Taglio Torsione CA

STATI LIMITE ULTIMI PER TENSIONI TANGENZIALITENSIONI TANGENZIALI

Dott. Ing. Giovanni Di LuzioDott. Ing. Giovanni Di Luzio20 novembre 2012

L’azione taglianteg

La presenza della sollecitazione di taglio è dovuta al fatto che ogni variazione lungol’asse della trave del momento flettente richiede la presenza di una forza di taglio,come risulta dalla ben nota equazione di equilibrio:

T = dM/dx

in cui V indica la sollecitazione di taglio, M è il momento ed x l’ascissa misuratalungo l’asse della trave.lungo l asse della trave.Dall’equazione precedente segue che il taglio è nullo solo quando M è costante. Inpratica questa condizione si verifica di rado, quindi la sollecitazione di taglioaccompagna quasi sempre quella di flessione Inoltre sempre dalla medesimaaccompagna quasi sempre quella di flessione. Inoltre, sempre dalla medesimaequazione, risulta che il taglio non può esistere, se non in qualche sezione isolata,senza la contemporanea presenza di M: pertanto sarebbe più corretto parlare della

ll it i bi t di fl i t lisollecitazione combinata di flessione e taglio.

L’azione taglianteLazione tagliante

COMPORTAMENTO DELLE TRAVI SOLLECITATE A TAGLIOSOLLECITATE A TAGLIO

Se si considera una trave realizzata con un materiale a comportamento elasticolineare e reagente a trazione, quale può considerarsi anche il calcestruzzo, per livellidi sollecitazione sufficientemente bassi, le tensioni tangenziali agenti sulle sezioninormali si possono calcolare con la nota relazione, derivata mediante la teoriaapprossimata di Jourawski:

τ (y) = T S(y)/[I b(y)]

in cui I è il momento di inerzia baricentrico della sezione S(y) è il momento staticoin cui I è il momento di inerzia baricentrico della sezione, S(y) è il momento statico,relativamente al baricentro, della parte di sezione al disopra della fibra di ascissa y eb(y) è la larghezza di detta fibra. Per una sezione rettangolare le tensioni variano conlegge parabolica Il valore massimo di τ è raggiunto nel baricentro dove si ha:legge parabolica. Il valore massimo di τ è raggiunto nel baricentro, dove si ha:

τmax =T / (z b)

dove z = I/S(0) indica il braccio delle forze interne.

T T

) b)a) b)

Tensioni tangenziali τ (y) per una sezione rettangolare interamente reagente (a) ed una in calcestruzzo armato (b).g ( ) ( )

COMPORTAMENTO DELLE TRAVI SOLLECITATE A TAGLIO

Trave senza armatura a taglio

Stadio I Stadio II





Travi con armatura a tagliog

Meccanismo resistente a traliccio di MörschMeccanismo resistente a traliccio di Mörsch

Meccanismo resistente a taglio t li i di Mö htraliccio di Mörsch

STATO LIMITE ULTIMO PER TAGLIO

Verifica al taglio secondo EC2P nto 6 2 1Punto 6.2.1

In base alla procedura suggerita nell’EC2 definiamo le seguenti grandezze:V è l i t t li di tt d ll’ l t i diVRd,c è la resistenza a taglio di progetto dell’elemento privo di armatura a taglio;VRd è la resistenza di progetto del taglio che può essere sopportatoVRd,s è la resistenza di progetto del taglio che può essere sopportato dall’armatura a taglio alla tensione di snervamento;VRd,max è il valore di progetto del massimo taglio che può essere ,sopportato dall’elemento, limitato dalla rottura delle bielle compresse;VEd è il valore del taglio agente di progetto nella sezione considerata d i t d i i hi t iderivante dai carichi esterni.

Verifica al taglio secondo EC2P nto 6 2 1Punto 6.2.1

La progettazione al taglio si effettua attraverso le seguenti verifiche:1 -- nelle zone dell’elemento dove VEd ≤ VRd,c non risulta necessario calcolare l’armatura a taglio, comunque, si raccomanda di disporre un’armatura minima (secondo il punto 9.2.2 dell’EC2)2 nelle zone dell’elemento dove V V si raccomanda di2 -- nelle zone dell’elemento dove VEd VRd,c si raccomanda di disporre un’armatura a taglio in modo che risulti VEd ≤ VRd.

Verifica al taglio secondo EC2

Verifica al taglio per travi senza armatura trasversale










+

+

+

Verifica al taglio per travi senza armatura trasversale secondo EC2trasversale secondo EC2

Resistenza a taglio di progetto dell’elemento privo di armatura a taglio

dbkfkCV wcpckcRdcRd

13

1

1,, 100

cRdC 18,0 con c = 1,5

ccRd ,

22001 k

c ,

con d = altezza utile della sezione in millimetri;21 d

k con d = altezza utile della sezione in millimetri;



dbkfkCV wcpckcRdcRd

13

1

1,, 100

;02,01 db

AslslA area dell’armatura longitudinale tesa che si estende

per non meno di ldb+d oltre la sezione considerata; dbw wb

p db

larghezza minima della sezione in zona tesa in mm;



dbkfkCV wcpckcRdcRd

13

1

1,, 100

;150k Ed fN

20 i MP;15,01 k cdc

cp fA

2,0 in MPa.


Resistenza a taglio di progetto dell’elemento privo di armatura a taglioi d l t l

2/12/3

non minore del seguente valore:

dbkfkV wcpckcRd 12/12/3

MIN,, 035.0

Verifica al taglio per travi senza armatura trasversale secondo EC2secondo EC2

EC 2 punto 6 2 2(6)EC-2 punto 6.2.2(6)Per elementi soggetti a carichi applicati a distanza 0.5d≤aV≤2d a partire dal bordo dell’appoggio, il contributo di questo carico allo sforzo di taglio VEdpuó essere ridotto con il fattore = aV/2d. Solo a condizione che l’armatura longitudinale sia completamente ancorata all’appoggio. Per aV≤2d si raccomanda di adottare il valore aV=0 5draccomanda di adottare il valore aV 0,5d.EC-2 punto 6.2.2(7)Per travi con carichi applicati in prossimitá degli appoggi e mensole cortepossono essere progettati in alternativa con modelli tirante puntone (punto6.5).

ESEMPIO: Verifica al taglio per travi senza armatura trasversaletrasversale

(z=0.9d)

ESEMPIO: Verifica al taglio per travi senza armatura trasversaletrasversale

kN5.112755.1VVEd kN5.112755.1VVEd

180 A l

9MPa.2483,0 ckck Rf

112.018,0,

ccRdC

5912001k

0092.01

db

A

w

sl

0EdN59.12001

dk 0

c

Edcp A

31

VkN875703000924009201005911120

V Ed3, VkN8757030009.240092.010059.1112.0

cRdV

Verifica al taglio per travi con armatura trasversale

Verifica al taglio per travi con armatura trasversale secondo EC2secondo EC2

cRd,Ed VV

maxRd,V

RdV sRd,V


sRd,V maxRd,V

sRd,V maxRd,V



EC-2 punto 6 2 3(1)EC 2 punto 6.2.3(1)

A: corrente compresso;p ;B: puntone;C: corrente teso;D: armatura a taglio.


CF CSFθα

VΔN

SΔN

ΔN

sz

ΔNs

θsin θctgαctgΔNC S

θsinsbfC cd2


CF

maxRd,V

C

SΔN

θαSF

szVΔN s

SΔN


CF Cθα

SF

ΔNF S AfF VΔN

SΔN

αsinθctgαctgFs swyds AfF s

zΔNs

ssRd,V


sin ; ,1

max, ctgctgzfs

AVctgtgbzfV yd

swsRd

cdRd

sctgtg

maxRd,V sRd,VmaxRd, sRd,

maxRd,V sRd,V


L’EC-2 nel punto 6.2.3(2) raccomanda di limitare il valoredell’angolo in modo chedell angolo in modo che

1 ≤ cotg ≤ 2.5


V sRd,V


maxRd,V

f

25016.0 ckf


cRd,Ed VV

maxRd,V

VV

maxRd,V

VEdmaxRd, VV sRd,V

V sRd,V


kN5.112755.1VVEd

9MPa24830 kk Rf MPa374df

54.0250

16.0

ckf

9MPa.2483,0 ckck Rf MPa374ydf

Edmax, VkN3.5175.2

56.1554.05709.0300

RdV

mcmmmmmVsA Edsw /93.2/293.05.112/ 22 mcmmmmm

gfzsA

ydsw /93.2/293.0

23745709.0cot /

Asw/s = 3.046cm2/m


kN500VEd Ed

/mcm 5.25 2 7

V 15/mcm 03.13cot

/ 2gfz

VsAyd

Edsw

15



9.2.2


9.2.2

W = ASW/(s bW sin)W ASW/(s bW sin)


9.2.2

ckf08.0

yk

ck

ff

ρ minW,


9.2.2

maxl,s

gds cot1 75.0maxl, Essendo l’inclinazione dell’armatura a taglio rispetto all’asselongitudinale della trave


9 2 29.2.2

gds cot1 6.0maxb,

mm 600 75.0maxt, ds


9 5 39.5.3


9 5 39.5.3

20

400


9.5.3

Si raccomanda che nessuna barra in zona compressa sia distante daSi raccomanda che nessuna barra in zona compressa sia distante dauna barra vincolata piú di 150mm.

Interazione Taglio-Momento flettente nelle travi in CAg

Traslazione del diagramma dei momenti flettenti

La forza di trazione nell’armatura tesa deve bilanciare nelle sezione inflessela forza di compressione del corrente compresso che per la comparsa dila forza di compressione del corrente compresso che per la comparsa dilesioni (fessure) inclinate, dovute alla presenza del taglio, non sono sullastessa verticale bensí poste ad una distanza x che vale:

x = z per travi senza armatura trasversale

x = z (cotgcotg)/2 per travi con armatura trasversale inclinata di

dove z è braccio della coppia interna.

Torsione nelle travi in CA

Le tensioni tangenziali nelle sezioni rette delle travi, oltre che dallasollecitazione di taglio, sono provocate dalla sollecitazione di torsione.

L’azione torcente è presente in molte situazioni: infatti è raro che i carichisiano applicati in modo tale che la loro risultante passi per la linea dei centridi taglio della trave che di conseguenza risulta anche sollecitata dall’azionedi taglio della trave che, di conseguenza, risulta anche sollecitata dall azionedi un momento torcente di entità più o meno grande. Tuttavia nella praticadella progettazione spesso questa sollecitazione viene ignorata: infatti

d è f l h i iquando, come è frequente, le strutture vengono schematizzate come pianenon vi è spazio per mettere in conto l’azione torcente ed anche se siutilizzano più raffinati modelli tridimensionali di solito vengono consideratisolo carichi che producono sollecitazioni di taglio e flessione.


Torsione travi dovuteai solai

Torsione Primaria(B l i S l t )(Balconi, Scale, etc.)


Prima della fessurazione anche le travi in cemento armato si possono trattare, senzaeccessivo errore, con le relazioni note dalla teoria delle travi di De Saint Venant, per ilpquale sono note le soluzioni di tutti i casi di interesse pratico.Finché il materiale ha un comportamento elastico, la torsione produce, nelle sezionirette delle travi, uno stato di tensione puramente tangenziale, di intensità crescente dalrette delle travi, uno stato di tensione puramente tangenziale, di intensità crescente dalbaricentro verso il bordo, dove si raggiungono i valori massimi.

Torsione nelle travi in CAI stadioI stadio

SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Al I° stadio la trave si comporta approssimativamente come unatrave di De Saint-Venant soggetta a Momento Torcente. Letensioni tangenziali presentano un andamento lineare che sitensioni tangenziali presentano un andamento lineare che siannulla a metà dello spessore.

i

M2

t

79.41b/h

ange

nzia

l

Tensioni Tangenziali

hb2max 3b/h

tens

ioni

ta

Rigidezza Torsionale

nto

delle

t

hGbMK 3tt

3/1b/h

41.01b/h

And

ame

Angolo di torsione: Rotazione tra due sezioni a distanza unitaria


SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Nelle travi con sezione decomponibile in più rettangoli, ilmomento torcente agente nei singoli rettangoli si valuta inproporzione alla rigidezza torsionale dei rettangoli stessi.

Momento Torcente e tensioni tangenziali nel rettangolo i-mo

2ti

iimax, hbM

ti

tti KKMM

Mt1

Mt2

max,i

ii hbi

tiK

N.B. il procedimento per la valutazione dei singoli

M

momenti torcenti Mti è in realtà esatta solo per h/b=, mapuò essere accettata con tollerabile approssimazione anchein sezioni con spessore non trascurabile.Mt3

p


SEZIONI CAVENelle travi a sezione cava le relazioni precedenti non sonoapplicabili. Per sezioni di piccolo spessore esiste una teoriaapprossimata dovuta a Bredt che permette di valutare la tensioneapprossimata dovuta a Bredt che permette di valutare la tensionemedia lungo lo spessore.

La forza elementare agente sul tratto disezione di lunghezza ds risulta esserepari a:

dshdsqdF Il momento esterno M dovrà essereIl momento esterno Mt dovrà essereequilibrato dalla somma dei momentiche le forze dF hanno rispetto albaricentro della sezione: C flbaricentro della sezione:

q2rdsqrdsqqdsrMt

Costanza flusso delle tensioni

h2Mt

Formula di Bredt se h=cost


SEZIONI CAVESEZIONI CAVELa rigidezza torsionale di travi cave di piccolo spessore si puòtrovare facilmente utilizzando il principio di conservazionedell’energia. Uguagliando infatti l’energia di deformazione allavoro delle forze esterne si ha:

te M21L

Lavoro Esterno

2

KG4M

(Teoremadi Clapeyron)

dVL 1Energia di deformazione

tt K

hdsM

Rigidezza Torsionale Mt

p y )

dVLi 2

11 E

h2t

ei LL dVMt 21

21

Ponendo )1(2EG

G


In presenza della sola torsione le tensioni principali risultano pertanto ovunqueIn presenza della sola torsione le tensioni principali risultano pertanto ovunqueinclinate di 45° rispetto al piano della sezione; queste tensioni, una di compressione el’altra di trazione, sono in modulo uguali alla tensione tangenziale . Su un cilindrodi sezione circolare le isostatiche disegnano delle eliche inclinate a 45°; nelle travi didi sezione circolare le isostatiche disegnano delle eliche inclinate a 45°; nelle travi disezione rettangolare le isostatiche formano un reticolo di linee inclinate a 45°, comeillustrato nella Figura.


Le prime fessure si sviluppano ortogonalmente alle trazioni principali e quindiLe prime fessure si sviluppano ortogonalmente alle trazioni principali e quindiseguono l’andamento delle isostatiche di compressione. Poiché le tensioni maggiori sihanno in superficie, le fessure si propagano, al crescere della sollecitazione, versol’interno Quando la fessurazione è ben sviluppata due fessure consecutivel interno. Quando la fessurazione è ben sviluppata due fessure consecutiveindividuano bielle di calcestruzzo compresso che interessano per un certo spessore laparte più periferica della trave.


Se questa è dotata di un’armatura opportuna la trave può essere assimilata ad unq pp ptraliccio spaziale, formato da bielle di calcestruzzo compresso ed armature tese:entrambe interessano solo un modesto spessore della parte più esterna del cilindro.Questo grigliato ideale può essere assimilato ad un tubo con struttura a traliccio a cuiQuesto grigliato ideale può essere assimilato ad un tubo con struttura a traliccio a cuisi è soliti dare l’intera resistenza all’azione torcente. Il nucleo interno offre uncontributo modesto che può essere trascurato. Ai fini delle verifiche di resistenza latrave viene dunque assimilata ad una di sezione tubolare di spessore t; come lineatrave viene dunque assimilata ad una di sezione tubolare, di spessore t; come lineamediana del tubo si assume la congiungente delle armature longitudinali poste neivertici.


Lo spessore t della sezione tubolare può essere considerato pari al doppio delLo spessore t della sezione tubolare può essere considerato pari al doppio delcopriferro c (h=2c). Altre indicazioni bibliografiche suggeriscono di usare per unasezione rettangolare di lati a e b, con a>b, il più piccolo tra b/6 e b1/5, essendob b 2 Ul i i i di i i i ll i i li h i b /6b1=b-2c. Ulteriori indicazioni si trovano nella normativa italiana che suggerisce b1/6e nell’EC2 che consente un qualsiasi valore compreso tra 2c e A/u dove A e u sonorispettivamente l’area e il perimetro della sezione.


Schema del traliccio resistente di una trave in c.a. sollecitata a torsione.

t

t1

t1

t1


La tensione media nello spessore del “tubo” si ottiene con la formula di Bredt:τ = Mt / (2Ωt) ,

dove Ω è l’area racchiusa dalla linea mediana dello spessore; per una sezionep ; prettangolare Ω = b0h0, dove b0 ed h0 indicano le distanze tra i centri delle barre diarmatura poste nei vertici della sezione.La forza risultante delle tensioni agenti su di un tratto di lunghezza unitaria dellaLa forza risultante delle tensioni agenti su di un tratto di lunghezza unitaria dellaparete del “tubo” è pertanto:

τ t 1= Mt / (2Ω).Indicando con l’inclinazione delle bielle di calcestruzzo questa forza induce unaIndicando con l inclinazione delle bielle di calcestruzzo, questa forza induce unacompressione C il cui modulo si ottiene equilibrando la forza stessa nelle direzionidella biella ed in quella longitudinale:

C t 1/ i M /(2Ω i ) C t 1 C = τ t 1/sin = Mt/(2Ω sin ) e C=c t 1cos,mentre la corrispondente componente longitudinale è:

Fl1 = C cos = Mt/(2Ω tan ),


I i d d ll i l d ll l f C i d i i lIn corrispondenza dello spigolo della trave la forza C si decompone in una verticale:Fst = C sin = Mt /(2),

ed una longitudinale Fh. Quest’ultima è equilibrata dalla corrispondente, di segnoopposto, prodotta dalla compressione agente sulla biella della faccia adiacentementre la componente verticale Fst deve essere assorbita da un’idonea armatura.


Dunque la trave deve essere dotata di un doppio ordito di armature: • uno longitudinale, per assorbire le forze Fl1, • l’altro trasversale (staffe), che sopporta le forze Fst. ( ), pp st

La forza totale in direzione longitudinale è:F = F p = M p /(2Ω tan )Fl = Fl1p = Mt p /(2Ω tan ) ,

dove p indica la lunghezza (perimetro) della linea mediana dello spessore dellasezione tubolare equivalente. Al collasso la forza massima portata dall’armaturalongitudinale è Alfyd, in cui Al indica l’area totale dell’armatura longitudinaleresistente alla torsione; uguagliando questa resistenza alla sollecitazione si ha:

Alf d = M p /(2Ω tan )Alfyd Mtu p /(2Ω tan )


Indicando con Ast l’area di una staffa con passo s, il numero di armature trasversaliintersecate da una biella di altezza (relativamente alla sezione retta) unitaria è 1/(stan ); pertanto la forza ultima F equilibrata dall’armatura trasversale è f dA /(stan ); pertanto la forza ultima Fst equilibrata dall armatura trasversale è fydAst/(stan ).Uguagliando la forza resistente a quella agente Fst = C sin = Mt /(2Ω), si ottiene:

fydAst/(s tan ) = Mtu /(2Ω),

In cui, sostituendo ad Mtu il valore in funzione dell’area dell’armatura, tulongitudinale, si ottiene:

Ast/s = (Al/p) tan2 .

Fissato il valore di questa relazione consente di determinare il quantitativo distaffe occorrenti per equilibrare lo stesso momento sopportato dall’armaturalongitudinalelongitudinale.

Torsione nelle travi in CA secondo EC2

A: linea mediaB: perimetro esterno della sezione

effettiva di sviluppo ueffettiva di sviluppo uC: copriferro


1-- Determinazione della trave cava equivalente in cui lo spessore della parete1 Determinazione della trave cava equivalente in cui lo spessore della parete cava equivalente viene determinato attraverso il punto 6.3.2 dell’EC-2: tef,i= A/u

2-- Calcolo del momento torcente di prima fessurazione, che viene determinato ponendo pari alla resistenza a trazione del calcestruzzo la massima tensione t i l d t l t t t ( h i ifi l l ttangenziale dovuta al momento torcente (che si verifica nel lato con sviluppo minore), ovvero (punto 6.3.2 dell’EC-2):

dove τti = fctd.

3-- Calcolo del momento torcente di progetto. La resistenza delle bielle compresse di calcestruzzo è legata al valore massimo di momento torcente calcolato mediante il punto 6.3.2 (4) dell’EC-2, ovvero:calcolato mediante il punto 6.3.2 (4) dell EC 2, ovvero:


4 -- Calcolo dell’armatura longitudinale e trasversaleL’ armatura longitudinale aggiuntiva per la torsione viene determinata come

( t 6 3 2 d ll’EC 2)(punto 6.3.2 dell’EC-2):

kEdtotsl fA

uTA2

cotg

Per quanto concerne l’armatura trasversale, questa viene calcolata come

ydktotsl fA2,

q , qprecedentemente mostrato:


Minimi di armaturaMinimi di armaturaMetodo delle tensioni ammissibiliIn presenza di torsione dovranno disporsi nelle travi staffe aventi sezionecomplessiva, per metro lineare, non inferiore a 0.15b cm2/m per staffe ad aderenzamigliorata e 0.25b cm2/m per sfaffe liscie, essendo b lo spessore minimo dell’animain cm. Inoltre, il passo delle staffe non deve superare 1/8 della lunghezza della lineamedia della sezione anulare resistente e comunque 20cm. Le staffe devono esserecollegate ad apposite armature longitudinali. (DM 14/2/72)

Stati limiteStesse limitazione per le armature per taglio con l’aggiunta della limitazione sulladistanza tra staffe non superiore a uk/8 o alla minore dimensione della sezione delladistanza tra staffe non superiore a uk/8 o alla minore dimensione della sezione dellatrave e quella tra le barre longitudinali non superiore a 350mm con almeno unabarra per angolo (EC2 punto 9.2.3)


Prescrizioni di normativaL’EC2 richiama le stesse indicazioni fornite per il taglio ed aggiunge che la distanzatra le staffe non deve essere superiore a uk/8 e quella tra le barre longitidinali nonsuperiore a 350mm.p

Staffe ben chiuse!

Combinazione Momento Flettente-Torsione ll t i i CAnelle travi in CA

Gli elementi sollecitati a torsione sono, nella maggior parte dei casi, anche soggettia flessione e taglio. Certamente nelle strutture in cemento armato vi è una sensibileinterazione tra queste sollecitazioni elementari, ma l’analisi del problema presentaq , p pnotevoli difficoltà ed i dati sperimentali non sono sufficienti a per formulazioniempiriche. Pertanto le normative consentono a questo proposito delle drastichesemplificazioni.semplificazioni.

Con flessione generalmente non si tiene conto di alcuna interazione; l’armaturalongitudinale richiesta per resistere al momento torcente si aggiunge a quellalongitudinale richiesta per resistere al momento torcente si aggiunge a quellacalcolata a flessione. Per le norme europee EC2, nella parte compressa di sezione,quando la risultante delle compressioni dovute alla flessione supera la trazione che

i ll t d l t t t i ò it l’ tagisce sulla stessa zona a causa del momento torcente, si può evitare l’armaturalongitudinale aggiuntiva.

Combinazione Taglio Torsione nelle travi in CACombinazione Taglio-Torsione nelle travi in CA

Nella combinazione con taglio, le armature d’anima (staffe) si calcolanoseparatamente per entrambe le sollecitazioni e quindi si sommano i quantitativirichiesti, con la condizione di utilizzare in entrambi i casi lo stesso valorerichiesti, con la condizione di utilizzare in entrambi i casi lo stesso valoredell’angolo di inclinazione delle bielle compresse.

Quando la verifica viene condotta con il metodo delle tensioni ammissibili leQuando la verifica viene condotta con il metodo delle tensioni ammissibili, lenorme italiane prescrivono che la tensione tangenziale massima agente sullasezione, ottenuta sommando quelle dovute al taglio con quelle prodotte dallat i d il l i ibil i t t d l 10%torsione, non deve superare il valore ammissibile c1 incrementato del 10%.

Combinazione Taglio Torsione nelle travi in CACombinazione Taglio-Torsione nelle travi in CA

Secondo l’EC2 la resistenza di una trave a torsione e taglio si valuta mediantel’espressione

Se poi è verificata pure la condizione 6.3.2 (5) dell’EC-2, ovvero

risulta necessario porre solamente l’armatura trasversale minima per il taglio e per la torsione.

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