7/23/2019 Taller 6 - Geometría Vectorial

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Geometrıa Vectorial y Analıtica

Taller 6: Operaciones con transformaciones lineales y conmatrices. Imagen de un conjunto bajo una transformacion

lineal.

1. Sea   T   la transformacion lineal del plano tal que   T 

  2−1

  =

−24

,

T 

13

 =

  3−5

 y sea  S   la transformacion reflexion con respecto a la

recta   L  con ecuacion   x  − 3y   = 0 y   P   la transformacion proyeccionsobre  L. Halle:

(a)   T 

x

y

 y  P 

x

y

 para todo

x

y

 de  R2.

(b) La imagen bajo  T  de cada uno de los siguientes conjuntos:i) La recta con ecuacion 3x − 2y = 5

ii) El segmento de recta con extremos  P   =

  23

 y  Q =

  01

.

iii) El paralelogramo determinado por los vectores

  2−1

 y

13

.

(c)   m(S ), m (2T  − S ) y ( 2T  − S )x

y  para todo

x

y  de  R2.

(d)   m (S  ◦ T ) y (S  ◦ T )

x

y

 para todo

x

y

 de  R2.

2. Sean  A =

1   −11 2

, B =

0 11   −2

 y  C  =

0   −11 0

:

(a) Calcule A2, AB, BA   y   BC,  (para una matriz  M, M 2 se entiendecomo  M M.)

(b) Para cada numeral, defina una transformacion lineal  T  que satis-faga la condicion dada:

i)  m (T ) = B ii)  m (T ) = A2B iii)  m (T ) = C 2

1

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3. Considere los puntos   A   = 1

3 , B   =

3

1   y   C   =

4

4, y sea   T   la

transformacion cuya matriz es

 2   −1−3 2

(a) Describa parametricamente el triangulo  T  con vertices  A,  B  y  C .

(b) Muestre que la imagen de T   bajo la transformacion T  es el triangu-lo con vertices  T (A),  T (B) y  T (C ).

(c) Calcule las areas de los triangulos  T    y  T (T  ).

4. Sea   T   la transformacion lineal cuya matriz es

3 11   −2

  y sea   C   el

cuadrilatero con vertices

00

,

01

,

10

 y

22

. ¿Es la imagen de  C 

bajo  T  un cuadrilatero? Justifique la respuesta.

5. El cırculo   D   con centro en el origen y radio 1 es el conjunto de los

puntos

x

y

∈ R

2 tales que su distancia al origen es menor o igual que

1. Sea  U  =

11

.

(a) Halle la imagen de  D  bajo la proyeccion  P U .

(b) Halle la imagen de  D  bajo la reflexion  S U .

(c) Sea   T   la transformacion cuya matriz es

2 11 2

. ¿Es   T (D) un

cırculo? Justifique la respuesta.

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