + 𝑅𝑛(𝑥)

مقدار اختالف موجود در مقادير اصلي 𝑅𝑛كه در آن خواهد 𝑛 ن زده شده با سري تيلور از مرتبه وتخمي

:حال اگر فقط مشتق اول را در نظر بگيريم داريم. بود

𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓 ́ (𝑥0)ℎ + 𝑅1(𝑥)


:ردن جبري خواهيم داشتوپس از ساده ك

𝑓 ́ (𝑎) =𝑓(𝑎 + h) − 𝑓(𝑎)

h −𝑅1(𝑥)

h

خواهيم 𝑅1(𝑥)كه براي مقادير به حد كافي كوچك :داشت

𝑓 ́ (𝑎) ≈𝑓(𝑎 + h)− 𝑓(𝑎)

h

:معادالت تفاضل محدود.3-2

:الگوي تفاضل محدود به صورت زير است

← قعددي مشت تقريب ←معادالت ديفرانسيل معادالت تفاضالت محدود

.توان نوشتمطابق نمودار مي

) FD(تفاضل پيشرو

𝑓 ́ (𝑥0) ≅𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

)BD(تفاضل پسرو

𝑓 ́ (𝑥0) =𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ∆𝑥)

∆𝑥

)CD(تفاضل مركزي

𝑓 ́ (𝑥0) =𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0 − ∆𝑥)

2∆𝑥

كوچك باشد ميتوان مقدارمشتق را برابر نسبت hاگر .اختالف مقدار تابع به اختالف طول ها در نظر گرفت

�𝑑𝑓𝑑𝑥� =

1ℎ�𝑓1 − 𝑓0�

𝑑𝑓𝑑𝑥

≅∆𝑓

ℎ=

1ℎ

(𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥))

.نوشت توانبه فرم زير ميلذا تفاضالت محدود را

Forward-Difference تفاضل پيشرو

�𝑑𝑓𝑑𝑥� ≅

1ℎ�𝑓1 − 𝑓0�

Backward-Difference تفاضل پسرو

�𝑑𝑓𝑑𝑥� ≅

1ℎ�𝑓0 − 𝑓 1- �

Central- Difference تفاضل مركزي

�𝑑𝑓𝑑𝑥�0≅

1

2ℎ�𝑓1 − 𝑓 1- �

𝑓�∆تفاضل پيشرو = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

𝑓∆ تفاضل پسرو = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ℎ)

𝑓∆تفاضل مركزي =12

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 − ℎ)]

روش تفاضل محدود و كاربرد آن در مهندسي عمران 4 مشتق دومتعريف عددي .4-2

به طور مشابه مشتق دوم تابع را نيز ميتوان تقريب .زد

𝑑2𝑓

𝑑𝑥2=

𝑑𝑑𝑥

= �

تفاضل دوم پسرو

= 𝑓0 − 2𝑓 1- + 𝑓 2-

تفاضل دوم مياني

تقريب بهتر

:معادالت تفاضل محدود در دو بعد.5-2

12 الي 0مقادير تابع در نقاط 4ابق شكل اگر مط :معلوم باشد مقادير تقريبي مشتق ها عبارتند از

4شكل

معادله الپالس و تقريب عددي آن . 6-2

.باشددانيم معادله ي الپالس به فرم زير ميمي

در جهت تقريبا مشتق با توجه به مطالب گفته شده

.به تقريب زير خواهيم رسيد 4دوم و شكل

و با توجه به


.خواهيم داشت

:شبكه و گره.7-2

مالحظه كرديد كه نياز داريم مقادير تابع را در نقاط براي راحتي كار از سيستم شبكه . خاص داشته باشيم

اهد بندي استفاده كرده كه بسيار شبكه گرانبها خوشكل (.كنيمها محاسبه ميگرهبود و مقادير تابع را در

)چند نمونه شبكه بندي را نشان ميدهد 5

5ماره شكل ش

:ا تقريب و خط.8-2

ميزان دقت و خطاي حاصل از تقريب مشتق اول و .نشان داده شده است 1دوم در جدول

فرم تانسوري تقريب مشتق .9-2

ب هاي مشتق اول و دوم در هر دو بعد نشان تقريبصورت ،نشان داده شده است 6 شده در شكل داده

.آورده شده است 2تانسوري در جدول

1جدول شماره

6شكل شماره

روش تفاضل محدود و كاربرد آن در مهندسي عمران 6

2جدول شماره

:مولكول محاسباتي.10-2

هاي مورد نياز براي بدست بندي و گرهئي از شبكه زجآوردن مقداري خاص را مولكول محاسباتي

براي حل معادله طلوبمولكول محاسباتي م.ندگويكه در آن مربع گره اي است . انتشار را نشان ميدهد

و دايره گره اي معلوم است تقريباً در آن fكه تابع .است كه تابع در آن نا معلوم است

7شكل شماره

تحليل خطا. 11-2

دقت را باال كاهش اندازه مشها در شبكه بندي هچرگا. تواند بسيار كوچك انتخاب شودميبرد ولي ن يم

خطاي گردكردن تحت تاثير ،كاهش زياد ابعاد شبكه توابع زياد محاسباتي را افزايش مي دهد و نيز انتخاب

دقت محاسبات را كاهش شبكه با ابعاد بزرگ نيزاي از لذا محدوده مناسب در حالت بهينه .دهدمي

8كل اندازه مشها قرار خواهد گرفت كه در نمودار ش .به تصوير كشيده شده است

تحليل خطاي ناشي از شبكه بندي و محدوده مجاز : 8شكل

FDMاستفاده از

در 4استفاده از روش تفاضل محدود مرتبه -3هاي مستطيل تحليل عددي رفتار ارتعاشي ورق

شكل ارتوتروپيك رفتار عمومي ورق ها .1-3

ت آن در ورق سازه اي است مسطح كه ضخام اين . قياس با ساير ابعادش بسيار كوچك مي باشد

ويژگي باعث خميده شدن آسان ورق تحت نيروهاي


جانبي شده و از اين رو مي توان با بكارگيري معادالت االستيسته دو بعدي به بررسي رفتار تنش و كرنش در

.ورق ها پرداخت

با فرض ارتوتروپيك بودن ورق، كوچك بودن تغيير اي نسبي و قابليت صرف نظر كردن از ترمهاي مكانه

معادله ورق (غير خطي، معادله كلي حركت ورق ، بار )k( با احتساب اثر تكيه گاه االستيك ) كارمن

بصورت زير ) T(و اثر بار حرارتي ) q(خارجي اعمالي .آيدبدست مي

)1(

سختي خمشي ورق Dضخامت ورق، hدر رابطه فوق :باشند و داريمبار حرارتي مياثر 𝑀𝑇و

اينرسي چرخشي ورق 𝐼2، عبارت )1(در رابطه باشد كه با توجه به تاثير آن در فركانسهاي باال، مي

. شودنظر ميمعموالً در فركانسهاي پايين از آن صرفبراي بدست آوردن معادله ارتعاشي حاكم بر ورق، تابع

:شودتغيير مكان به صورت زير فرض مي

)9 ( 𝑤0(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑤(𝑥,𝑦)𝑒𝑖𝜔𝑡

𝑖فوق در رابطه = طبيعي فركانس ω و 1−√به پاسخ حالت گذرا گرفتن نظر در مي باشد با

:فرم زير

)10 (𝑤0(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑤(𝑥, 𝑦)𝑇(𝑡)

گاه ساده در حالتي كه هر چهار لبه ورق بر روي تكيه به ترتيب طول و عرض ورق bو aقرار داشته و

:باشند، مي توان نوشت

)11 (

فركانس هاي طبيعي ورق ارتوتروپيك مستطيل شكل صرف نظر كردن از ممان چرخشي با لبه هاي خطي و

ساده سازي و ) 1(در ) 10(و ) 9(، با جايگذاري روابط :الزم بصورت زير بدست مي آيد

)12 (

(𝜔�𝑚𝑖𝑛)در نهايت فركانس طبيعي بي بعدشده ورق :برابر است با

)13 (

)۲(

)۵(

)۶(

)7(

)8(

)۳(

)۴(


هاي با لبه حل عددي معادله ارتعاشي ورق .2-3 خطي

مرتبه –فرموالسيون تفاضل مركزي )3-2-الف 2خطاي

با 2خطاي مرتبه با مركزي تفاضل معادله استفاده از تعريف مشتق تابع به صورت زير بدست

:آيدمي

)14(

هاي را براي يك ورق ارتوتروپيك با لبه) 1(معادله ، 𝐼2خطي و صرف نظر از ممان اينرسي چرخشي

تكيه گاه االستيك، بار حرارتي و بار خارجي، مي توان :بصورت زير بازنويسي نمود

با استفاده از تغيير متغيرهاي الزم، در نهايت معادله تروپيك با شرايط ذكر شده باال به ارتعاشي ورق ارتو

:آيدصورت زير بدست مي

:در رابطه فوق داريم

)17(

)18(

)19(

)20(

)21(

با توجه به ارتوتروپيك بودن رفتار ورق، مولكولهاي با مرتبه 4محاسباتي الزم براي مشتقات مرتبه

بدست 3 الي 1 شكل هاي در O(h2)خطاي :آمده اند

بر 4تي تفاضل مركزي براي مشتق مرتبه مولكول محاسبا): 1(شكل

Xحسب

بر 4مولكول محاسباتي تفاضل مركزي براي مشتق مرتبه ): 2(شكل

yو Xحسب


بررسي شرايط مرزي در فرموالسيون ) 3-2-ب 2تفاضل مركزي مرتبه خطاي

تكيه گاه ساده.3-2-ب-1

و اعمال معادالت تفاضل ) 4(با در نظر گرفتن شكل ها بصورت زير يط مرزي، روابط بين گرهبر روي شرا

:قابل استخراج است

)24(

)25(

:به همين ترتيب خواهيم داشت

گاه گيردارتكيه.3-2-ب-2

گيريم، با اعمال معادالت را در نظر مي) 5(شكل تفاضل بر روي معادالت شرايط مرزي، روابط بين

:ير قابل استخراج استها به صورت زگره

)۲۶(


:به همين ترتيب خواهيم داشت

مرتبه –فرموالسيون تفاضل مركزي )3-2-ج 4خطاي

توان از بسط را مي 4معادالت تفاضل مركزي مرتبه جمله اول اين 5متغييره و انتخاب 2تيلور توابع

براي نمونه، معادله تفاضل مركزي . بسطه بدست آوردمتغييره به صورت 1ك تابع براي مشتق مرتبه اول ي

:آيدزير به دست مي

)31(

، يك معادله دو متغييره بر )1(از آنجا كه معادله است، لذا روابط تفاضل مركزي با مرتبه yو xحسب

به صورت 4خطاي ياد شده براي مشتقات مرتبه ) 8(الي ) 6(هاي هاي محاسباتي در شكلمولكول

:شوندتعريف مي

بررسي شرايط مرزي در فرموالسيون تفاضل )3-2-د 4مركزي مرتبه

بررسي شرايط مرزي در فرموالسيون تفاضل مركزي 2، همانند فرموالسيون تفاضل مركزي مرتبه 4مرتبه

شود، در حاالت مختلف مورد بررسي قرار گرفته ميبدين صورت كه با نوشتن شرايط مرزي و قرار دادن

رتبط، ارتباط بين گره ها و به ويژه معادالت تفاضل م

)27(

)28(

)۳۰(


آيند كه نتايج گره هاي با انديس منفي به دست مي .آنها در مراحل بعدي مورد استفاده قرار گرفته است

شبكه بندي ناحيه حل و استخراج معادالت .3-3 حاكم

استفاده از روش تفاضل مركزي با مرتبه ) 3-3-الف 2خطاي

ا كه هر چهار ر aدر ابتدا، ورق مربع شكل به ضلع طرف آن بر روي تكيه گاه ساده قرار دارد مطابق

:شوددر نظر گرفته مي) 9(شكل

قسمت مساوي 64الزم به ذكر است ورق فوق به 𝑑 تقسيم شده، بطوريكه = 𝑎 . باشدمي ⁄8

همچنين گره هايي كه با عالمت منفي مشخص ط هاي مجازي بوده كه براي تبديل شرايشده اند، گره

مرزي به معادالت تفاضل جهت حل دستگاه معادالت با توجه به شرايط مرزي . باشندجبري نهايي، الزم مي

𝐿و فرض ) 4(بررسي شده در شكل = 𝐵𝑑4 و𝑣 = 0.292 𝐺12

𝐸2= 0.5, 𝐸1

𝐸2= و نمونه اي ,3

به صورت )11مثالً براي گره شماره (از معادالت فوق :آيدست ميزير بد

)32 (1𝑑4

[3𝑤−35 − 12𝑤10 + 18𝑤11 −

12𝑤12+3𝑤13+1.26352𝑤1−4𝑤2+2𝑤3−4𝑤10+8𝑤11−4𝑤12+2𝑤19−4𝑤20+2𝑤21+𝑤−2−4𝑤2+6𝑤11−4𝑤20+𝑤29−L𝑤11=0

)33 (𝑤1 = 𝑤2 = 𝑤3 = 𝑤10 = 𝑤19 = 0

)34 (𝑤−2 = 𝑤−35 = −𝑤11

، معادله )32(با جايگذاري شرايط مرزي باال در رابطه :آيدبه صورت زير بدست مي 11حاكم بر گره

)35(

به طريق مشابه اين عمل براي گره هاي ديگر انجام با . شده تا دستگاه معادالت مربوطه بدست آيد

و MATLABمناسب توسط نرم افزار طراحي كد هاي مختلف، فركانس ارتعاشات هر مود Lمحاسبه

هاي بي بعد فركانس طبيعي و فركانس. آيدبدست مي :شوندمتناظر از روابط زير حاصل مي

)36(

)37(

روش تفاضل محدود و كاربرد آن در مهندسي عمران 12 استفاده از روش تفاضل مركزي با مرتبه ) 3-3-ب

4خطاي

كه هر aهمانند حالت قبل ورق مربع شكل به ضلع چهار طرف آن بر روي تكيه گاه ساده قرار دارد

:شوددر نظر گرفته مي) 10(مطابق شكل

𝐿با در نظر گرفتن فرضيات قبلي و = 72𝐵𝑑4

𝑣و = 0.292 , 𝐺12𝐸2

= 0.5, 𝐸1𝐸2

= -، نمونه10به صورت ) 12مثال گره شماره ( اي از معادالت فوق

:آيدزير بدست مي

، معادله )38(با اعمال شرايط مرزي بر روي معادله :آيدساده شده نهايي به صورت زير بدست مي

−5155.4976𝑤11 + (8364.558 −𝐿)𝑤12 − 5275.4976𝑤13 +1477.2186𝑤14 − 120𝑤15 +328.5504𝑤20 − 1072.032𝑤21 +328.5504𝑤22 − 20.5344𝑤23 −20.5344𝑤29 + 182.502𝑤30 −20.5344𝑤31 + 1.2834𝑤32 − 12𝑤39 = 0

به طريق مشابه اين عمل براي گره هاي ديگر انجام با . شده تا دستگاه معادالت مربوطه بدست آيد

و محاسبه MATLABطراحي كد مناسب با نرم افزار L هاي مختلف، فركانس ارتعاشات هر مود به دست

بعد هاي بيهاي طبيعي و فركانسفركانس. آيدمي :متناظر عبارتند از

شرايط مرزي، حاالت ساير براي همچنين محاسبه ذيل رابطه از بعد بي هاي فركانس

:شوندمي

ANSYSسازي با نرم افزار شبيه .4-3

افزار قوي در تحليل به يك نرم ANSYSنرم افزار زاي محدود براي حل مسائل مختلف مكانيك روش اج

از جمله تحليل مودال براي محاسبه فركانسهاي براي بررسي . باشدطبيعي سيستمهاي مهندسي مي

-صحت نتايج بدست آمده در بخشهاي قبلي، شبيه

)38(

)39(

)40(

)41(

)42(


براي ورق مستطيل شكل با ) 1(سازي به شرح جدول، ) ssss(شرايط مرزي مختلف نظير چهار طرف ساده

، دو طرف ساده، دو طرف )cccc(رف درگير چهار ط، و سه طرف ساده، يك طرف )sscc(درگير

.انجام شده است) sscc(درگير

گيريبحث و نتيجه .5-3

هاي تحليلي و عددي مختلفي براي تا كنون روش ها پيشنهاد شده است كه بررسي رفتار ارتعاشي ورق

هاي در نظر سازيهر يك با توجه به فرضيات و ساده هايي از پيچيدگي معادالت گرفته شده، به گوشه

حاكم بر رفتار ديناميكي و ارتعاشي اين سازه خاص


در اين مقاله نيز با بسط معادالت تفاضل . اندپرداخته 4، معادالت تفاضل مركزي مرتبه 2مركزي مرتبه

براي نخستين بار به دست آمده اند و از روابط بدست حل عددي ارتعاش ورقهاي مستطيل شكل آمده براي

ارتوتروپيك با شرايط مرزي تركيبي استفاده شده .است

اين ) 2(از روي نتايج بدست آمده در جدول •نكته قابل مشاهده است كه با افزايش مرتبه معادالت

تا چه اندازه دقت ) 4به مرتبه 2از مرتبه ( تفاضل .رودمي ها باالتردقت جواب تًا محاسبات و نهاي

نشان ) 2( در جدول بدست آمده نتايج •دهد در مقايسه با حل تحليلي، روش تفاضل مي

ANSYSمركزي مرتبه چهار در رتبه اول، نرم افزار در رتبه دوم و روش تفاضل مركزي مرتبه دو و در رتبه سوم قرار داشته و درصد خطاي نسبي چشمگير

.باشدمي% 5و زير نيز نشان ) 3(جدول نتايج بدست آمده در •

دهد از نظر دقت پاسخها، روش تفاضل مركزي ميدر رتبه ANSYSمرتبه چهار در رتبه اول، نرم افزار

دوم و روش تفاضل مركزي مرتبه دو در رتبه سوم .قرار دارند

همچنين با دقت در نتايج بدست آمده اين •نكته قابل مشاهده است كه با افزايش نسبت

𝐸1 E2⁄ قت نتايج در هر دو روش عددي كاهش دتوان نامنظم شدن دليل اين امر را مي. يابدمي

ماتريس ضرايب دستگاه معادالت حاصل از اعمال معادالت تفاضل در اثر باال رفتن نسبت ياد شده

.دانست، از نظر دقت پاسخهاي )5(و ) 4(در جدول •

بندي روشهاي حل بصورت نرم بدست آمده، رتبهرتبه اول، روش تفاضل مركزي مرتبه ANSYS افزار

علت اين امر را . گيرنددو در رتبه سوم قرار ميتوان در وضعيت شرايط تكيه گاهي جستجو مي

نمود، بدين صورت كه با توجه به صفر بودن تغيير

هاي گيردار، براي تبديل شرايط مكان و شيب در لبهقريبي بايست از تعريف تمرزي به معادالت تفاضل مي

مشتق استفاده نمود كه اين امر خود باعث افزايش شود، خطاي گرد كردن در محاسبات مربوط مي

گاهي ساده به دليل عدم هاي تكيهچنانچه در لبهوجود شرط مرزي صفر بودن شيب، پاسخها از دقت

توان در واقع مي. باشندچشمگيري برخوردار ميتر در ورق گاهي گيردار، كمگفت هر چه شرايط تكيه

مورد بررسي وجود داشته باشد دقت نتايج باالتر .رودميشود كه با باالتر مشاهده مي) 5(در جدول •

𝐸1رفتن نسبت E2⁄ 4دقت نتايج روش مرتبه يابد و در كاهش مي 2حتي بسيار بيشتر از مرتبه

در . تر روش فوق هستيماين مورد شاهد دقت پائينتوان بيان داشت كه دو وع ميبررسي علل اين موض

عامل نامطلوب گفته شده در موارد قبلي يعني باال و خطاساز 4بودن تعداد محاسبات در روش مرتبه

گاهي گيردار، موجب افزايش بيش بودن شرايط تكيهاز آنجا كه در . شونداز انتظار خطا در اين حالت مي

روشهاي عددي معموًال از روش تفاضل محدود مرتبه شود، نتايج بدست آمده از فرموالسيون استفاده مي 2

، نشان از دقت باالي روابط و سهولت 4تفاضل مرتبه توان از روابط فوق از اين رو مي. بكارگيري آنها دارد

-هاي ديگر رفتار ارتعاشينيز براي بررسي جنبهبدون الزام بكارگيري نرم افزار خاص و تنها با يك

.ستفاده نمودا -برنامه نويسي ساده


يك روش اختالف محدود تعميم يافته دوبعدي -4 براي حل معادالت ديفرانسيل پخشي

معرفي .1-4

در اين بخش مدل جديدي از روش بدون شبكه كه ضمن حذف مراحل انتگرالگيري، ارائه شده است

سازي معادله ديفرانسيل طي يك فرايند گسستهائب متقارن و خودكار منجر به توليد ماتريس ضر

حداقل مربعات در اين روش در دو . گرددمعين ميمرحله اساسي يعني در مرحله تقريب تابع و استخراج

سازي مقادير توابع شكل و نيز در مرحله گسستهبزرگترين .معادله ديفرانسيل بكار گرفته شده است

مزيت يك روش بدون شبكه را بايد در توانائي حل مسائل با توزيع نقاط غيريكنواخت جستجو كرد كه

به روش 4-2در بخش . ن مقاله بررسي شده استدر ايته و گامهاي اساسي آن اختالف محدود تعميم ياف

به منظور صحت در بخش بعدي . پرداخته شده استيابي در اين بخش نخست مقايسه نتايج حل عددي با روش پيشنهادي و حل تحليلي براي معادله

سازي يكنواخت و پواسون در حالت گسسته . غيريكنواخت حوزه حل ارائه شده است

)پيشنهادي(روش اختالف محدود تعميم يافته .2-4

گامهاي اصلي در روش بدون شبكه اختالف محدود .تعميم يافته بصورت زير هستند

گسسته سازي حوزه فيزيكي: گام اول .1-2-4

سازي حوزه در تمامي روشهاي بدون شبكه گسسته فيزيكي مسئله با تعداد مناسبي از نقاط كه هر يك

هاي نقطه يا هاي متداخل با زيرحوزهزيرحوزهشامل در واقع در اين . شودنقاط همسايه است انجام مي

روش دو نقطه در صورتي با يكديگر ارتباط دارند كه در ناحيه مشترك حوزه تاثيرشان تعداد نقاط

پذيري كننده شرط معكوسمشخصي كه تامين همكاران ياوري و . ماتريسها است، وجود داشته باشدبندي نقاط و تامين گرافهاي مناسبي را بمنظور رتبه

-ماتريسهاي توپر در روشهاي بدون شبكه ارائه نمودهنقطه مشترك در روشهاي بدون شبكه توابع .اند

باشند و خصوصيت اي ميوزني يا بعبارتي توابع پنجرهاصلي آن دارا بودن مقدار غيرصفر در داخل زيرحوزه

در مسائل . باشدارج از زيرحوزه ميو صفر در خها بصورت دايره يا مستطيل درنظر دوبعدي زيرحوزه

توانند همچنين بعضي از نقاط مي.شوندگرفته ميهاي اثر وجود بصورت مشترك در تعدادي از حوزه

نحوه گسسته سازي حوزه 1شكل . داشته باشندهاي مربع مستطيل يا فيزيكي را به كمك زيرحوزه

نكته قابل توجه اين مرحله در . دهداي نشان ميدايرهصورت استفاده از يك توزيع يكنواخت دوبعدي و

اي تعداد نقاط موجود در يك انتخاب زير حوزه دايرهزير حوزه معادل تعداد نقاط الزم براي تعيين مشتقات اول در روش اختالف محدود مركزي

.باشدمي

وجود در زير حوزه به عبارت ديگر تعداد اطالعات منمونه در روش بدون شبكه معادل همان نقاط الزم براي تعيين مقدار مشتقات در بسط تيلور در روش

.اختالف محدود است


گسسته سازي معادله ديفرانسيل با : گام دوم .2-2-4 روش حداقل مربعات گسسته

روشهاي معمول گسسته سازي معادله ديفرانسيل در روش گالركين، حداقل مربعات اجزاء محدود همچوناي همگي به خانواده روشهاي و روشهاي زير حوزه

باقيمانده وزني متعلق بوده و اختالف آنها تنها ناشي ها از معيارهاي مختلف وزن دهي به معادالت باقيمانده

در كليه اين روشها باقيمانده وزني غالبا بر روي . استصفر قرار داده گيري شده و سپس برابر حوزه انتگرال

انتگرالگيري بر روي حوزه، خود منجر به . شودميشود كه براي حل اين توليد معادالت انتگرالي مي

در . شودمعادالت از انتگرالگيري عددي استفاده مياين بخش بنا به اهميت كاربرد روش حداقل مربعات

يابي به مقادير توابع شكل با گسسته به نحوه دستقل مربعات متحرك و همچنين استفاده از حدا

سازي معادله ديفرانسيل باز هم با استفاده از گسستهها در وزن باقيمانده. پردازيمروش حداقل مربعات مي

.باشدها مياين روش شامل مشتق باقيمانده

معادله ديفرانسيل با شرايط مرزي زير را در نظر :بگيريد

مقدار f عملگرهاي ديفرانسيلي، Bو Lكه در آن مقدار سمت راست عملگر gسمت راست معادله و

اي هاي حوزهباقيمانده. ديفرانسيلي در مرزهاست(𝑅Ω) 5هاي مرزي و باقيماندهF

6 (𝑅Γ) در نقاطبه صورت (�𝑢)داخلي و مرزي بر حسب تابع تقريبي

.شوندزير تعريف مي

Ω 𝑅Ωروي حوزه ) 3( = 𝐿(𝑢�) − f ≠ 0

Γ 𝑅Γروي حوزه ) 4( = 𝐵(𝑢�) − g ≠ 0

فلسفه بكارگيري حداقل مربعات يافتن مقادير توابع سازي حوزه حل است تقريبي در نقاط گسسته

اي كه نتايج داراي حداقل خطاي باقيمانده در بگونهبراي دست . باشند 2و1ازاي قرارگيري در معادالت

ه تقريب به شود معادليابي به چنين جوابي فرض مياي است كه مقادير صورت يك سري چند جمله

ايها از فرايند مربوط به ضرائب اين چندجملهسازي و مقادير توابع از جايگزيني مختصات حداقل

نقاط گسسته سازي شده در توابع تقريبي بدست .آيندمي

)5 (𝑢�x� − 𝑢��a, x�

aرائب مجهول و بردار ضx متغيرهاي مستقل حوزه .باشندمي

گسسته سازي در روش حداقل مربعات گسسته، مجموع مربعات باقيمانده در تعدادي از نقاط محدود

.شودرا بصورت زير شامل مي) nb(و مرز ) ne(حوزه

6 .Domain and Boundary Residuals


هاي ميزان بزرگي باقيمانده 6در معادالت ∝ضريب هاي حوزه نشان ندهمرزي را در مقايسه با باقيما

مقادير بزرگتر اين پارامتر منجر به اعمال . دهدميگردد، كه در واقع معادل تر شرايط مرزي ميدقيق

ضريب مربوط به اعمال شرايط مرزي در روش معمول تابع تاواني است كه در روشهاي محدود بكار

ها از معادالت با جايگزيني باقيمانده. شودگرفته مي :داريم 6دله در معا 4و3

در صورت جايگزيني مقادير توابع تقريبي با مقادير يابي شده توسط توابع شكل در پارامترهاي درون

.داريم jمعادله باال براي نقطه دلخواه

نسبت به پارامترهاي گرهي Idبا مشتق گيري از تابع .شوددستگاه معادالت جبري حاصل مي

ام از lmال مقدار درايه در دستگاه معادالت جبري باام از بردار سمت راست lماتريس ضرائب و نيز درايه

.با روابط زير قابل محاسبه است

𝐾𝑙𝑚 = �[𝐿(𝑁𝑙)i]𝑇[𝐿(𝑁𝑚)i]𝑛𝑒

𝑖=1

+

)11(

�[𝐵(𝑁𝑙)]i𝑇[𝐵(𝑁𝑚)]i

𝑛𝑏

𝑖=1

𝑙,𝑚 = 1, …𝑛

)12(

𝐹𝑙 = −�[𝐿(𝑁𝑙)]i𝑇𝑓𝑖

𝑛𝑒

𝑖=1

+ �[𝐵(𝑁𝑙)]i𝑇g

𝑛𝑏

𝑖=1

𝑙,𝑚 = 1, …𝑛

الزم است قبل از انجام محاسبات مقادير توابع شكل .بايد محاسبه شوند كه در گام بعد آورده شده است

تقريب تابع و تعيين مقادير توابع : گام سوم.3-2-4 شكل با روش حداقل مربعات متحرك

مرحله از روش اختالف محدود تعميم يافته از در اين روش حداقل مربعات متحرك براي محاسبه توابع

با استفاده از قاعده كلي هرم . شودشكل استفاده ميتوان به صورت تابع پاسكال هر تابعي را مي

.اي زير نشان دادچندجمله

a(x) اي و بردار ضرائب تابع چند جمله𝑃T(x) اي كه در حالت مرتبه اول رهاي چند جملهبردار متغي

.باشندو دوم يك و دو بعدي بصورت زير مي


در اين قسمت تابع هدفي متشكل از جمع مربعات سازي ها بصورت زير كمينهوزني مقادير باقيمانده

.شودمي

a(x) نسبت به 𝐽(x)با مشتق گيري از تابع هدف

يف ماتريس و سازي آن و با تعربه منظور كمينه :به صورت زير داريم Bو Aبردارهاي

لذا توابع شكل در روش تفاضل محدود تعميم يافته

.بصورت زير است

)19 (𝑁𝑘(𝑥) = 𝑃𝐴−1𝐵𝑘

نكته مهم در اين روش اينست كه تعيين مشتقات مرتبه باالتر تابع شكل بصورت مشتق گيري صريح

در ضمن مرتبه تابع شكل عالوه بر . شودنجام ميابه 15و14مرتبه تابع چند جمله اي مطابق معادله

لذا استفاده از توابع چند . تابع وزني نيز وابسته استاي مرتبه پايين كفايت الزم براي ارائه مشتقات جمله

.مرتبه اول و دوم را داراست

حل عددي معادله پواسون به روش اختالف .3-4 محدود تعميم يافته

در اين بخش حل معادله پواسون بصورت زير مدنظر .است

شرايط مرزي مسئله از نوع ديريخله به صورت زير .است

𝑢 = 0 x = 0

𝑢 = 0 x = 1

𝑢 = 0 y = 0

𝑢 = 0 y = 0

براي صحت يابي اين معادله توسط بونت و همكاران 6Fروديناميك ذرات هموار روش هيد

براي بررسي 7توانمندي روش براي حوزه با توزيع تصادفي نقاط حل

جواب تحليلي اين معادله ديفرانسيل به . شده است .صورت زير است

نقطه با توزيع 676نقطه و 121حوزه مسئله با

�يكنواخت 11×11 �و � 26×26 2مطابق شكل �استفاده در تابع وزني مورد. گسسته سازي شده است

21مطابق رابطه 3اين مثال از نوع اسپالين مرتبه در هر دو نوع گسسته سازي، تابع چند . است

است 15جمله اي مرتبه يك دوبعدي مطابق رابطه

�𝑛𝑝 = تعداد نقاط موجود در هر زيرحوزه . �1

𝑛𝑝�نقطه است 9در هر بعد يعني 3معادل = 3�.

121يع يكنواخت نتايج تحليل عددي براي توزهاي اي بصورت گراف سه بعدي مطابق شكلنقطه

به منظور مقايسه نتايج حل . ارائه شده است 4و3عددي و جوابهاي تحليلي بصورت مقاطع در محور

7 Smooth Particle Hydrodynamic (SPH)


براي 6و5هاي مركزي و نزديك به محور مطابق شكل .نقطه ارائه شده است 676و 121


676حل مسئله با براي بررسي كارآمدي روش حوزه

7نقطه با توزيع غيريكنواخت مطابق شكل از آنجائيكه در حالت توزيع . سازي شده استگسسته

بعدي داراي غيريكنواخت ارائه نتايج به صورت سهلذا نتايج در اين . كيفيت مناسب نبوده و گويا نيست

براي تعدادي از نقاط به 1حالت به صورت جدول .اند نشان داده شده استشده طور تصادفي انتخاب

:يريگ هجيتن

هك روطنامه يددع ياهشور يلك روط هب لئاسم لح رد يدمآراك ياهشور دش هظحالم ليلحت اب دودحم لضافت يددع شور هژيو هب .دشابيم لئاسم لح رد يبسانم رايسب تقد 4 هبترم ياطخ زور هب زور اه رتويپماك تفرشيپ هب هجوت اب هك دراد . دنباي يم يرتهب هاگياج

Documents

Tafazol Final 02